http://geometrie.idea-sketch.com/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=NightfallGeometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]2026-08-03T23:10:53ZBenutzerbeiträgeMediaWiki 1.43.9http://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Basiswinkelsatz_und_Mittelsenkrechtenkriterium_(WS10/11)&diff=5881Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium (WS10/11)2011-01-10T15:24:27Z<p>Nightfall: /* Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) */</p>
<hr />
<div>== Der Basiswinkelsatz ==<br />
=== Gleichschenklige Dreiecke ===<br />
===== Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) =====<br />
Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.<br />
<br />
Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck bei dem zwei Seiten zueinander kongruent sind.<br /><br />
Schenkel: Ein Schenkel ist eine der kongruenten Seiten des gleichschenkligen Dreiecks.<br /><br />
Basis: Die dritte Seite nennt man Basis des gleichschenkligen Dreiecks.<br /><br />
Basiswinkel: Der Winkel, der die Basis als Teilmenge hat nennt man Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.--[[Benutzer:Nightfall|Nightfall]] 12:20, 10. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
Übungsaufgabe<br />
<br />
=== Der Basiswinkelsatz ===<br />
===== Satz VII.5: Basiswinkelsatz =====<br />
::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.<br />
===== Der folgende Beweis ist für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen =====<br />
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. o.B.d.A. seien die Seiten <math>\ a</math> und <math>\ b</math> kongruent zueinander:<br />
<br />
[[Bild:Basiswinkelsatz00.png| 300 px]]<br />
<br />
Nach der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke existiert der Mittelpunkt <math>\ M</math> der Dreiecksseite <math>\ c</math>.<br />
<br />
[[Bild:Basiswinkelsatz01.png| 300 px]]<br />
<br />
Wir werden jetzt zeigen, dass die beiden Teildreiecke <math>\overline{AMC}</math> und <math>\overline{BMC}</math> kongruent zueinander sind:<br />
<br />
<br />
[[Bild:Basiswinkelsatz02.png| 300 px]]<br />
<br />
Nachweis von <math>\overline{AMC} \cong \overline{BMC}</math>:<br />
<br />
<br />
{| class="wikitable center"<br />
|- style="background: #DDFFDD;"<br />
! Nr.<br />
! Skizze<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
| (1)<br />
| [[Bild:Basiswinkelsatz03.png| 200 px]]<br />
| <math>\ a \cong \ b</math><br />
| Voraussetzung<br />
|-<br />
| (2)<br />
| [[Bild:Basiswinkelsatz04.png| 200 px]]<br />
| <math>\overline{AM} \cong \overline{MB}</math><br />
| <math>\ M</math> ist Mittelpunkt von <math>\ c</math><br />
|-<br />
| (3)<br />
| [[Bild:Basiswinkelsatz05.png| 200 px]]<br />
| <math>\overline{MC} \cong \overline{MC}</math><br />
| trivial (oder Reflexivität der Kongruenzrelation)<br />
|-<br />
| (4)<br />
| [[Bild:Basiswinkelsatz06.png| 200 px]]<br />
| <math>\overline{AMC} \cong \overline{BMC}</math><br />
| (1), (2), (3), SSS<br />
|}<br />
<br />
Wegen (4) gilt nun auch <math>\alpha \cong \beta</math>. <br />
<br />
w.z.b.w.<br />
<br />
Ein schöner einfacher Beweis, leider hat er hier keine Gültigkeit. Warum?<br />
<br />
<br />
===== Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes =====<br />
Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... .<br />
Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende. Damit wir uns auf die wesentliche Beweisidee des Basiwinkelsatzes konzentrieren können, schicken wir ein Lemma voraus.<br />
======Lemma 1======<br />
::Die Winkelhalbierende <math>\ SW^+</math> eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> schneidet die Strecke <math>\overline{AB}</math> in genau einem Punkt <math>\ P</math>.<br />
<br />
<br />
[[Bild:Lemma01.png| 300 px]]<br />
<br />
====== Beweis von Lemma 1======<br />
später (Wir haben wichtigeres zu tun.)<br />
googeln Sie: "Geschichten aus dem Inneren Gieding" und Sie werden fündig.<br />
====== Beweis des Basiswinkelsatzes ======<br />
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" 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<br />
== Das Mittelsenkrechtenkriterium ==<br />
===== Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) =====<br />
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\ \overline{AB}</math>, wenn für jeden Punkt <math>\ P \in\ M</math> gilt: <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>.<br />
<br />
Bezug zur Schule:<br />
Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke <math>\overline{AB}</math> mittels Zirkel und Lineal:<br />
<br />
<u>Konstruktionsvorschrift:</u><br />
<br />
<u>gegeben:</u> Strecke <math>\overline{AB}</math><br />
<br />
<u>gesucht:</u> <math>\ m</math> , die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math><br />
<br />
<br />
{| class="wikitable center"<br />
|- style="background: #DDFFDD;"<br />
! Schrittnr.<br />
! Konstruktionsschritt<br />
|-<br />
| 1.<br />
| Zeichne einen Kreis um <math>\ A</math>, dessen Radius <math>\ r</math> länger als die Hälfte der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist.<br />
|-<br />
| 2.<br />
| Behalte <math>\ r</math> bei und zeichne einen Kreis um <math>\ B</math>.<br />
|-<br />
| 3.<br />
| Der Kreis um <math>\ A</math> schneidet den Kreis um <math>\ B</math> in den beiden Schnittpunkten <math>\ S_1</math> und <math>\ S_2</math>.<br />
|-<br />
| 4.<br />
| Zeichne die Gerade <math>\ S_1S_2</math>. Sie ist die gesuchte Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>.<br />
|}<br />
<br />
<u>Frage:</u> ''Ist dieser Algorithmus korrekt?'' Anders gefragt: Ist <math>\ S_1S_2</math> wirklich die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>?<br />
<br />
Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen:<br />
<br />
===== Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.) =====<br />
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.<br />
<br />
===== Beweis von Satz VII.6 a =====<br />
<br />
Übungsaufgabe (Das Video hilft)<br />
<br />
{{#ev:youtube|SV7e7lTCPps}}<br />
<br />
<br />
Nach dem Beweis von Satz VII.6 a wissen wir, dass die beiden Punkte <math>\ S_1</math> und <math>\ S_2</math> Punkte der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> sind.<br />
<br />
Die Wahl des Radius <math>\ r</math> der beiden Kreise in unserer Konstruktion war beliebig für <math>\ | r | > \frac{1}{2} | \overline{AB} |</math>. Wir stellen uns jetzt die frage, ob wir jeden beliebigen Punkt unserer Mittelsenkrechten als Schnittpunkt zweier entsprechender Kreise konstruieren könnten.<br />
<br />
Die Frage anders formuliert:<br />
<br />
Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils ein und denselben Abstand?<br />
<br />
Noch anders formuliert:<br />
<br />
Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Strecke <math>\overline{AB}</math> notwendigerweise zu <math>\ A</math> und zu <math>\ B</math> ein und denselben Abstand?<br />
<br />
Der folgende Satz VII.6 b beantwortet diese beiden Fragen postiv:<br />
<br />
===== Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)=====<br />
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.<br />
<br />
<br />
Übungsaufgabe</div>Nightfallhttp://geometrie.idea-sketch.com/index.php?title=Basiswinkelsatz_und_Mittelsenkrechtenkriterium_(WS10/11)&diff=5878Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium (WS10/11)2011-01-10T12:20:51Z<p>Nightfall: /* Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) */</p>
<hr />
<div>== Der Basiswinkelsatz ==<br />
=== Gleichschenklige Dreiecke ===<br />
===== Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) =====<br />
Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.<br />
<br />
Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck bei dem zwei Seiten zueinander kongruent sind.<br /><br />
Schenkel: Ein Schenkel ist eine der kongruenten Seiten des gleichschenkligen Dreiecks.<br /><br />
Basis: Die dritte Seite nennt man Basis des gleichschenkligen Dreiecks.<br /><br />
Basiswinkel: Der Winkel, bei welchem die Basis eine Teilmenge bildet nennt man Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.--[[Benutzer:Nightfall|Nightfall]] 12:20, 10. Jan. 2011 (UTC)<br />
<br />
Übungsaufgabe<br />
<br />
=== Der Basiswinkelsatz ===<br />
===== Satz VII.5: Basiswinkelsatz =====<br />
::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.<br />
===== Der folgende Beweis ist für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen =====<br />
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. o.B.d.A. seien die Seiten <math>\ a</math> und <math>\ b</math> kongruent zueinander:<br />
<br />
[[Bild:Basiswinkelsatz00.png| 300 px]]<br />
<br />
Nach der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke existiert der Mittelpunkt <math>\ M</math> der Dreiecksseite <math>\ c</math>.<br />
<br />
[[Bild:Basiswinkelsatz01.png| 300 px]]<br />
<br />
Wir werden jetzt zeigen, dass die beiden Teildreiecke <math>\overline{AMC}</math> und <math>\overline{BMC}</math> kongruent zueinander sind:<br />
<br />
<br />
[[Bild:Basiswinkelsatz02.png| 300 px]]<br />
<br />
Nachweis von <math>\overline{AMC} \cong \overline{BMC}</math>:<br />
<br />
<br />
{| class="wikitable center"<br />
|- style="background: #DDFFDD;"<br />
! Nr.<br />
! Skizze<br />
! Beweisschritt<br />
! Begründung<br />
|-<br />
| (1)<br />
| [[Bild:Basiswinkelsatz03.png| 200 px]]<br />
| <math>\ a \cong \ b</math><br />
| Voraussetzung<br />
|-<br />
| (2)<br />
| [[Bild:Basiswinkelsatz04.png| 200 px]]<br />
| <math>\overline{AM} \cong \overline{MB}</math><br />
| <math>\ M</math> ist Mittelpunkt von <math>\ c</math><br />
|-<br />
| (3)<br />
| [[Bild:Basiswinkelsatz05.png| 200 px]]<br />
| <math>\overline{MC} \cong \overline{MC}</math><br />
| trivial (oder Reflexivität der Kongruenzrelation)<br />
|-<br />
| (4)<br />
| [[Bild:Basiswinkelsatz06.png| 200 px]]<br />
| <math>\overline{AMC} \cong \overline{BMC}</math><br />
| (1), (2), (3), SSS<br />
|}<br />
<br />
Wegen (4) gilt nun auch <math>\alpha \cong \beta</math>. <br />
<br />
w.z.b.w.<br />
<br />
Ein schöner einfacher Beweis, leider hat er hier keine Gültigkeit. Warum?<br />
<br />
<br />
===== Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes =====<br />
Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... .<br />
Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende. Damit wir uns auf die wesentliche Beweisidee des Basiwinkelsatzes konzentrieren können, schicken wir ein Lemma voraus.<br />
======Lemma 1======<br />
::Die Winkelhalbierende <math>\ SW^+</math> eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> schneidet die Strecke <math>\overline{AB}</math> in genau einem Punkt <math>\ P</math>.<br />
<br />
<br />
[[Bild:Lemma01.png| 300 px]]<br />
<br />
====== Beweis von Lemma 1======<br />
später (Wir haben wichtigeres zu tun.)<br />
googeln Sie: "Geschichten aus dem Inneren Gieding" und Sie werden fündig.<br />
====== Beweis des Basiswinkelsatzes ======<br />
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" 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<br />
== Das Mittelsenkrechtenkriterium ==<br />
===== Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) =====<br />
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\ \overline{AB}</math>, wenn für jeden Punkt <math>\ P \in\ M</math> gilt: <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>.<br />
<br />
Bezug zur Schule:<br />
Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke <math>\overline{AB}</math> mittels Zirkel und Lineal:<br />
<br />
<u>Konstruktionsvorschrift:</u><br />
<br />
<u>gegeben:</u> Strecke <math>\overline{AB}</math><br />
<br />
<u>gesucht:</u> <math>\ m</math> , die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math><br />
<br />
<br />
{| class="wikitable center"<br />
|- style="background: #DDFFDD;"<br />
! Schrittnr.<br />
! Konstruktionsschritt<br />
|-<br />
| 1.<br />
| Zeichne einen Kreis um <math>\ A</math>, dessen Radius <math>\ r</math> länger als die Hälfte der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist.<br />
|-<br />
| 2.<br />
| Behalte <math>\ r</math> bei und zeichne einen Kreis um <math>\ B</math>.<br />
|-<br />
| 3.<br />
| Der Kreis um <math>\ A</math> schneidet den Kreis um <math>\ B</math> in den beiden Schnittpunkten <math>\ S_1</math> und <math>\ S_2</math>.<br />
|-<br />
| 4.<br />
| Zeichne die Gerade <math>\ S_1S_2</math>. Sie ist die gesuchte Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>.<br />
|}<br />
<br />
<u>Frage:</u> ''Ist dieser Algorithmus korrekt?'' Anders gefragt: Ist <math>\ S_1S_2</math> wirklich die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>?<br />
<br />
Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen:<br />
<br />
===== Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.) =====<br />
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.<br />
<br />
===== Beweis von Satz VII.6 a =====<br />
<br />
Übungsaufgabe (Das Video hilft)<br />
<br />
{{#ev:youtube|SV7e7lTCPps}}<br />
<br />
<br />
Nach dem Beweis von Satz VII.6 a wissen wir, dass die beiden Punkte <math>\ S_1</math> und <math>\ S_2</math> Punkte der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> sind.<br />
<br />
Die Wahl des Radius <math>\ r</math> der beiden Kreise in unserer Konstruktion war beliebig für <math>\ | r | > \frac{1}{2} | \overline{AB} |</math>. Wir stellen uns jetzt die frage, ob wir jeden beliebigen Punkt unserer Mittelsenkrechten als Schnittpunkt zweier entsprechender Kreise konstruieren könnten.<br />
<br />
Die Frage anders formuliert:<br />
<br />
Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils ein und denselben Abstand?<br />
<br />
Noch anders formuliert:<br />
<br />
Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Strecke <math>\overline{AB}</math> notwendigerweise zu <math>\ A</math> und zu <math>\ B</math> ein und denselben Abstand?<br />
<br />
Der folgende Satz VII.6 b beantwortet diese beiden Fragen postiv:<br />
<br />
===== Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)=====<br />
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.<br />
<br />
<br />
Übungsaufgabe</div>Nightfall