Lösung von Aufgabe 12.1P (SoSe 15)

2015-07-15T17:12:17Z

MangoApfel:

Lösung von Aufgabe 12.1P (SoSe 15)

2015-07-15T14:45:24Z

MangoApfel:

Durch welche Abbildung kann die Verkettung zweier Punktspiegelungen ersetzt werden? Begründen Sie!
 
[[Kategorie:Geo_P]]
Vier Spiegelgeraden, also eine gerade Anzahl, können auf zwei Spiegelgeraden reduziert werden. Wenn die zwei Spiegelgeraden der Punktpiegelung jeweils senkrecht aufeinander stehen (also a orthogonal zu b und c orthogonal zu d), dann entsteht eine Verschiebung. Ist dies nicht der Fall entsteht eine Punktspiegelung.

Verkettung zweier Geradenspiegelungen SoSe 15

2015-07-12T16:28:52Z

MangoApfel:

== Verkettung von Abbildungen ==
===== Definition IX.1 : (Verkettung von Abbildungen) =====
:Unter einer Verkettung von Abbildungen versteht man das Hintereinanderausführen zweier oder mehrerer Abbildungen <math>\varphi _{1}..\varphi _{n}</math>. Schreibweise: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}\circ ... \circ \varphi _{n}</math>. 
Anmerkung: In der Literatur wird die Reihenfolge der Verkettung unterschiedlich angewendet: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}</math> kann bedeuten, dass man zuerst <math>\varphi _{1}</math> und dann <math>\varphi _{2}</math> ausführen muss, aber auch die umgekehrte Reihenfolge wird verwendet. Wir einigen uns im Rahmen dieser Veranstaltung für die erste Variante, also die Ausführungsreihenfolge von links nach rechts.

=== Verkettung zweier Geradenspiegelungen===
Gegeben seien zwei Geraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. 
'''Aufgabe:''' Welche prinzipiellen Möglichkeiten bezüglich der Lage der beiden Geraden ''a'' und ''b'' gibt es? Ihre Antwort: 
Wir betrachten zunächst zwei sich schneidende Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 

<ggb_applet width="633" height="538" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
===== Satz IX.1 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' liegt dabei mit seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> auf einem Kreis ''k'' um ''S''. 
'''Beweis:''' 

===== Satz IX.2 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S'', sowie zwei Punkten <math>A\in a</math> und <math>B\in b</math>, die von ''S'' jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> gilt: <math>\left| \angle PSP'' \right| =2\cdot\left| \angle ASB \right|</math>. 
'''Beweis:''' 

Eine Abbildung, wie wir sie auf dieser Seite kennengelernt haben, nennen wir auch Drehung. Definieren Sie im Folgenden den Begriff Drehung: 

===== Definition IX.2 (Drehung): =====
...

=== Die Punktspiegelung als Sonderfall der Drehung===
===== Definition IX.3 (Punktspiegelung): =====
Eine Punktspiegelung ist eine Abbildung, die bei der Verkettung zweier senkrecht aufeinanderstehender Spiegelgeraden entsteht. 

Die Punktspiegelung ist damit eine Drehung mit einem Drehwinkel, der das Maß 180 hat und wird deshalb auch als Halbdrehung bezeichnet. 
Experimentieren Sie mit dem folgenden GeoGebra-Applet. Vergleichen Sie dabei die beiden Möglichkeiten: ''Spiegle Objekt an Gerade'' und ''Spiegle Objekt an Punkt''. 
Können Sie besondere Eigenschaften der Punktspiegelung entdecken, die die allgemeine Drehung nicht aufweist? 
Bewegen Sie den Punkt ''A''. Was fällt Ihnen auf? 

<ggb_applet width="543" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> 
===== Satz IX.3 : =====
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math>. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe

===== Satz IX.4 : =====
Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe 

===== Satz IX.5 : =====
Bei einer Punktspiegelung <math>D(S,180)</math> wird eine Gerade ''g'' für die gilt: <math>S\in g</math> stets auf sich selbst abgebildet. 
'''Beweis:''' 
'''Mit Hilfe der Sätze zur Punktspiegelung lassen sich einige wichtige Winkelsätze der Geometrie beweisen:''' 

===== Satz IX.6 : =====
Paare von Scheitelwinkeln sind zueinander kongruent. 
Beweis: 

===== Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) : =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis: 

===== Satz IX.8 (Stufenwinkelsatz) : =====
Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis: 
 
'''Anmerkung:''' Bei den Beweisen zum Wechselwinkel- bzw. Stufenwinkelsatz gehen wir davon aus, dass es durch einen beliebigen Punkt ''P'' außerhalb einer Geraden ''g'' immer genau eine Parallele ''h'' zu ''g'' gibt, die durch den Punkt ''P'' verläuft. Dass es in der ebenen Geometrie eine solche Parallele geben muss können wir beweisen, dass es höchstens eine solche Parallele gibt wird durch ein Axiom festgelegt. Es handelt sich hier um das berühmte Parallelenaxiom. Näheres hierzu finden Sie im Sekundarstufen-Wiki! 

===Verkettung zweier Geradenspiegelungen mit zueinander parallelen Achsen===
Wir betrachten nun zwei parallele Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
<ggb_applet width="731" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
===== Satz IX.9 : =====
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' hat dabei zu seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> einen Abstand der doppelt so groß ist als der Abstand der beiden Spiegelgeraden. 
'''Beweis:''' 
Obige Abbildung nennt man auch Translation, Parallelverschiebung oder einfach nur Verschiebung. Definieren Sie den Begriff Translation formal korrekt: 

===== Definition IX.4 (Translation):
Die Verkettung zweier Geradenspiegelungen mit zueinander parallelen Achsen nennt man Translation.=====

Lösung von Aufg. 6.1P (SoSe 15)

2015-06-04T13:30:38Z

MangoApfel:

Unter einem Dreieck versteht man die Vereinigungsmenge von drei besonderen Strecken (umgangssprachlich: Das Dreieck ist sein Rand.). Definieren Sie den Begriff Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. 

[[Kategorie:Geo_P]]

"Es seien 3 Punkte A, B und C, die nicht kollinear sind. Das Dreieck ABC ist die Vereinigungsmenge der drei Strecken AB, BC und AC."

Benutzer:MangoApfel

2015-04-22T13:23:44Z

MangoApfel: Volumenformel des Quaders

[[Datei:20150422 150245 1.jpg|thumb|Quader]]

V = a · b · c

Datei:20150422 150245 1.jpg

2015-04-22T13:15:53Z

MangoApfel: User created page with UploadWizard

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Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Lösung von Aufgabe 12.1P (SoSe 15)

Lösung von Aufgabe 12.1P (SoSe 15)

Verkettung zweier Geradenspiegelungen SoSe 15

Lösung von Aufg. 6.1P (SoSe 15)

Benutzer:MangoApfel

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