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Geradenspiegelungen (2012 13)

2012-12-12T11:50:34Z

Mayflower: /* Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden \ g) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FED7D7; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FED7D7; padding:1em"
| valign="top" |

== Ideen zur Heranführung an die Geradenspiegelung==
=== Idee der Symmetrie ===
<ggb_applet width="458" height="328" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

<br /><br />Die Applikation wurde im WS 2010/11 von tutorin Anne generiert.

===Verwendung eines halbdurchlässigen Spiegels===
{{#ev:youtube|rAPgiFSavFY}}
{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:Spiegelung_01.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_02.JPG|200px]] ||[[Bild:Spiegelung_03.JPG|200px]]
|-
| [[Bild:Spiegelung_04.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_05.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_06.JPG|200px]]
|-
| [[Bild:Spiegelung_07.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_09.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_10.JPG|200px]]
|-
| [[Bild:Spiegelung_11.JPG|200px]] || [[Bild:Spiegelung_12.JPG|200px]] ||
|}

===Falten===
Leider sind meine Bilder von der Qualität her zu schlecht geworden, als dass sie hier veröffentlicht werden könnten. Wer hilft?
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:04, 27. Okt. 2011 (CEST)

==Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei einer Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>==

<ggb_applet width="536" height="453" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Reduktion der großen Idee ''Geradenspiegelung'' auf: Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Geradenspiegelung ===
====Übungsaufgabe:====

Es sei <math>\ P</math> ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene gehört.
Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von <math>\ P</math> bei der Spiegelung an <math>\ g</math>. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.

{| class="wikitable center"
|+ Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei der Spiegelung an einer Geraden <math>\ g</math>,
<math>(P \notin g) </math>
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beschreibung des Schrittes
! Genauere Beschreibung
! Begründung der Korrektheit des Schrittes
|-
| 1.
| Lotgerade von P auf g
| Fällen des Lotes von P auf die Gerade g
| Existenz und Eindeutigkeit des Lotes--[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 17:06, 10. Nov. 2012 (CET)
|-
| 2.
| Lotfußpunkt L
| Einzeichnen des Lotfußpunktes L als Schnittpunkt der Geraden g mit der Lotgeraden von P auf g
| Existenz und Eindeutigkeit des Lotes, des Lotfußpunktes--[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 17:06, 10. Nov. 2012 (CET)
|-
| 3.
| IPLI auf LP- abtragen, Erhalten von P'
| Die Strecke IPLI wird auf dem Strahl LP- abgetragen, dadurch erhält man das Bild von P bei Spiegelung an g nämlich P'
|Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom--[[Benutzer:Beveggie|Beveggie]] 17:06, 10. Nov. 2012 (CET)
|}

Bemerkung zum Nachweis der Korrektheit des jeweiligen Schrittes: Gemeint ist eine Begründung, aus der hervorgeht, dass der jeweilige Schritt (ggf. eindeutig) ausführbar ist.

==Definition des Begriffs==
=====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>)=====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Spiegelung <math>\ S_g</math> an der Geraden <math>g</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, für die gilt: <math>\forall P\ \not\in g: g \operatorname{ist Mittelsenkrechte von} \overline{PS_g(P)}</math>.

Und für alle <math>Q \in g</math>: Q=Q'.

======Bemerkung --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:46, 13. Nov. 2012 (CET)======
<math>P \in g</math> müssen wir in der Definition berücksichtigen.

==Geradenspiegelungen als Bewegungen==
====Satz 2.1====
Jede Geradenspiegelung ist eine Bewegung.
====Beweis von Satz 2.1:====

Es seien <math>\ A</math>, <math>\ B</math> zwei Punkte, die an einer Geraden <math>\ g</math> auf ihre Bilder <math>\ A'</math> und <math>\ B'</math> gespiegelt werden.

Wir unterscheiden drei Fälle:

=====Bemerkung von Jessy=====
[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:02, 7. Nov. 2012 (CET): Müsste man nicht jedesmal noch unterscheiden ob koll(B,A,B') oder nkoll(B,A,B') gilt?

Sie haben Recht, die Beweise verlaufen anders , wenn <math>AB \perp g</math>. Sollte jedoch nicht das ganz große Problem darstellen.
=====Fall 1=====
::<math>\ A, B</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>
'''Beweis:''' <br />

Nach der Def.(Geradenspiegelung) gilt: A ≡ A‘ ∧ B ≡ B‘ ⟹ |AB|=|A’B‘| q.e.d.

--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:53, 16. Nov. 2012 (CET)

=====Fall 2=====
::<math>\ A</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>, <math>\ B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math><br />
'''Beweis:'''

[[Bild:Fall_2.JPG|600px]]

In diesem Fall macht es bei der Beweisführung keinen Unterschied, ob A zwischen B und B' liegt oder nicht, da A zur Mittelsenkrechten gehört.

--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 10:04, 16. Nov. 2012 (CET)

=====Fall 3=====

::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in derselben Halbebene bezüglich <math>g</math><br />

'''Beweis:'''

Fall 3.a: A liegt nicht zwischen B und B'

[[Bild:Fall_3.JPG|800]]

--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:35, 7. Nov. 2012 (CET)

Fall 3.b: A liegt zwischen B und B'

[[Bild:Fall_3.b.JPG|1000px]]

--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 10:35, 14. Nov. 2012 (CET)

=====Fall 4=====
::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>, <math>A</math> und <math>B</math> liegen in verschiedenen Halbebenen bezüglich <math>g</math><br />

[[Bild:Unbenannt.JPG]]

Wenn A zwischen B und B' liegt verläuft der Beweis analog zum Beweis von Fall 3b

--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 09:19, 7. Nov. 2012 (CET)

== Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen ==
=== Bestimmung über die Spiegelgerade ===
Unmittelbar einsichtig ist der folgende Satz:
==== Satz 2.2 ====
:: Jede Geradenspiegelung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.<br /><br />

'''Beweis'''

[[Bild:Eindeutigkeit_durch_Spiegelachse.JPG|500px]]

--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 10:10, 16. Nov. 2012 (CET)

==== Satz 2.3 ====
:: Eine Geradenspiegelung <math>\ S</math> ist durch die Angabe eines Punktes <math>\ P</math> und dem Bild von <math>\ S(P)</math> eindeutig bestimmt, falls <math>\ P \not= S(P)</math> gilt.
<br />

'''Beweis'''

[[Bild:Eindeutigkeit_durch_Spiegelbild.JPG|700px]]

--[[Benutzer:Jessy*|Jessy*]] 10:14, 16. Nov. 2012 (CET)


|}
</div>

[[Kategorie: Elementargeometrie]]

Vektorräume 2012 13

2012-12-10T08:50:37Z

Mayflower:

=Definition des Begriff des Vektorraums=

Eine nicht leere Menge V zusammen mit einer inneren Verknüpfung

<math>+: V \times V \to V</math>, <math>(v,v)\mapsto v+v</math>

und der äußeren Verknüpfung

<math> {\cdot}: \mathbb{R} \times V \to V</math>, <math>(\lambda ,v)\mapsto \lambda \cdot v</math>

heißt reeler Verktorraum, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:

A1: Für beliebige <math>u,v \in V</math> gilt <math>u+v=v+u</math> (Kommuntativität der Addition).

A2: Für beliebige <math>u,v.w \in V</math> gilt <math>(u+v)+w=u+(v+w)</math>. (Assoziativität der Addition)

A3: Es gibt ein neutrales Element <math>e\in V</math>, mit dem für alle Elemente <math>u\in V</math> gilt: <math>u+ e = e+ u = u</math>. (Existenz eines neutralen Elements/Nullvektor)

A4: Zu jeden <math>u\in V</math> existiert ein Gegenvektor <math>-u \in V</math> mit<math>u+(-u)=e. </math>

S1: Für beliebige <math>v \in V</math> gilt <math>1\cdot u =u</math>.

S2: Für beliebige <math>v \in V</math> und beliebige <math>\lambda, \mu \in \mathbb{R} </math> gilt: <math>(\lambda \cdot \mu)\cdot u= \lambda\cdot(\mu\cdot u)</math> (Assoziativität der Multiplikation von Vektoren mit reelen Zahlen)

S3: Für beliebige <math>u,v \in V</math> und beliebige <math>\lambda \in \mathbb{R} </math> gilt: <math>\lambda \cdot (u+v)=\lambda \cdot u +\lambda \cdot v </math> (1.Distributivgesetz)

S4: Für beliebige <math>v \in V</math> und beliebige <math>\lambda, \mu \in \mathbb{R} </math> gilt: <math>(\lambda + \mu)\cdot u=\lambda \cdot u + \mu \cdot u</math> (2.Distributivgesetz)

=Bemerkung:=

Die Eigenschaften A1-A4 lassen sich zusammenfassen, dass <math>(V, +)</math> eine Abelsche Gruppe bildet.

Die Menge aller Pfeilklassen in der Ebene (und die Pfeilklassen des Raumes) mit den Eigenschaften, wie in der Vorlesung gezeigt, bilden einen Vektorraum.

(Quelle: Filler: Elementare ''Lineare Algebra''. Spektrum Akademischer Verlag)


[[Kategorie:Linalg]]

Vektorräume 2012 13

2012-12-07T16:45:12Z

Mayflower:

=Definition des Begriff des Vektorraums=

Eine nicht leere Menge V zusammen mit einer inneren Verknüpfung

<math>+: V \times V \to V</math>, <math>(v,v)\mapsto v+v</math>

und der äußeren Verknüpfung

<math> {\cdot}: \mathbb{R} \times V \to V</math>, <math>(\lambda ,v)\mapsto \lambda \cdot v</math>

heißt reeler Verktorraum, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:

A1: Für beliebige <math>u,v \in V</math> gilt <math>u+v=v+u</math> (Kommuntativität der Addition).

A2: Für beliebige <math>u,v.w \in V</math> gilt <math>(u+v)+w=u+(v+w)</math>. (Assoziativität der Addition)

A3: Es gibt ein neutrales Element <math>e\in V</math>, mit dem für alle Elemente <math>u\in V</math> gilt: <math>u\cdot e = e\cdot u = u</math>. (Existenz eines neutralen Elements/Nullvektor) //<blockquote style="border: 1px solid blue; padding: 2em;">
Ist das nicht bezüglich der Addition: also: u+e=e+u=u?
</blockquote>A4: Zu jeden <math>u\in V</math> existiert ein Gegenvektor <math>-u \in V</math> mit<math>u+(-u)=e</math>

S1: Für beliebige <math>v \in V</math> gilt <math>1\cdot u =u</math>.

S2: Für beliebige <math>v \in V</math> und beliebige <math>\lambda, \mu \in \mathbb{R} </math> gilt: <math>(\lambda \cdot \mu)\cdot u= \lambda\cdot(\mu\cdot u)</math> (Assoziativität der Multiplikation von Vektoren mit reelen Zahlen)

S3: Für beliebige <math>u,v \in V</math> und beliebige <math>\lambda \in \mathbb{R} </math> gilt: <math>\lambda \cdot (u+v)=\lambda \cdot u +\lambda \cdot v </math> (1.Distributivgesetz)

S4: Für beliebige <math>v \in V</math> und beliebige <math>\lambda, \mu \in \mathbb{R} </math> gilt: <math>(\lambda + \mu)\cdot u=\lambda \cdot u + \mu \cdot u</math> (2.Distributivgesetz)

=Bemerkung:=

Die Eigenschaften A1-A4 lassen sich zusammenfassen, dass <math>(V, +)</math> eine Abelsche Gruppe bildet.

Die Menge aller Pfeilklassen in der Ebene (und die Pfeilklassen des Raumes) mit den Eigenschaften, wie in der Vorlesung gezeigt, bilden einen Vektorraum.

(Quelle: Filler: Elementare ''Lineare Algebra''. Spektrum Akademischer Verlag)


[[Kategorie:Linalg]]

Benutzer:Mayflower

2010-05-05T13:46:35Z

Mayflower: Die Seite wurde neu angelegt: http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Bild:Urlaubsfoto_Istrien_Hafen.JPG

http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Bild:Urlaubsfoto_Istrien_Hafen.JPG

Datei:Urlaubsfoto Istrien Hafen.JPG

2010-05-01T13:16:16Z

Mayflower: {{Information |Beschreibung = Hafenansicht in Istrien |Quelle = |Urheber = Mayflower |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung = Hafenansicht in Istrien
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|Urheber = Mayflower
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|Andere Versionen =
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Datei:PICT0002.JPG

2010-04-27T09:27:31Z

Mayflower: {{Information |Beschreibung = Urlaubsfoto: Blick auf Stadt in Italien |Quelle = |Urheber = Mayflower |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung = Urlaubsfoto: Blick auf Stadt in Italien
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|Urheber = Mayflower
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|Andere Versionen =
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