Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Probeklausur WS 12 13 Aufgabe 1

2013-02-09T19:52:50Z

Natürliches Mineralwasser: /* Aufgabe d */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



=Aufgabe a=
Es seien <math>A</math> und <math>B</math> zwei verschiedene Punkte. Ergänzen Sie <math>\overline{AB}:= \ldots</math> .
==Lösung User Ron==
{P/ Zw (A,P,B)} U {A,B}
===Bewertung===
2 von 2 Punkten

==Lösung User ...==

=Aufgabe b=
Definieren Sie den Begriff ''komplanar'' für die Anzahl von Punkten, ab der der Begriff sinnvoll ist.

==Lösung User ...==

Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
===Bewertung===
1 von 2 Punkten --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:01, 4. Feb. 2013 (CET)

Vier Punkte heißen komplanar, wenn sie in ein und derselben Ebene liegen.--[[Benutzer:Caro44|Caro44]] 20:01, 4. Feb. 2013 (CET)

Vier Punkte A, B, C, und D sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle diese Punkte enthält. --[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 10:45, 5. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==
 
Drei Punkte heißen komplanar, wenn es ein Ebene gibt, die alle Punkte A,B,C enthällt. 
komp(A,B,C) 
(AxiomI/4) --[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:08, 5. Feb. 2013 (CET)

=Aufgabe c=
Definieren Sie den Begriff ''Raute'' unter Verwendung des Oberbegriffs ''Viereck''.

==Lösung User Ron==

Ein Viereck ist eine Raute, wenn alle vier Seiten gleich lang sind.
===Bewertung===
2 von 2 Punkten--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:02, 4. Feb. 2013 (CET)

=== Lösung ...lw)... ===
Eine Raute ist ein Viereck mit zwei Paar paralleler und 3 gleichlangen Seiten. --[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 10:46, 5. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User Ron==

Wenn ein Viereck eine Raute ist, dann sind alle vier Seiten des Vierecks gleich lang.
===Bewertung===
0 von 2 Punkten--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:03, 4. Feb. 2013 (CET)

=Aufgabe d=
Nur unter Verwendung der Eigenschaft <math>E_1</math> sei der Begriff <math>B</math> korrekt definiert. Es stellt sich heraus, dass <math>B</math> ebenso korrekt über die Eigenschaft <math>E_2</math> hätte definiert werden können. Was ist <math>E_1</math> hinsichtlich einer Entscheidung, ob ein Repräsentant <math>R</math> zum Begriff <math>B</math> gehört?

==Lösung User Ron==

Ein Kriterium 
 Frage dazu: Wenn es ein Kriterium ist, kann man dann auch sagen, dass es notwendig und hinreichend ist?--[[Benutzer:B.....|B.....]] 20:20, 5. Feb. 2013 (CET)
===Bewertung===
2 von 2 Punkten
 
Warum ist das ein Kriterium?--[[Benutzer:Natürliches Mineralwasser|Natürliches Mineralwasser]] 20:52, 9. Feb. 2013 (CET) 
==Lösung User --[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 19:27, 5. Feb. 2013 (CET)==

Hinreichende Bedingung

===Bewertung===
? von 2 Punkten

==Lösung User ...==

=Aufgabe e=

Es sei <math>R</math> ein beliebiger Punkt und <math>r \in \mathbb{R}, r>0</math>. Was ist das? <math>M:=\left\{P||RP|\leq r \right\}</math>.
 
Die Punktmenge M ist das Volumen einer Kugel mit Mittelpunkt R und Radius r.--[[Benutzer:Natürliches Mineralwasser|Natürliches Mineralwasser]] 20:50, 9. Feb. 2013 (CET) 
==Lösung User ...==

Eine Kugel
===Bewertung===
1 von 2 Punkten--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:04, 4. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User Aaliyah==

Es ist eine Kugel um P mit dem Radius r inklusive ihres Inneren.--[[Benutzer:Aaliyah|Aaliyah]] 18:55, 4. Feb. 2013 (CET)

=== Lösung User ...lw)... ===
M ist eine Kugel mit dem Radius RP. --[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 10:50, 5. Feb. 2013 (CET)

=Aufgabe f=
Definieren Sie den Begriff ''Rechter Winkel'' wie in der Vorlesung.

==Lösung User Ron==

Ein Winkel, der so groß ist, wie einer seiner Nebenwinkel, nennt man rechter Winkel.

===Bewertung===
2 von 2 Punkten mit sehr großen Bauchschmerzen: 
Wen oder was nennt man rechter Winkel? Ein'''en''' Winkel, der ...--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:06, 4. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User Aaliyah==

Wenn ein Winkel so groß ist, wie einer seiner Nebenwinkel, dann ist der Winkel ein Rechter.--[[Benutzer:Aaliyah|Aaliyah]] 18:57, 4. Feb. 2013 (CET)

=Aufgabe g=
Ergänzen Sie die folgende Definition: Zwei Geraden <math>a</math> und <math>b</math> sind windschief, wenn <math>\ldots</math>

==Lösung User Ron==

,wenn sie nicht parallel sind und keinen gemeinsamen Schnittpunkt(schnittfrei sind) haben
===Bewertung===
2 von 2 Punkten, besser ''schnittpunktfrei'' --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:08, 4. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==

=Aufgabe h=
Definieren Sie den Begriff Tangentialebene einer Kugel.

==Lösung User Ron==

Eine Ebene, welche eine Kugel in einem Punkt berührt, nennt man Tangentialebene

===Bewertung===
1 von 2 Punkten--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:10, 4. Feb. 2013 (CET) 
Tangentialebene sein ist eine zweistellige Relation, es macht erst Sinn, wenn man formuliert ''Tangentialebene der ...''

==Lösung User Aaliyah==

Es sei k eine Kugel. Eine Ebene E, die mit der Kugel k genau einen Berührpunkt B hat, nennt man Tangentialebene an der Kugel k.--[[Benutzer:Aaliyah|Aaliyah]] 19:00, 4. Feb. 2013 (CET)


|}
</div>
[[Kategorie:Einführung_S]]

Probeklausur WS 12 13 Aufgabe 1

2013-02-09T19:50:51Z

Natürliches Mineralwasser: /* Aufgabe e */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



=Aufgabe a=
Es seien <math>A</math> und <math>B</math> zwei verschiedene Punkte. Ergänzen Sie <math>\overline{AB}:= \ldots</math> .
==Lösung User Ron==
{P/ Zw (A,P,B)} U {A,B}
===Bewertung===
2 von 2 Punkten

==Lösung User ...==

=Aufgabe b=
Definieren Sie den Begriff ''komplanar'' für die Anzahl von Punkten, ab der der Begriff sinnvoll ist.

==Lösung User ...==

Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
===Bewertung===
1 von 2 Punkten --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:01, 4. Feb. 2013 (CET)

Vier Punkte heißen komplanar, wenn sie in ein und derselben Ebene liegen.--[[Benutzer:Caro44|Caro44]] 20:01, 4. Feb. 2013 (CET)

Vier Punkte A, B, C, und D sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle diese Punkte enthält. --[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 10:45, 5. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==
 
Drei Punkte heißen komplanar, wenn es ein Ebene gibt, die alle Punkte A,B,C enthällt. 
komp(A,B,C) 
(AxiomI/4) --[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:08, 5. Feb. 2013 (CET)

=Aufgabe c=
Definieren Sie den Begriff ''Raute'' unter Verwendung des Oberbegriffs ''Viereck''.

==Lösung User Ron==

Ein Viereck ist eine Raute, wenn alle vier Seiten gleich lang sind.
===Bewertung===
2 von 2 Punkten--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:02, 4. Feb. 2013 (CET)

=== Lösung ...lw)... ===
Eine Raute ist ein Viereck mit zwei Paar paralleler und 3 gleichlangen Seiten. --[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 10:46, 5. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User Ron==

Wenn ein Viereck eine Raute ist, dann sind alle vier Seiten des Vierecks gleich lang.
===Bewertung===
0 von 2 Punkten--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:03, 4. Feb. 2013 (CET)

=Aufgabe d=
Nur unter Verwendung der Eigenschaft <math>E_1</math> sei der Begriff <math>B</math> korrekt definiert. Es stellt sich heraus, dass <math>B</math> ebenso korrekt über die Eigenschaft <math>E_2</math> hätte definiert werden können. Was ist <math>E_1</math> hinsichtlich einer Entscheidung, ob ein Repräsentant <math>R</math> zum Begriff <math>B</math> gehört?

==Lösung User Ron==

Ein Kriterium 
 Frage dazu: Wenn es ein Kriterium ist, kann man dann auch sagen, dass es notwendig und hinreichend ist?--[[Benutzer:B.....|B.....]] 20:20, 5. Feb. 2013 (CET)
===Bewertung===
2 von 2 Punkten

==Lösung User --[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 19:27, 5. Feb. 2013 (CET)==

Hinreichende Bedingung

===Bewertung===
? von 2 Punkten

==Lösung User ...==

=Aufgabe e=

Es sei <math>R</math> ein beliebiger Punkt und <math>r \in \mathbb{R}, r>0</math>. Was ist das? <math>M:=\left\{P||RP|\leq r \right\}</math>.
 
Die Punktmenge M ist das Volumen einer Kugel mit Mittelpunkt R und Radius r.--[[Benutzer:Natürliches Mineralwasser|Natürliches Mineralwasser]] 20:50, 9. Feb. 2013 (CET) 
==Lösung User ...==

Eine Kugel
===Bewertung===
1 von 2 Punkten--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:04, 4. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User Aaliyah==

Es ist eine Kugel um P mit dem Radius r inklusive ihres Inneren.--[[Benutzer:Aaliyah|Aaliyah]] 18:55, 4. Feb. 2013 (CET)

=== Lösung User ...lw)... ===
M ist eine Kugel mit dem Radius RP. --[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 10:50, 5. Feb. 2013 (CET)

=Aufgabe f=
Definieren Sie den Begriff ''Rechter Winkel'' wie in der Vorlesung.

==Lösung User Ron==

Ein Winkel, der so groß ist, wie einer seiner Nebenwinkel, nennt man rechter Winkel.

===Bewertung===
2 von 2 Punkten mit sehr großen Bauchschmerzen: 
Wen oder was nennt man rechter Winkel? Ein'''en''' Winkel, der ...--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:06, 4. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User Aaliyah==

Wenn ein Winkel so groß ist, wie einer seiner Nebenwinkel, dann ist der Winkel ein Rechter.--[[Benutzer:Aaliyah|Aaliyah]] 18:57, 4. Feb. 2013 (CET)

=Aufgabe g=
Ergänzen Sie die folgende Definition: Zwei Geraden <math>a</math> und <math>b</math> sind windschief, wenn <math>\ldots</math>

==Lösung User Ron==

,wenn sie nicht parallel sind und keinen gemeinsamen Schnittpunkt(schnittfrei sind) haben
===Bewertung===
2 von 2 Punkten, besser ''schnittpunktfrei'' --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:08, 4. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...==

=Aufgabe h=
Definieren Sie den Begriff Tangentialebene einer Kugel.

==Lösung User Ron==

Eine Ebene, welche eine Kugel in einem Punkt berührt, nennt man Tangentialebene

===Bewertung===
1 von 2 Punkten--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:10, 4. Feb. 2013 (CET) 
Tangentialebene sein ist eine zweistellige Relation, es macht erst Sinn, wenn man formuliert ''Tangentialebene der ...''

==Lösung User Aaliyah==

Es sei k eine Kugel. Eine Ebene E, die mit der Kugel k genau einen Berührpunkt B hat, nennt man Tangentialebene an der Kugel k.--[[Benutzer:Aaliyah|Aaliyah]] 19:00, 4. Feb. 2013 (CET)


|}
</div>
[[Kategorie:Einführung_S]]

Probeklausur WS 12 13 Aufgabe 4

2013-02-09T19:47:16Z

Natürliches Mineralwasser: /* Bemerkung --*m.g.* 13:36, 9. Feb. 2013 (CET) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



{| class="wikitable"

|-
| [[Datei:THales_00.png|300px]] || [[Datei:THales 01.png| 300px]]
|-
|Abbildung 02 || Abbildungs 03
|}

=Aufgabe a=
Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math>, auf <math>k</math> seien drei nichtkollineare Punkte <math>A, B, C</math> gegeben. 
Voraussetzung 1: <math> M \in \overline{AB}</math>, 
Voraussetzung 2: <math>A, B, C \in k</math>, 
Behauptung <math>|\gamma|=|\angle ACB|=90</math>° 
Für den folgenden Beweis beziehen wir uns auf Abb. 03. Hier wurde der Durchmesser <math>\overline{CD}</math> eingezeichnet und zum Viereck <math>\overline{ACBD}</math> ergänzt. Die Korrektheit dieser Konstruktion muss nicht begründet werden. Ergänzen Sie das folgende Beweisfragment:

==Lösung ...lw)...==
{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweisschritt!!Begründung
|-
| (I) || <math>\overline{MC} \tilde= \overline{MA} \tilde= \overline{MD} \tilde= \overline{MB}</math> || ...Vor., Definition Abstand eines Punktes von k zu M (Radius eines Kreises)
|-
| (II) ||<math>|\gamma_1|+|\gamma_2| + |\delta_1| + |\delta_2|=180</math>° || ...Vor., Sehnenviereckskriterium (?)oder Basiswinkelsatz und Rechnen in R (?)
|-
| (III) || <math>\varphi_1 \tilde=\varphi_2 \wedge \varepsilon_1 \tilde= \varepsilon_2</math> || ... Vor., Def. Scheitelwinkel, (I), SWS
|-
| (IV) || <math>\overline{AMC} \tilde= \overline{BMD} \wedge \overline{BMC} \tilde=\overline{AMD}</math> || ... (III), Def. Dreieckskongruenz
|-
|(V)|| <math>\delta_1 \tilde= \gamma_1 \wedge \delta_2 \tilde= \gamma_2</math> || ... (IV), (II), Rechnen in R
|-
|(VI)||<math> |\gamma_1|+|\gamma_2| + |\gamma_1| + |\gamma_2|=180</math>° || ... (V), Rechnen in R
|-
|(VIII)|| <math>|\gamma_1|+|\gamma_2| = |\gamma|=90</math>° || ... (VI), Rechnen in R
|-
|(VII)|| <math>2\cdot\left(|\gamma_1|+|\gamma_2| \right)=180</math>° || ...
|}

Ist so nicht korrekt Orientieren Sie sich an der Lösung von ----B hier drunter. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:32, 9. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User ...--[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:46, 5. Feb. 2013 (CET)==
{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweisschritt!!Begründung
|-
| (I) || <math>\overline{MC} \tilde= \overline{MA} \tilde= \overline{MD} \tilde= \overline{MB}</math> || ... Vor.2, Def. Sehnenviereck
|-
| (II) ||<math>|\gamma_1|+|\gamma_2| + |\delta_1| + |\delta_2|=180</math>° || ...1), Sehnenvierecksktriterium
|-
| (III) || <math>\varphi_1 \tilde=\varphi_2 \wedge \varepsilon_1 \tilde= \varepsilon_2</math> || ... kongruente Scheitelwinkel, Def. Scheitelwinkel
|-
| (IV) || <math>\overline{AMC} \tilde= \overline{BMD} \wedge \overline{BMC} \tilde=\overline{AMD}</math> || ...1), 3), Kongruenzaxiom SWS
|-
|(V)|| <math>\delta_1 \tilde= \gamma_1 \wedge \delta_2 \tilde= \gamma_2</math> || ...4), Def. Dreieckskongruenz
|-
|(VI)||<math> |\gamma_1|+|\gamma_2| + |\gamma_1| + |\gamma_2|=180</math>° || ... 2),5)
|-
|(VIII)|| <math>|\gamma_1|+|\gamma_2| = |\gamma|=90</math>° || ...6), rechnen in R
|-
|(VII)|| <math>2\cdot\left(|\gamma_1|+|\gamma_2| \right)=180</math>° || ... 7), rechen in R
|}

passt, rechnen in R wäre nicht extra nötig gewesen, ist aber natürlich auch nicht falsch.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:37, 9. Feb. 2013 (CET)

=Aufgabe b=
Formulieren Sie den unter a) bewiesenen Satz in allgemeinerer Form unter Verwendung der Begriffe Dreieck und Umkreis in der Form Wenn-Dann.

==Lösung User ...lw)...==
Wenn ein alle drei Punkte A,B,C eines Dreiecks auf dessen Umkreis k liegen und die Basis <math>\overline{AB}</math> ein Druchmesser von k ist, dann ist das Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck. --[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 11:06, 5. Feb. 2013 (CET) 
geht so leider gar nicht--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:19, 5. Feb. 2013 (CET)
==Lösung User ...--[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:48, 5. Feb. 2013 (CET)==
 
Wenn bei einem Dreieck ABC mit dem Umkreis k, der Mittelpunkt M, von dem Kreis k, Teil der Srecke AB ist, dann ist der Winkel ACB = 90.--[[Benutzer:B.....|B.....]] 14:48, 5. Feb. 2013 (CET)

==Lösung User anika1 ==
Wenn alle drei Punkte A,B,C eines Dreicks auf dessen Umkreis liegen und die Basis <math>\overline{AB}</math> ein Durchmesser von k ist, dann ist jeder Peripheriewinkel von k über <math>\overline{AB}</math> ein rechter Winkel. --[[Benutzer:Anika1|Anika1]] 12:58, 9. Feb. 2013 (CET)
===Bemerkung --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:36, 9. Feb. 2013 (CET)===
Was haben die Peripheriewinkel mit dem Dreieck zu tun? Was hat der Umkreis des Dreiecks mit dem Kreis k zu tun? Sie unterstellen sicherlich, dass es ein und derselbe Kreis sein soll, nur kann Ihr Text auch anders interpretiert werden.

Versuchen Sie es wie folgt: Wenn der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks auf einer Seite dieses ..............., dann ist das Dreick ein ......, wobei der rechte Winkel der Seite ........

--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:36, 9. Feb. 2013 (CET)
 
Wenn der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks ABC Teilmenge der Strecke AB ist, dann ist das Dreieck ein rechtwinkliges, wobei die Strecken CA bzw. CB jeweils Teilmengen der Schenkel des rechten Winkels sind.--[[Benutzer:Natürliches Mineralwasser|Natürliches Mineralwasser]] 20:47, 9. Feb. 2013 (CET)


|}
</div>
[[Kategorie:Einführung_S]]

Der Zusammenhang von Seitenlängen und Winkelgrößen im Dreieck (WS 12 13)

2013-02-04T10:42:05Z

Natürliches Mineralwasser: /* Beweis mit Lücken zur Ergänzung */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



===== Satz IX.2: (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>

===== Beweis von Satz IX.2 =====
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck.

Voraussetzung:
 <math>\left| BC \right| > \left| AC \right|</math> bzw. <math>\left| a\right| > \left| b \right|</math> 
Behauptung: 
<math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math> 
Die folgenden Hilfskonstruktionen liefern die Beweisidee (kommentieren Sie die Abbildungen und führen Sie den Beweis):

{| class="wikitable"

| [[Bild:Seite_winkel_01.png]] || [[Bild:Seite_winkel_02.png]]
|-
| Skizze 1 || Skizze 2
|}

 

===== Satz IX.3: (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right| </math>

===== Beweis von Satz IX.3 =====

Übungsaufgabe 
==Beweis von Caro44 ==
[[Datei:Caro44_Winkel_S.JPG]] --[[Benutzer:Caro44|Caro44]] 11:21, 26. Jan. 2013 (CET)
===Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:35, 26. Jan. 2013 (CET)===
*Schritt 3 brauchen Sie nicht: Wir messen den Abstand <math>|AC|</math> und tragen ihn auf <math>CB^+</math> ab.
*Schritt 6 wird ebenso nicht benötigt, Es ist zwar richtig, dass jede Strecke zu sich selbst kongruent ist, da wir aber nicht mit den Dreieckskongruenzsätzen arbeiten brauchen wir eine derartige Feststellung kaum. <math>\overline{ACB'}</math> ist bereits nur entsprechend Schritt 5 gleichschenklig.
*Die weitere Beweisführung sollte ohne den starken Außenwinkelsatz gehen. Die Seiten-Winkel_Beziehungen gelten bereits in der absoluten Geometrie.
==Beweis mit Lücken zur Ergänzung==
Wir beziehen uns auf die Skizzen 1 bzw. 2. 

{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
|-
| (I) || Auf <math>CB^+</math> existiert ein Punkt <math>B'</math>, der zu <math>C</math> den Abstand der Länge <math>|b|</math> der Strecke b hat. || Axiom vom Lineal
|-
|(II)|| Das Dreieck <math>\overline{ACB'}</math> ist gleichschenklig, wobei <math>\overline{AC}</math> und <math>\overline{B'C}</math> die zueinender kongruenten Seiten sind.|| (I)
|-
|(III)|| <math>|\delta_1|=|\delta_2|</math>|| (II), Basiswinkelsatz
|-
|(IV) ||Zw(CB'B)||Vor, (I)
|-
|(V)|| <math>|\alpha|>|\delta_1|=|\delta_2|</math>||Winkeladditionsaxiom
|-
|(VI)||<math>|\delta_2|>|\beta|</math>||schwacher Außenwinkelsatz
|-
|(VII)||<math>|\alpha|>|\beta|</math>||(V), (VI)
|}


|}
===--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:35, 3. Feb. 2013 (CET)===
(IV) mit Definition ''Zwischen'' zu begründen, passt nicht. Sie müssten begründen, warum die Forderungen der Definition erfüllt sind. (I) ist schon mal gut, reicht aber nicht ganz. Tipp: Voraussetzungen 
Dann gilt Zw(CB'B) aufgrund der Voraussetzung <math>\left| BC \right| > \left| AC \right|</math> und Schritt (I). --[[Benutzer:Natürliches Mineralwasser|Natürliches Mineralwasser]] 11:42, 4. Feb. 2013 (CET) 

[[Kategorie:Einführung_S]]

Lösung von Aufg. 10.1 WS 12 13

2013-02-03T17:45:04Z

Natürliches Mineralwasser: /* Bemerkung --*m.g.* 17:57, 19. Jan. 2013 (CET) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |

= Aufgabe 10.1 =
Definieren Sie den Begriff des gleichschenkligen Dreiecks.
Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

Hinweis: Die Schenkel eine Winkels sind Strahlen. Die Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind Strecken.

=Lösung von User ...=
Ein Dreiecke ist ein gleichschenkliges Dreieck, wenn zwei Schenkel kongruent sind. die dritte Seite ist dann die Basisseite. Die Winkel welche an der Basisseite anliegen heißen Basiswinkel und sind gleich groß.
--[[Benutzer:Yellow|Yellow]] 15:27, 16. Jan. 2013 (CET)
==Bemerkung --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:57, 19. Jan. 2013 (CET)==
Von Schenkeln dürfen Sie erst reden, wenn das Dreieck gleichschenklig ist.

Also: Ein Dreieck mit zwei zueinander kongruenten Seiten heißt gleichschenkliges Dreieck. Die beiden zueinander kongruenten Seiten heißen Schenkel des gleichschenkligen Dreiecks, die dritte Seite heißt Basis. Die beiden Winkel, die die Basis als Teilmenge besitzen, heißen Basiswinkel des Dreiecks.--[[Benutzer:Natürliches Mineralwasser|Natürliches Mineralwasser]] 18:45, 3. Feb. 2013 (CET)

=Lösung von User ...=


|}
</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Bin ich fit für die Klausur: das gleichschenklige Trapez WS 12 13

2013-02-03T17:05:59Z

Natürliches Mineralwasser: /* Das gleichschenklige Trapez als symmetrisches Trapez bzw. als Sehnenviereck */

=Vorbemerkung=
In der Datei [[Klausurvorbereitung_WS_12_13:_Lisa_reloaded_oder_der_Heidelberger_Viereckskreis]] haben Sie richtig erkannt, dass es in der Klausur wohl u.a. um gleichschenklige bzw. symmetrische Trapeze gehen wird.

Sie sollten die Zeit nutzen und sich intensiv mit dem Begriff auseinandersetzen.

=Das gleichschenklige Trapez entsprechen der Semantik des Namens=

Der Begriff wird mittels der Eigenschaft Trapez zu sein und die gleichlangen Seiten definiert. Sie sollten in der Lage sein 5 verschiedene Definition diesbezüglich zu entwickeln:

==Definition 1, der Klassiker==
Trapez, zwei Seiten kongruent
{{Definition|gleichschenkliges Trapez Ein Trapez, das zwei kongruente gegenüberliegende Seiten hat, ist dann ein gleichschenkliges Trapez, wenn diese beiden Seiten entweder nicht parallel sind oder das Trapez ein Rechteck ist--LilPonsho 16:08, 31. Jan. 2013 (CET) ....}}

Ein Trapez ist ein gleichschenkliges Trapez, wenn es zwei kongruente Seiten hat. (Dabei wäre auch ein Parallelogramm ein gleichschenkliges Trapez)
--[[Benutzer:Yellow|Yellow]] 22:24, 27. Jan. 2013 (CET)

@ Yellow:
Das ist ganz richtig.
Wichtig ist eventuell zu zeigen, dass nicht jedes gleichschenklige Trapez auch ein symmetrisches Trapez ist.--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 13:55, 28. Jan. 2013 (CET)
 was ist denn der Unterschied zwischen einem gleichschenkligen und einem symmetrischen Trapez ? (Sallyfield)

Ein gleichschenkliges Trapez kann auch ein Parallelogramm sein. Aber nicht jedes Parallelogramm ist symmetrisch. --[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 18:30, 28. Jan. 2013 (CET)

ähhhhmm...

- Nur spezielle Parallelogramme sind gleichschenklige Trapeze! nämlich Rechtecke. Deshalb muss man doch beim Definieren des
gl. Trapezes das Parallelogramm ausschließen, aber Rechtecke als Spezialfall des Parallelogramms muss mit dabei sein?!oder? So haben wir das auch verstanden, wir können doch eigentlich immer das Parallelogramm ausschließen und können von einem Rechteck reden? (Sallyfield) Ein Trapez ist somit ein gleichschenkliges Trapez, wenn es zwei kongruente Seiten hat, die nicht parallel sind außer das Trapez wäre ein Rechteck.
Aber was wäre dann der Unterschied dieser Definition zur zweiten Definition? (Sallyfield)

@sallyfield: ja das hat mich auch erst gewundert, aber jetzt hat Herr Gieding ja was dazugeschrieben weiter unten, dass wir hier bei 1 mit parallel/ bzw. nicht parallel definieren sollen, und bei 2 dann explizit den Begriff des Parallelogramms benutzen sollen. Ich stimme deiner Definition zu! vll muss aber noch das gegenüberliegend rein und ein entweder-oder:
Ein Trapez, das zwei kongruente gegenüberliegende Seiten hat, ist dann ein gleichschenkliges Trapez, wenn diese beiden Seiten entweder nicht parallel sind oder das Trapez ein Rechteck ist.--LilPonsho 20:28, 30. Jan. 2013 (CET)

- was ist der Unterschied zwischen gl. Trapez und einem symetrischen Trapez???--LilPonsho 20:02, 28. Jan. 2013 (CET)

'''Entschuldigt bitte meine Verwirrung, ich bin bis gerade davon ausgegangen, dass ein Parallelogramm automatisch auch ein gleichschenkliges Trapez ist, und bin mir auch immer noch nicht ganz sicher ob es nicht doch der Fall ist.'''

Könnte man denn nicht sagen: Ein Trapez ist dann ein gleichschenkliges, wenn es ein paar kongruenter Seiten hat und ein paar nicht paralleler Seiten oder einen Rechten Innenwinkel hat. Damit wäre das Parallelogramm weitestgehend (bis auf das Rechteck) ausgenommen.--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 14:49, 29. Jan. 2013 (CET)
===Bemerkungen --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:07, 30. Jan. 2013 (CET)===
====Parallelogramme und gleichschenklige Trapeze====
Schauen Sie sich das Haus der Vierecke noch einmal an: Vom Trapez gehen zwei gleichberechtigte Pfeile aus: Parallogramme als ein Spezialfall der Trapeze und gleichschenklige Trapeze als ein zweiter Spezialfall der Trapeze. Beide Teilmengen Parallelogramme als auch gleichschenklige Trapeze befinden sich auf derselben Hierarchiestufe im Haus der Vierecke. Unterhalb dieser Hierarchiestufe wird wieder zusammengeführt: Die Rechtecke sind sowohl Parallelogramme als auch gleichschenklige Trapeze:

[[Datei:Haus_der_Vierecke_02.png]] 

Damit ist ein gleichschenkliges Trapez dann und nur dann ein Parallelogramm, wenn es ein Rechteck ist.

Trapez, zwei Seiten kongruent
{{Definition|gleichschenkliges Trapez Ein Trapez ist gleichschenklig, wenn es entweder ein Rechteck ist oder zwei gegenüberliegende Seiten hat, die '''kongruent zueinander sind und nicht parallel''' (Sallyfield) ...}}
{{Definition|<Ein Trapez, das zwei kongruente gegenüberliegende Seiten hat, ist dann ein gleichschenkliges Trapez, wenn diese beiden Seiten entweder nicht parallel sind oder das Trapez ein Rechteck ist. (LilPonsho)>}}

'''Hier mal mein Versuch: Ein Trapez ist genau dann gleichschenklich, wenn die Diagonalen gleich lang sind. (Waynetrain)''''
@waynetrain: richtige Definition, nur hast du nicht die vorgegebenen Eigenschaften benutzt!--LilPonsho 20:54, 30. Jan. 2013 (CET)

Geht das: Ein trapez mit zwei sich gegenüberliegenden kongruenten Seiten heißt gleichschenkliges Trapez, wenn es kein Parallelogramist , es sei denn, es ist ein Rechteck? beta91

@beta91: ja geht! nur gehört diese Definition zu Definition 2!!! siehe Kommentar von Herr Gieding weiter unten bei Intention...:"Definition 1 verwendet nicht explizit den Begriff Parallelogramm. Wir verwenden stattdessen den Begriff parallel bzw. nicht parallel. In Definition 2 wollen wir explizit den Begriff Parallelogramm verwenden. "--LilPonsho 16:03, 31. Jan. 2013 (CET)

====Symmetrische Trapeze und gleichschenklige Trapeze====
Die Begriffe ''symmetrisches Trapez'' und ''gleichschenkliges Trapez'' sind synonym. Also jedes gleichschenklige Trapez ist ein symmetrisches Trapez und umgekehrt. Wie an anderen Stellen ausgeführt können wir den Begriff der Symmetrie nicht explizit verwenden, da wir ihn nicht definieren im Rahmen der Einführung in die Geometrie. Wir behelfen uns mit speziellen Mittelsenkrechteneigenschaften. Das passt aber nicht in diesen Abschnitt. In diesem Abschnitt zur Definition gleichschenkligen Trapeze verwenden wir die Semantik des Namens gleichschenkliges Trapez und nicht die Semantik des Namens symmetrisches Trapez.

==Definition 2==
Trapez mit gleichlangen Seiten, kein Parallelogram, es sei denn ...
{{Definition|gleichschenkliges Trapez Ein Trapez mit zwei gleichlangen gegenüberliegenden Seiten, das kein Parallelogramm ist, es sei denn es besitzt einen rechten Innenwinkel, heißt gleichschenkliges Trapez --LilPonsho 21:18, 30. Jan. 2013 (CET)

Ein Trapez mit zwei gleichlangen gegenüberliegenden Seiten, das kein Parallelogramm ist, es sei denn es es ist ein Rechteck, heißt gleichschenkliges Trapez --LilPonsho 21:18, 30. Jan. 2013 (CET)....}}

Ein Trapez ist ein gleichschenkliges Trapez, wenn es zwei kongruente Seiten hat, die nicht parallel sind außer Trapez wäre ein Rechteck.
--[[Benutzer:Yellow|Yellow]] 22:26, 27. Jan. 2013 (CET)
 
Ein Trapez, das zwei kongruente gegenüberliegende Seiten hat, ist dann ein gleichschenkliges Trapez, wenn diese beiden Seiten entweder nicht parallel sind oder das Trapez ein Rechteck ist. (Sallyfield) find ich gut--LilPonsho 20:07, 28. Jan. 2013 (CET)

Anmerkung zu den oberen Definitionen: Ein Parallelogramm ist IMMER ein Trapez, nicht nur wenn es ein Rechteck ist.--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 14:53, 29. Jan. 2013 (CET)

 Ein Parallelogramm ist immer ein Trapez aber nie ein gleichschenkliges Trapez, es sei denn es sei ein spezielles Parallelogramm, nämlich ein Rechteck. (Sallyfield)

Meine Definition: Ein Trapez ist dann ein gleichschenkliges, wenn es ein Paar gleich langer Seiten hat. Es ist kein Parallelogramm, es sei denn es hat zwei Paar kongruenter Seiten.--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 13:14, 28. Jan. 2013 (CET)

===Bemerkungen --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:32, 30. Jan. 2013 (CET)===
====Intention des Unterschiedes zu Definition 1====
Definition 1 verwendet nicht explizit den Begriff Parallelogramm. Wir verwenden stattdessen den Begriff ''parallel'' bzw. ''nicht parallel''. In Definition 2 wollen wir explizit den Begriff ''Parallelogramm'' verwenden.
====Bewertung der formulierten Definitionen====
=====Yellow=====
Ein Trapez ist ein gleichschenkliges Trapez, wenn es zwei kongruente Seiten hat, die nicht parallel sind außer Trapez wäre ein Rechteck.
--[[Benutzer:Yellow|Yellow]] 22:26, 27. Jan. 2013 (CET)
Vorab: Es fehlt der Artikel vor dem dritten Trapez (... außer Trapez wäre ein Rechteck..., feiner Deutsch) Konzentration!

Was wäre mit dem hier? Nach Ihrer Definition wäre es ein gleichschenkliges Trapez. 
[[Datei:Trapez_11.png| 400px]]
 
* hat zwei zueinander parallele Seiten bzw. ist ein Trapez
* hat zwei Seiten, die kongruent und nicht parallel sind (<math>\overline{AB}, \overline{BC}</math>)
* ist trotzdem kein gleichschenkliges Trapez

 Du hast vergessen zu sagen, dass es zwei '''gegenüberliegenden''' kongruenten Seiten hat. Dann ist der Fall auf dem Bild nämlich ausgeschlossen (Sallyfield)
 Ein Trapez ist gleichschenklig, wenn es zwei gegenüberliegende gleichlange Seiten hat, die nicht parallel sind. Demnach ist das Trapez '''kein Parallelogramm''', es sei denn das Trapez ist ein Rechteck. (Sallyfield)

==Definition 3==
als Oberbegriff wird diesmal Viereck verwendet, sonst wie Definition 1
{{Definition|gleichschenkliges Trapez Ein Viereck, bei dem ein Seitenpaar parallel und das andere sich gegenüberliegende Seitenpaar kongruent zueinander ist, ist dann ein gleichschenkliges Trapez, wenn das kongruente Seitenpaar entweder nicht parallel ist oder das Viereck ein Rechteck ist--LilPonsho 22:12, 30. Jan. 2013 (CET) ....}} 

Ein Viereck ist ein gleichschenkliges Trapez, wenn ein Seitenpaar parallel ist und das andere Paar Seiten kongruent zueinander ist.
--[[Benutzer:Yellow|Yellow]] 22:29, 27. Jan. 2013 (CET)

Anmerkung: Es können auch beide Eigenschaften, also Kongruenz und Parallelität für das selbe "Seitenpaar" zutreffen. Dann ist es übrigens ein Parallelogramm.

Für mich ergibt sich somit eine andere Definition:
Ein Viereck, das ein Paar paralleler und zwei kongruente Seiten hat, ist ein gleichschenkliges Trapez.
--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 13:21, 28. Jan. 2013 (CET)

puhhh für mich sagen beide Definitionen iwie das Gleiche aus! es soll genau ein Seitenpaar parallel sein und das andere Seitenpaar kongruent zueinander, damit es ein gleichschenkliges Trapez ist... aber beide Definitionen können doch Parallelogramme sein, und wenn man es mit "genau einem parallen Seitenpaar" definieren würde, dann wäre das Rechteck ausgeschlossen, kann also auch nicht sein!!
Es muss in die Richtung gehen:
Ein Viereck, bei dem ein Paar von Seiten parallel zueinander ist und die nicht parallelen Seiten kongruent sind oder es ein Rechteck ist, heißt gleichschenkliges Trapez.--LilPonsho 20:29, 28. Jan. 2013 (CET)

Okay, dann auch von mir ein neuer Versuch:
 Ein Viereck ist ein gleichschenkliges Trapez, wenn es ein Paar paralleler und ein Paar kongruenter Seiten hat. Zudem ist ein Seitanpaar nicht parallel, es sei denn es ist ein Rechteck.--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 15:01, 29. Jan. 2013 (CET) Wenn ein Viereck ein Rechteck ist oder wenn es ein Paar gegenüberliegende parallele Seiten hat und die anderen Seiten kongruent zueinander sind, dann ist das Viereck ein gleichschenkliges Trapez (Sallyfield)

@ Sallyfield: Musst du in deiner Definition jetzt nicht noch ausschließen, dass das Viereck ein Parallelogramm ist, indem du sagst, dass die beiden zueinander kongruenten Seiten nicht parallel zueinander sind? --[[Benutzer:Caro44|Caro44]] 14:28, 30. Jan. 2013 (CET)
@sallyfield & @caro44: ja genau is mir auch grad aufgefallen! caro44 hat sinngemäß Recht--LilPonsho 21:27, 30. Jan. 2013 (CET)

==Definition 4==
als Oberbegriff wird diesmal Viereck verwendet, sonst wie Definition 2
{{Definition|gleichschenkliges Trapez Ein Viereck, mit zwei parallelen und zwei gegenüberliegenden gleichlangen Seiten, das kein Parallelogramm ist, es sei denn es beitzt einen rechten Innenwinkel, heißt gleichschenkliges Trapez.

Ein Viereck, mit zwei parallelen und zwei gegenüberliegenden gleichlangen Seiten, das kein Parallelogramm ist, es sei denn es ist ein Rechteck, heißt gleichschenkliges Trapez.--LilPonsho 22:21, 30. Jan. 2013 (CET)....}}

Ein Viereck ist ein gleichschenkliges Trapez, wenn ein Seitenpaar parallel ist und das andere Paar Seiten kongruent zueinander ist, jedoch nicht Parallel außer das Viereck ist ein Rechteck.
--[[Benutzer:Yellow|Yellow]] 22:31, 27. Jan. 2013 (CET)

 Wenn ein Viereck ein Rechteck ist oder wenn ein paar Seiten parallel sind und das andere Paar kongruent, dann ist das Viereck ein gleichschenkliges Trapez. (Sallyfield)

 Wenn ein Viereck ein paar gegenüberliegende parallele Seiten hat und die anderen Seiten gleich lang sind, aber nicht parallel, dann ist das Viereck ein gleichschenkliges Trapez und kein Parallelogramm, es sei denn es ist ein Rechteck. (Sallyfield)

@sally: iwie doppelt gemobbelt: " nicht parallel" - kein Parallelogramm,
--> es muss rein würd ich sagen : Viereck, ein Seitenpaar parallel, das andere sich gegenüberliegende Seitenpaar gleich lang, das kein Parallogramm ist, es sein denn es ist ein Rechteck, heißt gl. Trapez siehe Definition oben (LilPonsho)

==Definition 5==
das Ganze mal als operational genetische Definition
{{Definition|gleichschenkliges Trapez Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei zueinander parallele Geraden. Wenn man auf <math>a</math> die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> und auf <math>b</math> die Punkte <math>C</math> und <math>D</math> derart wählt, dass ....}}

... gilt <math>|AC| = |BD|</math>, so erhält man ein gleichschenkliges Trapez. --[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 13:34, 28. Jan. 2013 (CET)
 Du meintest doch sicherlich <math>|AD| = |BC|</math> oder wolltest du über die Diagonalen, dann müsstest du nämlich noch dazu sagen, dass sich AC und BD im selben Verhältnis schneiden?

Kommt drauf an wie man die Punkte wählt... wenn du in deiner Skizze der Punkte die Buchstaben C und D vertauschst, sind nicht mehr die Diagonalen entscheidend.... Wenn ich in meiner Definition die Diagonalen gemeint hätte, wäre diese nicht korrekt.
PS: Bitte schreibe zu deinem Kommentar noch deine Signatur...--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 13:11, 29. Jan. 2013 (CET)

Wenn man auf <math>a</math> die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> und auf <math>b</math> die Punkte <math>C</math> und <math>D</math> derart wählt, dass die Strecke <math>AD</math> kongruent zur Strecke <math>BC</math> ist und entweder die Strecke <math>AB</math> größer als die Strecke <math>DC</math> ist oder umgekehrt, dann ist ABCD ein gleichschenkliges Trapez. --[[Benutzer:Caro44|Caro44]] 14:37, 30. Jan. 2013 (CET)

@caro44: ich find deine definition gut, dachte auch erst sie is korrekt so, aber was ich mich jetzt frage, ist folgendes: dadurch das du schreibst "und entweder die Strecke <math>AB</math> größer als die Strecke <math>DC</math> ist oder umgekehrt" kann ja nie ein Rechteck entstehen... mir ist klar, dass du es so formuliert hast um das Parallelogramm auszuschließen, aber es fehlen so halt Rechteck und somit auch das Quadrat, die ja bei der Definition des gleichschenkligen Trapezes nicht ausgeschlossen werden dürfen.--LilPonsho 22:41, 30. Jan. 2013 (CET)

'''Idee:'''
Wenn man auf <math>a</math> die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> und auf <math>b</math> die Punkte <math>C</math> und <math>D</math> derart wählt, dass die Strecke <math>AD</math> kongruent zur Strecke <math>BC</math> ist, ist entweder eine der Strecken <math>AB</math> bzw. <math>DC</math> größer als die andere, oder Strecke <math>AD</math> und <math>BC</math> ist Lot sodass <math>AB</math> = <math>DC</math> ist , dann ist ABCD ein gleichschenkliges Trapez.--LilPonsho 22:58, 30. Jan. 2013 (CET)

oder "einfach" so:
Wenn man auf <math>a</math> die Punkte <math>A</math> und <math>B</math> und auf <math>b</math> die Punkte <math>C</math> und <math>D</math> derart wählt, dass die Strecke <math>AD</math> kongruent zur Strecke <math>BC</math> ist, ist eine der Strecken <math>AB</math> bzw. <math>DC</math> größer als die andere,''es sei denn es ist ein Rechteck'',dann ist ABCD ein gleichschenkliges Trapez.--LilPonsho 16:28, 31. Jan. 2013 (CET)

@LilPonsho: Danke für deinen Hinweis! Ich war zu sehr damit beschäftigt das Parallelogramm auszuschließen und habe dabei vergessen, dass das gleichschenkl. Trapez ja auch ein Rechteck sein kann. Deine Definition ist meiner Meinung nach richtig! ;-)--[[Benutzer:Caro44|Caro44]] 15:10, 3. Feb. 2013 (CET)

=Das gleichschenklige Trapez als abgeschnittenes gleichschenkliges Dreieck=

==Definition 1, abschneiden==
{{Definition|gleichschenkliges Trapez Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis <math>\overline{AB}</math>. Ferner sei <math>p</math> eine Gerade, die ... }}

...die parallel zu der Basis ist und die Schenkel des Dreiecks in den Punkten <math>D</math> und <math>E</math> schneidet. Das Viereck <math>\overline{ABDE}</math> ist ein gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 13:41, 28. Jan. 2013 (CET)

==Definition 2, ergänzen==
{{Definition|gleichschenkliges Trapez Es sei <math>\overline{ABCD}</math> ein Trapez mit <math>AB \|| CD</math>. <math>\overline{ABCD}</math> ist gleichschenklig, wenn das Dreieck ....}}
 ein gleichschenkliges Dreieck ist und ein Schenkel parellel zur Seite DA ist und Punkt C des Dreiecks identisch mit Punkt C des Trapezes ist.
--[[Benutzer:Yellow|Yellow]] 22:38, 27. Jan. 2013 (CET)

... <math>\overline{ABE}</math> gleichschenklig ist, und die Schenkel des Trapezes <math>\overline{AD}</math> und <math>\overline{BC}</math> Teilmengen der Schenkel des Dreiecks <math>\overline{AE}</math> und <math>\overline{BE}</math> sind.--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 09:57, 29. Jan. 2013 (CET) Dürfen wir bei einem gleichschenkligen Trapez überhaupt von Schenkeln reden? Das wurde doch so nie definiert ? (Sallyfield)
 Naja, wenn du von gleich-schenklig sprichst, dass darf man doch das Wort Schenkel verwenden...
Ansonsten müsste man wirklich noch Basis eines Trapezes und die daran anliegenden Schenkel Definieren. Ich habe das jetz nur mal vom Dreieck abgeleitet. Außerdem könnte man, wenn man es ernst nimmt bei einem Trapez auch von Seiten reden.--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 15:46, 29. Jan. 2013 (CET)

=Das gleichschenklige Trapez als symmetrisches Trapez bzw. als Sehnenviereck=
Bringen Se hier entsprechende Definitionen unter.
Wir haben und werden Symmetrie nicht definieren, sie können nur über Eigenschaften der Mittelsenkrechten definieren.

[[Kategorie:Einführung_S]] 
1. Ein Trapez, das zwei kongruente gegenüberliegende Seiten hat, ist dann ein gleichschenkliges Trapez, wenn diese beiden Seiten entweder nicht parallel sind oder das Trapez ein Rechteck ist. 
2. Ein Trapez, das achsensymmetrisch ist und das eine Symmetrieachse hat, die verschieden von den Diagonalen des Trapezes ist, heißt gleichschenkliges Trapez. 
3. Ein Trapez mit einem Umkreis heißt gleichschenkliges Trapez. 
4. Ein Trapez, in dem nicht gegenüberliegende Innenwinkel zu einander kongruent sind, heißt gleichschenkliges Trapez. --[[Benutzer:Natürliches Mineralwasser|Natürliches Mineralwasser]] 18:05, 3. Feb. 2013 (CET) 
Ein Viereck ist ein gleichschenkliges Trapez wenn sich die Mittelsenkrechten in einem Punkt schneiden. 
Ein Viereck ist ein gleichschenkliges Trapez, wenn die Mittelsenkrechten der parallelen Seiten identisch sind.
--[[Benutzer:Yellow|Yellow]] 22:34, 27. Jan. 2013 (CET)
 Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck mit zwei zueinander parallelen Seiten, wobei diese eine gemeinsame Mittelsenkrechte haben (Sallyfield) -->Anm: Wenn zwei Strecken oder wie in unserem Falle Seiten eine gemeinsame Mittelsenkrechte haben, sind die Seiten automatisch Parallel, es sei denn sie sind identisch, was aber in einem Viereck nicht vorkommen kann.--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 15:12, 29. Jan. 2013 (CET)

Ein Trapez ist dann gleichschenklig, wenn zwei Mittelsenkrechten der Seiten des Trapezes identisch sind. --[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 13:53, 28. Jan. 2013 (CET)

Ein Trapez, welches einen Umkreis besitzt, heißt gl. Trapez.--LilPonsho 20:40, 28. Jan. 2013 (CET)

Ein Trapez, bei dem sich die gegenüberliegenden Winkel zu 180 ergänzen, heißt gl. Trapez. --LilPonsho 20:40, 28. Jan. 2013 (CET)

Gleich dazu:
 Ein Sehnenviereck mit einem Paar paralleler Seiten ist ein gleichschenkliges Trapez --[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 15:22, 29. Jan. 2013 (CET) Hier müssten wir die Definition folgendermaßen ändern: Ein '''symmetrisches Trapez''' ist ein Viereck mit zwei zueinander parallelen Seiten, wobei diese eine identische Mittelsenkrechte haben(Sallyfield)

Der Zusammenhang von Seitenlängen und Winkelgrößen im Dreieck (WS 12 13)

2013-02-03T14:27:05Z

Natürliches Mineralwasser: /* Beweis mit Lücken zur Ergänzung */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



===== Satz IX.2: (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>

===== Beweis von Satz IX.2 =====
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck.

Voraussetzung:
 <math>\left| BC \right| > \left| AC \right|</math> bzw. <math>\left| a\right| > \left| b \right|</math> 
Behauptung: 
<math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math> 
Die folgenden Hilfskonstruktionen liefern die Beweisidee (kommentieren Sie die Abbildungen und führen Sie den Beweis):

{| class="wikitable"

| [[Bild:Seite_winkel_01.png]] || [[Bild:Seite_winkel_02.png]]
|-
| Skizze 1 || Skizze 2
|}

 

===== Satz IX.3: (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right| </math>

===== Beweis von Satz IX.3 =====

Übungsaufgabe 
==Beweis von Caro44 ==
[[Datei:Caro44_Winkel_S.JPG]] --[[Benutzer:Caro44|Caro44]] 11:21, 26. Jan. 2013 (CET)
===Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:35, 26. Jan. 2013 (CET)===
*Schritt 3 brauchen Sie nicht: Wir messen den Abstand <math>|AC|</math> und tragen ihn auf <math>CB^+</math> ab.
*Schritt 6 wird ebenso nicht benötigt, Es ist zwar richtig, dass jede Strecke zu sich selbst kongruent ist, da wir aber nicht mit den Dreieckskongruenzsätzen arbeiten brauchen wir eine derartige Feststellung kaum. <math>\overline{ACB'}</math> ist bereits nur entsprechend Schritt 5 gleichschenklig.
*Die weitere Beweisführung sollte ohne den starken Außenwinkelsatz gehen. Die Seiten-Winkel_Beziehungen gelten bereits in der absoluten Geometrie.
==Beweis mit Lücken zur Ergänzung==
Wir beziehen uns auf die Skizzen 1 bzw. 2. 

{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
|-
| (I) || Auf <math>CB^+</math> existiert ein Punkt <math>B'</math>, der zu <math>C</math> den Abstand der Länge <math>|b|</math> der Strecke b hat. || Axiom vom Lineal
|-
|(II)|| Das Dreieck <math>\overline{ACB'}</math> ist gleichschenklig, wobei <math>\overline{AC}</math> und <math>\overline{B'C}</math> die zueinender kongruenten Seiten sind.|| (I)
|-
|(III)|| <math>|\delta_1|=|\delta_2|</math>|| (II), Basiswinkelsatz
|-
|(IV) ||Zw(CB'B)||Definition Zwischenrelation, (I)
|-
|(V)|| <math>|\alpha|>|\delta_1|=|\delta_2|</math>||Winkeladditionsaxiom
|-
|(VI)||<math>|\delta_2|>|\beta|</math>||schwacher Außenwinkelsatz
|-
|(VII)||<math>|\alpha|>|\beta|</math>||(V), (VI)
|}


|}
</div>
[[Kategorie:Einführung_S]]

Der Zusammenhang von Seitenlängen und Winkelgrößen im Dreieck (WS 12 13)

2013-02-03T14:22:00Z

Natürliches Mineralwasser: /* Beweis mit Lücken zur Ergänzung */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



===== Satz IX.2: (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>

===== Beweis von Satz IX.2 =====
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck.

Voraussetzung:
 <math>\left| BC \right| > \left| AC \right|</math> bzw. <math>\left| a\right| > \left| b \right|</math> 
Behauptung: 
<math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math> 
Die folgenden Hilfskonstruktionen liefern die Beweisidee (kommentieren Sie die Abbildungen und führen Sie den Beweis):

{| class="wikitable"

| [[Bild:Seite_winkel_01.png]] || [[Bild:Seite_winkel_02.png]]
|-
| Skizze 1 || Skizze 2
|}

 

===== Satz IX.3: (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber) =====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right| </math>

===== Beweis von Satz IX.3 =====

Übungsaufgabe 
==Beweis von Caro44 ==
[[Datei:Caro44_Winkel_S.JPG]] --[[Benutzer:Caro44|Caro44]] 11:21, 26. Jan. 2013 (CET)
===Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:35, 26. Jan. 2013 (CET)===
*Schritt 3 brauchen Sie nicht: Wir messen den Abstand <math>|AC|</math> und tragen ihn auf <math>CB^+</math> ab.
*Schritt 6 wird ebenso nicht benötigt, Es ist zwar richtig, dass jede Strecke zu sich selbst kongruent ist, da wir aber nicht mit den Dreieckskongruenzsätzen arbeiten brauchen wir eine derartige Feststellung kaum. <math>\overline{ACB'}</math> ist bereits nur entsprechend Schritt 5 gleichschenklig.
*Die weitere Beweisführung sollte ohne den starken Außenwinkelsatz gehen. Die Seiten-Winkel_Beziehungen gelten bereits in der absoluten Geometrie.
==Beweis mit Lücken zur Ergänzung==
Wir beziehen uns auf die Skizzen 1 bzw. 2. 

{| class="wikitable"
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
|-
| (I) || Auf <math>CB^+</math> existiert ein Punkt <math>B'</math>, der zu <math>C</math> den Abstand der Länge <math>|b|</math> der Strecke b hat. || Axiom vom Lineal
|-
|(II)|| Das Dreieck <math>\overline{ACB'}</math> ist gleichschenklig, wobei <math>\overline{AC}</math> und <math>\overline{B'C}</math> die zueinender kongruenten Seiten sind.|| (I)
|-
|(III)|| |\delta_1|=|\delta_2|</math>||| (II), Basiswinkelsatz
|-
|(IV) ||Zw(CB'B)||...
|-
|(V)|| <math>|\alpha|>|\delta_1|=|\delta_2|</math>||...
|-
|(VI)||<math>|\delta_2|>|\beta|</math>||...
|-
|(VII)||<math>|\alpha|>|\beta|</math>||...
|}


|}
</div>
[[Kategorie:Einführung_S]]

Spezialveranstaltung: Den Berg bezwingen: Spinning zur Klausurvorbereitung WS 12 13

2013-01-31T15:02:40Z

Natürliches Mineralwasser:

Liebe Studierende,

seit <math>1\frac{1}{2}</math> Jahren begebe ich mich regelmäßig drei mal wöchentlich aufs Spinningrad. Neben dem körperlichen Training ist Spinning auch mentales Training, welches ich nicht mehr missen möchte. Damit liegt es für mich nahe, Ihnen anzubieten zur Vorbereitung auf die böseste aller bösen Klausuren mit mir aufs Spinning-Rad zu steigen.

Ich stelle mir vor, dass wir das Lösen der Klausuraufgaben auf einen Spinningkurs abbilden. Das wird etwa so aussehen, dass wir mit der einfachsten der Aufgaben beginnen und im Sprint die ersten Punkte einfahren. Enden werden wir mit der schwersten Klausuraufgabe, die wir als Berg symbolisieren werden. Zwischendurch werden wir uns ggf. verfahren, was uns jedoch nicht aus dem Rennen nehmen wird. Sicherlich wird es auch den ein oder anderen Tip von mir zu den Klausuraufgaben geben.

Termin ist der Samstag vor der Klausur also der 09.02. von 15 bis 16 Uhr im Sportstudio meines Vertrauens (Jukadio, Heidelberg,Rohrbach , [http://www.jukadio.de/]). Neben dem Rad für den Übungsleiter werden wir 12 Räder zur Verfügung haben. Sollte es mehr Interessenten geben, fahren wir ein zweites mal von 16 bis 17 Uhr.

Viele Grüße
Ihr Michael Gieding

Falls Sie an dieser Art der Vorbereitung auf die Klausur Interesse haben, tragen Sie sich bitte hier mit ihrem Pseudonym ein: 

'''@m.g. - Betreff: "Sicherlich wird es auch den ein oder anderen Tip von mir zu den Klausuraufgaben geben."

'''Klausurtipps sollten nicht nur mit einer bestimmten Gruppe geteilt sondern der Allgemeinheit zugänglich gemacht werden! 
'''Es wäre unfair gegenüber denjenigen, die aus gesundheitlichen oder zeitlichen Gründen nicht an ihrem Spinning-Angebot teilnehmen können.'''--[[Benutzer:Natürliches Mineralwasser|Natürliches Mineralwasser]] 16:02, 31. Jan. 2013 (CET) 
Teilnehmerliste

# --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:43, 16. Jan. 2013 (CET)
# ...--[[Benutzer:Yellow|Yellow]] 18:23, 16. Jan. 2013 (CET)
# ...--[[Benutzer:Fregeg|Fregeg]] 19:41, 16. Jan. 2013 (CET)
# ...--LilPonsho 00:18, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--AssimusJ 07:25, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--MayerK 07:25, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--ZumsteinS 07:25 , 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--[[Benutzer:Aaliyah|Aaliyah]] 10:27, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--Leandro
# ...--[[Benutzer:Daviejones|Daviejones]] 15:56, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--Dothewave 18:21 , 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--ironman 21:10, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--xavihernandez
# ...--Flo
# ...--[[Benutzer:Rassko|Rassko]] 11:58, 18. Jan. 2013 (CET)Rassko
# ...--[[Benutzer:Private|Mr. Private ]] 11:58, 19. Jan. 2013 (CET)Private
# ...----[[Benutzer:Caro44|Caro44]] 12:05, 20. Jan. 2013 (CET)
# ...----[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 22:03, 20. Jan. 2013 (CET)
# ...Frosch*
# ...--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 17:37, 21. Jan. 2013 (CET)
# ...Monron
# ...--[[Benutzer:Captain Morgan|Captain Morgan]] 10:45, 23. Jan. 2013 (CET)
# ...Smoli_90
# ...
# ...baulim
# ...beta91
Neben der Sportbekleidung brauchen Sie saubere Turnschuhe und ein Handtuch.

=Organisatorisches=
O.K. ich werden also zweimal fahren.

@m.g.: Vll. sogar ein drittes mal ;)

[[Kategorie:Einführung_S]]

Spezialveranstaltung: Den Berg bezwingen: Spinning zur Klausurvorbereitung WS 12 13

2013-01-31T10:40:20Z

Natürliches Mineralwasser:

Liebe Studierende,

seit <math>1\frac{1}{2}</math> Jahren begebe ich mich regelmäßig drei mal wöchentlich aufs Spinningrad. Neben dem körperlichen Training ist Spinning auch mentales Training, welches ich nicht mehr missen möchte. Damit liegt es für mich nahe, Ihnen anzubieten zur Vorbereitung auf die böseste aller bösen Klausuren mit mir aufs Spinning-Rad zu steigen.

Ich stelle mir vor, dass wir das Lösen der Klausuraufgaben auf einen Spinningkurs abbilden. Das wird etwa so aussehen, dass wir mit der einfachsten der Aufgaben beginnen und im Sprint die ersten Punkte einfahren. Enden werden wir mit der schwersten Klausuraufgabe, die wir als Berg symbolisieren werden. Zwischendurch werden wir uns ggf. verfahren, was uns jedoch nicht aus dem Rennen nehmen wird. Sicherlich wird es auch den ein oder anderen Tip von mir zu den Klausuraufgaben geben.

Termin ist der Samstag vor der Klausur also der 09.02. von 15 bis 16 Uhr im Sportstudio meines Vertrauens (Jukadio, Heidelberg,Rohrbach , [http://www.jukadio.de/]). Neben dem Rad für den Übungsleiter werden wir 12 Räder zur Verfügung haben. Sollte es mehr Interessenten geben, fahren wir ein zweites mal von 16 bis 17 Uhr.

Viele Grüße
Ihr Michael Gieding

Falls Sie an dieser Art der Vorbereitung auf die Klausur Interesse haben, tragen Sie sich bitte hier mit ihrem Pseudonym ein: 

'''@m.g. - Betreff: "Sicherlich wird es auch den ein oder anderen Tip von mir zu den Klausuraufgaben geben."

'''Klausurtipps sollten nicht nur mit einer bestimmten Gruppe geteilt sondern der Allgemeinheit zugänglich gemacht werden! 
'''Es wäre unfair gegenüber denjenigen, die aus gesundheitlichen oder zeitlichen Gründen nicht an ihrem Spinning-Angebot teilnehmen können.''' 
Teilnehmerliste

# --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:43, 16. Jan. 2013 (CET)
# ...--[[Benutzer:Yellow|Yellow]] 18:23, 16. Jan. 2013 (CET)
# ...--[[Benutzer:Fregeg|Fregeg]] 19:41, 16. Jan. 2013 (CET)
# ...--LilPonsho 00:18, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--AssimusJ 07:25, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--MayerK 07:25, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--ZumsteinS 07:25 , 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--[[Benutzer:Aaliyah|Aaliyah]] 10:27, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--Leandro
# ...--[[Benutzer:Daviejones|Daviejones]] 15:56, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--Dothewave 18:21 , 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--ironman 21:10, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--xavihernandez
# ...--Flo
# ...--[[Benutzer:Rassko|Rassko]] 11:58, 18. Jan. 2013 (CET)Rassko
# ...--[[Benutzer:Private|Mr. Private ]] 11:58, 19. Jan. 2013 (CET)Private
# ...----[[Benutzer:Caro44|Caro44]] 12:05, 20. Jan. 2013 (CET)
# ...----[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 22:03, 20. Jan. 2013 (CET)
# ...Frosch*
# ...--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 17:37, 21. Jan. 2013 (CET)
# ...Monron
# ...--[[Benutzer:Captain Morgan|Captain Morgan]] 10:45, 23. Jan. 2013 (CET)
# ...Smoli_90
# ...Hauler
# ...baulim
# ...beta91
Neben der Sportbekleidung brauchen Sie saubere Turnschuhe und ein Handtuch.

=Organisatorisches=
O.K. ich werden also zweimal fahren.

@m.g.: Vll. sogar ein drittes mal ;)

[[Kategorie:Einführung_S]]

Spezialveranstaltung: Den Berg bezwingen: Spinning zur Klausurvorbereitung WS 12 13

2013-01-31T10:38:55Z

Natürliches Mineralwasser: /* Organisatorisches */

Liebe Studierende,

seit <math>1\frac{1}{2}</math> Jahren begebe ich mich regelmäßig drei mal wöchentlich aufs Spinningrad. Neben dem körperlichen Training ist Spinning auch mentales Training, welches ich nicht mehr missen möchte. Damit liegt es für mich nahe, Ihnen anzubieten zur Vorbereitung auf die böseste aller bösen Klausuren mit mir aufs Spinning-Rad zu steigen.

Ich stelle mir vor, dass wir das Lösen der Klausuraufgaben auf einen Spinningkurs abbilden. Das wird etwa so aussehen, dass wir mit der einfachsten der Aufgaben beginnen und im Sprint die ersten Punkte einfahren. Enden werden wir mit der schwersten Klausuraufgabe, die wir als Berg symbolisieren werden. Zwischendurch werden wir uns ggf. verfahren, was uns jedoch nicht aus dem Rennen nehmen wird. Sicherlich wird es auch den ein oder anderen Tip von mir zu den Klausuraufgaben geben.

Termin ist der Samstag vor der Klausur also der 09.02. von 15 bis 16 Uhr im Sportstudio meines Vertrauens (Jukadio, Heidelberg,Rohrbach , [http://www.jukadio.de/]). Neben dem Rad für den Übungsleiter werden wir 12 Räder zur Verfügung haben. Sollte es mehr Interessenten geben, fahren wir ein zweites mal von 16 bis 17 Uhr.

Viele Grüße
Ihr Michael Gieding

Falls Sie an dieser Art der Vorbereitung auf die Klausur Interesse haben, tragen Sie sich bitte hier mit ihrem Pseudonym ein:

Teilnehmerliste

# --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:43, 16. Jan. 2013 (CET)
# ...--[[Benutzer:Yellow|Yellow]] 18:23, 16. Jan. 2013 (CET)
# ...--[[Benutzer:Fregeg|Fregeg]] 19:41, 16. Jan. 2013 (CET)
# ...--LilPonsho 00:18, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--AssimusJ 07:25, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--MayerK 07:25, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--ZumsteinS 07:25 , 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--[[Benutzer:Aaliyah|Aaliyah]] 10:27, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--Leandro
# ...--[[Benutzer:Daviejones|Daviejones]] 15:56, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--Dothewave 18:21 , 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--ironman 21:10, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--xavihernandez
# ...--Flo
# ...--[[Benutzer:Rassko|Rassko]] 11:58, 18. Jan. 2013 (CET)Rassko
# ...--[[Benutzer:Private|Mr. Private ]] 11:58, 19. Jan. 2013 (CET)Private
# ...----[[Benutzer:Caro44|Caro44]] 12:05, 20. Jan. 2013 (CET)
# ...----[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 22:03, 20. Jan. 2013 (CET)
# ...Frosch*
# ...--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 17:37, 21. Jan. 2013 (CET)
# ...Monron
# ...--[[Benutzer:Captain Morgan|Captain Morgan]] 10:45, 23. Jan. 2013 (CET)
# ...Smoli_90
# ...Hauler
# ...baulim
# ...beta91
Neben der Sportbekleidung brauchen Sie saubere Turnschuhe und ein Handtuch.

=Organisatorisches=
O.K. ich werden also zweimal fahren.

@m.g.: Vll. sogar ein drittes mal ;)

[[Kategorie:Einführung_S]]

Spezialveranstaltung: Den Berg bezwingen: Spinning zur Klausurvorbereitung WS 12 13

2013-01-31T10:34:58Z

Natürliches Mineralwasser: /* Organisatorisches */

Liebe Studierende,

seit <math>1\frac{1}{2}</math> Jahren begebe ich mich regelmäßig drei mal wöchentlich aufs Spinningrad. Neben dem körperlichen Training ist Spinning auch mentales Training, welches ich nicht mehr missen möchte. Damit liegt es für mich nahe, Ihnen anzubieten zur Vorbereitung auf die böseste aller bösen Klausuren mit mir aufs Spinning-Rad zu steigen.

Ich stelle mir vor, dass wir das Lösen der Klausuraufgaben auf einen Spinningkurs abbilden. Das wird etwa so aussehen, dass wir mit der einfachsten der Aufgaben beginnen und im Sprint die ersten Punkte einfahren. Enden werden wir mit der schwersten Klausuraufgabe, die wir als Berg symbolisieren werden. Zwischendurch werden wir uns ggf. verfahren, was uns jedoch nicht aus dem Rennen nehmen wird. Sicherlich wird es auch den ein oder anderen Tip von mir zu den Klausuraufgaben geben.

Termin ist der Samstag vor der Klausur also der 09.02. von 15 bis 16 Uhr im Sportstudio meines Vertrauens (Jukadio, Heidelberg,Rohrbach , [http://www.jukadio.de/]). Neben dem Rad für den Übungsleiter werden wir 12 Räder zur Verfügung haben. Sollte es mehr Interessenten geben, fahren wir ein zweites mal von 16 bis 17 Uhr.

Viele Grüße
Ihr Michael Gieding

Falls Sie an dieser Art der Vorbereitung auf die Klausur Interesse haben, tragen Sie sich bitte hier mit ihrem Pseudonym ein:

Teilnehmerliste

# --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:43, 16. Jan. 2013 (CET)
# ...--[[Benutzer:Yellow|Yellow]] 18:23, 16. Jan. 2013 (CET)
# ...--[[Benutzer:Fregeg|Fregeg]] 19:41, 16. Jan. 2013 (CET)
# ...--LilPonsho 00:18, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--AssimusJ 07:25, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--MayerK 07:25, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--ZumsteinS 07:25 , 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--[[Benutzer:Aaliyah|Aaliyah]] 10:27, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--Leandro
# ...--[[Benutzer:Daviejones|Daviejones]] 15:56, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--Dothewave 18:21 , 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--ironman 21:10, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--xavihernandez
# ...--Flo
# ...--[[Benutzer:Rassko|Rassko]] 11:58, 18. Jan. 2013 (CET)Rassko
# ...--[[Benutzer:Private|Mr. Private ]] 11:58, 19. Jan. 2013 (CET)Private
# ...----[[Benutzer:Caro44|Caro44]] 12:05, 20. Jan. 2013 (CET)
# ...----[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 22:03, 20. Jan. 2013 (CET)
# ...Frosch*
# ...--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 17:37, 21. Jan. 2013 (CET)
# ...Monron
# ...--[[Benutzer:Captain Morgan|Captain Morgan]] 10:45, 23. Jan. 2013 (CET)
# ...Smoli_90
# ...Hauler
# ...baulim
# ...beta91
Neben der Sportbekleidung brauchen Sie saubere Turnschuhe und ein Handtuch.

=Organisatorisches=
O.K. ich werden also zweimal fahren.

@m.g.: Vll. sogar ein drittes mal ;)

'''@m.g. - Betreff: "Sicherlich wird es auch den ein oder anderen Tip von mir zu den Klausuraufgaben geben."

'''Klausurtipps sollten nicht nur mit einer bestimmten Gruppe geteilt sondern der Allgemeinheit zugänglich gemacht werden! 
'''Es wäre unfair gegenüber denjenigen, die aus gesundheitlichen oder zeitlichen Gründen nicht an ihrem Spinning-Angebot teilnehmen können.'''

[[Kategorie:Einführung_S]]

Spezialveranstaltung: Den Berg bezwingen: Spinning zur Klausurvorbereitung WS 12 13

2013-01-31T10:34:24Z

Natürliches Mineralwasser: /* Organisatorisches */

Liebe Studierende,

seit <math>1\frac{1}{2}</math> Jahren begebe ich mich regelmäßig drei mal wöchentlich aufs Spinningrad. Neben dem körperlichen Training ist Spinning auch mentales Training, welches ich nicht mehr missen möchte. Damit liegt es für mich nahe, Ihnen anzubieten zur Vorbereitung auf die böseste aller bösen Klausuren mit mir aufs Spinning-Rad zu steigen.

Ich stelle mir vor, dass wir das Lösen der Klausuraufgaben auf einen Spinningkurs abbilden. Das wird etwa so aussehen, dass wir mit der einfachsten der Aufgaben beginnen und im Sprint die ersten Punkte einfahren. Enden werden wir mit der schwersten Klausuraufgabe, die wir als Berg symbolisieren werden. Zwischendurch werden wir uns ggf. verfahren, was uns jedoch nicht aus dem Rennen nehmen wird. Sicherlich wird es auch den ein oder anderen Tip von mir zu den Klausuraufgaben geben.

Termin ist der Samstag vor der Klausur also der 09.02. von 15 bis 16 Uhr im Sportstudio meines Vertrauens (Jukadio, Heidelberg,Rohrbach , [http://www.jukadio.de/]). Neben dem Rad für den Übungsleiter werden wir 12 Räder zur Verfügung haben. Sollte es mehr Interessenten geben, fahren wir ein zweites mal von 16 bis 17 Uhr.

Viele Grüße
Ihr Michael Gieding

Falls Sie an dieser Art der Vorbereitung auf die Klausur Interesse haben, tragen Sie sich bitte hier mit ihrem Pseudonym ein:

Teilnehmerliste

# --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:43, 16. Jan. 2013 (CET)
# ...--[[Benutzer:Yellow|Yellow]] 18:23, 16. Jan. 2013 (CET)
# ...--[[Benutzer:Fregeg|Fregeg]] 19:41, 16. Jan. 2013 (CET)
# ...--LilPonsho 00:18, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--AssimusJ 07:25, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--MayerK 07:25, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--ZumsteinS 07:25 , 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--[[Benutzer:Aaliyah|Aaliyah]] 10:27, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--Leandro
# ...--[[Benutzer:Daviejones|Daviejones]] 15:56, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--Dothewave 18:21 , 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--ironman 21:10, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--xavihernandez
# ...--Flo
# ...--[[Benutzer:Rassko|Rassko]] 11:58, 18. Jan. 2013 (CET)Rassko
# ...--[[Benutzer:Private|Mr. Private ]] 11:58, 19. Jan. 2013 (CET)Private
# ...----[[Benutzer:Caro44|Caro44]] 12:05, 20. Jan. 2013 (CET)
# ...----[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 22:03, 20. Jan. 2013 (CET)
# ...Frosch*
# ...--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 17:37, 21. Jan. 2013 (CET)
# ...Monron
# ...--[[Benutzer:Captain Morgan|Captain Morgan]] 10:45, 23. Jan. 2013 (CET)
# ...Smoli_90
# ...Hauler
# ...baulim
# ...beta91
Neben der Sportbekleidung brauchen Sie saubere Turnschuhe und ein Handtuch.

=Organisatorisches=
O.K. ich werden also zweimal fahren.

@m.g.: Vll. sogar ein drittes mal ;)

'''@m.g - Betreff: "Sicherlich wird es auch den ein oder anderen Tip von mir zu den Klausuraufgaben geben."

'''Klausurtipps sollten nicht nur mit einer bestimmten Gruppe geteilt sondern der Allgemeinheit zugänglich gemacht werden! 
'''Es wäre unfair gegenüber denjenigen, die aus gesundheitlichen oder zeitlichen Gründen nicht an ihrem Spinning-Angebot teilnehmen können.'''

[[Kategorie:Einführung_S]]

Spezialveranstaltung: Den Berg bezwingen: Spinning zur Klausurvorbereitung WS 12 13

2013-01-31T10:32:39Z

Natürliches Mineralwasser: /* Organisatorisches */

Liebe Studierende,

seit <math>1\frac{1}{2}</math> Jahren begebe ich mich regelmäßig drei mal wöchentlich aufs Spinningrad. Neben dem körperlichen Training ist Spinning auch mentales Training, welches ich nicht mehr missen möchte. Damit liegt es für mich nahe, Ihnen anzubieten zur Vorbereitung auf die böseste aller bösen Klausuren mit mir aufs Spinning-Rad zu steigen.

Ich stelle mir vor, dass wir das Lösen der Klausuraufgaben auf einen Spinningkurs abbilden. Das wird etwa so aussehen, dass wir mit der einfachsten der Aufgaben beginnen und im Sprint die ersten Punkte einfahren. Enden werden wir mit der schwersten Klausuraufgabe, die wir als Berg symbolisieren werden. Zwischendurch werden wir uns ggf. verfahren, was uns jedoch nicht aus dem Rennen nehmen wird. Sicherlich wird es auch den ein oder anderen Tip von mir zu den Klausuraufgaben geben.

Termin ist der Samstag vor der Klausur also der 09.02. von 15 bis 16 Uhr im Sportstudio meines Vertrauens (Jukadio, Heidelberg,Rohrbach , [http://www.jukadio.de/]). Neben dem Rad für den Übungsleiter werden wir 12 Räder zur Verfügung haben. Sollte es mehr Interessenten geben, fahren wir ein zweites mal von 16 bis 17 Uhr.

Viele Grüße
Ihr Michael Gieding

Falls Sie an dieser Art der Vorbereitung auf die Klausur Interesse haben, tragen Sie sich bitte hier mit ihrem Pseudonym ein:

Teilnehmerliste

# --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:43, 16. Jan. 2013 (CET)
# ...--[[Benutzer:Yellow|Yellow]] 18:23, 16. Jan. 2013 (CET)
# ...--[[Benutzer:Fregeg|Fregeg]] 19:41, 16. Jan. 2013 (CET)
# ...--LilPonsho 00:18, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--AssimusJ 07:25, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--MayerK 07:25, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--ZumsteinS 07:25 , 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--[[Benutzer:Aaliyah|Aaliyah]] 10:27, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--Leandro
# ...--[[Benutzer:Daviejones|Daviejones]] 15:56, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--Dothewave 18:21 , 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--ironman 21:10, 17. Jan. 2013 (CET)
# ...--xavihernandez
# ...--Flo
# ...--[[Benutzer:Rassko|Rassko]] 11:58, 18. Jan. 2013 (CET)Rassko
# ...--[[Benutzer:Private|Mr. Private ]] 11:58, 19. Jan. 2013 (CET)Private
# ...----[[Benutzer:Caro44|Caro44]] 12:05, 20. Jan. 2013 (CET)
# ...----[[Benutzer:...lw)...|...lw)...]] 22:03, 20. Jan. 2013 (CET)
# ...Frosch*
# ...--[[Benutzer:Sweetnightmare5|Sweetnightmare5]] 17:37, 21. Jan. 2013 (CET)
# ...Monron
# ...--[[Benutzer:Captain Morgan|Captain Morgan]] 10:45, 23. Jan. 2013 (CET)
# ...Smoli_90
# ...Hauler
# ...baulim
# ...beta91
Neben der Sportbekleidung brauchen Sie saubere Turnschuhe und ein Handtuch.

=Organisatorisches=
O.K. ich werden also zweimal fahren.

@m.g.: Vll. sogar ein drittes mal ;)

'''@m.g.: Betreff:"Sicherlich wird es auch den ein oder anderen Tip von mir zu den Klausuraufgaben geben."

'''Klausurtipps sollten nicht nur mit einer bestimmten Gruppe geteilt sondern der Allgemeinheit zugänglich gemacht werden!
'''Es wäre unfair gegenüber denjenigen, die aus gesundheitlichen oder zeitlichen Gründen nicht an ihrem Spinning-Angebot teilnehmen können.'''

[[Kategorie:Einführung_S]]

Erarbeiten von Begriffen

2013-01-17T14:13:26Z

Natürliches Mineralwasser: /* Ordnen Sie die fehlenden Vierecke in die Ihrer Meinung nach richtige Spalte */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |




====Gegeben sind die folgenden Vierecke:====

{| class="wikitable"

|-
| [[Datei:Viereck_001.jpg| 250px]] || [[Datei:Viereck_002.jpg| 250px]] || [[Datei:Viereck_003.jpg| 250px]]
|-
| Viereck 01 || Viereck 02 || Viereck 03
|-
| [[Datei:Viereck_004.jpg| 250px]]|| [[Datei:Viereck_005.jpg| 250px]] || [[Datei:Viereck_006.jpg| 250px]]
|-
|Viereck 04 || Viereck 05 || Viereck 06
|-
| [[Datei:Viereck_007.jpg| 250px]]|| [[Datei:Viereck_008.jpg| 250px]] || [[Datei:Viereck_009.jpg| 250px]]
|-
|Viereck 07 || Viereck 08 || Viereck 09
|-
| [[Datei:Viereck_010.jpg| 250px]]|| [[Datei:Viereck_011.jpg| 250px]] || [[Datei:Viereck_012.jpg| 250px]]
|-
|Viereck 10 || Viereck 11 || Viereck 12
|}

====Ordnen Sie die fehlenden Vierecke in die Ihrer Meinung nach richtige Spalte====

{| class="wikitable"
!Objektklasse 1!!Objektklasse 2

Viereck 02 
Viereck 04 
Viereck 07 
Viereck 08 
Viereck 10 
Viereck 01 
Viereck 03 
Viereck 05 
Viereck 06 
Viereck 09 
Viereck 11 
Viereck 12 
|}

====Welcher Vierecksbegriff soll erarbeitet werden?====
 ... 

====Begründen Sie für ein Beispiel, warum Sie es bei Objektklasse 2 eingetragen haben====
 Beispiel ............... wurde der Objektklasse 2 zugeordnet, weil ....
 
...

====Begründen Sie für ein Beispiel, warum Sie es bei Objektklasse 1 eingetragen haben====
 Beispiel ...............wurde der Objektklasse 1 zugeordnet, weil ....
 
...

====Definition====
Definieren Sie den Begriff, der Ihrer Meinung nach mit dem Arbeitsblatt erarbeitet werden soll.

{{Definition| Ein...............................................ist ein ......................................

}} 



|}

</div>
[[Kategorie:Einführung_S]]

Erarbeiten von Begriffen

2013-01-17T14:13:02Z

Natürliches Mineralwasser: /* Ordnen Sie die fehlenden Vierecke in die Ihrer Meinung nach richtige Spalte */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |




====Gegeben sind die folgenden Vierecke:====

{| class="wikitable"

|-
| [[Datei:Viereck_001.jpg| 250px]] || [[Datei:Viereck_002.jpg| 250px]] || [[Datei:Viereck_003.jpg| 250px]]
|-
| Viereck 01 || Viereck 02 || Viereck 03
|-
| [[Datei:Viereck_004.jpg| 250px]]|| [[Datei:Viereck_005.jpg| 250px]] || [[Datei:Viereck_006.jpg| 250px]]
|-
|Viereck 04 || Viereck 05 || Viereck 06
|-
| [[Datei:Viereck_007.jpg| 250px]]|| [[Datei:Viereck_008.jpg| 250px]] || [[Datei:Viereck_009.jpg| 250px]]
|-
|Viereck 07 || Viereck 08 || Viereck 09
|-
| [[Datei:Viereck_010.jpg| 250px]]|| [[Datei:Viereck_011.jpg| 250px]] || [[Datei:Viereck_012.jpg| 250px]]
|-
|Viereck 10 || Viereck 11 || Viereck 12
|}

====Ordnen Sie die fehlenden Vierecke in die Ihrer Meinung nach richtige Spalte====

{| class="wikitable"
!Objektklasse 1!!Objektklasse 2
|-
| Viereck 02 
Viereck 04 
Viereck 07 
Viereck 08 
Viereck 10 
||Viereck 01 
Viereck 03 
Viereck 05 
Viereck 06 
Viereck 09 
Viereck 11 
Viereck 12 
|}

====Welcher Vierecksbegriff soll erarbeitet werden?====
 ... 

====Begründen Sie für ein Beispiel, warum Sie es bei Objektklasse 2 eingetragen haben====
 Beispiel ............... wurde der Objektklasse 2 zugeordnet, weil ....
 
...

====Begründen Sie für ein Beispiel, warum Sie es bei Objektklasse 1 eingetragen haben====
 Beispiel ...............wurde der Objektklasse 1 zugeordnet, weil ....
 
...

====Definition====
Definieren Sie den Begriff, der Ihrer Meinung nach mit dem Arbeitsblatt erarbeitet werden soll.

{{Definition| Ein...............................................ist ein ......................................

}} 



|}

</div>
[[Kategorie:Einführung_S]]

Definitionen in der Mathematik WS 12 13 S

2013-01-17T14:02:12Z

Natürliches Mineralwasser: /* Definition E.1: Ellipse */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |

=Aufgabe aus der Vorlesung vom 26.10.=
Definieren Sie den Begriff Trapez.

Ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten heißt Trapez.--[[Benutzer:Natürliches Mineralwasser|Natürliches Mineralwasser]] 14:49, 17. Jan. 2013 (CET)

Definition-Versuch 
Ein Viereck mit mindestens zwei parallenen Seiten heißt Trapez. --[[Benutzer:Ridcully|Ridcully]] 13:24, 26. Okt. 2012 (CEST)

=Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel_SoSe_12|einführenden Beispiel]]=
Wir haben im [[einführendes Beispiel_SoSe_12|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden.
 Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus. 
Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...). 
Man legt nur, mit Hilfe der so genannten ''Axiome'', die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen fest. 

=Was ist eine Definition?=
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 
=Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren=
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

=Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen=
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

=Entwicklung einer "neuen" Definition=
==Gärtnerkonstruktion der Ellipse==
===Video===
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
{{#ev:youtube|PQjeTmY0cdQ&NR=1}}
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
....

===Applet===
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. 
<ggb_applet width="564" height="546" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />

==Aufgaben zur Gärtnerkonstruktion==

#Experimentieren Sie mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie?
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition E.1: Ellipse====

Alle Punkte P (mit P liegt in der Ebene E und alle P Element k) für die gilt: Strecke AP + Strecke BP = q (q sei eine feste Zahl).--[[Benutzer:Natürliches Mineralwasser|Natürliches Mineralwasser]] 15:02, 17. Jan. 2013 (CET)

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====
...

==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen==
===Das Haus der Vierecke===
 

<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/HDV_AndreaSpitz.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
 


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[[Kategorie:Einführung_S]]

Definitionen in der Mathematik WS 12 13 S

2013-01-17T14:01:56Z

Natürliches Mineralwasser: /* Definition E.1: Ellipse */

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{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
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=Aufgabe aus der Vorlesung vom 26.10.=
Definieren Sie den Begriff Trapez.

Ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten heißt Trapez.--[[Benutzer:Natürliches Mineralwasser|Natürliches Mineralwasser]] 14:49, 17. Jan. 2013 (CET)

Definition-Versuch 
Ein Viereck mit mindestens zwei parallenen Seiten heißt Trapez. --[[Benutzer:Ridcully|Ridcully]] 13:24, 26. Okt. 2012 (CEST)

=Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel_SoSe_12|einführenden Beispiel]]=
Wir haben im [[einführendes Beispiel_SoSe_12|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden.
 Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus. 
Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...). 
Man legt nur, mit Hilfe der so genannten ''Axiome'', die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen fest. 

=Was ist eine Definition?=
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 
=Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren=
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

=Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen=
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

=Entwicklung einer "neuen" Definition=
==Gärtnerkonstruktion der Ellipse==
===Video===
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
{{#ev:youtube|PQjeTmY0cdQ&NR=1}}
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
....

===Applet===
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. 
<ggb_applet width="564" height="546" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />

==Aufgaben zur Gärtnerkonstruktion==

#Experimentieren Sie mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie?
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition E.1: Ellipse====

Alle Punkte P (mit P liegt in der Ebene E und alle P Element k) für die gilt: Strecke AP + Strecke BP = q (q sei eine feste Zahl).

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====
...

==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen==
===Das Haus der Vierecke===
 

<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/HDV_AndreaSpitz.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
 


|}
</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Definitionen in der Mathematik WS 12 13 S

2013-01-17T13:49:30Z

Natürliches Mineralwasser: /* Aufgabe aus der Vorlesung vom 26.10. */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |

=Aufgabe aus der Vorlesung vom 26.10.=
Definieren Sie den Begriff Trapez.

Ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten heißt Trapez.--[[Benutzer:Natürliches Mineralwasser|Natürliches Mineralwasser]] 14:49, 17. Jan. 2013 (CET)

Definition-Versuch 
Ein Viereck mit mindestens zwei parallenen Seiten heißt Trapez. --[[Benutzer:Ridcully|Ridcully]] 13:24, 26. Okt. 2012 (CEST)

=Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel_SoSe_12|einführenden Beispiel]]=
Wir haben im [[einführendes Beispiel_SoSe_12|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden.
 Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus. 
Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...). 
Man legt nur, mit Hilfe der so genannten ''Axiome'', die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen fest. 

=Was ist eine Definition?=
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 
=Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren=
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

=Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen=
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

=Entwicklung einer "neuen" Definition=
==Gärtnerkonstruktion der Ellipse==
===Video===
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
{{#ev:youtube|PQjeTmY0cdQ&NR=1}}
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
....

===Applet===
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. 
<ggb_applet width="564" height="546" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />

==Aufgaben zur Gärtnerkonstruktion==

#Experimentieren Sie mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie?
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition E.1: Ellipse====
...

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====
...

==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen==
===Das Haus der Vierecke===
 

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[[Kategorie:Einführung_S]]

Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe

2012-07-09T09:11:44Z

Natürliches Mineralwasser: /* Wöchentlich */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
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Hier finden Sie die Lehrmaterialien für die Lehrveranstaltung Einführung in die Geometrie
=Wöchentlich=
* [[Auftrag der Woche_SoSe_12, Quiz der Woche_SoSe_12, Übungsaufgaben_SoSe_12 etc. Sek‎]]

--> Könnten die Tutoren bitte die Lösungen zu den Übungsaufgaben (evtl. auch zu den Zusatzaufgaben) einstellen?!

--> Gibt es noch eine Zusammenfassung der schon bewiesenen Sätze, die wir zum Beweisen verweden können? Das ganze ist bisher ein bisschen durcheinander, außerdem steht im Script des öfteren "probieren sie es selbst..."

=Materialien für das Studium=
===Allgemeines===
* [[Allgemeine Aspekte S|Allgemeine Aspekte (Literatur, Ziele, Wiki, Vorgehensweise, Forschung) ]]
* [[Informationen für Studierende "neues Lehramt" mit Hauptfach Matehmatik]]

===Mengenlehre===
* [[Skript_Mengenlehre]] [[http://wiki.zum.de/Benutzer:Cspannagel/Arithmetik/Mengenlehre Videos zur Mengenlehre]]

===Definieren===
* [[Definitionen in der Mathematik_SoSe_12_S]]
* {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}}
* Arbeitsblätter und mehr: [[Definieren_S_SS12]]
===Elementare Grundlagen des Beweisens===
* [[Beweisen_SoSe_12_S]]

===Axiomatische Geometrie===
*[[Alle Axiome im Überblick_SoSe12]]

====Inzidenz oder was sind Punkte und Geraden====
* [[Grundbegriffe und Axiome der Inzidenz in der Ebene_SoSe12]]
* [[Inzidenz im Raum SoSe_12)]]
* [[Inzidenz und Axiomatik]] Zum besseren Verständnis alles ein wenig zusammenhängender als PDF. Man merkt, dass ich auch mal Deutschlehrer werden wollte. Ich hoffe es hilft

====Abstandsaxiome oder was sind Strecken und Halbgeraden?====
* [[Abstand, Anordnung, Strecke_SoSe12]]
=====Anordnung Teil 1=====
* [[Mittelpunkt einer Strecke und Axiom vom Lineal_SoSe_12]]

=====Anordnung Teil 2=====
*[[Halbebenen und das Axiom von Pasch SS_2012]]

====Winkel und Winkelmessung====
=====Begriff des Winkels=====
*[[Winkel SS_2012]]
=====Axiome der Winkelmessung=====
*[[Winkelmessung SS_2012]]
=====Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende=====
*[[Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende (SoSe_12)]]

====Dreieckskongruenz====
*[[Dreieckskongruenz (SoSe_12)]]
*[[Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium (SoSe_12)]]

====Der schwache Außenwinkelsatz und letzte Sätze in der absoluten Geometrie====
*[[Der schwache Außenwinkelsatz (SoSe_12)]]
*[[Der Zusammenhang von Seitenlängen und Winkelgrößen im Dreieck (SoSe_12)]]
*[[Das Lot (SoSe_12)]]
*[[Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (SoSe_12)]]

=Üben... Üben... Üben...=
===Alte Übungen===
*[[Aus den Übungen mit dem Classroompresenter (SoSe_2011)]]und Wintersemester 2011/12
*[[Die Teilprüfungsklausuren der letzten Semester]]

===Aktuelle Materialien Sommersemester 2012===
====Definieren und Beweisen====
====Definieren====
*[[Definieren des Begriffs Nebenwinkel]] (Classroompresenterübung vom 20. April 2012)
*[[Kontrollfragen zum Definieren (I)]]
*[[Spezielle Definitionen]] (Definitionen und ihre Interpretation nicht nur aus der Mathematik)
*[[tägliche Übung 10. Mai 2012]]
*[[Definieren der Relation "Parallel" auf der Menge aller Geraden]] (Classroompresenterübung vom 11. Mai 1012)
*[[tägliche Übung 15. Mai 2012: Parallelität von Geraden]]
*[[Übungsblatt Halbgeraden]] aus der Vorlesung vom 24.05.12

===Sätze und Beweise===
====Implikationen====
*[[Einstieg Implikationen]] (Arbeitsblätter aus der Vorlesung vom 26.04.)
*[[Wiederholung und Ergänzung Implikationen]] (aus der Vorlesung vom 03.05.)

====notwendig, hinreichend, notwendig und hinreichend====
*[[notwendig, hinreichend, notwendig und hinreichend an ausgewählten Fragen zum Haus der Vierecke]] (Classroompresenterübung vom 27. April 2012)
====Implikation, Umkehrung, Kontraposition====
*[[Basiswinkelsatz]] (Classroompresenterübung vom 04. Mai 2012)
====wichtige Sätze====
Wichtig heißt auch wichtig bezüglich der ATP.
*[[Ein Klassiker für die ATP: Von drei paarweise verschiedenen kollinearen Punkten liegt genau einer zwischen den beiden anderen.]] (Classroompresenterübung vom 18. Mai 2012)
====Halbgeraden und Axiom vom Lineal====
[[Halbgeraden, Streckenabtragen, Übungsaufgabe 5.4]] (Classroompresenterübung vom 08. Juni 2012)

=Videos=
===Videos von Studierenden===
*[[Videos von Studierenden]]
===Vorlesungsvideos===
*[[:zum-wiki:Benutzer:Cspannagel/Arithmetik/Mengenlehre|Videos zur Mengenlehre]]
*[[Videos zur Einführung in die Geometrie]]
==="Videobeweise"===
*[[Der gefilmte Beweis SoSe_2011]]


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2012-07-09T09:11:22Z

Natürliches Mineralwasser: /* Wöchentlich */

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=Wöchentlich=
* [[Auftrag der Woche_SoSe_12, Quiz der Woche_SoSe_12, Übungsaufgaben_SoSe_12 etc. Sek‎]]

--> Könnten die Tutoren bitte die Lösungen zu den Übungsaufgaben (evtl. auch zu den Zusatzaufgaben) einstellen?!

--> Gibt es noch eine Zusammenfassung der schon bewiesenen Sätze, die wir zum Beweisen verweden können?
--> Das ganze ist bisher ein bisschen durcheinander, außerdem steht im Script des öfteren "probieren sie es selbst..."

=Materialien für das Studium=
===Allgemeines===
* [[Allgemeine Aspekte S|Allgemeine Aspekte (Literatur, Ziele, Wiki, Vorgehensweise, Forschung) ]]
* [[Informationen für Studierende "neues Lehramt" mit Hauptfach Matehmatik]]

===Mengenlehre===
* [[Skript_Mengenlehre]] [[http://wiki.zum.de/Benutzer:Cspannagel/Arithmetik/Mengenlehre Videos zur Mengenlehre]]

===Definieren===
* [[Definitionen in der Mathematik_SoSe_12_S]]
* {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}}
* Arbeitsblätter und mehr: [[Definieren_S_SS12]]
===Elementare Grundlagen des Beweisens===
* [[Beweisen_SoSe_12_S]]

===Axiomatische Geometrie===
*[[Alle Axiome im Überblick_SoSe12]]

====Inzidenz oder was sind Punkte und Geraden====
* [[Grundbegriffe und Axiome der Inzidenz in der Ebene_SoSe12]]
* [[Inzidenz im Raum SoSe_12)]]
* [[Inzidenz und Axiomatik]] Zum besseren Verständnis alles ein wenig zusammenhängender als PDF. Man merkt, dass ich auch mal Deutschlehrer werden wollte. Ich hoffe es hilft

====Abstandsaxiome oder was sind Strecken und Halbgeraden?====
* [[Abstand, Anordnung, Strecke_SoSe12]]
=====Anordnung Teil 1=====
* [[Mittelpunkt einer Strecke und Axiom vom Lineal_SoSe_12]]

=====Anordnung Teil 2=====
*[[Halbebenen und das Axiom von Pasch SS_2012]]

====Winkel und Winkelmessung====
=====Begriff des Winkels=====
*[[Winkel SS_2012]]
=====Axiome der Winkelmessung=====
*[[Winkelmessung SS_2012]]
=====Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende=====
*[[Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende (SoSe_12)]]

====Dreieckskongruenz====
*[[Dreieckskongruenz (SoSe_12)]]
*[[Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium (SoSe_12)]]

====Der schwache Außenwinkelsatz und letzte Sätze in der absoluten Geometrie====
*[[Der schwache Außenwinkelsatz (SoSe_12)]]
*[[Der Zusammenhang von Seitenlängen und Winkelgrößen im Dreieck (SoSe_12)]]
*[[Das Lot (SoSe_12)]]
*[[Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (SoSe_12)]]

=Üben... Üben... Üben...=
===Alte Übungen===
*[[Aus den Übungen mit dem Classroompresenter (SoSe_2011)]]und Wintersemester 2011/12
*[[Die Teilprüfungsklausuren der letzten Semester]]

===Aktuelle Materialien Sommersemester 2012===
====Definieren und Beweisen====
====Definieren====
*[[Definieren des Begriffs Nebenwinkel]] (Classroompresenterübung vom 20. April 2012)
*[[Kontrollfragen zum Definieren (I)]]
*[[Spezielle Definitionen]] (Definitionen und ihre Interpretation nicht nur aus der Mathematik)
*[[tägliche Übung 10. Mai 2012]]
*[[Definieren der Relation "Parallel" auf der Menge aller Geraden]] (Classroompresenterübung vom 11. Mai 1012)
*[[tägliche Übung 15. Mai 2012: Parallelität von Geraden]]
*[[Übungsblatt Halbgeraden]] aus der Vorlesung vom 24.05.12

===Sätze und Beweise===
====Implikationen====
*[[Einstieg Implikationen]] (Arbeitsblätter aus der Vorlesung vom 26.04.)
*[[Wiederholung und Ergänzung Implikationen]] (aus der Vorlesung vom 03.05.)

====notwendig, hinreichend, notwendig und hinreichend====
*[[notwendig, hinreichend, notwendig und hinreichend an ausgewählten Fragen zum Haus der Vierecke]] (Classroompresenterübung vom 27. April 2012)
====Implikation, Umkehrung, Kontraposition====
*[[Basiswinkelsatz]] (Classroompresenterübung vom 04. Mai 2012)
====wichtige Sätze====
Wichtig heißt auch wichtig bezüglich der ATP.
*[[Ein Klassiker für die ATP: Von drei paarweise verschiedenen kollinearen Punkten liegt genau einer zwischen den beiden anderen.]] (Classroompresenterübung vom 18. Mai 2012)
====Halbgeraden und Axiom vom Lineal====
[[Halbgeraden, Streckenabtragen, Übungsaufgabe 5.4]] (Classroompresenterübung vom 08. Juni 2012)

=Videos=
===Videos von Studierenden===
*[[Videos von Studierenden]]
===Vorlesungsvideos===
*[[:zum-wiki:Benutzer:Cspannagel/Arithmetik/Mengenlehre|Videos zur Mengenlehre]]
*[[Videos zur Einführung in die Geometrie]]
==="Videobeweise"===
*[[Der gefilmte Beweis SoSe_2011]]


|}
</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe

2012-07-09T09:11:00Z

Natürliches Mineralwasser: /* Wöchentlich */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |

Hier finden Sie die Lehrmaterialien für die Lehrveranstaltung Einführung in die Geometrie
=Wöchentlich=
* [[Auftrag der Woche_SoSe_12, Quiz der Woche_SoSe_12, Übungsaufgaben_SoSe_12 etc. Sek‎]]

--> Könnten die Tutoren bitte die Lösungen zu den Übungsaufgaben (evtl. auch zu den Zusatzaufgaben) einstellen?!

--> Gibt es noch eine Zusammenfassung der schon bewiesenen Sätze, die wir zum Beweisen verweden können?
(Das ganze ist bisher ein bisschen durcheinander, außerdem steht im Script des öfteren "probieren sie es selbst...")

=Materialien für das Studium=
===Allgemeines===
* [[Allgemeine Aspekte S|Allgemeine Aspekte (Literatur, Ziele, Wiki, Vorgehensweise, Forschung) ]]
* [[Informationen für Studierende "neues Lehramt" mit Hauptfach Matehmatik]]

===Mengenlehre===
* [[Skript_Mengenlehre]] [[http://wiki.zum.de/Benutzer:Cspannagel/Arithmetik/Mengenlehre Videos zur Mengenlehre]]

===Definieren===
* [[Definitionen in der Mathematik_SoSe_12_S]]
* {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}}
* Arbeitsblätter und mehr: [[Definieren_S_SS12]]
===Elementare Grundlagen des Beweisens===
* [[Beweisen_SoSe_12_S]]

===Axiomatische Geometrie===
*[[Alle Axiome im Überblick_SoSe12]]

====Inzidenz oder was sind Punkte und Geraden====
* [[Grundbegriffe und Axiome der Inzidenz in der Ebene_SoSe12]]
* [[Inzidenz im Raum SoSe_12)]]
* [[Inzidenz und Axiomatik]] Zum besseren Verständnis alles ein wenig zusammenhängender als PDF. Man merkt, dass ich auch mal Deutschlehrer werden wollte. Ich hoffe es hilft

====Abstandsaxiome oder was sind Strecken und Halbgeraden?====
* [[Abstand, Anordnung, Strecke_SoSe12]]
=====Anordnung Teil 1=====
* [[Mittelpunkt einer Strecke und Axiom vom Lineal_SoSe_12]]

=====Anordnung Teil 2=====
*[[Halbebenen und das Axiom von Pasch SS_2012]]

====Winkel und Winkelmessung====
=====Begriff des Winkels=====
*[[Winkel SS_2012]]
=====Axiome der Winkelmessung=====
*[[Winkelmessung SS_2012]]
=====Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende=====
*[[Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende (SoSe_12)]]

====Dreieckskongruenz====
*[[Dreieckskongruenz (SoSe_12)]]
*[[Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium (SoSe_12)]]

====Der schwache Außenwinkelsatz und letzte Sätze in der absoluten Geometrie====
*[[Der schwache Außenwinkelsatz (SoSe_12)]]
*[[Der Zusammenhang von Seitenlängen und Winkelgrößen im Dreieck (SoSe_12)]]
*[[Das Lot (SoSe_12)]]
*[[Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (SoSe_12)]]

=Üben... Üben... Üben...=
===Alte Übungen===
*[[Aus den Übungen mit dem Classroompresenter (SoSe_2011)]]und Wintersemester 2011/12
*[[Die Teilprüfungsklausuren der letzten Semester]]

===Aktuelle Materialien Sommersemester 2012===
====Definieren und Beweisen====
====Definieren====
*[[Definieren des Begriffs Nebenwinkel]] (Classroompresenterübung vom 20. April 2012)
*[[Kontrollfragen zum Definieren (I)]]
*[[Spezielle Definitionen]] (Definitionen und ihre Interpretation nicht nur aus der Mathematik)
*[[tägliche Übung 10. Mai 2012]]
*[[Definieren der Relation "Parallel" auf der Menge aller Geraden]] (Classroompresenterübung vom 11. Mai 1012)
*[[tägliche Übung 15. Mai 2012: Parallelität von Geraden]]
*[[Übungsblatt Halbgeraden]] aus der Vorlesung vom 24.05.12

===Sätze und Beweise===
====Implikationen====
*[[Einstieg Implikationen]] (Arbeitsblätter aus der Vorlesung vom 26.04.)
*[[Wiederholung und Ergänzung Implikationen]] (aus der Vorlesung vom 03.05.)

====notwendig, hinreichend, notwendig und hinreichend====
*[[notwendig, hinreichend, notwendig und hinreichend an ausgewählten Fragen zum Haus der Vierecke]] (Classroompresenterübung vom 27. April 2012)
====Implikation, Umkehrung, Kontraposition====
*[[Basiswinkelsatz]] (Classroompresenterübung vom 04. Mai 2012)
====wichtige Sätze====
Wichtig heißt auch wichtig bezüglich der ATP.
*[[Ein Klassiker für die ATP: Von drei paarweise verschiedenen kollinearen Punkten liegt genau einer zwischen den beiden anderen.]] (Classroompresenterübung vom 18. Mai 2012)
====Halbgeraden und Axiom vom Lineal====
[[Halbgeraden, Streckenabtragen, Übungsaufgabe 5.4]] (Classroompresenterübung vom 08. Juni 2012)

=Videos=
===Videos von Studierenden===
*[[Videos von Studierenden]]
===Vorlesungsvideos===
*[[:zum-wiki:Benutzer:Cspannagel/Arithmetik/Mengenlehre|Videos zur Mengenlehre]]
*[[Videos zur Einführung in die Geometrie]]
==="Videobeweise"===
*[[Der gefilmte Beweis SoSe_2011]]


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</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]