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Lösung von Zusatzaufgabe 12.1P (SoSe 12)

2012-07-19T16:11:39Z

Menolly:

Beweisen Sie Satz XIV.2 (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber). Hinweis: Sie dürfen Satz XIV.1 als bekannt voraussetzen. 
Der Beweis sieht vielleicht schwierig aus und klingt auch so, weil er als Zusatzaufgabe ausgeschrieben ist, ist er aber nicht. Wichtig ist es den Hinweis zu beachten und dann ist auch gar nicht mehr so viel zu tun! Also nur Mut!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:27, 10. Jul. 2012 (CEST) 

Vor: |<math>\alpha</math>|>|<math>\beta</math>| 
Beh: |a|>|b| 
Ann. |a|<|b| 
1.) |<math>\alpha</math>|<|<math>\beta</math>| |Ann. Satz XIV.1 
<math>\Rightarrow</math> Widerspruch zur Voraussetzung... 
So einfach kann es niemals sein :D 
(Toni wenn das stimmt kannst du den Beweis niemals führen ;-) ) 
* Der Beweis ist schon ganz gut, nur.... nicht komplett und damit noch nichts bewiesen, denn die Annahme ist nicht richtig (komplett).--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:55, 16. Jul. 2012 (CEST)

Mathematik ist nicht nur schön, sondern manchmal auch einfach. Auf den obigen Beweis trifft beides zu, finden Sie nicht?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:00, 16. Jul. 2012 (CEST) 

Das ist mir vorher auch aufgefallen :-( 
Die Annahme müsste |a|<math>\le</math> |b| heißen 
Dann wäre das, was ich oben gemacht habe Fall 1. 
Fall 2 wäre |a|=|b|, daraus folgt |<math>\alpha</math> |=|<math>\beta</math> |, was dann ein Widerspruch zur Voraussetzung sein müsste, oder? --[[Benutzer:Jussuf Ölkan|Jussuf Ölkan]] 19:29, 16. Jul. 2012 (CEST) 
Richtig! Lediglich noch die Begründung fehlt, weshalb |<math>\alpha</math> |=|<math>\beta</math> | folgt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:40, 18. Jul. 2012 (CEST) 

Hier mal ein direkter Versuch: 
Beh. |a|>|b| bzw. |BC|>|AC| 
1.) Konstruktion eines Kreises mit dem Radius CA um den Punkt C (Konstruktion) 
2.) CA geschnitten k = {B'} (1, Konstruktion) 
3.) |CA|=|CB'| (Def. Kreis(alle Punkte die auf k liegen habe zum Mittelpunkt C den gleichen Abstand), 2.) 
4.) CB'+B'B = CB (Zwischenrelation(C,B',B)) 
5.) CA+B'B = CB (3. in 4. einsetzten) 
6.) |CA|<|BC| und somit auch a>b (5.) 

Kommt das so auch hin, obwohl ich die Voraussetzung gar nicht richtig verwende?! Ist vom Prinzip her wie der Beweis des Satzes XIV.1 aufgebaut.. -- [[Benutzer:Menolly|Menolly]] 18:06 19. Jul. 2012 (CEST) 

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 12.1P (SoSe 12)

2012-07-19T16:10:22Z

Menolly:

Beweisen Sie Satz XIV.2 (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber). Hinweis: Sie dürfen Satz XIV.1 als bekannt voraussetzen. 
Der Beweis sieht vielleicht schwierig aus und klingt auch so, weil er als Zusatzaufgabe ausgeschrieben ist, ist er aber nicht. Wichtig ist es den Hinweis zu beachten und dann ist auch gar nicht mehr so viel zu tun! Also nur Mut!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:27, 10. Jul. 2012 (CEST) 

Vor: |<math>\alpha</math>|>|<math>\beta</math>| 
Beh: |a|>|b| 
Ann. |a|<|b| 
1.) |<math>\alpha</math>|<|<math>\beta</math>| |Ann. Satz XIV.1 
<math>\Rightarrow</math> Widerspruch zur Voraussetzung... 
So einfach kann es niemals sein :D 
(Toni wenn das stimmt kannst du den Beweis niemals führen ;-) ) 
* Der Beweis ist schon ganz gut, nur.... nicht komplett und damit noch nichts bewiesen, denn die Annahme ist nicht richtig (komplett).--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:55, 16. Jul. 2012 (CEST)

Mathematik ist nicht nur schön, sondern manchmal auch einfach. Auf den obigen Beweis trifft beides zu, finden Sie nicht?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:00, 16. Jul. 2012 (CEST) 

Das ist mir vorher auch aufgefallen :-( 
Die Annahme müsste |a|<math>\le</math> |b| heißen 
Dann wäre das, was ich oben gemacht habe Fall 1. 
Fall 2 wäre |a|=|b|, daraus folgt |<math>\alpha</math> |=|<math>\beta</math> |, was dann ein Widerspruch zur Voraussetzung sein müsste, oder? --[[Benutzer:Jussuf Ölkan|Jussuf Ölkan]] 19:29, 16. Jul. 2012 (CEST) 
Richtig! Lediglich noch die Begründung fehlt, weshalb |<math>\alpha</math> |=|<math>\beta</math> | folgt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:40, 18. Jul. 2012 (CEST) 

Hier mal ein direkter Versuch: 
Beh. |a|>|b| bzw. |BC|>|AC| 
1.) Konstruktion eines Kreises mit dem Radius CA um den Punkt C (Konstruktion) 
2.) CA geschnitten k = {B'} (1, Konstruktion) 
3.) |CA|=|CB'| (Def. Kreis, 2.) 
4.) CB'+B'B = CB (Zwischenrelation(C,B',B)) 
5.) CA+B'B = CB (3. in 4. einsetzten) 
6.) |CA|<|BC| und somit auch a>b (5.) 

Kommt das so auch hin, obwohl ich die Voraussetzung gar nicht richtig verwende?! Ist vom Prinzip her wie der Beweis des Satzes XIV.1 aufgebaut.. -- [[Benutzer:Menolly|Menolly]] 18:06 19. Jul. 2012 (CEST) 

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 12.1P (SoSe 12)

2012-07-19T16:08:28Z

Menolly:

Beweisen Sie Satz XIV.2 (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber). Hinweis: Sie dürfen Satz XIV.1 als bekannt voraussetzen. 
Der Beweis sieht vielleicht schwierig aus und klingt auch so, weil er als Zusatzaufgabe ausgeschrieben ist, ist er aber nicht. Wichtig ist es den Hinweis zu beachten und dann ist auch gar nicht mehr so viel zu tun! Also nur Mut!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:27, 10. Jul. 2012 (CEST) 

Vor: |<math>\alpha</math>|>|<math>\beta</math>| 
Beh: |a|>|b| 
Ann. |a|<|b| 
1.) |<math>\alpha</math>|<|<math>\beta</math>| |Ann. Satz XIV.1 
<math>\Rightarrow</math> Widerspruch zur Voraussetzung... 
So einfach kann es niemals sein :D 
(Toni wenn das stimmt kannst du den Beweis niemals führen ;-) ) 
* Der Beweis ist schon ganz gut, nur.... nicht komplett und damit noch nichts bewiesen, denn die Annahme ist nicht richtig (komplett).--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:55, 16. Jul. 2012 (CEST)

Mathematik ist nicht nur schön, sondern manchmal auch einfach. Auf den obigen Beweis trifft beides zu, finden Sie nicht?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:00, 16. Jul. 2012 (CEST) 

Das ist mir vorher auch aufgefallen :-( 
Die Annahme müsste |a|<math>\le</math> |b| heißen 
Dann wäre das, was ich oben gemacht habe Fall 1. 
Fall 2 wäre |a|=|b|, daraus folgt |<math>\alpha</math> |=|<math>\beta</math> |, was dann ein Widerspruch zur Voraussetzung sein müsste, oder? --[[Benutzer:Jussuf Ölkan|Jussuf Ölkan]] 19:29, 16. Jul. 2012 (CEST) 
Richtig! Lediglich noch die Begründung fehlt, weshalb |<math>\alpha</math> |=|<math>\beta</math> | folgt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:40, 18. Jul. 2012 (CEST) 

Hier mal ein direkter Versuch:
Beh. |a|>|b| bzw. |BC|>|AC|
1.) Konstruktion eines Kreises mit dem Radius CA um den Punkt C (Konstruktion)
2.) CA geschnitten k = {B'} (1, Konstruktion)
3.) |CA|=|CB'| (Def. Kreis, 2.)
4.) CB'+B'B = CB (Zwischenrelation(C,B',B))
5.) CA+B'B = CB (3. in 4. einsetzten)
6.) |CA|<|BC| und somit auch a>b (5.)

Kommt das so auch hin, obwohl ich die Voraussetzung gar nicht richtig verwende?! Ist vom Prinzip her wie der Beweis des Satzes XIV.1 aufgebaut.. -- [[Benutzer:Menolly|Menolly]] 18:06 19. Jul. 2012 (CEST) 

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 11.2P (SoSe 12)

2012-07-19T14:10:17Z

Menolly:

Was ergibt die Verkettung zweier Schubspiegelungen? 
gerade sehe ich, dass die verschiebung bei einer schubspiegelung immer parallel zur spielgelgeraden verläuft, die vektoren im bild sind daher alle falsch :-( --[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 02:06, 4. Jul. 2012 (CEST) 
die schlussfolgerungen sollten sich jedoch nicht ändern...--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 02:07, 4. Jul. 2012 (CEST)
<ggb_applet width="1366" height="607" version="4.0" 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braun (bild 1, 2, 3): 
erste schubspiegelung 
rot (bild 4a und 5a): 
zweite schubspiegelung, 
fall 1: wenn die zweite spiegelgerade im rechten winkel zur ersten spiegelgerade steht, kann das bild auch durch '''eine drehung''' durch d1 erfolgen. 
blau (bild 4b und 5b): 
zweite schubspiegelung, 
fall 2: wenn die beiden spiegelachsen parallel (oder identisch) zueinander sind, kann das bild auch durch '''verschiebung''' dargestellt werden. 
grün (bild 4cund 5c): 
zweite schubspiegelung, 
fall 3:zwei spiegelgeraden weder senkrecht noch parallel: '''drehung''' durch d2 
--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 02:00, 4. Jul. 2012 (CEST) 
ich berichtige: bei rot (erster fall) nicht nur einfach drehung, sondern '''punktspiegelung'''. --[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 14:27, 13. Jul. 2012 (CEST) 

Hätte an die Geradenspiegelung gedacht...--[[Benutzer:Geogeogeo|Geogeogeo]] 15:49, 9. Jul. 2012 (CEST) Ich nehme alles wieder zurück und schließe mich der Studentin an. Könnte die Begründung für den Reduktionssatz wie folgt lauten?

Die Verkettung zweier Schubspiegelungen ist eine Verkettung einer 6fachen Geradenspiegelung. Die gerade Anzahl lässt auf eine Drehung oder Verschiebung schließen.--[[Benutzer:Geogeogeo|Geogeogeo]] 21:40, 12. Jul. 2012 (CEST)

Zusammenfassen kann ich zunächst: Studentin erklärt, dass sich entweder eine Drehung oder eine Verschiebung ergibt. 
Geogeogeo denkt, es könnte eine Geradenspiegelung herauskommen.
Was meinen die anderen? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:34, 10. Jul. 2012 (CEST) 
Man kann auch allgemeiner argumentieren, indem man den Reduktionssatz hinzunimmt. Wie würde die Begründung lauten?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:34, 10. Jul. 2012 (CEST) 

Ich versuche das Ganze mal allgemeiner und leider ohne GeoGebra: 
2 Schubspiegelungen (Sa°Sb°Sc)°(Sd°Se°Sf) 
Fall 1: (c und f sind nicht parallel zueinander) 
1. Drehe b,c um festes S2 mit b senkrecht zu c so, dass c' parallel zu f ist. 
2. Verschiebe d,e, bei festem gleichbleibendem Abstand zueinander so, dass d' id. b' 
3. Drehe a,c' um festes S1' mit festem Winkel asc so, dass S4 Element c''. 
4.Drehe f, e' mit gleichbleibendem Winkel so, dass S1' Element f', mit f' id. c'' 
5. (Sa°Sb°Sc)°(Sd°Se°Sf)= ... = (Sa'°Se'') 
Da: (Sb'°Sd') identisch und (Sc''°Sf') identisch 
Aus der Verkettung zweier Schubspiegelungen wird also eine Drehung. Wenn c und f parallel zueinander sind (Fall 2) entsteht relativ analog eine Verschiebung. 
--[[Benutzer:Jussuf Ölkan|Jussuf Ölkan]] 19:03, 14. Jul. 2012 (CEST) 
fall 3: wenn im rechten winkel: punktspiegelung--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 10:44, 15. Jul. 2012 (CEST)
* Sehr gut! Fall 3 muss man nicht nennen, da dieser ja eine besondere Form von Fall 1 ist. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:10, 16. Jul. 2012 (CEST)
* Könnte man allgemeiner sagen: 2 Schubspiegelungen verkettet sind das gleiche wie eine Verkettung zweier Geradenspiegelungen? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:10, 16. Jul. 2012 (CEST)
ja, könnte man sagen, weil man alle anderen geraden (bis auf zwei) "wegkürzen" kann.--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 13:38, 16. Jul. 2012 (CEST)
 
Hm, ich hätte da mal ne Frage zu den Möglichkeiten die Achsen bei der Verkettung mehrerer Spieglungen zu "bewegen". In der Vorlesung hatten wir ja durch die Sätze IX.2. und IX.9 festgelegt und bewiesen, dass man die Spiegelachsen unter bestimmten Bedingungen verschieben darf. Nun bin ich etwas ratlos, wie das bei der Schubspiegelung funktioniert. Grundsätzlich ist die Schubspiegelung ja dadurch definiert, dass "a parallel zu b" ist und "a senkrecht auf c steht". Darf ich jetzt trotzdem die Schubspiegelung wieder in einzelne Geradenspiegelungen teilen um sie dann die Aufgabe zu bearbeiten? Bzw. in wie weit darf ich die Achsen der Schubspiegelung "bewegen"?? Bin mir da gerade irgendwie nicht so recht sicher.. --[[Benutzer:Menolly|Menolly]]

[[Kategorie:Einführung_P]]