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Die Geradenspiegelung und ihre Eigenschaften SoSe 14

2014-07-04T13:31:31Z

Matheschüler: /* Definition V.6 : (Fixpunktgerade) */

Im Folgenden werden wir uns mit Geometrie in der Ebene beschäftigen. Speziell betrachten wir so genannte Abbildungen der Ebene auf sich selbst und hier wiederum nur ganz bestimmte Abbildungen, die so genannten Kongruenzabbildungen. 
==== Definition V.1 : (Abbildung <math>\varphi</math> )====
::Eine Zuordnung, die jedem Punkt ''P'' der Ebene eindeutig einen Bildpunkt ''P''' zuordnet, nennt man Abbildung. 
::Schreibweise: <math>P'=\varphi (P)</math> 

==== Definition V.2 : (involutorische Abbildung)====
::Eine Abbildung <math>\varphi</math>, die bei zweifacher Ausführung (<math>\varphi (\varphi )</math>) wieder zum Ursprungsbild führt (identische Abbildung), nennt man involutorisch oder involutorische Abbildung.
==== Definition V.3 : (Geraden- oder Achsenspiegelung <math>S_g</math>)====
::Gegeben sei eine Gerade ''g'' in der Ebene. Die Geraden- oder Achsenspiegelung <math>S_g</math> ist die Abbildung der Ebene auf sich selbst, die nach folgender Abbildungsvorschrift jeden Punkt ''P'' seinem Bildpunkt ''P''' zuordnet. 
# <math>\forall P\in g\Rightarrow P=P'</math>
# <math>\forall P\not\in g\Rightarrow PP'\perp \ g \wedge \left| PS \right|=\left| P'S \right| </math> mit <math>\left\{ {S} \right\}=\ g \cap PP' </math>
 
Nutzen Sie die folgende GeoGebra-Applikation um den Punkt P an der Geraden g zu spiegeln. Verschieben den Punkt ''P'' bzw. die Gerade ''g'' um die Definition der Geradenspiegelung nachzuvollziehen. 
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====Konstruktion der Geradenspiegelung mit Zirkel und Lineal====
Erinnern Sie sich an Ihre Schulzeit zurück: Wie haben Sie in der Schule mit Zirkel und Lineal eine Geradenspiegelung angefertigt? 
Ihre Beschreibung (gerne auch als Bild): 

==== Definition V.4 : (Fixpunkte)====
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> ein Bildpunkt ''P''' mit seinem Urbild ''P'' zusammenfällt (''P'' wird auf sich selbst abgebildet), dann heißt ''P'' Fixpunkt der Abbildung <math>\varphi</math>. 
::formal: <math>P=\varphi (P)=P'</math> 
Aufgabe: Welche Punkte sind bei der Geradenspiegelung Fixpunkte? 

==== Definition V.5 : (Fixgerade)====
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> eine Bildgerade ''g''' mit ihrem Urbild ''g'' zusammenfällt, dann heißt ''g'' Fixgerade der Abbildung <math>\varphi</math>. 
Aufgabe: Gibt es Fixgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.? 

Antwort: 1) die Gerade g als Spiegelachse, 2) alle Geraden, die senkrecht auf g stehen
--[[Benutzer:TheBurni|TheBurni]] ([[Benutzer Diskussion:TheBurni|Diskussion]]) 17:39, 23. Jun. 2014 (CEST)
Das ist korrekt. Super!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 14:02, 24. Jun. 2014 (CEST)

==== Definition V.6 : (Fixpunktgerade)====
::Wenn jeder Punkt ''P'' einer Fixgeraden ''g'' auf sich selbst abgebildet wird, so ist die Fixgerade ''g'' auch Fixpunktgerade. 
 
<math>g=\varphi(g)=g'</math> (Beitrag von Matheschüler)
 
 
Aufgabe: Gibt es Fixpunktgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.? 
 
alle Geraden <math>g \equiv </math>Spiegelachse sind Fixgeraden (Beitrag von Matheschüler)
 
Bitte immer Signatur mit Zeitstempel, Matheschüler. Ich verstehe aus deinem Text, dass alle GEraden, die parallel zur Spiegelachse sind, Fixgeraden, oder meinst du Fixpunktgeraden sein sollen. DAs stimmt nicht. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 14:05, 24. Jun. 2014 (CEST)
 
ich meinte: alle Geraden <math>g \equiv </math>Spiegelachse sind Fixpunktgeraden 
also alle Geraden, die mit der Spiegelachse identisch sind, sind Fixpunktgeraden --[[Benutzer:Matheschüler|Matheschüler]] ([[Benutzer Diskussion:Matheschüler|Diskussion]]) 15:31, 4. Jul. 2014 (CEST)

===Eigenschaften einer Geradenspiegelung===
*abstandserhaltend: Der Abstand <math>\left| A'B' \right|</math> zweier Bildpunkte <math>A'</math> und <math>B'</math> ist gleich dem Abstand <math>\left| AB \right|</math> der beiden Urbilder ''A'' und ''B''.
*winkelmaßerhaltend: hier gilt analog: <math>\left| \angle ABC \right|= \left| \angle A'B'C' \right|</math> 
diese beiden Eigenschaften lassen sich axiomatisch begründen, was wir hier aber nicht weiter vertiefen wollen. Alle weiteren Eigenschaften lassen sich aus der Abstands- und Winkelmaßerhaltung ableiten. 

==== Satz V.1 : ====
Die Geradenspiegelung <math>S_g</math> ist eine involutorische Abbildung, d. h. für alle Punkte A, B der Ebene gilt: 
::<math>B=S_g (A)\Rightarrow A=S_g (B)</math> 
Beweis: 

==== Satz V.2 (Streckentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Strecke <math>\overline{AB}</math> auf eine Strecke <math>\overline{A'B'}</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.3 (Längentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Die Länge der Strecke <math>\overline{A'B'}</math>, die bei der Geradenspiegelung <math>S_g(\overline{AB}) </math> entsteht ist gleich der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
Beweis:

==== Satz V.4 (Halbgeradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Halbgerade <math>\ AB^{+}</math> auf eine Halbgerade <math>\ A'B'^{+}</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.5 (Geradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Gerade <math>\ AB</math> auf eine Gerade <math>\ A'B'</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.6 (Winkeltreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird ein Winkel <math>\angle ABC</math> auf einen Winkel <math>\angle A'B'C'</math> abgebildet. Dabei stimmen die Winkelmaße beider Winkel überein. 
Beweis:

==== Satz V.7 (Parallelentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> werden zueinander parallele Geraden <math>f</math> und <math> h</math> auf zwei zueinander parallele Geraden <math>f'</math> und <math>h'</math> abgebildet. 

[[Datei: Parallelentreue_Geradenspiegelung.PNG]]

[[Category:Einführung_P]]

Beweis:

Die Geradenspiegelung und ihre Eigenschaften SoSe 14

2014-06-23T19:28:07Z

Matheschüler: /* Definition V.6 : (Fixpunktgerade) */

Im Folgenden werden wir uns mit Geometrie in der Ebene beschäftigen. Speziell betrachten wir so genannte Abbildungen der Ebene auf sich selbst und hier wiederum nur ganz bestimmte Abbildungen, die so genannten Kongruenzabbildungen. 
==== Definition V.1 : (Abbildung <math>\varphi</math> )====
::Eine Zuordnung, die jedem Punkt ''P'' der Ebene eindeutig einen Bildpunkt ''P''' zuordnet, nennt man Abbildung. 
::Schreibweise: <math>P'=\varphi (P)</math> 

==== Definition V.2 : (involutorische Abbildung)====
::Eine Abbildung <math>\varphi</math>, die bei zweifacher Ausführung (<math>\varphi (\varphi )</math>) wieder zum Ursprungsbild führt (identische Abbildung), nennt man involutorisch oder involutorische Abbildung.
==== Definition V.3 : (Geraden- oder Achsenspiegelung <math>S_g</math>)====
::Gegeben sei eine Gerade ''g'' in der Ebene. Die Geraden- oder Achsenspiegelung <math>S_g</math> ist die Abbildung der Ebene auf sich selbst, die nach folgender Abbildungsvorschrift jeden Punkt ''P'' seinem Bildpunkt ''P''' zuordnet. 
# <math>\forall P\in g\Rightarrow P=P'</math>
# <math>\forall P\not\in g\Rightarrow PP'\perp \ g \wedge \left| PS \right|=\left| P'S \right| </math> mit <math>\left\{ {S} \right\}=\ g \cap PP' </math>
 
Nutzen Sie die folgende GeoGebra-Applikation um den Punkt P an der Geraden g zu spiegeln. Verschieben den Punkt ''P'' bzw. die Gerade ''g'' um die Definition der Geradenspiegelung nachzuvollziehen. 
<ggb_applet width="792" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

====Konstruktion der Geradenspiegelung mit Zirkel und Lineal====
Erinnern Sie sich an Ihre Schulzeit zurück: Wie haben Sie in der Schule mit Zirkel und Lineal eine Geradenspiegelung angefertigt? 
Ihre Beschreibung (gerne auch als Bild): 

==== Definition V.4 : (Fixpunkte)====
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> ein Bildpunkt ''P''' mit seinem Urbild ''P'' zusammenfällt (''P'' wird auf sich selbst abgebildet), dann heißt ''P'' Fixpunkt der Abbildung <math>\varphi</math>. 
::formal: <math>P=\varphi (P)=P'</math> 
Aufgabe: Welche Punkte sind bei der Geradenspiegelung Fixpunkte? 

==== Definition V.5 : (Fixgerade)====
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> eine Bildgerade ''g''' mit ihrem Urbild ''g'' zusammenfällt, dann heißt ''g'' Fixgerade der Abbildung <math>\varphi</math>. 
Aufgabe: Gibt es Fixgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.? 

Antwort: 1) die Gerade g als Spiegelachse, 2) alle Geraden, die senkrecht auf g stehen
--[[Benutzer:TheBurni|TheBurni]] ([[Benutzer Diskussion:TheBurni|Diskussion]]) 17:39, 23. Jun. 2014 (CEST)

==== Definition V.6 : (Fixpunktgerade)====
::Wenn jeder Punkt ''P'' einer Fixgeraden ''g'' auf sich selbst abgebildet wird, so ist die Fixgerade ''g'' auch Fixpunktgerade. 
 
<math>g=\varphi(g)=g'</math>
 
 
Aufgabe: Gibt es Fixpunktgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.? 
 
alle Geraden <math>g \equiv </math>Spiegelachse sind Fixgeraden
 

===Eigenschaften einer Geradenspiegelung===
*abstandserhaltend: Der Abstand <math>\left| A'B' \right|</math> zweier Bildpunkte <math>A'</math> und <math>B'</math> ist gleich dem Abstand <math>\left| AB \right|</math> der beiden Urbilder ''A'' und ''B''.
*winkelmaßerhaltend: hier gilt analog: <math>\left| \angle ABC \right|= \left| \angle A'B'C' \right|</math> 
diese beiden Eigenschaften lassen sich axiomatisch begründen, was wir hier aber nicht weiter vertiefen wollen. Alle weiteren Eigenschaften lassen sich aus der Abstands- und Winkelmaßerhaltung ableiten. 

==== Satz V.1 : ====
Die Geradenspiegelung <math>S_g</math> ist eine involutorische Abbildung, d. h. für alle Punkte A, B der Ebene gilt: 
::<math>B=S_g (A)\Rightarrow A=S_g (B)</math> 
Beweis: 

==== Satz V.2 (Streckentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Strecke <math>\overline{AB}</math> auf eine Strecke <math>\overline{A'B'}</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.3 (Längentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Die Länge der Strecke <math>\overline{A'B'}</math>, die bei der Geradenspiegelung <math>S_g(\overline{AB}) </math> entsteht ist gleich der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
Beweis:

==== Satz V.4 (Halbgeradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Halbgerade <math>\ AB^{+}</math> auf eine Halbgerade <math>\ A'B'^{+}</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.5 (Geradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Gerade <math>\ AB</math> auf eine Gerade <math>\ A'B'</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.6 (Winkeltreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird ein Winkel <math>\angle ABC</math> auf einen Winkel <math>\angle A'B'C'</math> abgebildet. Dabei stimmen die Winkelmaße beider Winkel überein. 
Beweis:

==== Satz V.7 (Parallelentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> werden zueinander parallele Geraden <math>f</math> und <math> h</math> auf zwei zueinander parallele Geraden <math>f'</math> und <math>h'</math> abgebildet. 

[[Datei: Parallelentreue_Geradenspiegelung.PNG]]

[[Category:Einführung_P]]

Beweis:

Strecken und Halbgeraden SoSe 14

2014-06-10T15:14:57Z

Matheschüler:

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und auch Ebenen sind Grundbegriffe, die wir in unserer Geometrie nicht definieren können. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Da wir alle unsere geometrischen Objekte als Punktmengen betrachten, wäre es schön, wenn wir die Strecke als Menge von Punkten mit bestimmten Eigenschaften definieren könnten. An dieser Stelle brauchen wir eine neue Relation, die so genannte Zwischenrelation, die uns diese benötigten Eigenschaften liefert: 
=Vorbetrachtungen:=
==== Der Abstand zweier Punkte ====
Der Begriff des Abstands zweier Punkt ist ebenfalls ein Grundbegriff, den wir nicht definieren werden können. Wir können uns den Abstand aber als genau eine reelle Zahl vorstellen, die zwei Punkten eindeutig zugeordnet werden kann (intuitiv: das Maß der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten). Für den Abstand der beiden Punkte ''A'' und ''B'' schreibt man: <math>\left| AB \right|</math>

=====Definition I/1: (kollinear)=====
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind.

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Die Dreiecksungleichung =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition I.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz I.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz I.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz I.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.3: =====
::Übungsaufgabe

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition I.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte und <math>\ P</math> die Menge aller Punkte, 
(ergänzen Sie) 

die vereinigt mit der Menge <math> \{A,B\}</math> die Strecke <math>\overline{AB}</math> ergeben, wenn <math> \ P</math> zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegt.
 
 
<math>\overline{AB}:= \{P|Zw(A,P,B)\} \cup \{A,B\}</math> (Matheschüler-Beitrag) 
Die zweite Definition ist korrekt, die erste ist so nicht korrekt, da schlecht versprachlicht.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 14:26, 31. Mai 2014 (CEST)

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier: 

Mit dem Begriff des Abstands können wir einer Strecke eindeutig eine Länge zuordnen.

===== Definition I.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie) 

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition I.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
Beide Definitionen von Matheschüler 

:Definition: Halbgerade <math>AB^+ = \overline{AB} \cup \{P|Zw(A,B,P)\}</math> 
 
Diese Definition ist korrekt, es gibt allerdings noch viele andere Möglichkeiten. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 14:27, 31. Mai 2014 (CEST)
:Definition: Halbgerade <math>AB^- = {A} \cup \{P|Zw(P,A,B)\}</math>
Diese Definition ist falsch.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 14:27, 31. Mai 2014 (CEST)
[[Category:Einführung_P]]

habe die zweite Def nun korrigiert, hoffe sie ist richtig. für die erste fällt mir keine allgemeinere Def. ein. andere menschen, warum helft ihr nicht? --[[Benutzer:Matheschüler|Matheschüler]] ([[Benutzer Diskussion:Matheschüler|Diskussion]]) 17:14, 10. Jun. 2014 (CEST)

Strecken und Halbgeraden SoSe 14

2014-05-26T16:03:34Z

Matheschüler: /* Definition I.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) */

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und auch Ebenen sind Grundbegriffe, die wir in unserer Geometrie nicht definieren können. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Da wir alle unsere geometrischen Objekte als Punktmengen betrachten, wäre es schön, wenn wir die Strecke als Menge von Punkten mit bestimmten Eigenschaften definieren könnten. An dieser Stelle brauchen wir eine neue Relation, die so genannte Zwischenrelation, die uns diese benötigten Eigenschaften liefert: 
=Vorbetrachtungen:=
==== Der Abstand zweier Punkte ====
Der Begriff des Abstands zweier Punkt ist ebenfalls ein Grundbegriff, den wir nicht definieren werden können. Wir können uns den Abstand aber als genau eine reelle Zahl vorstellen, die zwei Punkten eindeutig zugeordnet werden kann (intuitiv: das Maß der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten). Für den Abstand der beiden Punkte ''A'' und ''B'' schreibt man: <math>\left| AB \right|</math>

=====Definition I/1: (kollinear)=====
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind.

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Die Dreiecksungleichung =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition I.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz I.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz I.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz I.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.3: =====
::Übungsaufgabe

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition I.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte und <math>\ P</math> die Menge aller Punkte, 
die vereinigt mit der Menge <math> \{A,B\}</math> die Strecke <math>\overline{AB}</math> ergeben, wenn <math> \ P</math> zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegt.
 
 
<math>\overline{AB}:= \{P|Zw(A,P,B)\} \cup \{A,B\}</math>

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier: 

Mit dem Begriff des Abstands können wir einer Strecke eindeutig eine Länge zuordnen.

===== Definition I.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie) 

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition I.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition: Halbgerade <math>AB^+ = \overline{AB} \cup \{P|Zw(A,B,P)\}</math> 
 
:Definition: Halbgerade <math>AB^- = \overline{AB} \cup \{P|Zw(P,A,B)\}</math>
[[Category:Einführung_P]]

Strecken und Halbgeraden SoSe 14

2014-05-26T15:58:46Z

Matheschüler: /* Definition I.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) */

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und auch Ebenen sind Grundbegriffe, die wir in unserer Geometrie nicht definieren können. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Da wir alle unsere geometrischen Objekte als Punktmengen betrachten, wäre es schön, wenn wir die Strecke als Menge von Punkten mit bestimmten Eigenschaften definieren könnten. An dieser Stelle brauchen wir eine neue Relation, die so genannte Zwischenrelation, die uns diese benötigten Eigenschaften liefert: 
=Vorbetrachtungen:=
==== Der Abstand zweier Punkte ====
Der Begriff des Abstands zweier Punkt ist ebenfalls ein Grundbegriff, den wir nicht definieren werden können. Wir können uns den Abstand aber als genau eine reelle Zahl vorstellen, die zwei Punkten eindeutig zugeordnet werden kann (intuitiv: das Maß der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten). Für den Abstand der beiden Punkte ''A'' und ''B'' schreibt man: <math>\left| AB \right|</math>

=====Definition I/1: (kollinear)=====
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind.

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Die Dreiecksungleichung =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition I.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz I.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz I.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz I.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.3: =====
::Übungsaufgabe

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition I.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte und <math>\ P</math> die Menge aller Punkte, 
die vereinigt mit der Menge <math> \{A,B\}</math> die Strecke <math>\overline{AB}</math> ergeben, wenn <math> \ P</math> zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegt.

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier: 

Mit dem Begriff des Abstands können wir einer Strecke eindeutig eine Länge zuordnen.

===== Definition I.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie) 

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition I.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition: Halbgerade <math>AB^+ = \overline{AB} \cup \{P|Zw(A,B,P)\}</math> 
 
:Definition: Halbgerade <math>AB^- = \overline{AB} \cup \{P|Zw(P,A,B)\}</math>
[[Category:Einführung_P]]

Strecken und Halbgeraden SoSe 14

2014-05-26T15:52:22Z

Matheschüler:

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und auch Ebenen sind Grundbegriffe, die wir in unserer Geometrie nicht definieren können. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Da wir alle unsere geometrischen Objekte als Punktmengen betrachten, wäre es schön, wenn wir die Strecke als Menge von Punkten mit bestimmten Eigenschaften definieren könnten. An dieser Stelle brauchen wir eine neue Relation, die so genannte Zwischenrelation, die uns diese benötigten Eigenschaften liefert: 
=Vorbetrachtungen:=
==== Der Abstand zweier Punkte ====
Der Begriff des Abstands zweier Punkt ist ebenfalls ein Grundbegriff, den wir nicht definieren werden können. Wir können uns den Abstand aber als genau eine reelle Zahl vorstellen, die zwei Punkten eindeutig zugeordnet werden kann (intuitiv: das Maß der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten). Für den Abstand der beiden Punkte ''A'' und ''B'' schreibt man: <math>\left| AB \right|</math>

=====Definition I/1: (kollinear)=====
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind.

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Die Dreiecksungleichung =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition I.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz I.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz I.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz I.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.3: =====
::Übungsaufgabe

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition I.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie) 

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier: 

Mit dem Begriff des Abstands können wir einer Strecke eindeutig eine Länge zuordnen.

===== Definition I.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie) 

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition I.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition: Halbgerade <math>AB^+ = \overline{AB} \cup \{P|Zw(A,B,P)\}</math> 
 
:Definition: Halbgerade <math>AB^- = \overline{AB} \cup \{P|Zw(P,A,B)\}</math>
[[Category:Einführung_P]]

Strecken und Halbgeraden SoSe 14

2014-05-26T15:51:08Z

Matheschüler:

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und auch Ebenen sind Grundbegriffe, die wir in unserer Geometrie nicht definieren können. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Da wir alle unsere geometrischen Objekte als Punktmengen betrachten, wäre es schön, wenn wir die Strecke als Menge von Punkten mit bestimmten Eigenschaften definieren könnten. An dieser Stelle brauchen wir eine neue Relation, die so genannte Zwischenrelation, die uns diese benötigten Eigenschaften liefert: 
=Vorbetrachtungen:=
==== Der Abstand zweier Punkte ====
Der Begriff des Abstands zweier Punkt ist ebenfalls ein Grundbegriff, den wir nicht definieren werden können. Wir können uns den Abstand aber als genau eine reelle Zahl vorstellen, die zwei Punkten eindeutig zugeordnet werden kann (intuitiv: das Maß der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten). Für den Abstand der beiden Punkte ''A'' und ''B'' schreibt man: <math>\left| AB \right|</math>

=====Definition I/1: (kollinear)=====
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind.

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Die Dreiecksungleichung =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition I.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz I.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz I.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz I.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.3: =====
::Übungsaufgabe

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition I.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie) 

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier: 

Mit dem Begriff des Abstands können wir einer Strecke eindeutig eine Länge zuordnen.

===== Definition I.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie) 

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition I.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition: Halbgerade <math>AB^+ = \overline{AB} \cap \{P|Zw(A,B,P)\}</math> 
 
:Definition: Halbgerade <math>AB^- = \overline{AB} \cap \{P|Zw(P,A,B)\}</math>
[[Category:Einführung_P]]

Quiz der Woche 2 (SoSe 14)

2014-05-10T16:21:00Z

Matheschüler:

<quiz>
{ In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Dreieck?
(Wir gehen davon aus, dass die Begriffe n-Eck und Eckpunkt eines n-Ecks bereits korrekt definiert wurden.) }
- Ein Dreieck hat drei Eckpunkte.
|| Gut zu wissen, aber was ist denn nun ein Dreieck?
- Jedes n-Eck mit drei Eckpunkten ist ein Dreieck.
|| Ein Viereck hat auch drei Ecken. Analogie: Das ein Bier-Problem: Frau: Wo warst du? Mann: Ich habe ein Bier getrunken. Frau (sauer) Es waren bestimmt 8 Bier. Bewertung: Beide haben Recht. Der Mann hat nicht gelogen. (Ein Bier zu trinken ist eine notwendige Bedingung um 8 Bier zu trinken. Allerdings ist es nicht hinreichend, ein Bier zu trinken um 8 Bier getrunken zu haben.)
- Es gibt n-Ecke mit drei Eckpunkten, welche Dreiecke genannt werden.
|| Was zu beweisen wäre. Definitionen kann man nicht beweisen.
+ Für n=3 ist ein n-Eck ein Dreieck.
|| Wenn n=3 gilt, gilt nicht gleichzeitig etwa n=5.
+ Ein n-Eck mit genau drei Eckpunkten ist ein Dreieck.
|| Analog zur vorangegengenen Frage.

{ In welchen Fällen handelt es sich nicht um eine Definition?}
- (1) Ein gemeines Dreiecksknux ist eine Gerade <math>d_K</math>, zu der ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> derart existiert, dass keiner der Eckpunkte von <math>\overline{ABC}</math> zu <math>d_K</math> gehört, aber jede Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> genau einen Punkt mit <math>d_K</math> gemeinsam hat.
|| Natürlich gibt es keine Dreiecksknuxe, es bleibt uns aber unbenommen, über den Begriff des Dreiecksknuxes auf extravante Weise den Begriff der leeren Menge noch einmal zu definieren. Merke: Ob es Repräsentanten für einen definierten Begriff ''B'' gibt oder nicht, ist völlig irrelevant bezüglich einer Entscheidung, ob es sich bei der Definition von ''B'' um eine solche handelt oder nicht.
- (2) Der gemeine Dreiecksknux ist die Gerade, die alle drei Seiten eines Dreicks schneidet und dabei nicht durch die Eckpunkte dieses Dreiecks geht.
|| Vorsicht ist angemahnt, wenn der bestimmte Artikel in einer Definition verwendet wird. Im vorliegenden Fall ist es egal. Es gibt keinen gemeinen Drteiecksknux. Die Definition ist also völlig korrekt und im übrigen äquivalent zu (1). (In beiden Fällen wird die leere Menge definiert.)
- (3) Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck. Der gemeine Dreiecksknux von <math>\overline{ABC}</math> ist der Kreis <math>k</math>, der jede Seite von <math>\overline{ABC}</math> in genau einem Punkt berührt.
|| Ja, ja der gemeine Dreiecksknux formerly known as "Inkreis". Saubere Definition, es bleibt uns unbenommen, eine Umbenennung vorzunehmen. Dass wir damit in der Mathematik-Community viel Beifall ernten werden, ist eher nicht zu erwarten, aber verbieten dürfen sie uns die Umbenennung nicht. Merke: Mathematik ist zutiefst basisdemokratisch. Ergo: Wer Definitionen auswendig lernt, ist kein guter Demokrat.
- (4) Wenn zu einem Dreieck ein Dreiecksknux entsprechend (3) existiert, so ist das Dreieck ein Tangentendreieck.
|| Saubere Definition trotzdem ziemlich sinnlos. Jedes Dreieck wäre damit ein Tangentendreieck. Damit macht es nicht viel Sinn, den Begriff zu definieren.

{ In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Raute? }
- Eine Raute ist ein Trapez mit zwei Paaren paralleler Gegenseiten.
|| ist das nicht eher ein Parallelogramm? Wobei jede Raute ein Parallelogramm ist, aber nicht jedes Parallelogramm ist eine Raute!
+ Eine Raute ist ein Viereck mit zwei Paaren paralleler Gegenseiten, wobei alle Seiten gleich lang sind.
|| Stimmt :)
- Rauten sind Parallelogramme mit zwei Paaren kongruenter Winkel.
|| Nicht genau genug.
- Die Winkelhalbierenden dieses n-Ecks mit den Ecken <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> und <math>D</math> halbieren sich und bilden eine Spiegelachse.
|| Könnte auch ein Parallelogramm sein! Oder?!

{In welchen der folgenden Fälle wird im Sinne einer exakten mathematischen Definition beschrieben, was unter der Diagonale eines Vierecks zu verstehen ist?}
- (I) Vierecksdiagonale ist wenn zwei Punkte des Vierecks verbunden werden, wo nicht Endpunkte einer Seite sind.
|| Der Deutsch gruselt mir. Man kann in den Ausführungen aber noch mehr finden, wo fehlerhaft ischt. Fertigen Sie Skizzen an, die verdeutlichen, wie fehlerhaft die "Definition" auch ohne Berücksichtigung gewisser Schwäbeleien ist.
- (II) Eine Vierecksdiagonale ist eine Gerade, die durch zwei Eckpunkte eines Vierecks geht.
|| Gerade ist schon mal falsch, eine Diagonale ist eine Strecke. Selbst wenn Diagonalen Geraden wären, wäre die "Definition" nicht korrekt. Warum? Diskutieren Sie! Untermauern Sie Ihre Argumente mit selbsgefertigten Skizzen.
- (III) Eine Vierecksdiagonale ist eine Strecke, deren Endpunkte Vierecksecken sind, die nicht Endpunkte einer Seite sind.
|| Mal wieder eine Definition der leeren Menge. Warum? Diskutieren Sie!
- (IV) Eine Vierecksdiagonale ist eine Strecke, deren Endpunkte die Ecken eines Vierecks sind, die nicht zu ein und derselben Vierecksseite gehören.
|| ... die nicht zu ein und derselben Vierecksseite gehören., es könnte sein, dass sich diese Aussage auf ein weiteres Viereck bezieht.
- (V) Eine Vierecksdiagonale ist eine Strecke, deren Endpunkte die Ecken eines Vierecks sind, die nicht zu ein und derselben Seite dieses Vierecks gehören.
|| Schon besser aber immer noch suboptimal. Man könnte die Definition fast durchgehen lassen und viele Mathematiklehrer würde das auch so handhaben. Warum ist die Definition nur suboptimal? Erstellen Sie eine aus Ihrer Sicht optimale Definition des Begriffs Diagonale eines Vierecks und geben Sie diese zur Diskussion frei!

{ Gern schreibt man in einer Definition zunächst auf, wer in der Definition "mitspielt". Das Ganze beginnt dann häufig recht altertümlich mit den Worten "Es sei ... ." Leider gibt es den ein oder anderen modernen Studierenden, der bezüglich des korrekten semantischen und syntaktischen Gebrauchs des Konjunktiv I leicht in Verlegenheit zu bringen ist. Kennzeichnen Sie, ob in den folgenden Formulierungen der Konjunktiv I hinsichtlich seiner Verwendung in einer Definition korrekt formuliert wurde.}
- Es sei P.
|| Schön, aber was sei denn mit P?
- Es sei ein Punkt.
|| Davon gibt es bestimmt eine ganze Menge.
+ Es sei P ein Punkt.
|| Sauber, wir wollen also von einem Punkt ausgehen, der P heißen möge.
- Es sei der Punkt P.
|| Und was soll nun mit P sein?
+ Es sei der Punkt P gegeben.
|| Ach so gegeben soll er also sein.
+ Gegeben sei der Punkt P.
|| Alles klar.
+ P sei ein Punkt.
|| Alles klar.

{Kennzeichnen Sie, wenn es sich um eine Definition handelt.}
- Metallica ist die beste Band der Welt.
|| keine Definition, man kann es beweisen.
+ Eine Band, die besser spielt als die von Lars Ulrich und James Hetfield ist Metallica.
|| Nur Metallica könnte besser sein als Metallica. Saubere rekursive Definition.

{Es war einmal ein Punkt. Möge er es immer noch sein! Die richtigen Zeichen seien im Folgenden nun von Ihnen vor eine jeweilige korrekte Definition eines Punktes gesetzt. (ich weiß, ich begebe mich auf sehr gefährliches Terrain)}
- Eine Markierung auf einem Stück Papier, mit einem Bleistift gesetzt, ist ein Punkt.
||Ein Strich kann eine Markierung sein, ebenso ein Kreuz und vieles mehr. Nebenbei bemerkt: Mit Buntstiften und Wachsmalkreide funktioniert es auch!
+ Zeichne einen Punkt P!
||Der Punkt P sei gezeichnet. Ein Punkt ist entstanden (und zwar nur ein Punkt).
- Es gibt Punkte, welche P heißen.
|| Mag sein, meiner heißt allerdings "Punkt"
+ Ein geometrisches Objekt ohne Ausdehnung ist ein Punkt
|| realistisch, nicht wahr?
- .Sei(puNkt)essei Satzende...knupt
|| äh was?
- Wenn sich ein unendlich kleines Objekt in einem mathematischen Raum befindet, nennt man es Punkt.
|| hhmm, es könnte immer noch ein Ausdehnungsverhältnis haben.
+ Wenn ein Objekt unendlich kurz, lang und hoch ist, nennt man es Punkt.
|| Ich hoffe das ist korrekt.
+ Ein Punkt ist eine Position im Raum.
|| So benutzen wir es im dreidimensionalen KS.
</quiz>
Vielen Dank für den hinzugefügten Quizpunkt 7. Könnten Sie Ihre Signatur noch bei diesem Punkt hinzufügen, das wäre prima! Ja, die Definition des Begriffs Punkt ist tatsächlich "schwierig". Wir werden uns mit diesem Thema in ca. 2 Wochen auseinandersetzen!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch|Diskussion]]) 22:37, 8. Mai 2014 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]

Quiz der Woche 2 (SoSe 14)

2014-05-07T18:51:15Z

Matheschüler:

<quiz>
{ In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Dreieck?
(Wir gehen davon aus, dass die Begriffe n-Eck und Eckpunkt eines n-Ecks bereits korrekt definiert wurden.) }
- Ein Dreieck hat drei Eckpunkte.
|| Gut zu wissen, aber was ist denn nun ein Dreieck?
- Jedes n-Eck mit drei Eckpunkten ist ein Dreieck.
|| Ein Viereck hat auch drei Ecken. Analogie: Das ein Bier-Problem: Frau: Wo warst du? Mann: Ich habe ein Bier getrunken. Frau (sauer) Es waren bestimmt 8 Bier. Bewertung: Beide haben Recht. Der Mann hat nicht gelogen. (Ein Bier zu trinken ist eine notwendige Bedingung um 8 Bier zu trinken. Allerdings ist es nicht hinreichend, ein Bier zu trinken um 8 Bier getrunken zu haben.)
- Es gibt n-Ecke mit drei Eckpunkten, welche Dreiecke genannt werden.
|| Was zu beweisen wäre. Definitionen kann man nicht beweisen.
+ Für n=3 ist ein n-Eck ein Dreieck.
|| Wenn n=3 gilt, gilt nicht gleichzeitig etwa n=5.
+ Ein n-Eck mit genau drei Eckpunkten ist ein Dreieck.
|| Analog zur vorangegengenen Frage.

{ In welchen Fällen handelt es sich nicht um eine Definition?}
- (1) Ein gemeines Dreiecksknux ist eine Gerade <math>d_K</math>, zu der ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> derart existiert, dass keiner der Eckpunkte von <math>\overline{ABC}</math> zu <math>d_K</math> gehört, aber jede Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> genau einen Punkt mit <math>d_K</math> gemeinsam hat.
|| Natürlich gibt es keine Dreiecksknuxe, es bleibt uns aber unbenommen, über den Begriff des Dreiecksknuxes auf extravante Weise den Begriff der leeren Menge noch einmal zu definieren. Merke: Ob es Repräsentanten für einen definierten Begriff ''B'' gibt oder nicht, ist völlig irrelevant bezüglich einer Entscheidung, ob es sich bei der Definition von ''B'' um eine solche handelt oder nicht.
- (2) Der gemeine Dreiecksknux ist die Gerade, die alle drei Seiten eines Dreicks schneidet und dabei nicht durch die Eckpunkte dieses Dreiecks geht.
|| Vorsicht ist angemahnt, wenn der bestimmte Artikel in einer Definition verwendet wird. Im vorliegenden Fall ist es egal. Es gibt keinen gemeinen Drteiecksknux. Die Definition ist also völlig korrekt und im übrigen äquivalent zu (1). (In beiden Fällen wird die leere Menge definiert.)
- (3) Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck. Der gemeine Dreiecksknux von <math>\overline{ABC}</math> ist der Kreis <math>k</math>, der jede Seite von <math>\overline{ABC}</math> in genau einem Punkt berührt.
|| Ja, ja der gemeine Dreiecksknux formerly known as "Inkreis". Saubere Definition, es bleibt uns unbenommen, eine Umbenennung vorzunehmen. Dass wir damit in der Mathematik-Community viel Beifall ernten werden, ist eher nicht zu erwarten, aber verbieten dürfen sie uns die Umbenennung nicht. Merke: Mathematik ist zutiefst basisdemokratisch. Ergo: Wer Definitionen auswendig lernt, ist kein guter Demokrat.
- (4) Wenn zu einem Dreieck ein Dreiecksknux entsprechend (3) existiert, so ist das Dreieck ein Tangentendreieck.
|| Saubere Definition trotzdem ziemlich sinnlos. Jedes Dreieck wäre damit ein Tangentendreieck. Damit macht es nicht viel Sinn, den Begriff zu definieren.

{ In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Raute? }
- Eine Raute ist ein Trapez mit zwei Paaren paralleler Gegenseiten.
|| ist das nicht eher ein Parallelogramm? Wobei jede Raute ein Parallelogramm ist, aber nicht jedes Parallelogramm ist eine Raute!
+ Eine Raute ist ein Viereck mit zwei Paaren paralleler Gegenseiten, wobei alle Seiten gleich lang sind.
|| Stimmt :)
- Rauten sind Parallelogramme mit zwei Paaren kongruenter Winkel.
|| Nicht genau genug.
- Die Winkelhalbierenden dieses n-Ecks mit den Ecken <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> und <math>D</math> halbieren sich und bilden eine Spiegelachse.
|| Könnte auch ein Parallelogramm sein! Oder?!

{In welchen der folgenden Fälle wird im Sinne einer exakten mathematischen Definition beschrieben, was unter der Diagonale eines Vierecks zu verstehen ist?}
- (I) Vierecksdiagonale ist wenn zwei Punkte des Vierecks verbunden werden, wo nicht Endpunkte einer Seite sind.
|| Der Deutsch gruselt mir. Man kann in den Ausführungen aber noch mehr finden, wo fehlerhaft ischt. Fertigen Sie Skizzen an, die verdeutlichen, wie fehlerhaft die "Definition" auch ohne Berücksichtigung gewisser Schwäbeleien ist.
- (II) Eine Vierecksdiagonale ist eine Gerade, die durch zwei Eckpunkte eines Vierecks geht.
|| Gerade ist schon mal falsch, eine Diagonale ist eine Strecke. Selbst wenn Diagonalen Geraden wären, wäre die "Definition" nicht korrekt. Warum? Diskutieren Sie! Untermauern Sie Ihre Argumente mit selbsgefertigten Skizzen.
- (III) Eine Vierecksdiagonale ist eine Strecke, deren Endpunkte Vierecksecken sind, die nicht Endpunkte einer Seite sind.
|| Mal wieder eine Definition der leeren Menge. Warum? Diskutieren Sie!
- (IV) Eine Vierecksdiagonale ist eine Strecke, deren Endpunkte die Ecken eines Vierecks sind, die nicht zu ein und derselben Vierecksseite gehören.
|| ... die nicht zu ein und derselben Vierecksseite gehören., es könnte sein, dass sich diese Aussage auf ein weiteres Viereck bezieht.
- (V) Eine Vierecksdiagonale ist eine Strecke, deren Endpunkte die Ecken eines Vierecks sind, die nicht zu ein und derselben Seite dieses Vierecks gehören.
|| Schon besser aber immer noch suboptimal. Man könnte die Definition fast durchgehen lassen und viele Mathematiklehrer würde das auch so handhaben. Warum ist die Definition nur suboptimal? Erstellen Sie eine aus Ihrer Sicht optimale Definition des Begriffs Diagonale eines Vierecks und geben Sie diese zur Diskussion frei!

{ Gern schreibt man in einer Definition zunächst auf, wer in der Definition "mitspielt". Das Ganze beginnt dann häufig recht altertümlich mit den Worten "Es sei ... ." Leider gibt es den ein oder anderen modernen Studierenden, der bezüglich des korrekten semantischen und syntaktischen Gebrauchs des Konjunktiv I leicht in Verlegenheit zu bringen ist. Kennzeichnen Sie, ob in den folgenden Formulierungen der Konjunktiv I hinsichtlich seiner Verwendung in einer Definition korrekt formuliert wurde.}
- Es sei P.
|| Schön, aber was sei denn mit P?
- Es sei ein Punkt.
|| Davon gibt es bestimmt eine ganze Menge.
+ Es sei P ein Punkt.
|| Sauber, wir wollen also von einem Punkt ausgehen, der P heißen möge.
- Es sei der Punkt P.
|| Und was soll nun mit P sein?
+ Es sei der Punkt P gegeben.
|| Ach so gegeben soll er also sein.
+ Gegeben sei der Punkt P.
|| Alles klar.
+ P sei ein Punkt.
|| Alles klar.

{Kennzeichnen Sie, wenn es sich um eine Definition handelt.}
- Metallica ist die beste Band der Welt.
|| keine Definition, man kann es beweisen.
+ Eine Band, die besser spielt als die von Lars Ulrich und James Hetfield ist Metallica.
|| Nur Metallica könnte besser sein als Metallica. Saubere rekursive Definition.

{Es war einmal ein Punkt. Möge er es immer noch sein! Die richtigen Zeichen seien im Folgenden nun von Ihnen vor eine jeweilige korrekte Definition eines Punktes gesetzt. (ich weiß, ich begebe mich auf sehr gefährliches Terrain)}
- Eine Markierung auf einem Stück Papier, mit einem Bleistift gesetzt, ist ein Punkt.
||Ein Strich kann eine Markierung sein, ebenso ein Kreuz und vieles mehr. Nebenbei bemerkt: Mit Buntstiften und Wachsmalkreide funktioniert es auch!
+ Zeichne einen Punkt P!
||Der Punkt P sei gezeichnet. Ein Punkt ist entstanden (und zwar nur ein Punkt).
- Es gibt Punkte, welche P heißen.
|| Mag sein, meiner heißt allerdings "Punkt"
+ Ein geometrisches Objekt ohne Ausdehnung ist ein Punkt
|| realistisch, nicht wahr?
- .Sei(puNkt)essei Satzende...knupt
|| äh was?
- Wenn sich ein unendlich kleines Objekt in einem mathematischen Raum befindet, nennt man es Punkt.
|| hhmm, es könnte immer noch ein Ausdehnungsverhältnis haben.
+ Wenn ein Objekt unendlich kurz, lang und hoch ist, nennt man es Punkt.
|| Ich hoffe Sie sehen das ebenso, Herr Schnirch.
+ Ein Punkt ist eine Position im Raum.
|| So benutzen wir es im dreidimensionalen KS.
</quiz>

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 1.3 (SoSe 14)

2014-05-02T19:53:21Z

Matheschüler:

Am 03. Febr. 2003 wurde in der Quiz-Sendung "Wer wird Millionär" folgende 16000 €-Frage gestellt: 
'''Jedes Rechteck ist ein ...''' 
Mit folgenden Auswahlantworten: '''Rhombus (Raute), Quadrat, Trapez, Parallelogramm''' 
Nehmen Sie Stellung!

Meiner Meinung nach ist jedes Rechteck ein Trapez. Ein Trapez hat immer zwei zueinander parallele Seiten. Ein Rechteck hat vier rechte Winkel, was bei einem Trapez ebenfalls der Fall sein kann. Demnach ist ein Rechteck eine besondere Trapezform. 
Früchtchen:), danke für dein Beitrag. Vergiss das nächste Mal bitte deine Signatur nicht. Was meinen die anderen?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 16:23, 29. Apr. 2014 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Ich würde sagen, jedes Rechteck ist ein Parallelogramm, denn nur das Parallelogramm hat jeweils 2 gleichlange Seiten, das Trapez nicht.
Außerdem ist in der Antwort nicht mal definiert, ob es sich um ein gleichschenkliges oder allgemeines Trapez handelt.
Pippilotta

Ich würde sagen, jedes Rechteck ist sowohl ein Trapez als auch ein Parallelogramm. Er hat Eigenschaften von beiden. 
Rechteck ist punktsymmetrisch, die Diagonalen halbieren sich und er hat 2 Paar parallele Seiten genauso, wie das Parallelogramm. 
Rechteck hat eine Symmetrieachse und gleich lange Diagonalen genau wie das Trapez. --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 11:43, 30. Apr. 2014 (CEST)

Bei "Wer wird Millionär" gibt's aber immer nur eine richtige
Normalerweise ja, aber die Frage war einfach nicht korrekt gestellt :) --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 12:00, 30. Apr. 2014 (CEST)

Ich denke auch, dass jedes Rechteck ein Parallelogramm und ein Trapez sein kann.
Ist das Parallelogramm nicht auch ein spezielles Trapez?
Denn wenn das Rechteck sicher ein Parallelogramm ist, ist es ja automatisch auch ein Trapez. NinaKlett

Wenn man von der bereits besprochenen Hierarchie ausgeht, träfen alle Antworten außer "Quadrat" zu.
In der Hierarchie kommt in jeder Stufe eine EIgenschaft hinzu, bis man schließlich das Quadrat als vollkommen ausspezialisiertes n-Eck definiert hat.
--[[Benutzer:Matheschüler|Matheschüler]] ([[Benutzer Diskussion:Matheschüler|Diskussion]]) 21:53, 2. Mai 2014 (CEST)

Benutzer:Matheschüler

2014-05-02T19:44:13Z

Matheschüler:

(1) [[Datei:Kegelstumpf deckenlampe.jpg|Das Bild zeigt eine Deckenlampe, die an meiner Decke hängt. Aufnahme von schräg unten.|250px]]
(2) [[Datei:Geometrie am plattenspieler.jpg|Das Bild zeigt einen Plattenspieler. Es soll Startknopf, Powerschalter und Drehteller als geometrische Gebilde hervorheben.|700px]]
 
 
Bild (1) und Bild (2) haben die Gemeinsamkeit, dass sie beide einen Kegelstumpf zeigen.
 
(1) von schräg unten
 
(2) von schräg oben
 
 
Die Berechnung des Volumens eines Kegelstumpfes beläuft sich auf die Subtraktion der Kegelspitze vom fiktiven Gesamtkegel.
 
Hierbei gilt als Volumenformel für den Kegel: Grundfläche des Kegels multipliziert mit der Höhe des Kegels geteilt durch drei.
 
Kegel: <math> G_{K} \cdot h_{0} \cdot \frac{1}{3} </math>
 
analog gilt für die Spitze: <math>G_{S} \cdot h_{1} \cdot \frac{1}{3}</math>
 
Die Höhe wiederum lässt sich mithilfe der Winkelfunktionen berechnen. Es gilt hier
 
<math> h_{0} = \sin(\alpha) \cdot r_{M_{0}} </math>
 
Der Winkel <math> \alpha </math> ist der Neigungswinkel zwischen dem Mantel des Kegels und der Grundfläche.
 
Den Radius des ausgebreiteten Mantels (also die Hypothenuse des zur Hilfe gezogenen rechtwinkligen Dreiecks) habe ich mit <math> r_{M_{0}} </math> bezeichnet.
 
 
Am Ende erhalten wir also eine allgemeine Formel
 
 
<math> V = G_{K} \cdot (\sin(\alpha) \cdot r_{M_{0}}) \cdot \frac{1}{3} - G_{S} \cdot (\sin(\alpha) \cdot r_{M_{1}}) \cdot \frac{1}{3} </math>
 
 
oder besser:
 
 
<math> V = (r_{G_{K}}^2 \cdot \pi) \cdot (\sin(\alpha) \cdot r_{M_{0}}) \cdot \frac{1}{3} - (r_{G_{S}}^2 \cdot \pi) \cdot (\sin(\alpha) \cdot r_{M_{1}}) \cdot \frac{1}{3} </math>
 
 
und in kurz:
 
 
<math> V = \frac{\sin(\alpha) \cdot \pi}{3} \cdot (r_{G_{K}}^2 \cdot r_{M_{0}} - r_{G_{S}}^2 \cdot r_{M_{1}}) </math>
 
 
Bild (2) zeigt übrigens auch noch Quader und einen Zylinder.
 
 
uff... wirklich anstrengend so was zu schreiben. zu viele Zeichen

Auftrag der Woche 1 (SoSe 14)

2014-05-02T19:40:49Z

Matheschüler:

== Geometrie im Alltag - Kennenlernen des Wikis ==

Im ersten Wochenauftrag sollen Sie den Umgang mit diesem Wiki im Sinne von "Learning by doing" besser kennenlernen. Hierzu haben Sie zwei Aufgaben:

# Spüren Sie Geometrie im Alltag auf und stellen Sie diese als Bild auf ihre eigene Benutzerseite (Diese Benutzerseite können Sie später nutzen um sich z. B. nach und nach ein eigenes individuelles Skript aufzubauen). '''Wichtig: Nehmen Sie keine Bilder aus dem Internet (wegen Urheberrecht). Verwenden Sie nur eigene Fotografien!'''
# Schreiben Sie mit Hilfe des Formeleditors der TEX-Box (Aufruf über das Summenzeichen - oben)eine passende Formel zu ihrem Bild.

=== Anleitung ===

# Gehen Sie mit offenen Augen durch den Alltag. Wo steckt hier Geometrie? Machen Sie ein Foto!
# Melden Sie sich mit Ihrem Pseudonym, das Sie auf dem Fragebogen angegeben haben, im Wiki an.
# Laden Sie das Foto ins Wiki hoch. ([[Dateien hochladen|Anleitung zum Hochladen]])
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=== Ergebnisse: Geometrie im Alltag ===

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* [[Benutzer: Matheschüler]] - Kegelstumpf [[Kategorie: Einführung-Geometrie]]

Benutzer:Matheschüler

2014-05-02T19:30:44Z

Matheschüler:

Benutzer:Matheschüler

2014-05-02T19:29:02Z

Matheschüler: Die Seite wurde neu angelegt: „(1) 250px (2) Datei:Geometrie …“

(1) [[Datei:Kegelstumpf deckenlampe.jpg|Das Bild zeigt eine Deckenlampe, die an meiner Decke hängt. Aufnahme von schräg unten.|250px]]
(2) [[Datei:Geometrie am plattenspieler.jpg|Das Bild zeigt einen Plattenspieler. Es soll Startknopf, Powerschalter und Drehteller als geometrische Gebilde hervorheben.|700px]]
 
 
Bild (1) und Bild (2) haben die Gemeinsamkeit, dass sie beide einen Kegelstumpf zeigen.
 
(1) von schräg unten
 
(2) von schräg oben
 
 
Die Berechnung des Volumens eines Kegelstumpfes beläuft sich auf die Subtraktiondes der Kegelspitze vom fiktiven Gesamtkegel.
 
Hierbei gilt als Volumenformel für den Kegel: Grundfläche des Kegels multipliziert mit der Höhe des Kegels geteilt durch drei.
 
Kegel: <math> G_{K} \cdot h_{0} \cdot \frac{1}{3} </math>
 
analog gilt für die Spitze: <math>G_{S} \cdot h_{1} \cdot \frac{1}{3}</math>
 
Die Höhe wiederum lässt sich mithilfe der Winkelfunktionen berechnen. Es gilt hier
 
<math> h_{0} = \sin(\alpha) \cdot r_{M_{0}} </math>
 
Der Winkel <math> \alpha </math> ist der Neigungswinkel zwischen dem Mantel des Kegels und der Grundfläche.
 
Den Radius des ausgebreiteten Mantels (also die Hypothenuse des zur Hilfe gezogenen rechtwinkligen Dreiecks) habe ich mit <math> r_{M_{0}} </math> bezeichnet.
 
 
Am Ende erhalten wir also eine allgemeine Formel
 
 
<math> V = G_{K} \cdot (\sin(\alpha) \cdot r_{M_{0}}) \cdot \frac{1}{3} - G_{S} \cdot (\sin(\alpha) \cdot r_{M_{1}}) \cdot \frac{1}{3} </math>
 
 
oder besser:
 
 
<math> V = (r_{G_{K}}^2 \cdot \pi) \cdot (\sin(\alpha) \cdot r_{M_{0}}) \cdot \frac{1}{3} - (r_{G_{S}}^2 \cdot \pi) \cdot (\sin(\alpha) \cdot r_{M_{1}}) \cdot \frac{1}{3} </math>
 
 
und in kurz:
 
 
<math> V = \frac{\sin(\alpha) \cdot \pi}{3} \cdot (r_{G_{K}}^2 \cdot r_{M_{0}} - r_{G_{S}}^2 \cdot r_{M_{1}}) </math>

Datei:Geometrie am plattenspieler.jpg

2014-05-01T20:24:49Z

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Datei:Kegelstumpf deckenlampe.jpg

2014-05-01T20:24:42Z

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