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Lösung Aufgabe 5.10 SoSe 2017

2017-06-01T19:26:01Z

MonkeyDWolf: /* Lösung 2 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
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==Aufgabe 5.10 SoSe 2017 ==
Es seien <math>A, B, C, D</math> vier paarweise verschiedene Punkte.<br /> Beweisen Sie: <br /> <math> \operatorname{nKomp}(A,B,C,D)\Rightarrow \operatorname{nKoll}(A,B,C)</math>.
=Lösung 1=
Wenn nKomp (A,B,C,D), dann müssen die Punkte A,B,C eine Ebene E bilden und somit nkoll (A,B,C), da ansonsten, wenn koll (A,B,C) aus der folgenden Geraden g mit den Punkten A,B,C sich eine Ebene H mit dem Punkt D und der Geraden g bildet, was wiederum dazu führen würde, dass Komp (A,B,C,D).

=Lösung 2=
Vorrausetzung: Nkomplanar(A,B,C,D)<br>
Behauptung: Nkoll(A,B,C)<br>

Kontraposition o.b.d.A. : Wenn koll(A,B,C) gilt, dann gilt komp(A,B,C,D)<br>

1. koll(A,B,C) bedeutet es gibt eine gerade AC mit dem sich auf der geraden befindlichen Punkt B <br>
2. Nun folgt aus Axiom 1.4 das 3 nkoll(A,C,D) eine Ebene E bildet. (hierbei muss nkoll(A,C,D) vorrausgesetzt sein denn sollte D kollinear mit A und C sein so ergibt sich keine Ebene)<br>
3. somit komp(A,C,D) (trivial)<br>
4. Da sich die Gerade AC auf der Ebene befindet muss sich auch B auf der Eben befinden.<br>
5. daraus folgt Kompl(A,B,C,D)<br>

=Lösung 3=


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[[Kategorie:Einführung_S]]

Lösung Aufgabe 5.01 SoSe 2017

2017-05-31T16:36:11Z

MonkeyDWolf: /* Lösung 1 */

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==Aufgabe 5.01 SoSe 2017 ==
Wir betrachten das folgende Modell <math>\mathbb{M}:=(\mathbb{P}, \mathbb{G}, \operatorname{inz})</math> für die Inzidenzgeometrie:<br />
Modellpunkte <math>\mathbb{P}</math>:<br />
<math>\mathbb{P} := \{A,B,C,D\}</math><br />
Modellgeraden <math>\mathbb{G}</math>:<br />
<math>\mathbb{G} = \{\{A,B\}, \{A,C\}, \{A,D\}, \{B,C\}, \{B,D\}\}</math><br />
Inzidenz <math>\operatorname{inz}</math>:<br /> Elementbeziehung: Ein Punkt <math>P</math> inzidiert mit einer Geraden <math>g</math> , wenn er zu <math>g</math> gehört: <math>P \operatorname{inz} g :\Leftrightarrow P \in g</math>

# Warum ist <math>\mathbb{M}</math> kein Modell für die ebene Inzidenzgeometrie?
# Ergänzen Sie <math>\mathbb{M}</math> derart, dass alle Axiome der ebenen Inzidenz erfüllt sind.
=Lösung 1=
Das Modell M erfüllt 2 Axiome nicht und muss somit um diese zwei erweitert werden

1. Axiom 1.3 Es gibt wenigstens 3 verschiedene Punkte, da ohne diese Ergänzung A,B,C,D identisch sein könnten und somit keine Gerade bilden. <br>
P:(A,B,C,D, (logisches und) A,B,C,(D) sind paarweise verschieden)

2. Axiom 1.2(kollinear) weiterhin muss in P erwähnt werden das mindestens 3 punkte nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen. <br>
P:(A,B,C,D, (logisches und) A,B,C,D sind paarweise verschieden ( logisches und) nkoll(A,B,C))

=Lösung 2=

=Lösung 3=


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[[Kategorie:Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 3.02 SoSe 2017 S

2017-05-11T09:43:27Z

MonkeyDWolf: /* Lösung 2 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
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==Aufgabe 3.02 SoSe 2017==
Die Begriffe Dreieck, Seiten eines Dreiecks, Eckpunkte eines Dreiecks und Innenwinkel eines Dreiecks seien bereits exakt definiert worden.
Definieren Sie mathematisch korrekt die Begriffe:
# ''rechtwinkliges'' Dreieck
# ''Hypotenuse'' eines rechtwinkligen Dreiecks
# ''Katheten'' eines rechtwinkligen Dreiecks

==Lösung 1==
Def(rechtwinkliges Dreieck):

Ein Dreieck, bei dem der Innenwinkel α = 90° hat, ist ein rechtwinkliges Dreieck.

Def(Hypotenuse):

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, die Hypotenuse.

Def(Katheten):

entweder: In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Schenkel des rechten Winkels die Katheten.

oder: In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Seiten, die dem rechten Winkel nicht gegenüber liegen, die Katheten.

==Lösung 2==


1. Ein Dreieck, dass an einem seiner Eckpunkte einen Winkel von 90 aufweist ist ein rechtwinkliges Dreieck<br />
2. Eine Seite die im Rechtwinkligen Dreick gegenüber des rechten Winkels liegt und zugleich die längste Seite des Dreiecks ist, wird Hypotenuse genannt.<br />
3. Die Zwei Seiten des Dreiecks die direkt mit dem Scheitel des Rechten Winkels verbunden sind, werden Katheten des rechtwinkligen Dreiecks genannt.<br />
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</div>
[[Category:Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 3.02 SoSe 2017 S

2017-05-11T09:43:11Z

MonkeyDWolf: /* Lösung 2 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
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==Aufgabe 3.02 SoSe 2017==
Die Begriffe Dreieck, Seiten eines Dreiecks, Eckpunkte eines Dreiecks und Innenwinkel eines Dreiecks seien bereits exakt definiert worden.
Definieren Sie mathematisch korrekt die Begriffe:
# ''rechtwinkliges'' Dreieck
# ''Hypotenuse'' eines rechtwinkligen Dreiecks
# ''Katheten'' eines rechtwinkligen Dreiecks

==Lösung 1==
Def(rechtwinkliges Dreieck):

Ein Dreieck, bei dem der Innenwinkel α = 90° hat, ist ein rechtwinkliges Dreieck.

Def(Hypotenuse):

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, die Hypotenuse.

Def(Katheten):

entweder: In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Schenkel des rechten Winkels die Katheten.

oder: In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Seiten, die dem rechten Winkel nicht gegenüber liegen, die Katheten.

==Lösung 2==


1. Ein Dreieck, dass an eineem seiner Eckpunkte einen Winkel von 90 aufweist ist ein rechtwinkliges Dreieck<br />
2. Eine Seite die im Rechtwinkligen Dreick gegenüber des rechten Winkels liegt und zugleich die längste Seite des Dreiecks ist, wird Hypotenuse genannt.<br />
3. Die Zwei Seiten des Dreiecks die direkt mit dem Scheitel des Rechten Winkels verbunden sind, werden Katheten des rechtwinkligen Dreiecks genannt.<br />
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</div>
[[Category:Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 3.02 SoSe 2017 S

2017-05-11T09:42:41Z

MonkeyDWolf: /* Lösung 2 */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
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==Aufgabe 3.02 SoSe 2017==
Die Begriffe Dreieck, Seiten eines Dreiecks, Eckpunkte eines Dreiecks und Innenwinkel eines Dreiecks seien bereits exakt definiert worden.
Definieren Sie mathematisch korrekt die Begriffe:
# ''rechtwinkliges'' Dreieck
# ''Hypotenuse'' eines rechtwinkligen Dreiecks
# ''Katheten'' eines rechtwinkligen Dreiecks

==Lösung 1==
Def(rechtwinkliges Dreieck):

Ein Dreieck, bei dem der Innenwinkel α = 90° hat, ist ein rechtwinkliges Dreieck.

Def(Hypotenuse):

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, die Hypotenuse.

Def(Katheten):

entweder: In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Schenkel des rechten Winkels die Katheten.

oder: In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Seiten, die dem rechten Winkel nicht gegenüber liegen, die Katheten.

==Lösung 2==

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[[Category:Einführung_S]]

1. Ein Dreieck, dass an eineem seiner Eckpunkte einen Winkel von 90 aufweist ist ein rechtwinkliges Dreieck<br />
2. Eine Seite die im Rechtwinkligen Dreick gegenüber des rechten Winkels liegt und zugleich die längste Seite des Dreiecks ist, wird Hypotenuse genannt.<br />
3. Die Zwei Seiten des Dreiecks die direkt mit dem Scheitel des Rechten Winkels verbunden sind, werden Katheten des rechtwinkligen Dreiecks genannt.<br />

Lösung von Aufgabe 3.01 SoSe 2017 S

2017-05-11T09:28:24Z

MonkeyDWolf: /* Lösung 1 */

Lösung von Aufgabe 3.01 SoSe 2017 S

2017-05-11T09:27:49Z

MonkeyDWolf: /* Lösung 1 */