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Lösung von Aufg. 15.2 (SoSe 11)

2011-07-25T05:37:04Z

Muffinkopf:

Schauen Sie sich das nachfolgende Applet an und bewegen Sie die Figur am Punkt Z. 
a) Welche Bedingung ergibt sich für den dargestellten Winkel <math>\angle MAB</math>, wenn die Gerade ''g'' zur Tangente am Kreis ''k'' im Punkt ''A'' wird? 
b) Ergänzen Sie mit der Erkenntnis aus a) den folgenden Satz: Wenn eine Gerade ''g'' Tangente an einem Kreis ''k'' im Berührpunkt ''A'' ist, dann ... 
Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ist der Winkel <MAB ein rechter Winkel. M ist dabei der Mittelpunkt von k und Bϵg--[[Benutzer:...s...|...s...]] 19:47, 23. Jul. 2011 (CEST)

Müsste man nicht sagen, dann steht die Streccke AM senkrecht auf g?
Hab mein Problem mit <math>\angle MAB</math> weil, wenn g Tangente an k ist dann ist A ja eigentlich gleich B und der Winkel ist so nicht zu verwenden, oder täusche ich mich da? [[Benutzer:kopfnicker]] 23:16, 23. Jul. 2011 
Du kannst den Winkel ja auch mit dem Punkt Z benennen, wenn du die Gerade g mit BZ bezeichnest. Oder ist dein Problem ein anderes? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:00, 24. Jul. 2011 (CEST)

Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ''ist die Strecke vom Kreismittelpunkt M zum Berührpunkt A das Lot'' --[[Benutzer:Muffinkopf|Muffinkopf]] 18:02, 24. Jul. 2011 (CEST)

c) Beweisen Sie den Satz aus b) indirekt. 

[[Datei:Muffinkopf_Übung_15_Nr.2.jpg]]--[[Benutzer:Muffinkopf|Muffinkopf]] 18:28, 24. Jul. 2011 (CEST)
Hast du vielleicht eie Skizze dazu? --[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 20:28, 24. Jul. 2011 (CEST)

[[Datei:Muffinkopf_Skizze_Übung_15.jpg]] hier die Skizze dazu --[[Benutzer:Muffinkopf|Muffinkopf]] 07:37, 25. Jul. 2011 (CEST)

d) Gilt auch die Umkehrung des Satzes aus b)? 

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[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Datei:Muffinkopf Skizze Übung 15.jpg

2011-07-25T05:32:35Z

Muffinkopf: hat eine neue Version von „Datei:Muffinkopf Skizze Übung 15.jpg“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lizenz == {{Bild-f

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2011-07-24T16:53:49Z

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2011-07-24T16:51:30Z

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2011-07-24T16:51:20Z

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Lösung von Aufg. 15.2 (SoSe 11)

2011-07-24T16:28:20Z

Muffinkopf:

Schauen Sie sich das nachfolgende Applet an und bewegen Sie die Figur am Punkt Z. 
a) Welche Bedingung ergibt sich für den dargestellten Winkel <math>\angle MAB</math>, wenn die Gerade ''g'' zur Tangente am Kreis ''k'' im Punkt ''A'' wird? 
b) Ergänzen Sie mit der Erkenntnis aus a) den folgenden Satz: Wenn eine Gerade ''g'' Tangente an einem Kreis ''k'' im Berührpunkt ''A'' ist, dann ... 
Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ist der Winkel <MAB ein rechter Winkel. M ist dabei der Mittelpunkt von k und Bϵg--[[Benutzer:...s...|...s...]] 19:47, 23. Jul. 2011 (CEST)

Müsste man nicht sagen, dann steht die Streccke AM senkrecht auf g?
Hab mein Problem mit <math>\angle MAB</math> weil, wenn g Tangente an k ist dann ist A ja eigentlich gleich B und der Winkel ist so nicht zu verwenden, oder täusche ich mich da? [[Benutzer:kopfnicker]] 23:16, 23. Jul. 2011 
Du kannst den Winkel ja auch mit dem Punkt Z benennen, wenn du die Gerade g mit BZ bezeichnest. Oder ist dein Problem ein anderes? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:00, 24. Jul. 2011 (CEST)

Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ''ist die Strecke vom Kreismittelpunkt M zum Berührpunkt A das Lot'' --[[Benutzer:Muffinkopf|Muffinkopf]] 18:02, 24. Jul. 2011 (CEST)

c) Beweisen Sie den Satz aus b) indirekt. 

[[Datei:Muffinkopf_Übung_15_Nr.2.jpg]]--[[Benutzer:Muffinkopf|Muffinkopf]] 18:28, 24. Jul. 2011 (CEST)

d) Gilt auch die Umkehrung des Satzes aus b)? 

<ggb_applet width="546" height="527" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAOp5Qz4AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1szVjNkps4ED5vnkLF3Yz+EFBlJ+XMXlKVbLZ2sjnksoVBtrXG4AUxY89b5UX2mbYlgQ32jDO/W/EF0xKt1tff1y0Yv9uuc3Qtq1qVxcQjPvaQLNIyU8Vi4jV6Poq8d2/fjBeyXMhZlaB5Wa0TPfGYTz1jb9TbN7+M62V5g5LcTvmq5M3Emyd5LT1UbyqZZPVSSj2wJ81W5Sqpdp9nf8tU14cB5+RDsWlgFV01YEvX2UdVd7cXdsFNrvSv6lplskJ5mU48EUDo8O+rrLRKk3zicewsdOLRo0EwMTO6LCt1WxbaTD84n4MFoVrdSkCEGtv4wm50LJs0V5lKCrMZGwdMQuhGZXo58QIuwKVUiyXEykPhvKVlWWVXu1rLNdp+k1U58UZRbIDeuTuGhbmrIS5YMMB2qH9n3cjrK6k1pKVGyVYeAFtUKhvcfKjfl/nBtClVoS+TjW4qm1PWmq70ziwAa1Um4GmxyGVrowD5UqarWbm9ciAw5/rLbmMfsQHNFpdlXlaoMvAGMKG9ztzVzjGR7mdhOwfbGa0P43Q/TmJqZ9jrzF3trFwVLrR256TbNcHdMqpGxmBgBCruN58nMwmp9VBTKP2xuwEKrNqtEvfAb816Bhrok2Dvk7yUz/HFEX3GK1kVMnckKSC3TdnU6NqQ0a1lA8lkqtZw6wZaSBKTrj8hAGfN5KKSXeBOQQ4wO4r7RDwyjy+6IEwMNcSaaigFsB9t9mKUqkEl5l+WaGMxMsjlWoJGtOWDpdMel0/eviCUVtuditvxA8IwfCc3LIuSfLNMwNLRP092oPT+dqy/z/N5LTXa2md38Gx/8FOZDRFICkDSbg/UuDHeTa42UmZt6dMtwdEG1rNy6SXC4lebtYQfUrsc8aHI9H/g79b5so84pZkaYcNgLQ0cfD8A8v1f5BTKIQd7wb0EmK+GV+AHYgBTYNHjPuWPwyst1+ukyFCRrGHdS1WlubQgKdMvUIIN/1BCHHoOmEZ3QyvnrnVyAj/wX6V7bFfesPToJSi8kHVt66PuV8LnkB0/geojwRzZ+bnkPSh0aFayuIbAy6pGaIvbvO6wiwfddpYtYDpyrYm0plvSyxzwpFJbNO3mT7tZU9NrQz/EIYn3PzCzdoUpNxuygpoG8PcOSblI/yncbmpXZYGGqZpDws5S5HcrqSFDVifEmJ4nxlCX0ycVOEJdi7TXV9Xlg1UZ+oxHMeWC8JBSFkeiVSXHVOAwYhGmcUDEcyR6JRfGfrdGpyeJqM4nom69dVBX92uUP1Oj3ZHGqTQgT5Fp5FR6LpOHbIyYjwe4B9w+jn1BB1mKXD5in8YhZpgSHHNhkne/6o/BONaSWsNxOlV6n4/c0OZDoeH8Iu154PRYspJyY86Dn4svVVLU5r3Azekddx7U5779rweGV9ISwT6L2iOB4Ef16xn6+QjpPBLP1Inn24l4FufFY5ixB3Xx83Y3GjzgJHdAnvqhGMjGVTFQEyM4DFgU0DAUmFKbhhFjkB8RMRrHWGAiePCYbnlGN/fncK+jkz5kE7k4SeRle4R5TFe6/IGK7jkqCm6zZS4zd3mqjl67r5w9Kj+phLzG3mNfAAXDOCShEBFmoeOyzzCLMY14RICPjL18S532ODMgU/q4lpq+REt97feSvvpxHIWYx1EccU4jegCciiAgwDQeCBa594wRtW8iMaFEME44j3/qrjnMu/1Cc99BCiX0rpbw7/fz2befEfZpg9nmeYinafEGirKIhCHnDCpphAPynJ5A8GlXIA/M/MmnoDNlOqnSnpo6Y56XN3/IeS63Fsn7Yb/ofwix3/7aj59v/wNQSwcIV/ULMFEFAAAuFQAAUEsBAhQAFAAIAAgA6nlDPlf1CzBRBQAALhUAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAQABADoAAACLBQAAAAA=" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Datei:Muffinkopf Übung 15 Nr.2.jpg

2011-07-24T16:11:07Z

Muffinkopf: {{Information |Beschreibung = |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lizenz == {{Bild-frei}}

Lösung von Aufg. 15.2 (SoSe 11)

2011-07-24T16:02:28Z

Muffinkopf:

Schauen Sie sich das nachfolgende Applet an und bewegen Sie die Figur am Punkt Z. 
a) Welche Bedingung ergibt sich für den dargestellten Winkel <math>\angle MAB</math>, wenn die Gerade ''g'' zur Tangente am Kreis ''k'' im Punkt ''A'' wird? 
b) Ergänzen Sie mit der Erkenntnis aus a) den folgenden Satz: Wenn eine Gerade ''g'' Tangente an einem Kreis ''k'' im Berührpunkt ''A'' ist, dann ... 
Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ist der Winkel <MAB ein rechter Winkel. M ist dabei der Mittelpunkt von k und Bϵg--[[Benutzer:...s...|...s...]] 19:47, 23. Jul. 2011 (CEST)

Müsste man nicht sagen, dann steht die Streccke AM senkrecht auf g?
Hab mein Problem mit <math>\angle MAB</math> weil, wenn g Tangente an k ist dann ist A ja eigentlich gleich B und der Winkel ist so nicht zu verwenden, oder täusche ich mich da? [[Benutzer:kopfnicker]] 23:16, 23. Jul. 2011 
Du kannst den Winkel ja auch mit dem Punkt Z benennen, wenn du die Gerade g mit BZ bezeichnest. Oder ist dein Problem ein anderes? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:00, 24. Jul. 2011 (CEST)

Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ''ist die Strecke vom Kreismittelpunkt M zum Berührpunkt A das Lot'' --[[Benutzer:Muffinkopf|Muffinkopf]] 18:02, 24. Jul. 2011 (CEST)

c) Beweisen Sie den Satz aus b) indirekt. 

d) Gilt auch die Umkehrung des Satzes aus b)? 

<ggb_applet width="546" height="527" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Datei:Muffinkopf Übung 15, Nr.2.jpg

2011-07-24T16:02:03Z

Muffinkopf: {{Information |Beschreibung = |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lizenz == {{Bild-frei}}

Lösung von Aufg. 15.1 (SoSe 11)

2011-07-24T14:45:37Z

Muffinkopf:

Definieren Sie den Begriff "Tangente an einem Kreis"

Es sei k ein Kreis und t eine Gerade. Wenn t und k nur einen Punkt gemeinsam haben, dann ist t Tangente an k. --[[Benutzer:...s...|...s...]] 19:24, 23. Jul. 2011 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Es sei k ein Kreis und t eine Gerade die k genau in einem Punkt A berührt/schneidet. t ist Tangente von k mit dem Berührpunkt A. --[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 13:52, 24. Jul. 2011 (CEST)

 So wie ich das sehe, habt ihr beide keine Definition sondern Sätze formuliert.
 Mein Vorschlag: Es sei k ein Kreis und t eine Gerade. Wenn t und k sich in einem Punkt berühren, dann ist t eine Tangente an einem Kreis. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 15:01, 24. Jul. 2011 (CEST) 

Eine Gerade g, die mit einem Kreis k in derselben Ebene liegt und genau einen Schnittpunkt hat, ist eine Tangente. --> Frage: Ist es egal ob ich über den Schnittpunkt definiere oder muss hier Berührpunkt verwenden?--[[Benutzer:Muffinkopf|Muffinkopf]] 16:45, 24. Jul. 2011 (CEST)

Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz (SoSe 11)

2011-07-24T13:45:23Z

Muffinkopf: /* Der Zentri-Peripheriewinkelsatz */

==Definition XIX.1 (Peripheriewinkel)==
Der Winkel <math> \angle ACB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Peripheriewinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

Wenn der Scheitelpunkt C eines Winkels <math> \angle ACB </math> auf einem Kreis k liegt, dann ist der Winkel ein Peripheriewinkel. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 16:28, 17. Jul. 2011 (CEST) 

Wenn der Scheitelpunkt C eines Winkels <math> \angle ACB </math> auf einem Kreis k liegt und seine beiden Schenkel denselben Kreis schneiden, dann ist der Winkel ein Peripheriwinkel.--[[Benutzer:Prayush|Prayush]] 21:21, 17. Jul. 2011 (CEST)

==Definition XIX.2 (Zentriwinkel)==
Der Winkel <math> \angle AMB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Zentriwinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

Wenn der Scheitelpunkt M eines Winkels <math> \angle AMB </math> der Mittelpunkt eines Kreises k ist, dann ist der Winkel ein Zentriwinkel. ''Dieser Kreis sei ein Umkreis eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>'' --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 16:31, 17. Jul. 2011 (CEST) Das Kursive wurde nachträglcih eingefügt. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 22:46, 17. Jul. 2011 (CEST) 

Bemerkung m.g.: 
::Nach der Definition wäre jeder Winkel ein Zentriwinkel. Der Begriff macht erst Sinn, wenn er als Relationsbegriff aufgefasst wird: Ein bestimmter Winkel ist ''Zentriwinkel von einem bestimmten Kreis''.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:19, 17. Jul. 2011 (CEST)

Definition (Zentriwinkel): Es sei ABC ein Dreieck und M der Mittelpunkt seines Umkreises k. Jeder Winkel mit Scheitelpunkt M heißt Zentriwinkel des Kreises k.

Ist das so richtig, oder ist nur der Winkel AMB Zentriwinkel? --[[Benutzer:...s...|...s...]] 17:48, 23. Jul. 2011 (CEST)

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==Idee des Beweises eines Spezialfalls ==
Um welchen Spezialfall handelt es sich? 
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?

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== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==
ergänzen Sie: Jeder Peripheriewinkel ist halb so groß wie sein zugehöriger Zentriwinkel.--[[Benutzer:Zeqiraj|Zeqiraj]] 19:40, 17. Jul. 2011 (CEST)

Jeder Zentriwinkel über einem Kreisbogen ist doppelt so groß wie der dazugehörige Peripheriewinkel. --[[Benutzer:Muffinkopf|Muffinkopf]] 15:45, 24. Jul. 2011 (CEST)

=== Satz XIX.1:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) ===

== Der Peripheriewinkelsatz ==

=== Satz XIX.2:(Der Peripheriewinkelsatz) ===
ergänzen Sie:
Alle Peripheriewinkel über derselben Sehne sind kongruent zueinander.--[[Benutzer:Zeqiraj|Zeqiraj]] 19:39, 17. Jul. 2011 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Datei:Muffinkopf Tutorium 14.jpg

2011-07-24T05:51:08Z

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Diskussion:Halbebenen oder das Axiom von Pasch (SoSe 11)

2011-06-14T20:51:16Z

Muffinkopf: Beweis Satz IV.2