Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Datei:Geo5.JPG

2012-07-17T15:47:10Z

Nemo81: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
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Lösung von Testaufgabe 02

2012-07-17T15:44:41Z

Nemo81:

Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha: 

[[Datei:Testaufgabe 2.png]]
 
(1) <math>\overline{AB} \tilde {=} \overline{AD}</math> // Vor. 
(2) <math>\overline{BC} \tilde {=} \overline{DC}</math> // Vor. 
(3) <math>\overline{AC} \tilde {=} \overline{AC}</math> // Vor. 
(4) <math>\overline{ABC} \tilde {=} \overline{ADC}</math> // (1-3), SSS 
(5) <math>\angle BAC \tilde {=} \angle DAC</math> // (4), Dreieckskongruenz 
(6) <math>\angle ABD \tilde {=} \angle ADB</math> // Vor., Basiswinkelsatz 
(7) <math>\overline{ABS} \tilde {=} \overline{ADS}</math> // (5),(1),(6), WSW 
(8) <math>\angle BSA \tilde {=} \angle DSA</math> // (7), Dreieckskongruenz 
(9) <math>\left|\angle BSA \right| = 90 = \left|\angle DSA \right|</math> // (8), Def.NW, Def. rechter Winkel 
(10) Da <math>\angle DSC</math> Nebenwinkel von <math>\angle ASD</math> und <math>\angle BSC</math> Nebenwinkel von <math>\angle ASB</math> ist,
muss nach Def. NW und Def. rechter Winkel gelten: <math>\left|\angle ASB \right| = \left|\angle ASD \right| = \left|\angle DSC \right| = \left|\angle CSB \right| = 90 = \left|\angle ASB \right|</math> 
(11) Nach (10) und der Def. senkrecht auf der Menge der Geraden bzw. Strecken wissen wir nun:
<math>AC \perp BD</math> 
(12) Nach der "Def. Scherenwagenheberviereck" ist auch jeder Drachen wegen (11) ein Scherenwagenheberviereck. 
(13) Behauptung stimmt. qed. // (12) (Hinweis:10 Minuten waren mir mit Zeichnung zu knapp.. eher 15 min :-( )
 
--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 22:02, 8. Jul. 2012 (CEST)
 
 
Hier meine Idee: 
[[Datei:RitterSport_Foto0169.jpg]] 
Bei 4) gehört noch als Begründung "3)" dahinter. 
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 21:20, 9. Jul. 2012 (CEST) 
Das frag' ich mich auch... ;) Def. Raute?!? --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 07:58, 10. Jul. 2012 (CEST)
Vielleicht hängt das ja irgendwie mit dem zusammen, dass jede Raute ein spezieller Drache ist und man diesen Beweis
auch hier analog führen könnte...!?!?

Ja genau! Ich habe den Beweis über die Raute geführt. Das ist leichter als über den Drachen zu gehen. Durch die Def. habe ich ja vier kongruente Seiten. Jetzt muss ich nur noch zeigen dass die entstehenden Teildreiecke, bzw ihre Seiten senkrecht aufeinander stehen.
Beweis kommt gleich online.....--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 17:44, 17. Jul. 2012 (CEST)

http://wikis.zum.de/geowiki/Datei:Geo4.JPG

http://wikis.zum.de/geowiki/Datei:Fgeo5.JPG

Lösung von Testaufgabe 02

2012-07-17T15:44:14Z

Nemo81:

Datei:Fgeo5.JPG

2012-07-17T15:44:13Z

Nemo81: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

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Datei:Geo4.JPG

2012-07-17T15:43:43Z

Nemo81: hat eine neue Version von „Datei:Geo4.JPG“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

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Datei:Geo4.JPG

2012-07-17T15:42:37Z

Nemo81: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

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Lösung Testaufgabe 3.3

2012-07-17T14:38:03Z

Nemo81:

[[Datei:Mathe.png]] --[[Benutzer:LuLu7410|LuLu7410]] 14:04, 17. Jul. 2012 (CEST)

Leider kapiere ich es auch nach stundenlangem Rumprobieren nicht, wie man eine Datei ordentlich hochlädt und vor allem sichtbar macht. Deshalb auf diesem Wege mein sehr ausführlicher Beweis:

http://wikis.zum.de/geowiki/images/b/b7/Foto%282%29.JPG

http://wikis.zum.de/geowiki/images/d/dd/Foto%281%29.JPG
--[[Benutzer:*osterhase*|*osterhase*]] 15:49, 17. Jul. 2012 (CEST)

Hier mal meine Lösung --[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 16:38, 17. Jul. 2012 (CEST)

http://wikis.zum.de/geowiki/Datei:Geo.JPG

http://wikis.zum.de/geowiki/Datei:Geo2.JPG

http://wikis.zum.de/geowiki/Datei:Geo3.JPG

Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha: 
Skizze folgt... 
'''Vor.:''' 
'''(V1)''' <math>\overline{CM} \tilde {=} \overline{DM}</math> 
'''(V2)''' <math>\overline{AM} \tilde {=} \overline{BM}</math> 

'''Beh.:''' 
'''(B1)''' <math>AB\|| CD</math> 
'''(B2)''' <math>\overline{AD} \tilde {=} \overline{BC}</math> 

(1) <math>\angle AMD \tilde {=} \angle BMC</math> // Scheitelwinkelsatz 
(2) <math>\overline{AM} \tilde {=} \overline{BM}</math> // (V2) 
(3) <math>\overline{CM} \tilde {=} \overline{DM}</math> // (V1) 
(4) <math>\overline{AMD} \tilde {=} \overline{BMC} // (1-3), SWS</math>
(5) <math>\overline{AD} \tilde {=} \overline{BC}</math> // (4), Dreieckskongruenz 
(6) Behauptung (B2) stimmt. // (5) 
Fortsetzung folgt.. --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 16:37, 17. Jul. 2012 (CEST)

Lösung Testaufgabe 3.3

2012-07-17T14:37:30Z

Nemo81:

Datei:Geo3.JPG

2012-07-17T14:37:10Z

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Lösung Testaufgabe 3.3

2012-07-17T14:36:31Z

Nemo81:

Datei:Geo2.JPG

2012-07-17T14:36:04Z

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Lösung Testaufgabe 3.3

2012-07-17T14:35:24Z

Nemo81:

Datei:Geo.JPG

2012-07-17T14:31:42Z

Nemo81: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

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Lösung Testaufgabe 3.3

2012-07-17T14:02:16Z

Nemo81:

Lösung Testaufgabe 3.3

2012-07-17T14:01:44Z

Nemo81:

Lösung Testaufgabe 3.3

2012-07-17T13:59:24Z

Nemo81:

Lösung Testaufgabe 3.3

2012-07-17T13:58:57Z

Nemo81:

Lösung Testaufgabe 3.2

2012-07-17T10:27:43Z

Nemo81:

Ein Viereck, das ein Sehnenviereck ist und dessen Diagonalen kongruent sind ist ein gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 11:13, 17. Jul. 2012 (CEST)

Ein Viereck mit zwei zueinander kongruenten Seiten und gleichlangen Diagonalen heißt gleichschenkliges Trapez. Ist das mit den Seiten richtig bzw. nicht eigentlich zu viel Information? Wenn diese Information aber fehlt, reicht die Definition nicht aus um in Teilaufgabe 3.3 einen gescheiten Beweis zu führen. Bitte um Hilfe! --[[Benutzer:*osterhase*|*osterhase*]] 12:08, 17. Jul. 2012 (CEST)

Ein Viereck mit gleichlangen Diagonalen, die einander im selben Verhältnis schneiden, heißt gleichschenkliges Trapez. (Selbes Problem wie bei vorheriger Definition: Hilfe!) --[[Benutzer:*osterhase*|*osterhase*]] 12:08, 17. Jul. 2012 (CEST)

Lösung Testaufgabe 3.2

2012-07-17T10:25:53Z

Nemo81:

Lösung von Aufgabe 7.5 S (SoSe 12)

2012-06-14T17:02:06Z

Nemo81:

[[Datei:Geo7.5..pdf]]--[[Benutzer:KeinKurpfälzer|KeinKurpfälzer]] 17:29, 11. Jun. 2012 (CEST) Idee von Wurzel 
[[Datei:Skizze 7.5.PNG]] --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 19:14, 12. Jun. 2012 (CEST)

Vor: koll(A,B,C) und A,B,C nicht element g auserdem noch Strecke AB n g = (S) und Strecke BC n g = ( )

Beh: Strecke AC n g ungleich ( )

Bew:

1. koll(A,B,C) und A,B,C nicht element g laut Vor:

2. AB+BC=AC laut Ax II/3 Dreiecks ungl.

3. Strecke AB n g = (S) laut Vor.

4. zw(A,S,B) laut 3. und trivial

5. AS+SB=AB laut Ax II/3 und 4

6. AS+SB+BC=AC laut Rechnen in R, 5. und 2.

7. AS+SC=AC laut Rechnen in R und 6.

8. Zw(A,S,C) laut 7 und Ax II/3

9. Unmittelbar folgt Strecke AC n g ungleich () weil AC n g = (S) laut 8. und trivial q.e.d --[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 18:55, 14. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 7.5 S (SoSe 12)

2012-06-14T16:56:49Z

Nemo81:

[[Datei:Geo7.5..pdf]]--[[Benutzer:KeinKurpfälzer|KeinKurpfälzer]] 17:29, 11. Jun. 2012 (CEST) Idee von Wurzel 
[[Datei:Skizze 7.5.PNG]] --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 19:14, 12. Jun. 2012 (CEST)

Vor: koll(A,B,C) und A,B,C nicht element g auserdem noch Strecke AB n g = (S) und Strecke BC n g = ( )

Beh: Strecke AC n g ungleich ( )

Bew:

1. koll(A,B,C) und A,B,C nicht element g laut Vor:

2. AB+BC=AC laut Ax II/3 Dreiecks ungl.

3. Strecke AB n g = (S) laut Vor.

4. zw(A,S,B) laut 3. und trivial

5. AS+SB=AB laut Ax II/3 und 4

6. AS+SB+BC=AC laut Rechnen in R, 5. und 2.

7. AS+SC=AC laut Rechnen in R und 6.

8. Zw(A,S,C) laut 7 und Ax II/3

9. Unmittelbar folgt Strecke AC n g = (S) laut 8. und trivial q.e.d --[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 18:55, 14. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 7.5 S (SoSe 12)

2012-06-14T16:55:40Z

Nemo81:

[[Datei:Geo7.5..pdf]]--[[Benutzer:KeinKurpfälzer|KeinKurpfälzer]] 17:29, 11. Jun. 2012 (CEST) Idee von Wurzel 
[[Datei:Skizze 7.5.PNG]] --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 19:14, 12. Jun. 2012 (CEST)

Vor: koll(A,B,C) und A,B,C nicht element g auserdem noch Strecke AB n g = (S) und Strecke BC n g = ( )

Beh: Strecke AC n g ungleich ( )

Bew:

1. koll(A,B,C) und A,B,C nicht element g laut Vor:

2. AB+BC=AC laut Ax II/3 Dreiecks ungl.

3. Strecke AB n g = (S) laut Vor.

4. zw(A,S,B) laut 3. und trivial

5. AS+SB=AB laut Ax II/3 und 4

6. AS+SB+BC=AC laut Rechnen in R, 5. und 2.

7. AS+SC=AC laut Rechnen in R und 6.

8. Zw(A,S,C) laut 7 und Ax II/3

9. Unmittelbar folgt Strecke AC n g = (S) laut 8. und trivial --[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 18:55, 14. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 7.3 S (SoSe 12)

2012-06-14T16:15:26Z

Nemo81:

'''Lösungsvorschlag:'''

Satz: Sind zwei Punktmengen konvex, dann ist auch ihr Durchschnitt konvex. 
Beweis: ? 
Kontraposition: Ist der Durchschnitt zweier Punktmengen nicht konvex, so sind die beiden Punktmengen auch nicht konvex. 
Umkehrung des Satzes: Ist der Durchschnitt zweier Punktmengen konvex, dann sind die beiden Punktmengen konvex. 
Widerlegung der Umkehrung durch eine Skizze: [[Datei:RitterSport_Konvex.JPG]]
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 19:52, 9. Jun. 2012 (CEST)

[[Datei:Geowiki 7.2..pdf]]--[[Benutzer:KeinKurpfälzer|KeinKurpfälzer]] 16:25, 11. Jun. 2012 (CEST)

[[Datei:Geo7.3..pdf]]--[[Benutzer:KeinKurpfälzer|KeinKurpfälzer]] 17:35, 11. Jun. 2012 (CEST)

a)

Vor: 2 konvexe Punktmengen 1. Strecke AB ist echte Teilmenge von Menge1 (M1) 2. Strecke AB ist echte Teilmenge von M2

Beh: Ihr schnitt ist Konvex M1 geschnitten M2 = konvex bedeutet: Strecke AB ist echte Teilmenge von M1 und M2

Ann: Es existiert ein Punkt P: P ist element der Strecke AB und P ist nicht element M2.

Es kann solch einen Punkt nicht geben, weil laut Vor: Die Strecke AB echte teilmenge von M1 aber auch von M2 ist(und laut def Konvex)
Also Widerspruch zur Vorraussetzung. q.e.d --[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 17:57, 14. Jun. 2012 (CEST)

b)Wenn der Durchschnitt von zwei Punktmengen nicht konves ist, dann sind die Punktmengen nicht konves.

c)Wenn der Durchschnitt zweier Punktmengen konvex ist, dann sind die zwei Punktmengen auch Konvex.
--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 18:15, 14. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 7.3 S (SoSe 12)

2012-06-14T16:06:51Z

Nemo81:

'''Lösungsvorschlag:'''

Satz: Sind zwei Punktmengen konvex, dann ist auch ihr Durchschnitt konvex. 
Beweis: ? 
Kontraposition: Ist der Durchschnitt zweier Punktmengen nicht konvex, so sind die beiden Punktmengen auch nicht konvex. 
Umkehrung des Satzes: Ist der Durchschnitt zweier Punktmengen konvex, dann sind die beiden Punktmengen konvex. 
Widerlegung der Umkehrung durch eine Skizze: [[Datei:RitterSport_Konvex.JPG]]
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 19:52, 9. Jun. 2012 (CEST)

[[Datei:Geowiki 7.2..pdf]]--[[Benutzer:KeinKurpfälzer|KeinKurpfälzer]] 16:25, 11. Jun. 2012 (CEST)

[[Datei:Geo7.3..pdf]]--[[Benutzer:KeinKurpfälzer|KeinKurpfälzer]] 17:35, 11. Jun. 2012 (CEST)

Vor: 2 konvexe Punktmengen 1. Strecke AB ist echte Teilmenge von Menge1 (M1) 2. Strecke AB ist echte Teilmenge von M2

Beh: Ihr schnitt ist Konvex M1 geschnitten M2 = konvex bedeutet: Strecke AB ist echte Teilmenge von M1 und M2

Ann: Es existiert ein Punkt P: P ist element der Strecke AB und P ist nicht element M2.

Es kann solch einen Punkt nicht geben, weil laut Vor: Die Strecke AB echte teilmenge von M1 aber auch von M2 ist(und laut def Konvex)
Also Widerspruch zur Vorraussetzung. q.e.d --[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 17:57, 14. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 7.3 S (SoSe 12)

2012-06-14T15:57:20Z

Nemo81:

'''Lösungsvorschlag:'''

Satz: Sind zwei Punktmengen konvex, dann ist auch ihr Durchschnitt konvex. 
Beweis: ? 
Kontraposition: Ist der Durchschnitt zweier Punktmengen nicht konvex, so sind die beiden Punktmengen auch nicht konvex. 
Umkehrung des Satzes: Ist der Durchschnitt zweier Punktmengen konvex, dann sind die beiden Punktmengen konvex. 
Widerlegung der Umkehrung durch eine Skizze: [[Datei:RitterSport_Konvex.JPG]]
--[[Benutzer:RitterSport|RitterSport]] 19:52, 9. Jun. 2012 (CEST)

[[Datei:Geowiki 7.2..pdf]]--[[Benutzer:KeinKurpfälzer|KeinKurpfälzer]] 16:25, 11. Jun. 2012 (CEST)

[[Datei:Geo7.3..pdf]]--[[Benutzer:KeinKurpfälzer|KeinKurpfälzer]] 17:35, 11. Jun. 2012 (CEST)

Vor: 2 konvexe Punktmengen 1. Strecke AB ist echte Teilmenge von Menge1 (M1) 2. Strecke AB ist echte Teilmenge von M2

beh: Ihr schnitt ist Konvex M1 geschnitten M2= konvex bedeutetStrecke AB ist echte Teilmenge von M1 und M2

Ann: Es existiert ein Punkt P: P ist element der Strecke AB und P ist nicht element M2.

Es kann solch einen Punkt nicht geben, weil laut Vor: Die Strecke AB echte teilmenge von M1 aber auch von M2 ist( und laut def Konvex)
Also Widerspruch zur Vorraussetzung. q.e.d --[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 17:57, 14. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 7.4 S (SoSe 12)

2012-06-13T13:35:05Z

Nemo81:

[[Datei:DefHalbebenen.pdf]]--[[Benutzer:KeinKurpfälzer|KeinKurpfälzer]] 17:23, 11. Jun. 2012 (CEST)

So würde ich es auch schreiben, außer bei

gQ- muss glaube ich noch "geschnitten mit nicht g" hinter der Klammer angehängt werden, um die Gerade auszuschließen. --[[Benutzer:Butterbrot|Butterbrot]] 14:23, 12. Jun. 2012 (CEST) 

'''weiterer ausformulierter Definitionsversuch von Nummero6/Tchu Tcha Tcha:''' 
<math>\ gQ^{+}</math>(offen): Alle Punkte der Ebene E, die zu Q bezüglich g auf derselben Ebene liegen und die nicht zur Geraden g gehören nennt man offene Halbebene <math>\ gQ^{+}</math>. 
<math>\ gQ^{-}</math>(offen): Alle Punkte der Ebene E, die zu Q bezüglich g auf der anderen Ebene liegen und die nicht zur Geraden g gehören nennt man offene Halbebene <math>\ gQ^{-}</math>. 
--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 16:39, 12. Jun. 2012 (CEST)

gQ+= (P: PQ n g = ( ))

gQ-= (P: PQ n g = (S)/g)
--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 15:34, 13. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 7.4 S (SoSe 12)

2012-06-13T13:34:51Z

Nemo81:

[[Datei:DefHalbebenen.pdf]]--[[Benutzer:KeinKurpfälzer|KeinKurpfälzer]] 17:23, 11. Jun. 2012 (CEST)

So würde ich es auch schreiben, außer bei

gQ- muss glaube ich noch "geschnitten mit nicht g" hinter der Klammer angehängt werden, um die Gerade auszuschließen. --[[Benutzer:Butterbrot|Butterbrot]] 14:23, 12. Jun. 2012 (CEST) 

'''weiterer ausformulierter Definitionsversuch von Nummero6/Tchu Tcha Tcha:''' 
<math>\ gQ^{+}</math>(offen): Alle Punkte der Ebene E, die zu Q bezüglich g auf derselben Ebene liegen und die nicht zur Geraden g gehören nennt man offene Halbebene <math>\ gQ^{+}</math>. 
<math>\ gQ^{-}</math>(offen): Alle Punkte der Ebene E, die zu Q bezüglich g auf der anderen Ebene liegen und die nicht zur Geraden g gehören nennt man offene Halbebene <math>\ gQ^{-}</math>. 
--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 16:39, 12. Jun. 2012 (CEST)

gQ+= (P: PQ n g = ( ))
gQ-= (P: PQ n g = (S)/g)
--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 15:34, 13. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 5.1 (SoSe 12)

2012-05-30T13:59:32Z

Nemo81:

== Aufgabe 1==
Beweisen Sie Satz I.5 : Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.
 
[[Category:Einführung_S]]

Hier mal meine Lösung:

Vor: E1 ungleich E2

Beh:E1 geschnitten E2 = ( ) oder E1 geschnitten E2= (Gerade g)

Direkter Beweis zwei Fälle

Fall 1:

1) E1 ungleich E2 laut Vor.

2) E1 parallel E2 laut Def I/10 (1)

3) E1 geschnitten E2 = ( ) q.e.d

Fall 2:

1) E1 ungleich E2 laut Vor.

2) Es existieren eine Ebene E1 für die gilt, A,B,C Element E1 und es existiert eine Ebene E2 für die gilt C,D,E element E2 laut Axiom I/4 und (1)

3) C ist Element E1 und C Element E2 laut (2)

4) es exist. ein Punkt P für den gilt P element E1 und P element E2 laut Axiom I/6

5) es exist. eine Gerade g für die gilt P ist element von g und C ist element von g laut Axiom I/1, (4), (3)

6) E1 geschnitten E2 = Gerdade g q.e.d --[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 15:08, 30. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 5.2 (SoSe 12)

2012-05-30T13:53:15Z

Nemo81:

Beweisen Sie Satz I.7 : Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte. 

[[Category:Einführung_S]]

Vor. Ebene E1

Beh: A,B,C element E1

Bew:

1) E1 laut Vor.

2) A,B,C elemt E1 laut Ax I/4 q.e.d
--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 15:52, 30. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 5.2 (SoSe 12)

2012-05-30T13:52:57Z

Nemo81:

Beweisen Sie Satz I.7 : Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte. 

[[Category:Einführung_S]]

Vor. Ebene E1

Beh: A,B,C element E1

Bew:

1) E1 laut Vor.
2) A,B,C elemt E1 laut Ax I/4 q.e.d
--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 15:52, 30. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 5.1 (SoSe 12)

2012-05-30T13:08:05Z

Nemo81: /* Aufgabe 1 */

== Aufgabe 1==
Beweisen Sie Satz I.5 : Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.
 
[[Category:Einführung_S]]

Hier mal meine Lösung:

Vor: E1 ungleich E2

Beh:E1 geschnitten E2 = ( ) oder E1 geschnitten E2= (Gerade g)

Direkter Beweis zwei Fälle

Fall 1:

1) E1 ungleich E2 laut Vor.

2) E1 parallel E2 laut Def I/10 (1)

3) E1 geschnitten E2 = ( ) q.e.d

Fall 2:

1) E1 ungleich E2 laut Vor.

2) Es existieren die Punkte A,B,C für die gilt, A,B,C Element E1 und es existieren die Punkte C,D,E für die gilt C,D,E element E2 laut Axiom I/4 und (1)

3) C ist Element E1 und C Element E2 laut (2)

4) es exist. ein Punkt P für den gilt P element E1 und P element E2 laut Axiom I/6

5) es exist. eine Gerade g für die gilt P ist element von g und C ist element von g laut Axiom I/1, (4), (3)

6) E1 geschnitten E2 = Gerdade g q.e.d --[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 15:08, 30. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 5.1 (SoSe 12)

2012-05-30T13:07:26Z

Nemo81: /* Aufgabe 1 */

== Aufgabe 1==
Beweisen Sie Satz I.5 : Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.
 
[[Category:Einführung_S]]

Hier mal meine Lösung:

Vor: E1 ungleich E2

Beh:E1 geschnitten E2 = ( ) oder E1 geschnitten E2= (Gerade g)

Direkter Beweis zwei Fälle

Fall 1:

1) E1=E2 laut Vor.

2) E1 parallel E2 laut Def I/10 (1)

3) E1 geschnitten E2 = ( ) q.e.d

Fall 2:

1) E1 ungleich E2 laut Vor.

2) Es existieren die Punkte A,B,C für die gilt, A,B,C Element E1 und es existieren die Punkte C,D,E für die gilt C,D,E element E2 laut Axiom I/4 und (1)

3) C ist Element E1 und C Element E2 laut (2)

4) es exist. ein Punkt P für den gilt P element E1 und P element E2 laut Axiom I/6

5) es exist. eine Gerade g für die gilt P ist element von g und C ist element von g laut Axiom I/1, (4), (3)

6) E1 geschnitten E2 = Gerdade g q.e.d

Lösung von Zusatzaufgabe 4.4 S (SoSe 12)

2012-05-28T15:20:18Z

Nemo81:

1) Wenn vier Punkte nicht in der selben Ebene liegen, dann sind drei Punkte von ihnen auf der selben Ebene

2) 4 Punkte die nicht auf der selben Ebene sind, haben drei Punkte die nicht auf der selben Geraden liegen

3) Voraussetzung: nkomp (ABC)

Behauptung: nkoll (ABC)<math>\bigvee</math>nkoll(BCD)<math>\bigvee</math>nkoll(CDA)<math>\bigvee</math>nkoll(BCA)

Annahme: nkomp (ABCD)<math>\bigwedge</math>koll (ABC) oBdA

1 Fall:
D <math>\in</math> g

2 Fall: D ist nicht <math>\in</math>
g

Hallo hier mal ein direkter Beweis: Ist der so richtig?????
Vor: nkomp(A,B,C,D)
Beh: nkoll (A,B,C) oBdA

1:nnKomp(A,B,C,D) laut Vor

2:EX A,B,C,: nkoll(A,B,C) laut Ax I/3 (1) oBdA

3: nKoll(A,B,C) laut (2) q.e.d

--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 13:21, 28. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 4.4 S (SoSe 12)

2012-05-28T15:19:45Z

Nemo81:

1) Wenn vier Punkte nicht in der selben Ebene liegen, dann sind drei Punkte von ihnen auf der selben Ebene

2) 4 Punkte die nicht auf der selben Ebene sind, haben drei Punkte die nicht auf der selben Geraden liegen

3) Voraussetzung: nkomp (ABC)

Behauptung: nkoll (ABC)<math>\bigvee</math>nkoll(BCD)<math>\bigvee</math>nkoll(CDA)<math>\bigvee</math>nkoll(BCA)

Annahme: nkomp (ABCD)<math>\bigwedge</math>koll (ABC) oBdA

1 Fall:
D <math>\in</math> g

2 Fall: D ist nicht <math>\in</math>
g

Hallo hier mal ein direkter Beweis: Ist der so richtig?????
Vor: nkomp(A,B,C,D)
Beh: nkoll (A,B,C) oBdA

1:nnKomp(A,B,C,D) laut Vor

2:EX A,B,C,: nkoll(A,B,C) laut Ax I/3 (1) oBdA

3: nKoll(A,B,C,D) laut (2) q.e.d

--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 13:21, 28. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 4.4 S (SoSe 12)

2012-05-28T11:22:29Z

Nemo81:

1) Wenn vier Punkte nicht in der selben Ebene liegen, dann sind drei Punkte von ihnen auf der selben Ebene

2) 4 Punkte die nicht auf der selben Ebene sind, haben drei Punkte die nicht auf der selben Geraden liegen

3) Voraussetzung: nkomp (ABC)

Behauptung: nkoll (ABC)<math>\bigvee</math>nkoll(BCD)<math>\bigvee</math>nkoll(CDA)<math>\bigvee</math>nkoll(BCA)

Annahme: nkomp (ABCD)<math>\bigwedge</math>koll (ABC) oBdA

1 Fall:
D <math>\in</math> g

2 Fall: D ist nicht <math>\in</math>
g

Hallo hier mal ein direkter Beweis: Ist der so richtig?????
Vor: nkomp(A,B,C,D)
Beh: nkoll (A,B,C) oBdA

1:nnKomp(A,B,C,D) laut Vor

2:EX A,B,C,: nkoll(A,B,C,D) laut Ax I/3 (1) oBdA

3: nKoll(A,B,C,D) laut (2) q.e.d

--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 13:21, 28. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 4.4 S (SoSe 12)

2012-05-28T11:22:04Z

Nemo81:

1) Wenn vier Punkte nicht in der selben Ebene liegen, dann sind drei Punkte von ihnen auf der selben Ebene

2) 4 Punkte die nicht auf der selben Ebene sind, haben drei Punkte die nicht auf der selben Geraden liegen

3) Voraussetzung: nkomp (ABC)

Behauptung: nkoll (ABC)<math>\bigvee</math>nkoll(BCD)<math>\bigvee</math>nkoll(CDA)<math>\bigvee</math>nkoll(BCA)

Annahme: nkomp (ABCD)<math>\bigwedge</math>koll (ABC) oBdA

1 Fall:
D <math>\in</math> g

2 Fall: D ist nicht <math>\in</math>
g

Hallo hier mal ein direkter Beweis: Ist der so richtig?????
Vor: nkomp(A,B,C,D)
Beh: nkoll (A,B,C) oBdA

1:nnKomp(A,B,C,D) laut Vor

2:EX A,B,C,D: nkoll(A,B,C,D) laut Ax I/3 (1) oBdA

3: nKoll(A,B,C,D) laut (2) q.e.d

--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 13:21, 28. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 4.4 S (SoSe 12)

2012-05-28T11:21:32Z

Nemo81:

1) Wenn vier Punkte nicht in der selben Ebene liegen, dann sind drei Punkte von ihnen auf der selben Ebene

2) 4 Punkte die nicht auf der selben Ebene sind, haben drei Punkte die nicht auf der selben Geraden liegen

3) Voraussetzung: nkomp (ABC)

Behauptung: nkoll (ABC)<math>\bigvee</math>nkoll(BCD)<math>\bigvee</math>nkoll(CDA)<math>\bigvee</math>nkoll(BCA)

Annahme: nkomp (ABCD)<math>\bigwedge</math>koll (ABC) oBdA

1 Fall:
D <math>\in</math> g

2 Fall: D ist nicht <math>\in</math>
g

Hallo hier mal ein direkter Beweis: Ist der so richtig?????
Vor: nkomp(A,B,C,D)
Beh: nkoll (A,B,C) oBdA

1:nnKomp(A,B,C,D) laut Vor
2:EX A,B,C,D: nkoll(A,B,C,D) laut Ax I/3 (1) oBdA
3: nKoll(A,B,C,D) laut (2) q.e.d
--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 13:21, 28. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 4.4 S (SoSe 12)

2012-05-20T13:11:31Z

Nemo81:

==Aufgabe 4.4==
Beweisen Sie Satz I.6: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.
 

[[Category:Einführung_S]]

Vor: Ebene E und nicht in ihr liegende Gerade g
Beh: E geschnitten g höchstens einen Punkt gemeinsam

Beweis durch Widerspruch
Ann: E geschnitten g mindestens zwei Punkte gemeinsam

Beweise:
1) Ebene E und nicht in ihr liegende Geradeng. ( Vor)

2) E geschnitten g = Punkt P und es existiert mindestens ein Punkt
Q für den gilt Q ist nicht Element der Ebene. (Beh)

3) Punkte PQ liegen in der Ebene E. ( Ann)

4) PQ bildet Gerade g die in der Ebene E liegt. (3), Axiom I/1, Axiom I/5)

5)Widerspruch zur Vor. (4),3),2))
--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 15:10, 20. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 4.4 S (SoSe 12)

2012-05-20T13:10:16Z

Nemo81:

==Aufgabe 4.4==
Beweisen Sie Satz I.6: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.
 

[[Category:Einführung_S]]

Vor: Ebene E und nicht in ihr liegende Gerade g
Beh: E geschnitten g höchstens einen Punkt gemeinsam

Beweis durch Widerspruch
Ann: E geschnitten g mindestens zwei Punkte gemeinsam

Beweise:
1) Ebene E und nicht in ihr liegende Geradeng. Vor

2) E geschnitten g = Punkt P und es existiert mindestens ein Punkt
Q für den gilt Q ist nicht Element der Ebene. Beh

3) Punkte PQ liegen in der Ebene E. Ann

4) PQ bildet Gerade g die in der Ebene E liegt. 3), Axiom I/1, Axiom I/5

5)Widerspruch zur Vor. 4),3),2)
--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 15:10, 20. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 4.3 S (SoSe 12)

2012-05-19T12:22:04Z

Nemo81:

== Aufgabe 4.3 ==
Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“
# Beweisen Sie Satz I indirekt mit Widerspruch.
# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
# Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?
 

[[Category:Einführung_S]]

'''Lösungsvorschlag 1:'''

'''1)''' „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden.“

'''2)''' Voraussetzung: nkoll (A,B,C) Behauptung: A,B und C sind paarweise verschieden Annahme: 2 Punkte sind nicht paarweise verschieden (Widerspruch zur Behauptung..)

{| class="wikitable sortable"
!!!Beweisschritt!!Begründung
|-
| (1) || <math>\operatorname{nkoll}(A, B, C)</math> || Voraussetzung
|-
| (2) || oBdA: <math>A=B</math> ; <math>A \neq C </math> || Annahme
|-
| (3) || <math>\exists g:g=AC</math> || (2), Axiom I/1
|-
| (4) || <math>\operatorname{koll}(A, B, C)</math> || (2), (3), Def. kollinear
|-
| (5) || Widerspruch zur Voraussetzung || (4), (1)
|-
| (6) || Behauptung stimmt || (5)
|-
|}

'''3)''' „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> nicht paarweise verschieden sind, dann sind sie kollinear.“

'''4)''' Voraussetzung: mindestens 2 der 3 Punkte (A,B,C) sind identisch Behauptung: koll (A,B,C) 

{| class="wikitable sortable"
!!!Beweisschritt!!Begründung
|-
| (1) || oBdA: <math>A=B ; A \neq C </math> || Voraussetzung
|-
| (2) || <math>\exists g:g=AC</math> || (1), Axiom I/1
|-
| (3) || <math>\operatorname{koll}(A, B, C)</math> || (1), (2), Def. kollinear
|-
|}

'''5)''' „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> paarweise verschieden sind, dann sind sie nicht kollinear.“

'''6)''' Die Umkehrung von Satz I gilt NICHT!!! (siehe Gegenbeispiel)

<ggb_applet width="531" height="441" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 19:12, 13. Mai 2012 (CEST)

Hier mal meine Lösung, glaube dass die nicht wirklich gut ist.
Vor: A,B,C nkoll
Beh: A,B,C paarweise verschieden

Ann: Fall 1 A=B=C

1) A,B,C nkoll laut Vor
2)Es gibt eine Menge von Geraden laut Axiom I/1 und 1)
AB,AC,BC
3)A=B=C laut Ann
4) Es exsistiert eine Gerade g Def I/2 Kollinear und 3)
mit A,B,C Element von g
5) Widerspruch zur Behauptung laut 1) und 2) gibt es Eine Menge von Geraden die AB,AC,BC
und laut 3) und 4) sollen die Punkte A,B,C auf einer Geraden g liegen.
--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 14:22, 19. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 4.3 S (SoSe 12)

2012-05-19T12:15:03Z

Nemo81:

Lösung von Aufgabe 4.2 S (SoSe 12)

2012-05-19T11:22:56Z

Nemo81:

'''Modelle der Inzidenzaxiome''' 
'''a)''' Welche der Inzidenzaxiome der Geometrie der Ebene (I.0 bis I.3) sind in den Modellen 1 bis 4 jeweils erfüllt? 

1. I2 nicht erfüllt, weil die obere Gerade (hat leider keine Beschriftung) nur von einem Punkt inzidiert wird. 
2. I3 nicht erfüllt, es liegen 3 Punkte auf der Geraden. 
*Ja,das stimmt schon, aber das ist ja nicht schlimm. Was fehlt in diesem Modell bzw. wie muss man die Aussage umformulieren?--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 12:55, 15. Mai 2012 (CEST) 
3. I1 nicht erfüllt, weil es zu jedem Punkt zwei Geraden gibt. 
*Das stimmt auch, aber es widerspricht keinem Axiom. Wäre dies ein Grund, dann würde auch in Modell 1 Axiom I1 nicht zutreffen (Punkt unten links z.B., denn er inzidiert auch mit 2 Geraden).--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 12:55, 15. Mai 2012 (CEST)
4. Wie 3 außer der Stern hat eine Bedeutung 
*Der Stern soll etwas sein, was kein Punkt ist.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 12:55, 15. Mai 2012 (CEST)
--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 16:37, 14. Mai 2012 (CEST) 

3) I1 nicht erfüllt es fehlen die Geraden auf denen die Diagonalen des Rechteckes liegen.
4) Stern hat keine Bedeutung, alle Axiome erfüllt
--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 12:23, 17. Mai 2012 (CEST)

'''b)''' Was haben Sie durch a) bezüglich des Axiomensystems der Inzidenz gezeigt? 

Könnte bei 1) auch Axiom I/1 nicht erfüllt sein? Weil es ja keinen zweiten beliebigen Punkt gibt und die obere Gerade nur durch einen Punkt geht. Auf jeden Fall ist bei 1) I/2 nicht erfüllt. Bei 2) ist I/3 nicht erfüllt, bei 3) I/1 nicht. Bei 4 bin ich mir nich sicher, ist es jetzt egal ob der Stern da ist. Weil er keine Bedeutung für uns hat oder sind alle Axiom NICHT erfüllt weil Geraden ja Punktmengen sind.
Bzw. gibt es eine andere Lösung--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 13:20, 19. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 4.2 S (SoSe 12)

2012-05-19T11:20:03Z

Nemo81:

'''Modelle der Inzidenzaxiome''' 
'''a)''' Welche der Inzidenzaxiome der Geometrie der Ebene (I.0 bis I.3) sind in den Modellen 1 bis 4 jeweils erfüllt? 

1. I2 nicht erfüllt, weil die obere Gerade (hat leider keine Beschriftung) nur von einem Punkt inzidiert wird. 
2. I3 nicht erfüllt, es liegen 3 Punkte auf der Geraden. 
*Ja,das stimmt schon, aber das ist ja nicht schlimm. Was fehlt in diesem Modell bzw. wie muss man die Aussage umformulieren?--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 12:55, 15. Mai 2012 (CEST) 
3. I1 nicht erfüllt, weil es zu jedem Punkt zwei Geraden gibt. 
*Das stimmt auch, aber es widerspricht keinem Axiom. Wäre dies ein Grund, dann würde auch in Modell 1 Axiom I1 nicht zutreffen (Punkt unten links z.B., denn er inzidiert auch mit 2 Geraden).--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 12:55, 15. Mai 2012 (CEST)
4. Wie 3 außer der Stern hat eine Bedeutung 
*Der Stern soll etwas sein, was kein Punkt ist.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 12:55, 15. Mai 2012 (CEST)
--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 16:37, 14. Mai 2012 (CEST) 

3) I1 nicht erfüllt es fehlen die Geraden auf denen die Diagonalen des Rechteckes liegen.
4) Stern hat keine Bedeutung, alle Axiome erfüllt
--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 12:23, 17. Mai 2012 (CEST)

'''b)''' Was haben Sie durch a) bezüglich des Axiomensystems der Inzidenz gezeigt? 

Könnte bei 1) auch Axiom I/1 nicht erfüllt sein? Wei es ja keinen zweiten beliebigen Punkt gibt und die oberer Gerade nur durch einen geht. Auf jeden Fall ist bei 1) I/2 nicht erfüllt. Bei 2) ist I/3 nicht erfüllt, bei 3) I/1 nicht. Bei 4 bin ich mir nich sicher, ist es jetzt egal ob der Stern da ist. Weil er keine Bedeutung für uns hat oder sind alle Axiom NICHT erfüllt weil Geraden ja Punktmengen sind.
Bzw. gibt es eine andere Lösung--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 13:20, 19. Mai 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 4.1 S (SoSe 12)

2012-05-19T10:49:16Z

Nemo81: /* --*m.g.* 16:53, 17. Mai 2012 (CEST) */

==Aufgabe 4.1==
Es sei P die Menge der Punkte und G die Menge der Gerade. Wir betrachten folgendes Modell: 
P = {A,B,C,D} 
G = {{A,B}, {A,C}, {A,D}, {B,C}, {B,D}, {C,D}} 
 
Ich mach mal vorsichtshalber eine Ergänzung: Unter Inzidenz wollen wir die Elementbeziehung verstehen: Also Punkt <math>Q</math> inzidiert mit Gerade <math>g</math>, wenn er zur Menge der Punkte gehört, die die Gerade bildet.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:49, 14. Mai 2012 (CEST) (War sicher klar, muss man korrekterweise beim Modell aber dazu sagen.) 
a) Veranschaulichen Sie das Modell durch eine Skizze. 
b) Sind bei dem Modell die Axiome I.0 bis I.3 erfüllt? 
 

[[Category:Einführung_S]]

===Lösungsvorschlag 1===

a)

====Modell 1====
<ggb_applet width="531" height="441" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

====Modell 2====
=====Das Modell=====
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--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 19:26, 13. Mai 2012 (CEST) 
Dieses Modell entspricht nicht den Vorgaben aus der Aufgabe, denn die erste Teilmenge aus G enthält nicht die Punkte C und D. Das bedeutet, dass C und D nicht mit der Geraden AB inzidieren.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 13:02, 15. Mai 2012 (CEST) OK, verstehe ;-) danke!--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 20:03, 17. Mai 2012 (CEST)

In der Aufgabenstellung steht Gerade (Einzahl) und nicht Geraden. Dann sind jedoch verschiedene Mengen von Geraden vorgegeben. Von was soll man jetzt ausgehen?--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 23:22, 18. Mai 2012 (CEST)

=====Kommentar von [[Benutzer:Wurzel|H2O]]=====
B.)da nicht ausgeschlossen ist,dass die Punkte ABCD Teil der Punktmengen einer Geraden sind , trifft Axiom 3 nicht unbedingt zu.--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 16:01, 14. Mai 2012 (CEST)

Die Formulierung nicht unbedingt finde ich noch zu vage. Trauen Sie sich ruhig mehr zu.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:03, 14. Mai 2012 (CEST)

Vielleicht kollidiert das Ganze noch viel früher als erst bei Axiom 3?--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:03, 14. Mai 2012 (CEST)

Wenn ABCD Teil der Punktmengen sind, dann sind sie kollinar, somit ist I3 nicht füllt.

Wenn ABCD Viereck, dann inzidiert jeder Punkt mit zwei Geraden, somit I1 nicht erfüllt.

--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 18:23, 14. Mai 2012 (CEST)

@Wurzel/H2O I/1 sagt aus, dass je zwei verschiedene Punkte mit genau einer Geraden inzidieren. Warum sollte es ein Widerspruch zu I/1 sein, wenn jeder Punkt auf zwei Geraden liegt? --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:19, 14. Mai 2012 (CEST) 
Die Formulierung ''Wenn ABCD Teil der Punktmengen sind,'' trifft es nicht ganz. "Wenn" kann ich auch als "Falls" lesen: Falls ABCD ... Das Problem ist doch, dass alle unsere Punkte auf ein und derselben Geraden liegen, ohne wenn und aber. Also alle unsere Punkte bilden eine Menge kollinearer Punkte. Demzufolge--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 12:07, 17. Mai 2012 (CEST) kann I/3 nicht erfüllt sein: Es gibt in dem Modell schlicht und einfach keine drei paarweise verschiedenen Punkte, die nicht kollinear wären.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:27, 14. Mai 2012 (CEST)
===Was wäre wenn A=B=C=D?===
====[[Benutzer:Wurzel|H2O]]====
Wenn A=B=C=D dann ist auch I1 nicht erfüllt
I2 wäre erfüllt
====--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 16:53, 17. Mai 2012 (CEST)====
Stimmt so leider nicht. Nehmen wir an, jemand baut ein Modell, welches vier Punkte enthält, die alle identisch wären. (Gilt ja für die hier aufgestellten Modelle nicht.) Die Geraden wären entsprechend unseres Modells zweielementige Mengen von Punkten. Da alle Punkte identisch sind, würde jede der vier Geraden aus genau einem Punkt bestehen (zudem wären alle Geraden identisch, weil es sich ja letztlich um ein und denselben Punkt handelt.) Damit wäre das Axiom I/2 nicht erfüllt: Auf jeder Geraden gibt es (wenigstens) zwei verschiedene Punkte. Unsere Gerade(n) würden ja nur einen einzigen Punkt beinhalten. Andererseits (und jetzt wird es richtig verrückt) wäre I/1 nicht verletzt. I/1 sagt ja aus, dass es zu je zwei verschiedenen Punkten genau eine Gerade gibt, die durch die beiden Punkte geht. Zum besseren Verständnis I/1 noch mal in Wenn-Dann: Wenn A und B zwei verschiedene Punkte sind, dann gibt es genau eine Gerade, die sowohl durch A als auch durch B geht. Da es aber gar keine zwei verschiedenen Punkte in unserem Modell geben würde, wäre I/1 auch nicht verletzt. Dieses wäre nur dann der Fall, wenn es zwei verschiedene Punkte A und B geben würde zu denen es keine oder mehrere Geraden geben würde, die sowohl durch A als auch durch B gehen. Ich weiß das ist heftig, aber Stück für Stück werden Sie es schon verstehen. Lassen Sie sich auf keinen Fall entmutigen, es kommen auch wieder weniger abstrakte Lehrinhalte. Vielleicht hilft Ihnen das folgende Video ein wenig bezüglich des Arbeitens mit Modellen:
{{#ev:youtube|5KkJuWgNNeY}} 
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 16:50, 17. Mai 2012 (CEST)
Ach so im nachhinein noch folgende Bemerkung: Ich glaube Sie verstehen die Geraden des Modells nicht richtig. Die Geraden so wie wir sie gewohnt sind in der üblichen Geometrie dienen in den Geogebraapplikationen nur als Verdeutlichung. Sie sind nach dem Modell jedoch nur Mengen die jeweils aus genau zwei Punkten bestehen. Der "Strich" durch die jeweiligen zwei Punkte in der Applikation verdeutlich welche Punklte jeweils zusammengefasst werden, er ist nicht die Modellgerade.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:00, 17. Mai 2012 (CEST)

Also ich brauch noch mal Hilfe! Bei Modell 2 ist AxiomI/0 erfüllt, AxionI/1 auch (es sind zwar mehr als ein Punkt aber es geht ja nur eine Gerade durch), ich denke Axiom I/2 auch, nur Axiom I/3 ist nicht erfüllt, weil ja alle Punkte A,B,C,d kollinear sind. Isz das jetzt so richtig oder liege ich falsch.--[[Benutzer:Nemo81|Nemo81]] 12:43, 19. Mai 2012 (CEST)

und bei Modell 1 sind die Axiome I/0 bis I/3 erfüllt, ist das so richtig?

Lösung von Aufgabe 4.1 S (SoSe 12)

2012-05-19T10:43:15Z

Nemo81: /* Was wäre wenn A=B=C=D? */