Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Diskussion:Lösung von Aufgabe 14.1

2010-07-29T08:26:21Z

Maude001: Die Seite wurde neu angelegt: Haben wir schon den Satz "Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks" bewiesen und können wir davon ausgehen, dass wir den hier verwenden können? --~~~~

Diskussion:Lösung von Aufgabe 14.4

2010-07-29T07:50:35Z

Maude001: Die Seite wurde neu angelegt: Wenn ich bei der Behauptung schreibe: O.B.d.A. sei dies die Diagonale <math>\overline{DB}</math>, es gilt somit <math> \ |BS| = |DS|</math>. Ist das dann au...

Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck

2010-07-28T08:11:13Z

Maude001: /* Definition XV.4: (Sehenenviereck) */

== Begriff des Sehnenvierecks ==
===== Definition XV.1: (Kreissehne) =====
:: Es sei <math>\ k</math> ein Kreis. Die Strecke <math>\ \overline{AB}</math> ist eine Sehen des Kreises <math>\ k : \Leftrightarrow ... </math>.
wenn die Endpunkte der Strecke <math>\ \overline{AB}</math> auf dem Kreis liegen.
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 19:22, 25. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition XV.2: (die Durchmesser eines Kreises) =====
:: Ist eine Sehne, die durch den Mittelpunkt zur Teilmenge hat.
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 19:22, 25. Jul. 2010 (UTC) 
Vorschlag--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 15:56, 26. Jul. 2010 (UTC): Der Durchmesser eines Kreises ist eine Sehne von k, die durch den Mittelpunkt von k geht.

===== Definition XV.3: (Radien eines Kreises) =====
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Radien.
:: Der Radius ist die Strecke <math>\ \overline{MP}</math>, wenn M Mittelpunkt des Kreises k ist und P ein beliebiger Punkt von k. --[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 19:22, 25. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition XV.4: (Sehnenviereck) =====
:: Ein Viereck, dessen Eckpunkte auf demselben Kreis k liegen.
:: Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen desselben Kreises k sind.
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 19:22, 25. Jul. 2010 (UTC)

== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==
=== Die Satzfindung ===
==== sehr speziell: Quadrate ====
Jedes Quadrat hat einen Umkreis und ist somit ein Sehnenviereck. 
[[Bild:Quadrat_als_Sehnenviereck.png]]

==== weniger speziell, aber immer noch ziemlich speziell: Rechtecke ====
Jedes Rechteck ist ein Sehnenviereck.
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==== noch allgemeiner, aber immer noch ziemlich speziell: gleichschenklige Trapeze ====
Jedes gleichschenklige Trapez ist ein Sehnenviereck.

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==== allgemeines Sehnenviereck ====
Ausgangslage: <math>\ \overline{ABCD}</math> ist ein gleichschenkliges Trapez.

Arbeitsauftrag: Bewegen Sie den Punkt <math>\ C</math> auf dem Kreis. Beobachten Sie, wie sich der rote und der blaue Winkel verändern. Was vermuten Sie bezüglich der Größe von <math>\ \gamma</math>? Was vermuten Sie hinsichtlich der Größen der gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck?

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== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==
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Der Umkreis und die Mittelsenkrechten eines Dreiecks

2010-07-26T17:41:56Z

Maude001: /* Definition XIII.1 : (Mittelsenkrechten eies Dreiecks) */

== Umkreis eines Dreiecks ==
===== Definition XIII.1 : (Mittelsenkrechten eines Dreiecks) =====
::Unter den Mittelsenkrechten eines Dreiecks versteht man die Mittelsenkrechten der Seiten dieses Dreiecks.

===== Definition XIII.2 : (Umkreis eines Dreiecks) =====
::Wenn ein Kreis <math>\ k</math> durch die Eckpunkte <math>\ A , B, C</math> des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> geht, dann ist <math>\ k</math> der Umkreis des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

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===== Satz XIII.1 (Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks) =====
::Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden einander in genau einem Punkt.

'''Beweis: Existenz und Eindeutigkeit eines Schnittpunktes der Mittelsenkrechten eines Dreiecks'''
 Man muss also beweisen, dass es...
::(1) einen Schnittpunkt aller drei Mittelsenkrechten gibt
::(2) GENAU einen Schnittpunkt gibt

Dies findet jedoch nicht in diesen zwei Schritten wie üblich statt, da andere Grundvoraussetzungen geklärt werden müssen.
Zur besseren Veranschaulichung sei die Vorgehensweise:
::(a) Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich: vielleicht in einem, vielleicht in drei verschiedenen Punkten (Grundvoraussetzung)
::(b) Es existiert ein Schnittpunkt von zwei Mittelsenkrechten
::(c) Es existiert ein Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten aus (b) und der dritten Mittelsenkrechten

Etwas formloser nun ohne Voraussetzung und Behauptung:
::(a) Die drei Mittelsenkrechten schneiden sich: vielleicht in einem, vielleicht in drei verschiedenen Punkten (Grundvoraussetzung)
:::(I) Die drei Eckpunkte des Dreiecks sind nicht kollinear (Konstruktion eines Dreiecks)
:::(II) Daraus resultieren drei Geraden <math>\ AB, BC, AC</math>, die paarweise nicht identisch sind (I)
:::(III) "Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam." (Satz I.1)
:::(III)a Keine Seite eines Dreiecks kann parallel zu einer zweiten Seite des Dreiecks sein.
:::(IV) Die Senkrechten auf zwei nicht-identischen, nicht-parallen Geraden schneiden sich (da nur die Senkrechten von parallelen Geraden schnittpunktfrei sind --> die Senkrechte zur Senkrechten einer Gerade ist die Parallele zur Geraden)

::(b) Es existiert ein Schnittpunkt von zwei Mittelsenkrechten
:::(I) Alle Punkte <math>P_\mathrm{mb} \in m_b</math> haben selben Abstand zu <math>\ A</math> und <math>\ C</math> (Mittelsenkrechtenkriterium)
:::(II) Alle Punkte <math>P_\mathrm{ma} \in m_a</math> haben selben Abstand zu <math>\ B</math> und <math>\ C</math> (Mittelsenkrechtenkriterium)
:::(III) <math>\ m_b</math> und <math>\ m_a</math> schneiden sich in <math>\ S</math> (Existenz des Schnittpunktes nach Teil (a) bewiesen)
:::(IV) Da <math>S \in m_b \wedge S \in m_a</math> gilt <math>\ |AS| = |CS|</math> und <math>\ |BS| = |CS|</math>

::(c) Es existiert ein Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten aus (b) und der dritten Mittelsenkrechten
:::(I) Es gilt <math>\ |AS| = |CS|</math> und <math>\ |BS| = |CS|</math> nach (b)(IV)
:::(II) Es gilt auch <math>\ |AS| = |BS|</math> nach (I) (Transitivität, Umformung)
:::(III) Es gilt somit auch: <math>S \in m_c</math> (Mittelsenkrechtenkriterium)

Es existiert genau ein Schnittpunkt!

Muss man die Eindeutigkeit jetzt noch beweisen? Und wenn nicht: warum nicht?
 Noch eine Bonus-Frage: Wieso ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks? --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 15:00, 22. Jul. 2010 (UTC)

 Kommentar --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:14, 22. Jul. 2010 (UTC)
Du hast die Eindeutigkeit (m.E.) durch die "Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten" und nach Satz I/1 (Es seien g und h zwei verschiedene Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, so haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.) gegeben. Ich denke, dass man das noch als Kommentar darunter schreiben sollte.

Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar

2010-07-26T17:08:24Z

Maude001: /* Satz I.3: (Existenz von drei Geraden) */

Hier soll ein Glossar wichtiger geometrischer Begriffe und Sätze (in Bezug auf unsere Veranstaltung) entstehen. Bitte ergänzen Sie!

== Grundbegriffe (undefinierte Begriffe) ==
* Punkt
* Gerade
* Ebene

== Begriffsklärungen ==
* disjunkt - elementfremd, nicht gleich
* identitiv - antisymmetrisch, gleich (z.B. wenn aRb und bRa dann a=b) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* inzident - beschreibt die Zugehörigkeit - Elementbezeichnung (z.B. inzidiert ein Punkt mit einer Geraden g, wenn er zu der Geraden g gehört) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* kollinear - eine Gerade, die alle Punkte einer Menge enthält
* komplanar - eine Ebene, die alle Punkte einer Menge enthält --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* reflexiv - jedes Element steht in Relation zu sich selbst
* symmetrisch - wenn zwei Elemente in der gleichen Klasse liegen (z.B. sind a€M und b€M, dann gilt aRb aber auch bRa) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* transitiv - wenn ein Element 1 zu dem nächsten Element 2 in Relation steht und das nächste Element 2 zu dem übernächsten Element 3 in Relation steht, dann steht das Element 1 automatisch auch in Relation zu dem übernächsten Element 3 in Relation --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)

"bitte überprüft das mal jemand ;-)"
: Das Problem ist, dass diese Erklärungen maximal Erinnerungsstützen sein können. Um auf der sicheren Seite zu sein, sollten Sie die Erkärungen in saubere Definitionen fassen. Beispiel: Definition:(disjunkt) Zwei Mengen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sind disjunkt zueinander, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben.

: Aus meiner Sicht wäre es sinnvoll, wenn Sie diesen Abschnitt umbenennen in Basiswissen: Definitionen/Sätze und einen neuen Abschnitt zu den Erklärungen aufmachen. Dieser neue Abschnitt könnte dann Dinge beinhalten, die mehr oder weniger Prozeßwissen beinhalten. Ein Beispiel:
# Nichtfolgerbarkeit einer Aussage <math>\ a</math> aus einer Menge <math>\ A</math> von Axiomen
::Mitunter möchte man wissen, ob sich eine bestimmte Aussage <math>\ a</math> aus einer Menge <math>\ A</math> von Axiomen folgern läßt. Gelingt uns diese Folgerung, ist alles in Ordnung. Falls diese Folgerung nicht gelingt, haben wir ein Problem: Wir können uns nicht sicher sein, ob die Folgerung prinzipiell nicht möglich ist, oder ob es unser Unvermögen war, welches das Projekt Folgerung von <math>\ a</math> aus <math>\ A</math> scheitern ließ. Abhilfe bringt ggf. die Suche nach Modellen für <math>\ A</math>. In jedem Modell für <math>\ A</math> müssen auch alle Folgerunge gelten, die aus <math>\ A</math> abgeleitet werden können. Sollten wir nun ein Modell für <math>\ A</math> finden, in dem <math>\ a</math> nicht gilt ...
# Modell für eine Menge von Axiomen
: ... 
[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:32, 9. Jun. 2010 (UTC)

=== Klasseneinteilung ===
:Es sei <math>M</math> eine Menge und <math>K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>M</math>.
:<math>K</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>M</math>, wenn gilt:
:# notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
:# notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
:# notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge <math>M</math>.
::Mengen sind disjunkt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

=== Relationen ===
Definition: (n-stellige Relation)
:Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation. 
Definition: (Äquivalenzrelation)
:Eine Relation <math>\ R</math> in einer Menge <math>\ M</math> heißt ''Äquivalenzrelation'', wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

== Axiome ==

* Inzidenzaxiome:

=====Axiom I.0:=====
:Geraden und Ebenen sind Punktmengen.

=====Axiom I.1: (Axiom von der Geraden)=====
:Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

=====Axiom I.2:=====
:Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.

=====Axiom I.3:=====
:Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.

=====Axiom I.4:=====
:Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

=====Axiom I.5:=====
:Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.

=====Axiom I.6:=====
:Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

=====Axiom I.7:=====
:Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

* Abstandsaxiome:

===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.

===== Axiom II.2: =====
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.

===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
:Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

:Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

:::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
:::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
:::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
:Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
:Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.

===== Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch) =====
:Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

==== Axiom IV.1: (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180.

==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>

==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS) ====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
::gelten, 
::dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

==== Euklidisches Parallelenaxiom ====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.

== Definitionen ==

===== Definition des Begriffs der Relation: =====
:Definition: (n-stellige Relation)

::Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.

:Definition: (Äquivalenzrelation)
::Eine Relation <math>\ R</math> in einer Menge <math>\ M</math> heißt ''Äquivalenzrelation'', wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

=====Definition I.2: (kollinear)=====
:Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
:Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=====Definition I.3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====
:Ein Punkt ''P'' inzidiert mit einer Ebene ''E'', wenn ''P'' ein Element der Ebene ''E'' ist.

=====Definition I.4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====
:Eine Gerade ''g'' gehört zu einer Ebene ''E'', wenn jeder Punkt von ''g'' zu ''E'' gehört.

=====Definition I.5: (Raum)=====
:Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

=====Definition I.6: (komplanar)=====
:Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(''A'', ''B'', ''C, D, ...'') (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

=====Definition I.7: (komplanar für Geraden)=====
:Zwei Geraden'' g ''und ''h'' sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
:Schreibweise: komp(g, h)

=====Definition I.8: (Geradenparallelität)=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
:In Zeichen: ''g''||''h''.

=====Definition I.9: (windschief )=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

=====Definition I.10: (parallel für Ebenen)=====
:Zwei Ebene ''E''1 und ''E''2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
:Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.
:Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>.

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====

:[[Lösung_von_Aufgabe_6.5]]

::Eine informelle Definition:

::Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>
::::Gegeben seien zwei verschiedene Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden <math>\ AB^+</math> versteht man die Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ B</math> hinaus verlängert.

::Formulieren Sie eine mathematisch korrekte Definition des Begriffs Halbgerade <math>\ AB^+</math>.
 
::Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>
:::<math>AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}</math>

::diese Lösung ist richtig!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:48, 16. Jun. 2010 (UTC)

:[[Lösung_von_Aufgabe_6.6]]

::Gegeben seien zwei nicht identische Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter <math>\ AB^-</math> wollen wir die Menge aller Punkte <math>\ P</math> verstehen, die man erhält, wenn man <math>\overline{A B}</math> über <math>\ A</math> hinaus verlängert. Geben Sie eine mathematisch korrekte Definition für die Menge dieser Punkte <math>\ P</math> an.

::Lösung: Ergänzen Sie einfach die folgende Mengenschreibweise:

::<math>AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}</math>

::diese Lösung ist richtig! --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:49, 16. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
:Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Punktmengen:
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus g</math>
[[Bild:Dozenten.jpg]]

muss es nicht heißen: <math>\ gQ^{-}:= \exists S \, \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} </math> \ g

da es sich um eine offene Halbebene handelt, darf g doch nicht enthalten sein, oder?
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:10, 28. Jun. 2010 (UTC)

Nein, da 1. oben schon gesagt wurde, dass P nicht auf g liegen soll und 2. gäbe es somit auch keinen Schnittpunkt S. Also sind alle Punkte ausgeschlossen, die auf g liegen.

:Das ist falsch, [[Benutzer:Schafi|Schafi]]. Es gäbe sehr wohl einen Schnittpunkt, denn auch die Endpunkte gehören zur Strecke. [[Benutzer:Frühling|Frühling]] hat (bis auf Schreibfehler in der Formel) vollkommen recht. Ich hab's mal geändert. Bin mir mit der Schreibweise aber auch nicht überall sicher.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:28, 22. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
[[Bild:Dozenten.jpg]]

::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

::Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.
::--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)

Dies habe ich aus dem Skript kopiert. --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 11:43, 7. Jul. 2010 (UTC)

=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.

===== Definition V.1: (Winkel)=====

:: Ein Winkel heißt die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q, die einen gemeinsamen Anfangspunkt S haben.

oder

:: Ein Winkel ist ein Paar Halbgeraden p, q mit gemeinsamen Anfangspunkt S.

===== Definition V.2: (Inneres eines Winkels) =====
::Das Innere eines Winkels <math>\angle ASB</math> ist der Schnitt ...der beiden Halbebenen <math>\ SA,B^+</math> und <math>\ SB,A^+</math>

===== Definition V.3: (Scheitelwinkel) =====
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^-</math> sind Scheitelwinkel.

===== Definition V.4: (Nebenwinkel) =====
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^+</math> sind Nebenwinkel.

===== Definition V.5: (Größe eines Winkels) =====
:: Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

===== Definition V.6 : (Rechter Winkel) =====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

===== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) =====
:: Zwei Winkel heißen genau dann supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

===== Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) =====
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen. 
Ergänzen Sie:
:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... die Gerade AB und die Gerade CD senkrecht aufeinander stehen??? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:45, 27. Jun. 2010 (UTC)

::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> ... zwei Geraden gibt, die nicht parallel oder identisch sind und vollständig in <math>\epsilon</math> liegen und auf die <math> g </math> senkrecht steht. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:18, 2. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition VI.1: (Mittelsenkrechte) =====
::Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn

::# <math>m \perp AB</math>
::# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>

===== Definition VI.2 =====
:: Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben.

===== Definition VII.1: (Streckenkongruenz) =====
:: Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben. 
:: In Zeichen <math>\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math>

===== Definition VII.2 : (Winkelkongruenz) =====
::Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander. 
::In Zeichen: <math>\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |</math>

===== Definition VII.3: (Dreieckskongruenz) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 6 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
:::# <math>\angle ACB \cong \angle DFE</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) =====
as können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

[[Übung_11#Aufgabe_11.1| Übung 11 Aufgabe 1]]

Ein Dreieck mit zwei zueinanderkongruenten Seiten heißt gleichschenkliges Dreieck. Die beiden zueinander kongruenten Seiten heißen Schenkel des gleichseitigen Dreiecks. Die dritte Seite des gleichschenkligen Dreiecks heißt Basis. Die Innenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Scheitelpunkte die Eckpunkte der Basis sind heißen Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.

--[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 07:24, 8. Jul. 2010 (UTC)

==== Definition VIII.1: Außenwinkel eines Dreiecks ====
Alle Nebenwinkel der Innenwinkel eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> heißen Außenwinkel des Dreiecks.
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:20, 17. Jul. 2010 (UTC)

=== Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) ===

Es sei P ein Punkt, der nicht zur Geraden g gehören möge.
Die Gerade l, die senkrecht auf g steht und durch den Punkt P geht heißt Lotgerade von P auf g. Der Schnittpunkt L von l mit g, heißt Lotfußpunkt des Lotes von P auf g. Unter dem Lot von P auf g, versteht man die Strecke <math>\overline{PL}</math>.
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:19, 17. Jul. 2010 (UTC)

=== Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) ===

Es sei P ein Punkt außerhalb von g. Der Abstand von P zu g ist die Länge des Lotes <math>\overline{PL}</math> von P auf g.
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:24, 17. Jul. 2010 (UTC)

== Sätze ==
=====Satz I.1:=====
:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden. Wenn ''g'' und ''h'' nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.

=====Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)=====
:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden.
:Wenn ''g'' und ''h'' mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind ''g'' und ''h'' identisch.

===== Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)=====
:Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.
 

===== Satz I.4: (Minimales Modell für die Inzidenzaxiome der ebenen Geometrie) =====

::Jedes Modell für die ebenen Inzidenzaxiome besteht aus wenigstens 3 Punkten und 3 Geraden.

=====Satz I.5:=====
:Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

=====Satz I.6:=====
:Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

=====Satz I.7:=====
:Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

===== Satz II.1: =====
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Satz II.2: =====
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Satz II.3: =====
:Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Satz II.4: =====
:Es sei <math>\ O</math> ein Punkt einer Geraden <math>\ g</math>. Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math>\ g</math>.

===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====
:Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

===== Satz IV.1: (Repräsentantenunabhängigkeit) =====
: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.

===== Satz IV.2: =====
:Halbebenen sind konvexe Punktmengen

===== Satz IV.3: =====
:Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

===== Satz V.1: =====
: Das Innere eines Winkels ist konvex.

==== Satz V.2: ====
:Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.

==== Satz V.3: (Existenz von rechten Winkeln) ====
:Es gibt rechte Winkel.

==== Satz V.4: ====
:Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Satz V.5: ( Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt) ====
:Gegeben seien ein Punkt P auf einer Geraden g in einer Ebene E. Es gibt in E genau eine Gerade, die durch P geht und senkrecht auf g steht.

oder

: Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Ferner sei <math>\ P</math> ein Punkt auf <math>\ g</math>. In der Ebene <math>\ \Epsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ s</math>, die durch <math>\ P</math> geht und senkrecht auf <math>\ g</math> steht.

==== Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten) ====
: Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

==== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math>: ====
:: Es sei <math>\ SW^+</math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt <math>| \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB |</math>.

==== Satz VI.2: (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)====
::Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.

==== Satz VII.1: ====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.

==== Satz VII.2: ====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.

==== Satz VII.3: ====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.

==== Satz VII.4: (Kongruenzsatz WSW) ====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

==== Satz VII.5: (Basiswinkelsatz) ====
::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.

==== Lemma 1: ====
::Die Winkelhalbierende <math>\ SW^+</math> eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> schneidet die Strecke <math>\overline{AB}</math> in genau einem Punkt <math>\ P</math>.

==== Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) ====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\ \overline{AB}</math>, wenn für jeden Punkt <math>\ P \in\ M</math> gilt: <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>.

==== Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.) ====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.

==== Satz VII.6 b: (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.

==== Satz VIII.1: (schwacher Außenwinkelsatz) ====
::Die Größe eines jeden Außenwinkels eines Dreiecks ist jeweils größer als die Größe eines jeden Innenwinkels dieses Dreiecks, der kein Nebenwinkel zu dem gewählten Außenwinkel des Dreiecks ist.

==== Lemma 2: ====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math> \angle ASB</math> liegt, dann liegt der gesamte Strahl <math>\ SP^+</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math>.

==== Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) ====

Zu jedem Punkt P außerhalb einer Geraden g gibt es genau ein Lot von P auf g.
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:26, 17. Jul. 2010 (UTC)

Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar

2010-07-26T17:07:43Z

Maude001: /* Satz I.3: (Existenz von drei Geraden) */

Hier soll ein Glossar wichtiger geometrischer Begriffe und Sätze (in Bezug auf unsere Veranstaltung) entstehen. Bitte ergänzen Sie!

== Grundbegriffe (undefinierte Begriffe) ==
* Punkt
* Gerade
* Ebene

== Begriffsklärungen ==
* disjunkt - elementfremd, nicht gleich
* identitiv - antisymmetrisch, gleich (z.B. wenn aRb und bRa dann a=b) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* inzident - beschreibt die Zugehörigkeit - Elementbezeichnung (z.B. inzidiert ein Punkt mit einer Geraden g, wenn er zu der Geraden g gehört) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* kollinear - eine Gerade, die alle Punkte einer Menge enthält
* komplanar - eine Ebene, die alle Punkte einer Menge enthält --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* reflexiv - jedes Element steht in Relation zu sich selbst
* symmetrisch - wenn zwei Elemente in der gleichen Klasse liegen (z.B. sind a€M und b€M, dann gilt aRb aber auch bRa) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* transitiv - wenn ein Element 1 zu dem nächsten Element 2 in Relation steht und das nächste Element 2 zu dem übernächsten Element 3 in Relation steht, dann steht das Element 1 automatisch auch in Relation zu dem übernächsten Element 3 in Relation --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)

"bitte überprüft das mal jemand ;-)"
: Das Problem ist, dass diese Erklärungen maximal Erinnerungsstützen sein können. Um auf der sicheren Seite zu sein, sollten Sie die Erkärungen in saubere Definitionen fassen. Beispiel: Definition:(disjunkt) Zwei Mengen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sind disjunkt zueinander, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben.

: Aus meiner Sicht wäre es sinnvoll, wenn Sie diesen Abschnitt umbenennen in Basiswissen: Definitionen/Sätze und einen neuen Abschnitt zu den Erklärungen aufmachen. Dieser neue Abschnitt könnte dann Dinge beinhalten, die mehr oder weniger Prozeßwissen beinhalten. Ein Beispiel:
# Nichtfolgerbarkeit einer Aussage <math>\ a</math> aus einer Menge <math>\ A</math> von Axiomen
::Mitunter möchte man wissen, ob sich eine bestimmte Aussage <math>\ a</math> aus einer Menge <math>\ A</math> von Axiomen folgern läßt. Gelingt uns diese Folgerung, ist alles in Ordnung. Falls diese Folgerung nicht gelingt, haben wir ein Problem: Wir können uns nicht sicher sein, ob die Folgerung prinzipiell nicht möglich ist, oder ob es unser Unvermögen war, welches das Projekt Folgerung von <math>\ a</math> aus <math>\ A</math> scheitern ließ. Abhilfe bringt ggf. die Suche nach Modellen für <math>\ A</math>. In jedem Modell für <math>\ A</math> müssen auch alle Folgerunge gelten, die aus <math>\ A</math> abgeleitet werden können. Sollten wir nun ein Modell für <math>\ A</math> finden, in dem <math>\ a</math> nicht gilt ...
# Modell für eine Menge von Axiomen
: ... 
[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:32, 9. Jun. 2010 (UTC)

=== Klasseneinteilung ===
:Es sei <math>M</math> eine Menge und <math>K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>M</math>.
:<math>K</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>M</math>, wenn gilt:
:# notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
:# notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
:# notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge <math>M</math>.
::Mengen sind disjunkt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

=== Relationen ===
Definition: (n-stellige Relation)
:Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation. 
Definition: (Äquivalenzrelation)
:Eine Relation <math>\ R</math> in einer Menge <math>\ M</math> heißt ''Äquivalenzrelation'', wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

== Axiome ==

* Inzidenzaxiome:

=====Axiom I.0:=====
:Geraden und Ebenen sind Punktmengen.

=====Axiom I.1: (Axiom von der Geraden)=====
:Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

=====Axiom I.2:=====
:Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.

=====Axiom I.3:=====
:Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.

=====Axiom I.4:=====
:Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

=====Axiom I.5:=====
:Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.

=====Axiom I.6:=====
:Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

=====Axiom I.7:=====
:Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

* Abstandsaxiome:

===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.

===== Axiom II.2: =====
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.

===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
:Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

:Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

:::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
:::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
:::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
:Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
:Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.

===== Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch) =====
:Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

==== Axiom IV.1: (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180.

==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>

==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS) ====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
::gelten, 
::dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

==== Euklidisches Parallelenaxiom ====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.

== Definitionen ==

===== Definition des Begriffs der Relation: =====
:Definition: (n-stellige Relation)

::Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.

:Definition: (Äquivalenzrelation)
::Eine Relation <math>\ R</math> in einer Menge <math>\ M</math> heißt ''Äquivalenzrelation'', wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

=====Definition I.2: (kollinear)=====
:Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
:Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=====Definition I.3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====
:Ein Punkt ''P'' inzidiert mit einer Ebene ''E'', wenn ''P'' ein Element der Ebene ''E'' ist.

=====Definition I.4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====
:Eine Gerade ''g'' gehört zu einer Ebene ''E'', wenn jeder Punkt von ''g'' zu ''E'' gehört.

=====Definition I.5: (Raum)=====
:Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

=====Definition I.6: (komplanar)=====
:Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(''A'', ''B'', ''C, D, ...'') (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

=====Definition I.7: (komplanar für Geraden)=====
:Zwei Geraden'' g ''und ''h'' sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
:Schreibweise: komp(g, h)

=====Definition I.8: (Geradenparallelität)=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
:In Zeichen: ''g''||''h''.

=====Definition I.9: (windschief )=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

=====Definition I.10: (parallel für Ebenen)=====
:Zwei Ebene ''E''1 und ''E''2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
:Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.
:Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>.

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====

:[[Lösung_von_Aufgabe_6.5]]

::Eine informelle Definition:

::Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>
::::Gegeben seien zwei verschiedene Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden <math>\ AB^+</math> versteht man die Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ B</math> hinaus verlängert.

::Formulieren Sie eine mathematisch korrekte Definition des Begriffs Halbgerade <math>\ AB^+</math>.
 
::Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>
:::<math>AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}</math>

::diese Lösung ist richtig!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:48, 16. Jun. 2010 (UTC)

:[[Lösung_von_Aufgabe_6.6]]

::Gegeben seien zwei nicht identische Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter <math>\ AB^-</math> wollen wir die Menge aller Punkte <math>\ P</math> verstehen, die man erhält, wenn man <math>\overline{A B}</math> über <math>\ A</math> hinaus verlängert. Geben Sie eine mathematisch korrekte Definition für die Menge dieser Punkte <math>\ P</math> an.

::Lösung: Ergänzen Sie einfach die folgende Mengenschreibweise:

::<math>AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}</math>

::diese Lösung ist richtig! --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:49, 16. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
:Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Punktmengen:
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus g</math>
[[Bild:Dozenten.jpg]]

muss es nicht heißen: <math>\ gQ^{-}:= \exists S \, \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} </math> \ g

da es sich um eine offene Halbebene handelt, darf g doch nicht enthalten sein, oder?
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:10, 28. Jun. 2010 (UTC)

Nein, da 1. oben schon gesagt wurde, dass P nicht auf g liegen soll und 2. gäbe es somit auch keinen Schnittpunkt S. Also sind alle Punkte ausgeschlossen, die auf g liegen.

:Das ist falsch, [[Benutzer:Schafi|Schafi]]. Es gäbe sehr wohl einen Schnittpunkt, denn auch die Endpunkte gehören zur Strecke. [[Benutzer:Frühling|Frühling]] hat (bis auf Schreibfehler in der Formel) vollkommen recht. Ich hab's mal geändert. Bin mir mit der Schreibweise aber auch nicht überall sicher.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:28, 22. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
[[Bild:Dozenten.jpg]]

::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

::Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.
::--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)

Dies habe ich aus dem Skript kopiert. --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 11:43, 7. Jul. 2010 (UTC)

=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.

===== Definition V.1: (Winkel)=====

:: Ein Winkel heißt die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q, die einen gemeinsamen Anfangspunkt S haben.

oder

:: Ein Winkel ist ein Paar Halbgeraden p, q mit gemeinsamen Anfangspunkt S.

===== Definition V.2: (Inneres eines Winkels) =====
::Das Innere eines Winkels <math>\angle ASB</math> ist der Schnitt ...der beiden Halbebenen <math>\ SA,B^+</math> und <math>\ SB,A^+</math>

===== Definition V.3: (Scheitelwinkel) =====
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^-</math> sind Scheitelwinkel.

===== Definition V.4: (Nebenwinkel) =====
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^+</math> sind Nebenwinkel.

===== Definition V.5: (Größe eines Winkels) =====
:: Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

===== Definition V.6 : (Rechter Winkel) =====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

===== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) =====
:: Zwei Winkel heißen genau dann supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

===== Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) =====
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen. 
Ergänzen Sie:
:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... die Gerade AB und die Gerade CD senkrecht aufeinander stehen??? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:45, 27. Jun. 2010 (UTC)

::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> ... zwei Geraden gibt, die nicht parallel oder identisch sind und vollständig in <math>\epsilon</math> liegen und auf die <math> g </math> senkrecht steht. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:18, 2. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition VI.1: (Mittelsenkrechte) =====
::Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn

::# <math>m \perp AB</math>
::# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>

===== Definition VI.2 =====
:: Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben.

===== Definition VII.1: (Streckenkongruenz) =====
:: Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben. 
:: In Zeichen <math>\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math>

===== Definition VII.2 : (Winkelkongruenz) =====
::Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander. 
::In Zeichen: <math>\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |</math>

===== Definition VII.3: (Dreieckskongruenz) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 6 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
:::# <math>\angle ACB \cong \angle DFE</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) =====
as können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

[[Übung_11#Aufgabe_11.1| Übung 11 Aufgabe 1]]

Ein Dreieck mit zwei zueinanderkongruenten Seiten heißt gleichschenkliges Dreieck. Die beiden zueinander kongruenten Seiten heißen Schenkel des gleichseitigen Dreiecks. Die dritte Seite des gleichschenkligen Dreiecks heißt Basis. Die Innenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Scheitelpunkte die Eckpunkte der Basis sind heißen Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.

--[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 07:24, 8. Jul. 2010 (UTC)

==== Definition VIII.1: Außenwinkel eines Dreiecks ====
Alle Nebenwinkel der Innenwinkel eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> heißen Außenwinkel des Dreiecks.
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:20, 17. Jul. 2010 (UTC)

=== Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) ===

Es sei P ein Punkt, der nicht zur Geraden g gehören möge.
Die Gerade l, die senkrecht auf g steht und durch den Punkt P geht heißt Lotgerade von P auf g. Der Schnittpunkt L von l mit g, heißt Lotfußpunkt des Lotes von P auf g. Unter dem Lot von P auf g, versteht man die Strecke <math>\overline{PL}</math>.
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:19, 17. Jul. 2010 (UTC)

=== Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) ===

Es sei P ein Punkt außerhalb von g. Der Abstand von P zu g ist die Länge des Lotes <math>\overline{PL}</math> von P auf g.
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:24, 17. Jul. 2010 (UTC)

== Sätze ==
=====Satz I.1:=====
:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden. Wenn ''g'' und ''h'' nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.

=====Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)=====
:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden.
:Wenn ''g'' und ''h'' mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind ''g'' und ''h'' identisch.

===== Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)=====
:Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.
 
===== Satz I.4: (Minimales Modell für die Inzidenzaxiome der ebenen Geometrie) =====

::Jedes Modell für die ebenen Inzidenzaxiome besteht aus wenigstens 3 Punkten und 3 Geraden.

=====Satz I.5:=====
:Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

=====Satz I.6:=====
:Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

=====Satz I.7:=====
:Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

===== Satz II.1: =====
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Satz II.2: =====
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Satz II.3: =====
:Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Satz II.4: =====
:Es sei <math>\ O</math> ein Punkt einer Geraden <math>\ g</math>. Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math>\ g</math>.

===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====
:Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

===== Satz IV.1: (Repräsentantenunabhängigkeit) =====
: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.

===== Satz IV.2: =====
:Halbebenen sind konvexe Punktmengen

===== Satz IV.3: =====
:Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

===== Satz V.1: =====
: Das Innere eines Winkels ist konvex.

==== Satz V.2: ====
:Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.

==== Satz V.3: (Existenz von rechten Winkeln) ====
:Es gibt rechte Winkel.

==== Satz V.4: ====
:Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Satz V.5: ( Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt) ====
:Gegeben seien ein Punkt P auf einer Geraden g in einer Ebene E. Es gibt in E genau eine Gerade, die durch P geht und senkrecht auf g steht.

oder

: Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Ferner sei <math>\ P</math> ein Punkt auf <math>\ g</math>. In der Ebene <math>\ \Epsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ s</math>, die durch <math>\ P</math> geht und senkrecht auf <math>\ g</math> steht.

==== Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten) ====
: Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

==== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math>: ====
:: Es sei <math>\ SW^+</math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt <math>| \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB |</math>.

==== Satz VI.2: (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)====
::Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.

==== Satz VII.1: ====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.

==== Satz VII.2: ====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.

==== Satz VII.3: ====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.

==== Satz VII.4: (Kongruenzsatz WSW) ====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

==== Satz VII.5: (Basiswinkelsatz) ====
::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.

==== Lemma 1: ====
::Die Winkelhalbierende <math>\ SW^+</math> eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> schneidet die Strecke <math>\overline{AB}</math> in genau einem Punkt <math>\ P</math>.

==== Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) ====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\ \overline{AB}</math>, wenn für jeden Punkt <math>\ P \in\ M</math> gilt: <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>.

==== Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.) ====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.

==== Satz VII.6 b: (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.

==== Satz VIII.1: (schwacher Außenwinkelsatz) ====
::Die Größe eines jeden Außenwinkels eines Dreiecks ist jeweils größer als die Größe eines jeden Innenwinkels dieses Dreiecks, der kein Nebenwinkel zu dem gewählten Außenwinkel des Dreiecks ist.

==== Lemma 2: ====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math> \angle ASB</math> liegt, dann liegt der gesamte Strahl <math>\ SP^+</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math>.

==== Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) ====

Zu jedem Punkt P außerhalb einer Geraden g gibt es genau ein Lot von P auf g.
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:26, 17. Jul. 2010 (UTC)

Diskussion:Quiz der Woche 12

2010-07-26T17:03:54Z

Maude001:

Diskussion:Quiz der Woche 12

2010-07-26T13:53:06Z

Maude001: Die Seite wurde neu angelegt: Was ist ein symmetrischer Drachen? In der Definition Drachen heißt es "die Diagonalen halbieren einander". Das trifft auf Drachen die ich kenne nicht zu. Aber es gibt ...

Lösung von Aufgabe 11.5

2010-07-26T10:55:42Z

Maude001: /* Versuch 1: */

Erläutern Sie, wie und warum sich aus den Satz VII.6 eine neue Möglichkeit, der Definition des Begriffs der Mittelsenkrechte ergibt.

== Versuch 1: ==

Nach Definition Mittelsenkrechte, ist eine Mittelsenkrechte eine Gerade s, die durch den Mittelpunkt M einer Strecke <math> \overline {AB} </math> geht und senkrecht auf <math> \overline {AB} </math> steht. 

Durch das Mittelsenkrechrechtenkriterium kann die Mittelsenkrechte auch über den Abstand zu den Endpunkten der Strecke <math> \overline {AB} </math> definiert werden. 

Def (Mittelsenkrechte über Mittelsenkrechtenkriterium): 
Jede Mittelsenkrechte m ist eine Punktmenge P. Die Punkte der Mittelsenkrechten haben denselben Abstand zu den Endpunkten der Strecke <math> \overline {AB} </math>. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 13:10, 4. Jul. 2010 (UTC)
 
@ [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] Das ist zwar korrekt, aber ich meine, das Wort "jede" darf nicht in eine Definition. Das wäre hier zwar sehr spitzfindig, aber man weiß ja nie, oder? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 10:55, 26. Jul. 2010 (UTC)

== Versuch 2: ==

Def (Mittelsenkrechte über Mittelsenkrechtenkriterium): 
Die Menge '''aller''' Punkte, die von zwei (verschiedenen) Punkten A und B den gleichen Abstand haben, heißt Mittelsenktrechte der Strecke <math> \overline {AB} </math>. 
--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 13:31, 4. Jul. 2010 (UTC)

Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar

2010-07-26T10:06:35Z

Maude001: /* Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) */

Hier soll ein Glossar wichtiger geometrischer Begriffe und Sätze (in Bezug auf unsere Veranstaltung) entstehen. Bitte ergänzen Sie!

== Grundbegriffe (undefinierte Begriffe) ==
* Punkt
* Gerade
* Ebene

== Begriffsklärungen ==
* disjunkt - elementfremd, nicht gleich
* identitiv - antisymmetrisch, gleich (z.B. wenn aRb und bRa dann a=b) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* inzident - beschreibt die Zugehörigkeit - Elementbezeichnung (z.B. inzidiert ein Punkt mit einer Geraden g, wenn er zu der Geraden g gehört) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* kollinear - eine Gerade, die alle Punkte einer Menge enthält
* komplanar - eine Ebene, die alle Punkte einer Menge enthält --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* reflexiv - jedes Element steht in Relation zu sich selbst
* symmetrisch - wenn zwei Elemente in der gleichen Klasse liegen (z.B. sind a€M und b€M, dann gilt aRb aber auch bRa) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* transitiv - wenn ein Element 1 zu dem nächsten Element 2 in Relation steht und das nächste Element 2 zu dem übernächsten Element 3 in Relation steht, dann steht das Element 1 automatisch auch in Relation zu dem übernächsten Element 3 in Relation --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)

"bitte überprüft das mal jemand ;-)"
: Das Problem ist, dass diese Erklärungen maximal Erinnerungsstützen sein können. Um auf der sicheren Seite zu sein, sollten Sie die Erkärungen in saubere Definitionen fassen. Beispiel: Definition:(disjunkt) Zwei Mengen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sind disjunkt zueinander, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben.

: Aus meiner Sicht wäre es sinnvoll, wenn Sie diesen Abschnitt umbenennen in Basiswissen: Definitionen/Sätze und einen neuen Abschnitt zu den Erklärungen aufmachen. Dieser neue Abschnitt könnte dann Dinge beinhalten, die mehr oder weniger Prozeßwissen beinhalten. Ein Beispiel:
# Nichtfolgerbarkeit einer Aussage <math>\ a</math> aus einer Menge <math>\ A</math> von Axiomen
::Mitunter möchte man wissen, ob sich eine bestimmte Aussage <math>\ a</math> aus einer Menge <math>\ A</math> von Axiomen folgern läßt. Gelingt uns diese Folgerung, ist alles in Ordnung. Falls diese Folgerung nicht gelingt, haben wir ein Problem: Wir können uns nicht sicher sein, ob die Folgerung prinzipiell nicht möglich ist, oder ob es unser Unvermögen war, welches das Projekt Folgerung von <math>\ a</math> aus <math>\ A</math> scheitern ließ. Abhilfe bringt ggf. die Suche nach Modellen für <math>\ A</math>. In jedem Modell für <math>\ A</math> müssen auch alle Folgerunge gelten, die aus <math>\ A</math> abgeleitet werden können. Sollten wir nun ein Modell für <math>\ A</math> finden, in dem <math>\ a</math> nicht gilt ...
# Modell für eine Menge von Axiomen
: ... 
[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:32, 9. Jun. 2010 (UTC)

=== Klasseneinteilung ===
:Es sei <math>M</math> eine Menge und <math>K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>M</math>.
:<math>K</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>M</math>, wenn gilt:
:# notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
:# notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
:# notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge <math>M</math>.
::Mengen sind disjunkt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

=== Relationen ===
Definition: (n-stellige Relation)
:Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation. 
Definition: (Äquivalenzrelation)
:Eine Relation <math>\ R</math> in einer Menge <math>\ M</math> heißt ''Äquivalenzrelation'', wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

== Axiome ==

* Inzidenzaxiome:

=====Axiom I.0:=====
:Geraden und Ebenen sind Punktmengen.

=====Axiom I.1: (Axiom von der Geraden)=====
:Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

=====Axiom I.2:=====
:Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.

=====Axiom I.3:=====
:Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.

=====Axiom I.4:=====
:Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

=====Axiom I.5:=====
:Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.

=====Axiom I.6:=====
:Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

=====Axiom I.7:=====
:Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

* Abstandsaxiome:

===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.

===== Axiom II.2: =====
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.

===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
:Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

:Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

:::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
:::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
:::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
:Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
:Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.

===== Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch) =====
:Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

==== Axiom IV.1: (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180.

==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>

==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS) ====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
::gelten, 
::dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

==== Euklidisches Parallelenaxiom ====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.

== Definitionen ==

===== Definition des Begriffs der Relation: =====
:Definition: (n-stellige Relation)

::Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.

:Definition: (Äquivalenzrelation)
::Eine Relation <math>\ R</math> in einer Menge <math>\ M</math> heißt ''Äquivalenzrelation'', wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

=====Definition I.2: (kollinear)=====
:Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
:Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=====Definition I.3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====
:Ein Punkt ''P'' inzidiert mit einer Ebene ''E'', wenn ''P'' ein Element der Ebene ''E'' ist.

=====Definition I.4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====
:Eine Gerade ''g'' gehört zu einer Ebene ''E'', wenn jeder Punkt von ''g'' zu ''E'' gehört.

=====Definition I.5: (Raum)=====
:Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

=====Definition I.6: (komplanar)=====
:Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(''A'', ''B'', ''C, D, ...'') (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

=====Definition I.7: (komplanar für Geraden)=====
:Zwei Geraden'' g ''und ''h'' sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
:Schreibweise: komp(g, h)

=====Definition I.8: (Geradenparallelität)=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
:In Zeichen: ''g''||''h''.

=====Definition I.9: (windschief )=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

=====Definition I.10: (parallel für Ebenen)=====
:Zwei Ebene ''E''1 und ''E''2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
:Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.
:Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>.

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====

:[[Lösung_von_Aufgabe_6.5]]

::Eine informelle Definition:

::Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>
::::Gegeben seien zwei verschiedene Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden <math>\ AB^+</math> versteht man die Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ B</math> hinaus verlängert.

::Formulieren Sie eine mathematisch korrekte Definition des Begriffs Halbgerade <math>\ AB^+</math>.
 
::Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>
:::<math>AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}</math>

::diese Lösung ist richtig!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:48, 16. Jun. 2010 (UTC)

:[[Lösung_von_Aufgabe_6.6]]

::Gegeben seien zwei nicht identische Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter <math>\ AB^-</math> wollen wir die Menge aller Punkte <math>\ P</math> verstehen, die man erhält, wenn man <math>\overline{A B}</math> über <math>\ A</math> hinaus verlängert. Geben Sie eine mathematisch korrekte Definition für die Menge dieser Punkte <math>\ P</math> an.

::Lösung: Ergänzen Sie einfach die folgende Mengenschreibweise:

::<math>AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}</math>

::diese Lösung ist richtig! --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:49, 16. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
:Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Punktmengen:
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus g</math>
[[Bild:Dozenten.jpg]]

muss es nicht heißen: <math>\ gQ^{-}:= \exists S \, \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} </math> \ g

da es sich um eine offene Halbebene handelt, darf g doch nicht enthalten sein, oder?
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:10, 28. Jun. 2010 (UTC)

Nein, da 1. oben schon gesagt wurde, dass P nicht auf g liegen soll und 2. gäbe es somit auch keinen Schnittpunkt S. Also sind alle Punkte ausgeschlossen, die auf g liegen.

:Das ist falsch, [[Benutzer:Schafi|Schafi]]. Es gäbe sehr wohl einen Schnittpunkt, denn auch die Endpunkte gehören zur Strecke. [[Benutzer:Frühling|Frühling]] hat (bis auf Schreibfehler in der Formel) vollkommen recht. Ich hab's mal geändert. Bin mir mit der Schreibweise aber auch nicht überall sicher.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:28, 22. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
[[Bild:Dozenten.jpg]]

::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

::Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.
::--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)

Dies habe ich aus dem Skript kopiert. --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 11:43, 7. Jul. 2010 (UTC)

=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.

===== Definition V.1: (Winkel)=====

:: Ein Winkel heißt die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q, die einen gemeinsamen Anfangspunkt S haben.

oder

:: Ein Winkel ist ein Paar Halbgeraden p, q mit gemeinsamen Anfangspunkt S.

===== Definition V.2: (Inneres eines Winkels) =====
::Das Innere eines Winkels <math>\angle ASB</math> ist der Schnitt ...der beiden Halbebenen <math>\ SA,B^+</math> und <math>\ SB,A^+</math>

===== Definition V.3: (Scheitelwinkel) =====
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^-</math> sind Scheitelwinkel.

===== Definition V.4: (Nebenwinkel) =====
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^+</math> sind Nebenwinkel.

===== Definition V.5: (Größe eines Winkels) =====
:: Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

===== Definition V.6 : (Rechter Winkel) =====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

===== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) =====
:: Zwei Winkel heißen genau dann supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

===== Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) =====
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen. 
Ergänzen Sie:
:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... die Gerade AB und die Gerade CD senkrecht aufeinander stehen??? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:45, 27. Jun. 2010 (UTC)

::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> ... zwei Geraden gibt, die nicht parallel oder identisch sind und vollständig in <math>\epsilon</math> liegen und auf die <math> g </math> senkrecht steht. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:18, 2. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition VI.1: (Mittelsenkrechte) =====
::Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn

::# <math>m \perp AB</math>
::# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>

===== Definition VI.2 =====
:: Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben.

===== Definition VII.1: (Streckenkongruenz) =====
:: Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben. 
:: In Zeichen <math>\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math>

===== Definition VII.2 : (Winkelkongruenz) =====
::Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander. 
::In Zeichen: <math>\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |</math>

===== Definition VII.3: (Dreieckskongruenz) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 6 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
:::# <math>\angle ACB \cong \angle DFE</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) =====
as können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

[[Übung_11#Aufgabe_11.1| Übung 11 Aufgabe 1]]

Ein Dreieck mit zwei zueinanderkongruenten Seiten heißt gleichschenkliges Dreieck. Die beiden zueinander kongruenten Seiten heißen Schenkel des gleichseitigen Dreiecks. Die dritte Seite des gleichschenkligen Dreiecks heißt Basis. Die Innenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Scheitelpunkte die Eckpunkte der Basis sind heißen Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.

--[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 07:24, 8. Jul. 2010 (UTC)

==== Definition VIII.1: Außenwinkel eines Dreiecks ====
Alle Nebenwinkel der Innenwinkel eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> heißen Außenwinkel des Dreiecks.
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:20, 17. Jul. 2010 (UTC)

=== Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) ===

Es sei P ein Punkt, der nicht zur Geraden g gehören möge.
Die Gerade l, die senkrecht auf g steht und durch den Punkt P geht heißt Lotgerade von P auf g. Der Schnittpunkt L von l mit g, heißt Lotfußpunkt des Lotes von P auf g. Unter dem Lot von P auf g, versteht man die Strecke <math>\overline{PL}</math>.
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:19, 17. Jul. 2010 (UTC)

=== Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) ===

Es sei P ein Punkt außerhalb von g. Der Abstand von P zu g ist die Länge des Lotes <math>\overline{PL}</math> von P auf g.
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:24, 17. Jul. 2010 (UTC)

== Sätze ==
=====Satz I.1:=====
:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden. Wenn ''g'' und ''h'' nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.

=====Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)=====
:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden.
:Wenn ''g'' und ''h'' mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind ''g'' und ''h'' identisch.

===== Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)=====
:Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.

=====Satz I.5:=====
:Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

=====Satz I.6:=====
:Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

=====Satz I.7:=====
:Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

===== Satz II.1: =====
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Satz II.2: =====
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Satz II.3: =====
:Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Satz II.4: =====
:Es sei <math>\ O</math> ein Punkt einer Geraden <math>\ g</math>. Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math>\ g</math>.

===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====
:Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

===== Satz IV.1: (Repräsentantenunabhängigkeit) =====
: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.

===== Satz IV.2: =====
:Halbebenen sind konvexe Punktmengen

===== Satz IV.3: =====
:Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

===== Satz V.1: =====
: Das Innere eines Winkels ist konvex.

==== Satz V.2: ====
:Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.

==== Satz V.3: (Existenz von rechten Winkeln) ====
:Es gibt rechte Winkel.

==== Satz V.4: ====
:Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Satz V.5: ( Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt) ====
:Gegeben seien ein Punkt P auf einer Geraden g in einer Ebene E. Es gibt in E genau eine Gerade, die durch P geht und senkrecht auf g steht.

oder

: Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Ferner sei <math>\ P</math> ein Punkt auf <math>\ g</math>. In der Ebene <math>\ \Epsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ s</math>, die durch <math>\ P</math> geht und senkrecht auf <math>\ g</math> steht.

==== Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten) ====
: Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

==== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math>: ====
:: Es sei <math>\ SW^+</math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt <math>| \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB |</math>.

==== Satz VI.2: (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)====
::Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.

==== Satz VII.1: ====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.

==== Satz VII.2: ====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.

==== Satz VII.3: ====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.

==== Satz VII.4: (Kongruenzsatz WSW) ====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

==== Satz VII.5: (Basiswinkelsatz) ====
::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.

==== Lemma 1: ====
::Die Winkelhalbierende <math>\ SW^+</math> eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> schneidet die Strecke <math>\overline{AB}</math> in genau einem Punkt <math>\ P</math>.

==== Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) ====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\ \overline{AB}</math>, wenn für jeden Punkt <math>\ P \in\ M</math> gilt: <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>.

==== Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.) ====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.

==== Satz VII.6 b: (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.

==== Satz VIII.1: (schwacher Außenwinkelsatz) ====
::Die Größe eines jeden Außenwinkels eines Dreiecks ist jeweils größer als die Größe eines jeden Innenwinkels dieses Dreiecks, der kein Nebenwinkel zu dem gewählten Außenwinkel des Dreiecks ist.

==== Lemma 2: ====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math> \angle ASB</math> liegt, dann liegt der gesamte Strahl <math>\ SP^+</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math>.

==== Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) ====

Zu jedem Punkt P außerhalb einer Geraden g gibt es genau ein Lot von P auf g.
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:26, 17. Jul. 2010 (UTC)

Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade

2010-07-26T10:05:10Z

Maude001: /* Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) */

== Der Begriff des Lotes ==

===== Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) =====
:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge. ... 
:: ...Die Gerade <math>\ l</math>, die senkrecht auf <math>\ g</math> steht und durch den Punkt <math>\ P</math> geht heißt Lotgerade von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. Der Schnittpunkt <math>\ L</math> von <math>\ l</math> mit <math>\ g</math>, heißt Lotfußpunkt des Lotes von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. Unter dem Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, versteht man die Strecke <math> \overline {PL} </math>. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:01, 9. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) =====
:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist ...
:: ... die Länge des Lotes <math> \overline {PL} </math> von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 9. Jul. 2010 (UTC)

== Existenz und Eindeutigkeit des Lotes ==
===== Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) =====
:: Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.

===== Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes: =====
[[Lösung von Aufgabe 12.4]]

[[Bild:Lot.png|500px]]

{| class="wikitable center"
|+ EXISTENZ
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Konstruiere einen Punkt N auf g. Fall 1: Falls <math>P1N \perp g</math>, dann ist <math>\overline{P1N}</math> unser Lot. Fall 2: <math>P1N \not\perp g</math>, dann weiter mit (II)
| Konstruktion, (Gerade ist Menge von Punkten)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| Antragen von <math>\alpha1: \alpha1 \cong \alpha2</math>
| Konstruktion, Winkelkonstruktionsaxiom
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| Antragen von <math>|NP|1: |NP1| \cong\ |NP2|</math>
| Konstruktion, Axiom vom Lineal
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| Antragen von <math>|NL| \cong\ |NL|</math>
| trivial
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>\overline{LNP1} \cong\ \overline{LNP2}</math>
| (II), (III), (IV), SWS
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>\angle NLP1 \cong\ \angle NLP2</math>
| beides rechte Winkel --> <math>\overline{PN}</math> ist Lot auf g.
|}

[[Bild:Lot2.png|500px]]

<math> \overline{P1L} </math>ist Lot von P auf g. 
Annahme: <math> \exists N \in g </math> mit <math>\overline{P1N} </math> ist auch Lot von P auf g, <math> L \not\equiv N.</math> <math>\alpha1 </math> ist bezüglich <math> \alpha </math> nicht anliegender Innenwinkel (<math>\overline{NLP1}</math>) --> Widerspruch, weil <math> \alpha1 < \alpha </math> (schwacher Außenwinkelsatz)

Diskussion:Dreieckskongruenz

2010-07-25T18:39:54Z

Maude001:

Lösung von Aufgabe 8.6

2010-07-25T13:32:44Z

Maude001: /* Lösung--Schnirch 11:31, 15. Jul. 2010 (UTC) */

Definieren Sie die Begriffe Stufenwinkel und Wechselwinkel (an geschnittenen Geraden).

==Lösung--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 11:31, 15. Jul. 2010 (UTC)==
'''Definition (Stufenwinkel):''' Zwei Winkel <math>\angle{(p,q)} </math> und <math>\angle {(r,s)} </math> heißen Stufenwinkel, falls ein Schenkel <math>\ r </math> des einen Winkels Teilmenge eines Schenkels <math>\ p </math> des anderen Winkels ist und die anderen beiden Schenkel <math>\ q </math> und <math>\ s </math> in einer Halbebene bezüglich der Geraden <math>\ g </math> liegen, die durch die beiden Schenkel <math>\ p </math> und <math>\ r </math> gegeben ist. <br\>

Frage --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 08:48, 22. Jul. 2010 (UTC) reicht es zu sagen, dass die beiden Schenkel <math>\ q </math> und <math>\ s </math> in einer Halbebene bezüglich g liegen, oder muss noch gesagt werden, dass diese beiden Schenkel parallel sind!?
(Denn Stufenwinkel sind ja kongruent, was aber nur der Fall ist, wenn <math>\ q </math> und <math>\ s </math> parallel sind - oder gehört sowas nicht in die Definition mit rein!??) siehe Diskussion

'''Definition (Wechselwinkel):''' Zwei Winkel <math>\angle {(p,q)} </math> und <math>\angle {(r,s)} </math> heißen Wechselwinkel, falls der Scheitelwinkel des Winkels <math>\angle {(p,q)} </math> und der Winkel <math>\angle {(r,s)} </math> Stufenwinkel sind. <br\>

==vorangegangene Diskussion==

Es seien g und h zwei verschiedene Geraden. Werden g und h von einer weiteren Geraden i geschnitten, so heißen zwei innere oder zwei äußere Winkel auf verschiedenen Seiten der schneidenden Gerade i, die nicht Nebenwinkel sind, Wechselwinkel. Stufenwinkel heißen ein innerer und ein äußerer Winkel auf der selben Seite der schneidenden Gerade i, die nicht Nebenwinkel sind. --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 17:36, 19. Jun. 2010 (UTC)

Noch ein Vorschlag für Stufenwinkel:
Würde man g auf h abbilden, so sind die Winkel Stufenwinkel, die auf diese Weise aufeinander liegen würden.--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 17:19, 24. Jun. 2010 (UTC)

Diskussion:Lösung von Aufgabe 8.6

2010-07-25T13:32:17Z

Maude001: Die Seite wurde neu angelegt: @ TimoRR: Dass Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen kongruent sind ist ein Satz, nämlich der Stufenwinkelsatz, und wäre damit zu beweisen. --~...

Diskussion:Übungsaufgabe zur Vorbereitung auf die vierte Sitzung

2010-07-25T13:22:19Z

Maude001:

Winkelmessung

2010-07-25T12:06:17Z

Maude001: /* Beweis von Satz V.2 */

== Das Winkelmaß ==
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===

{| class="wikitable center"
|-
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
|-
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
|}

=== Das Winkelmaßaxiom ===
==== Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180.

====Definition V.5: (Größe eines Winkels) ====
:: Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

== Winkelkonstruktion ==
=== Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens ===
==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

== Winkeladdition ==
==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Satz V.2 ====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.

==== Beweis von Satz V.2 ====
VSS: <math>\ P</math> liegt im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> 
Beh: <math>\left| \angle ASP \right| < \left| \angle ASB \right|</math> und <math>\left| \angle PSB \right| < \left| \angle ASB \right|</math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\ P</math> liegt im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math>
| Voraussetzung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>\left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right| </math>
| Axiom IV.3
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\left| \angle ASP \right| < \left| \angle ASB \right| </math>
| Axiom IV.1, 0 kann nicht sein aufgrund VSS
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\left| \angle PSB \right| < \left| \angle ASB \right| </math>
| Axiom IV.1, 0 kann nicht sein aufgrund VSS
|}
--[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 12:06, 25. Jul. 2010 (UTC)

== Rechte Winkel ==

==== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

==== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ====
:: Zwei Winkel heißen genau dann supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) ====
::Es gibt rechte Winkel.

==== Beweis von Satz V.3 : ====
Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.

Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.

Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt.

Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.
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Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.

In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden <math>\ SA</math> zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel <math>\ \angle ASP</math> gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.

==== Satz V.4 : ====
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Beweis von Satz V.4 : ====
:: Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen.
 Beweis:
 Voraussetzung: Ein Winkel hat die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel (Definition V.6): <math>\alpha = \beta</math>
 Behauptung: '''Jeder''' dieser rechten Winkel hat die Größe 90.
 Anmerkung: Die Existenz von rechten Winkeln (Satz V.3) wird als gegeben angenommen.

{| class="wikitable"
|-
| ''Schritt'' || ''Aussage'' || ''Begründung''
|-
| (1) || Der rechte Winkel und sein Nebenwinkel (gleich groß!) sind supplementär. || nach Voraussetzung und Axiom IV.4: (Supplementaxiom) - Nebenwinkel sind supplementär.
|-
| (2) || Die Größen von zwei supplementären Winkel ergeben zusammen 180. || (Zulässige?) Umkehrung der Definition V.7 : (Supplementärwinkel)
|-
| (3) || <math>\alpha + \beta = 180</math> || Nach (1), (2)
|-
| (4) || <math>\alpha + \alpha = 180</math>
 <math>2 \alpha = 180</math>
 <math>\alpha = 90</math>
 <math>\rightarrow \beta = 90</math>
|| Nach Voraussetzung (<math>\alpha = \beta</math>) und (3)
 algebraische Umformung
 algebraische Umformung
Nach Voraussetzung (<math>\alpha = \beta</math>)
 
|}
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 13:46, 23. Jun. 2010 (UTC)

 Eigentlich steckt in der Problematik rechte Winkel/90 eine Äquivalenz. Können sie diese formulieren?
 Ein Versuch:
 Wenn ein Winkel die Größe 90 hat (wenn er 90° beträgt), so ist es ein rechter Winkel '''und umgekehrt'''.
 Der Winkel hat die Größe 90<math>\Leftrightarrow</math>Rechter Winkel (Äquivalenzrelation)
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 13:46, 23. Jun. 2010 (UTC)
 Ein zweiter Versuch:
 Ein Winkel ist genau dann ein rechter Winkel, wenn er die Größe 90 hat. --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 13:26, 26. Jun. 2010 (UTC)

Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:38, 28. Jun. 2010 (UTC):
Ich hab Ihnen die Definition "supplementär" anders formuliert. (Meist ist eine Definition als Äquivalenz gemeint.) Jetzt dürften Ihre Probleme ausgeräumt sein. Der Beweis und die Äquivalenz sind korrekt.

 {{#ev:youtube|Lur1-hWGgH0}}

== Die Relation ''Senkrecht'' auf der Menge der Geraden==
===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?

Nach Axiom I/2 enthält jede Gerade wenigstens zwei verschiedene Punkte. Seien das für die Gerade g die Punkte A und S und für die Gerade h die Punkte B und S. S sei dann der Schnittpunkt der Geraden g und h. Wir haben somit drei paarweise verschiedene Punkte. Naxch Axiom I/4 existiert damit genau eine Ebene, die diese Punkte enthält. Die Geraden g und h sind also komplanar. --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:40, 27. Jun. 2010 (UTC)

korrekt --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:51, 28. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) =====
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen. 
Ergänzen Sie:
:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... .
die Gerade AB und die Gerade CD senkrecht aufeinander stehen??? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:45, 27. Jun. 2010 (UTC)

::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> ... zwei Geraden gibt, die nicht parallel oder identisch sind und vollständig in <math>\epsilon</math> liegen und auf die
<math> g </math> senkrecht steht. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:18, 2. Jul. 2010 (UTC)

==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

<quiz display="simple">
{Die Relation ''eine Gerade steht senkrecht auf einer anderen Geraden'' hat die folgenden Eigenschaften:
}
- Sie ist reflexiv.
+ Sie ist symmetrisch.
- Sie ist transitiv.
+ Sie ist keine Äquivalenzrelation.
- Sie erzeugt eine Klasseneinteilung auf der Menge aller Geraden.
- Zwei Geraden sind entweder identisch oder stehen senkrecht aufeinander.
</quiz>

===== Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden) =====
:: Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Ferner sei <math>\ P</math> ein Punkt auf <math>\ g</math>. In der Ebene <math>\ \Epsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ s</math>, die durch <math>\ P</math> geht und senkrecht auf <math>\ g</math> steht.

===== Beweis von Satz V.5 =====
Übungsaufgabe

Winkelmessung

2010-07-25T12:05:52Z

Maude001: /* Beweis von Satz V.2 */

== Das Winkelmaß ==
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===

{| class="wikitable center"
|-
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
|-
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
|}

=== Das Winkelmaßaxiom ===
==== Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180.

====Definition V.5: (Größe eines Winkels) ====
:: Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

== Winkelkonstruktion ==
=== Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens ===
==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>

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== Winkeladdition ==
==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

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==== Satz V.2 ====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.

==== Beweis von Satz V.2 ====
VSS: <math>\ P</math> liegt im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> 
Beh: <math>\left| \angle ASP \right| < \left| \angle ASB \right|</math> und <math>\left| \angle PSB \right| < \left| \angle ASB \right|</math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\ P</math> liegt im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math>
| Voraussetzung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>\left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right| </math>
| Axiom IV.3
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\left| \angle ASP \right| < \left| \angle ASB \right| </math>
| Axiom IV.1, 0 kann nicht sein aufgrund VSS
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\left| \angle PSB \right| < \left| \angle ASB \right| </math>
| Axiom IV.1, 0 kann nicht sein aufgrund VSS
|}

== Rechte Winkel ==

==== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

==== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ====
:: Zwei Winkel heißen genau dann supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) ====
::Es gibt rechte Winkel.

==== Beweis von Satz V.3 : ====
Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.

Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.

Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt.

Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.
<ggb_applet width="505" height="348" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAIqy0TwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s7VjLcts2FF03X4HhXjRA8DkjJSOnm8y4tSdKs+imA5GQhJoPlQRtyX+VfEi/qRcASVGPkUU7kz6m2kC8AC8uzrnnAuD43SZL0QMvK1HkE4vY2EI8j4tE5MuJVcvFKLTevX0zXvJiyeclQ4uizJicWNR2LGWvxds3P4yrVfGIWKqHfBb8cWItWFpxC1XrkrOkWnEu9+ys3ohUsHJ7O/+dx7LadRgnH/J1DbPIsgZbnCU3omofr/SE61TIH8WDSHiJ0iKeWL4HocO/z7yUImbpxHKxsTgTyznoBBNVvauiFE9FLtXwnfMFWBCqxBOHN7Gyja/0Qse8jlORCJarxeg4YBBCjyKRq4nlYQ9ccrFcKYAINd7ioiiT2baSPEObX3lZTKyR7yugt+bJxeqhgrC48qF7+k/aC3+YcSmBlQqxDd/htSxFsvfwobou0p1pXYhcvmdrWZeaUtqYZnKrJoC5ShXvNF+mvLE5gPiKx/fzYjPTGMBKtOtP27V+RQc0X74v0qJEpUIX1r1s2rlp9RgVaTcK6zFYj2h8KKddP4kcPUK3c9PqUanITWjNykm7aoLbaUSFlEHBCJnYLT5lcw7MWqjOhbxpHyAD7pulEvPCz3U2Bwn0c6DzSb6Vz/HVQfaM73mZ89TkSA7c1kVdoQeVi2YuHUjCY5HBo+kgTXSKrl8gAGNN+LLkbeBGQAYw3Yv7eXhgHl+1QagYKog1llAJYD1SrUUJVYJIJlZmL20LJUwqq1JCyjMOMpE6J3RKddhMfyNWVxUKLfBD+HoLhAEnc0RnE0vXKwaWVgYp24Lg+8vSDn8qkv3FshxA0ysB3a2VA0XLmvOkKXKyyWW0BpdaGb2QNFQV2oAAbYL3fhDTFgTs2i5k6ZNxpt8xqlLlQMdBG8oNTM8Adv3fASyyQ6eDyB0GUVxkGcsTlLMMproB2WtUhNoLEMMmsRAjBjCDRS3bTmbcNU6OEFdVpEOTWfuFRa5AvzmvKl39ZL/O7XFi9qPLKcEvJ2QHKbzq7OWg6xuIXTswSehgO/AxjbpfcFg5zyyQ/5GbMZWpXyKDvTUW8jw7dzqB9+lhR5zMznOyr4LZsQb28N4V5z7cxDGbj24HquB2sai4VBiPCNGQUvJ9qkoYYhzggEZh5DuOuysqlGKPhq4bERz6r5HPe1HG6aGAZkY+buuyR1V8nirYHUTcURG/UD+Da9orBHRZ8oslzx8gtqKsENrghsctNhOip9ayAdhG5mxGGtMT6ZEDeVGKDZq246ftqKk6a4Y2cYFPx6XY94jnA7NT2kwxdcHziYyYeoqow4w4KVlIwVgsRHw+Iz7kEg4ksNaDpIhNUjBo1FH5RG5Mh8h4+iIZ+65mXTVz0wzXMDUSdi4rq5GGnLohJcQLnf62hR3PBcjDIAgiteO/XIWXYU5OYH49BPPrvw1zx9RN98K9jCjQCfZ9N/SpS/wg7FDHPvV8QJ1gwH7g4Wof9BnPYAM7Uf6uDerTI7CTC4rfmpU7wJP/C+BrCmDwXP3zBtW//pFF85qqzbfTHmzYx/eqe87X6kJ7m38qWV6p7xpmTO++NuDskxzl1N0QAd/9A84+o/DFZ58hJ58o8iJKQuIR4kTNdQprnj2qCm+EfQeHr9H/R7Y9fe65OyJpfp6kEjy1FMz/TXeGEbXVPcBzqBfpG4NnNkdwScDquFB7iQeCiyJzynSo7esK7Lmh45HwW90gvoMc9berw5uiIXxm9tdj3v/8cp54/YGlYw1Gq/chnroBnNhegIkHCRzBESH0aPAc86cVbIgnuPnkpdqOfO9C8skZqugBVayMdzIKW2OaFo8f+SLlG43lATnDkL/bQ/76GPmvg5D/egp54tLIj2gAewWNXoW8g90TlfM88r3K6QdaVeS7EnNKEVf9r3f6e3Xzwf7tX1BLBwhOOxK7mAUAAOIXAABQSwECFAAUAAgACACKstE8TjsSu5gFAADiFwAADAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAABAAEAOgAAANIFAAAAAA==" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.

In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden <math>\ SA</math> zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel <math>\ \angle ASP</math> gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.

==== Satz V.4 : ====
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Beweis von Satz V.4 : ====
:: Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen.
 Beweis:
 Voraussetzung: Ein Winkel hat die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel (Definition V.6): <math>\alpha = \beta</math>
 Behauptung: '''Jeder''' dieser rechten Winkel hat die Größe 90.
 Anmerkung: Die Existenz von rechten Winkeln (Satz V.3) wird als gegeben angenommen.

{| class="wikitable"
|-
| ''Schritt'' || ''Aussage'' || ''Begründung''
|-
| (1) || Der rechte Winkel und sein Nebenwinkel (gleich groß!) sind supplementär. || nach Voraussetzung und Axiom IV.4: (Supplementaxiom) - Nebenwinkel sind supplementär.
|-
| (2) || Die Größen von zwei supplementären Winkel ergeben zusammen 180. || (Zulässige?) Umkehrung der Definition V.7 : (Supplementärwinkel)
|-
| (3) || <math>\alpha + \beta = 180</math> || Nach (1), (2)
|-
| (4) || <math>\alpha + \alpha = 180</math>
 <math>2 \alpha = 180</math>
 <math>\alpha = 90</math>
 <math>\rightarrow \beta = 90</math>
|| Nach Voraussetzung (<math>\alpha = \beta</math>) und (3)
 algebraische Umformung
 algebraische Umformung
Nach Voraussetzung (<math>\alpha = \beta</math>)
 
|}
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 13:46, 23. Jun. 2010 (UTC)

 Eigentlich steckt in der Problematik rechte Winkel/90 eine Äquivalenz. Können sie diese formulieren?
 Ein Versuch:
 Wenn ein Winkel die Größe 90 hat (wenn er 90° beträgt), so ist es ein rechter Winkel '''und umgekehrt'''.
 Der Winkel hat die Größe 90<math>\Leftrightarrow</math>Rechter Winkel (Äquivalenzrelation)
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 13:46, 23. Jun. 2010 (UTC)
 Ein zweiter Versuch:
 Ein Winkel ist genau dann ein rechter Winkel, wenn er die Größe 90 hat. --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 13:26, 26. Jun. 2010 (UTC)

Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:38, 28. Jun. 2010 (UTC):
Ich hab Ihnen die Definition "supplementär" anders formuliert. (Meist ist eine Definition als Äquivalenz gemeint.) Jetzt dürften Ihre Probleme ausgeräumt sein. Der Beweis und die Äquivalenz sind korrekt.

 {{#ev:youtube|Lur1-hWGgH0}}

== Die Relation ''Senkrecht'' auf der Menge der Geraden==
===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?

Nach Axiom I/2 enthält jede Gerade wenigstens zwei verschiedene Punkte. Seien das für die Gerade g die Punkte A und S und für die Gerade h die Punkte B und S. S sei dann der Schnittpunkt der Geraden g und h. Wir haben somit drei paarweise verschiedene Punkte. Naxch Axiom I/4 existiert damit genau eine Ebene, die diese Punkte enthält. Die Geraden g und h sind also komplanar. --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:40, 27. Jun. 2010 (UTC)

korrekt --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:51, 28. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) =====
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen. 
Ergänzen Sie:
:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... .
die Gerade AB und die Gerade CD senkrecht aufeinander stehen??? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:45, 27. Jun. 2010 (UTC)

::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> ... zwei Geraden gibt, die nicht parallel oder identisch sind und vollständig in <math>\epsilon</math> liegen und auf die
<math> g </math> senkrecht steht. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:18, 2. Jul. 2010 (UTC)

==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

<quiz display="simple">
{Die Relation ''eine Gerade steht senkrecht auf einer anderen Geraden'' hat die folgenden Eigenschaften:
}
- Sie ist reflexiv.
+ Sie ist symmetrisch.
- Sie ist transitiv.
+ Sie ist keine Äquivalenzrelation.
- Sie erzeugt eine Klasseneinteilung auf der Menge aller Geraden.
- Zwei Geraden sind entweder identisch oder stehen senkrecht aufeinander.
</quiz>

===== Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden) =====
:: Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Ferner sei <math>\ P</math> ein Punkt auf <math>\ g</math>. In der Ebene <math>\ \Epsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ s</math>, die durch <math>\ P</math> geht und senkrecht auf <math>\ g</math> steht.

===== Beweis von Satz V.5 =====
Übungsaufgabe

Lösung von Aufgabe 7.5

2010-07-25T10:16:17Z

Maude001:

Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

== Lösung --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 09:39, 8. Jul. 2010 (UTC)==
'''Voraussetzung:''' Zwei konvexe Punktmengen <math>\ M1 </math> und <math>\ M2 </math> mit <math>\ P \in M1 \cap M2 \and Q \in M1\cap M2 </math><br\>
'''Behauptung:''' <math> M1 \cap M2 </math> ist konvex, d. h. <math>\overline {PQ} \subseteq M1 \cap M2 </math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\ P \in M1 \and Q \in M1</math>
| <math>\ P </math> und <math>\ Q </math> sind nach Voraussetzung in der Schnittmenge <math>\ M1 \cap M2 </math>, also auch in <math>\ M1 </math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>\ P \in M2 \and Q \in M2</math>
| <math>\ P </math> und <math>\ Q </math> sind nach Voraussetzung in der Schnittmenge <math>\ M1 \cap M2 </math>, also auch in <math>\ M2 </math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\overline{PQ}\subseteq M1 </math>
| (I) und der Voraussetzung, dass <math>\ M1 </math> konvex ist
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\overline{PQ}\subseteq M2 </math>
| (II) und der Voraussetzung, dass <math>\ M2 </math> konvex ist
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>\overline {PQ} \subseteq M1 \cap M2 </math>
| (III), (IV) und Definition Schnittmenge
|-
|}

== vorangegangene Diskussion ==
'''Voraussetzung:''' M1 = konvexe Punktmenge und M2 = konvexe Punktmenge
'''Behauptung:''' M1 geschnitten M2 = konvexe Punktmenge

Beweis:

Seien A und B zwei verschiedene Punkte, die so gewählt sind, dass gilt:

A ist Element von M1 und M2, B ist Element von M1 und M2 dh beide Punkte liegen in der Schittmenge.
1)Da M1 konvex, gilt, dass die Strecke AB Element von M1 ist.
2)Da M2 konvex, gilt gleichzeitig, dass die Strecke AB Element von M2 ist.
3)Weil 1) und 2) gelten, liegt die Strecke AB sowohl in M1 als auch in M2 und damit in der Schnittmenge.
Da A und B zwei beliebige Punkte der Schnittmenge waren, gilt die Behauptung.

=== Wieso ===
können wir annehmen, dass sowohl A als auch B Elemente beider Mengen sind? Mir ist der Satz IV.3 alles andere als klar. Natürlich müssen beide Mengen mindestens zwei Punkte haben, denn sie sind ja konvex. Aber wieso könnten das nicht bei M1 die Punkte A und B und bei Menge 2 die Punkte A und C sein. Damit wäre doch die Schnittmenge nicht konvex????? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 12:38, 15. Jun. 2010 (UTC)

Antwort:
Wir nehmen nicht an, dass A und B Elemente beider Mengen sind, wir nehmen bewusst 2 Elemente aus der Schnittmenge.
In der Schnittmenge muss mindestens ein Element enthalten sein, ansonsten würde die Schnittmenge nicht existieren.
Wenn wir zeigen wollen, dass die Schnittmenge konvex ist, dann brauchen wir 2 Punkte, diese sind A und B.
Wenn nur A in der Schnittmenge wäre, dann können wir nicht zeigen, dass es konvex ist. Wir können es nicht zeigen aber das heißt
noch nicht, dass es NICHT KONVEX ist, also nehmen wir einen zweiten Punkt B.
Den zweiten Punkt darf ich nehmen, weil ich in der Schnittmenge mindestens einen Punkt habe, dh 2 oder 3 usw

vielleicht ist dies eine bessere Antwort:

laut wikipedia gilt, dass die leere Menge und jede einelementige Menge konvex sind. Das heißt wir müssen nur für die Fälle beweisen,
in denen im Durchschnitt mindestens 2 Elemente drin sind.

Ich würde 3 Fälle unterscheiden:

1) Der Durchschnitt ist die leere Menge = geht nicht

2) Der Durchschnitt enthält genau einen Punkt = ein Punkt ist immer konvex denn: der Abstand von einem Punkt zu sich selbst ist die leere Menge und die leere Menge ist Element einer jeden Menge, also auch der Menge dieses Punktes.

3) Der Durchschnitt enthält mehr als einen Punkt, sagen wir A und B = siehe Beweis oben

--[[Benutzer:Principella|Principella]] 00:53, 18. Jun. 2010 (UTC)
 
Es hat ein paar Wochen gedauert, aber ich glaube ich beginne es zu begreifen. Also, weil M1 und M2 konvexe Punktmengen sind, kann ich voraussetzen, dass A und B in der Schnittmenge liegen. Aber beweisen muss ich dann, dass die ganze Strecke von A zu B im Schnitt der Mengen M1 une M2 liegt, richtig? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 10:15, 25. Jul. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 7.5

2010-07-25T10:15:58Z

Maude001: /* Wieso */

Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

== Lösung --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 09:39, 8. Jul. 2010 (UTC)==
'''Voraussetzung:''' Zwei konvexe Punktmengen <math>\ M1 </math> und <math>\ M2 </math> mit <math>\ P \in M1 \cap M2 \and Q \in M1\cap M2 </math><br\>
'''Behauptung:''' <math> M1 \cap M2 </math> ist konvex, d. h. <math>\overline {PQ} \subseteq M1 \cap M2 </math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\ P \in M1 \and Q \in M1</math>
| <math>\ P </math> und <math>\ Q </math> sind nach Voraussetzung in der Schnittmenge <math>\ M1 \cap M2 </math>, also auch in <math>\ M1 </math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>\ P \in M2 \and Q \in M2</math>
| <math>\ P </math> und <math>\ Q </math> sind nach Voraussetzung in der Schnittmenge <math>\ M1 \cap M2 </math>, also auch in <math>\ M2 </math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\overline{PQ}\subseteq M1 </math>
| (I) und der Voraussetzung, dass <math>\ M1 </math> konvex ist
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\overline{PQ}\subseteq M2 </math>
| (II) und der Voraussetzung, dass <math>\ M2 </math> konvex ist
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>\overline {PQ} \subseteq M1 \cap M2 </math>
| (III), (IV) und Definition Schnittmenge
|-
|}

== vorangegangene Diskussion ==
'''Voraussetzung:''' M1 = konvexe Punktmenge und M2 = konvexe Punktmenge
'''Behauptung:''' M1 geschnitten M2 = konvexe Punktmenge

Beweis:

Seien A und B zwei verschiedene Punkte, die so gewählt sind, dass gilt:

A ist Element von M1 und M2, B ist Element von M1 und M2 dh beide Punkte liegen in der Schittmenge.
1)Da M1 konvex, gilt, dass die Strecke AB Element von M1 ist.
2)Da M2 konvex, gilt gleichzeitig, dass die Strecke AB Element von M2 ist.
3)Weil 1) und 2) gelten, liegt die Strecke AB sowohl in M1 als auch in M2 und damit in der Schnittmenge.
Da A und B zwei beliebige Punkte der Schnittmenge waren, gilt die Behauptung.

=== Wieso ===
können wir annehmen, dass sowohl A als auch B Elemente beider Mengen sind? Mir ist der Satz IV.3 alles andere als klar. Natürlich müssen beide Mengen mindestens zwei Punkte haben, denn sie sind ja konvex. Aber wieso könnten das nicht bei M1 die Punkte A und B und bei Menge 2 die Punkte A und C sein. Damit wäre doch die Schnittmenge nicht konvex????? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 12:38, 15. Jun. 2010 (UTC)

Antwort:
Wir nehmen nicht an, dass A und B Elemente beider Mengen sind, wir nehmen bewusst 2 Elemente aus der Schnittmenge.
In der Schnittmenge muss mindestens ein Element enthalten sein, ansonsten würde die Schnittmenge nicht existieren.
Wenn wir zeigen wollen, dass die Schnittmenge konvex ist, dann brauchen wir 2 Punkte, diese sind A und B.
Wenn nur A in der Schnittmenge wäre, dann können wir nicht zeigen, dass es konvex ist. Wir können es nicht zeigen aber das heißt
noch nicht, dass es NICHT KONVEX ist, also nehmen wir einen zweiten Punkt B.
Den zweiten Punkt darf ich nehmen, weil ich in der Schnittmenge mindestens einen Punkt habe, dh 2 oder 3 usw

vielleicht ist dies eine bessere Antwort:

laut wikipedia gilt, dass die leere Menge und jede einelementige Menge konvex sind. Das heißt wir müssen nur für die Fälle beweisen,
in denen im Durchschnitt mindestens 2 Elemente drin sind.

Ich würde 3 Fälle unterscheiden:

1) Der Durchschnitt ist die leere Menge = geht nicht

2) Der Durchschnitt enthält genau einen Punkt = ein Punkt ist immer konvex denn: der Abstand von einem Punkt zu sich selbst ist die leere Menge und die leere Menge ist Element einer jeden Menge, also auch der Menge dieses Punktes.

3) Der Durchschnitt enthält mehr als einen Punkt, sagen wir A und B = siehe Beweis oben

--[[Benutzer:Principella|Principella]] 00:53, 18. Jun. 2010 (UTC)
 
Es hat ein ppar Wochen gedauert, aber ich glaube ich beginne es zu begreifen. Also, weil M1 und M2 konvexe Punktmengen sind, kann ich voraussetzen, dass A und B in der Schnittmenge liegen. Aber beweisen muss ich dann, dass die ganze Strecke von A zu B im Schnitt der Mengen M1 une M2 liegt, richtig? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 10:15, 25. Jul. 2010 (UTC)

Diskussion:Lösung von Aufgabe 7.1

2010-07-25T09:17:23Z

Maude001:

Diskussion:Lösung von Aufgabe 7.1

2010-07-25T09:05:15Z

Maude001: Die Seite wurde neu angelegt: Voraussetzung: Strecke <math>\overline{AB}\subset AB^+ </math> Behauptung: es existiert genau eine Strecke <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*}...

Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks

2010-07-21T20:00:35Z

Maude001: /* Beweis von Satz IX.2 */

===== Satz IX.2: (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>

===== Beweis von Satz IX.2 =====
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck.

Voraussetzung:
 <math>\left| AC \right| > \left| BC \right|</math> bzw. <math>\left| a\right| > \left| b \right|</math>

[[Bild:Seite_winkel_00.png]]

Nach dem Dreieck müsste es doch heißen:
<math>|BC| > |AC| \ </math> --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 18:12, 20. Jul. 2010 (UTC)
 Ist das denn wichtig? Ich denke es ist nur eine Skizze, die die Bezeichnungen klärt, nicht aber Größenverhältnisse abbilden muss. Diese wiederum klärt die Voraussetzung und die Behauptung. --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 19:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 

Auf <math>\overline{BC}</math> gibt es jetzt genau einen Punkt <math>\ B'</math> mit <math>\left| CB' \right| > \left| b\right|</math>.

Denke ich falsch, oder soll es heißen <math>\left| CB' \right| = \left| b\right|</math>??? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:25, 17. Jul. 2010 (UTC) 
Ich würde auch sagen, dass da ein "=" hinmuss.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:43, 17. Jul. 2010 (UTC)

[[Bild:Seite_winkel_01.png]]

Begründung der Konstruktion von <math>\ B'</math> :

...
Nach Voraussetzung <math>\left| a\right| > \left| b \right|</math> und dem Axiom vom Lineal. --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:29, 17. Jul. 2010 (UTC)

Wie geht es weiter?

[[Bild:Seite_winkel_02.png]]

{| class="wikitable center"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (i)
|<math> b \cong \overline{B'C}</math>
| nach Konstruktion--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:45, 17. Jul. 2010 (UTC)
|-
| (ii)
| <math>\delta_1 \cong \delta_2</math>
| nach Basiswinkelsatz--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:45, 17. Jul. 2010 (UTC)
|-
| (iii)
| <math>\left| \alpha \right| > \left| \delta_1 \right|</math>
| da <math> B' \in </math> (der offenen Strecke) <math> \overline{BC}</math>, liegt <math>\ B' </math> im Inneren von <math>\ \alpha </math>, nach "Geschichten aus dem Inneren" --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC)
|-
| (iv)
| <math>\left| \alpha \right| > \left| \delta_2 \right|</math>
| (ii), (iii) --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC)
|-
| (v)
| <math>\left| \delta_2 \right| > \left| \beta \right|</math>
| schwacher Außenwinkelsatz --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC)
|-
| (vi)
| <math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>
| (iv), (v) --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC)
|}

===== Satz IX.3: (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right| </math>
===== Beweis von Satz IX.3 =====
[[Lösung_von_Aufgabe_13.1| Lösung von Aufgabe 13.1]]

Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck.

Voraussetzung:

<math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>

Behauptung:

<math>\left| a \right| > \left| b \right|</math>

Annahme:
<math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>

<math>\left| a \right| \le \left| b \right|</math>

Es ergeben sich sofort zwei Widersprüche. Welche?

1.) Wenn a = b, dann ist <math>\left| \alpha \right| = \left| \beta \right|</math>

2.) Wenn a < b, dann ist <math>\left| \alpha \right| < \left| \beta \right|</math>
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:44, 17. Jul. 2010 (UTC)

korrekt

Sie müssen allerdings noch begründen, warum sich diese Widersprüche ergeben. Für die Führung eines indirekten Beweises isr es ferner wichtig, aufzuzeigen, wozu sich der Widerspruch ergibt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 06:38, 19. Jul. 2010 (UTC)

Begründung:
 Voraussetzung: <math>\ |\alpha| > |\beta|</math>
 Annahme:<math>|a| \le \ |b|</math>
 Aus "<math>\ \le </math>" lassen sich zwei Fälle ableiten:
#) <math>|a| = \ |b|</math>, dann gilt allerdings <math>\left| \alpha \right| = \left| \beta \right|</math>, da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, bei dem bekanntlich die Basiswinkel kongruent sind --> Widerspruch zur VSS!
#) <math>|a| < \ |b|</math>, das ist allerdings der Fall, wenn <math>\ |\alpha| < |\beta|</math>, siehe Beweis "Satz IX.2" --> Widerspruch zu VSS! (Oder muss an dieser Stelle der Beweis der Umkehrung geführt werden?)
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 18:25, 20. Jul. 2010 (UTC)

Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks

2010-07-21T19:59:29Z

Maude001: /* Beweis von Satz IX.2 */

===== Satz IX.2: (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>

===== Beweis von Satz IX.2 =====
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck.

Voraussetzung:
 <math>\left| AC \right| > \left| BC \right|</math> bzw. <math>\left| a\right| > \left| b \right|</math>

[[Bild:Seite_winkel_00.png]]

Nach dem Dreieck müsste es doch heißen:
<math>|BC| > |AC| \ </math> --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 18:12, 20. Jul. 2010 (UTC)
 Ist das denn wichtig? Ich denke es ist nur eine Skizze, die die Bezeichnungen klärt, nicht aber Größenverhältnisse abbilden muss. Diese wiederum klärt die Voraussetzung und die Behauptung. --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 19:59, 21. Jul. 2010 (UTC)

Auf <math>\overline{BC}</math> gibt es jetzt genau einen Punkt <math>\ B'</math> mit <math>\left| CB' \right| > \left| b\right|</math>.

Denke ich falsch, oder soll es heißen <math>\left| CB' \right| = \left| b\right|</math>??? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:25, 17. Jul. 2010 (UTC) 
Ich würde auch sagen, dass da ein "=" hinmuss.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:43, 17. Jul. 2010 (UTC)

[[Bild:Seite_winkel_01.png]]

Begründung der Konstruktion von <math>\ B'</math> :

...
Nach Voraussetzung <math>\left| a\right| > \left| b \right|</math> und dem Axiom vom Lineal. --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:29, 17. Jul. 2010 (UTC)

Wie geht es weiter?

[[Bild:Seite_winkel_02.png]]

{| class="wikitable center"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (i)
|<math> b \cong \overline{B'C}</math>
| nach Konstruktion--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:45, 17. Jul. 2010 (UTC)
|-
| (ii)
| <math>\delta_1 \cong \delta_2</math>
| nach Basiswinkelsatz--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:45, 17. Jul. 2010 (UTC)
|-
| (iii)
| <math>\left| \alpha \right| > \left| \delta_1 \right|</math>
| da <math> B' \in </math> (der offenen Strecke) <math> \overline{BC}</math>, liegt <math>\ B' </math> im Inneren von <math>\ \alpha </math>, nach "Geschichten aus dem Inneren" --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC)
|-
| (iv)
| <math>\left| \alpha \right| > \left| \delta_2 \right|</math>
| (ii), (iii) --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC)
|-
| (v)
| <math>\left| \delta_2 \right| > \left| \beta \right|</math>
| schwacher Außenwinkelsatz --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC)
|-
| (vi)
| <math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>
| (iv), (v) --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC)
|}

===== Satz IX.3: (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right| </math>
===== Beweis von Satz IX.3 =====
[[Lösung_von_Aufgabe_13.1| Lösung von Aufgabe 13.1]]

Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck.

Voraussetzung:

<math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>

Behauptung:

<math>\left| a \right| > \left| b \right|</math>

Annahme:
<math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>

<math>\left| a \right| \le \left| b \right|</math>

Es ergeben sich sofort zwei Widersprüche. Welche?

1.) Wenn a = b, dann ist <math>\left| \alpha \right| = \left| \beta \right|</math>

2.) Wenn a < b, dann ist <math>\left| \alpha \right| < \left| \beta \right|</math>
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:44, 17. Jul. 2010 (UTC)

korrekt

Sie müssen allerdings noch begründen, warum sich diese Widersprüche ergeben. Für die Führung eines indirekten Beweises isr es ferner wichtig, aufzuzeigen, wozu sich der Widerspruch ergibt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 06:38, 19. Jul. 2010 (UTC)

Begründung:
 Voraussetzung: <math>\ |\alpha| > |\beta|</math>
 Annahme:<math>|a| \le \ |b|</math>
 Aus "<math>\ \le </math>" lassen sich zwei Fälle ableiten:
#) <math>|a| = \ |b|</math>, dann gilt allerdings <math>\left| \alpha \right| = \left| \beta \right|</math>, da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, bei dem bekanntlich die Basiswinkel kongruent sind --> Widerspruch zur VSS!
#) <math>|a| < \ |b|</math>, das ist allerdings der Fall, wenn <math>\ |\alpha| < |\beta|</math>, siehe Beweis "Satz IX.2" --> Widerspruch zu VSS! (Oder muss an dieser Stelle der Beweis der Umkehrung geführt werden?)
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 18:25, 20. Jul. 2010 (UTC)

Diskussion:Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks

2010-07-17T12:55:54Z

Maude001:

Datei:450px-IMG 2447.jpg

2010-07-17T12:54:47Z

Maude001: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
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== Lizenz: ==
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2010-07-17T12:47:58Z

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== Lizenz: ==
{{Bild-frei}}

Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks

2010-07-17T11:29:17Z

Maude001: /* Beweis von Satz IX.2 */

Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks

2010-07-17T11:25:22Z

Maude001: /* Beweis von Satz IX.2 */

Diskussion:Der schwache Außenwinkelsatz

2010-07-11T10:34:18Z

Maude001: Die Seite wurde neu angelegt: Zum letztendlichen Beweis heißt es: Der Punkt <math>\ P</math> würde gerade dann nicht im Inneren des Winkels <math>\beta^'</math> liegen,wenn er # in Halbenbene <m...

Winkelmessung

2010-06-27T11:45:00Z

Maude001: /* Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) */

== Das Winkelmaß ==
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===

{| class="wikitable center"
|-
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
|-
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
|}

=== Das Winkelmaßaxiom ===
==== Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180.

====Definition V.5: (Größe eines Winkels) ====
:: Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

== Winkelkonstruktion ==
=== Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens ===
==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

== Winkeladdition ==
==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Satz V.2 ====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.

==== Beweis von Satz V.2 ====

== Rechte Winkel ==

==== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

==== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ====
:: Zwei Winkel, deren Größen zusammen 180 ergeben, sind supplementär.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) ====
::Es gibt rechte Winkel.

==== Beweis von Satz V.3 : ====
Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.

Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.

Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt.

Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.
<ggb_applet width="505" height="348" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.

In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden <math>\ SA</math> zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel <math>\ \angle ASP</math> gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.

==== Satz V.4 : ====
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Beweis von Satz V.4 : ====
:: Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen.
 Beweis:
 Voraussetzung: Ein Winkel hat die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel (Definition V.6): <math>\alpha = \beta</math>
 Behauptung: '''Jeder''' dieser rechten Winkel hat die Größe 90.
 Anmerkung: Die Existenz von rechten Winkeln (Satz V.3) wird als gegeben angenommen.

{| class="wikitable"
|-
| ''Schritt'' || ''Aussage'' || ''Begründung''
|-
| (1) || Der rechte Winkel und sein Nebenwinkel (gleich groß!) sind supplementär. || nach Voraussetzung und Axiom IV.4: (Supplementaxiom) - Nebenwinkel sind supplementär.
|-
| (2) || Die Größen von zwei supplementären Winkel ergeben zusammen 180. || (Zulässige?) Umkehrung der Definition V.7 : (Supplementärwinkel)
|-
| (3) || <math>\alpha + \beta = 180</math> || Nach (1), (2)
|-
| (4) || <math>\alpha + \alpha = 180</math>
 <math>2 \alpha = 180</math>
 <math>\alpha = 90</math>
 <math>\rightarrow \beta = 90</math>
|| Nach Voraussetzung (<math>\alpha = \beta</math>) und (3)
 algebraische Umformung
 algebraische Umformung
Nach Voraussetzung (<math>\alpha = \beta</math>)
 
|}
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 13:46, 23. Jun. 2010 (UTC)

 Eigentlich steckt in der Problematik rechte Winkel/90 eine Äquivalenz. Können sie diese formulieren?
 Ein Versuch:
 Wenn ein Winkel die Größe 90 hat (wenn er 90° beträgt), so ist es ein rechter Winkel '''und umgekehrt'''.
 Der Winkel hat die Größe 90<math>\Leftrightarrow</math>Rechter Winkel (Äquivalenzrelation)
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 13:46, 23. Jun. 2010 (UTC)
 Ein zweiter Versuch:
 Ein Winkel ist genau dann ein rechter Winkel, wenn er die Größe 90 hat. --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 13:26, 26. Jun. 2010 (UTC)
 {{#ev:youtube|Lur1-hWGgH0}}

== Die Relation ''Senkrecht'' auf der Menge der Geraden==
===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?
 Geraden sind eindimensionale Objekte. Ebenen sind zweidimensionale Objekte. Wenn Geraden komplanar sind, dann liegen alle Punkte (mindestens 2, da sonst keine Gerade) auf dieser Geraden in einer Ebene.
Da wir uns aber bei dem Schnitt zweier Geraden immer noch in einer Dimension befinden und die Geraden per Definition jeweils aus mindestens 2 verschiedenen Punkten bestehen, benötigen wir nicht die Forderung nach komplanaren Geraden.
(Beim zweiten Satz bin ich noch etwas unsicher --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 13:55, 26. Jun. 2010 (UTC)
 
Oder anders ausgedrückt:
Nach Axiom I/2 enthält jede Gerade wenigstens zwei verschiedene Punkte. Seien das für die Gerade g die Punkte A und S und für die Gerade h die Punkte B und S. S sei dann der Schnittpunkt der Geraden g und h. Wir haben somit drei paarweise verschiedene Punkte. Naxch Axiom I/4 existiert damit genau eine Ebene, die diese Punkte enthält. Die Geraden g und h sind also komplanar. --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:40, 27. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) =====
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen. 
Ergänzen Sie:
:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... .
die Gerade AB und die Gerade CD senkrecht aufeinander stehen??? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:45, 27. Jun. 2010 (UTC)
::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aueinander, wenn es in <math>\epsilon</math> ... .

==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

<quiz display="simple">
{Die Relation ''eine Gerade steht senkrecht auf einer anderen Geraden'' hat die folgenden Eigenschaften:
}
- Sie ist reflexiv.
+ Sie ist symmetrisch.
- Sie ist transitiv.
+ Sie ist keine Äquivalenzrelation.
- Sie erzeugt eine Klasseneinteilung auf der Menge aller Geraden.
- Zwei Geraden sind entweder identisch oder stehen senkrecht aufeinander.
</quiz>

===== Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden) =====
:: Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Ferner sei <math>\ P</math> ein Punkt auf <math>\ g</math>. In der Ebene <math>\ \Epsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ s</math>, die durch <math>\ P</math> geht und senkrecht auf <math>\ g</math> steht.

===== Beweis von Satz V.5 =====
Übungsaufgabe

Winkelmessung

2010-06-27T11:40:42Z

Maude001: /* Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) */

== Das Winkelmaß ==
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===

{| class="wikitable center"
|-
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
|-
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
|}

=== Das Winkelmaßaxiom ===
==== Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180.

====Definition V.5: (Größe eines Winkels) ====
:: Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

== Winkelkonstruktion ==
=== Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens ===
==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>

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== Winkeladdition ==
==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

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==== Satz V.2 ====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.

==== Beweis von Satz V.2 ====

== Rechte Winkel ==

==== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

==== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ====
:: Zwei Winkel, deren Größen zusammen 180 ergeben, sind supplementär.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) ====
::Es gibt rechte Winkel.

==== Beweis von Satz V.3 : ====
Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.

Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.

Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt.

Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.
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Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.

In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden <math>\ SA</math> zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel <math>\ \angle ASP</math> gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.

==== Satz V.4 : ====
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Beweis von Satz V.4 : ====
:: Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen.
 Beweis:
 Voraussetzung: Ein Winkel hat die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel (Definition V.6): <math>\alpha = \beta</math>
 Behauptung: '''Jeder''' dieser rechten Winkel hat die Größe 90.
 Anmerkung: Die Existenz von rechten Winkeln (Satz V.3) wird als gegeben angenommen.

{| class="wikitable"
|-
| ''Schritt'' || ''Aussage'' || ''Begründung''
|-
| (1) || Der rechte Winkel und sein Nebenwinkel (gleich groß!) sind supplementär. || nach Voraussetzung und Axiom IV.4: (Supplementaxiom) - Nebenwinkel sind supplementär.
|-
| (2) || Die Größen von zwei supplementären Winkel ergeben zusammen 180. || (Zulässige?) Umkehrung der Definition V.7 : (Supplementärwinkel)
|-
| (3) || <math>\alpha + \beta = 180</math> || Nach (1), (2)
|-
| (4) || <math>\alpha + \alpha = 180</math>
 <math>2 \alpha = 180</math>
 <math>\alpha = 90</math>
 <math>\rightarrow \beta = 90</math>
|| Nach Voraussetzung (<math>\alpha = \beta</math>) und (3)
 algebraische Umformung
 algebraische Umformung
Nach Voraussetzung (<math>\alpha = \beta</math>)
 
|}
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 13:46, 23. Jun. 2010 (UTC)

 Eigentlich steckt in der Problematik rechte Winkel/90 eine Äquivalenz. Können sie diese formulieren?
 Ein Versuch:
 Wenn ein Winkel die Größe 90 hat (wenn er 90° beträgt), so ist es ein rechter Winkel '''und umgekehrt'''.
 Der Winkel hat die Größe 90<math>\Leftrightarrow</math>Rechter Winkel (Äquivalenzrelation)
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 13:46, 23. Jun. 2010 (UTC)
 Ein zweiter Versuch:
 Ein Winkel ist genau dann ein rechter Winkel, wenn er die Größe 90 hat. --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 13:26, 26. Jun. 2010 (UTC)
 {{#ev:youtube|Lur1-hWGgH0}}

== Die Relation ''Senkrecht'' auf der Menge der Geraden==
===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?
 Geraden sind eindimensionale Objekte. Ebenen sind zweidimensionale Objekte. Wenn Geraden komplanar sind, dann liegen alle Punkte (mindestens 2, da sonst keine Gerade) auf dieser Geraden in einer Ebene.
Da wir uns aber bei dem Schnitt zweier Geraden immer noch in einer Dimension befinden und die Geraden per Definition jeweils aus mindestens 2 verschiedenen Punkten bestehen, benötigen wir nicht die Forderung nach komplanaren Geraden.
(Beim zweiten Satz bin ich noch etwas unsicher --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 13:55, 26. Jun. 2010 (UTC)
 
Oder anders ausgedrückt:
Nach Axiom I/2 enthält jede Gerade wenigstens zwei verschiedene Punkte. Seien das für die Gerade g die Punkte A und S und für die Gerade h die Punkte B und S. S sei dann der Schnittpunkt der Geraden g und h. Wir haben somit drei paarweise verschiedene Punkte. Naxch Axiom I/4 existiert damit genau eine Ebene, die diese Punkte enthält. Die Geraden g und h sind also komplanar. --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:40, 27. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) =====
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen. 
Ergänzen Sie:
:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... .

::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aueinander, wenn es in <math>\epsilon</math> ... .

==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

<quiz display="simple">
{Die Relation ''eine Gerade steht senkrecht auf einer anderen Geraden'' hat die folgenden Eigenschaften:
}
- Sie ist reflexiv.
+ Sie ist symmetrisch.
- Sie ist transitiv.
+ Sie ist keine Äquivalenzrelation.
- Sie erzeugt eine Klasseneinteilung auf der Menge aller Geraden.
- Zwei Geraden sind entweder identisch oder stehen senkrecht aufeinander.
</quiz>

===== Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden) =====
:: Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Ferner sei <math>\ P</math> ein Punkt auf <math>\ g</math>. In der Ebene <math>\ \Epsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ s</math>, die durch <math>\ P</math> geht und senkrecht auf <math>\ g</math> steht.

===== Beweis von Satz V.5 =====
Übungsaufgabe

Lösung von Aufgabe 7.10

2010-06-20T13:16:29Z

Maude001:

Beweisen Sie: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.

A--M--B

Voraussetzung: koll(A, M, B), zw (A, M, B), <math>\overline{AM}</math> = <math>\overline{MB}</math>
:(gemeint ist: <math>\vert AM \vert = \vert MB \vert</math>) --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:25, 10. Jun. 2010 (UTC)

zu zeigen: Es gibt nur einen Punkt M, auf den die o.g. Sachverhalte zutreffen.

M = Mittelpunkt, da
Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)

<math>\overline{AM}</math> ist eindeutig für <math>\overline{AB}</math> definiert
Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 13:52, 6. Jun. 2010 (UTC)

noch ein Versuch: Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. 1. Existenzbeweis bereits in der Vorlesung geführt. 2. Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt. Annahme: Es existieren zwei verschiedene Mittelpunkte <math> M_1 </math> und <math> M_2 </math>, die Element von <math> \overline { AB } </math> sind. 

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\exist M_1 \in \overline { AB }: \left| AM_1 \right| = \left| M_1B \right| </math> <math>\exist M_2 \in \overline { AB }: \left| AM_2 \right| = \left| M_2B \right| </math>
| Annahme
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math> zw (A, M_1, B)</math> <math> zw (A, M_2, B) </math>
| (I), Existenzbeweis, Def. (zw)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math> \left| AM_1 \right| + \left| M_1B \right| = \left| AB \right| </math> <math> \left| AM_2 \right| + \left| M_2B \right| = \left| AB \right| </math>
| Def (zw), (II)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math> 2\left| AM_1 \right| = \left| AB \right|</math> <math> 2\left| AM_2 \right| = \left| AB \right|</math>
| (I), (III), Rechnen in <math> \mathbb{R} </math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math> \left| AM_1 \right|= {\left| AB \right| \over 2} </math> <math> \left| AM_2 \right|= {\left| AB \right| \over 2} </math>
| Rechnen in <math> \mathbb{R} </math>, (IV)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math> \left| AM_1 \right|= \left| AM_2 \right|</math>
| (V), Rechnen in <math> \mathbb{R} </math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math> M_1 \equiv M_2 </math> Widerspruch zur Annahme<math> M_1 \not\equiv M_2 </math> Es existiert höchstens ein Mittelpunkt der Strecke <math> \overline { AB } </math>.
| (VI)
|}
--[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 13:16, 20. Jun. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 8.4

2010-06-19T17:55:32Z

Maude001: Die Seite wurde neu angelegt: Definieren Sie den Begriff des Dreiecks, den Begriff des Innenwinkel eines Dreiecks und den Begriff des Inneren eines Dreiecks. Es seien <math> A</math>, <math> B </m...

Definieren Sie den Begriff des Dreiecks, den Begriff des Innenwinkel eines Dreiecks und den Begriff des Inneren eines Dreiecks.

Es seien <math> A</math>, <math> B </math> und <math> C </math> drei nicht kollineare Punkte. Die Vereinigungsmenge der Strecken <math> \overline { AB } </math>, <math> \overline { BC } </math> und <math> \overline { AC } </math> heißt Dreieck <math> \overline { ABC } </math>. <math> \overline { AB } </math>, <math> \overline { BC } </math> und <math> \overline { AC } </math> heißen Seiten des Dreiecks <math> \overline { ABC } </math>. Die Winkel zwischen zwei benachbarten Seiten des Dreiecks <math> \overline { ABC } </math> heißen Innenwinkel. Inneres des Dreiecks <math> \overline { ABC } </math> heißt eine Punktmenge der Ebene <math> E </math>, in der der Punkte <math> A</math>, <math> B </math> und <math> C </math> liegen, die von <math> \overline { AB } </math>, <math> \overline { BC } </math> und <math> \overline { AC } </math> umschlossen wird. --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 17:55, 19. Jun. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 8.6

2010-06-19T17:36:46Z

Maude001: Die Seite wurde neu angelegt: Definieren Sie die Begriffe Stufenwinkel und Wechselwinkel (an geschnittenen Geraden). Es seien g und h zwei verschiedene Geraden. Werden g und h von einer wei...

Definieren Sie die Begriffe Stufenwinkel und Wechselwinkel (an geschnittenen Geraden).

Es seien g und h zwei verschiedene Geraden. Werden g und h von einer weiteren Geraden i geschnitten, so heißen zwei innere oder zwei äußere Winkel auf verschiedenen Seiten der schneidenden Gerade i, die nicht Nebenwinkel sind, Wechselwinkel. Stufenwinkel heißen ein innerer und ein äußerer Winkel auf der selben Seite der schneidenden Gerade i, die nicht Nebenwinkel sind. --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 17:36, 19. Jun. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 8.5

2010-06-19T17:30:27Z

Maude001: Die Seite wurde neu angelegt: Definieren Sie: gleichschenkliges Dreieck, Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks, Basis eines gleichschenkligen Dreiecks, Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiec...

Definieren Sie: gleichschenkliges Dreieck, Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks, Basis eines gleichschenkligen Dreiecks, Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks.

Ein Dreieck heißt gleichschenklig, wenn es zwei gleich lange Seiten hat. Die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel und die dritte Seite Basis des gleichschenkligen Dreiecks. Basiswinkel heißen die beiden Innenwinkel an der Basis des gleichschenkligen Dreiecks. --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 17:30, 19. Jun. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 7.5

2010-06-15T12:38:15Z

Maude001:

Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

'''Voraussetzung:''' M1 = konvexe Punktmenge und M2 = konvexe Punktmenge
'''Behauptung:''' M1 geschnitten M2 = konvexe Punktmenge

Beweis:

Seien A und B zwei verschiedene Punkte, die so gewählt sind, dass gilt:

A ist Element von M1 und M2, B ist Element von M1 und M2 dh beide Punkte liegen in der Schittmenge.
1)Da M1 konvex, gilt, dass die Strecke AB Element von M1 ist.
2)Da M2 konvex, gilt gleichzeitig, dass die Strecke AB Element von M2 ist.
3)Weil 1) und 2) gelten, liegt die Strecke AB sowohl in M1 als auch in M2 und damit in der Schnittmenge.
Da A und B zwei beliebige Punkte der Schnittmenge waren, gilt die Behauptung.

=== Wieso ===
können wir annehmen, dass sowohl A als auch B Elemente beider Mengen sind? Mir ist der Satz IV.3 alles andere als klar. Natürlich müssen beide Mengen mindestens zwei Punkte haben, denn sie sind ja konvex. Aber wieso könnten das nicht bei M1 die Punkte A und B und bei Menge 2 die Punkte A und C sein. Damit wäre doch die Schnittmenge nicht konvex????? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 12:38, 15. Jun. 2010 (UTC)

Diskussion:Lösung von Aufgabe 7.8

2010-06-11T18:47:32Z

Maude001: Die Seite wurde neu angelegt: Warum sollten die Winkel mit in die Definition (siehe Lösung), wenn man in eine Definition so wenig wie möglich aufnehmen soll? --~~~~

Diskussion:Lösung von Aufgabe 7.5

2010-06-11T18:34:00Z

Maude001: Die Seite wurde neu angelegt: Wieder eine Frage zum Wörtchen "paarweise": Da in der Definition (konvexe Punktmenge) von "je zwei Punkten A und B" die Rede ist und nicht von "zwei verschiedenen Pun...

Lösung von Aufgabe 7.1

2010-06-11T17:21:10Z

Maude001:

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke <math>\overline{AB}</math> existiert genau eine Strecke <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math> und <math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>.
 

'''mal ein Anfang:''' 
Behauptung: es existiert genau eine Strecke <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math> und <math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math> 
Es müssen zwei Beweise geführt werden: 
1. Existenz 
2. Eindeutigkeit 

Beweis 1: 
{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| es ex. d <math> \in \mathbb{R}^+ </math>: d= <math> \left| AB \right| </math>
| Axiom II.1
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| es ex. d*<math> \in \mathbb{R}^+ </math>: d*= <math>\pi \left| AB \right|</math> =<math>\left| AB^{*} \right|</math>
| Axiom II.1, Rechnen in <math> \mathbb{R} </math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| d < d*
| <math> \pi </math> und d sind positiv
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
|
|
|}

Irgendwie verstricke ich mich. Wer mag weitermachen, oder neu anfangen? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 17:21, 11. Jun. 2010 (UTC)

Diskussion:Übung 5

2010-06-08T10:54:13Z

Maude001: Die Seite wurde neu angelegt: == Lösungen == Kommen zu den Wiki-Aufgaben auch irgendwann die Lösungen, wie bei den PDF-Übungsaufgaben? Zur Nachbereitung ist es wichtig, dass wir möglichst zeitna...

Lösung von Aufgabe 6.8

2010-06-08T10:42:12Z

Maude001: /* Kreisdurchmesser */

Kreissehnen, Kreisradien und Kreisdurchmesser sind Strecken. Definieren Sie was man unter einer Sehne, einem Radius und einem Durchmesser eines Kreises versteht.

Nochmal zur Erklärung die Kreisdefinition aus Aufgabe 6.7:
 Ein Kreis sei die Menge aller Punkte Pi, die den gleichen Abstand zu Punkt M haben. Diesen Punkt M nennen wir ''Mittelpunkt des Kreises''.
 Vorraussetzung: Alle Punkte Pi und der Punkt M liegen in der selben Ebene <math>\Epsilon</math>.

==== Kreissehnen====
Eine Kreissehne ist die Strecke (Verbindung) zwischen zwei Punkten des Kreises: Pj und Pk

==== Kreisradien ====
Eine Kreisradius ist die Strecke (Verbindung) zwischen dem Mittelpunkt M des Kreises und einem beliebigen Punkt Pi. (geht mit allen Ps, da Definition Kreis sagt, dass Kreis durch GLEICHEN Abstand definiert ist.

==== Kreisdurchmesser ====
Eine Kreisdurchmesser ist die Strecke (Verbindung) zwischen zwei Punkten Pl und Pm, die durch den Mittelpunkt geht.
Da es sich also um die addierten Strecken <math>\overline {P_lM}</math> und <math>\overline {P_mM}</math> handelt, ist der Durchmesser immer = doppelter Radius. Echt.

 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]]

 
zum Kreisdurchmesser: muss man nicht noch irgendwie sagen, dass die Strecken <math>\overline {P_lM}</math> und <math>\overline {P_mM}</math> auf ein und derselben Geraden liegen? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 20:12, 6. Jun. 2010 (UTC)
 
 @[[Benutzer:Maude001|Maude001]]
Gibt es eine Möglichkeit, eine Strecke <math>\overline {P_lP_m}</math> "ohne Knick" zu zeichnen, die der Definition von Strecke entspricht? Kollinear müssen die Punkte <math>P_l</math> und <math>P_m</math> sein, wenn der Mittelpunkt <math>\in</math> <math>\overline {P_lP_m}</math> sein soll...
 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]]

 @[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] Du hast vollkommen recht, ich habe den Anfang der Definition überlesen!--[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 10:42, 8. Jun. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 6.8

2010-06-06T20:12:02Z

Maude001: /* Kreisdurchmesser */

Kreissehnen, Kreisradien und Kreisdurchmesser sind Strecken. Definieren Sie was man unter einer Sehne, einem Radius und einem Durchmesser eines Kreises versteht.

Nochmal zur Erklärung die Kreisdefinition aus Aufgabe 6.7:
 Ein Kreis sei die Menge aller Punkte Pi, die den gleichen Abstand zu Punkt M haben. Diesen Punkt M nennen wir ''Mittelpunkt des Kreises''.
 Vorraussetzung: Alle Punkte Pi und der Punkt M liegen in der selben Ebene <math>\Epsilon</math>.

==== Kreissehnen====
Eine Kreissehne ist die Strecke (Verbindung) zwischen zwei Punkten des Kreises: Pj und Pk

==== Kreisradien ====
Eine Kreisradius ist die Strecke (Verbindung) zwischen dem Mittelpunkt M des Kreises und einem beliebigen Punkt Pi. (geht mit allen Ps, da Definition Kreis sagt, dass Kreis durch GLEICHEN Abstand definiert ist.

==== Kreisdurchmesser ====
Eine Kreisdurchmesser ist die Strecke (Verbindung) zwischen zwei Punkten Pl und Pm, die durch den Mittelpunkt geht.
Da es sich also um die addierten Strecken <math>\overline {P_lM}</math> und <math>\overline {P_mM}</math> handelt, ist der Durchmesser immer = doppelter Radius. Echt.

 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]]

zum Kreisdurchmesser: muss man nicht noch irgendwie sagen, dass die Strecken <math>\overline {P_lM}</math> und <math>\overline {P_mM}</math> auf ein und derselben Geraden liegen? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 20:12, 6. Jun. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 6.9

2010-06-05T12:39:31Z

Maude001: /* Versuch I */

====Vorlage====
'''Satz:'''
::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
Beweisen Sie diesen Satz. 
'''Satz in ''wenn-dann'':''' 
::Wenn drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ..., dann ... .

'''Beweis''' 

Es seien also <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> drei Punkte. 
'''Voraussetzungen:'''

...

'''Behauptung''' 
::<math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{ , , \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{ , , \right \}</math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \}</math>
| Voraussetzung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| Element
| Element
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| Element
| Element
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| Element
| Element
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| Element
| Element
|}

====Versuch I====
'''Satz:'''
::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
Beweisen Sie diesen Satz. 
'''Satz in ''wenn-dann'':''' 
::Wenn drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten (und umgekehrt???) .

'''Beweis''' 

Es seien also <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> drei Punkte. 
'''Voraussetzungen:'''
koll(<math>\ A, B</math> und <math>\ C</math>)

'''Behauptung''' 
::<math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \}</math>
| Voraussetzung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>
|Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
 <math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
 <math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math>
| Axiom II/3.1
 Axiom II/3.2
 Axiom II/3.3
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
|
|
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
|
|
|}

...und jetzt?
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]]

Ich glaube, es ist noch zu zeigen, dass genau einer zwischen den beiden anderen liegt. Habe deinen Beweis ab Schritt IV weitergeführt:

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}</math>
| Def (Zwischenrelation)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen
 Annahme: es gilt <math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> und <math>\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}</math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
 <math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
| (Axiom II/3)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
 <math>\left| AB \right| - \left| CB \right| = \left| AC \right| </math>
| rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AB \right|- \left| BC \right| </math>
| (VII gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IX)
| <math>\left| AB \right| + 2 \left| BC \right| = \left| AB \right| </math>
| (VIII), + <math>\left| BC \right|</math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(X)
| <math>\ 2 \left| BC \right| = 0 </math>
| (IX), - <math>\left| AB \right|</math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(XI)
| Widerspruch, da das zweifache eines Abstands nicht null ergeben kann.
 --> Annahme zu verwerfen, Behauptung wahr.
|
|}
--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:58, 4. Jun. 2010 (UTC)

==== Versuch II ==== ===

'''Satz in ''wenn-dann'':''' 
::Wenn drei Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Gerade g paarweise verschieden sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

'''Beweis''' 

Es seien also <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> drei Punkte. 
'''Voraussetzungen:'''

<math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> sind Punkte ein und derselben Geraden und paarweise verschieden.

'''Behauptung''' 
::<math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{ A, C, B \right \}</math> oder <math>\operatorname{zw}\left \{ B, A, C \right \}</math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \}</math>
| Voraussetzung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> paarweise verschieden
| Voraussetzung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| (1.) <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> (2.) <math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math> (3.) <math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math>
| I., Axiom II/3
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| (1.)<math>\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}</math> (2.) <math>\operatorname{zw}\left \{ A, C, B \right \}</math> (3.) <math>\operatorname{zw}\left \{ B, A, C \right \}</math>
| III./(1.), III./(2.), III./(3.), Definition (Zwischenrelation)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| Behauptung ist wahr
|
|}
--[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 12:39, 5. Jun. 2010 (UTC)

Strecken

2010-06-04T15:37:48Z

Maude001: /* Beweis von Satz II.2 */

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und Ebenen können wir in unserer Geometrie nicht definieren. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Grundlegend dafür, um was für eine konkrete Strecke es sich jeweils handelt scheint die Angabe zweier Punkte zu sein (kürzeste Verbindung zweier Punkte).

Das Attribut ''kürzeste'' deutet auf das Messen von Längen hin. Das Messen von Längen wird dann auch der Knackpunkt bezüglich einer Definition des Begriffs der Strecke sein.

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier:

= Der Abstand zweier Punkte =
=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===

===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.

===== Axiom II.2: =====
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind. In der Sprache der Abstände: Alle drei Abstände die die Eckpunkte des Dreiecks zueinander haben sind gegeben.

Abstände sind nach dem Abstandsaxiom reelle Zahlen. (Maßeinheiten wie m und cm sind in der „reinen“ Mathematik irrelevant.)

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===
===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=====Übung zum Axiom=====
:: Welchen Teil des Axioms demonstriert das folgende Applet?
<ggb_applet width="750" height="300" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition II.1: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz II.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

(I.) <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt.

(II.) <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>, wenn <math> \left| CB \right| + \left| BA \right| = \left| CA \right| </math> gilt.

Da nach Axiom II.2 <math> \left| AB \right| = \left| BA \right|, \left| BC \right| = \left| CB \right|,
\left| AC \right| = \left| CA \right| </math> gilt und nach den Rechenregeln Summanden vertauschbar sind, ist (I.) = (II.).
--[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 15:25, 4. Jun. 2010 (UTC)

===== Satz II.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

<math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt.

Dass <math> A, B, C </math> kollinear sind, folgt damit aus Axiom II.3.
--[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 15:37, 4. Jun. 2010 (UTC)

===== Satz II.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.3: =====
::[[Lösung_von_Aufgabe_6.9]]

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition II.2: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Das können Sie selbst.

===== Definition II.3: (Länge einer Strecke) =====
::Auch das können Sie selbst.

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition II.3: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
::[[Lösung_von_Aufgabe_6.5]]

::[[Lösung_von_Aufgabe_6.6]]

===== Satz II.4 =====
::Es sei <math>\ O</math> ein Punkt einer Geraden <math>\ g</math>. Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math>\ g</math>.

===== Beweis von Satz II.4 =====
::Das ist nicht schwer.

Strecken

2010-06-04T15:25:16Z

Maude001: /* Beweis von Satz II.1 */

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und Ebenen können wir in unserer Geometrie nicht definieren. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Grundlegend dafür, um was für eine konkrete Strecke es sich jeweils handelt scheint die Angabe zweier Punkte zu sein (kürzeste Verbindung zweier Punkte).

Das Attribut ''kürzeste'' deutet auf das Messen von Längen hin. Das Messen von Längen wird dann auch der Knackpunkt bezüglich einer Definition des Begriffs der Strecke sein.

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier:

= Der Abstand zweier Punkte =
=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===

===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.

===== Axiom II.2: =====
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind. In der Sprache der Abstände: Alle drei Abstände die die Eckpunkte des Dreiecks zueinander haben sind gegeben.

Abstände sind nach dem Abstandsaxiom reelle Zahlen. (Maßeinheiten wie m und cm sind in der „reinen“ Mathematik irrelevant.)

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===
===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=====Übung zum Axiom=====
:: Welchen Teil des Axioms demonstriert das folgende Applet?
<ggb_applet width="750" height="300" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition II.1: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz II.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

(I.) <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt.

(II.) <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>, wenn <math> \left| CB \right| + \left| BA \right| = \left| CA \right| </math> gilt.

Da nach Axiom II.2 <math> \left| AB \right| = \left| BA \right|, \left| BC \right| = \left| CB \right|,
\left| AC \right| = \left| CA \right| </math> gilt und nach den Rechenregeln Summanden vertauschbar sind, ist (I.) = (II.).
--[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 15:25, 4. Jun. 2010 (UTC)

===== Satz II.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

===== Satz II.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.3: =====
::[[Lösung_von_Aufgabe_6.9]]

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition II.2: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Das können Sie selbst.

===== Definition II.3: (Länge einer Strecke) =====
::Auch das können Sie selbst.

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition II.3: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
::[[Lösung_von_Aufgabe_6.5]]

::[[Lösung_von_Aufgabe_6.6]]

===== Satz II.4 =====
::Es sei <math>\ O</math> ein Punkt einer Geraden <math>\ g</math>. Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math>\ g</math>.

===== Beweis von Satz II.4 =====
::Das ist nicht schwer.

Lösung von Aufgabe 4

2010-06-02T10:48:19Z

Maude001:

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“
# Beweisen Sie Satz I indirekt.
# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
# Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

Lösung:
1. Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte. Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> nicht kollinear sind , dann sind sie paarweise verschieden.
 2. Voraussetzung: Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte mit nkoll(<math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>). Annahme: <math>A</math> identisch <math>B</math> o.B.d.A.

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| 1) Durch die Punkte <math>B</math> und <math>C</math> geht genau eine Gerade g. 2) <math>A</math> identisch <math>B</math> => <math>A</math> Element g 3) <math>A</math> Element g => koll(<math>A</math>, <math>B</math>,<math>C</math>) 4) Widerspruch zur Voraussetzung ||1) Axiom I/1 2) Identität 3) Definition: (kollinear)

|} 
3. Sind drei Punkte nicht paarweise verschieden, so sind sie kollinear.
 5. Sind drei Punkte paarweise verschieden, so sind sie nicht kollinear. 6. Nein.

 4. Voraussetzung: <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> sind nicht paarweise verschieden. 
Annahme: nkoll (<math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>)
 
I. durch die Punkte <math>A</math> und <math>C</math> geht genau eine Gerade g. ->Axiom I/1 
II. <math>B</math> ist kein Element von g -> Annahme 
III. <math>B</math> nicht identisch <math>A</math> und <math>B</math> nicht identisch <math>C</math> -> I. und II. 
IV. Widerspruch zur Voraussetzung

Diskussion:Übungsaufgaben (Übung)

2010-05-30T14:39:16Z

Maude001:

Lösung von Aufgabe 1

2010-05-29T18:54:56Z

Maude001:

Zur besseren Übersicht noch mal die Aufgabe:

Frau Schultze-Kröttendörfer beginnt die letzte Geometriestunde in ihrer 4. Klasse mit der folgenden Frage: „In der letzten Woche haben wir ganz viele Geraden gezeichnet. Wer weiß denn noch was eine Gerade ist?“

Fühlen Sie sich frei, eine Lösung hier einzustellen.

 
Ich weiß ja nicht, worauf Sie rauswollen, aber das ist mir eingefallen: 
Man kann Geraden ja eigentlich nicht zeichnen, genausowenig wie man Punkte, Strecken etc zeichnen kann. Was man zeichnet, ist eine Anschauung, ein Modell. Aber keiner würde von Viertklässlern erwarten, dass sie beispielsweise fragen: Wie sollen bei dem Modell der Strecke AB die Modelle der Endpunkte A und B aussehen? Ist schon klar. 
Dazu hinken diese Geradenmodelle etwas, weil sie z.B. einen Anfang und ein Ende haben. 
 
Außerdem kann man nunmal verschiedener Meinung sein, was eine Gerade ist. Eine lange, dünne, gerade Linie? Ein Ding ohne innere Eigenschaften, das aber die Beziehung zu zwei Punkten hat, dass es nur eine Gerade gibt, die beide enthält? Oder doch per Definition eine additive Nebenklasse eines eindimensionalen Unterraumes? Das kommt schließlich ganz drauf an!--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 09:59, 21. Mai 2010 (UTC) 
:: Was würden Sie denn antworten, wenn der Schüler Sie fragen würde, was eine Gerade ist?--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:19, 28. Mai 2010 (UTC)

Klingt vielleicht ein bißchen feige, aber man könnte gegenfragen, was sich die Schüler denn unter einer Geraden vorstellen. Nicht als Ausweg aus der Frage, sondern um zu zeigen, dass sich eben jeder etwas darunter vorstellt, es aber schwierig ist, darüber zu sprechen. Damit hätte man etwas über die nicht definierten Grundbegriffe gezeigt. --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 18:54, 29. Mai 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 1

2010-05-29T18:53:01Z

Maude001:

Diskussion:Strecken

2010-05-29T16:11:20Z

Maude001: Die Seite wurde neu angelegt: Was heißt: "drei paarweise verschiedene Punkte"? Also ich meine, was bedeutet "paarweise"? Ist nicht schon alles klar, wenn man sagt "drei verschiedene Punkte"? --~~~~