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Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T21:30:26Z

Mahe84: /* Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: */

Im Folgenden eine didaktische Umsetzung, wodurch man dem Schüler eine Möglichkeit bietet, den Satz des Pythagoras eigenständig entdecken und finden zu können.

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeiten? ==

=== Schlechtes Einführungsbeispiel - So sollte man es nicht machen===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck, bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden sind, die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

==== Warum? ====

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der des Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der friss oder stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

Einstiegsproblem:

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus diesem Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
<ggb_applet width="1893" height="861" version="4.2" 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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei dem Hypothenusen - Abschnitt q errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.1.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.1.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben, mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu b² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck beim Hypothenusen-Abschnitt p, das zum Kathetenquadrat über der Seite a flächengleich ist, entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung7.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns: 
1) Ergebnis a²=c*p 
2) Ergebnis b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann: 
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 

=== Starke deduktive Vorgehensweise: ===
Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 

==== Problem? ====
Man hat die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitzt der durchschnittliche Sekundarstufen I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht erarbeitet werden. 
 
Somit ist auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, bei jedem Schüler einen entscheidenden Lernprozess zu initiieren. Dies Findung unterstützt letztendlich den Schüler darin, die einzelnen Zusammenhänge auch verstehen zu können. 
 
=== Einstiegsproblematik: === 
 
[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die beiden Katheten können durch das Gitternetz direkt abgelesen werden, die Hypotenuse allerdings nicht. Wenn man nun kein Geodreieck hätte, gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung zueinader?''' 
 

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkenntnis von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgemeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind nur dann identsich zur Fläche von c², wenn es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a*h/2 + b*h/2 = c*h/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an, dass der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel. Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierungen des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen.
Für die Sekundarstufe I sollte man sich bei Beweisen eher auf der Stufe des Argumentierens bewegen, da man dadurch auch einem schwächeren Schüler eine Einsicht der Allgemeingültigkeit und damit ein "Aha-Erlebnis" ermöglichen kann. 

Deshalb eignen sich in der Sekundarstufe I z.B. die '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung, wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" und somit verbalisiert weden kann: 
 
So gibt es z.B. diese beiden Ergänzungsbeweise, die mit jedem beliebigen rechtwinkligen Dreieck durchgeführt werden können: 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Der Schüler wird argumentieren können:
das die schwarze Fläche: 
 
* einmal aus den beiden Kathetenquadraten + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann 
* einmal aus dem Hypotenusenquadrat + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann. 
--> Der Schüler kann daraus schließen, dass die Flächen der beiden Kathetenquadrate = der Fläche des Hypotenusenquadrates entsprechen. 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T21:15:47Z

Mahe84: /* Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? */

Im Folgenden eine didaktische Umsetzung, wodurch man dem Schüler eine Möglichkeit bietet, den Satz des Pythagoras eigenständig entdecken und finden zu können.

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeiten? ==

=== Schlechtes Einführungsbeispiel - So sollte man es nicht machen===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck, bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden sind, die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

==== Warum? ====

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der des Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der friss oder stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

Einstiegsproblem:

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus diesem Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
<ggb_applet width="1893" height="861" version="4.2" 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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei dem Hypothenusen - Abschnitt q errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.1.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.1.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben, mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu b² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck beim Hypothenusen-Abschnitt p, das zum Kathetenquadrat über der Seite a flächengleich ist, entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung7.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns: 
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann: 
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 

=== Starke deduktive Vorgehensweise: ===
Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 

==== Problem? ====
Man hat die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitzt der durchschnittliche Sekundarstufen I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht erarbeitet werden. 
 
Somit ist auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, bei jedem Schüler einen entscheidenden Lernprozess zu initiieren. Dies Findung unterstützt letztendlich den Schüler darin, die einzelnen Zusammenhänge auch verstehen zu können. 
 
=== Einstiegsproblematik: === 
 
[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die beiden Katheten können durch das Gitternetz direkt abgelesen werden, die Hypotenuse allerdings nicht. Wenn man nun kein Geodreieck hätte, gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung zueinader?''' 
 

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkenntnis von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgemeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind nur dann identsich zur Fläche von c², wenn es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a*h/2 + b*h/2 = c*h/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an, dass der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel. Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierungen des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen.
Für die Sekundarstufe I sollte man sich bei Beweisen eher auf der Stufe des Argumentierens bewegen, da man dadurch auch einem schwächeren Schüler eine Einsicht der Allgemeingültigkeit und damit ein "Aha-Erlebnis" ermöglichen kann. 

Deshalb eignen sich in der Sekundarstufe I z.B. die '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung, wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" und somit verbalisiert weden kann: 
 
So gibt es z.B. diese beiden Ergänzungsbeweise, die mit jedem beliebigen rechtwinkligen Dreieck durchgeführt werden können: 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Der Schüler wird argumentieren können:
das die schwarze Fläche: 
 
* einmal aus den beiden Kathetenquadraten + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann 
* einmal aus dem Hypotenusenquadrat + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann. 
--> Der Schüler kann daraus schließen, dass die Flächen der beiden Kathetenquadrate = der Fläche des Hypotenusenquadrates entsprechen. 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T21:15:11Z

Mahe84: /* Der Beweis: */

Im Folgenden eine didaktische Umsetzung, wodurch man dem Schüler eine Möglichkeit bietet, den Satz des Pythagoras eigenständig entdecken und finden zu können.

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ==

=== Schlechtes Einführungsbeispiel - So sollte man es nicht machen===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck, bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden sind, die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

==== Warum? ====

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der des Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der friss oder stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

Einstiegsproblem:

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus diesem Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
<ggb_applet width="1893" height="861" version="4.2" 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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei dem Hypothenusen - Abschnitt q errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.1.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.1.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben, mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu b² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck beim Hypothenusen-Abschnitt p, das zum Kathetenquadrat über der Seite a flächengleich ist, entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung7.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns: 
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann: 
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 

=== Starke deduktive Vorgehensweise: ===
Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 

==== Problem? ====
Man hat die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitzt der durchschnittliche Sekundarstufen I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht erarbeitet werden. 
 
Somit ist auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, bei jedem Schüler einen entscheidenden Lernprozess zu initiieren. Dies Findung unterstützt letztendlich den Schüler darin, die einzelnen Zusammenhänge auch verstehen zu können. 
 
=== Einstiegsproblematik: === 
 
[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die beiden Katheten können durch das Gitternetz direkt abgelesen werden, die Hypotenuse allerdings nicht. Wenn man nun kein Geodreieck hätte, gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung zueinader?''' 
 

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkenntnis von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgemeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind nur dann identsich zur Fläche von c², wenn es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a*h/2 + b*h/2 = c*h/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an, dass der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel. Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierungen des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen.
Für die Sekundarstufe I sollte man sich bei Beweisen eher auf der Stufe des Argumentierens bewegen, da man dadurch auch einem schwächeren Schüler eine Einsicht der Allgemeingültigkeit und damit ein "Aha-Erlebnis" ermöglichen kann. 

Deshalb eignen sich in der Sekundarstufe I z.B. die '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung, wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" und somit verbalisiert weden kann: 
 
So gibt es z.B. diese beiden Ergänzungsbeweise, die mit jedem beliebigen rechtwinkligen Dreieck durchgeführt werden können: 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Der Schüler wird argumentieren können:
das die schwarze Fläche: 
 
* einmal aus den beiden Kathetenquadraten + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann 
* einmal aus dem Hypotenusenquadrat + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann. 
--> Der Schüler kann daraus schließen, dass die Flächen der beiden Kathetenquadrate = der Fläche des Hypotenusenquadrates entsprechen. 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T21:13:03Z

Mahe84: /* Arbeiten am und mit dem Satz: */

Im Folgenden eine didaktische Umsetzung, wodurch man dem Schüler eine Möglichkeit bietet, den Satz des Pythagoras eigenständig entdecken und finden zu können.

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ==

=== Schlechtes Einführungsbeispiel - So sollte man es nicht machen===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck, bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden sind, die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

==== Warum? ====

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der des Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der friss oder stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

Einstiegsproblem:

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus diesem Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
<ggb_applet width="1893" height="861" version="4.2" 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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei dem Hypothenusen - Abschnitt q errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.1.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.1.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben, mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu b² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck beim Hypothenusen-Abschnitt p, das zum Kathetenquadrat über der Seite a flächengleich ist, entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung7.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns: 
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann: 
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 

=== Starke deduktive Vorgehensweise: ===
Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 

==== Problem? ====
Man hat die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitzt der durchschnittliche Sekundarstufen I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht erarbeitet werden. 
 
Somit ist auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, bei jedem Schüler einen entscheidenden Lernprozess zu initiieren. Dies Findung unterstützt letztendlich den Schüler darin, die einzelnen Zusammenhänge auch verstehen zu können. 
 
=== Einstiegsproblematik: === 
 
[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die beiden Katheten können durch das Gitternetz direkt abgelesen werden, die Hypotenuse allerdings nicht. Wenn man nun kein Geodreieck hätte, gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung zueinader?''' 
 

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkenntnis von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgemeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind nur dann identsich zur Fläche von c², wenn es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a*h/2 + b*h/2 = c*h/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an, dass der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel. Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierungen des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen.
Für die Sekundarstufe I sollte man sich bei Beweisen eher auf der Stufe des Argumentierens bewegen, da man dadurch auch einem schwächeren Schüler eine Einsicht der Allgemeingültigkeit und damit ein "Aha-Erlebnis" ermöglichen kann. 

Deshalb eignen sich in der Sekundarstufe I z.B. die '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" und somit verbalisiert weden kann: 
 
So gibt es z.b. diese beiden Ergänzungsbeweise, die mit jedem beliebigen rechtwinkligen Dreieck durchgeführt werden können: 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Der Schüler wird argumentieren können:
das die schwarze Fläche: 
 
* einmal aus den beiden Kathetenquadraten + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann 
* einmal aus dem Hypotenusenquadrat + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann. 
--> Der Schüler kann daraus schließen, dass die Flächen der beiden Kathetenquadrate = der Fläche des Hypotenusenquadrates entsprechen. 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T21:09:59Z

Mahe84: /* Funktionale Betrachtung */

Im Folgenden eine didaktische Umsetzung, wodurch man dem Schüler eine Möglichkeit bietet, den Satz des Pythagoras eigenständig entdecken und finden zu können.

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ==

=== Schlechtes Einführungsbeispiel - So sollte man es nicht machen===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck, bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden sind, die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

==== Warum? ====

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der des Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der friss oder stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

Einstiegsproblem:

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus diesem Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
<ggb_applet width="1893" height="861" version="4.2" 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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei dem Hypothenusen - Abschnitt q errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.1.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.1.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben, mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu b² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck beim Hypothenusen-Abschnitt p, das zum Kathetenquadrat über der Seite a flächengleich ist, entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung7.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns: 
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann: 
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 

=== Starke deduktive Vorgehensweise: ===
Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 

==== Problem? ====
Man hat die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitzt der durchschnittliche Sekundarstufen I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht erarbeitet werden. 
 
Somit ist auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, bei jedem Schüler einen entscheidenden Lernprozess zu initiieren. Dies Findung unterstützt letztendlich den Schüler darin, die einzelnen Zusammenhänge auch verstehen zu können. 
 
=== Einstiegsproblematik: === 
 
[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die beiden Katheten können durch das Gitternetz direkt abgelesen werden, die Hypotenuse allerdings nicht. Wenn man nun kein Geodreieck hätte, gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung zueinader?''' 
 

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkenntnis von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgemeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind nur dann identsich zur Fläche von c², wenn es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a*h/2 + b*h/2 = c*h/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen.
Für die Sekundarstufe I sollte man sich bei Beweisen eher auf der Stufe des Argumentierens bewegen, da man dadurch auch einem schwächeren Schüler eine Einsicht der Allgemeingültigkeit und damit ein "Aha-Erlebnis" ermöglichen kann. 

Deshalb eignen sich in der Sekundarstufe I z.B. die '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" und somit verbalisiert weden kann: 
 
So gibt es z.b. diese beiden Ergänzungsbeweise, die mit jedem beliebigen rechtwinkligen Dreieck durchgeführt werden können: 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Der Schüler wird argumentieren können:
das die schwarze Fläche: 
 
* einmal aus den beiden Kathetenquadraten + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann 
* einmal aus dem Hypotenusenquadrat + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann. 
--> Der Schüler kann daraus schließen, dass die Flächen der beiden Kathetenquadrate = der Fläche des Hypotenusenquadrates entsprechen. 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T21:07:16Z

Mahe84: /* Einstiegsproblematik: */

Im Folgenden eine didaktische Umsetzung, wodurch man dem Schüler eine Möglichkeit bietet, den Satz des Pythagoras eigenständig entdecken und finden zu können.

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ==

=== Schlechtes Einführungsbeispiel - So sollte man es nicht machen===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck, bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden sind, die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

==== Warum? ====

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der des Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der friss oder stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

Einstiegsproblem:

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus diesem Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
<ggb_applet width="1893" height="861" version="4.2" 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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei dem Hypothenusen - Abschnitt q errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.1.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.1.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben, mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu b² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck beim Hypothenusen-Abschnitt p, das zum Kathetenquadrat über der Seite a flächengleich ist, entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung7.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns: 
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann: 
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 

=== Starke deduktive Vorgehensweise: ===
Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 

==== Problem? ====
Man hat die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitzt der durchschnittliche Sekundarstufen I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht erarbeitet werden. 
 
Somit ist auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, bei jedem Schüler einen entscheidenden Lernprozess zu initiieren. Dies Findung unterstützt letztendlich den Schüler darin, die einzelnen Zusammenhänge auch verstehen zu können. 
 
=== Einstiegsproblematik: === 
 
[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die beiden Katheten können durch das Gitternetz direkt abgelesen werden, die Hypotenuse allerdings nicht. Wenn man nun kein Geodreieck hätte, gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung zueinader?''' 
 

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentnis von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgemeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind nur dann identsich zur Fläche von c², wenn es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a*h/2 + b*h/2 = c*h/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen.
Für die Sekundarstufe I sollte man sich bei Beweisen eher auf der Stufe des Argumentierens bewegen, da man dadurch auch einem schwächeren Schüler eine Einsicht der Allgemeingültigkeit und damit ein "Aha-Erlebnis" ermöglichen kann. 

Deshalb eignen sich in der Sekundarstufe I z.B. die '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" und somit verbalisiert weden kann: 
 
So gibt es z.b. diese beiden Ergänzungsbeweise, die mit jedem beliebigen rechtwinkligen Dreieck durchgeführt werden können: 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Der Schüler wird argumentieren können:
das die schwarze Fläche: 
 
* einmal aus den beiden Kathetenquadraten + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann 
* einmal aus dem Hypotenusenquadrat + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann. 
--> Der Schüler kann daraus schließen, dass die Flächen der beiden Kathetenquadrate = der Fläche des Hypotenusenquadrates entsprechen. 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T21:04:58Z

Mahe84: /* Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: */

Im Folgenden eine didaktische Umsetzung, wodurch man dem Schüler eine Möglichkeit bietet, den Satz des Pythagoras eigenständig entdecken und finden zu können.

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ==

=== Schlechtes Einführungsbeispiel - So sollte man es nicht machen===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck, bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden sind, die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

==== Warum? ====

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der des Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der friss oder stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

Einstiegsproblem:

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus diesem Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
<ggb_applet width="1893" height="861" version="4.2" 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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei dem Hypothenusen - Abschnitt q errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.1.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.1.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben, mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu b² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck beim Hypothenusen-Abschnitt p, das zum Kathetenquadrat über der Seite a flächengleich ist, entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung7.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns: 
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann: 
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 

=== Starke deduktive Vorgehensweise: ===
Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 

==== Problem? ====
Man hat die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitzt der durchschnittliche Sekundarstufen I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht erarbeitet werden. 
 
Somit ist auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

=== Einstiegsproblematik: ===

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, bei jedem Schüler einen entscheidenden Lernprozess zu initiieren. Dies Findung unterstützt letztendlich den Schüler darin, die einzelnen Zusammenhänge auch verstehen zu können.

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten beiden Katheten können durch das Karomuster direkt abgelesen werden, die Hypotenuse allerdings nicht. Wenn man nun kein Geodreieck hätte, gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentnis von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgemeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind nur dann identsich zur Fläche von c², wenn es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a*h/2 + b*h/2 = c*h/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen.
Für die Sekundarstufe I sollte man sich bei Beweisen eher auf der Stufe des Argumentierens bewegen, da man dadurch auch einem schwächeren Schüler eine Einsicht der Allgemeingültigkeit und damit ein "Aha-Erlebnis" ermöglichen kann. 

Deshalb eignen sich in der Sekundarstufe I z.B. die '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" und somit verbalisiert weden kann: 
 
So gibt es z.b. diese beiden Ergänzungsbeweise, die mit jedem beliebigen rechtwinkligen Dreieck durchgeführt werden können: 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Der Schüler wird argumentieren können:
das die schwarze Fläche: 
 
* einmal aus den beiden Kathetenquadraten + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann 
* einmal aus dem Hypotenusenquadrat + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann. 
--> Der Schüler kann daraus schließen, dass die Flächen der beiden Kathetenquadrate = der Fläche des Hypotenusenquadrates entsprechen. 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T21:02:11Z

Mahe84: /* Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: */

Im Folgenden eine didaktische Umsetzung, wodurch man dem Schüler eine Möglichkeit bietet, den Satz des Pythagoras eigenständig entdecken und finden zu können.

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ==

=== Schlechtes Einführungsbeispiel - So sollte man es nicht machen===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck, bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden sind, die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

==== Warum? ====

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der des Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der friss oder stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

Einstiegsproblem:

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus diesem Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
<ggb_applet width="1893" height="861" version="4.2" 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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei dem Hypothenusen - Abschnitt q errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.1.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.1.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben, mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu b² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck beim Hypothenusen-Abschnitt p, das zum Kathetenquadrat über der Seite a flächengleich ist, entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung7.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns: 
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann: 
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 

=== Starke Deduktive Vorgehensweise: ===
Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 

==== Problem? ====
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitzt der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

=== Einstiegsproblematik: ===

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, bei jedem Schüler einen entscheidenden Lernprozess zu initiieren. Dies Findung unterstützt letztendlich den Schüler darin, die einzelnen Zusammenhänge auch verstehen zu können.

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten beiden Katheten können durch das Karomuster direkt abgelesen werden, die Hypotenuse allerdings nicht. Wenn man nun kein Geodreieck hätte, gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentnis von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgemeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind nur dann identsich zur Fläche von c², wenn es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a*h/2 + b*h/2 = c*h/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen.
Für die Sekundarstufe I sollte man sich bei Beweisen eher auf der Stufe des Argumentierens bewegen, da man dadurch auch einem schwächeren Schüler eine Einsicht der Allgemeingültigkeit und damit ein "Aha-Erlebnis" ermöglichen kann. 

Deshalb eignen sich in der Sekundarstufe I z.B. die '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" und somit verbalisiert weden kann: 
 
So gibt es z.b. diese beiden Ergänzungsbeweise, die mit jedem beliebigen rechtwinkligen Dreieck durchgeführt werden können: 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Der Schüler wird argumentieren können:
das die schwarze Fläche: 
 
* einmal aus den beiden Kathetenquadraten + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann 
* einmal aus dem Hypotenusenquadrat + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann. 
--> Der Schüler kann daraus schließen, dass die Flächen der beiden Kathetenquadrate = der Fläche des Hypotenusenquadrates entsprechen. 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T20:58:19Z

Mahe84: /* Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: */

Im Folgenden eine didaktische Umsetzung, wodurch man dem Schüler eine Möglichkeit bietet, den Satz des Pythagoras eigenständig entdecken und finden zu können.

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ==

=== Schlechtes Einführungsbeispiel - So sollte man es nicht machen===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck, bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden sind, die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

==== Warum? ====

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der des Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der friss oder stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

Einstiegsproblem:

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus diesem Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
<ggb_applet width="1893" height="861" version="4.2" 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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei dem Hypothenusen - Abschnitt q errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.1.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.1.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu b² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck beim Hypothenusen-Abschnitt p zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung7.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns: 
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann: 
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 

=== Starke Deduktive Vorgehensweise: ===
Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 

==== Problem? ====
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitzt der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

=== Einstiegsproblematik: ===

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, bei jedem Schüler einen entscheidenden Lernprozess zu initiieren. Dies Findung unterstützt letztendlich den Schüler darin, die einzelnen Zusammenhänge auch verstehen zu können.

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten beiden Katheten können durch das Karomuster direkt abgelesen werden, die Hypotenuse allerdings nicht. Wenn man nun kein Geodreieck hätte, gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentnis von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgemeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind nur dann identsich zur Fläche von c², wenn es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a*h/2 + b*h/2 = c*h/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen.
Für die Sekundarstufe I sollte man sich bei Beweisen eher auf der Stufe des Argumentierens bewegen, da man dadurch auch einem schwächeren Schüler eine Einsicht der Allgemeingültigkeit und damit ein "Aha-Erlebnis" ermöglichen kann. 

Deshalb eignen sich in der Sekundarstufe I z.B. die '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" und somit verbalisiert weden kann: 
 
So gibt es z.b. diese beiden Ergänzungsbeweise, die mit jedem beliebigen rechtwinkligen Dreieck durchgeführt werden können: 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Der Schüler wird argumentieren können:
das die schwarze Fläche: 
 
* einmal aus den beiden Kathetenquadraten + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann 
* einmal aus dem Hypotenusenquadrat + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann. 
--> Der Schüler kann daraus schließen, dass die Flächen der beiden Kathetenquadrate = der Fläche des Hypotenusenquadrates entsprechen. 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T20:57:06Z

Mahe84: /* Warum? */

Im Folgenden eine didaktische Umsetzung, wodurch man dem Schüler eine Möglichkeit bietet, den Satz des Pythagoras eigenständig entdecken und finden zu können.

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ==

=== Schlechtes Einführungsbeispiel - So sollte man es nicht machen===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck, bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden sind, die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

==== Warum? ====

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der des Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der friss oder stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

Einstiegsproblem:

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
<ggb_applet width="1893" height="861" version="4.2" 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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei dem Hypothenusen - Abschnitt q errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.1.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.1.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu b² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck beim Hypothenusen-Abschnitt p zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung7.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns: 
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann: 
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 

=== Starke Deduktive Vorgehensweise: ===
Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 

==== Problem? ====
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitzt der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

=== Einstiegsproblematik: ===

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, bei jedem Schüler einen entscheidenden Lernprozess zu initiieren. Dies Findung unterstützt letztendlich den Schüler darin, die einzelnen Zusammenhänge auch verstehen zu können.

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten beiden Katheten können durch das Karomuster direkt abgelesen werden, die Hypotenuse allerdings nicht. Wenn man nun kein Geodreieck hätte, gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentnis von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgemeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind nur dann identsich zur Fläche von c², wenn es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a*h/2 + b*h/2 = c*h/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen.
Für die Sekundarstufe I sollte man sich bei Beweisen eher auf der Stufe des Argumentierens bewegen, da man dadurch auch einem schwächeren Schüler eine Einsicht der Allgemeingültigkeit und damit ein "Aha-Erlebnis" ermöglichen kann. 

Deshalb eignen sich in der Sekundarstufe I z.B. die '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" und somit verbalisiert weden kann: 
 
So gibt es z.b. diese beiden Ergänzungsbeweise, die mit jedem beliebigen rechtwinkligen Dreieck durchgeführt werden können: 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Der Schüler wird argumentieren können:
das die schwarze Fläche: 
 
* einmal aus den beiden Kathetenquadraten + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann 
* einmal aus dem Hypotenusenquadrat + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann. 
--> Der Schüler kann daraus schließen, dass die Flächen der beiden Kathetenquadrate = der Fläche des Hypotenusenquadrates entsprechen. 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T18:05:43Z

Mahe84: /* Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: */

Im Folgenden eine didaktische Umsetzung, wodurch man dem Schüler eine Möglichkeit bietet, den Satz des Pythagoras eigenständig entdecken und finden zu können.

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ==

=== Schlechtes Einführungsbeispiel - So sollte man es nicht machen===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck, bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden sind, die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

==== Warum? ====

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

Einstiegsproblem:

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
<ggb_applet width="1893" height="861" version="4.2" 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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei dem Hypothenusen - Abschnitt q errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.1.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.1.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu b² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck beim Hypothenusen-Abschnitt p zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung7.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns: 
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann: 
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 

=== Starke Deduktive Vorgehensweise: ===
Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 

==== Problem? ====
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitzt der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

=== Einstiegsproblematik: ===

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, bei jedem Schüler einen entscheidenden Lernprozess zu initiieren. Dies Findung unterstützt letztendlich den Schüler darin, die einzelnen Zusammenhänge auch verstehen zu können.

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten beiden Katheten können durch das Karomuster direkt abgelesen werden, die Hypotenuse allerdings nicht. Wenn man nun kein Geodreieck hätte, gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentnis von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgemeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind nur dann identsich zur Fläche von c², wenn es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a*h/2 + b*h/2 = c*h/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen.
Für die Sekundarstufe I sollte man sich bei Beweisen eher auf der Stufe des Argumentierens bewegen, da man dadurch auch einem schwächeren Schüler eine Einsicht der Allgemeingültigkeit und damit ein "Aha-Erlebnis" ermöglichen kann. 

Deshalb eignen sich in der Sekundarstufe I z.B. die '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" und somit verbalisiert weden kann: 
 
So gibt es z.b. diese beiden Ergänzungsbeweise, die mit jedem beliebigen rechtwinkligen Dreieck durchgeführt werden können: 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Der Schüler wird argumentieren können:
das die schwarze Fläche: 
 
* einmal aus den beiden Kathetenquadraten + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann 
* einmal aus dem Hypotenusenquadrat + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann. 
--> Der Schüler kann daraus schließen, dass die Flächen der beiden Kathetenquadrate = der Fläche des Hypotenusenquadrates entsprechen. 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T18:02:29Z

Mahe84: /* Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: */

Im Folgenden eine didaktische Umsetzung, wodurch man dem Schüler eine Möglichkeit bietet, den Satz des Pythagoras eigenständig entdecken und finden zu können.

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ==

=== Schlechtes Einführungsbeispiel - So sollte man es nicht machen===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck, bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden sind, die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

==== Warum? ====

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

Einstiegsproblem:

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
<ggb_applet width="1893" height="861" version="4.2" 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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.1.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.1.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu b² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung7.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns: 
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann: 
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 

=== Starke Deduktive Vorgehensweise: ===
Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 

==== Problem? ====
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitzt der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

=== Einstiegsproblematik: ===

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, bei jedem Schüler einen entscheidenden Lernprozess zu initiieren. Dies Findung unterstützt letztendlich den Schüler darin, die einzelnen Zusammenhänge auch verstehen zu können.

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten beiden Katheten können durch das Karomuster direkt abgelesen werden, die Hypotenuse allerdings nicht. Wenn man nun kein Geodreieck hätte, gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentnis von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgemeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind nur dann identsich zur Fläche von c², wenn es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a*h/2 + b*h/2 = c*h/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen.
Für die Sekundarstufe I sollte man sich bei Beweisen eher auf der Stufe des Argumentierens bewegen, da man dadurch auch einem schwächeren Schüler eine Einsicht der Allgemeingültigkeit und damit ein "Aha-Erlebnis" ermöglichen kann. 

Deshalb eignen sich in der Sekundarstufe I z.B. die '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" und somit verbalisiert weden kann: 
 
So gibt es z.b. diese beiden Ergänzungsbeweise, die mit jedem beliebigen rechtwinkligen Dreieck durchgeführt werden können: 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Der Schüler wird argumentieren können:
das die schwarze Fläche: 
 
* einmal aus den beiden Kathetenquadraten + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann 
* einmal aus dem Hypotenusenquadrat + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann. 
--> Der Schüler kann daraus schließen, dass die Flächen der beiden Kathetenquadrate = der Fläche des Hypotenusenquadrates entsprechen. 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Datei:Scherung 5.1.jpg

2013-01-28T18:00:37Z

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Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T17:51:23Z

Mahe84: /* Der Beweis: */

Im Folgenden eine didaktische Umsetzung, wodurch man dem Schüler eine Möglichkeit bietet, den Satz des Pythagoras eigenständig entdecken und finden zu können.

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ==

=== Schlechtes Einführungsbeispiel - So sollte man es nicht machen===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck, bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden sind, die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

==== Warum? ====

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

Einstiegsproblem:

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu b² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung7.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns: 
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann: 
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 

=== Starke Deduktive Vorgehensweise: ===
Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 

==== Problem? ====
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitzt der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

=== Einstiegsproblematik: ===

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, bei jedem Schüler einen entscheidenden Lernprozess zu initiieren. Dies Findung unterstützt letztendlich den Schüler darin, die einzelnen Zusammenhänge auch verstehen zu können.

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten beiden Katheten können durch das Karomuster direkt abgelesen werden, die Hypotenuse allerdings nicht. Wenn man nun kein Geodreieck hätte, gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentnis von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgemeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind nur dann identsich zur Fläche von c², wenn es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a*h/2 + b*h/2 = c*h/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen.
Für die Sekundarstufe I sollte man sich bei Beweisen eher auf der Stufe des Argumentierens bewegen, da man dadurch auch einem schwächeren Schüler eine Einsicht der Allgemeingültigkeit und damit ein "Aha-Erlebnis" ermöglichen kann. 

Deshalb eignen sich in der Sekundarstufe I z.B. die '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" und somit verbalisiert weden kann: 
 
So gibt es z.b. diese beiden Ergänzungsbeweise, die mit jedem beliebigen rechtwinkligen Dreieck durchgeführt werden können: 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Der Schüler wird argumentieren können:
das die schwarze Fläche: 
 
* einmal aus den beiden Kathetenquadraten + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann 
* einmal aus dem Hypotenusenquadrat + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann. 
--> Der Schüler kann daraus schließen, dass die Flächen der beiden Kathetenquadrate = der Fläche des Hypotenusenquadrates entsprechen. 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T17:49:52Z

Mahe84: /* Der Beweis: */

Im Folgenden eine didaktische Umsetzung, wodurch man dem Schüler eine Möglichkeit bietet, den Satz des Pythagoras eigenständig entdecken und finden zu können.

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ==

=== Schlechtes Einführungsbeispiel - So sollte man es nicht machen===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck, bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden sind, die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

==== Warum? ====

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

Einstiegsproblem:

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu b² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung7.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns: 
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann: 
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 

=== Starke Deduktive Vorgehensweise: ===
Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 

==== Problem? ====
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitzt der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

=== Einstiegsproblematik: ===

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, bei jedem Schüler einen entscheidenden Lernprozess zu initiieren. Dies Findung unterstützt letztendlich den Schüler darin, die einzelnen Zusammenhänge auch verstehen zu können.

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten beiden Katheten können durch das Karomuster direkt abgelesen werden, die Hypotenuse allerdings nicht. Wenn man nun kein Geodreieck hätte, gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentnis von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgemeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind nur dann identsich zur Fläche von c², wenn es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a*h/2 + b*h/2 = c*h/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen.
Für die Sekundarstufe I sollte man sich bei Beweisen eher auf der Stufe des Argumentierens bewegen, da man dadurch auch einem schwächeren Schüler eine Einsicht der Allgemeingültigkeit und damit ein "Aha-Erlebnis" ermöglichen kann. 

Deshalb eignen sich in der Sekundarstufe I z.B. die '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" und somit verbalisiert weden kann: 
 
So gibt es z.b. diese beiden Ergänzungsbeweise, die mit jedem beliebigen rechtwinkligen Dreieck durchgeführt werden können: 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Der Schüler wird argumentieren können: das die schwarze Fläche: einmal aus den beiden Kathetenquadraten + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann 
einmal aus dem Hypotenusenquadrat + 4 x rechtwinkliges Dreieck gefüllt werden kann. 
--> Der Schüler kann daraus schließen, dass die Flächen der beiden Kathetenquadrate = der Fläche des Hypotenusenquadrates entsprechen. 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T14:32:06Z

Mahe84: /* Problem? */

Im Folgenden eine didaktische Umsetzung, wodurch man dem Schüler eine Möglichkeit bietet, den Satz des Pythagoras eigenständig entdecken und finden zu können.

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ==

=== Schlechtes Einführungsbeispiel - So sollte man es nicht machen===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck, bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden sind, die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

==== Warum? ====

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

Einstiegsproblem:

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu b² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung7.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns: 
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann: 
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 

=== Starke Deduktive Vorgehensweise: ===
Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 

==== Problem? ====
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitzt der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

=== Einstiegsproblematik: ===

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, bei jedem Schüler einen entscheidenden Lernprozess zu initiieren. Dies Findung unterstützt letztendlich den Schüler darin, die einzelnen Zusammenhänge auch verstehen zu können.

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten beiden Katheten können durch das Karomuster direkt abgelesen werden, die Hypotenuse allerdings nicht. Wenn man nun kein Geodreieck hätte, gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentnis von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgemeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind nur dann identsich zur Fläche von c², wenn es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a*h/2 + b*h/2 = c*h/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen. 

Für die Sekundarstufe I eigenen sich '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" weden kann: 
 
So gibt es z.B. Pythagoras - Puzzel mit denen sich der Beweis sehr einfach führen lässt (Zeichnerisch wäre dieser ebenso möglich) : 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T14:24:35Z

Mahe84: /* Funktionale Betrachtung */

Im Folgenden eine didaktische Umsetzung, wodurch man dem Schüler eine Möglichkeit bietet, den Satz des Pythagoras eigenständig entdecken und finden zu können.

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ==

=== Schlechtes Einführungsbeispiel - So sollte man es nicht machen===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck, bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden sind, die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

==== Warum? ====

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

Einstiegsproblem:

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
<ggb_applet width="1893" height="861" version="4.2" 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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu b² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung7.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns: 
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann: 
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 

=== Starke Deduktive Vorgehensweise: ===
Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 

==== Problem? ====
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitzt der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist im Falle des Pythagoras auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

=== Einstiegsproblematik: ===

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, bei jedem Schüler einen entscheidenden Lernprozess zu initiieren. Dies Findung unterstützt letztendlich den Schüler darin, die einzelnen Zusammenhänge auch verstehen zu können.

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten beiden Katheten können durch das Karomuster direkt abgelesen werden, die Hypotenuse allerdings nicht. Wenn man nun kein Geodreieck hätte, gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentnis von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgemeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind nur dann identsich zur Fläche von c², wenn es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a*h/2 + b*h/2 = c*h/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen. 

Für die Sekundarstufe I eigenen sich '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" weden kann: 
 
So gibt es z.B. Pythagoras - Puzzel mit denen sich der Beweis sehr einfach führen lässt (Zeichnerisch wäre dieser ebenso möglich) : 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T13:38:05Z

Mahe84: /* Verallgemeinerung: */

Im Folgenden eine didaktische Umsetzung, wodurch man dem Schüler eine Möglichkeit bietet, den Satz des Pythagoras eigenständig entdecken und finden zu können.

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ==

=== Schlechtes Einführungsbeispiel - So sollte man es nicht machen===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck, bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden sind, die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

==== Warum? ====

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

Einstiegsproblem:

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
<ggb_applet width="1893" height="861" version="4.2" 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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu b² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung7.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns: 
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann: 
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 

=== Starke Deduktive Vorgehensweise: ===
Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 

==== Problem? ====
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitzt der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist im Falle des Pythagoras auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

=== Einstiegsproblematik: ===

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, bei jedem Schüler einen entscheidenden Lernprozess zu initiieren. Dies Findung unterstützt letztendlich den Schüler darin, die einzelnen Zusammenhänge auch verstehen zu können.

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten beiden Katheten können durch das Karomuster direkt abgelesen werden, die Hypotenuse allerdings nicht. Wenn man nun kein Geodreieck hätte, gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentnis von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgemeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind identsich mit der Fläche von c² und dies scheint nur bei rechtwinkligen Dreiecken zu gelten.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a*h/2 + b*h/2 = c*h/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen. 

Für die Sekundarstufe I eigenen sich '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" weden kann: 
 
So gibt es z.B. Pythagoras - Puzzel mit denen sich der Beweis sehr einfach führen lässt (Zeichnerisch wäre dieser ebenso möglich) : 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T13:34:03Z

Mahe84: /* Funktionale Betrachtung */

Im Folgenden eine didaktische Umsetzung, wodurch man dem Schüler eine Möglichkeit bietet, den Satz des Pythagoras eigenständig entdecken und finden zu können.

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ==

=== Schlechtes Einführungsbeispiel - So sollte man es nicht machen===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck, bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden sind, die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

==== Warum? ====

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

Einstiegsproblem:

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
<ggb_applet width="1893" height="861" version="4.2" 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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu b² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung7.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns: 
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann: 
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 

=== Starke Deduktive Vorgehensweise: ===
Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 

==== Problem? ====
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitzt der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist im Falle des Pythagoras auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

=== Einstiegsproblematik: ===

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, bei jedem Schüler einen entscheidenden Lernprozess zu initiieren. Dies Findung unterstützt letztendlich den Schüler darin, die einzelnen Zusammenhänge auch verstehen zu können.

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten beiden Katheten können durch das Karomuster direkt abgelesen werden, die Hypotenuse allerdings nicht. Wenn man nun kein Geodreieck hätte, gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentnis von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgemeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind identsich mit der Fläche von c² und dies scheint nur bei rechtwinkligen Dreiecken zu gelten.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a²/2 + b²/2 = c²/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen. 

Für die Sekundarstufe I eigenen sich '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" weden kann: 
 
So gibt es z.B. Pythagoras - Puzzel mit denen sich der Beweis sehr einfach führen lässt (Zeichnerisch wäre dieser ebenso möglich) : 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T13:31:02Z

Mahe84: /* Einstiegsproblematik: */

Im Folgenden eine didaktische Umsetzung, wodurch man dem Schüler eine Möglichkeit bietet, den Satz des Pythagoras eigenständig entdecken und finden zu können.

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ==

=== Schlechtes Einführungsbeispiel - So sollte man es nicht machen===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck, bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden sind, die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

==== Warum? ====

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

Einstiegsproblem:

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
<ggb_applet width="1893" height="861" version="4.2" 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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu b² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung7.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns: 
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann: 
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 

=== Starke Deduktive Vorgehensweise: ===
Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 

==== Problem? ====
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitzt der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist im Falle des Pythagoras auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

=== Einstiegsproblematik: ===

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, bei jedem Schüler einen entscheidenden Lernprozess zu initiieren. Dies Findung unterstützt letztendlich den Schüler darin, die einzelnen Zusammenhänge auch verstehen zu können.

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten beiden Katheten können durch das Karomuster direkt abgelesen werden, die Hypotenuse allerdings nicht. Wenn man nun kein Geodreieck hätte, gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentniss von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgmeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind identsich mit der Fläche von c² und dies scheint nur bei rechtwinkligen Dreiecken zu gelten.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a²/2 + b²/2 = c²/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen. 

Für die Sekundarstufe I eigenen sich '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" weden kann: 
 
So gibt es z.B. Pythagoras - Puzzel mit denen sich der Beweis sehr einfach führen lässt (Zeichnerisch wäre dieser ebenso möglich) : 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T13:29:04Z

Mahe84: /* Einstiegsproblematik: */

Im Folgenden eine didaktische Umsetzung, wodurch man dem Schüler eine Möglichkeit bietet, den Satz des Pythagoras eigenständig entdecken und finden zu können.

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ==

=== Schlechtes Einführungsbeispiel - So sollte man es nicht machen===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck, bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden sind, die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

==== Warum? ====

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

Einstiegsproblem:

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
<ggb_applet width="1893" height="861" version="4.2" 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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu b² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung7.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns: 
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann: 
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 

=== Starke Deduktive Vorgehensweise: ===
Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 

==== Problem? ====
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitzt der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist im Falle des Pythagoras auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

=== Einstiegsproblematik: ===

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, einen entscheidenden Lernprozess beim Schüler zu initiieren die letztendlich dem Schüler darin unterstützen, die einzelnen Zusammenhänge auch tatsächlich verstehen zu können.

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten beiden Katheten können durch das Karomuster direkt abgelesen werden, die Hypotenuse allerdings nicht. Wenn man nun kein Geodreieck hätte, gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentniss von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgmeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind identsich mit der Fläche von c² und dies scheint nur bei rechtwinkligen Dreiecken zu gelten.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a²/2 + b²/2 = c²/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen. 

Für die Sekundarstufe I eigenen sich '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" weden kann: 
 
So gibt es z.B. Pythagoras - Puzzel mit denen sich der Beweis sehr einfach führen lässt (Zeichnerisch wäre dieser ebenso möglich) : 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T13:24:50Z

Mahe84: /* Schlechtes Einführungsbeispiel - So sollte man es nicht machen */

Im Folgenden eine didaktische Umsetzung, wodurch man dem Schüler eine Möglichkeit bietet, den Satz des Pythagoras eigenständig entdecken und finden zu können.

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ==

=== Schlechtes Einführungsbeispiel - So sollte man es nicht machen===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck, bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden sind, die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

==== Warum? ====

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

Einstiegsproblem:

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
<ggb_applet width="1893" height="861" version="4.2" 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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu b² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung7.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns: 
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann: 
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 

=== Starke Deduktive Vorgehensweise: ===
Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 

==== Problem? ====
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitzt der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist im Falle des Pythagoras auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

=== Einstiegsproblematik: ===

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten a und b können direkt über die Katheten abgelesen werden, die Hypotenuse nicht. Gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, einen entscheidenden Lernprozess beim Schüler zu initiieren die letztendlich dem Schüler darin unterstützen, die einzelnen Zusammenhänge auch tatsächlich verstehen zu können.

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentniss von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgmeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind identsich mit der Fläche von c² und dies scheint nur bei rechtwinkligen Dreiecken zu gelten.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a²/2 + b²/2 = c²/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen. 

Für die Sekundarstufe I eigenen sich '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" weden kann: 
 
So gibt es z.B. Pythagoras - Puzzel mit denen sich der Beweis sehr einfach führen lässt (Zeichnerisch wäre dieser ebenso möglich) : 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T13:23:14Z

Mahe84:

Im Folgenden eine didaktische Umsetzung, wodurch man dem Schüler eine Möglichkeit bietet, den Satz des Pythagoras eigenständig entdecken und finden zu können.

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ==

=== Schlechtes Einführungsbeispiel - So sollte man es nicht machen===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden Sind die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

==== Warum? ====

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

Einstiegsproblem:

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
<ggb_applet width="1893" height="861" version="4.2" 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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu b² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung7.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns: 
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann: 
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 

=== Starke Deduktive Vorgehensweise: ===
Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 

==== Problem? ====
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitzt der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist im Falle des Pythagoras auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

=== Einstiegsproblematik: ===

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten a und b können direkt über die Katheten abgelesen werden, die Hypotenuse nicht. Gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, einen entscheidenden Lernprozess beim Schüler zu initiieren die letztendlich dem Schüler darin unterstützen, die einzelnen Zusammenhänge auch tatsächlich verstehen zu können.

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentniss von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgmeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind identsich mit der Fläche von c² und dies scheint nur bei rechtwinkligen Dreiecken zu gelten.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a²/2 + b²/2 = c²/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen. 

Für die Sekundarstufe I eigenen sich '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" weden kann: 
 
So gibt es z.B. Pythagoras - Puzzel mit denen sich der Beweis sehr einfach führen lässt (Zeichnerisch wäre dieser ebenso möglich) : 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Das WIKI für die Lehrveranstaltung "Didaktik der Geometrie"

2013-01-28T13:21:17Z

Mahe84:

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#CCFFCC; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#CCFFCC; padding:1em"
| valign="top" |


* [[Hinweise und Literatur]]
* [[Die Materialien aus dem Sommersemester 2011]]
==Kapitel 0 Elementare Grundlagen bzw. elementares Handwerkszeug für guten Mathematikunterricht==
===Unterrichtsbeispiele===
*[[LDL bei Erich Hammer]]

==Kapitel 1 Erarbeiten von Begriffen==
===Beispiele und Probleme aus der ersten Veranstaltung vom 20. April 2012===
*[[Induktive Erarbeitung des Begriffs senkrecht]]
*[[Konstruktive Erarbeitung des Begriffs senkrecht]]

===Wichtiger Begriff: Figurkonzept===
*[[Beispiele für die Idee des Figurkonzepts]]
*[[Figurkonzept was ist das?]]

=== Beispiele und Probleme aus der Veranstaltung vom 27. April 2012===
*[[Induktive Erarbeitung des Begriffs Mittelsenkrechte]]
*[[Aufgabe zur Vorbereitung auf die Veranstaltung vom 04. Mai 2012]]
=== Probeklausuren ===
*[[Die Probeklausur zur Begriffserarbeitung vom 18. Mai]]

==Satzfindung, Beweisen==
[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Lehre/didaktik_5_8/]

=== Satz des Pythagoras ===
*[[Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung]]

== Tangentenviereck ==
*[[Satz über die Summe der Längen gegenüberliegender Seiten]]

==Vielleicht kann dieses 'Grundschuldidaktikproblem' gelöst werden==
* [[Dodekaeder aus einem Würfel?]]

|}
</div>

[[Kategorie:Didaktik_Geometrie]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T12:38:46Z

Mahe84: /* Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: */

Im Folgenden eine Didaktische Umsetzung, damit der Satz des Pythagoras von den Schülern entdeckt und verstanden werden kann!

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ==

=== Schlechtes Einführungsbeispiel ===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden Sind die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

==== Warum? ====

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

Einstiegsproblem:

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu b² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung7.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns: 
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann: 
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 

=== Starke Deduktive Vorgehensweise: ===
Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 

==== Problem? ====
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitzt der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist im Falle des Pythagoras auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

=== Einstiegsproblematik: ===

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten a und b können direkt über die Katheten abgelesen werden, die Hypotenuse nicht. Gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, einen entscheidenden Lernprozess beim Schüler zu initiieren die letztendlich dem Schüler darin unterstützen, die einzelnen Zusammenhänge auch tatsächlich verstehen zu können.

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentniss von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgmeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind identsich mit der Fläche von c² und dies scheint nur bei rechtwinkligen Dreiecken zu gelten.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a²/2 + b²/2 = c²/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen. 

Für die Sekundarstufe I eigenen sich '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" weden kann: 
 
So gibt es z.B. Pythagoras - Puzzel mit denen sich der Beweis sehr einfach führen lässt (Zeichnerisch wäre dieser ebenso möglich) : 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T12:37:12Z

Mahe84: /* Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: */

Im Folgenden eine Didaktische Umsetzung, damit der Satz des Pythagoras von den Schülern entdeckt und verstanden werden kann!

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ==

=== Schlechtes Einführungsbeispiel ===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden Sind die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

==== Warum? ====

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

Einstiegsproblem:

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
<ggb_applet width="1893" height="861" version="4.2" 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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu a² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung7.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns: 
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann: 
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 

=== Starke Deduktive Vorgehensweise: ===
Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 

==== Problem? ====
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitzt der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist im Falle des Pythagoras auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

=== Einstiegsproblematik: ===

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten a und b können direkt über die Katheten abgelesen werden, die Hypotenuse nicht. Gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, einen entscheidenden Lernprozess beim Schüler zu initiieren die letztendlich dem Schüler darin unterstützen, die einzelnen Zusammenhänge auch tatsächlich verstehen zu können.

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentniss von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgmeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind identsich mit der Fläche von c² und dies scheint nur bei rechtwinkligen Dreiecken zu gelten.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a²/2 + b²/2 = c²/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen. 

Für die Sekundarstufe I eigenen sich '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" weden kann: 
 
So gibt es z.B. Pythagoras - Puzzel mit denen sich der Beweis sehr einfach führen lässt (Zeichnerisch wäre dieser ebenso möglich) : 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Datei:Scherung7.jpg

2013-01-28T12:36:29Z

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Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T12:30:06Z

Mahe84: /* Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: */

Im Folgenden eine Didaktische Umsetzung, damit der Satz des Pythagoras von den Schülern entdeckt und verstanden werden kann!

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ==

=== Schlechtes Einführungsbeispiel ===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden Sind die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

==== Warum? ====

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

Einstiegsproblem:

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu a² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung 6.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns: 
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann: 
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 

=== Starke Deduktive Vorgehensweise: ===
Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 

==== Problem? ====
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitzt der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist im Falle des Pythagoras auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

=== Einstiegsproblematik: ===

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten a und b können direkt über die Katheten abgelesen werden, die Hypotenuse nicht. Gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, einen entscheidenden Lernprozess beim Schüler zu initiieren die letztendlich dem Schüler darin unterstützen, die einzelnen Zusammenhänge auch tatsächlich verstehen zu können.

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentniss von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgmeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind identsich mit der Fläche von c² und dies scheint nur bei rechtwinkligen Dreiecken zu gelten.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a²/2 + b²/2 = c²/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen. 

Für die Sekundarstufe I eigenen sich '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" weden kann: 
 
So gibt es z.B. Pythagoras - Puzzel mit denen sich der Beweis sehr einfach führen lässt (Zeichnerisch wäre dieser ebenso möglich) : 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T12:27:36Z

Mahe84: /* Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: */

Im Folgenden eine Didaktische Umsetzung, damit der Satz des Pythagoras von den Schülern entdeckt und verstanden werden kann!

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ==

=== Schlechtes Einführungsbeispiel ===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden Sind die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

==== Warum? ====

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

Einstiegsproblem:

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
<ggb_applet width="1893" height="861" version="4.2" 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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu a² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung 6.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns:
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann:
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 

=== Starke Deduktive Vorgehensweise: ===
Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 

==== Problem? ====
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitzt der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist im Falle des Pythagoras auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

=== Einstiegsproblematik: ===

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten a und b können direkt über die Katheten abgelesen werden, die Hypotenuse nicht. Gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, einen entscheidenden Lernprozess beim Schüler zu initiieren die letztendlich dem Schüler darin unterstützen, die einzelnen Zusammenhänge auch tatsächlich verstehen zu können.

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentniss von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgmeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind identsich mit der Fläche von c² und dies scheint nur bei rechtwinkligen Dreiecken zu gelten.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a²/2 + b²/2 = c²/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen. 

Für die Sekundarstufe I eigenen sich '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" weden kann: 
 
So gibt es z.B. Pythagoras - Puzzel mit denen sich der Beweis sehr einfach führen lässt (Zeichnerisch wäre dieser ebenso möglich) : 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T12:24:58Z

Mahe84: /* Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? */

Im Folgenden eine Didaktische Umsetzung, damit der Satz des Pythagoras von den Schülern entdeckt und verstanden werden kann!

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ==

=== Schlechtes Einführungsbeispiel ===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden Sind die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

==== Warum? ====

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

=== Einstiegsproblem: ===

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
<ggb_applet width="1893" height="861" version="4.2" 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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu a² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung 6.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns:
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann:
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 
'''Starke Deduktive Vorgehensweise:''' Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitz der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist im Falle des Pythagoras auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

=== Einstiegsproblematik: ===

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten a und b können direkt über die Katheten abgelesen werden, die Hypotenuse nicht. Gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, einen entscheidenden Lernprozess beim Schüler zu initiieren die letztendlich dem Schüler darin unterstützen, die einzelnen Zusammenhänge auch tatsächlich verstehen zu können.

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentniss von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgmeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind identsich mit der Fläche von c² und dies scheint nur bei rechtwinkligen Dreiecken zu gelten.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a²/2 + b²/2 = c²/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen. 

Für die Sekundarstufe I eigenen sich '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" weden kann: 
 
So gibt es z.B. Pythagoras - Puzzel mit denen sich der Beweis sehr einfach führen lässt (Zeichnerisch wäre dieser ebenso möglich) : 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T12:23:44Z

Mahe84: /* Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung */

Im Folgenden eine Didaktische Umsetzung, damit der Satz des Pythagoras von den Schülern entdeckt und verstanden werden kann!

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ==

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden Sind die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

=== Warum? ===

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

=== Einstiegsproblem: ===

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
<ggb_applet width="1893" height="861" version="4.2" 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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu a² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung 6.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns:
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann:
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 
'''Starke Deduktive Vorgehensweise:''' Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitz der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist im Falle des Pythagoras auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

=== Einstiegsproblematik: ===

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten a und b können direkt über die Katheten abgelesen werden, die Hypotenuse nicht. Gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, einen entscheidenden Lernprozess beim Schüler zu initiieren die letztendlich dem Schüler darin unterstützen, die einzelnen Zusammenhänge auch tatsächlich verstehen zu können.

=== Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentniss von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgmeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind identsich mit der Fläche von c² und dies scheint nur bei rechtwinkligen Dreiecken zu gelten.

=== Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a²/2 + b²/2 = c²/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen. 

Für die Sekundarstufe I eigenen sich '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" weden kann: 
 
So gibt es z.B. Pythagoras - Puzzel mit denen sich der Beweis sehr einfach führen lässt (Zeichnerisch wäre dieser ebenso möglich) : 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T12:22:15Z

Mahe84:

Im Folgenden eine Didaktische Umsetzung, damit der Satz des Pythagoras von den Schülern entdeckt und verstanden werden kann!

== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ==

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden Sind die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

=== Warum? ===

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

== Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras: ==

=== Einstiegsproblem: ===

Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
<ggb_applet width="1893" height="861" version="4.2" 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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu a² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung 6.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns:
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann:
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 
'''Starke Deduktive Vorgehensweise:''' Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitz der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist im Falle des Pythagoras auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

=== Einstiegsproblematik: ===

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten a und b können direkt über die Katheten abgelesen werden, die Hypotenuse nicht. Gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, einen entscheidenden Lernprozess beim Schüler zu initiieren die letztendlich dem Schüler darin unterstützen, die einzelnen Zusammenhänge auch tatsächlich verstehen zu können.

=== 1) Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== 2) Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentniss von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgmeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind identsich mit der Fläche von c² und dies scheint nur bei rechtwinkligen Dreiecken zu gelten.

=== 3) Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a²/2 + b²/2 = c²/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen. 

Für die Sekundarstufe I eigenen sich '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" weden kann: 
 
So gibt es z.B. Pythagoras - Puzzel mit denen sich der Beweis sehr einfach führen lässt (Zeichnerisch wäre dieser ebenso möglich) : 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T12:19:14Z

Mahe84: /* Einstiegsproblem: */

Im Folgenden eine Didaktische Umsetzung, damit der Satz des Pythagoras von den Schülern entdeckt und verstanden werden kann!

=== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden Sind die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

=== Warum? ===

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras:

==== Einstiegsproblem: ====
Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
<ggb_applet width="1893" height="861" version="4.2" ggbBase64="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showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />
 
 
 

Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu a² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung 6.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns:
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann:
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 
'''Starke Deduktive Vorgehensweise:''' Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitz der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist im Falle des Pythagoras auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Einstiegsproblematik: ==

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten a und b können direkt über die Katheten abgelesen werden, die Hypotenuse nicht. Gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, einen entscheidenden Lernprozess beim Schüler zu initiieren die letztendlich dem Schüler darin unterstützen, die einzelnen Zusammenhänge auch tatsächlich verstehen zu können.

=== 1) Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== 2) Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentniss von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgmeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind identsich mit der Fläche von c² und dies scheint nur bei rechtwinkligen Dreiecken zu gelten.

=== 3) Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a²/2 + b²/2 = c²/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen. 

Für die Sekundarstufe I eigenen sich '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" weden kann: 
 
So gibt es z.B. Pythagoras - Puzzel mit denen sich der Beweis sehr einfach führen lässt (Zeichnerisch wäre dieser ebenso möglich) : 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T12:18:04Z

Mahe84: /* Einstiegsproblem: */

Im Folgenden eine Didaktische Umsetzung, damit der Satz des Pythagoras von den Schülern entdeckt und verstanden werden kann!

=== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden Sind die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

=== Warum? ===

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras:

==== Einstiegsproblem: ====
Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren. 
 
<ggb_applet width="1893" height="861" version="4.2" ggbBase64="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showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> 
 
 

Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu a² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung 6.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns:
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann:
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 
'''Starke Deduktive Vorgehensweise:''' Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitz der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist im Falle des Pythagoras auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Einstiegsproblematik: ==

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten a und b können direkt über die Katheten abgelesen werden, die Hypotenuse nicht. Gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, einen entscheidenden Lernprozess beim Schüler zu initiieren die letztendlich dem Schüler darin unterstützen, die einzelnen Zusammenhänge auch tatsächlich verstehen zu können.

=== 1) Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== 2) Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentniss von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgmeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind identsich mit der Fläche von c² und dies scheint nur bei rechtwinkligen Dreiecken zu gelten.

=== 3) Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a²/2 + b²/2 = c²/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen. 

Für die Sekundarstufe I eigenen sich '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" weden kann: 
 
So gibt es z.B. Pythagoras - Puzzel mit denen sich der Beweis sehr einfach führen lässt (Zeichnerisch wäre dieser ebenso möglich) : 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T12:03:41Z

Mahe84: /* Der Beweis: */

Im Folgenden eine Didaktische Umsetzung, damit der Satz des Pythagoras von den Schülern entdeckt und verstanden werden kann!

=== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden Sind die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

=== Warum? ===

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras:

==== Einstiegsproblem: ====
Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren.

<ggb_applet width="1500" height="861" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />
 
 
 

Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu a² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung 6.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns:
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann:
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 
'''Starke Deduktive Vorgehensweise:''' Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitz der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist im Falle des Pythagoras auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Einstiegsproblematik: ==

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten a und b können direkt über die Katheten abgelesen werden, die Hypotenuse nicht. Gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, einen entscheidenden Lernprozess beim Schüler zu initiieren die letztendlich dem Schüler darin unterstützen, die einzelnen Zusammenhänge auch tatsächlich verstehen zu können.

=== 1) Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== 2) Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentniss von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgmeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind identsich mit der Fläche von c² und dies scheint nur bei rechtwinkligen Dreiecken zu gelten.

=== 3) Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a²/2 + b²/2 = c²/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Hat man nun das Gefühl, dass der Satz von allen Schülern verstanden worden ist, kann man den Satz beweisen. 

Für die Sekundarstufe I eigenen sich '''Ergänzungsbeweise:''' 
 
Der Vorteil liegt eindeutig in ihrere ikonischen Darstellung wodruch der Beweis relativ einfach "abgelesen" weden kann: 
 
So gibt es z.B. Pythagoras - Puzzel mit denen sich der Beweis sehr einfach führen lässt (Zeichnerisch wäre dieser ebenso möglich) : 
 
[[Datei:Puzzel.jpg]] 
 
[[Datei:Puzzel 2.jpg]] 
 
Eine weitere Möglichkeit: 
 
[[Datei:Schneiden.jpg]] 
 
[[Datei:Schneiden2.jpg]]

Datei:Schneiden2.jpg

2013-01-28T12:01:24Z

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2013-01-28T11:58:42Z

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Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T11:34:44Z

Mahe84:

Im Folgenden eine Didaktische Umsetzung, damit der Satz des Pythagoras von den Schülern entdeckt und verstanden werden kann!

=== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden Sind die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

=== Warum? ===

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras:

==== Einstiegsproblem: ====
Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren.

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Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu a² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung 6.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns:
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann:
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 
'''Starke Deduktive Vorgehensweise:''' Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitz der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist im Falle des Pythagoras auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Einstiegsproblematik: ==

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten a und b können direkt über die Katheten abgelesen werden, die Hypotenuse nicht. Gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, einen entscheidenden Lernprozess beim Schüler zu initiieren die letztendlich dem Schüler darin unterstützen, die einzelnen Zusammenhänge auch tatsächlich verstehen zu können.

=== 1) Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== 2) Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentniss von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgmeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind identsich mit der Fläche von c² und dies scheint nur bei rechtwinkligen Dreiecken zu gelten.

=== 3) Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a²/2 + b²/2 = c²/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

== Der Beweis: ==

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T11:33:38Z

Mahe84:

Im Folgenden eine Didaktische Umsetzung, damit der Satz des Pythagoras von den Schülern entdeckt und verstanden werden kann!

=== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden Sind die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

=== Warum? ===

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras:

==== Einstiegsproblem: ====
Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren.

<ggb_applet width="1500" height="861" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />
 
 
 

Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu a² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung 6.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns:
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann:
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 
'''Starke Deduktive Vorgehensweise:''' Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitz der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist im Falle des Pythagoras auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Einstiegsproblematik: ==

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten a und b können direkt über die Katheten abgelesen werden, die Hypotenuse nicht. Gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, einen entscheidenden Lernprozess beim Schüler zu initiieren die letztendlich dem Schüler darin unterstützen, die einzelnen Zusammenhänge auch tatsächlich verstehen zu können.

=== 1) Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== 2) Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentniss von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgmeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind identsich mit der Fläche von c² und dies scheint nur bei rechtwinkligen Dreiecken zu gelten.

=== 3) Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a²/2 + b²/2 = c²/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren. 

== Arbeiten am und mit dem Satz: ==

Im nächsten Schritt muss die Aussage des Satzes gefestigt werden, denn nur weil er nun gefunden worden ist, heißt das nicht, dass der Satz auch von allen Schülern verstanden wurde und dieser auch angewendet werden kann.
Schließlich kommt es durch gezielte Aufgaben darauf an, dass im Idealfall jeder den Satz verstanden hat. Nur durch verschiedene Aufgabenstellungen und differenzierte Anwendungen des Satzes kann dieser gefestigt werden. 

Man nimmt an das der Satz wirklich gilt und wendet ihn an: 
 
z.B. 
1) Man gibt den Schülern verschiedene rechtwinklige Dreiecke, bei denen nur zwei Seiten gegeben sind. Der Schüler kann durch die Anwendung des Satz des Pythagoras die dritte Seite ausrechnen. 
2) Dreiecke mit rechtem Winkel und Dreiecke ohne rechten Winkel: Bei welchen Dreiecken kannst du die fehlende dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen? 
 
Ebenso kann man in dieser Phase verschiedene Formulierunge des Satzes erarbeiten: 
'''Satz:''' 
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

'''Wenn-Dann-Formulierung:''' 
Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, so ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.

... Der Fantasie sei hier keine Grenzen gesetzt

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T11:17:59Z

Mahe84: /* 3) Verallgemeinerung: */

Im Folgenden eine Didaktische Umsetzung, damit der Satz des Pythagoras von den Schülern entdeckt und verstanden werden kann!

=== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden Sind die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

=== Warum? ===

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras:

==== Einstiegsproblem: ====
Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren.

<ggb_applet width="1500" height="861" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />
 
 
 

Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu a² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung 6.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns:
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann:
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 
'''Starke Deduktive Vorgehensweise:''' Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitz der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist im Falle des Pythagoras auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Einstiegsproblematik: ==

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten a und b können direkt über die Katheten abgelesen werden, die Hypotenuse nicht. Gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, einen entscheidenden Lernprozess beim Schüler zu initiieren die letztendlich dem Schüler darin unterstützen, die einzelnen Zusammenhänge auch tatsächlich verstehen zu können.

=== 1) Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== 2) Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentniss von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgmeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind identsich mit der Fläche von c² und dies scheint nur bei rechtwinkligen Dreiecken zu gelten.

=== 3) Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a²/2 + b²/2 = c²/2

'''Erkenntnisgewinn:''' Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren.

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T11:13:33Z

Mahe84: /* 3) Verallgemeinerung: */

Im Folgenden eine Didaktische Umsetzung, damit der Satz des Pythagoras von den Schülern entdeckt und verstanden werden kann!

=== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden Sind die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

=== Warum? ===

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras:

==== Einstiegsproblem: ====
Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren.

<ggb_applet width="1500" height="861" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />
 
 
 

Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu a² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung 6.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns:
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann:
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 
'''Starke Deduktive Vorgehensweise:''' Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitz der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist im Falle des Pythagoras auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Einstiegsproblematik: ==

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten a und b können direkt über die Katheten abgelesen werden, die Hypotenuse nicht. Gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, einen entscheidenden Lernprozess beim Schüler zu initiieren die letztendlich dem Schüler darin unterstützen, die einzelnen Zusammenhänge auch tatsächlich verstehen zu können.

=== 1) Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== 2) Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentniss von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgmeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind identsich mit der Fläche von c² und dies scheint nur bei rechtwinkligen Dreiecken zu gelten.

=== 3) Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a²/2 + b²/2 = c²/2

Erkenntnisgewinn: Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren.

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T11:12:55Z

Mahe84: /* 3) Verallgemeinerung: */

Im Folgenden eine Didaktische Umsetzung, damit der Satz des Pythagoras von den Schülern entdeckt und verstanden werden kann!

=== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden Sind die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

=== Warum? ===

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras:

==== Einstiegsproblem: ====
Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren.

<ggb_applet width="1500" height="861" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />
 
 
 

Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu a² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung 6.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns:
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann:
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 
'''Starke Deduktive Vorgehensweise:''' Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitz der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist im Falle des Pythagoras auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Einstiegsproblematik: ==

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten a und b können direkt über die Katheten abgelesen werden, die Hypotenuse nicht. Gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, einen entscheidenden Lernprozess beim Schüler zu initiieren die letztendlich dem Schüler darin unterstützen, die einzelnen Zusammenhänge auch tatsächlich verstehen zu können.

=== 1) Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== 2) Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" 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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentniss von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgmeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind identsich mit der Fläche von c² und dies scheint nur bei rechtwinkligen Dreiecken zu gelten.

=== 3) Verallgemeinerung: ===

Gilt dieser Zusammenhang nur für Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? 

Untersuchung von verschiedenen Figuren: 

[[Datei:Andere Pythagorasfigur]] 

Flächenberechnung: für ein gleichseitiges Dreieck: a²/2 + b²/2 = c²/2

Erkenntnisgewinn: Scheinbar gilt der Flächenzusammenhang auch für andere gleichmäßige Figuren.

Datei:Andere Pythagorasfigur.jpg

2013-01-28T11:07:20Z

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Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T11:02:37Z

Mahe84: /* 2)Funktionale Betrachtung */

Im Folgenden eine Didaktische Umsetzung, damit der Satz des Pythagoras von den Schülern entdeckt und verstanden werden kann!

=== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden Sind die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

=== Warum? ===

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras:

==== Einstiegsproblem: ====
Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren.

<ggb_applet width="1500" height="861" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />
 
 
 

Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu a² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung 6.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns:
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann:
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 
'''Starke Deduktive Vorgehensweise:''' Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitz der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist im Falle des Pythagoras auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Einstiegsproblematik: ==

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten a und b können direkt über die Katheten abgelesen werden, die Hypotenuse nicht. Gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, einen entscheidenden Lernprozess beim Schüler zu initiieren die letztendlich dem Schüler darin unterstützen, die einzelnen Zusammenhänge auch tatsächlich verstehen zu können.

=== 1) Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== 2) Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen. 
 
Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke: 

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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentniss von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgmeinen Dreiecken gilt: 
 
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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind identsich mit der Fläche von c² und dies scheint nur bei rechtwinkligen Dreiecken zu gelten.

=== 3) Verallgemeinerung: ===

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T11:01:17Z

Mahe84: /* 2)Funktionale Betrachtung */

Im Folgenden eine Didaktische Umsetzung, damit der Satz des Pythagoras von den Schülern entdeckt und verstanden werden kann!

=== Wie kann man diesen Satz mit den Schülern erarbeitet? ===

Mein ehemaliger Mathelehrer in der 7. Klasse hat es auf diese Art und Weise probiert:

[[Datei:Rechtwinkliges_Dreieck.jpg]]

Rechtwinklige Dreiecke dürften euch bekannt sein!
Nun kann man nach dem Satz des Pythagoras bei einem rechtwinkligen Dreieck bei welchem zwei bekannte Seiten vorhanden Sind die dritte Seite berechnen.
Dies geht ganz einfach mit der Formel '''a² + b² = c²'''!
Durch entsprechende Umformung lassen sich ebenfalls die Seite a oder b herausfinden.
Ein ganz einfacher Satz, denn jetzt jeder von euch anwenden kann:

# Berechne die Hypothenuse: a = 4 cm, b = 2 cm, usw.

Wenn man nun einen Schüler nach Zusammenhängen und Zustandekommen dieses Satzes fragen würde, würde höchst wahrscheinlich keiner eine Antwort geben können.

=== Warum? ===

Der Schüler hat keine Gelegenheit bekommen, sich mit dem Satz auseinander zu setzte, ihn zu analysieren, ihn zu verstehen, ihn zu entdecken. Gerade ein Satz wie der Pythagoras erfordert aber genau diese Vorgehensweise. Allerdings wird auch dieser Satz nach obigem Beispiel heute noch nach der Friss – Vogel – oder Stirb – Methode unterrichtet.

=== Wie könnte man es besser machen? ===

Der Kathetensatz als Einführung in die Satzgruppe des Pythagoras:

==== Einstiegsproblem: ====
Aus einem Quadrat ein flächengleiches Parallelogramm und aus Parallelogramm ein flächengleiches Rechteck konstruieren.

<ggb_applet width="1500" height="861" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />
 
 
 

Aus dem Quadrat über der Kathete b, soll ein flächengleiches Rechteck bei der Hypothenuse errichtet werden: 

[[Datei:Scherung 1.jpg]] 

[[Datei:Scherung 5.jpg]] 
 
 

{| class="wikitable sortable"
!Ausgangskonfiguration!!Schritt 1 !! Schritt 2 !! Schritt 3 !!
|-
| [[Datei:Scherung 1.jpg]]|| [[Datei:Scherung 3.jpg]]||[[Datei:Scherung 4.png]]||[[Datei:Scherung 5.jpg]]
|-
| Dem Schüler ist das rechtwinklige Dreieck gegeben mit dem Kathenquadrat über der Seite b || Durch Parallelenverschiebung erhält man ein zu a² flächengleiches Parallelogramm ABD'E || Das Parallelogramm ABD'E wird am Punkt A um 90° nach untern verschoben || Durch eine weitere Parallelenverschiebung erhält man ein zu dem Parallelogramm ABD'E flächengleiches Rechteck AC'D''B'.
|}

Erstellt man ebenfalls ein flächengleiches Rechteck zum Kathetenquadrat über der Seite a entsteht die bekannte Pythagorasfigur: 
 
[[Datei:Scherung 6.jpg]] 
 
 
Der Kathensatz liefert uns:
1) Ergebniss a²=c*p 
2) Ergebniss b²=c*q 
Wodurch man den Satz des Pythagoras ableiten kann:
Beweis: 
1) EA II BC 
2) Quadrat ACDE ist Flächengleich zu dem Parallelogramm ABC’E 
2) Parallelogramm um 90° bei A gedreht 
3) AB‘ II CC`` somit ist das Parallelogramm flächenglich zum Rechteck 
4) das gleiche mit der Seite b 
Vermutung = a² + b² = cp + cq = c(p+q) = c² 
 
 
'''Starke Deduktive Vorgehensweise:''' Gewinnung des Satzes bei gleichzeitiger Sicherung seiner Wahrheit. 
Daher hat man die Satzfindung und seinen Beweis in eine gemeinsame Phase gepackt!
Besitz der durchschnittliche Sekundarstufe I Schüler nun dieses Abstraktionsniveau um sich über den eigentlichen Zusammenhang des Satz des Pythagoras im Klaren zu sein? Wohl eher nicht. 
Er konnte zwar handeln, aber Sinnzusammenhänge konnten an diesem Beispiel nicht wirklich erarbeitet werden. 
 
Somit ist im Falle des Pythagoras auch diese Vorgehensweise nicht die Ideale. 

 

== Einstiegsproblematik: ==

[[Datei:Rechtwinklgig.png]] 
 
'''Die Seiten a und b können direkt über die Katheten abgelesen werden, die Hypotenuse nicht. Gibt es eine Möglichkeit die Hypotenuse über die Katheten auszurechnen? Stehen sie in einer gemeinsamen Beziehung?''' 
 

== Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung ==

Durch diese Art der Satzfindung,wird dem Schüler eine tätsächliche Findung der Funktionszusammenhänge ermöglicht. Nur so kann es einem gelingen, einen entscheidenden Lernprozess beim Schüler zu initiieren die letztendlich dem Schüler darin unterstützen, die einzelnen Zusammenhänge auch tatsächlich verstehen zu können.

=== 1) Induktion: ===

Die Induktion ist das Schließen vom Einzelfall auf die Allgemeinheit.
Konkret: Durch das Ausmessen einzelner rechtwinkliger Dreiecke und dem Impuls diese Seitenlängen zu quadrieren, kann der Schüler den Funktionszusammenhang selber entdecken.

Arbeitsblatt mit verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken und einer Tabelle die ausgefüllt werden soll:

{| class="wikitable sortable"
!Dreieck !!Seite a !! Seite b !! Seite c!! a² !! b² !! c² !! a² + b²
|-
| 1 || 2 || 4 || 5 || 9 || 16 || 25 || 25
|}

=== 2)Funktionale Betrachtung ===

Die Wahrscheinlich eleganteste Möglichkeit den Satz des Pythagoras zu entdecken und ihn vor allem zu veranschaulichen, bietet die funktionale Betrachtung. Im Idealfall mit einem DGS wie z.B. Geogebra.
Da es hier möglich ist, eine Größe in Abhängigkeit einer anderen Größe direkt zu vergleichen. Durch diese Abhängigkeit kann man nun direkte Schlüsse auf den Satz ziehen.

Die erste Funktionale Betrachtung bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke:

<ggb_applet width="1400" height="861" version="4.2" ggbBase64="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In einem weiteren Schritt wird überprüft, ob die Erkentniss von den rechtwinkligen Dreiecken auch bei allgmeinen Dreiecen gilt:

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'''Erkenntnisgewinn:''' Die Flächen von a² + b² sind identsich mit der Fläche von c² und dies scheint nur bei rechtwinkligen Dreiecken zu gelten.

=== 3) Verallgemeinerung: ===

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T10:54:39Z

Mahe84: /* 2)Funktionale Betrachtung */

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T10:50:35Z

Mahe84: /* Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung */

Der Satz des Pythagoras - Eine didaktische Umsetzung

2013-01-28T10:49:19Z

Mahe84: /* Die Reduktiven Methoden zur Satzfindung */