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Lösungen Serie 8 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

2020-07-02T16:08:26Z

N we03: /* Aufgabe 8.3 */

=Aufgabe 8.1=
==Aufgabe==
Definieren Sie die Begriffe:

:: a) Gleichschenkliges Dreieck,
:: b) Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks,
:: c) Basis eines gleichschenkligen Dreiecks,
:: d) Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks,

==Lösung==
::a) Ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> heißt gleichschenklig, wenn mindestens zwei Seiten kongruent sind. 
::b) Die beiden Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks, die kongruent zueinander sind, heißen Schenkel. 
::c) Die Seite eines gleichschenkligen Dreiecks, die zu keiner anderen Seite kongruent ist, heißt Basis.

=Aufgabe 8.2=
[[Datei:Serie08Aufgabe8.2.jpg|thumb|Aufgabe 8.2]]
==Aufgabe==
Satz: Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck sind kongruent zueinander.

::a) Formulieren Sie den Satz in "wenn...dann...Form".
::b) Beweisen Sie den Satz, ohne den Kongruenzsatz SSS zu verwenden. Hinweis: Die Winkelhalbierende des Innenwinkels, der der Basis gegenüber liegt
::Sollten Sie gar nicht zurechtkommen: http://geometrie.zum.de/images/3/31/Beweis_des_Basiswinkelsatzes.pdf
==Lösung==

=Aufgabe 8.3=
[[Datei:Serie08Aufgabe8.3.jpg|thumb|Aufgabe 8.3]]
Definition: Mittelsenkrechte
::Es seien $m$ eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke mit dem Mittelpunkt <math>M</math>.
Wenn <math>g \perp \overline{AB} \land M \in m</math>, dann heißt <math>m</math> Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>

Beweisen Sie:
:Satz: (Halbes Mittelsenkrechtenkriterium)
::Es sei <math>m</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>
::<math>P \in m \Rightarrow \overline{PA} \cong \overline{PB}</math>

==Lösung==

=Aufgabe 8.4=

=Aufgabe 8.5=

=Aufgabe 8.6=

=Aufgabe 8.7=

=Aufgabe 8.8=

=Aufgabe 8.9=

=Aufgabe 8.10=

[[Kategorie: Einführung S]]

Datei:Serie08Aufgabe8.3.jpg

2020-07-02T16:08:05Z

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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Lösungen Serie 8 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

2020-07-02T16:07:38Z

N we03: /* Aufgabe 8.2 */

=Aufgabe 8.1=
==Aufgabe==
Definieren Sie die Begriffe:

:: a) Gleichschenkliges Dreieck,
:: b) Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks,
:: c) Basis eines gleichschenkligen Dreiecks,
:: d) Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks,

==Lösung==
::a) Ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> heißt gleichschenklig, wenn mindestens zwei Seiten kongruent sind. 
::b) Die beiden Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks, die kongruent zueinander sind, heißen Schenkel. 
::c) Die Seite eines gleichschenkligen Dreiecks, die zu keiner anderen Seite kongruent ist, heißt Basis.

=Aufgabe 8.2=
[[Datei:Serie08Aufgabe8.2.jpg|thumb|Aufgabe 8.2]]
==Aufgabe==
Satz: Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck sind kongruent zueinander.

::a) Formulieren Sie den Satz in "wenn...dann...Form".
::b) Beweisen Sie den Satz, ohne den Kongruenzsatz SSS zu verwenden. Hinweis: Die Winkelhalbierende des Innenwinkels, der der Basis gegenüber liegt
::Sollten Sie gar nicht zurechtkommen: http://geometrie.zum.de/images/3/31/Beweis_des_Basiswinkelsatzes.pdf
==Lösung==

=Aufgabe 8.3=
Definition: Mittelsenkrechte
::Es seien $m$ eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke mit dem Mittelpunkt <math>M</math>.
Wenn <math>g \perp \overline{AB} \land M \in m</math>, dann heißt <math>m</math> Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>

Beweisen Sie:
:Satz: (Halbes Mittelsenkrechtenkriterium)
::Es sei <math>m</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>
::<math>P \in m \Rightarrow \overline{PA} \cong \overline{PB}</math>

==Lösung==
=Aufgabe 8.4=

=Aufgabe 8.5=

=Aufgabe 8.6=

=Aufgabe 8.7=

=Aufgabe 8.8=

=Aufgabe 8.9=

=Aufgabe 8.10=

[[Kategorie: Einführung S]]

Lösungen Serie 8 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

2020-07-02T16:07:01Z

N we03: /* Lösung */

=Aufgabe 8.1=
==Aufgabe==
Definieren Sie die Begriffe:

:: a) Gleichschenkliges Dreieck,
:: b) Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks,
:: c) Basis eines gleichschenkligen Dreiecks,
:: d) Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks,

==Lösung==
::a) Ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> heißt gleichschenklig, wenn mindestens zwei Seiten kongruent sind. 
::b) Die beiden Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks, die kongruent zueinander sind, heißen Schenkel. 
::c) Die Seite eines gleichschenkligen Dreiecks, die zu keiner anderen Seite kongruent ist, heißt Basis.

=Aufgabe 8.2=
==Aufgabe==
Satz: Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck sind kongruent zueinander.

::a) Formulieren Sie den Satz in "wenn...dann...Form".
::b) Beweisen Sie den Satz, ohne den Kongruenzsatz SSS zu verwenden. Hinweis: Die Winkelhalbierende des Innenwinkels, der der Basis gegenüber liegt
::Sollten Sie gar nicht zurechtkommen: http://geometrie.zum.de/images/3/31/Beweis_des_Basiswinkelsatzes.pdf
==Lösung==

=Aufgabe 8.3=
Definition: Mittelsenkrechte
::Es seien $m$ eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke mit dem Mittelpunkt <math>M</math>.
Wenn <math>g \perp \overline{AB} \land M \in m</math>, dann heißt <math>m</math> Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>

Beweisen Sie:
:Satz: (Halbes Mittelsenkrechtenkriterium)
::Es sei <math>m</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>
::<math>P \in m \Rightarrow \overline{PA} \cong \overline{PB}</math>

==Lösung==
=Aufgabe 8.4=

=Aufgabe 8.5=

=Aufgabe 8.6=

=Aufgabe 8.7=

=Aufgabe 8.8=

=Aufgabe 8.9=

=Aufgabe 8.10=

[[Kategorie: Einführung S]]

Lösungen Serie 8 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

2020-07-02T16:06:47Z

N we03: /* Lösung */

=Aufgabe 8.1=
==Aufgabe==
Definieren Sie die Begriffe:

:: a) Gleichschenkliges Dreieck,
:: b) Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks,
:: c) Basis eines gleichschenkligen Dreiecks,
:: d) Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks,

==Lösung==
::a) Ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> heißt gleichschenklig, wenn mindestens zwei Seiten kongruent sind. 
::b) Die beiden Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks, die kongruent zueinander sind, heißen Schenkel. 
::c) Die Seite eines gleichschenkligen Dreiecks, die zu keiner anderen Seite kongruent ist, heißt Basis.

=Aufgabe 8.2=
==Aufgabe==
Satz: Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck sind kongruent zueinander.

::a) Formulieren Sie den Satz in "wenn...dann...Form".
::b) Beweisen Sie den Satz, ohne den Kongruenzsatz SSS zu verwenden. Hinweis: Die Winkelhalbierende des Innenwinkels, der der Basis gegenüber liegt
::Sollten Sie gar nicht zurechtkommen: http://geometrie.zum.de/images/3/31/Beweis_des_Basiswinkelsatzes.pdf
==Lösung==
[[Datei:Serie08Aufgabe8.2.jpg|thumb|Aufgabe 8.2]]

=Aufgabe 8.3=
Definition: Mittelsenkrechte
::Es seien $m$ eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke mit dem Mittelpunkt <math>M</math>.
Wenn <math>g \perp \overline{AB} \land M \in m</math>, dann heißt <math>m</math> Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>

Beweisen Sie:
:Satz: (Halbes Mittelsenkrechtenkriterium)
::Es sei <math>m</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>
::<math>P \in m \Rightarrow \overline{PA} \cong \overline{PB}</math>

==Lösung==
=Aufgabe 8.4=

=Aufgabe 8.5=

=Aufgabe 8.6=

=Aufgabe 8.7=

=Aufgabe 8.8=

=Aufgabe 8.9=

=Aufgabe 8.10=

[[Kategorie: Einführung S]]

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2020-07-02T16:06:26Z

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Lösungen Serie 8 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

2020-07-02T16:02:30Z

N we03: /* Lösung */

=Aufgabe 8.1=
==Aufgabe==
Definieren Sie die Begriffe:

:: a) Gleichschenkliges Dreieck,
:: b) Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks,
:: c) Basis eines gleichschenkligen Dreiecks,
:: d) Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks,

==Lösung==
::a) Ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> heißt gleichschenklig, wenn mindestens zwei Seiten kongruent sind. 
::b) Die beiden Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks, die kongruent zueinander sind, heißen Schenkel. 
::c) Die Seite eines gleichschenkligen Dreiecks, die zu keiner anderen Seite kongruent ist, heißt Basis.

=Aufgabe 8.2=
==Aufgabe==
Satz: Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck sind kongruent zueinander.

::a) Formulieren Sie den Satz in "wenn...dann...Form".
::b) Beweisen Sie den Satz, ohne den Kongruenzsatz SSS zu verwenden. Hinweis: Die Winkelhalbierende des Innenwinkels, der der Basis gegenüber liegt
::Sollten Sie gar nicht zurechtkommen: http://geometrie.zum.de/images/3/31/Beweis_des_Basiswinkelsatzes.pdf
==Lösung==

=Aufgabe 8.3=
Definition: Mittelsenkrechte
::Es seien $m$ eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke mit dem Mittelpunkt <math>M</math>.
Wenn <math>g \perp \overline{AB} \land M \in m</math>, dann heißt <math>m</math> Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>

Beweisen Sie:
:Satz: (Halbes Mittelsenkrechtenkriterium)
::Es sei <math>m</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>
::<math>P \in m \Rightarrow \overline{PA} \cong \overline{PB}</math>

==Lösung==
=Aufgabe 8.4=

=Aufgabe 8.5=

=Aufgabe 8.6=

=Aufgabe 8.7=

=Aufgabe 8.8=

=Aufgabe 8.9=

=Aufgabe 8.10=

[[Kategorie: Einführung S]]

Lösungen Serie 7 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

2020-06-22T18:50:40Z

N we03: /* Lösung */

=Aufgabe 7.1=
==Aufgabe==
Definieren Sie die Begriffe:

# Winkel,
# Scheitel eines Winkels,
# Schenkel eines Winkels,
# Inneres eines Winkels,
# rechter Winkel,
# spitzer Winkel,
# stumpfer Winkel,
# Einschußwinkel (beim Fußball, schießen auf das Tor),
# Supplementärwinkel,
# Nebenwinkel,
# Scheitelwinkel,
# Innenwinkel eines Dreiecks,
# Außenwinkel eines Dreiecks,
# Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel) eines Kreises,
# Peripheriewinkel (Umfangswinkel) eines Kreises.

==Lösung==
# Die Vereinigungsmenge der Strahlen <math>SA^+</math> und <math>SB^+</math> heißt Winkel. 
# Der Schnittpunkt S der beiden Strahlen <math>SA^+</math> und <math>SB^+</math> heißt Scheitel des Winkels ∢ASB. 
# Die beiden Strahlen <math>SA^+</math> und <math>SB^+</math> heißen Schenkel des Winkels ∢ASB. 
# Die Schnittmenge der beiden Halbebenen <math>SA,B^+</math> und <math>SB,A^+</math> heißt Inneres des Winkels ∢ASB. 
# Ein Winkel, der gleich groß wie einer seiner Nebenwinkel ist, heißt rechter Winkel. 
# Ein Winkel, der kleiner als einer seiner Nebenwinkel ist, heißt spitzer Winkel. 
# Ein Winkel, der größer als einer seiner Nebenwinkel ist, heißt stumpfer Winkel. 
# 
# Zwei Winkel, deren Summe 180° ergibt, heißen Supplementärwinkel. 
# Zwei Winkel, die nebeneinander liegen und sich zu 180° ergänzen, heißen Nebenwinkel. 
# Zwei Winkel die bei einer Geradenkreuzung gegenüber voneinander liegen, heißen Scheitelwinkel. 
# Es sei ABC ein Dreieck. Die Winkel ∢bAc, ∢cBa, ∢aCb mit den Seiten des Dreiecks als Schenkel, heißen Innenwinkel des Dreiecks ABC. 
# Die Nebenwinkel der Innenwinkel eines Dreiecks heißen Außenwinkel eines Dreiecks. 
# Der Winkel, der den Mittelpunkt eines Kreises k als Scheitel und zwei Radien von k als Schenkel besitzt, heißt Zentriwinkel von k. 
# Die Innenwinkel eines Dreiecks, welches in einem Kreis k liegt und dessen Seiten Sehnen von k sind, heißen Peripheriewinkel von k.

huhu, das sind vorerst meine ersten Überlegungen. Freue mich auf die Verbesserung. Die Bilder sind komischerweise alle auf die Seite gedreht, ich bitte das zu entschuldigen.(21.06.2020 20:16)
[[Datei: Datei:20200621 200650.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 1 |miniatur|[[Datei:20200621 200650.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 1]]]]
[[Datei: Datei:20200621 200658.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 2 |miniatur|[[Datei:20200621 200658.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 2]]]]
[[Datei: Datei:20200621 200705.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 3 |miniatur|[[Datei:20200621 200705.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 3]]]]
[[Datei: Datei:20200621 200710.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 4 |miniatur|[[Datei:20200621 200710.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 4]]]]
[[Datei: Datei:20200621 200715.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 4 |miniatur|[[Datei:20200621 200715.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 4]]]]

[[Datei:Serie07 Aufgabe7.3.jpg|thumb|Aufgabe 7.3]]
[[Datei:Serie07 Aufgabe7.5.jpg|thumb|Aufgabe 7.5]]

[[Kategorie: Einführung S]]

Lösungen Serie 7 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

2020-06-22T18:43:57Z

N we03: /* Lösung */

=Aufgabe 7.1=
==Aufgabe==
Definieren Sie die Begriffe:

# Winkel,
# Scheitel eines Winkels,
# Schenkel eines Winkels,
# Inneres eines Winkels,
# rechter Winkel,
# spitzer Winkel,
# stumpfer Winkel,
# Einschußwinkel (beim Fußball, schießen auf das Tor),
# Supplementärwinkel,
# Nebenwinkel,
# Scheitelwinkel,
# Innenwinkel eines Dreiecks,
# Außenwinkel eines Dreiecks,
# Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel) eines Kreises,
# Peripheriewinkel (Umfangswinkel) eines Kreises.

==Lösung==
# Die Vereinigungsmenge der Strahlen <math>SA^+</math> und <math>SB^+</math> heißt Winkel. 
# Der Schnittpunkt S der beiden Strahlen <math>SA^+</math> und <math>SB^+</math> heißt Scheitel des Winkels ∢ASB. 
# Die beiden Strahlen <math>SA^+</math> und <math>SB^+</math> heißen Schenkel des Winkels ∢ASB. 
# Die Schnittmenge der beiden Halbebenen <math>SA,B^+</math> und <math>SB,A^+</math> heißt Inneres des Winkels ∢ASB. 
# Ein Winkel, der gleich groß wie einer seiner Nebenwinkel ist, heißt rechter Winkel. 
# Ein Winkel, der kleiner als einer seiner Nebenwinkel ist, heißt spitzer Winkel. 
# Ein Winkel, der größer als einer seiner Nebenwinkel ist, heißt stumpfer Winkel. 
# 
# Zwei Winkel, deren Summe 180° ergibt, heißen Supplementärwinkel. 

huhu, das sind vorerst meine ersten Überlegungen. Freue mich auf die Verbesserung. Die Bilder sind komischerweise alle auf die Seite gedreht, ich bitte das zu entschuldigen.(21.06.2020 20:16)
[[Datei: Datei:20200621 200650.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 1 |miniatur|[[Datei:20200621 200650.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 1]]]]
[[Datei: Datei:20200621 200658.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 2 |miniatur|[[Datei:20200621 200658.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 2]]]]
[[Datei: Datei:20200621 200705.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 3 |miniatur|[[Datei:20200621 200705.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 3]]]]
[[Datei: Datei:20200621 200710.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 4 |miniatur|[[Datei:20200621 200710.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 4]]]]
[[Datei: Datei:20200621 200715.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 4 |miniatur|[[Datei:20200621 200715.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 4]]]]

[[Datei:Serie07 Aufgabe7.3.jpg|thumb|Aufgabe 7.3]]
[[Datei:Serie07 Aufgabe7.5.jpg|thumb|Aufgabe 7.5]]

[[Kategorie: Einführung S]]

Lösungen Serie 7 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

2020-06-22T18:28:26Z

N we03: /* Lösung */

=Aufgabe 7.1=
==Aufgabe==
Definieren Sie die Begriffe:

# Winkel,
# Scheitel eines Winkels,
# Schenkel eines Winkels,
# Inneres eines Winkels,
# rechter Winkel,
# spitzer Winkel,
# stumpfer Winkel,
# Einschußwinkel (beim Fußball, schießen auf das Tor),
# Supplementärwinkel,
# Nebenwinkel,
# Scheitelwinkel,
# Innenwinkel eines Dreiecks,
# Außenwinkel eines Dreiecks,
# Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel) eines Kreises,
# Peripheriewinkel (Umfangswinkel) eines Kreises.

==Lösung==
# Die Vereinigungsmenge der Strahlen <math>SA^+</math> und <math>SB^+</math> heißt Winkel. 
# Der Schnittpunkt S der beiden Strahlen <math>SA^+</math> und <math>SB^+</math> heißt Scheitel des Winkels ∢ASB. 
# Die beiden Strahlen <math>SA^+</math> und <math>SB^+</math> heißen Schenkel des Winkels ∢ASB. 
# Die Schnittmenge der beiden Halbebenen <math>SA,B^+</math> und <math>SB,A^+</math> heißt Inneres des Winkels ∢ASB. 
# Ein Winkel, der gleich groß wie einer seiner Nebenwinkel ist, heißt rechter Winkel. 
# Ein Winkel, der kleiner als einer seiner Nebenwinkel ist, heißt spitzer Winkel. 
# Ein Winkel, der größer als einer seiner Nebenwinkel ist, heißt stumpfer Winkel. 
# 
# Zwei Winkel, deren Summe 180 ergibt, heißen Supplementärwinkel. 

huhu, das sind vorerst meine ersten Überlegungen. Freue mich auf die Verbesserung. Die Bilder sind komischerweise alle auf die Seite gedreht, ich bitte das zu entschuldigen.(21.06.2020 20:16)
[[Datei: Datei:20200621 200650.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 1 |miniatur|[[Datei:20200621 200650.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 1]]]]
[[Datei: Datei:20200621 200658.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 2 |miniatur|[[Datei:20200621 200658.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 2]]]]
[[Datei: Datei:20200621 200705.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 3 |miniatur|[[Datei:20200621 200705.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 3]]]]
[[Datei: Datei:20200621 200710.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 4 |miniatur|[[Datei:20200621 200710.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 4]]]]
[[Datei: Datei:20200621 200715.jpg thumb Übungsaufgaben Serie 7 blatt 4 |miniatur|[[Datei:20200621 200715.jpg|thumb|Übungsaufgaben Serie 7 blatt 4]]]]

[[Datei:Serie07 Aufgabe7.3.jpg|thumb|Aufgabe 7.3]]
[[Datei:Serie07 Aufgabe7.5.jpg|thumb|Aufgabe 7.5]]

[[Kategorie: Einführung S]]

Lösungen Serie 7 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

2020-06-22T18:03:43Z

N we03: /* Lösung */

Datei:Serie07 Aufgabe7.3.jpg

2020-06-22T18:03:13Z

N we03: User created page with UploadWizard

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=={{int:license-header}}==
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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Lösungen Serie 7 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

2020-06-22T18:02:31Z

N we03: /* Lösung */

Datei:Serie07 Aufgabe7.5.jpg

2020-06-22T17:58:58Z

N we03: User created page with UploadWizard

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=={{int:license-header}}==
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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Axiom vom Lineal und Axiom von Pasch SoSe2020

2020-06-16T13:27:33Z

N we03: /* Der Existenzbeweis */

=Whiteboard der Sitzung vom 12 Juni 2020=
[[Datei:WB Geometrieeinführung 12 Juni 2020.svg|Whiteboard Axiom vom Lineal und Axiom von Pasch 12 Juni 2020]]
=Streckenantragen und das Axiom vom Lineal=
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFFFF; padding:1em"
| valign="top" |

== Der Mittelpunkt einer Strecke==
Wir wissen nun, dass eine offene Strecke <math>\overline{AB}</math> die Menge aller Punkte ist, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen. Vereinigt man diese Menge mit der Menge der beiden Endpunkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>, so hat man die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math>. Zu unseren grundlegenden Vorstellungen von Strecken gehört, dass jede Strecke <math>\overline{AB}</math> einen Mittelpunkt <math>\ M</math> hat. <math>\ M</math> wäre der Punkt auf <math>\overline{AB}</math>, der sowohl zu <math>\ A</math> als auch zu <math>\ B</math> denselben Abstand <math>\frac{| \overline{AB} |}{2}</math> hat.

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===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
::Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> den gleichen Abstand zu Punkt A wie zu Punkt B hat, dann heißt dieser Punkt M Mittelpunkt der Strecke <math>\overline {AB}</math> (<math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>)

===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====
::Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

===== Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke =====
:: Die Materie erscheint einsichtig und einfach. Übungsaufgabe?? Nichts ist einfach. Mit den bisher bereitgestellten axiomatischen Grundlagen unserer Geometrie wird es Ihnen nicht gelingen, etwa zu zeigen, dass jede Strecke einen Mittelpunkt besitzt.

Der Knackpunkt bezüglich des Nachweises der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenmittelpunktes besteht darin, dass unsere derzeitige Theorie noch nicht genügend Punkte zu Verfügung stellt. Momentan muss unser Raum nicht mehr als 4 Punkte enthalten. Nach Axiom I.7 sind diese vier Punkte nicht komplanar, woraus folgt, dass je drei von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden liegen. Damit könnte eine durch zwei verschiedene dieser vier Punkte eindeutig bestimmte Strecke gar keinen Mittelpunkt haben, denn dieser müsste entsprechend Definition III.1 bezüglich unserer zwei Endpunkte auf derselben Geraden liegen.

Es wird Zeit, die Anzahl Punkte unserer Theorie radikal zu erhöhen. Konzentrieren wir uns diesbezüglich zunächst auf einen Strahl <math>\ AB^{+}</math>. Nach unserer Vorstellung von Halbgeraden können wir je zwei Punkten von <math>\ AB^{+}</math> genau eine nichtnegative reelle Zahl (den Abstand der beiden Punkte) zuordnen. Nach unseren Vorstellungen etwa von Zahlenstrahl gibt es auch zu jeder nicht negativen reellen Zahl d genau einen Punkt <math>\ D</math> auf <math>\ AB^{+}</math>, der zu <math>\ A</math> gerade den Abstand <math>\ d</math> hat. Bei Konstruktionsaufgaben finden wir diese Idee im Zusammenhang mit dem Streckenantragen wieder.

== Streckenantragen ==

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:S_01.jpg |400px]] || [[Bild:S_02.jpg |400px]]
|-
| [[Bild:S_03.jpg |400px]] || [[Bild:S_04.jpg |400px]]
|}

== Das Axiom vom Lineal ==
Wir sind überzeugt davon, dass unsere Konstruktion entsprechend des vorangegangenen Abschnitts immer funktioniert und der so gewonnene zweite Endpunkt unserer konstruierten Strecke eindeutig bestimmt ist. Die Idee des Streckenantragens müssen wir jetzt jedoch axiomatisch fordern bzw. begründen.
===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
::Zu jeder nicht negativen reellen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.

Zum Sprachgebrauch. Wir werden in kommenden Beweisen einzelne Beweisschritte häufig mit dem Axiom vom Lineal begründen müssen. Wir werden in einem solchen Fall ggf. auch mit der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenantragens begründen. Letzteres ist schließlich nichts anderes als der Inhalt des Axioms vom Lineal.

== Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke ==
Nachdem das Axiom vom Lineal formuliert wurde, wird es uns gelingen Satz III.1 zu beweisen.
===== Jetzt wirklich: Beweis von Satz III.1 =====
noch einmal der Satz:
::Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt.

Es sind also zwei Beweise zu führen:

# Existenzbeweis: Jede Strecke hat einen Mittelpunkt.
# Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat nicht mehr als einen Mittelpunkt. (Highlanderbeweis: Es kann nur einen geben.)

====== Der Existenzbeweis ======
:Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke
:::Behauptung: 
:::Es gibt einen Punkt auf der Strecke <math>\overline{AB}</math> der zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils ein und denselben Abstand hat. 

:::Die Behauptung noch mal: <math>\exists M \in \overline{AB} : \ \left| AM \right| = \left| MB \right|</math> .

Der Beweis:

{| class="wikitable center"
|+ Jede Strecke <math>\overline{AB}</math> hat einen Mittelpunkt.
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\exists d \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d = \left| AB \right|</math>
| Axiom II.1 (Abstandsaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>\exists d^{*} \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d^{*} = \frac{d}{2}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\exists M \in AB^{+} \ : \ \left| AM \right| = d^{*}</math>
| Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
|-

! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\operatorname{Zw} \left( A, M, B \right)</math> und damit <math>M \in \overline{AB}</math>
| Wegen III, Hilfssatz A und der Definition der Zwischenrelation
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2} + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math>
| Definition der Zwischenrelation <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math> Wegen II und III (<math>\ \left| AM \right|=d^{*}=\frac{d}{2}=\frac{\left| AB \right|}{2}</math>) 
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>\left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2}</math>
| Wegen V
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math>\ M</math> ist der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>
| Wegen VII und der Definition III.1 (Mittelpunkt einer Strecke)
|}

'''Hilfssatz A:''' 
:: Voraussetzung: 
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschieden Punkte. Für den Punkt <math>\ M</math> mit <math>\ M \in AB^{+}</math> möge gelten: <math>| AM | = \frac{|AB|}{2}</math> 
::Behauptung: 
:::<math>\operatorname{Zw}(A, M, B)</math>. 
Beweis von Hilfssatz A: 
::: Weil <math>\ M \in AB^{+}</math> gilt entweder

::# <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math> oder
::# <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math>
:::(s. Definition Strahl <math>AB^{+}</math>) 
:::Falls 1. gilt, gilt unsere Behauptung. 
:::Falls unsere Behauptung nicht gelten sollte, müsste 2. also <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> gelten.
::: Nehmen wir also an, dass <math>\ B</math> zwischen <math>A\ </math> und <math>\ M</math> liegt: <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> 
::: Wäre unsere Annahme wahr, müsste die folgende Gleichung gelten: <math>|AB|+|BM|=|AM|</math> 
::: Die Gültigkeit dieser Gleichung wäre jedoch ein Widerspruch zu unserer Voraussetzung, da <math>|BM|</math> dann negativ sein müsste und dies wegen Axiom II.1 (Abstandsaxiom) nicht möglich ist.
::: Also ist unsere Annahme <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> zu verwerfen und es gilt <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math>

====== Der Eindeutigkeitsbeweis ======
Übungsaufgabe 
:Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> hätte zwei Mittelpunkte <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math>.
 

|}
</div>
= Halbebenen und das Axiom von Pasch =
== Halbebenen ==
=== Analogiebetrachtungen ===

Die folgenden Lückentexte können Sie auch als Übungsblatt im pdf-Format herunterladen:
{{pdf|Analogiebetrachtungen_Strahl_Halbebene.pdf| Übungsblatt Halbgeraden/-ebenen‎}}

Wir konstatieren:
::Eine Gerade wird durch einen ............ in zwei ............ eingeteilt. 
::Eine Ebene wird durch eine ............ in zwei ............ eingeteilt..

::Eine Gerade ist ein .....dimensionales Objekt. 
::Eine Ebene ist ein .....dimensionales Objekt

::Im Fall dieser Geradenteilung ist der Trenner ein .....dimensionales geometrisches Objekt 
::Im Fall dieser Ebenenteilung ist der Trenner ein .....dimensionales geometrisches Objekt.

::Wenn also n die Dimension des geometrischen Objekts ist, das geteilt wird, dann hat der Trenner die Dimension ..... .

Geradenteilung:

:Es seien <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ T</math> ein Punkt auf ihr. Ferner sei <math>\ Q</math> ein von <math>\ T</math> verschiedener Punkt der Geraden <math>\ g</math>. Die Menge <math>\ g \setminus T</math> wird durch durch den Trenner <math>\ T</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ... .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ... .

Ebenenteilung:
:Es seien <math>\ \varepsilon</math> eine Ebene und <math>\ t</math> eine Gerade, die vollständig in <math>\ \varepsilon</math> liegt. Ferner sei <math>\ Q</math> ein nicht zu <math>\ t</math> gehörender Punkt der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. Die Menge <math>\ \varepsilon \setminus t</math> wird durch durch den Trenner <math>\ t</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:

::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \varepsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ... .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \varepsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ... .

=== Definition des Begriffs der Halbebene ===
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====
{|
|-
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\varepsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\varepsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\varepsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \varepsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]
|-
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\varepsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\varepsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]
|}
==== Offene Halbebenen ====
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \varepsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \varepsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \varepsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \varepsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \varepsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \varepsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :

::::<math>\ gQ^{+}:= \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g=\phi } \right\}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g\neq\phi } \right\}</math>

==== Halbebenen ====
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Der weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen. 

==== Definition IV.3: Halbraum====

Gegeben sei eine Ebene <math>\varepsilon</math>. 
:: Halbraum <math>\varepsilon Q^{+} :=\left\{ P|... \right\} \cup \varepsilon</math>
:: Halbraum <math>\varepsilon Q^{-} :=\left\{ P| ... \right\} \cup \varepsilon </math> 

== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert. [http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''

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===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

[[Kategorie: Einführung S]]

Axiom vom Lineal und Axiom von Pasch SoSe2020

2020-06-16T13:24:45Z

N we03: /* Der Existenzbeweis */

=Whiteboard der Sitzung vom 12 Juni 2020=
[[Datei:WB Geometrieeinführung 12 Juni 2020.svg|Whiteboard Axiom vom Lineal und Axiom von Pasch 12 Juni 2020]]
=Streckenantragen und das Axiom vom Lineal=
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFFFF; padding:1em"
| valign="top" |

== Der Mittelpunkt einer Strecke==
Wir wissen nun, dass eine offene Strecke <math>\overline{AB}</math> die Menge aller Punkte ist, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen. Vereinigt man diese Menge mit der Menge der beiden Endpunkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>, so hat man die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math>. Zu unseren grundlegenden Vorstellungen von Strecken gehört, dass jede Strecke <math>\overline{AB}</math> einen Mittelpunkt <math>\ M</math> hat. <math>\ M</math> wäre der Punkt auf <math>\overline{AB}</math>, der sowohl zu <math>\ A</math> als auch zu <math>\ B</math> denselben Abstand <math>\frac{| \overline{AB} |}{2}</math> hat.

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===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
::Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> den gleichen Abstand zu Punkt A wie zu Punkt B hat, dann heißt dieser Punkt M Mittelpunkt der Strecke <math>\overline {AB}</math> (<math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>)

===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====
::Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

===== Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke =====
:: Die Materie erscheint einsichtig und einfach. Übungsaufgabe?? Nichts ist einfach. Mit den bisher bereitgestellten axiomatischen Grundlagen unserer Geometrie wird es Ihnen nicht gelingen, etwa zu zeigen, dass jede Strecke einen Mittelpunkt besitzt.

Der Knackpunkt bezüglich des Nachweises der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenmittelpunktes besteht darin, dass unsere derzeitige Theorie noch nicht genügend Punkte zu Verfügung stellt. Momentan muss unser Raum nicht mehr als 4 Punkte enthalten. Nach Axiom I.7 sind diese vier Punkte nicht komplanar, woraus folgt, dass je drei von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden liegen. Damit könnte eine durch zwei verschiedene dieser vier Punkte eindeutig bestimmte Strecke gar keinen Mittelpunkt haben, denn dieser müsste entsprechend Definition III.1 bezüglich unserer zwei Endpunkte auf derselben Geraden liegen.

Es wird Zeit, die Anzahl Punkte unserer Theorie radikal zu erhöhen. Konzentrieren wir uns diesbezüglich zunächst auf einen Strahl <math>\ AB^{+}</math>. Nach unserer Vorstellung von Halbgeraden können wir je zwei Punkten von <math>\ AB^{+}</math> genau eine nichtnegative reelle Zahl (den Abstand der beiden Punkte) zuordnen. Nach unseren Vorstellungen etwa von Zahlenstrahl gibt es auch zu jeder nicht negativen reellen Zahl d genau einen Punkt <math>\ D</math> auf <math>\ AB^{+}</math>, der zu <math>\ A</math> gerade den Abstand <math>\ d</math> hat. Bei Konstruktionsaufgaben finden wir diese Idee im Zusammenhang mit dem Streckenantragen wieder.

== Streckenantragen ==

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:S_01.jpg |400px]] || [[Bild:S_02.jpg |400px]]
|-
| [[Bild:S_03.jpg |400px]] || [[Bild:S_04.jpg |400px]]
|}

== Das Axiom vom Lineal ==
Wir sind überzeugt davon, dass unsere Konstruktion entsprechend des vorangegangenen Abschnitts immer funktioniert und der so gewonnene zweite Endpunkt unserer konstruierten Strecke eindeutig bestimmt ist. Die Idee des Streckenantragens müssen wir jetzt jedoch axiomatisch fordern bzw. begründen.
===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
::Zu jeder nicht negativen reellen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.

Zum Sprachgebrauch. Wir werden in kommenden Beweisen einzelne Beweisschritte häufig mit dem Axiom vom Lineal begründen müssen. Wir werden in einem solchen Fall ggf. auch mit der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenantragens begründen. Letzteres ist schließlich nichts anderes als der Inhalt des Axioms vom Lineal.

== Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke ==
Nachdem das Axiom vom Lineal formuliert wurde, wird es uns gelingen Satz III.1 zu beweisen.
===== Jetzt wirklich: Beweis von Satz III.1 =====
noch einmal der Satz:
::Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt.

Es sind also zwei Beweise zu führen:

# Existenzbeweis: Jede Strecke hat einen Mittelpunkt.
# Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat nicht mehr als einen Mittelpunkt. (Highlanderbeweis: Es kann nur einen geben.)

====== Der Existenzbeweis ======
:Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke
:::Behauptung: 
:::Es gibt einen Punkt auf der Strecke <math>\overline{AB}</math> der zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils ein und denselben Abstand hat. 

:::Die Behauptung noch mal: <math>\exists M \in \overline{AB} : \ \left| AM \right| = \left| MB \right|</math> .

Der Beweis:

{| class="wikitable center"
|+ Jede Strecke <math>\overline{AB}</math> hat einen Mittelpunkt.
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\exists d \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d = \left| AB \right|</math>
| Axiom II.1 (Abstandsaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>\exists d^{*} \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d^{*} = \frac{d}{2}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\exists M \in AB^{+} \ : \ \left| AM \right| = d^{*}</math>
| Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
|-

! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\operatorname{Zw} \left( A, M, B \right)</math> und damit <math>M \in \overline{AB}</math>
| Wegen III, Hilfssatz A und der Definition der Zwischenrelation
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2} + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math>
| Definition der Zwischenrelation <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math> Wegen II und III (<math>\ \left| AM \right|=d^{*}=\frac{d}{2}=\frac{\left| AB \right|}{2}</math>) 
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>\left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2}</math>
| Wegen V
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math>\ M</math> ist der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>
| Wegen VII und der Definition III.1 (Mittelpunkt einer Strecke)
|}

'''Hilfssatz A:''' 
:: Voraussetzung: 
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschieden Punkte. Für den Punkt <math>\ M</math> mit <math>\ M \in AB^{+}</math> möge gelten: <math>| AM | = \frac{|AB|}{2}</math> 
::Behauptung: 
:::<math>\operatorname{Zw}(A, M, B)</math>. 
Beweis von Hilfssatz A: 
::: Weil <math>\ M \in AB^{+}</math> gilt entweder

::# <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math> oder
::# <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math>
:::(s. Definition Strahl <math>AB^{+}</math>) 
:::Falls 1. gilt, gilt unsere Behauptung. 
:::Falls unsere Behauptung nicht gelten sollte, müsste 2. also <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> gelten.
::: Nehmen wir also an, dass <math>\ B</math> zwischen <math>A\ </math> und <math>\ M</math> liegt: <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> 
::: Wäre unsere Annahme wahr, müsste die folgende Gleichung gelten: <math>|AB|+|BM|=|AM|</math> 
::: Die Gültigkeit dieser Gleichung wäre jedoch ein Widerspruch zu .... (ergänzen Sie selbst!) 
::: Also ist unsere Annahme <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> zu verwerfen und es gilt <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math>

====== Der Eindeutigkeitsbeweis ======
Übungsaufgabe 
:Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> hätte zwei Mittelpunkte <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math>.
 

|}
</div>
= Halbebenen und das Axiom von Pasch =
== Halbebenen ==
=== Analogiebetrachtungen ===

Die folgenden Lückentexte können Sie auch als Übungsblatt im pdf-Format herunterladen:
{{pdf|Analogiebetrachtungen_Strahl_Halbebene.pdf| Übungsblatt Halbgeraden/-ebenen‎}}

Wir konstatieren:
::Eine Gerade wird durch einen ............ in zwei ............ eingeteilt. 
::Eine Ebene wird durch eine ............ in zwei ............ eingeteilt..

::Eine Gerade ist ein .....dimensionales Objekt. 
::Eine Ebene ist ein .....dimensionales Objekt

::Im Fall dieser Geradenteilung ist der Trenner ein .....dimensionales geometrisches Objekt 
::Im Fall dieser Ebenenteilung ist der Trenner ein .....dimensionales geometrisches Objekt.

::Wenn also n die Dimension des geometrischen Objekts ist, das geteilt wird, dann hat der Trenner die Dimension ..... .

Geradenteilung:

:Es seien <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ T</math> ein Punkt auf ihr. Ferner sei <math>\ Q</math> ein von <math>\ T</math> verschiedener Punkt der Geraden <math>\ g</math>. Die Menge <math>\ g \setminus T</math> wird durch durch den Trenner <math>\ T</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ... .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ... .

Ebenenteilung:
:Es seien <math>\ \varepsilon</math> eine Ebene und <math>\ t</math> eine Gerade, die vollständig in <math>\ \varepsilon</math> liegt. Ferner sei <math>\ Q</math> ein nicht zu <math>\ t</math> gehörender Punkt der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. Die Menge <math>\ \varepsilon \setminus t</math> wird durch durch den Trenner <math>\ t</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:

::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \varepsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ... .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \varepsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ... .

=== Definition des Begriffs der Halbebene ===
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====
{|
|-
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\varepsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\varepsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\varepsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \varepsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]
|-
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\varepsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\varepsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]
|}
==== Offene Halbebenen ====
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \varepsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \varepsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \varepsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \varepsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \varepsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \varepsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :

::::<math>\ gQ^{+}:= \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g=\phi } \right\}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g\neq\phi } \right\}</math>

==== Halbebenen ====
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Der weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen. 

==== Definition IV.3: Halbraum====

Gegeben sei eine Ebene <math>\varepsilon</math>. 
:: Halbraum <math>\varepsilon Q^{+} :=\left\{ P|... \right\} \cup \varepsilon</math>
:: Halbraum <math>\varepsilon Q^{-} :=\left\{ P| ... \right\} \cup \varepsilon </math> 

== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert. [http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''

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===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

[[Kategorie: Einführung S]]

Axiom vom Lineal und Axiom von Pasch SoSe2020

2020-06-16T13:01:26Z

N we03: /* Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) */

=Whiteboard der Sitzung vom 12 Juni 2020=
[[Datei:WB Geometrieeinführung 12 Juni 2020.svg|Whiteboard Axiom vom Lineal und Axiom von Pasch 12 Juni 2020]]
=Streckenantragen und das Axiom vom Lineal=
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFFFF; padding:1em"
| valign="top" |

== Der Mittelpunkt einer Strecke==
Wir wissen nun, dass eine offene Strecke <math>\overline{AB}</math> die Menge aller Punkte ist, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen. Vereinigt man diese Menge mit der Menge der beiden Endpunkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>, so hat man die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math>. Zu unseren grundlegenden Vorstellungen von Strecken gehört, dass jede Strecke <math>\overline{AB}</math> einen Mittelpunkt <math>\ M</math> hat. <math>\ M</math> wäre der Punkt auf <math>\overline{AB}</math>, der sowohl zu <math>\ A</math> als auch zu <math>\ B</math> denselben Abstand <math>\frac{| \overline{AB} |}{2}</math> hat.

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===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
::Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> den gleichen Abstand zu Punkt A wie zu Punkt B hat, dann heißt dieser Punkt M Mittelpunkt der Strecke <math>\overline {AB}</math> (<math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>)

===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====
::Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

===== Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke =====
:: Die Materie erscheint einsichtig und einfach. Übungsaufgabe?? Nichts ist einfach. Mit den bisher bereitgestellten axiomatischen Grundlagen unserer Geometrie wird es Ihnen nicht gelingen, etwa zu zeigen, dass jede Strecke einen Mittelpunkt besitzt.

Der Knackpunkt bezüglich des Nachweises der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenmittelpunktes besteht darin, dass unsere derzeitige Theorie noch nicht genügend Punkte zu Verfügung stellt. Momentan muss unser Raum nicht mehr als 4 Punkte enthalten. Nach Axiom I.7 sind diese vier Punkte nicht komplanar, woraus folgt, dass je drei von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden liegen. Damit könnte eine durch zwei verschiedene dieser vier Punkte eindeutig bestimmte Strecke gar keinen Mittelpunkt haben, denn dieser müsste entsprechend Definition III.1 bezüglich unserer zwei Endpunkte auf derselben Geraden liegen.

Es wird Zeit, die Anzahl Punkte unserer Theorie radikal zu erhöhen. Konzentrieren wir uns diesbezüglich zunächst auf einen Strahl <math>\ AB^{+}</math>. Nach unserer Vorstellung von Halbgeraden können wir je zwei Punkten von <math>\ AB^{+}</math> genau eine nichtnegative reelle Zahl (den Abstand der beiden Punkte) zuordnen. Nach unseren Vorstellungen etwa von Zahlenstrahl gibt es auch zu jeder nicht negativen reellen Zahl d genau einen Punkt <math>\ D</math> auf <math>\ AB^{+}</math>, der zu <math>\ A</math> gerade den Abstand <math>\ d</math> hat. Bei Konstruktionsaufgaben finden wir diese Idee im Zusammenhang mit dem Streckenantragen wieder.

== Streckenantragen ==

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:S_01.jpg |400px]] || [[Bild:S_02.jpg |400px]]
|-
| [[Bild:S_03.jpg |400px]] || [[Bild:S_04.jpg |400px]]
|}

== Das Axiom vom Lineal ==
Wir sind überzeugt davon, dass unsere Konstruktion entsprechend des vorangegangenen Abschnitts immer funktioniert und der so gewonnene zweite Endpunkt unserer konstruierten Strecke eindeutig bestimmt ist. Die Idee des Streckenantragens müssen wir jetzt jedoch axiomatisch fordern bzw. begründen.
===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
::Zu jeder nicht negativen reellen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.

Zum Sprachgebrauch. Wir werden in kommenden Beweisen einzelne Beweisschritte häufig mit dem Axiom vom Lineal begründen müssen. Wir werden in einem solchen Fall ggf. auch mit der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenantragens begründen. Letzteres ist schließlich nichts anderes als der Inhalt des Axioms vom Lineal.

== Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke ==
Nachdem das Axiom vom Lineal formuliert wurde, wird es uns gelingen Satz III.1 zu beweisen.
===== Jetzt wirklich: Beweis von Satz III.1 =====
noch einmal der Satz:
::Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt.

Es sind also zwei Beweise zu führen:

# Existenzbeweis: Jede Strecke hat einen Mittelpunkt.
# Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat nicht mehr als einen Mittelpunkt. (Highlanderbeweis: Es kann nur einen geben.)

====== Der Existenzbeweis ======
:Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke
:::Behauptung: 
:::Es gibt einen Punkt auf der Strecke <math>\overline{AB}</math> der zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils ein und denselben Abstand hat. 

:::Die Behauptung noch mal: <math>\exists M \in \overline{AB} : \ \left| AM \right| = \left| MB \right|</math> .

Der Beweis:

{| class="wikitable center"
|+ Jede Strecke <math>\overline{AB}</math> hat einen Mittelpunkt.
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\exists d \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d = \left| AB \right|</math>
| Axiom II.1 (Abstandsaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>\exists d^{*} \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d^{*} = \frac{d}{2}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\exists M \in AB^{+} \ : \ \left| AM \right| = d^{*}</math>
| Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
|-

! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\operatorname{Zw} \left( A, M, B \right)</math> und damit <math>M \in \overline{AB}</math>
| Wegen III, Hilfssatz A und der Definition der Zwischenrelation
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2} + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math>
| Definition der Zwischenrelation <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math> Wegen II und III (<math>\ \left| AM \right|=d^{*}=\frac{d}{2}=\frac{\left| AB \right|}{2}</math>) 
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>\left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2}</math>
| Wegen V
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math>\ M</math> ist der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>
| Wegen VII und der Definition III.1 (Mittelpunkt einer Strecke)
|}

'''Hilfssatz A:''' 
:: Voraussetzung: 
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschieden Punkte. Für den Punkt <math>\ M</math> mit <math>\ M \in AB^{+}</math> möge gelten: <math>| AM | = \frac{|AB|}{2}</math> 
::Behauptung: 
:::<math>\operatorname{Zw}(A, M, B)</math>. 
Beweis von Hilfssatz A: 
::: Weil <math>\ M \in AB^{+}</math> gilt entweder

::# <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math> oder
::# <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math>
:::(s. Definition Strahl <math>AB^{+}</math>) 
:::Falls 1. gilt, gilt unsere Behauptung. 
:::Falls unsere Behauptung nicht gelten sollte, müsste 2. also <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> gelten.
::: Nehmen wir also an, dass <math>\ B</math> zwischen <math>A\ </math> und <math>\ M</math> liegt: <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> 
::: Wäre unsere Annahme wahr, müsste die folgende Gleichung gelten: .... (ergänzen Sie selbst!) 
::: Die Gültigkeit dieser Gleichung wäre jedoch ein Widerspruch zu .... (ergänzen Sie selbst!) 
::: Also ist unsere Annahme <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> zu verwerfen und es gilt <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math>

====== Der Eindeutigkeitsbeweis ======
Übungsaufgabe 
:Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> hätte zwei Mittelpunkte <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math>.
 

|}
</div>
= Halbebenen und das Axiom von Pasch =
== Halbebenen ==
=== Analogiebetrachtungen ===

Die folgenden Lückentexte können Sie auch als Übungsblatt im pdf-Format herunterladen:
{{pdf|Analogiebetrachtungen_Strahl_Halbebene.pdf| Übungsblatt Halbgeraden/-ebenen‎}}

Wir konstatieren:
::Eine Gerade wird durch einen ............ in zwei ............ eingeteilt. 
::Eine Ebene wird durch eine ............ in zwei ............ eingeteilt..

::Eine Gerade ist ein .....dimensionales Objekt. 
::Eine Ebene ist ein .....dimensionales Objekt

::Im Fall dieser Geradenteilung ist der Trenner ein .....dimensionales geometrisches Objekt 
::Im Fall dieser Ebenenteilung ist der Trenner ein .....dimensionales geometrisches Objekt.

::Wenn also n die Dimension des geometrischen Objekts ist, das geteilt wird, dann hat der Trenner die Dimension ..... .

Geradenteilung:

:Es seien <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ T</math> ein Punkt auf ihr. Ferner sei <math>\ Q</math> ein von <math>\ T</math> verschiedener Punkt der Geraden <math>\ g</math>. Die Menge <math>\ g \setminus T</math> wird durch durch den Trenner <math>\ T</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ... .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ... .

Ebenenteilung:
:Es seien <math>\ \varepsilon</math> eine Ebene und <math>\ t</math> eine Gerade, die vollständig in <math>\ \varepsilon</math> liegt. Ferner sei <math>\ Q</math> ein nicht zu <math>\ t</math> gehörender Punkt der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. Die Menge <math>\ \varepsilon \setminus t</math> wird durch durch den Trenner <math>\ t</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:

::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \varepsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ... .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \varepsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ... .

=== Definition des Begriffs der Halbebene ===
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====
{|
|-
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\varepsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\varepsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\varepsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \varepsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]
|-
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\varepsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\varepsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]
|}
==== Offene Halbebenen ====
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \varepsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \varepsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \varepsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \varepsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \varepsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \varepsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :

::::<math>\ gQ^{+}:= \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g=\phi } \right\}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g\neq\phi } \right\}</math>

==== Halbebenen ====
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Der weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen. 

==== Definition IV.3: Halbraum====

Gegeben sei eine Ebene <math>\varepsilon</math>. 
:: Halbraum <math>\varepsilon Q^{+} :=\left\{ P|... \right\} \cup \varepsilon</math>
:: Halbraum <math>\varepsilon Q^{-} :=\left\{ P| ... \right\} \cup \varepsilon </math> 

== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert. [http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''

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===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

[[Kategorie: Einführung S]]

Axiom vom Lineal und Axiom von Pasch SoSe2020

2020-06-16T12:59:35Z

N we03: /* Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) */

=Whiteboard der Sitzung vom 12 Juni 2020=
[[Datei:WB Geometrieeinführung 12 Juni 2020.svg|Whiteboard Axiom vom Lineal und Axiom von Pasch 12 Juni 2020]]
=Streckenantragen und das Axiom vom Lineal=
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFFFF; padding:1em"
| valign="top" |

== Der Mittelpunkt einer Strecke==
Wir wissen nun, dass eine offene Strecke <math>\overline{AB}</math> die Menge aller Punkte ist, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen. Vereinigt man diese Menge mit der Menge der beiden Endpunkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>, so hat man die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math>. Zu unseren grundlegenden Vorstellungen von Strecken gehört, dass jede Strecke <math>\overline{AB}</math> einen Mittelpunkt <math>\ M</math> hat. <math>\ M</math> wäre der Punkt auf <math>\overline{AB}</math>, der sowohl zu <math>\ A</math> als auch zu <math>\ B</math> denselben Abstand <math>\frac{| \overline{AB} |}{2}</math> hat.

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===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
::Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> den gleichen Abstand zu Punkt A wie zu Punkt B hat, dann heißt dieser Punkt M Mittelpunkt der Strecke <math>\overline {AB}</math> 

===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====
::Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

===== Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke =====
:: Die Materie erscheint einsichtig und einfach. Übungsaufgabe?? Nichts ist einfach. Mit den bisher bereitgestellten axiomatischen Grundlagen unserer Geometrie wird es Ihnen nicht gelingen, etwa zu zeigen, dass jede Strecke einen Mittelpunkt besitzt.

Der Knackpunkt bezüglich des Nachweises der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenmittelpunktes besteht darin, dass unsere derzeitige Theorie noch nicht genügend Punkte zu Verfügung stellt. Momentan muss unser Raum nicht mehr als 4 Punkte enthalten. Nach Axiom I.7 sind diese vier Punkte nicht komplanar, woraus folgt, dass je drei von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden liegen. Damit könnte eine durch zwei verschiedene dieser vier Punkte eindeutig bestimmte Strecke gar keinen Mittelpunkt haben, denn dieser müsste entsprechend Definition III.1 bezüglich unserer zwei Endpunkte auf derselben Geraden liegen.

Es wird Zeit, die Anzahl Punkte unserer Theorie radikal zu erhöhen. Konzentrieren wir uns diesbezüglich zunächst auf einen Strahl <math>\ AB^{+}</math>. Nach unserer Vorstellung von Halbgeraden können wir je zwei Punkten von <math>\ AB^{+}</math> genau eine nichtnegative reelle Zahl (den Abstand der beiden Punkte) zuordnen. Nach unseren Vorstellungen etwa von Zahlenstrahl gibt es auch zu jeder nicht negativen reellen Zahl d genau einen Punkt <math>\ D</math> auf <math>\ AB^{+}</math>, der zu <math>\ A</math> gerade den Abstand <math>\ d</math> hat. Bei Konstruktionsaufgaben finden wir diese Idee im Zusammenhang mit dem Streckenantragen wieder.

== Streckenantragen ==

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:S_01.jpg |400px]] || [[Bild:S_02.jpg |400px]]
|-
| [[Bild:S_03.jpg |400px]] || [[Bild:S_04.jpg |400px]]
|}

== Das Axiom vom Lineal ==
Wir sind überzeugt davon, dass unsere Konstruktion entsprechend des vorangegangenen Abschnitts immer funktioniert und der so gewonnene zweite Endpunkt unserer konstruierten Strecke eindeutig bestimmt ist. Die Idee des Streckenantragens müssen wir jetzt jedoch axiomatisch fordern bzw. begründen.
===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
::Zu jeder nicht negativen reellen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.

Zum Sprachgebrauch. Wir werden in kommenden Beweisen einzelne Beweisschritte häufig mit dem Axiom vom Lineal begründen müssen. Wir werden in einem solchen Fall ggf. auch mit der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenantragens begründen. Letzteres ist schließlich nichts anderes als der Inhalt des Axioms vom Lineal.

== Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke ==
Nachdem das Axiom vom Lineal formuliert wurde, wird es uns gelingen Satz III.1 zu beweisen.
===== Jetzt wirklich: Beweis von Satz III.1 =====
noch einmal der Satz:
::Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt.

Es sind also zwei Beweise zu führen:

# Existenzbeweis: Jede Strecke hat einen Mittelpunkt.
# Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat nicht mehr als einen Mittelpunkt. (Highlanderbeweis: Es kann nur einen geben.)

====== Der Existenzbeweis ======
:Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke
:::Behauptung: 
:::Es gibt einen Punkt auf der Strecke <math>\overline{AB}</math> der zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils ein und denselben Abstand hat. 

:::Die Behauptung noch mal: <math>\exists M \in \overline{AB} : \ \left| AM \right| = \left| MB \right|</math> .

Der Beweis:

{| class="wikitable center"
|+ Jede Strecke <math>\overline{AB}</math> hat einen Mittelpunkt.
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\exists d \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d = \left| AB \right|</math>
| Axiom II.1 (Abstandsaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>\exists d^{*} \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d^{*} = \frac{d}{2}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\exists M \in AB^{+} \ : \ \left| AM \right| = d^{*}</math>
| Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
|-

! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\operatorname{Zw} \left( A, M, B \right)</math> und damit <math>M \in \overline{AB}</math>
| Wegen III, Hilfssatz A und der Definition der Zwischenrelation
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2} + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math>
| Definition der Zwischenrelation <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math> Wegen II und III (<math>\ \left| AM \right|=d^{*}=\frac{d}{2}=\frac{\left| AB \right|}{2}</math>) 
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>\left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2}</math>
| Wegen V
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math>\ M</math> ist der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>
| Wegen VII und der Definition III.1 (Mittelpunkt einer Strecke)
|}

'''Hilfssatz A:''' 
:: Voraussetzung: 
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschieden Punkte. Für den Punkt <math>\ M</math> mit <math>\ M \in AB^{+}</math> möge gelten: <math>| AM | = \frac{|AB|}{2}</math> 
::Behauptung: 
:::<math>\operatorname{Zw}(A, M, B)</math>. 
Beweis von Hilfssatz A: 
::: Weil <math>\ M \in AB^{+}</math> gilt entweder

::# <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math> oder
::# <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math>
:::(s. Definition Strahl <math>AB^{+}</math>) 
:::Falls 1. gilt, gilt unsere Behauptung. 
:::Falls unsere Behauptung nicht gelten sollte, müsste 2. also <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> gelten.
::: Nehmen wir also an, dass <math>\ B</math> zwischen <math>A\ </math> und <math>\ M</math> liegt: <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> 
::: Wäre unsere Annahme wahr, müsste die folgende Gleichung gelten: .... (ergänzen Sie selbst!) 
::: Die Gültigkeit dieser Gleichung wäre jedoch ein Widerspruch zu .... (ergänzen Sie selbst!) 
::: Also ist unsere Annahme <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> zu verwerfen und es gilt <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math>

====== Der Eindeutigkeitsbeweis ======
Übungsaufgabe 
:Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> hätte zwei Mittelpunkte <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math>.
 

|}
</div>
= Halbebenen und das Axiom von Pasch =
== Halbebenen ==
=== Analogiebetrachtungen ===

Die folgenden Lückentexte können Sie auch als Übungsblatt im pdf-Format herunterladen:
{{pdf|Analogiebetrachtungen_Strahl_Halbebene.pdf| Übungsblatt Halbgeraden/-ebenen‎}}

Wir konstatieren:
::Eine Gerade wird durch einen ............ in zwei ............ eingeteilt. 
::Eine Ebene wird durch eine ............ in zwei ............ eingeteilt..

::Eine Gerade ist ein .....dimensionales Objekt. 
::Eine Ebene ist ein .....dimensionales Objekt

::Im Fall dieser Geradenteilung ist der Trenner ein .....dimensionales geometrisches Objekt 
::Im Fall dieser Ebenenteilung ist der Trenner ein .....dimensionales geometrisches Objekt.

::Wenn also n die Dimension des geometrischen Objekts ist, das geteilt wird, dann hat der Trenner die Dimension ..... .

Geradenteilung:

:Es seien <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ T</math> ein Punkt auf ihr. Ferner sei <math>\ Q</math> ein von <math>\ T</math> verschiedener Punkt der Geraden <math>\ g</math>. Die Menge <math>\ g \setminus T</math> wird durch durch den Trenner <math>\ T</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ... .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ... .

Ebenenteilung:
:Es seien <math>\ \varepsilon</math> eine Ebene und <math>\ t</math> eine Gerade, die vollständig in <math>\ \varepsilon</math> liegt. Ferner sei <math>\ Q</math> ein nicht zu <math>\ t</math> gehörender Punkt der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. Die Menge <math>\ \varepsilon \setminus t</math> wird durch durch den Trenner <math>\ t</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:

::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \varepsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ... .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \varepsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ... .

=== Definition des Begriffs der Halbebene ===
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====
{|
|-
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\varepsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\varepsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\varepsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \varepsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]
|-
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\varepsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\varepsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]
|}
==== Offene Halbebenen ====
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \varepsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \varepsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \varepsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \varepsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \varepsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \varepsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :

::::<math>\ gQ^{+}:= \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g=\phi } \right\}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g\neq\phi } \right\}</math>

==== Halbebenen ====
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Der weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen. 

==== Definition IV.3: Halbraum====

Gegeben sei eine Ebene <math>\varepsilon</math>. 
:: Halbraum <math>\varepsilon Q^{+} :=\left\{ P|... \right\} \cup \varepsilon</math>
:: Halbraum <math>\varepsilon Q^{-} :=\left\{ P| ... \right\} \cup \varepsilon </math> 

== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert. [http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''

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===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

[[Kategorie: Einführung S]]

Axiom vom Lineal und Axiom von Pasch SoSe2020

2020-06-16T12:59:24Z

N we03: /* Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) */

=Whiteboard der Sitzung vom 12 Juni 2020=
[[Datei:WB Geometrieeinführung 12 Juni 2020.svg|Whiteboard Axiom vom Lineal und Axiom von Pasch 12 Juni 2020]]
=Streckenantragen und das Axiom vom Lineal=
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFFFF; padding:1em"
| valign="top" |

== Der Mittelpunkt einer Strecke==
Wir wissen nun, dass eine offene Strecke <math>\overline{AB}</math> die Menge aller Punkte ist, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen. Vereinigt man diese Menge mit der Menge der beiden Endpunkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>, so hat man die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math>. Zu unseren grundlegenden Vorstellungen von Strecken gehört, dass jede Strecke <math>\overline{AB}</math> einen Mittelpunkt <math>\ M</math> hat. <math>\ M</math> wäre der Punkt auf <math>\overline{AB}</math>, der sowohl zu <math>\ A</math> als auch zu <math>\ B</math> denselben Abstand <math>\frac{| \overline{AB} |}{2}</math> hat.

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===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
::Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> den gleichen Abstand zu Punkt A wie zu Punkt B hat, dann heißt dieser Punkt M Mittelpunkt der Strecke <math>\overline {AB}</math> .

===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====
::Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

===== Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke =====
:: Die Materie erscheint einsichtig und einfach. Übungsaufgabe?? Nichts ist einfach. Mit den bisher bereitgestellten axiomatischen Grundlagen unserer Geometrie wird es Ihnen nicht gelingen, etwa zu zeigen, dass jede Strecke einen Mittelpunkt besitzt.

Der Knackpunkt bezüglich des Nachweises der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenmittelpunktes besteht darin, dass unsere derzeitige Theorie noch nicht genügend Punkte zu Verfügung stellt. Momentan muss unser Raum nicht mehr als 4 Punkte enthalten. Nach Axiom I.7 sind diese vier Punkte nicht komplanar, woraus folgt, dass je drei von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden liegen. Damit könnte eine durch zwei verschiedene dieser vier Punkte eindeutig bestimmte Strecke gar keinen Mittelpunkt haben, denn dieser müsste entsprechend Definition III.1 bezüglich unserer zwei Endpunkte auf derselben Geraden liegen.

Es wird Zeit, die Anzahl Punkte unserer Theorie radikal zu erhöhen. Konzentrieren wir uns diesbezüglich zunächst auf einen Strahl <math>\ AB^{+}</math>. Nach unserer Vorstellung von Halbgeraden können wir je zwei Punkten von <math>\ AB^{+}</math> genau eine nichtnegative reelle Zahl (den Abstand der beiden Punkte) zuordnen. Nach unseren Vorstellungen etwa von Zahlenstrahl gibt es auch zu jeder nicht negativen reellen Zahl d genau einen Punkt <math>\ D</math> auf <math>\ AB^{+}</math>, der zu <math>\ A</math> gerade den Abstand <math>\ d</math> hat. Bei Konstruktionsaufgaben finden wir diese Idee im Zusammenhang mit dem Streckenantragen wieder.

== Streckenantragen ==

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:S_01.jpg |400px]] || [[Bild:S_02.jpg |400px]]
|-
| [[Bild:S_03.jpg |400px]] || [[Bild:S_04.jpg |400px]]
|}

== Das Axiom vom Lineal ==
Wir sind überzeugt davon, dass unsere Konstruktion entsprechend des vorangegangenen Abschnitts immer funktioniert und der so gewonnene zweite Endpunkt unserer konstruierten Strecke eindeutig bestimmt ist. Die Idee des Streckenantragens müssen wir jetzt jedoch axiomatisch fordern bzw. begründen.
===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
::Zu jeder nicht negativen reellen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.

Zum Sprachgebrauch. Wir werden in kommenden Beweisen einzelne Beweisschritte häufig mit dem Axiom vom Lineal begründen müssen. Wir werden in einem solchen Fall ggf. auch mit der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenantragens begründen. Letzteres ist schließlich nichts anderes als der Inhalt des Axioms vom Lineal.

== Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke ==
Nachdem das Axiom vom Lineal formuliert wurde, wird es uns gelingen Satz III.1 zu beweisen.
===== Jetzt wirklich: Beweis von Satz III.1 =====
noch einmal der Satz:
::Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt.

Es sind also zwei Beweise zu führen:

# Existenzbeweis: Jede Strecke hat einen Mittelpunkt.
# Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat nicht mehr als einen Mittelpunkt. (Highlanderbeweis: Es kann nur einen geben.)

====== Der Existenzbeweis ======
:Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke
:::Behauptung: 
:::Es gibt einen Punkt auf der Strecke <math>\overline{AB}</math> der zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils ein und denselben Abstand hat. 

:::Die Behauptung noch mal: <math>\exists M \in \overline{AB} : \ \left| AM \right| = \left| MB \right|</math> .

Der Beweis:

{| class="wikitable center"
|+ Jede Strecke <math>\overline{AB}</math> hat einen Mittelpunkt.
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\exists d \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d = \left| AB \right|</math>
| Axiom II.1 (Abstandsaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>\exists d^{*} \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d^{*} = \frac{d}{2}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\exists M \in AB^{+} \ : \ \left| AM \right| = d^{*}</math>
| Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
|-

! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\operatorname{Zw} \left( A, M, B \right)</math> und damit <math>M \in \overline{AB}</math>
| Wegen III, Hilfssatz A und der Definition der Zwischenrelation
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2} + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math>
| Definition der Zwischenrelation <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math> Wegen II und III (<math>\ \left| AM \right|=d^{*}=\frac{d}{2}=\frac{\left| AB \right|}{2}</math>) 
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>\left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2}</math>
| Wegen V
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math>\ M</math> ist der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>
| Wegen VII und der Definition III.1 (Mittelpunkt einer Strecke)
|}

'''Hilfssatz A:''' 
:: Voraussetzung: 
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschieden Punkte. Für den Punkt <math>\ M</math> mit <math>\ M \in AB^{+}</math> möge gelten: <math>| AM | = \frac{|AB|}{2}</math> 
::Behauptung: 
:::<math>\operatorname{Zw}(A, M, B)</math>. 
Beweis von Hilfssatz A: 
::: Weil <math>\ M \in AB^{+}</math> gilt entweder

::# <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math> oder
::# <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math>
:::(s. Definition Strahl <math>AB^{+}</math>) 
:::Falls 1. gilt, gilt unsere Behauptung. 
:::Falls unsere Behauptung nicht gelten sollte, müsste 2. also <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> gelten.
::: Nehmen wir also an, dass <math>\ B</math> zwischen <math>A\ </math> und <math>\ M</math> liegt: <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> 
::: Wäre unsere Annahme wahr, müsste die folgende Gleichung gelten: .... (ergänzen Sie selbst!) 
::: Die Gültigkeit dieser Gleichung wäre jedoch ein Widerspruch zu .... (ergänzen Sie selbst!) 
::: Also ist unsere Annahme <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> zu verwerfen und es gilt <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math>

====== Der Eindeutigkeitsbeweis ======
Übungsaufgabe 
:Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> hätte zwei Mittelpunkte <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math>.
 

|}
</div>
= Halbebenen und das Axiom von Pasch =
== Halbebenen ==
=== Analogiebetrachtungen ===

Die folgenden Lückentexte können Sie auch als Übungsblatt im pdf-Format herunterladen:
{{pdf|Analogiebetrachtungen_Strahl_Halbebene.pdf| Übungsblatt Halbgeraden/-ebenen‎}}

Wir konstatieren:
::Eine Gerade wird durch einen ............ in zwei ............ eingeteilt. 
::Eine Ebene wird durch eine ............ in zwei ............ eingeteilt..

::Eine Gerade ist ein .....dimensionales Objekt. 
::Eine Ebene ist ein .....dimensionales Objekt

::Im Fall dieser Geradenteilung ist der Trenner ein .....dimensionales geometrisches Objekt 
::Im Fall dieser Ebenenteilung ist der Trenner ein .....dimensionales geometrisches Objekt.

::Wenn also n die Dimension des geometrischen Objekts ist, das geteilt wird, dann hat der Trenner die Dimension ..... .

Geradenteilung:

:Es seien <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ T</math> ein Punkt auf ihr. Ferner sei <math>\ Q</math> ein von <math>\ T</math> verschiedener Punkt der Geraden <math>\ g</math>. Die Menge <math>\ g \setminus T</math> wird durch durch den Trenner <math>\ T</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ... .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ... .

Ebenenteilung:
:Es seien <math>\ \varepsilon</math> eine Ebene und <math>\ t</math> eine Gerade, die vollständig in <math>\ \varepsilon</math> liegt. Ferner sei <math>\ Q</math> ein nicht zu <math>\ t</math> gehörender Punkt der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. Die Menge <math>\ \varepsilon \setminus t</math> wird durch durch den Trenner <math>\ t</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:

::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \varepsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ... .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \varepsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ... .

=== Definition des Begriffs der Halbebene ===
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====
{|
|-
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\varepsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\varepsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\varepsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \varepsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]
|-
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\varepsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\varepsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]
|}
==== Offene Halbebenen ====
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \varepsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \varepsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \varepsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \varepsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \varepsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \varepsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :

::::<math>\ gQ^{+}:= \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g=\phi } \right\}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g\neq\phi } \right\}</math>

==== Halbebenen ====
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Der weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen. 

==== Definition IV.3: Halbraum====

Gegeben sei eine Ebene <math>\varepsilon</math>. 
:: Halbraum <math>\varepsilon Q^{+} :=\left\{ P|... \right\} \cup \varepsilon</math>
:: Halbraum <math>\varepsilon Q^{-} :=\left\{ P| ... \right\} \cup \varepsilon </math> 

== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert. [http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''

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===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

[[Kategorie: Einführung S]]

Axiom vom Lineal und Axiom von Pasch SoSe2020

2020-06-16T12:54:31Z

N we03: /* Der Existenzbeweis */

=Whiteboard der Sitzung vom 12 Juni 2020=
[[Datei:WB Geometrieeinführung 12 Juni 2020.svg|Whiteboard Axiom vom Lineal und Axiom von Pasch 12 Juni 2020]]
=Streckenantragen und das Axiom vom Lineal=
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFFFF; padding:1em"
| valign="top" |

== Der Mittelpunkt einer Strecke==
Wir wissen nun, dass eine offene Strecke <math>\overline{AB}</math> die Menge aller Punkte ist, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen. Vereinigt man diese Menge mit der Menge der beiden Endpunkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>, so hat man die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math>. Zu unseren grundlegenden Vorstellungen von Strecken gehört, dass jede Strecke <math>\overline{AB}</math> einen Mittelpunkt <math>\ M</math> hat. <math>\ M</math> wäre der Punkt auf <math>\overline{AB}</math>, der sowohl zu <math>\ A</math> als auch zu <math>\ B</math> denselben Abstand <math>\frac{| \overline{AB} |}{2}</math> hat.

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===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
::Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> ... 

===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====
::Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

===== Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke =====
:: Die Materie erscheint einsichtig und einfach. Übungsaufgabe?? Nichts ist einfach. Mit den bisher bereitgestellten axiomatischen Grundlagen unserer Geometrie wird es Ihnen nicht gelingen, etwa zu zeigen, dass jede Strecke einen Mittelpunkt besitzt.

Der Knackpunkt bezüglich des Nachweises der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenmittelpunktes besteht darin, dass unsere derzeitige Theorie noch nicht genügend Punkte zu Verfügung stellt. Momentan muss unser Raum nicht mehr als 4 Punkte enthalten. Nach Axiom I.7 sind diese vier Punkte nicht komplanar, woraus folgt, dass je drei von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden liegen. Damit könnte eine durch zwei verschiedene dieser vier Punkte eindeutig bestimmte Strecke gar keinen Mittelpunkt haben, denn dieser müsste entsprechend Definition III.1 bezüglich unserer zwei Endpunkte auf derselben Geraden liegen.

Es wird Zeit, die Anzahl Punkte unserer Theorie radikal zu erhöhen. Konzentrieren wir uns diesbezüglich zunächst auf einen Strahl <math>\ AB^{+}</math>. Nach unserer Vorstellung von Halbgeraden können wir je zwei Punkten von <math>\ AB^{+}</math> genau eine nichtnegative reelle Zahl (den Abstand der beiden Punkte) zuordnen. Nach unseren Vorstellungen etwa von Zahlenstrahl gibt es auch zu jeder nicht negativen reellen Zahl d genau einen Punkt <math>\ D</math> auf <math>\ AB^{+}</math>, der zu <math>\ A</math> gerade den Abstand <math>\ d</math> hat. Bei Konstruktionsaufgaben finden wir diese Idee im Zusammenhang mit dem Streckenantragen wieder.

== Streckenantragen ==

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:S_01.jpg |400px]] || [[Bild:S_02.jpg |400px]]
|-
| [[Bild:S_03.jpg |400px]] || [[Bild:S_04.jpg |400px]]
|}

== Das Axiom vom Lineal ==
Wir sind überzeugt davon, dass unsere Konstruktion entsprechend des vorangegangenen Abschnitts immer funktioniert und der so gewonnene zweite Endpunkt unserer konstruierten Strecke eindeutig bestimmt ist. Die Idee des Streckenantragens müssen wir jetzt jedoch axiomatisch fordern bzw. begründen.
===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
::Zu jeder nicht negativen reellen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.

Zum Sprachgebrauch. Wir werden in kommenden Beweisen einzelne Beweisschritte häufig mit dem Axiom vom Lineal begründen müssen. Wir werden in einem solchen Fall ggf. auch mit der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenantragens begründen. Letzteres ist schließlich nichts anderes als der Inhalt des Axioms vom Lineal.

== Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke ==
Nachdem das Axiom vom Lineal formuliert wurde, wird es uns gelingen Satz III.1 zu beweisen.
===== Jetzt wirklich: Beweis von Satz III.1 =====
noch einmal der Satz:
::Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt.

Es sind also zwei Beweise zu führen:

# Existenzbeweis: Jede Strecke hat einen Mittelpunkt.
# Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat nicht mehr als einen Mittelpunkt. (Highlanderbeweis: Es kann nur einen geben.)

====== Der Existenzbeweis ======
:Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke
:::Behauptung: 
:::Es gibt einen Punkt auf der Strecke <math>\overline{AB}</math> der zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils ein und denselben Abstand hat. 

:::Die Behauptung noch mal: <math>\exists M \in \overline{AB} : \ \left| AM \right| = \left| MB \right|</math> .

Der Beweis:

{| class="wikitable center"
|+ Jede Strecke <math>\overline{AB}</math> hat einen Mittelpunkt.
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\exists d \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d = \left| AB \right|</math>
| Axiom II.1 (Abstandsaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>\exists d^{*} \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d^{*} = \frac{d}{2}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\exists M \in AB^{+} \ : \ \left| AM \right| = d^{*}</math>
| Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
|-

! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\operatorname{Zw} \left( A, M, B \right)</math> und damit <math>M \in \overline{AB}</math>
| Wegen III, Hilfssatz A und der Definition der Zwischenrelation
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2} + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math>
| Definition der Zwischenrelation <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math> Wegen II und III (<math>\ \left| AM \right|=d^{*}=\frac{d}{2}=\frac{\left| AB \right|}{2}</math>) 
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>\left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2}</math>
| Wegen V
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math>\ M</math> ist der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>
| Wegen VII und der Definition III.1 (Mittelpunkt einer Strecke)
|}

'''Hilfssatz A:''' 
:: Voraussetzung: 
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschieden Punkte. Für den Punkt <math>\ M</math> mit <math>\ M \in AB^{+}</math> möge gelten: <math>| AM | = \frac{|AB|}{2}</math> 
::Behauptung: 
:::<math>\operatorname{Zw}(A, M, B)</math>. 
Beweis von Hilfssatz A: 
::: Weil <math>\ M \in AB^{+}</math> gilt entweder

::# <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math> oder
::# <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math>
:::(s. Definition Strahl <math>AB^{+}</math>) 
:::Falls 1. gilt, gilt unsere Behauptung. 
:::Falls unsere Behauptung nicht gelten sollte, müsste 2. also <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> gelten.
::: Nehmen wir also an, dass <math>\ B</math> zwischen <math>A\ </math> und <math>\ M</math> liegt: <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> 
::: Wäre unsere Annahme wahr, müsste die folgende Gleichung gelten: .... (ergänzen Sie selbst!) 
::: Die Gültigkeit dieser Gleichung wäre jedoch ein Widerspruch zu .... (ergänzen Sie selbst!) 
::: Also ist unsere Annahme <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> zu verwerfen und es gilt <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math>

====== Der Eindeutigkeitsbeweis ======
Übungsaufgabe 
:Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> hätte zwei Mittelpunkte <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math>.
 

|}
</div>
= Halbebenen und das Axiom von Pasch =
== Halbebenen ==
=== Analogiebetrachtungen ===

Die folgenden Lückentexte können Sie auch als Übungsblatt im pdf-Format herunterladen:
{{pdf|Analogiebetrachtungen_Strahl_Halbebene.pdf| Übungsblatt Halbgeraden/-ebenen‎}}

Wir konstatieren:
::Eine Gerade wird durch einen ............ in zwei ............ eingeteilt. 
::Eine Ebene wird durch eine ............ in zwei ............ eingeteilt..

::Eine Gerade ist ein .....dimensionales Objekt. 
::Eine Ebene ist ein .....dimensionales Objekt

::Im Fall dieser Geradenteilung ist der Trenner ein .....dimensionales geometrisches Objekt 
::Im Fall dieser Ebenenteilung ist der Trenner ein .....dimensionales geometrisches Objekt.

::Wenn also n die Dimension des geometrischen Objekts ist, das geteilt wird, dann hat der Trenner die Dimension ..... .

Geradenteilung:

:Es seien <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ T</math> ein Punkt auf ihr. Ferner sei <math>\ Q</math> ein von <math>\ T</math> verschiedener Punkt der Geraden <math>\ g</math>. Die Menge <math>\ g \setminus T</math> wird durch durch den Trenner <math>\ T</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ... .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ... .

Ebenenteilung:
:Es seien <math>\ \varepsilon</math> eine Ebene und <math>\ t</math> eine Gerade, die vollständig in <math>\ \varepsilon</math> liegt. Ferner sei <math>\ Q</math> ein nicht zu <math>\ t</math> gehörender Punkt der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. Die Menge <math>\ \varepsilon \setminus t</math> wird durch durch den Trenner <math>\ t</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:

::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \varepsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ... .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \varepsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ... .

=== Definition des Begriffs der Halbebene ===
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====
{|
|-
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\varepsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\varepsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\varepsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \varepsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]
|-
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\varepsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\varepsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]
|}
==== Offene Halbebenen ====
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \varepsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \varepsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \varepsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \varepsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \varepsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \varepsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :

::::<math>\ gQ^{+}:= \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g=\phi } \right\}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g\neq\phi } \right\}</math>

==== Halbebenen ====
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Der weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen. 

==== Definition IV.3: Halbraum====

Gegeben sei eine Ebene <math>\varepsilon</math>. 
:: Halbraum <math>\varepsilon Q^{+} :=\left\{ P|... \right\} \cup \varepsilon</math>
:: Halbraum <math>\varepsilon Q^{-} :=\left\{ P| ... \right\} \cup \varepsilon </math> 

== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert. [http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''

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===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

[[Kategorie: Einführung S]]

Axiom vom Lineal und Axiom von Pasch SoSe2020

2020-06-16T12:51:56Z

N we03: /* Der Existenzbeweis */

=Whiteboard der Sitzung vom 12 Juni 2020=
[[Datei:WB Geometrieeinführung 12 Juni 2020.svg|Whiteboard Axiom vom Lineal und Axiom von Pasch 12 Juni 2020]]
=Streckenantragen und das Axiom vom Lineal=
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFFFF; padding:1em"
| valign="top" |

== Der Mittelpunkt einer Strecke==
Wir wissen nun, dass eine offene Strecke <math>\overline{AB}</math> die Menge aller Punkte ist, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen. Vereinigt man diese Menge mit der Menge der beiden Endpunkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>, so hat man die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math>. Zu unseren grundlegenden Vorstellungen von Strecken gehört, dass jede Strecke <math>\overline{AB}</math> einen Mittelpunkt <math>\ M</math> hat. <math>\ M</math> wäre der Punkt auf <math>\overline{AB}</math>, der sowohl zu <math>\ A</math> als auch zu <math>\ B</math> denselben Abstand <math>\frac{| \overline{AB} |}{2}</math> hat.

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===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
::Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> ... 

===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====
::Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

===== Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke =====
:: Die Materie erscheint einsichtig und einfach. Übungsaufgabe?? Nichts ist einfach. Mit den bisher bereitgestellten axiomatischen Grundlagen unserer Geometrie wird es Ihnen nicht gelingen, etwa zu zeigen, dass jede Strecke einen Mittelpunkt besitzt.

Der Knackpunkt bezüglich des Nachweises der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenmittelpunktes besteht darin, dass unsere derzeitige Theorie noch nicht genügend Punkte zu Verfügung stellt. Momentan muss unser Raum nicht mehr als 4 Punkte enthalten. Nach Axiom I.7 sind diese vier Punkte nicht komplanar, woraus folgt, dass je drei von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden liegen. Damit könnte eine durch zwei verschiedene dieser vier Punkte eindeutig bestimmte Strecke gar keinen Mittelpunkt haben, denn dieser müsste entsprechend Definition III.1 bezüglich unserer zwei Endpunkte auf derselben Geraden liegen.

Es wird Zeit, die Anzahl Punkte unserer Theorie radikal zu erhöhen. Konzentrieren wir uns diesbezüglich zunächst auf einen Strahl <math>\ AB^{+}</math>. Nach unserer Vorstellung von Halbgeraden können wir je zwei Punkten von <math>\ AB^{+}</math> genau eine nichtnegative reelle Zahl (den Abstand der beiden Punkte) zuordnen. Nach unseren Vorstellungen etwa von Zahlenstrahl gibt es auch zu jeder nicht negativen reellen Zahl d genau einen Punkt <math>\ D</math> auf <math>\ AB^{+}</math>, der zu <math>\ A</math> gerade den Abstand <math>\ d</math> hat. Bei Konstruktionsaufgaben finden wir diese Idee im Zusammenhang mit dem Streckenantragen wieder.

== Streckenantragen ==

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:S_01.jpg |400px]] || [[Bild:S_02.jpg |400px]]
|-
| [[Bild:S_03.jpg |400px]] || [[Bild:S_04.jpg |400px]]
|}

== Das Axiom vom Lineal ==
Wir sind überzeugt davon, dass unsere Konstruktion entsprechend des vorangegangenen Abschnitts immer funktioniert und der so gewonnene zweite Endpunkt unserer konstruierten Strecke eindeutig bestimmt ist. Die Idee des Streckenantragens müssen wir jetzt jedoch axiomatisch fordern bzw. begründen.
===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
::Zu jeder nicht negativen reellen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.

Zum Sprachgebrauch. Wir werden in kommenden Beweisen einzelne Beweisschritte häufig mit dem Axiom vom Lineal begründen müssen. Wir werden in einem solchen Fall ggf. auch mit der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenantragens begründen. Letzteres ist schließlich nichts anderes als der Inhalt des Axioms vom Lineal.

== Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke ==
Nachdem das Axiom vom Lineal formuliert wurde, wird es uns gelingen Satz III.1 zu beweisen.
===== Jetzt wirklich: Beweis von Satz III.1 =====
noch einmal der Satz:
::Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt.

Es sind also zwei Beweise zu führen:

# Existenzbeweis: Jede Strecke hat einen Mittelpunkt.
# Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat nicht mehr als einen Mittelpunkt. (Highlanderbeweis: Es kann nur einen geben.)

====== Der Existenzbeweis ======
:Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke
:::Behauptung: 
:::Es gibt einen Punkt auf der Strecke <math>\overline{AB}</math> der zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils ein und denselben Abstand hat. 

:::Die Behauptung noch mal: <math>\exists M \in \overline{AB} : \ \left| AM \right| = \left| MB \right|</math> .

Der Beweis:

{| class="wikitable center"
|+ Jede Strecke <math>\overline{AB}</math> hat einen Mittelpunkt.
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\exists d \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d = \left| AB \right|</math>
| Axiom II.1 (Abstandsaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>\exists d^{*} \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d^{*} = \frac{d}{2}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\exists M \in AB^{+} \ : \ \left| AM \right| = d^{*}</math>
| Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
|-

! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\operatorname{Zw} \left( A, M, B \right)</math> und damit <math>M \in \overline{AB}</math>
| Wegen III, Hilfssatz A und der Definition der Zwischenrelation
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2} + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math>
| Definition der Zwischenrelation <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math> Wegen II und III (<math>\ \left| AM \right|=d^{*}=\frac{d}{2}=\frac{\left| AB \right|}{2}</math>) 
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>\left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2}</math>
| Wegen V
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math>\ M</math> ist der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|}

'''Hilfssatz A:''' 
:: Voraussetzung: 
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschieden Punkte. Für den Punkt <math>\ M</math> mit <math>\ M \in AB^{+}</math> möge gelten: <math>| AM | = \frac{|AB|}{2}</math> 
::Behauptung: 
:::<math>\operatorname{Zw}(A, M, B)</math>. 
Beweis von Hilfssatz A: 
::: Weil <math>\ M \in AB^{+}</math> gilt entweder

::# <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math> oder
::# <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math>
:::(s. Definition Strahl <math>AB^{+}</math>) 
:::Falls 1. gilt, gilt unsere Behauptung. 
:::Falls unsere Behauptung nicht gelten sollte, müsste 2. also <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> gelten.
::: Nehmen wir also an, dass <math>\ B</math> zwischen <math>A\ </math> und <math>\ M</math> liegt: <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> 
::: Wäre unsere Annahme wahr, müsste die folgende Gleichung gelten: .... (ergänzen Sie selbst!) 
::: Die Gültigkeit dieser Gleichung wäre jedoch ein Widerspruch zu .... (ergänzen Sie selbst!) 
::: Also ist unsere Annahme <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> zu verwerfen und es gilt <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math>

====== Der Eindeutigkeitsbeweis ======
Übungsaufgabe 
:Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> hätte zwei Mittelpunkte <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math>.
 

|}
</div>
= Halbebenen und das Axiom von Pasch =
== Halbebenen ==
=== Analogiebetrachtungen ===

Die folgenden Lückentexte können Sie auch als Übungsblatt im pdf-Format herunterladen:
{{pdf|Analogiebetrachtungen_Strahl_Halbebene.pdf| Übungsblatt Halbgeraden/-ebenen‎}}

Wir konstatieren:
::Eine Gerade wird durch einen ............ in zwei ............ eingeteilt. 
::Eine Ebene wird durch eine ............ in zwei ............ eingeteilt..

::Eine Gerade ist ein .....dimensionales Objekt. 
::Eine Ebene ist ein .....dimensionales Objekt

::Im Fall dieser Geradenteilung ist der Trenner ein .....dimensionales geometrisches Objekt 
::Im Fall dieser Ebenenteilung ist der Trenner ein .....dimensionales geometrisches Objekt.

::Wenn also n die Dimension des geometrischen Objekts ist, das geteilt wird, dann hat der Trenner die Dimension ..... .

Geradenteilung:

:Es seien <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ T</math> ein Punkt auf ihr. Ferner sei <math>\ Q</math> ein von <math>\ T</math> verschiedener Punkt der Geraden <math>\ g</math>. Die Menge <math>\ g \setminus T</math> wird durch durch den Trenner <math>\ T</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ... .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ... .

Ebenenteilung:
:Es seien <math>\ \varepsilon</math> eine Ebene und <math>\ t</math> eine Gerade, die vollständig in <math>\ \varepsilon</math> liegt. Ferner sei <math>\ Q</math> ein nicht zu <math>\ t</math> gehörender Punkt der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. Die Menge <math>\ \varepsilon \setminus t</math> wird durch durch den Trenner <math>\ t</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:

::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \varepsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ... .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \varepsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ... .

=== Definition des Begriffs der Halbebene ===
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====
{|
|-
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\varepsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\varepsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\varepsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \varepsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]
|-
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\varepsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\varepsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]
|}
==== Offene Halbebenen ====
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \varepsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \varepsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \varepsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \varepsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \varepsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \varepsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :

::::<math>\ gQ^{+}:= \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g=\phi } \right\}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g\neq\phi } \right\}</math>

==== Halbebenen ====
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Der weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen. 

==== Definition IV.3: Halbraum====

Gegeben sei eine Ebene <math>\varepsilon</math>. 
:: Halbraum <math>\varepsilon Q^{+} :=\left\{ P|... \right\} \cup \varepsilon</math>
:: Halbraum <math>\varepsilon Q^{-} :=\left\{ P| ... \right\} \cup \varepsilon </math> 

== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert. [http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''

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===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

[[Kategorie: Einführung S]]

Axiom vom Lineal und Axiom von Pasch SoSe2020

2020-06-16T12:50:20Z

N we03: /* Der Existenzbeweis */

=Whiteboard der Sitzung vom 12 Juni 2020=
[[Datei:WB Geometrieeinführung 12 Juni 2020.svg|Whiteboard Axiom vom Lineal und Axiom von Pasch 12 Juni 2020]]
=Streckenantragen und das Axiom vom Lineal=
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFFFF; padding:1em"
| valign="top" |

== Der Mittelpunkt einer Strecke==
Wir wissen nun, dass eine offene Strecke <math>\overline{AB}</math> die Menge aller Punkte ist, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen. Vereinigt man diese Menge mit der Menge der beiden Endpunkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>, so hat man die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math>. Zu unseren grundlegenden Vorstellungen von Strecken gehört, dass jede Strecke <math>\overline{AB}</math> einen Mittelpunkt <math>\ M</math> hat. <math>\ M</math> wäre der Punkt auf <math>\overline{AB}</math>, der sowohl zu <math>\ A</math> als auch zu <math>\ B</math> denselben Abstand <math>\frac{| \overline{AB} |}{2}</math> hat.

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===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
::Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> ... 

===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====
::Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

===== Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke =====
:: Die Materie erscheint einsichtig und einfach. Übungsaufgabe?? Nichts ist einfach. Mit den bisher bereitgestellten axiomatischen Grundlagen unserer Geometrie wird es Ihnen nicht gelingen, etwa zu zeigen, dass jede Strecke einen Mittelpunkt besitzt.

Der Knackpunkt bezüglich des Nachweises der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenmittelpunktes besteht darin, dass unsere derzeitige Theorie noch nicht genügend Punkte zu Verfügung stellt. Momentan muss unser Raum nicht mehr als 4 Punkte enthalten. Nach Axiom I.7 sind diese vier Punkte nicht komplanar, woraus folgt, dass je drei von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden liegen. Damit könnte eine durch zwei verschiedene dieser vier Punkte eindeutig bestimmte Strecke gar keinen Mittelpunkt haben, denn dieser müsste entsprechend Definition III.1 bezüglich unserer zwei Endpunkte auf derselben Geraden liegen.

Es wird Zeit, die Anzahl Punkte unserer Theorie radikal zu erhöhen. Konzentrieren wir uns diesbezüglich zunächst auf einen Strahl <math>\ AB^{+}</math>. Nach unserer Vorstellung von Halbgeraden können wir je zwei Punkten von <math>\ AB^{+}</math> genau eine nichtnegative reelle Zahl (den Abstand der beiden Punkte) zuordnen. Nach unseren Vorstellungen etwa von Zahlenstrahl gibt es auch zu jeder nicht negativen reellen Zahl d genau einen Punkt <math>\ D</math> auf <math>\ AB^{+}</math>, der zu <math>\ A</math> gerade den Abstand <math>\ d</math> hat. Bei Konstruktionsaufgaben finden wir diese Idee im Zusammenhang mit dem Streckenantragen wieder.

== Streckenantragen ==

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:S_01.jpg |400px]] || [[Bild:S_02.jpg |400px]]
|-
| [[Bild:S_03.jpg |400px]] || [[Bild:S_04.jpg |400px]]
|}

== Das Axiom vom Lineal ==
Wir sind überzeugt davon, dass unsere Konstruktion entsprechend des vorangegangenen Abschnitts immer funktioniert und der so gewonnene zweite Endpunkt unserer konstruierten Strecke eindeutig bestimmt ist. Die Idee des Streckenantragens müssen wir jetzt jedoch axiomatisch fordern bzw. begründen.
===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
::Zu jeder nicht negativen reellen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.

Zum Sprachgebrauch. Wir werden in kommenden Beweisen einzelne Beweisschritte häufig mit dem Axiom vom Lineal begründen müssen. Wir werden in einem solchen Fall ggf. auch mit der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenantragens begründen. Letzteres ist schließlich nichts anderes als der Inhalt des Axioms vom Lineal.

== Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke ==
Nachdem das Axiom vom Lineal formuliert wurde, wird es uns gelingen Satz III.1 zu beweisen.
===== Jetzt wirklich: Beweis von Satz III.1 =====
noch einmal der Satz:
::Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt.

Es sind also zwei Beweise zu führen:

# Existenzbeweis: Jede Strecke hat einen Mittelpunkt.
# Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat nicht mehr als einen Mittelpunkt. (Highlanderbeweis: Es kann nur einen geben.)

====== Der Existenzbeweis ======
:Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke
:::Behauptung: 
:::Es gibt einen Punkt auf der Strecke <math>\overline{AB}</math> der zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils ein und denselben Abstand hat. 

:::Die Behauptung noch mal: <math>\exists M \in \overline{AB} : \ \left| AM \right| = \left| MB \right|</math> .

Der Beweis:

{| class="wikitable center"
|+ Jede Strecke <math>\overline{AB}</math> hat einen Mittelpunkt.
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\exists d \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d = \left| AB \right|</math>
| Axiom II.1 (Abstandsaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>\exists d^{*} \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d^{*} = \frac{d}{2}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\exists M \in AB^{+} \ : \ \left| AM \right| = d^{*}</math>
| Axiom III.1 (Axiom vom Lineal)
|-

! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\operatorname{Zw} \left( A, M, B \right)</math> und damit <math>M \in \overline{AB}</math>
| Wegen III, Hilfssatz A und der Definition der Zwischenrelation
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2} + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math>
| Definition der Zwischenrelation <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math> Wegen II und III (<math>\ \left| AM \right|=d^{*}=\frac{d}{2}=\frac{\left| AB \right|}{2}</math>) 
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>\left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math>\ M</math> ist der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|}

'''Hilfssatz A:''' 
:: Voraussetzung: 
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschieden Punkte. Für den Punkt <math>\ M</math> mit <math>\ M \in AB^{+}</math> möge gelten: <math>| AM | = \frac{|AB|}{2}</math> 
::Behauptung: 
:::<math>\operatorname{Zw}(A, M, B)</math>. 
Beweis von Hilfssatz A: 
::: Weil <math>\ M \in AB^{+}</math> gilt entweder

::# <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math> oder
::# <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math>
:::(s. Definition Strahl <math>AB^{+}</math>) 
:::Falls 1. gilt, gilt unsere Behauptung. 
:::Falls unsere Behauptung nicht gelten sollte, müsste 2. also <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> gelten.
::: Nehmen wir also an, dass <math>\ B</math> zwischen <math>A\ </math> und <math>\ M</math> liegt: <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> 
::: Wäre unsere Annahme wahr, müsste die folgende Gleichung gelten: .... (ergänzen Sie selbst!) 
::: Die Gültigkeit dieser Gleichung wäre jedoch ein Widerspruch zu .... (ergänzen Sie selbst!) 
::: Also ist unsere Annahme <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> zu verwerfen und es gilt <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math>

====== Der Eindeutigkeitsbeweis ======
Übungsaufgabe 
:Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> hätte zwei Mittelpunkte <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math>.
 

|}
</div>
= Halbebenen und das Axiom von Pasch =
== Halbebenen ==
=== Analogiebetrachtungen ===

Die folgenden Lückentexte können Sie auch als Übungsblatt im pdf-Format herunterladen:
{{pdf|Analogiebetrachtungen_Strahl_Halbebene.pdf| Übungsblatt Halbgeraden/-ebenen‎}}

Wir konstatieren:
::Eine Gerade wird durch einen ............ in zwei ............ eingeteilt. 
::Eine Ebene wird durch eine ............ in zwei ............ eingeteilt..

::Eine Gerade ist ein .....dimensionales Objekt. 
::Eine Ebene ist ein .....dimensionales Objekt

::Im Fall dieser Geradenteilung ist der Trenner ein .....dimensionales geometrisches Objekt 
::Im Fall dieser Ebenenteilung ist der Trenner ein .....dimensionales geometrisches Objekt.

::Wenn also n die Dimension des geometrischen Objekts ist, das geteilt wird, dann hat der Trenner die Dimension ..... .

Geradenteilung:

:Es seien <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ T</math> ein Punkt auf ihr. Ferner sei <math>\ Q</math> ein von <math>\ T</math> verschiedener Punkt der Geraden <math>\ g</math>. Die Menge <math>\ g \setminus T</math> wird durch durch den Trenner <math>\ T</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ... .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ... .

Ebenenteilung:
:Es seien <math>\ \varepsilon</math> eine Ebene und <math>\ t</math> eine Gerade, die vollständig in <math>\ \varepsilon</math> liegt. Ferner sei <math>\ Q</math> ein nicht zu <math>\ t</math> gehörender Punkt der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. Die Menge <math>\ \varepsilon \setminus t</math> wird durch durch den Trenner <math>\ t</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:

::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \varepsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ... .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \varepsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ... .

=== Definition des Begriffs der Halbebene ===
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====
{|
|-
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\varepsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\varepsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\varepsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \varepsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]
|-
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\varepsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\varepsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]
|}
==== Offene Halbebenen ====
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \varepsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \varepsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \varepsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \varepsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \varepsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \varepsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :

::::<math>\ gQ^{+}:= \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g=\phi } \right\}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g\neq\phi } \right\}</math>

==== Halbebenen ====
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Der weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen. 

==== Definition IV.3: Halbraum====

Gegeben sei eine Ebene <math>\varepsilon</math>. 
:: Halbraum <math>\varepsilon Q^{+} :=\left\{ P|... \right\} \cup \varepsilon</math>
:: Halbraum <math>\varepsilon Q^{-} :=\left\{ P| ... \right\} \cup \varepsilon </math> 

== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert. [http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''

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===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

[[Kategorie: Einführung S]]

Axiom vom Lineal und Axiom von Pasch SoSe2020

2020-06-16T12:47:14Z

N we03: /* Der Existenzbeweis */

=Whiteboard der Sitzung vom 12 Juni 2020=
[[Datei:WB Geometrieeinführung 12 Juni 2020.svg|Whiteboard Axiom vom Lineal und Axiom von Pasch 12 Juni 2020]]
=Streckenantragen und das Axiom vom Lineal=
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFFFF; padding:1em"
| valign="top" |

== Der Mittelpunkt einer Strecke==
Wir wissen nun, dass eine offene Strecke <math>\overline{AB}</math> die Menge aller Punkte ist, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen. Vereinigt man diese Menge mit der Menge der beiden Endpunkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>, so hat man die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math>. Zu unseren grundlegenden Vorstellungen von Strecken gehört, dass jede Strecke <math>\overline{AB}</math> einen Mittelpunkt <math>\ M</math> hat. <math>\ M</math> wäre der Punkt auf <math>\overline{AB}</math>, der sowohl zu <math>\ A</math> als auch zu <math>\ B</math> denselben Abstand <math>\frac{| \overline{AB} |}{2}</math> hat.

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===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
::Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> ... 

===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====
::Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

===== Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke =====
:: Die Materie erscheint einsichtig und einfach. Übungsaufgabe?? Nichts ist einfach. Mit den bisher bereitgestellten axiomatischen Grundlagen unserer Geometrie wird es Ihnen nicht gelingen, etwa zu zeigen, dass jede Strecke einen Mittelpunkt besitzt.

Der Knackpunkt bezüglich des Nachweises der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenmittelpunktes besteht darin, dass unsere derzeitige Theorie noch nicht genügend Punkte zu Verfügung stellt. Momentan muss unser Raum nicht mehr als 4 Punkte enthalten. Nach Axiom I.7 sind diese vier Punkte nicht komplanar, woraus folgt, dass je drei von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden liegen. Damit könnte eine durch zwei verschiedene dieser vier Punkte eindeutig bestimmte Strecke gar keinen Mittelpunkt haben, denn dieser müsste entsprechend Definition III.1 bezüglich unserer zwei Endpunkte auf derselben Geraden liegen.

Es wird Zeit, die Anzahl Punkte unserer Theorie radikal zu erhöhen. Konzentrieren wir uns diesbezüglich zunächst auf einen Strahl <math>\ AB^{+}</math>. Nach unserer Vorstellung von Halbgeraden können wir je zwei Punkten von <math>\ AB^{+}</math> genau eine nichtnegative reelle Zahl (den Abstand der beiden Punkte) zuordnen. Nach unseren Vorstellungen etwa von Zahlenstrahl gibt es auch zu jeder nicht negativen reellen Zahl d genau einen Punkt <math>\ D</math> auf <math>\ AB^{+}</math>, der zu <math>\ A</math> gerade den Abstand <math>\ d</math> hat. Bei Konstruktionsaufgaben finden wir diese Idee im Zusammenhang mit dem Streckenantragen wieder.

== Streckenantragen ==

{| class="wikitable"
|-
| [[Bild:S_01.jpg |400px]] || [[Bild:S_02.jpg |400px]]
|-
| [[Bild:S_03.jpg |400px]] || [[Bild:S_04.jpg |400px]]
|}

== Das Axiom vom Lineal ==
Wir sind überzeugt davon, dass unsere Konstruktion entsprechend des vorangegangenen Abschnitts immer funktioniert und der so gewonnene zweite Endpunkt unserer konstruierten Strecke eindeutig bestimmt ist. Die Idee des Streckenantragens müssen wir jetzt jedoch axiomatisch fordern bzw. begründen.
===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
::Zu jeder nicht negativen reellen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.

Zum Sprachgebrauch. Wir werden in kommenden Beweisen einzelne Beweisschritte häufig mit dem Axiom vom Lineal begründen müssen. Wir werden in einem solchen Fall ggf. auch mit der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenantragens begründen. Letzteres ist schließlich nichts anderes als der Inhalt des Axioms vom Lineal.

== Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke ==
Nachdem das Axiom vom Lineal formuliert wurde, wird es uns gelingen Satz III.1 zu beweisen.
===== Jetzt wirklich: Beweis von Satz III.1 =====
noch einmal der Satz:
::Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt.

Es sind also zwei Beweise zu führen:

# Existenzbeweis: Jede Strecke hat einen Mittelpunkt.
# Eindeutigkeitsbeweis: Jede Strecke hat nicht mehr als einen Mittelpunkt. (Highlanderbeweis: Es kann nur einen geben.)

====== Der Existenzbeweis ======
:Es sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke
:::Behauptung: 
:::Es gibt einen Punkt auf der Strecke <math>\overline{AB}</math> der zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils ein und denselben Abstand hat. 

:::Die Behauptung noch mal: <math>\exists M \in \overline{AB} : \ \left| AM \right| = \left| MB \right|</math> .

Der Beweis:

{| class="wikitable center"
|+ Jede Strecke <math>\overline{AB}</math> hat einen Mittelpunkt.
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math>\exists d \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d = \left| AB \right|</math>
| Axiom II.1 (Abstandsaxiom)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>\exists d^{*} \in \mathbb{R}^{+} \ : \ d^{*} = \frac{d}{2}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\exists M \in AB^{+} \ : \ \left| AM \right| = d^{*}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-

! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>\operatorname{Zw} \left( A, M, B \right)</math> und damit <math>M \in \overline{AB}</math>
| Wegen III, Hilfssatz A und der Definition der Zwischenrelation
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2} + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math>
| Definition der Zwischenrelation <math>\ \left| AM \right| + \left| MB \right| = \left| AB \right|</math> Wegen II und III (<math>\ \left| AM \right|=d^{*}=\frac{d}{2}=\frac{\left| AB \right|}{2}</math>) 
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>\left| MB \right| = \frac{\left| AB \right|}{2}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| <math>\ M</math> ist der Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>
| Tragen Sie hier die Begründung ein.
|}

'''Hilfssatz A:''' 
:: Voraussetzung: 
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschieden Punkte. Für den Punkt <math>\ M</math> mit <math>\ M \in AB^{+}</math> möge gelten: <math>| AM | = \frac{|AB|}{2}</math> 
::Behauptung: 
:::<math>\operatorname{Zw}(A, M, B)</math>. 
Beweis von Hilfssatz A: 
::: Weil <math>\ M \in AB^{+}</math> gilt entweder

::# <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math> oder
::# <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math>
:::(s. Definition Strahl <math>AB^{+}</math>) 
:::Falls 1. gilt, gilt unsere Behauptung. 
:::Falls unsere Behauptung nicht gelten sollte, müsste 2. also <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> gelten.
::: Nehmen wir also an, dass <math>\ B</math> zwischen <math>A\ </math> und <math>\ M</math> liegt: <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> 
::: Wäre unsere Annahme wahr, müsste die folgende Gleichung gelten: .... (ergänzen Sie selbst!) 
::: Die Gültigkeit dieser Gleichung wäre jedoch ein Widerspruch zu .... (ergänzen Sie selbst!) 
::: Also ist unsere Annahme <math>\operatorname{Zw} (A, B, M)</math> zu verwerfen und es gilt <math>\operatorname{Zw} (A, M, B)</math>

====== Der Eindeutigkeitsbeweis ======
Übungsaufgabe 
:Hinweis: Nehmen Sie an, eine Strecke <math>\overline{AB}</math> hätte zwei Mittelpunkte <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math>.
 

|}
</div>
= Halbebenen und das Axiom von Pasch =
== Halbebenen ==
=== Analogiebetrachtungen ===

Die folgenden Lückentexte können Sie auch als Übungsblatt im pdf-Format herunterladen:
{{pdf|Analogiebetrachtungen_Strahl_Halbebene.pdf| Übungsblatt Halbgeraden/-ebenen‎}}

Wir konstatieren:
::Eine Gerade wird durch einen ............ in zwei ............ eingeteilt. 
::Eine Ebene wird durch eine ............ in zwei ............ eingeteilt..

::Eine Gerade ist ein .....dimensionales Objekt. 
::Eine Ebene ist ein .....dimensionales Objekt

::Im Fall dieser Geradenteilung ist der Trenner ein .....dimensionales geometrisches Objekt 
::Im Fall dieser Ebenenteilung ist der Trenner ein .....dimensionales geometrisches Objekt.

::Wenn also n die Dimension des geometrischen Objekts ist, das geteilt wird, dann hat der Trenner die Dimension ..... .

Geradenteilung:

:Es seien <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ T</math> ein Punkt auf ihr. Ferner sei <math>\ Q</math> ein von <math>\ T</math> verschiedener Punkt der Geraden <math>\ g</math>. Die Menge <math>\ g \setminus T</math> wird durch durch den Trenner <math>\ T</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ... .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ g \setminus T</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ... .

Ebenenteilung:
:Es seien <math>\ \varepsilon</math> eine Ebene und <math>\ t</math> eine Gerade, die vollständig in <math>\ \varepsilon</math> liegt. Ferner sei <math>\ Q</math> ein nicht zu <math>\ t</math> gehörender Punkt der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. Die Menge <math>\ \varepsilon \setminus t</math> wird durch durch den Trenner <math>\ t</math> in genau zwei Klassen eingeteilt:

::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \varepsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben ... .
::# Die Menge aller Punkte von <math>\ \varepsilon \setminus t</math>, die mit <math>\ Q</math> nicht auf derselben ... .

=== Definition des Begriffs der Halbebene ===
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====
{|
|-
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\varepsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\varepsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\varepsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \varepsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]
|-
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\varepsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\varepsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]
|}
==== Offene Halbebenen ====
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \varepsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \varepsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \varepsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \varepsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \varepsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \varepsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :

::::<math>\ gQ^{+}:= \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g=\phi } \right\}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g\neq\phi } \right\}</math>

==== Halbebenen ====
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \varepsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Der weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen. 

==== Definition IV.3: Halbraum====

Gegeben sei eine Ebene <math>\varepsilon</math>. 
:: Halbraum <math>\varepsilon Q^{+} :=\left\{ P|... \right\} \cup \varepsilon</math>
:: Halbraum <math>\varepsilon Q^{-} :=\left\{ P| ... \right\} \cup \varepsilon </math> 

== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert. [http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''

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===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

[[Kategorie: Einführung S]]

Lösungen Serie 6 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

2020-06-16T12:40:04Z

N we03: /* Lösung Aufgabe 6.5 */

=Lösung Aufgabe 6.1=
==Aufgabe 6.1==

Bestimmen Sie die folgenden Mengen:

# <math>M_1= \overline{AB} \cap AB^+</math>.
# <math>M_2= \overline{AB} \cup AB^+</math>.
# <math>M_3= \overline{AB} \cap BA^+</math>.
# <math>M_4= \overline{AB} \cup AB^-</math>.
# <math>M_5= \overline{AB} \cap AB^-</math>.
# <math>M_6= \overline{AB} \cup AB^-</math>.
==Lösung==
<math>M_1= \overline{AB}</math> 
<math>M_2= AB^+</math> 
<math>M_3= \overline {AB}</math> 
<math>M_4= BA^+</math> 
<math>M_5=</math>{A} 
<math>M_6= BA^+</math>

===Lösung von Ferrus===
[[Bild:20200615 170032 (2).jpg|600 px]]
===Bemerkungen M.G.===
[[Bild:KorrekturAufgabe6 1.png|800 px]]

=Lösung Aufgabe 6.2=
==Aufgabe==
Definieren Sie den Begriff Halbebene <math>gA^-</math>.
==Lösung==
Es sei g eine Gerade, die mit der Ebene E inzidiert. 
Die Menge aller Punkte P der Ebene E, für die gilt, dass <math>\overline {AP}</math> einen Schnittpunkt mit g hat, heißt Halbebene <math>gA^-</math>.

=Lösung Aufgabe 6.3=
==Aufgabe==
Definition: (Dreieck)
::Es gelte <math>\operatorname{nkoll}(A,B,C)</math>. 
::<math>\overline{ABC}:=\overline{AB} \cup \overline{BC} \cup \overline{AC}</math>. 

Ergänzen Sie die Definition um den Begriff des Inneren des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>. 

<math>I(\overline{ABC}):= \ldots</math>.

==Lösung==
<math>I(\overline{ABC}):= \ldots</math>

=Lösung Aufgabe 6.4=
==Aufgabe==
Beweisen Sie den folgenden Satz: 

Satz 6.1. (Schnitt konvexer Mengen) 

::Die Schnittmenge zweier konvexer Mengen ist konvex.

==Lösung==
Es seien <math>M_1</math> und <math>M_2</math> zwei konvexe Punktmengen ...

=Lösung Aufgabe 6.5=
[[Datei:Serie06Aufgabe6.5.jpg|thumb|Aufgabe 6.05]]
==Aufgabe==
Beweisen Sie, dass jede Strecke <math>\overline{AB}</math> eine konvexe Menge ist.
==Lösung==
Es seien <math>C</math> und <math>D</math> zwei Punkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
Wir haben zu zeigen, dass jeder Punkt von ....

=Lösung Aufgabe 6.6=
[[Datei:Serie06Aufgabe6.6.jpg|thumb|Aufgabe 6.06]]
==Aufgabe==
Gegeben seien in der Ebene <math>\varepsilon</math> die offene Halbebene <math>gA^+</math>, die Trägergerade <math>g</math> und die offene Halbebene <math>gA^-</math>. Sie dürfen davon ausgehen, dass Folgendes bewiesen wurde:

# <math>gA^+ \cap gA^- = \emptyset \land gA^+ \cap g = \emptyset \land gA^- \cap g = \emptyset</math>,
# <math>gA^+ \cup g \cup gA^- = \varepsilon</math>.

Satz 6.2 (Halbebenen sind konvex) 

:: Halbebenen sind konvexe Punktmengen.

Beweisen Sie Satz 6.2. 

(Das Axiom von Pasch ist hilfreich)
==Lösung==
Wir beginnen mit der Halbebene <math>gA^+</math>. 
Es seien nun <math>P</math> und <math>Q</math> zwei Punkte aus <math>gA^+</math>. 
Wir haben zu zeigen, dass .....

=Lösung Aufgabe 6.7=
==Aufgabe==
Beweisen Sie, dass das Innere eines Dreiecks konvex ist.
==Lösung==
Nach Definition ist das Innere eines Dreiecks die Schnittmenge der drei Halbebenen <math>AB,C^+</math> , <math>BC,A^+</math> und <math>AC,B^+</math>.
Weil Halbebenen nach Satz 6.2 konvex sind 
und nach Satz 6.1 die Schnittmenge zweier konvexer Mengen auch konvex ist, 
ist das Innere eines jeden Dreiecks konvex.

=Lösung Aufgabe 6.8=
==Aufgabe==
Definieren Sie die folgenden Begriffe:

# Kreis <math>k</math> mit Mittelpunkt <math>M</math> und Radius <math>r</math>.
# Halbkreis mit den Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math>.
# Viertelkreis mit den Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math>.

(Halbebenen und Schnittmengen sind hilfreich)
==Lösung==

=Lösung Aufgabe 6.9=
==Aufgabe==
Definieren Sie den Begriff Inneres eines Kreises und beweisen Sie, dass das Innere eines Kreises konvex ist.
==Lösung==
===Definition===
Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math> und dem Radius <math>r</math>. 
Das Innere <math>I(k)</math> des Kreises <math>k</math> wird wie folgt definiert: 

<math>I(k):=\{P|~|PM| \ldots \}</math>.
===Beweis des Satzes===
Satz: <math>A,B \in I(k) \Rightarrow \overline{AB} \subseteq I(k)</math>. 
Für jeden Punkt <math>C\in \overline{AB}</math> ist also zu zeigen, dass <math>\ldots</math>. 
Wir nehmen an, dass .... 
Wegen <math>C\in \overline{AB} </math> gilt die folgende Gleichung ... . 
...

=Lösung Aufgabe 6.10=
==Aufgabe==
Ebene Geometrie:\\
Definition: (Ellipse) 

::Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte und <math>c</math> eine beliebige aber feste positive reelle Zahl. Die folgende Punktmenge <math>E</math> heißt Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math>: <math>E:=\{P|~|PF_1|+|PF_2|=c\}</math>

Lassen Sie mit Geogebra einen Kreis <math>k</math> mit dem Mittelpunkt <math>M</math> und dem Radius <math>r</math> zeichnen. Konstruieren Sie dann einen Punkt <math>F</math> im Inneren von <math>k</math>. Legen Sie nun einen Punkt <math>L</math> auf <math>k</math> fest. Lassen Sie die Mittelsenkrechte <math>m</math> von <math>\overline{PF}</math> zeichnen und bestimmen sie den Schnittpunkt <math>P</math> von <math>m</math> mit <math>\overline{ML}</math>.
Beweisen Sie, dass jeder Schnittpunkt <math>P</math> ein Punkt einer Ellipse mit den Brennpunkten <math>M</math> und <math>F</math> und <math>c=r</math> ist.
==Lösung==

[[Kategorie: Einführung S]]

Lösungen Serie 6 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

2020-06-16T12:39:48Z

N we03: /* Lösung Aufgabe 6.6 */

=Lösung Aufgabe 6.1=
==Aufgabe 6.1==

Bestimmen Sie die folgenden Mengen:

# <math>M_1= \overline{AB} \cap AB^+</math>.
# <math>M_2= \overline{AB} \cup AB^+</math>.
# <math>M_3= \overline{AB} \cap BA^+</math>.
# <math>M_4= \overline{AB} \cup AB^-</math>.
# <math>M_5= \overline{AB} \cap AB^-</math>.
# <math>M_6= \overline{AB} \cup AB^-</math>.
==Lösung==
<math>M_1= \overline{AB}</math> 
<math>M_2= AB^+</math> 
<math>M_3= \overline {AB}</math> 
<math>M_4= BA^+</math> 
<math>M_5=</math>{A} 
<math>M_6= BA^+</math>

===Lösung von Ferrus===
[[Bild:20200615 170032 (2).jpg|600 px]]
===Bemerkungen M.G.===
[[Bild:KorrekturAufgabe6 1.png|800 px]]

=Lösung Aufgabe 6.2=
==Aufgabe==
Definieren Sie den Begriff Halbebene <math>gA^-</math>.
==Lösung==
Es sei g eine Gerade, die mit der Ebene E inzidiert. 
Die Menge aller Punkte P der Ebene E, für die gilt, dass <math>\overline {AP}</math> einen Schnittpunkt mit g hat, heißt Halbebene <math>gA^-</math>.

=Lösung Aufgabe 6.3=
==Aufgabe==
Definition: (Dreieck)
::Es gelte <math>\operatorname{nkoll}(A,B,C)</math>. 
::<math>\overline{ABC}:=\overline{AB} \cup \overline{BC} \cup \overline{AC}</math>. 

Ergänzen Sie die Definition um den Begriff des Inneren des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>. 

<math>I(\overline{ABC}):= \ldots</math>.

==Lösung==
<math>I(\overline{ABC}):= \ldots</math>

=Lösung Aufgabe 6.4=
==Aufgabe==
Beweisen Sie den folgenden Satz: 

Satz 6.1. (Schnitt konvexer Mengen) 

::Die Schnittmenge zweier konvexer Mengen ist konvex.

==Lösung==
Es seien <math>M_1</math> und <math>M_2</math> zwei konvexe Punktmengen ...

=Lösung Aufgabe 6.5=
==Aufgabe==
Beweisen Sie, dass jede Strecke <math>\overline{AB}</math> eine konvexe Menge ist.
==Lösung==
Es seien <math>C</math> und <math>D</math> zwei Punkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
Wir haben zu zeigen, dass jeder Punkt von ....

[[Datei:Serie06Aufgabe6.5.jpg|thumb|Aufgabe 6.05]]

=Lösung Aufgabe 6.6=
[[Datei:Serie06Aufgabe6.6.jpg|thumb|Aufgabe 6.06]]
==Aufgabe==
Gegeben seien in der Ebene <math>\varepsilon</math> die offene Halbebene <math>gA^+</math>, die Trägergerade <math>g</math> und die offene Halbebene <math>gA^-</math>. Sie dürfen davon ausgehen, dass Folgendes bewiesen wurde:

# <math>gA^+ \cap gA^- = \emptyset \land gA^+ \cap g = \emptyset \land gA^- \cap g = \emptyset</math>,
# <math>gA^+ \cup g \cup gA^- = \varepsilon</math>.

Satz 6.2 (Halbebenen sind konvex) 

:: Halbebenen sind konvexe Punktmengen.

Beweisen Sie Satz 6.2. 

(Das Axiom von Pasch ist hilfreich)
==Lösung==
Wir beginnen mit der Halbebene <math>gA^+</math>. 
Es seien nun <math>P</math> und <math>Q</math> zwei Punkte aus <math>gA^+</math>. 
Wir haben zu zeigen, dass .....

=Lösung Aufgabe 6.7=
==Aufgabe==
Beweisen Sie, dass das Innere eines Dreiecks konvex ist.
==Lösung==
Nach Definition ist das Innere eines Dreiecks die Schnittmenge der drei Halbebenen <math>AB,C^+</math> , <math>BC,A^+</math> und <math>AC,B^+</math>.
Weil Halbebenen nach Satz 6.2 konvex sind 
und nach Satz 6.1 die Schnittmenge zweier konvexer Mengen auch konvex ist, 
ist das Innere eines jeden Dreiecks konvex.

=Lösung Aufgabe 6.8=
==Aufgabe==
Definieren Sie die folgenden Begriffe:

# Kreis <math>k</math> mit Mittelpunkt <math>M</math> und Radius <math>r</math>.
# Halbkreis mit den Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math>.
# Viertelkreis mit den Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math>.

(Halbebenen und Schnittmengen sind hilfreich)
==Lösung==

=Lösung Aufgabe 6.9=
==Aufgabe==
Definieren Sie den Begriff Inneres eines Kreises und beweisen Sie, dass das Innere eines Kreises konvex ist.
==Lösung==
===Definition===
Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math> und dem Radius <math>r</math>. 
Das Innere <math>I(k)</math> des Kreises <math>k</math> wird wie folgt definiert: 

<math>I(k):=\{P|~|PM| \ldots \}</math>.
===Beweis des Satzes===
Satz: <math>A,B \in I(k) \Rightarrow \overline{AB} \subseteq I(k)</math>. 
Für jeden Punkt <math>C\in \overline{AB}</math> ist also zu zeigen, dass <math>\ldots</math>. 
Wir nehmen an, dass .... 
Wegen <math>C\in \overline{AB} </math> gilt die folgende Gleichung ... . 
...

=Lösung Aufgabe 6.10=
==Aufgabe==
Ebene Geometrie:\\
Definition: (Ellipse) 

::Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte und <math>c</math> eine beliebige aber feste positive reelle Zahl. Die folgende Punktmenge <math>E</math> heißt Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math>: <math>E:=\{P|~|PF_1|+|PF_2|=c\}</math>

Lassen Sie mit Geogebra einen Kreis <math>k</math> mit dem Mittelpunkt <math>M</math> und dem Radius <math>r</math> zeichnen. Konstruieren Sie dann einen Punkt <math>F</math> im Inneren von <math>k</math>. Legen Sie nun einen Punkt <math>L</math> auf <math>k</math> fest. Lassen Sie die Mittelsenkrechte <math>m</math> von <math>\overline{PF}</math> zeichnen und bestimmen sie den Schnittpunkt <math>P</math> von <math>m</math> mit <math>\overline{ML}</math>.
Beweisen Sie, dass jeder Schnittpunkt <math>P</math> ein Punkt einer Ellipse mit den Brennpunkten <math>M</math> und <math>F</math> und <math>c=r</math> ist.
==Lösung==

[[Kategorie: Einführung S]]

Lösungen Serie 6 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

2020-06-16T12:39:12Z

N we03: /* Lösung Aufgabe 6.6 */

=Lösung Aufgabe 6.1=
==Aufgabe 6.1==

Bestimmen Sie die folgenden Mengen:

# <math>M_1= \overline{AB} \cap AB^+</math>.
# <math>M_2= \overline{AB} \cup AB^+</math>.
# <math>M_3= \overline{AB} \cap BA^+</math>.
# <math>M_4= \overline{AB} \cup AB^-</math>.
# <math>M_5= \overline{AB} \cap AB^-</math>.
# <math>M_6= \overline{AB} \cup AB^-</math>.
==Lösung==
<math>M_1= \overline{AB}</math> 
<math>M_2= AB^+</math> 
<math>M_3= \overline {AB}</math> 
<math>M_4= BA^+</math> 
<math>M_5=</math>{A} 
<math>M_6= BA^+</math>

===Lösung von Ferrus===
[[Bild:20200615 170032 (2).jpg|600 px]]
===Bemerkungen M.G.===
[[Bild:KorrekturAufgabe6 1.png|800 px]]

=Lösung Aufgabe 6.2=
==Aufgabe==
Definieren Sie den Begriff Halbebene <math>gA^-</math>.
==Lösung==
Es sei g eine Gerade, die mit der Ebene E inzidiert. 
Die Menge aller Punkte P der Ebene E, für die gilt, dass <math>\overline {AP}</math> einen Schnittpunkt mit g hat, heißt Halbebene <math>gA^-</math>.

=Lösung Aufgabe 6.3=
==Aufgabe==
Definition: (Dreieck)
::Es gelte <math>\operatorname{nkoll}(A,B,C)</math>. 
::<math>\overline{ABC}:=\overline{AB} \cup \overline{BC} \cup \overline{AC}</math>. 

Ergänzen Sie die Definition um den Begriff des Inneren des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>. 

<math>I(\overline{ABC}):= \ldots</math>.

==Lösung==
<math>I(\overline{ABC}):= \ldots</math>

=Lösung Aufgabe 6.4=
==Aufgabe==
Beweisen Sie den folgenden Satz: 

Satz 6.1. (Schnitt konvexer Mengen) 

::Die Schnittmenge zweier konvexer Mengen ist konvex.

==Lösung==
Es seien <math>M_1</math> und <math>M_2</math> zwei konvexe Punktmengen ...

=Lösung Aufgabe 6.5=
==Aufgabe==
Beweisen Sie, dass jede Strecke <math>\overline{AB}</math> eine konvexe Menge ist.
==Lösung==
Es seien <math>C</math> und <math>D</math> zwei Punkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
Wir haben zu zeigen, dass jeder Punkt von ....

[[Datei:Serie06Aufgabe6.5.jpg|thumb|Aufgabe 6.05]]

=Lösung Aufgabe 6.6=
==Aufgabe==
Gegeben seien in der Ebene <math>\varepsilon</math> die offene Halbebene <math>gA^+</math>, die Trägergerade <math>g</math> und die offene Halbebene <math>gA^-</math>. Sie dürfen davon ausgehen, dass Folgendes bewiesen wurde:

# <math>gA^+ \cap gA^- = \emptyset \land gA^+ \cap g = \emptyset \land gA^- \cap g = \emptyset</math>,
# <math>gA^+ \cup g \cup gA^- = \varepsilon</math>.

Satz 6.2 (Halbebenen sind konvex) 

:: Halbebenen sind konvexe Punktmengen.

Beweisen Sie Satz 6.2. 

(Das Axiom von Pasch ist hilfreich)
==Lösung==
Wir beginnen mit der Halbebene <math>gA^+</math>. 
Es seien nun <math>P</math> und <math>Q</math> zwei Punkte aus <math>gA^+</math>. 
Wir haben zu zeigen, dass .....
[[Datei:Serie06Aufgabe6.6.jpg|thumb|Aufgabe 6.06]]

=Lösung Aufgabe 6.7=
==Aufgabe==
Beweisen Sie, dass das Innere eines Dreiecks konvex ist.
==Lösung==
Nach Definition ist das Innere eines Dreiecks die Schnittmenge der drei Halbebenen <math>AB,C^+</math> , <math>BC,A^+</math> und <math>AC,B^+</math>.
Weil Halbebenen nach Satz 6.2 konvex sind 
und nach Satz 6.1 die Schnittmenge zweier konvexer Mengen auch konvex ist, 
ist das Innere eines jeden Dreiecks konvex.

=Lösung Aufgabe 6.8=
==Aufgabe==
Definieren Sie die folgenden Begriffe:

# Kreis <math>k</math> mit Mittelpunkt <math>M</math> und Radius <math>r</math>.
# Halbkreis mit den Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math>.
# Viertelkreis mit den Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math>.

(Halbebenen und Schnittmengen sind hilfreich)
==Lösung==

=Lösung Aufgabe 6.9=
==Aufgabe==
Definieren Sie den Begriff Inneres eines Kreises und beweisen Sie, dass das Innere eines Kreises konvex ist.
==Lösung==
===Definition===
Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math> und dem Radius <math>r</math>. 
Das Innere <math>I(k)</math> des Kreises <math>k</math> wird wie folgt definiert: 

<math>I(k):=\{P|~|PM| \ldots \}</math>.
===Beweis des Satzes===
Satz: <math>A,B \in I(k) \Rightarrow \overline{AB} \subseteq I(k)</math>. 
Für jeden Punkt <math>C\in \overline{AB}</math> ist also zu zeigen, dass <math>\ldots</math>. 
Wir nehmen an, dass .... 
Wegen <math>C\in \overline{AB} </math> gilt die folgende Gleichung ... . 
...

=Lösung Aufgabe 6.10=
==Aufgabe==
Ebene Geometrie:\\
Definition: (Ellipse) 

::Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte und <math>c</math> eine beliebige aber feste positive reelle Zahl. Die folgende Punktmenge <math>E</math> heißt Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math>: <math>E:=\{P|~|PF_1|+|PF_2|=c\}</math>

Lassen Sie mit Geogebra einen Kreis <math>k</math> mit dem Mittelpunkt <math>M</math> und dem Radius <math>r</math> zeichnen. Konstruieren Sie dann einen Punkt <math>F</math> im Inneren von <math>k</math>. Legen Sie nun einen Punkt <math>L</math> auf <math>k</math> fest. Lassen Sie die Mittelsenkrechte <math>m</math> von <math>\overline{PF}</math> zeichnen und bestimmen sie den Schnittpunkt <math>P</math> von <math>m</math> mit <math>\overline{ML}</math>.
Beweisen Sie, dass jeder Schnittpunkt <math>P</math> ein Punkt einer Ellipse mit den Brennpunkten <math>M</math> und <math>F</math> und <math>c=r</math> ist.
==Lösung==

[[Kategorie: Einführung S]]

Lösungen Serie 6 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

2020-06-16T12:38:40Z

N we03: /* Lösung Aufgabe 6.5 */

=Lösung Aufgabe 6.1=
==Aufgabe 6.1==

Bestimmen Sie die folgenden Mengen:

# <math>M_1= \overline{AB} \cap AB^+</math>.
# <math>M_2= \overline{AB} \cup AB^+</math>.
# <math>M_3= \overline{AB} \cap BA^+</math>.
# <math>M_4= \overline{AB} \cup AB^-</math>.
# <math>M_5= \overline{AB} \cap AB^-</math>.
# <math>M_6= \overline{AB} \cup AB^-</math>.
==Lösung==
<math>M_1= \overline{AB}</math> 
<math>M_2= AB^+</math> 
<math>M_3= \overline {AB}</math> 
<math>M_4= BA^+</math> 
<math>M_5=</math>{A} 
<math>M_6= BA^+</math>

===Lösung von Ferrus===
[[Bild:20200615 170032 (2).jpg|600 px]]
===Bemerkungen M.G.===
[[Bild:KorrekturAufgabe6 1.png|800 px]]

=Lösung Aufgabe 6.2=
==Aufgabe==
Definieren Sie den Begriff Halbebene <math>gA^-</math>.
==Lösung==
Es sei g eine Gerade, die mit der Ebene E inzidiert. 
Die Menge aller Punkte P der Ebene E, für die gilt, dass <math>\overline {AP}</math> einen Schnittpunkt mit g hat, heißt Halbebene <math>gA^-</math>.

=Lösung Aufgabe 6.3=
==Aufgabe==
Definition: (Dreieck)
::Es gelte <math>\operatorname{nkoll}(A,B,C)</math>. 
::<math>\overline{ABC}:=\overline{AB} \cup \overline{BC} \cup \overline{AC}</math>. 

Ergänzen Sie die Definition um den Begriff des Inneren des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>. 

<math>I(\overline{ABC}):= \ldots</math>.

==Lösung==
<math>I(\overline{ABC}):= \ldots</math>

=Lösung Aufgabe 6.4=
==Aufgabe==
Beweisen Sie den folgenden Satz: 

Satz 6.1. (Schnitt konvexer Mengen) 

::Die Schnittmenge zweier konvexer Mengen ist konvex.

==Lösung==
Es seien <math>M_1</math> und <math>M_2</math> zwei konvexe Punktmengen ...

=Lösung Aufgabe 6.5=
==Aufgabe==
Beweisen Sie, dass jede Strecke <math>\overline{AB}</math> eine konvexe Menge ist.
==Lösung==
Es seien <math>C</math> und <math>D</math> zwei Punkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
Wir haben zu zeigen, dass jeder Punkt von ....

[[Datei:Serie06Aufgabe6.5.jpg|thumb|Aufgabe 6.05]]

=Lösung Aufgabe 6.6=
==Aufgabe==
Gegeben seien in der Ebene <math>\varepsilon</math> die offene Halbebene <math>gA^+</math>, die Trägergerade <math>g</math> und die offene Halbebene <math>gA^-</math>. Sie dürfen davon ausgehen, dass Folgendes bewiesen wurde:

# <math>gA^+ \cap gA^- = \emptyset \land gA^+ \cap g = \emptyset \land gA^- \cap g = \emptyset</math>,
# <math>gA^+ \cup g \cup gA^- = \varepsilon</math>.

Satz 6.2 (Halbebenen sind konvex) 

:: Halbebenen sind konvexe Punktmengen.

Beweisen Sie Satz 6.2. 

(Das Axiom von Pasch ist hilfreich)
==Lösung==
Wir beginnen mit der Halbebene <math>gA^+</math>. 
Es seien nun <math>P</math> und <math>Q</math> zwei Punkte aus <math>gA^+</math>. 
Wir haben zu zeigen, dass .....

=Lösung Aufgabe 6.7=
==Aufgabe==
Beweisen Sie, dass das Innere eines Dreiecks konvex ist.
==Lösung==
Nach Definition ist das Innere eines Dreiecks die Schnittmenge der drei Halbebenen <math>AB,C^+</math> , <math>BC,A^+</math> und <math>AC,B^+</math>.
Weil Halbebenen nach Satz 6.2 konvex sind 
und nach Satz 6.1 die Schnittmenge zweier konvexer Mengen auch konvex ist, 
ist das Innere eines jeden Dreiecks konvex.

=Lösung Aufgabe 6.8=
==Aufgabe==
Definieren Sie die folgenden Begriffe:

# Kreis <math>k</math> mit Mittelpunkt <math>M</math> und Radius <math>r</math>.
# Halbkreis mit den Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math>.
# Viertelkreis mit den Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math>.

(Halbebenen und Schnittmengen sind hilfreich)
==Lösung==

=Lösung Aufgabe 6.9=
==Aufgabe==
Definieren Sie den Begriff Inneres eines Kreises und beweisen Sie, dass das Innere eines Kreises konvex ist.
==Lösung==
===Definition===
Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math> und dem Radius <math>r</math>. 
Das Innere <math>I(k)</math> des Kreises <math>k</math> wird wie folgt definiert: 

<math>I(k):=\{P|~|PM| \ldots \}</math>.
===Beweis des Satzes===
Satz: <math>A,B \in I(k) \Rightarrow \overline{AB} \subseteq I(k)</math>. 
Für jeden Punkt <math>C\in \overline{AB}</math> ist also zu zeigen, dass <math>\ldots</math>. 
Wir nehmen an, dass .... 
Wegen <math>C\in \overline{AB} </math> gilt die folgende Gleichung ... . 
...

=Lösung Aufgabe 6.10=
==Aufgabe==
Ebene Geometrie:\\
Definition: (Ellipse) 

::Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte und <math>c</math> eine beliebige aber feste positive reelle Zahl. Die folgende Punktmenge <math>E</math> heißt Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math>: <math>E:=\{P|~|PF_1|+|PF_2|=c\}</math>

Lassen Sie mit Geogebra einen Kreis <math>k</math> mit dem Mittelpunkt <math>M</math> und dem Radius <math>r</math> zeichnen. Konstruieren Sie dann einen Punkt <math>F</math> im Inneren von <math>k</math>. Legen Sie nun einen Punkt <math>L</math> auf <math>k</math> fest. Lassen Sie die Mittelsenkrechte <math>m</math> von <math>\overline{PF}</math> zeichnen und bestimmen sie den Schnittpunkt <math>P</math> von <math>m</math> mit <math>\overline{ML}</math>.
Beweisen Sie, dass jeder Schnittpunkt <math>P</math> ein Punkt einer Ellipse mit den Brennpunkten <math>M</math> und <math>F</math> und <math>c=r</math> ist.
==Lösung==

[[Kategorie: Einführung S]]

Datei:Serie06Aufgabe6.6.jpg

2020-06-16T12:36:35Z

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2020-06-16T12:35:33Z

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=={{int:license-header}}==
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Lösungen Serie 6 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

2020-06-16T11:53:57Z

N we03: /* Lösung */

=Lösung Aufgabe 6.1=
==Aufgabe 6.1==

Bestimmen Sie die folgenden Mengen:

# <math>M_1= \overline{AB} \cap AB^+</math>.
# <math>M_2= \overline{AB} \cup AB^+</math>.
# <math>M_3= \overline{AB} \cap BA^+</math>.
# <math>M_4= \overline{AB} \cup AB^-</math>.
# <math>M_5= \overline{AB} \cap AB^-</math>.
# <math>M_6= \overline{AB} \cup AB^-</math>.
==Lösung==
<math>M_1= \overline{AB}</math> 
<math>M_2= AB^+</math> 
<math>M_3= \overline {AB}</math> 
<math>M_4= BA^+</math> 
<math>M_5=</math>{A} 
<math>M_6= BA^+</math>

===Lösung von Ferrus===
[[Bild:20200615 170032 (2).jpg|600 px]]
===Bemerkungen M.G.===
[[Bild:KorrekturAufgabe6 1.png|800 px]]

=Lösung Aufgabe 6.2=
==Aufgabe==
Definieren Sie den Begriff Halbebene <math>gA^-</math>.
==Lösung==
Es sei g eine Gerade, die mit der Ebene E inzidiert. 
Die Menge aller Punkte P der Ebene E, für die gilt, dass <math>\overline {AP}</math> einen Schnittpunkt mit g hat, heißt Halbebene <math>gA^-</math>.

=Lösung Aufgabe 6.3=
==Aufgabe==
Definition: (Dreieck)
::Es gelte <math>\operatorname{nkoll}(A,B,C)</math>. 
::<math>\overline{ABC}:=\overline{AB} \cup \overline{BC} \cup \overline{AC}</math>. 

Ergänzen Sie die Definition um den Begriff des Inneren des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>. 

<math>I(\overline{ABC}):= \ldots</math>.

==Lösung==
<math>I(\overline{ABC}):= \ldots</math>

=Lösung Aufgabe 6.4=
==Aufgabe==
Beweisen Sie den folgenden Satz: 

Satz 6.1. (Schnitt konvexer Mengen) 

::Die Schnittmenge zweier konvexer Mengen ist konvex.

==Lösung==
Es seien <math>M_1</math> und <math>M_2</math> zwei konvexe Punktmengen ...

=Lösung Aufgabe 6.5=
==Aufgabe==
Beweisen Sie, dass jede Strecke <math>\overline{AB}</math> eine konvexe Menge ist.
==Lösung==
Es seien <math>C</math> und <math>D</math> zwei Punkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
Wir haben zu zeigen, dass jeder Punkt von ....

=Lösung Aufgabe 6.6=
==Aufgabe==
Gegeben seien in der Ebene <math>\varepsilon</math> die offene Halbebene <math>gA^+</math>, die Trägergerade <math>g</math> und die offene Halbebene <math>gA^-</math>. Sie dürfen davon ausgehen, dass Folgendes bewiesen wurde:

# <math>gA^+ \cap gA^- = \emptyset \land gA^+ \cap g = \emptyset \land gA^- \cap g = \emptyset</math>,
# <math>gA^+ \cup g \cup gA^- = \varepsilon</math>.

Satz 6.2 (Halbebenen sind konvex) 

:: Halbebenen sind konvexe Punktmengen.

Beweisen Sie Satz 6.2. 

(Das Axiom von Pasch ist hilfreich)
==Lösung==
Wir beginnen mit der Halbebene <math>gA^+</math>. 
Es seien nun <math>P</math> und <math>Q</math> zwei Punkte aus <math>gA^+</math>. 
Wir haben zu zeigen, dass .....

=Lösung Aufgabe 6.7=
==Aufgabe==
Beweisen Sie, dass das Innere eines Dreiecks konvex ist.
==Lösung==
Nach Definition ist das Innere eines Dreiecks die Schnittmenge der drei Halbebenen <math>AB,C^+</math> , <math>BC,A^+</math> und <math>AC,B^+</math>.
Weil Halbebenen nach Satz 6.2 konvex sind 
und nach Satz 6.1 die Schnittmenge zweier konvexer Mengen auch konvex ist, 
ist das Innere eines jeden Dreiecks konvex.

=Lösung Aufgabe 6.8=
==Aufgabe==
Definieren Sie die folgenden Begriffe:

# Kreis <math>k</math> mit Mittelpunkt <math>M</math> und Radius <math>r</math>.
# Halbkreis mit den Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math>.
# Viertelkreis mit den Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math>.

(Halbebenen und Schnittmengen sind hilfreich)
==Lösung==

=Lösung Aufgabe 6.9=
==Aufgabe==
Definieren Sie den Begriff Inneres eines Kreises und beweisen Sie, dass das Innere eines Kreises konvex ist.
==Lösung==
===Definition===
Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math> und dem Radius <math>r</math>. 
Das Innere <math>I(k)</math> des Kreises <math>k</math> wird wie folgt definiert: 

<math>I(k):=\{P|~|PM| \ldots \}</math>.
===Beweis des Satzes===
Satz: <math>A,B \in I(k) \Rightarrow \overline{AB} \subseteq I(k)</math>. 
Für jeden Punkt <math>C\in \overline{AB}</math> ist also zu zeigen, dass <math>\ldots</math>. 
Wir nehmen an, dass .... 
Wegen <math>C\in \overline{AB} </math> gilt die folgende Gleichung ... . 
...

=Lösung Aufgabe 6.10=
==Aufgabe==
Ebene Geometrie:\\
Definition: (Ellipse) 

::Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte und <math>c</math> eine beliebige aber feste positive reelle Zahl. Die folgende Punktmenge <math>E</math> heißt Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math>: <math>E:=\{P|~|PF_1|+|PF_2|=c\}</math>

Lassen Sie mit Geogebra einen Kreis <math>k</math> mit dem Mittelpunkt <math>M</math> und dem Radius <math>r</math> zeichnen. Konstruieren Sie dann einen Punkt <math>F</math> im Inneren von <math>k</math>. Legen Sie nun einen Punkt <math>L</math> auf <math>k</math> fest. Lassen Sie die Mittelsenkrechte <math>m</math> von <math>\overline{PF}</math> zeichnen und bestimmen sie den Schnittpunkt <math>P</math> von <math>m</math> mit <math>\overline{ML}</math>.
Beweisen Sie, dass jeder Schnittpunkt <math>P</math> ein Punkt einer Ellipse mit den Brennpunkten <math>M</math> und <math>F</math> und <math>c=r</math> ist.
==Lösung==

[[Kategorie: Einführung S]]

Lösungen Serie 6 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

2020-06-16T10:45:29Z

N we03: /* Lösung Aufgabe 6.2 */

=Lösung Aufgabe 6.1=
==Aufgabe 6.1==

Bestimmen Sie die folgenden Mengen:

# <math>M_1= \overline{AB} \cap AB^+</math>.
# <math>M_2= \overline{AB} \cup AB^+</math>.
# <math>M_3= \overline{AB} \cap BA^+</math>.
# <math>M_4= \overline{AB} \cup AB^-</math>.
# <math>M_5= \overline{AB} \cap AB^-</math>.
# <math>M_6= \overline{AB} \cup AB^-</math>.
==Lösung==
<math>M_1= \overline{AB}</math> 
<math>M_2= AB^+</math> 
<math>M_3= \overline {AB}</math> 
<math>M_4= BA^+</math> 
<math>M_5=</math>{A} 
<math>M_6= BA^+</math>

===Lösung von Ferrus===
[[Bild:20200615 170032 (2).jpg|600 px]]
===Bemerkungen M.G.===
[[Bild:KorrekturAufgabe6 1.png|800 px]]

=Lösung Aufgabe 6.2=
==Aufgabe==
Definieren Sie den Begriff Halbebene <math>gA^-</math>.
==Lösung==
Es sei g eine Gerade, die mit der Ebene E inzidiert. 
Die Menge aller Punkte P der Ebene E, für die gilt, dass <math>\overline {AP}</math> einen Schnittpunkt mit g hat, heißt Halbebene <math>gA^-</math>.

=Lösung Aufgabe 6.3=
==Aufgabe==
Definition: (Dreieck)
::Es gelte <math>\operatorname{nkoll}(A,B,C)</math>. 
::<math>\overline{ABC}:=\overline{AB} \cup \overline{BC} \cup \overline{AC}</math>. 

Ergänzen Sie die Definition um den Begriff des Inneren des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>. 

<math>I(\overline{ABC}):= \ldots</math>.

==Lösung==
<math>I(\overline{ABC}):= \ldots</math>

=Lösung Aufgabe 6.4=
==Aufgabe==
Beweisen Sie den folgenden Satz: 

Satz 6.1. (Schnitt konvexer Mengen) 

::Die Schnittmenge zweier konvexer Mengen ist konvex.

==Lösung==
Es seien <math>M_1</math> und <math>M_2</math> zwei konvexe Punktmengen ...

=Lösung Aufgabe 6.5=
==Aufgabe==
Beweisen Sie, dass jede Strecke <math>\overline{AB}</math> eine konvexe Menge ist.
==Lösung==
Es seien <math>C</math> und <math>D</math> zwei Punkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
Wir haben zu zeigen, dass jeder Punkt von ....

=Lösung Aufgabe 6.6=
==Aufgabe==
Gegeben seien in der Ebene <math>\varepsilon</math> die offene Halbebene <math>gA^+</math>, die Trägergerade <math>g</math> und die offene Halbebene <math>gA^-</math>. Sie dürfen davon ausgehen, dass Folgendes bewiesen wurde:

# <math>gA^+ \cap gA^- = \emptyset \land gA^+ \cap g = \emptyset \land gA^- \cap g = \emptyset</math>,
# <math>gA^+ \cup g \cup gA^- = \varepsilon</math>.

Satz 6.2 (Halbebenen sind konvex) 

:: Halbebenen sind konvexe Punktmengen.

Beweisen Sie Satz 6.2. 

(Das Axiom von Pasch ist hilfreich)
==Lösung==
Wir beginnen mit der Halbebene <math>gA^+</math>. 
Es seien nun <math>P</math> und <math>Q</math> zwei Punkte aus <math>gA^+</math>. 
Wir haben zu zeigen, dass .....

=Lösung Aufgabe 6.7=
==Aufgabe==
Beweisen Sie, dass das Innere eines Dreiecks konvex ist.
==Lösung==
Nach Definition ist das Innere eines Dreiecks die Schnittmenge von .... 
Weil Halbebenen nach ... 

und nach Satz ... 
ist das Innere eines jeden Dreiecks konvex.

=Lösung Aufgabe 6.8=
==Aufgabe==
Definieren Sie die folgenden Begriffe:

# Kreis <math>k</math> mit Mittelpunkt <math>M</math> und Radius <math>r</math>.
# Halbkreis mit den Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math>.
# Viertelkreis mit den Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math>.

(Halbebenen und Schnittmengen sind hilfreich)
==Lösung==

=Lösung Aufgabe 6.9=
==Aufgabe==
Definieren Sie den Begriff Inneres eines Kreises und beweisen Sie, dass das Innere eines Kreises konvex ist.
==Lösung==
===Definition===
Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math> und dem Radius <math>r</math>. 
Das Innere <math>I(k)</math> des Kreises <math>k</math> wird wie folgt definiert: 

<math>I(k):=\{P|~|PM| \ldots \}</math>.
===Beweis des Satzes===
Satz: <math>A,B \in I(k) \Rightarrow \overline{AB} \subseteq I(k)</math>. 
Für jeden Punkt <math>C\in \overline{AB}</math> ist also zu zeigen, dass <math>\ldots</math>. 
Wir nehmen an, dass .... 
Wegen <math>C\in \overline{AB} </math> gilt die folgende Gleichung ... . 
...

=Lösung Aufgabe 6.10=
==Aufgabe==
Ebene Geometrie:\\
Definition: (Ellipse) 

::Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte und <math>c</math> eine beliebige aber feste positive reelle Zahl. Die folgende Punktmenge <math>E</math> heißt Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math>: <math>E:=\{P|~|PF_1|+|PF_2|=c\}</math>

Lassen Sie mit Geogebra einen Kreis <math>k</math> mit dem Mittelpunkt <math>M</math> und dem Radius <math>r</math> zeichnen. Konstruieren Sie dann einen Punkt <math>F</math> im Inneren von <math>k</math>. Legen Sie nun einen Punkt <math>L</math> auf <math>k</math> fest. Lassen Sie die Mittelsenkrechte <math>m</math> von <math>\overline{PF}</math> zeichnen und bestimmen sie den Schnittpunkt <math>P</math> von <math>m</math> mit <math>\overline{ML}</math>.
Beweisen Sie, dass jeder Schnittpunkt <math>P</math> ein Punkt einer Ellipse mit den Brennpunkten <math>M</math> und <math>F</math> und <math>c=r</math> ist.
==Lösung==

[[Kategorie: Einführung S]]

Lösungen Serie 6 Einführung in die Geometrie SoSe 2020

2020-06-16T10:32:03Z

N we03: /* Lösung Aufgabe 6.1 */

=Lösung Aufgabe 6.1=
==Aufgabe 6.1==

Bestimmen Sie die folgenden Mengen:

# <math>M_1= \overline{AB} \cap AB^+</math>.
# <math>M_2= \overline{AB} \cup AB^+</math>.
# <math>M_3= \overline{AB} \cap BA^+</math>.
# <math>M_4= \overline{AB} \cup AB^-</math>.
# <math>M_5= \overline{AB} \cap AB^-</math>.
# <math>M_6= \overline{AB} \cup AB^-</math>.
==Lösung==
<math>M_1= \overline{AB}</math> 
<math>M_2= AB^+</math> 
<math>M_3= \overline {AB}</math> 
<math>M_4= BA^+</math> 
<math>M_5=</math>{A} 
<math>M_6= BA^+</math>

===Lösung von Ferrus===
[[Bild:20200615 170032 (2).jpg|600 px]]
===Bemerkungen M.G.===
[[Bild:KorrekturAufgabe6 1.png|800 px]]

=Lösung Aufgabe 6.2=
==Aufgabe==
Definieren Sie den Begriff Halbebene <math>gA^-</math>.
==Lösung==

=Lösung Aufgabe 6.3=
==Aufgabe==
Definition: (Dreieck)
::Es gelte <math>\operatorname{nkoll}(A,B,C)</math>. 
::<math>\overline{ABC}:=\overline{AB} \cup \overline{BC} \cup \overline{AC}</math>. 

Ergänzen Sie die Definition um den Begriff des Inneren des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>. 

<math>I(\overline{ABC}):= \ldots</math>.

==Lösung==
<math>I(\overline{ABC}):= \ldots</math>

=Lösung Aufgabe 6.4=
==Aufgabe==
Beweisen Sie den folgenden Satz: 

Satz 6.1. (Schnitt konvexer Mengen) 

::Die Schnittmenge zweier konvexer Mengen ist konvex.

==Lösung==
Es seien <math>M_1</math> und <math>M_2</math> zwei konvexe Punktmengen ...

=Lösung Aufgabe 6.5=
==Aufgabe==
Beweisen Sie, dass jede Strecke <math>\overline{AB}</math> eine konvexe Menge ist.
==Lösung==
Es seien <math>C</math> und <math>D</math> zwei Punkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
Wir haben zu zeigen, dass jeder Punkt von ....

=Lösung Aufgabe 6.6=
==Aufgabe==
Gegeben seien in der Ebene <math>\varepsilon</math> die offene Halbebene <math>gA^+</math>, die Trägergerade <math>g</math> und die offene Halbebene <math>gA^-</math>. Sie dürfen davon ausgehen, dass Folgendes bewiesen wurde:

# <math>gA^+ \cap gA^- = \emptyset \land gA^+ \cap g = \emptyset \land gA^- \cap g = \emptyset</math>,
# <math>gA^+ \cup g \cup gA^- = \varepsilon</math>.

Satz 6.2 (Halbebenen sind konvex) 

:: Halbebenen sind konvexe Punktmengen.

Beweisen Sie Satz 6.2. 

(Das Axiom von Pasch ist hilfreich)
==Lösung==
Wir beginnen mit der Halbebene <math>gA^+</math>. 
Es seien nun <math>P</math> und <math>Q</math> zwei Punkte aus <math>gA^+</math>. 
Wir haben zu zeigen, dass .....

=Lösung Aufgabe 6.7=
==Aufgabe==
Beweisen Sie, dass das Innere eines Dreiecks konvex ist.
==Lösung==
Nach Definition ist das Innere eines Dreiecks die Schnittmenge von .... 
Weil Halbebenen nach ... 

und nach Satz ... 
ist das Innere eines jeden Dreiecks konvex.

=Lösung Aufgabe 6.8=
==Aufgabe==
Definieren Sie die folgenden Begriffe:

# Kreis <math>k</math> mit Mittelpunkt <math>M</math> und Radius <math>r</math>.
# Halbkreis mit den Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math>.
# Viertelkreis mit den Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math>.

(Halbebenen und Schnittmengen sind hilfreich)
==Lösung==

=Lösung Aufgabe 6.9=
==Aufgabe==
Definieren Sie den Begriff Inneres eines Kreises und beweisen Sie, dass das Innere eines Kreises konvex ist.
==Lösung==
===Definition===
Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math> und dem Radius <math>r</math>. 
Das Innere <math>I(k)</math> des Kreises <math>k</math> wird wie folgt definiert: 

<math>I(k):=\{P|~|PM| \ldots \}</math>.
===Beweis des Satzes===
Satz: <math>A,B \in I(k) \Rightarrow \overline{AB} \subseteq I(k)</math>. 
Für jeden Punkt <math>C\in \overline{AB}</math> ist also zu zeigen, dass <math>\ldots</math>. 
Wir nehmen an, dass .... 
Wegen <math>C\in \overline{AB} </math> gilt die folgende Gleichung ... . 
...

=Lösung Aufgabe 6.10=
==Aufgabe==
Ebene Geometrie:\\
Definition: (Ellipse) 

::Es seien <math>F_1</math> und <math>F_2</math> zwei Punkte und <math>c</math> eine beliebige aber feste positive reelle Zahl. Die folgende Punktmenge <math>E</math> heißt Ellipse mit den Brennpunkten <math>F_1</math> und <math>F_2</math>: <math>E:=\{P|~|PF_1|+|PF_2|=c\}</math>

Lassen Sie mit Geogebra einen Kreis <math>k</math> mit dem Mittelpunkt <math>M</math> und dem Radius <math>r</math> zeichnen. Konstruieren Sie dann einen Punkt <math>F</math> im Inneren von <math>k</math>. Legen Sie nun einen Punkt <math>L</math> auf <math>k</math> fest. Lassen Sie die Mittelsenkrechte <math>m</math> von <math>\overline{PF}</math> zeichnen und bestimmen sie den Schnittpunkt <math>P</math> von <math>m</math> mit <math>\overline{ML}</math>.
Beweisen Sie, dass jeder Schnittpunkt <math>P</math> ein Punkt einer Ellipse mit den Brennpunkten <math>M</math> und <math>F</math> und <math>c=r</math> ist.
==Lösung==

[[Kategorie: Einführung S]]

Lösungen Serie 5 SoSe 2020

2020-06-12T13:20:09Z

N we03: /* 6.07 */

=Aufgabe 6.02=
[[Bild:Lösungen 6.02.jpg|500px]]

==Anfrage von Ferrus==
nun, ich habe mir noch etwas Gedanken gemacht zu meiner Lösung 6.02. Ich bin zum Entschluss gekommen, dass es vielleicht geschickter gewesen wäre, Strecken als Punktmengen zu behandeln, da somit die Definition eindeutiger wäre. Was sagen Sie dazu Herr Gieding? (Änderung 31.05.2020 22:29)

==Antwort==
Ja, Strecken werden üblicherweise als Punktmengen definiert. Hier die formale Definition: <math>\overline{AB}:=\{P|~|AP|+|PB|=|AB|\cup \{A,B\}\}</math>. 
Was bedeutet diese Definition in "einfachen Worten"?--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:27, 3. Jun. 2020 (CEST)

==anderer Lösungsvorschlag==
a) Die Menge aller Punkte, die zwischen den Punkten A und B liegen, heißt offene Strecke. 
b) Die Menge aller Punkte einer offenen Strecke und der Endpunkte A und B heißt geschlossene Strecke. 
c) Die Menge aller Punkte einer offenen Strecke und genau einem der beiden Endpunkte A und B heißt halboffene Strecke. 
d) Der Abstand der Endpunkte einer Strecke <math>|AB|</math> ist die Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
e) Der Punkt M einer Strecke <math>\overline{AB}</math>, für den <math>|AM|=|MB|</math> gilt, heißt Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
f) Die Punkte <math>V_1</math>, <math>M</math> und <math>V_2</math> einer Strecke <math>\overline{AB}</math>, mit <math>M</math> als Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>, für die <math>|AV_1|=|V_1M|=|MV_2|=|V_2B|</math> gilt, heißen Viertelpunkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

=Aufgabe 6.03=
[[Bild: Aufgaben_Serie_6.03.jpg|500px]]
[[Datei: [[Datei:87D83B07-F0EB-4E9E-825C-275E590975CF.jpeg|thumb|Aufgabe 6.03]]]]
==Bemerkung==
Es handelt sich aus der Sicht der Mathematikdidaktik um eine sogenannte informelle Definition. Schon ein wenig mehr als nur rein intuitiv verstanden, aber aus Sicht des formalen Mathematikers formal nicht ganz korrekt, da etwa der Begriff Richtung noch nicht sauber formuliert wurde. Entweder wir definieren jetzt was eine "Richtung" ist oder versuchen es mit einem anderen bereits definierten Begriff. Da wäre wohl nur "liegt zwischen" im Angebot. 
Das "Herantasten" an eine formal korrekte Definition über ein informelle Definition ist wichtig, kennzeichnet dieser Weg doch ein Verständnis für den Begriff. Das Formale ist dann eigentlich "nur" noch Übersetzung.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:40, 3. Jun. 2020 (CEST)
==Andere Herangehensweise==
Der Begriff der Richtung ist nicht ganz einfach. Der Mathematiker definiert Richtung anders als wir es umgangssprachlich tun würden. Eine Richtung ist in der Mathematik eine Äquivalenzklasse zueinander paralleler Geraden. Das was wir jetzt noch brächten wäre eigentlich der sogenannte Richtungssinn: nach links, nach rechts, nach oben, nach unten. Wir sehen, dass dieser Begriff ein paar Schwierigkeiten mit sich bringt, da man einen Richtungsinn auf einer Geraden irgendwie vor dem anderen auszeichnen müsste. 
Es geht aber auch über die Relation "zwischen" ... .--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:46, 3. Jun. 2020 (CEST) 
Zum Experimentieren: Halbgeraden über die Zwischenrelation:
<ggb_applet width="800" height="600" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=Aufgabe 6.04=
Bei der Zerlegung einer Geraden AB in zwei Halbgeraden <math>AB+</math> und <math>AB-</math> ist der Punkt A in beiden Halbgeraden und in diesem Fall in beiden Teilmengen enthalten. Somit gilt Bedingung (III) nicht, welche besagt dass jedes Element nur in einer Teilmenge enthalten sein darf. Da nicht alle drei Bedingungen erfüllt sind, liegt keine Klasseneinteilung vor.

=Aufgabe 6.05=
[[Bild:Aufgaben_Serie_6.05.jpg| 500px]]
==Reicht das?==
Es gibt ja nur noch eine weitere Möglichkeit. Streng genommen müssen Sie diese Möglichkeit im Beweis berücksichtigen. Es ist aber abzusehen, dass in diesem beweis nur ein paar Punktbezeichnungen anders sind. Also verweisen wir auf den Fall und sagen "Beweis analog".--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:34, 3. Jun. 2020 (CEST)

=Aufgabe 6.06=
[[Bild:Aufgaben_Serie_6.06.jpg|500px]] 
Sieht gut aus. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 12:08, 3. Jun. 2020 (CEST) 

Hier eine Variante mit Geogebra: [https://www.geogebra.org/classic/jqcqgttd Ellipse mit zwei Kreisen in Geogebra]

=Aufgabe 6.07 und 6.08=
[[Datei:Aufgaben Serie 6.07+6.08.jpg|500px]]

==anderer Lösungsvorschlag==
===6.07===
Für C ist Element von <math>AB+</math> muss entweder zw(A,B,C) oder zw(A,C,B) gelten.
Da |AB|<|AC| kann |AC|+|CB|=|AB| nicht gelten, weil |CB| nicht negativ sein kann (Axiom II.1). zw(A,C,B) kann folglich nicht gelten. Da von drei paarweise verschiedenen kollinearen Punkten immer genau einer zwischen den anderen beiden liegt, muss zw(A,B,C) gelten.

===6.08===
Voraussetzung: Die Geraden g und h haben genau einen Schnittpunkt. 
Behauptung: Die Geraden sind komplanar. 
Beweis: 
(1) Es existiert der Schnittpunkt S der beiden Geraden g und h. (V) 
(2) Es existieren die Punkte <math>P_g</math>, der mit g inzidiert, und <math>P_h</math>, der mit h inzidiert. <math>P_g</math> und <math>P_h</math> sind verschieden von S.(Axiom I.2) 
(3) Es gilt <math>nkoll(S,P_h,P_g)</math> (V) 
(4) Es existiert eine Ebene E, die diese drei Punkte enthällt. (1, 2, 3, Axiom I.4) 
(5) Die Geraden g und h sind in der Ebene E enthalten (4, Axiom I.5) 
(6) g und h sind komplanar (5)
[[Kategorie: Einführung S]]
[[Datei: [[Datei:4C0A3C2C-0A54-444C-AB2F-2C7EF9EBD672.jpeg|thumb|Aufgabe 6.07]]]]

Lösungen Serie 5 SoSe 2020

2020-06-12T09:04:17Z

N we03: /* Aufgabe 6.04 */

=Aufgabe 6.02=
[[Bild:Lösungen 6.02.jpg|500px]]

==Anfrage von Ferrus==
nun, ich habe mir noch etwas Gedanken gemacht zu meiner Lösung 6.02. Ich bin zum Entschluss gekommen, dass es vielleicht geschickter gewesen wäre, Strecken als Punktmengen zu behandeln, da somit die Definition eindeutiger wäre. Was sagen Sie dazu Herr Gieding? (Änderung 31.05.2020 22:29)

==Antwort==
Ja, Strecken werden üblicherweise als Punktmengen definiert. Hier die formale Definition: <math>\overline{AB}:=\{P|~|AP|+|PB|=|AB|\cup \{A,B\}\}</math>. 
Was bedeutet diese Definition in "einfachen Worten"?--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:27, 3. Jun. 2020 (CEST)

==anderer Lösungsvorschlag==
a) Die Menge aller Punkte, die zwischen den Punkten A und B liegen, heißt offene Strecke. 
b) Die Menge aller Punkte einer offenen Strecke und der Endpunkte A und B heißt geschlossene Strecke. 
c) Die Menge aller Punkte einer offenen Strecke und genau einem der beiden Endpunkte A und B heißt halboffene Strecke. 
d) Der Abstand der Endpunkte einer Strecke <math>|AB|</math> ist die Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
e) Der Punkt M einer Strecke <math>\overline{AB}</math>, für den <math>|AM|=|MB|</math> gilt, heißt Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
f) Die Punkte <math>V_1</math>, <math>M</math> und <math>V_2</math> einer Strecke <math>\overline{AB}</math>, mit <math>M</math> als Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>, für die <math>|AV_1|=|V_1M|=|MV_2|=|V_2B|</math> gilt, heißen Viertelpunkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

=Aufgabe 6.03=
[[Bild: Aufgaben_Serie_6.03.jpg|500px]]
[[Datei: [[Datei:87D83B07-F0EB-4E9E-825C-275E590975CF.jpeg|thumb|Aufgabe 6.03]]]]
==Bemerkung==
Es handelt sich aus der Sicht der Mathematikdidaktik um eine sogenannte informelle Definition. Schon ein wenig mehr als nur rein intuitiv verstanden, aber aus Sicht des formalen Mathematikers formal nicht ganz korrekt, da etwa der Begriff Richtung noch nicht sauber formuliert wurde. Entweder wir definieren jetzt was eine "Richtung" ist oder versuchen es mit einem anderen bereits definierten Begriff. Da wäre wohl nur "liegt zwischen" im Angebot. 
Das "Herantasten" an eine formal korrekte Definition über ein informelle Definition ist wichtig, kennzeichnet dieser Weg doch ein Verständnis für den Begriff. Das Formale ist dann eigentlich "nur" noch Übersetzung.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:40, 3. Jun. 2020 (CEST)
==Andere Herangehensweise==
Der Begriff der Richtung ist nicht ganz einfach. Der Mathematiker definiert Richtung anders als wir es umgangssprachlich tun würden. Eine Richtung ist in der Mathematik eine Äquivalenzklasse zueinander paralleler Geraden. Das was wir jetzt noch brächten wäre eigentlich der sogenannte Richtungssinn: nach links, nach rechts, nach oben, nach unten. Wir sehen, dass dieser Begriff ein paar Schwierigkeiten mit sich bringt, da man einen Richtungsinn auf einer Geraden irgendwie vor dem anderen auszeichnen müsste. 
Es geht aber auch über die Relation "zwischen" ... .--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:46, 3. Jun. 2020 (CEST) 
Zum Experimentieren: Halbgeraden über die Zwischenrelation:
<ggb_applet width="800" height="600" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=Aufgabe 6.04=
Bei der Zerlegung einer Geraden AB in zwei Halbgeraden <math>AB+</math> und <math>AB-</math> ist der Punkt A in beiden Halbgeraden und in diesem Fall in beiden Teilmengen enthalten. Somit gilt Bedingung (III) nicht, welche besagt dass jedes Element nur in einer Teilmenge enthalten sein darf. Da nicht alle drei Bedingungen erfüllt sind, liegt keine Klasseneinteilung vor.

=Aufgabe 6.05=
[[Bild:Aufgaben_Serie_6.05.jpg| 500px]]
==Reicht das?==
Es gibt ja nur noch eine weitere Möglichkeit. Streng genommen müssen Sie diese Möglichkeit im Beweis berücksichtigen. Es ist aber abzusehen, dass in diesem beweis nur ein paar Punktbezeichnungen anders sind. Also verweisen wir auf den Fall und sagen "Beweis analog".--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:34, 3. Jun. 2020 (CEST)

=Aufgabe 6.06=
[[Bild:Aufgaben_Serie_6.06.jpg|500px]] 
Sieht gut aus. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 12:08, 3. Jun. 2020 (CEST) 

Hier eine Variante mit Geogebra: [https://www.geogebra.org/classic/jqcqgttd Ellipse mit zwei Kreisen in Geogebra]

=Aufgabe 6.07 und 6.08=
[[Datei:Aufgaben Serie 6.07+6.08.jpg|500px]]

==anderer Lösungsvorschlag==
===6.07===
Für C ist Element von <math>AB+</math> kann zw(A,B,C) oder zw(A,C,B) gelten.
Da |AB|<|AC| kann |AC|+|CB|=|AB| nicht gelten, weil |CB| nicht negativ sein kann (Axiom II.1). zw(A,C,B) kann folglich nicht gelten. Da von drei paarweise verschiedenen kollinearen Punkten immer genau einer zwischen den anderen beiden liegt, muss zw(A,B,C) gelten.

===6.08===
Voraussetzung: Die Geraden g und h haben genau einen Schnittpunkt. 
Behauptung: Die Geraden sind komplanar. 
Beweis: 
(1) Es existiert der Schnittpunkt S der beiden Geraden g und h. (V) 
(2) Es existieren die Punkte <math>P_g</math>, der mit g inzidiert, und <math>P_h</math>, der mit h inzidiert. <math>P_g</math> und <math>P_h</math> sind verschieden von S.(Axiom I.2) 
(3) Es gilt <math>nkoll(S,P_h,P_g)</math> (V) 
(4) Es existiert eine Ebene E, die diese drei Punkte enthällt. (1, 2, 3, Axiom I.4) 
(5) Die Geraden g und h sind in der Ebene E enthalten (4, Axiom I.5) 
(6) g und h sind komplanar (5)
[[Kategorie: Einführung S]]
[[Datei: [[Datei:4C0A3C2C-0A54-444C-AB2F-2C7EF9EBD672.jpeg|thumb|Aufgabe 6.07]]]]

Lösungen Serie 5 SoSe 2020

2020-06-04T12:01:14Z

N we03: /* anderer Lösungsvorschlag zu 6.07 */

=Aufgabe 6.02=
[[Bild:Lösungen 6.02.jpg|500px]]

==Anfrage von Ferrus==
nun, ich habe mir noch etwas Gedanken gemacht zu meiner Lösung 6.02. Ich bin zum Entschluss gekommen, dass es vielleicht geschickter gewesen wäre, Strecken als Punktmengen zu behandeln, da somit die Definition eindeutiger wäre. Was sagen Sie dazu Herr Gieding? (Änderung 31.05.2020 22:29)

==Antwort==
Ja, Strecken werden üblicherweise als Punktmengen definiert. Hier die formale Definition: <math>\overline{AB}:=\{P|~|AP|+|PB|=|AB|\cup \{A,B\}\}</math>. 
Was bedeutet diese Definition in "einfachen Worten"?--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:27, 3. Jun. 2020 (CEST)

==anderer Lösungsvorschlag==
a) Die Menge aller Punkte, die zwischen den Punkten A und B liegen, heißt offene Strecke. 
b) Die Menge aller Punkte einer offenen Strecke und der Endpunkte A und B heißt geschlossene Strecke. 
c) Die Menge aller Punkte einer offenen Strecke und genau einem der beiden Endpunkte A und B heißt halboffene Strecke. 
d) Der Abstand der Endpunkte einer Strecke <math>|AB|</math> ist die Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
e) Der Punkt M einer Strecke <math>\overline{AB}</math>, für den <math>|AM|=|MB|</math> gilt, heißt Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
f) Die Punkte <math>V_1</math>, <math>M</math> und <math>V_2</math> einer Strecke <math>\overline{AB}</math>, mit <math>M</math> als Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>, für die <math>|AV_1|=|V_1M|=|MV_2|=|V_2B|</math> gilt, heißen Viertelpunkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

=Aufgabe 6.03=
[[Bild: Aufgaben_Serie_6.03.jpg|500px]]
==Bemerkung==
Es handelt sich aus der Sicht der Mathematikdidaktik um eine sogenannte informelle Definition. Schon ein wenig mehr als nur rein intuitiv verstanden, aber aus Sicht des formalen Mathematikers formal nicht ganz korrekt, da etwa der Begriff Richtung noch nicht sauber formuliert wurde. Entweder wir definieren jetzt was eine "Richtung" ist oder versuchen es mit einem anderen bereits definierten Begriff. Da wäre wohl nur "liegt zwischen" im Angebot. 
Das "Herantasten" an eine formal korrekte Definition über ein informelle Definition ist wichtig, kennzeichnet dieser Weg doch ein Verständnis für den Begriff. Das Formale ist dann eigentlich "nur" noch Übersetzung.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:40, 3. Jun. 2020 (CEST)
==Andere Herangehensweise==
Der Begriff der Richtung ist nicht ganz einfach. Der Mathematiker definiert Richtung anders als wir es umgangssprachlich tun würden. Eine Richtung ist in der Mathematik eine Äquivalenzklasse zueinander paralleler Geraden. Das was wir jetzt noch brächten wäre eigentlich der sogenannte Richtungssinn: nach links, nach rechts, nach oben, nach unten. Wir sehen, dass dieser Begriff ein paar Schwierigkeiten mit sich bringt, da man einen Richtungsinn auf einer Geraden irgendwie vor dem anderen auszeichnen müsste. 
Es geht aber auch über die Relation "zwischen" ... .--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:46, 3. Jun. 2020 (CEST) 
Zum Experimentieren: Halbgeraden über die Zwischenrelation:
<ggb_applet width="800" height="600" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=Aufgabe 6.04=
Bei der Zerlegung einer Geraden AB in zwei Halbgeraden <math>AB+</math> und <math>AB-</math> ist die Menge aller Punkte zwischen A und B sowie die Punkte A und B in beiden Halbgeraden und in diesem Fall in beiden Teilmengen enthalten. Somit gilt Bedingung (III) nicht, welche besagt dass jedes Element nur in einer Teilmenge enthalten sein darf. Da nicht alle drei Bedingungen erfüllt sind, liegt keine Klasseneinteilung vor.

=Aufgabe 6.05=
[[Bild:Aufgaben_Serie_6.05.jpg| 500px]]
==Reicht das?==
Es gibt ja nur noch eine weitere Möglichkeit. Streng genommen müssen Sie diese Möglichkeit im Beweis berücksichtigen. Es ist aber abzusehen, dass in diesem beweis nur ein paar Punktbezeichnungen anders sind. Also verweisen wir auf den Fall und sagen "Beweis analog".--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:34, 3. Jun. 2020 (CEST)

=Aufgabe 6.06=
[[Bild:Aufgaben_Serie_6.06.jpg|500px]] 
Sieht gut aus. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 12:08, 3. Jun. 2020 (CEST) 

Hier eine Variante mit Geogebra: [https://www.geogebra.org/classic/jqcqgttd Ellipse mit zwei Kreisen in Geogebra]

=Aufgabe 6.07 und 6.08=
[[Datei:Aufgaben Serie 6.07+6.08.jpg|500px]]

==anderer Lösungsvorschlag==
===6.07===
Für C ist Element von <math>AB+</math> kann zw(A,B,C) oder zw(A,C,B) gelten.
Da |AB|<|AC| kann |AC|+|CB|=|AB| nicht gelten, weil |CB| nicht negativ sein kann (Axiom II.1). zw(A,C,B) kann folglich nicht gelten. Da von drei paarweise verschiedenen kollinearen Punkten immer genau einer zwischen den anderen beiden liegt, muss zw(A,B,C) gelten.

===6.08===
Voraussetzung: Die Geraden g und h haben genau einen Schnittpunkt. 
Behauptung: Die Geraden sind komplanar. 
Beweis: 
(1) Es existiert der Schnittpunkt S der beiden Geraden g und h. (V) 
(2) Es existieren die Punkte <math>P_g</math>, der mit g inzidiert, und <math>P_h</math>, der mit h inzidiert. <math>P_g</math> und <math>P_h</math> sind verschieden von S.(Axiom I.2) 
(3) Es gilt <math>nkoll(S,P_h,P_g)</math> (V) 
(4) Es existiert eine Ebene E, die diese drei Punkte enthällt. (1, 2, 3, Axiom I.4) 
(5) Die Geraden g und h sind in der Ebene E enthalten (4, Axiom I.5) 
(6) g und h sind komplanar (5)
[[Kategorie: Einführung S]]

Lösungen Serie 5 SoSe 2020

2020-06-04T11:47:51Z

N we03: /* Aufgabe 6.07 und 6.08 */

=Aufgabe 6.02=
[[Bild:Lösungen 6.02.jpg|500px]]

==Anfrage von Ferrus==
nun, ich habe mir noch etwas Gedanken gemacht zu meiner Lösung 6.02. Ich bin zum Entschluss gekommen, dass es vielleicht geschickter gewesen wäre, Strecken als Punktmengen zu behandeln, da somit die Definition eindeutiger wäre. Was sagen Sie dazu Herr Gieding? (Änderung 31.05.2020 22:29)

==Antwort==
Ja, Strecken werden üblicherweise als Punktmengen definiert. Hier die formale Definition: <math>\overline{AB}:=\{P|~|AP|+|PB|=|AB|\cup \{A,B\}\}</math>. 
Was bedeutet diese Definition in "einfachen Worten"?--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:27, 3. Jun. 2020 (CEST)

==anderer Lösungsvorschlag==
a) Die Menge aller Punkte, die zwischen den Punkten A und B liegen, heißt offene Strecke. 
b) Die Menge aller Punkte einer offenen Strecke und der Endpunkte A und B heißt geschlossene Strecke. 
c) Die Menge aller Punkte einer offenen Strecke und genau einem der beiden Endpunkte A und B heißt halboffene Strecke. 
d) Der Abstand der Endpunkte einer Strecke <math>|AB|</math> ist die Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
e) Der Punkt M einer Strecke <math>\overline{AB}</math>, für den <math>|AM|=|MB|</math> gilt, heißt Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
f) Die Punkte <math>V_1</math>, <math>M</math> und <math>V_2</math> einer Strecke <math>\overline{AB}</math>, mit <math>M</math> als Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>, für die <math>|AV_1|=|V_1M|=|MV_2|=|V_2B|</math> gilt, heißen Viertelpunkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

=Aufgabe 6.03=
[[Bild: Aufgaben_Serie_6.03.jpg|500px]]
==Bemerkung==
Es handelt sich aus der Sicht der Mathematikdidaktik um eine sogenannte informelle Definition. Schon ein wenig mehr als nur rein intuitiv verstanden, aber aus Sicht des formalen Mathematikers formal nicht ganz korrekt, da etwa der Begriff Richtung noch nicht sauber formuliert wurde. Entweder wir definieren jetzt was eine "Richtung" ist oder versuchen es mit einem anderen bereits definierten Begriff. Da wäre wohl nur "liegt zwischen" im Angebot. 
Das "Herantasten" an eine formal korrekte Definition über ein informelle Definition ist wichtig, kennzeichnet dieser Weg doch ein Verständnis für den Begriff. Das Formale ist dann eigentlich "nur" noch Übersetzung.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:40, 3. Jun. 2020 (CEST)
==Andere Herangehensweise==
Der Begriff der Richtung ist nicht ganz einfach. Der Mathematiker definiert Richtung anders als wir es umgangssprachlich tun würden. Eine Richtung ist in der Mathematik eine Äquivalenzklasse zueinander paralleler Geraden. Das was wir jetzt noch brächten wäre eigentlich der sogenannte Richtungssinn: nach links, nach rechts, nach oben, nach unten. Wir sehen, dass dieser Begriff ein paar Schwierigkeiten mit sich bringt, da man einen Richtungsinn auf einer Geraden irgendwie vor dem anderen auszeichnen müsste. 
Es geht aber auch über die Relation "zwischen" ... .--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:46, 3. Jun. 2020 (CEST) 
Zum Experimentieren: Halbgeraden über die Zwischenrelation:
<ggb_applet width="800" height="600" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=Aufgabe 6.04=
Bei der Zerlegung einer Geraden AB in zwei Halbgeraden <math>AB+</math> und <math>AB-</math> ist die Menge aller Punkte zwischen A und B sowie die Punkte A und B in beiden Halbgeraden und in diesem Fall in beiden Teilmengen enthalten. Somit gilt Bedingung (III) nicht, welche besagt dass jedes Element nur in einer Teilmenge enthalten sein darf. Da nicht alle drei Bedingungen erfüllt sind, liegt keine Klasseneinteilung vor.

=Aufgabe 6.05=
[[Bild:Aufgaben_Serie_6.05.jpg| 500px]]
==Reicht das?==
Es gibt ja nur noch eine weitere Möglichkeit. Streng genommen müssen Sie diese Möglichkeit im Beweis berücksichtigen. Es ist aber abzusehen, dass in diesem beweis nur ein paar Punktbezeichnungen anders sind. Also verweisen wir auf den Fall und sagen "Beweis analog".--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:34, 3. Jun. 2020 (CEST)

=Aufgabe 6.06=
[[Bild:Aufgaben_Serie_6.06.jpg|500px]] 
Sieht gut aus. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 12:08, 3. Jun. 2020 (CEST) 

Hier eine Variante mit Geogebra: [https://www.geogebra.org/classic/jqcqgttd Ellipse mit zwei Kreisen in Geogebra]

=Aufgabe 6.07 und 6.08=
[[Datei:Aufgaben Serie 6.07+6.08.jpg|500px]]

==anderer Lösungsvorschlag zu 6.07==
Für C ist Element von <math>AB+</math> kann zw(A,B,C) oder zw(A,C,B) gelten.
Da |AB|<|AC| kann |AC|+|CB|=|AB| nicht gelten, weil |CB| nicht negativ sein kann (Axiom II.1). zw(A,C,B) kann folglich nicht gelten. Da von drei paarweise verschiedenen kollinearen Punkten immer genau einer zwischen den anderen beiden liegt, muss zw(A,B,C) gelten.

[[Kategorie: Einführung S]]

Lösungen Serie 5 SoSe 2020

2020-06-04T11:33:25Z

N we03: /* Aufgabe 6.04 */

=Aufgabe 6.02=
[[Bild:Lösungen 6.02.jpg|500px]]

==Anfrage von Ferrus==
nun, ich habe mir noch etwas Gedanken gemacht zu meiner Lösung 6.02. Ich bin zum Entschluss gekommen, dass es vielleicht geschickter gewesen wäre, Strecken als Punktmengen zu behandeln, da somit die Definition eindeutiger wäre. Was sagen Sie dazu Herr Gieding? (Änderung 31.05.2020 22:29)

==Antwort==
Ja, Strecken werden üblicherweise als Punktmengen definiert. Hier die formale Definition: <math>\overline{AB}:=\{P|~|AP|+|PB|=|AB|\cup \{A,B\}\}</math>. 
Was bedeutet diese Definition in "einfachen Worten"?--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:27, 3. Jun. 2020 (CEST)

==anderer Lösungsvorschlag==
a) Die Menge aller Punkte, die zwischen den Punkten A und B liegen, heißt offene Strecke. 
b) Die Menge aller Punkte einer offenen Strecke und der Endpunkte A und B heißt geschlossene Strecke. 
c) Die Menge aller Punkte einer offenen Strecke und genau einem der beiden Endpunkte A und B heißt halboffene Strecke. 
d) Der Abstand der Endpunkte einer Strecke <math>|AB|</math> ist die Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
e) Der Punkt M einer Strecke <math>\overline{AB}</math>, für den <math>|AM|=|MB|</math> gilt, heißt Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
f) Die Punkte <math>V_1</math>, <math>M</math> und <math>V_2</math> einer Strecke <math>\overline{AB}</math>, mit <math>M</math> als Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>, für die <math>|AV_1|=|V_1M|=|MV_2|=|V_2B|</math> gilt, heißen Viertelpunkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

=Aufgabe 6.03=
[[Bild: Aufgaben_Serie_6.03.jpg|500px]]
==Bemerkung==
Es handelt sich aus der Sicht der Mathematikdidaktik um eine sogenannte informelle Definition. Schon ein wenig mehr als nur rein intuitiv verstanden, aber aus Sicht des formalen Mathematikers formal nicht ganz korrekt, da etwa der Begriff Richtung noch nicht sauber formuliert wurde. Entweder wir definieren jetzt was eine "Richtung" ist oder versuchen es mit einem anderen bereits definierten Begriff. Da wäre wohl nur "liegt zwischen" im Angebot. 
Das "Herantasten" an eine formal korrekte Definition über ein informelle Definition ist wichtig, kennzeichnet dieser Weg doch ein Verständnis für den Begriff. Das Formale ist dann eigentlich "nur" noch Übersetzung.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:40, 3. Jun. 2020 (CEST)
==Andere Herangehensweise==
Der Begriff der Richtung ist nicht ganz einfach. Der Mathematiker definiert Richtung anders als wir es umgangssprachlich tun würden. Eine Richtung ist in der Mathematik eine Äquivalenzklasse zueinander paralleler Geraden. Das was wir jetzt noch brächten wäre eigentlich der sogenannte Richtungssinn: nach links, nach rechts, nach oben, nach unten. Wir sehen, dass dieser Begriff ein paar Schwierigkeiten mit sich bringt, da man einen Richtungsinn auf einer Geraden irgendwie vor dem anderen auszeichnen müsste. 
Es geht aber auch über die Relation "zwischen" ... .--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:46, 3. Jun. 2020 (CEST) 
Zum Experimentieren: Halbgeraden über die Zwischenrelation:
<ggb_applet width="800" height="600" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=Aufgabe 6.04=
Bei der Zerlegung einer Geraden AB in zwei Halbgeraden <math>AB+</math> und <math>AB-</math> ist die Menge aller Punkte zwischen A und B sowie die Punkte A und B in beiden Halbgeraden und in diesem Fall in beiden Teilmengen enthalten. Somit gilt Bedingung (III) nicht, welche besagt dass jedes Element nur in einer Teilmenge enthalten sein darf. Da nicht alle drei Bedingungen erfüllt sind, liegt keine Klasseneinteilung vor.

=Aufgabe 6.05=
[[Bild:Aufgaben_Serie_6.05.jpg| 500px]]
==Reicht das?==
Es gibt ja nur noch eine weitere Möglichkeit. Streng genommen müssen Sie diese Möglichkeit im Beweis berücksichtigen. Es ist aber abzusehen, dass in diesem beweis nur ein paar Punktbezeichnungen anders sind. Also verweisen wir auf den Fall und sagen "Beweis analog".--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:34, 3. Jun. 2020 (CEST)

=Aufgabe 6.06=
[[Bild:Aufgaben_Serie_6.06.jpg|500px]] 
Sieht gut aus. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 12:08, 3. Jun. 2020 (CEST) 

Hier eine Variante mit Geogebra: [https://www.geogebra.org/classic/jqcqgttd Ellipse mit zwei Kreisen in Geogebra]

=Aufgabe 6.07 und 6.08=
[[Datei:Aufgaben Serie 6.07+6.08.jpg|500px]]

[[Kategorie: Einführung S]]

Lösungen Serie 5 SoSe 2020

2020-06-04T11:32:03Z

N we03: /* Aufgabe 6.05 */

=Aufgabe 6.02=
[[Bild:Lösungen 6.02.jpg|500px]]

==Anfrage von Ferrus==
nun, ich habe mir noch etwas Gedanken gemacht zu meiner Lösung 6.02. Ich bin zum Entschluss gekommen, dass es vielleicht geschickter gewesen wäre, Strecken als Punktmengen zu behandeln, da somit die Definition eindeutiger wäre. Was sagen Sie dazu Herr Gieding? (Änderung 31.05.2020 22:29)

==Antwort==
Ja, Strecken werden üblicherweise als Punktmengen definiert. Hier die formale Definition: <math>\overline{AB}:=\{P|~|AP|+|PB|=|AB|\cup \{A,B\}\}</math>. 
Was bedeutet diese Definition in "einfachen Worten"?--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:27, 3. Jun. 2020 (CEST)

==anderer Lösungsvorschlag==
a) Die Menge aller Punkte, die zwischen den Punkten A und B liegen, heißt offene Strecke. 
b) Die Menge aller Punkte einer offenen Strecke und der Endpunkte A und B heißt geschlossene Strecke. 
c) Die Menge aller Punkte einer offenen Strecke und genau einem der beiden Endpunkte A und B heißt halboffene Strecke. 
d) Der Abstand der Endpunkte einer Strecke <math>|AB|</math> ist die Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
e) Der Punkt M einer Strecke <math>\overline{AB}</math>, für den <math>|AM|=|MB|</math> gilt, heißt Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
f) Die Punkte <math>V_1</math>, <math>M</math> und <math>V_2</math> einer Strecke <math>\overline{AB}</math>, mit <math>M</math> als Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>, für die <math>|AV_1|=|V_1M|=|MV_2|=|V_2B|</math> gilt, heißen Viertelpunkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

=Aufgabe 6.03=
[[Bild: Aufgaben_Serie_6.03.jpg|500px]]
==Bemerkung==
Es handelt sich aus der Sicht der Mathematikdidaktik um eine sogenannte informelle Definition. Schon ein wenig mehr als nur rein intuitiv verstanden, aber aus Sicht des formalen Mathematikers formal nicht ganz korrekt, da etwa der Begriff Richtung noch nicht sauber formuliert wurde. Entweder wir definieren jetzt was eine "Richtung" ist oder versuchen es mit einem anderen bereits definierten Begriff. Da wäre wohl nur "liegt zwischen" im Angebot. 
Das "Herantasten" an eine formal korrekte Definition über ein informelle Definition ist wichtig, kennzeichnet dieser Weg doch ein Verständnis für den Begriff. Das Formale ist dann eigentlich "nur" noch Übersetzung.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:40, 3. Jun. 2020 (CEST)
==Andere Herangehensweise==
Der Begriff der Richtung ist nicht ganz einfach. Der Mathematiker definiert Richtung anders als wir es umgangssprachlich tun würden. Eine Richtung ist in der Mathematik eine Äquivalenzklasse zueinander paralleler Geraden. Das was wir jetzt noch brächten wäre eigentlich der sogenannte Richtungssinn: nach links, nach rechts, nach oben, nach unten. Wir sehen, dass dieser Begriff ein paar Schwierigkeiten mit sich bringt, da man einen Richtungsinn auf einer Geraden irgendwie vor dem anderen auszeichnen müsste. 
Es geht aber auch über die Relation "zwischen" ... .--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:46, 3. Jun. 2020 (CEST) 
Zum Experimentieren: Halbgeraden über die Zwischenrelation:
<ggb_applet width="800" height="600" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=Aufgabe 6.04=
Bei der Zerlegung einer Geraden AB in zwei Halbgeraden <math>AB+</math> und <math>AB-</math> ist die Menge aller Punkte zwischen A und B sowie die Punkte A und B in beiden Halbgeraden und in diesem Fall in beiden Teilmengen enthalten. Somit gilt Bedingung (III) nicht. Da nicht alle drei Bedingungen erfüllt sind, liegt keine Klasseneinteilung vor.
=Aufgabe 6.05=
[[Bild:Aufgaben_Serie_6.05.jpg| 500px]]
==Reicht das?==
Es gibt ja nur noch eine weitere Möglichkeit. Streng genommen müssen Sie diese Möglichkeit im Beweis berücksichtigen. Es ist aber abzusehen, dass in diesem beweis nur ein paar Punktbezeichnungen anders sind. Also verweisen wir auf den Fall und sagen "Beweis analog".--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:34, 3. Jun. 2020 (CEST)

=Aufgabe 6.06=
[[Bild:Aufgaben_Serie_6.06.jpg|500px]] 
Sieht gut aus. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 12:08, 3. Jun. 2020 (CEST) 

Hier eine Variante mit Geogebra: [https://www.geogebra.org/classic/jqcqgttd Ellipse mit zwei Kreisen in Geogebra]

=Aufgabe 6.07 und 6.08=
[[Datei:Aufgaben Serie 6.07+6.08.jpg|500px]]

[[Kategorie: Einführung S]]

Lösungen Serie 5 SoSe 2020

2020-06-04T11:25:14Z

N we03: /* Aufgabe 6.02 */

=Aufgabe 6.02=
[[Bild:Lösungen 6.02.jpg|500px]]

==Anfrage von Ferrus==
nun, ich habe mir noch etwas Gedanken gemacht zu meiner Lösung 6.02. Ich bin zum Entschluss gekommen, dass es vielleicht geschickter gewesen wäre, Strecken als Punktmengen zu behandeln, da somit die Definition eindeutiger wäre. Was sagen Sie dazu Herr Gieding? (Änderung 31.05.2020 22:29)

==Antwort==
Ja, Strecken werden üblicherweise als Punktmengen definiert. Hier die formale Definition: <math>\overline{AB}:=\{P|~|AP|+|PB|=|AB|\cup \{A,B\}\}</math>. 
Was bedeutet diese Definition in "einfachen Worten"?--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:27, 3. Jun. 2020 (CEST)

==anderer Lösungsvorschlag==
a) Die Menge aller Punkte, die zwischen den Punkten A und B liegen, heißt offene Strecke. 
b) Die Menge aller Punkte einer offenen Strecke und der Endpunkte A und B heißt geschlossene Strecke. 
c) Die Menge aller Punkte einer offenen Strecke und genau einem der beiden Endpunkte A und B heißt halboffene Strecke. 
d) Der Abstand der Endpunkte einer Strecke <math>|AB|</math> ist die Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
e) Der Punkt M einer Strecke <math>\overline{AB}</math>, für den <math>|AM|=|MB|</math> gilt, heißt Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
f) Die Punkte <math>V_1</math>, <math>M</math> und <math>V_2</math> einer Strecke <math>\overline{AB}</math>, mit <math>M</math> als Mittelpunkt von <math>\overline{AB}</math>, für die <math>|AV_1|=|V_1M|=|MV_2|=|V_2B|</math> gilt, heißen Viertelpunkte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

=Aufgabe 6.03=
[[Bild: Aufgaben_Serie_6.03.jpg|500px]]
==Bemerkung==
Es handelt sich aus der Sicht der Mathematikdidaktik um eine sogenannte informelle Definition. Schon ein wenig mehr als nur rein intuitiv verstanden, aber aus Sicht des formalen Mathematikers formal nicht ganz korrekt, da etwa der Begriff Richtung noch nicht sauber formuliert wurde. Entweder wir definieren jetzt was eine "Richtung" ist oder versuchen es mit einem anderen bereits definierten Begriff. Da wäre wohl nur "liegt zwischen" im Angebot. 
Das "Herantasten" an eine formal korrekte Definition über ein informelle Definition ist wichtig, kennzeichnet dieser Weg doch ein Verständnis für den Begriff. Das Formale ist dann eigentlich "nur" noch Übersetzung.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:40, 3. Jun. 2020 (CEST)
==Andere Herangehensweise==
Der Begriff der Richtung ist nicht ganz einfach. Der Mathematiker definiert Richtung anders als wir es umgangssprachlich tun würden. Eine Richtung ist in der Mathematik eine Äquivalenzklasse zueinander paralleler Geraden. Das was wir jetzt noch brächten wäre eigentlich der sogenannte Richtungssinn: nach links, nach rechts, nach oben, nach unten. Wir sehen, dass dieser Begriff ein paar Schwierigkeiten mit sich bringt, da man einen Richtungsinn auf einer Geraden irgendwie vor dem anderen auszeichnen müsste. 
Es geht aber auch über die Relation "zwischen" ... .--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:46, 3. Jun. 2020 (CEST) 
Zum Experimentieren: Halbgeraden über die Zwischenrelation:
<ggb_applet width="800" height="600" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=Aufgabe 6.05=
[[Bild:Aufgaben_Serie_6.05.jpg| 500px]]
==Reicht das?==
Es gibt ja nur noch eine weitere Möglichkeit. Streng genommen müssen Sie diese Möglichkeit im Beweis berücksichtigen. Es ist aber abzusehen, dass in diesem beweis nur ein paar Punktbezeichnungen anders sind. Also verweisen wir auf den Fall und sagen "Beweis analog".--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:34, 3. Jun. 2020 (CEST)

=Aufgabe 6.06=
[[Bild:Aufgaben_Serie_6.06.jpg|500px]] 
Sieht gut aus. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 12:08, 3. Jun. 2020 (CEST) 

Hier eine Variante mit Geogebra: [https://www.geogebra.org/classic/jqcqgttd Ellipse mit zwei Kreisen in Geogebra]

=Aufgabe 6.07 und 6.08=
[[Datei:Aufgaben Serie 6.07+6.08.jpg|500px]]

[[Kategorie: Einführung S]]

Lösungen Serie 5 SoSe 2020

2020-06-04T11:20:13Z

N we03: /* Aufgabe 6.02 */

=Aufgabe 6.02=
[[Bild:Lösungen 6.02.jpg|500px]]

==Anfrage von Ferrus==
nun, ich habe mir noch etwas Gedanken gemacht zu meiner Lösung 6.02. Ich bin zum Entschluss gekommen, dass es vielleicht geschickter gewesen wäre, Strecken als Punktmengen zu behandeln, da somit die Definition eindeutiger wäre. Was sagen Sie dazu Herr Gieding? (Änderung 31.05.2020 22:29)

==Antwort==
Ja, Strecken werden üblicherweise als Punktmengen definiert. Hier die formale Definition: <math>\overline{AB}:=\{P|~|AP|+|PB|=|AB|\cup \{A,B\}\}</math>. 
Was bedeutet diese Definition in "einfachen Worten"?--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:27, 3. Jun. 2020 (CEST)

==anderer Lösungsvorschlag==
a) Die Menge aller Punkte, die zwischen den Punkten A und B liegen, heißt offene Strecke. 
b) Die Menge aller Punkte einer offenen Strecke und der Endpunkte A und B heißt geschlossene Strecke. 
c) Die Menge aller Punkte einer offenen Strecke und genau einem der beiden Endpunkte A und B heißt halboffene Strecke. 
d) Der Abstand der Endpunkte einer Strecke <math>|AB|</math> ist die Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
e) Der Punkt M einer Strecke <math>\overline{AB}</math>, für den <math>|AM|=|MB|</math> gilt, heißt Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 

=Aufgabe 6.03=
[[Bild: Aufgaben_Serie_6.03.jpg|500px]]
==Bemerkung==
Es handelt sich aus der Sicht der Mathematikdidaktik um eine sogenannte informelle Definition. Schon ein wenig mehr als nur rein intuitiv verstanden, aber aus Sicht des formalen Mathematikers formal nicht ganz korrekt, da etwa der Begriff Richtung noch nicht sauber formuliert wurde. Entweder wir definieren jetzt was eine "Richtung" ist oder versuchen es mit einem anderen bereits definierten Begriff. Da wäre wohl nur "liegt zwischen" im Angebot. 
Das "Herantasten" an eine formal korrekte Definition über ein informelle Definition ist wichtig, kennzeichnet dieser Weg doch ein Verständnis für den Begriff. Das Formale ist dann eigentlich "nur" noch Übersetzung.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:40, 3. Jun. 2020 (CEST)
==Andere Herangehensweise==
Der Begriff der Richtung ist nicht ganz einfach. Der Mathematiker definiert Richtung anders als wir es umgangssprachlich tun würden. Eine Richtung ist in der Mathematik eine Äquivalenzklasse zueinander paralleler Geraden. Das was wir jetzt noch brächten wäre eigentlich der sogenannte Richtungssinn: nach links, nach rechts, nach oben, nach unten. Wir sehen, dass dieser Begriff ein paar Schwierigkeiten mit sich bringt, da man einen Richtungsinn auf einer Geraden irgendwie vor dem anderen auszeichnen müsste. 
Es geht aber auch über die Relation "zwischen" ... .--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:46, 3. Jun. 2020 (CEST) 
Zum Experimentieren: Halbgeraden über die Zwischenrelation:
<ggb_applet width="800" height="600" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=Aufgabe 6.05=
[[Bild:Aufgaben_Serie_6.05.jpg| 500px]]
==Reicht das?==
Es gibt ja nur noch eine weitere Möglichkeit. Streng genommen müssen Sie diese Möglichkeit im Beweis berücksichtigen. Es ist aber abzusehen, dass in diesem beweis nur ein paar Punktbezeichnungen anders sind. Also verweisen wir auf den Fall und sagen "Beweis analog".--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 11:34, 3. Jun. 2020 (CEST)

=Aufgabe 6.06=
[[Bild:Aufgaben_Serie_6.06.jpg|500px]] 
Sieht gut aus. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] ([[Benutzer Diskussion:*m.g.*|Diskussion]]) 12:08, 3. Jun. 2020 (CEST) 

Hier eine Variante mit Geogebra: [https://www.geogebra.org/classic/jqcqgttd Ellipse mit zwei Kreisen in Geogebra]

=Aufgabe 6.07 und 6.08=
[[Datei:Aufgaben Serie 6.07+6.08.jpg|500px]]

[[Kategorie: Einführung S]]

Lösungen Serie 4 SoSe 2020

2020-05-28T13:13:14Z

N we03: /* Aufgabe 4.5 */

=Aufgabe 4.1=
a) Drei Punkte A,B und C sind kollinear, wenn eine Gerade g existiert, mit der alle drei Punkte inzidieren. 
b) 
c) Zwei Geraden (in der Ebene) sind parallel zueinander, wenn kein Punkt P existiert, der mit beiden Geraden inzidiert. 
d) Zwei Geraden (im Raum) sind parallel zueinander, wenn kein Punkt P existiert, der mit beiden Geraden inzidiert und eine Ebene existiert, in der beide Geraden liegen. 
e) Eine Gerade ist parallel zu einer Ebene, wenn kein Punkt P existiert, der sowohl mit der Ebene als auch der Geraden inzidiert. 
f) Zwei Geraden sind windschief zueinander, wenn kein Punkt P existiert, der mit beiden Geraden inzidiert und keine Ebene existiert, in der beide Geraden ligene.

=Aufgabe 4.2=

=Aufgabe 4.3=
Voraussetzung: Zwei Ebenen haben einen Punkt gemeinsam. 
Behauptung: Diese Ebenen haben eine Gerade gemeinsam. 
Beweis: 
(1) Die Ebenen haben einen zweiten Punkt gemeinsam (Axiom I6) 
(2) Durch diese zwei Punkte geht eine Gerade (Axiom I1) 
(3) Mindestens zwei Punkte dieser Geraden liegen in beiden Ebenen (V, (1), (2)) 
(4) Die Ebenen haben eine Gerade gemeinsam (Axiom I5)

=Aufgabe 4.4=

=Aufgabe 4.5=
[[Datei:Aufgabe4.5.jpg|thumb|Aufgabe4.5]]

=Aufgabe 4.6=
[[Kategorie:Einführung_S]]

Datei:Aufgabe4.5.jpg

2020-05-28T13:11:03Z

N we03: User created page with UploadWizard

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{{Information
|description={{de|1=Aufgabe4.5}}
|date=2020-05-28 15:09:50
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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Lösungen Serie 4 SoSe 2020

2020-05-26T12:43:16Z

N we03: /* Aufgabe 4.1 */

Lösungen Serie 4 SoSe 2020

2020-05-26T12:35:18Z

N we03: /* Aufgabe 4.3 */

=Aufgabe 4.1=

=Aufgabe 4.2=

=Aufgabe 4.3=
Voraussetzung: Zwei Ebenen haben einen Punkt gemeinsam. 
Behauptung: Diese Ebenen haben eine Gerade gemeinsam. 
Beweis: 
(1) Die Ebenen haben einen zweiten Punkt gemeinsam (Axiom I6) 
(2) Durch diese zwei Punkte geht eine Gerade (Axiom I1) 
(3) Mindestens zwei Punkte dieser Geraden liegen in beiden Ebenen (V, (1), (2)) 
(4) Die Ebenen haben eine Gerade gemeinsam (Axiom I5)

=Aufgabe 4.4=

=Aufgabe 4.5=

=Aufgabe 4.6=
[[Kategorie:Einführung_S]]

Lösungen zu den Übungsaufgaben der Serie 3 SoSe 2020

2020-05-22T07:46:14Z

N we03: /* Aufgabe 3.5 c) */

=Aufgabe 3.1=
==Aufgabe 3.1 a)==
Schauen Sie in den Qelltext. Die Tilde ~ muss jeweils ersetzt werden. 
Wenn Sie mit der Tabellensyntax nicht klar kommen, schauen Sie sich erst die Aufgabe 3.5 an. Die Tabellen sind kleiner und übersichtlicher und damit schneller zu verstehen. 

<math>
\begin{array}{|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline
Bsp. & a & m_1 & m_1 : a & m_2 & m_2 : a & n_1 & n_1 : a & n_2 & n_2 : a & m_1 + n_1 &(m_1 + n_1):a & m_2 + n_2 & (m_2 + n_2):a \\ \hline
0 & 4 & 7 & 1~R~3 & 11 & 2~R~3 & 5 & 1~R~1 & 9~ & 1~R~1 & 7+5=12 & 3~R~0 & 11 + 5 = 16 & 4~R~0 \\ \hline
1 & 7 & 15 & 2~R~1 &8 &1~R~1 &13 &1~R~6 &20 &2~R~6 & 15+13=28 &4~R~0 & 8+20=28 &4~R~0 \\ \hline
2 & ~ & ~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ \\ \hline
3 & ~ & ~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ \\ \hline
4 & ~ & ~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ \\ \hline
\end{array}
</math>

==Aufgabe 3.1 b)==
===Voraussetzung 1===
<math>m_1</math> und <math>m_2</math> lassen bei Division durch <math>4</math> denselben Rest <math>r_1</math>. 
also:
====Voraussetzung 1.1====
<math>\exist p_1 \in \mathbb{N}: m_1=4p_1+r_1</math>
====Voraussetzung 1.2====
<math>\exist p_2 \in \mathbb{N}: m_2=4p_2+r_1</math>
===Voraussetzung 2====
<math>n_1</math> und <math>n_2</math> lassen bei Division durch <math>4</math> denselben Rest <math>r_2</math>. 
also:
====Voraussetzung 2.1===
<math>\exist q_1 \in \mathbb{N}: n_1=4p_1+r_2</math>
====Voraussetzung 2.2====
<math>\ldots</math>

===Behauptung===
<math>m_1 + n_1</math> sowie <math>m_2+n_2</math> lassen bei Division durch <math>4</math> jeweils denselben Rest <math>r_3</math>. 
Oder anders ausgedrückt: 
Es sei <math>r_3</math> der Rest, der bei der Division von <math>m_1+n_1</math> durch <math>4</math> gelassen wird. 
Behauptung (und damit zu zeigen): <math>r_3</math> wird auch bei der Division von <math>m_2+n_2</math> durch <math>4</math> gelassen.
===Beweis===
[[Datei: [[Datei:Aufgabe 3.1b.pdf|thumb|Aufgabe 3b und x]]]]

==Aufgabe 3.1 c)==
===Voraussetzung 1===
<math>m_1</math> und <math>m_2</math> lassen bei Division durch <math>a</math> denselben Rest <math>r_1</math>. 
also:
====Voraussetzung 1.1====
<math>\exist p_1 \in \mathbb{N}: m_1=a \cdot p_1+r_1</math>
====Voraussetzung 1.2====
<math>\exist p_2 \in \mathbb{N}: m_2=a \cdot p_2+r_1</math>
===Voraussetzung 2===

also:

====Voraussetzung 2.1====

====Voraussetzung 2.2====

===Behauptung===

===Beweis===

=Aufgabe 3.2=
==Aufgabe 3.2 a)==
* Achsensymmetrie 1:
* Achsensymmetrie 2:
* Achsensymmetrie 3:
* Achsensymmetrie 4:
==Aufgabe 3.2 b)==
* Drehung 1:
* Drehung 2:
* Drehung 3:
* Drehung 4:
==Aufgabe 3.2 c)==
*(a) gleichzeitig zwei Drehsymmetrien und zwei Achsensymmetrien haben :
*(b) nur Achsensymmetrien haben:
*(c) nur Drehsymmetrien haben:
*(d) genau eine Achsensymmetrie haben:
*(e) genau zwei Achsensymmetrien haben:
*(f) bei folgenden Viereckstypen sind alle Repräsentanten ähnlich zueinander:
==Aufgabe 3.2 d)==
Schiefdrachen:

==Aufgabe 3.2 e)==
Drachen
==Aufgabe 3.2 f)==
Raute unter Verwendung des unmittelbaren Oberbegriffs
==Aufgabe 3.2 g)==
Haus der Vierecke unter dem Gesichtspunkt Symmetrien:
z.B.
* 8 Symmetrien
* 7 Symmetrien
* 6 Symmetrien
* 5 Symmetrien
* 4 Symmetrien
...
**

=Aufgabe 3.3=
==Aufgabe 3.3 a)==
Definition:(Mittelsenkrechte) 
:Wenn eine Gerade <math>m</math> eine Strecke in deren Mittelpunkt in einem rechten Winkel schneidet, so ist diese Gerade die Mittelsenkrechte der Strecke.

==Aufgabe 3.3 b)==
Satz 3.2: (Halbes Mittelsenkrechtenkriterium) 
:Es sei <math>m</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>. 
: <math>\forall P \in m: \overline{PA} \cong \overline{PB}</math>. 

Formulieren Sie Satz 3.2 in "`Wenn Dann"' ohne die Verwendung von mathematischer Formelsprache. 

Wenn ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>m</math> liegt, dann hat er denselben Abstand zu Punkt <math>A</math> wie zu Punkt <math>B</math>.

==Aufgabe 3.3 c)==
Formulieren Sie Satz 3.2 in mathematischer Formelsprache, ohne den Allquantor zu verwenden:

==Aufgabe 3.3 d)==
Beweis von Satz 3.2

==Aufgabe 3.3 e)==
Umkehrung von Satz 3.2 
Es sei <math>m</math> eine Gerade, die die Strecke <math>\overline{AB}</math> schneidet. 
Wenn <math>\forall P \in m: \overline{PA} \cong \overline{PB}</math> gilt, dann ist m die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

==Aufgabe 3.3 f)==
Äquivalenz, Mittelsenkrechtenkriterium

==Aufgabe 3.3 g)==
Es sei <math>a \Rightarrow b</math> eine Implikation. Unter der Kontraposition dieser Implikation versteht man die Implikation <math>\neg b \Rightarrow \neg a</math>. Formulieren Sie die Kontraposition von Satz 3.2.
==Aufgabe 3.3 h)==
Begründen Sie in der ebenen Geometrie: Es seien <math>k_1, k_2, k_3</math> drei Kreise mit den Mittelpunkten <math>M_1, M_2, M_3</math>. Wenn der Schnitt aller drei Kreise genau zwei Punkte beinhaltet, dann sind <math>M_1, M_2, M_3</math> kollinear. 
(Googeln Sie ggf. kollinear.)

=Aufgabe 3.4=
==Aufgabe 3.4 a)==
Definieren Sie den Begriff Drachenviereck über die Diagonaleneigenschaft.

==Aufgabe 3.4 b)==
Es sei <math>\overline{ABCD}</math> ein Viereck mit <math>\overline{AB} \cong \overline{AD} \land \overline{CB} \cong \overline{CD}</math>. Beweisen Sie, dass <math>\overline{ABCD}</math> ein Drachen ist.

==Aufgabe 3.4 c)==
Definieren sie Rauten als spezielle Drachen.

=Aufgabe 3.5=
==Aufgabe 3.5 a)==
Schauen Sie in den Quelltext. Die Logik der Tabellenbeschreibung sollte sich Ihnen recht schnell erschließen. Ersetzen Sie das Konstrukt \ldots durch die jeweilige Lösung. 

<math>
\begin{array}{|c|c|c|} \hline
a & b & a \land b \\ \hline
falsch & falsch & falsch \\ \hline
falsch & wahr & falsch \\ \hline
wahr & falsch & falsch \\ \hline
wahr & wahr& wahr \\ \hline
\end{array}
</math>

==Aufgabe 3.5 b)==
Schauen Sie in den Quelltext. Die Logik der Tabellenbeschreibung sollte sich Ihnen recht schnell erschließen. Ersetzen Sie das Konstrukt \ldots durch die jeweilige Lösung. 

<math>
\begin{array}{|c|c|c|} \hline
a & b & a \lor b \\ \hline
falsch & falsch & falsch \\ \hline
falsch & wahr & wahr \\ \hline
wahr & falsch & wahr \\ \hline
wahr & wahr& wahr \\ \hline
\end{array}
</math>

==Aufgabe 3.5 c)==
Schauen Sie in den Quelltext. Die Logik der Tabellenbeschreibung sollte sich Ihnen recht schnell erschließen. Ersetzen Sie das Konstrukt \ldots durch die jeweilige Lösung. 

<math>
\begin{array}{|c|c|c|} \hline
a & b & a \veebar b \\ \hline
falsch & falsch & falsch \\ \hline
falsch & wahr & wahr \\ \hline
wahr & falsch & wahr \\ \hline
wahr & wahr& falsch \\ \hline
\end{array}
</math>

=Aufgabe 3.6=
Um ein grundlegendes Verständnis für einen Begriff zu vermitteln, arbeitet man im Mathematikunterricht mit vielen Beispielen und Gegenbeispielen. Für den Begriff "`Mittelsenkrechte"' müssen prinzipiell zwei Bedingungen erfüllt sein: Die Gerade muss senkrecht auf der Strecke stehen <math>(\perp)</math> und diese halbieren <math>(\frac{1}{2})</math>. Dann und nur dann, wenn die Verknüpfung <math>\perp \land \frac{1}{2}</math> wahr ist, darf die entsprechende Gerade Mittelsenkrechte der jeweiligen Strecke genannt werden. Aus diesem "`und-Konstrukt"' lässt sich eine grundlegende Klassifizierung von Gegenbeispielen bezüglich einer didaktisch wertvollen schulischen Erabeitung des Begriffs Mittelsenkrechte ableiten. Beschreiben Sie diese Klassifizierung.
 

Kleiner Tip: 

<math>
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
\perp & \frac{1}{2} & Mittelsenkrechte & Typ \\ \hline
falsch & falsch & falsch & 1 \\ \hline
falsch & wahr & falsch & 2\\ \hline
wahr & falsch & falsch & 3 \\ \hline
wahr & wahr& wahr & 4\\ \hline
\end{array}
</math>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Lösungen zu den Übungsaufgaben der Serie 3 SoSe 2020

2020-05-18T14:35:08Z

N we03: /* Aufgabe 3.6 */

=Aufgabe 3.1=
==Aufgabe 3.1 a)==
Schauen Sie in den Qelltext. Die Tilde ~ muss jeweils ersetzt werden. 
Wenn Sie mit der Tabellensyntax nicht klar kommen, schauen Sie sich erst die Aufgabe 3.5 an. Die Tabellen sind kleiner und übersichtlicher und damit schneller zu verstehen. 

<math>
\begin{array}{|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline
Bsp. & a & m_1 & m_1 : a & m_2 & m_2 : a & n_1 & n_1 : a & n_2 & n_2 : a & m_1 + n_1 &(m_1 + n_1):a & m_2 + n_2 & (m_2 + n_2):a \\ \hline
0 & 4 & 7 & 1~R~3 & 11 & 2~R~3 & 5 & 1~R~1 & 9~ & 1~R~1 & 7+5=12 & 3~R~0 & 11 + 5 = 16 & 4~R~0 \\ \hline
1 & 7 & 15 & 2~R~1 &8 &1~R~1 &13 &1~R~6 &20 &2~R~6 & 15+13=28 &4~R~0 & 8+20=28 &4~R~0 \\ \hline
2 & ~ & ~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ \\ \hline
3 & ~ & ~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ \\ \hline
4 & ~ & ~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ \\ \hline
\end{array}
</math>

==Aufgabe 3.1 b)==
===Voraussetzung 1===
<math>m_1</math> und <math>m_2</math> lassen bei Division durch <math>4</math> denselben Rest <math>r_1</math>. 
also:
====Voraussetzung 1.1====
<math>\exist p_1 \in \mathbb{N}: m_1=4p_1+r_1</math>
====Voraussetzung 1.2====
<math>\exist p_2 \in \mathbb{N}: m_2=4p_2+r_1</math>
===Voraussetzung 2====
<math>n_1</math> und <math>n_2</math> lassen bei Division durch <math>4</math> denselben Rest <math>r_2</math>. 
also:
====Voraussetzung 2.1===
<math>\exist q_1 \in \mathbb{N}: n_1=4p_1+r_2</math>
====Voraussetzung 2.2====
<math>\ldots</math>

===Behauptung===
<math>m_1 + n_1</math> sowie <math>m_2+n_2</math> lassen bei Division durch <math>4</math> jeweils denselben Rest <math>r_3</math>. 
Oder anders ausgedrückt: 
Es sei <math>r_3</math> der Rest, der bei der Division von <math>m_1+n_1</math> durch <math>4</math> gelassen wird. 
Behauptung (und damit zu zeigen): <math>r_3</math> wird auch bei der Division von <math>m_2+n_2</math> durch <math>4</math> gelassen.
===Beweis===

==Aufgabe 3.1 c)==
===Voraussetzung 1===
<math>m_1</math> und <math>m_2</math> lassen bei Division durch <math>a</math> denselben Rest <math>r_1</math>. 
also:
====Voraussetzung 1.1====
<math>\exist p_1 \in \mathbb{N}: m_1=a \cdot p_1+r_1</math>
====Voraussetzung 1.2====
<math>\exist p_2 \in \mathbb{N}: m_2=a \cdot p_2+r_1</math>
===Voraussetzung 2===

also:

====Voraussetzung 2.1====

====Voraussetzung 2.2====

===Behauptung===

===Beweis===

=Aufgabe 3.2=
==Aufgabe 3.2 a)==
* Achsensymmetrie 1:
* Achsensymmetrie 2:
* Achsensymmetrie 3:
* Achsensymmetrie 4:
==Aufgabe 3.2 b)==
* Drehung 1:
* Drehung 2:
* Drehung 3:
* Drehung 4:
==Aufgabe 3.2 c)==
*(a) gleichzeitig zwei Drehsymmetrien und zwei Achsensymmetrien haben :
*(b) nur Achsensymmetrien haben:
*(c) nur Drehsymmetrien haben:
*(d) genau eine Achsensymmetrie haben:
*(e) genau zwei Achsensymmetrien haben:
*(f) bei folgenden Viereckstypen sind alle Repräsentanten ähnlich zueinander:
==Aufgabe 3.2 d)==
Schiefdrachen:

==Aufgabe 3.2 e)==
Drachen
==Aufgabe 3.2 f)==
Raute unter Verwendung des unmittelbaren Oberbegriffs
==Aufgabe 3.2 g)==
Haus der Vierecke unter dem Gesichtspunkt Symmetrien:
z.B.
* 8 Symmetrien
* 7 Symmetrien
* 6 Symmetrien
* 5 Symmetrien
* 4 Symmetrien
...
**

=Aufgabe 3.3=
==Aufgabe 3.3 a)==
Definition:(Mittelsenkrechte) 
:Wenn eine Gerade <math>m</math> eine Strecke in deren Mittelpunkt in einem rechten Winkel schneidet, so ist diese Gerade die Mittelsenkrechte der Strecke.

==Aufgabe 3.3 b)==
Satz 3.2: (Halbes Mittelsenkrechtenkriterium) 
:Es sei <math>m</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>. 
: <math>\forall P \in m: \overline{PA} \cong \overline{PB}</math>. 

Formulieren Sie Satz 3.2 in "`Wenn Dann"' ohne die Verwendung von mathematischer Formelsprache. 

Wenn ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>m</math> liegt, dann hat er denselben Abstand zu Punkt <math>A</math> wie zu Punkt <math>B</math>.

==Aufgabe 3.3 c)==
Formulieren Sie Satz 3.2 in mathematischer Formelsprache, ohne den Allquantor zu verwenden:

==Aufgabe 3.3 d)==
Beweis von Satz 3.2

==Aufgabe 3.3 e)==
Umkehrung von Satz 3.2 
Es sei <math>m</math> eine Gerade, die die Strecke <math>\overline{AB}</math> schneidet. 
Wenn <math>\forall P \in m: \overline{PA} \cong \overline{PB}</math> gilt, dann ist m die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

==Aufgabe 3.3 f)==
Äquivalenz, Mittelsenkrechtenkriterium

==Aufgabe 3.3 g)==
Es sei <math>a \Rightarrow b</math> eine Implikation. Unter der Kontraposition dieser Implikation versteht man die Implikation <math>\neg b \Rightarrow \neg a</math>. Formulieren Sie die Kontraposition von Satz 3.2.
==Aufgabe 3.3 h)==
Begründen Sie in der ebenen Geometrie: Es seien <math>k_1, k_2, k_3</math> drei Kreise mit den Mittelpunkten <math>M_1, M_2, M_3</math>. Wenn der Schnitt aller drei Kreise genau zwei Punkte beinhaltet, dann sind <math>M_1, M_2, M_3</math> kollinear. 
(Googeln Sie ggf. kollinear.)

=Aufgabe 3.4=
==Aufgabe 3.4 a)==
Definieren Sie den Begriff Drachenviereck über die Diagonaleneigenschaft.

==Aufgabe 3.4 b)==
Es sei <math>\overline{ABCD}</math> ein Viereck mit <math>\overline{AB} \cong \overline{AD} \land \overline{CB} \cong \overline{CD}</math>. Beweisen Sie, dass <math>\overline{ABCD}</math> ein Drachen ist.

==Aufgabe 3.4 c)==
Definieren sie Rauten als spezielle Drachen.

=Aufgabe 3.5=
==Aufgabe 3.5 a)==
Schauen Sie in den Quelltext. Die Logik der Tabellenbeschreibung sollte sich Ihnen recht schnell erschließen. Ersetzen Sie das Konstrukt \ldots durch die jeweilige Lösung. 

<math>
\begin{array}{|c|c|c|} \hline
a & b & a \land b \\ \hline
falsch & falsch & falsch \\ \hline
falsch & wahr & falsch \\ \hline
wahr & falsch & falsch \\ \hline
wahr & wahr& wahr \\ \hline
\end{array}
</math>

==Aufgabe 3.5 b)==
Schauen Sie in den Quelltext. Die Logik der Tabellenbeschreibung sollte sich Ihnen recht schnell erschließen. Ersetzen Sie das Konstrukt \ldots durch die jeweilige Lösung. 

<math>
\begin{array}{|c|c|c|} \hline
a & b & a \lor b \\ \hline
falsch & falsch & falsch \\ \hline
falsch & wahr & wahr \\ \hline
wahr & falsch & wahr \\ \hline
wahr & wahr& wahr \\ \hline
\end{array}
</math>

==Aufgabe 3.5 c)==
Schauen Sie in den Quelltext. Die Logik der Tabellenbeschreibung sollte sich Ihnen recht schnell erschließen. Ersetzen Sie das Konstrukt \ldots durch die jeweilige Lösung. 

<math>
\begin{array}{|c|c|c|} \hline
a & b & a \veebar b \\ \hline
falsch & falsch & \ldots \\ \hline
falsch & wahr & \ldots \\ \hline
wahr & falsch & \ldots \\ \hline
wahr & wahr& \ldots \\ \hline
\end{array}
</math>

=Aufgabe 3.6=
Um ein grundlegendes Verständnis für einen Begriff zu vermitteln, arbeitet man im Mathematikunterricht mit vielen Beispielen und Gegenbeispielen. Für den Begriff "`Mittelsenkrechte"' müssen prinzipiell zwei Bedingungen erfüllt sein: Die Gerade muss senkrecht auf der Strecke stehen <math>(\perp)</math> und diese halbieren <math>(\frac{1}{2})</math>. Dann und nur dann, wenn die Verknüpfung <math>\perp \land \frac{1}{2}</math> wahr ist, darf die entsprechende Gerade Mittelsenkrechte der jeweiligen Strecke genannt werden. Aus diesem "`und-Konstrukt"' lässt sich eine grundlegende Klassifizierung von Gegenbeispielen bezüglich einer didaktisch wertvollen schulischen Erabeitung des Begriffs Mittelsenkrechte ableiten. Beschreiben Sie diese Klassifizierung.
 

Kleiner Tip: 

<math>
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
\perp & \frac{1}{2} & Mittelsenkrechte & Typ \\ \hline
falsch & falsch & falsch & 1 \\ \hline
falsch & wahr & falsch & 2\\ \hline
wahr & falsch & falsch & 3 \\ \hline
wahr & wahr& wahr & 4\\ \hline
\end{array}
</math>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Lösungen zu den Übungsaufgaben der Serie 3 SoSe 2020

2020-05-18T14:34:12Z

N we03: /* Aufgabe 3.5 b) */

=Aufgabe 3.1=
==Aufgabe 3.1 a)==
Schauen Sie in den Qelltext. Die Tilde ~ muss jeweils ersetzt werden. 
Wenn Sie mit der Tabellensyntax nicht klar kommen, schauen Sie sich erst die Aufgabe 3.5 an. Die Tabellen sind kleiner und übersichtlicher und damit schneller zu verstehen. 

<math>
\begin{array}{|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline
Bsp. & a & m_1 & m_1 : a & m_2 & m_2 : a & n_1 & n_1 : a & n_2 & n_2 : a & m_1 + n_1 &(m_1 + n_1):a & m_2 + n_2 & (m_2 + n_2):a \\ \hline
0 & 4 & 7 & 1~R~3 & 11 & 2~R~3 & 5 & 1~R~1 & 9~ & 1~R~1 & 7+5=12 & 3~R~0 & 11 + 5 = 16 & 4~R~0 \\ \hline
1 & 7 & 15 & 2~R~1 &8 &1~R~1 &13 &1~R~6 &20 &2~R~6 & 15+13=28 &4~R~0 & 8+20=28 &4~R~0 \\ \hline
2 & ~ & ~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ \\ \hline
3 & ~ & ~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ \\ \hline
4 & ~ & ~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ \\ \hline
\end{array}
</math>

==Aufgabe 3.1 b)==
===Voraussetzung 1===
<math>m_1</math> und <math>m_2</math> lassen bei Division durch <math>4</math> denselben Rest <math>r_1</math>. 
also:
====Voraussetzung 1.1====
<math>\exist p_1 \in \mathbb{N}: m_1=4p_1+r_1</math>
====Voraussetzung 1.2====
<math>\exist p_2 \in \mathbb{N}: m_2=4p_2+r_1</math>
===Voraussetzung 2====
<math>n_1</math> und <math>n_2</math> lassen bei Division durch <math>4</math> denselben Rest <math>r_2</math>. 
also:
====Voraussetzung 2.1===
<math>\exist q_1 \in \mathbb{N}: n_1=4p_1+r_2</math>
====Voraussetzung 2.2====
<math>\ldots</math>

===Behauptung===
<math>m_1 + n_1</math> sowie <math>m_2+n_2</math> lassen bei Division durch <math>4</math> jeweils denselben Rest <math>r_3</math>. 
Oder anders ausgedrückt: 
Es sei <math>r_3</math> der Rest, der bei der Division von <math>m_1+n_1</math> durch <math>4</math> gelassen wird. 
Behauptung (und damit zu zeigen): <math>r_3</math> wird auch bei der Division von <math>m_2+n_2</math> durch <math>4</math> gelassen.
===Beweis===

==Aufgabe 3.1 c)==
===Voraussetzung 1===
<math>m_1</math> und <math>m_2</math> lassen bei Division durch <math>a</math> denselben Rest <math>r_1</math>. 
also:
====Voraussetzung 1.1====
<math>\exist p_1 \in \mathbb{N}: m_1=a \cdot p_1+r_1</math>
====Voraussetzung 1.2====
<math>\exist p_2 \in \mathbb{N}: m_2=a \cdot p_2+r_1</math>
===Voraussetzung 2===

also:

====Voraussetzung 2.1====

====Voraussetzung 2.2====

===Behauptung===

===Beweis===

=Aufgabe 3.2=
==Aufgabe 3.2 a)==
* Achsensymmetrie 1:
* Achsensymmetrie 2:
* Achsensymmetrie 3:
* Achsensymmetrie 4:
==Aufgabe 3.2 b)==
* Drehung 1:
* Drehung 2:
* Drehung 3:
* Drehung 4:
==Aufgabe 3.2 c)==
*(a) gleichzeitig zwei Drehsymmetrien und zwei Achsensymmetrien haben :
*(b) nur Achsensymmetrien haben:
*(c) nur Drehsymmetrien haben:
*(d) genau eine Achsensymmetrie haben:
*(e) genau zwei Achsensymmetrien haben:
*(f) bei folgenden Viereckstypen sind alle Repräsentanten ähnlich zueinander:
==Aufgabe 3.2 d)==
Schiefdrachen:

==Aufgabe 3.2 e)==
Drachen
==Aufgabe 3.2 f)==
Raute unter Verwendung des unmittelbaren Oberbegriffs
==Aufgabe 3.2 g)==
Haus der Vierecke unter dem Gesichtspunkt Symmetrien:
z.B.
* 8 Symmetrien
* 7 Symmetrien
* 6 Symmetrien
* 5 Symmetrien
* 4 Symmetrien
...
**

=Aufgabe 3.3=
==Aufgabe 3.3 a)==
Definition:(Mittelsenkrechte) 
:Wenn eine Gerade <math>m</math> eine Strecke in deren Mittelpunkt in einem rechten Winkel schneidet, so ist diese Gerade die Mittelsenkrechte der Strecke.

==Aufgabe 3.3 b)==
Satz 3.2: (Halbes Mittelsenkrechtenkriterium) 
:Es sei <math>m</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>. 
: <math>\forall P \in m: \overline{PA} \cong \overline{PB}</math>. 

Formulieren Sie Satz 3.2 in "`Wenn Dann"' ohne die Verwendung von mathematischer Formelsprache. 

Wenn ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>m</math> liegt, dann hat er denselben Abstand zu Punkt <math>A</math> wie zu Punkt <math>B</math>.

==Aufgabe 3.3 c)==
Formulieren Sie Satz 3.2 in mathematischer Formelsprache, ohne den Allquantor zu verwenden:

==Aufgabe 3.3 d)==
Beweis von Satz 3.2

==Aufgabe 3.3 e)==
Umkehrung von Satz 3.2 
Es sei <math>m</math> eine Gerade, die die Strecke <math>\overline{AB}</math> schneidet. 
Wenn <math>\forall P \in m: \overline{PA} \cong \overline{PB}</math> gilt, dann ist m die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

==Aufgabe 3.3 f)==
Äquivalenz, Mittelsenkrechtenkriterium

==Aufgabe 3.3 g)==
Es sei <math>a \Rightarrow b</math> eine Implikation. Unter der Kontraposition dieser Implikation versteht man die Implikation <math>\neg b \Rightarrow \neg a</math>. Formulieren Sie die Kontraposition von Satz 3.2.
==Aufgabe 3.3 h)==
Begründen Sie in der ebenen Geometrie: Es seien <math>k_1, k_2, k_3</math> drei Kreise mit den Mittelpunkten <math>M_1, M_2, M_3</math>. Wenn der Schnitt aller drei Kreise genau zwei Punkte beinhaltet, dann sind <math>M_1, M_2, M_3</math> kollinear. 
(Googeln Sie ggf. kollinear.)

=Aufgabe 3.4=
==Aufgabe 3.4 a)==
Definieren Sie den Begriff Drachenviereck über die Diagonaleneigenschaft.

==Aufgabe 3.4 b)==
Es sei <math>\overline{ABCD}</math> ein Viereck mit <math>\overline{AB} \cong \overline{AD} \land \overline{CB} \cong \overline{CD}</math>. Beweisen Sie, dass <math>\overline{ABCD}</math> ein Drachen ist.

==Aufgabe 3.4 c)==
Definieren sie Rauten als spezielle Drachen.

=Aufgabe 3.5=
==Aufgabe 3.5 a)==
Schauen Sie in den Quelltext. Die Logik der Tabellenbeschreibung sollte sich Ihnen recht schnell erschließen. Ersetzen Sie das Konstrukt \ldots durch die jeweilige Lösung. 

<math>
\begin{array}{|c|c|c|} \hline
a & b & a \land b \\ \hline
falsch & falsch & falsch \\ \hline
falsch & wahr & falsch \\ \hline
wahr & falsch & falsch \\ \hline
wahr & wahr& wahr \\ \hline
\end{array}
</math>

==Aufgabe 3.5 b)==
Schauen Sie in den Quelltext. Die Logik der Tabellenbeschreibung sollte sich Ihnen recht schnell erschließen. Ersetzen Sie das Konstrukt \ldots durch die jeweilige Lösung. 

<math>
\begin{array}{|c|c|c|} \hline
a & b & a \lor b \\ \hline
falsch & falsch & falsch \\ \hline
falsch & wahr & wahr \\ \hline
wahr & falsch & wahr \\ \hline
wahr & wahr& wahr \\ \hline
\end{array}
</math>

==Aufgabe 3.5 c)==
Schauen Sie in den Quelltext. Die Logik der Tabellenbeschreibung sollte sich Ihnen recht schnell erschließen. Ersetzen Sie das Konstrukt \ldots durch die jeweilige Lösung. 

<math>
\begin{array}{|c|c|c|} \hline
a & b & a \veebar b \\ \hline
falsch & falsch & \ldots \\ \hline
falsch & wahr & \ldots \\ \hline
wahr & falsch & \ldots \\ \hline
wahr & wahr& \ldots \\ \hline
\end{array}
</math>

=Aufgabe 3.6=
Um ein grundlegendes Verständnis für einen Begriff zu vermitteln, arbeitet man im Mathematikunterricht mit vielen Beispielen und Gegenbeispielen. Für den Begriff "`Mittelsenkrechte"' müssen prinzipiell zwei Bedingungen erfüllt sein: Die Gerade muss senkrecht auf der Strecke stehen <math>(\perp)</math> und diese halbieren <math>(\frac{1}{2})</math>. Dann und nur dann, wenn die Verknüpfung <math>\perp \land \frac{1}{2}</math> wahr ist, darf die entsprechende Gerade Mittelsenkrechte der jeweiligen Strecke genannt werden. Aus diesem "`und-Konstrukt"' lässt sich eine grundlegende Klassifizierung von Gegenbeispielen bezüglich einer didaktisch wertvollen schulischen Erabeitung des Begriffs Mittelsenkrechte ableiten. Beschreiben Sie diese Klassifizierung.
 

Kleiner Tip: 

<math>
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
\perp & \frac{1}{2} & Mittelsenkrechte & Typ \\ \hline
falsch & falsch & \ldots & 1 \\ \hline
falsch & wahr & \ldots & 2\\ \hline
wahr & falsch & \ldots & 3 \\ \hline
wahr & wahr& \ldots & 4\\ \hline
\end{array}
</math>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Lösungen zu den Übungsaufgaben der Serie 3 SoSe 2020

2020-05-18T14:32:22Z

N we03: /* Aufgabe 3.3 e) */

=Aufgabe 3.1=
==Aufgabe 3.1 a)==
Schauen Sie in den Qelltext. Die Tilde ~ muss jeweils ersetzt werden. 
Wenn Sie mit der Tabellensyntax nicht klar kommen, schauen Sie sich erst die Aufgabe 3.5 an. Die Tabellen sind kleiner und übersichtlicher und damit schneller zu verstehen. 

<math>
\begin{array}{|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline
Bsp. & a & m_1 & m_1 : a & m_2 & m_2 : a & n_1 & n_1 : a & n_2 & n_2 : a & m_1 + n_1 &(m_1 + n_1):a & m_2 + n_2 & (m_2 + n_2):a \\ \hline
0 & 4 & 7 & 1~R~3 & 11 & 2~R~3 & 5 & 1~R~1 & 9~ & 1~R~1 & 7+5=12 & 3~R~0 & 11 + 5 = 16 & 4~R~0 \\ \hline
1 & 7 & 15 & 2~R~1 &8 &1~R~1 &13 &1~R~6 &20 &2~R~6 & 15+13=28 &4~R~0 & 8+20=28 &4~R~0 \\ \hline
2 & ~ & ~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ \\ \hline
3 & ~ & ~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ \\ \hline
4 & ~ & ~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ \\ \hline
\end{array}
</math>

==Aufgabe 3.1 b)==
===Voraussetzung 1===
<math>m_1</math> und <math>m_2</math> lassen bei Division durch <math>4</math> denselben Rest <math>r_1</math>. 
also:
====Voraussetzung 1.1====
<math>\exist p_1 \in \mathbb{N}: m_1=4p_1+r_1</math>
====Voraussetzung 1.2====
<math>\exist p_2 \in \mathbb{N}: m_2=4p_2+r_1</math>
===Voraussetzung 2====
<math>n_1</math> und <math>n_2</math> lassen bei Division durch <math>4</math> denselben Rest <math>r_2</math>. 
also:
====Voraussetzung 2.1===
<math>\exist q_1 \in \mathbb{N}: n_1=4p_1+r_2</math>
====Voraussetzung 2.2====
<math>\ldots</math>

===Behauptung===
<math>m_1 + n_1</math> sowie <math>m_2+n_2</math> lassen bei Division durch <math>4</math> jeweils denselben Rest <math>r_3</math>. 
Oder anders ausgedrückt: 
Es sei <math>r_3</math> der Rest, der bei der Division von <math>m_1+n_1</math> durch <math>4</math> gelassen wird. 
Behauptung (und damit zu zeigen): <math>r_3</math> wird auch bei der Division von <math>m_2+n_2</math> durch <math>4</math> gelassen.
===Beweis===

==Aufgabe 3.1 c)==
===Voraussetzung 1===
<math>m_1</math> und <math>m_2</math> lassen bei Division durch <math>a</math> denselben Rest <math>r_1</math>. 
also:
====Voraussetzung 1.1====
<math>\exist p_1 \in \mathbb{N}: m_1=a \cdot p_1+r_1</math>
====Voraussetzung 1.2====
<math>\exist p_2 \in \mathbb{N}: m_2=a \cdot p_2+r_1</math>
===Voraussetzung 2===

also:

====Voraussetzung 2.1====

====Voraussetzung 2.2====

===Behauptung===

===Beweis===

=Aufgabe 3.2=
==Aufgabe 3.2 a)==
* Achsensymmetrie 1:
* Achsensymmetrie 2:
* Achsensymmetrie 3:
* Achsensymmetrie 4:
==Aufgabe 3.2 b)==
* Drehung 1:
* Drehung 2:
* Drehung 3:
* Drehung 4:
==Aufgabe 3.2 c)==
*(a) gleichzeitig zwei Drehsymmetrien und zwei Achsensymmetrien haben :
*(b) nur Achsensymmetrien haben:
*(c) nur Drehsymmetrien haben:
*(d) genau eine Achsensymmetrie haben:
*(e) genau zwei Achsensymmetrien haben:
*(f) bei folgenden Viereckstypen sind alle Repräsentanten ähnlich zueinander:
==Aufgabe 3.2 d)==
Schiefdrachen:

==Aufgabe 3.2 e)==
Drachen
==Aufgabe 3.2 f)==
Raute unter Verwendung des unmittelbaren Oberbegriffs
==Aufgabe 3.2 g)==
Haus der Vierecke unter dem Gesichtspunkt Symmetrien:
z.B.
* 8 Symmetrien
* 7 Symmetrien
* 6 Symmetrien
* 5 Symmetrien
* 4 Symmetrien
...
**

=Aufgabe 3.3=
==Aufgabe 3.3 a)==
Definition:(Mittelsenkrechte) 
:Wenn eine Gerade <math>m</math> eine Strecke in deren Mittelpunkt in einem rechten Winkel schneidet, so ist diese Gerade die Mittelsenkrechte der Strecke.

==Aufgabe 3.3 b)==
Satz 3.2: (Halbes Mittelsenkrechtenkriterium) 
:Es sei <math>m</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>. 
: <math>\forall P \in m: \overline{PA} \cong \overline{PB}</math>. 

Formulieren Sie Satz 3.2 in "`Wenn Dann"' ohne die Verwendung von mathematischer Formelsprache. 

Wenn ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>m</math> liegt, dann hat er denselben Abstand zu Punkt <math>A</math> wie zu Punkt <math>B</math>.

==Aufgabe 3.3 c)==
Formulieren Sie Satz 3.2 in mathematischer Formelsprache, ohne den Allquantor zu verwenden:

==Aufgabe 3.3 d)==
Beweis von Satz 3.2

==Aufgabe 3.3 e)==
Umkehrung von Satz 3.2 
Es sei <math>m</math> eine Gerade, die die Strecke <math>\overline{AB}</math> schneidet. 
Wenn <math>\forall P \in m: \overline{PA} \cong \overline{PB}</math> gilt, dann ist m die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

==Aufgabe 3.3 f)==
Äquivalenz, Mittelsenkrechtenkriterium

==Aufgabe 3.3 g)==
Es sei <math>a \Rightarrow b</math> eine Implikation. Unter der Kontraposition dieser Implikation versteht man die Implikation <math>\neg b \Rightarrow \neg a</math>. Formulieren Sie die Kontraposition von Satz 3.2.
==Aufgabe 3.3 h)==
Begründen Sie in der ebenen Geometrie: Es seien <math>k_1, k_2, k_3</math> drei Kreise mit den Mittelpunkten <math>M_1, M_2, M_3</math>. Wenn der Schnitt aller drei Kreise genau zwei Punkte beinhaltet, dann sind <math>M_1, M_2, M_3</math> kollinear. 
(Googeln Sie ggf. kollinear.)

=Aufgabe 3.4=
==Aufgabe 3.4 a)==
Definieren Sie den Begriff Drachenviereck über die Diagonaleneigenschaft.

==Aufgabe 3.4 b)==
Es sei <math>\overline{ABCD}</math> ein Viereck mit <math>\overline{AB} \cong \overline{AD} \land \overline{CB} \cong \overline{CD}</math>. Beweisen Sie, dass <math>\overline{ABCD}</math> ein Drachen ist.

==Aufgabe 3.4 c)==
Definieren sie Rauten als spezielle Drachen.

=Aufgabe 3.5=
==Aufgabe 3.5 a)==
Schauen Sie in den Quelltext. Die Logik der Tabellenbeschreibung sollte sich Ihnen recht schnell erschließen. Ersetzen Sie das Konstrukt \ldots durch die jeweilige Lösung. 

<math>
\begin{array}{|c|c|c|} \hline
a & b & a \land b \\ \hline
falsch & falsch & falsch \\ \hline
falsch & wahr & falsch \\ \hline
wahr & falsch & falsch \\ \hline
wahr & wahr& wahr \\ \hline
\end{array}
</math>

==Aufgabe 3.5 b)==
Schauen Sie in den Quelltext. Die Logik der Tabellenbeschreibung sollte sich Ihnen recht schnell erschließen. Ersetzen Sie das Konstrukt \ldots durch die jeweilige Lösung. 

<math>
\begin{array}{|c|c|c|} \hline
a & b & a \lor b \\ \hline
falsch & falsch & \ldots \\ \hline
falsch & wahr & \ldots \\ \hline
wahr & falsch & \ldots \\ \hline
wahr & wahr& \ldots \\ \hline
\end{array}
</math>

==Aufgabe 3.5 c)==
Schauen Sie in den Quelltext. Die Logik der Tabellenbeschreibung sollte sich Ihnen recht schnell erschließen. Ersetzen Sie das Konstrukt \ldots durch die jeweilige Lösung. 

<math>
\begin{array}{|c|c|c|} \hline
a & b & a \veebar b \\ \hline
falsch & falsch & \ldots \\ \hline
falsch & wahr & \ldots \\ \hline
wahr & falsch & \ldots \\ \hline
wahr & wahr& \ldots \\ \hline
\end{array}
</math>

=Aufgabe 3.6=
Um ein grundlegendes Verständnis für einen Begriff zu vermitteln, arbeitet man im Mathematikunterricht mit vielen Beispielen und Gegenbeispielen. Für den Begriff "`Mittelsenkrechte"' müssen prinzipiell zwei Bedingungen erfüllt sein: Die Gerade muss senkrecht auf der Strecke stehen <math>(\perp)</math> und diese halbieren <math>(\frac{1}{2})</math>. Dann und nur dann, wenn die Verknüpfung <math>\perp \land \frac{1}{2}</math> wahr ist, darf die entsprechende Gerade Mittelsenkrechte der jeweiligen Strecke genannt werden. Aus diesem "`und-Konstrukt"' lässt sich eine grundlegende Klassifizierung von Gegenbeispielen bezüglich einer didaktisch wertvollen schulischen Erabeitung des Begriffs Mittelsenkrechte ableiten. Beschreiben Sie diese Klassifizierung.
 

Kleiner Tip: 

<math>
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
\perp & \frac{1}{2} & Mittelsenkrechte & Typ \\ \hline
falsch & falsch & \ldots & 1 \\ \hline
falsch & wahr & \ldots & 2\\ \hline
wahr & falsch & \ldots & 3 \\ \hline
wahr & wahr& \ldots & 4\\ \hline
\end{array}
</math>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Lösungen zu den Übungsaufgaben der Serie 3 SoSe 2020

2020-05-18T14:32:09Z

N we03: /* Aufgabe 3.3 e) */

=Aufgabe 3.1=
==Aufgabe 3.1 a)==
Schauen Sie in den Qelltext. Die Tilde ~ muss jeweils ersetzt werden. 
Wenn Sie mit der Tabellensyntax nicht klar kommen, schauen Sie sich erst die Aufgabe 3.5 an. Die Tabellen sind kleiner und übersichtlicher und damit schneller zu verstehen. 

<math>
\begin{array}{|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline
Bsp. & a & m_1 & m_1 : a & m_2 & m_2 : a & n_1 & n_1 : a & n_2 & n_2 : a & m_1 + n_1 &(m_1 + n_1):a & m_2 + n_2 & (m_2 + n_2):a \\ \hline
0 & 4 & 7 & 1~R~3 & 11 & 2~R~3 & 5 & 1~R~1 & 9~ & 1~R~1 & 7+5=12 & 3~R~0 & 11 + 5 = 16 & 4~R~0 \\ \hline
1 & 7 & 15 & 2~R~1 &8 &1~R~1 &13 &1~R~6 &20 &2~R~6 & 15+13=28 &4~R~0 & 8+20=28 &4~R~0 \\ \hline
2 & ~ & ~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ \\ \hline
3 & ~ & ~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ \\ \hline
4 & ~ & ~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ \\ \hline
\end{array}
</math>

==Aufgabe 3.1 b)==
===Voraussetzung 1===
<math>m_1</math> und <math>m_2</math> lassen bei Division durch <math>4</math> denselben Rest <math>r_1</math>. 
also:
====Voraussetzung 1.1====
<math>\exist p_1 \in \mathbb{N}: m_1=4p_1+r_1</math>
====Voraussetzung 1.2====
<math>\exist p_2 \in \mathbb{N}: m_2=4p_2+r_1</math>
===Voraussetzung 2====
<math>n_1</math> und <math>n_2</math> lassen bei Division durch <math>4</math> denselben Rest <math>r_2</math>. 
also:
====Voraussetzung 2.1===
<math>\exist q_1 \in \mathbb{N}: n_1=4p_1+r_2</math>
====Voraussetzung 2.2====
<math>\ldots</math>

===Behauptung===
<math>m_1 + n_1</math> sowie <math>m_2+n_2</math> lassen bei Division durch <math>4</math> jeweils denselben Rest <math>r_3</math>. 
Oder anders ausgedrückt: 
Es sei <math>r_3</math> der Rest, der bei der Division von <math>m_1+n_1</math> durch <math>4</math> gelassen wird. 
Behauptung (und damit zu zeigen): <math>r_3</math> wird auch bei der Division von <math>m_2+n_2</math> durch <math>4</math> gelassen.
===Beweis===

==Aufgabe 3.1 c)==
===Voraussetzung 1===
<math>m_1</math> und <math>m_2</math> lassen bei Division durch <math>a</math> denselben Rest <math>r_1</math>. 
also:
====Voraussetzung 1.1====
<math>\exist p_1 \in \mathbb{N}: m_1=a \cdot p_1+r_1</math>
====Voraussetzung 1.2====
<math>\exist p_2 \in \mathbb{N}: m_2=a \cdot p_2+r_1</math>
===Voraussetzung 2===

also:

====Voraussetzung 2.1====

====Voraussetzung 2.2====

===Behauptung===

===Beweis===

=Aufgabe 3.2=
==Aufgabe 3.2 a)==
* Achsensymmetrie 1:
* Achsensymmetrie 2:
* Achsensymmetrie 3:
* Achsensymmetrie 4:
==Aufgabe 3.2 b)==
* Drehung 1:
* Drehung 2:
* Drehung 3:
* Drehung 4:
==Aufgabe 3.2 c)==
*(a) gleichzeitig zwei Drehsymmetrien und zwei Achsensymmetrien haben :
*(b) nur Achsensymmetrien haben:
*(c) nur Drehsymmetrien haben:
*(d) genau eine Achsensymmetrie haben:
*(e) genau zwei Achsensymmetrien haben:
*(f) bei folgenden Viereckstypen sind alle Repräsentanten ähnlich zueinander:
==Aufgabe 3.2 d)==
Schiefdrachen:

==Aufgabe 3.2 e)==
Drachen
==Aufgabe 3.2 f)==
Raute unter Verwendung des unmittelbaren Oberbegriffs
==Aufgabe 3.2 g)==
Haus der Vierecke unter dem Gesichtspunkt Symmetrien:
z.B.
* 8 Symmetrien
* 7 Symmetrien
* 6 Symmetrien
* 5 Symmetrien
* 4 Symmetrien
...
**

=Aufgabe 3.3=
==Aufgabe 3.3 a)==
Definition:(Mittelsenkrechte) 
:Wenn eine Gerade <math>m</math> eine Strecke in deren Mittelpunkt in einem rechten Winkel schneidet, so ist diese Gerade die Mittelsenkrechte der Strecke.

==Aufgabe 3.3 b)==
Satz 3.2: (Halbes Mittelsenkrechtenkriterium) 
:Es sei <math>m</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>. 
: <math>\forall P \in m: \overline{PA} \cong \overline{PB}</math>. 

Formulieren Sie Satz 3.2 in "`Wenn Dann"' ohne die Verwendung von mathematischer Formelsprache. 

Wenn ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>m</math> liegt, dann hat er denselben Abstand zu Punkt <math>A</math> wie zu Punkt <math>B</math>.

==Aufgabe 3.3 c)==
Formulieren Sie Satz 3.2 in mathematischer Formelsprache, ohne den Allquantor zu verwenden:

==Aufgabe 3.3 d)==
Beweis von Satz 3.2

==Aufgabe 3.3 e)==
Umkehrung von Satz 3.2
Es sei <math>m</math> eine Gerade, die die Strecke <math>\overline{AB}</math> schneidet. 
Wenn <math>\forall P \in m: \overline{PA} \cong \overline{PB}</math> gilt, dann ist m die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

==Aufgabe 3.3 f)==
Äquivalenz, Mittelsenkrechtenkriterium

==Aufgabe 3.3 g)==
Es sei <math>a \Rightarrow b</math> eine Implikation. Unter der Kontraposition dieser Implikation versteht man die Implikation <math>\neg b \Rightarrow \neg a</math>. Formulieren Sie die Kontraposition von Satz 3.2.
==Aufgabe 3.3 h)==
Begründen Sie in der ebenen Geometrie: Es seien <math>k_1, k_2, k_3</math> drei Kreise mit den Mittelpunkten <math>M_1, M_2, M_3</math>. Wenn der Schnitt aller drei Kreise genau zwei Punkte beinhaltet, dann sind <math>M_1, M_2, M_3</math> kollinear. 
(Googeln Sie ggf. kollinear.)

=Aufgabe 3.4=
==Aufgabe 3.4 a)==
Definieren Sie den Begriff Drachenviereck über die Diagonaleneigenschaft.

==Aufgabe 3.4 b)==
Es sei <math>\overline{ABCD}</math> ein Viereck mit <math>\overline{AB} \cong \overline{AD} \land \overline{CB} \cong \overline{CD}</math>. Beweisen Sie, dass <math>\overline{ABCD}</math> ein Drachen ist.

==Aufgabe 3.4 c)==
Definieren sie Rauten als spezielle Drachen.

=Aufgabe 3.5=
==Aufgabe 3.5 a)==
Schauen Sie in den Quelltext. Die Logik der Tabellenbeschreibung sollte sich Ihnen recht schnell erschließen. Ersetzen Sie das Konstrukt \ldots durch die jeweilige Lösung. 

<math>
\begin{array}{|c|c|c|} \hline
a & b & a \land b \\ \hline
falsch & falsch & falsch \\ \hline
falsch & wahr & falsch \\ \hline
wahr & falsch & falsch \\ \hline
wahr & wahr& wahr \\ \hline
\end{array}
</math>

==Aufgabe 3.5 b)==
Schauen Sie in den Quelltext. Die Logik der Tabellenbeschreibung sollte sich Ihnen recht schnell erschließen. Ersetzen Sie das Konstrukt \ldots durch die jeweilige Lösung. 

<math>
\begin{array}{|c|c|c|} \hline
a & b & a \lor b \\ \hline
falsch & falsch & \ldots \\ \hline
falsch & wahr & \ldots \\ \hline
wahr & falsch & \ldots \\ \hline
wahr & wahr& \ldots \\ \hline
\end{array}
</math>

==Aufgabe 3.5 c)==
Schauen Sie in den Quelltext. Die Logik der Tabellenbeschreibung sollte sich Ihnen recht schnell erschließen. Ersetzen Sie das Konstrukt \ldots durch die jeweilige Lösung. 

<math>
\begin{array}{|c|c|c|} \hline
a & b & a \veebar b \\ \hline
falsch & falsch & \ldots \\ \hline
falsch & wahr & \ldots \\ \hline
wahr & falsch & \ldots \\ \hline
wahr & wahr& \ldots \\ \hline
\end{array}
</math>

=Aufgabe 3.6=
Um ein grundlegendes Verständnis für einen Begriff zu vermitteln, arbeitet man im Mathematikunterricht mit vielen Beispielen und Gegenbeispielen. Für den Begriff "`Mittelsenkrechte"' müssen prinzipiell zwei Bedingungen erfüllt sein: Die Gerade muss senkrecht auf der Strecke stehen <math>(\perp)</math> und diese halbieren <math>(\frac{1}{2})</math>. Dann und nur dann, wenn die Verknüpfung <math>\perp \land \frac{1}{2}</math> wahr ist, darf die entsprechende Gerade Mittelsenkrechte der jeweiligen Strecke genannt werden. Aus diesem "`und-Konstrukt"' lässt sich eine grundlegende Klassifizierung von Gegenbeispielen bezüglich einer didaktisch wertvollen schulischen Erabeitung des Begriffs Mittelsenkrechte ableiten. Beschreiben Sie diese Klassifizierung.
 

Kleiner Tip: 

<math>
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
\perp & \frac{1}{2} & Mittelsenkrechte & Typ \\ \hline
falsch & falsch & \ldots & 1 \\ \hline
falsch & wahr & \ldots & 2\\ \hline
wahr & falsch & \ldots & 3 \\ \hline
wahr & wahr& \ldots & 4\\ \hline
\end{array}
</math>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Lösungen zu den Übungsaufgaben der Serie 3 SoSe 2020

2020-05-18T14:25:05Z

N we03: /* Aufgabe 3.3 b) */

=Aufgabe 3.1=
==Aufgabe 3.1 a)==
Schauen Sie in den Qelltext. Die Tilde ~ muss jeweils ersetzt werden. 
Wenn Sie mit der Tabellensyntax nicht klar kommen, schauen Sie sich erst die Aufgabe 3.5 an. Die Tabellen sind kleiner und übersichtlicher und damit schneller zu verstehen. 

<math>
\begin{array}{|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|} \hline
Bsp. & a & m_1 & m_1 : a & m_2 & m_2 : a & n_1 & n_1 : a & n_2 & n_2 : a & m_1 + n_1 &(m_1 + n_1):a & m_2 + n_2 & (m_2 + n_2):a \\ \hline
0 & 4 & 7 & 1~R~3 & 11 & 2~R~3 & 5 & 1~R~1 & 9~ & 1~R~1 & 7+5=12 & 3~R~0 & 11 + 5 = 16 & 4~R~0 \\ \hline
1 & 7 & 15 & 2~R~1 &8 &1~R~1 &13 &1~R~6 &20 &2~R~6 & 15+13=28 &4~R~0 & 8+20=28 &4~R~0 \\ \hline
2 & ~ & ~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ \\ \hline
3 & ~ & ~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ \\ \hline
4 & ~ & ~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ &~ \\ \hline
\end{array}
</math>

==Aufgabe 3.1 b)==
===Voraussetzung 1===
<math>m_1</math> und <math>m_2</math> lassen bei Division durch <math>4</math> denselben Rest <math>r_1</math>. 
also:
====Voraussetzung 1.1====
<math>\exist p_1 \in \mathbb{N}: m_1=4p_1+r_1</math>
====Voraussetzung 1.2====
<math>\exist p_2 \in \mathbb{N}: m_2=4p_2+r_1</math>
===Voraussetzung 2====
<math>n_1</math> und <math>n_2</math> lassen bei Division durch <math>4</math> denselben Rest <math>r_2</math>. 
also:
====Voraussetzung 2.1===
<math>\exist q_1 \in \mathbb{N}: n_1=4p_1+r_2</math>
====Voraussetzung 2.2====
<math>\ldots</math>

===Behauptung===
<math>m_1 + n_1</math> sowie <math>m_2+n_2</math> lassen bei Division durch <math>4</math> jeweils denselben Rest <math>r_3</math>. 
Oder anders ausgedrückt: 
Es sei <math>r_3</math> der Rest, der bei der Division von <math>m_1+n_1</math> durch <math>4</math> gelassen wird. 
Behauptung (und damit zu zeigen): <math>r_3</math> wird auch bei der Division von <math>m_2+n_2</math> durch <math>4</math> gelassen.
===Beweis===

==Aufgabe 3.1 c)==
===Voraussetzung 1===
<math>m_1</math> und <math>m_2</math> lassen bei Division durch <math>a</math> denselben Rest <math>r_1</math>. 
also:
====Voraussetzung 1.1====
<math>\exist p_1 \in \mathbb{N}: m_1=a \cdot p_1+r_1</math>
====Voraussetzung 1.2====
<math>\exist p_2 \in \mathbb{N}: m_2=a \cdot p_2+r_1</math>
===Voraussetzung 2===

also:

====Voraussetzung 2.1====

====Voraussetzung 2.2====

===Behauptung===

===Beweis===

=Aufgabe 3.2=
==Aufgabe 3.2 a)==
* Achsensymmetrie 1:
* Achsensymmetrie 2:
* Achsensymmetrie 3:
* Achsensymmetrie 4:
==Aufgabe 3.2 b)==
* Drehung 1:
* Drehung 2:
* Drehung 3:
* Drehung 4:
==Aufgabe 3.2 c)==
*(a) gleichzeitig zwei Drehsymmetrien und zwei Achsensymmetrien haben :
*(b) nur Achsensymmetrien haben:
*(c) nur Drehsymmetrien haben:
*(d) genau eine Achsensymmetrie haben:
*(e) genau zwei Achsensymmetrien haben:
*(f) bei folgenden Viereckstypen sind alle Repräsentanten ähnlich zueinander:
==Aufgabe 3.2 d)==
Schiefdrachen:

==Aufgabe 3.2 e)==
Drachen
==Aufgabe 3.2 f)==
Raute unter Verwendung des unmittelbaren Oberbegriffs
==Aufgabe 3.2 g)==
Haus der Vierecke unter dem Gesichtspunkt Symmetrien:
z.B.
* 8 Symmetrien
* 7 Symmetrien
* 6 Symmetrien
* 5 Symmetrien
* 4 Symmetrien
...
**

=Aufgabe 3.3=
==Aufgabe 3.3 a)==
Definition:(Mittelsenkrechte) 
:Wenn eine Gerade <math>m</math> eine Strecke in deren Mittelpunkt in einem rechten Winkel schneidet, so ist diese Gerade die Mittelsenkrechte der Strecke.

==Aufgabe 3.3 b)==
Satz 3.2: (Halbes Mittelsenkrechtenkriterium) 
:Es sei <math>m</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>. 
: <math>\forall P \in m: \overline{PA} \cong \overline{PB}</math>. 

Formulieren Sie Satz 3.2 in "`Wenn Dann"' ohne die Verwendung von mathematischer Formelsprache. 

Wenn ein Punkt <math>P</math> auf der Geraden <math>m</math> liegt, dann hat er denselben Abstand zu Punkt <math>A</math> wie zu Punkt <math>B</math>.

==Aufgabe 3.3 c)==
Formulieren Sie Satz 3.2 in mathematischer Formelsprache, ohne den Allquantor zu verwenden:

==Aufgabe 3.3 d)==
Beweis von Satz 3.2

==Aufgabe 3.3 e)==
Umkehrung von Satz 3.2

==Aufgabe 3.3 f)==
Äquivalenz, Mittelsenkrechtenkriterium

==Aufgabe 3.3 g)==
Es sei <math>a \Rightarrow b</math> eine Implikation. Unter der Kontraposition dieser Implikation versteht man die Implikation <math>\neg b \Rightarrow \neg a</math>. Formulieren Sie die Kontraposition von Satz 3.2.
==Aufgabe 3.3 h)==
Begründen Sie in der ebenen Geometrie: Es seien <math>k_1, k_2, k_3</math> drei Kreise mit den Mittelpunkten <math>M_1, M_2, M_3</math>. Wenn der Schnitt aller drei Kreise genau zwei Punkte beinhaltet, dann sind <math>M_1, M_2, M_3</math> kollinear. 
(Googeln Sie ggf. kollinear.)

=Aufgabe 3.4=
==Aufgabe 3.4 a)==
Definieren Sie den Begriff Drachenviereck über die Diagonaleneigenschaft.

==Aufgabe 3.4 b)==
Es sei <math>\overline{ABCD}</math> ein Viereck mit <math>\overline{AB} \cong \overline{AD} \land \overline{CB} \cong \overline{CD}</math>. Beweisen Sie, dass <math>\overline{ABCD}</math> ein Drachen ist.

==Aufgabe 3.4 c)==
Definieren sie Rauten als spezielle Drachen.

=Aufgabe 3.5=
==Aufgabe 3.5 a)==
Schauen Sie in den Quelltext. Die Logik der Tabellenbeschreibung sollte sich Ihnen recht schnell erschließen. Ersetzen Sie das Konstrukt \ldots durch die jeweilige Lösung. 

<math>
\begin{array}{|c|c|c|} \hline
a & b & a \land b \\ \hline
falsch & falsch & falsch \\ \hline
falsch & wahr & falsch \\ \hline
wahr & falsch & falsch \\ \hline
wahr & wahr& wahr \\ \hline
\end{array}
</math>

==Aufgabe 3.5 b)==
Schauen Sie in den Quelltext. Die Logik der Tabellenbeschreibung sollte sich Ihnen recht schnell erschließen. Ersetzen Sie das Konstrukt \ldots durch die jeweilige Lösung. 

<math>
\begin{array}{|c|c|c|} \hline
a & b & a \lor b \\ \hline
falsch & falsch & \ldots \\ \hline
falsch & wahr & \ldots \\ \hline
wahr & falsch & \ldots \\ \hline
wahr & wahr& \ldots \\ \hline
\end{array}
</math>

==Aufgabe 3.5 c)==
Schauen Sie in den Quelltext. Die Logik der Tabellenbeschreibung sollte sich Ihnen recht schnell erschließen. Ersetzen Sie das Konstrukt \ldots durch die jeweilige Lösung. 

<math>
\begin{array}{|c|c|c|} \hline
a & b & a \veebar b \\ \hline
falsch & falsch & \ldots \\ \hline
falsch & wahr & \ldots \\ \hline
wahr & falsch & \ldots \\ \hline
wahr & wahr& \ldots \\ \hline
\end{array}
</math>

=Aufgabe 3.6=
Um ein grundlegendes Verständnis für einen Begriff zu vermitteln, arbeitet man im Mathematikunterricht mit vielen Beispielen und Gegenbeispielen. Für den Begriff "`Mittelsenkrechte"' müssen prinzipiell zwei Bedingungen erfüllt sein: Die Gerade muss senkrecht auf der Strecke stehen <math>(\perp)</math> und diese halbieren <math>(\frac{1}{2})</math>. Dann und nur dann, wenn die Verknüpfung <math>\perp \land \frac{1}{2}</math> wahr ist, darf die entsprechende Gerade Mittelsenkrechte der jeweiligen Strecke genannt werden. Aus diesem "`und-Konstrukt"' lässt sich eine grundlegende Klassifizierung von Gegenbeispielen bezüglich einer didaktisch wertvollen schulischen Erabeitung des Begriffs Mittelsenkrechte ableiten. Beschreiben Sie diese Klassifizierung.
 

Kleiner Tip: 

<math>
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
\perp & \frac{1}{2} & Mittelsenkrechte & Typ \\ \hline
falsch & falsch & \ldots & 1 \\ \hline
falsch & wahr & \ldots & 2\\ \hline
wahr & falsch & \ldots & 3 \\ \hline
wahr & wahr& \ldots & 4\\ \hline
\end{array}
</math>

[[Kategorie:Einführung_S]]