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Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks (SoSe 11)

2011-07-19T14:53:39Z

Mathegott:

== Winkelhalbierenden eines Dreiecks ==
===== Definition XV.1 : (Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
::Unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks versteht man die Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Dreiecks.
===== Satz XV.1a : (Abstand eines Punktes einer Winkelhalbierenden zu den Schenkeln des Winkels) =====
::Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines Winkels hat zu den Schenkeln des Winkels jeweils ein und denselben Abstand.
===== Satz XV.1b : (Umkehrung von Satz XV.1a) =====
(das können Sie selbst:) 

Jeder Punkt im Inneren eines Winkels, der zu den Schenkeln jeweils denselben Abstand hat, ist die Winkelhalbierende des Winkels. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 15:53, 12. Jul. 2011 (CEST) 
schreiben Sie besser: ...gehört zur Winkelhalbierenden des Winkels. Nach Ihrer Formulierung könnte sonst eine Winkelhalbierende aus einem einzigen Punkt bestehen.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:27, 17. Jul. 2011 (CEST)

===== Winkelhalbierendenkriterium=====
(auch das sollten Sie jetzt selbst hinbekommen:) 

 Der Strahl <math>\ SW^{+}</math> ist genau dann Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math> , wenn jeder Punkt der Winkelhalbierenden zu den Schenkeln ein und denselben Abstand hat. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 23:24, 11. Jul. 2011 (CEST) 
schreiben Sie besser: ...wenn jeder Punkt des Strahls zu den Schenkeln..., denn Sie wollen ja die Bedingung beschreiben, die für den Strahl gelten muss, damit er Winkelhalbierende ist--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:36, 17. Jul. 2011 (CEST)
oder
 Genau dann, wenn jeder Punkt der zu den Schenkeln eines Winkels ein und denselben Abstand hat, dann liebt die Winkelhalbierenden im Inneren des Winkels. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 16:02, 12. Jul. 2011 (CEST) 

Versuchen Sie doch mal die folgende Formulierung zu vervollständigen:--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:41, 17. Jul. 2011 (CEST) 
Es sei ''P'' ein Punkt aus dem Inneren des Winkels <math>\alpha</math>. ''P'' ist genau dann ein Punkt der... 

Es sei ''P'' ein Punkt aus dem Inneren des Winkels <math>\alpha</math>. ''P'' ist genau dann ein Punkt der Winkelhalbierenden, wenn er zu den beiden Schenkeln des Winkels <math>\alpha</math> ein und denselben Abstand hat.--[[Benutzer:Bushido|Bushido]]

===== Satz XV.2 : (Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt.

Beweis von Satz XV.2 mit Hilfe des Winkelhalbierendenkriteriums: Versuchen Sie es selbst: 

== Inkreis eines Dreiecks ==
===== Definition XV.2 : (Tangente an einen Kreis) =====
Eine Gerade <math>\ t</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie mit dem Kreis <math>\ k</math> genau einen Punkt <math>\ P</math> gemeinsam hat. Die Gerade <math>\ t</math> heißt Tangente im Punkt <math>\ P</math>. es musst noch ergänzt werden, dass der Punkt P Berührpunkt heißt. [[Benutzer:Mathegott|Mathegott]] 16:53, 19. Jul. 2011 (CEST)
===== Definition XV.3 : (Strecke berührt Kreis) =====
Eine Strecke <math>\overline{AB}</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie... (ergänzen Sie!) 
Teilmenge der Tangente AB des Kreises ist. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 16:22, 13. Jul. 2011 (CEST)
 
Das kann stimmen, gilt aber nicht allgemein.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:46, 18. Jul. 2011 (CEST) 

Eine Strecke AB berührt einen Kreis k, wenn sie Teilmenge der Tangente AB des Kreises k ist und der Berührpunkt zu der Strecke AB gehört.[[Benutzer:Mathegott|Mathegott]] 16:53, 19. Jul. 2011 (CEST)

===== Definition XV.4 : (Inkreis eines Dreiecks) =====
::Ein Kreis, der alle drei Seiten eines Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt, heißt Inkreis des Dreiecks.

===== Satz XV.3 : (Existenz und Eindeutigkeit des Inkreises) =====
...ergänzen Sie! 

Jedes Dreieck hat genau einen Inkreis.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 23:26, 11. Jul. 2011 (CEST) 

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung Aufgabe 1b SS11

2011-07-17T11:51:20Z

Mathegott:

Der Kreis <math>k</math> ist die Menge aller Punkte die zu <math>M</math> den Abstand <math>r</math> haben und mit <math>M</math> in derselben Ebene liegen. M heißt Mittelpunkt von k und r der Radius von k.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:20, 26. Jun. 2011 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

<math>k:=\{P| |PM|=r \}</math> Geschnitten mit einer Ebene die den Punkt M enthält.

Probeklausur (SoSe 11)

2011-07-17T11:50:09Z

Mathegott: /* 1. b */

==Bemerkungen vorab==
Die Probeklausuren sind geschrieben. Das Bild, das sich dabei bei einigen Kommilitonen bot, ist erschreckend. Wer nach der Intensität, mit der wir auf den Begriffen ''Strecke'' oder ''Inneres eines Winkels'' herumgeritten sind, nicht ad hoc auch ohne explizite Vorbereitung eine entsprechende Definition anbieten kann, hat definitiv nicht verstanden, wie und in welcher Form Mathematik gelernt werden muss.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:47, 26. Jun. 2011 (CEST)
==Die Klausur als PDF==
{{pdf|Probeklausur_SS_11.pdf‎|Probeklausur_SS_11}}
==Die Klausuraufgaben zum Diskutieren==
===Aufgabe 1===
====1. a====
Definieren Sie den Begriff offene Strecke <math>\overline{AB}</math>

[[Lösung_Aufgabe_1a_SS11]]

====1. b====
Definieren Sie, was man unter dem ''Kreis <math>k</math> mit dem Radius <math>r</math> und dem Mittelpunkt
<math>M</math>'' versteht.

[[Lösung_Aufgabe_1b_SS11]]

====1. c====
Definieren Sie den Begriff ''Inneres eines Kreises''.

[[Lösung_Aufgabe_1c_SS11]]

====1. d====
Was ist an der folgenden Definition nicht korrekt? 
Definition (''gleichschenkliges Dreieck''): 
::Wenn ein Dreieck zueinander kongruente Basiswinkel hat, so ist es ''gleichschenklig''.

[[Lösung_Aufgabe_1c_SS11]]

====1. e====
Unter dem Raum <math>\mathbb{P}</math>versteht man die Menge aller Punkte. Die Punktmenge
<math>\varepsilon \subset \mathbb{P}</math> sei eine Ebene. Gegeben sei ferner <math>\ Q</math> mit <math>Q \in \mathbb{P} \land Q \not \in \varepsilon</math>. Definieren Sie die Begriffe Halbraum <math>\varepsilon Q^+</math> und <math>\varepsilon Q^-</math>.

[[Lösung_Aufgabe_1e_SS11]]

====1. f====
Definieren Sie den Begriff regelmäßiges Sechseck. Der Begriff n-Eck sei bereits
definiert.

[[Lösung_Aufgabe_1f_SS11]]

===Aufgabe 2===
====2. a====
Es sei <math>gQ^+ \subset \varepsilon</math> eine offene Halbebene der Ebene <math>\varepsilon</math>. Es gelte<math> P \in gQ^+</math> . Man beweise:<math> A \in gQ^+ \Rightarrow A \in gP^+</math>. (Skizzen helfen)

[[Lösung_Aufgabe_2a_SS11]]
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

====2. b====
Formulieren Sie die Kontraposition der Implikation aus Teilaufgabe a).

[[Lösung_Aufgabe_2b_SS11]]

====2. c====
Warum bedarf die Implikation aus Teilaufgabe b) keines Beweises mehr?

[[Lösung_Aufgabe_2c_SS11]]

====2. d====
Wir wissen bereits, dass Halbebenen konvexe Punktmengen sind. Begründen Sie, dass das Innere eines Winkels immer eine konvexe Punktmenge ist. Sie dürfen in Ihrer Begründung auf Sätze aus der Vorlesung verweisen, ohne diese noch einmal beweisen zu müssen. (Tabu ist diesbezüglich natürlich der Satz ''Das Innere eines Winkels ist konvex''.)

[[Lösung_Aufgabe_2d_SS11]]

====2. e====
Beweisen Sie: Jede Strecke <math>\overline{AB}</math> hat höchstens einen Mittelpunkt.

[[Lösung_Aufgabe_2e_SS11]]

==Die Probeklausur vom letzten Semester==
===als PDF===
{{pdf|Probeklausur_SoSe_11_(1).pdf‎ |alte Probeklausur}}

== Aufgabe 1 ==
a) Definieren Sie den Begriff: "Konkave Punktmenge" ohne den Begriff "konvex" zu gebrauchen. 

b) Begründen Sie, dass der Schnitt einer offenen Halbebene ''E'' mit einer Halbgeraden, die zwei Punkte mit ''E'' gemeinsam hat, auf jeden Fall eine konvexe Punktmenge ist. 

c) Zeigen Sie an einem Beispiel, dass die Vereinigungsmenge des Inneren zweier Drachenvierecke, die keine Rauten sind, konkav sein kann. 

[[Lösung von Aufg. 1_SS11]]

== Aufgabe 2 ==
Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?

a) <math>\ AB^{+} \cap BA^{+} =</math> <br\>

b) <math>\ AB^{-} \cap BA^{-} =</math> <br\>

c) <math>\ AB \mathrm{~geschnitten~mit~dem~Kreis~um} \ A \mathrm{~durch} \ B =</math>

d)<math>\ AB \cap BA =</math> <br\>

[[Lösung von Aufg. 2_SS11]]

== Aufgabe 3 ==
Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn ein Punkt ''P'' zur Mittelsenkrechten der Strecke gehört, dann hat er zu den Punkten ''A'' und ''B'' ein und denselben Abstand. 
a) Formulieren Sie die Kontraposition dieser Implikation. 
b) Formulieren Sie die Umkehrung dieser Implikation. 

[[Lösung von Aufg. 3_SS11]]

==Aufgabe 4==
Definieren Sie den Begriff Strahl <math>\ AB^{+}</math>. Verwenden Sie dabei den Begriff Strecke. 

[[Lösung von Aufg. 4_SS11]]

==Aufgabe 5==
Definition (gemeiner Dreiecksschneider): Unter einem gemeinen Dreieckschneider versteht man eine Gerade, die alle drei offenen Seiten eines Dreiecks schneidet. 

Beschreiben Sie die Menge aller gemeinen Dreiecksschneider und begründen Sie Ihre Aussage. 

[[Lösung von Aufg. 5_SS11]]

==Aufgabe 6==
Es seien ''A'', ''B'' und ''C'' drei paarweise verschiedene Punkte. Beweisen Sie: 
<math>\ Zw(A,B,C)\Rightarrow \neg Zw(B,A,C)</math> <br\>

[[Lösung von Aufg. 6_SS11]]

==Aufgabe 7==
Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' in einer Ebene ''E''. Ferner sei eine Gerade ''g'' Teilmenge der Ebene ''E'', wobei keiner der Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' auf ''g'' liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang: 
<math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace </math> 

[[Lösung von Aufg. 7_SS11]]

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 6.5 (SoSe 11)

2011-07-15T20:03:18Z

Mathegott:

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>. 
a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation. 
b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen. 
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen. 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

a) Die Relation <math>\ \Theta</math> besagt, dass dann die Strecke AB parallel zur Gerade g ist. Denn nur dann hat die Strecke AB mit g eine leere Schnittmenge. Das heißt, der Abstand A zu g ist gleich groß wie der Abstand von B zu g.

b) <math>\ \Theta</math> ist eine Äquivalenzrelation denn:

Reflexivität: Ein Punkt A hat zur gerade g den gleichen Abstand wie ein Punkt A
Symmetrie: Hat A und B zu g den gleichen Abstand, dann auch B und A zu g.
Transitivität: Wenn A und B zu g den gleichen Abstand haben und B und C zu g den gleichen Abstand haben, dann auch A zu C. Denn A,B,C müssen alle auf einer Gerade liegen, die parallel zu g liegt.

--[[Benutzer:Madita|Madita]] 15:24, 19. Mai 2011 (CEST)
Aus der Übung vom 20.05.11: 
Stimmt nicht ganz: 
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Uebungen/serie%2006/Student%20Submissions_111.png" width="720" height="540" frameborder="2"></iframe> 
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 16:32, 20. Mai 2011 (CEST)

Es handelt sich hierbei um die Relation "befinden sich in ein und derselben Halbebene".
1) reflexiv, da ein Punkt sich nur in einer Halbebene befinden kann.
2) symmetrisch: wenn Strecke AB sich in einer Halbebene befinden dann auch Strecke BA (aufgrund der Identität)
3) transitiv: Wenn Strecke AB und BC sich in der selben Halbebene befinden, dann auch die Strecke AC (Beweisbar mit Axiom von Pasch) [[Benutzer:Mathegott|Mathegott]] 22:03, 15. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 6.4 (SoSe 11)

2011-07-15T19:53:04Z

Mathegott:

Gegeben sei eine Gerade ''g'' und ein Punkt ''P'' auf ''g''. Durch diesen Punkt ''P'' wird die Gerade ''g'' in zwei Halbgeraden geteilt. 
a) Warum ist diese Einteilung von ''g'' in die zwei Halbgeraden bezüglich ''P'' keine Klasseneinteilung auf der Menge der Punkte von ''g''? 
b) Geben Sie zwei Klasseneinteilungen auf der Menge der Punkte von ''g'' an, die den Punkt ''P'' und die auf ''g'' durch ''P'' bestimmten Halbgeraden in modifizierter Form verwenden. 
Wir haben uns in der Vorlesung darauf geeinigt, dass eine Relation eine Teilmenge eines Kreuzproduktes zweier Mengen ist. Somit hat man entweder eine Relation auf einer gleichen Menge oder zwischen einer anderen. Man hat aber immer einen Vorbereich (Ursprungsmenge) steht in irgendeiner Relation zu bzw. auf einem Nachbereich (Zielmenge). 
Bei dieser Aufgabe haben wir auch sowohl einen Vor- als einen Nachbereich, nämlich die Menge aller Punkte der Gerade g. 
Was uns aber fehlt, ist die Relation der Menge aller Punkte der Geraden g auf die Menge aller Punkte der Geraden g. Selbst wenn wir sagen die Punkte die halt links sind (bzw. rechts) kommen je in eine Klasse, dann haben wir noch keine Relation (zweistellig - nur eine einstellige Relation ist sowas wie ein "Oxymoron")
 
Lösbar ist es (glaube ich - wenn auch math. nicht ganz exakt): Vorbereich: Menge aller Punkte der Geraden g; Nachbereich: Menge aller Punkte P der Geraden g, die entsprechende Relation kann dann sein: - haben die gleiche Richtung (obwohl ich mir nicht sicher bin, ob Punkt eine Richtung haben, ich glaube nicht) - liegen links von - liegen rechts von

somit: alle Punkte der Geraden g liegen links vom Punkt P..
 
"Und wie immer gilt: Anstelle von Punkt, Geraden und Ebene muss man jederzeit Tische, Stühle oder Bierseidel sagen können" --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 23:19, 17. Mai 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

mal etwas verständlicher: Wenn wir von 2 Halbgeraden sprechen, ist in beiden der Punkt P enthalten. Dies ist bei einer Klasseneinteilung nicht erlaubt. Man müsste die Halbgeraden in 2 offene Halbgeraden und den Punkt P einteilen. Somit hätten wir eine richtige Klasseneinteilung. [[Benutzer:Mathegott|Mathegott]] 21:53, 15. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.2 (SoSe11)

2011-07-15T17:17:45Z

Mathegott:

a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach). 
b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt ''S'' geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)? 
#<math>\ a \ \| \ b \Rightarrow \alpha \cong \beta </math>
#<math>\alpha \cong \beta \Rightarrow \ a \ \| \ b </math>
#<math>\alpha \not\cong \beta \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
#<math>\ a \ \| \ b \Leftrightarrow \alpha \cong \beta </math>

 a) Es seien a und b zwei nichtidentische Geraden, die von einer dritten Geraden geschnitten werden. Dabei entstehen die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta </math>. Diese Winkel sind kongruent zueinander, wenn die Geraden a und b parallel zueinander sind. 

 b) Version 1 und 2 können als "genau dann wenn" Aussage zusammengefasst werden
beI 3. fehlt, dass in diesem Fall die Geraden nicht parallel sein dürfen
4. stellt die Kombination aus 1 und 2 dar--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 14:33, 5. Mai 2011 (CEST) 
Bei welcher Aussage handelt es sich denn um den Stufelwinkelsatz? Ist eine der Aussagen eine Umkehrung des Stufenwinkelsatzes?--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 13:20, 6. Mai 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]] Liest man die Aufgabe, dann werden auch die Antworten klar!--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:47, 8. Mai 2011 (CEST)

a) Stufenwinkelsatz: Stufenwinkel an zwei geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.--[[Benutzer:Engel81|Engel81]] 18:36, 6. Mai 2011 (CEST) 
 
b) 1. ist der Stufenwinkelsatz, 2. die Umkehrung und 4. die Zusammenfassung--[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 19:01, 8. Mai 2011 (CEST) 
Man könnte, wie hier schon beschrieben wurde, 4. als eine "Zusammenfassung" von 1. und 2. beschreiben, also eine Art "Stufenwinkelkriterium". Um was handelt es sich beim 3. Punkt? Flo21 hat weiter oben schon etwas dazu gesagt und vllt. könnte man an dieser Stelle noch einmal darüber diskutieren.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 12:56, 13. Mai 2011 (CEST)
 Der 3. Punkt ist die Kontraposition.--[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 10:39, 14. Mai 2011 (CEST)
ja, richtig. Ist 3. dann eine äuquivalente Aussage zum Stufenwinkelsatz?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:13, 9. Jun. 2011 (CEST) 

Stimmt es,dass 4. dann keine äquivalente Aussage ist? Ist das so, weil der Stufenwinkelsatz nur ein Satz ist, und keine Äquivalenz? "[[Benutzer:Michi6889|Michi6889]] 17:34, 14. Mai 2011 (CEST)"
Stimmt, denn das Kriterium beinhaltet neben dem Satz auch die Umkehrung und nach Adam Riese ist 2 > 1 (Im Kriterium hast du zwei hinreichende und notwendige Bedingungen, im Satz bzw. der Umkehrung je nur eine) --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:39, 14. Mai 2011 (CEST) 
3. ist die Kontraposition zum Stufenwinkelsatz und somit eine äquivalente Aussage.--[[Benutzer:Katrin|Katrin]] 17:39, 18. Jun. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 11.4 (SoSe 11)

2011-06-28T17:54:48Z

Mathegott:

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' in einer Ebene ''E''. Ferner sei eine Gerade ''g'' Teilmenge der Ebene ''E'', wobei keiner der Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' auf ''g'' liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang: 
<math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace </math> 

[[Category:Einführung_Geometrie]]
<br\><br\>
Beweis: durch Widerspruch:<br\>

o.B.d.A. gelte <math>\operatorname(Zw) (A, B, C)</math><math>\Rightarrow \overline{AB} \subset \overline{AC}</math> <br\>

Voraussetztung:<math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace</math><br\>
Annahme: <math>\overline{AC} \cap g = \lbrace \rbrace</math> <br\>
da<math> \overline{AC} \cap g =\lbrace \rbrace \Rightarrow \forall P\epsilon \overline{AC}: P\not\in g</math> 
<math>\Rightarrow \forall P\in \overline{AB} : P \not\in g\Rightarrow Widerspruch</math> zu <math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace</math><br\>
<math>\Rightarrow</math> <math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace </math> --[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 16:13, 22. Jun. 2011 (CEST)<br\>

Ich bezweifle, dass man hier einfach Zw(A,B,C) voraussetzen darf. [[Benutzer:Mathegott|Mathegott]] 20:30, 23. Jun. 2011 (CEST) 
Das sehe ich auch so. Besser ist es in Fälle zu unterscheiden. Falls die Fälle dann sehr ähnlich sind, kann man immer noch "Beweis ist analog zu Fall 1." schreiben. 
Kann man den Beweis auch direkt führen?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:53, 24. Jun. 2011 (CEST)

Fallunterscheidung:

1. zw(A,B,C) siehe oben

2. zw (B,A,C)
-> Strecke BC schneidet g nicht (Vorraussetzung)
-> dann kann g auch nicht die Strecke AB schneiden -> Widerspruch zur Vorraussetzung!

3. zw (A,C,B)
-> Strecke AB schneidet g, Strecke CB schneidet g nicht
-> Dann muss g die Strecke AC schneiden

--[[Benutzer:Madita|Madita]] 15:06, 24. Jun. 2011 (CEST)

Anmerkung 
Berechtigter Einwand Madita, oBdA ist hier nicht richtig, da die Fälle sich unterscheiden. Danke für die Berichtigung. L.G.--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 18:16, 24. Jun. 2011 (CEST)

In der Übung am Montag haben wir diese Aufgabe mit Hilfe des Axiom von Pasch gelöst. Der Beweis war ziemlich komplex. Jetzt stellt sich mir aber die Frage, wieso wir es nicht so lösen dürfen, wie wir es oben gemacht haben? [[Benutzer:Mathegott|Mathegott]] 19:54, 28. Jun. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 11.4 (SoSe 11)

2011-06-23T18:30:40Z

Mathegott:

Lösung von Aufg. 11.1 (SoSe 11)

2011-06-23T18:12:23Z

Mathegott:

Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?

a) <math>\ AB^{+} \cap BA^{+} =</math> <br\>

b) <math>\ AB^{-} \cap BA^{-} =</math> <br\>

c) <math>\ AB \mathrm{~geschnitten~mit~dem~Kreis~um} \ A \mathrm{~durch} \ B =</math>

d)<math>\ AB \cap BA =</math> <br\>

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösungen:<br\>
a) <math>\overline{AB}</math> <br\>
b) <math>\operatorname \lbrace \rbrace</math> 
c) <math>\operatorname B</math> Diese Antwort müsste wohl noch ergänzt werden.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:39, 23. Jun. 2011 (CEST) 
B und P <math>\in</math> AB: |PA| = |AB| [[Benutzer:Mathegott|Mathegott]] 20:11, 23. Jun. 2011 (CEST) 
d)<math>\operatorname AB</math><br\>--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 14:39, 22. Jun. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 11.1 (SoSe 11)

2011-06-23T18:11:53Z

Mathegott:

Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?

a) <math>\ AB^{+} \cap BA^{+} =</math> <br\>

b) <math>\ AB^{-} \cap BA^{-} =</math> <br\>

c) <math>\ AB \mathrm{~geschnitten~mit~dem~Kreis~um} \ A \mathrm{~durch} \ B =</math>

d)<math>\ AB \cap BA =</math> <br\>

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösungen:<br\>
a) <math>\overline{AB}</math> <br\>
b) <math>\operatorname \lbrace \rbrace</math> 
c) <math>\operatorname B</math> Diese Antwort müsste wohl noch ergänzt werden.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:39, 23. Jun. 2011 (CEST) 
B und P <math>\in</math> AB: |PA| = |AB| [[Benutzer:Mathegott|Mathegott]] 20:11, 23. Jun. 2011 (CEST)
d)<math>\operatorname AB</math><br\>--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 14:39, 22. Jun. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 11.1 (SoSe 11)

2011-06-23T18:11:08Z

Mathegott:

Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?

a) <math>\ AB^{+} \cap BA^{+} =</math> <br\>

b) <math>\ AB^{-} \cap BA^{-} =</math> <br\>

c) <math>\ AB \mathrm{~geschnitten~mit~dem~Kreis~um} \ A \mathrm{~durch} \ B =</math>

d)<math>\ AB \cap BA =</math> <br\>

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösungen:<br\>
a) <math>\overline{AB}</math> <br\>
b) <math>\operatorname \lbrace \rbrace</math> 
c) <math>\operatorname B</math> Diese Antwort müsste wohl noch ergänzt werden.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:39, 23. Jun. 2011 (CEST) 
B und P <math>\in</math> AB: |PA| = |AB| 
d)<math>\operatorname AB</math><br\>--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 14:39, 22. Jun. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 11.1 (SoSe 11)

2011-06-23T18:10:04Z

Mathegott:

Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?

a) <math>\ AB^{+} \cap BA^{+} =</math> <br\>

b) <math>\ AB^{-} \cap BA^{-} =</math> <br\>

c) <math>\ AB \mathrm{~geschnitten~mit~dem~Kreis~um} \ A \mathrm{~durch} \ B =</math>

d)<math>\ AB \cap BA =</math> <br\>

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösungen:<br\>
a) <math>\overline{AB}</math> <br\>
b) <math>\operatorname \lbrace \rbrace</math> 
c) <math>\operatorname B</math> Diese Antwort müsste wohl noch ergänzt werden.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:39, 23. Jun. 2011 (CEST) 
B und P <math>\in</math> AB: |PA| = |AB| 
d)<math>\operatorname AB</math><br\>--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 14:39, 22. Jun. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.2 (SoSe11)

2011-06-07T16:45:13Z

Mathegott:

a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach). 
b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt ''S'' geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)? 
#<math>\ a \ \| \ b \Rightarrow \alpha \cong \beta </math>
#<math>\alpha \cong \beta \Rightarrow \ a \ \| \ b </math>
#<math>\alpha \not\cong \beta \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
#<math>\ a \ \| \ b \Leftrightarrow \alpha \cong \beta </math>

 a) Es seien a und b zwei nichtidentische Geraden, die von einer dritten Geraden geschnitten werden. Dabei entstehen die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta </math>. Diese Winkel sind kongruent zueinander, wenn die Geraden a und b parallel zueinander sind. 
a und b müssen parallel sein, somit ist deine Def. falsch![[Benutzer:Mathegott|Mathegott]] 18:45, 7. Jun. 2011 (CEST) 

 b) Version 1 und 2 können als "genau dann wenn" Aussage zusammengefasst werden
beI 3. fehlt, dass in diesem Fall die Geraden nicht parallel sein dürfen
4. stellt die Kombination aus 1 und 2 dar--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 14:33, 5. Mai 2011 (CEST) 
Bei welcher Aussage handelt es sich denn um den Stufelwinkelsatz? Ist eine der Aussagen eine Umkehrung des Stufenwinkelsatzes?--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 13:20, 6. Mai 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]] Liest man die Aufgabe, dann werden auch die Antworten klar!--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:47, 8. Mai 2011 (CEST)

a) Stufenwinkelsatz: Stufenwinkel an zwei geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.--[[Benutzer:Engel81|Engel81]] 18:36, 6. Mai 2011 (CEST) 
 
b) 1. ist der Stufenwinkelsatz, 2. die Umkehrung und 4. die Zusammenfassung--[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 19:01, 8. Mai 2011 (CEST) 
Man könnte, wie hier schon beschrieben wurde, 4. als eine "Zusammenfassung" von 1. und 2. beschreiben, also eine Art "Stufenwinkelkriterium". Um was handelt es sich beim 3. Punkt? Flo21 hat weiter oben schon etwas dazu gesagt und vllt. könnte man an dieser Stelle noch einmal darüber diskutieren.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 12:56, 13. Mai 2011 (CEST)
 Der 3. Punkt ist die Kontraposition.--[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 10:39, 14. Mai 2011 (CEST)

Stimmt es,dass 4. dann keine äquivalente Aussage ist? Ist das so, weil der Stufenwinkelsatz nur ein Satz ist, und keine Äquivalenz? "[[Benutzer:Michi6889|Michi6889]] 17:34, 14. Mai 2011 (CEST)"
Stimmt, denn das Kriterium beinhaltet neben dem Satz auch die Umkehrung und nach Adam Riese ist 2 > 1 (Im Kriterium hast du zwei hinreichende und notwendige Bedingungen, im Satz bzw. der Umkehrung je nur eine) --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:39, 14. Mai 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 3.3 (SoSe11)

2011-06-07T16:18:04Z

Mathegott:

Wir gehen von folgender Definition aus: 
Eine Winkelhalbierende eines Winkels <math>\angle (p,q)</math> ist ein Strahl ''l'', der im Inneren des Winkels <math>\angle (p,q)</math> liegt, den Scheitel des Winkels <math>\angle (p,q)</math> als Anfangspunkt besitzt und diesen Winkel in zwei gleich große Winkel <math>\angle (p,l)</math> und <math>\angle (l,q)</math> unterteilt. 
Außerdem sei folgende genetische Definition gegeben: 
*Gegeben sei ein Winkel <math>\angle (p,q)</math>.
*Man konstruiere auf den beiden Schenkeln des Winkels <math>\angle (p,q)</math> zwei Punkte ''P'' und ''Q'', die vom Scheitel ''S'' des Winkels <math>\angle (p,q)</math> gleich weit entfernt sind.
*Man konstruiere die Strecke <math>\overline{PQ}</math>.
*Man konstruiere den Mittelpunkt ''M'' der Strecke <math>\overline{PQ}</math>.
*Man konstruiere den Strahl ''w'' mit dem Anfangspunkt ''S'', der durch den Punkt ''M'' verläuft.
*Dieser Strahl ''w'' ist die Winkelhalbierende. 
Beweisen Sie, dass durch diese Konstruktionsvorschrift tatsächlich die Winkelhalbierende entsprechend der angegebenen Definition entsteht. 

Wie geht man da vor? bzw. wie fange ich da an? Hat jemand ne ahnung? --[[Benutzer:Nitnelav12|Nitnelav12]] 16:16, 27. Apr. 2011 (CEST)

s. Diskussion --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:53, 27. Apr. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]
[[Link-Text]] 

'''Lösung:''' 

zu zeigen: <MSP = <MSQ 

(1) Strecke SQ = Strecke SP Konstruktionsvorschrift 
(2) Strecke PM = Strecke MQ Konstruktionsvorschrift, Def Mittelpunkt 
(3) Strecke SM = Strecke SM trivial 
(4) Dreieck SMQ = Dreieck SMP SSS, (1),(2),(3) 
(5) <MSP = <MSQ (4) 
q.e.d.[[Benutzer:Mathegott|Mathegott]] 18:18, 7. Jun. 2011 (CEST)