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Bewegungen (2010)

2010-11-15T14:03:15Z

Mirasol: /* Beweis von Satz 1.4: */

== Der Begriff der Bewegung ==
=== Die Grundideen ===
====Starrheit und Kopieren====
<ggb_applet width="712" height="673" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===Abstraktion von den physikalischen Gegebenheiten===
Die Materie scheint schwer genug zu sein. Wir werden unsere Betrachtungen auf eine einzige Ebene ε einschränken.

Die Lochschablone ist nichts anderes als das Modell unserer Ebene. Leider muss jedes physikalische Modell, mit dem der Schüler auch noch konkret handelnd tätig werden soll, flächenmäßig beschränkt sein.Für den mathematischen Bewegungsbegriff abstrahieren wir von dieser Beschränktheit. Das ist uns eigentlich schon länger klar, soll an dieser Stelle jedoch noch einmal besonders hervorgehoben und betont werden.

Hinter der Idee des Kopierens steckt nichts anderes als der mathematische Abbildungsbegriff. Jedem Original wird ein Bild zugeordnet.

Der Definitionsbereich für unsere Abbildungen ist die gesamte Ebene. Ihr Bild ist sie selbst. Jeder Punkt der Ebene ε wird auf genau einen Punkt der Ebene ε abgebildet. Aus mathematischer Sicht ist es egal, ob unser Ebenenmodell aus Plastik oder Glas ist. Aus Gummi dürfte es allerdings nicht sein, denn Gummimatten sind mit Sicherheit nicht starr. Die Starrheit bedeutet nichts weiter, als dass zwei Originalpunkte denselben Abstand haben wie ihre Bildpunkte.

=== Der Begriff der Bewegung ===
==== Definition ====
=====Definition 1.1: Bewegung=====
::Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich selbst, die abstandserhaltend ist.

:: korrekt. wie könnte man noch formulieren? --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 16:09, 20. Okt. 2010 (UTC)
:: Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich selbst, die die Streckenlängen invariant lässt.

:: Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich selbst, bei der die Strecken gleich lang sind.

:: Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich selbst, bei der jede Originalstrecke gleichlang zu ihrer Bildstrecke ist.

:: Es sei <math>\phi</math> eine Abbildung der Ebene <math>\epsilon</math> auf sich selbst. <math>\phi</math> ist eine Bwegung, wenn <math>\forall A, B \in \epsilon : |AB| =|\phi(A) \phi(B)|</math> gilt.

Bemerkung: Der Begriff der Kongruenzabbildung ist synonym zum Bewegungsbegriff.

=== Eigenschaften von Bewegungen ===
===== Satz 1.1: (Bijektivität von Bewegungen) =====
::Jede Bewegung ist eine Bijektion.

==== Beweis von Satz 1.1 ====
===== Vorüberlegungen =====
Es sei <math>\ \beta</math> eine Bewegung, die die Ebene <math> \epsilon</math> auf sich selbst abbildet.

Wir haben zu zeigen, dass <math>\ \beta</math> ein Bijektion ist. 
Hierzu haben wir zu zeigen, dass die Abbildung <math>\ \beta</math> 
*[http://de.wikipedia.org/wiki/Surjektivit%C3%A4t surjektiv]

und

*[http://de.wikipedia.org/wiki/Injektivit%C3%A4t injektiv]

ist.

===== Surjektivität =====
Die Surjektivität ergibt sich entsprechend der Definition 1.1 (Abbildung auf)

===== Injektivität =====
Alle unsere folgenden Bemerkungen beziehen sich auf ein und dieselbe Ebene <math>\epsilon</math>. Wir verzichten deshalb darauf, die Zugehörigkeit der im folgenden verwendeten Punkte zu <math>\epsilon</math> explizit zu betonen. Die gestrichenen Punktbezeichnungen mögen immer das Bild des Punktes mit der entsprechenden ungestrichenen Punktbezeichnung bezüglich der Bewegung <math>\beta</math> kennzeichnen.

zu zeigen:

# Jeder Punkt <math>\ P'</math> ist das Bild von maximal einem Punkt <math>\ P</math>. oder 
# Je zwei verschiedene Originalpunkte <math>\ P</math> und <math>\ Q</math> haben nicht dasselbe Bild. oder 
# <math>P \ne Q\Rightarrow P' \ne Q'</math>

Wir entscheiden uns dafür, 3. zu zeigen.

Wir führen den Beweis indirekt. (Ergänzen Sie den Beweis!)

{| class="wikitable"
|-
|Voraussetzung:|| <math>P \ne Q</math>
|-
|Behauptung:||<math> P' \ne Q'</math>
|-
|Annahme:||<math>\ P' = Q' </math>
|}

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (I)
| Der Abstand von <math>\ P'</math> zu <math>\ Q'</math> ist gleich 0.
| Annahme + Abstandsaxiom (Axiom II.1)
|-
| (II)
| Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ Q</math> ist größer als 0.
| Voraussetzung + Abstandsaxiom
|-
| (III)
| (I) und (II) widersprechen sich.
| Definition Bewegung (als Abbildung der Ebene auf sich, mit invarianten Abständen von beliebigen Punktpaaren. )--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 17:37, 19. Okt. 2010 (UTC)
|}

===== Satz 1.2: (Abgeschlossenheit der Nacheinanderausführung von Bewegungen) =====
:: Die Nacheinanderausführung zweier Bewegungen ist eine Bewegung.
===== Beweis von Satz 1.2 =====
[[Lösung_von_Aufgabe_1.3_WS2010)]]

===== Satz 1.3: (Zwischenrelation als Invariante von Bewegungen) =====
::Die Zwischenrelation ist eine Invariante bei jeder Bewegung.

===== Beweis von Satz 1.3 =====
siehe [[Lösung_von_Aufgabe_1.2_WS2010]]

=====Satz 1.4: (Geradentreue, Halgeradentreue, Streckentreue, Schnittpunkttreue bei Bewegungen) =====
:: Für eine jede Bewegung <math>\ \beta</math> gilt:

::{| class="wikitable"
|-
| (a) || Das Bild einer Geraden ist eine Gerade.
|-
| (b) || Das Bild einer Halbgeraden <math>\ AP^+</math> ist eine Halgerade mit dem Anfagspunkt <math>\ \beta(A)</math>.
|-
| (c) || Das Bild einer Strecke <math>\overline{AB}</math> ist die Strecke <math>\overline{\beta(A)\beta(B)}</math>
|-
| (d) || Falls zwei Geraden, Strecken, Halbgeraden oder zwei verschiedene dieser Figuren einen Punkt <math>\ P</math> gemeinsam haben, so haben die Bildfiguren den Punkt <math>\ \beta(P)</math> gemeinsam.
|}

===== Beweis von Satz 1.4: =====
:: Die Beweise ergeben sich mehr oder weniger unmittelbar aus Satz 1.3.
::Fühlen Sie sich frei zu üben.

a) Das Bild einer Geraden ist eine Gerade

Voraussetzung: <math>AB</math> ist eine Gerade 
Behauptung: <math>A'B'</math> ist das Bild von <math>AB</math>

{| class="wikitable"
|+ Beweis 
|- style="background: #DDFFDD;"
! Beschreibung des Schrittes
! Begründung der Korrektheit des Schrittes
|-
| (1) Es existiert ein Punkt P: Zw(A,P,B) und P liegt auf <math>AB</math> || Definition Zwischen
|-
| (2) <math>\ |AP| + |PB| = |AB|</math> || Definition Zwischen
|-
| (3) <math>\ |AP| = |A'P'|</math>, <math>\ |PB| = |P'B'|</math>, <math>\ |AB| = |A'B'|</math>|| Definition Bewegung
|-
| (4) <math>\ |A'P'| + |P'B'| = |A'B'|</math>|| (2) und (3)
|-
| (5) Zw(A',P',B')|| (4) und Zwischenrelation
|-
| (6) <math>A'B'</math> ist das Bild von <math>AB</math> || (5)
|} Stimmt dieser Beweis, den ich hier geschrieben habe?--[[Benutzer:Mirasol|Mirasol]] 14:03, 15. Nov. 2010 (UTC)

===== Satz 1.5: (Winkelgröße als Invariante bei Bewegungen)=====
:: Für jede Bewegung <math>\ \beta</math> und jeden Winkel <math>\angle ASB</math> gilt:
:: <math>| \angle ASB| = | \angle \beta(A) \beta(S) \beta(B)|</math>

=====Beweis von Satz 1.5:=====

Abstandserhaltung von <math>\ \beta</math>und der Kongruenzsatz SSS helfen bei der Führung des Beweises.

Lösung von Aufgabe 14.3

2010-07-24T13:09:41Z

Mirasol:

Die Formulierung hier in dem Euklidischen Parallelenaxiom lautet "gibt es genau eine Gerade" durch das Wörtchen genau ist die Existenz und Eindeutigkeit von Parallelen beschrieben. Das wäre jedoch eine Widerspruch zur Unabhängigkeit der Axiome im Hilbert'schen Axiomensystem, denn die Existenz von Parallelen kann man mit Hilfe der absoluten Geometrie beweisen!--[[Benutzer:Mirasol|Mirasol]] 13:09, 24. Jul. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 14.3

2010-07-24T13:08:59Z

Mirasol: Die Seite wurde neu angelegt: Die Formulierung hier in dem Euklidischen Parallelenaxiom lautet "gibt es genau eine Gerade" durch das Wörtchen genau ist die Existenz und Eindeutigkeit von Parallelen...

Datei:Mirasol 039.JPG

2010-07-21T14:15:11Z

Mirasol: hat eine neue Version von „Bild:Mirasol 039.JPG“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lizenz == {{Bild-CC-by-sa/3.0/de}}{

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle = selbst erstellt
|Urheber = [[Benutzer:Mirasol|Mirasol]]
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

== Lizenz ==
{{Bild-frei}}

Datei:Mirasol 039.JPG

2010-07-21T14:14:37Z

Mirasol: {{Information |Beschreibung = |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lizenz == {{Bild-frei}}

Satz des Thales

2010-07-09T13:52:34Z

Mirasol: /* Test */

=Test=
Hier geben Ihnen die Didaktikspezialisten Tipps zum Satz des Thales
==Geogebratest==
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== noch ein Test ==
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===Funktionale Betrachtung===
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=Sehnen verschieben=
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--[[Benutzer:Mirasol|Mirasol]] 13:52, 9. Jul. 2010 (UTC)

Diskussion:Dreieckskongruenz

2010-07-06T08:05:41Z

Mirasol: Die Seite wurde neu angelegt: In der Quiz-Aufgabe heißt es: "Die Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{CD}</math> sind kongruent zueinander." Diese Antwort ist richtig, aber mü...

Der Basiswinkelsatz

2010-07-06T08:00:43Z

Mirasol: /* Für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen */

== Der Basiswinkelsatz ==
=== Gleichschenklige Dreiecke ===
===== Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) =====
Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

[[Übung_11#Aufgabe_11.1| Übung 11 Aufgabe 1]]

=== Der Basiswinkelsatz ===
===== Satz VII.5: Basiswinkelsatz =====
::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.
===== Für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen =====
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. o.B.d.A. seien die Seiten <math>\ a</math> und <math>\ b</math> kongruent zueinander:

[[Bild:Basiswinkelsatz00.png| 300 px]]

Nach der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke existiert der Mittelpunkt <math>\ M</math> der Dreiecksseite <math>\ c</math>.

[[Bild:Basiswinkelsatz01.png| 300 px]]

Wir werden jetzt zeigen, dass die beiden Teildreiecke <math>\overline{AMC}</math> und <math>\overline{BMC}</math> kongruent zueinander sind:

[[Bild:Basiswinkelsatz02.png| 300 px]]

Nachweis von <math>\overline{AMC} \cong \overline{BMC}</math>:

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Skizze
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (1)
| [[Bild:Basiswinkelsatz03.png| 200 px]]
| <math>\ a \cong \ b</math>
| Voraussetzung
|-
| (2)
| [[Bild:Basiswinkelsatz04.png| 200 px]]
| <math>\overline{AM} \cong \overline{MB}</math>
| <math>\ M</math> ist Mittelpunkt von <math>\ c</math>
|-
| (3)
| [[Bild:Basiswinkelsatz05.png| 200 px]]
| <math>\overline{MC} \cong \overline{MC}</math>
| trivial (oder Reflexivität der Kongruenzrelation)
|-
| (4)
| [[Bild:Basiswinkelsatz06.png| 200 px]]
| <math>\overline{AMC} \cong \overline{BMC}</math>
| (1), (2), (3), SSS
|}

Wegen (4) gilt nun auch <math>\alpha \cong \beta</math>.

w.z.b.w.

Ein schöner einfacher Beweis, leider hat er hier keine Gültigkeit. Warum?

Dieser Beweis ist so nicht machbar, da der Basiswinkelsatz hier mit dem Kongruenzsatz SSS bewiesen worden ist. Allerdings braucht man für den Beweis des SSS den Basiswinkelsatz. Somit kann man den Kongruenzsatz SSS bei dem Beweis des Basiswinkelsatzes nicht verwenden.
--[[Benutzer:Mirasol|Mirasol]] 08:00, 6. Jul. 2010 (UTC)

===== Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes =====
Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... .
Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende. Damit wir uns auf die wesentliche Beweisidee des Basiwinkelsatzes konzentrieren können, schicken wir ein Lemma voraus.
======Lemma 1======
::Die Winkelhalbierende <math>\ SW^+</math> eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> schneidet die Strecke <math>\overline{AB}</math> in genau einem Punkt <math>\ P</math>.

[[Bild:Lemma01.png| 300 px]]

====== Beweis von Lemma 1======
später (Wir haben wichtigeres zu tun.)
googeln Sie: "Geschichten aus dem Inneren Gieding" und Sie werden fündig.
====== Beweis des Basiswinkelsatzes ======
<ggb_applet width="1272" height="836" version="3.2" 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odYniSBzZON+uku6BuRyxZ6atL8czs52S6tTTkhaG/lQQ7Rt/lx6Vu69mH3Uje4nSaZOctF0knZ4JFmRfZpG0QmYzX2WOpeWYh4k7RU1pwrW7gu8p2ZeqV5mIGwzr9/+k/aZlMCXoeqBZCy9pYAAtMiEDCLcUAZtzFA+6Rx3xpd0EQUBFWqqpu7d1LVbnN15K7XQtWPpqW+H65+EBNf3GqcO2wEaNpXN0xJqS6KfPq5Eyk//07KXlIajA/ampipIWSO6/1IJE4HI9Q7qdiI8VM5L2yywgIdGBAGx+SgLERTB7UDnBYyUs40/iX0p0JliQwZF/adosEOSchj8lzrBBIzpYGxLAhsbGPKbdhxlgbL+blXsbySMzU5C0uMqxca30t3FniJNI7BdaKTSytjLqdtHVDukKarV83wCWdonBEqpzI2shhlLD+0gdEaY8BxR5DLSbv34Y2IlNX91/D8pw4w9k7VPR6MLS0cNwmhGDHbhozn+RspwxbhFFuMEMKBxQ4MzsNjsn354PCuY1QtJIftzE4VxrCDFHXIZB6ZyaOUQxtbkFkWyTXTMgGwbMhtSixIWXOo3oBvOfv3WsiAz4Ad0OyQ5KvXycVTmTY9N2aUQo4IxNzGOYAM2AxDbEMEgE0PXLpaHJXyZXEUtng75ds/ZSjvGK7utPz0y4dhp0mDql+ZNnBkcyQNI0PSRjKG+04bPlaxhSA75Q1QzYnIR5862I8wnbvas5tbYn3ekZvz37npMasrp/7fTx2J+odhPq9LLzusvcHeGf4arJ94qwC0CSYAcIgJZqTYNsAwAhgjG0vPZVsH2t6Px2R7820DdNexrxYyVF4GWBlyUlJdJdLTkU+/dBClDgsD9aIUPZm/xtIzAy69cz6/y6QGmki9IAXZxLI4wHbzjG+n1ETHJDUWsjKp2XHIvuum58ZjEfFub7C96Tl+mk3PSRVWSPEGsPrqUOl6jDMQR7ABun6TImiYb19c/ZR7oc2yDjsXey+R1bD8pK6Im7ZNZICBqI0gRQiywqwQiGxWWJwDM5DJMZkVStKJACUtJwIN8lReI0si78Zz/A5S02GBrF5qlk/mdajJWRGRcGstHZaNKYYUAgg4OFA4lsckHIXPIS03wpZ9zvehfzcNg/p54lXT0tI7T7bnXsPs6OMHmFZ09Bd8Nlh9gLud0yL72RycosHWMX8PMbypslCcywHpaUn9WXBBK1y0TYftfk/Nh4ceb/shHex381fSPJcD9XuOwB9MQauzO4/EQf15rzz4eVbnP3fTs3qOGrL7VObJsStM2T9850VR04sHVhW/MPzSWYTxV/tsf+kFcdkjvZ3nvpei4XbsFa84Y6Zd/uvz+pZaGK+aYLzqDuNVE4xtXtDQ6U0BLXFUbwqo24Db87UBtUBeNAF50R3Iiz7y+BhAPtILhRoCv2z0afhXXKASlLWh4OaD7uaDTnGhAsN2hNQHhxvMPIMQcQe9HULERxlzHyfY2ozKyTe3CLS51H1E0auTfI6Oaw3rCeJb5XkO7Si95J6wshdtjxJatuSt4Z0SDXT+j0Wbz1XZtjjjdmmGdrL9IhB81BTV565Q096jq4tqMvRcFnbIa/Xec1njLdqndXZy3DYbqjYeZTtKIIT5WW8ZgtmYMxsjhLBS0cPyXTefJ9+1CUxNMrTfgV5U3o8JXxjohYFfGJeXlx0kp/fp7/tHk5xqRhRaSFoADglDlBBeyAjlm4u6B+ZE749JRoqcKN/xBsEWMlLeVTpcxgYxJqE/TYxlMPeSRPgjJzLGnjDWB07ML/8IweYWtz91kKdHPwneRWSIyW2gtoswChmgKF/vx6ZFqcUQYJbNKEXN6/31qJa3kX4jJl6QKobaC/hNJDwZ66ud0FM58uC+A3q9d5aOPsCnApeahEJgyQCAQotgkK9QSDWV+ghkqMUtANCBJ5xHWd7sSPSRoDQi4bClzX65+V8k1HX+D2e+/i9QSwcISTjgxfoNAACiZgAAUEsBAhQAFAAIAAgAcz3iPL1cAqreCwAAWw4AADEAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGI1YTFlNzczY2I3MzBjNzcwOWJhNWVhNmRjOGQ1Zjk2XEJld2Vpc3NjaGVtYS5wbmdQSwECFAAUAAgACABzPeI8IGKtYUkIAABzCgAAMQAAAAAAAAAAAAAAAAA9DAAANDYxNWE2MDE2YzMxNjhiM2I2MDc5ZWMzNTk1MDI1NGRcQmV3ZWlzc2NoZW1hLnBuZ1BLAQIUABQACAAIAHM94jxJOODF+g0AAKJmAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAOUUAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAMAAwD4AAAAGSMAAAAA" 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== Das Mittelsenkrechtenkriterium ==
===== Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) =====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\ \overline{AB}</math>, wenn für jeden Punkt <math>\ P \in\ M</math> gilt: <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>.

Bezug zur Schule:
Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke <math>\overline{AB}</math> mittels Zirkel und Lineal:

Konstruktionsvorschrift:

gegeben: Strecke <math>\overline{AB}</math>

gesucht: <math>\ m</math> , die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Schrittnr.
! Konstruktionsschritt
|-
| 1.
| Zeichne einen Kreis um <math>\ A</math>, dessen Radius <math>\ r</math> länger als die Hälfte der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist.
|-
| 2.
| Behalte <math>\ r</math> bei und zeichne einen Kreis um <math>\ B</math>.
|-
| 3.
| Der Kreis um <math>\ A</math> schneidet den Kreis um <math>\ B</math> in den beiden Schnittpunkten <math>\ S_1</math> und <math>\ S_2</math>.
|-
| 4.
| Zeichne die Gerade <math>\ S_1S_2</math>. Sie ist die gesuchte Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>.
|}

Frage: ''Ist dieser Algorithmus korrekt?'' Anders gefragt: Ist <math>\ S_1S_2</math> wirklich die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>?

Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen:

===== Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.) =====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.

===== Beweis von Satz VII.6 a =====

Übungsaufgabe 11.7 (Das Video hilft)

Nach dem Beweis von Satz VII.6 a wissen wir, dass die beiden Punkte <math>\ S_1</math> und <math>\ S_2</math> Punkte der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> sind.

Die Wahl des Radius <math>\ r</math> der beiden Kreise in unserer Konstruktion war beliebig für <math>\ | r | > \frac{1}{2} | \overline{AB} |</math>. Wir stellen uns jetzt die frage, ob wir jeden beliebigen Punkt unserer Mittelsenkrechten als Schnittpunkt zweier entsprechender Kreise konstruieren könnten.

Die Frage anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils ein und denselben Abstand?

Noch anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Strecke <math>\overline{AB}</math> notwendigerweise zu <math>\ A</math> und zu <math>\ B</math> ein und denselben Abstand?

Der folgende Satz VII.6 b beantwortet diese beiden Fragen postiv:

===== Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)=====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.

[[Lösung von Aufgabe 11.8 ]]

Diskussion:Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks

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Definition Nebenwinkel (schülergerecht):
Wenn ein Paar Schenkel zweier Winkel eine Gerade bilden und das andere Paar identisch ist, dann handelt es sich um ein Paar Nebenwinkel.

Definition Scheitelwinkel(schülergerecht):
Zwei Winkel sind Scheitelwinkel, wenn ihre Schenkel ein Paar sich schneidender Geraden bilden.

--[[Benutzer:Mirasol|Mirasol]] 07:49, 6. Jul. 2010 (UTC)

Diskussion:Lösung von Aufgabe 8.5

2010-07-06T07:40:14Z

Mirasol:

Lösung von Aufgabe 10.1

2010-07-01T07:34:13Z

Mirasol: Die Seite wurde neu angelegt: :: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die Gerade <math>\ {AB}</math> und die Ger...

:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die Gerade <math>\ {AB}</math> und die Gerade <math>\ {CD}</math> senkrecht aufeinander stehen .

::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aueinander, wenn es in <math>\epsilon</math> eine Gerade <math>\ h</math> gibt, die vollständig in <math>\epsilon</math> liegt und die Gerade <math>\ g</math> senkrecht aufeinander stehen.