Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Datei:20130531 123642.jpg

2013-05-31T10:52:38Z

Mohnkuh: hat eine neue Version von „Datei:20130531 123642.jpg“ hochgeladen: Zurückgesetzt auf die Version vom 31. Mai 2013, 10:49 Uhr

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung = allgemeines Viereck
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Datei:20130531 123642.jpg

2013-05-31T10:52:27Z

Mohnkuh: hat eine neue Version von „Datei:20130531 123642.jpg“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung = allgemeines Viereck
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Datei:20130531 123642.jpg

2013-05-31T10:49:40Z

Mohnkuh:

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung = allgemeines Viereck
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Datei:20130531 123642.jpg

2013-05-31T10:49:09Z

Mohnkuh: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Spickzettel SS 12 Sekundarstufe

2012-07-10T10:12:53Z

Mohnkuh:

Wie gesagt, eine A4-Seite, nutzen Sie für den Disput untereinander ausnahmsweise die Diskussionsseite dieser Datei.
[[Kategorie:Einführung_S]] 
Ich würde ein paar Sätze vorschlagen. Irgendwelche, die komisch formuliert sind und die Formulierung wichtig ist.--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 17:21, 9. Jul. 2012 (CEST)

Spickzettel SS 12 Sekundarstufe

2012-07-10T10:11:55Z

Mohnkuh:

Lösung von Aufg. 5.5 S (SoSe 12)

2012-05-31T17:12:34Z

Mohnkuh:

Beweisen Sie: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden (Hinweis: Nutzen Sie bei der Beweisführung die Sätze aus Aufgabe 4.3 und Zusatzaufgabe 4.4). 

[[Category:Einführung_S]]

[[Datei:5.5.JPG]]
--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 18:20, 21. Mai 2012 (CEST)

Hier mal meine Idee:

Vor: nkomp(A,B,C,D)

Beh: A ungl. B ungl. C ungl. D ungl. A ungl. C und B ungl. D

Ann: A = B ungl. C ungl. D ungl. B

Beweis

(1) A = B; laut Ann.

(1*) Ex. B,C,D mit nkoll(B,C,D), laut (1), Ax. I/3 (Nachtrag wegen Kommentar Buchner) --[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 19:03, 31. Mai 2012 (CEST)

(2) Ex. Ebene E mit A,B,C,D Element Ebene; laut Ann, (1*), Ax. I/4

(3) komp(A,B,C,D); laut (2), Def. komp

Schritt 3 ist ein Widerspruch zur Vorraussetzung. (Nachtrag wegen Kommentar Buchner)

--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 22:07, 30. Mai 2012 (CEST)

=== Anmerkung von Buchner zur Lösung von Mohnkuh ===
Ihre Lösungsidee gefällt mir sehr gut! Ich sortiere mal ein bisschen: Sie wollen einen Widerspruchsbeweis machen. Ihre Annahme: Es sind doch nicht alle Punkte voneienander verschieden, sondern A = B (Hier würde sogar ein oBdA passen, weil es ja völlig egal ist, ob Sie die Punkte A und B nennen oder anders). 
Auch Ihre Idee, sich auf Axiom I/4 zu berufen ist gut. Hier gibts aber noch ein Problem: Ax I/4 sagt nur etwas über drei nkoll Punkte aus. Woher wissen Sie, dass nkoll (B, C, D) gilt? Wenn Sie hier nachbessern, stimmt der Beweis. Machen Sie dann noch deutlich, wo und zu was Ihr Widerspruch auftaucht. Weiter so!--[[Benutzer:Buchner|Buchner]] 16:08, 31. Mai 2012 (CEST)

Warum schreibt keiner etwas zu den Lösungsvorschlägen der Zusatzaufgaben? Das wäre noch hilfreich. --[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 19:06, 31. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Aufg. 5.5 S (SoSe 12)

2012-05-31T17:11:11Z

Mohnkuh:

Beweisen Sie: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden (Hinweis: Nutzen Sie bei der Beweisführung die Sätze aus Aufgabe 4.3 und Zusatzaufgabe 4.4). 

[[Category:Einführung_S]]

[[Datei:5.5.JPG]]
--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 18:20, 21. Mai 2012 (CEST)

Hier mal meine Idee:

Vor: nkomp(A,B,C,D)

Beh: A ungl. B ungl. C ungl. D ungl. A ungl. C und B ungl. D

Ann: A = B ungl. C ungl. D ungl. B

Beweis

(1) A = B; laut Ann.

(1*) Ex. B,C,D mit nkoll(B,C,D), laut (1), Ax. I/3 (Nachtrag wegen Kommentar Buchner) --[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 19:03, 31. Mai 2012 (CEST)

(2) Ex. Ebene E mit A,B,C,D Element Ebene; laut Ann, (1*), Ax. I/4

(3) komp(A,B,C,D); laut (2), Def. komp

--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 22:07, 30. Mai 2012 (CEST)

=== Anmerkung von Buchner zur Lösung von Mohnkuh ===
Ihre Lösungsidee gefällt mir sehr gut! Ich sortiere mal ein bisschen: Sie wollen einen Widerspruchsbeweis machen. Ihre Annahme: Es sind doch nicht alle Punkte voneienander verschieden, sondern A = B (Hier würde sogar ein oBdA passen, weil es ja völlig egal ist, ob Sie die Punkte A und B nennen oder anders). 
Auch Ihre Idee, sich auf Axiom I/4 zu berufen ist gut. Hier gibts aber noch ein Problem: Ax I/4 sagt nur etwas über drei nkoll Punkte aus. Woher wissen Sie, dass nkoll (B, C, D) gilt? Wenn Sie hier nachbessern, stimmt der Beweis. Machen Sie dann noch deutlich, wo und zu was Ihr Widerspruch auftaucht. Weiter so!--[[Benutzer:Buchner|Buchner]] 16:08, 31. Mai 2012 (CEST)

Warum schreibt keiner etwas zu den Lösungsvorschlägen der Zusatzaufgaben? Das wäre noch hilfreich. --[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 19:06, 31. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Aufg. 5.5 S (SoSe 12)

2012-05-31T17:06:05Z

Mohnkuh:

Beweisen Sie: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden (Hinweis: Nutzen Sie bei der Beweisführung die Sätze aus Aufgabe 4.3 und Zusatzaufgabe 4.4). 

[[Category:Einführung_S]]

[[Datei:5.5.JPG]]
--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 18:20, 21. Mai 2012 (CEST)

Hier mal meine Idee:

Vor: nkomp(A,B,C,D)

Beh: A ungl. B ungl. C ungl. D ungl. A ungl. C und B ungl. D

Ann: A = B ungl. C ungl. D ungl. B

Beweis

(1) A = B; laut Ann.

(1*) Ex. A,B,C mit nkoll(A,B,C), laut (1), Ax. I/3 (Nachtrag wegen Kommentar Buchner) --[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 19:03, 31. Mai 2012 (CEST)

(2) Ex. Ebene E mit A,B,C,D Element Ebene; laut Ann, (1*), Ax. I/4

(3) komp(A,B,C,D); laut (2), Def. komp

--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 22:07, 30. Mai 2012 (CEST)

=== Anmerkung von Buchner zur Lösung von Mohnkuh ===
Ihre Lösungsidee gefällt mir sehr gut! Ich sortiere mal ein bisschen: Sie wollen einen Widerspruchsbeweis machen. Ihre Annahme: Es sind doch nicht alle Punkte voneienander verschieden, sondern A = B (Hier würde sogar ein oBdA passen, weil es ja völlig egal ist, ob Sie die Punkte A und B nennen oder anders). 
Auch Ihre Idee, sich auf Axiom I/4 zu berufen ist gut. Hier gibts aber noch ein Problem: Ax I/4 sagt nur etwas über drei nkoll Punkte aus. Woher wissen Sie, dass nkoll (B, C, D) gilt? Wenn Sie hier nachbessern, stimmt der Beweis. Machen Sie dann noch deutlich, wo und zu was Ihr Widerspruch auftaucht. Weiter so!--[[Benutzer:Buchner|Buchner]] 16:08, 31. Mai 2012 (CEST)

Warum schreibt keiner etwas zu den Lösungsvorschlägen der Zusatzaufgaben? Das wäre noch hilfreich. --[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 19:06, 31. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Aufg. 5.5 S (SoSe 12)

2012-05-31T17:04:44Z

Mohnkuh:

Beweisen Sie: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden (Hinweis: Nutzen Sie bei der Beweisführung die Sätze aus Aufgabe 4.3 und Zusatzaufgabe 4.4). 

[[Category:Einführung_S]]

[[Datei:5.5.JPG]]
--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 18:20, 21. Mai 2012 (CEST)

Hier mal meine Idee:

Vor: nkomp(A,B,C,D)

Beh: A ungl. B ungl. C ungl. D ungl. A ungl. C und B ungl. D

Ann: A = B ungl. C ungl. D ungl. B

Beweis

(1) A = B; laut Ann.

(1*) Ex. A,B,C mit nkoll(A,B,C), laut (1), Ax. I/3 (Nachtrag wegen Kommentar Buchner) --[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 19:03, 31. Mai 2012 (CEST)

(2) Ex. Ebene E mit A,B,C,D Element Ebene; laut Ann, (1*), Ax. I/4

(3) komp(A,B,C,D); laut (2), Def. komp

--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 22:07, 30. Mai 2012 (CEST)

=== Anmerkung von Buchner zur Lösung von Mohnkuh ===
Ihre Lösungsidee gefällt mir sehr gut! Ich sortiere mal ein bisschen: Sie wollen einen Widerspruchsbeweis machen. Ihre Annahme: Es sind doch nicht alle Punkte voneienander verschieden, sondern A = B (Hier würde sogar ein oBdA passen, weil es ja völlig egal ist, ob Sie die Punkte A und B nennen oder anders). 
Auch Ihre Idee, sich auf Axiom I/4 zu berufen ist gut. Hier gibts aber noch ein Problem: Ax I/4 sagt nur etwas über drei nkoll Punkte aus. Woher wissen Sie, dass nkoll (B, C, D) gilt? Wenn Sie hier nachbessern, stimmt der Beweis. Machen Sie dann noch deutlich, wo und zu was Ihr Widerspruch auftaucht. Weiter so!--[[Benutzer:Buchner|Buchner]] 16:08, 31. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Aufg. 5.5 S (SoSe 12)

2012-05-31T17:03:41Z

Mohnkuh:

Beweisen Sie: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden (Hinweis: Nutzen Sie bei der Beweisführung die Sätze aus Aufgabe 4.3 und Zusatzaufgabe 4.4). 

[[Category:Einführung_S]]

[[Datei:5.5.JPG]]
--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 18:20, 21. Mai 2012 (CEST)

Hier mal meine Idee:

Vor: nkomp(A,B,C,D)

Beh: A ungl. B ungl. C ungl. D ungl. A ungl. C und B ungl. D

Ann: A = B ungl. C ungl. D ungl. B

Beweis

(1) A = B; laut Ann.

(1*) Ex. A,B,C mit nkoll(A,B,C), laut (1), Ax. I/3 (Nachtrag wegen Kommentar Buchner) --[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 19:03, 31. Mai 2012 (CEST)

(2) Ex. Ebene E mit A,B,C,D Element Ebene; laut (1), (1*), Ax. I/4

(3) komp(A,B,C,D); laut (2), Def. komp

--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 22:07, 30. Mai 2012 (CEST)

=== Anmerkung von Buchner zur Lösung von Mohnkuh ===
Ihre Lösungsidee gefällt mir sehr gut! Ich sortiere mal ein bisschen: Sie wollen einen Widerspruchsbeweis machen. Ihre Annahme: Es sind doch nicht alle Punkte voneienander verschieden, sondern A = B (Hier würde sogar ein oBdA passen, weil es ja völlig egal ist, ob Sie die Punkte A und B nennen oder anders). 
Auch Ihre Idee, sich auf Axiom I/4 zu berufen ist gut. Hier gibts aber noch ein Problem: Ax I/4 sagt nur etwas über drei nkoll Punkte aus. Woher wissen Sie, dass nkoll (B, C, D) gilt? Wenn Sie hier nachbessern, stimmt der Beweis. Machen Sie dann noch deutlich, wo und zu was Ihr Widerspruch auftaucht. Weiter so!--[[Benutzer:Buchner|Buchner]] 16:08, 31. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Aufg. 5.5 S (SoSe 12)

2012-05-30T21:07:00Z

Mohnkuh:

Lösung von Aufg. 5.5 S (SoSe 12)

2012-05-30T21:02:32Z

Mohnkuh:

Lösung von Zusatzaufgabe 4.4 S (SoSe 12)

2012-05-30T20:55:46Z

Mohnkuh:

1) Wenn vier Punkte nicht in der selben Ebene liegen, dann sind drei Punkte von ihnen auf der selben Ebene

2) 4 Punkte die nicht auf der selben Ebene sind, haben drei Punkte die nicht auf der selben Geraden liegen

3) Voraussetzung: nkomp (ABC)

Behauptung: nkoll (ABC)<math>\bigvee</math>nkoll(BCD)<math>\bigvee</math>nkoll(CDA)<math>\bigvee</math>nkoll(BCA)

Annahme: nkomp (ABCD)<math>\bigwedge</math>koll (ABC) oBdA

1 Fall:
D <math>\in</math> g

2 Fall: D ist nicht <math>\in</math>
g

Hallo hier mal ein direkter Beweis: Ist der so richtig?????
Vor: nkomp(A,B,C,D)
Beh: nkoll (A,B,C) oBdA

1:nnKomp(A,B,C,D) laut Vor

2:EX A,B,C,: nkoll(A,B,C) laut Ax I/3 (1) oBdA

3: nKoll(A,B,C) laut (2) q.e.d

--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 13:21, 28. Mai 2012 (CEST)

Hier mal indirekt:

Vor: nkomp(A,B,C,D)

Beh: nkoll(A,B,C)

Ann: koll(A,B,C), Fall 1: D nicht Element g, Fall 2: D Element g

Beweis:

Fall 1:

(1) koll(A,B,C); Ann

(2) <math>\exists </math> g: A,B,C <math>\in </math> und D<math>\not\in </math>g; Ann, (1)

(3) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,D <math>\in</math> E; Ax. I/4, (2)

(4) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,C,D <math>\in</math> E; Ax. I/5, (2), (3)

(5) komp(A,B,C,D); Def komp

Fall 2:

(1) koll(A,B,C); Ann

(2) <math>\exists </math> g: A,B,C <math>\in </math> g und D<math>\in </math>g; Ann, (1)

(3) <math>\exists </math> g: A,B,C,D <math>\in </math> g; (2)

(4) <math>\exists</math>P: nkoll(A,B,P); Ax I/3

(5) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,C,D,P <math>\in</math> Ebene E; Ax. I/4, Ax. I/5, (4), (3)

(6) komp(A,B,C,D)

--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 22:31, 30. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 4.4 S (SoSe 12)

2012-05-30T20:55:04Z

Mohnkuh:

1) Wenn vier Punkte nicht in der selben Ebene liegen, dann sind drei Punkte von ihnen auf der selben Ebene

2) 4 Punkte die nicht auf der selben Ebene sind, haben drei Punkte die nicht auf der selben Geraden liegen

3) Voraussetzung: nkomp (ABC)

Behauptung: nkoll (ABC)<math>\bigvee</math>nkoll(BCD)<math>\bigvee</math>nkoll(CDA)<math>\bigvee</math>nkoll(BCA)

Annahme: nkomp (ABCD)<math>\bigwedge</math>koll (ABC) oBdA

1 Fall:
D <math>\in</math> g

2 Fall: D ist nicht <math>\in</math>
g

Hallo hier mal ein direkter Beweis: Ist der so richtig?????
Vor: nkomp(A,B,C,D)
Beh: nkoll (A,B,C) oBdA

1:nnKomp(A,B,C,D) laut Vor

2:EX A,B,C,: nkoll(A,B,C) laut Ax I/3 (1) oBdA

3: nKoll(A,B,C) laut (2) q.e.d

--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 13:21, 28. Mai 2012 (CEST)

Hier mal indirekt:

Vor: nkomp(A,B,C,D)

Beh: nkoll(A,B,C)

Ann: koll(A,B,C), Fall 1: D nicht Element g, Fall 2: D Element g

Beweis:

Fall 1:

(1) koll(A,B,C); Ann

(2) <math>\exists </math> g: A,B,C <math>\in </math> und D<math>\not\in </math>g; Ann, (1)

(3) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,D <math>\in</math> E; Ax. I/4, (2)

(4) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,C,D <math>\in</math> E; Ax. I/5, (2), (3)

(5) komp(A,B,C,D); Def komp

Fall 2:

(1) koll(A,B,C); Ann

(2) <math>\exists </math> g: A,B,C <math>\in </math> g und D<math>\in </math>g; Ann, (1)

(3) <math>\exists </math> g: A,B,C,D <math>\in </math> g; (2)

(4) <math>\exists</math>P: nkoll(A,B,P); Ax I/3

(5) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,C,D,P <math>\in</math> Ebene E; Ax. I/4, Ax. I/5, (4)

(6) komp(A,B,C,D)

--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 22:31, 30. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 4.4 S (SoSe 12)

2012-05-30T20:45:37Z

Mohnkuh:

1) Wenn vier Punkte nicht in der selben Ebene liegen, dann sind drei Punkte von ihnen auf der selben Ebene

2) 4 Punkte die nicht auf der selben Ebene sind, haben drei Punkte die nicht auf der selben Geraden liegen

3) Voraussetzung: nkomp (ABC)

Behauptung: nkoll (ABC)<math>\bigvee</math>nkoll(BCD)<math>\bigvee</math>nkoll(CDA)<math>\bigvee</math>nkoll(BCA)

Annahme: nkomp (ABCD)<math>\bigwedge</math>koll (ABC) oBdA

1 Fall:
D <math>\in</math> g

2 Fall: D ist nicht <math>\in</math>
g

Hallo hier mal ein direkter Beweis: Ist der so richtig?????
Vor: nkomp(A,B,C,D)
Beh: nkoll (A,B,C) oBdA

1:nnKomp(A,B,C,D) laut Vor

2:EX A,B,C,: nkoll(A,B,C) laut Ax I/3 (1) oBdA

3: nKoll(A,B,C) laut (2) q.e.d

--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 13:21, 28. Mai 2012 (CEST)

Hier mal indirekt:

Vor: nkomp(A,B,C,D)

Beh: nkoll(A,B,C)

Ann: koll(A,B,C), Fall 1: D nicht Element g, Fall 2: D Element g

Beweis:

Fall 1:

(1) koll(A,B,C); Ann

(2) <math>\exists </math> g: A,B,C <math>\in </math> und D<math>\not\in </math>g; Ann, (1)

(3) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,D <math>\in</math> E; Ax. I/4, (2)

(4) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,C,D <math>\in</math> E; Ax. I/5, (2), (3)

(5) komp(A,B,C,D); Def komp

Fall 2:

(1) koll(A,B,C); Ann

(2) <math>\exists </math> g: A,B,C <math>\in </math> g und D<math>\in </math>g; Ann, (1)

(3) <math>\exists </math> g: A,B,C,D <math>\in </math> g; (2)

(4) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,C,D <math>\in</math> E; Ax. I/5, (3)

(5) komp(A,B,C,D)

--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 22:31, 30. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 4.4 S (SoSe 12)

2012-05-30T20:43:19Z

Mohnkuh:

1) Wenn vier Punkte nicht in der selben Ebene liegen, dann sind drei Punkte von ihnen auf der selben Ebene

2) 4 Punkte die nicht auf der selben Ebene sind, haben drei Punkte die nicht auf der selben Geraden liegen

3) Voraussetzung: nkomp (ABC)

Behauptung: nkoll (ABC)<math>\bigvee</math>nkoll(BCD)<math>\bigvee</math>nkoll(CDA)<math>\bigvee</math>nkoll(BCA)

Annahme: nkomp (ABCD)<math>\bigwedge</math>koll (ABC) oBdA

1 Fall:
D <math>\in</math> g

2 Fall: D ist nicht <math>\in</math>
g

Hallo hier mal ein direkter Beweis: Ist der so richtig?????
Vor: nkomp(A,B,C,D)
Beh: nkoll (A,B,C) oBdA

1:nnKomp(A,B,C,D) laut Vor

2:EX A,B,C,: nkoll(A,B,C) laut Ax I/3 (1) oBdA

3: nKoll(A,B,C) laut (2) q.e.d

--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 13:21, 28. Mai 2012 (CEST)

Hier mal indirekt:

Vor: nkomp(A,B,C,D)

Beh: nkoll(A,B,C)

Ann: koll(A,B,C), Fall 1: D nicht Element g, Fall 2: D Element g

Beweis:

Fall 1:

(1) koll(A,B,C); Ann

(2) <math>\exists </math> g: A,B,C <math>\in </math> und D<math>\not\in </math>g; Ann, (1)

(3) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,D <math>\in</math> E; Ax. I/4, (2)

(4) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,C,D <math>\in</math> E; Ax. I/5, (2), (3)

(5) komp(A,B,C,D); Def komp

Fall 2:

(1) koll(A,B,C); Ann

(2) <math>\exists </math> g: A,B,C <math>\in </math> g und D<math>\in </math>g; Ann, (1)

(3) <math>\exists </math> g: A,B,C,D <math>\in </math> g; (2)

(4) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,C,D <math>\in</math> E; Ax. I/5, (3)

(5) komp(A,B,C,D)

--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 22:31, 30. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 4.4 S (SoSe 12)

2012-05-30T20:32:28Z

Mohnkuh:

1) Wenn vier Punkte nicht in der selben Ebene liegen, dann sind drei Punkte von ihnen auf der selben Ebene

2) 4 Punkte die nicht auf der selben Ebene sind, haben drei Punkte die nicht auf der selben Geraden liegen

3) Voraussetzung: nkomp (ABC)

Behauptung: nkoll (ABC)<math>\bigvee</math>nkoll(BCD)<math>\bigvee</math>nkoll(CDA)<math>\bigvee</math>nkoll(BCA)

Annahme: nkomp (ABCD)<math>\bigwedge</math>koll (ABC) oBdA

1 Fall:
D <math>\in</math> g

2 Fall: D ist nicht <math>\in</math>
g

Hallo hier mal ein direkter Beweis: Ist der so richtig?????
Vor: nkomp(A,B,C,D)
Beh: nkoll (A,B,C) oBdA

1:nnKomp(A,B,C,D) laut Vor

2:EX A,B,C,: nkoll(A,B,C) laut Ax I/3 (1) oBdA

3: nKoll(A,B,C) laut (2) q.e.d

--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 13:21, 28. Mai 2012 (CEST)

Hier mal indirekt:

Vor: nkomp(A,B,C,D)

Beh: nkoll(A,B,C)

Ann: koll(A,B,C)

Beweis:

(1) koll(A,B,C); Ann

(2) <math>\exists </math> g: A,B,C <math>\in </math> und D<math>\not\in </math>g; Ann, (1)

(3) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,D <math>\in</math> E; Ax. I/4, (2)

(4) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,C,D <math>\in</math> E; Ax. I/5, (2), (3)

(5) komp(A,B,C,D); Def komp

--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 22:31, 30. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 4.4 S (SoSe 12)

2012-05-30T20:31:57Z

Mohnkuh:

1) Wenn vier Punkte nicht in der selben Ebene liegen, dann sind drei Punkte von ihnen auf der selben Ebene

2) 4 Punkte die nicht auf der selben Ebene sind, haben drei Punkte die nicht auf der selben Geraden liegen

3) Voraussetzung: nkomp (ABC)

Behauptung: nkoll (ABC)<math>\bigvee</math>nkoll(BCD)<math>\bigvee</math>nkoll(CDA)<math>\bigvee</math>nkoll(BCA)

Annahme: nkomp (ABCD)<math>\bigwedge</math>koll (ABC) oBdA

1 Fall:
D <math>\in</math> g

2 Fall: D ist nicht <math>\in</math>
g

Hallo hier mal ein direkter Beweis: Ist der so richtig?????
Vor: nkomp(A,B,C,D)
Beh: nkoll (A,B,C) oBdA

1:nnKomp(A,B,C,D) laut Vor

2:EX A,B,C,: nkoll(A,B,C) laut Ax I/3 (1) oBdA

3: nKoll(A,B,C) laut (2) q.e.d

--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 13:21, 28. Mai 2012 (CEST)

Hier mal indirekt:

Vor: nkomp(A,B,C,D)

Beh: nkoll(A,B,C)

Ann: koll(A,B,C)

Beweis:

(1) koll(A,B,C); Ann

(2) <math>\exists </math> g: A,B,C <math>\in </math> und D<math>\not\in </math>g; Ann, (1)

(3) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,D<math>\in</math>E; Ax. I/4, (2)

(4) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,C,D<math>\in</math>E; Ax. I/5, (2), (3)

(5) komp(A,B,C,D); Def komp

--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 22:31, 30. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 4.4 S (SoSe 12)

2012-05-30T20:31:18Z

Mohnkuh:

1) Wenn vier Punkte nicht in der selben Ebene liegen, dann sind drei Punkte von ihnen auf der selben Ebene

2) 4 Punkte die nicht auf der selben Ebene sind, haben drei Punkte die nicht auf der selben Geraden liegen

3) Voraussetzung: nkomp (ABC)

Behauptung: nkoll (ABC)<math>\bigvee</math>nkoll(BCD)<math>\bigvee</math>nkoll(CDA)<math>\bigvee</math>nkoll(BCA)

Annahme: nkomp (ABCD)<math>\bigwedge</math>koll (ABC) oBdA

1 Fall:
D <math>\in</math> g

2 Fall: D ist nicht <math>\in</math>
g

Hallo hier mal ein direkter Beweis: Ist der so richtig?????
Vor: nkomp(A,B,C,D)
Beh: nkoll (A,B,C) oBdA

1:nnKomp(A,B,C,D) laut Vor

2:EX A,B,C,: nkoll(A,B,C) laut Ax I/3 (1) oBdA

3: nKoll(A,B,C) laut (2) q.e.d

--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 13:21, 28. Mai 2012 (CEST)

Hier mal indirekt:

Vor: nkomp(A,B,C,D)

Beh: nkoll(A,B,C)

Ann: koll(A,B,C)

Beweis:

(1) koll(A,B,C); Ann

(2) <math>\exists </math> g: A,B,C <math>\in </math> und D<math>\not\in </math>g; Ann, (1)

(3) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,D<math>\in</math>E; Ax. I/4, (2)

(4) <math>\exists</math> Ebene E: A,B,C,D<math>\in</math>E; Ax. I/5, (2), (3)

(5) komp(A,B,C,D); Def komp

Lösung von Zusatzaufgabe 4.4 S (SoSe 12)

2012-05-30T20:27:19Z

Mohnkuh:

Lösung von Zusatzaufgabe 4.4 S (SoSe 12)

2012-05-30T20:25:29Z

Mohnkuh:

Lösung von Aufg. 5.5 S (SoSe 12)

2012-05-30T20:07:40Z

Mohnkuh:

Lösung von Aufg. 5.5 S (SoSe 12)

2012-05-30T20:07:13Z

Mohnkuh:

Lösung von Aufg. 7.1 (WS 11/12)

2011-12-23T13:21:50Z

Mohnkuh:

Beweisen Sie: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Vor.: Ebene E und eine nicht in ihre liegende Gerade g 
Beh.: E geschnitten g kleiner gleich 1 
Annahme: E geschnitten g größer 1 

(1) E und nicht in ihr liegende Gerade g Vor 
(2) g: A,B,C koll 
Fall 1: E geschnitten g = {} 
Axiom 1/2, Def koll 
(3) es existiert P : P nicht Element g Axiom 1/2, Def koll 
(4) kompl (A,B,C,P) Def. kompl. (2), (3) 
(5) E2 (4) 
(6) E geschnitten E2 = {0} Axiom 1/10 
Wenn du eine Annahme aufstellst, solltest du diese auch im Beweis verwenden (als Begründung). Sonst ist es ein dirkter Beweis.

(7) Widerspruch zur Anname 

Fall 2: Mathenerds 09:36, 26. Nov. 2011 (CET) 

Warum machst du hier ein Fallunterscheidung? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:43, 29. Nov. 2011 (CET)

* Muss '''Fall 1''', d.h. <math>\ E \cap g \ = \ \lbrace \rbrace</math> überhaupt bewiesen werden?? Wenn E und g keinen Schnittpunkt haben, dann sind sie doch parallel...

* '''Fall 2''': <math>\ E \cap g \ = \ \lbrace S\rbrace</math> ''Vor'': Ebene E und eine nicht in ihr liegende Gerade g ''Beh'':<math>\ E \cap g \ = \ \lbrace S\rbrace</math> ''Ann'': <math>\ E \cap g \ = \ \lbrace S,P\rbrace</math> Beweis: 
{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| 1.) <math>\exists S,P\in g </math> || Axiom I/2, Vor.
|-
| 2.) g liegt in E|| Axiom I/5, Ann.,1.),Vor.
|-

|}
--> Widerspruch zur Vor., Annahme ist zu verwerfen --[[Benutzer:Wookie|Wookie]] 13:26, 28. Nov. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]
 
 
Aufgabe 7.1

Vor: g ist nicht echte Teilmenge von E
 
Beh: <math>\ E \cap g </math> = {A} oder <math>\ E \cap g </math> = {}
 
Ann: Die Schnittmenge enthält mehr als ein Element
 
<math>\ E \cap g </math> = {A,B} o.B.d.A

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| 1.) <math>\ g \cap E </math> = {A,B} || Ann.
|-
| 2.) <math>A,B \in g</math>|| (1), Def. Schnittmenge
|-
| 3.) <math>g \in E</math>|| (2), Axiom I/5
|-
| 4.) g ist echte Teilmenge von E|| (3)
|-
| 5.) Widerspruch zur Vor., Beh. stimmt|| (4)
|-
|}
--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 14:17, 23. Dez. 2011 (CET)

Lösung von Aufg. 7.1 (WS 11/12)

2011-12-23T13:21:34Z

Mohnkuh:

Beweisen Sie: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Vor.: Ebene E und eine nicht in ihre liegende Gerade g 
Beh.: E geschnitten g kleiner gleich 1 
Annahme: E geschnitten g größer 1 

(1) E und nicht in ihr liegende Gerade g Vor 
(2) g: A,B,C koll 
Fall 1: E geschnitten g = {} 
Axiom 1/2, Def koll 
(3) es existiert P : P nicht Element g Axiom 1/2, Def koll 
(4) kompl (A,B,C,P) Def. kompl. (2), (3) 
(5) E2 (4) 
(6) E geschnitten E2 = {0} Axiom 1/10 
Wenn du eine Annahme aufstellst, solltest du diese auch im Beweis verwenden (als Begründung). Sonst ist es ein dirkter Beweis.

(7) Widerspruch zur Anname 

Fall 2: Mathenerds 09:36, 26. Nov. 2011 (CET) 

Warum machst du hier ein Fallunterscheidung? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:43, 29. Nov. 2011 (CET)

* Muss '''Fall 1''', d.h. <math>\ E \cap g \ = \ \lbrace \rbrace</math> überhaupt bewiesen werden?? Wenn E und g keinen Schnittpunkt haben, dann sind sie doch parallel...

* '''Fall 2''': <math>\ E \cap g \ = \ \lbrace S\rbrace</math> ''Vor'': Ebene E und eine nicht in ihr liegende Gerade g ''Beh'':<math>\ E \cap g \ = \ \lbrace S\rbrace</math> ''Ann'': <math>\ E \cap g \ = \ \lbrace S,P\rbrace</math> Beweis: 
{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| 1.) <math>\exists S,P\in g </math> || Axiom I/2, Vor.
|-
| 2.) g liegt in E|| Axiom I/5, Ann.,1.),Vor.
|-

|}
--> Widerspruch zur Vor., Annahme ist zu verwerfen --[[Benutzer:Wookie|Wookie]] 13:26, 28. Nov. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Aufgabe 7.1

Vor: g ist nicht echte Teilmenge von E
 
Beh: <math>\ E \cap g </math> = {A} oder <math>\ E \cap g </math> = {}
 
Ann: Die Schnittmenge enthält mehr als ein Element
 
<math>\ E \cap g </math> = {A,B} o.B.d.A

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| 1.) <math>\ g \cap E </math> = {A,B} || Ann.
|-
| 2.) <math>A,B \in g</math>|| (1), Def. Schnittmenge
|-
| 3.) <math>g \in E</math>|| (2), Axiom I/5
|-
| 4.) g ist echte Teilmenge von E|| (3)
|-
| 5.) Widerspruch zur Vor., Beh. stimmt|| (4)
|-
|}
--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 14:17, 23. Dez. 2011 (CET)

Lösung von Aufg. 7.1 (WS 11/12)

2011-12-23T13:20:47Z

Mohnkuh:

Beweisen Sie: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Vor.: Ebene E und eine nicht in ihre liegende Gerade g 
Beh.: E geschnitten g kleiner gleich 1 
Annahme: E geschnitten g größer 1 

(1) E und nicht in ihr liegende Gerade g Vor 
(2) g: A,B,C koll 
Fall 1: E geschnitten g = {} 
Axiom 1/2, Def koll 
(3) es existiert P : P nicht Element g Axiom 1/2, Def koll 
(4) kompl (A,B,C,P) Def. kompl. (2), (3) 
(5) E2 (4) 
(6) E geschnitten E2 = {0} Axiom 1/10 
Wenn du eine Annahme aufstellst, solltest du diese auch im Beweis verwenden (als Begründung). Sonst ist es ein dirkter Beweis.

(7) Widerspruch zur Anname 

Fall 2: Mathenerds 09:36, 26. Nov. 2011 (CET) 

Warum machst du hier ein Fallunterscheidung? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:43, 29. Nov. 2011 (CET)

* Muss '''Fall 1''', d.h. <math>\ E \cap g \ = \ \lbrace \rbrace</math> überhaupt bewiesen werden?? Wenn E und g keinen Schnittpunkt haben, dann sind sie doch parallel...

* '''Fall 2''': <math>\ E \cap g \ = \ \lbrace S\rbrace</math> ''Vor'': Ebene E und eine nicht in ihr liegende Gerade g ''Beh'':<math>\ E \cap g \ = \ \lbrace S\rbrace</math> ''Ann'': <math>\ E \cap g \ = \ \lbrace S,P\rbrace</math> Beweis: 
{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| 1.) <math>\exists S,P\in g </math> || Axiom I/2, Vor.
|-
| 2.) g liegt in E|| Axiom I/5, Ann.,1.),Vor.
|-

|}
--> Widerspruch zur Vor., Annahme ist zu verwerfen --[[Benutzer:Wookie|Wookie]] 13:26, 28. Nov. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Vor: g ist nicht echte Teilmenge von E
 
Beh: <math>\ E \cap g </math> = {A} oder <math>\ E \cap g </math> = {}
 
Ann: Die Schnittmenge enthält mehr als ein Element
 
<math>\ E \cap g </math> = {A,B} o.B.d.A

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| 1.) <math>\ g \cap E </math> = {A,B} || Ann.
|-
| 2.) <math>A,B \in g</math>|| (1), Def. Schnittmenge
|-
| 3.) <math>g \in E</math>|| (2), Axiom I/5
|-
| 4.) g ist echte Teilmenge von E|| (3)
|-
| 5.) Widerspruch zur Vor., Beh. stimmt|| (4)
|-
|}
--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 14:17, 23. Dez. 2011 (CET)

Lösung von Aufg. 7.1 (WS 11/12)

2011-12-23T13:19:28Z

Mohnkuh:

Beweisen Sie: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Vor.: Ebene E und eine nicht in ihre liegende Gerade g 
Beh.: E geschnitten g kleiner gleich 1 
Annahme: E geschnitten g größer 1 

(1) E und nicht in ihr liegende Gerade g Vor 
(2) g: A,B,C koll 
Fall 1: E geschnitten g = {} 
Axiom 1/2, Def koll 
(3) es existiert P : P nicht Element g Axiom 1/2, Def koll 
(4) kompl (A,B,C,P) Def. kompl. (2), (3) 
(5) E2 (4) 
(6) E geschnitten E2 = {0} Axiom 1/10 
Wenn du eine Annahme aufstellst, solltest du diese auch im Beweis verwenden (als Begründung). Sonst ist es ein dirkter Beweis.

(7) Widerspruch zur Anname 

Fall 2: Mathenerds 09:36, 26. Nov. 2011 (CET) 

Warum machst du hier ein Fallunterscheidung? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:43, 29. Nov. 2011 (CET)

* Muss '''Fall 1''', d.h. <math>\ E \cap g \ = \ \lbrace \rbrace</math> überhaupt bewiesen werden?? Wenn E und g keinen Schnittpunkt haben, dann sind sie doch parallel...

* '''Fall 2''': <math>\ E \cap g \ = \ \lbrace S\rbrace</math> ''Vor'': Ebene E und eine nicht in ihr liegende Gerade g ''Beh'':<math>\ E \cap g \ = \ \lbrace S\rbrace</math> ''Ann'': <math>\ E \cap g \ = \ \lbrace S,P\rbrace</math> Beweis: 
{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| 1.) <math>\exists S,P\in g </math> || Axiom I/2, Vor.
|-
| 2.) g liegt in E|| Axiom I/5, Ann.,1.),Vor.
|-

|}
--> Widerspruch zur Vor., Annahme ist zu verwerfen --[[Benutzer:Wookie|Wookie]] 13:26, 28. Nov. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Vor: g ist nicht echte Teilmenge von E
 
Beh: <math>\ E \cap g </math> = {A} oder <math>\ E \cap g </math> = {}
 
Ann: Die Schnittmenge enthält mehr als ein Element
 
<math>\ E \cap g = {A,B}</math> o.B.d.A

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| 1.) <math>\ g \cap E = {A,B}</math> || Ann.
|-
| 2.) <math>A,B \in g</math>|| (1), Def. Schnittmenge
|-
| 3.) <math>g \in E</math>|| (2), Axiom I/5
|-
| 4.) g ist echte Teilmenge von E|| (3)
|-
| 5.) Widerspruch zur Vor., Beh. stimmt|| (4)
|-
|}
--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 14:17, 23. Dez. 2011 (CET)

Lösung von Aufg. 7.1 (WS 11/12)

2011-12-23T13:18:03Z

Mohnkuh:

Beweisen Sie: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Vor.: Ebene E und eine nicht in ihre liegende Gerade g 
Beh.: E geschnitten g kleiner gleich 1 
Annahme: E geschnitten g größer 1 

(1) E und nicht in ihr liegende Gerade g Vor 
(2) g: A,B,C koll 
Fall 1: E geschnitten g = {} 
Axiom 1/2, Def koll 
(3) es existiert P : P nicht Element g Axiom 1/2, Def koll 
(4) kompl (A,B,C,P) Def. kompl. (2), (3) 
(5) E2 (4) 
(6) E geschnitten E2 = {0} Axiom 1/10 
Wenn du eine Annahme aufstellst, solltest du diese auch im Beweis verwenden (als Begründung). Sonst ist es ein dirkter Beweis.

(7) Widerspruch zur Anname 

Fall 2: Mathenerds 09:36, 26. Nov. 2011 (CET) 

Warum machst du hier ein Fallunterscheidung? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:43, 29. Nov. 2011 (CET)

* Muss '''Fall 1''', d.h. <math>\ E \cap g \ = \ \lbrace \rbrace</math> überhaupt bewiesen werden?? Wenn E und g keinen Schnittpunkt haben, dann sind sie doch parallel...

* '''Fall 2''': <math>\ E \cap g \ = \ \lbrace S\rbrace</math> ''Vor'': Ebene E und eine nicht in ihr liegende Gerade g ''Beh'':<math>\ E \cap g \ = \ \lbrace S\rbrace</math> ''Ann'': <math>\ E \cap g \ = \ \lbrace S,P\rbrace</math> Beweis: 
{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| 1.) <math>\exists S,P\in g </math> || Axiom I/2, Vor.
|-
| 2.) g liegt in E|| Axiom I/5, Ann.,1.),Vor.
|-

|}
--> Widerspruch zur Vor., Annahme ist zu verwerfen --[[Benutzer:Wookie|Wookie]] 13:26, 28. Nov. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Vor: g ist nicht echte Teilmenge von E
 
Beh: <math>\ E \cap g = {A}</math> oder <math>\ E \cap g = {}</math>
 
Ann: Die Schnittmenge enthält mehr als ein Element
 
<math>\ E \cap g = {A,B}</math> o.B.d.A

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| 1.) <math>\ g \cap E = {A,B}</math> || Ann.
|-
| 2.) <math>A,B \in g</math>|| (1), Def. Schnittmenge
|-
| 3.) <math>g \in E</math>|| (2), Axiom I/5
|-
| 4.) g ist echte Teilmenge von E|| (3)
|-
| 5.) Widerspruch zur Vor., Beh. stimmt|| (4)
|-
|}
--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 14:17, 23. Dez. 2011 (CET)

Lösung von Aufg. 7.1 (WS 11/12)

2011-12-23T13:17:27Z

Mohnkuh:

Beweisen Sie: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Vor.: Ebene E und eine nicht in ihre liegende Gerade g 
Beh.: E geschnitten g kleiner gleich 1 
Annahme: E geschnitten g größer 1 

(1) E und nicht in ihr liegende Gerade g Vor 
(2) g: A,B,C koll 
Fall 1: E geschnitten g = {} 
Axiom 1/2, Def koll 
(3) es existiert P : P nicht Element g Axiom 1/2, Def koll 
(4) kompl (A,B,C,P) Def. kompl. (2), (3) 
(5) E2 (4) 
(6) E geschnitten E2 = {0} Axiom 1/10 
Wenn du eine Annahme aufstellst, solltest du diese auch im Beweis verwenden (als Begründung). Sonst ist es ein dirkter Beweis.

(7) Widerspruch zur Anname 

Fall 2: Mathenerds 09:36, 26. Nov. 2011 (CET) 

Warum machst du hier ein Fallunterscheidung? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:43, 29. Nov. 2011 (CET)

* Muss '''Fall 1''', d.h. <math>\ E \cap g \ = \ \lbrace \rbrace</math> überhaupt bewiesen werden?? Wenn E und g keinen Schnittpunkt haben, dann sind sie doch parallel...

* '''Fall 2''': <math>\ E \cap g \ = \ \lbrace S\rbrace</math> ''Vor'': Ebene E und eine nicht in ihr liegende Gerade g ''Beh'':<math>\ E \cap g \ = \ \lbrace S\rbrace</math> ''Ann'': <math>\ E \cap g \ = \ \lbrace S,P\rbrace</math> Beweis: 
{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| 1.) <math>\exists S,P\in g </math> || Axiom I/2, Vor.
|-
| 2.) g liegt in E|| Axiom I/5, Ann.,1.),Vor.
|-

|}
--> Widerspruch zur Vor., Annahme ist zu verwerfen --[[Benutzer:Wookie|Wookie]] 13:26, 28. Nov. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Vor: g ist nicht echte Teilmenge von E
Beh: <math>\ E \cap g = {A}</math> oder <math>\ E \cap g = {}</math>
Ann: Die Schnittmenge enthält mehr als ein Element
<math>\ E \cap g = {A,B}</math> o.B.d.A

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| 1.) <math>\ g \cap E = {A,B}</math> || Ann.
|-
| 2.) <math>A,B \in g</math>|| (1), Def. Schnittmenge
|-
| 3.) <math>g \in E</math>|| (2), Axiom I/5
|-
| 4.) g ist echte Teilmenge von E|| (3)
|-
| 5.) Widerspruch zur Vor., Beh. stimmt|| (4)
|-
|}
--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 14:17, 23. Dez. 2011 (CET)

Lösung von Aufg. 6.4 (WS 11/12)

2011-12-23T12:09:27Z

Mohnkuh:

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“
# Beweisen Sie Satz I indirekt.
# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
# Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

 
zu 1. Wenn A,B,C nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden. 
zu 2. Behauptung: A ungleich B ungleich C 
Annahme: o.B.d.A. A = B 
Beiweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Vorraussetzung A,B,C koll Axiom I1 (Was ist mit A,B,C koll gemeint? Nach VSS gilt nkoll(A,B,C)).--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] Sorry war ein Tippfehler muss natürlich nkoll heißen.15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Annahme A=B
|-
| AB=A=B || Annahme (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)Wie verdeutlicht mann dann, dass wenn Punkt A gleich Punkt B, dass es der gleiche Punkt ist Wenn A=B ist AB ja auch keine Gerade, da eine Gerade durch zwei verschiedene Punkte definiert wird.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Wiederspruch zur Voraussetzung, daraus folgt die Punke müssen paarweise verschieden sein.
|}

* Rückfrage: Was wäre denn, wenn auch zusätzlich noch A=C wäre? Könnte man denn dann einfach so koll(A,B,C) schließen? --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 12:57, 28. Nov. 2011 (CET)

 
zu 3. Wenn A,B,C nicht paarweise verschieden, dann sind sie Kollinear. 
zu 4. Voraussetzung Es seien drei Punkte A,B,C und o.B.d.A A=B 
Behauptung: koll (A,B,C)
Beweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Axiom I/1 (Das Axiom I1 liefert, um genau zu sein, keine 3 Geraden. Das heißt, die Begründung muss erweitert werden.)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET) Satz I/3--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Voraussetzung A=B
|-
| AB=A=B || Voraussetzung (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Axiom I/1
|}
 
zu 5. Drei paarweise verschiedene Punkte sind nicht kollinar 
zu 6. Nein, da auch Punkte existieren, welche koll sind und paarweise verschieden.--[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 13:07, 17. Nov. 2011 (CET)

 

Aufgabe 6.4.2

Vor: nkoll(A,B,C)
 
Beh: <math>A\neq B\neq C\neq A</math>
 
Ann: A=B o.B.d.A

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| A=B || Ann.
|-
| <math>\exists g:A,C \in g</math> || Axiom I/1, (1)
|-
| <math>A,B,C \in g</math> || (1),(2)
|-
| koll(A,B,C) || (3), Def koll
|-
| Widerspruch zur Vor., Beh. stimmt || (4)
|}
 

Aufgabe 6.4.4

Vor: A=B=C
 
Beh: koll(A,B,C)
{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| A=B=C || Vor
|-
| <math>\exists g:A,P \in g</math> || Axiom I/1
|-
| <math>A,B,C,P \in g</math> || (1),(2)
|-
| koll(A,B,C) || (3), Def koll
|}
 
--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 12:59, 23. Dez. 2011 (CET)[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 6.4 (WS 11/12)

2011-12-23T12:08:01Z

Mohnkuh:

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“
# Beweisen Sie Satz I indirekt.
# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
# Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

 
zu 1. Wenn A,B,C nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden. 
zu 2. Behauptung: A ungleich B ungleich C 
Annahme: o.B.d.A. A = B 
Beiweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Vorraussetzung A,B,C koll Axiom I1 (Was ist mit A,B,C koll gemeint? Nach VSS gilt nkoll(A,B,C)).--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] Sorry war ein Tippfehler muss natürlich nkoll heißen.15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Annahme A=B
|-
| AB=A=B || Annahme (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)Wie verdeutlicht mann dann, dass wenn Punkt A gleich Punkt B, dass es der gleiche Punkt ist Wenn A=B ist AB ja auch keine Gerade, da eine Gerade durch zwei verschiedene Punkte definiert wird.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Wiederspruch zur Voraussetzung, daraus folgt die Punke müssen paarweise verschieden sein.
|}

* Rückfrage: Was wäre denn, wenn auch zusätzlich noch A=C wäre? Könnte man denn dann einfach so koll(A,B,C) schließen? --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 12:57, 28. Nov. 2011 (CET)

 
zu 3. Wenn A,B,C nicht paarweise verschieden, dann sind sie Kollinear. 
zu 4. Voraussetzung Es seien drei Punkte A,B,C und o.B.d.A A=B 
Behauptung: koll (A,B,C)
Beweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Axiom I/1 (Das Axiom I1 liefert, um genau zu sein, keine 3 Geraden. Das heißt, die Begründung muss erweitert werden.)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET) Satz I/3--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Voraussetzung A=B
|-
| AB=A=B || Voraussetzung (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Axiom I/1
|}
 
zu 5. Drei paarweise verschiedene Punkte sind nicht kollinar 
zu 6. Nein, da auch Punkte existieren, welche koll sind und paarweise verschieden.--[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 13:07, 17. Nov. 2011 (CET)

 

Aufgabe 6.4.2

Vor: nkoll(A,B,C)
 
Beh: <math>A\neq B\neq C\neq A</math>
 
Ann: A=B o.B.d.A

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| A=B || Ann.
|-
| <math>\exists g:A,C \in g</math> || Axiom I/1, (1)
|-
| <math>A,B,C \in g</math> || (1),(2)
|-
| koll(A,B,C) || (3), Def koll
|}
 

Aufgabe 6.4.4

Vor: A=B=C
 
Beh: koll(A,B,C)
{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| A=B=C || Vor
|-
| <math>\exists g:A,P \in g</math> || Axiom I/1
|-
| <math>A,B,C,P \in g</math> || (1),(2)
|-
| koll(A,B,C) || (3), Def koll
|}
 
--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 12:59, 23. Dez. 2011 (CET)[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 6.4 (WS 11/12)

2011-12-23T12:06:49Z

Mohnkuh:

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“
# Beweisen Sie Satz I indirekt.
# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
# Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

 
zu 1. Wenn A,B,C nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden. 
zu 2. Behauptung: A ungleich B ungleich C 
Annahme: o.B.d.A. A = B 
Beiweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Vorraussetzung A,B,C koll Axiom I1 (Was ist mit A,B,C koll gemeint? Nach VSS gilt nkoll(A,B,C)).--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] Sorry war ein Tippfehler muss natürlich nkoll heißen.15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Annahme A=B
|-
| AB=A=B || Annahme (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)Wie verdeutlicht mann dann, dass wenn Punkt A gleich Punkt B, dass es der gleiche Punkt ist Wenn A=B ist AB ja auch keine Gerade, da eine Gerade durch zwei verschiedene Punkte definiert wird.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Wiederspruch zur Voraussetzung, daraus folgt die Punke müssen paarweise verschieden sein.
|}

* Rückfrage: Was wäre denn, wenn auch zusätzlich noch A=C wäre? Könnte man denn dann einfach so koll(A,B,C) schließen? --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 12:57, 28. Nov. 2011 (CET)

 
zu 3. Wenn A,B,C nicht paarweise verschieden, dann sind sie Kollinear. 
zu 4. Voraussetzung Es seien drei Punkte A,B,C und o.B.d.A A=B 
Behauptung: koll (A,B,C)
Beweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Axiom I/1 (Das Axiom I1 liefert, um genau zu sein, keine 3 Geraden. Das heißt, die Begründung muss erweitert werden.)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET) Satz I/3--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Voraussetzung A=B
|-
| AB=A=B || Voraussetzung (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Axiom I/1
|}
 
zu 5. Drei paarweise verschiedene Punkte sind nicht kollinar 
zu 6. Nein, da auch Punkte existieren, welche koll sind und paarweise verschieden.--[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 13:07, 17. Nov. 2011 (CET)

 

Aufgabe 6.4.2

Vor: nkoll(A,B,C)
 
Beh: <math>A\neq B\neq C\neq A</math>
 
Ann: A=B o.B.d.A

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| A=B || Vor
|-
| <math>\exists g:A,P \in g</math> || Axiom I/1
|-
| <math>A,B,C,P \in g</math> || (1),(2)
|-
| koll(A,B,C) || (3), Def koll
|}
 

Aufgabe 6.4.4

Vor: A=B=C
 
Beh: koll(A,B,C)
{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| A=B=C || Vor
|-
| <math>\exists g:A,P \in g</math> || Axiom I/1
|-
| <math>A,B,C,P \in g</math> || (1),(2)
|-
| koll(A,B,C) || (3), Def koll
|}
 
--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 12:59, 23. Dez. 2011 (CET)[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 6.4 (WS 11/12)

2011-12-23T12:06:33Z

Mohnkuh:

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“
# Beweisen Sie Satz I indirekt.
# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
# Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

 
zu 1. Wenn A,B,C nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden. 
zu 2. Behauptung: A ungleich B ungleich C 
Annahme: o.B.d.A. A = B 
Beiweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Vorraussetzung A,B,C koll Axiom I1 (Was ist mit A,B,C koll gemeint? Nach VSS gilt nkoll(A,B,C)).--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] Sorry war ein Tippfehler muss natürlich nkoll heißen.15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Annahme A=B
|-
| AB=A=B || Annahme (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)Wie verdeutlicht mann dann, dass wenn Punkt A gleich Punkt B, dass es der gleiche Punkt ist Wenn A=B ist AB ja auch keine Gerade, da eine Gerade durch zwei verschiedene Punkte definiert wird.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Wiederspruch zur Voraussetzung, daraus folgt die Punke müssen paarweise verschieden sein.
|}

* Rückfrage: Was wäre denn, wenn auch zusätzlich noch A=C wäre? Könnte man denn dann einfach so koll(A,B,C) schließen? --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 12:57, 28. Nov. 2011 (CET)

 
zu 3. Wenn A,B,C nicht paarweise verschieden, dann sind sie Kollinear. 
zu 4. Voraussetzung Es seien drei Punkte A,B,C und o.B.d.A A=B 
Behauptung: koll (A,B,C)
Beweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Axiom I/1 (Das Axiom I1 liefert, um genau zu sein, keine 3 Geraden. Das heißt, die Begründung muss erweitert werden.)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET) Satz I/3--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Voraussetzung A=B
|-
| AB=A=B || Voraussetzung (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Axiom I/1
|}
 
zu 5. Drei paarweise verschiedene Punkte sind nicht kollinar 
zu 6. Nein, da auch Punkte existieren, welche koll sind und paarweise verschieden.--[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 13:07, 17. Nov. 2011 (CET)

Aufgabe 6.4.2

Vor: nkoll(A,B,C)
 
Beh: <math>A\neq B\neq C\neq A</math>
 
Ann: A=B o.B.d.A

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| A=B || Vor
|-
| <math>\exists g:A,P \in g</math> || Axiom I/1
|-
| <math>A,B,C,P \in g</math> || (1),(2)
|-
| koll(A,B,C) || (3), Def koll
|}
 

Aufgabe 6.4.4

Vor: A=B=C
 
Beh: koll(A,B,C)
{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| A=B=C || Vor
|-
| <math>\exists g:A,P \in g</math> || Axiom I/1
|-
| <math>A,B,C,P \in g</math> || (1),(2)
|-
| koll(A,B,C) || (3), Def koll
|}
 
--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 12:59, 23. Dez. 2011 (CET)[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 6.4 (WS 11/12)

2011-12-23T12:06:03Z

Mohnkuh:

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“
# Beweisen Sie Satz I indirekt.
# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
# Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

 
zu 1. Wenn A,B,C nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden. 
zu 2. Behauptung: A ungleich B ungleich C 
Annahme: o.B.d.A. A = B 
Beiweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Vorraussetzung A,B,C koll Axiom I1 (Was ist mit A,B,C koll gemeint? Nach VSS gilt nkoll(A,B,C)).--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] Sorry war ein Tippfehler muss natürlich nkoll heißen.15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Annahme A=B
|-
| AB=A=B || Annahme (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)Wie verdeutlicht mann dann, dass wenn Punkt A gleich Punkt B, dass es der gleiche Punkt ist Wenn A=B ist AB ja auch keine Gerade, da eine Gerade durch zwei verschiedene Punkte definiert wird.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Wiederspruch zur Voraussetzung, daraus folgt die Punke müssen paarweise verschieden sein.
|}

* Rückfrage: Was wäre denn, wenn auch zusätzlich noch A=C wäre? Könnte man denn dann einfach so koll(A,B,C) schließen? --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 12:57, 28. Nov. 2011 (CET)

 
zu 3. Wenn A,B,C nicht paarweise verschieden, dann sind sie Kollinear. 
zu 4. Voraussetzung Es seien drei Punkte A,B,C und o.B.d.A A=B 
Behauptung: koll (A,B,C)
Beweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Axiom I/1 (Das Axiom I1 liefert, um genau zu sein, keine 3 Geraden. Das heißt, die Begründung muss erweitert werden.)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET) Satz I/3--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Voraussetzung A=B
|-
| AB=A=B || Voraussetzung (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Axiom I/1
|}
 
zu 5. Drei paarweise verschiedene Punkte sind nicht kollinar 
zu 6. Nein, da auch Punkte existieren, welche koll sind und paarweise verschieden.--[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 13:07, 17. Nov. 2011 (CET)

Aufgabe 6.4.2

Vor: nkoll(A,B,C)
Beh: <math>A\neq B\neq C\neq A</math>
 
Ann: A=B o.B.d.A

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| A=B || Vor
|-
| <math>\exists g:A,P \in g</math> || Axiom I/1
|-
| <math>A,B,C,P \in g</math> || (1),(2)
|-
| koll(A,B,C) || (3), Def koll
|}
 

Aufgabe 6.4.4

Vor: A=B=C
Beh: koll(A,B,C)
{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| A=B=C || Vor
|-
| <math>\exists g:A,P \in g</math> || Axiom I/1
|-
| <math>A,B,C,P \in g</math> || (1),(2)
|-
| koll(A,B,C) || (3), Def koll
|}
 
--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 12:59, 23. Dez. 2011 (CET)[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 6.4 (WS 11/12)

2011-12-23T12:05:27Z

Mohnkuh:

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“
# Beweisen Sie Satz I indirekt.
# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
# Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

 
zu 1. Wenn A,B,C nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden. 
zu 2. Behauptung: A ungleich B ungleich C 
Annahme: o.B.d.A. A = B 
Beiweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Vorraussetzung A,B,C koll Axiom I1 (Was ist mit A,B,C koll gemeint? Nach VSS gilt nkoll(A,B,C)).--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] Sorry war ein Tippfehler muss natürlich nkoll heißen.15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Annahme A=B
|-
| AB=A=B || Annahme (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)Wie verdeutlicht mann dann, dass wenn Punkt A gleich Punkt B, dass es der gleiche Punkt ist Wenn A=B ist AB ja auch keine Gerade, da eine Gerade durch zwei verschiedene Punkte definiert wird.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Wiederspruch zur Voraussetzung, daraus folgt die Punke müssen paarweise verschieden sein.
|}

* Rückfrage: Was wäre denn, wenn auch zusätzlich noch A=C wäre? Könnte man denn dann einfach so koll(A,B,C) schließen? --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 12:57, 28. Nov. 2011 (CET)

 
zu 3. Wenn A,B,C nicht paarweise verschieden, dann sind sie Kollinear. 
zu 4. Voraussetzung Es seien drei Punkte A,B,C und o.B.d.A A=B 
Behauptung: koll (A,B,C)
Beweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Axiom I/1 (Das Axiom I1 liefert, um genau zu sein, keine 3 Geraden. Das heißt, die Begründung muss erweitert werden.)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET) Satz I/3--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Voraussetzung A=B
|-
| AB=A=B || Voraussetzung (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Axiom I/1
|}
 
zu 5. Drei paarweise verschiedene Punkte sind nicht kollinar 
zu 6. Nein, da auch Punkte existieren, welche koll sind und paarweise verschieden.--[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 13:07, 17. Nov. 2011 (CET)

Aufgabe 6.4.2

Vor: nkoll(A,B,C)
Beh: <math>A\neq B\neq C\neq A</math>
Ann: A=B o.B.d.A

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| A=B || Vor
|-
| <math>\exists g:A,P \in g</math> || Axiom I/1
|-
| <math>A,B,C,P \in g</math> || (1),(2)
|-
| koll(A,B,C) || (3), Def koll
|}
 

Aufgabe 6.4.4

Vor: A=B=C
Beh: koll(A,B,C)
{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| A=B=C || Vor
|-
| <math>\exists g:A,P \in g</math> || Axiom I/1
|-
| <math>A,B,C,P \in g</math> || (1),(2)
|-
| koll(A,B,C) || (3), Def koll
|}
 
--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 12:59, 23. Dez. 2011 (CET)[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 6.4 (WS 11/12)

2011-12-23T12:05:02Z

Mohnkuh:

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“
# Beweisen Sie Satz I indirekt.
# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
# Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

 
zu 1. Wenn A,B,C nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden. 
zu 2. Behauptung: A ungleich B ungleich C 
Annahme: o.B.d.A. A = B 
Beiweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Vorraussetzung A,B,C koll Axiom I1 (Was ist mit A,B,C koll gemeint? Nach VSS gilt nkoll(A,B,C)).--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] Sorry war ein Tippfehler muss natürlich nkoll heißen.15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Annahme A=B
|-
| AB=A=B || Annahme (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)Wie verdeutlicht mann dann, dass wenn Punkt A gleich Punkt B, dass es der gleiche Punkt ist Wenn A=B ist AB ja auch keine Gerade, da eine Gerade durch zwei verschiedene Punkte definiert wird.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Wiederspruch zur Voraussetzung, daraus folgt die Punke müssen paarweise verschieden sein.
|}

* Rückfrage: Was wäre denn, wenn auch zusätzlich noch A=C wäre? Könnte man denn dann einfach so koll(A,B,C) schließen? --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 12:57, 28. Nov. 2011 (CET)

 
zu 3. Wenn A,B,C nicht paarweise verschieden, dann sind sie Kollinear. 
zu 4. Voraussetzung Es seien drei Punkte A,B,C und o.B.d.A A=B 
Behauptung: koll (A,B,C)
Beweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Axiom I/1 (Das Axiom I1 liefert, um genau zu sein, keine 3 Geraden. Das heißt, die Begründung muss erweitert werden.)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET) Satz I/3--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Voraussetzung A=B
|-
| AB=A=B || Voraussetzung (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Axiom I/1
|}
 
zu 5. Drei paarweise verschiedene Punkte sind nicht kollinar 
zu 6. Nein, da auch Punkte existieren, welche koll sind und paarweise verschieden.--[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 13:07, 17. Nov. 2011 (CET)

Aufgabe 6.4.2

Vor: nkoll(A,B,C)
Beh: <math>A\neqB\neqC\neqA</math>
Ann: A=B o.B.d.A

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| A=B || Vor
|-
| <math>\exists g:A,P \in g</math> || Axiom I/1
|-
| <math>A,B,C,P \in g</math> || (1),(2)
|-
| koll(A,B,C) || (3), Def koll
|}
 

Aufgabe 6.4.4

Vor: A=B=C
Beh: koll(A,B,C)
{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| A=B=C || Vor
|-
| <math>\exists g:A,P \in g</math> || Axiom I/1
|-
| <math>A,B,C,P \in g</math> || (1),(2)
|-
| koll(A,B,C) || (3), Def koll
|}
 
--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 12:59, 23. Dez. 2011 (CET)[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 6.4 (WS 11/12)

2011-12-23T11:59:45Z

Mohnkuh:

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“
# Beweisen Sie Satz I indirekt.
# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
# Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

 
zu 1. Wenn A,B,C nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden. 
zu 2. Behauptung: A ungleich B ungleich C 
Annahme: o.B.d.A. A = B 
Beiweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Vorraussetzung A,B,C koll Axiom I1 (Was ist mit A,B,C koll gemeint? Nach VSS gilt nkoll(A,B,C)).--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] Sorry war ein Tippfehler muss natürlich nkoll heißen.15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Annahme A=B
|-
| AB=A=B || Annahme (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)Wie verdeutlicht mann dann, dass wenn Punkt A gleich Punkt B, dass es der gleiche Punkt ist Wenn A=B ist AB ja auch keine Gerade, da eine Gerade durch zwei verschiedene Punkte definiert wird.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Wiederspruch zur Voraussetzung, daraus folgt die Punke müssen paarweise verschieden sein.
|}

* Rückfrage: Was wäre denn, wenn auch zusätzlich noch A=C wäre? Könnte man denn dann einfach so koll(A,B,C) schließen? --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 12:57, 28. Nov. 2011 (CET)

 
zu 3. Wenn A,B,C nicht paarweise verschieden, dann sind sie Kollinear. 
zu 4. Voraussetzung Es seien drei Punkte A,B,C und o.B.d.A A=B 
Behauptung: koll (A,B,C)
Beweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Axiom I/1 (Das Axiom I1 liefert, um genau zu sein, keine 3 Geraden. Das heißt, die Begründung muss erweitert werden.)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET) Satz I/3--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Voraussetzung A=B
|-
| AB=A=B || Voraussetzung (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Axiom I/1
|}
 
zu 5. Drei paarweise verschiedene Punkte sind nicht kollinar 
zu 6. Nein, da auch Punkte existieren, welche koll sind und paarweise verschieden.--[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 13:07, 17. Nov. 2011 (CET)

Aufgabe 6.4.4
{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| A=B=C || Vor
|-
| <math>\exists g:A,P \in g</math> || Axiom I/1
|-
| <math>A,B,C,P \in g</math> || (1),(2)
|-
| koll(A,B,C) || (3), Def koll
|}
 
--[[Benutzer:Mohnkuh|Mohnkuh]] 12:59, 23. Dez. 2011 (CET)[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 6.4 (WS 11/12)

2011-12-23T11:57:57Z

Mohnkuh:

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“
# Beweisen Sie Satz I indirekt.
# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
# Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

 
zu 1. Wenn A,B,C nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden. 
zu 2. Behauptung: A ungleich B ungleich C 
Annahme: o.B.d.A. A = B 
Beiweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Vorraussetzung A,B,C koll Axiom I1 (Was ist mit A,B,C koll gemeint? Nach VSS gilt nkoll(A,B,C)).--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] Sorry war ein Tippfehler muss natürlich nkoll heißen.15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Annahme A=B
|-
| AB=A=B || Annahme (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)Wie verdeutlicht mann dann, dass wenn Punkt A gleich Punkt B, dass es der gleiche Punkt ist Wenn A=B ist AB ja auch keine Gerade, da eine Gerade durch zwei verschiedene Punkte definiert wird.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Wiederspruch zur Voraussetzung, daraus folgt die Punke müssen paarweise verschieden sein.
|}

* Rückfrage: Was wäre denn, wenn auch zusätzlich noch A=C wäre? Könnte man denn dann einfach so koll(A,B,C) schließen? --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 12:57, 28. Nov. 2011 (CET)

 
zu 3. Wenn A,B,C nicht paarweise verschieden, dann sind sie Kollinear. 
zu 4. Voraussetzung Es seien drei Punkte A,B,C und o.B.d.A A=B 
Behauptung: koll (A,B,C)
Beweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Axiom I/1 (Das Axiom I1 liefert, um genau zu sein, keine 3 Geraden. Das heißt, die Begründung muss erweitert werden.)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET) Satz I/3--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Voraussetzung A=B
|-
| AB=A=B || Voraussetzung (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Axiom I/1
|}
 
zu 5. Drei paarweise verschiedene Punkte sind nicht kollinar 
zu 6. Nein, da auch Punkte existieren, welche koll sind und paarweise verschieden.--[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 13:07, 17. Nov. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| A=B=C || Vor
|-
| <math>\exists g:A,P \in g</math> || Axiom I/1
|-
| <math>A,B,C,P \in g</math> || (1),(2)
|-
| koll(A,B,C) || (3), Def koll
|}

Lösung von Aufg. 6.4 (WS 11/12)

2011-12-23T11:57:14Z

Mohnkuh:

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“
# Beweisen Sie Satz I indirekt.
# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
# Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

 
zu 1. Wenn A,B,C nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden. 
zu 2. Behauptung: A ungleich B ungleich C 
Annahme: o.B.d.A. A = B 
Beiweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Vorraussetzung A,B,C koll Axiom I1 (Was ist mit A,B,C koll gemeint? Nach VSS gilt nkoll(A,B,C)).--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] Sorry war ein Tippfehler muss natürlich nkoll heißen.15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Annahme A=B
|-
| AB=A=B || Annahme (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)Wie verdeutlicht mann dann, dass wenn Punkt A gleich Punkt B, dass es der gleiche Punkt ist Wenn A=B ist AB ja auch keine Gerade, da eine Gerade durch zwei verschiedene Punkte definiert wird.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Wiederspruch zur Voraussetzung, daraus folgt die Punke müssen paarweise verschieden sein.
|}

* Rückfrage: Was wäre denn, wenn auch zusätzlich noch A=C wäre? Könnte man denn dann einfach so koll(A,B,C) schließen? --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 12:57, 28. Nov. 2011 (CET)

 
zu 3. Wenn A,B,C nicht paarweise verschieden, dann sind sie Kollinear. 
zu 4. Voraussetzung Es seien drei Punkte A,B,C und o.B.d.A A=B 
Behauptung: koll (A,B,C)
Beweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Axiom I/1 (Das Axiom I1 liefert, um genau zu sein, keine 3 Geraden. Das heißt, die Begründung muss erweitert werden.)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET) Satz I/3--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Voraussetzung A=B
|-
| AB=A=B || Voraussetzung (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Axiom I/1
|}
 
zu 5. Drei paarweise verschiedene Punkte sind nicht kollinar 
zu 6. Nein, da auch Punkte existieren, welche koll sind und paarweise verschieden.--[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 13:07, 17. Nov. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| A=B=C || Vor
|-
| <math>\exists g:A,P \in g</math> || Axiom I/1
|-
| A,B,C,P \in g || (1),(2)
|-
| koll(A,B,C) || (3), Def koll
|}

Lösung von Aufg. 6.4 (WS 11/12)

2011-12-23T11:55:33Z

Mohnkuh:

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“
# Beweisen Sie Satz I indirekt.
# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
# Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

 
zu 1. Wenn A,B,C nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden. 
zu 2. Behauptung: A ungleich B ungleich C 
Annahme: o.B.d.A. A = B 
Beiweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Vorraussetzung A,B,C koll Axiom I1 (Was ist mit A,B,C koll gemeint? Nach VSS gilt nkoll(A,B,C)).--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] Sorry war ein Tippfehler muss natürlich nkoll heißen.15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Annahme A=B
|-
| AB=A=B || Annahme (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)Wie verdeutlicht mann dann, dass wenn Punkt A gleich Punkt B, dass es der gleiche Punkt ist Wenn A=B ist AB ja auch keine Gerade, da eine Gerade durch zwei verschiedene Punkte definiert wird.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Wiederspruch zur Voraussetzung, daraus folgt die Punke müssen paarweise verschieden sein.
|}

* Rückfrage: Was wäre denn, wenn auch zusätzlich noch A=C wäre? Könnte man denn dann einfach so koll(A,B,C) schließen? --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 12:57, 28. Nov. 2011 (CET)

 
zu 3. Wenn A,B,C nicht paarweise verschieden, dann sind sie Kollinear. 
zu 4. Voraussetzung Es seien drei Punkte A,B,C und o.B.d.A A=B 
Behauptung: koll (A,B,C)
Beweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Axiom I/1 (Das Axiom I1 liefert, um genau zu sein, keine 3 Geraden. Das heißt, die Begründung muss erweitert werden.)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET) Satz I/3--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Voraussetzung A=B
|-
| AB=A=B || Voraussetzung (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Axiom I/1
|}
 
zu 5. Drei paarweise verschiedene Punkte sind nicht kollinar 
zu 6. Nein, da auch Punkte existieren, welche koll sind und paarweise verschieden.--[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 13:07, 17. Nov. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| A=B=C || Vor
|-
| <math>\exists g:A,P \in g</math> || Voraussetzung A=B
|-
| AB=A=B || Voraussetzung (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Axiom I/1
|}

Lösung von Aufg. 6.4 (WS 11/12)

2011-12-23T11:54:41Z

Mohnkuh:

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“
# Beweisen Sie Satz I indirekt.
# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
# Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

 
zu 1. Wenn A,B,C nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden. 
zu 2. Behauptung: A ungleich B ungleich C 
Annahme: o.B.d.A. A = B 
Beiweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Vorraussetzung A,B,C koll Axiom I1 (Was ist mit A,B,C koll gemeint? Nach VSS gilt nkoll(A,B,C)).--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] Sorry war ein Tippfehler muss natürlich nkoll heißen.15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Annahme A=B
|-
| AB=A=B || Annahme (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)Wie verdeutlicht mann dann, dass wenn Punkt A gleich Punkt B, dass es der gleiche Punkt ist Wenn A=B ist AB ja auch keine Gerade, da eine Gerade durch zwei verschiedene Punkte definiert wird.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Wiederspruch zur Voraussetzung, daraus folgt die Punke müssen paarweise verschieden sein.
|}

* Rückfrage: Was wäre denn, wenn auch zusätzlich noch A=C wäre? Könnte man denn dann einfach so koll(A,B,C) schließen? --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 12:57, 28. Nov. 2011 (CET)

 
zu 3. Wenn A,B,C nicht paarweise verschieden, dann sind sie Kollinear. 
zu 4. Voraussetzung Es seien drei Punkte A,B,C und o.B.d.A A=B 
Behauptung: koll (A,B,C)
Beweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Axiom I/1 (Das Axiom I1 liefert, um genau zu sein, keine 3 Geraden. Das heißt, die Begründung muss erweitert werden.)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET) Satz I/3--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Voraussetzung A=B
|-
| AB=A=B || Voraussetzung (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Axiom I/1
|}
 
zu 5. Drei paarweise verschiedene Punkte sind nicht kollinar 
zu 6. Nein, da auch Punkte existieren, welche koll sind und paarweise verschieden.--[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 13:07, 17. Nov. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| A=B=C || Vor
|-
| <math>\exists g:A,P Element g</math> || Voraussetzung A=B
|-
| AB=A=B || Voraussetzung (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Axiom I/1
|}

Lösung von Aufg. 6.4 (WS 11/12)

2011-12-23T11:52:47Z

Mohnkuh:

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“
# Beweisen Sie Satz I indirekt.
# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
# Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

 
zu 1. Wenn A,B,C nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden. 
zu 2. Behauptung: A ungleich B ungleich C 
Annahme: o.B.d.A. A = B 
Beiweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Vorraussetzung A,B,C koll Axiom I1 (Was ist mit A,B,C koll gemeint? Nach VSS gilt nkoll(A,B,C)).--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] Sorry war ein Tippfehler muss natürlich nkoll heißen.15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Annahme A=B
|-
| AB=A=B || Annahme (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)Wie verdeutlicht mann dann, dass wenn Punkt A gleich Punkt B, dass es der gleiche Punkt ist Wenn A=B ist AB ja auch keine Gerade, da eine Gerade durch zwei verschiedene Punkte definiert wird.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Wiederspruch zur Voraussetzung, daraus folgt die Punke müssen paarweise verschieden sein.
|}

* Rückfrage: Was wäre denn, wenn auch zusätzlich noch A=C wäre? Könnte man denn dann einfach so koll(A,B,C) schließen? --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 12:57, 28. Nov. 2011 (CET)

 
zu 3. Wenn A,B,C nicht paarweise verschieden, dann sind sie Kollinear. 
zu 4. Voraussetzung Es seien drei Punkte A,B,C und o.B.d.A A=B 
Behauptung: koll (A,B,C)
Beweis:

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| <math>\exists AB,BC,AC</math> || Axiom I/1 (Das Axiom I1 liefert, um genau zu sein, keine 3 Geraden. Das heißt, die Begründung muss erweitert werden.)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET) Satz I/3--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Voraussetzung A=B
|-
| AB=A=B || Voraussetzung (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Axiom I/1
|}
 
zu 5. Drei paarweise verschiedene Punkte sind nicht kollinar 
zu 6. Nein, da auch Punkte existieren, welche koll sind und paarweise verschieden.--[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 13:07, 17. Nov. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

{| class="wikitable"
|-
| Schritt || Begründung
|-
| A=B=C || Axiom I/1 (Das Axiom I1 liefert, um genau zu sein, keine 3 Geraden. Das heißt, die Begründung muss erweitert werden.)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET) Satz I/3--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:48, 21. Nov. 2011 (CET)
|-
| BC=AC || Voraussetzung A=B
|-
| AB=A=B || Voraussetzung (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)
|-
| koll(A,B,C) || Axiom I/1
|}