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Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade (SoSe 11)

2011-07-16T13:19:53Z

Matthias: /* Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes: */

== Der Begriff des Lotes ==

===== Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) =====
:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge. ... 
 

Definition: 
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge, die Grade durch <math> \ P </math> und <math>\ g</math>, die senkrecht zu g ist heißt Lotgerade. Der Schnittpunkt <math>\ S</math> von <math>\ P</math> und <math>\ g</math> heißt Lotfußpunkt, die Strecke <math>\overline{SP}</math> Lot.--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 20:38, 2. Jul. 2011 (CEST) 
Der Schnittpunkt von <math>\operatorname {P}</math> und <math>\operatorname {g}</math>... da <math>P \not\in g</math> vorher in der Def. vorkommt, kann dies garnicht eintreten. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:33, 8. Jul. 2011 (CEST)

===== Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) =====
:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist ... 

Defintion: 
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist die Länge des Lots von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> --[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 20:40, 2. Jul. 2011 (CEST)

 Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist eine nicht negative reelle Zahl d. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 18:40, 3. Jul. 2011 (CEST)

Als Abstand eines Punktes P von einer Geraden g wird der Abstand |PQ| bezeichnet, wobei Q der Fußpunkt des Lotes von P auf g ist.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 11:51, 13. Jul. 2011 (CEST)

== Existenz und Eindeutigkeit des Lotes ==
===== Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) =====
:: Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.

===== Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes: =====
Übungsaufgabe

[[Category:Einführung_Geometrie]]

<math> \ Existenz</math> 
<math> \ Voraussetzung:\ Sei \ g \ eine \ Gerade \ und \ P \ ein \ Punkt \ mit \ P \ \not\in \ g </math> 
<math> \ Behauptung:\ Es \ existiert \ ein \ Lot \ von \ P \ auf \ g </math> 
<math> \ Annahme: \ Sei \ S \ ein \ Punkt \ mit \ S \in \ g </math> 
<math> \Rightarrow \exists ! \ Q \in \ gP^+ mit |\angle gQ| = 90, nach \ dem \ Winkelkonstruktionsaxiom</math> 
<math> \ Betrachte \ nun \ die \ eindeutige \ Parallele \ l \ von \ SQ \ durch \ P ,die \ g \ in \ T \ schneidet (n. E.P. und \ dem \ Korallar \ davon)</math> 
<math>\Rightarrow \angle gP \ ist \ Stufenwinkel \ von \ \angle gQ\Rightarrow |\angle gP|=90, \ nach \ dem \ Stufenwinkelsatz</math> 
<math>\Rightarrow \overline{PT} \ ist \ Lot \ auf \ g \ durch \ P</math> 

 
 
Die Eindeutigkeit der Parallele hatten wir schon in einer anderen Übung gezeigt, aus ihr folgt die Eindeutigkeit des Lots.--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:30, 7. Jul. 2011 (CEST) 
Ich glaube nicht, dass in einer Übung die Eindeutigkeit einer Parallelen gezeigt bzw. bewiesen wurde... vllt. wurde die Existens einer Parallelen gezeigt, aber wenn die Eindeutigkeit bewiesen worden wäre, dann widerspräche das dem Parallelenaxiom.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:38, 8. Jul. 2011 (CEST)
Anmerkung:
Das stimmt, aber aus der Existenz + dem EP => die Eindeutigkeit. In der Übung wurde nur das EP gefordert. Aus dem Stufenwinkelsatz folgt dann die Existenz.--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 19:47, 9. Jul. 2011 (CEST) 
Wenn du das EP oder den Stufenwinkelsatz verwendest, befindest du dich aber in der Euklidischen Geometrie und nicht mehr in der absoluten Geometrie. Es ist auch möglich, die Existenz des Lotes mit einer Hilfskonstruktion zu beweisen, indem 
1) G ein Punkt auf g sei, in dem eine konstruierte Gerade durch P g schneidet 
2) man den entstandenen Winkel misst (Winkelmaßaxiom) 
3) man einen entsprechenden Winkel in der anderen Halbebene konstruiert (Winkelkonstruktionsaxiom) 
4) man auf dem neu entstandenen Strahl einen Punkt P' abträgt, für den gilt <math>\overline{GP} \cong \overline{GP'}</math> (Axiom vom Lineal) 
5) es entsteht ein Schnittpunkt L der Geraden g mit der Strecke <math>\overline{PP'}</math> 
6) nach SWS (wir wissen, dass <math>\overline{GP} \cong \overline{GP'}</math>, <math>\angle PGL \cong \angle P'GL</math> und <math>\overline{LG} \cong \overline{LG}</math>) sind nun auch die Dreiecke kongruent und daher gilt auch <math>\angle PLG \cong \angle P'LG</math> 
7) Da diese Winkel nun kongruente Nebenwinkel sind, sind es rechte Winkel. Daher wissen wir, dass <math>\overline{LP} </math> das Lot von P auf g ist. 
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Hoffe mit der Darstellung ist die Idee verständlich. Die Eindeutigkeit ist recht schnell durch Widerspruch bewiesen. Geht man von einem zweiten Lot aus, kann man über den schwachen Außenwinkelsatz zeigen, dass nicht beide Winkel rechte Winkel sein können.--[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 15:18, 16. Jul. 2011 (CEST)

Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade (SoSe 11)

2011-07-16T13:18:29Z

Matthias: /* Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes: */

== Der Begriff des Lotes ==

===== Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) =====
:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge. ... 
 

Definition: 
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge, die Grade durch <math> \ P </math> und <math>\ g</math>, die senkrecht zu g ist heißt Lotgerade. Der Schnittpunkt <math>\ S</math> von <math>\ P</math> und <math>\ g</math> heißt Lotfußpunkt, die Strecke <math>\overline{SP}</math> Lot.--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 20:38, 2. Jul. 2011 (CEST) 
Der Schnittpunkt von <math>\operatorname {P}</math> und <math>\operatorname {g}</math>... da <math>P \not\in g</math> vorher in der Def. vorkommt, kann dies garnicht eintreten. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:33, 8. Jul. 2011 (CEST)

===== Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) =====
:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist ... 

Defintion: 
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist die Länge des Lots von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> --[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 20:40, 2. Jul. 2011 (CEST)

 Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist eine nicht negative reelle Zahl d. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 18:40, 3. Jul. 2011 (CEST)

Als Abstand eines Punktes P von einer Geraden g wird der Abstand |PQ| bezeichnet, wobei Q der Fußpunkt des Lotes von P auf g ist.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 11:51, 13. Jul. 2011 (CEST)

== Existenz und Eindeutigkeit des Lotes ==
===== Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) =====
:: Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.

===== Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes: =====
Übungsaufgabe

[[Category:Einführung_Geometrie]]

<math> \ Existenz</math> 
<math> \ Voraussetzung:\ Sei \ g \ eine \ Gerade \ und \ P \ ein \ Punkt \ mit \ P \ \not\in \ g </math> 
<math> \ Behauptung:\ Es \ existiert \ ein \ Lot \ von \ P \ auf \ g </math> 
<math> \ Annahme: \ Sei \ S \ ein \ Punkt \ mit \ S \in \ g </math> 
<math> \Rightarrow \exists ! \ Q \in \ gP^+ mit |\angle gQ| = 90, nach \ dem \ Winkelkonstruktionsaxiom</math> 
<math> \ Betrachte \ nun \ die \ eindeutige \ Parallele \ l \ von \ SQ \ durch \ P ,die \ g \ in \ T \ schneidet (n. E.P. und \ dem \ Korallar \ davon)</math> 
<math>\Rightarrow \angle gP \ ist \ Stufenwinkel \ von \ \angle gQ\Rightarrow |\angle gP|=90, \ nach \ dem \ Stufenwinkelsatz</math> 
<math>\Rightarrow \overline{PT} \ ist \ Lot \ auf \ g \ durch \ P</math> 

 
 
Die Eindeutigkeit der Parallele hatten wir schon in einer anderen Übung gezeigt, aus ihr folgt die Eindeutigkeit des Lots.--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:30, 7. Jul. 2011 (CEST) 
Ich glaube nicht, dass in einer Übung die Eindeutigkeit einer Parallelen gezeigt bzw. bewiesen wurde... vllt. wurde die Existens einer Parallelen gezeigt, aber wenn die Eindeutigkeit bewiesen worden wäre, dann widerspräche das dem Parallelenaxiom.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:38, 8. Jul. 2011 (CEST)
Anmerkung:
Das stimmt, aber aus der Existenz + dem EP => die Eindeutigkeit. In der Übung wurde nur das EP gefordert. Aus dem Stufenwinkelsatz folgt dann die Existenz.--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 19:47, 9. Jul. 2011 (CEST) 
Wenn du das EP oder den Stufenwinkelsatz verwendest, befindest du dich aber in der Euklidischen Geometrie und nicht mehr in der absoluten Geometrie. Es ist auch möglich, die Existenz des Lotes mit einer Hilfskonstruktion zu beweisen, indem 
1) G ein Punkt auf g sei, in dem eine konstruierte Gerade durch P g schneidet 
2) man den entstandenen Winkel misst (Winkelmaßaxiom) 
3) man einen entsprechenden Winkel in der anderen Halbebene konstruiert (Winkelkonstruktionsaxiom) 
4) man auf dem neu entstandenen Strahl einen Punkt P' abträgt, für den gilt <math>\overline{GP} \cong \overline{GP'}</math> (Axiom vom Lineal) 
5) es entsteht ein Schnittpunkt L der Geraden g mit der Strecke <math>\overline{PP'}</math> 
6) nach SWS (wir wissen, dass <math>\overline{GP} \cong \overline{GP'}</math>, <math>\angle PGL \cong \angle P'GL</math> und <math>\overline{LG} \cong \overline{LG}</math>) sind nun auch die Dreiecke kongruent und daher gilt auch <math>\angle PLG \cong \angle P'LG</math> 
7) Da diese Winkel nun kongruente Nebenwinkel sind, sind es rechte Winkel. Daher wissen wir, dass <math>\overline{LP} </math> das Lot von P auf g ist. 
<ggb_applet width="1920" height="916" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

Hoffe mit der Darstellung ist die Idee verständlich. Die Eindeutigkeit ist recht schnell durch Widerspruch bewiesen. Geht man von einem zweiten Lot aus, kann man über den schwachen Außenwinkelsatz zeigen, dass nicht beide Winkel rechte Winkel sein können.--[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 15:18, 16. Jul. 2011 (CEST)

Dreieckskongruenz (SoSe 11)

2011-07-16T11:05:41Z

Matthias: /* Der Kongruenzsatz SSS */

== Die beiden grundlegenden Ideen der Kongruenz ==
=== Bewegungsgeometrie ===
==== naive Deckungsgleichheit ====
==== Bewegungen: abstandserhaltende Abbildungen der Ebene auf sich ====
=== Euklid lässt grüßen: Dreieckskongruenz ===
===Videos zur Idee der Kongruenz===
{{#ev:youtube|fs5NeNuGzA8}}
{{#ev:youtube|Wm9xdlvD6Z8}}
{{#ev:youtube|tF-z3vQZZFA}}

== Streckenkongruenz ==
Wir erinnern uns an die Diskussion zu Anfang des Semesters.
<quiz display="simple">
{Wie sagt man es richtig?
}
+ Die Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{CD}</math> sind kongruent zueinander.
+ Der Punkt <math>\ A</math> hat zum Punkt <math>\ B</math> denselben Abstand wie der Punkt <math>\ C</math> zum Punkt <math>\ D</math>
+ Die Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{CD}</math> haben dieselbe Länge.
</quiz>

Die Auswertung des Quiz zeigt: Alle drei Aussagen sind synonym.

Momentan jedoch eigentlich noch nicht. Uns fehlt eine Definition des Begriffs der Streckenkongruenz.

===== Definition VII.1: (Streckenkongruenz) =====
:: Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben. 
:: In Zeichen <math>\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math>
===== Satz VII.1: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

== Winkelkongruenz ==
Analog zum Begriff der Streckenkongruenz sollen zwei Winkel genau dann kongruent zueinander genannt werden, wenn sie dieselbe Größe haben.

===== Definition VII.2 : (Winkelkongruenz) =====
::Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander. 
::In Zeichen: <math>\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |</math>

===== Satz VII.2: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

== Dreieckskongruenz ==
In der Schule spricht man häufig davon, dass zwei Dreiecke dann kongruent zueinander sind, wenn sie in allen Stücken übereinstimmen. Unter den Stücken eines Dreieck sind dabei die jeweils drei Seiten und die jeweils drei Innenwinkel zu verstehen.

===== Definition VII.3: (Dreieckskongruenz) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 6 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
:::# <math>\angle ACB \cong \angle DFE</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Satz VII.3: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

Überprüfen Sie Ihr Verständnis:

In den Schullehrbüchern findet man häufig Konstruktionsaufgaben wie: 
konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen <math>\ a = 5\operatorname{cm}</math>, <math>\ b = 4\operatorname{cm}</math>, <math>\ c = 3\operatorname{cm}</math>. <math>\ 30</math> Schüler konstruieren aufgrund dieser Aufgabenstellung <math>\ 30</math> Dreiecke. Kommentieren Sie den bestimmten Artikel in der Aufgabenstellung. Was hat das alles mit der Idee der Repräsentantenunabhängigkeit zu tun?

== Das Kongruenzaxiom SWS ==
===== Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
::gelten, 
::dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

== Der Kongruenzsatz WSW ==
===== Satz VII.4: (Kongruenzsatz WSW) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Beweis von Satz VII.4 =====
======Als Folge von Tafeln ======
[[Der fotografierte Beweis]]
======Video======
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{{#ev:youtube|gKsqeAUNf8g}}
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===== Die Beweisidee =====
Testen Sie Ihr Verständnis: Beschreiben Sie hier mit drei ganz einfachen Sätzen, auf welcher Idee der Beweis beruht.

<ggb_applet width="892" height="590" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />

== Der Kongruenzsatz SSS ==
Hier dürfen und sollen Sie sich austoben.
Für den Beweis des Kongruenzsatzes SSS werden Sie sinnvollerweise den Basiswinkelsatz benötigen. Weil dieser jedoch von so zentraler Bedeutung ist, haben wir ihm einen eigenen Unterpunkt auf der Hauptseite spendiert. Sie dürfen ihn also hier vorab als wahr voraussetzen.

 Zwei Dreiecke ABC und DEF sind zueinander kongruent, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen. 

<math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math> 
<math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math> 
<math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math> --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 13:59, 12. Jul. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Beweisversuch (aber ohne Basiswinkelsatz: geht das so auch?):

Vor. Zwei Dreiecke <math>\overline{ABC} und \overline {DEF}</math>

(1) <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math> 
(2) <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math> 
(3) <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math> 

Beh: <math>\overline{ABC} \cong \overline {DEF}</math>

Es genügt zu zeigen: <math>\angle CAB \cong \angle FDE </math> weil SWS bereits als Axiom festgelegt

Annahme: oBdA <math>\angle CAB > \angle FDE</math>

1) Auf <math> EF+ </math> gibt es einen Punkt F* | Ax. v. Lineal
<math>\overline BC \cong \overline EF*</math>

2) F ist Element des Inneren von <math> \angle F*DE </math> und <math> Zw(F*,F,E) </math>

3)<math> \angle FDE </math> ist nicht kongruent zu <math> \angle F*DE </math> | 2) und Folgerung aus dem Winkeladd.ax.

4) <math>\overline ABC \cong \overline DEF* </math> | SWS, Vor (1), Vor.

5) <math>\overline BC \cong \overline EF* </math> | 4)

6) <math>\overline BC ist nicht kongruent zu \overline EF </math> | 5),3)

das ist ein Widerspruch zur Vor.(2) also müssen die beiden Dreiecke kongruent zueinander sein.

Ich komme mit der Schreibweise hier nicht zurecht hoffe man erkennt was ich gemeint hab. 
Die Schlussfolgerungen in den Schritten 5 und 6 ergeben für mich keinen Sinn, da du ja schon in Schritt 1 <math>\overline{EF*}</math> so konstruierst, dass <math>\overline{BC} \cong \overline{EF*}</math> ist!?--[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 13:05, 16. Jul. 2011 (CEST)

Dreieckskongruenz (SoSe 11)

2011-07-16T11:05:10Z

Matthias: /* Der Kongruenzsatz SSS */

== Die beiden grundlegenden Ideen der Kongruenz ==
=== Bewegungsgeometrie ===
==== naive Deckungsgleichheit ====
==== Bewegungen: abstandserhaltende Abbildungen der Ebene auf sich ====
=== Euklid lässt grüßen: Dreieckskongruenz ===
===Videos zur Idee der Kongruenz===
{{#ev:youtube|fs5NeNuGzA8}}
{{#ev:youtube|Wm9xdlvD6Z8}}
{{#ev:youtube|tF-z3vQZZFA}}

== Streckenkongruenz ==
Wir erinnern uns an die Diskussion zu Anfang des Semesters.
<quiz display="simple">
{Wie sagt man es richtig?
}
+ Die Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{CD}</math> sind kongruent zueinander.
+ Der Punkt <math>\ A</math> hat zum Punkt <math>\ B</math> denselben Abstand wie der Punkt <math>\ C</math> zum Punkt <math>\ D</math>
+ Die Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{CD}</math> haben dieselbe Länge.
</quiz>

Die Auswertung des Quiz zeigt: Alle drei Aussagen sind synonym.

Momentan jedoch eigentlich noch nicht. Uns fehlt eine Definition des Begriffs der Streckenkongruenz.

===== Definition VII.1: (Streckenkongruenz) =====
:: Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben. 
:: In Zeichen <math>\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math>
===== Satz VII.1: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

== Winkelkongruenz ==
Analog zum Begriff der Streckenkongruenz sollen zwei Winkel genau dann kongruent zueinander genannt werden, wenn sie dieselbe Größe haben.

===== Definition VII.2 : (Winkelkongruenz) =====
::Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander. 
::In Zeichen: <math>\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |</math>

===== Satz VII.2: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

== Dreieckskongruenz ==
In der Schule spricht man häufig davon, dass zwei Dreiecke dann kongruent zueinander sind, wenn sie in allen Stücken übereinstimmen. Unter den Stücken eines Dreieck sind dabei die jeweils drei Seiten und die jeweils drei Innenwinkel zu verstehen.

===== Definition VII.3: (Dreieckskongruenz) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 6 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
:::# <math>\angle ACB \cong \angle DFE</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Satz VII.3: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

Überprüfen Sie Ihr Verständnis:

In den Schullehrbüchern findet man häufig Konstruktionsaufgaben wie: 
konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen <math>\ a = 5\operatorname{cm}</math>, <math>\ b = 4\operatorname{cm}</math>, <math>\ c = 3\operatorname{cm}</math>. <math>\ 30</math> Schüler konstruieren aufgrund dieser Aufgabenstellung <math>\ 30</math> Dreiecke. Kommentieren Sie den bestimmten Artikel in der Aufgabenstellung. Was hat das alles mit der Idee der Repräsentantenunabhängigkeit zu tun?

== Das Kongruenzaxiom SWS ==
===== Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
::gelten, 
::dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

== Der Kongruenzsatz WSW ==
===== Satz VII.4: (Kongruenzsatz WSW) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Beweis von Satz VII.4 =====
======Als Folge von Tafeln ======
[[Der fotografierte Beweis]]
======Video======
{{#ev:youtube|vgACEclZ4aI}}
{{#ev:youtube|gKsqeAUNf8g}}
{{#ev:youtube|VYptKtH_ZkQ}}

===== Die Beweisidee =====
Testen Sie Ihr Verständnis: Beschreiben Sie hier mit drei ganz einfachen Sätzen, auf welcher Idee der Beweis beruht.

<ggb_applet width="892" height="590" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />

== Der Kongruenzsatz SSS ==
Hier dürfen und sollen Sie sich austoben.
Für den Beweis des Kongruenzsatzes SSS werden Sie sinnvollerweise den Basiswinkelsatz benötigen. Weil dieser jedoch von so zentraler Bedeutung ist, haben wir ihm einen eigenen Unterpunkt auf der Hauptseite spendiert. Sie dürfen ihn also hier vorab als wahr voraussetzen.

 Zwei Dreiecke ABC und DEF sind zueinander kongruent, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen. 

<math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math> 
<math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math> 
<math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math> --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 13:59, 12. Jul. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Beweisversuch (aber ohne Basiswinkelsatz: geht das so auch?):

Vor. Zwei Dreiecke <math>\overline{ABC} und \overline {DEF}</math>

(1) <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math> 
(2) <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math> 
(3) <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math> 

Beh: <math>\overline{ABC} \cong \overline {DEF}</math>

Es genügt zu zeigen: <math>\angle CAB \cong \angle FDE </math> weil SWS bereits als Axiom festgelegt

Annahme: oBdA <math>\angle CAB > \angle FDE</math>

1) Auf <math> EF+ </math> gibt es einen Punkt F* | Ax. v. Lineal
<math>\overline BC \cong \overline EF*</math>

2) F ist Element des Inneren von <math> \angle F*DE </math> und <math> Zw(F*,F,E) </math>

3)<math> \angle FDE </math> ist nicht kongruent zu <math> \angle F*DE </math> | 2) und Folgerung aus dem Winkeladd.ax.

4) <math>\overline ABC \cong \overline DEF* </math> | SWS, Vor (1), Vor.

5) <math>\overline BC \cong \overline EF* </math> | 4)

6) <math>\overline BC ist nicht kongruent zu \overline EF </math> | 5),3)

das ist ein Widerspruch zur Vor.(2) also müssen die beiden Dreiecke kongruent zueinander sein.

Ich komme mit der Schreibweise hier nicht zurecht hoffe man erkennt was ich gemeint hab. 
Die Schlussfolgerungen in den Schritten 5 und 6 ergeben für mich keinen Sinn, da du ja schon in Schritt 1 <math>\overline{EF*}</math> so konstruierst, dass <math>\overline{BC} \cong \overline{EF*}</math> ist!?--[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 13:05, 16. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.2 (SoSe11)

2011-05-14T08:39:47Z

Matthias:

a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach). 
b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt ''S'' geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)? 
#<math>\ a \ \| \ b \Rightarrow \alpha \cong \beta </math>
#<math>\alpha \cong \beta \Rightarrow \ a \ \| \ b </math>
#<math>\alpha \not\cong \beta \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
#<math>\ a \ \| \ b \Leftrightarrow \alpha \cong \beta </math>

 a) Es seien a und b zwei nichtidentische Geraden, die von einer dritten Geraden geschnitten werden. Dabei entstehen die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta </math>. Diese Winkel sind kongruent zueinander, wenn die Geraden a und b parallel zueinander sind.

 b) Version 1 und 2 können als "genau dann wenn" Aussage zusammengefasst werden
beI 3. fehlt, dass in diesem Fall die Geraden nicht parallel sein dürfen
4. stellt die Kombination aus 1 und 2 dar--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 14:33, 5. Mai 2011 (CEST) 
Bei welcher Aussage handelt es sich denn um den Stufelwinkelsatz? Ist eine der Aussagen eine Umkehrung des Stufenwinkelsatzes?--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 13:20, 6. Mai 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]] Liest man die Aufgabe, dann werden auch die Antworten klar!--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 19:47, 8. Mai 2011 (CEST)

a) Stufenwinkelsatz: Stufenwinkel an zwei geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.--[[Benutzer:Engel81|Engel81]] 18:36, 6. Mai 2011 (CEST) 
 
b) 1. ist der Stufenwinkelsatz, 2. die Umkehrung und 4. die Zusammenfassung--[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 19:01, 8. Mai 2011 (CEST) 
Man könnte, wie hier schon beschrieben wurde, 4. als eine "Zusammenfassung" von 1. und 2. beschreiben, also eine Art "Stufenwinkelkriterium". Um was handelt es sich beim 3. Punkt? Flo21 hat weiter oben schon etwas dazu gesagt und vllt. könnte man an dieser Stelle noch einmal darüber diskutieren.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 12:56, 13. Mai 2011 (CEST)
 Der 3. Punkt ist die Kontraposition.--[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 10:39, 14. Mai 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.3 (SoSe11)

2011-05-08T17:08:32Z

Matthias:

Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Geraden g und h nicht identisch sind, dann haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam. 
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation? 
b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten? 

Antwort: 
a) Wenn zwei Geraden höchstens einen gemeinsamen Punkt haben, sind sie nicht identisch. 
b) Annahme: Es gibt Geraden, die nicht identisch sind und dennoch mehr als einen gemeinsamen Punkt haben. 
--[[Benutzer:Bubble|Bubble]] 13:46, 5. Mai 2011 (CEST)

 a) Wenn zwei Geraden g und h identisch sind, dann haben sie mindestens einen Punkt gemeinsam. 
b) Es gibt zwei Geraden, die nicht identisch sind und mehr als einen Punkt gemeinsam haben. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 14:42, 5. Mai 2011 (CEST) 
Was ist nun bei a) richtig, oder stimmen beide Antworten? Wie wird der Begriff "Kontraposition" verstanden bzw. wie ist er definiert?--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 13:32, 6. Mai 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]] 
Ich würde mich Flo21 anschließen. Die Antwort von Bubble ist die Umkehrung und nicht die Kontraposition. --[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 19:08, 8. Mai 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.2 (SoSe11)

2011-05-08T17:01:35Z

Matthias:

a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach). 
b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt ''S'' geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)? 
#<math>\ a \ \| \ b \Rightarrow \alpha \cong \beta </math>
#<math>\alpha \cong \beta \Rightarrow \ a \ \| \ b </math>
#<math>\alpha \not\cong \beta \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
#<math>\ a \ \| \ b \Leftrightarrow \alpha \cong \beta </math>

 a) Es seien a und b zwei nichtidentische Geraden, die von einer dritten Geraden geschnitten werden. Dabei entstehen die Winkel <math>\alpha</math> und <math>\beta </math>. Diese Winkel sind kongruent zueinander, wenn die Geraden a und b parallel zueinander sind.

 b) Version 1 und 2 können als "genau dann wenn" Aussage zusammengefasst werden
beI 3. fehlt, dass in diesem Fall die Geraden nicht parallel sein dürfen
4. stellt die Kombination aus 1 und 2 dar--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 14:33, 5. Mai 2011 (CEST) 
Bei welcher Aussage handelt es sich denn um den Stufelwinkelsatz? Ist eine der Aussagen eine Umkehrung des Stufenwinkelsatzes?--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 13:20, 6. Mai 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

a) Stufenwinkelsatz: Stufenwinkel an zwei geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.--[[Benutzer:Engel81|Engel81]] 18:36, 6. Mai 2011 (CEST) 
 
b) 1. ist der Stufenwinkelsatz, 2. die Umkehrung und 4. die Zusammenfassung--[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 19:01, 8. Mai 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 3.5 (SoSe11)

2011-05-04T13:30:44Z

Matthias:

Der Begriff Mittelsenkrechte sei folgendermaßen definiert: 
Die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\overline{AB}</math> ist die Gerade ''g'', die durch den Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math> verläuft und zu dieser Strecke <math>\overline{AB}</math> senkrecht steht. 
Beweisen Sie folgenden Satz: 
Die Mittelsenkrechte ''m'' einer beliebigen Strecke <math>\overline{AB}</math> ist die Menge aller Punkte ''P'', die von ''A'' und ''B'' denselben Abstand haben: 
(Beachten Sie, dass auch dieser Beweis wieder aus zwei Teilen besteht analog zur Aufgabe 3.4). 

'''Lösung''': '''Schritt 1''' Voraussetzung: <math>\overline{AB}</math> mit Mittelpunkt M, Mittelsenkrechte m und ein beliebiger Punkt P, wobei P ԑ m 
Behauptung: zu zeigen: <math>\overline{PA}</math> ist kongruent zu <math>\overline{PB}</math> 

{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt|| Behauptung
|-
| 1) <math>\overline{MA}</math> ist kongruent zu <math>\overline{MB}</math> 2) <math>\overline{MP}</math> ist kongruent zu <math>\overline{MP}</math> 3) <math>\angle (A,M,P)</math> ist kongruent zu <math>\angle (B,M,P)</math> 4) Dreieck <math>\overline{AMP}</math> ist kongruent zu Dreieck <math>\overline{BMP}</math> 5) <math>\overline{PA}</math> ist kongruent zu <math>\overline{PB}</math>|| Voraussetzung, Def. Mittelpunkt trivial Voraussetzung, Definition Mittelsenkrechte Kongruenzsatz SWS, 1-3 5
|} →Jeder Punkt P auf der Geraden g hat den gleichen Abstand zu A und B 

Schritt 2: Voraussetzung: <math>\overline{AB}</math> mit Mittelpunkt M, Mittelsenkrechte m und ein beliebiger Punkt X, für den gilt <math>\overline{XA}</math> ist kongruent zu <math>\overline{XB}</math> 
Behauptung: zu zeigen: <math>\angle (M,A,X)</math> ist kongruent zu <math>\angle (M,B,X)</math> 

{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Behauptung
|-
| 1) <math>\overline{AX}</math> ist kongruent zu <math>\overline{BX}</math> 2) <math>\overline{MX}</math> ist kongruent zu <math>\overline{MX}</math> 3) <math>\overline{AM}</math> ist kongruent zu <math>\overline{BM}</math> 4) Dreieck <math>\overline{AMX}</math> ist kongruent zu Dreieck <math>\overline{BMX}</math> 5) <math>\angle (A,M,X)</math> ist kongruent zu <math>\angle (B,M,X)</math> || Voraussetzung trivial Voraussetzung, Def. Mittelpunkt Kongruenzsatz SSS, 1-3 4
|} →Jeder Punkt X mit dem gleichen Abstand zu A und B liegt auf der Mittelsenkrechten g--[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 19:16, 27. Apr. 2011 (CEST) 

 Wozu zeigst du Matthias in Schritt 2, dass <math>\angle (M,A,X)</math> <math>\cong</math> <math>\angle (M,B,X)</math> ist(Behauptung 2) ? 
Die benannten Winkel entsprechen alpha und betha bei ülicher Bezeichung im Dreieck. Oder meinst du vllt andere Winkel? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:16, 30. Apr. 2011 (CEST) 
Ich meinte die Winkel <math>\angle (A,M,X)</math> und <math>\angle (B,M,X)</math>, habe sie falsch bezeichnet. Habs im Text berichtigt. --[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 15:30, 4. Mai 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 3.2 (SoSe11)

2011-04-27T17:19:50Z

Matthias:

In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Parallelogramm? Begründen Sie! 
1. Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen halbieren, so ist das Viereck ein Parallelogramm. 
'''Lösung:''' Es handelt sich hierbei um keine korrekte Definition. Bei einem Drachen halbieren sich auch die Diagonalen aber nicht jeder Drachen ist ein Parallelogramm.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 23:34, 20. Apr. 2011 (CEST) 
An dieser Stelle sollte man sich noch einmal einen Drachen anschauen. Bei einem Drachen stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander, aber nur eine Diagonale halbiert die jeweils andere Diagonale <math>\Rightarrow</math> sie halbieren sich nicht zwangsläufig gegenseitig. Wenn sich bei einem Drachen die Diagonalen gegenseitig halbieren, dann handelt es sich um eine Raute und Rauten sind auch Parallelogramme. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:08, 21. Apr. 2011 (CEST) 
Genau, korrekte Konventionaldefintion also! --[[Benutzer:Nitnelav12|Nitnelav12]] 16:09, 27. Apr. 2011 (CEST)

2. Wenn in einem Drachen die gegenüberliegenden Seiten kongruent zueinander sind, so ist der Drachen ein Parallelogramm. 
'''Lösung:'''Müsste eine korrekte Konventionaldefinition sein?[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 23:34, 20. Apr. 2011 (CEST) 
Es handelt sich um eine korrekte Konventionaldefinition: Definiert wurde ein Raute und eine Raute ist auch ein Parallelogramm. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 12:23, 21. Apr. 2011 (CEST) Dies ist keine korrekte Definition, da nur ein Spezialfall des Parallelogramms definiert wird (Raute)--[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 19:19, 27. Apr. 2011 (CEST) 
3. Es gibt Trapeze, die ein weiteres Paar paralleler Seiten haben und die Parallelogramme genannt werden. 
'''Lösung:'''Dies ist keine korrekte Definition. Der Begriff Parallelogramm wird nicht eindeutig abgegrenzt.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 23:34, 20. Apr. 2011 (CEST) 
Korrekte Definition, da Trapeze bereits ein Paar paralleler Seiten hat und kommt ein weiteres Paar hinzu, dann ist es ein Parallelogramm. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 12:23, 21. Apr. 2011 (CEST) 
Dies ist keine Definition, sondern eine Existenzaussage. --[[Benutzer:matthias|matthias]] 12:34, 27. Apr. 2011 (CEST) 
Ich stimme Matthias zu! keine Defintion,weil Existenzaussage.--[[Benutzer:Nitnelav12|Nitnelav12]] 16:09, 27. Apr. 2011 (CEST)

4. Trapeze mit zwei zueinander kongruenten Seiten heißen Parallelogramme. 
'''Lösung:'''Dies ist keine korrekte Realdefinition.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 23:34, 20. Apr. 2011 (CEST) 
<ggb_applet width="482" height="212" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAB1ZlT4AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3VjNcts2ED43T4FhZ3ITxR9JkSaSM5bcg2ecpDNyc+ilA5KwhJokGAC0JT9B+xg99MXyJN0FSIkUW7dy0nEUXSgsoMXi+779wNH0zSZLyR2Tiot85viu5xCWxyLh+WrmlPqmN3benL2YrphYsUhSciNkRvXMCd3AwXjJz158N1VrcU9oapZ84Ox+5tzQVDGHqEIymqg1Y7oVp+WGp5zK7fvoVxZrtZ+wSS7zooRdtCwhFmfJFVf1sG82LFKuL/gdT5gkqYhnzmgIpcO3D0xqHtN05gw8GwlmTnAwCaEQZ9dC8geRa1y+T34DEUIUf2CASICxad8cdMrKOOUJpzkextQBiwi554lew4bjAFIyvlpDrYHv2WyxEDJZbpVmGdn8zKSApOMRAr2tRxMcKagLNhx6Zqo5MmnY3ZJpDbQoQjdsD9hK8qQ1uFRzke5DheC5XtBCl9JwGlahpd7iBrCXxILP81XKqpgPkK9ZfBuJzdKCENrU19vC/MQUFK0WIhWSSIR3CAuqZ2SfZg1WulvlmTWeWVHlwKS7eX8SmBXmGdmnWZXy3JZWndyvT11DTDdcEQwgjCDF3eFTGjGg1iFlzvVVPQAJ3O6Pij94V2YR9EBTBLuc/pfKOe0fyGd6y2TOUiuSHLgtRanIHYrR7mUKSVjMMxjaiQoSinT9BAXYaMJWktWF2w6ygJnZlhAPwtN+XQTWoKDWWIMVwHk0ngU7VUOX4LeEaoxgG6QsY9Aj2ujByGmHy7mzMwRhervu4mp+jzBM/602jIpoWqwpRGr5p3QLnd48jsn3ViTtQ9IcwDIngIYrMAHSUTBmmdSVgkkBCU0/NJA2ACmymTk9sLcBdCH+Hp4P1hnNIts82PZm27Bi1iLyL9jMvwVsQncUPA2aWGQZzROS0ww2WrIVxg0kHO2eUA/lQ6iPSFkYSl1PUJutytEBWlXZaiip03YOvYYGzZlS2EK7o/Y/lw/v6WzsEbWOD1eYOx4ZRHuB+2oA19f+8+rQCR85D/uY2zXK+hHP4LKMud5BmiK7l7kGd2Km27umc8tYgW7/Pr+WNFd469s1DTP7T5JffAuSD9yhlXzgTj5H8ldA34HeF1bvtKP36Bf/ccWjFnYw4uqnCb59qz2b4v2JO540Jd+5+5+o+GMNaG4JWXQJOc6AohMyIPCboeGj52N/AB8TdzCeND7jr9l/uk0255hZyANuu12WHNVlyWl1Wc+217bqN+NboReGDV6/1L3yz3S85VJ2iKhcr0K/xcjF43y0b5eL571dWh3kN3FFZKsLw2t9/odXpgsL5nlX3Mc5VnJCjgWG1cG18q92fGjwHrvD1utUeDp29ijn3VsqPo7z+IQ4H7jwTjyeBN5kDOSPgtEPPd/a28Ad1a8RoTv0B18zu2xTSKgEX0kr+K7ZRsOtCxMz5+XHUujXEfn0+x8kIS+/973X53Py6bc/yeLCzpl8bVI1JHDa2Z6RMKWp1D+irxHLmt9qPb/yxWHLCZsI9Zt/RJj/3qo/H8/+AlBLBwhyUhyMcgQAAK4UAABQSwECFAAUAAgACAAdWZU+clIcjHIEAACuFAAADAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAABAAEAOgAAAKwEAAAAAA==" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 
Mal wieder eine Abbildung zum Verdeutlichen. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:17, 21. Apr. 2011 (CEST)
 Es handelt sich um keine korrekte Definition, da mit den beiden kongruenten Seiten nicht zwangsläufig ein Parallelogramm definiert wurde. Wie die Abbildung zeigt, kann es sich auch um ein gleichschenkliges Trapez handeln. Und ein Trapez ist kein Parallelogramm, umgekehrt hingegen schon. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:15, 27. Apr. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 3.5 (SoSe11)

2011-04-27T17:16:02Z

Matthias:

Der Begriff Mittelsenkrechte sei folgendermaßen definiert: 
Die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\overline{AB}</math> ist die Gerade ''g'', die durch den Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math> verläuft und zu dieser Strecke <math>\overline{AB}</math> senkrecht steht. 
Beweisen Sie folgenden Satz: 
Die Mittelsenkrechte ''m'' einer beliebigen Strecke <math>\overline{AB}</math> ist die Menge aller Punkte ''P'', die von ''A'' und ''B'' denselben Abstand haben: 
(Beachten Sie, dass auch dieser Beweis wieder aus zwei Teilen besteht analog zur Aufgabe 3.4). 

'''Lösung''': '''Schritt 1''' Voraussetzung: <math>\overline{AB}</math> mit Mittelpunkt M, Mittelsenkrechte m und ein beliebiger Punkt P, wobei P ԑ m 
Behauptung: zu zeigen: <math>\overline{PA}</math> ist kongruent zu <math>\overline{PB}</math> 

{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt|| Behauptung
|-
| 1) <math>\overline{MA}</math> ist kongruent zu <math>\overline{MB}</math> 2) <math>\overline{MP}</math> ist kongruent zu <math>\overline{MP}</math> 3) <math>\angle (M,A,P)</math> ist kongruent zu <math>\angle (M,B,P)</math> 4) Dreieck <math>\overline{AMP}</math> ist kongruent zu Dreieck <math>\overline{BMP}</math> 5) <math>\overline{PA}</math> ist kongruent zu <math>\overline{PB}</math>|| Voraussetzung, Def. Mittelpunkt trivial Voraussetzung, Definition Mittelsenkrechte Kongruenzsatz SWS, 1-3 5
|} →Jeder Punkt P auf der Geraden g hat den gleichen Abstand zu A und B 

Schritt 2: Voraussetzung: <math>\overline{AB}</math> mit Mittelpunkt M, Mittelsenkrechte m und ein beliebiger Punkt X, für den gilt <math>\overline{XA}</math> ist kongruent zu <math>\overline{XB}</math> 
Behauptung: zu zeigen: <math>\angle (M,A,X)</math> ist kongruent zu <math>\angle (M,B,X)</math> 

{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Behauptung
|-
| 1) <math>\overline{AX}</math> ist kongruent zu <math>\overline{BX}</math> 2) <math>\overline{MX}</math> ist kongruent zu <math>\overline{MX}</math> 3) <math>\overline{AM}</math> ist kongruent zu <math>\overline{BM}</math> 4) Dreieck <math>\overline{AMX}</math> ist kongruent zu Dreieck <math>\overline{BMX}</math> 5) <math>\angle (M,A,X)</math> ist kongruent zu <math>\angle (M,B,X)</math> || Voraussetzung trivial Voraussetzung, Def. Mittelpunkt Kongruenzsatz SSS, 1-3 4
|} →Jeder Punkt X mit dem gleichen Abstand zu A und B liegt auf der Mittelsenkrechten g--[[Benutzer:Matthias|Matthias]] 19:16, 27. Apr. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 3.5 (SoSe11)

2011-04-27T11:33:05Z

Matthias:

Lösung von Aufgabe 3.2 (SoSe11)

2011-04-27T10:42:43Z

Matthias:

In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Parallelogramm? Begründen Sie! 
1. Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen halbieren, so ist das Viereck ein Parallelogramm. 
'''Lösung:''' Es handelt sich hierbei um keine korrekte Definition. Bei einem Drachen halbieren sich auch die Diagonalen aber nicht jeder Drachen ist ein Parallelogramm.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 23:34, 20. Apr. 2011 (CEST) 
An dieser Stelle sollte man sich noch einmal einen Drachen anschauen. Bei einem Drachen stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander, aber nur eine Diagonale halbiert die jeweils andere Diagonale <math>\Rightarrow</math> sie halbieren sich nicht zwangsläufig gegenseitig. Wenn sich bei einem Drachen die Diagonalen gegenseitig halbieren, dann handelt es sich um eine Raute und Rauten sind auch Parallelogramme. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:08, 21. Apr. 2011 (CEST) 
2. Wenn in einem Drachen die gegenüberliegenden Seiten kongruent zueinander sind, so ist der Drachen ein Parallelogramm. 
'''Lösung:'''Müsste eine korrekte Konventionaldefinition sein?[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 23:34, 20. Apr. 2011 (CEST) 
Es handelt sich um eine korrekte Konventionaldefinition: Definiert wurde ein Raute und eine Raute ist auch ein Parallelogramm. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 12:23, 21. Apr. 2011 (CEST) 
3. Es gibt Trapeze, die ein weiteres Paar paralleler Seiten haben und die Parallelogramme genannt werden. 
'''Lösung:'''Dies ist keine korrekte Definition. Der Begriff Parallelogramm wird nicht eindeutig abgegrenzt.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 23:34, 20. Apr. 2011 (CEST) 
Korrekte Definition, da Trapeze bereits ein Paar paralleler Seiten hat und kommt ein weiteres Paar hinzu, dann ist es ein Parallelogramm. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 12:23, 21. Apr. 2011 (CEST) 
Dies ist keine Definition, sondern eine Existenzaussage. --[[Benutzer:matthias|matthias]] 12:34, 27. Apr. 2011 (CEST) 

4. Trapeze mit zwei zueinander kongruenten Seiten heißen Parallelogramme. 
'''Lösung:'''Dies ist keine korrekte Realdefinition.[[Benutzer:Klemens|Klemens]] 23:34, 20. Apr. 2011 (CEST) 
<ggb_applet width="482" height="212" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAB1ZlT4AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3VjNcts2ED43T4FhZ3ITxR9JkSaSM5bcg2ecpDNyc+ilA5KwhJokGAC0JT9B+xg99MXyJN0FSIkUW7dy0nEUXSgsoMXi+779wNH0zSZLyR2Tiot85viu5xCWxyLh+WrmlPqmN3benL2YrphYsUhSciNkRvXMCd3AwXjJz158N1VrcU9oapZ84Ox+5tzQVDGHqEIymqg1Y7oVp+WGp5zK7fvoVxZrtZ+wSS7zooRdtCwhFmfJFVf1sG82LFKuL/gdT5gkqYhnzmgIpcO3D0xqHtN05gw8GwlmTnAwCaEQZ9dC8geRa1y+T34DEUIUf2CASICxad8cdMrKOOUJpzkextQBiwi554lew4bjAFIyvlpDrYHv2WyxEDJZbpVmGdn8zKSApOMRAr2tRxMcKagLNhx6Zqo5MmnY3ZJpDbQoQjdsD9hK8qQ1uFRzke5DheC5XtBCl9JwGlahpd7iBrCXxILP81XKqpgPkK9ZfBuJzdKCENrU19vC/MQUFK0WIhWSSIR3CAuqZ2SfZg1WulvlmTWeWVHlwKS7eX8SmBXmGdmnWZXy3JZWndyvT11DTDdcEQwgjCDF3eFTGjGg1iFlzvVVPQAJ3O6Pij94V2YR9EBTBLuc/pfKOe0fyGd6y2TOUiuSHLgtRanIHYrR7mUKSVjMMxjaiQoSinT9BAXYaMJWktWF2w6ygJnZlhAPwtN+XQTWoKDWWIMVwHk0ngU7VUOX4LeEaoxgG6QsY9Aj2ujByGmHy7mzMwRhervu4mp+jzBM/602jIpoWqwpRGr5p3QLnd48jsn3ViTtQ9IcwDIngIYrMAHSUTBmmdSVgkkBCU0/NJA2ACmymTk9sLcBdCH+Hp4P1hnNIts82PZm27Bi1iLyL9jMvwVsQncUPA2aWGQZzROS0ww2WrIVxg0kHO2eUA/lQ6iPSFkYSl1PUJutytEBWlXZaiip03YOvYYGzZlS2EK7o/Y/lw/v6WzsEbWOD1eYOx4ZRHuB+2oA19f+8+rQCR85D/uY2zXK+hHP4LKMud5BmiK7l7kGd2Km27umc8tYgW7/Pr+WNFd469s1DTP7T5JffAuSD9yhlXzgTj5H8ldA34HeF1bvtKP36Bf/ccWjFnYw4uqnCb59qz2b4v2JO540Jd+5+5+o+GMNaG4JWXQJOc6AohMyIPCboeGj52N/AB8TdzCeND7jr9l/uk0255hZyANuu12WHNVlyWl1Wc+217bqN+NboReGDV6/1L3yz3S85VJ2iKhcr0K/xcjF43y0b5eL571dWh3kN3FFZKsLw2t9/odXpgsL5nlX3Mc5VnJCjgWG1cG18q92fGjwHrvD1utUeDp29ijn3VsqPo7z+IQ4H7jwTjyeBN5kDOSPgtEPPd/a28Ad1a8RoTv0B18zu2xTSKgEX0kr+K7ZRsOtCxMz5+XHUujXEfn0+x8kIS+/973X53Py6bc/yeLCzpl8bVI1JHDa2Z6RMKWp1D+irxHLmt9qPb/yxWHLCZsI9Zt/RJj/3qo/H8/+AlBLBwhyUhyMcgQAAK4UAABQSwECFAAUAAgACAAdWZU+clIcjHIEAACuFAAADAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAABAAEAOgAAAKwEAAAAAA==" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 
Mal wieder eine Abbildung zum Verdeutlichen. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:17, 21. Apr. 2011 (CEST)
 Es handelt sich um keine korrekte Definition, da mit den beiden kongruenten Seiten nicht zwangsläufig ein Parallelogramm definiert wurde. Wie die Abbildung zeigt, kann es sich auch um ein gleichschenkliges Trapez handeln. Und ein Trapez ist kein Parallelogramm, umgekehrt hingegen schon. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:15, 27. Apr. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]