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Lösung von Aufg. 12.9 SS11

2011-07-15T09:12:22Z

Mm l123:

Es seien <math>\overline{ABC}</math> ein gleichseitiges Dreieck und <math>r</math> eine positive reelle Zahl, die kleiner als die Seitenlänge von <math>\overline{ABC}</math> ist. Ferner seien die Punkte <math> E \in \overline{AB}, F \in \overline{BC}, G \in \overline{CA} </math> mit <math>\ |AE|=|BF|=|CG|=r</math> gegeben. Man beweise: <math>\overline{EFH}</math> ist ein gleichseitiges Dreieck.
 

Auch hier wäre die Definition des gleichseitigen Dreiecks gefragt.
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 15:55, 4. Jul. 2011 (CEST) 

Das stimmt, diese brauch man zunächst! Wer hat Vorschläge?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:32, 5. Jul. 2011 (CEST) 

Wenn ein Dreieck drei kongruente Seiten hat, ist es gleichseitig.
 
Dann liefe der Beweis analgog zu Aufgabe 12.8, allerdings müsste man nichts mehr über die Innenwinkel des kleinen Dreiecks in der Mitte aussagen, da hier ja nur die Seiten maßgeblich wären: [[Datei:DreieckBeweis2.png]] 1. Aus der Voraussetzung wissen wir, dass die gestrichelten Strecken gleich lang sind (nämlich jeweils r), außerdem, dass die Außenseiten des großen Dreiecks auch gleich lang sind. 
2. Aus dem Streckenaddieren und den Voraussetzungen wissen wir damit, dass auch die dicken durchgehenden Strecken gleich lang sind. 
3. Aus den Voraussetzungen und (z.B.) dem Basiswinkelsatz wissen wir außerdem, dass die Innenwinkel des großen Dreiecks alle gleich groß sind. 
4. Da nun das grüne, das rote und das gelbe Dreieck per SWS-Axiom als kongruent nachgewiesen werden, müssen auch die Außenseiten des blauen Dreiecks alle gleich lang sein. 
5. Und wenn ein gleichseitiges Dreieck einfach über die drei gleichlangen Seiten definiert ist, ist der Beweis damit geführt. Richtig?--[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 16:01, 7. Jul. 2011 (CEST) ''Ich denke'', ja! Sehr anschaulicher Beweis mit der Skizze, danke!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:42, 8. Jul. 2011 (CEST) 

Ja, so habe ich es auch - nur dass in der Voraussetzung die dicken Strecken als kongruent ausgewiesen sind, nicht die gestrichelten - aber dann kannst du ja analog vorgehen.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 11:02, 15. Jul. 2011 (CEST)
Statt Streckenaddieren würde ich die Def. Zwischenrelation nehmen, da hierbei immer 2 Komponenten gleich groß sind,
muss auch die 3. Teilstrecke gleich groß sein?--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 11:12, 15. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 12.9 SS11

2011-07-15T09:02:29Z

Mm l123:

Lösung von Aufg. 12.8 SS11

2011-07-15T08:55:27Z

Mm l123:

Es seien <math>\overline{ABCD}</math> ein Quadrat und <math>r</math> eine positive reelle Zahl, die kleiner als die Seitenlänge von <math>\overline{ABCD}</math> ist. Ferner seien die Punkte <math> E \in \overline{AB}, F \in \overline{BC}, G \in \overline{CD}, H \in \overline{DA} </math> mit <math>\ |AE|=|BF|=|CG|=|DH|=r</math> gegeben. Man beweise: <math>\overline{EFHG}</math> ist ein Quadrat.

 
Was ist ein Quadrat ?--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 18:24, 3. Jul. 2011 (CEST)
 
 
<math>\ Definition \ Quadrat: </math> 
<math>\ Es \ seien \ A,B,C,D \ vier \ verschiedene \ Punkte</math> 
<math>\ Q := \overline{AB} \cup \overline{BC} \cup \overline{CD} \cup \overline{DA} \ heißt \ genau \ dann \ Quadrat \ , \ wenn \ gilt:</math> 
<math> \ (i) \overline{AD} \equiv \overline{AB} \equiv \overline{BC} \equiv \overline{CD}</math> 
<math> \ (ii) \angle BAD = \angle CBA = \angle DCB = \angle ADC = 90</math> 
 
Damit ist eine überbestückte Definition. Alle Eigenschaften treffen zwar auf ein Quadrat zu, doch sollte eine formale Definition nur wirklich nötige Eigenschaften enthalten, damit der Begriff ausreichend klar ist.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:11, 5. Jul. 2011 (CEST)
 

Eine Skizze von der Aufgabe hilft enorm 
Ja, erstellen Sie doch (das nächste Mal) eine einfache Skizze in Geogebra selbst :). 
Ich dachte da ich schon den ganzen Text in Latex der Übersicht zu liebe geschrieben habe darf sich ein anderer an einer Skizze versuchen;)--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 14:20, 6. Jul. 2011 (CEST)

<ggb_applet width="459" height="353" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:11, 5. Jul. 2011 (CEST)

 
<math> \ Beweis: </math> 
<math> \ Voraussetztung: </math> 
<math> \ (i) \ |AE|=|BF|=|CG|=|DH|=r </math> 
<math> \ (ii) \ \overline{AD} \equiv \overline{AB} \equiv \overline{BC}</math> 
<math> \ (iii) \ \angle BAD = \angle CBA = \angle DCB = \angle ADC = 90</math> 
 
<math> \ Behauptung: </math> 
<math> \ (i) \overline{HE} \equiv \overline{EF} \equiv \overline{FG} \equiv \overline{GH}</math> 
<math> \ (ii) \angle FEH = 90 = \angle GFE</math> 

<math> \ Betrachte \ Teildreieck \ \overline{AEH} \ fuer \ dieses \ gilt: </math> 
<math> |\overline{AE}| = r \ und \ \angle EAH\equiv 90</math> 
<math> \ ferner \ gilt \ |\overline{AH}| = |\overline{DA}| - |\overline{AH}| =: d</math> 
<math> \ Betrachte \ Teildreieck \ \overline{EBF} \ fuer \ dieses \ gilt: </math> 
<math>| \overline{FB}| = r \ und \ \angle FBE\equiv 90</math> 
<math>\ ferner \ gilt \ |\overline{EB}| = |\overline{AB}| - |\overline{AE}| = d</math> 
<math>\ da |\overline{AE}| = |\overline{FB}| \Rightarrow \ n. SWS \ \ \overline{AEH} \equiv \overline{EBF}</math> 
<math>\Rightarrow |\overline{HE}| = |\overline{EF}|</math> 
<math>\ analoge \ Betrachtung \ von \ \overline{FCG} \ und \ \overline{GDH} \ liefert \ |\overline{FG} |=|\overline{GH} |</math> 
<math>\ analoge \ Betrachtung \ von \ \overline{FCG} \ und \ \overline{FBE} \ liefert \ |\overline{GF} |=|\overline{EF} |</math> 
<math>\Rightarrow \left| HE \right| =\left| GH \right| = \left| GF \right|= \left| FE \right|</math><math>\Leftrightarrow (i)</math> 

Aus unserer Übung mit dem Parallelaxiom gehe ich nun von dessen Gültigkeit aus und benutze nun den Innenwinkelsummensatz vom Dreieck. Ansonsten sehe ich keine Möglichkeit die rechten Winkel im Quadrat nachzuweisen 
<math>\ Es \ gilt \ 180 = \angle EAH + \angle HEA + \angle AHE</math> 
<math> \Leftrightarrow 90 = \angle HEA +\angle AHE \ </math> 
<math> \ da\ \angle AHE \equiv \angle DGH \ und \ \angle HEA \equiv \angle GHD\Rightarrow \angle GHD +\angle AHE = 90</math>
<math> \ Sei \ m \ die \ Senkrechte \ auf \ \overline{AD} \ durch \ H \ dann \ gilt \angle DHG + \angle m\overline {HG} = 90 </math> 
<math>\Leftrightarrow 90 - \angle DHG = \angle m\overline{HG}</math> 
<math>\ analog \Rightarrow \ 90 - \angle AHE = \angle m\overline{HE}</math>
<math>\ Betrachte \ \angle EHG = \angle m\overline{GH} +\angle \overline{HE}m , \ dies \ gilt \ n. \ Winkeladditionsaxiom</math>
<math>\Leftrightarrow 180 - ( \angle DHG +\angle AEH)</math> 
<math>\ , da \ \angle DHG \equiv \angle HEA</math> 
<math>\Rightarrow \angle EHG = 180 - (\angle HEA + \angle AHE)\Leftrightarrow \angle EHG = 180 - 90 = 90\Rightarrow \angle EHG \ ist \ rechter \ Winkel</math> 
<math> \ analog \ die \ Winkel \angle FEH \ \angle GFE\ \angle HGF \ </math> 
<math>\Rightarrow \overline{HGEF} \ ist \ ein \ Quadrat</math>

bei den Rechnungen mit den Winkeln stehen keine Betragsstriche dabei, korrekter Weise müssten sie gesetzt werden. Ich bitte das zu beachten. 
Vielleicht findet ja jemand eine kürzere und schönere Lösung. Die Definition des Quadrats macht mir den Beweis etwas umständlich, vielleicht einen schönere Definition vom Quadrat anbieten.
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 15:41, 4. Jul. 2011 (CEST) 
Danke fürs Reinstellen! Dein Beweis ist sehr ausführlich. Die Beweisidee ist völlig korrekt, bestimmt lässt sich der Beweis (vorallem der 2.Teil) auch kürzer aufschreiben. Mit den Winkelbezeichnungen ist er etwas schwirig nachzuvollziehen. Das nächste Mal lieber eine Skizze machen (Scannen oder Paint geht ja auch!) und die Winkel konkret benennen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:28, 5. Jul. 2011 (CEST)
 
Ich denke, es genügt, nach dem Nachweis der Dreieckskongruenz auf die kongruenten Winkel Gamma und Gamma-Strich hinzuweisen [[Datei:WinkelQuadrat.PNG]] 
und dann über die Winkeladdition sowie die Größe des gestreckten Winkels insgesamt darauf zu kommen, dass die Größe von Beta 90 Grad betragen muss. Und ein einziger rechter Winkel im Quadrat reicht ja bei vier gleich langen Seiten.
Würde das als kürzerer zweiter Schritt gehen? --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 15:43, 7. Jul. 2011 (CEST) 
Richtig, es genügt, wenn man für einen Winkel des Quadrats die 90° zeigt. Dabei ist es sinnvoll, die genauen Additionen der Winkelmaße aufzuschreiben und mit den jeweiligen Sätzen und Axiomen zu begründen, z.B. tabelarisch. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:38, 8. Jul. 2011 (CEST) 

Man kann doch auch zeigen, dass alle Teildreiecke gleich groß sind, somit die Seiten des Quadrats gleich sind
und somit auch, dass alle fehlenden Supplementwinkel (also die Winkel des Quadrats) gleich groß sind.
Und dann ergibt sich ja aus 360:4, dass jeder Winkel 90 ist.
Würde das auch gehen? Das ging eigentlich ganz schnell.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 10:54, 15. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 12.8 SS11

2011-07-15T08:54:12Z

Mm l123:

Es seien <math>\overline{ABCD}</math> ein Quadrat und <math>r</math> eine positive reelle Zahl, die kleiner als die Seitenlänge von <math>\overline{ABCD}</math> ist. Ferner seien die Punkte <math> E \in \overline{AB}, F \in \overline{BC}, G \in \overline{CD}, H \in \overline{DA} </math> mit <math>\ |AE|=|BF|=|CG|=|DH|=r</math> gegeben. Man beweise: <math>\overline{EFHG}</math> ist ein Quadrat.

 
Was ist ein Quadrat ?--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 18:24, 3. Jul. 2011 (CEST)
 
 
<math>\ Definition \ Quadrat: </math> 
<math>\ Es \ seien \ A,B,C,D \ vier \ verschiedene \ Punkte</math> 
<math>\ Q := \overline{AB} \cup \overline{BC} \cup \overline{CD} \cup \overline{DA} \ heißt \ genau \ dann \ Quadrat \ , \ wenn \ gilt:</math> 
<math> \ (i) \overline{AD} \equiv \overline{AB} \equiv \overline{BC} \equiv \overline{CD}</math> 
<math> \ (ii) \angle BAD = \angle CBA = \angle DCB = \angle ADC = 90</math> 
 
Damit ist eine überbestückte Definition. Alle Eigenschaften treffen zwar auf ein Quadrat zu, doch sollte eine formale Definition nur wirklich nötige Eigenschaften enthalten, damit der Begriff ausreichend klar ist.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:11, 5. Jul. 2011 (CEST)
 

Eine Skizze von der Aufgabe hilft enorm 
Ja, erstellen Sie doch (das nächste Mal) eine einfache Skizze in Geogebra selbst :). 
Ich dachte da ich schon den ganzen Text in Latex der Übersicht zu liebe geschrieben habe darf sich ein anderer an einer Skizze versuchen;)--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 14:20, 6. Jul. 2011 (CEST)

<ggb_applet width="459" height="353" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAGqO5T4AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s7Vrbkps4EH3efIWK92GQkLhUmaScmdyqsputmmwe8pLCIGOtMXi5TOz5nv2T/bFtSYDxLWMms5XxVvwCSE2rdU53qyU8erFapOiWF6XIs8DApmUgnkV5LLIkMOpqeuEZL54/GyU8T/ikCNE0LxZhFRi2SQzZXovnz34ZlbP8KwpTJfJJ8K+BMQ3TkhuoXBY8jMsZ59VWe1ivRCrCYv1h8iePqnLToZW8y5Y1jFIVNbRFi/i9KNvHSzXgMhXVtbgVMS9QmkeB4TAwHe4+8aISUZgGBrV0CwkMstMJTbbsneWFuMuzSopvlKfhhKcAwE21TjlCt7LX1l1TEEaoFHccwCKybXSpMBjxOkpFLMJMzlOZCEIIfRVxNQNbmA+jcZHMJHYMa21Rnhfxzbqs+AKtPvMil9OQFKz1A3GofCrBYhiPWaqr/6S08NsbXlVgb4nCFd9AmRQi3np4V77M003TMhdZdRUuq7pQbNtNk5p2YMBYhbR3nCUpb9owkDHj0XySr240BrZW/XG9VK8ogybJVZ7mBSok8AwEmutEX5WMtLSTspSMpSQaHVJp1499oiTUdaKvmimRadOameN21thqhxElkg0SRnDSbvKK48AwUJ2J6n37AM4x30xVvvBbvZhAdPTdo9OJH0vn6HLHe0ZzXmQ81T6SAbd1XpfaEfVYypCYR2IBj7qjgSSUdP0BBujWmCcFbw3XsaUBU71W3w93mkeXrRHShhJsjSpIEjCfSs5FxnAF8RMY4yzj6PM/f8+kG/HCQHFYSQEZFClfcIiYSrmH8q4OprHRZY5cJYE23Jv+DeDQfdBVlFOF6XIWQksbDWm4hpTQn53S92seb885zAA7NSEIv6VUINlZch43abBqXBotQaUKkB70CrESraQs9iAqA+MC7iDl9H6g8E4rU+/o4JJZYZNRgHkN0T1gvfx/gOWYNm3BsugweKJ8sQizGGXhAob6PU/XSZ4pWIRcLFBoSZ9CIZZooRBSPG1V53XVSkB8pZDAsBYMteAELnZgRHChEDJwYYFxBRcnMK61Hc3oB2jSdrREdPq301M1gyyQ8bKUcdqhdfltUnsQ9lnFzFa8wiqiE+aGVjyE1uO+V/JEPnWGhD9mNgOddONmF4CEtf3zldsxEzvK6xwT2mg/VC9PniL/K9Mypc7qYgHFSCSqztdSGQHvsgpyPFc5cz91zzlfyjXzQ/axCLNSVlVaprcknEjO5NzIARKY3//pjAAqt1p9RycIm5gOhmRxtgRFZ0bQLhGe62iGuughlunYjGzCh50vO/GZsaNJWO/T5FOiyAGafJd6G3L2auWnS8520XP1oKJHpo1EXyb68uCqp92kbpu/XdAQXdBQE+OdpPZYtd/104cB5tlzOJUQNCgW2W1+OCpZveCFiLp5FwoXeLNu3semfV+g3l8nP6ScauTKVB1HLETWVMiLUAWsVDkp87Su+E0Eu7HsfR6paro1rjkkgJpFysI7xFZbfbX4wc1UrPhm337k0OKU8P6eOv54LX4liijlh0vxYq8Cn367oIa9Zo/j6QOz8/aO/Eh6Pkb7wPg4LbGKhGe3YFtelAitrAbvtaUHRHdtywrrWgj6cNN0h3sxA/wVYoXGrfy4lRoTdQPpHo3tRuuY6n0p7FDHTO1Vd3eoB7M+eEQkpkDDcNpfHqM9GUJ78pP2IbTbvsk8d494vdvWxLcF9CNSfXWM6tkQqmc/qR5CNaMmIf1Kg+6zThrWL/aLksf2getjPjAf4gPznz4wKMsz2H45vYLL2U/5+/VY4xF7Fdl3uES3D9jxiunW6Vo3qZ57vLrvVK1fAL/6wQXwps4lJnV9lzHYa7m+5dm+0x39Yuphy7exTTFxyMDy/zRYEw3r5Disr4fA+vrJwAoL1RZ8tNngEtYH2xt4nn4aqDMNanQc1DdDQH3zZEClpk8tQqnFXGL5mDntlszvQ23/F5jONabxcUzfDsH07ZPBFOLcYtjzLcdzoOKyXf3ph5gA8QZqBw/c557yaeOVxvS1xvSN/mLxdg/Y5vsD0dL8C9byU3UDbyTqBtaI2Rd8HwcHv2yQ/9WXDQnQeZ3/wVpju5Q5judSbBPcftqwTc9mFqO+5zFmUUL1Ua1rOrBMMcx8jxLbds7nLHCXqun5UXWIk/UBCmUakcfq1GQudXwfGmxMbMs9X7aSs2NrlxSsudrhEOvKzjN9DBT5hHmEwkJ6xnE1Ozum9sJKMbXHnw6qC9f0XdfBHmybHcoYtp8yVZf9v9qoP5c1f7x7/i9QSwcIJjdPQaQGAACqJwAAUEsBAhQAFAAIAAgAao7lPiY3T0GkBgAAqicAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAQABADoAAADeBgAAAAA=" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:11, 5. Jul. 2011 (CEST)

 
<math> \ Beweis: </math> 
<math> \ Voraussetztung: </math> 
<math> \ (i) \ |AE|=|BF|=|CG|=|DH|=r </math> 
<math> \ (ii) \ \overline{AD} \equiv \overline{AB} \equiv \overline{BC}</math> 
<math> \ (iii) \ \angle BAD = \angle CBA = \angle DCB = \angle ADC = 90</math> 
 
<math> \ Behauptung: </math> 
<math> \ (i) \overline{HE} \equiv \overline{EF} \equiv \overline{FG} \equiv \overline{GH}</math> 
<math> \ (ii) \angle FEH = 90 = \angle GFE</math> 

<math> \ Betrachte \ Teildreieck \ \overline{AEH} \ fuer \ dieses \ gilt: </math> 
<math> |\overline{AE}| = r \ und \ \angle EAH\equiv 90</math> 
<math> \ ferner \ gilt \ |\overline{AH}| = |\overline{DA}| - |\overline{AH}| =: d</math> 
<math> \ Betrachte \ Teildreieck \ \overline{EBF} \ fuer \ dieses \ gilt: </math> 
<math>| \overline{FB}| = r \ und \ \angle FBE\equiv 90</math> 
<math>\ ferner \ gilt \ |\overline{EB}| = |\overline{AB}| - |\overline{AE}| = d</math> 
<math>\ da |\overline{AE}| = |\overline{FB}| \Rightarrow \ n. SWS \ \ \overline{AEH} \equiv \overline{EBF}</math> 
<math>\Rightarrow |\overline{HE}| = |\overline{EF}|</math> 
<math>\ analoge \ Betrachtung \ von \ \overline{FCG} \ und \ \overline{GDH} \ liefert \ |\overline{FG} |=|\overline{GH} |</math> 
<math>\ analoge \ Betrachtung \ von \ \overline{FCG} \ und \ \overline{FBE} \ liefert \ |\overline{GF} |=|\overline{EF} |</math> 
<math>\Rightarrow \left| HE \right| =\left| GH \right| = \left| GF \right|= \left| FE \right|</math><math>\Leftrightarrow (i)</math> 

Aus unserer Übung mit dem Parallelaxiom gehe ich nun von dessen Gültigkeit aus und benutze nun den Innenwinkelsummensatz vom Dreieck. Ansonsten sehe ich keine Möglichkeit die rechten Winkel im Quadrat nachzuweisen 
<math>\ Es \ gilt \ 180 = \angle EAH + \angle HEA + \angle AHE</math> 
<math> \Leftrightarrow 90 = \angle HEA +\angle AHE \ </math> 
<math> \ da\ \angle AHE \equiv \angle DGH \ und \ \angle HEA \equiv \angle GHD\Rightarrow \angle GHD +\angle AHE = 90</math>
<math> \ Sei \ m \ die \ Senkrechte \ auf \ \overline{AD} \ durch \ H \ dann \ gilt \angle DHG + \angle m\overline {HG} = 90 </math> 
<math>\Leftrightarrow 90 - \angle DHG = \angle m\overline{HG}</math> 
<math>\ analog \Rightarrow \ 90 - \angle AHE = \angle m\overline{HE}</math>
<math>\ Betrachte \ \angle EHG = \angle m\overline{GH} +\angle \overline{HE}m , \ dies \ gilt \ n. \ Winkeladditionsaxiom</math>
<math>\Leftrightarrow 180 - ( \angle DHG +\angle AEH)</math> 
<math>\ , da \ \angle DHG \equiv \angle HEA</math> 
<math>\Rightarrow \angle EHG = 180 - (\angle HEA + \angle AHE)\Leftrightarrow \angle EHG = 180 - 90 = 90\Rightarrow \angle EHG \ ist \ rechter \ Winkel</math> 
<math> \ analog \ die \ Winkel \angle FEH \ \angle GFE\ \angle HGF \ </math> 
<math>\Rightarrow \overline{HGEF} \ ist \ ein \ Quadrat</math>

bei den Rechnungen mit den Winkeln stehen keine Betragsstriche dabei, korrekter Weise müssten sie gesetzt werden. Ich bitte das zu beachten. 
Vielleicht findet ja jemand eine kürzere und schönere Lösung. Die Definition des Quadrats macht mir den Beweis etwas umständlich, vielleicht einen schönere Definition vom Quadrat anbieten.
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 15:41, 4. Jul. 2011 (CEST) 
Danke fürs Reinstellen! Dein Beweis ist sehr ausführlich. Die Beweisidee ist völlig korrekt, bestimmt lässt sich der Beweis (vorallem der 2.Teil) auch kürzer aufschreiben. Mit den Winkelbezeichnungen ist er etwas schwirig nachzuvollziehen. Das nächste Mal lieber eine Skizze machen (Scannen oder Paint geht ja auch!) und die Winkel konkret benennen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:28, 5. Jul. 2011 (CEST)
 
Ich denke, es genügt, nach dem Nachweis der Dreieckskongruenz auf die kongruenten Winkel Gamma und Gamma-Strich hinzuweisen [[Datei:WinkelQuadrat.PNG]] 
und dann über die Winkeladdition sowie die Größe des gestreckten Winkels insgesamt darauf zu kommen, dass die Größe von Beta 90 Grad betragen muss. Und ein einziger rechter Winkel im Quadrat reicht ja bei vier gleich langen Seiten.
Würde das als kürzerer zweiter Schritt gehen? --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 15:43, 7. Jul. 2011 (CEST) 
Richtig, es genügt, wenn man für einen Winkel des Quadrats die 90° zeigt. Dabei ist es sinnvoll, die genauen Additionen der Winkelmaße aufzuschreiben und mit den jeweiligen Sätzen und Axiomen zu begründen, z.B. tabelarisch. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:38, 8. Jul. 2011 (CEST) 

Man kann doch auch zeigen, dass alle Teildreiecke gleich groß sind, somit die Seiten des Quadrats gleich sind
und somit auch, dass alle fehlenden Supplementwinkel (also die Winkel des Quadrats) gleich groß sind.
Und dann ergibt sich ja aus 360:4, dass jeder Winkel 90 ist.
Würde das auch gehen? Das ging eigentlich ganz schnell.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 10:54, 15. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 12.4 SS11

2011-07-15T08:45:05Z

Mm l123:

Beweisen Sie Satz VII.6 b

::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.

<math>\ Beweis: </math>

<math> \ Voraussetzung :\ m \ ist \ Mittelsenkrechte \ von \ \overline{AB} \ und \ P \in m </math> 
<math> \ Behauptung: \ \overline{PA} \equiv \overline{BP} </math> 

<math> \ Es \ gilt \ : \ </math> 

<math>\overline{PM} \equiv \overline{PM} \ und \ \angle PMA \equiv \angle PBM \ und \ \overline{AM} \equiv \overline{BM} \ nach \ Voraussetzung </math> 
<math>\Rightarrow \ Kongruenz \ von \ \overline{APM} \ und \ \overline{PMB}\Rightarrow \overline{AP} \equiv \overline{BP}</math>
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 18:06, 3. Jul. 2011 (CEST)

Muss das auch für P = M gezeigt werden? Oder ist das einfach trivial, weil P dann Mittelpunkt ist und logischerweise
zu A und B denselben Abstand hat?--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 10:45, 15. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 12.3 SS11

2011-07-15T08:31:37Z

Mm l123:

Beweisen Sie Satz VII.6 a:

::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.

 
<math> \ Beweis: </math> 

<math> \ V: \overline{AP} \equiv \overline{BP}</math> 
<math>\ B: \ P\in \ m \ mit \ m \ ist \ Mittelsenkrechte \ von \ \overline{AB}</math>

Skizze dazu: (--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:33, 5. Jul. 2011 (CEST)) 
<ggb_applet width="460" height="353" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
 

<math> \ Sei \ M \ Mittelpunkt \ von \ \overline{AB}\ ( \ n. \ Existenz \ vom \ Mittelpunkt \ einer \ Strecke)</math> 
<math> \ Betrachte \ die \ beiden \ Dreieck \ \overline{AMP}\ und\ \overline{MPB} </math> 
<math> \ Es \ gilt \ : \ \overline{AP} \equiv \overline{BP}\ nach \ Voraussetzung\ </math> 
<math>\ Ferner\ \angle PMA \equiv \angle PBM \ nach \ Basiswinkelsatz</math> (davor sollte man noch sagen, das hier ein gleichschenkliges Dreieck vorliegt > wo sollen sonst Basiswinkel vorliegen?) 
<math>\ und \ \overline{AM} \equiv \overline{MB} \ da \ M \ Mittelpunkt\ ist.</math> 
<math>\Rightarrow \ nach \ SWS \ die \ Kongruenz \ der \ beiden \ Dreiecke</math> 
<math>\Rightarrow \angle PMA\equiv \angle BMP\Rightarrow \ es \ sind \ rechte \ Winkel \Rightarrow \ PM \ ist \ Mittelsenkrechte</math> <math>\Rightarrow \ Behauptung</math>--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 17:47, 3. Jul. 2011 (CEST) 
Der Beweis ist gut, allerdings solltest du wie Phil den 2. Fall nicht vergessen, denn dann ergeben sich ja keine Dreiecke.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:33, 5. Jul. 2011 (CEST) 

Lösungsvorschlag 2:

<math>\ Vor: \ Punkt \ P, \ Strecke \overline{AB}, \ Mittelsenkrechte \ m \ von \overline{AB}</math> 
<math>|\ PA | = | \ PB |</math> 
<math>\ Beh: \ P \in \ m </math> 

Man muss in zwei Fälle unterscheiden: 
<math>\ 1. \ Fall: \ P \neq \ M</math> 
<math>\ 2. \ Fall: \ P \ = \ M</math> 

<math>\ 1. Fall: \ P \neq \ M</math> 

<ggb_applet width="460" height="353" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

<math>\ 1) \triangle \overline{ABP} \ ist \ gleichschenklig \ (Vor, \ Def. \ gleichschenkliges \triangle \ )</math> 
<math>\ 2) \exists \ Winkelhalbierende \ w \ des \angle \ APB \ (Existenz \ und \ Eindeutigkeit \ der \ Winkelhalbierenden)</math> 
<math>\ 3) \ w \ teilt \angle \ APB \ in \ y1 \ und \ y2, \ y1 \ = \ y2 \ (Def. \ Winkelhalbierende)</math> 
<math>\ 4) \ w \cap \overline{AB} \ = \ P2 \ (Lemma1)</math> 
<s> 5)</s><math>|\ PA | = | \ PB | \ (Vor.) </math> 
<s> 6) </s> <math>\ y1 \ = \ y2 \ (3)</math> Nicht einfach Schritte oder Vorausetzung wiederholen! 
<math>\ 7) \angle \ PAB \cong \angle \ PBA \ (1, \ Basiswinkelsatz)</math> 
<math>\ 8) \triangle \ APP2 \cong \triangle \ BPP2 \ (WSW, \ 5, \ 6, \ 7)</math> 
<math>\ 9) \angle | \ AP2P | \ = \angle | \ BP2P | \ = \ 90 </math> (8, Def. Nebenwinkel, Supplementaxiom) 
<math>\ 10) | \overline{AP2} | \ = | \overline{BP2}</math> (8) 
<math>\ 11) \ P2 \ = \ M, \ w \ = \ m</math> (10, Def. Mittelpunkt, 9, Def. Mittelsenkrechte) 
<math>\ 12) \ P \in \ m</math> (9, 10, 11) 
Ich denke, auch so kann Fall I beweisen werden. Scheint mir aufwendiger, aber auch richtig. Gut!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:57, 5. Jul. 2011 (CEST) 

<math>\ 2. \ Fall: \ P \ = \ M</math> 
<math>\ 1) | \ PA | \ = | \ MA | \, | \ Pm | \ = | \ M | </math> (Annahme 2. Fall) (Hier verstehe ich nicht, was du damit zeigen willst. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:57, 5. Jul. 2011 (CEST)) 
<math>\ 2) \ P \ ist \ Mittelpunkt \ von \overline{AB}</math> (Def. Mittelpunkt, 1) 
<math>\ 3) \ P \in \ m</math> (2, Def. Mittelsenkrechte)--[[Benutzer:Phil86|-phil-]] 15:04, 5. Jul. 2011 (CEST)

zum 2. Fall:
zu zeigen ist ja hier nur, dass P Element der Mittelsenkrechten ist:
da P=M ist PA = PB (die Strecken) und somit ist ja nach Def. Mittelsenkrechte erfüllt,
dass er auf m liegt. (die Gerade m durch P kann ja dann senkrecht stehen)
Oder muss man dann noch einen weiteren Punkt außerhalb der Gerade AB annehmen, der mit
P eine Senkrechte (Ex und Eind. Senkrechte zu einem Punkt) durch AB bildet?
Bitte um einen Kommentar....danke--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 10:31, 15. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 12.3 SS11

2011-07-15T08:31:04Z

Mm l123:

Lösung Aufgabe 1c SS11

2011-07-14T14:06:53Z

Mm l123: Die Seite wurde neu angelegt: „Basiswinkel existieren nur im gleichschenkligen Dreieck und sind als kongruent definiert, was aber zuerst noch zu beweisen wäre. Also müsste es 2 Innenwinkel de…“

Basiswinkel existieren nur im gleichschenkligen Dreieck und sind als kongruent definiert, was aber zuerst noch zu beweisen wäre.
Also müsste es 2 Innenwinkel des Dreiecks heißen.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 16:06, 14. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 8.5 (SoSe 11)

2011-07-14T13:40:27Z

Mm l123:

'''Satz:'''
::Von drei paarweise verschiedenen Punkten <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> ein und derselben Geraden <math>\ g</math> liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
Beweisen Sie diesen Satz.
 
Voraussetzung: A, B, C sind paarweie verschieden und liegen auf ein und derselben Gerade g 
Behauptung: Ein Punkt B (o. B. d. A.) liegt zwischen den beiden anderen 
Beweis durch Widerspruch: 
Fall 1: Kein Punkt liegt zwischen zwei anderen 
Annahme: |AB| = |AC| = |BC|

Auf der Diskussionsseite befindet sich noch ein Kommentar, der noch nicht näher diskutiert wurde und dies sollte evtl. geklärt werden [[Diskussion:Lösung von Aufg. 8.5 (SoSe 11)]]--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 18:00, 6. Jun. 2011 (CEST)

{| class="wikitable"
|-
| 1) || <math>|AB| = |AC|</math> <math>\Rightarrow</math> <math>B = C</math> || Vor., Axiom II.2, Axiom II.1, Annahme
|-
| 2) || <math>|AC| = |BC|</math> <math>\Rightarrow</math> <math>A = B</math> || Vor., Axiom II.2, Axiom II.1, Annahme
|-
| 3) || <math>A = B = C</math> || (1), (2), Transitivität von "="
|-
| 4) || Widerspruch zur Voraussetzung A, B, C paarweise verschieden; Annahme ist zu verwerfen || (3)
|}
 
Fall 2: Zwei Punkte liegen zwischen zwei anderen 
Annahme: Es gilt: Zw(A, B, C) und Zw(B, A, C)

{| class="wikitable"
|-
| 1) || <math>|AB| + |BC| = |AC|</math> || Def. ZWrel., Annahme
|-
| 2) || <math>|BA| + |AC| = |BC|</math> || Def. ZWrel., Annahme
|-
| 3) || <math>|AB| + |BA| + |AC| = |AC|</math> || Rechnen in R, (1), (2)
|-
| 4) || <math>|AB| + |BA| = 0</math> || Rechnen in R, (3)
|-
| 5) || <math>A = B</math> || Axiom II.1 (d als positive reele Zahl und wenn eine Zahl a mit einer anderen Zahl b addiert wird und Null ergibt, ist a=b=0), Axiom II.2
|-
| 6) || Widerspruch zur Voraussetzung, paarweise verschieden || (5)
|}
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 23:25, 31. Mai 2011 (CEST)
 
 
Ich glaube, es war relativ unwirtschaftliche, diesen beweis durch wiederspruch zu führen, da er sich ebenfalls und einfacher direkt beweisen lässt (und dann hätte sich auch die diskussion erledigt):
 
===BEWEISVERSUCH II:===
 
 
Voraussetzung: A, B, C sind paarweie verschieden und liegen auf ein und derselben Gerade g 
Behauptung: <math>\operatorname(Zw) (A, B, C) \vee \operatorname(Zw) (B, A, C) \vee \operatorname(Zw)(A, C, B) </math> 
 

{| class="wikitable"
|-
| 1 || Die Punkte A, B und C sind kollinear || Vorraussetzung, Definition kollinear
|-
| 2 || Es gilt: <math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| \vee \left| BA \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| \vee \left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|</math> || (1), Axiom II.3
|-
| 3 || Daraus folgt: <math>\operatorname(Zw) (A, B, C) \vee \operatorname(Zw) (B, A, C) \vee \operatorname(Zw)(A, C, B) </math> || (2), Def. Zwischenrelation
|}
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 17:04, 17. Jun. 2011 (CEST) 
 Dieser Beweis ist natürlich wirtschaftlicher und er ist auch völlig korrekt. Allerdings entspricht die Behauptung nicht der Aufgabenstellung. Also, es wurde nicht gezeigt das''' genau''' eine der Zwischenrelationen gilt (das steht nämlich nicht im Axiom II.3). Das war im 1. Beweis richtig. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:52, 18. Jun. 2011 (CEST)
 
 
Das heißt, wenn ich jetzt noch zeige, dass keine zwei gleichzeitig gelten (was ich oben in Fall 2 berücksichtigt habe) wäre es ok, oder? weil dass ja eines keines zutrifft ist ja ausgeschlossen und wenn ich annehmen, dass zwei zutreffen und das negiere, müsste alles bewiesen sein, hoff ich :-)--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 13:28, 18. Jun. 2011 (CEST)

Wenn man in der Behauptung o.B.d.A annimmt, dass Zw(A,B,C) und dann in der Annahme Zw(A,C,B) oder Zw(B,A,C) zum Widerspruch führt, dann muss ja o.B.d.A gelten, dass genau ein Punkt zwischen den beiden anderen liegt, d.h. genau eine Zwischenrelation gilt.
Hier bin ich wie folgt vorgegangen: die Gleichungen aus Axiom II/3 lassen sich gleichsetzen und dann müsste AC=0 sein --> Widerspruch zur VSS, dass A ungleich C ist.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 15:40, 14. Jul. 2011 (CEST)

==Lösungen der Gruppenarbeit aus der Übung Klara Buchner==
* Die [[Media:Gruppenlösung8.5.jpg|Lösung]] stimmt.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 6.6 (SoSe 11)

2011-07-14T09:51:49Z

Mm l123:

Es sei <math>\ \mathfrak{F}</math> die Menge der Figuren der Ebene. Auf <math>\ \mathfrak{F}</math> sei eine Äquivalenzrelation <math>\ \Theta</math> definiert. <math>\ \Theta</math> möge <math>\ \mathfrak{F}</math> derart in Klassen einteilen, dass die folgenden Figuren in ein und derselben Klasse liegen:
[[Bild:Figur_Aufgabe_5.jpg]] 
Geben Sie mögliche Interpretationen der Relation <math>\ \Theta</math> an. 

- sind konvex 
- liegen in der gleichen Ebene wie
[[Category:Einführung_Geometrie]]

- haben den gleichen Flächeninhalt
--[[Benutzer:Madita|Madita]] 15:24, 19. Mai 2011 (CEST)

Die Antwort: "haben den gleichen Flächeninhalt" ist korrekt, die Antwort: "sind konvex" ist problematisch. Erkennen Sie den prinzipiellen Unterschied zwischen den beiden Antworten?--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:27, 9. Jun. 2011 (CEST)

konvex wäre doch dann möglich, wenn das Dreieck nicht dabei wäre? Dreicke sind doch immer konvex, dann würde die
Def. von Madita alle Dreiecke mit einschließen...--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 11:51, 14. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 13.4 (SoSe 11)

2011-07-14T09:26:16Z

Mm l123:

Beweisen Sie die Gültigkeit der Umkehrung des Basiswinkelsatzes

Hallo - kann jemand eine gültige Lösung einstellen, da wir uns in unserer Übung nicht ganz einig über
die Beweisidee waren.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 11:26, 14. Jul. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Existenz von Parallelen und das Euklidische Parallelenaxiom (SoSe 11)

2011-07-13T10:42:33Z

Mm l123: /* Beweis der Existenz von Parallelen */

===== Satz XI. 1: (Existenz von Parallelen) =====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parallel zu <math>\ g</math> ist.
===== Beweis der Existenz von Parallelen =====
Ich bin doch nicht verrückt ^^ --[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:31, 7. Jul. 2011 (CEST) 
Hm... ich denke mit verrückt sein hat das wenig zu tun... die Existens einer Parallelen kann man beweisen. Deshalb heißt es im Parallelenaxiom auch nicht "genau", sonder "höchstens". Würde es "genau" heißen, so wäre das Axiom nicht unabhängig und dies würde den Ansprüchen an ein Axiom widersprechen. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:49, 8. Jul. 2011 (CEST)
Übungsaufgabe
 

Wo besteht der Unterschied zwischen dem EP und dem Satz über die Existenz von Parallelen? In beiden steht Wort wörtlich das Gleiche. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 17:20, 12. Jul. 2011 (CEST) 

Das Axiom meint die Eindeutigkeit der Parallele, wobei der Satz die Existenz von Parallelen beschreibt.
Im Axiom steht höchstens eine nicht genau eine Gerade.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 12:35, 13. Jul. 2011 (CEST)

[[Beweisidee:]]
es existiert eine Gerade f, die P enthält:

f geschnitten mit g ist dann entweder leer => f = h

oder

f geschnitten mit g ist Punkt Q => nach dem Winkelkonstruktionsaxiom möge f die Geraden g und h derart schneiden,
dass kongruente Stufenwinkel entstehen. Nach der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes wären g und h parallel.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 12:42, 13. Jul. 2011 (CEST)

== Geschichte des Parallelenaxioms ==
=== Vater und Sohn Bolyai===
''Du darfst die Parallelen nicht auf jenem Wege versuchen; ich kenne
diesen Weg bis an sein Ende — auch ich habe diese bodenlose Nacht
durchmessen, jedes Licht, jede Freude meines Lebens sind in ihr ausgelöscht worden — ich beschwöre Dich bei Gott — laß die Lehre von
den Parallelen in Frieden. . . sie kann Dich um all Deine Ruhe, Deine
Gesundheit und um Dein ganzes Lebensglück bringen. . . .Wenn
ich die Parallelen hätte entdecken können, so wäre ich ein Engel geworden.
. . . Es ist unbegreiflich, daß diese unabwendbare Dunkelheit,
diese ewige Sonnenfinsternis, dieser Makel der Geometrie zugelassen
wurde, diese ewige Wolke an der jungfräulichen Wahrheit. 
Farkas Bolyai (in einem Brief an seinen Sohn Janos Bolyai, 1820)''
([http://www.mathematik.hu-berlin.de/~filler/publikat/filler_eukl-ne-geom.pdf], S. 162)

http://de.wikipedia.org/wiki/Farkas_Bolyai 
http://de.wikipedia.org/wiki/Janos_Bolyai

=== Carl Friedrich Gauß ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F
=== Николай Иванович Лобачевский ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Lobatschewski
== Das Euklidische Parallelenaxiom ==
===== EP =====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.
== Sätze über Winkel an geschnittenen Parallelen ==
=== Der Stufenwinkelsatz ===
===== Satz XII.1: (Stufenwinkelsatz) =====
Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.

Beweis: 
Übungsaufgabe

=== Der Wechselwinkelsatz ===
===== Satz XII.2: (Wechselwinkelsatz) =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.

=== Der Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen ===
===== Satz XII.3 =====
Entgegengesetzte Winkel an geschnittenen Parallelen sind supplementär.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Existenz von Parallelen und das Euklidische Parallelenaxiom (SoSe 11)

2011-07-13T10:35:16Z

Mm l123: /* Beweis der Existenz von Parallelen */

===== Satz XI. 1: (Existenz von Parallelen) =====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parallel zu <math>\ g</math> ist.
===== Beweis der Existenz von Parallelen =====
Ich bin doch nicht verrückt ^^ --[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:31, 7. Jul. 2011 (CEST) 
Hm... ich denke mit verrückt sein hat das wenig zu tun... die Existens einer Parallelen kann man beweisen. Deshalb heißt es im Parallelenaxiom auch nicht "genau", sonder "höchstens". Würde es "genau" heißen, so wäre das Axiom nicht unabhängig und dies würde den Ansprüchen an ein Axiom widersprechen. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:49, 8. Jul. 2011 (CEST)
Übungsaufgabe
 

Wo besteht der Unterschied zwischen dem EP und dem Satz über die Existenz von Parallelen? In beiden steht Wort wörtlich das Gleiche. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 17:20, 12. Jul. 2011 (CEST) 

Das Axiom meint die Eindeutigkeit der Parallele, wobei der Satz die Existenz von Parallelen beschreibt.
Im Axiom steht höchstens eine nicht genau eine Gerade.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 12:35, 13. Jul. 2011 (CEST)

== Geschichte des Parallelenaxioms ==
=== Vater und Sohn Bolyai===
''Du darfst die Parallelen nicht auf jenem Wege versuchen; ich kenne
diesen Weg bis an sein Ende — auch ich habe diese bodenlose Nacht
durchmessen, jedes Licht, jede Freude meines Lebens sind in ihr ausgelöscht worden — ich beschwöre Dich bei Gott — laß die Lehre von
den Parallelen in Frieden. . . sie kann Dich um all Deine Ruhe, Deine
Gesundheit und um Dein ganzes Lebensglück bringen. . . .Wenn
ich die Parallelen hätte entdecken können, so wäre ich ein Engel geworden.
. . . Es ist unbegreiflich, daß diese unabwendbare Dunkelheit,
diese ewige Sonnenfinsternis, dieser Makel der Geometrie zugelassen
wurde, diese ewige Wolke an der jungfräulichen Wahrheit. 
Farkas Bolyai (in einem Brief an seinen Sohn Janos Bolyai, 1820)''
([http://www.mathematik.hu-berlin.de/~filler/publikat/filler_eukl-ne-geom.pdf], S. 162)

http://de.wikipedia.org/wiki/Farkas_Bolyai 
http://de.wikipedia.org/wiki/Janos_Bolyai

=== Carl Friedrich Gauß ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F
=== Николай Иванович Лобачевский ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Lobatschewski
== Das Euklidische Parallelenaxiom ==
===== EP =====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.
== Sätze über Winkel an geschnittenen Parallelen ==
=== Der Stufenwinkelsatz ===
===== Satz XII.1: (Stufenwinkelsatz) =====
Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.

Beweis: 
Übungsaufgabe

=== Der Wechselwinkelsatz ===
===== Satz XII.2: (Wechselwinkelsatz) =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.

=== Der Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen ===
===== Satz XII.3 =====
Entgegengesetzte Winkel an geschnittenen Parallelen sind supplementär.

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Existenz von Parallelen und das Euklidische Parallelenaxiom (SoSe 11)

2011-07-13T10:35:02Z

Mm l123: /* Beweis der Existenz von Parallelen */

===== Satz XI. 1: (Existenz von Parallelen) =====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parallel zu <math>\ g</math> ist.
===== Beweis der Existenz von Parallelen =====
Ich bin doch nicht verrückt ^^ --[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:31, 7. Jul. 2011 (CEST) 
Hm... ich denke mit verrückt sein hat das wenig zu tun... die Existens einer Parallelen kann man beweisen. Deshalb heißt es im Parallelenaxiom auch nicht "genau", sonder "höchstens". Würde es "genau" heißen, so wäre das Axiom nicht unabhängig und dies würde den Ansprüchen an ein Axiom widersprechen. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:49, 8. Jul. 2011 (CEST)
Übungsaufgabe
 

Wo besteht der Unterschied zwischen dem EP und dem Satz über die Existenz von Parallelen? In beiden steht Wort wörtlich das Gleiche. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 17:20, 12. Jul. 2011 (CEST) 

Das Axiom meint die Eindeutigkeit der Parallele, wobei der Satz die Existenz von Parallelen beschreibt.
Im Axiom steht höchstens eine nicht genau eine Gerade.

== Geschichte des Parallelenaxioms ==
=== Vater und Sohn Bolyai===
''Du darfst die Parallelen nicht auf jenem Wege versuchen; ich kenne
diesen Weg bis an sein Ende — auch ich habe diese bodenlose Nacht
durchmessen, jedes Licht, jede Freude meines Lebens sind in ihr ausgelöscht worden — ich beschwöre Dich bei Gott — laß die Lehre von
den Parallelen in Frieden. . . sie kann Dich um all Deine Ruhe, Deine
Gesundheit und um Dein ganzes Lebensglück bringen. . . .Wenn
ich die Parallelen hätte entdecken können, so wäre ich ein Engel geworden.
. . . Es ist unbegreiflich, daß diese unabwendbare Dunkelheit,
diese ewige Sonnenfinsternis, dieser Makel der Geometrie zugelassen
wurde, diese ewige Wolke an der jungfräulichen Wahrheit. 
Farkas Bolyai (in einem Brief an seinen Sohn Janos Bolyai, 1820)''
([http://www.mathematik.hu-berlin.de/~filler/publikat/filler_eukl-ne-geom.pdf], S. 162)

http://de.wikipedia.org/wiki/Farkas_Bolyai 
http://de.wikipedia.org/wiki/Janos_Bolyai

=== Carl Friedrich Gauß ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F
=== Николай Иванович Лобачевский ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Lobatschewski
== Das Euklidische Parallelenaxiom ==
===== EP =====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.
== Sätze über Winkel an geschnittenen Parallelen ==
=== Der Stufenwinkelsatz ===
===== Satz XII.1: (Stufenwinkelsatz) =====
Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.

Beweis: 
Übungsaufgabe

=== Der Wechselwinkelsatz ===
===== Satz XII.2: (Wechselwinkelsatz) =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.

=== Der Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen ===
===== Satz XII.3 =====
Entgegengesetzte Winkel an geschnittenen Parallelen sind supplementär.

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Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (SoSe 11)

2011-07-13T10:32:45Z

Mm l123: /* Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) */

== Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel ==

In welchen Fällen handelt es sich um....
::Stufenwinkel
::Wechselwinkel
::entgegengesetzt liegende Winkel?
<ggb_applet width="1066" height="509" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition X.1: (Stufenwinkel) =====

Zwei Winkel <(p,q) und <(r,s) heißen Stufenwinkel, falls ein Schenkel r des einen Winkels eine Teilmenge
eines Schenkels p des anderen Winkels ist und die anderen beiden Schenkel q und s in einer Halbebene
bezüglich der Geraden g liegen, die durch die beiden Schenkel p und r gegeben ist.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 11:56, 13. Jul. 2011 (CEST)

===== Definition X.2: (Wechselwinkel) =====
Zwei Winkel <(p, q) und <(r, s) heißen Wechselwinkel, falls der Scheitelwinkel des Winkels <(p, q)
und der Winkel <(r, s) Stufenwinkel sind.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 11:58, 13. Jul. 2011 (CEST)

===== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel)=====
(ergänzen Sie)
 Zwei Winkel <math>\angle p,q</math> und <math>\angle r,s</math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, wenn der Stufenwinkel des Winkels <math>\angle p,q</math> und der Winkel Nebenwinkel sind. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 20:39, 12. Jul. 2011 (CEST) 

Der Nebenwinkel könnte doch auch ein Wechselwinkel sein... oder?

Also: Zwei Winkel <(p,q) und <(r,s) heißen entgegengesetzt liegende Winkel, falls der Nebenwinkel von <(r,s) Wechsel- oder Stufenwinkel von <(p,q) ist.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 12:10, 13. Jul. 2011 (CEST)

== Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes ==
===== Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
::Es seien <math>\ a</math> und <math>\ b</math> zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade <math>\ c</math> jeweils geschnitten werden. Es seien ferner <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von <math>\ c</math> mit <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entstehen mögen. 
::Wenn die beiden Stufenwinkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> parallel zueinander.
===== Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade <math>\ c</math> möge <math>\ a</math> in dem Punkt<math> \ A</math> und die Gerade <math>\ b</math> in dem Punkt <math>\ B</math> schneiden. <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> sei ein Paar von Stufenwinkeln, welches bei dem Schnitt von <math>\ a</math> und <math>\ b</math> mit <math>\ c</math> entstehen möge.

Voraussetzung:

(i) <math>\ \alpha \cong \beta</math>

[[Bild:Umkehrung_stufenwinkelsatz_01.png|400 px]]

Behauptung:

<math>\ a \| b</math>

Annahme:

<math>a\not\| b</math>

Den Rest können Sie selbst!

 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| 1) <math>a\not\| b</math> || Ann.
|-
| 2) <math>\ a \cap b</math>={S} || 1), Satz Schnittpunkt von Geraden
|-
| 3) <math>|\alpha | \neq |\beta |</math> (habe nicht kongruent nicht gefunden)|| 1,2
|-
|||Widerspruch zur Vor., Ann. ist zu verwerfen, Beh. stimmt.
|}

 stimmt das so? Ich finde, das ist sehr kurz, aber mir fällt weiter nichts dazu ein. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 21:01, 12. Jul. 2011 (CEST) 
 
 
und nun schon wieder ich :-) aus punkt eins und zwei folgt noch nicht, dass die die Winkel nicht kongruent sind. ich würde noch zwei schritte einbauen:

Zusätzliche Voraussetzung: Seien die Schnittpunkte der Geraden A und B (weil die geschnittenen Geraden haben wir ja, sonst hätten wir keinen Stufenwinkel)

Schritt 2.1 Es entsteht ein Dreieck /overline{ASB}. <math>\beta</math> ist Stufenwinkel von <math>\alpha</math> und ein Außenwinkel des Dreiecks overline{ASB}

Begründung bei deinem Schritt 3: schwacher Außenwinkelsatz, Voraussetzung, Schritt 2.1

Jetzt müsste es passen. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:43, 12. Jul. 2011 (CEST) Ja, genau das würde ich auch noch dazu sagen, dass ein Dreieck entsteht! --[[Benutzer:Herbst2010|Herbst2010]] 11:23, 13. Jul. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Ja, wir brauchen den schw. Außenwinkelsatz:

1) a geschnitten b => {C} nach Satz I.1

2) <math>\alpha</math> ist Innenwinkel vom Dreick ABC nach Def. Innenwinkel

3) ß ist Außenwinkel des Dreiecks ABC nach Def. Außenwinkel

4) ß > <math>\alpha</math> nach dem schwachen Außenwinkelsatz was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.. somit gilt die Behauptung--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 12:27, 13. Jul. 2011 (CEST)

Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (SoSe 11)

2011-07-13T10:27:26Z

Mm l123: /* Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) */

== Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel ==

In welchen Fällen handelt es sich um....
::Stufenwinkel
::Wechselwinkel
::entgegengesetzt liegende Winkel?
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===== Definition X.1: (Stufenwinkel) =====

Zwei Winkel <(p,q) und <(r,s) heißen Stufenwinkel, falls ein Schenkel r des einen Winkels eine Teilmenge
eines Schenkels p des anderen Winkels ist und die anderen beiden Schenkel q und s in einer Halbebene
bezüglich der Geraden g liegen, die durch die beiden Schenkel p und r gegeben ist.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 11:56, 13. Jul. 2011 (CEST)

===== Definition X.2: (Wechselwinkel) =====
Zwei Winkel <(p, q) und <(r, s) heißen Wechselwinkel, falls der Scheitelwinkel des Winkels <(p, q)
und der Winkel <(r, s) Stufenwinkel sind.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 11:58, 13. Jul. 2011 (CEST)

===== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel)=====
(ergänzen Sie)
 Zwei Winkel <math>\angle p,q</math> und <math>\angle r,s</math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, wenn der Stufenwinkel des Winkels <math>\angle p,q</math> und der Winkel Nebenwinkel sind. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 20:39, 12. Jul. 2011 (CEST) 

Der Nebenwinkel könnte doch auch ein Wechselwinkel sein... oder?

Also: Zwei Winkel <(p,q) und <(r,s) heißen entgegengesetzt liegende Winkel, falls der Nebenwinkel von <(r,s) Wechsel- oder Stufenwinkel von <(p,q) ist.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 12:10, 13. Jul. 2011 (CEST)

== Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes ==
===== Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
::Es seien <math>\ a</math> und <math>\ b</math> zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade <math>\ c</math> jeweils geschnitten werden. Es seien ferner <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von <math>\ c</math> mit <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entstehen mögen. 
::Wenn die beiden Stufenwinkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> parallel zueinander.
===== Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade <math>\ c</math> möge <math>\ a</math> in dem Punkt<math> \ A</math> und die Gerade <math>\ b</math> in dem Punkt <math>\ B</math> schneiden. <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> sei ein Paar von Stufenwinkeln, welches bei dem Schnitt von <math>\ a</math> und <math>\ b</math> mit <math>\ c</math> entstehen möge.

Voraussetzung:

(i) <math>\ \alpha \cong \beta</math>

[[Bild:Umkehrung_stufenwinkelsatz_01.png|400 px]]

Behauptung:

<math>\ a \| b</math>

Annahme:

<math>a\not\| b</math>

Den Rest können Sie selbst!

 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| 1) <math>a\not\| b</math> || Ann.
|-
| 2) <math>\ a \cap b</math>={S} || 1), Satz Schnittpunkt von Geraden
|-
| 3) <math>|\alpha | \neq |\beta |</math> (habe nicht kongruent nicht gefunden)|| 1,2
|-
|||Widerspruch zur Vor., Ann. ist zu verwerfen, Beh. stimmt.
|}

 stimmt das so? Ich finde, das ist sehr kurz, aber mir fällt weiter nichts dazu ein. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 21:01, 12. Jul. 2011 (CEST) 
 
 
und nun schon wieder ich :-) aus punkt eins und zwei folgt noch nicht, dass die die Winkel nicht kongruent sind. ich würde noch zwei schritte einbauen:

Zusätzliche Voraussetzung: Seien die Schnittpunkte der Geraden A und B (weil die geschnittenen Geraden haben wir ja, sonst hätten wir keinen Stufenwinkel)

Schritt 2.1 Es entsteht ein Dreieck /overline{ASB}. <math>\beta</math> ist Stufenwinkel von <math>\alpha</math> und ein Außenwinkel des Dreiecks overline{ASB}

Begründung bei deinem Schritt 3: schwacher Außenwinkelsatz, Voraussetzung, Schritt 2.1

Jetzt müsste es passen. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:43, 12. Jul. 2011 (CEST) Ja, genau das würde ich auch noch dazu sagen, dass ein Dreieck entsteht! --[[Benutzer:Herbst2010|Herbst2010]] 11:23, 13. Jul. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Ja, wir brauchen den schw. Außenwinkelsatz:

1) a geschnitten b => {C} nach Satz I.1
2) \alpha</math> ist Innenwinkel vom Dreick ABC nach Def. Innenwinkel
3) ß ist Außenwinkel des Dreiecks ABC nach Def. Außenwinkel
4) ß > \alpha</math> nach dem schwachen Außenwinkelsatz was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.. somit gilt die Behauptung--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 12:27, 13. Jul. 2011 (CEST)

Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (SoSe 11)

2011-07-13T10:10:24Z

Mm l123: /* Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel) */

Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (SoSe 11)

2011-07-13T09:58:58Z

Mm l123: /* Definition X.2: (Wechselwinkel) */

== Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel ==

In welchen Fällen handelt es sich um....
::Stufenwinkel
::Wechselwinkel
::entgegengesetzt liegende Winkel?
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===== Definition X.1: (Stufenwinkel) =====

Zwei Winkel <(p,q) und <(r,s) heißen Stufenwinkel, falls ein Schenkel r des einen Winkels eine Teilmenge
eines Schenkels p des anderen Winkels ist und die anderen beiden Schenkel q und s in einer Halbebene
bezüglich der Geraden g liegen, die durch die beiden Schenkel p und r gegeben ist.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 11:56, 13. Jul. 2011 (CEST)

===== Definition X.2: (Wechselwinkel) =====
Zwei Winkel <(p, q) und <(r, s) heißen Wechselwinkel, falls der Scheitelwinkel des Winkels <(p, q)
und der Winkel <(r, s) Stufenwinkel sind.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 11:58, 13. Jul. 2011 (CEST)

===== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel)=====
(ergänzen Sie)
 Zwei Winkel <math>\angle p,q</math> und <math>\angle r,s</math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, wenn der Stufenwinkel des Winkels <math>\angle p,q</math> und der Winkel Nebenwinkel sind. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 20:39, 12. Jul. 2011 (CEST) 

== Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes ==
===== Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
::Es seien <math>\ a</math> und <math>\ b</math> zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade <math>\ c</math> jeweils geschnitten werden. Es seien ferner <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von <math>\ c</math> mit <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entstehen mögen. 
::Wenn die beiden Stufenwinkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> parallel zueinander.
===== Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade <math>\ c</math> möge <math>\ a</math> in dem Punkt<math> \ A</math> und die Gerade <math>\ b</math> in dem Punkt <math>\ B</math> schneiden. <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> sei ein Paar von Stufenwinkeln, welches bei dem Schnitt von <math>\ a</math> und <math>\ b</math> mit <math>\ c</math> entstehen möge.

Voraussetzung:

(i) <math>\ \alpha \cong \beta</math>

[[Bild:Umkehrung_stufenwinkelsatz_01.png|400 px]]

Behauptung:

<math>\ a \| b</math>

Annahme:

<math>a\not\| b</math>

Den Rest können Sie selbst!

 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| 1) <math>a\not\| b</math> || Ann.
|-
| 2) <math>\ a \cap b</math>={S} || 1), Satz Schnittpunkt von Geraden
|-
| 3) <math>|\alpha | \neq |\beta |</math> (habe nicht kongruent nicht gefunden)|| 1,2
|-
|||Widerspruch zur Vor., Ann. ist zu verwerfen, Beh. stimmt.
|}

 stimmt das so? Ich finde, das ist sehr kurz, aber mir fällt weiter nichts dazu ein. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 21:01, 12. Jul. 2011 (CEST) 
 
 
und nun schon wieder ich :-) aus punkt eins und zwei folgt noch nicht, dass die die Winkel nicht kongruent sind. ich würde noch zwei schritte einbauen:

Zusätzliche Voraussetzung: Seien die Schnittpunkte der Geraden A und B (weil die geschnittenen Geraden haben wir ja, sonst hätten wir keinen Stufenwinkel)

Schritt 2.1 Es entsteht ein Dreieck /overline{ASB}. <math>\beta</math> ist Stufenwinkel von <math>\alpha</math> und ein Außenwinkel des Dreiecks overline{ASB}

Begründung bei deinem Schritt 3: schwacher Außenwinkelsatz, Voraussetzung, Schritt 2.1

Jetzt müsste es passen. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:43, 12. Jul. 2011 (CEST) Ja, genau das würde ich auch noch dazu sagen, dass ein Dreieck entsteht! --[[Benutzer:Herbst2010|Herbst2010]] 11:23, 13. Jul. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (SoSe 11)

2011-07-13T09:57:12Z

Mm l123: /* == Definition X.1: (Stufenwinkel) */

== Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel ==

In welchen Fällen handelt es sich um....
::Stufenwinkel
::Wechselwinkel
::entgegengesetzt liegende Winkel?
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===== Definition X.1: (Stufenwinkel) =====

Zwei Winkel <(p,q) und <(r,s) heißen Stufenwinkel, falls ein Schenkel r des einen Winkels eine Teilmenge
eines Schenkels p des anderen Winkels ist und die anderen beiden Schenkel q und s in einer Halbebene
bezüglich der Geraden g liegen, die durch die beiden Schenkel p und r gegeben ist.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 11:56, 13. Jul. 2011 (CEST)

===== Definition X.2: (Wechselwinkel) =====
(ergänzen Sie)

===== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel)=====
(ergänzen Sie)
 Zwei Winkel <math>\angle p,q</math> und <math>\angle r,s</math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, wenn der Stufenwinkel des Winkels <math>\angle p,q</math> und der Winkel Nebenwinkel sind. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 20:39, 12. Jul. 2011 (CEST) 

== Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes ==
===== Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
::Es seien <math>\ a</math> und <math>\ b</math> zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade <math>\ c</math> jeweils geschnitten werden. Es seien ferner <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von <math>\ c</math> mit <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entstehen mögen. 
::Wenn die beiden Stufenwinkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> parallel zueinander.
===== Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade <math>\ c</math> möge <math>\ a</math> in dem Punkt<math> \ A</math> und die Gerade <math>\ b</math> in dem Punkt <math>\ B</math> schneiden. <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> sei ein Paar von Stufenwinkeln, welches bei dem Schnitt von <math>\ a</math> und <math>\ b</math> mit <math>\ c</math> entstehen möge.

Voraussetzung:

(i) <math>\ \alpha \cong \beta</math>

[[Bild:Umkehrung_stufenwinkelsatz_01.png|400 px]]

Behauptung:

<math>\ a \| b</math>

Annahme:

<math>a\not\| b</math>

Den Rest können Sie selbst!

 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| 1) <math>a\not\| b</math> || Ann.
|-
| 2) <math>\ a \cap b</math>={S} || 1), Satz Schnittpunkt von Geraden
|-
| 3) <math>|\alpha | \neq |\beta |</math> (habe nicht kongruent nicht gefunden)|| 1,2
|-
|||Widerspruch zur Vor., Ann. ist zu verwerfen, Beh. stimmt.
|}

 stimmt das so? Ich finde, das ist sehr kurz, aber mir fällt weiter nichts dazu ein. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 21:01, 12. Jul. 2011 (CEST) 
 
 
und nun schon wieder ich :-) aus punkt eins und zwei folgt noch nicht, dass die die Winkel nicht kongruent sind. ich würde noch zwei schritte einbauen:

Zusätzliche Voraussetzung: Seien die Schnittpunkte der Geraden A und B (weil die geschnittenen Geraden haben wir ja, sonst hätten wir keinen Stufenwinkel)

Schritt 2.1 Es entsteht ein Dreieck /overline{ASB}. <math>\beta</math> ist Stufenwinkel von <math>\alpha</math> und ein Außenwinkel des Dreiecks overline{ASB}

Begründung bei deinem Schritt 3: schwacher Außenwinkelsatz, Voraussetzung, Schritt 2.1

Jetzt müsste es passen. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:43, 12. Jul. 2011 (CEST) Ja, genau das würde ich auch noch dazu sagen, dass ein Dreieck entsteht! --[[Benutzer:Herbst2010|Herbst2010]] 11:23, 13. Jul. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (SoSe 11)

2011-07-13T09:56:44Z

Mm l123: /* Definition X.1: (Stufenwinkel) */

== Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel ==

In welchen Fällen handelt es sich um....
::Stufenwinkel
::Wechselwinkel
::entgegengesetzt liegende Winkel?
<ggb_applet width="1066" height="509" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition X.1: (Stufenwinkel) ===

Zwei Winkel <(p,q) und <(r,s) heißen Stufenwinkel, falls ein Schenkel r des einen Winkels eine Teilmenge
eines Schenkels p des anderen Winkels ist und die anderen beiden Schenkel q und s in einer Halbebene
bezüglich der Geraden g liegen, die durch die beiden Schenkel p und r gegeben ist.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 11:56, 13. Jul. 2011 (CEST)

===== Definition X.2: (Wechselwinkel) =====
(ergänzen Sie)

===== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel)=====
(ergänzen Sie)
 Zwei Winkel <math>\angle p,q</math> und <math>\angle r,s</math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, wenn der Stufenwinkel des Winkels <math>\angle p,q</math> und der Winkel Nebenwinkel sind. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 20:39, 12. Jul. 2011 (CEST) 

== Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes ==
===== Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
::Es seien <math>\ a</math> und <math>\ b</math> zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade <math>\ c</math> jeweils geschnitten werden. Es seien ferner <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von <math>\ c</math> mit <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entstehen mögen. 
::Wenn die beiden Stufenwinkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> parallel zueinander.
===== Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade <math>\ c</math> möge <math>\ a</math> in dem Punkt<math> \ A</math> und die Gerade <math>\ b</math> in dem Punkt <math>\ B</math> schneiden. <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> sei ein Paar von Stufenwinkeln, welches bei dem Schnitt von <math>\ a</math> und <math>\ b</math> mit <math>\ c</math> entstehen möge.

Voraussetzung:

(i) <math>\ \alpha \cong \beta</math>

[[Bild:Umkehrung_stufenwinkelsatz_01.png|400 px]]

Behauptung:

<math>\ a \| b</math>

Annahme:

<math>a\not\| b</math>

Den Rest können Sie selbst!

 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| 1) <math>a\not\| b</math> || Ann.
|-
| 2) <math>\ a \cap b</math>={S} || 1), Satz Schnittpunkt von Geraden
|-
| 3) <math>|\alpha | \neq |\beta |</math> (habe nicht kongruent nicht gefunden)|| 1,2
|-
|||Widerspruch zur Vor., Ann. ist zu verwerfen, Beh. stimmt.
|}

 stimmt das so? Ich finde, das ist sehr kurz, aber mir fällt weiter nichts dazu ein. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 21:01, 12. Jul. 2011 (CEST) 
 
 
und nun schon wieder ich :-) aus punkt eins und zwei folgt noch nicht, dass die die Winkel nicht kongruent sind. ich würde noch zwei schritte einbauen:

Zusätzliche Voraussetzung: Seien die Schnittpunkte der Geraden A und B (weil die geschnittenen Geraden haben wir ja, sonst hätten wir keinen Stufenwinkel)

Schritt 2.1 Es entsteht ein Dreieck /overline{ASB}. <math>\beta</math> ist Stufenwinkel von <math>\alpha</math> und ein Außenwinkel des Dreiecks overline{ASB}

Begründung bei deinem Schritt 3: schwacher Außenwinkelsatz, Voraussetzung, Schritt 2.1

Jetzt müsste es passen. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:43, 12. Jul. 2011 (CEST) Ja, genau das würde ich auch noch dazu sagen, dass ein Dreieck entsteht! --[[Benutzer:Herbst2010|Herbst2010]] 11:23, 13. Jul. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade (SoSe 11)

2011-07-13T09:51:07Z

Mm l123: /* Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) */

== Der Begriff des Lotes ==

===== Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) =====
:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge. ... 
 

Definition: 
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge, die Grade durch <math> \ P </math> und <math>\ g</math>, die senkrecht zu g ist heißt Lotgerade. Der Schnittpunkt <math>\ S</math> von <math>\ P</math> und <math>\ g</math> heißt Lotfußpunkt, die Strecke <math>\overline{SP}</math> Lot.--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 20:38, 2. Jul. 2011 (CEST) 
Der Schnittpunkt von <math>\operatorname {P}</math> und <math>\operatorname {g}</math>... da <math>P \not\in g</math> vorher in der Def. vorkommt, kann dies garnicht eintreten. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:33, 8. Jul. 2011 (CEST)

===== Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) =====
:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist ... 

Defintion: 
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist die Länge des Lots von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> --[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 20:40, 2. Jul. 2011 (CEST)

 Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist eine nicht negative reelle Zahl d. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 18:40, 3. Jul. 2011 (CEST)

Als Abstand eines Punktes P von einer Geraden g wird der Abstand |PQ| bezeichnet, wobei Q der Fußpunkt des Lotes von P auf g ist.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 11:51, 13. Jul. 2011 (CEST)

== Existenz und Eindeutigkeit des Lotes ==
===== Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) =====
:: Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.

===== Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes: =====
Übungsaufgabe

[[Category:Einführung_Geometrie]]

<math> \ Existenz</math> 
<math> \ Voraussetzung:\ Sei \ g \ eine \ Gerade \ und \ P \ ein \ Punkt \ mit \ P \ \not\in \ g </math> 
<math> \ Behauptung:\ Es \ existiert \ ein \ Lot \ von \ P \ auf \ g </math> 
<math> \ Annahme: \ Sei \ S \ ein \ Punkt \ mit \ S \in \ g </math> 
<math> \Rightarrow \exists ! \ Q \in \ gP^+ mit |\angle gQ| = 90, nach \ dem \ Winkelkonstruktionsaxiom</math> 
<math> \ Betrachte \ nun \ die \ eindeutige \ Parallele \ l \ von \ SQ \ durch \ P ,die \ g \ in \ T \ schneidet (n. E.P. und \ dem \ Korallar \ davon)</math> 
<math>\Rightarrow \angle gP \ ist \ Stufenwinkel \ von \ \angle gQ\Rightarrow |\angle gP|=90, \ nach \ dem \ Stufenwinkelsatz</math> 
<math>\Rightarrow \overline{PT} \ ist \ Lot \ auf \ g \ durch \ P</math> 

 
 
Die Eindeutigkeit der Parallele hatten wir schon in einer anderen Übung gezeigt, aus ihr folgt die Eindeutigkeit des Lots.--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:30, 7. Jul. 2011 (CEST) 
Ich glaube nicht, dass in einer Übung die Eindeutigkeit einer Parallelen gezeigt bzw. bewiesen wurde... vllt. wurde die Existens einer Parallelen gezeigt, aber wenn die Eindeutigkeit bewiesen worden wäre, dann widerspräche das dem Parallelenaxiom.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:38, 8. Jul. 2011 (CEST)
Anmerkung:
Das stimmt, aber aus der Existenz + dem EP => die Eindeutigkeit. In der Übung wurde nur das EP gefordert. Aus dem Stufenwinkelsatz folgt dann die Existenz.--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 19:47, 9. Jul. 2011 (CEST)

Definitionen in der Mathematik SoSe 11

2011-04-17T18:10:00Z

Mm l123: /* Definition E.1: Ellipse */

==Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]]==
Wir haben im [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden.
 Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus. 
Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...). 
Man legt nur, mit Hilfe der so genannten ''Axiome'', die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen fest. 

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 
==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
{{#ev:youtube|PQjeTmY0cdQ&NR=1}}
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
*Eine Ellipse ist eine Figur mit zwei Brennpunkten 
*Eine Ellipse ist ein gestauchter Kreis 
*Eine Ellipse ist ein gestreckter Kreis 
*Eine Ellipse ist das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht. (Vorlesung 11.4.11 --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:39, 11. Apr. 2011 (CEST)
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. 
'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition E.1: Ellipse====
::Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte. Unter der Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math> versteht man die Menge aller Punkte <math> P</math> für die gilt, dass die Summe der Abstände <math>\overline{PF_1}</math> und <math>\overline{PF_2}</math> konstant ist. (Vorlesung: 11.04.11) --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 16:03, 11. Apr. 2011 (CEST)

Frage: Brennpunkt ist kein Grundbegriff und ein bislang nicht definierter Begriff, muss er aus diesem Grund nicht auch noch definiert werden? --[[Benutzer:Mml123|mm_l]] 20:09, 17. Apr. 2011 (CEST)}}

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====
::Ein Kreis ist eine Ellipse, deren Brennpunkte <math>F_1</math> und <math>F_2</math> identisch sind.--[[Benutzer:MMaike|MMaike]] 13:54, 13. Apr. 2011 (CEST)
 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAKyeWD0AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3Vjfb9s2EH5e/wpCr1tskdQvA3aKLF2BAt1iwF0fNuyBlmibi0RpFJXI+et3JCVbthMvabqHFn6QfTwd777v7nj09G1b5OiOq1qUcubhke8hLtMyE3I98xq9uki8t5dvpmtervlSMbQqVcH0zKMj4hl5Iy7f/DCtN+U9YrlV+Sz4/czTquEeqivFWVZvONdOvGJ5DXLWtCIXTG1vln/zVNf7BWfjg6wa3RtJi+yjqPufY7tflQv9TtyJjCuUl+nMi0LwHL595kqLlOUzL/CdhEBYYXCwCCJqVjelEg+l1EZ9b3wFEoRq8cDhTWJk07GNc8qbNBeZYNIEY/0AJYTuRaY3My+mBExysd6AryH2nbW0LFW22NaaF6j9g6sSjMZ4RClJKAnCKJ5MgtBD236JjIKQxpMA00kcwDqACB6DKzQehVEYQ1hB6MdJMoGXnlyyW/O7BdcamKwRa3nd47lWItsBbn58qH8u872oKoXU16zSjbJZQDvRQm/NZoCbMjFeyXXOOxkEnm54erss24XDjTrTn7aVfcX6s1xfl3mpkIIXQoh53T2X7ml1jKM7Ld/q+Fajs2GM7tbxhFgN+1y6p9XKhXSudYHjPuqeFdaKGhkBGDfJ22OTsyWHZPBQI4X+2P+ApLntIsVO/7emWELRDNNmZxJ/JZPT8VG+TW+5kjx3WSWB2KZsanRnstdRZ/3IeCoK+OkWOkCYIet3cMBJM75WvPfblZyDy64eZO6ReDrunTA+1OBrqqF1QDzaxGJKW0NZzbxFupFCpRsPZUybFVM/OS84FJe2WWGTaofPe+ztOklpu8IRgHukYfnRFLHJxPJqw0Ay6qLI2RZ6xDAua+/XMjuMlklAzYYCpVoZA4aXinPHqO4SGVVg0JbFAHKLVI3amXdBTQfduv3Rg+uoVseVkOkXdlfaMewQ+S9syPeAzf8CzfX3gMwF7ItJvP/gICEWKzKKwmDwocHLoEvLomAyQ5IV4MgveS4q2N68KcwRi5hvKw8xbLMMMWIgdXg1utdIndnO2Akj0AhEukM89Q47sN5Aq5O8ru1JoocHwgFt3elzwhtYz4SDGNRvOu0nSQ3x61l9lvNw0HN5B86Uqkao9bvpaev3Gd5LWuwYhjXciR7wgENIICVadGX0MRnFQTQhMBrACBCbyeAKm2iiQzmIgakLnPiTEcEB9imGgSKhCSzQzoGroN/3Kuy+Ocf/kS642p0/ooBpKhX6fO7MbdkdZk56kinz85lyWLvzL6pdTNzoYJ+vZVorlnaSwUn+dYoaj+IIBzCS4TgOMIkI7UqaJgGOgsRPMAx4FL+mohd8beRPVPT8hB92np+6M9czwJ6uZXKulp9BYz8BuiZsqvZLORxA/gi2W4MtoUk4CaGpkjCJaRxbyC/iEQ5NPQUkCCgNJ/RM9R+He66ILOK5SY0PUsNIx+2IdDqp3XJemQH5Rn5STNbmanWYii/lfb5r5Me8L1/G+/Lb4v1x2oPj+vsGWect3KBrcznvUc3ggt5CU3oHV2ImU/7ne/wTmv+FfkR7CTESD41PeJZNwdXgrM4sz7B700GbwCCCo4jgGC6hEQnw+dnJH7CHz49ty7LMOZO7rfnx1gOIXjPO+c9OqJvVquba5g9x0xYlZ/MNrsSGCCvrR6mjmMfDS5H946D74+TyX1BLBwj/in845AQAAGoRAABQSwECFAAUAAgACACsnlg9/4p/OOQEAABqEQAADAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAABAAEAOgAAAB4FAAAAAA==" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen==
===Das Haus der Vierecke===
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/HDV_AndreaSpitz.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
 
=== Übungsaufgabe 1.3 der ersten Serie ===
Im Folgenden seien die Begriffe n-Eck, Seite eines n-ecks, Ecke eines n-Ecks bereits definiert.
Ergänzen Sie die folgenden Definitionen. Beziehen Sie sich dabei jeweils auf den nächst höheren Oberbegriff.
====Definition: Viereck====
::Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4--[[Benutzer:*Osterhase*|*Osterhase*]] 13:22, 12. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Trapez====

::Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei gegenüberliegenden parallelen Seiten. --[[Benutzer:Eiermanns|Eiermanns]] 14:04, 12. Apr. 2011 (CEST)
 Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:54, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Parallelogramm====
Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paar paralleler Seiten.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:41, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: gleichschenkliges Trapez====

* Wenn bei einem Trapez die beiden nicht parallelen Seiten ein und denselben Abstand zwischen den Parallelen hat, dann ist es ein gleichschenkliges. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:48, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Diese Definition erscheint mir noch etwas unklar. Was versteht man in diesem Fall unter "Abstand" (sollte genauer erklärt werden). Vielleicht gibt es noch andere Definitionen, die eindeutig ist.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:19, 13. Apr. 2011 (CEST) 
* Ist ein Trapez, bei welchem die Diagonalen gleich lang sind.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:15, 13. Apr. 2011 (CEST)
 Gute Idee! - etwas umgangssprachlich :) --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:01, 15. Apr. 2011 (CEST)
* Ein Trapez,bei dem die nicht parallelen Seiten gleich lang sind, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:59, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Eine weiter Möglichkeit, die noch nicht ganz korrekt ist. Kann man das für ALLE gleichs.Tra. sagen?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:01, 15. Apr. 2011 (CEST)

* wie sieht es denn aus mit: "Wenn die senkrechte Mittellinie der beiden parallelen Seiten eines Trapezes identisch sind und zugleich Symmetrieachse des Trapezes, dann ist das Trapez ein gleichschenkliches Trapez."? --[[Benutzer:HecklF|HecklF]] 22:48, 14. Apr. 2011 (CEST) 
Gute Idee, aber 1. Was ist eine Mittellinie? 2. Wie viel Informationen für diese Definition sind wirklich nötig?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:01, 15. Apr. 2011 (CEST) 

Ein Trapez mit einem rechten Winkel, welches an diesem gespiegelt ist, ist ein gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Gueldaglart|Gueldaglart]] 15:42, 15. Apr. 2011 (CEST) 
Was bedeutet "an einem Winkel spiegeln"? Wie ist ein Winkel definiert und ist die Definition dadurch sinnvoll? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:43, 17. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Rechteck====
Ein Viereck mit vier rechten Innenwinkel heißt Rechteck. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:45, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Eine Definition sollte immer so viel Information wie nötig, aber so wenig wie möglich enthalten. Geht es denn auch anders? Tipp: Über Parallelogramme definieren. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:23, 13. Apr. 2011 (CEST) statt 4 rechten Innenwinkeln nur 3 verwenden. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:52, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel. 
Wenn noch kein Parallelogramm def. ist: Ein 4 Eck bei welchem die Diagonale gleich lang sind und sich halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:07, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Quadrat====
Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und einem rechten Winkel heißt Quadrat.
--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:43, 13. Apr. 2011 (CEST)
 steht schon gut da ! Wenn ein Viereck vier gleich lange Seiten hat und einen rechten Winkel besitzt, dann ist es ein Quadrat.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:53, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Drachen====
Wenn zwei <s>Stecken</s>Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und eine Strecke die andere halbiert, dann ist es ein Drachen. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST)Die Änderung in "Diagonalen" müsste die Def. "richtig" werden lassen, oder?--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:49, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Ein 4 Eck, bei welchem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen eine Diagonale wird halbiert halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:10, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Halbieren sich die Diagonalen bei einem Drachen gegenseitig oder wird hier eine bestimmte "Art der Drachen" beschrieben? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 19:15, 14. Apr. 2011 (CEST)
<ggb_applet width="436" height="331" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 
Sind das Drachen, bzw. ist die zweite Konstruktion eine Raute? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:31, 13. Apr. 2011 (CEST)
 Ein Viereck, bei dem eine Diagonale die Mittelsenkrechte der anderen Diagonale ist, heißt Drachen.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:50, 13. Apr. 2011 (CEST)
ist ein Viereck, bei dem eine Diagonale Symetrieachse ist --[[Benutzer:Gueldaglart|Gueldaglart]] 18:32, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Raute====
Wenn zwei Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und sie sich gegenseitig halbieren, dann ist das Viereck eine Raute. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST) 

Ein Viereck, bei dem jede Diagonale die Mittelsenkrechte der anderen ist, heißt Raute.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:46, 13. Apr. 2011 (CEST)

Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:51, 13. Apr. 2011 (CEST)

==Es kann nur eine geben - oder?==
{{#ev:youtube|kq4SqgxIKM0}} 
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Kegelschnitte.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe>
 
Das obige Video wurde von Prof. Dr. Filler erstellt.
====Definition E.2: Ellipse====
::Es sei <math>\ K</math> ein Doppelkegel und <math>\ \beta</math> eine Ebene. Wenn <math>\ \beta</math> den Doppelkegel <math>\ K</math> derart schneidet, dass die Spitze der Doppelkegel <math>\ K</math> nicht Element der Ebene <math>\ \beta</math> ist, dann heißt <math>K \cap \beta</math> Ellipse. --[[Benutzer:MMaike|MMaike]] 14:01, 13. Apr. 2011 (CEST)
 

====Übungsaufgabe 1.5 der Serie 1====
::Definition E.1 und Definition E.2 sind zwei verschiedene Definitionen ein und desselben Begriffs. Geht das? Diskutieren Sie!

....

==Darf es ein wenig mehr sein? Ellipse als Hypozykloide==
Mit einem {{wpd|Spirograph (Spielzeug)}} lassen sich geometrische Kurven zeichnen. Läßt man dabei ein kleineres Zahnrad innerhalb eines großen Zahnrades abrollen entstehen sogenannte Hypozykloiden. Ellipsen sind besondere Hypozykloiden. Die folgende Flash-Applikation wurde im Seminar "Erstellen von Multimedianwendungen für den Unterricht" im Sommersemester 2008 erstellt. Versuchen Sie mit der Applikation eine Ellipse zu generieren (Was aussieht wie ein Ellipse ist dann auch eine). Definieren Sie dann den Begriff Ellipse als spezielle Hypozykloide.
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Hypozykloide_0202.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Die Kurve wird durch Klicken bzw. Ziehen im linken unteren Bereich des Applikationsfensters generiert. 
Die Variablen bedeuten: 

* n1: Anzahl der Zähne des festen Zahnrades
* n2: Anzahl der Zähne des abrollenden Zahnrades
* R: Radius des festen Kreises
* r: Radius des abrollenden Kreises
* d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises.
Die Werte der Variablen können selbstverständlich manipuliert werden.

====Definition E.3: Ellipse====
:: Es sei <math>\ h</math> eine Hypozykloide, für die die folgenden Bezeichnungen gelten mögen: R: Radius des festen Kreises, r: Radius des abrollenden Kreises und d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises. Wenn ... , dann ist <math>\ h</math> eine Ellipse.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Definitionen in der Mathematik SoSe 11

2011-04-17T18:09:26Z

Mm l123: /* Definition E.1: Ellipse */

==Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]]==
Wir haben im [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden.
 Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus. 
Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...). 
Man legt nur, mit Hilfe der so genannten ''Axiome'', die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen fest. 

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 
==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
{{#ev:youtube|PQjeTmY0cdQ&NR=1}}
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
*Eine Ellipse ist eine Figur mit zwei Brennpunkten 
*Eine Ellipse ist ein gestauchter Kreis 
*Eine Ellipse ist ein gestreckter Kreis 
*Eine Ellipse ist das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht. (Vorlesung 11.4.11 --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:39, 11. Apr. 2011 (CEST)
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. 
'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition E.1: Ellipse====
::Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte. Unter der Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math> versteht man die Menge aller Punkte <math> P</math> für die gilt, dass die Summe der Abstände <math>\overline{PF_1}</math> und <math>\overline{PF_2}</math> konstant ist. (Vorlesung: 11.04.11) --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 16:03, 11. Apr. 2011 (CEST)

Frage: Brennpunkt ist kein Grundbegriff und ein bislang nicht definierter Begriff, muss er aus diesem Grund nicht auch noch definiert werden? {{Mml123|_-[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 20:09, 17. Apr. 2011 (CEST)}}

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====
::Ein Kreis ist eine Ellipse, deren Brennpunkte <math>F_1</math> und <math>F_2</math> identisch sind.--[[Benutzer:MMaike|MMaike]] 13:54, 13. Apr. 2011 (CEST)
 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen==
===Das Haus der Vierecke===
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/HDV_AndreaSpitz.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
 
=== Übungsaufgabe 1.3 der ersten Serie ===
Im Folgenden seien die Begriffe n-Eck, Seite eines n-ecks, Ecke eines n-Ecks bereits definiert.
Ergänzen Sie die folgenden Definitionen. Beziehen Sie sich dabei jeweils auf den nächst höheren Oberbegriff.
====Definition: Viereck====
::Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4--[[Benutzer:*Osterhase*|*Osterhase*]] 13:22, 12. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Trapez====

::Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei gegenüberliegenden parallelen Seiten. --[[Benutzer:Eiermanns|Eiermanns]] 14:04, 12. Apr. 2011 (CEST)
 Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:54, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Parallelogramm====
Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paar paralleler Seiten.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:41, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: gleichschenkliges Trapez====

* Wenn bei einem Trapez die beiden nicht parallelen Seiten ein und denselben Abstand zwischen den Parallelen hat, dann ist es ein gleichschenkliges. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:48, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Diese Definition erscheint mir noch etwas unklar. Was versteht man in diesem Fall unter "Abstand" (sollte genauer erklärt werden). Vielleicht gibt es noch andere Definitionen, die eindeutig ist.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:19, 13. Apr. 2011 (CEST) 
* Ist ein Trapez, bei welchem die Diagonalen gleich lang sind.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:15, 13. Apr. 2011 (CEST)
 Gute Idee! - etwas umgangssprachlich :) --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:01, 15. Apr. 2011 (CEST)
* Ein Trapez,bei dem die nicht parallelen Seiten gleich lang sind, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:59, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Eine weiter Möglichkeit, die noch nicht ganz korrekt ist. Kann man das für ALLE gleichs.Tra. sagen?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:01, 15. Apr. 2011 (CEST)

* wie sieht es denn aus mit: "Wenn die senkrechte Mittellinie der beiden parallelen Seiten eines Trapezes identisch sind und zugleich Symmetrieachse des Trapezes, dann ist das Trapez ein gleichschenkliches Trapez."? --[[Benutzer:HecklF|HecklF]] 22:48, 14. Apr. 2011 (CEST) 
Gute Idee, aber 1. Was ist eine Mittellinie? 2. Wie viel Informationen für diese Definition sind wirklich nötig?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:01, 15. Apr. 2011 (CEST) 

Ein Trapez mit einem rechten Winkel, welches an diesem gespiegelt ist, ist ein gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Gueldaglart|Gueldaglart]] 15:42, 15. Apr. 2011 (CEST) 
Was bedeutet "an einem Winkel spiegeln"? Wie ist ein Winkel definiert und ist die Definition dadurch sinnvoll? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:43, 17. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Rechteck====
Ein Viereck mit vier rechten Innenwinkel heißt Rechteck. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:45, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Eine Definition sollte immer so viel Information wie nötig, aber so wenig wie möglich enthalten. Geht es denn auch anders? Tipp: Über Parallelogramme definieren. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:23, 13. Apr. 2011 (CEST) statt 4 rechten Innenwinkeln nur 3 verwenden. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:52, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel. 
Wenn noch kein Parallelogramm def. ist: Ein 4 Eck bei welchem die Diagonale gleich lang sind und sich halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:07, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Quadrat====
Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und einem rechten Winkel heißt Quadrat.
--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:43, 13. Apr. 2011 (CEST)
 steht schon gut da ! Wenn ein Viereck vier gleich lange Seiten hat und einen rechten Winkel besitzt, dann ist es ein Quadrat.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:53, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Drachen====
Wenn zwei <s>Stecken</s>Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und eine Strecke die andere halbiert, dann ist es ein Drachen. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST)Die Änderung in "Diagonalen" müsste die Def. "richtig" werden lassen, oder?--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:49, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Ein 4 Eck, bei welchem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen eine Diagonale wird halbiert halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:10, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Halbieren sich die Diagonalen bei einem Drachen gegenseitig oder wird hier eine bestimmte "Art der Drachen" beschrieben? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 19:15, 14. Apr. 2011 (CEST)
<ggb_applet width="436" height="331" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 
Sind das Drachen, bzw. ist die zweite Konstruktion eine Raute? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:31, 13. Apr. 2011 (CEST)
 Ein Viereck, bei dem eine Diagonale die Mittelsenkrechte der anderen Diagonale ist, heißt Drachen.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:50, 13. Apr. 2011 (CEST)
ist ein Viereck, bei dem eine Diagonale Symetrieachse ist --[[Benutzer:Gueldaglart|Gueldaglart]] 18:32, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Raute====
Wenn zwei Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und sie sich gegenseitig halbieren, dann ist das Viereck eine Raute. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST) 

Ein Viereck, bei dem jede Diagonale die Mittelsenkrechte der anderen ist, heißt Raute.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:46, 13. Apr. 2011 (CEST)

Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:51, 13. Apr. 2011 (CEST)

==Es kann nur eine geben - oder?==
{{#ev:youtube|kq4SqgxIKM0}} 
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Kegelschnitte.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe>
 
Das obige Video wurde von Prof. Dr. Filler erstellt.
====Definition E.2: Ellipse====
::Es sei <math>\ K</math> ein Doppelkegel und <math>\ \beta</math> eine Ebene. Wenn <math>\ \beta</math> den Doppelkegel <math>\ K</math> derart schneidet, dass die Spitze der Doppelkegel <math>\ K</math> nicht Element der Ebene <math>\ \beta</math> ist, dann heißt <math>K \cap \beta</math> Ellipse. --[[Benutzer:MMaike|MMaike]] 14:01, 13. Apr. 2011 (CEST)
 

====Übungsaufgabe 1.5 der Serie 1====
::Definition E.1 und Definition E.2 sind zwei verschiedene Definitionen ein und desselben Begriffs. Geht das? Diskutieren Sie!

....

==Darf es ein wenig mehr sein? Ellipse als Hypozykloide==
Mit einem {{wpd|Spirograph (Spielzeug)}} lassen sich geometrische Kurven zeichnen. Läßt man dabei ein kleineres Zahnrad innerhalb eines großen Zahnrades abrollen entstehen sogenannte Hypozykloiden. Ellipsen sind besondere Hypozykloiden. Die folgende Flash-Applikation wurde im Seminar "Erstellen von Multimedianwendungen für den Unterricht" im Sommersemester 2008 erstellt. Versuchen Sie mit der Applikation eine Ellipse zu generieren (Was aussieht wie ein Ellipse ist dann auch eine). Definieren Sie dann den Begriff Ellipse als spezielle Hypozykloide.
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Hypozykloide_0202.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Die Kurve wird durch Klicken bzw. Ziehen im linken unteren Bereich des Applikationsfensters generiert. 
Die Variablen bedeuten: 

* n1: Anzahl der Zähne des festen Zahnrades
* n2: Anzahl der Zähne des abrollenden Zahnrades
* R: Radius des festen Kreises
* r: Radius des abrollenden Kreises
* d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises.
Die Werte der Variablen können selbstverständlich manipuliert werden.

====Definition E.3: Ellipse====
:: Es sei <math>\ h</math> eine Hypozykloide, für die die folgenden Bezeichnungen gelten mögen: R: Radius des festen Kreises, r: Radius des abrollenden Kreises und d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises. Wenn ... , dann ist <math>\ h</math> eine Ellipse.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Sätze und Beweise SoSe 11

2011-04-17T18:04:20Z

Mm l123:

==Aufbau eines mathematischen Satzes==
Im [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]] haben wir bereits einen mathematischen Satz, den so genannten ''Wechselwinkelsatz'' kennengelernt. 
''Wechselwinkelsatz: 
''Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.'' 
''
Betrachten wir diesen Satz etwas genauer: Es wird hier behauptet, dass Wechselwinkel kongruent zueinander sind (Behauptung), unter der Bedingung, dass die Wechselwinkel an geschnittenen '''parallelen''' Geraden betrachtet werden (Voraussetzung). Wir können den Satz also in eine '''Voraussetzung (A)''' und eine '''Behauptung (B)''' aufteilen. 
In der Mathematik gehen wir davon aus, dass Sätze wahr sind, d. h. wenn die Voraussetzung erfüllt ist, muss auch die Behauptung notwendigerweise wahr sein. 
Aussagenlogisch haben wir es somit mit einer Implikation zu tun: 
formal: <math>\ A \Rightarrow B</math> 

Wir können aus jedem Satz auch eine Umkehrung bilden (die nicht unbedingt wahr sein muss), d. h. wir formulieren die Behauptung als Voraussetzung und die Vorausetzung als Behauptung: 
formal:<math>\ B \Rightarrow A</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: 

Lösung von Studierenden (bitte Signatur mit angeben--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 19:40, 17. Apr. 2011 (CEST)): 
Wenn zwei Wechselwinkel kongruent zueinander sind, dann sind die geschnittenen Geraden parallel zueinander. 

Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz: 

Lösung von Studierenden (bitte Signatur mit angeben--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 19:40, 17. Apr. 2011 (CEST)): 
Zwei Winkel sind genau dann Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen, wenn sie kongruent zueinander sind.

==notwendige und hinreichende Bedingung==
An dieser Stelle ist es sinnvoll zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: '''hinreichende''' und '''notwendige Bedingung''' Lassen Sie uns die Begriffe an einem alltäglichen Beispiel erläutern: 
Wir nehmen mal den folgenden Satz: Wenn die Deckenlampe leuchtet, dann ist das Zimmer hell. <br\>
Es handelt sich hierbei um eine Implikation in der Form: Voraussetzung (Die Deckenlampe leuchtet)<math>\Rightarrow </math> Behauptung (Das Zimmer ist hell).<br\>
Die Voraussetzung ist dabei die hinreichende Bedingung für die Behauptung, denn es genügt, für die Zimmerhelligkeit die Deckenbeleuchtung einzuschalten, man könnte das Zimmer aber z. B. ja auch durch eine Kerze beleuchten. Es ist also nicht unbedingt notwendig die Deckenlampe einzuschalten um das Zimmer hell zu bekommen. Umgekehrt ist die Behauptung notwendige Bedingung der Voraussetzung, denn wenn die Deckenlampe leuchtet, dann wird notwendigerweise das Zimmer hell. <br\>
Diesen Zusammenhang zwischen hinreichender Bedingung und Voraussetzung bzw. notwendiger Bedingung und Behauptung einer Implikation trifft auf alle Implikationen zu. <br\>
Ist nun auch die Umkehrung einer Implikation wahr, dann wird in der Umkehrung aus der Voraussetzung die Behauptung und aus der Behauptung die Voraussetzung. Damit tauschen sich aber dann auch jeweils die hinreichende und notwendige Bedingung, so dass jeweils die eine Teilaussage des Satzes sowohl hinreichende als auch notwendige Bedingung für die zweite Teilaussage ist. Die Voraussetzung ist dann also hinreichende als auch notwendige Bedingung für die Behauptung und die Behauptung hinreichende und notwendige Bedingung für die Voraussetzung. <br\>
Wir können damit die Implikation und ihre Umkehrung in einem neuen Satz als Äquivalenzaussage formulieren und haben zugleich ein so genanntes '''Kriterium''' (hinreichende und notwendige Bedingung) gefunden.

==Beweise==
Mathematische Sätze lassen sich im Unterschied zu Definitionen beweisen. Um einen Satz zu beweisen können verschiedene Beweistechniken angewendet werden. Grundsätzlich unterscheidet man '''direkte''' von '''indirekten Beweisen'''. Außerdem gibt es noch so genannte '''Induktionsbeweise''' (vollständige Induktion, Wohlordnungsprinzip). 
'''Direkter Beweis''' 
Die Voraussetzung (A) eines Satzes wird solange durch Implikationen umgeformt, bis die Behauptung (B) herauskommt, z.B.: <math>\ A \Rightarrow C \Rightarrow D \Rightarrow B</math> 
'''Indirekter Beweis''' 
Beim indirekten Beweisen unterscheidet man '''Widerspruchsbeweise (1)''' von '''Beweisen durch Kontraposition (2)'''. 
#'''Widerspruchsbeweis:''' Beim Widerspruchsbeweis nimmt man das Gegenteil der Behauptung an (Annahme) und führt diese Annahme zu einem Widerspruch (meist zur Voraussetzung oder zu einem bereits bewiesenen Satz). (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
#'''Beweis durch Kontraposition:''' Beim Beweisen durch Kontraposition nutzt man den folgenden Zusammenhang aus: <math>\ (\ A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \ (\neg B \Rightarrow \neg A)</math> (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik). Wenn man also die Behauptung negiert und daraus zeigen kann, dass die negierte Voraussetzung wahr ist, dann hat man auch den ursprünglichen Satz bewiesen. 

Frage: Muss die Kontraposition immer wahr sein? - Ja, die Kontraposition ist äquivalent zum Satz. Siehe Aussagenlogik (genannt einige Zeilen zuvor).--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:15, 15. Apr. 2011 (CEST) 

'''Aufgabe:'''
Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes. 

Nicht kongruente Wechselwinkel liegen nicht an geschnittenen Parallelen
oder besser: Wechselwinkel die nicht kongruent sind liegen nicht an geschnittenen Parallelen?--).--[[Benutzer:Mml123|Mml123]] 19:57, 17. Apr. 2011 (CEST) 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Sätze und Beweise SoSe 11

2011-04-15T10:32:06Z

Mm l123: /* Beweise */

==Aufbau eines mathematischen Satzes==
Im [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]] haben wir bereits einen mathematischen Satz, den so genannten ''Wechselwinkelsatz'' kennengelernt. 
''Wechselwinkelsatz: 
''Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.'' 
''
Betrachten wir diesen Satz etwas genauer: Es wird hier behauptet, dass Wechselwinkel kongruent zueinander sind (Behauptung), unter der Bedingung, dass die Wechselwinkel an geschnittenen '''parallelen''' Geraden betrachtet werden (Voraussetzung). Wir können den Satz also in eine '''Voraussetzung (A)''' und eine '''Behauptung (B)''' aufteilen. 
In der Mathematik gehen wir davon aus, dass Sätze wahr sind, d. h. wenn die Voraussetzung erfüllt ist, muss auch die Behauptung notwendigerweise wahr sein. 
Aussagenlogisch haben wir es somit mit einer Implikation zu tun: 
formal: <math>\ A \Rightarrow B</math> 

Wir können aus jedem Satz auch eine Umkehrung bilden (die nicht unbedingt wahr sein muss), d. h. wir formulieren die Behauptung als Voraussetzung und die Vorausetzung als Behauptung: 
formal:<math>\ B \Rightarrow A</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: 

Wenn zwei Wechselwinkel kongruent zueinander sind, dann sind die geschnittenen Geraden parallel zueinander.

Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz: 

Zwei Winkel sind genau dann Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen, wenn sie kongruent zueinander sind.

==notwendige und hinreichende Bedingung==
An dieser Stelle ist es sinnvoll zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: '''hinreichende''' und '''notwendige Bedingung''' Lassen Sie uns die Begriffe an einem alltäglichen Beispiel erläutern: 
Wir nehmen mal den folgenden Satz: Wenn die Deckenlampe leuchtet, dann ist das Zimmer hell. <br\>
Es handelt sich hierbei um eine Implikation in der Form: Voraussetzung (Die Deckenlampe leuchtet)<math>\Rightarrow </math> Behauptung (Das Zimmer ist hell).<br\>
Die Voraussetzung ist dabei die hinreichende Bedingung für die Behauptung, denn es genügt, für die Zimmerhelligkeit die Deckenbeleuchtung einzuschalten, man könnte das Zimmer aber z. B. ja auch durch eine Kerze beleuchten. Es ist also nicht unbedingt notwendig die Deckenlampe einzuschalten um das Zimmer hell zu bekommen. Umgekehrt ist die Behauptung notwendige Bedingung der Voraussetzung, denn wenn die Deckenlampe leuchtet, dann wird notwendigerweise das Zimmer hell. <br\>
Diesen Zusammenhang zwischen hinreichender Bedingung und Voraussetzung bzw. notwendiger Bedingung und Behauptung einer Implikation trifft auf alle Implikationen zu. <br\>
Ist nun auch die Umkehrung einer Implikation wahr, dann wird in der Umkehrung aus der Voraussetzung die Behauptung und aus der Behauptung die Voraussetzung. Damit tauschen sich aber dann auch jeweils die hinreichende und notwendige Bedingung, so dass jeweils die eine Teilaussage des Satzes sowohl hinreichende als auch notwendige Bedingung für die zweite Teilaussage ist. Die Voraussetzung ist dann also hinreichende als auch notwendige Bedingung für die Behauptung und die Behauptung hinreichende und notwendige Bedingung für die Voraussetzung. <br\>
Wir können damit die Implikation und ihre Umkehrung in einem neuen Satz als Äquivalenzaussage formulieren und haben zugleich ein so genanntes '''Kriterium''' (hinreichende und notwendige Bedingung) gefunden.

==Beweise==
Mathematische Sätze lassen sich im Unterschied zu Definitionen beweisen. Um einen Satz zu beweisen können verschiedene Beweistechniken angewendet werden. Grundsätzlich unterscheidet man '''direkte''' von '''indirekten Beweisen'''. Außerdem gibt es noch so genannte '''Induktionsbeweise''' (vollständige Induktion, Wohlordnungsprinzip). 
'''Direkter Beweis''' 
Die Voraussetzung (A) eines Satzes wird solange durch Implikationen umgeformt, bis die Behauptung (B) herauskommt, z.B.: <math>\ A \Rightarrow C \Rightarrow D \Rightarrow B</math> 
'''Indirekter Beweis''' 
Beim indirekten Beweisen unterscheidet man '''Widerspruchsbeweise (1)''' von '''Beweisen durch Kontraposition (2)'''. 
#'''Widerspruchsbeweis:''' Beim Widerspruchsbeweis nimmt man das Gegenteil der Behauptung an (Annahme) und führt diese Annahme zu einem Widerspruch (meist zur Voraussetzung oder zu einem bereits bewiesenen Satz). (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
#'''Beweis durch Kontraposition:''' Beim Beweisen durch Kontraposition nutzt man den folgenden Zusammenhang aus: <math>\ (\ A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \ (\neg B \Rightarrow \neg A)</math> (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik). Wenn man also die Behauptung negiert und daraus zeigen kann, dass die negierte Voraussetzung wahr ist, dann hat man auch den ursprünglichen Satz bewiesen. 

Frage: Muss die Kontraposition immer wahr sein?

'''Aufgabe:'''
Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes. 

Nicht kongruente Wechselwinkel liegen nicht an geschnittenen Parallelen
oder besser: Wechselwinkel die nicht kongruent sind liegen nicht an geschnittenen Parallelen?

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Sätze und Beweise SoSe 11

2011-04-15T10:30:24Z

Mm l123: /* Beweise */

==Aufbau eines mathematischen Satzes==
Im [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]] haben wir bereits einen mathematischen Satz, den so genannten ''Wechselwinkelsatz'' kennengelernt. 
''Wechselwinkelsatz: 
''Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.'' 
''
Betrachten wir diesen Satz etwas genauer: Es wird hier behauptet, dass Wechselwinkel kongruent zueinander sind (Behauptung), unter der Bedingung, dass die Wechselwinkel an geschnittenen '''parallelen''' Geraden betrachtet werden (Voraussetzung). Wir können den Satz also in eine '''Voraussetzung (A)''' und eine '''Behauptung (B)''' aufteilen. 
In der Mathematik gehen wir davon aus, dass Sätze wahr sind, d. h. wenn die Voraussetzung erfüllt ist, muss auch die Behauptung notwendigerweise wahr sein. 
Aussagenlogisch haben wir es somit mit einer Implikation zu tun: 
formal: <math>\ A \Rightarrow B</math> 

Wir können aus jedem Satz auch eine Umkehrung bilden (die nicht unbedingt wahr sein muss), d. h. wir formulieren die Behauptung als Voraussetzung und die Vorausetzung als Behauptung: 
formal:<math>\ B \Rightarrow A</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: 

Wenn zwei Wechselwinkel kongruent zueinander sind, dann sind die geschnittenen Geraden parallel zueinander.

Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz: 

Zwei Winkel sind genau dann Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen, wenn sie kongruent zueinander sind.

==notwendige und hinreichende Bedingung==
An dieser Stelle ist es sinnvoll zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: '''hinreichende''' und '''notwendige Bedingung''' Lassen Sie uns die Begriffe an einem alltäglichen Beispiel erläutern: 
Wir nehmen mal den folgenden Satz: Wenn die Deckenlampe leuchtet, dann ist das Zimmer hell. <br\>
Es handelt sich hierbei um eine Implikation in der Form: Voraussetzung (Die Deckenlampe leuchtet)<math>\Rightarrow </math> Behauptung (Das Zimmer ist hell).<br\>
Die Voraussetzung ist dabei die hinreichende Bedingung für die Behauptung, denn es genügt, für die Zimmerhelligkeit die Deckenbeleuchtung einzuschalten, man könnte das Zimmer aber z. B. ja auch durch eine Kerze beleuchten. Es ist also nicht unbedingt notwendig die Deckenlampe einzuschalten um das Zimmer hell zu bekommen. Umgekehrt ist die Behauptung notwendige Bedingung der Voraussetzung, denn wenn die Deckenlampe leuchtet, dann wird notwendigerweise das Zimmer hell. <br\>
Diesen Zusammenhang zwischen hinreichender Bedingung und Voraussetzung bzw. notwendiger Bedingung und Behauptung einer Implikation trifft auf alle Implikationen zu. <br\>
Ist nun auch die Umkehrung einer Implikation wahr, dann wird in der Umkehrung aus der Voraussetzung die Behauptung und aus der Behauptung die Voraussetzung. Damit tauschen sich aber dann auch jeweils die hinreichende und notwendige Bedingung, so dass jeweils die eine Teilaussage des Satzes sowohl hinreichende als auch notwendige Bedingung für die zweite Teilaussage ist. Die Voraussetzung ist dann also hinreichende als auch notwendige Bedingung für die Behauptung und die Behauptung hinreichende und notwendige Bedingung für die Voraussetzung. <br\>
Wir können damit die Implikation und ihre Umkehrung in einem neuen Satz als Äquivalenzaussage formulieren und haben zugleich ein so genanntes '''Kriterium''' (hinreichende und notwendige Bedingung) gefunden.

==Beweise==
Mathematische Sätze lassen sich im Unterschied zu Definitionen beweisen. Um einen Satz zu beweisen können verschiedene Beweistechniken angewendet werden. Grundsätzlich unterscheidet man '''direkte''' von '''indirekten Beweisen'''. Außerdem gibt es noch so genannte '''Induktionsbeweise''' (vollständige Induktion, Wohlordnungsprinzip). 
'''Direkter Beweis''' 
Die Voraussetzung (A) eines Satzes wird solange durch Implikationen umgeformt, bis die Behauptung (B) herauskommt, z.B.: <math>\ A \Rightarrow C \Rightarrow D \Rightarrow B</math> 
'''Indirekter Beweis''' 
Beim indirekten Beweisen unterscheidet man '''Widerspruchsbeweise (1)''' von '''Beweisen durch Kontraposition (2)'''. 
#'''Widerspruchsbeweis:''' Beim Widerspruchsbeweis nimmt man das Gegenteil der Behauptung an (Annahme) und führt diese Annahme zu einem Widerspruch (meist zur Voraussetzung oder zu einem bereits bewiesenen Satz). (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
#'''Beweis durch Kontraposition:''' Beim Beweisen durch Kontraposition nutzt man den folgenden Zusammenhang aus: <math>\ (\ A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \ (\neg B \Rightarrow \neg A)</math> (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik). Wenn man also die Behauptung negiert und daraus zeigen kann, dass die negierte Voraussetzung wahr ist, dann hat man auch den ursprünglichen Satz bewiesen. 
'''Aufgabe:'''
Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes. 

Nicht kongruente Wechselwinkel liegen nicht an geschnittenen Parallelen
oder besser: Wechselwinkel die nicht kongruent sind liegen nicht an geschnittenen Parallelen?

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Sätze und Beweise SoSe 11

2011-04-15T10:20:32Z

Mm l123: /* Aufbau eines mathematischen Satzes */

==Aufbau eines mathematischen Satzes==
Im [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]] haben wir bereits einen mathematischen Satz, den so genannten ''Wechselwinkelsatz'' kennengelernt. 
''Wechselwinkelsatz: 
''Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.'' 
''
Betrachten wir diesen Satz etwas genauer: Es wird hier behauptet, dass Wechselwinkel kongruent zueinander sind (Behauptung), unter der Bedingung, dass die Wechselwinkel an geschnittenen '''parallelen''' Geraden betrachtet werden (Voraussetzung). Wir können den Satz also in eine '''Voraussetzung (A)''' und eine '''Behauptung (B)''' aufteilen. 
In der Mathematik gehen wir davon aus, dass Sätze wahr sind, d. h. wenn die Voraussetzung erfüllt ist, muss auch die Behauptung notwendigerweise wahr sein. 
Aussagenlogisch haben wir es somit mit einer Implikation zu tun: 
formal: <math>\ A \Rightarrow B</math> 

Wir können aus jedem Satz auch eine Umkehrung bilden (die nicht unbedingt wahr sein muss), d. h. wir formulieren die Behauptung als Voraussetzung und die Vorausetzung als Behauptung: 
formal:<math>\ B \Rightarrow A</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: 

Wenn zwei Wechselwinkel kongruent zueinander sind, dann sind die geschnittenen Geraden parallel zueinander.

Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz: 

Zwei Winkel sind genau dann Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen, wenn sie kongruent zueinander sind.

==notwendige und hinreichende Bedingung==
An dieser Stelle ist es sinnvoll zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: '''hinreichende''' und '''notwendige Bedingung''' Lassen Sie uns die Begriffe an einem alltäglichen Beispiel erläutern: 
Wir nehmen mal den folgenden Satz: Wenn die Deckenlampe leuchtet, dann ist das Zimmer hell. <br\>
Es handelt sich hierbei um eine Implikation in der Form: Voraussetzung (Die Deckenlampe leuchtet)<math>\Rightarrow </math> Behauptung (Das Zimmer ist hell).<br\>
Die Voraussetzung ist dabei die hinreichende Bedingung für die Behauptung, denn es genügt, für die Zimmerhelligkeit die Deckenbeleuchtung einzuschalten, man könnte das Zimmer aber z. B. ja auch durch eine Kerze beleuchten. Es ist also nicht unbedingt notwendig die Deckenlampe einzuschalten um das Zimmer hell zu bekommen. Umgekehrt ist die Behauptung notwendige Bedingung der Voraussetzung, denn wenn die Deckenlampe leuchtet, dann wird notwendigerweise das Zimmer hell. <br\>
Diesen Zusammenhang zwischen hinreichender Bedingung und Voraussetzung bzw. notwendiger Bedingung und Behauptung einer Implikation trifft auf alle Implikationen zu. <br\>
Ist nun auch die Umkehrung einer Implikation wahr, dann wird in der Umkehrung aus der Voraussetzung die Behauptung und aus der Behauptung die Voraussetzung. Damit tauschen sich aber dann auch jeweils die hinreichende und notwendige Bedingung, so dass jeweils die eine Teilaussage des Satzes sowohl hinreichende als auch notwendige Bedingung für die zweite Teilaussage ist. Die Voraussetzung ist dann also hinreichende als auch notwendige Bedingung für die Behauptung und die Behauptung hinreichende und notwendige Bedingung für die Voraussetzung. <br\>
Wir können damit die Implikation und ihre Umkehrung in einem neuen Satz als Äquivalenzaussage formulieren und haben zugleich ein so genanntes '''Kriterium''' (hinreichende und notwendige Bedingung) gefunden.

==Beweise==
Mathematische Sätze lassen sich im Unterschied zu Definitionen beweisen. Um einen Satz zu beweisen können verschiedene Beweistechniken angewendet werden. Grundsätzlich unterscheidet man '''direkte''' von '''indirekten Beweisen'''. Außerdem gibt es noch so genannte '''Induktionsbeweise''' (vollständige Induktion, Wohlordnungsprinzip). 
'''Direkter Beweis''' 
Die Voraussetzung (A) eines Satzes wird solange durch Implikationen umgeformt, bis die Behauptung (B) herauskommt, z.B.: <math>\ A \Rightarrow C \Rightarrow D \Rightarrow B</math> 
'''Indirekter Beweis''' 
Beim indirekten Beweisen unterscheidet man '''Widerspruchsbeweise (1)''' von '''Beweisen durch Kontraposition (2)'''. 
#'''Widerspruchsbeweis:''' Beim Widerspruchsbeweis nimmt man das Gegenteil der Behauptung an (Annahme) und führt diese Annahme zu einem Widerspruch (meist zur Voraussetzung oder zu einem bereits bewiesenen Satz). (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
#'''Beweis durch Kontraposition:''' Beim Beweisen durch Kontraposition nutzt man den folgenden Zusammenhang aus: <math>\ (\ A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \ (\neg B \Rightarrow \neg A)</math> (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik). Wenn man also die Behauptung negiert und daraus zeigen kann, dass die negierte Voraussetzung wahr ist, dann hat man auch den ursprünglichen Satz bewiesen. 
'''Aufgabe:'''
Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes. 

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Sätze und Beweise SoSe 11

2011-04-15T10:20:09Z

Mm l123: /* notwendige und hinreichende Bedingung */

==Aufbau eines mathematischen Satzes==
Im [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]] haben wir bereits einen mathematischen Satz, den so genannten ''Wechselwinkelsatz'' kennengelernt. 
''Wechselwinkelsatz: 
''Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.'' 
''
Betrachten wir diesen Satz etwas genauer: Es wird hier behauptet, dass Wechselwinkel kongruent zueinander sind (Behauptung), unter der Bedingung, dass die Wechselwinkel an geschnittenen '''parallelen''' Geraden betrachtet werden (Voraussetzung). Wir können den Satz also in eine '''Voraussetzung (A)''' und eine '''Behauptung (B)''' aufteilen. 
In der Mathematik gehen wir davon aus, dass Sätze wahr sind, d. h. wenn die Voraussetzung erfüllt ist, muss auch die Behauptung notwendigerweise wahr sein. 
Aussagenlogisch haben wir es somit mit einer Implikation zu tun: 
formal: <math>\ A \Rightarrow B</math> 

Wir können aus jedem Satz auch eine Umkehrung bilden (die nicht unbedingt wahr sein muss), d. h. wir formulieren die Behauptung als Voraussetzung und die Vorausetzung als Behauptung: 
formal:<math>\ B \Rightarrow A</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: 

Wenn zwei Wechselwinkel kongruent zueinander sind, dann sind die geschnittenen Geraden parallel zueinander.

Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz: 

==notwendige und hinreichende Bedingung==
An dieser Stelle ist es sinnvoll zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: '''hinreichende''' und '''notwendige Bedingung''' Lassen Sie uns die Begriffe an einem alltäglichen Beispiel erläutern: 
Wir nehmen mal den folgenden Satz: Wenn die Deckenlampe leuchtet, dann ist das Zimmer hell. <br\>
Es handelt sich hierbei um eine Implikation in der Form: Voraussetzung (Die Deckenlampe leuchtet)<math>\Rightarrow </math> Behauptung (Das Zimmer ist hell).<br\>
Die Voraussetzung ist dabei die hinreichende Bedingung für die Behauptung, denn es genügt, für die Zimmerhelligkeit die Deckenbeleuchtung einzuschalten, man könnte das Zimmer aber z. B. ja auch durch eine Kerze beleuchten. Es ist also nicht unbedingt notwendig die Deckenlampe einzuschalten um das Zimmer hell zu bekommen. Umgekehrt ist die Behauptung notwendige Bedingung der Voraussetzung, denn wenn die Deckenlampe leuchtet, dann wird notwendigerweise das Zimmer hell. <br\>
Diesen Zusammenhang zwischen hinreichender Bedingung und Voraussetzung bzw. notwendiger Bedingung und Behauptung einer Implikation trifft auf alle Implikationen zu. <br\>
Ist nun auch die Umkehrung einer Implikation wahr, dann wird in der Umkehrung aus der Voraussetzung die Behauptung und aus der Behauptung die Voraussetzung. Damit tauschen sich aber dann auch jeweils die hinreichende und notwendige Bedingung, so dass jeweils die eine Teilaussage des Satzes sowohl hinreichende als auch notwendige Bedingung für die zweite Teilaussage ist. Die Voraussetzung ist dann also hinreichende als auch notwendige Bedingung für die Behauptung und die Behauptung hinreichende und notwendige Bedingung für die Voraussetzung. <br\>
Wir können damit die Implikation und ihre Umkehrung in einem neuen Satz als Äquivalenzaussage formulieren und haben zugleich ein so genanntes '''Kriterium''' (hinreichende und notwendige Bedingung) gefunden.

==Beweise==
Mathematische Sätze lassen sich im Unterschied zu Definitionen beweisen. Um einen Satz zu beweisen können verschiedene Beweistechniken angewendet werden. Grundsätzlich unterscheidet man '''direkte''' von '''indirekten Beweisen'''. Außerdem gibt es noch so genannte '''Induktionsbeweise''' (vollständige Induktion, Wohlordnungsprinzip). 
'''Direkter Beweis''' 
Die Voraussetzung (A) eines Satzes wird solange durch Implikationen umgeformt, bis die Behauptung (B) herauskommt, z.B.: <math>\ A \Rightarrow C \Rightarrow D \Rightarrow B</math> 
'''Indirekter Beweis''' 
Beim indirekten Beweisen unterscheidet man '''Widerspruchsbeweise (1)''' von '''Beweisen durch Kontraposition (2)'''. 
#'''Widerspruchsbeweis:''' Beim Widerspruchsbeweis nimmt man das Gegenteil der Behauptung an (Annahme) und führt diese Annahme zu einem Widerspruch (meist zur Voraussetzung oder zu einem bereits bewiesenen Satz). (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
#'''Beweis durch Kontraposition:''' Beim Beweisen durch Kontraposition nutzt man den folgenden Zusammenhang aus: <math>\ (\ A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \ (\neg B \Rightarrow \neg A)</math> (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik). Wenn man also die Behauptung negiert und daraus zeigen kann, dass die negierte Voraussetzung wahr ist, dann hat man auch den ursprünglichen Satz bewiesen. 
'''Aufgabe:'''
Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes. 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Sätze und Beweise SoSe 11

2011-04-15T10:19:36Z

Mm l123: /* notwendige und hinreichende Bedingung */

==Aufbau eines mathematischen Satzes==
Im [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]] haben wir bereits einen mathematischen Satz, den so genannten ''Wechselwinkelsatz'' kennengelernt. 
''Wechselwinkelsatz: 
''Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.'' 
''
Betrachten wir diesen Satz etwas genauer: Es wird hier behauptet, dass Wechselwinkel kongruent zueinander sind (Behauptung), unter der Bedingung, dass die Wechselwinkel an geschnittenen '''parallelen''' Geraden betrachtet werden (Voraussetzung). Wir können den Satz also in eine '''Voraussetzung (A)''' und eine '''Behauptung (B)''' aufteilen. 
In der Mathematik gehen wir davon aus, dass Sätze wahr sind, d. h. wenn die Voraussetzung erfüllt ist, muss auch die Behauptung notwendigerweise wahr sein. 
Aussagenlogisch haben wir es somit mit einer Implikation zu tun: 
formal: <math>\ A \Rightarrow B</math> 

Wir können aus jedem Satz auch eine Umkehrung bilden (die nicht unbedingt wahr sein muss), d. h. wir formulieren die Behauptung als Voraussetzung und die Vorausetzung als Behauptung: 
formal:<math>\ B \Rightarrow A</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: 

Wenn zwei Wechselwinkel kongruent zueinander sind, dann sind die geschnittenen Geraden parallel zueinander.

Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz: 

==notwendige und hinreichende Bedingung==
An dieser Stelle ist es sinnvoll zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: '''hinreichende''' und '''notwendige Bedingung''' Lassen Sie uns die Begriffe an einem alltäglichen Beispiel erläutern: 
Wir nehmen mal den folgenden Satz: Wenn die Deckenlampe leuchtet, dann ist das Zimmer hell. <br\>
Es handelt sich hierbei um eine Implikation in der Form: Voraussetzung (Die Deckenlampe leuchtet)<math>\Rightarrow </math> Behauptung (Das Zimmer ist hell).<br\>
Die Voraussetzung ist dabei die hinreichende Bedingung für die Behauptung, denn es genügt, für die Zimmerhelligkeit die Deckenbeleuchtung einzuschalten, man könnte das Zimmer aber z. B. ja auch durch eine Kerze beleuchten. Es ist also nicht unbedingt notwendig die Deckenlampe einzuschalten um das Zimmer hell zu bekommen. Umgekehrt ist die Behauptung notwendige Bedingung der Voraussetzung, denn wenn die Deckenlampe leuchtet, dann wird notwendigerweise das Zimmer hell. <br\>
Diesen Zusammenhang zwischen hinreichender Bedingung und Voraussetzung bzw. notwendiger Bedingung und Behauptung einer Implikation trifft auf alle Implikationen zu. <br\>
Ist nun auch die Umkehrung einer Implikation wahr, dann wird in der Umkehrung aus der Voraussetzung die Behauptung und aus der Behauptung die Voraussetzung. Damit tauschen sich aber dann auch jeweils die hinreichende und notwendige Bedingung, so dass jeweils die eine Teilaussage des Satzes sowohl hinreichende als auch notwendige Bedingung für die zweite Teilaussage ist. Die Voraussetzung ist dann also hinreichende als auch notwendige Bedingung für die Behauptung und die Behauptung hinreichende und notwendige Bedingung für die Voraussetzung. <br\>
Wir können damit die Implikation und ihre Umkehrung in einem neuen Satz als Äquivalenzaussage formulieren und haben zugleich ein so genanntes '''Kriterium''' (hinreichende und notwendige Bedingung) gefunden.

Zwei Winkel sind genau dann Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen, wenn sie kongruent zueinander sind.

==Beweise==
Mathematische Sätze lassen sich im Unterschied zu Definitionen beweisen. Um einen Satz zu beweisen können verschiedene Beweistechniken angewendet werden. Grundsätzlich unterscheidet man '''direkte''' von '''indirekten Beweisen'''. Außerdem gibt es noch so genannte '''Induktionsbeweise''' (vollständige Induktion, Wohlordnungsprinzip). 
'''Direkter Beweis''' 
Die Voraussetzung (A) eines Satzes wird solange durch Implikationen umgeformt, bis die Behauptung (B) herauskommt, z.B.: <math>\ A \Rightarrow C \Rightarrow D \Rightarrow B</math> 
'''Indirekter Beweis''' 
Beim indirekten Beweisen unterscheidet man '''Widerspruchsbeweise (1)''' von '''Beweisen durch Kontraposition (2)'''. 
#'''Widerspruchsbeweis:''' Beim Widerspruchsbeweis nimmt man das Gegenteil der Behauptung an (Annahme) und führt diese Annahme zu einem Widerspruch (meist zur Voraussetzung oder zu einem bereits bewiesenen Satz). (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
#'''Beweis durch Kontraposition:''' Beim Beweisen durch Kontraposition nutzt man den folgenden Zusammenhang aus: <math>\ (\ A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \ (\neg B \Rightarrow \neg A)</math> (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik). Wenn man also die Behauptung negiert und daraus zeigen kann, dass die negierte Voraussetzung wahr ist, dann hat man auch den ursprünglichen Satz bewiesen. 
'''Aufgabe:'''
Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes. 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Sätze und Beweise SoSe 11

2011-04-15T10:17:55Z

Mm l123: /* Aufbau eines mathematischen Satzes */

==Aufbau eines mathematischen Satzes==
Im [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]] haben wir bereits einen mathematischen Satz, den so genannten ''Wechselwinkelsatz'' kennengelernt. 
''Wechselwinkelsatz: 
''Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.'' 
''
Betrachten wir diesen Satz etwas genauer: Es wird hier behauptet, dass Wechselwinkel kongruent zueinander sind (Behauptung), unter der Bedingung, dass die Wechselwinkel an geschnittenen '''parallelen''' Geraden betrachtet werden (Voraussetzung). Wir können den Satz also in eine '''Voraussetzung (A)''' und eine '''Behauptung (B)''' aufteilen. 
In der Mathematik gehen wir davon aus, dass Sätze wahr sind, d. h. wenn die Voraussetzung erfüllt ist, muss auch die Behauptung notwendigerweise wahr sein. 
Aussagenlogisch haben wir es somit mit einer Implikation zu tun: 
formal: <math>\ A \Rightarrow B</math> 

Wir können aus jedem Satz auch eine Umkehrung bilden (die nicht unbedingt wahr sein muss), d. h. wir formulieren die Behauptung als Voraussetzung und die Vorausetzung als Behauptung: 
formal:<math>\ B \Rightarrow A</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: 

Wenn zwei Wechselwinkel kongruent zueinander sind, dann sind die geschnittenen Geraden parallel zueinander.

Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz: 

==notwendige und hinreichende Bedingung==
An dieser Stelle ist es sinnvoll zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: '''hinreichende''' und '''notwendige Bedingung''' Lassen Sie uns die Begriffe an einem alltäglichen Beispiel erläutern: 
Wir nehmen mal den folgenden Satz: Wenn die Deckenlampe leuchtet, dann ist das Zimmer hell. <br\>
Es handelt sich hierbei um eine Implikation in der Form: Voraussetzung (Die Deckenlampe leuchtet)<math>\Rightarrow </math> Behauptung (Das Zimmer ist hell).<br\>
Die Voraussetzung ist dabei die hinreichende Bedingung für die Behauptung, denn es genügt, für die Zimmerhelligkeit die Deckenbeleuchtung einzuschalten, man könnte das Zimmer aber z. B. ja auch durch eine Kerze beleuchten. Es ist also nicht unbedingt notwendig die Deckenlampe einzuschalten um das Zimmer hell zu bekommen. Umgekehrt ist die Behauptung notwendige Bedingung der Voraussetzung, denn wenn die Deckenlampe leuchtet, dann wird notwendigerweise das Zimmer hell. <br\>
Diesen Zusammenhang zwischen hinreichender Bedingung und Voraussetzung bzw. notwendiger Bedingung und Behauptung einer Implikation trifft auf alle Implikationen zu. <br\>
Ist nun auch die Umkehrung einer Implikation wahr, dann wird in der Umkehrung aus der Voraussetzung die Behauptung und aus der Behauptung die Voraussetzung. Damit tauschen sich aber dann auch jeweils die hinreichende und notwendige Bedingung, so dass jeweils die eine Teilaussage des Satzes sowohl hinreichende als auch notwendige Bedingung für die zweite Teilaussage ist. Die Voraussetzung ist dann also hinreichende als auch notwendige Bedingung für die Behauptung und die Behauptung hinreichende und notwendige Bedingung für die Voraussetzung. <br\>
Wir können damit die Implikation und ihre Umkehrung in einem neuen Satz als Äquivalenzaussage formulieren und haben zugleich ein so genanntes '''Kriterium''' (hinreichende und notwendige Bedingung) gefunden.
==Beweise==
Mathematische Sätze lassen sich im Unterschied zu Definitionen beweisen. Um einen Satz zu beweisen können verschiedene Beweistechniken angewendet werden. Grundsätzlich unterscheidet man '''direkte''' von '''indirekten Beweisen'''. Außerdem gibt es noch so genannte '''Induktionsbeweise''' (vollständige Induktion, Wohlordnungsprinzip). 
'''Direkter Beweis''' 
Die Voraussetzung (A) eines Satzes wird solange durch Implikationen umgeformt, bis die Behauptung (B) herauskommt, z.B.: <math>\ A \Rightarrow C \Rightarrow D \Rightarrow B</math> 
'''Indirekter Beweis''' 
Beim indirekten Beweisen unterscheidet man '''Widerspruchsbeweise (1)''' von '''Beweisen durch Kontraposition (2)'''. 
#'''Widerspruchsbeweis:''' Beim Widerspruchsbeweis nimmt man das Gegenteil der Behauptung an (Annahme) und führt diese Annahme zu einem Widerspruch (meist zur Voraussetzung oder zu einem bereits bewiesenen Satz). (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
#'''Beweis durch Kontraposition:''' Beim Beweisen durch Kontraposition nutzt man den folgenden Zusammenhang aus: <math>\ (\ A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \ (\neg B \Rightarrow \neg A)</math> (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik). Wenn man also die Behauptung negiert und daraus zeigen kann, dass die negierte Voraussetzung wahr ist, dann hat man auch den ursprünglichen Satz bewiesen. 
'''Aufgabe:'''
Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes. 

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Definitionen in der Mathematik SoSe 11

2011-04-15T09:59:23Z

Mm l123: /* Definition E.1: Ellipse */

==Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]]==
Wir haben im [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden.
 Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus. 
Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...). 
Man legt nur, mit Hilfe der so genannten ''Axiome'', die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen fest. 

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 
==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
{{#ev:youtube|PQjeTmY0cdQ&NR=1}}
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
*Eine Ellipse ist eine Figur mit zwei Brennpunkten 
*Eine Ellipse ist ein gestauchter Kreis 
*Eine Ellipse ist ein gestreckter Kreis 
*Eine Ellipse ist das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht. (Vorlesung 11.4.11 --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 15:39, 11. Apr. 2011 (CEST)
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. 
'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition E.1: Ellipse====
::Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte. Unter der Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math> versteht man die Menge aller Punkte <math> P</math> für die gilt, dass die Summe der Abstände <math>\overline{PF_1}</math> und <math>\overline{PF_2}</math> konstant ist. (Vorlesung: 11.04.11) --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 16:03, 11. Apr. 2011 (CEST)

Frage: Brennpunkt ist kein Grundbegriff und ein bislang nicht definierter Begriff, muss er aus diesem Grund nicht auch noch definiert werden?

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====
::Ein Kreis ist eine Ellipse, deren Brennpunkte <math>F_1</math> und <math>F_2</math> identisch sind.--[[Benutzer:MMaike|MMaike]] 13:54, 13. Apr. 2011 (CEST)
 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAKyeWD0AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3Vjfb9s2EH5e/wpCr1tskdQvA3aKLF2BAt1iwF0fNuyBlmibi0RpFJXI+et3JCVbthMvabqHFn6QfTwd777v7nj09G1b5OiOq1qUcubhke8hLtMyE3I98xq9uki8t5dvpmtervlSMbQqVcH0zKMj4hl5Iy7f/DCtN+U9YrlV+Sz4/czTquEeqivFWVZvONdOvGJ5DXLWtCIXTG1vln/zVNf7BWfjg6wa3RtJi+yjqPufY7tflQv9TtyJjCuUl+nMi0LwHL595kqLlOUzL/CdhEBYYXCwCCJqVjelEg+l1EZ9b3wFEoRq8cDhTWJk07GNc8qbNBeZYNIEY/0AJYTuRaY3My+mBExysd6AryH2nbW0LFW22NaaF6j9g6sSjMZ4RClJKAnCKJ5MgtBD236JjIKQxpMA00kcwDqACB6DKzQehVEYQ1hB6MdJMoGXnlyyW/O7BdcamKwRa3nd47lWItsBbn58qH8u872oKoXU16zSjbJZQDvRQm/NZoCbMjFeyXXOOxkEnm54erss24XDjTrTn7aVfcX6s1xfl3mpkIIXQoh53T2X7ml1jKM7Ld/q+Fajs2GM7tbxhFgN+1y6p9XKhXSudYHjPuqeFdaKGhkBGDfJ22OTsyWHZPBQI4X+2P+ApLntIsVO/7emWELRDNNmZxJ/JZPT8VG+TW+5kjx3WSWB2KZsanRnstdRZ/3IeCoK+OkWOkCYIet3cMBJM75WvPfblZyDy64eZO6ReDrunTA+1OBrqqF1QDzaxGJKW0NZzbxFupFCpRsPZUybFVM/OS84FJe2WWGTaofPe+ztOklpu8IRgHukYfnRFLHJxPJqw0Ay6qLI2RZ6xDAua+/XMjuMlklAzYYCpVoZA4aXinPHqO4SGVVg0JbFAHKLVI3amXdBTQfduv3Rg+uoVseVkOkXdlfaMewQ+S9syPeAzf8CzfX3gMwF7ItJvP/gICEWKzKKwmDwocHLoEvLomAyQ5IV4MgveS4q2N68KcwRi5hvKw8xbLMMMWIgdXg1utdIndnO2Akj0AhEukM89Q47sN5Aq5O8ru1JoocHwgFt3elzwhtYz4SDGNRvOu0nSQ3x61l9lvNw0HN5B86Uqkao9bvpaev3Gd5LWuwYhjXciR7wgENIICVadGX0MRnFQTQhMBrACBCbyeAKm2iiQzmIgakLnPiTEcEB9imGgSKhCSzQzoGroN/3Kuy+Ocf/kS642p0/ooBpKhX6fO7MbdkdZk56kinz85lyWLvzL6pdTNzoYJ+vZVorlnaSwUn+dYoaj+IIBzCS4TgOMIkI7UqaJgGOgsRPMAx4FL+mohd8beRPVPT8hB92np+6M9czwJ6uZXKulp9BYz8BuiZsqvZLORxA/gi2W4MtoUk4CaGpkjCJaRxbyC/iEQ5NPQUkCCgNJ/RM9R+He66ILOK5SY0PUsNIx+2IdDqp3XJemQH5Rn5STNbmanWYii/lfb5r5Me8L1/G+/Lb4v1x2oPj+vsGWect3KBrcznvUc3ggt5CU3oHV2ImU/7ne/wTmv+FfkR7CTESD41PeJZNwdXgrM4sz7B700GbwCCCo4jgGC6hEQnw+dnJH7CHz49ty7LMOZO7rfnx1gOIXjPO+c9OqJvVquba5g9x0xYlZ/MNrsSGCCvrR6mjmMfDS5H946D74+TyX1BLBwj/in845AQAAGoRAABQSwECFAAUAAgACACsnlg9/4p/OOQEAABqEQAADAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAABAAEAOgAAAB4FAAAAAA==" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen==
===Das Haus der Vierecke===
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/HDV_AndreaSpitz.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
 
=== Übungsaufgabe 1.3 der ersten Serie ===
Im Folgenden seien die Begriffe n-Eck, Seite eines n-ecks, Ecke eines n-Ecks bereits definiert.
Ergänzen Sie die folgenden Definitionen. Beziehen Sie sich dabei jeweils auf den nächst höheren Oberbegriff.
====Definition: Viereck====
::Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4--[[Benutzer:*Osterhase*|*Osterhase*]] 13:22, 12. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Trapez====

::Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei gegenüberliegenden parallelen Seiten. --[[Benutzer:Eiermanns|Eiermanns]] 14:04, 12. Apr. 2011 (CEST)
 Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:54, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Parallelogramm====
Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paar paralleler Seiten.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:41, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: gleichschenkliges Trapez====
Wenn bei einem Trapez die beiden nicht parallelen Seiten ein und denselben Abstand zwischen den Parallelen hat, dann ist es ein gleichschenkliges. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:48, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Diese Definition erscheint mir noch etwas unklar. Was versteht man in diesem Fall unter "Abstand" (sollte genauer erklärt werden). Vielleicht gibt es noch andere Definitionen, die eindeutig ist.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:19, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Ist ein Trapez, bei welchem die Diagonalen gleich lang sind.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:15, 13. Apr. 2011 (CEST)
 Ein Trapez,bei dem die nicht parallelen Seiten gleich lang sind, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:59, 13. Apr. 2011 (CEST) 
wie sieht es denn aus mit: "Wenn die senkrechte Mittellinie der beiden parallelen Seiten eines Trapezes identisch sind und zugleich Symmetrieachse des Trapezes, dann ist das Trapez ein gleichschenkliches Trapez."? --[[Benutzer:HecklF|HecklF]] 22:48, 14. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Rechteck====
Ein Viereck mit vier rechten Innenwinkel heißt Rechteck. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:45, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Eine Definition sollte immer so viel Information wie nötig, aber so wenig wie möglich enthalten. Geht es denn auch anders? Tipp: Über Parallelogramme definieren. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:23, 13. Apr. 2011 (CEST) statt 4 rechten Innenwinkeln nur 3 verwenden. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:52, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel. 
Wenn noch kein Parallelogramm def. ist: Ein 4 Eck bei welchem die Diagonale gleich lang sind und sich halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:07, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Quadrat====
Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und einem rechten Winkel heißt Quadrat.
--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:43, 13. Apr. 2011 (CEST)
 steht schon gut da ! Wenn ein Viereck vier gleich lange Seiten hat und einen rechten Winkel besitzt, dann ist es ein Quadrat.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:53, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Drachen====
Wenn zwei <s>Stecken</s>Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und eine Strecke die andere halbiert, dann ist es ein Drachen. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST)Die Änderung in "Diagonalen" müsste die Def. "richtig" werden lassen, oder?--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:49, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Ein 4 Eck, bei welchem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen eine Diagonale wird halbiert halbieren.--[[Benutzer:Eng.MODs|Eng.MODs]] 10:10, 13. Apr. 2011 (CEST) 
Halbieren sich die Diagonalen bei einem Drachen gegenseitig oder wird hier eine bestimmte "Art der Drachen" beschrieben? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 19:15, 14. Apr. 2011 (CEST)
<ggb_applet width="436" height="331" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 
Sind das Drachen, bzw. ist die zweite Konstruktion eine Raute? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 09:31, 13. Apr. 2011 (CEST)
 Ein Viereck, bei dem eine Diagonale die Mittelsenkrechte der anderen Diagonale ist, heißt Drachen.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:50, 13. Apr. 2011 (CEST)
ist ein Viereck, bei dem eine Diagonale Symetrieachse ist --[[Benutzer:Gueldaglart|Gueldaglart]] 18:32, 13. Apr. 2011 (CEST)

====Definition: Raute====
Wenn zwei Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und sie sich gegenseitig halbieren, dann ist das Viereck eine Raute. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 00:44, 13. Apr. 2011 (CEST) 

Ein Viereck, bei dem jede Diagonale die Mittelsenkrechte der anderen ist, heißt Raute.--[[Benutzer:SeanJohn|SeanJohn]] 15:46, 13. Apr. 2011 (CEST)

Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten.--[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 22:51, 13. Apr. 2011 (CEST)

==Es kann nur eine geben - oder?==
{{#ev:youtube|kq4SqgxIKM0}} 
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Kegelschnitte.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe>
 
Das obige Video wurde von Prof. Dr. Filler erstellt.
====Definition E.2: Ellipse====
::Es sei <math>\ K</math> ein Doppelkegel und <math>\ \beta</math> eine Ebene. Wenn <math>\ \beta</math> den Doppelkegel <math>\ K</math> derart schneidet, dass die Spitze der Doppelkegel <math>\ K</math> nicht Element der Ebene <math>\ \beta</math> ist, dann heißt <math>K \cap \beta</math> Ellipse. --[[Benutzer:MMaike|MMaike]] 14:01, 13. Apr. 2011 (CEST)
 

====Übungsaufgabe 1.5 der Serie 1====
::Definition E.1 und Definition E.2 sind zwei verschiedene Definitionen ein und desselben Begriffs. Geht das? Diskutieren Sie!

....

==Darf es ein wenig mehr sein? Ellipse als Hypozykloide==
Mit einem {{wpd|Spirograph (Spielzeug)}} lassen sich geometrische Kurven zeichnen. Läßt man dabei ein kleineres Zahnrad innerhalb eines großen Zahnrades abrollen entstehen sogenannte Hypozykloiden. Ellipsen sind besondere Hypozykloiden. Die folgende Flash-Applikation wurde im Seminar "Erstellen von Multimedianwendungen für den Unterricht" im Sommersemester 2008 erstellt. Versuchen Sie mit der Applikation eine Ellipse zu generieren (Was aussieht wie ein Ellipse ist dann auch eine). Definieren Sie dann den Begriff Ellipse als spezielle Hypozykloide.
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Hypozykloide_0202.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Die Kurve wird durch Klicken bzw. Ziehen im linken unteren Bereich des Applikationsfensters generiert. 
Die Variablen bedeuten: 

* n1: Anzahl der Zähne des festen Zahnrades
* n2: Anzahl der Zähne des abrollenden Zahnrades
* R: Radius des festen Kreises
* r: Radius des abrollenden Kreises
* d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises.
Die Werte der Variablen können selbstverständlich manipuliert werden.

====Definition E.3: Ellipse====
:: Es sei <math>\ h</math> eine Hypozykloide, für die die folgenden Bezeichnungen gelten mögen: R: Radius des festen Kreises, r: Radius des abrollenden Kreises und d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises. Wenn ... , dann ist <math>\ h</math> eine Ellipse.

[[Category:Einführung_Geometrie]]