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Die Kraft der Raute

2012-02-20T21:20:19Z

Miriam:

=Vorbemerkung=
Die Bayern haben zum Start der Rückrunde heftig Federn gelassen. Das freut nicht nur den bekennenden 60-ger Fan und Geowiki-Aktivisten Flo60 sondern auch uns, die wir die ATP-Klausur zu erstellen haben.

Bezeichnenderweise tragen die Vereine, die den Roten aus München Punkte entführten, die Raute im Logo. Wir stellen damit unsere Klausur unter das Motto: 
'''Die Kraft der Raute'''
 
Also ich denke hier einfach mal laut: Wenn ich diese Aussage vor über einem halben Jahr gelesen hätt, hätte ich gesagt:"Dass simmt doch gar nicht. Der HSV hat doch Quadrate im Wappen." Jemand schon mal dran gedacht, dass es ich in der Klausur auch um den Spezialfall handeln könnte. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 08:02, 8. Feb. 2012 (CET) 

::Freut mich, dass wir doch ein wenig zu einem grundlegenden Verständnis bezüglich der Vierecksarten haben beitragen können. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 09:15, 8. Feb. 2012 (CET)

...dann wären die "Tipps" zur Vorbereitung aber ETWAS irreführend gewesen!?!?! --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 17:49, 8. Feb. 2012 (CET)

Gladbach hat drei Punkte gegen die Bayern geholt. Das Logo der Borussia aus Gladbach ist eine Raute, die kein Quadrat ist. Wir sollten der Borussia die Ehre erweisen. (Deutlich genug?).:: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:02, 8. Feb. 2012 (CET)

...nicht dass mir Borussia lieber wäre als der HSV, aber in diesem Fall schon :-) Danke!--[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 22:21, 8. Feb. 2012 (CET)

Bleibt zu hoffen, dass die Klausur fairer ist als de Camargo! --[[Benutzer:ps|ps]]

::Das Leben ist hart aber wir sind Hertha! --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 08:49, 9. Feb. 2012 (CET)
 
Das lässt sich doch bestimmt alles "hoyzern"! --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 17:06, 9. Feb. 2012 (CET)

Warum gibts hier keinen "Gefällt mir" - Button?^^ --[[Benutzer:Teufelchen777|Teufelchen777]] 19:54, 9. Feb. 2012 (CET)

Also ich verstehe nicht, was der Herr Gieding mit ''Gladbach hat drei Punkte gegen die Bayern geholt. Das Logo der Borussia aus Gladbach ist eine Raute, die kein Quadrat ist. Wir sollten der Borussia die Ehre erweisen. (Deutlich genug?).'' meint. kann mir jemand weiter helfen? LG 20:46, 09. Feb. 2012.
 
@ LG 20:46: Also das ist dann schon wirklich deutlich genug :-) Einfach mal kurz alles durchlesen dann wirds schon verständlich, aber selbst wenn man nicht draufkommen sollte ist und bleibt aus meiner persönlichen Sicht das Allerwichtigste festzuhalten: Gladbach hat die Roten aus München aber dermaßen an die Wand gespielt - und das ist doch der Hammer schlechthin :-) Im DFB-Pokal Halbfinale pfeiffen sie sie dann auch noch aus dem Pokal, Dortmund wird Meister und dann wars das mit dem Trippel aber sowas von!--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:54, 9. Feb. 2012 (CET)

Die Saison der Roten prägnant zusammengefasst von Thomas Müller höchstpersönlich [http://www.youtube.com/watch?v=V694Qa0E5b8]
 
Na ist doch klar, wennd er HSV gewonnen hätte wäre bestimmt der HSV-Beweis dran gekommen. :-)
Doch jetzt nicht!
[[Media:HSV.jpg]] (Beweis ist nicht schön und nicht vollständig, aber Idee wird klar) --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 05:37, 10. Feb. 2012 (CET)
 
Hat eigentlich der SC Freiburg eine Raute im Wappen? Sicherlich ist der SC Freiburg, '''der Rautenträger der Herzen''' :-) --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 11:55, 19. Feb. 2012 (CET)

So wie die Raute ein verallgemeinertes Quadrat ist, ist die Ellipse ein verallgemeinerter Kreis. Also ist die Ellipse die Raute unter den Figuren mit Krümmung. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 16:23, 20. Feb. 2012 (CET)

Hallo Allerseits :) ab wann dürfen wir denn mit den Klausurergebnissen rechnen?--[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 22:20, 20. Feb. 2012 (CET)

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=Aufgabe 3=
Der Beginn von Aufgabe 3 der Klausur im Vorabdruck:

:::"''Erst verlieren die Roten aus München in Gladbach drei Punkte, dann zwei beim HSV! Spontan beginnt Referendar Ole die Unterrichtseinheit '''Vierecke''' mit der '''Raute'''''.
 
Da Ole ein 1er Kandidat ist und zufällig eine reine Jungenklasse hat, beginnt der die Stunde natürlich um die Schüler zu motivieren mit einigen Wappen von Fußballvereinen. ...--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 08:09, 8. Feb. 2012 (CET)

=Vorbereitung: Raute=

# Definieren Sie den Begriff Raute auf 5 verschiedene Arten und Weisen.
# Überlegen Sie sich, wie Sie Ihre Schüler an den Begriff der Raute heranführen könnten, indem Sie die Schüler verschieden Rauten konstruieren lassen. (Stäbchen, Metallbaukasten, Falten, Streifen, Geobrett, Geogebra, ...)
# Überlegen Sie, welche Eigenschaften von Rauten sich aus den Definitionen und Konstruktionen ergeben und beweisen Sie diese.

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 13.7 (WS 11/12)

2012-01-21T11:13:46Z

Miriam:

Beweisen Sie: Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha</math>, wenn er zu den Schenkeln von <math>\ \alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.
* Dürfen wir SsW benutzen?--[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 12:13, 21. Jan. 2012 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 11.4 (WS 11/12)

2012-01-06T11:03:55Z

Miriam:

Definieren Sie den Begriff des gleichschenkligen Dreiecks.
Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter. 

Hinweis: Die Schenkel eine Winkels sind Strahlen. Die Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind Strecken.

Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck. Wenn zwei der drei Strecken von <math>\overline{ABC}</math> kongruent sind, ist <math>\overline{ABC}</math> ein gleichschenkliges Dreieck. 
Diese zwei kongruenten Strecken sind die Schenkel von <math>\overline{ABC}</math>. 
Die Winkel, die genau einen dieser Schenkel als Teilmenge entahlten, heißen Basiswinkel. 
* Diesen Satz sollte man noch etwas präzisieren. Kleiner Tipp: Welche Winkel "gibt" es, wenn man ein Dreieck betrachtet? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:38, 4. Jan. 2012 (CET)
Die Basis ist die Seite von <math>\overline{ABC}</math>, die als Teilmenge in beiden Basiswinkeln enthalten ist. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 12:17, 3. Jan. 2012 (CET) 
 
- Es sei <math>\angle ABC</math> ein Winkel. Wenn A und C zu B jeweils ein und denselben Abstand haben, so ist das Dreieck <math>\overline{ABC}</math> ein gleichschenkliges Dreieck. Die Stecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{BC}</math> nennt man Schenkel von <math>\overline{ABC}</math>. Die Strecke <math>\overline{AC}</math> nennt man Basis von <math>\overline{ABC}</math>. Die Winkel bei A und C heißen Basiswinkel des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> und sind <s>stumpfe</s> spitze --[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 12:03, 6. Jan. 2012 (CET)Winkel.--[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 14:41, 5. Jan. 2012 (CET)
* "Die Winkel bei A und C heißen Basiswinkel des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> und sind stumpfe Winkel." Was würde denn passieren, wenn in einem Dreieck zwei Wimkel stumpf sind?--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:55, 6. Jan. 2012 (CET) Dann gibt es kein Dreieck, da die Winkelsumme über 180 wäre.--[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 12:03, 6. Jan. 2012 (CET)
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 11.7 (WS 11/12)

2012-01-06T11:00:27Z

Miriam:

Beweisen Sie die Gültigkeit der Umkehrung des Basiswinkelsatzes

Vorr.:<math>\overline{ABC} ; \alpha \tilde {=} \beta</math> 

Beh.:<math>\overline{AC} \tilde {=} \overline{BC}</math> 

Beweis:

{| class="wikitable sortable"
!Schritt!!Begründung
|-
| (1)<math>\exists M:M\in \overline{AB} \wedge \left| AM \right| =\left| MB \right|</math> || Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes
|-
| (2) <math>\exists m:M\in m \wedge \ m \perp \overline{AB}</math> || Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten, (1)
|-
| (3) zu Zeigen: <math>C\in m</math> || Dann gilt die Behauptung, Satz. Jeder Punkt vom m hat den selben Abstand zu A und B
|-
| (4) Ann.: <math>C\not\in m</math> d.h. o.B.d.A. <math>\left| AC \right| > \left| BC \right|</math> ||
|-
| (5) <math>\exists D: D\in \ BC^{+} \wedge \left| DB \right| = \left| AC \right|</math> || Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom, (4)
|-
| (6) C im inneren von <math>\angle ADC</math> '''C im inneren von <math>\angle DAB</math>'''--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 14:12, 5. Jan. 2012 (CET) || Winkeladditonsaxiom (5)
|-
| (7) <math>\exists \angle DAC : |\angle DAC| \neq 0</math> || (4),(5),(6)
|-
| (8) <math>|\angle DAC| + |\angle CAB| = |\angle DAB|</math> || (5),(6),(7) Winkeladditonsaxiom
|-
| (9) <math>\angle ADB \tilde {=} \angle ABC</math> || Basiswinkelsatz (5)
|-
| (10)<math>\angle ABC \tilde \neq \angle BAC </math> Wiederspruch zur Vorr., Annahme verwerfen, Behaupt stimmt || (9),(8),(7),(5)
|}--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 13:04, 3. Jan. 2012 (CET) 
Also ich habe mir den Beweis jetzt mehrmals durchgeschaut, aber irgendwie passt da etwas nicht... die Begründung von Schritt 9 durch den Basiswinkelsatz und Schritt 5 kann ich nicht nachvollziehen, denn woher weiß man, dass <math>\overline {AB} \tilde {=} \overline {AD}</math> gilt?--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 12:35, 4. Jan. 2012 (CET)Danke--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 14:12, 5. Jan. 2012 (CET) 
Ich schreibe doch gar nicht, dass die Strecken <math>\overline {AB} \tilde {=} \overline {AD}</math> kongruent sind. Ich betrachte die Mittelsenktrechte der Strecke <math>\overline {AB}</math> und sage, dass die eine Seite o.B.d.A. länger ist als die andere Seite, dann trage ich die längere Seite auf dem Strahl der kürzeren an und habe somit ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem die Basiswinkel kongruent sind, stelle dann fest, dass der eine Basiswikel aber größer ist als der andere von meinem ursprünglichen Dreieck, somit komme ich zu dem Wiederspruch und sage die Stecken müssen also gleich lang sein bzw. C Element der Mittelsenkrechten von der Stecke AB. Ich hoffe mit ist es jetzt gelungen meine Beweisidee zu veranschaulichen. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 22:54, 4. Jan. 2012 (CET)
<ggb_applet width="784" height="484" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />

_______________________________________ 

Bis Schritt 8 ist mir alles klar, aber dann denke ich muss es so weiter gehn: 

Vorr.:<math>\overline{ABC} ; \alpha \tilde {=} \beta</math> 

Beh.:<math>\overline{AC} \tilde {=} \overline{BC}</math> 

Beweis:

{| class="wikitable sortable"
!Schritt!!Begründung
|-
| (1)<math>\exists M:M\in \overline{AB} \wedge \left| AM \right| =\left| MB \right|</math> || Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes
|-
| (2) <math>\exists m:M\in m \wedge \ m \perp \overline{AB}</math> || Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten, (1)
|-
| (3) zu Zeigen: <math>C\in m</math> || Dann gilt die Behauptung, Satz. Jeder Punkt vom m hat den selben Abstand zu A und B
|-
| (4) Ann.: <math>C\not\in m</math> d.h. o.B.d.A. <math>\left| AC \right| > \left| BC \right|</math> ||
|-
| (5) <math>\exists D: D\in \ BC^{+} \wedge \left| DB \right| = \left| AC \right|</math> || Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom, (4)
|-
| (6) C im inneren von <math>\angle ADC</math> '''C im inneren von <math>\angle DAB</math>'''--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 14:12, 5. Jan. 2012 (CET) || Winkeladditonsaxiom (5)
|-
| (7) <math>\exists \angle DAC : |\angle DAC| \neq 0</math> || (4),(5),(6)
|-
| (8) <math>|\angle DAC| + |\angle CAB| = |\angle DAB|</math> || (5),(6),(7) Winkeladditonsaxiom
|-
| (9) <math>\overline{AB} =\overline{AB}</math> || trivial
|-
| (10) <math>\overline{AC} =\overline{BD}</math> || (5)
|-
| (11) <math>\alpha \tilde {=} \beta</math> || Vorr
|-
| (12) <math>\overline{ABC} \tilde {=}\overline{ABD}</math> || (9),(10),(11), SWS
|-
| (13) <math>C = D \lightning</math> zur Ann. || (12)
|}----[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 12:00, 6. Jan. 2012 (CET)
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Auftrag der Woche 10 (WS 11/12)

2012-01-06T09:13:15Z

Miriam:

Entwerfen Sie eigene Klausuraufgaben für Ihre Kommilitoninnen und Kommilitonen und stellen Sie diese hier ein. Schreiben Sie bitte keine Übungs- oder Tutorienaufgaben ab, sondern erfinden Sie wirklich neue eigene Aufgaben. Ordnen Sie Ihre Aufgaben in Schwierigkeitsgrade ein. 
* '''Leichte Aufgaben:''' 
'''Definiere Wechselwinkel''' 
Es seien a, b zwei nicht identische Geraden, wenn a und b von einer weiteren Geraden c (die nicht identisch zu a und b) geschnitten werden, dann sind Wechselwinkel die Winkel, welche bezüglich c in verschiedenen Halbebenen liegen und bezüglich a in der gleichen Halbebene liegen und bezüglich b in der gleichen Halbebene liegen. Meint ihr, diese Definition ist korrekt?--[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 10:13, 6. Jan. 2012 (CET) 
...

* '''Mittelschwere Aufgaben:'''
1. Definiere ein Quadrat, beziehe dich dabei auf Strecken! 
1.b. Definiere das Innere des Quadrates! --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:20, 21. Dez. 2011 (CET)
...

Aus einer alten Probeklausur, wir haben leider die Lösung nicht und sin uneinig, bitte fleißig mit abstimmen!
gRh sei definiert als: Die Geraden g und h haben genau einen Punkt gemeinsam. Welche Aussagen treffen zu?
1. R ist keine Relation in der Menge aller Geraden.
2. R ist eine reflexive Relation in der Menge aller Geraden.
3. R ist eine symmetrische Relation in der Menge aller Geraden.
4. R ist eine transitive Relation in der Menge aller Geraden.

--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 10:13, 28. Dez. 2011 (CET)
* '''Schwere Aufgaben:'''

Beweisen Sie den folgenden Satz: Wenn Alpha ein rechter Peripheriewinkel über der Sehne<math>\overline{AB}</math>
eines Kreises k ist, dann ist <math>\overline{AB}</math> ein Durchmesser des Kreises k.--[[Benutzer:Schambes|Schambes]] 19:56, 28. Dez. 2011 (CET)

 
[[Bild:eee.png]]
Dies ist eine Aufgabe aus der letzten ATP.
Wir waren gersten in der Lerngruppe sehr gefrustet, da wir mit der Lösung nichts anfangen konnten, wir haben lange mit dem Aplet von Tutorim 3 experimentiert,
und sind der Meinung, es müsste heißen: <math>k_{1} \theta k_{2}: \Leftrightarrow \left| r_{1} -r_{2} \right| < \left| M_{1} M_{2} \right|< \left| r_{1} +r_{2} \right|</math>
Zu meiner Begründung, der erste Teil, wenn die Kreise nicht ineinander liegen, und die Summe der zwei Radien kleiner ist als der Abstand der beiden Mittelpunkte,
so haben die Kreise keinen Schnittpunkt und sehen somit nicht in Relation. Das Gleich zeichen würde ich auch weg lassen, da es heißt gemeinsame Punkte
und nicht einen gemeinsamen Punkt somit also mindestens zwei. Den hintern Teil mit der Differenz der Radien kann ich nachvollziehen,
wenn die Kreise ineinander liegen. Würde aber das gleich weg lasen.
Wie seht Ihr das?--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 14:10, 3. Jan. 2012 (CET)
Ja genau ist in der Lösung unserer Meinung nach eindeutig Falsch!!! Möchten nicht wissen wie viele arme Komilitonen dewegen unberechtigt durchgefallen sind.--[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 15:48, 5. Jan. 2012 (CET)

... 
Beweise! Genau dann wenn sich die Diagonalen in einem Viereck halbieren und senkrecht aufeinander stehen, sind alle vier Seiten gleich lang <s>und die vier Innenwinkel rechtwinklig.</s>Korregiere hier, die Winkel müssen nicht rechtwinklig sein.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 14:29, 3. Jan. 2012 (CET)--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 22:29, 23. Dez. 2011 (CET)

* '''Weihnachtliche Spezialaufgabe:''' Ich mache mal den Anfang:) --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 23:14, 14. Dez. 2011 (CET) :
''Wie fängt man den Weihnachtsmann?'' 
Lösungsvorschläge: 
1. Die geometrische Methode: 
Man stelle einen zylindrischen Käfig im Wald auf eine schneebedeckte Lichtung: 
'''Fall 1:''' Der Weihnachtsmann ist innerhalb des Käfigs. Dieser Fall ist trivial. 
'''Fall 2:''' Der Weihnachtsmann ist außerhalb des Käfigs. Dann stelle man sich in den Käfig und führe eine Inversion* an den Käfigwänden durch. So gelangt der Weihnachtsmann in den Käfig und man selbst nach draußen. Man achte darauf, dass man sich nicht in die Mitte des Käfigs stellt, da man sonst im Unendlichen verschwindet. 
2. Die Projektionsmethode:
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass die Erde eine Ebene ist. Wir projizieren nun diese Ebene auf eine Gerade, die durch den Käfig läuft, und diese Gerade auf einen Punkt im Käfig. Damit gelangt der Weihnachtsmann in den Käfig. 
(Quelle und weitere Methoden unter: www.unterhaltungsspiele.com) 
Inversion*: ist eine Spiegelung am Kreis, nicht ganz vergleichbar mit einer Geradenspiegelung, weiters unter: http://de.wikipedia.org/wiki/Inversion_%28Geometrie%29
 Alsoo diese Spezialaufgabe halte ich erst für lösbar, wenn mann mindestens 3 Glühwein .... vorher lohnt sich der Gedanke kaum...--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:17, 21. Dez. 2011 (CET)

Lösung von Aufg. 9.5 (WS 11/12)

2011-12-10T12:12:27Z

Miriam:

a) Definieren Sie den Begriff: "Konkave Punktmenge" ohne den Begriff "konvex" zu gebrauchen. 

b) Begründen Sie, dass der Schnitt einer offenen Halbebene ''E'' mit einer Halbgeraden, die zwei Punkte mit ''E'' gemeinsam hat, auf jeden Fall eine konvexe Punktmenge ist. 

c) Zeigen Sie an einem Beispiel, dass die Vereinigungsmenge des Inneren zweier Drachenvierecke, die keine Rauten sind, konkav sein kann. 

a. Eine Konkave Punktmenge ist eine Menge von Punkten für die gilt, dass beim Verbinden aller Punkte mit allen Punkten, sich auf irgendeiner dieser durch das Verbinden erhaltenen Strecken, sich wenigstens ein Punkt findet, welcher nicht zu der Punktmenge gehört.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 18:21, 6. Dez. 2011 (CET) 
Ich versuche es mal formal: Eine Menge M von Punkten heißt konkav wenn: <math>\forall P, Q \in M: \exists S\in \overline{PQ} \ \Rightarrow S\not\in M</math> --[[Benutzer:Todah raba|Todah raba]] 17:37, 7. Dez. 2011 (CET) 
Gute Idee, aber ich denke an einer Stelle ist ein kleiner Fehler, ich denke es muss heißen:<math>\forall P, Q \in M: \exists S\in \overline{PQ} \ \wedge S\not\in M</math>--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:55, 8. Dez. 2011 (CET)
 
b. Wenn von einer Halbgeraden nur zwei Punke in der offnen Halbebenen liegen, dann bedeutet dies, dass der Ursprungspunkt und ein weiterer Punkt nähmlich der neben dem Ursprungspunkt in dieser offenen Halbebenen liegen. Der nächste also der dritte Punkt der Halbgeraden liegt dann bereits auf Geraden welche die Halbebene erzeugt. Schneide ich jetzt die offene Halbebene mit diesem Strahl erhalte die Punktmenge von zwei Punkten die nebeneinander liegen. Zwei Punkte die nebeneinander liegen haben keinen Punkt zwischen sich und sind somit immer konvex. Wären mehr Punkte in der Schnittmenge, wäre die Vorraussetzung verletzt, zwei Punkte die nicht nebeneinander liegen kommen auf Grund der Def. von der Halbgeraden nicht in Frage. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 22:01, 8. Dez. 2011 (CET)

c.
<ggb_applet width="784" height="484" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAPqxiD8AAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIAPqxiD8AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3Vrdb9u2Fn/u/gpCD/eplvklSup1OjTJihVotwHphuG+DLTE2FxkSVeSnaToH79DUpIlJ2nz2bkJ4lAkD3l4fjyfcmY/XqwytFFVrYv8wCM+9pDKkyLV+eLAWzenk8j78fUPs4UqFmpeSXRaVCvZHHjcUOr0wJsLJsTpKZ0QleAJTzCfSI7xhCVcYJqk4TyUHkIXtX6VF7/IlapLmaiTZKlW8n2RyMYyXjZN+Wo6PT8/9ztWflEtpovF3L+oUw/BMfP6wGsfXsF2o0XnzJJTjMn0zw/v3fYTndeNzBPlISPCWr/+4cXsXOdpcY7OddosD7wIgxhLpRdLkEmYztQQlQBIqZJGb1QNSwddK3OzKj1LJnMz/8I9oawXx0Op3uhUVQce9mngoaLSKm/aWdJymXbrZxutzt1G5sny4B5qiiKbS7MH+vwZUUwxemka4hoKjRBuCrsxzFxDXcNdEzga7pZzR8odDXc0nHloo2s9z9SBdyqzGjDT+WkF99X36+YyU/Y87cBWXvISZKr1JyBmBkQHMoxj/NJ8ANmXvEN3ICQZcG2q9R2ZdizDiN+eJX2QoKzjSa8TkwY3iCm+wNTJfRs5STDgCazsr/1c4ci+JOYuR9d/GEPBv4mIs2lnKrPWOlC9NLSt9jRqVVt7Qdz8IeYTmz9gA4iaBzPMzDx8zCABC0LC9EIzFdgloSEyE8ySU9Ry13m5blqOrRDJKu24N0XZDwM52PfWbzh7H7mVF7NMzlUGnvbEIIPQRmZGPy2n0yJvUK9rbmxRyXKpk/pENQ2sqtHfciPfy0ZdvAXquuNtaZMir3+riuaoyNarvEYoKTLcHRSeyeCZboUpMjaY4MOJYDAhBs/htXwLmEHrWgH/oqo7cpmm7wzF1tQAyl/z7PKwUvKsLPRYjNnUOu2ZWieZTrXM/4DLN1wMLqjz4db8Ox/OA9EdpKjSk8saNAJd/E9VBeBIAhO1Ll2PEe7Hg5/I2HYijf7yeDQTx7DohqmoZac2/a3IC7UVcFEZ6xh03tWHRbYdsjIfybJZVzbkwiEqI8mbfJEpqxfWZUE8S87mxcWJsxLm9vp4WUKv1Y75wmKNwL5oACFn0bZz11oac7SeClsabCl6DdNpP09iailsO3etpQKVdUdrRSWdmAR3bHRtvQL2xsZiFd6Ex3Wum/ddp9HJWSsqcQt+Wa/mqleb8Z7ksfacTXf0anamqlxlrRrDZa6Lde2scqDhqUr0CrpuopPYXNfvcAA3mqpFpbqDZzadcYAN1zgNvTJst3pbFat3+eYj6MLOAWbT7pSzOql0aXQOzcGVnqmtVqW6luCJ0+E6Y3cgemI8LsDTGGjAItfNsqhsxgKOBFpjbplaQbaCGqteVkN7mN/YxMfgiYr53+DL+vDh5gdAwfy1uma1UmblUprsqJU6k5eqGuFgN/xQpLvoAPhWBLDs0mxgrrdUymmGOzI8lLChNaiRbwLAa3Rh8lwSgU3b5aDcn1zm61I/I64xM8eWD0d37goUyCH1FcwOnwVmE1jGLWjEF08P2tGzAI341ELG/ZA/OWTHzwIy6vNezR4FsqRYrWSeotzmor8V2eWiyL1tOiexcWtIEmOpSFKje0gyg6fDat10ZBAnMgjExFFLRz131Ak0kDCljn3L9Jobc+y7O+l3HAfWBvK8MygOa5sRNG2ctw8/6zRVNmee3uu6ScDshQekjfzb+yZ3ue+btbJWC9PrDyLvp5dfOOgdFXPgxIgfWOWCB0bGmVyrbDGN+G6ec/vrUP/P3ZLaJR96VWY60U2vSplR/Xd5A6mIsrH4aoZxplRpUrtf84+VzGvzysXRDDKXW0I/3yPomY211rAZ282vAfoJ9QUOxbPBPtkf7Nk2dFMXhyaxL/pa6RmAne4P2MTnUedjqAthxu3EwZXyaY/RHgfND7qqiur6mJleiZJv/iPLov7v1wLhqKxol/y7CcyoQAhHHirsywU8+omfIEW5Fu3jm9A+vjvax3uGNqR844AQdAngGOzgW4HdqnZyk2r/Re6h3H+RvQGc+ywklHMiAspYIEQXlyNMmQh4zGgYYx5+K7wPb8L78O7Kfbhnyg1YE0ziMIgpiwlpAzGDGwg5plGIowgH4ptBfXQT1Ed3h/poz6CGeDt2GOJxi+/bu+mr8B7fx3Mc753nMNX5COJ/oVbvQXE1e6uErnLvO2wH8mvr+J7aVPODbU1VP9wp6Tumwr/tTV5f6Q9s5rnW+w/T2sc68E7dDzkcEYJREgRUCFeJTsASBMFcBCFU/ZQHJHI5RuRHhDOBGSeECU6i7yh1/8obgYf47Ce6GiZoALdDITzGnDHnUsz7gt3AaTyMsJEzYIRD8Ay/p5rqK68L9u1ihi8Nxul59DxfIeyf28I+BQMQjAdYhBTHAesqo5jt5O+frMUIKihhPOIY3Bb5jl9kjvOgn/bsm437fRXEujILP/lXQW+fAWDc75PL6AmSy5PW/MfJ5U8uGXx7JWVUX872dp2JevgFPM5bd+y7l5HUF1feaHVvJkdfhHxPDn06/KcG+/9C7T+Pvv4HUEsHCJerxId3BwAA2SoAAFBLAQIUABQACAAIAPqxiD/WN725GQAAABcAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAIAAgA+rGIP5erxId3BwAA2SoAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXQAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAAAOCAAAAAA=" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 22:16, 8. Dez. 2011 (CET)

* b) hätte ich anders begründet.Der Ursprungspunkt der Geraden muss ja nicht unbedingt in der Halbebene liegen. Wir haben ja das Inzidenzaxiom I/5, welches besagt, dass wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, g zu E gehört.
Wir haben es hier allerdings mit einer Halbgeraden und einer offenen Halbebene zu tun, anschaulich ist das aber ganz ähnlich. Zwischen zwei beliebigen Punkten, die in der Schnittmenge enthalten sind, gibt es demnach keine Punkte, die außerhalb der Ebene liegen. Der Ursprungspunkt könnte jedoch trotzdem außerhalb der Halbebene liegen.--[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 13:12, 10. Dez. 2011 (CET)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 9.4 (WS 11/12)

2011-12-10T12:01:05Z

Miriam:

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' in einer Ebene ''E''. Ferner sei eine Gerade ''g'' Teilmenge der Ebene ''E'', wobei keiner der Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' auf ''g'' liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang: 
<math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace </math> 
 
Vor.: <math>\operatorname{koll}(A, B, C) \wedge A\neq B\neq C\neq D \wedge A,B,C\in E</math> 
Beh.: <math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace </math> 
Beweis: 

{| class="wikitable sortable"
!Schritt!!Begründung
|-
| (1)<math>\operatorname{koll}(A, B, C)</math> || Vorr
|-
| (2)<math>\operatorname(Zw) (A, B, C) entweder oder \operatorname(Zw) (B, C, A) entweder oder \operatorname(Zw) (C, A, B)</math> || Dreiecksungleichung, Abstand kann nicht negativ sein
|-
| (3)Fall 1: <math>\operatorname(Zw) (A, B, C)</math> <math>\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow \ g \cap \overline{AB}=\phi</math> <math>\overline{AB} c\overline{AC}</math> <math>\ g \cap \overline{AC} =\left\{ {S} \right\}</math> Behaupt stimmt || verschiedene Geraden haben höchstens einen Punkt gemeinsam, zw Relation, Teilmengenbezieung
|-
| Fall 2: <math>\operatorname(Zw) (B, C, A)</math> <math>\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow \ entweder: g \cap \overline{BC}=\left\{ {S} \right\} oder g \cap \overline{BC}=\left\{ {S} \right\}</math> Wiederspruch zur Behauptung
|-
| Fall 3: <math>\operatorname(Zw) (A, B, C)</math> <math>\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow entweder: g \cap \overline{BC}=\left\{ {S} \right\} \wedge g \cap \overline{AC}=\phi</math> oder: g \cap \overline{AC}=\left\{ {S} \right\} \wedge g \cap \overline{BC}=\phi</math>
|-

| (4)<math>\exists P : P \operatorname{nkoll}(A, B, C)</math> || A I/3
|-
| (5) <math>\overline{ABP}</math> || AI/1
|-
| (6) <math>\overline{BCP}</math> || AI/1
|-
| (7) <math>\overline{ACP}</math> || AI/1
|-
| (8) Fall 1: <math>P\in g</math>betrachte ich nachher <math>P\notin g</math> ||
|-
| (9) <math>\ g \cap \overline{AB}= \left\{ {S} \right\} \Rightarrow entweder: \ g \cap \overline{AP}= \left\{ {H}\right\} oder:\ g \cap \overline{BP}= \left\{ {H} \right\}</math> || Axiom von Pasch ,(5)
|-
| (10) <math>\ g \cap \overline{BC} =\phi \Rightarrow entweder:g \cap \overline{BP} =\phi \wedge g \cap \overline{CP} =\phi oder: <math>\ g \cap \overline{BP}= \left\{ {S} \right\} \wedge <math>\ g \cap \overline{CP}= \left\{ {H} \right\}</math> || Axiom von Pasch ,(6)
|-
| (11) <math>\ g \cap \overline{AC}= \left\{ {S} \right\} \Rightarrow entwerder: \ g \cap \overline{CP}= \left\{ {H} \right\} oder: \ g \cap \overline{AP}= \left\{ {H} \right\}</math> || Axiom von Pasch ,(7)
|-
| (12) <math>\left| AB \right| +\left| BC \right| =\left| AC \right|</math> || (3)
|-
| (13) <math>\overline{AB} c\overline{AC}</math> || (12)
|-
| (14) <math>\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow \ g \cap \overline{AC} =\left\{ {S} \right\}</math> || (9),10),(11),(13)
|-
| Fall 2 von (7) analog nur mit <math>\overline{AP} \in g</math>
|}Ich denke es sind noch einige Fehler drin, traue mich dennoch mal :-)--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 23:15, 8. Dez. 2011 (CET)

* Die Argumentation für die einzelnen Fälle ist mir noch nicht ganz klar. Ich habe da etwas anders argumentiert, jedoch auch in diese drei Fälle unterschieden.Da es mir leider völlig rätselhaft ist, wie ich diese Tabelle hier erstellen soll, da mir dieses Programm überhaupt nicht liegt, versuche ich das einfach mal schriftlich zu erklären.
Ich habe die einzelnen Fälle zum Widerspruch geführt, indem ich bei den einzelnen Annahmen ( Beispielsweise: zw(A,B,C) ) anhand der Dreiecksungleichung geschlossen habe, dass dementsprechend AB + BC = AC gelten müsse. Zuvor haben wir gesagt, es existiert ein Punkt P mit P element AB und P element g (Definition Schnitt). Da P element AB ist muss es nun auch element AC sein (wegen der Dreiecksungleichung).
Ich hoffe, ich konnte diese Idee soweit nachvollziehbar rüberbringen :) Ganz ähnlich habe ich dann in den anderen Fällen argumentiert. Da nach dem speichern mal wieder Alles ganz falsch da stand, musste ich leider die Betragsstriche etc weglassen. An dieser Stelle sei erwähnt, dass sich sicherlich viel mehr Leute an den Lösungsdarstellungen beteiligen würden, wenn dies nicht so kompliziert wäre und so lange dauern würde. --[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 13:01, 10. Dez. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 9.4 (WS 11/12)

2011-12-10T12:00:04Z

Miriam:

Lösung von Aufg. 9.4 (WS 11/12)

2011-12-10T11:53:14Z

Miriam:

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' in einer Ebene ''E''. Ferner sei eine Gerade ''g'' Teilmenge der Ebene ''E'', wobei keiner der Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' auf ''g'' liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang: 
<math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace </math> 
 
Vor.: <math>\operatorname{koll}(A, B, C) \wedge A\neq B\neq C\neq D \wedge A,B,C\in E</math> 
Beh.: <math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace </math> 
Beweis: 

{| class="wikitable sortable"
!Schritt!!Begründung
|-
| (1)<math>\operatorname{koll}(A, B, C)</math> || Vorr
|-
| (2)<math>\operatorname(Zw) (A, B, C) entweder oder \operatorname(Zw) (B, C, A) entweder oder \operatorname(Zw) (C, A, B)</math> || Dreiecksungleichung, Abstand kann nicht negativ sein
|-
| (3)Fall 1: <math>\operatorname(Zw) (A, B, C)</math> <math>\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow \ g \cap \overline{AB}=\phi</math> <math>\overline{AB} c\overline{AC}</math> <math>\ g \cap \overline{AC} =\left\{ {S} \right\}</math> Behaupt stimmt || verschiedene Geraden haben höchstens einen Punkt gemeinsam, zw Relation, Teilmengenbezieung
|-
| Fall 2: <math>\operatorname(Zw) (B, C, A)</math> <math>\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow \ entweder: g \cap \overline{BC}=\left\{ {S} \right\} oder g \cap \overline{BC}=\left\{ {S} \right\}</math> Wiederspruch zur Behauptung
|-
| Fall 3: <math>\operatorname(Zw) (A, B, C)</math> <math>\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow entweder: g \cap \overline{BC}=\left\{ {S} \right\} \wedge g \cap \overline{AC}=\phi</math> oder: g \cap \overline{AC}=\left\{ {S} \right\} \wedge g \cap \overline{BC}=\phi</math>
|-

| (4)<math>\exists P : P \operatorname{nkoll}(A, B, C)</math> || A I/3
|-
| (5) <math>\overline{ABP}</math> || AI/1
|-
| (6) <math>\overline{BCP}</math> || AI/1
|-
| (7) <math>\overline{ACP}</math> || AI/1
|-
| (8) Fall 1: <math>P\in g</math>betrachte ich nachher <math>P\notin g</math> ||
|-
| (9) <math>\ g \cap \overline{AB}= \left\{ {S} \right\} \Rightarrow entweder: \ g \cap \overline{AP}= \left\{ {H}\right\} oder:\ g \cap \overline{BP}= \left\{ {H} \right\}</math> || Axiom von Pasch ,(5)
|-
| (10) <math>\ g \cap \overline{BC} =\phi \Rightarrow entweder:g \cap \overline{BP} =\phi \wedge g \cap \overline{CP} =\phi oder: <math>\ g \cap \overline{BP}= \left\{ {S} \right\} \wedge <math>\ g \cap \overline{CP}= \left\{ {H} \right\}</math> || Axiom von Pasch ,(6)
|-
| (11) <math>\ g \cap \overline{AC}= \left\{ {S} \right\} \Rightarrow entwerder: \ g \cap \overline{CP}= \left\{ {H} \right\} oder: \ g \cap \overline{AP}= \left\{ {H} \right\}</math> || Axiom von Pasch ,(7)
|-
| (12) <math>\left| AB \right| +\left| BC \right| =\left| AC \right|</math> || (3)
|-
| (13) <math>\overline{AB} c\overline{AC}</math> || (12)
|-
| (14) <math>\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow \ g \cap \overline{AC} =\left\{ {S} \right\}</math> || (9),10),(11),(13)
|-
| Fall 2 von (7) analog nur mit <math>\overline{AP} \in g</math>
|}Ich denke es sind noch einige Fehler drin, traue mich dennoch mal :-)--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 23:15, 8. Dez. 2011 (CET)

* Die Argumentation für die einzelnen Fälle ist mir noch nicht ganz klar. Ich habe da etwas anders argumentiert, jedoch auch in diese drei Fälle unterschieden.Da es mir leider völlig rätselhaft ist, wie ich diese Tabelle hier erstellen soll, da mir dieses Programm überhaupt nicht liegt, versuche ich das einfach mal schriftlich zu erklären.
Ich habe die einzelnen Fälle zum Widerspruch geführt, indem ich bei den einzelnen Annahmen ( Beispielsweise: zw(A,B,C) ) anhand der Dreiecksungleichung geschlossen habe, dass dementsprechend \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| gelten müsse. Zuvor haben wir gesagt, es existiert ein Punkt P mit P \in AB und P \in g (Definition Schnitt). Da P \in AB ist muss es nun auch \in AC sein (wegen der Dreiecksungleichung).
Ich hoffe, ich konnte diese Idee soweit nachvollziehbar rüberbringen :) Ganz ähnlich habe ich dann in den anderen Fällen argumentiert.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 8.1 (WS 11/12)

2011-12-05T19:15:39Z

Miriam:

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke <math>\overline{AB}</math> existiert genau eine Strecke <math>\overline{AB^{*}}</math> mit <math>\left| AB^{*} \right| = \pi \left| AB \right|</math> und <math>\overline{AB} \subset \overline{AB^{*}}</math>.

 
Vor.: Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke. 
Beh.: <math>\exists ! \overline{AB*} | \left| AB* \right|= \pi \left| AB \right| \wedge \overline{AB} c \overline{AB*}</math> 
Bew.:Existenz:

{| class="wikitable sortable"
!Schritt!!Begründung
|-
| (2) <math>\exists \ AB^{+} : A,B\in \ AB^{+}</math> || Def Strahl
|-
| (3) <math>\exists B* : \left| AB* \right| = \pi \left| AB \right| \wedge B* \in \ AB^{+}</math> || A vom Lineal, (2)
|-
| (4) <math>\left| AB* \right| > \left| AB \right|</math> || (3),da Abstand <math> \pi </math> mal so groß
|-
| (5) <math>\left| AB \right| + \left| BB* \right| = \left| AB* \right|</math> || zw. Relation, (4),(3)
|-
| (6) zw(A,B,B*) || (5)
|-
| <math>\overline{AB} c\overline{AB*}</math> || (6),(2),(3)
|}
 
Ein schöner Beweis. 
zu Schritt 5, Begründung: ''Kann ich nicht ganz nachvollziehen - steht das in der Definition Zwischenrelation?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:29, 4. Dez. 2011 (CET)''
zu Schritt 6 - Jetzt folgerst du daraus die Zwischenrelation, nutz sie vorher (5) aber schon zur Begründung -mh?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:29, 4. Dez. 2011 (CET)
* könnte man schritt 5 nicht so belassen und als begründung einfach anführen, dass die punkte kollinear sind und dementsprechend die dreiecksungleichung anführen?--[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 20:15, 5. Dez. 2011 (CET)

 
Bew.:Eindeutigkeit: 
Ann.: <math>\left(\exists \overline{AB*} | \left| AB* \right|= \pi \left| AB \right| \wedge \overline{AB} c \overline{AB*}\right) \wedge \left( \exists \overline{AC*} | \left| AC* \right|= \pi \left| AB \right| \wedge \overline{AB} c \overline{AC*}\right)\wedge B*\neq C*</math> 

{| class="wikitable sortable"
!Schritt!!Begründung
|-
| (1) <math>\exists \ AB^{+} : A,B\in \ AB^{+}</math> || Def Strahl
|-
| (2) <math>\exists B* : \left| AB* \right| = \pi \left| AB \right| \wedge B* \in \ AB^{+}</math> || A vom Lineal, (1)
|-
| (3) <math>\exists C* : \left| AC* \right| = \pi \left| AB \right| \wedge C* \in \ AB^{+}</math> || A vom Lineal, (1)
|-
| (4) <math>\left| AB* \right| = \pi \left| AB \right| \wedge \left| AC* \right| = \pi \left| AB \right|</math> || (2),(3)
|-
| (5) <math>\left| AB* \right| = \left| AC* \right|</math>|| Rechen in R, (4)
|-
| (6) <math> B*\in \ AB^{+} \wedge C*\in \ AB^{+}</math> || (2),(3)
|-
| (7)<math>B* = C* \lightning</math>zur Ann. ,diese ist zu Verwerfen|| A vom Lineal (6),(4)--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 13:32, 4. Dez. 2011 (CET)
|}

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Haus der Vierecke (15.07.2011)

2011-11-26T11:35:27Z

Miriam:

=====Definition: (Viereck)=====

* Ein n-Eck mit genau 4 Ecken ist ein Viereck. 
* Wenn für ein n-Eck n=4 gilt, dann ist dieses n-Eck ein Viereck. 
* Es seien A,B,C,D vier Punkte die alle in einer Ebene liegen und von denen je drei nicht kollinear sind. Unter dem Viereck ABCD versteht man die folgende Punktmenge <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit <math>\overline{BC}</math> vereinigt mit <math>\overline{CD}</math> vereinigt mit <math>\overline{AD}</math>.

=====Definition: (allgemeines Trapez)=====

* Ein Viereck mit zwei zueinander parallelen Seiten ist ein Trapez. 
* Ein Viereck heißt Trapez, wenn es ein Paar paralleler Seiten besitzt. 

=====Definition: (gleichschenkliges Trapez)=====

* Ein Trapez mit einem Umkreis ist ein gleichschenkliges Trapez. 
* Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck mit zwei parallelen Seiten und Kongruenten Diagonalen. 
* Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Trapez mit kongruenten Diagonalen.
* Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Trapez, dass eine Symmetrieachse besitzt, die verschieden ist von den Diagonalen des Trapezes.

=====Definition: (Parallelogramm)=====

* Ein Viereck mit zwei Paar paralleler Gegenseiten ist ein Parallelogramm. 
* Ein Parallelogramm ist ein Trapez mit einem weiteren Paar paralleler Gegenseiten. 
* Ein Trapez, bei dem sich die Diagonalen jeweils halbieren, ist ein Parallelogramm. 

=====Definition: (Rechteck)=====

* Ein Viereck mit vier rechten Innenwinkel heißt Rechteck. 
* Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel.
* Ein Rechteck ist ein Trapez mit drei rechten Innenwinkeln.

=====Definition: (Raute)=====

* Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten heißt Raute. 
* Ein Drache mit vier gleich langen Seiten heißt Raute. (Geht das auch mit weniger genannten Eigenschaften?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:08, 17. Jul. 2011 (CEST)) 
* Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten. 
* Eine Raute ist ein Viereck bei dem sich die Diagonalen gegenseitig halbieren. (Hier müsste noch als Kriterium hinzukommen, dass die Diagonalen senkrecht aufeinanderstehen oder Definition über den Drachen, s.u.) (ja eben, so ist die Definition nämlich nicht richtig!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:08, 17. Jul. 2011 (CEST)) 
* Ein Drache, dessen Diagonalen sich (gegenseitig) halbieren, heißt Raute.
* Wenn bei einem Drachen beide Diagonalen Symmetrieachsen sind, ist es eine Raute.

=====Definition: (Drache)=====

* Ein Viereck bei dem eine Diagonale Symmetrieachse ist, heißt Drache.

=====Definition: (Quadrat)=====

* Ein Quadrat ist ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten. 
* Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und einem rechten Innenwinkel heißt Quadrat. 
* Ein Quadrat ist eine Raute mit einem rechten Innenwinkel.--[[Benutzer:Kinder Riegel|Kinder Riegel]] 00:05, 16. Jul. 2011 (CEST)

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" 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Lösung von Aufg. 6.6 (WS 11/12)

2011-11-26T10:50:23Z

Miriam:

'''Satz:'''
:Wenn vier Punkte nicht komplanar sind, sind je drei von ihnen nicht kollinear.

# Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne die Bezeichnungen ''komplanar'' und ''kollinear'' zu verwenden.
# Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne ''wenn-dann'' zu gebrauchen.
# Beweisen Sie den Satz. Hier ein Anfang für den Beweis:
'''Beweis'''
::Es seien <math>\ A, B, C</math> und <math>\ D</math> vier Punkte, die nicht komplanar sind.
'''zu zeigen'''
:: ...
'''Annahme:'''
::Es gibt drei Punkte von den vier Punkten <math>\ A, B, C, D</math>, die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte ...

 
zu 1. Wenn vier Punkte nicht in einer Ebene liegen, dann liegen je drei von ihnen nicht auf einer Geraden. 
zu 2. Liegen vier Punkte nicht in einer Ebene gilt für drei davon, dass sie nicht auf einer Geraden liegen. 
zu 3.
'''Beweis'''
Voraussetzung::Es seien <math>\ A, B, C</math> und <math>\ D</math> vier Punkte, die nicht komplanar sind.
'''zu zeigen'''
:: o.B.d.A. : A, B, C nicht kollinear
'''Annahme:'''
::Es gibt drei Punkte von den vier Punkten <math>\ A, B, C, D</math>, die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte A,B,C sein.

{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| (1)koll(A,B,C) || Annahme
|-
| (2)Es existiert eine Gerdade g mit A,B,C Element g || (1) Defninition koll
|-
| (3) Zwei Punkte der Geraden und der Punkt D liegen in einer Ebene || Axiom I/4
|-
| (4) Die drei Punkte der Geraden gehören ebenfalls zu dieser Ebene || Axiom I/5
|-
| (5) komp(A,B,C,D) || (2)(3)(4)
|-
| Wiederspruch zur Voraussetzung, die Annahme ist zu verwerfen.
|}
--[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 13:35, 17. Nov. 2011 (CET)

* Wenn man in seinem Beweis eine Fallunterscheidung durchführen muss, kann man dann die Fälle bereits in der Annahme nennen? (beispielsweise:Annahme: Drei Punkte aus A,B,C und D sind kollinear. Fall 1: koll(A,B,C,D), Fall 2: o.B.d.A. koll (A,B,C)) --[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 11:50, 26. Nov. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 6.6 (WS 11/12)

2011-11-26T10:49:47Z

Miriam:

Lösung von Aufg. 6.7 (WS 11/12)

2011-11-22T12:00:15Z

Miriam:

Es seien <math>\ P_1, P_2, P_3, ..., P_n \ n</math> verschiedene Punkte der Ebene, von denen je drei stets nicht kollinear sind. Wie viele verschiedene Geraden gibt es, die jeweils durch zwei dieser <math>n</math> Punkte gehen?
Hinweis: Es gibt eine Problemlösestrategie: ''Führe einen komplizierten Fall auf einen einfacheren Fall zurück''. Carl Friedrich Gauß hilft auch bei der Lösung dieser Aufgabe.

Im Praktikum haben wir eine analoge Aufgabe einmal mit Schülern einer 7. Hauptschulklasse gelöst.
Formulieren Sie obige Aufgabe für Schüler dieser Schulstufe.

{| class="wikitable sortable"
!Punkte !!mögl. Geraden
|-
| 3 || 3(1+2)
|-
| 4 || 6(3+3)
|-
| 5 || 10(6+4)
|-
| 6 || 15(10+5)
|-
| 7 || 21(15+6)
|-
| 8 || 28(21+7)
|-
| ...|| ...
|}

Kommt also ein weiter Punkt hinzu, erhalte ich die aktuelle Menge der Geraden durch die Menge der bisher vorhanden Geraden plus die Zahl der bisher vorhanden Punkte.
 
(n-1)!--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:36, 21. Nov. 2011 (CET)
* aber mit (n-1)! klappt das ab 5 nicht mehr. BeaBer und ich haben uns überlegt, dass es mit der Formel: <math>\frac{n*(n-1)}{2}</math> klappen könnte, mit Anlehnung an Gauß :)--[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 13:00, 22. Nov. 2011 (CET)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 6.5 (WS 11/12)

2011-11-19T12:02:12Z

Miriam:

Axiom I/1 sagte aus, dass es zu je zwei verschiedenen Punkten genau eine Gerade gibt, zu der die beiden Punkte gehören. Für die räumliche Geometrie gibt es ein analoges Axiom. Wir wollen es mit Axiom I/4 bezeichnen. Formulieren Sie dieses Axiom I/4.

* Zu je drei paarweise verschiedenen Punkten gibt es genau eine Ebene zu der die drei Punke gehören. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 23:13, 16. Nov. 2011 (CET)
* Die drei Punkte dürfen aber zudem nicht kollinear sein, da 2 Geraden eine Ebene aufspannen. Lägen die drei Punkte auf einer Geraden, könnten wir demnach keine Ebene
aufspannen. Vielleicht könnte man deshalb auch als analoges Axiom formulieren: Zu je zwei verschiedenen Geraden gibt es genau eine Ebene, zu der diese beiden Geraden
gehören. --[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 13:01, 19. Nov. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 6.5 (WS 11/12)

2011-11-19T12:01:51Z

Miriam:

Lösung von Aufg. 6.3 (WS 11/12)

2011-11-19T11:11:04Z

Miriam:

Die Eigenschaft der Komplanarität ist das räumliche Analogon zur Kollinearität in der Ebene. Formulieren Sie eine Definition der Relation „komplanar“.

* Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 23:08, 16. Nov. 2011 (CET)
* Wäre dies auch eine Definition? : Punkte, die paarweise in ein und derselben Ebene liegen, bezeichnet man als komplanar.--[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 12:11, 19. Nov. 2011 (CET)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 6.3 (WS 11/12)

2011-11-19T11:06:59Z

Miriam:

Lösung von Aufgabe 5.2 (WS 11/12)

2011-11-19T10:32:13Z

Miriam:

Untersuchen Sie folgende Relation ''S'' auf ihre Eigenschaften: 
<math>\ g S h \Leftrightarrow \ g \cap h \neq \lbrace \rbrace </math> 

* reflexiv und symmetrisch --[[Benutzer:LouStick|LouStick]] 18:33, 9. Nov. 2011 (CET)

* Die Relation lautet: g schneidet h. -> g kann sich nicht selbst schneiden. Ich würde sagen nur symmetrisch--Kulturschock 18:21, 14. Nov. 2011 (CET)
**schneidet, ok - so könnte man sie nennen. Können sich zwei Geraden auch in zwei Punkten schneiden?

Ist die Relation nun reflexiv? Und warum nicht transitiv?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:41, 16. Nov. 2011 (CET)

Ich denke ist nicht reflexiv, da wenn gRg steht, ist g geschnitten g die leere Menge und somit nicht in Relation. 
Symetrisch auf jeden Fall, da g geschnitten h die gleiche Menge ist h geschnitten g. 
Transistiv denke ich nicht, denn wenn g mit h einen Schnittpunkt gemeinsam hat und g mit i einen Schnittpunkt gemeinsam haben, muss nicht unbedingt h mit i einen Schnittpunkt haben.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 22:54, 16. Nov. 2011 (CET) 
*Die Relation ist auf jeden Fall reflexiv, da eine Gerade g geschnitten mit sich selbst unendlich viele Schnittpunkte besitzt (da sie mit sich selbst identisch ist) :)--[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 11:32, 19. Nov. 2011 (CET)
* Es hilft vielleicht, wenn man sich die formale Schreibweise "übersetzt" oder vielleicht liegt das Problem bei etwas anderem... Eine Gerade g ist eine Punktmenge. Welche Elemente liegen denn im Schnitt, wenn man zwei Mengen schneidet (in unserem Fall <math> g \cap g</math>) bzw. was haben die Elemente, die im Schnitt zweier Mengen liegen, gemeinsam? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:04, 17. Nov. 2011 (CET)

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Lösung von Aufgabe 5.2 (WS 11/12)

2011-11-19T10:31:46Z

Miriam:

Untersuchen Sie folgende Relation ''S'' auf ihre Eigenschaften: 
<math>\ g S h \Leftrightarrow \ g \cap h \neq \lbrace \rbrace </math> 

* reflexiv und symmetrisch --[[Benutzer:LouStick|LouStick]] 18:33, 9. Nov. 2011 (CET)

* Die Relation lautet: g schneidet h. -> g kann sich nicht selbst schneiden. Ich würde sagen nur symmetrisch--Kulturschock 18:21, 14. Nov. 2011 (CET)
**schneidet, ok - so könnte man sie nennen. Können sich zwei Geraden auch in zwei Punkten schneiden?

Ist die Relation nun reflexiv? Und warum nicht transitiv?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:41, 16. Nov. 2011 (CET)

Ich denke ist nicht reflexiv, da wenn gRg steht, ist g geschnitten g die leere Menge und somit nicht in Relation. 
Symetrisch auf jeden Fall, da g geschnitten h die gleiche Menge ist h geschnitten g. 
Transistiv denke ich nicht, denn wenn g mit h einen Schnittpunkt gemeinsam hat und g mit i einen Schnittpunkt gemeinsam haben, muss nicht unbedingt h mit i einen Schnittpunkt haben.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 22:54, 16. Nov. 2011 (CET) 
*Die Relation ist auf jeden Fall reflexiv, da eine Gerade g geschnitten mit sich selbst unendlich viele Schnittpunkte besitzt (da sie mit sich selbst identisch ist) :)
* Es hilft vielleicht, wenn man sich die formale Schreibweise "übersetzt" oder vielleicht liegt das Problem bei etwas anderem... Eine Gerade g ist eine Punktmenge. Welche Elemente liegen denn im Schnitt, wenn man zwei Mengen schneidet (in unserem Fall <math> g \cap g</math>) bzw. was haben die Elemente, die im Schnitt zweier Mengen liegen, gemeinsam? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:04, 17. Nov. 2011 (CET)

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Lösung von Aufgabe 5.3 (WS 11/12)

2011-11-10T23:05:55Z

Miriam:

In der Schule sprechen wir davon, dass wir Dreiecke 
a) hinsichtlich der Seitenlängen oder 
b) hinsichtlich der Winkelgrößen klassifizieren. 
In welchen der beiden Fälle handelt es sich um eine wirkliche Klasseneinteilung? Argumentieren Sie mit Hilfe eines Venn-Diagramms. 

Ich hatte mir überlegt, dass man die einteilung wie folgt legen könnte:
nach Seitenlängen: 1. 3 nicht kongruente Seiten, 2. 3 kongruente Seiten (gleichseitig), 3. 2 kongruente Seiten (gleichschenklig)
nach winkelgröße : 1.spitzwinklig, 2.stumpfwinklig,3. rechtwinklig

Dementsprechend hätten wir bei der einteilung nach seitenlängen keine klasseneinteilung, da die menge der gleichseitigen dreiecke teilmenge der gleichschenkligen dreiecke ist. Bei der einteilung nach winkelgrößen hätten wir dann allerdings eine klasseneinteilung, da sich die bedingungen gegenseitig ausschließen und ein dreieck nur in eine kategorie passt.
Was meint ihr dazu? --[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 00:05, 11. Nov. 2011 (CET)

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Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen WS 11/12

2011-11-10T22:03:40Z

Miriam:

== Ziel der Ausführungen bzw. der Veranstaltung ==
Es gibt grundlegende Begriffe, die man im Mathematikunterricht und auch im alltäglichen Sprachgebrauch ständig verwendet, ohne sich bis ins letzte Detail Gedanken über den Begriff selbst zu machen. Mitunter braucht man es dann doch genauer und es stellen sich Fragen, die gar nicht so einfach zu beantworten sind:

#Was ist eigentlich eine natürliche Zahl?
#Was ist ein Bruch, was ist eine Bruchzahl, was ist eine gebrochene Zahl und ist das eigentlich alles dasselbe?
#Was ist eine Richtung?
#Was ist der Richtungssinn?
#Meint 3. und 4. dasselbe?
#Was ist ein Pfeil und was sind Pfeilklassen?

Man kann eine ganze Zeit lang Mathematik betreiben, ohne obige Fragen explizit zu beantworten:

# Natürliche Zahlen kennt doch jedes Kind, es sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 usw., sie sind offenbar gottgegeben.
# Was interessiert es mich, ob es Bruch, gebrochene Zahl oder Bruchzahl heißt, wenn ich etwa <math>\frac{3}{5} + \frac{7}{12}</math> rechnen soll, dann rechne ich halt <math>\frac{36}{60} +\frac{35}{60}</math> und erhalte<math>\frac{71}{60}</math>.
:3. bis 6.
{| class="wikitable"
|-
|[[Bild:Vektorrechnung_01.svg|200px]] || Was interessiert es mich, ob es Pfeil oder Pfeilklasse heißt, wenn ich etwa <math>\vec{AB} + \vec{CD}</math> bestimmen soll, dann rechne ich halt <math>\vec{AB} + \vec{BE}</math> und erhalte <math>\vec{AE}</math>
|}

Irgendwie bleibt bei näherer Betrachtung der Dinge jedoch ein wenig Unsicherheit, die, je mehr man darüber nachdenkt, immer stärker wird:
Wir haben nicht wirklich die Brüche <math>\frac{3}{5}</math> und <math>\frac{7}{12}</math> addiert, sondern die Brüche <math>\frac{36}{60}</math> und <math>\frac{35}{60}</math>. Irgendwie ist das sicherlich dasselbe, irgendwie aber auch nicht: <math>\frac{3}{5}</math> einer Pizza sind wunderschöne Stücke (Schließlich hat m.g. 10 Jahre das Rezept für seinen Teig optimiert.). <math>\frac{36}{60}</math> derselben Pizza ist Matsch und nicht wirklich genießbar (eventuell noch für zahnlose Hunde).

Irgendwie passt es schon, dass wir anstelle von <math>\vec{CD}</math> <math>\vec{BE}</math> zu <math>\vec{AB}</math> addiert haben. Bei näherer Betrachtung ist der Pfeil <math>\vec{BE}</math> aber auch ein von <math>\vec{CD}</math> verschiedener Pfeil unserer Ebene.

Dieses ''Irgendwie'' und ''passt schon'' sollten wir präzieren. Zentraler Punkt dieser Präzisierung sind die Begriffe ''Äquivalenzrelation'' und ''Klasseneinteilung''.

== Klasseneinteilungen ==

=== Beispiele und Gegenbeispiele ===

==== Kleine Bemerkung aus didaktischer Sicht zur Erarbeitung des Begriffs Klasseneinteilung====
Die Ausbildung von Lehrern an einer Hochschule oder Universität läuft häufig Gefahr, sich selbst ad absurdum zu führen. Auf der einen Seite fordert man vom zukünftigen Lehrer, dass dieser sich im Praktikum seines didaktischen Know-How's bedienen möge, während man in den eigenen Lehrveranstaltungen den didaktischen Aspekt stark vernachlässigt.
Nun wird es rein aus Zeitgründen nicht immer möglich sein, sich in einer Hoschschullehrveranstaltung der Methoden eines Unterricht allgeinbildender Schulen zu bedienen, zumindest exemplarisch sollte es jedoch möglich sein, den stark dozierenden Stil der Hochschullehrveranstaltung zu durchbrechen.
Hier und jetzt wollen wir dieses tun:
Der Begriff der Klasseneinteilung soll induktiv erarbeitet werden. Hierzu werden wir verschiedene Beispiele und prägnante Gegenbeispiele bezüglich des Begriffes der Klasseneinteilung untersuchen um dann die Idee des Begriffs ''Klasseneinteilung'' herauszuarbeiten.

==== Ein Beispiel für eine Klasseneinteilung ====
Die übliche morgendliche Hektik an der „Maier-Vorwiesener“ Grund- und Hauptschule:
Frau Schulze-Mackenroth zog es für heute vor, ihr Burnout-Syndrom mit Tannenzäpfle und Ouzo zu pflegen, weshalb sie sich kurz vor knapp bei Rektor Pollenwein telefonisch krank gemeldet hat.
In ihrer Grundschulklasse geht es derweilen drunter und drüber. Xulio-Dävid hat seine überforderte, allein erziehende Mutter ausgetrickst und das Methylphenidat nicht genommen. Jetzt lässt er seine ADHS hemmungslos an seinen Klassenkameraden aus.

Zu Hause bei Lehrer Steiner gab es ein weiteres mal Stress wegen der jungen blonden Referendarin, die Steiner betreut. Er flüchtet deshalb und kommt eine Stunde früher. Erleichtert sieht ihn Rektor Gendarm beim Anmarsch auf die Schule. Aus dem Rektoratsfenster ruft er Steiner zu: „Du musst ganz schnell in die Klasse von Xulio-Dävid. Es brennt mal wieder!“

Damit ist eindeutig geklärt, in welche Klasse Herr Steiner gehen muss. Rein formal hätte Rektor Gendarm natürlich auch die Namen von anderen Schülern nennen können, die mit Xulio-Dävid in dieselbe Klasse gehen. An der klassischen Grund- und Hauptschule geht jeder Schüler in genau eine Klasse. Ihre Klassen sind ein Beispiel dafür, was der Mathematiker unter einer Klasseneinteilung versteht.

==== Ein Gegenbeispiel für den Begriff der Klasseneinteilung ====
10 Jahre ist Sportsfreund Holzkugel nun Vorsitzender des örtlichen Kegelvereins. Es waren bewegte 10 Jahre. Vor 5 Jahren gelang ihm das, woran schon viele Vorsitzende des Vereins scheiterten: Die Öffnung des Vereins für den Bowlingsport. Die Gegner des Bowling verwiesen immer wieder auf den Namen des Vereins: "Alle Neune Wilhelmsfeld". Schließlich konnte man sich aber doch auf eine Umbennung in "Gut Holz Wilhelmsfeld" einigen, was die Gründung der Sektion Bowling ermöglichte. Heute gehört <math>\frac {1}{3}</math> aller Mitglieder von "Gut Holz Wilhelmsfeld" sowohl der Sektion Kegeln als auch der Sektion Bowling an. Die beiden Sektionen bilden damit keine Klasseneinteilung des Vereins "Gut Holz Wilhelmsfeld".

==== Identifizieren von Klasseneinteilungen ====
<quiz>
{ Setzen Sie ein Häckchen, wenn es sich nach Ihrer Meinung um eine Klasseneinteilung der angegebenen Grundmenge handelt.}
- Einteilung der Menge aller Dreiecke in gleichseitige, gleichschenklige und in Dreiecke bei denen keine zwei Seiten gleichlang sind.
|| Ein gleichseitiges Dreieck ist gleichzeitig ein gleichschenklig.
+ Einteilung der Menge aller Vierecke in konvexe und konkave Vierecke.
|| Ein beliebiges Viereck ist entweder konvex oder nicht konvex und damit konkav. Es gibt kein Viereck, das weder konvex noch konkav ist. Die Menge aller Vierecke wird damit in genau zwei Klassen eingeteilt. Die eine Menge ist die Menge aller konvexen Vierecke, die andere Menge ist die Menge aller nicht konvexen und damit konkaven Vierecke.
+ Unter <math>\mathcal{M}</math> wollen wir die Menge aller Mengen ohne die leere Menge verstehen. Wir teilen <math>\mathcal{M}</math> nun in unendlich viele Teilmengen ein:<math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ M_4,\ ...,\ M_n,\ ... </math>, wobei wir unter <math>M_1\ </math> die Menge aller Mengen mit genau einem Element, unter <math>M_2\ </math> die Menge aller Mengen mit genau zwei Elementen, unter <math>M_n\ </math> die Menge aller Mengen mit genau n Elementen etc. verstehen wollen.
||Jede Menge (außer der leeren Menge) gehört zu genau einer der Teilmengen von <math>\mathcal{M}</math>. Alle Teilmengen vereinigt bilden die Menge <math>\mathcal{M}</math>.
- Herr Markwitz ist Rektor der Wiesengrund-Hauptschule. Früher war die Wiesengrund-Hauptschule zweizügig. Es gibt damit die Klassen 6a, 6b, 7a, 7b, 8a, 8b, 9a und 9b. Im Schuljahr 2009/2010 reichte es dann nicht mehr. Eigentlich dürfte es nur die Klasse 5a geben. In diese Klasse gehen auch alle Schüler des entsprechenden Jahrgangs. Um den Fortbestand seiner Schule zu sichern, greift Rektor Markwitz zu einem Trick. Er führt fiktiv die Klasse 5b, die allerdings keine Schüler hat.
|| Das konnten Sie noch nicht wissen: sollen die Teilmengen einer Menge eine Klasseneinteilung der Grundmenge bilden, do darf keine der Teilmengen leer sein. Läßt Herr Markwitz die fiktive Klasse weg, so hat er natürlich wieder eine saubere Einteilung der Menge aller Schüler seiner Schule in Klassen.

</quiz>

=== Definition des Begriffs Klasseneinteilung ===
Bemerkung 
Definition: (Klasseneinteilung eine Menge)
::Es sei <math>\ M</math> eine Menge und <math>\ K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>\ M</math>.
::<math>K</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>M</math>, wenn

:(1) <math>T_n \cap T_m =\left\{ {\phi} \right\} </math> Jede belibige Teilmenge gschnitten mit einer belibigen anderen Teilmenge die leere Menge ergibt, d.h. Jedes Element kommt nur in einer Teilmenge vor. 
::
:(2) <math>M=\left\{ {T_1 \cup T_2\cup T_3\cup ...T_n} \right\} </math> Alle Teilmengen vereinigt die Menge M ergeben. 
::
:(3) <math>T_n\neq \left\{ {\phi } \right\}</math> keine der Teilmengen die leere Menge ist. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:09, 1. Nov. 2011 (CET)
::

== Relationen ==

=== Beispiele ===

==== Halt dich senkrecht====

[[File:Flag of Switzerland (Pantone).svg|thumb|Flag of Switzerland (Pantone)]] 
Im Schulpraktikum war der Begriff der Senkrechten zu behandeln. Der Praktikant hatte ein Bild der Schweizer Nationalflagge auf eine Folie gedruckt und fragte die Schüler, welche Linien Senkrechte wären. Bei den Schülern stellte sich nach den ersten Antworten leichte Unsicherheit ein. Der Grund für diese Unsicherheit: Die Frage des Praktikanten war völlig unsinnig. Eine Antwort wie ''Gerade <math>a</math> steht senkrecht'' ist lediglich eine Aussageform, der kein Wahrheitswert zuzuordnen ist. Erst wenn man die Lage von <math>a</math> bezüglich einer anderen Geraden <math>b</math> (Ebene, Strahl, Strecke) betrachtet, ist es sinnvoll davon zu sprechen, dass <math>a</math> eine Senkrechte ist. '''Die Relation Gerade <math>a</math> steht senkrecht auf Gerade <math>b</math> ist zweistellig.'''

====Eine klassische Dreiecksbeziehung====
Tom ist der Liebhaber von Gabi. Zu der Ehre der Liebhabereigenschaft kommt er durch die Existenz von Frank, dem Ehemann von Gabi. Tom, Gabi und Frank stehen in einer dreistelligen Relation zueinander, der klassischen Dreiecksbeziehung. Wir könnten diese Relation auch so formulieren: Gabi steht zwischen zwei Männern.
==== Beispiel 3 ====
Trauen Sie sich: Präsentieren Sie hier ein eigenes Beispiel.

Beispiel Frühstücksei: 
Hier stehen in Relation, die Größe des Ei mit der Kochzeit um eim ideales weichgekochtes Ei zu erhalten. 
Ist es also mein Ziel ein ideals Frühstückei zu erhalten, muss ich die Ralation zwischend der Größe des Ei und der Kochzeit beachten.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:14, 1. Nov. 2011 (CET)

==== Ein Quiz zwischendurch ====
<quiz>
{Setzen Sie ein Häckchen, wenn es sich um eine zweistellige Relation handelt}
+ Eine Ebene <math>\alpha</math> steht senkrecht zu einer Ebene <math>\beta</math>.
|| klar, wie bei Beispiel 1 für Geraden
- Der Punkt <math>B</math> liegt zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>C</math>.
|| dreistellig
+ Von zwei Punkten ein und derselben Geraden liegt einer vor dem anderen.
|| Jetzt werden nur zwei Punkte verglichen.
</quiz>
=== Die Idee der Relation aus abstrakter Sicht ===

====Jeder mit Jeder?====
Von Anfang an war Kommissar Schätzerle dieses Dorf, dass man weder dem Ländle noch dem Nachbarn Bayern so recht zuordnen kann, nicht ganz geheuer gewesen. Ist nun der schöne Anton der Vater von der Lisa oder doch Stavros, der Grieche, der irgendwann im Dorf auftauchte und seitdem bei der feschen Wirtin wohnt. Wer ist eigentlich der Vater vom Klaus, den man hier immer noch politisch unkorrekt den Dorfdeppen nennt. Und was ist mit Dorothea, deren Zeugung mit Sicherheit nicht die unbefleckte Empfängnis war, alle im Dorf aber so tun, als wenn es so gewesen wäre. Eins wurde Schätzerle immer klarer: Er konnte den aktuellen Fall nur lösen, indem er alle Vaterschaften des Ortes gnadenlos aufklärte. An die DNS aller in Frage kommender Männer heranzukommen war leicht. Ein abendlicher Besuch bei der feschen Wirtin reichte aus. Schwieriger war es bei den Kindern. Um das Gerichtsverfahren nicht zu gefährden, sei dem Chronisten diesbezügliches Stillschweigen gestattet. Wie auch immer, irgendwann hatte sich Schätzerle auch die noch fehlende DNS von Maria besorgt und schickte alles den Kollegen in Stuttgart zum Zwecke des DNA-Abgleichs. Mit der Bitte um Kennzeichnung jeweiliger Vaterschaften durch ein Ausrufezeichen schickte er die folgende tabellarische Übersicht mit: 

{| class="wikitable center"
|-
!
! der schöne Anton
! Stavros, der Grieche
! der Pfarrer
! der Gärtner
|-
| Lisa
| ?
| ?
| ?
| ?
|-
| Klaus
| ?
| ?
| ?
| ?
|-
| Dorothea
| ?
| ?
| ?
| ?
|-
| Maria
| ?
| ?
| ?
| ?
|-
| Karl - Theodor
| ?
| ?
| ?
| ?
|-
| Hans
| ?
| ?
| ?
| ?
|}
Das LKA Stuttgart schickte die Tabelle in folgender Form zurück:
{| class="wikitable center"
|-
!
! der schöne Anton
! Stavros, der Grieche
! der Pfarrer
! der Gärtner
|-
| Lisa
| ?
| ?
| ?
| '''!'''
|-
| Klaus
| '''!'''
| ?
| ?
| ?
|-
| Dorothea
| ?
| ?
| '''!'''
| ?
|-
| Maria
| ?
| '''!'''
| ?
| ?
|-
| Karl - Theodor
| ?
| ?
| ?
| '''!'''
|-
| Hans
| ?
| ?
| ?
| '''!'''
|}
Der einzige, der sich über das Ergebnis aus Stuttgart freute, war der schöne Anton. Es hielt sich nämlich hartnäckig das Gerücht, dass der Anton zwar recht nett anzusehen sei, andererseits aber struntzdumm und vom Gebrauch der Anabolika, naja sie wissen schon ... .
Für Schätzerle wurde allerdings klar: Der Mörder war wieder der Gärtner.
[[Bild:060520111038.jpg|800px]] 
Alle geordneten Paare: (potentieller Vater, potentielles Kind) aus den Veranstaltungen vom 6.5.11. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 11:52, 7. Mai 2011 (CEST)
[[Bild:060520111040.jpg|800px]] 
Nach dem DNA-Abgleich: Alle geordneten Paare (Vater, leibliches Kind) wurden aus dem obigen Kreuzprodukt herausgenommen. Also: Die Relation ''<math>\ R</math>: v ist Vater von k'' repräsentiert sich als eine Menge von geordneten Paaren aus dem Kreuzprodukt <math>V \times K</math>. Anders ausgedrückt: <math>R \subseteq V \times K</math>
===Das Remake WS2011/12: Vaterschaften im schwäbischen Dorf===
{{#ev:youtube|wv_Z9jRxWVM}}

==== Du hast den Farbfilm vergessen ... ====
Wir wollen davon ausgehen, dass Sie diesen Text an einem Computermonitor <math>M</math> lesen. Ferner möge es sich bei <math>M</math> um einen Monitor handeln, der <math>\quad 256^3=16.777.216</math> verschiedene Farben darstellen kann. Weil Bilder, für deren Darstellung auf dem Bildschirm <math>16.777.216</math> verschiedene Farben zur Verfügung stehen, recht natürlich auf das menschliche Auge wirken, bezeichnet man die Farbtiefe von <math>256^3</math> Farben auch als ''True Color''.
Da das Display von <math>M</math> selbst leuchtet, erfolgt die Farbdarstellung auf ihm entsprechend des Prinzips der ''additiven Farbmischung'': Die Farbe eines jeden Pixels wird durch das Mischen der drei Grundfarben ''Rot'', ''Grün'' und ''Blau'' generiert (RGB).
Für jede der drei Farben stehen jeweils 256 verschiedene Farbtiefen zur Verfügung, d.h. im Farbraum von <math>M</math> gibt es 256 verschiedene Rottöne, 256 verschiedene Grüntöne und schließlich 256 verschiedene Blautöne. Jeder der Farbtöne wird durch eine natürliche Zahl <math>f</math> mit <math>0 \le f \le 255</math> codiert. Der Code einer beliebigen Farbe des Farbraumes von <math> M </math> ist damit ein geordnetes Tripel <math> \left( f_r, f_g, f_b \right) </math>, wobei <math> f_r, \quad f_g </math> und <math> \quad f_b </math> jeweils natürliche Zahlen zwischen <math>\quad 0</math> und <math> \quad 255 </math> sind und die jeweilige Farbtiefe der Grundfarben Rot, Grün und Blau codieren.

<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/flashz/Farbregler_01.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe>

Aus der abstrakten Sicht des Mathematikers ist unser RGB-Farbraum das Kreuzprodukt <math> \ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}</math>, wobei unter <math> \mathcal{F}</math> die Menge der natürlichen Zahlen von 0 bis 255 zu verstehen ist.

Nun möge es sich zugetragen haben, dass wir des Auftrages zur Generierung eines computergestützten Videos anheischig wurden. Als Auftraggeber zeichnet niemand geringeres als Nina Hagen zuständig. Zum 56. Geburtstag der Punk-Diva soll ''Du hast den Farbfilm vergessen (mein Michael)'' als Video fröhliche Urständ feiern.

Was liegt bei dem Titel ''Du hast den Farbfilm vergessen'' näher, als ein Video in Schwarz/Weiß oder genauer ausgedrückt ein Video , das nur Grautöne verwendet. Der RGB-Farbraum enthält auch Grautöne. Diesbezüglich definieren wir uns eine dreistellige Relation mit dem Namen <math>\ grau</math> auf der Menge aller geordneten Tripel aus <math> \ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}</math>: Die Komponenten <math> f_r, \quad f_g </math> und <math> \quad f_b </math> eines Tripels <math> \left( f_r, f_g, f_b \right) </math> mögen genau dann in der Relation <math>\ grau</math> zueinander stehen, wenn das Tripel <math> \left( f_r, f_g, f_b \right) </math> der Code für einen Grauwert ist.

Es wäre interessant zu untersuchen, welche Tripel aus <math> \ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}</math> so beschaffen sind, dass ihre jeweiligen Komponenten in der Relation <math>\ grau</math> zueinander stehen. Bei dieser Formulierung bricht man sich fast die Zunge. Formulieren wir doch einfacher: Wir wollen untersuchen, welche geordneten Tripel aus <math> \ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}</math> zur Relation <math>\ grau</math> gehören.

Für diese Untersuchung stellen wir uns ausnahmsweise ganz dumm und gehen mittels einer ''Brutal Force''- Methode vor:
Beginnend mit dem Tripel <math> \ (0, 0, 0) </math> danach die Tripel <math> \ (0, 0, 1) </math> und <math> \ (0, 0, 2) </math> testend probieren wir systematisch alle <math>256^3</math> Tripel bis zum Tripel <math> \ (255, 255, 255) </math> aus, ob sie der Code für einen Grauwert sind oder nicht, bzw. zu unserer Relation <math>\ grau</math> gehören oder nicht. Aus allen potentiell möglichen Tripeln haben wir die Tripel herausgesucht, die zu unserer Relation <math>\ grau</math> gehören. Anders ausgedrückt: Auf der Suche nach allen geordneten Tripeln, die einen Grauwert codieren, haben wir eine Teilmenge unserer Grundmenge <math> \ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}</math> gebildet. Diese Teilmenge ist letztlich unsere Relation.

Die Untersuchungen ergaben (Der Leser überzeuge sich mittels [http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Lehre/Medieninformatik/Bildbearbeitung/excel/farbumrechnung.xls].), dass immer dann ein Grauwert codiert wird, wenn die Komponenten des geordneten Tripels <math> \left( f_r, f_g, f_b \right) </math> identisch sind: <math> \ (0, 0, 0) </math>, <math> \ (1, 1, 1) </math>, ..., <math> \ (255, 255, 255) </math>. Unsere Relation <math>\ grau</math> ist damit eine Teilmenge aus <math> \ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}</math>, die 256 geordnete Tripel enthält. 

<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/flashz/Farbregler_grau.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe>
 

Als Quintessenz unserer Überlegungen können wir unser Relation <math>\ grau</math> wie folgt präzisieren:

# Definition: (<math>\ grau</math>) <math> grau := \left\{ \left( f_r, f_g, f_b \right)|\left( f_r, f_g, f_b \right)\in \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F} \wedge f_r=f_g=f_b \right\}</math> oder
# Definition: (<math>\ grau</math>) <math>\left( f_r, f_g, f_b \right)\in grau :\Longleftrightarrow \left( f_r, f_g, f_b \right)\in \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F} \wedge f_r=f_g=f_b</math>

==== Alles verstanden? ====
Hier ein kleines Quiz zur Überprüfung Ihres Verständnisses für den Abschnitt mit dem Farbfilm.

Wir legen den folgenden Überlegungen ein kartesisches <math>\ x - y - z-</math>Koordinatensystem zugrunde. Jedem Farbwert <math> \left( f_r, f_g, f_b \right)</math> wird genau ein Punkt <math>\ P</math> des <math>\mathbb{R}^3</math> zugeordnet, wobei die <math>\ x-</math>Koordinate von <math>\ P</math> dem Rotwert <math>\ f_r</math>, die <math>\ y-</math>Koordinate von <math>\ P</math> dem Grünwert <math>\ f_g</math> und die <math>\ z-</math>Koordinate von <math>\ P</math> dem Blauwert <math>\ f_b</math> entsprechen.[http://www.math.hu-berlin.de/~filler/3D/videos/farbwurfel.html] Wir wollen die Menge dieser Punkte als RGB-Farbraum bezeichnen. Alle die Punkte, die einem Grauwert entsprechen, sollen im folgenden die Grauwerte genannt werden.

<quiz>
{Welche der folgenden Aussagen ist richtig?}
- Bezüglich unseres Koordinatensystems ist der RGB-Farbraum ein Würfel <math>\ W </math> mit der Kantenlänge <math>\ 255 LE</math>.
|| Unter einem Würfel würden wir nur die Vereinigungsmenge der Seitenflächen verstehen.
- Bezüglich unseres Koordinatensystems ist der RGB-Farbraum das Innere von <math>\ W </math>.
|| Schon der Würfel und natürlich auch sein Inneres beinhalten unendlich (überabzählbar) viele Punkte. Die <math>\ 256^3</math> Punkte dieser menge, deren Koordinaten natürliche Zahlen zwischen 0 und 255 sind dagegen nur eine endliche Teilmenge der menge der Punkte des Würfelinneren.
+Bezüglich unseres Koordinatensystems liegt der RGB-Farbraum im Inneren von <math>\ W </math>.
|| Nach den Bemerkungen zu den vorangegangenen Fragen dürfte das klar sein.
- Die Grauwerte sind eine Raumdiagonale von <math>\ W </math>.
|| Können 256 Punkte eine Diagonale sein?
+ Die Grauwerte liegen auf der Raumdiagonalen <math>\overline{AG}</math> von <math>\ W </math>, wobei <math>A=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> und <math>G=\begin{pmatrix} 255 \\ 255 \\ 255 \end{pmatrix} </math> gilt.
|| korrekt
- Die Grauwerte liegen auf der Raumdiagonalen <math>\overline{CE}</math> von <math>\ W </math>, wobei <math>C=\begin{pmatrix} 255 \\ 255 \\ 0 \end{pmatrix} </math> und <math>E=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 255 \end{pmatrix} </math> gilt.
|| Da die Endpunkte dieser diagonalen keine Grauwerte repräsentieren ... .
+ Die Relation <math>\ grau</math> aus dem vorangegangenen Abschnitt läßt sich grafisch als eine Menge von Punkten darstellen, die auf der Raumdiagonalen <math>\overline{AG}</math> von <math>\ W </math> liegen.
|| Für diese Erkenntnis wurde dieses Quiz organisiert.
</quiz>
==== Definition des Begriffs der Relation ====
Definition: (n-stellige Relation)
:::Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.

==Äquivalenzrelationen==
===Beispiele===
==== Beispiel 1: „Maier-Vorwiesener“ Grund- und Hauptschule====
Unter 2.1.2 wurde bereits die Einteilung einer traditionellen GHS in Klassen angesprochen.
Auf der Grundlage einer solchen Einteilung der Menge aller Schüler einer Schule in Klassen können wir eine Relation ''A geht mit B in dieselbe Klasse'' definieren:

Definition: Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei Schüler ein und derselben Schule <math>\ S</math> . <math>A \triangle B :=</math> <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gehen in dieselbe Klasse.

Diese Definition erfüllt alle Anforderungen, die an eine sogenannte Äquivalenzrelation gestellt werden:

# <math>\ R</math> ist reflexiv: <math>\forall C \in S: C \triangle C</math>
# <math>\ R</math> ist symmetrisch: <math>\forall A, B \in S: A \triangle B \Rightarrow B \triangle C</math>
# <math>\ R</math> ist transitiv:<math>\forall A, B, C \in S: A \triangle B \wedge B \triangle C \Rightarrow A \triangle C</math>

Müsste bei der Relation "symmetrisch" nicht ein A anstelle eines C stehen in der Implikation?--[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 23:03, 10. Nov. 2011 (CET)

Übungsaufgabe: Formulieren Sie 1. bis 3. umgangsprachlicher.

==== Beispiel 2: Parallelität auf der Menge der Geraden der Ebene ====

Die Parallelität auf der Menge der Geraden der Ebene ist eine Äquivalenzrelation:

# Jede Gerade der Ebene ist trvialerweise zu sich selbet parallel.
# Wenn eine Gerade <math>\ a</math> zu einer Geraden <math>\ b</math> parallel ist, dann ist auch die Gerade <math>\ b</math> zur Geraden <math>\ a</math> parallel.
# Wenn eine Gerade <math>\ a</math> zur Geraden <math>\ b</math> parallel ist und die Gerade <math>\ b</math> parallel zur Geraden <math>\ c</math> ist, dann ist auch die Gerade <math>\ a</math> zur Geraden <math>\ c</math> parallel.
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[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 4.1 (WS 11/12)

2011-11-04T11:35:56Z

Miriam:

Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 
a) Wie lautet die Umkehrung des Basiswinkelsatzes? 
b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen (Kriterium).
 
a) Ein Dreieck, dessen Basiswinkel kongruent zueinander sind, ist ein gleichschenkliges Dreieck.
b) Genau dann,wenn die Basiswinkel eines Dreieckes kongruent zueinander sind, ist das Dreieck gleichschenklig.--[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 12:35, 4. Nov. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 4.1 (WS 11/12)

2011-11-04T11:35:00Z

Miriam:

Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 
a) Wie lautet die Umkehrung des Basiswinkelsatzes? 
b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen (Kriterium).
 
* a) Ein Dreieck, dessen Basiswinkel kongruent zueinander sind, ist ein gleichschenkliges Dreieck.
b) Genau dann,wenn die Basiswinkel eines Dreieckes kongruent zueinander sind, ist das Dreieck gleichschenklig.--[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 12:35, 4. Nov. 2011 (CET)

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Auftrag der Woche 3 (WS 11/12)

2011-11-01T16:18:56Z

Miriam:

Im Seminar "Computer im Mathematikunterricht" hat eine Studentin eine Schatzkarte gefunden (siehe unten). Blöderweise ist auf der Insel die Feuerstelle bereits verschwunden. 
#Können Sie den Schatz (Punkt M) trotzdem finden?
#Können Sie beweisen, dass das immer so funktioniert? (Es hat etwas mit den Eigenschaften von Parallelogrammen zu tun - siehe Hilfestelltung) 
##Ich bin nicht ganz sicher, aber es fehlen hier doch einfach ein paar Angaben zur Aufgabe, oder?? --[[Benutzer:LouStick|LouStick]] 13:30, 1. Nov. 2011 (CET)
## Ja, ich verstehe auch nicht, was man an dieser Stelle machen soll ^^wenn das vielleicht nochmal jemand erläutern könnte... --[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 17:18, 1. Nov. 2011 (CET)
<ggb_applet width="1071" height="660" version="3.2" 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[[Bild:schatzparal.png]]
--[[Benutzer:RicRic|RicRic]]

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 3.5 (WS 11/12)

2011-11-01T16:00:41Z

Miriam:

Der Begriff Mittelsenkrechte sei folgendermaßen definiert: 
Die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\overline{AB}</math> ist die Gerade ''g'', die durch den Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math> verläuft und zu dieser Strecke <math>\overline{AB}</math> senkrecht steht. 
Beweisen Sie folgenden Satz: 
Die Mittelsenkrechte ''m'' einer beliebigen Strecke <math>\overline{AB}</math> ist die Menge aller Punkte ''P'', die von ''A'' und ''B'' denselben Abstand haben: 
(Beachten Sie, dass auch dieser Beweis wieder aus zwei Teilen besteht analog zur Aufgabe 3.4). 

[[Bild:mittelsenk.png|200px]]

Voraussetzungen:

<math>\overline{AB} = \overline{AC} + \overline{CB}</math> der Mittelpunkt der Strecke AB ist der Punkt C

<math>\angle m, \overline{CA} = \angle m, \overline{CB} = 90</math>° m ist die Mittelsenkrechte; D ein exemplarisch verwendeter Punkt auf m

Behauptung:

<math>m = \left\{ {\forall P:\left| PA \right| = \left| PB \right| } \right\}</math> Alle Punke mit der Eigenschaft, dass der Abstand zu A und B gleich ist, bilden die Mittelsenkrechte

Beweis:

<math>\left| AC \right| = \left| BC \right| \wedge \left| CD \right| = \left| CD \right| \wedge \angle m, \overline{CA} = \angle m, \overline{CB}\Rightarrow \left| AD \right| = \left| BD \right|</math> SsW Die dreiecke sind konguent, somit muss auch der Abstand identisch sein. Somit liegt D auf m
* So habe ich das auch gelöst, nur dass ich dabei mit SWS begründet habe. Außerdem könnte man das letzte "somit liegt D auf m" weglassen, da wir ja davon ausgegangen sind, dass D auf m liegt und nur beweisen müssen, dass jeder Punkt Element von m zu den Endpunkten der Strecke AB denselben Abstand hat. :)--[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 17:00, 1. Nov. 2011 (CET)

Annahme:

<math>\exists P\not\in m \wedge \left| AP \right|= \left| BP \right|</math>

Beweis Teil 2:

<math>P\not\in m \wedge \left| AP \right|= \left| BP \right| \Rightarrow \overline{PM} \neq m</math> Es muss dan also eine Gerade geben welche die Punke P und M schneidet jedoch nicht die Mittelsenkrechte ist, sonst wäre ja P Element m

<math>\angle \overline{PM},\overline{AC} \neq \angle \overline{PM},\overline{BC}</math> Da es dich nicht um die Mittelsenkrechte handelt, müssen die Winkel auch unterschiedlich sein.

<math>\overline{MP} =\overline{MP} \wedge \left| AP \right|= \left| PB \right| \wedge \overline{AC} = \overline{BC} \Rightarrow \angle \overline{PM},\overline{AC} = \angle \overline{PM},\overline{BC}\lightning</math> SSS - Wenn die drei Seiten des Dreiecks konguent sind müssen die Winkel es auch sein. Also muss P Element m sein. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]]

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 3.4 (WS 11/12)

2011-11-01T14:50:57Z

Miriam:

Beweisen Sie auf der Grundlage der Definition aus Aufgabe 3.3: 
Die Winkelhalbierende eines Winkels ist die Menge aller Punkte, die im Inneren des Winkels liegen und deren Abstände von den beiden Schenkeln des Winkels jeweils gleich sind. 
'''Anmerkung:'''
*Der Abstand eines Punktes ''P'' auf eine Gerade ''g'' ist die Länge des Lotes von ''P'' auf ''g''.
*Der Beweis geht in zwei Schritten: Sie müssen erstens zeigen, dass jeder Punkt der Winkelhalbierenden (entspr. Def. Aufg. 3.3) von den beiden Schenkeln den gleichen Abstand hat und zweitens, dass jeder Punkt, der von den beiden Schenkeln den gleichen Abstand hat und im Inneren des Winkels liegt, zur Winkelhalbierenden (entspr. Def. Aufg. 3.3) gehört.
*Die Beweise lassen sich mit Hilfe der Kongruenzsätze führen, die Sie aus der Schule bereits kennen sollten.

[[Bild:PaufWhalb.png‎|200px]]

Voraussetzung:

<math>\angle w,p = \angle w,q</math>

<math>\angle p,a = \angle q,b</math> = 90°

<math>\overline{SA} = \overline{SA}</math>

Behauptung1:

<math>a \tilde {=} b</math>

Beweis:
<math>\angle p,c = \angle c,q \wedge \angle p,a = \angle b,q \wedge \overline{AS} = \overline{AS \Rightarrow } \triangle SAB \tilde {=} \triangle SCA \Rightarrow a \tilde {=} b</math> Kongruenzsatz WSW
* Durch die Unterstützung mit dem Bild werden die Bezeichnungen zwar deutlich, aber warum wird der Strahl p mit dem Strahl c ersetzt? Ich denke, dass dies vllt. zu Verwirrungen führen kann. 
* Wird hier wirklich der Kongruenzsatz WSW benutzt?
* Die Begründungen für die einzelnen Schritte sind hier zwar relativ naheliegend, sollten aber trotzdem, der Vollständigheit halber, genannt werden. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:02, 31. Okt. 2011 (CET)

<math>\angle p,q = \angle w,q \wedge \angle p,w</math>

<math>\angle w,q = \angle w,p \wedge \angle b,q = \angle p,a \Rightarrow \angle a,w \angle b,w</math> Da wenn zwei Winkel in einem Dreieck feststehen, steht der dritte auch fest, da die Summer allder drei Winkel in Dreieck immer 180 Grad ist.

<math>\angle w,q = \angle w,p \wedge \overline{AS} = \overline{AS} \wedge \angle a,w \wedge \angle b,w \Rightarrow \triangle SAB \tilde {=} \triangle SCA</math> WSW Winkel Seite Winkel sind konguent also sind die Dreicke konguent.

<math>\triangle SAB \tilde {=} \triangle SCA \Rightarrow a \tilde {=} b</math> Wenn die Dreiecke konguent sind müssen die Strecken ebenfalls konguent sein. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]]

* Braucht man denn überhaupt Strecke c um den Beweis zu führen? Reicht das oben genannte nicht aus? Ich bin leider etwas verwirrt.--[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 15:50, 1. Nov. 2011 (CET)

Voraussetzung:

<math>\angle w,p = \angle w,q</math>

<math>\angle p,a = \angle q,b</math> = 90°

<math>\overline{SA} = \overline{SA}</math>

<math>\left| Ap \right| =a</math>

<math>\left| Aq \right| =b</math>

Behauptung2:

<math>\forall A :\left| Ap \right| = \left| Aq \right| \Leftrightarrow A\in w</math>

Annahme:

<math>\exists A :\left| Ap \right| = \left| Aq \right| \Leftrightarrow A\not\in w</math>

Beweis2:

<math>A\not\in w \wedge a =b \wedge \overline{AS} = \overline{AS} \wedge \angle b,q \angle a,p \Rightarrow triangle SAB \tilde {=} \triangle SCA</math> SsW Dreicke die an zwei Seitenlängen und dem Winkel der, der längeren Seite gegenüberliegt übereinstimen sind konguent.

<math>\triangle SAB \tilde {=} \triangle SCA \Rightarrow \angle b,q =\angle a,p \wedge \angle a,w =\angle b,w \wedge \angle p,w = \angle q,w</math> Da an konguenten Dreiecken alle Winkel konguent sind.

<math>\angle p,w = \angle q,w \Rightarrow A\in w\lightning</math> Wiederspruch A muss also Element w sein.

--[[Benutzer:RicRic|RicRic]]

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 3.2 (WS 11/12)

2011-10-29T09:26:25Z

Miriam:

In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Parallelogramm? Begründen Sie! 
# Wenn sich in einem Viereck die Diagonalen halbieren, so ist das Viereck ein Parallelogramm.
# Wenn in einem Drachen die gegenüberliegenden Seiten kongruent zueinander sind, so ist der Drachen ein Parallelogramm.
# Es gibt Trapeze, die ein weiteres Paar paralleler Seiten haben und die Parallelogramme genannt werden.
# Trapeze mit zwei zueinander kongruenten Seiten heißen Parallelogramme. 
 

----
 

[[Category:Einführung_Geometrie]]
* 1: Korrekt, da dies nur für Parallelogramme zutrifft. --[[Benutzer:Todah raba|Todah raba]] 17:43, 28. Okt. 2011 (CEST)
* An dieser Stelle greife ich einmal die Argumentation von Punkt 2 auf: In einem Quadrat halbieren sich die Diagonalen auch und bei der Raute halbieren sich die Diagonalen auch gegenseitig. Ist es nun eine korrekte Definition, auch wenn sie die Rauten und Quadrate nicht ausschließt? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:14, 29. Okt. 2011 (CEST) 
* 2: Laut der Definition kann es ein Parallelogramm sein, aber auch eine Raute. (also nicht eindeutig) --[[Benutzer:Todah raba|Todah raba]] 17:45, 28. Okt. 2011 (CEST) 
* Bei dieser Def. kann es '''ein''' Parallelogramm sein, aber die Frage ist vielmehr: Kann es '''ein beliebiges''' Parallelogramm sein oder wird mit der Def. nur ein bestimmtes Parallelogramm beschrieben? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:14, 29. Okt. 2011 (CEST) 
* Bei dieser Definition erhält man nur ein bestimmtes Parallelogramm, nämlich die Raute. Dies liegt daran, dass man für den Drachen bereits definiert hat, dass dessen Diagonalen orthogonal zueinander stehen. Ein Paralellogramm mit orthogonalen Diagonalen ist jedoch immer eine Raute. --[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 11:26, 29. Okt. 2011 (CEST)
* 3: Korrekt. --[[Benutzer:Todah raba|Todah raba]] 17:55, 28. Okt. 2011 (CEST) 
* 4: Ist nicht korrekt, da ein gleichschenkliges Trapez auch zwei zueinander kongruente Seiten hat. --[[Benutzer:Todah raba|Todah raba]] 17:55, 28. Okt. 2011 (CEST) 
 

1. Nein nicht korrekt, keine eindeutige Definition für Parallelogramme ( könnte auch eine Raute sein) 
* Muss die Def. Parallelogramm die Rauten ausschließen? Man bedenke, dass eine Raute ein spezielles Parallelogramm ist. Somit muss die Def. Parallelogramm ja auch auf die Raute zutreffen, denn sonst wäre eine Raute kein Parallelogramm. :) --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:14, 29. Okt. 2011 (CEST) 
2. Nein, Darf man für das Parallelogramm den Oberbegriff Drachen verwenden ( Haus der Vierecke) ?? 
3. Falsch, Es gibt --> Existenzaussage 
4. Nein, es wäre so ein gleichschenkliges Trapez --> Bei Parallelogrammen müssten die Seiten auch parallel sein 10:25, 29. Okt. 2011 (CEST)mathenerds 

@ mathenerds zu 1.: Eine Raute ist doch immer auch ein spezielles Parallelogramm. --[[Benutzer:Todah raba|Todah raba]] 10:57, 29. Okt. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 2.2 (WS 11/12)

2011-10-24T20:40:48Z

Miriam:

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 

=== Antworten ===

1. 
2. Eine Raute ist ein Viereck, bei dem die Diagonalen die Symmetrieachsen sind. --[[Benutzer:Cmhock|Cmhock]] 09:59, 20. Okt. 2011 (CEST) 
* Vorsicht mit dem bestimmten Artikel! ''Eine Raute ist ein Viereck, bei dem die Diagonalen die Symmetrieachsen sind.'' Ein Quadrat ist eine Raute. In jedem Quadrat sind die Mittelsenkrechten der Seiten auch Symmetrieachsen des jeweiligen Quadrates. Die Geraden, auf denen die Diagonalen liegen, sind natürlich auch Symmetrieachsen des Quadrates. Sind sie aber '''die''' Symmetrieachsen? --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:48, 20. Okt. 2011 (CEST)
Wurde nicht aber in der letzten Übung angenommen, dass ein Rechteck auch ein Parallelogramm ist? Ist dann nicht auch ein Quadrat eine bestimmte Form der Raute? Wäre die Definition dann richtig, wenn der bestimmte Artikel weggelassen wird? Also: ..bei dem die Diagonalen Symmetrieachsen sind?--[[Benutzer:Cmhock|Cmhock]] 12:00, 21. Okt. 2011 (CEST)

3. Eine Raute ist ein Drache mit vier zueinander kongruenten Seiten. --[[Benutzer:Cmhock|Cmhock]] 09:59, 20. Okt. 2011 (CEST) 
: Hier haben Sie allerdings einen Oberbegriff verwendet - laut Aufgabenstellung sollen Sie dies hier aber vermeiden! ;-) --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 01:40, 21. Okt. 2011 (CEST) 
: Ich glaube die Antwort ist schon richtig, aber sie ist wohl durch meine Formatierung etwas verrutscht. Sollte jetzt aber wieder passen. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 07:46, 21. Okt. 2011 (CEST)
Eine Raute ist ein Drache, bei welchem die gegenüber liegenden Seiten gleich lang sind. --[[Benutzer:CaroDa|CaroDa]] 12:09, 23. Okt. 2011 (CEST)
4.

1. Raute und Drachenviereck --[[Benutzer:RicRic|RicRic]]

2. Eine Raute ist ein Viereck bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander, sich einander halbieren und Symmetrieachsen sind. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]]
* Ich glaube, dass man den Teil mit "Symmetrieachsen" weglassen kann, da schon das Vohergehende ausreicht um die Raute zu beschreiben.

3a. Eine Raute ist ein Viereck bei dem die jeweils gegenüberliegenden Strecken parallel sind. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 
: Hier ein Beispiel dafür, dass diese Definition nicht ganz passt. Und noch ein Hinweis: Strecken sind nicht parallel, sondern nur die Geraden, die durch diese Strecken bestimmt werden.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 17:22, 23. Okt. 2011 (CEST) 
<ggb_applet width="377" height="201" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

3b. Eine Raute ist ein Viereck bei dem gegenüberliegende Winkel gleich groß sind und die nebeneinander liegenden Winkel sich zu 180 Grad ergänzen. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 
: Diese Definition ist auch nicht ganz korrekt. Die Figur oben zeigt, dass diese Bedingung nicht ausreicht, um eine Raute zu definieren.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 17:25, 23. Okt. 2011 (CEST)

4. Drachenviereck; Bei einem Drachenviereck ist ein Viereck bei dem eine Diagonale die Symmetrieachse bildet.
Quadrate sind Teilmengen von Drachenvierecken; Rechtecke sind Teilmengen von Drachenvierecken; Rauten sind Teilmengen von Drachenvierecken; Drachenvierecke sind eine Teilmenge der aller Vierecke --[[Benutzer:RicRic|RicRic]]

* Wenn ich also zu 3a und 3b jeweils noch ergänse, ... und vier gleich Lange Seiten haben. Die Worte Stecken durch Geraden ersetze, ist es dann korrekt, oder habe ich dann schon zu viel angegeben? --[[Benutzer:RicRic|RicRic]]

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Datei:Moschee in Istanbul.jpg

2011-10-22T08:24:32Z

Miriam:

==
Dieses Foto habe ich im Frühjahr 2008 in Istanbul geschossen. Was mir in diesem Kontext besonders gut gefällt, ist die Vielzahl an geometrischen Figuren, die sich auf dem Bild "verstecken".
Man findet Zylinder, Kegel, Kugelabschnitte, Quader und sogar einen Körper mit mehreckiger Grundfläche (vor dem zweiten Minarett von rechts).
Da gibt es sicherlich eine ganze Menge zu rechnen.
Hier schonmal ein paar (einfache) Formeln:

Volumen eines:* -Zylinders: V = r2 · π · h
* -Kegels : V = 1/3 · r2 · π · h
* -Kugelabschnittes: V = 1/3 · π · (3r·h2-h3)
* -Quaders: V = l· b· h
==
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
{{{{Vorlagenname}}}}

== Lizenz ==
{{Bild-frei}}

Benutzer:Miriam

2011-10-22T08:12:04Z

Miriam:

[[http://wikis.zum.de/geowiki/Datei:Moschee_in_Istanbul.jpg]]

Benutzer:Miriam

2011-10-22T08:10:54Z

Miriam:

[[Datei:Moschee_in_Istanbul.jpg]]

Auftrag der Woche 1 (WS 11/12)

2011-10-22T08:07:06Z

Miriam: /* Ergebnisse: Geometrie im Alltag */

== Geometrie im Alltag - Kennenlernen des Wikis ==

Im ersten Wochenauftrag sollen Sie den Umgang mit diesem Wiki im Sinne von "Learning by doing" besser kennenlernen. Hierzu haben Sie zwei Aufgaben:

# Spüren Sie Geometrie im Alltag auf und stellen Sie diese als Bild auf ihre eigene Benutzerseite (Diese Benutzerseite können Sie später nutzen um sich z. B. nach und nach ein eigenes individuelles Skript aufzubauen). '''Wichtig: Nehmen Sie keine Bilder aus dem Internet (wegen Urheberrecht). Verwenden Sie nur eigene Fotografien!'''
# Schreiben Sie mit Hilfe des Formeleditors der TEX-Box (Aufruf über das Summenzeichen - oben)eine passende Formel zu ihrem Bild.

=== Anleitung ===

# Gehen Sie mit offenen Augen durch den Alltag. Wo steckt hier Geometrie? Machen Sie ein Foto!
# Melden Sie sich mit Ihrem Pseudonym, das Sie auf dem Fragebogen angegeben haben, im Wiki an.
# Laden Sie das Foto ins Wiki hoch. ([[Dateien hochladen|Anleitung zum Hochladen]])
# Binden Sie das Foto auf Ihre Benutzerseite ein. Gehen Sie hierzu auf Ihre Benutzerseite, indem Sie oben auf Ihren Namen klicken. ([[Bilder einbinden|Anleitung zum Einbinden]])
# Schreiben Sie jetzt noch eine passende Formel mit Hilfe der TEX-Box unter Ihr Bild.
# Tragen Sie Ihre Benutzerseite hier unten unter "Ergebnisse" ein. Orientieren Sie sich dabei an den Eintragungen, die dort bereits existieren.
# Durchstöbern Sie die Ergebnisse der anderen Teilnehmerinnen und Teilnehmer. Kommentieren Sie auf den Benutzerseiten! Loben Sie die schönen Fotos, oder stellen Sie Fragen dazu! Dies sollten Sie nicht auf der jeweiligen Benutzerseite selbst eintragen, sondern auf der dazugehörigen Diskussionsseite. (Der zweite Reiter oben links heißt "Diskussion").

=== Ergebnisse: Geometrie im Alltag ===

* [[Benutzer:Schnirch]] - Kukulkan-Pyramide in Mexiko[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

* [[Benutzer:RicRic]] - Der Ball ist rund

* [[Benutzer:Todah_raba]] - Davidsstern

* [[Benutzer:Da-Di-La]] - Puzzle
* [[Benutzer:Miriam]] - Moschee in Istanbul

Benutzer:Miriam

2011-10-22T08:05:57Z

Miriam:

http://wikis.zum.de/geowiki/Datei:Moschee_in_Istanbul.jpg

Benutzer:Miriam

2011-10-22T08:05:07Z

Miriam: Die Seite wurde neu angelegt: „Datei:Moschee_in_Istanbul.jpg“

Datei:Moschee_in_Istanbul.jpg

Datei:Moschee in Istanbul.jpg

2011-10-22T08:01:33Z

Miriam: /* Beschreibung */

==
Dieses Foto habe ich im Frühjahr 2008 in Istanbul geschossen. Was mir in diesem Kontext besonders gut gefällt, ist die Vielzahl an geometrischen Figuren, die sich auf dem Bild "verstecken".
Man findet Zylinder, Kegel, Kugelabschnitte, Quader und sogar einen Körper mit mehreckiger Grundfläche (vor dem zweiten Minarett von rechts).
Da gibt es sicherlich eine ganze Menge zu rechnen.
Hier schonmal ein paar (einfache) Formeln:
Volumen eines:* -Zylinders: V = r2 · π · h
* -Kegels : V = 1/3 · r2 · π · h
* -Kugelabschnittes: V = 1/3 · π · (3r·h2-h3)
* -Quaders: V = l· b· h
==
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
{{{{Vorlagenname}}}}

== Lizenz ==
{{Bild-frei}}

Datei:Moschee in Istanbul.jpg

2011-10-22T07:58:22Z

Miriam: /* Beschreibung */

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung = ==Dieses Foto habe ich im Frühjahr 2008 in Istanbul geschossen. Was mir in diesem Kontext besonders gut gefällt, ist die Vielzahl an geometrischen Figuren, die sich auf dem Bild "verstecken".
Man findet Zylinder, Kegel, Kugelabschnitte, Quader und sogar einen Körper mit mehreckiger Grundfläche (vor dem zweiten Minarett von rechts).
Da gibt es sicherlich eine ganze Menge zu rechnen.
Hier schonmal ein paar (einfache) Formeln:
Volumen eines:* -Zylinders: V = r2 · π · h
* -Kegels : V = 1/3 · r2 · π · h
* -Kugelabschnittes: V = 1/3 · π · (3r·h2-h3)
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Datei:Moschee in Istanbul.jpg

2011-10-22T07:57:29Z

Miriam: /* Beschreibung */

== Beschreibung ==
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|Beschreibung = ==Dieses Foto habe ich im Frühjahr 2008 in Istanbul geschossen. Was mir in diesem Kontext besonders gut gefällt, ist die Vielzahl an geometrischen Figuren, die sich auf dem Bild "verstecken".
Man findet Zylinder, Kegel, Kugelabschnitte, Quader und sogar einen Körper mit mehreckiger Grundfläche (vor dem zweiten Minarett von rechts).
Da gibt es sicherlich eine ganze Menge zu rechnen.
Hier schonmal ein paar (einfache) Formeln:
Volumen eines: -Zylinders: V = r2 · π · h
-Kegels : V = 1/3 · r2 · π · h
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Datei:Moschee in Istanbul.jpg

2011-10-22T07:55:51Z

Miriam: Dieses Foto habe ich im Frühjahr 2008 in Istanbul geschossen. Was mir in diesem Kontext besonders gut gefällt, ist die Vielzahl an geometrischen Figuren, die sich auf dem Bild "verstecken". Man findet

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung = Dieses Foto habe ich im Frühjahr 2008 in Istanbul geschossen. Was mir in diesem Kontext besonders gut gefällt, ist die Vielzahl an geometrischen Figuren, die sich auf dem Bild "verstecken".
Man findet Zylinder, Kegel, Kugelabschnitte, Quader und sogar einen Körper mit mehreckiger Grundfläche (vor dem zweiten Minarett von rechts).
Da gibt es sicherlich eine ganze Menge zu rechnen.
Hier schonmal ein paar (einfache) Formeln:
Volumen eines: -Zylinders: V = r2 · π · h
-Kegels : V = 1/3 · r2 · π · h
-Kugelabschnittes: V = 1/3 · π · (3r·h2-h3)
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Man findet Zylinder, Kegel, Kugelabschnitte, Quader und sogar einen Körper mit mehreckiger Grundfläche (vor dem zweiten Minarett von rechts).
Da gibt es sicherlich eine ganze Menge zu rechnen.
Hier schonmal ein paar (einfache) Formeln:
Volumen eines: -Zylinders: V = r2 · π · h
-Kegels : V = 1/3 · r2 · π · h
-Kugelabschnittes: V = 1/3 · π · (3r·h2-h3)
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== Lizenz ==
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Datei:Moschee in Istanbul.jpg

2011-10-22T07:51:51Z

Miriam: /* Dieses Foto habe ich im Frühjahr 2008 in Istanbul geschossen. Was mir in diesem Kontext besonders gut gefällt, ist die Vielzahl an geometrischen Figuren, die sich auf dem Bild "verstecken". Man */

Datei:Moschee in Istanbul.jpg

2011-10-22T07:47:36Z

Miriam: {{Information |Beschreibung = Dieses Foto habe ich im Frühjahr 2008 in Istanbul geschossen. Was mir in diesem Kontext besonders gut gefällt, ist die Vielzahl an geometrischen Figuren, die sich auf dem Bild "verstecken". Man findet Zylinder, Kegel, Kugel