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Lösung von Aufg. 11.4 (SoSe 11)

2011-06-24T13:06:53Z

Madita: -

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' in einer Ebene ''E''. Ferner sei eine Gerade ''g'' Teilmenge der Ebene ''E'', wobei keiner der Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' auf ''g'' liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang: 
<math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace </math> 

[[Category:Einführung_Geometrie]]
<br\><br\>
Beweis: durch Widerspruch:<br\>

o.B.d.A. gelte <math>\operatorname(Zw) (A, B, C)</math><math>\Rightarrow \overline{AB} \subset \overline{AC}</math> <br\>

Voraussetztung:<math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace</math><br\>
Annahme: <math>\overline{AC} \cap g = \lbrace \rbrace</math> <br\>
da<math> \overline{AC} \cap g =\lbrace \rbrace \Rightarrow \forall P\epsilon \overline{AC}: P\not\in g</math> 
<math>\Rightarrow \forall P\in \overline{AB} : P \not\in g\Rightarrow Widerspruch</math> zu <math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace</math><br\>
<math>\Rightarrow</math> <math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace </math> --[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 16:13, 22. Jun. 2011 (CEST)<br\>

Ich bezweifle, dass man hier einfach Zw(A,B,C) voraussetzen darf. [[Benutzer:Mathegott|Mathegott]] 20:30, 23. Jun. 2011 (CEST) 
Das sehe ich auch so. Besser ist es in Fälle zu unterscheiden. Falls die Fälle dann sehr ähnlich sind, kann man immer noch "Beweis ist analog zu Fall 1." schreiben. 
Kann man den Beweis auch direkt führen?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:53, 24. Jun. 2011 (CEST)

Fallunterscheidung:

1. zw(A,B,C) siehe oben

2. zw (B,A,C)
-> Strecke BC schneidet g nicht (Vorraussetzung)
-> dann kann g auch nicht die Strecke AB schneiden -> Widerspruch zur Vorraussetzung!

3. zw (A,C,B)
-> Strecke AB schneidet g, Strecke CB schneidet g nicht
-> Dann muss g die Strecke AC schneiden

--[[Benutzer:Madita|Madita]] 15:06, 24. Jun. 2011 (CEST)

Strecken (SoSe 11)

2011-05-28T16:26:50Z

Madita: /* Beweis von Satz II.4 */

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und Ebenen können wir in unserer Geometrie nicht definieren. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Grundlegend dafür, um was für eine konkrete Strecke es sich jeweils handelt scheint die Angabe zweier Punkte zu sein (kürzeste Verbindung zweier Punkte).

Das Attribut ''kürzeste'' deutet auf das Messen von Längen hin. Das Messen von Längen wird dann auch der Knackpunkt bezüglich einer Definition des Begriffs der Strecke sein.

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier:

= Der Abstand zweier Punkte =
=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===

===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.

===== Axiom II.2: =====
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind. In der Sprache der Abstände: Alle drei Abstände die die Eckpunkte des Dreiecks zueinander haben sind gegeben.

Abstände sind nach dem Abstandsaxiom reelle Zahlen. (Maßeinheiten wie m und cm sind in der „reinen“ Mathematik irrelevant.)

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===
===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=====Übung zum Axiom=====
:: Welchen Teil des Axioms demonstriert das folgende Applet?
<ggb_applet width="750" height="300" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz II.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)
Voraussetzung: Zw (A,B,C)
Behauptung: Zw (C,B,A)

Beweis:
1) Zw (A,B,C) --> |AB| + |BC| = |AC| nach Def. Zwischenrelation

2) |AB| + |BC| = |AC| --> |BC| + |AB| = |AC| Kommutativgesetz für reelle Zahlen

3) |CB| + |BA| = |CA| (2) Axiom II.2

4) Zw (C,B,A) (3) Def. Zwischenrelation
--[[Benutzer:Stellrechtd|Stellrechtd]] 15:10, 23. Mai 2011 (CEST)

===== Satz II.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)
Voraussetzung: Zw (A,B,C)
Behauptung: koll (A,B,C)

1) |AB|+ |BC| = |AC| Voraussetzung, Def. Zwischenrelation

2) koll (A,B,C) (1), Axiom II.3
--[[Benutzer:Stellrechtd|Stellrechtd]] 15:18, 23. Mai 2011 (CEST)

===== Satz II.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.3: =====
::Übungsaufgabe

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

Es seien A und B zwei verschiedene Punkte.

Unter der Strecke AB versteht man die folgende Punktmenge:

AB := {P|Zw (A,P,B)} U {A,B}

Die Punkte A und B heißen Endpunkte der Strecke AB.
--[[Benutzer:Stellrechtd|Stellrechtd]] 15:27, 23. Mai 2011 (CEST)

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

Unter der Länge einer Strecke AB versteht man den Abstand ihrer Endpunkte.

Schreibweise: |<math>\overline {AB}</math>| := |AB|
--[[Benutzer:Stellrechtd|Stellrechtd]] 15:37, 23. Mai 2011 (CEST)

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>
 
<math>AB^+</math>:= {P|Zw(A,P,B) v Zw(A,B,P)} u {A,B}

:Definition: Halbgerade <math>AB^-</math>
<math>AB^-</math>:= {P|Zw(P,A,B)} u {A} bzw. 
<math>AB^-</math>:= AB \ <math>AB^+</math> u {A}
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 16:58, 25. Mai 2011 (CEST)

===== Satz II.4 =====
::Es sei <math>\ O</math> ein Punkt einer Geraden <math>\ g</math>. Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math>\ g</math>.

===== Beweis von Satz II.4 =====

[[Category:Einführung_Geometrie]]

1. Keine der Teilmengen ist leer. => Ist erfüllt, da jede TM Punkte enthält (Die Halbgeraden bestehen aus Punkten, die Teilmenge O enthält den Punkt O)

2. Der Durchschnitt je zweier Mengen aus K ist leer. => Ist erfüllt, da die Halbgeraden keinen Punkt teilen, da O ausgeschlossen ist. Somit teilt auch die Teilmenge O keinen Punkt mit einer anderen.

3. Die Vereinigung aller Mengen aus K ergibt die Menge M. => Ist erfüllt, da die beiden Halbgeraden und der Punkt O die Gerade g ergeben.

--[[Benutzer:Madita|Madita]] 18:26, 28. Mai 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 6.6 (SoSe 11)

2011-05-19T13:24:54Z

Madita:

Es sei <math>\ \mathfrak{F}</math> die Menge der Figuren der Ebene. Auf <math>\ \mathfrak{F}</math> sei eine Äquivalenzrelation <math>\ \Theta</math> definiert. <math>\ \Theta</math> möge <math>\ \mathfrak{F}</math> derart in Klassen einteilen, dass die folgenden Figuren in ein und derselben Klasse liegen:
[[Bild:Figur_Aufgabe_5.jpg]] 
Geben Sie mögliche Interpretationen der Relation <math>\ \Theta</math> an. 

- sind konvex
- liegen in der gleichen Ebene wie
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Haben den gleichen Flächeninhalt
--[[Benutzer:Madita|Madita]] 15:24, 19. Mai 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 6.5 (SoSe 11)

2011-05-19T13:24:13Z

Madita:

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>. 
a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation. 
b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen. 
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen. 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

a) Die Relation <math>\ \Theta</math> besagt, dass dann die Strecke AB parallel zur Gerade g ist. Denn nur dann hat die Strecke AB mit g eine leere Schnittmenge. Das heißt, der Abstand A zu g ist gleich groß wie der Abstand von B zu g.

b) <math>\ \Theta</math> ist eine Äquivalenzrelation denn:

Reflexivität: Ein Punkt A hat zur gerade g den gleichen Abstand wie ein Punkt A
Symmetrie: Hat A und B zu g den gleichen Abstand, dann auch B und A zu g.
Transitivität: Wenn A und B zu g den gleichen Abstand haben und B und C zu g den gleichen Abstand haben, dann auch A zu C. Denn A,B,C müssen alle auf einer Gerade liegen, die parallel zu g liegt.

--[[Benutzer:Madita|Madita]] 15:24, 19. Mai 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 6.3 (SoSe 11)

2011-05-19T13:18:22Z

Madita:

In der Schule sprechen wir davon, dass wir Dreiecke 
a) hinsichtlich der Seitenlängen oder 
b) hinsichtlich der Winkelgrößen klassifizieren. 
In welchen der beiden Fälle handelt es sich um eine wirkliche Klasseneinteilung? Argumentieren Sie mit Hilfe eines Venn-Diagramms. 

Ein Venn-Diagramm einzuzeichnen wäre mir jetzt zu viel Arbeit, ich versuche mal arguemtativ (verbal) das ganze zu lösen.
Meiner Ansicht nach sind beides keine Klasseneinteilung, wenn man annimmt, dass man jeweils nur eine Größe (einen Winkel bzw. eine Seitelänge) betrachtet. Somit wäre ein rechtwinkliges Dreieck mit einem zusätzlichen Winkel von 60° und 30° ebenfalls in der Klasse für die Winkel mit eben 60° und 30° und das wiederspricht der Eigenschaft, dass zwei Klassen disjunkt sein müssen. Gleiches für das isolierte Betrachten EINER Seitenlänge.
Wenn man aber davon ausgeht, dass man alle drei Elemente betrachtet nur die Seitenlängenbetrachtung eine Klasseneinteilung. Die kann einfach durch die Existenz des SSS Satzes beschrieben werden und der nicht Existenz eines WWW Satzes. Darüber hinaus (und jetzt kommt der absolute obermegasuperhammer - wer hätte es geahnt?) haben alle Dreiecke eine Innenwinkelsumme von: naja ihr wisst schon irgendwie gleich viele, bischen weniger als zu viel aber mehr als eine Hand voll sinds dann auch.
Viel vergnügen beim herausfinden der Innenwinkelsumme aller Dreiecke. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 23:08, 17. Mai 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Wenn das mit Klassifizieren so gemeint wäre wie du meinst, wäre deine Begründung schon richtig. Aber man klassifiziert Dreiecke nach Seitenlänge in Ungleichseitige, Gleichschenklige und Gleichseitige Dreiecke. Da alle Gleichschenkligen Dreiecke auch Gleichseitige Dreiecke sind ist das keine korrekte Klassifizierung, da die Teilmengen keine Schnittmengen haben dürfen.

Man klassifiert Dreicke nach Winkeln ind spitzwinklige, Rechtwinklige und Stumpfwinklige. Hier gibt es keine Schnittmenge, somit ist die Klassifizierung korrekt.

--[[Benutzer:Madita|Madita]] 15:18, 19. Mai 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 6.2 (SoSe 11)

2011-05-19T13:15:23Z

Madita:

Untersuchen Sie folgende Relation ''S'' auf ihre Eigenschaften: 
<math>\ g S h \Leftrightarrow \ <math>g \cap h \neq \lbrace \rbrace </math>

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Reflexivität: Ja, denn eine Gerade g hat mit sich selbst keine leere Schnittmenge
<math> g \cap g \neq \lbrace \rbrace </math>

Symmetrie: Ja, denn wenn h und g keine leere Schnittmenge haben, dann auch g und ha nicht.
Wenn <math> h \cap g \neq \lbrace \rbrace </math> dann gilt auch <math> g \cap h \neq \lbrace \rbrace </math>

Transitivität: Nein, denn Wenn g und i keine leere Schittmenge haben und h und i keine Leere Schittmenge haben, dann könten g und h zwei parallele Geraden sein und i eine Gerade die die beiden schneidet. Dann hätten g und h auch keine leere Schittmenge.
Wenn <math> h \cap i \neq \lbrace \rbrace </math> und <math> g \cap i \neq \lbrace \rbrace </math> dann gilt nicht <math> g \cap h \neq \lbrace \rbrace </math>

--[[Benutzer:Madita|Madita]] 15:15, 19. Mai 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 6.1 (SoSe 11)

2011-05-19T13:06:47Z

Madita:

Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, ob es sich um reflexive, symmetrische sowie transitive Relationen handelt? 
*Parallelität von Geraden der Ebene
*Kongruenz geometrischer Figuren
*Teilbarkeit in <math>\mathbb{N}</math>
*Kleinerrelation in <math>\mathbb{R}</math>
*Größer-Gleich-Relation in <math>\mathbb{R}</math>
*Ungleichheit in <math>\mathbb{R}</math>

[[Category:Einführung_Geometrie]]

*Parallelität von Geraden der Ebene -> Refleviv, Symmetrisch, Transitiv

*Kongruenz geometrischer Figuren -> Reflexiv, Symmetrisch, Transitiv

*Teilbarkeit in <math>\mathbb{N}</math> -> Nur Reflexiv

*Kleinerrelation in <math>\mathbb{R}</math> -> Nur Transitiv

*Größer-Gleich-Relation in <math>\mathbb{R}</math> -> Reflexiv und Transitiv

*Ungleichheit in <math>\mathbb{R}</math> -> Symmetrisch

--[[Benutzer:Madita|Madita]] 15:06, 19. Mai 2011 (CEST)

Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen SoSe 11

2011-05-12T10:15:17Z

Madita: /* Beispiel 3 */

== Ziel der Ausführungen bzw. der Veranstaltung ==
Es gibt grundlegende Begriffe, die man im Mathematikunterricht und auch im alltäglichen Sprachgebrauch ständig verwendet, ohne sich bis ins letzte Detail Gedanken über den Begriff selbst zu machen. Mitunter braucht man es dann doch genauer und es stellen sich Fragen, die gar nicht so einfach zu beantworten sind:

#Was ist eigentlich eine natürliche Zahl?
#Was ist ein Bruch, was ist eine Bruchzahl, was ist eine gebrochene Zahl und ist das eigentlich alles dasselbe?
#Was ist eine Richtung?
#Was ist der Richtungssinn?
#Meint 3. und 4. dasselbe?
#Was ist ein Pfeil und was sind Pfeilklassen?

Man kann eine ganze Zeit lang Mathematik betreiben, ohne obige Fragen explizit zu beantworten:

# Natürliche Zahlen kennt doch jedes Kind, es sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 usw., sie sind offenbar gottgegeben.
# Was interessiert es mich, ob es Bruch, gebrochene Zahl oder Bruchzahl heißt, wenn ich etwa <math>\frac{3}{5} + \frac{7}{12}</math> rechnen soll, dann rechne ich halt <math>\frac{36}{60} +\frac{35}{60}</math> und erhalte<math>\frac{71}{60}</math>.
:3. bis 6.
{| class="wikitable"
|-
|[[Bild:Vektorrechnung_01.svg|200px]] || Was interessiert es mich, ob es Pfeil oder Pfeilklasse heißt, wenn ich etwa <math>\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD}</math> bestimmen soll, dann rechne ich halt <math>\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE}</math> und erhalte <math>\overrightarrow {AE}</math>
|}

Irgendwie bleibt bei näherer Betrachtung der Dinge jedoch ein wenig Unsicherheit, die, je mehr man darüber nachdenkt, immer stärker wird:
Wir haben nicht wirklich die Brüche <math>\frac{3}{5}</math> und <math>\frac{7}{12}</math> addiert, sondern die Brüche <math>\frac{36}{60}</math> und <math>\frac{35}{60}</math>. Irgendwie ist das sicherlich dasselbe, irgendwie aber auch nicht: <math>\frac{3}{5}</math> einer Pizza sind wunderschöne Stücke (Schließlich hat m.g. 10 Jahre das Rezept für seinen Teig optimiert.). <math>\frac{36}{60}</math> derselben Pizza ist Matsch und nicht wirklich genießbar (eventuell noch für zahnlose Hunde).

Irgendwie passt es schon, dass wir anstelle von <math>\overrightarrow {CD}</math> <math>\overrightarrow {BE}</math> zu <math>\overrightarrow {AB}</math> addiert haben. Bei näherer Betrachtung ist der Pfeil <math>\overrightarrow {BE}</math> aber auch ein von <math>\overrightarrow {CD}</math> verschiedener Pfeil unserer Ebene.

Dieses ''Irgendwie'' und ''passt schon'' sollten wir präzieren. Zentraler Punkt dieser Präzisierung sind die Begriffe ''Äquivalenzrelation'' und ''Klasseneinteilung''.

== Klasseneinteilungen ==

=== Beispiele und Gegenbeispiele ===

==== Kleine Bemerkung aus didaktischer Sicht zur Erarbeitung des Begriffs Klasseneinteilung====
Die Ausbildung von Lehrern an einer Hochschule oder Universität läuft häufig Gefahr, sich selbst ad absurdum zu führen. Auf der einen Seite fordert man vom zukünftigen Lehrer, dass dieser sich im Praktikum seines didaktischen Know-How's bedienen möge, während man in den eigenen Lehrveranstaltungen den didaktischen Aspekt stark vernachlässigt.
Nun wird es rein aus Zeitgründen nicht immer möglich sein, sich in einer Hoschschullehrveranstaltung der Methoden eines Unterricht allgeinbildender Schulen zu bedienen, zumindest exemplarisch sollte es jedoch möglich sein, den stark dozierenden Stil der Hochschullehrveranstaltung zu durchbrechen.
Hier und jetzt wollen wir dieses tun:
Der Begriff der Klasseneinteilung soll induktiv erarbeitet werden. Hierzu werden wir verschiedene Beispiele und prägnante Gegenbeispiele bezüglich des Begriffes der Klasseneinteilung untersuchen um dann die Idee des Begriffs ''Klasseneinteilung'' herauszuarbeiten.

==== Ein Beispiel für eine Klasseneinteilung ====
Die übliche morgendliche Hektik an der „Maier-Vorwiesener“ Grund- und Hauptschule:
Frau Schulze-Mackenroth zog es für heute vor, ihr Burnout-Syndrom mit Tannenzäpfle und Ouzo zu pflegen, weshalb sie sich kurz vor knapp bei Rektor Pollenwein telefonisch krank gemeldet hat.
In ihrer Grundschulklasse geht es derweilen drunter und drüber. Xulio-Dävid hat seine überforderte, allein erziehende Mutter ausgetrickst und das Methylphenidat nicht genommen. Jetzt lässt er seine ADHS hemmungslos an seinen Klassenkameraden aus.

Zu Hause bei Lehrer Steiner gab es ein weiteres mal Stress wegen der jungen blonden Referendarin, die Steiner betreut. Er flüchtet deshalb und kommt eine Stunde früher. Erleichtert sieht ihn Rektor Gendarm beim Anmarsch auf die Schule. Aus dem Rektoratsfenster ruft er Steiner zu: „Du musst ganz schnell in die Klasse von Xulio-Dävid. Es brennt mal wieder!“

Damit ist eindeutig geklärt, in welche Klasse Herr Steiner gehen muss. Rein formal hätte Rektor Gendarm natürlich auch die Namen von anderen Schülern nennen können, die mit Xulio-Dävid in dieselbe Klasse gehen. An der klassischen Grund- und Hauptschule geht jeder Schüler in genau eine Klasse. Ihre Klassen sind ein Beispiel dafür, was der Mathematiker unter einer Klasseneinteilung versteht.

==== Ein Gegenbeispiel für den Begriff der Klasseneinteilung ====
10 Jahre ist Sportsfreund Holzkugel nun Vorsitzender des örtlichen Kegelvereins. Es waren bewegte 10 Jahre. Vor 5 Jahren gelang ihm das, woran schon viele Vorsitzende des Vereins scheiterten: Die Öffnung des Vereins für den Bowlingsport. Die Gegner des Bowling verwiesen immer wieder auf den Namen des Vereins: "Alle Neune Wilhelmsfeld". Schließlich konnte man sich aber doch auf eine Umbennung in "Gut Holz Wilhelmsfeld" einigen, was die Gründung der Sektion Bowling ermöglichte. Heute gehört <math>\frac {1}{3}</math> aller Mitglieder von "Gut Holz Wilhelmsfeld" sowohl der Sektion Kegeln als auch der Sektion Bowling an. Die beiden Sektionen bilden damit keine Klasseneinteilung des Vereins "Gut Holz Wilhelmsfeld".

==== Identifizieren von Klasseneinteilungen ====
<quiz>
{ Setzen Sie ein Häckchen, wenn es sich nach Ihrer Meinung um eine Klasseneinteilung der angegebenen Grundmenge handelt.}
- Einteilung der Menge aller Dreiecke in gleichseitige, gleichschenklige und in Dreiecke bei denen keine zwei Seiten gleichlang sind.
|| Ein gleichseitiges Dreieck ist gleichzeitig ein gleichschenklig.
+ Einteilung der Menge aller Vierecke in konvexe und konkave Vierecke.
|| Ein beliebiges Viereck ist entweder konvex oder nicht konvex und damit konkav. Es gibt kein Viereck, das weder konvex noch konkav ist. Die Menge aller Vierecke wird damit in genau zwei Klassen eingeteilt. Die eine Menge ist die Menge aller konvexen Vierecke, die andere Menge ist die Menge aller nicht konvexen und damit konkaven Vierecke.
+ Unter <math>\mathcal{M}</math> wollen wir die Menge aller Mengen ohne die leere Menge verstehen. Wir teilen <math>\mathcal{M}</math> nun in unendlich viele Teilmengen ein:<math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ M_4,\ ...,\ M_n,\ ... </math>, wobei wir unter <math>M_1\ </math> die Menge aller Mengen mit genau einem Element, unter <math>M_2\ </math> die Menge aller Mengen mit genau zwei Elementen, unter <math>M_n\ </math> die Menge aller Mengen mit genau n Elementen etc. verstehen wollen.
||Jede Menge (außer der leeren Menge) gehört zu genau einer der Teilmengen von <math>\mathcal{M}</math>. Alle Teilmengen vereinigt bilden die Menge <math>\mathcal{M}</math>.
- Herr Markwitz ist Rektor der Wiesengrund-Hauptschule. Früher war die Wiesengrund-Hauptschule zweizügig. Es gibt damit die Klassen 6a, 6b, 7a, 7b, 8a, 8b, 9a und 9b. Im Schuljahr 2009/2010 reichte es dann nicht mehr. Eigentlich dürfte es nur die Klasse 5a geben. In diese Klasse gehen auch alle Schüler des entsprechenden Jahrgangs. Um den Fortbestand seiner Schule zu sichern, greift Rektor Markwitz zu einem Trick. Er führt fiktiv die Klasse 5b, die allerdings keine Schüler hat.
|| Das konnten Sie noch nicht wissen: sollen die Teilmengen einer Menge eine Klasseneinteilung der Grundmenge bilden, do darf keine der Teilmengen leer sein. Läßt Herr Markwitz die fiktive Klasse weg, so hat er natürlich wieder eine saubere Einteilung der Menge aller Schüler seiner Schule in Klassen.

</quiz>

=== Definition des Begriffs Klasseneinteilung ===
Definition: (Klasseneinteilung eine Menge)
::Es sei <math>M</math> eine Menge und <math>K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>M</math>.
::<math>K</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>M</math>, wenn

:# notwendige Bedingung 1: Jedes a Element M ist nur in einer Teilmenge von K enthalten (ich weiß leider nicht wo die ganzen kleinen math. Zeichen wie "Element" oder so sind)
:# notwendige Bedingung 2: Wieder mit Worten: Die Mächtigkeit jeder Teilmenge T_a Element K ist größer null
:# notwendige Bedingung 3: Die Menge K muss echte Teilmenge von M sein, ansonsten wäre K = M und somit keine Klasseneinteilung 
--[[Benutzer:HecklF|HecklF]] 21:47, 25. Apr. 2011 (CEST)
 
mh, weitere Vorschläge, Änderungen...--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:55, 25. Apr. 2011 (CEST)

Ist Punkt 3 nicht falsch (bzw. da es eine Definition ist nicht sinnvoll) ? müsste es nicht heißen:

Die Vereinigungsmenge von T_i = M ( i = 1, 2, 3,.., n, ...)
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 20:24, 7. Mai 2011 (CEST)

== Relationen ==

=== Beispiele ===

==== Halt dich senkrecht====

[[File:Flag of Switzerland (Pantone).svg|thumb|Flag of Switzerland (Pantone)]] 
Im Schulpraktikum war der Begriff der Senkrechten zu behandeln. Der Praktikant hatte ein Bild der Schweizer Nationalflagge auf eine Folie gedruckt und fragte die Schüler, welche Linien Senkrechte wären. Bei den Schülern stellte sich nach den ersten Antworten leichte Unsicherheit ein. Der Grund für diese Unsicherheit: Die Frage des Praktikanten war völlig unsinnig. Eine Antwort wie ''Gerade <math>a</math> steht senkrecht'' ist lediglich eine Aussageform, der kein Wahrheitswert zuzuordnen ist. Erst wenn man die Lage von <math>a</math> bezüglich einer anderen Geraden <math>b</math> (Ebene, Strahl, Strecke) betrachtet, ist es sinnvoll davon zu sprechen, dass <math>a</math> eine Senkrechte ist. '''Die Relation Gerade <math>a</math> steht senkrecht auf Gerade <math>b</math> ist zweistellig.'''

====Eine klassische Dreiecksbeziehung====
Tom ist der Liebhaber von Gabi. Zu der Ehre der Liebhabereigenschaft kommt er durch die Existenz von Frank, dem Ehemann von Gabi. Tom, Gabi und Frank stehen in einer dreistelligen Relation zueinander, der klassischen Dreiecksbeziehung. Wir könnten diese Relation auch so formulieren: Gabi steht zwischen zwei Männern.
==== Beispiel 3 ====
Trauen Sie sich: Präsentieren Sie hier ein eigenes Beispiel.

Gabi, Hans und Karl - Theodor sind Halbgeschwister. Sie sind alle die Kinder vom Gärtner. Zu ihrer Geschwistereigenschaft kommen sie durch die Relation zu den anderen Geschwistern.

--[[Benutzer:Madita|Madita]] 12:15, 12. Mai 2011 (CEST)

==== Beispiel 4====
Trauen Sie sich: Präsentieren Sie hier ein eigenes Beispiel.
==== Ein Quiz zwischendurch ====
<quiz>
{Setzen Sie ein Häckchen, wenn es sich um eine zweistellige Relation handelt}
+ Eine Ebene <math>\alpha</math> steht senkrecht zu einer Ebene <math>\beta</math>.
|| klar, wie bei Beispiel 1 für Geraden
- Der Punkt <math>B</math> liegt zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>C</math>.
|| dreistellig
+ Von zwei Punkten ein und derselben Geraden liegt einer vor dem anderen.
|| Jetzt werden nur zwei Punkte verglichen.
</quiz>
=== Die Idee der Relation aus abstrakter Sicht ===

====Jeder mit Jeder?====
Von Anfang an war Kommissar Schätzerle dieses Dorf, dass man weder dem Ländle noch dem Nachbarn Bayern so recht zuordnen kann, nicht ganz geheuer gewesen. Ist nun der schöne Anton der Vater von der Lisa oder doch Stavros, der Grieche, der irgendwann im Dorf auftauchte und seitdem bei der feschen Wirtin wohnt. Wer ist eigentlich der Vater vom Klaus, den man hier immer noch politisch unkorrekt den Dorfdeppen nennt. Und was ist mit Dorothea, deren Zeugung mit Sicherheit nicht die unbefleckte Empfängnis war, alle im Dorf aber so tun, als wenn es so gewesen wäre. Eins wurde Schätzerle immer klarer: Er konnte den aktuellen Fall nur lösen, indem er alle Vaterschaften des Ortes gnadenlos aufklärte. An die DNS aller in Frage kommender Männer heranzukommen war leicht. Ein abendlicher Besuch bei der feschen Wirtin reichte aus. Schwieriger war es bei den Kindern. Um das Gerichtsverfahren nicht zu gefährden, sei dem Chronisten diesbezügliches Stillschweigen gestattet. Wie auch immer, irgendwann hatte sich Schätzerle auch die noch fehlende DNS von Maria besorgt und schickte alles den Kollegen in Stuttgart zum Zwecke des DNA-Abgleichs. Mit der Bitte um Kennzeichnung jeweiliger Vaterschaften durch ein Ausrufezeichen schickte er die folgende tabellarische Übersicht mit: 

{| class="wikitable center"
|-
!
! der schöne Anton
! Stavros, der Grieche
! der Pfarrer
! der Gärtner
|-
| Lisa
| ?
| ?
| ?
| ?
|-
| Klaus
| ?
| ?
| ?
| ?
|-
| Dorothea
| ?
| ?
| ?
| ?
|-
| Maria
| ?
| ?
| ?
| ?
|-
| Karl - Theodor
| ?
| ?
| ?
| ?
|-
| Hans
| ?
| ?
| ?
| ?
|}
Das LKA Stuttgart schickte die Tabelle in folgender Form zurück:
{| class="wikitable center"
|-
!
! der schöne Anton
! Stavros, der Grieche
! der Pfarrer
! der Gärtner
|-
| Lisa
| ?
| ?
| ?
| '''!'''
|-
| Klaus
| '''!'''
| ?
| ?
| ?
|-
| Dorothea
| ?
| ?
| '''!'''
| ?
|-
| Maria
| ?
| '''!'''
| ?
| ?
|-
| Karl - Theodor
| ?
| ?
| ?
| '''!'''
|-
| Hans
| ?
| ?
| ?
| '''!'''
|}
Der einzige, der sich über das Ergebnis aus Stuttgart freute, war der schöne Anton. Es hielt sich nämlich hartnäckig das Gerücht, dass der Anton zwar recht nett anzusehen sei, andererseits aber struntzdumm und vom Gebrauch der Anabolika, naja sie wissen schon ... .
Für Schätzerle wurde allerdings klar: Der Mörder war wieder der Gärtner.
[[Bild:060520111038.jpg|800px]] 
Alle geordneten Paare: (potentieller Vater, potentielles Kind) aus den Veranstaltungen vom 6.5.11. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 11:52, 7. Mai 2011 (CEST)
[[Bild:060520111040.jpg|800px]] 
Nach dem DNA-Abgleich: Alle geordneten Paare (Vater, leibliches Kind) wurden aus dem obigen Kreuzprodukt herausgenommen. Also: Die Relation ''<math>\ R</math>: v ist Vater von k'' repräsentiert sich als eine Menge von geordneten Paaren aus dem Kreuzprodukt <math>V \times K</math>. Anders ausgedrückt: <math>R \subseteq V \times K</math>

==== Du hast den Farbfilm vergessen ... ====
Wir wollen davon ausgehen, dass Sie diesen Text an einem Computermonitor <math>M</math> lesen. Ferner möge es sich bei <math>M</math> um einen Monitor handeln, der <math>\quad 256^3=16.777.216</math> verschiedene Farben darstellen kann. Weil Bilder, für deren Darstellung auf dem Bildschirm <math>16.777.216</math> verschiedene Farben zur Verfügung stehen, recht natürlich auf das menschliche Auge wirken, bezeichnet man die Farbtiefe von <math>256^3</math> Farben auch als ''True Color''.
Da das Display von <math>M</math> selbst leuchtet, erfolgt die Farbdarstellung auf ihm entsprechend des Prinzips der ''additiven Farbmischung'': Die Farbe eines jeden Pixels wird durch das Mischen der drei Grundfarben ''Rot'', ''Grün'' und ''Blau'' generiert (RGB).
Für jede der drei Farben stehen jeweils 256 verschiedene Farbtiefen zur Verfügung, d.h. im Farbraum von <math>M</math> gibt es 256 verschiedene Rottöne, 256 verschiedene Grüntöne und schließlich 256 verschiedene Blautöne. Jeder der Farbtöne wird durch eine natürliche Zahl <math>f</math> mit <math>0 \le f \le 255</math> codiert. Der Code einer beliebigen Farbe des Farbraumes von <math> M </math> ist damit ein geordnetes Tripel <math> \left( f_r, f_g, f_b \right) </math>, wobei <math> f_r, \quad f_g </math> und <math> \quad f_b </math> jeweils natürliche Zahlen zwischen <math>\quad 0</math> und <math> \quad 255 </math> sind und die jeweilige Farbtiefe der Grundfarben Rot, Grün und Blau codieren.

<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/flashz/Farbregler_01.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe>

Aus der abstrakten Sicht des Mathematikers ist unser RGB-Farbraum das Kreuzprodukt <math> \ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}</math>, wobei unter <math> \mathcal{F}</math> die Menge der natürlichen Zahlen von 0 bis 255 zu verstehen ist.

Nun möge es sich zugetragen haben, dass wir des Auftrages zur Generierung eines computergestützten Videos anheischig wurden. Als Auftraggeber zeichnet niemand geringeres als Nina Hagen zuständig. Zum 56. Geburtstag der Punk-Diva soll ''Du hast den Farbfilm vergessen (mein Michael)'' als Video fröhliche Urständ feiern.

Was liegt bei dem Titel ''Du hast den Farbfilm vergessen'' näher, als ein Video in Schwarz/Weiß oder genauer ausgedrückt ein Video , das nur Grautöne verwendet. Der RGB-Farbraum enthält auch Grautöne. Diesbezüglich definieren wir uns eine dreistellige Relation mit dem Namen <math>\ grau</math> auf der Menge aller geordneten Tripel aus <math> \ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}</math>: Die Komponenten <math> f_r, \quad f_g </math> und <math> \quad f_b </math> eines Tripels <math> \left( f_r, f_g, f_b \right) </math> mögen genau dann in der Relation <math>\ grau</math> zueinander stehen, wenn das Tripel <math> \left( f_r, f_g, f_b \right) </math> der Code für einen Grauwert ist.

Es wäre interessant zu untersuchen, welche Tripel aus <math> \ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}</math> so beschaffen sind, dass ihre jeweiligen Komponenten in der Relation <math>\ grau</math> zueinander stehen. Bei dieser Formulierung bricht man sich fast die Zunge. Formulieren wir doch einfacher: Wir wollen untersuchen, welche geordneten Tripel aus <math> \ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}</math> zur Relation <math>\ grau</math> gehören.

Für diese Untersuchung stellen wir uns ausnahmsweise ganz dumm und gehen mittels einer ''Brutal Force''- Methode vor:
Beginnend mit dem Tripel <math> \ (0, 0, 0) </math> danach die Tripel <math> \ (0, 0, 1) </math> und <math> \ (0, 0, 2) </math> testend probieren wir systematisch alle <math>256^3</math> Tripel bis zum Tripel <math> \ (255, 255, 255) </math> aus, ob sie der Code für einen Grauwert sind oder nicht, bzw. zu unserer Relation <math>\ grau</math> gehören oder nicht. Aus allen potentiell möglichen Tripeln haben wir die Tripel herausgesucht, die zu unserer Relation <math>\ grau</math> gehören. Anders ausgedrückt: Auf der Suche nach allen geordneten Tripeln, die einen Grauwert codieren, haben wir eine Teilmenge unserer Grundmenge <math> \ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}</math> gebildet. Diese Teilmenge ist letztlich unsere Relation.

Die Untersuchungen ergaben (Der Leser überzeuge sich mittels [http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Lehre/Medieninformatik/Bildbearbeitung/excel/farbumrechnung.xls].), dass immer dann ein Grauwert codiert wird, wenn die Komponenten des geordneten Tripels <math> \left( f_r, f_g, f_b \right) </math> identisch sind: <math> \ (0, 0, 0) </math>, <math> \ (1, 1, 1) </math>, ..., <math> \ (255, 255, 255) </math>. Unsere Relation <math>\ grau</math> ist damit eine Teilmenge aus <math> \ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}</math>, die 256 geordnete Tripel enthält. 

<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/flashz/Farbregler_grau.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe>
 

Als Quintessenz unserer Überlegungen können wir unser Relation <math>\ grau</math> wie folgt präzisieren:

# Definition: (<math>\ grau</math>) <math> grau := \left\{ \left( f_r, f_g, f_b \right)|\left( f_r, f_g, f_b \right)\in \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F} \wedge f_r=f_g=f_b \right\}</math> oder
# Definition: (<math>\ grau</math>) <math>\left( f_r, f_g, f_b \right)\in grau :\Longleftrightarrow \left( f_r, f_g, f_b \right)\in \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F} \wedge f_r=f_g=f_b</math>

==== Alles verstanden? ====
Hier ein kleines Quiz zur Überprüfung Ihres Verständnisses für den Abschnitt mit dem Farbfilm.

Wir legen den folgenden Überlegungen ein kartesisches <math>\ x - y - z-</math>Koordinatensystem zugrunde. Jedem Farbwert <math> \left( f_r, f_g, f_b \right)</math> wird genau ein Punkt <math>\ P</math> des <math>\mathbb{R}^3</math> zugeordnet, wobei die <math>\ x-</math>Koordinate von <math>\ P</math> dem Rotwert <math>\ f_r</math>, die <math>\ y-</math>Koordinate von <math>\ P</math> dem Grünwert <math>\ f_g</math> und die <math>\ z-</math>Koordinate von <math>\ P</math> dem Blauwert <math>\ f_b</math> entsprechen.[http://www.math.hu-berlin.de/~filler/3D/videos/farbwurfel.html] Wir wollen die Menge dieser Punkte als RGB-Farbraum bezeichnen. Alle die Punkte, die einem Grauwert entsprechen, sollen im folgenden die Grauwerte genannt werden.

<quiz>
{Welche der folgenden Aussagen ist richtig?}
- Bezüglich unseres Koordinatensystems ist der RGB-Farbraum ein Würfel <math>\ W </math> mit der Kantenlänge <math>\ 255 LE</math>.
|| Unter einem Würfel würden wir nur die Vereinigungsmenge der Seitenflächen verstehen.
- Bezüglich unseres Koordinatensystems ist der RGB-Farbraum das Innere von <math>\ W </math>.
|| Schon der Würfel und natürlich auch sein Inneres beinhalten unendlich (überabzählbar) viele Punkte. Die <math>\ 256^3</math> Punkte dieser menge, deren Koordinaten natürliche Zahlen zwischen 0 und 255 sind dagegen nur eine endliche Teilmenge der menge der Punkte des Würfelinneren.
+Bezüglich unseres Koordinatensystems liegt der RGB-Farbraum im Inneren von <math>\ W </math>.
|| Nach den Bemerkungen zu den vorangegangenen Fragen dürfte das klar sein.
- Die Grauwerte sind eine Raumdiagonale von <math>\ W </math>.
|| Können 256 Punkte eine Diagonale sein?
+ Die Grauwerte liegen auf der Raumdiagonalen <math>\overline{AG}</math> von <math>\ W </math>, wobei <math>A=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> und <math>G=\begin{pmatrix} 255 \\ 255 \\ 255 \end{pmatrix} </math> gilt.
|| korrekt
- Die Grauwerte liegen auf der Raumdiagonalen <math>\overline{CE}</math> von <math>\ W </math>, wobei <math>C=\begin{pmatrix} 255 \\ 255 \\ 0 \end{pmatrix} </math> und <math>E=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 255 \end{pmatrix} </math> gilt.
|| Da die Endpunkte dieser diagonalen keine Grauwerte repräsentieren ... .
+ Die Relation <math>\ grau</math> aus dem vorangegangenen Abschnitt läßt sich grafisch als eine Menge von Punkten darstellen, die auf der Raumdiagonalen <math>\overline{AG}</math> von <math>\ W </math> liegen.
|| Für diese Erkenntnis wurde dieses Quiz organisiert.
</quiz>
==== Definition des Begriffs der Relation ====
Definition: (n-stellige Relation)
:::Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.

==Äquivalenzrelationen==
===Beispiele===
==== Beispiel 1: „Maier-Vorwiesener“ Grund- und Hauptschule====
Unter 2.1.2 wurde bereits die Einteilung einer traditionellen GHS in Klassen angesprochen.
Auf der Grundlage einer solchen Einteilung der Menge aller Schüler einer Schule in Klassen können wir eine Relation ''A geht mit B in dieselbe Klasse'' definieren:

Definition: Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei Schüler ein und derselben Schule <math>\ S</math> . <math>A \triangle B :=</math> <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gehen in dieselbe Klasse.

Diese Definition erfüllt alle Anforderungen, die an eine sogenannte Äquivalenzrelation gestellt werden:

# <math>\ R</math> ist reflexiv: <math>\forall C \in S: C \triangle C</math>
# <math>\ R</math> ist symmetrisch: <math>\forall A, B \in S: A \triangle B \Rightarrow B \triangle C</math>
# <math>\ R</math> ist transitiv:<math>\forall A, B, C \in S: A \triangle B \land B \triangle C \Rightarrow A \triangle C</math>

Übungsaufgabe: Formulieren Sie 1. bis 3. umgangsprachlicher.

==== Beispiel 2: Parallelität auf der Menge der Geraden der Ebene ====
In der ebenen Geometrie lässt sich die Relation ''Gerade'' <math>\ a</math> ''ist parallel zu Gerade'' <math>\ b</math> (in Zeichen: <math>a \| b</math>) wie folgt definieren:

::<math>a \| b :\Leftrightarrow a \equiv b \lor a \cap b = \emptyset</math>

Übungsaufgabe: Schreiben Sie obige Definition ohne die Verwendung des Tex-Zeichensatzes.

Die Parallelität auf der Menge der Geraden der Ebene ist eine Äquivalenzrelation:

# Jede Gerade der Ebene ist trvialerweise zu sich selbet parallel.
# Wenn eine Gerade <math>\ a</math> zu einer Geraden <math>\ b</math> parallel ist, dann ist auch die Gerade <math>\ b</math> zur Geraden <math>\ a</math> parallel.
# Wenn eine Gerade <math>\ a</math> zur Geraden <math>\ b</math> parallel ist und die Gerade <math>\ b</math> parallel zur Geraden <math>\ c</math> ist, dann ist auch die Gerade <math>\ a</math> zur Geraden <math>\ c</math> parallel.
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/flashz/Beweis_01.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe> 
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen SoSe 11

2011-05-12T10:14:04Z

Madita: /* Beispiel 3 */

== Ziel der Ausführungen bzw. der Veranstaltung ==
Es gibt grundlegende Begriffe, die man im Mathematikunterricht und auch im alltäglichen Sprachgebrauch ständig verwendet, ohne sich bis ins letzte Detail Gedanken über den Begriff selbst zu machen. Mitunter braucht man es dann doch genauer und es stellen sich Fragen, die gar nicht so einfach zu beantworten sind:

#Was ist eigentlich eine natürliche Zahl?
#Was ist ein Bruch, was ist eine Bruchzahl, was ist eine gebrochene Zahl und ist das eigentlich alles dasselbe?
#Was ist eine Richtung?
#Was ist der Richtungssinn?
#Meint 3. und 4. dasselbe?
#Was ist ein Pfeil und was sind Pfeilklassen?

Man kann eine ganze Zeit lang Mathematik betreiben, ohne obige Fragen explizit zu beantworten:

# Natürliche Zahlen kennt doch jedes Kind, es sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 usw., sie sind offenbar gottgegeben.
# Was interessiert es mich, ob es Bruch, gebrochene Zahl oder Bruchzahl heißt, wenn ich etwa <math>\frac{3}{5} + \frac{7}{12}</math> rechnen soll, dann rechne ich halt <math>\frac{36}{60} +\frac{35}{60}</math> und erhalte<math>\frac{71}{60}</math>.
:3. bis 6.
{| class="wikitable"
|-
|[[Bild:Vektorrechnung_01.svg|200px]] || Was interessiert es mich, ob es Pfeil oder Pfeilklasse heißt, wenn ich etwa <math>\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD}</math> bestimmen soll, dann rechne ich halt <math>\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE}</math> und erhalte <math>\overrightarrow {AE}</math>
|}

Irgendwie bleibt bei näherer Betrachtung der Dinge jedoch ein wenig Unsicherheit, die, je mehr man darüber nachdenkt, immer stärker wird:
Wir haben nicht wirklich die Brüche <math>\frac{3}{5}</math> und <math>\frac{7}{12}</math> addiert, sondern die Brüche <math>\frac{36}{60}</math> und <math>\frac{35}{60}</math>. Irgendwie ist das sicherlich dasselbe, irgendwie aber auch nicht: <math>\frac{3}{5}</math> einer Pizza sind wunderschöne Stücke (Schließlich hat m.g. 10 Jahre das Rezept für seinen Teig optimiert.). <math>\frac{36}{60}</math> derselben Pizza ist Matsch und nicht wirklich genießbar (eventuell noch für zahnlose Hunde).

Irgendwie passt es schon, dass wir anstelle von <math>\overrightarrow {CD}</math> <math>\overrightarrow {BE}</math> zu <math>\overrightarrow {AB}</math> addiert haben. Bei näherer Betrachtung ist der Pfeil <math>\overrightarrow {BE}</math> aber auch ein von <math>\overrightarrow {CD}</math> verschiedener Pfeil unserer Ebene.

Dieses ''Irgendwie'' und ''passt schon'' sollten wir präzieren. Zentraler Punkt dieser Präzisierung sind die Begriffe ''Äquivalenzrelation'' und ''Klasseneinteilung''.

== Klasseneinteilungen ==

=== Beispiele und Gegenbeispiele ===

==== Kleine Bemerkung aus didaktischer Sicht zur Erarbeitung des Begriffs Klasseneinteilung====
Die Ausbildung von Lehrern an einer Hochschule oder Universität läuft häufig Gefahr, sich selbst ad absurdum zu führen. Auf der einen Seite fordert man vom zukünftigen Lehrer, dass dieser sich im Praktikum seines didaktischen Know-How's bedienen möge, während man in den eigenen Lehrveranstaltungen den didaktischen Aspekt stark vernachlässigt.
Nun wird es rein aus Zeitgründen nicht immer möglich sein, sich in einer Hoschschullehrveranstaltung der Methoden eines Unterricht allgeinbildender Schulen zu bedienen, zumindest exemplarisch sollte es jedoch möglich sein, den stark dozierenden Stil der Hochschullehrveranstaltung zu durchbrechen.
Hier und jetzt wollen wir dieses tun:
Der Begriff der Klasseneinteilung soll induktiv erarbeitet werden. Hierzu werden wir verschiedene Beispiele und prägnante Gegenbeispiele bezüglich des Begriffes der Klasseneinteilung untersuchen um dann die Idee des Begriffs ''Klasseneinteilung'' herauszuarbeiten.

==== Ein Beispiel für eine Klasseneinteilung ====
Die übliche morgendliche Hektik an der „Maier-Vorwiesener“ Grund- und Hauptschule:
Frau Schulze-Mackenroth zog es für heute vor, ihr Burnout-Syndrom mit Tannenzäpfle und Ouzo zu pflegen, weshalb sie sich kurz vor knapp bei Rektor Pollenwein telefonisch krank gemeldet hat.
In ihrer Grundschulklasse geht es derweilen drunter und drüber. Xulio-Dävid hat seine überforderte, allein erziehende Mutter ausgetrickst und das Methylphenidat nicht genommen. Jetzt lässt er seine ADHS hemmungslos an seinen Klassenkameraden aus.

Zu Hause bei Lehrer Steiner gab es ein weiteres mal Stress wegen der jungen blonden Referendarin, die Steiner betreut. Er flüchtet deshalb und kommt eine Stunde früher. Erleichtert sieht ihn Rektor Gendarm beim Anmarsch auf die Schule. Aus dem Rektoratsfenster ruft er Steiner zu: „Du musst ganz schnell in die Klasse von Xulio-Dävid. Es brennt mal wieder!“

Damit ist eindeutig geklärt, in welche Klasse Herr Steiner gehen muss. Rein formal hätte Rektor Gendarm natürlich auch die Namen von anderen Schülern nennen können, die mit Xulio-Dävid in dieselbe Klasse gehen. An der klassischen Grund- und Hauptschule geht jeder Schüler in genau eine Klasse. Ihre Klassen sind ein Beispiel dafür, was der Mathematiker unter einer Klasseneinteilung versteht.

==== Ein Gegenbeispiel für den Begriff der Klasseneinteilung ====
10 Jahre ist Sportsfreund Holzkugel nun Vorsitzender des örtlichen Kegelvereins. Es waren bewegte 10 Jahre. Vor 5 Jahren gelang ihm das, woran schon viele Vorsitzende des Vereins scheiterten: Die Öffnung des Vereins für den Bowlingsport. Die Gegner des Bowling verwiesen immer wieder auf den Namen des Vereins: "Alle Neune Wilhelmsfeld". Schließlich konnte man sich aber doch auf eine Umbennung in "Gut Holz Wilhelmsfeld" einigen, was die Gründung der Sektion Bowling ermöglichte. Heute gehört <math>\frac {1}{3}</math> aller Mitglieder von "Gut Holz Wilhelmsfeld" sowohl der Sektion Kegeln als auch der Sektion Bowling an. Die beiden Sektionen bilden damit keine Klasseneinteilung des Vereins "Gut Holz Wilhelmsfeld".

==== Identifizieren von Klasseneinteilungen ====
<quiz>
{ Setzen Sie ein Häckchen, wenn es sich nach Ihrer Meinung um eine Klasseneinteilung der angegebenen Grundmenge handelt.}
- Einteilung der Menge aller Dreiecke in gleichseitige, gleichschenklige und in Dreiecke bei denen keine zwei Seiten gleichlang sind.
|| Ein gleichseitiges Dreieck ist gleichzeitig ein gleichschenklig.
+ Einteilung der Menge aller Vierecke in konvexe und konkave Vierecke.
|| Ein beliebiges Viereck ist entweder konvex oder nicht konvex und damit konkav. Es gibt kein Viereck, das weder konvex noch konkav ist. Die Menge aller Vierecke wird damit in genau zwei Klassen eingeteilt. Die eine Menge ist die Menge aller konvexen Vierecke, die andere Menge ist die Menge aller nicht konvexen und damit konkaven Vierecke.
+ Unter <math>\mathcal{M}</math> wollen wir die Menge aller Mengen ohne die leere Menge verstehen. Wir teilen <math>\mathcal{M}</math> nun in unendlich viele Teilmengen ein:<math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ M_4,\ ...,\ M_n,\ ... </math>, wobei wir unter <math>M_1\ </math> die Menge aller Mengen mit genau einem Element, unter <math>M_2\ </math> die Menge aller Mengen mit genau zwei Elementen, unter <math>M_n\ </math> die Menge aller Mengen mit genau n Elementen etc. verstehen wollen.
||Jede Menge (außer der leeren Menge) gehört zu genau einer der Teilmengen von <math>\mathcal{M}</math>. Alle Teilmengen vereinigt bilden die Menge <math>\mathcal{M}</math>.
- Herr Markwitz ist Rektor der Wiesengrund-Hauptschule. Früher war die Wiesengrund-Hauptschule zweizügig. Es gibt damit die Klassen 6a, 6b, 7a, 7b, 8a, 8b, 9a und 9b. Im Schuljahr 2009/2010 reichte es dann nicht mehr. Eigentlich dürfte es nur die Klasse 5a geben. In diese Klasse gehen auch alle Schüler des entsprechenden Jahrgangs. Um den Fortbestand seiner Schule zu sichern, greift Rektor Markwitz zu einem Trick. Er führt fiktiv die Klasse 5b, die allerdings keine Schüler hat.
|| Das konnten Sie noch nicht wissen: sollen die Teilmengen einer Menge eine Klasseneinteilung der Grundmenge bilden, do darf keine der Teilmengen leer sein. Läßt Herr Markwitz die fiktive Klasse weg, so hat er natürlich wieder eine saubere Einteilung der Menge aller Schüler seiner Schule in Klassen.

</quiz>

=== Definition des Begriffs Klasseneinteilung ===
Definition: (Klasseneinteilung eine Menge)
::Es sei <math>M</math> eine Menge und <math>K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>M</math>.
::<math>K</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>M</math>, wenn

:# notwendige Bedingung 1: Jedes a Element M ist nur in einer Teilmenge von K enthalten (ich weiß leider nicht wo die ganzen kleinen math. Zeichen wie "Element" oder so sind)
:# notwendige Bedingung 2: Wieder mit Worten: Die Mächtigkeit jeder Teilmenge T_a Element K ist größer null
:# notwendige Bedingung 3: Die Menge K muss echte Teilmenge von M sein, ansonsten wäre K = M und somit keine Klasseneinteilung 
--[[Benutzer:HecklF|HecklF]] 21:47, 25. Apr. 2011 (CEST)
 
mh, weitere Vorschläge, Änderungen...--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:55, 25. Apr. 2011 (CEST)

Ist Punkt 3 nicht falsch (bzw. da es eine Definition ist nicht sinnvoll) ? müsste es nicht heißen:

Die Vereinigungsmenge von T_i = M ( i = 1, 2, 3,.., n, ...)
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 20:24, 7. Mai 2011 (CEST)

== Relationen ==

=== Beispiele ===

==== Halt dich senkrecht====

[[File:Flag of Switzerland (Pantone).svg|thumb|Flag of Switzerland (Pantone)]] 
Im Schulpraktikum war der Begriff der Senkrechten zu behandeln. Der Praktikant hatte ein Bild der Schweizer Nationalflagge auf eine Folie gedruckt und fragte die Schüler, welche Linien Senkrechte wären. Bei den Schülern stellte sich nach den ersten Antworten leichte Unsicherheit ein. Der Grund für diese Unsicherheit: Die Frage des Praktikanten war völlig unsinnig. Eine Antwort wie ''Gerade <math>a</math> steht senkrecht'' ist lediglich eine Aussageform, der kein Wahrheitswert zuzuordnen ist. Erst wenn man die Lage von <math>a</math> bezüglich einer anderen Geraden <math>b</math> (Ebene, Strahl, Strecke) betrachtet, ist es sinnvoll davon zu sprechen, dass <math>a</math> eine Senkrechte ist. '''Die Relation Gerade <math>a</math> steht senkrecht auf Gerade <math>b</math> ist zweistellig.'''

====Eine klassische Dreiecksbeziehung====
Tom ist der Liebhaber von Gabi. Zu der Ehre der Liebhabereigenschaft kommt er durch die Existenz von Frank, dem Ehemann von Gabi. Tom, Gabi und Frank stehen in einer dreistelligen Relation zueinander, der klassischen Dreiecksbeziehung. Wir könnten diese Relation auch so formulieren: Gabi steht zwischen zwei Männern.
==== Beispiel 3 ====
Trauen Sie sich: Präsentieren Sie hier ein eigenes Beispiel.

Gabi, Hans und Karl - Theodor sind Halbgeschwister. Sie sind alle die Kinder vom Gärtner.

==== Beispiel 4====
Trauen Sie sich: Präsentieren Sie hier ein eigenes Beispiel.
==== Ein Quiz zwischendurch ====
<quiz>
{Setzen Sie ein Häckchen, wenn es sich um eine zweistellige Relation handelt}
+ Eine Ebene <math>\alpha</math> steht senkrecht zu einer Ebene <math>\beta</math>.
|| klar, wie bei Beispiel 1 für Geraden
- Der Punkt <math>B</math> liegt zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>C</math>.
|| dreistellig
+ Von zwei Punkten ein und derselben Geraden liegt einer vor dem anderen.
|| Jetzt werden nur zwei Punkte verglichen.
</quiz>
=== Die Idee der Relation aus abstrakter Sicht ===

====Jeder mit Jeder?====
Von Anfang an war Kommissar Schätzerle dieses Dorf, dass man weder dem Ländle noch dem Nachbarn Bayern so recht zuordnen kann, nicht ganz geheuer gewesen. Ist nun der schöne Anton der Vater von der Lisa oder doch Stavros, der Grieche, der irgendwann im Dorf auftauchte und seitdem bei der feschen Wirtin wohnt. Wer ist eigentlich der Vater vom Klaus, den man hier immer noch politisch unkorrekt den Dorfdeppen nennt. Und was ist mit Dorothea, deren Zeugung mit Sicherheit nicht die unbefleckte Empfängnis war, alle im Dorf aber so tun, als wenn es so gewesen wäre. Eins wurde Schätzerle immer klarer: Er konnte den aktuellen Fall nur lösen, indem er alle Vaterschaften des Ortes gnadenlos aufklärte. An die DNS aller in Frage kommender Männer heranzukommen war leicht. Ein abendlicher Besuch bei der feschen Wirtin reichte aus. Schwieriger war es bei den Kindern. Um das Gerichtsverfahren nicht zu gefährden, sei dem Chronisten diesbezügliches Stillschweigen gestattet. Wie auch immer, irgendwann hatte sich Schätzerle auch die noch fehlende DNS von Maria besorgt und schickte alles den Kollegen in Stuttgart zum Zwecke des DNA-Abgleichs. Mit der Bitte um Kennzeichnung jeweiliger Vaterschaften durch ein Ausrufezeichen schickte er die folgende tabellarische Übersicht mit: 

{| class="wikitable center"
|-
!
! der schöne Anton
! Stavros, der Grieche
! der Pfarrer
! der Gärtner
|-
| Lisa
| ?
| ?
| ?
| ?
|-
| Klaus
| ?
| ?
| ?
| ?
|-
| Dorothea
| ?
| ?
| ?
| ?
|-
| Maria
| ?
| ?
| ?
| ?
|-
| Karl - Theodor
| ?
| ?
| ?
| ?
|-
| Hans
| ?
| ?
| ?
| ?
|}
Das LKA Stuttgart schickte die Tabelle in folgender Form zurück:
{| class="wikitable center"
|-
!
! der schöne Anton
! Stavros, der Grieche
! der Pfarrer
! der Gärtner
|-
| Lisa
| ?
| ?
| ?
| '''!'''
|-
| Klaus
| '''!'''
| ?
| ?
| ?
|-
| Dorothea
| ?
| ?
| '''!'''
| ?
|-
| Maria
| ?
| '''!'''
| ?
| ?
|-
| Karl - Theodor
| ?
| ?
| ?
| '''!'''
|-
| Hans
| ?
| ?
| ?
| '''!'''
|}
Der einzige, der sich über das Ergebnis aus Stuttgart freute, war der schöne Anton. Es hielt sich nämlich hartnäckig das Gerücht, dass der Anton zwar recht nett anzusehen sei, andererseits aber struntzdumm und vom Gebrauch der Anabolika, naja sie wissen schon ... .
Für Schätzerle wurde allerdings klar: Der Mörder war wieder der Gärtner.
[[Bild:060520111038.jpg|800px]] 
Alle geordneten Paare: (potentieller Vater, potentielles Kind) aus den Veranstaltungen vom 6.5.11. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 11:52, 7. Mai 2011 (CEST)
[[Bild:060520111040.jpg|800px]] 
Nach dem DNA-Abgleich: Alle geordneten Paare (Vater, leibliches Kind) wurden aus dem obigen Kreuzprodukt herausgenommen. Also: Die Relation ''<math>\ R</math>: v ist Vater von k'' repräsentiert sich als eine Menge von geordneten Paaren aus dem Kreuzprodukt <math>V \times K</math>. Anders ausgedrückt: <math>R \subseteq V \times K</math>

==== Du hast den Farbfilm vergessen ... ====
Wir wollen davon ausgehen, dass Sie diesen Text an einem Computermonitor <math>M</math> lesen. Ferner möge es sich bei <math>M</math> um einen Monitor handeln, der <math>\quad 256^3=16.777.216</math> verschiedene Farben darstellen kann. Weil Bilder, für deren Darstellung auf dem Bildschirm <math>16.777.216</math> verschiedene Farben zur Verfügung stehen, recht natürlich auf das menschliche Auge wirken, bezeichnet man die Farbtiefe von <math>256^3</math> Farben auch als ''True Color''.
Da das Display von <math>M</math> selbst leuchtet, erfolgt die Farbdarstellung auf ihm entsprechend des Prinzips der ''additiven Farbmischung'': Die Farbe eines jeden Pixels wird durch das Mischen der drei Grundfarben ''Rot'', ''Grün'' und ''Blau'' generiert (RGB).
Für jede der drei Farben stehen jeweils 256 verschiedene Farbtiefen zur Verfügung, d.h. im Farbraum von <math>M</math> gibt es 256 verschiedene Rottöne, 256 verschiedene Grüntöne und schließlich 256 verschiedene Blautöne. Jeder der Farbtöne wird durch eine natürliche Zahl <math>f</math> mit <math>0 \le f \le 255</math> codiert. Der Code einer beliebigen Farbe des Farbraumes von <math> M </math> ist damit ein geordnetes Tripel <math> \left( f_r, f_g, f_b \right) </math>, wobei <math> f_r, \quad f_g </math> und <math> \quad f_b </math> jeweils natürliche Zahlen zwischen <math>\quad 0</math> und <math> \quad 255 </math> sind und die jeweilige Farbtiefe der Grundfarben Rot, Grün und Blau codieren.

<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/flashz/Farbregler_01.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe>

Aus der abstrakten Sicht des Mathematikers ist unser RGB-Farbraum das Kreuzprodukt <math> \ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}</math>, wobei unter <math> \mathcal{F}</math> die Menge der natürlichen Zahlen von 0 bis 255 zu verstehen ist.

Nun möge es sich zugetragen haben, dass wir des Auftrages zur Generierung eines computergestützten Videos anheischig wurden. Als Auftraggeber zeichnet niemand geringeres als Nina Hagen zuständig. Zum 56. Geburtstag der Punk-Diva soll ''Du hast den Farbfilm vergessen (mein Michael)'' als Video fröhliche Urständ feiern.

Was liegt bei dem Titel ''Du hast den Farbfilm vergessen'' näher, als ein Video in Schwarz/Weiß oder genauer ausgedrückt ein Video , das nur Grautöne verwendet. Der RGB-Farbraum enthält auch Grautöne. Diesbezüglich definieren wir uns eine dreistellige Relation mit dem Namen <math>\ grau</math> auf der Menge aller geordneten Tripel aus <math> \ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}</math>: Die Komponenten <math> f_r, \quad f_g </math> und <math> \quad f_b </math> eines Tripels <math> \left( f_r, f_g, f_b \right) </math> mögen genau dann in der Relation <math>\ grau</math> zueinander stehen, wenn das Tripel <math> \left( f_r, f_g, f_b \right) </math> der Code für einen Grauwert ist.

Es wäre interessant zu untersuchen, welche Tripel aus <math> \ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}</math> so beschaffen sind, dass ihre jeweiligen Komponenten in der Relation <math>\ grau</math> zueinander stehen. Bei dieser Formulierung bricht man sich fast die Zunge. Formulieren wir doch einfacher: Wir wollen untersuchen, welche geordneten Tripel aus <math> \ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}</math> zur Relation <math>\ grau</math> gehören.

Für diese Untersuchung stellen wir uns ausnahmsweise ganz dumm und gehen mittels einer ''Brutal Force''- Methode vor:
Beginnend mit dem Tripel <math> \ (0, 0, 0) </math> danach die Tripel <math> \ (0, 0, 1) </math> und <math> \ (0, 0, 2) </math> testend probieren wir systematisch alle <math>256^3</math> Tripel bis zum Tripel <math> \ (255, 255, 255) </math> aus, ob sie der Code für einen Grauwert sind oder nicht, bzw. zu unserer Relation <math>\ grau</math> gehören oder nicht. Aus allen potentiell möglichen Tripeln haben wir die Tripel herausgesucht, die zu unserer Relation <math>\ grau</math> gehören. Anders ausgedrückt: Auf der Suche nach allen geordneten Tripeln, die einen Grauwert codieren, haben wir eine Teilmenge unserer Grundmenge <math> \ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}</math> gebildet. Diese Teilmenge ist letztlich unsere Relation.

Die Untersuchungen ergaben (Der Leser überzeuge sich mittels [http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Lehre/Medieninformatik/Bildbearbeitung/excel/farbumrechnung.xls].), dass immer dann ein Grauwert codiert wird, wenn die Komponenten des geordneten Tripels <math> \left( f_r, f_g, f_b \right) </math> identisch sind: <math> \ (0, 0, 0) </math>, <math> \ (1, 1, 1) </math>, ..., <math> \ (255, 255, 255) </math>. Unsere Relation <math>\ grau</math> ist damit eine Teilmenge aus <math> \ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}</math>, die 256 geordnete Tripel enthält. 

<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/flashz/Farbregler_grau.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe>
 

Als Quintessenz unserer Überlegungen können wir unser Relation <math>\ grau</math> wie folgt präzisieren:

# Definition: (<math>\ grau</math>) <math> grau := \left\{ \left( f_r, f_g, f_b \right)|\left( f_r, f_g, f_b \right)\in \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F} \wedge f_r=f_g=f_b \right\}</math> oder
# Definition: (<math>\ grau</math>) <math>\left( f_r, f_g, f_b \right)\in grau :\Longleftrightarrow \left( f_r, f_g, f_b \right)\in \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F} \wedge f_r=f_g=f_b</math>

==== Alles verstanden? ====
Hier ein kleines Quiz zur Überprüfung Ihres Verständnisses für den Abschnitt mit dem Farbfilm.

Wir legen den folgenden Überlegungen ein kartesisches <math>\ x - y - z-</math>Koordinatensystem zugrunde. Jedem Farbwert <math> \left( f_r, f_g, f_b \right)</math> wird genau ein Punkt <math>\ P</math> des <math>\mathbb{R}^3</math> zugeordnet, wobei die <math>\ x-</math>Koordinate von <math>\ P</math> dem Rotwert <math>\ f_r</math>, die <math>\ y-</math>Koordinate von <math>\ P</math> dem Grünwert <math>\ f_g</math> und die <math>\ z-</math>Koordinate von <math>\ P</math> dem Blauwert <math>\ f_b</math> entsprechen.[http://www.math.hu-berlin.de/~filler/3D/videos/farbwurfel.html] Wir wollen die Menge dieser Punkte als RGB-Farbraum bezeichnen. Alle die Punkte, die einem Grauwert entsprechen, sollen im folgenden die Grauwerte genannt werden.

<quiz>
{Welche der folgenden Aussagen ist richtig?}
- Bezüglich unseres Koordinatensystems ist der RGB-Farbraum ein Würfel <math>\ W </math> mit der Kantenlänge <math>\ 255 LE</math>.
|| Unter einem Würfel würden wir nur die Vereinigungsmenge der Seitenflächen verstehen.
- Bezüglich unseres Koordinatensystems ist der RGB-Farbraum das Innere von <math>\ W </math>.
|| Schon der Würfel und natürlich auch sein Inneres beinhalten unendlich (überabzählbar) viele Punkte. Die <math>\ 256^3</math> Punkte dieser menge, deren Koordinaten natürliche Zahlen zwischen 0 und 255 sind dagegen nur eine endliche Teilmenge der menge der Punkte des Würfelinneren.
+Bezüglich unseres Koordinatensystems liegt der RGB-Farbraum im Inneren von <math>\ W </math>.
|| Nach den Bemerkungen zu den vorangegangenen Fragen dürfte das klar sein.
- Die Grauwerte sind eine Raumdiagonale von <math>\ W </math>.
|| Können 256 Punkte eine Diagonale sein?
+ Die Grauwerte liegen auf der Raumdiagonalen <math>\overline{AG}</math> von <math>\ W </math>, wobei <math>A=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> und <math>G=\begin{pmatrix} 255 \\ 255 \\ 255 \end{pmatrix} </math> gilt.
|| korrekt
- Die Grauwerte liegen auf der Raumdiagonalen <math>\overline{CE}</math> von <math>\ W </math>, wobei <math>C=\begin{pmatrix} 255 \\ 255 \\ 0 \end{pmatrix} </math> und <math>E=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 255 \end{pmatrix} </math> gilt.
|| Da die Endpunkte dieser diagonalen keine Grauwerte repräsentieren ... .
+ Die Relation <math>\ grau</math> aus dem vorangegangenen Abschnitt läßt sich grafisch als eine Menge von Punkten darstellen, die auf der Raumdiagonalen <math>\overline{AG}</math> von <math>\ W </math> liegen.
|| Für diese Erkenntnis wurde dieses Quiz organisiert.
</quiz>
==== Definition des Begriffs der Relation ====
Definition: (n-stellige Relation)
:::Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.

==Äquivalenzrelationen==
===Beispiele===
==== Beispiel 1: „Maier-Vorwiesener“ Grund- und Hauptschule====
Unter 2.1.2 wurde bereits die Einteilung einer traditionellen GHS in Klassen angesprochen.
Auf der Grundlage einer solchen Einteilung der Menge aller Schüler einer Schule in Klassen können wir eine Relation ''A geht mit B in dieselbe Klasse'' definieren:

Definition: Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei Schüler ein und derselben Schule <math>\ S</math> . <math>A \triangle B :=</math> <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gehen in dieselbe Klasse.

Diese Definition erfüllt alle Anforderungen, die an eine sogenannte Äquivalenzrelation gestellt werden:

# <math>\ R</math> ist reflexiv: <math>\forall C \in S: C \triangle C</math>
# <math>\ R</math> ist symmetrisch: <math>\forall A, B \in S: A \triangle B \Rightarrow B \triangle C</math>
# <math>\ R</math> ist transitiv:<math>\forall A, B, C \in S: A \triangle B \land B \triangle C \Rightarrow A \triangle C</math>

Übungsaufgabe: Formulieren Sie 1. bis 3. umgangsprachlicher.

==== Beispiel 2: Parallelität auf der Menge der Geraden der Ebene ====
In der ebenen Geometrie lässt sich die Relation ''Gerade'' <math>\ a</math> ''ist parallel zu Gerade'' <math>\ b</math> (in Zeichen: <math>a \| b</math>) wie folgt definieren:

::<math>a \| b :\Leftrightarrow a \equiv b \lor a \cap b = \emptyset</math>

Übungsaufgabe: Schreiben Sie obige Definition ohne die Verwendung des Tex-Zeichensatzes.

Die Parallelität auf der Menge der Geraden der Ebene ist eine Äquivalenzrelation:

# Jede Gerade der Ebene ist trvialerweise zu sich selbet parallel.
# Wenn eine Gerade <math>\ a</math> zu einer Geraden <math>\ b</math> parallel ist, dann ist auch die Gerade <math>\ b</math> zur Geraden <math>\ a</math> parallel.
# Wenn eine Gerade <math>\ a</math> zur Geraden <math>\ b</math> parallel ist und die Gerade <math>\ b</math> parallel zur Geraden <math>\ c</math> ist, dann ist auch die Gerade <math>\ a</math> zur Geraden <math>\ c</math> parallel.
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