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Lösung von Aufgabe 10.4P (SoSe 13)

2013-07-19T10:34:55Z

Nolessonlearned:

Beweisen Sie Satz IX.3:
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_a\circ S_b(P) </math>. 
[[Kategorie:Einführung_P]]

'''Voraussetzung''': 
a ∩ b = {S} ∧ a ⊥ b --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 

'''Behauptung''': 
S ist Mittelpunkt von P͞,P͞`` 
mit P``= Sa∘Sb(P) --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 

==Beweis von Nolessonlearnd==
{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| ∃m: m ∩ a ∩ b = {S}
mit m ≠ a,b
| Voraussetzung;
Konstruktion der Gerade m
|-
| 2)
| Es existiert Q Element von m: Q͞P kongruent Q͞P͞``
| (1); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 3)
| m senkrecht P͞P͞``
| (2); Def. Mittelsenkrechte
|-
| 4)
| |PS| = |SP'|
| (3); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 5)
| S ist Mittelpunkt von P͞P͞``
| (1); (2); (3); (4); Voraussetzung
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 
 
Kreative Beweisidee. Zwei Probleme fallen mir auf: 
1. Du kannst nicht erst die GErade m konstruieren (dann ist sie bereits fest) und sie dann später als Mittelsenkrechte deuten. (Schritt 2 und 3) - > Diese Schwierigkeit lässt sich leicht beheben. 
2. Du kannst nicht in Schritt 5 sagen, dass S Mittelpunkt von PP´´ ist, da dafür laut Def. Mittelpunkt zwei Dinge erfüllt sein müssen: 1. <math>S \in \overline{PP''}</math> und <math>|PS|=|P''S|</math>. Ersteres hast du noch nicht gezeigt. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:04, 16. Jul. 2013 (CEST)
 
Neuer Versuch 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| <math>\exists Q:\ Q\ \not\in\ a,b\ \wedge\ QS\ \cap\ a\ \cap\ b\ =\ \left\{ {S} \right\}</math>
| Voraussetzung; Konstruktion der Gerade QS
|-
| 2)
| <math>P''\ =\ Sa\ o\ Sb(P)</math>
| Eigenschaft der Punktspiegelung
|-
| 3)
| <math>\left| QP \right| \ =\ \left| QP" \right|</math>
| (1); (2); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 4)
| <math>\left\{ {S} \right\}\ =\ QS\ \cap\ \overline{PP"} \ \wedge\ QS\ \perp \ \overline{PP"}</math>
| (1); (2); (3); Def. Mittelsenkrechte
|-
| 5)
| <math>\left| PP" \right|\ =\ \left| PS \right|\ +\ \left| SP" \right|</math>
| Def. Zwischen; Eigenschaft der Mittelsenkrechte
|-
| 6)
| <math>S\ ist\ Mittelpunkt\ von\ \overline{PP"}</math>
| 3); (4); (5)
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 19:35, 17. Jul. 2013 (CEST) 
Das löst das Problem leider nicht: Du nennst in Schritt 1 einen Punkt Q, damit liegt dieser fest. Erst in Schritt 3 nennst du, dass er zu P und P´´ den gleichen Abstand hat. Hat er aber - wenn nicht zufällig so gezeichnet - gar nicht. Geht echt nicht. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 20:06, 17. Jul. 2013 (CEST) 
 
'''Voraussetzung''': Sa∘Sb mit a ∩ b = {S} ∧ a ⊥ b 
 
'''Behauptung''': S ist Mittelpunkt von P͞P" .
 
'''Beweis''': 
1) Sa∘Sb(P) = P" 
Begründung: Eigenschaft d. PS; Voraussetzung 

2) Sa∘Sb(S) = S" = S 
Begründung: Eigenschaft d. PS; Voraussetzung; S ist Fixpunkt 

2b) Drehe a⊥b so, dass P ∈ a und S fest 
Begründung: (2); Eigenschaft d. Drehung 

3) |PS| + |SP"| = |PP"| mit koll(P,S,P") 
Begründung: (1); (2); (2b); Def. Zwischen 

4) |PS| = |SP"| 
Begründung: (3); Streckentreue d. GS 

5) S ist Mittelpunkt von P͞P" 
Begründung: (3); (4); Def. Mittelpunkt --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:26, 18. Jul. 2013 (CEST)
*Der Beweis sieht korrekt aus, ist es aber nicht. Denn Schritt 3 kannst du nicht aus den vorrigen Schritten oder aus der Zwischenrelation herleiten. Du kannst also nicht begründen, dass die Punkte kollinear sind. Dazu musst du das Achsenkreuz drehen, wie es unten im Beweis Schritt 1 entspricht. Dann est kann begründet weden, dass die Punkte kollinear sind. Und wie? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:09, 18. Jul. 2013 (CEST) 
*Ok, ich verstehe. Wüstenfuchs hat die Spiegelachse a verwendet. Ist elegant und schnell. Könnte man theoretisch eine weitere Gerade einfügen, welche die Punkte P,S,P(zweistrich) enthält und diese zur Beweisführung verwenden?--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 22:10, 18. Jul. 2013 (CEST) 
***Nein, das geht nicht. Nur bei der Gerade b weiß ich, dass es eine Fixgerade bezüglich Spiegelung an a ist (da a senkrecht b) und P deshalb wieder auf die GErade gespiegelt wird. Bei allen anderen Geraden weiß ich das nicht. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:03, 19. Jul. 2013 (CEST) 
****Ich dachte, dass bei einer Punktspiegelung jede Gerade, die durch S verläuft eine Fixgerade ist. Diese wäre doch dann ebenfalls für die Beweisführung geeignet. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:46, 19. Jul. 2013 (CEST) 
*****Da hast du absolut recht, aber eben genau das soll in diesem Beweis gezeigt werden. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:24, 19. Jul. 2013 (CEST) 
******OK--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:34, 19. Jul. 2013 (CEST) 

==Beweis von Wüstenfuchs==
{| class="wikitable"
| Voraussetzung || a⊥b ∧ a∩b = {S} ∧ Sa∘Sb(P)= P``
|-
| Behauptung || IPSI = ISP``I (das ist nicht die komplette Behauptung; s.Anmerkung oben.)
|}
 

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 ||Drehe a⊥b so das P <math>\in</math> a und S fest || Vor. ; <s>Def.</s> Punktspiegelung ; IX.3 (oder Eigenschaft der Punktspiegelung)
|-
| 2 || Sa(P) = P' = P || 1.) ; Def. Geradenspiegelung
|-
| 3 || Sb(P') = P`` mit P`` <math>\in</math> a || 2.) ; a ist Fixgerade bezüglich der <math> S_{b}</math>
|-
| 4 || IPSI = ISP``I || 3.) ; Def. Geradenspiegelung
|-
| 4b || <math>S \in \overline{PP''}</math>|| ...
|-
| 5 || <s>S = Mittelpunkt IPP``I</s> Keine Betragstriche!! besser: S ist Mittelpunkt von <math>\overline{PP''}</math> || 4.)+4b) ; Def. Mittelpunkt
|}
--[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 20:42, 15. Jul. 2013 (CEST) 
Der Beweis ist fast korrekt. Auch hier fehlt die Begründung, dass S auch Element der Strecke PP´´ ist, weil er nur dann Mittelpunkt von PP`` ist. Optimalerweise dafür noch ein Extraschritt einbauen, oder aber die Begründung in 5) ergänzen. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:13, 16. Jul. 2013 (CEST)

Lösung von Aufgabe 10.4P (SoSe 13)

2013-07-19T09:46:55Z

Nolessonlearned:

Beweisen Sie Satz IX.3:
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_a\circ S_b(P) </math>. 
[[Kategorie:Einführung_P]]

'''Voraussetzung''': 
a ∩ b = {S} ∧ a ⊥ b --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 

'''Behauptung''': 
S ist Mittelpunkt von P͞,P͞`` 
mit P``= Sa∘Sb(P) --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 

==Beweis von Nolessonlearnd==
{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| ∃m: m ∩ a ∩ b = {S}
mit m ≠ a,b
| Voraussetzung;
Konstruktion der Gerade m
|-
| 2)
| Es existiert Q Element von m: Q͞P kongruent Q͞P͞``
| (1); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 3)
| m senkrecht P͞P͞``
| (2); Def. Mittelsenkrechte
|-
| 4)
| |PS| = |SP'|
| (3); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 5)
| S ist Mittelpunkt von P͞P͞``
| (1); (2); (3); (4); Voraussetzung
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 
 
Kreative Beweisidee. Zwei Probleme fallen mir auf: 
1. Du kannst nicht erst die GErade m konstruieren (dann ist sie bereits fest) und sie dann später als Mittelsenkrechte deuten. (Schritt 2 und 3) - > Diese Schwierigkeit lässt sich leicht beheben. 
2. Du kannst nicht in Schritt 5 sagen, dass S Mittelpunkt von PP´´ ist, da dafür laut Def. Mittelpunkt zwei Dinge erfüllt sein müssen: 1. <math>S \in \overline{PP''}</math> und <math>|PS|=|P''S|</math>. Ersteres hast du noch nicht gezeigt. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:04, 16. Jul. 2013 (CEST)
 
Neuer Versuch 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| <math>\exists Q:\ Q\ \not\in\ a,b\ \wedge\ QS\ \cap\ a\ \cap\ b\ =\ \left\{ {S} \right\}</math>
| Voraussetzung; Konstruktion der Gerade QS
|-
| 2)
| <math>P''\ =\ Sa\ o\ Sb(P)</math>
| Eigenschaft der Punktspiegelung
|-
| 3)
| <math>\left| QP \right| \ =\ \left| QP" \right|</math>
| (1); (2); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 4)
| <math>\left\{ {S} \right\}\ =\ QS\ \cap\ \overline{PP"} \ \wedge\ QS\ \perp \ \overline{PP"}</math>
| (1); (2); (3); Def. Mittelsenkrechte
|-
| 5)
| <math>\left| PP" \right|\ =\ \left| PS \right|\ +\ \left| SP" \right|</math>
| Def. Zwischen; Eigenschaft der Mittelsenkrechte
|-
| 6)
| <math>S\ ist\ Mittelpunkt\ von\ \overline{PP"}</math>
| 3); (4); (5)
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 19:35, 17. Jul. 2013 (CEST) 
Das löst das Problem leider nicht: Du nennst in Schritt 1 einen Punkt Q, damit liegt dieser fest. Erst in Schritt 3 nennst du, dass er zu P und P´´ den gleichen Abstand hat. Hat er aber - wenn nicht zufällig so gezeichnet - gar nicht. Geht echt nicht. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 20:06, 17. Jul. 2013 (CEST) 
 
'''Voraussetzung''': Sa∘Sb mit a ∩ b = {S} ∧ a ⊥ b 
 
'''Behauptung''': S ist Mittelpunkt von P͞P" .
 
'''Beweis''': 
1) Sa∘Sb(P) = P" 
Begründung: Eigenschaft d. PS; Voraussetzung 

2) Sa∘Sb(S) = S" = S 
Begründung: Eigenschaft d. PS; Voraussetzung; S ist Fixpunkt 

2b) Drehe a⊥b so, dass P ∈ a und S fest 
Begründung: (2); Eigenschaft d. Drehung 

3) |PS| + |SP"| = |PP"| mit koll(P,S,P") 
Begründung: (1); (2); (2b); Def. Zwischen 

4) |PS| = |SP"| 
Begründung: (3); Streckentreue d. GS 

5) S ist Mittelpunkt von P͞P" 
Begründung: (3); (4); Def. Mittelpunkt --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:26, 18. Jul. 2013 (CEST)
*Der Beweis sieht korrekt aus, ist es aber nicht. Denn Schritt 3 kannst du nicht aus den vorrigen Schritten oder aus der Zwischenrelation herleiten. Du kannst also nicht begründen, dass die Punkte kollinear sind. Dazu musst du das Achsenkreuz drehen, wie es unten im Beweis Schritt 1 entspricht. Dann est kann begründet weden, dass die Punkte kollinear sind. Und wie? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:09, 18. Jul. 2013 (CEST) 
*Ok, ich verstehe. Wüstenfuchs hat die Spiegelachse a verwendet. Ist elegant und schnell. Könnte man theoretisch eine weitere Gerade einfügen, welche die Punkte P,S,P(zweistrich) enthält und diese zur Beweisführung verwenden?--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 22:10, 18. Jul. 2013 (CEST) 
***Nein, das geht nicht. Nur bei der Gerade b weiß ich, dass es eine Fixgerade bezüglich Spiegelung an a ist (da a senkrecht b) und P deshalb wieder auf die GErade gespiegelt wird. Bei allen anderen Geraden weiß ich das nicht. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:03, 19. Jul. 2013 (CEST) 
****Ich dachte, dass bei einer Punktspiegelung jede Gerade, die durch S verläuft eine Fixgerade ist. Diese wäre doch dann ebenfalls für die Beweisführung geeignet. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:46, 19. Jul. 2013 (CEST) 

==Beweis von Wüstenfuchs==
{| class="wikitable"
| Voraussetzung || a⊥b ∧ a∩b = {S} ∧ Sa∘Sb(P)= P``
|-
| Behauptung || IPSI = ISP``I (das ist nicht die komplette Behauptung; s.Anmerkung oben.)
|}
 

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 ||Drehe a⊥b so das P <math>\in</math> a und S fest || Vor. ; <s>Def.</s> Punktspiegelung ; IX.3 (oder Eigenschaft der Punktspiegelung)
|-
| 2 || Sa(P) = P' = P || 1.) ; Def. Geradenspiegelung
|-
| 3 || Sb(P') = P`` mit P`` <math>\in</math> a || 2.) ; a ist Fixgerade bezüglich der <math> S_{b}</math>
|-
| 4 || IPSI = ISP``I || 3.) ; Def. Geradenspiegelung
|-
| 4b || <math>S \in \overline{PP''}</math>|| ...
|-
| 5 || <s>S = Mittelpunkt IPP``I</s> Keine Betragstriche!! besser: S ist Mittelpunkt von <math>\overline{PP''}</math> || 4.)+4b) ; Def. Mittelpunkt
|}
--[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 20:42, 15. Jul. 2013 (CEST) 
Der Beweis ist fast korrekt. Auch hier fehlt die Begründung, dass S auch Element der Strecke PP´´ ist, weil er nur dann Mittelpunkt von PP`` ist. Optimalerweise dafür noch ein Extraschritt einbauen, oder aber die Begründung in 5) ergänzen. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:13, 16. Jul. 2013 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 11.3 (SoSe 13)

2013-07-19T09:38:32Z

Nolessonlearned:

ein paar Definitionsaufgaben passend zum aktuellen Thema: 
Bitte falsche Definitionen nicht direkt verbessern, sondern kopieren, darunter einfügen und dann verbessern!!!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:00, 16. Jul. 2013 (CEST)
'''1. Geben Sie eine formal korrekte Konventionaldefinition des Begriffs achsensymmetrisches Viereck an.''' 
*Wenn ein Viereck sich an den Symmetrieachsen in 2 kongruente Teilmengen zerlegen lässt, dann ist es ein achsensymmetrisches Viereck.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:38, 12. Jul. 2013 (CEST) 
**Die Definition ist so nicht möglich, da wir kongruentze Mengen nicht definiert haben und ich kenne diese Definition auch nicht, falls es eine gibt. Andere Vorschläge?
*Ein Viereck dessen Diagonalen oder Mittelsenkrechten Teilmengen der Spiegelachsen sind, heißt achsensymmetrisches Viereck.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:48, 14. Jul. 2013 (CEST) 

**Die Überlegung ist sehr gut. Aber was bewirkt eine Spiegelachse? Spiegelachsen kann ich ja überall hinlegen, das heißt ja noch nichts. Das ist also noch keine korrekte Definition.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
***Ein Viereck dessen Diagonalen oder Mittelsenkrechten Teilmengen der Spiegelachsen sind und sich daran in zwei gleiche Teile zerlegen lässt, heißt achsensymmetrisches Viereck.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:10, 15. Jul. 2013 (CEST) 
****Das ist informell. Wo die Achse liegt, muss nicht weiter erklärt werden.
*TIPP: Wenn es eine Geradenspiegelung gibt, die ein Viereck auf .... abbildet , ... . Bitte darunter ergänzen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:00, 16. Jul. 2013 (CEST)
**Wenn es eine Geradenspiegelung gibt, die ein Viereck auf sich selbst abbildet , dann ist das Viereck ein achsensymmetrisches Viereck .--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:16, 16. Jul. 2013 (CEST) 
Genau, so schlicht!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:53, 17. Jul. 2013 (CEST)

 
 
'''2. Definieren Sie formal korrekt den Begriff Drache unter Berücksichtigung achsensymmetrischer Zusammenhänge.'''
*Ein Drache ist ein Viereck mit einer Symmetrieachse, die auf einer der Diagonalen liegt. --[[Benutzer:Obstkuchen|Obstkuchen]] 16:00, 10. Jul. 2013 (CEST) 
Gut, kleines Problem: Eine Gerade kann nicht auf einer Strecke liegen. Deshalb bitte etwas umformulieren. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:17, 12. Jul. 2013 (CEST) 
**Ein Drachenviereck ist ein schiefes Drachenviereck, dessen Diagonale eine Teilmenge der Symmetrieachse ist.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:21, 12. Jul. 2013 (CEST) 
***Ist es formal korrekt, bei Definitionen stets auf den unmittelbaren Oberbegriff zurückzugreifen?--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:21, 12. Jul. 2013 (CEST) 
*** Die Definition ist korrekt. Es ist eine möglichkeit auf den nächst höheren Oberbegriff zurückzugreifen. Man kann aber auch vom allgemeinen Viereck aus definieren, wie Obstkuchen es gemacht hat (sofern er z.B. deine Formulierung übernimmt).--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 00:46, 14. Jul. 2013 (CEST)
 
 
'''3. Was versteht man unter einer Verschiebung? Definieren Sie formal korrekt.''' 
*Bei einer Verschiebung handelt es sich um verkettete Geradenspiegelungen an zueinander parallelen Spiegelachsen.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:31, 12. Jul. 2013 (CEST) 

**Richtiger Ansatz. Allerdings kann eine Geradenspiegelung nicht verkettet sein, sondern nur mehrere (oder die selbe Geradenspiegelung mit sich selbst) können verkettet werden. Die Formulierung muss also noch optimiert werden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 00:46, 14. Jul. 2013 (CEST) 
***Danke, ist verbessert.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:50, 14. Jul. 2013 (CEST) 
**** Das könnte auch noch eine Spiegelung sein. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
*****Bei einer Verschiebung handelt es sich um mehrere miteinander verkettete Geradenspiegelungen an zueinander parallelen Spiegelachsen.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:15, 15. Jul. 2013 (CEST)
******Das löst das Problem nicht, denn die Verkettung dreier paralleler Geraden ist eine Spiegelung.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:15, 16. Jul. 2013 (CEST) 
* Bei einer Verschiebung handelt es sich um zwei zueinander parallele und miteinander verkettete Geradenspiegelungen.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:22, 16. Jul. 2013 (CEST) 
**Die Verkettung zweier Geradenspiegelungen Sa∘Sb mit a || b und a,b ∈ E, heißt Verschiebung.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:27, 18. Jul. 2013 (CEST)
**Korrekt. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:04, 18. Jul. 2013 (CEST) 
*Wenn zwei verkettete Geradenspiegelungen aus zwei zueinander parallelen Spiegelgeraden bestehen, dann handelt es sich um eine Verschiebung.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:35, 19. Jul. 2013 (CEST) 
 
'''4. Definieren Sie den Begriff Punktspiegelung, ohne den Begriff Drehung zu verwenden.''' 
*Bei einer Punktspiegelung beträgt das Winkelmaß, zwischen den zwei sich schneidenden und miteinander verketteten Geradenspiegelungen, genau 90.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:26, 12. Jul. 2013 (CEST) 
** Was ist überhaupt eine Spiegelung, das hast du gar nicht genannt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 00:46, 14. Jul. 2013 (CEST) 
***Habe Geradenspiegelungen statt Spiegelachsen verwendet.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:58, 14. Jul. 2013 (CEST) 
****Habe noch miteinander verkettet hinzugefügt.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
***** Das hilft wenig, allein die Formulierung "Bei ein Punktspiegelung" spricht nicht für eine gelungene Definition.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:20, 16. Jul. 2013 (CEST)
*Wenn zwei miteinander verkettete Geradenspiegelungen sich senkrecht zueinander befinden, dann handelt es sich um eine Punktspiegelung. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:58, 14. Jul. 2013 (CEST) 
**Die Formulierung ist so nicht korrekt. Spiegelungen (Abbildungen der gesamten Ebene auf sich selbst, so dass die Spiegelachse Fixpunktgerade ist) können nicht senkrecht aufeinander stehen. (anderes Beispiel: Äpfel können auch nicht senkrecht zueinander stehen). --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
 
*Wenn folgende Aussage gilt: Sa∘Sb mit a ⊥ b und a,b ∈ E, dann ist Sa∘Sb eine Punktspiegelung.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
** Diese Definition ist ok. In Worten könnte man so beginnen: Die Verkettung zweier Geradenspiegelungen Sa°Sb, ...., heißt Punktspiegelung. Darunter ergänzen. 
*Die Verkettung zweier Geradenspiegelungen Sa∘Sb mit a ⊥ b und a,b ∈ E, heißt Punktspiegelung.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:25, 16. Jul. 2013 (CEST) 
**Gut, beachte auch bei Definitionsaufgabe 3, dass Geradenspiegelungen selber nicht parallel sein können!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:55, 17. Jul. 2013 (CEST) 
***Aber eine Verschiebung ist doch eine Spiegelung an 2 parallelen Spiegelachsen und jede Spiegelachse entspricht doch einer Geradenspiegelung.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 22:03, 18. Jul. 2013 (CEST) 
***Eine Achse iste eine Gerade. Eine GEradenspiegelung ist eine Abbildung der Ebene auf sich selbst, wobei diese eine Fixpunktgerade (das ist die Achse) hat. Eine Spiegelung gehört zu den Abbildungen, wie auch die Verschiebung. Sie ist keine Gerade oder Achse!!!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:00, 19. Jul. 2013 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_P]] 
****Vielen Dank für die Aufklärung. Komme immer wieder durcheinander mit den Begrifflichkeiten Geradenspiegelung und Spiegelgerade. Habe eine weitere Definition in 3) verfasst.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:37, 19. Jul. 2013 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 11.3 (SoSe 13)

2013-07-19T09:37:27Z

Nolessonlearned:

ein paar Definitionsaufgaben passend zum aktuellen Thema: 
Bitte falsche Definitionen nicht direkt verbessern, sondern kopieren, darunter einfügen und dann verbessern!!!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:00, 16. Jul. 2013 (CEST)
'''1. Geben Sie eine formal korrekte Konventionaldefinition des Begriffs achsensymmetrisches Viereck an.''' 
*Wenn ein Viereck sich an den Symmetrieachsen in 2 kongruente Teilmengen zerlegen lässt, dann ist es ein achsensymmetrisches Viereck.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:38, 12. Jul. 2013 (CEST) 
**Die Definition ist so nicht möglich, da wir kongruentze Mengen nicht definiert haben und ich kenne diese Definition auch nicht, falls es eine gibt. Andere Vorschläge?
*Ein Viereck dessen Diagonalen oder Mittelsenkrechten Teilmengen der Spiegelachsen sind, heißt achsensymmetrisches Viereck.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:48, 14. Jul. 2013 (CEST) 

**Die Überlegung ist sehr gut. Aber was bewirkt eine Spiegelachse? Spiegelachsen kann ich ja überall hinlegen, das heißt ja noch nichts. Das ist also noch keine korrekte Definition.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
***Ein Viereck dessen Diagonalen oder Mittelsenkrechten Teilmengen der Spiegelachsen sind und sich daran in zwei gleiche Teile zerlegen lässt, heißt achsensymmetrisches Viereck.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:10, 15. Jul. 2013 (CEST) 
****Das ist informell. Wo die Achse liegt, muss nicht weiter erklärt werden.
*TIPP: Wenn es eine Geradenspiegelung gibt, die ein Viereck auf .... abbildet , ... . Bitte darunter ergänzen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:00, 16. Jul. 2013 (CEST)
**Wenn es eine Geradenspiegelung gibt, die ein Viereck auf sich selbst abbildet , dann ist das Viereck ein achsensymmetrisches Viereck .--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:16, 16. Jul. 2013 (CEST) 
Genau, so schlicht!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:53, 17. Jul. 2013 (CEST)

 
 
'''2. Definieren Sie formal korrekt den Begriff Drache unter Berücksichtigung achsensymmetrischer Zusammenhänge.'''
*Ein Drache ist ein Viereck mit einer Symmetrieachse, die auf einer der Diagonalen liegt. --[[Benutzer:Obstkuchen|Obstkuchen]] 16:00, 10. Jul. 2013 (CEST) 
Gut, kleines Problem: Eine Gerade kann nicht auf einer Strecke liegen. Deshalb bitte etwas umformulieren. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:17, 12. Jul. 2013 (CEST) 
**Ein Drachenviereck ist ein schiefes Drachenviereck, dessen Diagonale eine Teilmenge der Symmetrieachse ist.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:21, 12. Jul. 2013 (CEST) 
***Ist es formal korrekt, bei Definitionen stets auf den unmittelbaren Oberbegriff zurückzugreifen?--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:21, 12. Jul. 2013 (CEST) 
*** Die Definition ist korrekt. Es ist eine möglichkeit auf den nächst höheren Oberbegriff zurückzugreifen. Man kann aber auch vom allgemeinen Viereck aus definieren, wie Obstkuchen es gemacht hat (sofern er z.B. deine Formulierung übernimmt).--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 00:46, 14. Jul. 2013 (CEST)
 
 
'''3. Was versteht man unter einer Verschiebung? Definieren Sie formal korrekt.''' 
*Bei einer Verschiebung handelt es sich um verkettete Geradenspiegelungen an zueinander parallelen Spiegelachsen.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:31, 12. Jul. 2013 (CEST) 

**Richtiger Ansatz. Allerdings kann eine Geradenspiegelung nicht verkettet sein, sondern nur mehrere (oder die selbe Geradenspiegelung mit sich selbst) können verkettet werden. Die Formulierung muss also noch optimiert werden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 00:46, 14. Jul. 2013 (CEST) 
***Danke, ist verbessert.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:50, 14. Jul. 2013 (CEST) 
**** Das könnte auch noch eine Spiegelung sein. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
*****Bei einer Verschiebung handelt es sich um mehrere miteinander verkettete Geradenspiegelungen an zueinander parallelen Spiegelachsen.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:15, 15. Jul. 2013 (CEST)
******Das löst das Problem nicht, denn die Verkettung dreier paralleler Geraden ist eine Spiegelung.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:15, 16. Jul. 2013 (CEST) 
* Bei einer Verschiebung handelt es sich um zwei zueinander parallele und miteinander verkettete Geradenspiegelungen.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:22, 16. Jul. 2013 (CEST) 
**Die Verkettung zweier Geradenspiegelungen Sa∘Sb mit a || b und a,b ∈ E, heißt Verschiebung.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:27, 18. Jul. 2013 (CEST)
**Korrekt. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:04, 18. Jul. 2013 (CEST) 
*Wenn zwei verkettete Geradenspiegelungen aus zwei zueinander parallelen Spiegelgeraden bestehen, dann handelt es sich um eine Verschiebung.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:35, 19. Jul. 2013 (CEST) 
 
'''4. Definieren Sie den Begriff Punktspiegelung, ohne den Begriff Drehung zu verwenden.''' 
*Bei einer Punktspiegelung beträgt das Winkelmaß, zwischen den zwei sich schneidenden und miteinander verketteten Geradenspiegelungen, genau 90.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:26, 12. Jul. 2013 (CEST) 
** Was ist überhaupt eine Spiegelung, das hast du gar nicht genannt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 00:46, 14. Jul. 2013 (CEST) 
***Habe Geradenspiegelungen statt Spiegelachsen verwendet.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:58, 14. Jul. 2013 (CEST) 
****Habe noch miteinander verkettet hinzugefügt.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
***** Das hilft wenig, allein die Formulierung "Bei ein Punktspiegelung" spricht nicht für eine gelungene Definition.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:20, 16. Jul. 2013 (CEST)
*Wenn zwei miteinander verkettete Geradenspiegelungen sich senkrecht zueinander befinden, dann handelt es sich um eine Punktspiegelung. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:58, 14. Jul. 2013 (CEST) 
**Die Formulierung ist so nicht korrekt. Spiegelungen (Abbildungen der gesamten Ebene auf sich selbst, so dass die Spiegelachse Fixpunktgerade ist) können nicht senkrecht aufeinander stehen. (anderes Beispiel: Äpfel können auch nicht senkrecht zueinander stehen). --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
 
*Wenn folgende Aussage gilt: Sa∘Sb mit a ⊥ b und a,b ∈ E, dann ist Sa∘Sb eine Punktspiegelung.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
** Diese Definition ist ok. In Worten könnte man so beginnen: Die Verkettung zweier Geradenspiegelungen Sa°Sb, ...., heißt Punktspiegelung. Darunter ergänzen. 
*Die Verkettung zweier Geradenspiegelungen Sa∘Sb mit a ⊥ b und a,b ∈ E, heißt Punktspiegelung.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:25, 16. Jul. 2013 (CEST) 
**Gut, beachte auch bei Definitionsaufgabe 3, dass Geradenspiegelungen selber nicht parallel sein können!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:55, 17. Jul. 2013 (CEST) 
***Aber eine Verschiebung ist doch eine Spiegelung an 2 parallelen Spiegelachsen und jede Spiegelachse entspricht doch einer Geradenspiegelung.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 22:03, 18. Jul. 2013 (CEST) 
***Eine Achse iste eine Gerade. Eine GEradenspiegelung ist eine Abbildung der Ebene auf sich selbst, wobei diese eine Fixpunktgerade (das ist die Achse) hat. Eine Spiegelung gehört zu den Abbildungen, wie auch die Verschiebung. Sie ist keine Gerade oder Achse!!!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:00, 19. Jul. 2013 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_P]] 
****Vielen Dank für die Aufklärung. Komme immer wieder durcheinander mit den Begrifflichkeiten Geradenspiegelung und spiegelgerade.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:37, 19. Jul. 2013 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 11.3 (SoSe 13)

2013-07-19T09:35:07Z

Nolessonlearned:

Lösung von Zusatzaufgabe 6.1P (SoSe 13)

2013-07-19T09:19:19Z

Nolessonlearned:

Beweisen Sie: Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>. 
'''Voraussetzung''': <math>Zw(A,B,C)\ mit\ A,B,C\ \in\ E</math> 
'''Behauptung''': <math>koll(A,B,C)</math> 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| <math>\left| AC \right| =\left| AB \right| +\left| BC \right|</math>
| Voraussetzung; Def. Zwischen
|-
| 5)
| <math>koll(A,B,C)</math>
| (1); Dreiecksungleichung
q.e.d.
|} --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:30, 18. Jul. 2013 (CEST)

Schritt 1 ist korrekt. Alle weiteren Zwischenschritte sind Quatsch. In Satz "Dreiecksungleichung" steht direkt drin, dass daraus kollinear folgt. Der Beweis hat also nur 2 Schritte. Schau dir nochmal gut die Dreiecksungleichung an - da steckt ne Menge Begründungspotenzial!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:51, 19. Jul. 2013 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 6.1P (SoSe 13)

2013-07-19T09:18:38Z

Nolessonlearned:

Beweisen Sie: Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>. 
'''Voraussetzung''': <math>Zw(A,B,C)\ mit\ A,B,C\ \in\ E</math> 
'''Behauptung''': <math>koll(A,B,C)</math> 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| <math>\left| AC \right| =\left| AB \right| +\left| BC \right|</math>
| Voraussetzung; Dreiecksungleichung
|-
| 5)
| <math>koll(A,B,C)</math>
| (1);
q.e.d.
|} --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:30, 18. Jul. 2013 (CEST)

Schritt 1 ist korrekt. Alle weiteren Zwischenschritte sind Quatsch. In Satz "Dreiecksungleichung" steht direkt drin, dass daraus kollinear folgt. Der Beweis hat also nur 2 Schritte. Schau dir nochmal gut die Dreiecksungleichung an - da steckt ne Menge Begründungspotenzial!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:51, 19. Jul. 2013 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 12.3P (SoSe 13)

2013-07-18T21:01:45Z

Nolessonlearned:

Das Dreieck <math>\overline{ABC}</math> wird an Punkt ''D'' um 90 gedreht. Das gedrehte Dreieck wird nun um den eingezeichneten Vektor verschoben. Gibt es einen Punkt der Ebene, der nun genau wieder an seinem ursprünglichen Ort liegt? Konstruieren Sie ggf. diesen Punkt und begründen Sie! 
<ggb_applet width="624" height="445" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
[[Kategorie:Einführung_P]]

* Ich fand diese Aufgabe sehr ANSPRUCHSVOLL. Wie es die anderen gemacht haben, weis ich nicht, aber ich hatte einigen Probleme damit. Ich fang mal an was ich gemacht habe:

Zuerst habe ich mir aufgeschrieben was ich alles habe und daraus resultieren kann. Durch die Drehung= 90 wissen wir, dass unser Drehwinkel die Hälfte also 45 ist. Nun kann ich eine Gerade zeichnen die durch den Drehpunkt D verläuft, weil D angegeben ist. Danach habe ich mir gedacht, wenn ich schon mein Drehwinkel habe dann kann man noch eine weitere Gerade zeichnen die ebenso durch den Drepunkt verläuft. Wie die beiden Geraden verlaufen ist egal- wichtig dabei ist, dass sie durch den Drehpunkt verlaufen. Und jetzt weist ich nicht mehr was ich machen soll: Einen Schnittpunkt habe ich von den beiden Geraden nur bei D und mein Ziel ist ja einen Punkt zu finden welche an seinem uhrsprünglichen Ort liegt. Kann mir irgendjemand helfen?--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 14:41, 13. Jul. 2013 (CEST)Blumenkind 14:40, 13.Juli 
 
 
*Laut Aufgabenstellung muss es einen Punkt geben, der sowohl Element von Dreieck A͞B͞C als auch Element von Dreieck A͞``B͞``C͞`` sein muss. Eine weitere Bedingung ist, dass dieser Schnittpunkt an seinem Ursprünglichen Ort liegen muss. Dafür muss man sich die Schnittpunkte der zwei Dreiecke betrachten. 
Es gibt genau 2 Schnittpunkte von Dreieck A͞B͞C und Dreieck A͞``B͞``C͞``: 
1) B͞C ∩ B͞``C͞`` = {F} 
2) A͞C͞ ∩ B͞``C͞`` = {G} 
Da der Punkt G ein Schnittpunkt zwischen 2 unterschiedlichen Strecken ist und somit unmöglich an seinem ursprünglichen Ort liegen kann, kommt nur der Punkt F als Lösung in Frage.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 16:27, 13. Jul. 2013 (CEST) 
Das ist nicht der gesuchte Punkt. Ihr müsst euch fragen, gibt es einen Fixpunkt dieser Bewegung? Und dann, wie kann ich diesen konstruieren?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:52, 16. Jul. 2013 (CEST)
**Liebe Anne, kannst du uns bitte weiter HELFEN? Ich komme mit der Aufgabe kann nicht klar?;-((( --[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 10:49, 17. Jul. 2013 (CEST)Blumenkind 10:48, 17. Juli
*** Ihr müsst das Wissen aus vorhergehenden Übungen nutzen. Hilfreich sind Übungsaufgaben 11.5 und 11.1. Wie kann man eine Drehung und Verschiebung ersetzen? Welches ist dann der gesuchte Punkt. Wie kann ich diesen konstruieren? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:43, 17. Jul. 2013 (CEST) 
****Hatte die Aufgabenstellung falsch verstanden. Dachte, dass der gesuchte Punkt ein Element der Dreiecke sein muss. Dabei ist der Punkt ein Element der Ebene E. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:33, 18. Jul. 2013 (CEST) 
Beweis: 
1) mA͞A' und mB͞B', mit mA͞A' ∩ mB͞B' = {P} 
Begründung: Konstruktion Mittelsenkrechte (m) 

2) |AP| = |A'P| ∧ |BP| = |B'P| 
Begründung: (1); Mittelsenkrechtenkriterium --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:33, 18. Jul. 2013 (CEST) 
*Danke Nolessonlearned, du hast gut aufgepasst! :) Hier noch die Applikation. Warum suchen wir den Punkt P?? 
**Bei einer Verkettung von einer Drehung mit einer Verschiebung bleibt nach dem Reduktionsverfahren eine Drehung übrig. Daher suchen wir den neuen Drehpunkt.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 23:01, 18. Jul. 2013 (CEST) 
<ggb_applet width="626" height="598" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 22:00, 18. Jul. 2013 (CEST)

Lösung von Aufgabe 9.1P (SoSe 13)

2013-07-18T20:51:58Z

Nolessonlearned:

Beweisen Sie die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Streckentreue der Geradenspiegelung und eine geeignete Definition des Begriffs Halbgerade.
*Schritt 4 und 5 sind z.B. noch nicht korrekt. Strecken lassen sich nicht addieren!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:45, 18. Jul. 2013 (CEST)

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || <math>Sg</math> mit <math>A'= Sg (A)</math> und <math>B' = Sg (B)</math> und <math>P \in AB^{+}</math>
|-
| Behauptung || <math>Sg (AB+) = A'B'^{+}</math> d.h. <math>P' \in A'B'^{+}</math>
|}
 

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 <math>P \in AB^{+}</math>|| Voraussetzung
|-
| 2 <math>P \in \ \ \overline{AB} \cup \{P|ZW (A,B,P)\} </math> || 1), Def Halbgerade
|-
| 3 <math>P \in \overline{A'B'} </math> || Streckentreue
|-
| 4 <math>P \in \overline{AB} + \overline{BP} = \overline{AP} </math> || Def Zwischen
|-
| 5 <math>P \in \overline{A'B'} + \overline{B'P'} = \overline{A'P'} </math> || Abstandserhaltung der Geradenspiegelung
|-
| 6 <math>P' \in \ \ \overline{A'B'} \cup \{P'|ZW (A',B',P')\}</math> || Def Zwischen 3), 5)
|-
| 7 <math>P' \in A'B'^{+}</math> || Def Halbgerade 6)
|}
--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 17:50, 25. Jun. 2013 (CEST)
Die Beweisidee und Schritte sind super. Es fehlen noch ein paar Striche und Klammern, damit der Beweis auch ganz richtig ist.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:18, 26. Jun. 2013 (CEST) 
**Darf man eigentlich <math>\overline{AP}</math> schreiben? <math>P</math> ist doch ein Vertreter aller Punkte innerhalb der Halbgerade <math>\ AB^{+</math> und diese ist ja unendlich.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 14:08, 18. Jul. 2013 (CEST)
***Ja, das darf man. P ist ein beliebiger, aber in dem Moment wo ich ihn nenne ein fester Punkt. Und danach auch nicht mehr verschiebbar (d.h. ich kann nicht im nachhinein sagen, dass er eine bestimmte Eigenschaft erfüllt z.B. auf einer Mittelsenkrechten liegt. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:43, 18. Jul. 2013 (CEST)
 
****Sorry, dass ich nochmal frage, aber in den Schritten 4 und 5 wird der Punkt zur Definition der Zwischenrelation herangezogen und wird dadurch zum festen Punkt. In Schritt 6 ist P aber wieder ein Teil der unendlichen Halbgerade. Du meintest aber, dass er im Nachhinein solche Eigenschaften nicht mehr erfüllen kann. Oder bezieht sich deine Aussage immer nur auf die Ablaufe innerhalb eines Schrittes?--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 22:39, 18. Jul. 2013 (CEST) 

'''Voraussetzung''': <math>\ AB^{+}\ mit\ A,B \in Ebene\ E</math> 

Definitionen gehören nicht in die Voraussetzung, sondern nur die "Mitspieler". Es ist sinnvoll sich die Definitionen am Rand zu notieren und in den Begründungsschritten dann Def. ... zu schreiben, wenn man sie verwendet hat. In seltenen Fällen v.a. dann wenn es mehrere Definitionen eines Begriffs gibt, kann man die Definition dann in der Begründung auch explizit nennen. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:47, 16. Jul. 2013 (CEST) 
*Danke, habe die VSS geändert.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:01, 16. Jul. 2013 (CEST) 
'''Behauptung''': <math>Sg(AB^{+} )= A'B'^{+}</math> --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:39, 14. Jul. 2013 (CEST)
 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| <math>A'=Sg(A)</math>
| Eigenschaft Sg
|-
| 2)
| <math>B'=Sg(B)</math>
| Eigenschaft Sg
|-
|3)
|<math>P'=Sg(P)\ mit\ P\in Ebene\ E</math>
|Eigenschaft Sg
|-
| 4)
| <math>\ \overline{AB} \tilde {=} \overline{A'B'} </math>
| (1); (2); Voraussetzung; Streckentreue d. Sg
|-
| 5)
| <math>\ AB^{+} :=\overline{AB}\ \cup\ \left\{ {P|Zw(A,B,P)} \right\}</math>
| (1); (2); (3); Voraussetzung; Def. Halbgerade
|-
| 6)
| <math>\ A'B'^{+} :=\overline{A'B'}\ \cup\ \left\{ {P'|Zw(A',B',P')} \right\}</math>
| (1); (2); (3);(4); Voraussetzung; Def. Halbgerade; Eigenschaft Sg
|-
| 7)
| <math>Sg(AB^{+} )= A'B'^{+}</math>
| (4); (5); (6)
q.e.d.
|} --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:57, 14. Jul. 2013 (CEST)

Schritt 6 kannst du nicht aus 4) und 5) herleiten, da eine Halbgerade ja noch aus weiteren Punkten besteht, die nicht auf der STrecke liegen. Diese könnten ja nicht aufeinander abgebildet werden. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:47, 16. Jul. 2013 (CEST) 
* So könnte es passen.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:01, 16. Jul. 2013 (CEST) 
** Du kannst die Zwischenrelation nicht einfach ersetzen. Du benötigst die Umformungsschitte, die auch im Beweis darüber zu finden sind. Nur dass da ein paar Fehler in der Schreibweise sind. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:52, 17. Jul. 2013 (CEST) 
***Habe den Beweis ein wenig überarbeitet.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 22:51, 18. Jul. 2013 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 9.1P (SoSe 13)

2013-07-18T20:50:25Z

Nolessonlearned:

Lösung von Aufgabe 9.1P (SoSe 13)

2013-07-18T20:47:36Z

Nolessonlearned:

Beweisen Sie die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Streckentreue der Geradenspiegelung und eine geeignete Definition des Begriffs Halbgerade.
*Schritt 4 und 5 sind z.B. noch nicht korrekt. Strecken lassen sich nicht addieren!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:45, 18. Jul. 2013 (CEST)

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || <math>Sg</math> mit <math>A'= Sg (A)</math> und <math>B' = Sg (B)</math> und <math>P \in AB^{+}</math>
|-
| Behauptung || <math>Sg (AB+) = A'B'^{+}</math> d.h. <math>P' \in A'B'^{+}</math>
|}
 

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 <math>P \in AB^{+}</math>|| Voraussetzung
|-
| 2 <math>P \in \ \ \overline{AB} \cup \{P|ZW (A,B,P)\} </math> || 1), Def Halbgerade
|-
| 3 <math>P \in \overline{A'B'} </math> || Streckentreue
|-
| 4 <math>P \in \overline{AB} + \overline{BP} = \overline{AP} </math> || Def Zwischen
|-
| 5 <math>P \in \overline{A'B'} + \overline{B'P'} = \overline{A'P'} </math> || Abstandserhaltung der Geradenspiegelung
|-
| 6 <math>P' \in \ \ \overline{A'B'} \cup \{P'|ZW (A',B',P')\}</math> || Def Zwischen 3), 5)
|-
| 7 <math>P' \in A'B'^{+}</math> || Def Halbgerade 6)
|}
--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 17:50, 25. Jun. 2013 (CEST)
Die Beweisidee und Schritte sind super. Es fehlen noch ein paar Striche und Klammern, damit der Beweis auch ganz richtig ist.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:18, 26. Jun. 2013 (CEST) 
**Darf man eigentlich <math>\overline{AP}</math> schreiben? <math>P</math> ist doch ein Vertreter aller Punkte innerhalb der Halbgerade <math>\ AB^{+</math> und diese ist ja unendlich.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 14:08, 18. Jul. 2013 (CEST)
***Ja, das darf man. P ist ein beliebiger, aber in dem Moment wo ich ihn nenne ein fester Punkt. Und danach auch nicht mehr verschiebbar (d.h. ich kann nicht im nachhinein sagen, dass er eine bestimmte Eigenschaft erfüllt z.B. auf einer Mittelsenkrechten liegt. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:43, 18. Jul. 2013 (CEST)
 
****Sorry, dass ich nochmal frage, aber in den Schritten 4 und 5 wird der Punkt zur Definition der Zwischenrelation herangezogen und wird dadurch zum festen Punkt. In Schritt 6 ist P aber wieder ein Teil der unendlichen Halbgerade. Du meintest aber, dass er im Nachhinein solche Eigenschaften nicht mehr erfüllen kann. Oder bezieht sich deine Aussage immer nur auf die Ablaufe innerhalb eines Schrittes?--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 22:39, 18. Jul. 2013 (CEST) 

'''Voraussetzung''': <math>\ A'B'^{+} =Sg( AB^{+} )\ mit\ A,B \in Ebene\ E</math> 

Definitionen gehören nicht in die Voraussetzung, sondern nur die "Mitspieler". Es ist sinnvoll sich die Definitionen am Rand zu notieren und in den Begründungsschritten dann Def. ... zu schreiben, wenn man sie verwendet hat. In seltenen Fällen v.a. dann wenn es mehrere Definitionen eines Begriffs gibt, kann man die Definition dann in der Begründung auch explizit nennen. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:47, 16. Jul. 2013 (CEST) 
*Danke, habe die VSS geändert.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:01, 16. Jul. 2013 (CEST) 
'''Behauptung''': <math>Sg(AB^{+} )= A'B'^{+}</math> --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:39, 14. Jul. 2013 (CEST)
 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| <math>A'=Sg(A)</math>
| Eigenschaft Sg
|-
| 2)
| <math>B'=Sg(B)</math>
| Eigenschaft Sg
|-
|3)
|<math>P'=Sg(P)\ mit\ P\in Ebene\ E</math>
|Eigenschaft Sg
|-
| 4)
| <math>\ \overline{AB} \tilde {=} \overline{A'B'} </math>
| (1); (2); Voraussetzung; Streckentreue d. Sg
|-
| 5)
| <math>\ AB^{+} :=\overline{AB}\ \cup\ \left\{ {P|Zw(A,B,P)} \right\}</math>
| (1); (2); (3); Voraussetzung; Def. Halbgerade
|-
| 6)
| <math>\ A'B'^{+} :=\overline{A'B'}\ \cup\ \left\{ {P'|Zw(A',B',P')} \right\}</math>
| (1); (2); (3);(4); Voraussetzung; Def. Halbgerade; Eigenschaft Sg
|-
| 7)
| <math>Sg(AB^{+} )= A'B'^{+}</math>
| (4); (5); (6)
q.e.d.
|} --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:57, 14. Jul. 2013 (CEST)

Schritt 6 kannst du nicht aus 4) und 5) herleiten, da eine Halbgerade ja noch aus weiteren Punkten besteht, die nicht auf der STrecke liegen. Diese könnten ja nicht aufeinander abgebildet werden. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:47, 16. Jul. 2013 (CEST) 
* So könnte es passen.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:01, 16. Jul. 2013 (CEST) 
** Du kannst die Zwischenrelation nicht einfach ersetzen. Du benötigst die Umformungsschitte, die auch im Beweis darüber zu finden sind. Nur dass da ein paar Fehler in der Schreibweise sind. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:52, 17. Jul. 2013 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 9.1P (SoSe 13)

2013-07-18T20:39:25Z

Nolessonlearned:

Beweisen Sie die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Streckentreue der Geradenspiegelung und eine geeignete Definition des Begriffs Halbgerade.
*Schritt 4 und 5 sind z.B. noch nicht korrekt. Strecken lassen sich nicht addieren!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:45, 18. Jul. 2013 (CEST)

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || <math>Sg</math> mit <math>A'= Sg (A)</math> und <math>B' = Sg (B)</math> und <math>P \in AB^{+}</math>
|-
| Behauptung || <math>Sg (AB+) = A'B'^{+}</math> d.h. <math>P' \in A'B'^{+}</math>
|}
 

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 <math>P \in AB^{+}</math>|| Voraussetzung
|-
| 2 <math>P \in \ \ \overline{AB} \cup \{P|ZW (A,B,P)\} </math> || 1), Def Halbgerade
|-
| 3 <math>P \in \overline{A'B'} </math> || Streckentreue
|-
| 4 <math>P \in \overline{AB} + \overline{BP} = \overline{AP} </math> || Def Zwischen
|-
| 5 <math>P \in \overline{A'B'} + \overline{B'P'} = \overline{A'P'} </math> || Abstandserhaltung der Geradenspiegelung
|-
| 6 <math>P' \in \ \ \overline{A'B'} \cup \{P'|ZW (A',B',P')\}</math> || Def Zwischen 3), 5)
|-
| 7 <math>P' \in A'B'^{+}</math> || Def Halbgerade 6)
|}
--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 17:50, 25. Jun. 2013 (CEST)
Die Beweisidee und Schritte sind super. Es fehlen noch ein paar Striche und Klammern, damit der Beweis auch ganz richtig ist.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:18, 26. Jun. 2013 (CEST) 
**Darf man eigentlich <math>\overline{AP}</math> schreiben? <math>P</math> ist doch ein Vertreter aller Punkte innerhalb der Halbgerade <math>\ AB^{+</math> und diese ist ja unendlich.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 14:08, 18. Jul. 2013 (CEST)
***Ja, das darf man. P ist ein beliebiger, aber in dem Moment wo ich ihn nenne ein fester Punkt. Und danach auch nicht mehr verschiebbar (d.h. ich kann nicht im nachhinein sagen, dass er eine bestimmte Eigenschaft erfüllt z.B. auf einer Mittelsenkrechten liegt. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:43, 18. Jul. 2013 (CEST)
 
****Sorry, dass ich nochmal frage, aber in den Schritten 4 und 5 wird der Punkt zur Definition der Zwischenrelation herangezogen und wird dadurch zum festen Punkt. In Schritt 6 ist P aber wieder ein Teil der unendlichen Halbgerade. Du meintest aber, dass er im Nachhinein solche Eigenschaften nicht mehr erfüllen kann. Oder bezieht sich deine Aussage immer nur auf die Ablaufe innerhalb eines Schrittes?--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 22:39, 18. Jul. 2013 (CEST) 

'''Voraussetzung''': <math>\ A'B'^{+} =Sg( AB^{+} )\ mit\ A,B \in Ebene\ E</math> 

Definitionen gehören nicht in die Voraussetzung, sondern nur die "Mitspieler". Es ist sinnvoll sich die Definitionen am Rand zu notieren und in den Begründungsschritten dann Def. ... zu schreiben, wenn man sie verwendet hat. In seltenen Fällen v.a. dann wenn es mehrere Definitionen eines Begriffs gibt, kann man die Definition dann in der Begründung auch explizit nennen. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:47, 16. Jul. 2013 (CEST) 
*Danke, habe die VSS geändert.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:01, 16. Jul. 2013 (CEST) 
'''Behauptung''': <math>\ AB^{+} \tilde {=} A'B'^{+}</math> --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:39, 14. Jul. 2013 (CEST)
 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| <math>A'=Sg(A)</math>
| Eigenschaft Sg
|-
| 2)
| <math>B'=Sg(B)</math>
| Eigenschaft Sg
|-
|3)
|<math>P'=Sg(P)\ mit\ P\in Ebene\ E</math>
|Eigenschaft Sg
|-
| 4)
| <math>\ \overline{AB} \tilde {=} \overline{A'B'} </math>
| (1); (2); Voraussetzung; Streckentreue d. Sg
|-
| 5)
| <math>\ AB^{+} :=\overline{AB}\ \cup\ \left\{ {P|Zw(A,B,P)} \right\}</math>
| (1); (2); (3); Voraussetzung; Def. Halbgerade
|-
| 6)
| <math>\ A'B'^{+} :=\overline{A'B'}\ \cup\ \left\{ {P'|Zw(A',B',P')} \right\}</math>
| (4); (5); Voraussetzung; Def. Halbgerade; Eigenschaft Sg
|-
| 7)
| <math>\ AB^{+} \tilde {=} A'B'^{+}</math>
| (4); (5); (6)
q.e.d.
|} --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:57, 14. Jul. 2013 (CEST)

Schritt 6 kannst du nicht aus 4) und 5) herleiten, da eine Halbgerade ja noch aus weiteren Punkten besteht, die nicht auf der STrecke liegen. Diese könnten ja nicht aufeinander abgebildet werden. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:47, 16. Jul. 2013 (CEST) 
* So könnte es passen.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:01, 16. Jul. 2013 (CEST) 
** Du kannst die Zwischenrelation nicht einfach ersetzen. Du benötigst die Umformungsschitte, die auch im Beweis darüber zu finden sind. Nur dass da ein paar Fehler in der Schreibweise sind. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:52, 17. Jul. 2013 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 10.4P (SoSe 13)

2013-07-18T20:27:32Z

Nolessonlearned:

Beweisen Sie Satz IX.3:
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_a\circ S_b(P) </math>. 
[[Kategorie:Einführung_P]]

'''Voraussetzung''': 
a ∩ b = {S} ∧ a ⊥ b --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 

'''Behauptung''': 
S ist Mittelpunkt von P͞,P͞`` 
mit P``= Sa∘Sb(P) --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 

==Beweis von Nolessonlearnd==
{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| ∃m: m ∩ a ∩ b = {S}
mit m ≠ a,b
| Voraussetzung;
Konstruktion der Gerade m
|-
| 2)
| Es existiert Q Element von m: Q͞P kongruent Q͞P͞``
| (1); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 3)
| m senkrecht P͞P͞``
| (2); Def. Mittelsenkrechte
|-
| 4)
| |PS| = |SP'|
| (3); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 5)
| S ist Mittelpunkt von P͞P͞``
| (1); (2); (3); (4); Voraussetzung
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 
 
Kreative Beweisidee. Zwei Probleme fallen mir auf: 
1. Du kannst nicht erst die GErade m konstruieren (dann ist sie bereits fest) und sie dann später als Mittelsenkrechte deuten. (Schritt 2 und 3) - > Diese Schwierigkeit lässt sich leicht beheben. 
2. Du kannst nicht in Schritt 5 sagen, dass S Mittelpunkt von PP´´ ist, da dafür laut Def. Mittelpunkt zwei Dinge erfüllt sein müssen: 1. <math>S \in \overline{PP''}</math> und <math>|PS|=|P''S|</math>. Ersteres hast du noch nicht gezeigt. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:04, 16. Jul. 2013 (CEST)
 
Neuer Versuch 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| <math>\exists Q:\ Q\ \not\in\ a,b\ \wedge\ QS\ \cap\ a\ \cap\ b\ =\ \left\{ {S} \right\}</math>
| Voraussetzung; Konstruktion der Gerade QS
|-
| 2)
| <math>P''\ =\ Sa\ o\ Sb(P)</math>
| Eigenschaft der Punktspiegelung
|-
| 3)
| <math>\left| QP \right| \ =\ \left| QP" \right|</math>
| (1); (2); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 4)
| <math>\left\{ {S} \right\}\ =\ QS\ \cap\ \overline{PP"} \ \wedge\ QS\ \perp \ \overline{PP"}</math>
| (1); (2); (3); Def. Mittelsenkrechte
|-
| 5)
| <math>\left| PP" \right|\ =\ \left| PS \right|\ +\ \left| SP" \right|</math>
| Def. Zwischen; Eigenschaft der Mittelsenkrechte
|-
| 6)
| <math>S\ ist\ Mittelpunkt\ von\ \overline{PP"}</math>
| 3); (4); (5)
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 19:35, 17. Jul. 2013 (CEST) 
Das löst das Problem leider nicht: Du nennst in Schritt 1 einen Punkt Q, damit liegt dieser fest. Erst in Schritt 3 nennst du, dass er zu P und P´´ den gleichen Abstand hat. Hat er aber - wenn nicht zufällig so gezeichnet - gar nicht. Geht echt nicht. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 20:06, 17. Jul. 2013 (CEST) 
 
'''Voraussetzung''': Sa∘Sb mit a ∩ b = {S} ∧ a ⊥ b 
 
'''Behauptung''': S ist Mittelpunkt von P͞P" .
 
'''Beweis''': 
1) Sa∘Sb(P) = P" 
Begründung: Eigenschaft d. PS; Voraussetzung 

2) Sa∘Sb(S) = S" = S 
Begründung: Eigenschaft d. PS; Voraussetzung; S ist Fixpunkt 

2b) Drehe a⊥b so, dass P ∈ a und S fest 
Begründung: (2); Eigenschaft d. Drehung 

3) |PS| + |SP"| = |PP"| mit koll(P,S,P") 
Begründung: (1); (2); (2b); Def. Zwischen 

4) |PS| = |SP"| 
Begründung: (3); Streckentreue d. GS 

5) S ist Mittelpunkt von P͞P" 
Begründung: (3); (4); Def. Mittelpunkt --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:26, 18. Jul. 2013 (CEST)
*Der Beweis sieht korrekt aus, ist es aber nicht. Denn Schritt 3 kannst du nicht aus den vorrigen Schritten oder aus der Zwischenrelation herleiten. Du kannst also nicht begründen, dass die Punkte kollinear sind. Dazu musst du das Achsenkreuz drehen, wie es unten im Beweis Schritt 1 entspricht. Dann est kann begründet weden, dass die Punkte kollinear sind. Und wie? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:09, 18. Jul. 2013 (CEST) 
*Ok, ich verstehe. Wüstenfuchs hat die Spiegelachse a verwendet. Ist elegant und schnell. Könnte man theoretisch eine weitere Gerade einfügen, welche die Punkte P,S,P(zweistrich) enthält und diese zur Beweisführung verwenden?--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 22:10, 18. Jul. 2013 (CEST) 

==Beweis von Wüstenfuchs==
{| class="wikitable"
| Voraussetzung || a⊥b ∧ a∩b = {S} ∧ Sa∘Sb(P)= P``
|-
| Behauptung || IPSI = ISP``I (das ist nicht die komplette Behauptung; s.Anmerkung oben.)
|}
 

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 ||Drehe a⊥b so das P <math>\in</math> a und S fest || Vor. ; <s>Def.</s> Punktspiegelung ; IX.3 (oder Eigenschaft der Punktspiegelung)
|-
| 2 || Sa(P) = P' = P || 1.) ; Def. Geradenspiegelung
|-
| 3 || Sb(P') = P`` mit P`` <math>\in</math> a || 2.) ; a ist Fixgerade bezüglich der <math> S_{b}</math>
|-
| 4 || IPSI = ISP``I || 3.) ; Def. Geradenspiegelung
|-
| 4b || <math>S \in \overline{PP''}</math>|| ...
|-
| 5 || <s>S = Mittelpunkt IPP``I</s> Keine Betragstriche!! besser: S ist Mittelpunkt von <math>\overline{PP''}</math> || 4.)+4b) ; Def. Mittelpunkt
|}
--[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 20:42, 15. Jul. 2013 (CEST) 
Der Beweis ist fast korrekt. Auch hier fehlt die Begründung, dass S auch Element der Strecke PP´´ ist, weil er nur dann Mittelpunkt von PP`` ist. Optimalerweise dafür noch ein Extraschritt einbauen, oder aber die Begründung in 5) ergänzen. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:13, 16. Jul. 2013 (CEST)

Lösung von Aufgabe 10.4P (SoSe 13)

2013-07-18T20:19:18Z

Nolessonlearned:

Beweisen Sie Satz IX.3:
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_a\circ S_b(P) </math>. 
[[Kategorie:Einführung_P]]

'''Voraussetzung''': 
a ∩ b = {S} ∧ a ⊥ b --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 

'''Behauptung''': 
S ist Mittelpunkt von P͞,P͞`` 
mit P``= Sa∘Sb(P) --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 

==Beweis von Nolessonlearnd==
{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| ∃m: m ∩ a ∩ b = {S}
mit m ≠ a,b
| Voraussetzung;
Konstruktion der Gerade m
|-
| 2)
| Es existiert Q Element von m: Q͞P kongruent Q͞P͞``
| (1); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 3)
| m senkrecht P͞P͞``
| (2); Def. Mittelsenkrechte
|-
| 4)
| |PS| = |SP'|
| (3); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 5)
| S ist Mittelpunkt von P͞P͞``
| (1); (2); (3); (4); Voraussetzung
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 
 
Kreative Beweisidee. Zwei Probleme fallen mir auf: 
1. Du kannst nicht erst die GErade m konstruieren (dann ist sie bereits fest) und sie dann später als Mittelsenkrechte deuten. (Schritt 2 und 3) - > Diese Schwierigkeit lässt sich leicht beheben. 
2. Du kannst nicht in Schritt 5 sagen, dass S Mittelpunkt von PP´´ ist, da dafür laut Def. Mittelpunkt zwei Dinge erfüllt sein müssen: 1. <math>S \in \overline{PP''}</math> und <math>|PS|=|P''S|</math>. Ersteres hast du noch nicht gezeigt. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:04, 16. Jul. 2013 (CEST)
 
Neuer Versuch 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| <math>\exists Q:\ Q\ \not\in\ a,b\ \wedge\ QS\ \cap\ a\ \cap\ b\ =\ \left\{ {S} \right\}</math>
| Voraussetzung; Konstruktion der Gerade QS
|-
| 2)
| <math>P''\ =\ Sa\ o\ Sb(P)</math>
| Eigenschaft der Punktspiegelung
|-
| 3)
| <math>\left| QP \right| \ =\ \left| QP" \right|</math>
| (1); (2); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 4)
| <math>\left\{ {S} \right\}\ =\ QS\ \cap\ \overline{PP"} \ \wedge\ QS\ \perp \ \overline{PP"}</math>
| (1); (2); (3); Def. Mittelsenkrechte
|-
| 5)
| <math>\left| PP" \right|\ =\ \left| PS \right|\ +\ \left| SP" \right|</math>
| Def. Zwischen; Eigenschaft der Mittelsenkrechte
|-
| 6)
| <math>S\ ist\ Mittelpunkt\ von\ \overline{PP"}</math>
| 3); (4); (5)
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 19:35, 17. Jul. 2013 (CEST) 
Das löst das Problem leider nicht: Du nennst in Schritt 1 einen Punkt Q, damit liegt dieser fest. Erst in Schritt 3 nennst du, dass er zu P und P´´ den gleichen Abstand hat. Hat er aber - wenn nicht zufällig so gezeichnet - gar nicht. Geht echt nicht. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 20:06, 17. Jul. 2013 (CEST) 
 
'''Voraussetzung''': Sa∘Sb mit a ∩ b = {S} ∧ a ⊥ b 
 
'''Behauptung''': S ist Mittelpunkt von P͞P" .
 
'''Beweis''': 
1) Sa∘Sb(P) = P" 
Begründung: Eigenschaft d. PS; Voraussetzung 

2) Sa∘Sb(S) = S" = S 
Begründung: Eigenschaft d. PS; Voraussetzung; S ist Fixpunkt 

2b) Drehe a⊥b so, dass P ∈ a und S fest 
Begründung: (2); Eigenschaft d. Drehung 

3) |PS| + |SP"| = |PP"| mit koll(P,S,P") 
Begründung: (1); (2); (2b); Def. Zwischen 

4) |PS| = |SP"| 
Begründung: (3); Streckentreue d. GS 

5) S ist Mittelpunkt von P͞P" 
Begründung: (3); (4); Def. Mittelpunkt --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:26, 18. Jul. 2013 (CEST)
*Der Beweis sieht korrekt aus, ist es aber nicht. Denn Schritt 3 kannst du nicht aus den vorrigen Schritten oder aus der Zwischenrelation herleiten. Du kannst also nicht begründen, dass die Punkte kollinear sind. Dazu musst du das Achsenkreuz drehen, wie es unten im Beweis Schritt 1 entspricht. Dann est kann begründet weden, dass die Punkte kollinear sind. Und wie? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:09, 18. Jul. 2013 (CEST) 
*Ok, ich verstehe. Wüstenfuchs hat die Spiegelachse a verwendet. Ist elegant und schnell. Könnte man theoretisch eine weitere Gerade einfügen, welche die Punkte P,S,P(zweistrich) enthält und diese zum Beweis der Kollinearität verwenden?--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 22:10, 18. Jul. 2013 (CEST) 

==Beweis von Wüstenfuchs==
{| class="wikitable"
| Voraussetzung || a⊥b ∧ a∩b = {S} ∧ Sa∘Sb(P)= P``
|-
| Behauptung || IPSI = ISP``I (das ist nicht die komplette Behauptung; s.Anmerkung oben.)
|}
 

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 ||Drehe a⊥b so das P <math>\in</math> a und S fest || Vor. ; <s>Def.</s> Punktspiegelung ; IX.3 (oder Eigenschaft der Punktspiegelung)
|-
| 2 || Sa(P) = P' = P || 1.) ; Def. Geradenspiegelung
|-
| 3 || Sb(P') = P`` mit P`` <math>\in</math> a || 2.) ; a ist Fixgerade bezüglich der <math> S_{b}</math>
|-
| 4 || IPSI = ISP``I || 3.) ; Def. Geradenspiegelung
|-
| 4b || <math>S \in \overline{PP''}</math>|| ...
|-
| 5 || <s>S = Mittelpunkt IPP``I</s> Keine Betragstriche!! besser: S ist Mittelpunkt von <math>\overline{PP''}</math> || 4.)+4b) ; Def. Mittelpunkt
|}
--[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 20:42, 15. Jul. 2013 (CEST) 
Der Beweis ist fast korrekt. Auch hier fehlt die Begründung, dass S auch Element der Strecke PP´´ ist, weil er nur dann Mittelpunkt von PP`` ist. Optimalerweise dafür noch ein Extraschritt einbauen, oder aber die Begründung in 5) ergänzen. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:13, 16. Jul. 2013 (CEST)

Lösung von Aufgabe 10.4P (SoSe 13)

2013-07-18T20:18:07Z

Nolessonlearned:

Beweisen Sie Satz IX.3:
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_a\circ S_b(P) </math>. 
[[Kategorie:Einführung_P]]

'''Voraussetzung''': 
a ∩ b = {S} ∧ a ⊥ b --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 

'''Behauptung''': 
S ist Mittelpunkt von P͞,P͞`` 
mit P``= Sa∘Sb(P) --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 

==Beweis von Nolessonlearnd==
{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| ∃m: m ∩ a ∩ b = {S}
mit m ≠ a,b
| Voraussetzung;
Konstruktion der Gerade m
|-
| 2)
| Es existiert Q Element von m: Q͞P kongruent Q͞P͞``
| (1); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 3)
| m senkrecht P͞P͞``
| (2); Def. Mittelsenkrechte
|-
| 4)
| |PS| = |SP'|
| (3); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 5)
| S ist Mittelpunkt von P͞P͞``
| (1); (2); (3); (4); Voraussetzung
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 
 
Kreative Beweisidee. Zwei Probleme fallen mir auf: 
1. Du kannst nicht erst die GErade m konstruieren (dann ist sie bereits fest) und sie dann später als Mittelsenkrechte deuten. (Schritt 2 und 3) - > Diese Schwierigkeit lässt sich leicht beheben. 
2. Du kannst nicht in Schritt 5 sagen, dass S Mittelpunkt von PP´´ ist, da dafür laut Def. Mittelpunkt zwei Dinge erfüllt sein müssen: 1. <math>S \in \overline{PP''}</math> und <math>|PS|=|P''S|</math>. Ersteres hast du noch nicht gezeigt. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:04, 16. Jul. 2013 (CEST)
 
Neuer Versuch 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| <math>\exists Q:\ Q\ \not\in\ a,b\ \wedge\ QS\ \cap\ a\ \cap\ b\ =\ \left\{ {S} \right\}</math>
| Voraussetzung; Konstruktion der Gerade QS
|-
| 2)
| <math>P''\ =\ Sa\ o\ Sb(P)</math>
| Eigenschaft der Punktspiegelung
|-
| 3)
| <math>\left| QP \right| \ =\ \left| QP" \right|</math>
| (1); (2); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 4)
| <math>\left\{ {S} \right\}\ =\ QS\ \cap\ \overline{PP"} \ \wedge\ QS\ \perp \ \overline{PP"}</math>
| (1); (2); (3); Def. Mittelsenkrechte
|-
| 5)
| <math>\left| PP" \right|\ =\ \left| PS \right|\ +\ \left| SP" \right|</math>
| Def. Zwischen; Eigenschaft der Mittelsenkrechte
|-
| 6)
| <math>S\ ist\ Mittelpunkt\ von\ \overline{PP"}</math>
| 3); (4); (5)
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 19:35, 17. Jul. 2013 (CEST) 
Das löst das Problem leider nicht: Du nennst in Schritt 1 einen Punkt Q, damit liegt dieser fest. Erst in Schritt 3 nennst du, dass er zu P und P´´ den gleichen Abstand hat. Hat er aber - wenn nicht zufällig so gezeichnet - gar nicht. Geht echt nicht. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 20:06, 17. Jul. 2013 (CEST) 
 
'''Voraussetzung''': Sa∘Sb mit a ∩ b = {S} ∧ a ⊥ b 
 
'''Behauptung''': S ist Mittelpunkt von P͞P" .
 
'''Beweis''': 
1) Sa∘Sb(P) = P" 
Begründung: Eigenschaft d. PS; Voraussetzung 

2) Sa∘Sb(S) = S" = S 
Begründung: Eigenschaft d. PS; Voraussetzung; S ist Fixpunkt 

2b) Drehe a⊥b so, dass P ∈ a und S fest 
Begründung: Eigenschaft d. Drehung 

3) |PS| + |SP"| = |PP"| mit koll(P,S,P") 
Begründung: (1); (2); (2b); Def. Zwischen 

4) |PS| = |SP"| 
Begründung: (3); Streckentreue d. GS 

5) S ist Mittelpunkt von P͞P" 
Begründung: (3); (4); Def. Mittelpunkt --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:26, 18. Jul. 2013 (CEST)
*Der Beweis sieht korrekt aus, ist es aber nicht. Denn Schritt 3 kannst du nicht aus den vorrigen Schritten oder aus der Zwischenrelation herleiten. Du kannst also nicht begründen, dass die Punkte kollinear sind. Dazu musst du das Achsenkreuz drehen, wie es unten im Beweis Schritt 1 entspricht. Dann est kann begründet weden, dass die Punkte kollinear sind. Und wie? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:09, 18. Jul. 2013 (CEST) 
*Ok, ich verstehe. Wüstenfuchs hat die Spiegelachse a verwendet. Ist elegant und schnell. Könnte man theoretisch eine weitere Gerade einfügen, welche die Punkte P,S,P(zweistrich) enthält und diese zum Beweis der Kollinearität verwenden?--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 22:10, 18. Jul. 2013 (CEST) 

==Beweis von Wüstenfuchs==
{| class="wikitable"
| Voraussetzung || a⊥b ∧ a∩b = {S} ∧ Sa∘Sb(P)= P``
|-
| Behauptung || IPSI = ISP``I (das ist nicht die komplette Behauptung; s.Anmerkung oben.)
|}
 

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 ||Drehe a⊥b so das P <math>\in</math> a und S fest || Vor. ; <s>Def.</s> Punktspiegelung ; IX.3 (oder Eigenschaft der Punktspiegelung)
|-
| 2 || Sa(P) = P' = P || 1.) ; Def. Geradenspiegelung
|-
| 3 || Sb(P') = P`` mit P`` <math>\in</math> a || 2.) ; a ist Fixgerade bezüglich der <math> S_{b}</math>
|-
| 4 || IPSI = ISP``I || 3.) ; Def. Geradenspiegelung
|-
| 4b || <math>S \in \overline{PP''}</math>|| ...
|-
| 5 || <s>S = Mittelpunkt IPP``I</s> Keine Betragstriche!! besser: S ist Mittelpunkt von <math>\overline{PP''}</math> || 4.)+4b) ; Def. Mittelpunkt
|}
--[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 20:42, 15. Jul. 2013 (CEST) 
Der Beweis ist fast korrekt. Auch hier fehlt die Begründung, dass S auch Element der Strecke PP´´ ist, weil er nur dann Mittelpunkt von PP`` ist. Optimalerweise dafür noch ein Extraschritt einbauen, oder aber die Begründung in 5) ergänzen. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:13, 16. Jul. 2013 (CEST)

Lösung von Aufgabe 10.4P (SoSe 13)

2013-07-18T20:12:03Z

Nolessonlearned:

Beweisen Sie Satz IX.3:
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_a\circ S_b(P) </math>. 
[[Kategorie:Einführung_P]]

'''Voraussetzung''': 
a ∩ b = {S} ∧ a ⊥ b --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 

'''Behauptung''': 
S ist Mittelpunkt von P͞,P͞`` 
mit P``= Sa∘Sb(P) --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 

==Beweis von Nolessonlearnd==
{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| ∃m: m ∩ a ∩ b = {S}
mit m ≠ a,b
| Voraussetzung;
Konstruktion der Gerade m
|-
| 2)
| Es existiert Q Element von m: Q͞P kongruent Q͞P͞``
| (1); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 3)
| m senkrecht P͞P͞``
| (2); Def. Mittelsenkrechte
|-
| 4)
| |PS| = |SP'|
| (3); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 5)
| S ist Mittelpunkt von P͞P͞``
| (1); (2); (3); (4); Voraussetzung
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 
 
Kreative Beweisidee. Zwei Probleme fallen mir auf: 
1. Du kannst nicht erst die GErade m konstruieren (dann ist sie bereits fest) und sie dann später als Mittelsenkrechte deuten. (Schritt 2 und 3) - > Diese Schwierigkeit lässt sich leicht beheben. 
2. Du kannst nicht in Schritt 5 sagen, dass S Mittelpunkt von PP´´ ist, da dafür laut Def. Mittelpunkt zwei Dinge erfüllt sein müssen: 1. <math>S \in \overline{PP''}</math> und <math>|PS|=|P''S|</math>. Ersteres hast du noch nicht gezeigt. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:04, 16. Jul. 2013 (CEST)
 
Neuer Versuch 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| <math>\exists Q:\ Q\ \not\in\ a,b\ \wedge\ QS\ \cap\ a\ \cap\ b\ =\ \left\{ {S} \right\}</math>
| Voraussetzung; Konstruktion der Gerade QS
|-
| 2)
| <math>P''\ =\ Sa\ o\ Sb(P)</math>
| Eigenschaft der Punktspiegelung
|-
| 3)
| <math>\left| QP \right| \ =\ \left| QP" \right|</math>
| (1); (2); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 4)
| <math>\left\{ {S} \right\}\ =\ QS\ \cap\ \overline{PP"} \ \wedge\ QS\ \perp \ \overline{PP"}</math>
| (1); (2); (3); Def. Mittelsenkrechte
|-
| 5)
| <math>\left| PP" \right|\ =\ \left| PS \right|\ +\ \left| SP" \right|</math>
| Def. Zwischen; Eigenschaft der Mittelsenkrechte
|-
| 6)
| <math>S\ ist\ Mittelpunkt\ von\ \overline{PP"}</math>
| 3); (4); (5)
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 19:35, 17. Jul. 2013 (CEST) 
Das löst das Problem leider nicht: Du nennst in Schritt 1 einen Punkt Q, damit liegt dieser fest. Erst in Schritt 3 nennst du, dass er zu P und P´´ den gleichen Abstand hat. Hat er aber - wenn nicht zufällig so gezeichnet - gar nicht. Geht echt nicht. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 20:06, 17. Jul. 2013 (CEST) 
 
'''Voraussetzung''': Sa∘Sb mit a ∩ b = {S} ∧ a ⊥ b 
 
'''Behauptung''': S ist Mittelpunkt von P͞P" .
 
'''Beweis''': 
1) Sa∘Sb(P) = P" 
Begründung: Eigenschaft d. PS; Voraussetzung 

2) Sa∘Sb(S) = S" = S 
Begründung: Eigenschaft d. PS; Voraussetzung; S ist Fixpunkt 

3) |PS| + |SP"| = |PP"| mit koll(P,S,P") 
Begründung: (1); (2); Def. Zwischen 

4) |PS| = |SP"| 
Begründung: (3); Streckentreue d. GS 

5) S ist Mittelpunkt von P͞P" 
Begründung: (3); (4); Def. Mittelpunkt --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:26, 18. Jul. 2013 (CEST)
*Der Beweis sieht korrekt aus, ist es aber nicht. Denn Schritt 3 kannst du nicht aus den vorrigen Schritten oder aus der Zwischenrelation herleiten. Du kannst also nicht begründen, dass die Punkte kollinear sind. Dazu musst du das Achsenkreuz drehen, wie es unten im Beweis Schritt 1 entspricht. Dann est kann begründet weden, dass die Punkte kollinear sind. Und wie? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:09, 18. Jul. 2013 (CEST) 
*Ok, ich verstehe. Wüstenfuchs hat die Spiegelachse a verwendet. Ist elegant und schnell. Könnte man theoretisch eine weitere Gerade einfügen, welche die Punkte P,S,P(zweistrich) enthält und diese zum Beweis der Kollinearität verwenden?--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 22:10, 18. Jul. 2013 (CEST) 

==Beweis von Wüstenfuchs==
{| class="wikitable"
| Voraussetzung || a⊥b ∧ a∩b = {S} ∧ Sa∘Sb(P)= P``
|-
| Behauptung || IPSI = ISP``I (das ist nicht die komplette Behauptung; s.Anmerkung oben.)
|}
 

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 ||Drehe a⊥b so das P <math>\in</math> a und S fest || Vor. ; <s>Def.</s> Punktspiegelung ; IX.3 (oder Eigenschaft der Punktspiegelung)
|-
| 2 || Sa(P) = P' = P || 1.) ; Def. Geradenspiegelung
|-
| 3 || Sb(P') = P`` mit P`` <math>\in</math> a || 2.) ; a ist Fixgerade bezüglich der <math> S_{b}</math>
|-
| 4 || IPSI = ISP``I || 3.) ; Def. Geradenspiegelung
|-
| 4b || <math>S \in \overline{PP''}</math>|| ...
|-
| 5 || <s>S = Mittelpunkt IPP``I</s> Keine Betragstriche!! besser: S ist Mittelpunkt von <math>\overline{PP''}</math> || 4.)+4b) ; Def. Mittelpunkt
|}
--[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 20:42, 15. Jul. 2013 (CEST) 
Der Beweis ist fast korrekt. Auch hier fehlt die Begründung, dass S auch Element der Strecke PP´´ ist, weil er nur dann Mittelpunkt von PP`` ist. Optimalerweise dafür noch ein Extraschritt einbauen, oder aber die Begründung in 5) ergänzen. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:13, 16. Jul. 2013 (CEST)

Lösung von Aufgabe 10.4P (SoSe 13)

2013-07-18T20:10:47Z

Nolessonlearned:

Beweisen Sie Satz IX.3:
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_a\circ S_b(P) </math>. 
[[Kategorie:Einführung_P]]

'''Voraussetzung''': 
a ∩ b = {S} ∧ a ⊥ b --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 

'''Behauptung''': 
S ist Mittelpunkt von P͞,P͞`` 
mit P``= Sa∘Sb(P) --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 

==Beweis von Nolessonlearnd==
{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| ∃m: m ∩ a ∩ b = {S}
mit m ≠ a,b
| Voraussetzung;
Konstruktion der Gerade m
|-
| 2)
| Es existiert Q Element von m: Q͞P kongruent Q͞P͞``
| (1); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 3)
| m senkrecht P͞P͞``
| (2); Def. Mittelsenkrechte
|-
| 4)
| |PS| = |SP'|
| (3); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 5)
| S ist Mittelpunkt von P͞P͞``
| (1); (2); (3); (4); Voraussetzung
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 
 
Kreative Beweisidee. Zwei Probleme fallen mir auf: 
1. Du kannst nicht erst die GErade m konstruieren (dann ist sie bereits fest) und sie dann später als Mittelsenkrechte deuten. (Schritt 2 und 3) - > Diese Schwierigkeit lässt sich leicht beheben. 
2. Du kannst nicht in Schritt 5 sagen, dass S Mittelpunkt von PP´´ ist, da dafür laut Def. Mittelpunkt zwei Dinge erfüllt sein müssen: 1. <math>S \in \overline{PP''}</math> und <math>|PS|=|P''S|</math>. Ersteres hast du noch nicht gezeigt. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:04, 16. Jul. 2013 (CEST)
 
Neuer Versuch 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| <math>\exists Q:\ Q\ \not\in\ a,b\ \wedge\ QS\ \cap\ a\ \cap\ b\ =\ \left\{ {S} \right\}</math>
| Voraussetzung; Konstruktion der Gerade QS
|-
| 2)
| <math>P''\ =\ Sa\ o\ Sb(P)</math>
| Eigenschaft der Punktspiegelung
|-
| 3)
| <math>\left| QP \right| \ =\ \left| QP" \right|</math>
| (1); (2); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 4)
| <math>\left\{ {S} \right\}\ =\ QS\ \cap\ \overline{PP"} \ \wedge\ QS\ \perp \ \overline{PP"}</math>
| (1); (2); (3); Def. Mittelsenkrechte
|-
| 5)
| <math>\left| PP" \right|\ =\ \left| PS \right|\ +\ \left| SP" \right|</math>
| Def. Zwischen; Eigenschaft der Mittelsenkrechte
|-
| 6)
| <math>S\ ist\ Mittelpunkt\ von\ \overline{PP"}</math>
| 3); (4); (5)
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 19:35, 17. Jul. 2013 (CEST) 
Das löst das Problem leider nicht: Du nennst in Schritt 1 einen Punkt Q, damit liegt dieser fest. Erst in Schritt 3 nennst du, dass er zu P und P´´ den gleichen Abstand hat. Hat er aber - wenn nicht zufällig so gezeichnet - gar nicht. Geht echt nicht. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 20:06, 17. Jul. 2013 (CEST) 
 
'''Voraussetzung''': Sa∘Sb mit a ∩ b = {S} ∧ a ⊥ b 
 
'''Behauptung''': S ist Mittelpunkt von P͞P" .
 
'''Beweis''': 
1) Sa∘Sb(P) = P" 
Begründung: Eigenschaft d. PS; Voraussetzung 

2) Sa∘Sb(S) = S" = S 
Begründung: Eigenschaft d. PS; Voraussetzung; S ist Fixpunkt 

3) |PS| + |SP"| = |PP"| mit koll(P,S,P") 
Begründung: (1); (2); Def. Zwischen 

4) |PS| = |SP"| 
Begründung: (3); Streckentreue d. GS 

5) S ist Mittelpunkt von P͞P" 
Begründung: (3); (4); Def. Mittelpunkt --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:26, 18. Jul. 2013 (CEST)
*Der Beweis sieht korrekt aus, ist es aber nicht. Denn Schritt 3 kannst du nicht aus den vorrigen Schritten oder aus der Zwischenrelation herleiten. Du kannst also nicht begründen, dass die Punkte kollinear sind. Dazu musst du das Achsenkreuz drehen, wie es unten im Beweis Schritt 1 entspricht. Dann est kann begründet weden, dass die Punkte kollinear sind. Und wie? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:09, 18. Jul. 2013 (CEST) 
*Ok, ich verstehe. Wüstenfuchs hat die Spiegelachse a verwendet. Ist elegant und schnell. Könnte man theoretisch eine weitere Gerade einfügen, welche die Punkte P,S,P'' enthält und diese zum Beweis der Kollinearität verwenden?--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 22:10, 18. Jul. 2013 (CEST) 

==Beweis von Wüstenfuchs==
{| class="wikitable"
| Voraussetzung || a⊥b ∧ a∩b = {S} ∧ Sa∘Sb(P)= P``
|-
| Behauptung || IPSI = ISP``I (das ist nicht die komplette Behauptung; s.Anmerkung oben.)
|}
 

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 ||Drehe a⊥b so das P <math>\in</math> a und S fest || Vor. ; <s>Def.</s> Punktspiegelung ; IX.3 (oder Eigenschaft der Punktspiegelung)
|-
| 2 || Sa(P) = P' = P || 1.) ; Def. Geradenspiegelung
|-
| 3 || Sb(P') = P`` mit P`` <math>\in</math> a || 2.) ; a ist Fixgerade bezüglich der <math> S_{b}</math>
|-
| 4 || IPSI = ISP``I || 3.) ; Def. Geradenspiegelung
|-
| 4b || <math>S \in \overline{PP''}</math>|| ...
|-
| 5 || <s>S = Mittelpunkt IPP``I</s> Keine Betragstriche!! besser: S ist Mittelpunkt von <math>\overline{PP''}</math> || 4.)+4b) ; Def. Mittelpunkt
|}
--[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 20:42, 15. Jul. 2013 (CEST) 
Der Beweis ist fast korrekt. Auch hier fehlt die Begründung, dass S auch Element der Strecke PP´´ ist, weil er nur dann Mittelpunkt von PP`` ist. Optimalerweise dafür noch ein Extraschritt einbauen, oder aber die Begründung in 5) ergänzen. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:13, 16. Jul. 2013 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 11.3 (SoSe 13)

2013-07-18T20:03:36Z

Nolessonlearned:

ein paar Definitionsaufgaben passend zum aktuellen Thema: 
Bitte falsche Definitionen nicht direkt verbessern, sondern kopieren, darunter einfügen und dann verbessern!!!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:00, 16. Jul. 2013 (CEST)
'''1. Geben Sie eine formal korrekte Konventionaldefinition des Begriffs achsensymmetrisches Viereck an.''' 
*Wenn ein Viereck sich an den Symmetrieachsen in 2 kongruente Teilmengen zerlegen lässt, dann ist es ein achsensymmetrisches Viereck.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:38, 12. Jul. 2013 (CEST) 
**Die Definition ist so nicht möglich, da wir kongruentze Mengen nicht definiert haben und ich kenne diese Definition auch nicht, falls es eine gibt. Andere Vorschläge?
*Ein Viereck dessen Diagonalen oder Mittelsenkrechten Teilmengen der Spiegelachsen sind, heißt achsensymmetrisches Viereck.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:48, 14. Jul. 2013 (CEST) 

**Die Überlegung ist sehr gut. Aber was bewirkt eine Spiegelachse? Spiegelachsen kann ich ja überall hinlegen, das heißt ja noch nichts. Das ist also noch keine korrekte Definition.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
***Ein Viereck dessen Diagonalen oder Mittelsenkrechten Teilmengen der Spiegelachsen sind und sich daran in zwei gleiche Teile zerlegen lässt, heißt achsensymmetrisches Viereck.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:10, 15. Jul. 2013 (CEST) 
****Das ist informell. Wo die Achse liegt, muss nicht weiter erklärt werden.
*TIPP: Wenn es eine Geradenspiegelung gibt, die ein Viereck auf .... abbildet , ... . Bitte darunter ergänzen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:00, 16. Jul. 2013 (CEST)
**Wenn es eine Geradenspiegelung gibt, die ein Viereck auf sich selbst abbildet , dann ist das Viereck ein achsensymmetrisches Viereck .--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:16, 16. Jul. 2013 (CEST) 
Genau, so schlicht!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:53, 17. Jul. 2013 (CEST)

 
 
'''2. Definieren Sie formal korrekt den Begriff Drache unter Berücksichtigung achsensymmetrischer Zusammenhänge.'''
*Ein Drache ist ein Viereck mit einer Symmetrieachse, die auf einer der Diagonalen liegt. --[[Benutzer:Obstkuchen|Obstkuchen]] 16:00, 10. Jul. 2013 (CEST) 
Gut, kleines Problem: Eine Gerade kann nicht auf einer Strecke liegen. Deshalb bitte etwas umformulieren. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:17, 12. Jul. 2013 (CEST) 
**Ein Drachenviereck ist ein schiefes Drachenviereck, dessen Diagonale eine Teilmenge der Symmetrieachse ist.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:21, 12. Jul. 2013 (CEST) 
***Ist es formal korrekt, bei Definitionen stets auf den unmittelbaren Oberbegriff zurückzugreifen?--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:21, 12. Jul. 2013 (CEST) 
*** Die Definition ist korrekt. Es ist eine möglichkeit auf den nächst höheren Oberbegriff zurückzugreifen. Man kann aber auch vom allgemeinen Viereck aus definieren, wie Obstkuchen es gemacht hat (sofern er z.B. deine Formulierung übernimmt).--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 00:46, 14. Jul. 2013 (CEST)
 
 
'''3. Was versteht man unter einer Verschiebung? Definieren Sie formal korrekt.''' 
*Bei einer Verschiebung handelt es sich um verkettete Geradenspiegelungen an zueinander parallelen Spiegelachsen.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:31, 12. Jul. 2013 (CEST) 

**Richtiger Ansatz. Allerdings kann eine Geradenspiegelung nicht verkettet sein, sondern nur mehrere (oder die selbe Geradenspiegelung mit sich selbst) können verkettet werden. Die Formulierung muss also noch optimiert werden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 00:46, 14. Jul. 2013 (CEST) 
***Danke, ist verbessert.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:50, 14. Jul. 2013 (CEST) 
**** Das könnte auch noch eine Spiegelung sein. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
*****Bei einer Verschiebung handelt es sich um mehrere miteinander verkettete Geradenspiegelungen an zueinander parallelen Spiegelachsen.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:15, 15. Jul. 2013 (CEST)
******Das löst das Problem nicht, denn die Verkettung dreier paralleler Geraden ist eine Spiegelung.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:15, 16. Jul. 2013 (CEST) 
* Bei einer Verschiebung handelt es sich um zwei zueinander parallele und miteinander verkettete Geradenspiegelungen.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:22, 16. Jul. 2013 (CEST) 
**Die Verkettung zweier Geradenspiegelungen Sa∘Sb mit a || b und a,b ∈ E, heißt Verschiebung.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:27, 18. Jul. 2013 (CEST)
**Korrekt. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:04, 18. Jul. 2013 (CEST) 
 
'''4. Definieren Sie den Begriff Punktspiegelung, ohne den Begriff Drehung zu verwenden.''' 
*Bei einer Punktspiegelung beträgt das Winkelmaß, zwischen den zwei sich schneidenden und miteinander verketteten Geradenspiegelungen, genau 90.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:26, 12. Jul. 2013 (CEST) 
** Was ist überhaupt eine Spiegelung, das hast du gar nicht genannt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 00:46, 14. Jul. 2013 (CEST) 
***Habe Geradenspiegelungen statt Spiegelachsen verwendet.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:58, 14. Jul. 2013 (CEST) 
****Habe noch miteinander verkettet hinzugefügt.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
***** Das hilft wenig, allein die Formulierung "Bei ein Punktspiegelung" spricht nicht für eine gelungene Definition.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:20, 16. Jul. 2013 (CEST)
*Wenn zwei miteinander verkettete Geradenspiegelungen sich senkrecht zueinander befinden, dann handelt es sich um eine Punktspiegelung. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:58, 14. Jul. 2013 (CEST) 
**Die Formulierung ist so nicht korrekt. Spiegelungen (Abbildungen der gesamten Ebene auf sich selbst, so dass die Spiegelachse Fixpunktgerade ist) können nicht senkrecht aufeinander stehen. (anderes Beispiel: Äpfel können auch nicht senkrecht zueinander stehen). --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
 
*Wenn folgende Aussage gilt: Sa∘Sb mit a ⊥ b und a,b ∈ E, dann ist Sa∘Sb eine Punktspiegelung.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
** Diese Definition ist ok. In Worten könnte man so beginnen: Die Verkettung zweier Geradenspiegelungen Sa°Sb, ...., heißt Punktspiegelung. Darunter ergänzen. 
*Die Verkettung zweier Geradenspiegelungen Sa∘Sb mit a ⊥ b und a,b ∈ E, heißt Punktspiegelung.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:25, 16. Jul. 2013 (CEST) 
**Gut, beachte auch bei Definitionsaufgabe 3, dass Geradenspiegelungen selber nicht parallel sein können!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:55, 17. Jul. 2013 (CEST) 
***Aber eine Verschiebung ist doch eine Spiegelung an 2 parallelen Spiegelachsen und jede Spiegelachse entspricht doch einer Geradenspiegelung.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 22:03, 18. Jul. 2013 (CEST) 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 9.3P (SoSe 13)

2013-07-18T19:56:28Z

Nolessonlearned:

Beweisen Sie die Winkeltreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Halbgeradentreue und die Eigenschaft der Geradenspiegelung winkelmaßerhaltend zu sein.

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || <math>\angle ABC, Sg(A)=A', Sg(B)=B', Sg(C)=C'</math>
|-
| Behauptung || <math>Sg(\angle ABC ) = \angle A'B'C'</math>
|}
 

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 <math>\angle ABC = \ BA^{+} \cup \ BC^{+}</math>|| Voraussetzung, Def. Winkel
|-
| 2 <math>Sg(\ BA^{+} ) = \ B'A'^{+} \wedge Sg (\ BC^{+} ) = \ B'C'^{+}</math> || Halbgeradentreue, 1)
|-
| 3 <math>\angle A'B'C' = B'A'^{+} \cup B'C'^{+}</math> || Def Winkel, 2)
|-
| 4 <math>|\angle ABC| = |\angle A'B'C'|</math> || Winkelmaßerhaltend
|-
| 5 <math>Sg(\angle ABC ) = \angle A'B'C'</math> || 1)2)4)
|}
--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 18:13, 25. Jun. 2013 (CEST) 

Der Beweis ist korrekt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:16, 26. Jun. 2013 (CEST)

 
[[Kategorie: Einführung_P]] 
 
'''Voraussetzung''': 
<math>\angle ABC\ mit\ \ BA^{+}\ \cup\ \ BC^{+}\ </math> <math>mit\ A,B,C \in\ \epsilon</math> 
 
'''Behauptung''': <math>\angle ABC\ \tilde {=}\ \angle A'B'C'</math> 
 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| A' = Sg(A)
| Eigenschaft d. GS
|-
| 2)
| B' = Sg(B)
| Eigenschaft d. GS
|-
| 3)
| C' = Sg(C)
| Eigenschaft d. GS
|-
| 4)
| <math>Sg(BA^{+} ) = \ B'A'^{+}</math>
| (1); (2); Voraussetzung; Halbgeradentreue d. GS
|-
| 5)
| <math>Sg(BC^{+} ) = \ B'C'^{+}</math>
| (2); (3); Voraussetzung; Halbgeradentreue d. GS
|-
| 6)
| <math>\left| \angle ABC\ \right|\ =\ \left| \angle A'B'C'\ \right| </math>
| (4); (5); Winkelmaßerhaltung d. GS;
|-
| 7)
| <math>\angle ABC\ \tilde {=} \ \angle A'B'C' </math>
| (4); (5); (6); Winkelkongruenz
q.e.d.
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
Der Beweis ist so nicht richtig. Es gibt keine kongruenten Halbgeraden, da wir Kongruenz von Halbgeraden nicht definiert haben (und ich auch nicht wüsste, wie man es definieren sollte). Schritt 1-3 ist lediglich eine Benennung, die aus der Def. Geradenspiegelung folgt. Schreibe Benennungen lieber in die Voraussetzung, v.a. da du diese ja bereits in der Behauptung nutzt. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:27, 16. Jul. 2013 (CEST) 
* Wir hatten doch mal die Halbgeradentreue bewiesen. Ich ging davon aus, dass bei der Halbgeradentreue die Halbgeraden kongruent zueinander sind.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:31, 16. Jul. 2013 (CEST) Ist nicht so, zumindest wäre mir das total neu. 
** Was muss ich mir dann unter der Halbgeradentreue vorstellen?--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:30, 18. Jul. 2013 (CEST) 
Die Halbgeradentreue besagt einfach nur : Sg (AB+) = A'B'+; Halbgeraden werden auf Halbgeraden abgebildet, sie weren nicht zur Kreisen, Wellen, Winkeln, Geraden oder sonst etwas. Das hat nichts mit dem Wort kongruent zu tun. Es gibt auch keine kongrente Geraden. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:02, 18. Jul. 2013 (CEST) 
***Ist vielleicht eine doofe Frage, aber warum gibt es eine Streckenkongruenz, aber keine Geraden- oder Halbgeradenkongruenz?--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:53, 18. Jul. 2013 (CEST)

Lösung von Aufgabe 9.3P (SoSe 13)

2013-07-18T19:53:06Z

Nolessonlearned:

Beweisen Sie die Winkeltreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Halbgeradentreue und die Eigenschaft der Geradenspiegelung winkelmaßerhaltend zu sein.

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || <math>\angle ABC, Sg(A)=A', Sg(B)=B', Sg(C)=C'</math>
|-
| Behauptung || <math>Sg(\angle ABC ) = \angle A'B'C'</math>
|}
 

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 <math>\angle ABC = \ BA^{+} \cup \ BC^{+}</math>|| Voraussetzung, Def. Winkel
|-
| 2 <math>Sg(\ BA^{+} ) = \ B'A'^{+} \wedge Sg (\ BC^{+} ) = \ B'C'^{+}</math> || Halbgeradentreue, 1)
|-
| 3 <math>\angle A'B'C' = B'A'^{+} \cup B'C'^{+}</math> || Def Winkel, 2)
|-
| 4 <math>|\angle ABC| = |\angle A'B'C'|</math> || Winkelmaßerhaltend
|-
| 5 <math>Sg(\angle ABC ) = \angle A'B'C'</math> || 1)2)4)
|}
--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 18:13, 25. Jun. 2013 (CEST) 

Der Beweis ist korrekt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:16, 26. Jun. 2013 (CEST)

 
[[Kategorie: Einführung_P]] 
 
'''Voraussetzung''': 
<math>\angle ABC\ mit\ \ BA^{+}\ \cup\ \ BC^{+}\ </math> <math>mit\ A,B,C \in\ \epsilon</math> 
 
'''Behauptung''': <math>\angle ABC\ \tilde {=}\ \angle A'B'C'</math> 
 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| A' = Sg(A)
| Eigenschaft d. GS
|-
| 2)
| B' = Sg(B)
| Eigenschaft d. GS
|-
| 3)
| C' = Sg(C)
| Eigenschaft d. GS
|-
| 4)
| <math>\\ BA^{+}\ \tilde {=}\ \ B'A'^{+}</math>
| (1); (2); Voraussetzung; Halbgeradentreue d. GS
|-
| 5)
| <math>\\ BC^{+}\ \tilde {=}\ \ B'C'^{+}</math>
| (2); (3); Voraussetzung; Halbgeradentreue d. GS
|-
| 6)
| <math>\left| \angle ABC\ \right|\ =\ \left| \angle A'B'C'\ \right| </math>
| (4); (5); Winkelmaßerhaltung d. GS;
|-
| 7)
| <math>\angle ABC\ \tilde {=} \ \angle A'B'C' </math>
| (4); (5); (6); Winkelkongruenz
q.e.d.
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
Der Beweis ist so nicht richtig. Es gibt keine kongruenten Halbgeraden, da wir Kongruenz von Halbgeraden nicht definiert haben (und ich auch nicht wüsste, wie man es definieren sollte). Schritt 1-3 ist lediglich eine Benennung, die aus der Def. Geradenspiegelung folgt. Schreibe Benennungen lieber in die Voraussetzung, v.a. da du diese ja bereits in der Behauptung nutzt. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:27, 16. Jul. 2013 (CEST) 
* Wir hatten doch mal die Halbgeradentreue bewiesen. Ich ging davon aus, dass bei der Halbgeradentreue die Halbgeraden kongruent zueinander sind.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:31, 16. Jul. 2013 (CEST) Ist nicht so, zumindest wäre mir das total neu. 
** Was muss ich mir dann unter der Halbgeradentreue vorstellen?--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:30, 18. Jul. 2013 (CEST) 
Die Halbgeradentreue besagt einfach nur : Sg (AB+) = A'B'+; Halbgeraden werden auf Halbgeraden abgebildet, sie weren nicht zur Kreisen, Wellen, Winkeln, Geraden oder sonst etwas. Das hat nichts mit dem Wort kongruent zu tun. Es gibt auch keine kongrente Geraden. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:02, 18. Jul. 2013 (CEST) 
***Ist vielleicht eine doofe Frage, aber warum gibt es eine Streckenkongruenz, aber keine Geraden- oder Halbgeradenkongruenz?--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:53, 18. Jul. 2013 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 10.1P (SoSe 13)

2013-07-18T19:49:04Z

Nolessonlearned:

#Gegeben sei ein Winkel <math>\angle ABC</math> und ein Punkt ''P'' im Inneren des Winkels der nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\angle ABC</math> liegt. Konstruieren Sie eine Strecke <math>\overline{DE}</math> deren Endpunkte ''D'' und ''E'' jeweils auf einem der beiden Schenkel des Winkels <math>\angle ABC</math> liegen und ''P'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{DE}</math> ist.
#Beweisen Sie, dass Ihre Konstruktion richtig ist. 
[[Kategorie:Einführung_P]]

1) '''Konstruktion''' 

Zeichne einen Strahl <math>\ BA^{+}</math> . Zeichne einen weiteren, von <math>\ BA^{+}</math> verschiedenen Strahl, <math>\ BC^{+}</math> mit dem selben Anfangspunkt (Ursprung) wie <math>\ BA^{+}</math> . Zeichne einen Kreis k mit dem Mittelpunkt B und dem Radius <math>r=\left| \overline{BD} \right|=\left| \overline{BE} \right|, r>0 </math> . Zeichne nun einen Kreis p mit dem Mittelpunkt D und dem Radius von k. Zeichne nun einen Kreis l mit dem Mittelpunkt E und dem Radius von k. Zeichne den Punkt M an der Stelle mit der folgenden Bedingung ein: <math>\left\{ {M} \right\}= \ p \cap l \neq B</math>. Zeichne nun den Strahl <math>\ BM^{+}</math> . Zeichne die Strecke <math>\overline{DE}</math> ein, mit der folgenden Bedingung: <math>\left\{ {P} \right\} =\ \overline{DE}\ \cap \ BM^{+} </math> und <math>\left| DP \right| \ =\ \left| PE \right|</math> .--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 16:08, 14. Jul. 2013 (CEST) 
* Deine Konstruktion ist sehr gut beschrieben und super nachvollziehbar - aber leider n'''icht die Lösung'''. Gegeben ist der Punkt P und der Winkel. Bei dir ist P das Endprodukt. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:37, 16. Jul. 2013 (CEST) 
**Nun ist ist das Resultat die Strecke DE.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:09, 16. Jul. 2013 (CEST) 
<ggb_applet width="551" height="372" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> 
**Das löst das Problem nicht, der Punkt P ist Voraussetzung und dieser liegt nicht unbedingt auf der Winkelhalbierenden. Gesucht ist die Strecke DE, wobei die Endpunkte nicht den selben Abstand von B haben müssen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 07:36, 17. Jul. 2013 (CEST) 
***Dachte, da in der Aufgabenstellung steht, dass P in der Mitte der Strecke DE liegen muss, dass P ein Element der Winkelhalbierenden sein muss. Hast du einen Tipp für einen neuen Beweisansatz?--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 07:07, 18. Jul. 2013 (CEST) 
2) '''Beweis'''
* Dein Beweis ist leider hinfällig, da die Konstruktion nicht der Aufgabenstellung entspricht.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:38, 16. Jul. 2013 (CEST) 
**Ich befürchte, dass ich eine falsche Voraussetzung gewählt habe.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:18, 16. Jul. 2013 (CEST) 
 
'''Voraussetzung''': 
D͞E entspricht {D} = BC+ ∩ k und {E} = BA+ ∩ k 
mit k ≔ {P | |PB| = |BD| = r, r > 0, r ∈ ℝ} 
 
{M} = p ∩ l ≠ B 
mit p,l ≔ {P | |PD| = |PE| = |BD| = r, r > 0, r ∈ ℝ} 
 
{P} = D͞E ∩ BM+ und BM+ senkrecht D͞E --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:33, 14. Jul. 2013 (CEST)
 
'''Behauptung''': 
D͞E mit dem Mittelpunkt P --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:33, 14. Jul. 2013 (CEST)
 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| {P} = D͞E ∩ BM+ und BM+ senkrecht D͞E
| Voraussetzung, Konstruktion
Mittelsenkrechte
|-
| 2)
| |BD| = |BE|
| Voraussetzung;
Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 3)
| |DP| = |PE|
| (1); (2); Def. Mittelsenkrechte
|-
| 4)
| D͞E mit P als Mittelpunkt
| (1); (3); Def. Mittelsenkrechte
|} --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:33, 14. Jul. 2013 (CEST)
==Tipp für einen korrekten Beweis==
1)
Da D und E den selben Abstand von P haben müssen, können diese Punkte durch eine Punktspiegelung des Winkels an P gefunden werdene.
2) Begründet werden kann die Konstruktion dann mit der Eigenschaft des Viereckes, dass ich durch den Winkel <ABC und dessen Spiegelbild erzeugt habe.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 20:59, 18. Jul. 2013 (CEST) 
* Oh Mann, da war ich aber total auf dem Holzweg.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:49, 18. Jul. 2013 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 10.1P (SoSe 13)

2013-07-18T19:47:28Z

Nolessonlearned: /* Tipp für einen korrekten Beweis */

Lösung von Zusatzaufgabe 6.1P (SoSe 13)

2013-07-18T19:32:15Z

Nolessonlearned:

Beweisen Sie: Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>. 
'''Voraussetzung''': <math>Zw(A,B,C)\ mit\ A,B,C\ \in\ E</math> 
'''Behauptung''': <math>koll(A,B,C)</math> 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| <math>\left| AC \right| =\left| AB \right| +\left| BC \right|</math>
| Voraussetzung; Def. Zwischen
|-
| 2)
| <math>\overline{AC}\ ist\ Teilmenge\ von\ AC</math>
| (1); Eigenschaft Gerade
|-
| 3)
| <math>A,B,C\ \in\ \overline{AC}</math>
| (1); Eigenschaft Zwischenrelation
|-
| 4)
| <math>A,B,C\ \in\ AC</math>
| (2); (3)
|-
| 5)
| <math>koll(A,B,C)</math>
| (1); (2); (3); (4)
q.e.d.
|} --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:30, 18. Jul. 2013 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 6.1P (SoSe 13)

2013-07-18T19:31:20Z

Nolessonlearned:

Beweisen Sie: Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>. 
'''Voraussetzung''':<math>Zw(A,B,C)\ mit\ A,B,C\ \in\ E</math> 
'''Behauptung''':<math>koll(A,B,C)</math> 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| <math>\left| AC \right| =\left| AB \right| +\left| BC \right|</math>
| Voraussetzung; Def. Zwischen
|-
| 2)
| <math>\overline{AC}\ ist\ Teilmenge\ von\ AC</math>
| (1); Eigenschaft Gerade
|-
| 3)
| <math>A,B,C\ \in\ \overline{AC}</math>
| (1); Eigenschaft Zwischenrelation
|-
| 4)
| <math>A,B,C\ \in\ AC</math>
| (2); (3)
|-
| 5)
| <math>koll(A,B,C)</math>
| (1); (2); (3); (4)
q.e.d.
|} --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:30, 18. Jul. 2013 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 6.1P (SoSe 13)

2013-07-18T19:30:40Z

Nolessonlearned: table+

Beweisen Sie: Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>. 
'''Voraussetzung''':<math>Zw(A,B,C)\ mit\ A,B,C\ \in\ E</math> 
'''Behauptung''':<math>koll(A,B,C)</math> 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| <math>\left| AC \right| =\left| AB \right| +\left| BC \right|</math>
| Voraussetzung; Def. Zwischen
|-
| 2)
| <math>\overline{AC}\ ist\ Teilmenge\ von\ AC</math>
| (1); Eigenschaft Gerade
|-
| 3)
| <math>A,B,C\ \in\ \overline{AC}</math>
| (1); Eigenschaft Zwischenrelation
|-
| 4)
| <math>A,B,C\ \in\ AC</math>
| (2); (3)
|-
| 5)
| <math>Element</math>
| (1); (2); (3); (4)
q.e.d.
|} --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:30, 18. Jul. 2013 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 6.2P (SoSe 13)

2013-07-18T19:16:28Z

Nolessonlearned:

Beweisen Sie: Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt genau eine der folgenden Zwischenrelationen: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>. 
'''Voraussetzung''': koll(A,B,C) mit A,B,C paarweise verschieden 

'''Behauptung''': Zw(A,B,C) oder Zw(B,A,C), oder Zw(A,C,B) 

1) ∃g: A,B,C ∈ g 
Begründung: Voraussetzung, Def. kollinear 

2) Strecke AC mit |AB| + |BC| = |AC| ∈ g 
oder Strecke BC mit |BA| + |AC| = |BC| ∈ g 
oder Strecke AB mit |AC| + |CB| = |AB| ∈ g 
Begründung: (1); Def. Zwischen, Eigenschaft Gerade 

3) |AB| + |BC| = |AC| ≔ Zw(A,B,C) 
|BA| + |AC| = |BC| ≔ Zw(B,A,C) 
|AC| + |CB| = |AB| ≔ Zw(A,C,B) 
Begründung: (1); (2); q.e.d. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:16, 18. Jul. 2013 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 6.2P (SoSe 13)

2013-07-18T19:16:00Z

Nolessonlearned:

Beweisen Sie: Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt genau eine der folgenden Zwischenrelationen: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>. 
Voraussetzung: koll(A,B,C) mit A,B,C paarweise verschieden 

Behauptung: Zw(A,B,C) oder Zw(B,A,C), oder Zw(A,C,B) 

1) ∃g: A,B,C ∈ g 
Begründung: Voraussetzung, Def. kollinear 

2) Strecke AC mit |AB| + |BC| = |AC| ∈ g 
oder Strecke BC mit |BA| + |AC| = |BC| ∈ g 
oder Strecke AB mit |AC| + |CB| = |AB| ∈ g 
Begründung: (1); Def. Zwischen, Eigenschaft Gerade 

3) |AB| + |BC| = |AC| ≔ Zw(A,B,C) 
|BA| + |AC| = |BC| ≔ Zw(B,A,C) 
|AC| + |CB| = |AB| ≔ Zw(A,C,B) 
Begründung: (1); (2); q.e.d. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:16, 18. Jul. 2013 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 12.3P (SoSe 13)

2013-07-18T18:34:53Z

Nolessonlearned:

Lösung von Aufgabe 12.3P (SoSe 13)

2013-07-18T18:33:25Z

Nolessonlearned:

Lösung von Zusatzaufgabe 9.1P (SoSe 13)

2013-07-18T18:15:41Z

Nolessonlearned:

#Was versteht man unter der Parallelentreue einer Geradenspiegelung?
#Beweisen Sie die Parallelentreue einer Geradenspiegelung. 

Tipp: Im Wiki nachlesen und den Beweis dann indirekt führen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:21, 26. Jun. 2013 (CEST)
==Beweis von Blumenkind==

* Zwei Geraden sind parallentreu, wenn bei der Geradenspiegelung zueinander parallelen Geraden p1 und p2 ebensfalls zueinader parallel abgebilder werden. Kurz formuliert:
--> p1 II p2 --> p1` II p2 ` wobei Sg (P1)= P1` und Sg(P2)=P2`

* Beweisdurchführung

*Vor.: p1 II p2, Sg (P1)= P1` und Sg(P2)=P2`

* Beh.: p1`II p2`

1. Sg (p1)= p1` und Sg(p2`) Voraussetzung

2. p1 II p2 Voraussetzung

3.

--> HILFE!!!! ICH KOMM NICHT MEHR WEITER. IRGENDWIE BIN ICH DURCHEINANDER GEKOMMEN. WAS MACHE ICH FALSCH?--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 18:51, 4. Jul. 2013 (CEST)BLUMENKIND 18:50, 4.Juli 

Probier es mal, wie Anne schon oben angemerkt hat, über einen indirekten Beweis. Wie muss also die Annahme lauten?--[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 12:28, 5. Jul. 2013 (CEST) 

* Voraussetzung und Behauptung sind richtig.
*Das ist leider kein Beweis, da nur, weil Geraden auf Geraden abgebildet werden, diese nicht unbedingt parallel sind.
* Tipp: Gehe indirekt vor, indem du annimmst dass P1 und p2 einen Schnittpunkt haben.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:22, 8. Jul. 2013 (CEST)
==Beweis von Regenschirm==
{| class="wikitable"
| Voraussetzung || <math>\ g\|| h \wedge A\in h</math>
|-
| Behauptung || <math>Sg (g\|| h) = g\||h'</math>
|-
| Annahme || <math>Sg (g\||h) = \ g \cap h'</math>
|}
 

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 || <math>Sg (g) = g</math> || Voraussetzung,<s> Def. Geradenspiegelung</s>
|-
| 2 || <math>Sg (h) = h'</math> || Voraussetzung, <s>Def. Geradenspiegelung</s>
|-
| 3 || <math>Sg (g\||h) = \ g \cap h'</math> || Annahme
|-
| 4 || <math>\ g \cap h' \ S\in h' \wedge S\in g</math> || 1) 2) 3)
|-
| 5 || <math>Sg (S) = S'</math> || 4) Def. Geradenspiegelung
|-
| 6 || <math>S'\in h' \wedge S'\in g</math> || 2) 5)
|-
| 7 || <math>\ g \cap h = {s'}</math> || 6)
|-
| 8 || Widerspruch, Annahme ist zu verwerfen, Behauptung stimmt || 7)
|}
 
--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 22:30, 11. Jul. 2013 (CEST)

Die Beweisidee ist absolut richtig, so wie auch die Abfolge der Schritte und die meisten Begründungen (manche sind nicht komplett). Die formale Schreibweise ist aber ziemlich verdreht und so nicht richtig. Zudem scheinen mir manchmal ' zu fehlen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:47, 12. Jul. 2013 (CEST)
* <math>\ g \cap h</math> kann als "schneidet" gelesen werden. Das ist trotzdem eine Mengenoperation "Schnittmenge von g und h" und kann deshalb auch eine leere Menge sein. Deshalb bitte immer dazu schreiben, ob der Schnitt leer ist oder eben nicht.
* Tendenziell nutzen ganz viele die Definition von Geradenspiegelung (und anderen Spiegelungen) für so ziemlich alles. Da steht aber fast nichts drin! Was überhaupt?
Ich schreibe den Beweis hier nochmal. Die Schritte sind noch zu begründen: --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:47, 12. Jul. 2013 (CEST)
==Beweisschritte zu Ergänzen ==

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || a II b, <math>S_g (a) = a'</math> und <math>S_g (b)=b'</math>
|-
| Behauptung || a' II b'
|-
| Annahme || a' <s>II</s> b'
|}
 

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 || <math>a' \cap b' </math> = {S'} || Annahme
|-
| 2 || <math>S = S_g (S')</math> || 1) Def. Geradenspiegelung
|-
| 3 || <math>S \in a</math> und <math>S \in b</math> || 1) 2)
|-
| 4 || <math>a \cap b </math> = {S} || 3)
|-
| 5 || <s>a' II b'</s> a <s>II</s> b || 4)
|-
| 6 || Widerspruch zur Voraussetzung || 5) Voraussetzung
|}
 

Müsste bei Schritt 5) nicht a <s>II</s> b stehen?--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 19:00, 14. Jul. 2013 (CEST)
* Denke Regenschirm, so ist es! Danke auch fürs Ergänzen.
*Die Begründungen für Schritt 3, 4 und 5 sollten noch zusätzlich durch Definitionen oder Eigenschaften ergänzt werden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:00, 15. Jul. 2013 (CEST)
[[Kategorie: Einführung_P]] 
 
==Beweis von Nolessonlearnd==
'''Voraussetzung''': <math>f\ ||\ h\ mit\ f,h\ \in\ \ E</math> 
 
'''Behauptung''': <math>f'\ ||\ h'</math> 
'''Annahme''': <math>f'\ nicht\ ||\ h'</math> 
 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| <math>f'\ =\ Sg(f)\ \wedge\ h'\ =\ Sg(h)</math>
| Eigenschaft d. GS
|-
| 2)
| <math>\ f' \cap h'\ =\ \left\{ {S} \right\} </math>
| (1); Annahme
|-
| 3)
| <math>S\ \in\ f'\ \wedge\ S\ \in\ h'</math>
| (2); Eigenschaft d. Schnittpunktes
|-
| 4)
| <math>S\ \in\ f\ \wedge\ S\ \in\ h</math>
| (3); Eigenschaft d. GS
|-
| 5)
| <math>\ f \cap h\ =\ \left\{ {leer} \right\} </math>
| Voraussetzung
|-
| 6)
| Widerspruch zur Voraussetzung. Annahme ist zu verwerfen.
Behauptung stimmt.
q.e.d.
| (3); (4); (5)
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:43, 15. Jul. 2013 (CEST) 
Den Beweis kannst du so nicht führen, da in der Geradentreue der GEradenspiegelung nicht steht, dass die Gerade und ihre Bildgerade keinen Schnittpunkt haben (Schritt 4 und 5). Ganz im Gegenteil, in den meisten Fällen (außer die GErade liegt zufälligerweise parallel zur Achse der Spiegelung) schneiden sich die Garade und die Bildgerade nämlich in einem Punkt, der auf der Achse liegt. 
Unabhängig vom Beweis - dein Beweis hat den Aufbau eines direkten Beweises - in sollen Fällen ist es sinnvoll die Annahme durch zu streichen und als 7) Schritt die Behauptung hinzuschreiben.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:48, 16. Jul. 2013 (CEST) 
* Ups, habe Geradenspiegelung mit Punktspiegelung verwechselt. Bei der PS werden Geraden auf parallele Bildgeraden gespiegelt. Sorry, werde ich korrigieren.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:58, 16. Jul. 2013 (CEST) 
**Ist verbessert.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:14, 18. Jul. 2013 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 9.1P (SoSe 13)

2013-07-18T18:14:08Z

Nolessonlearned:

#Was versteht man unter der Parallelentreue einer Geradenspiegelung?
#Beweisen Sie die Parallelentreue einer Geradenspiegelung. 

Tipp: Im Wiki nachlesen und den Beweis dann indirekt führen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:21, 26. Jun. 2013 (CEST)
==Beweis von Blumenkind==

* Zwei Geraden sind parallentreu, wenn bei der Geradenspiegelung zueinander parallelen Geraden p1 und p2 ebensfalls zueinader parallel abgebilder werden. Kurz formuliert:
--> p1 II p2 --> p1` II p2 ` wobei Sg (P1)= P1` und Sg(P2)=P2`

* Beweisdurchführung

*Vor.: p1 II p2, Sg (P1)= P1` und Sg(P2)=P2`

* Beh.: p1`II p2`

1. Sg (p1)= p1` und Sg(p2`) Voraussetzung

2. p1 II p2 Voraussetzung

3.

--> HILFE!!!! ICH KOMM NICHT MEHR WEITER. IRGENDWIE BIN ICH DURCHEINANDER GEKOMMEN. WAS MACHE ICH FALSCH?--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 18:51, 4. Jul. 2013 (CEST)BLUMENKIND 18:50, 4.Juli 

Probier es mal, wie Anne schon oben angemerkt hat, über einen indirekten Beweis. Wie muss also die Annahme lauten?--[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 12:28, 5. Jul. 2013 (CEST) 

* Voraussetzung und Behauptung sind richtig.
*Das ist leider kein Beweis, da nur, weil Geraden auf Geraden abgebildet werden, diese nicht unbedingt parallel sind.
* Tipp: Gehe indirekt vor, indem du annimmst dass P1 und p2 einen Schnittpunkt haben.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:22, 8. Jul. 2013 (CEST)
==Beweis von Regenschirm==
{| class="wikitable"
| Voraussetzung || <math>\ g\|| h \wedge A\in h</math>
|-
| Behauptung || <math>Sg (g\|| h) = g\||h'</math>
|-
| Annahme || <math>Sg (g\||h) = \ g \cap h'</math>
|}
 

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 || <math>Sg (g) = g</math> || Voraussetzung,<s> Def. Geradenspiegelung</s>
|-
| 2 || <math>Sg (h) = h'</math> || Voraussetzung, <s>Def. Geradenspiegelung</s>
|-
| 3 || <math>Sg (g\||h) = \ g \cap h'</math> || Annahme
|-
| 4 || <math>\ g \cap h' \ S\in h' \wedge S\in g</math> || 1) 2) 3)
|-
| 5 || <math>Sg (S) = S'</math> || 4) Def. Geradenspiegelung
|-
| 6 || <math>S'\in h' \wedge S'\in g</math> || 2) 5)
|-
| 7 || <math>\ g \cap h = {s'}</math> || 6)
|-
| 8 || Widerspruch, Annahme ist zu verwerfen, Behauptung stimmt || 7)
|}
 
--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 22:30, 11. Jul. 2013 (CEST)

Die Beweisidee ist absolut richtig, so wie auch die Abfolge der Schritte und die meisten Begründungen (manche sind nicht komplett). Die formale Schreibweise ist aber ziemlich verdreht und so nicht richtig. Zudem scheinen mir manchmal ' zu fehlen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:47, 12. Jul. 2013 (CEST)
* <math>\ g \cap h</math> kann als "schneidet" gelesen werden. Das ist trotzdem eine Mengenoperation "Schnittmenge von g und h" und kann deshalb auch eine leere Menge sein. Deshalb bitte immer dazu schreiben, ob der Schnitt leer ist oder eben nicht.
* Tendenziell nutzen ganz viele die Definition von Geradenspiegelung (und anderen Spiegelungen) für so ziemlich alles. Da steht aber fast nichts drin! Was überhaupt?
Ich schreibe den Beweis hier nochmal. Die Schritte sind noch zu begründen: --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:47, 12. Jul. 2013 (CEST)
==Beweisschritte zu Ergänzen ==

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || a II b, <math>S_g (a) = a'</math> und <math>S_g (b)=b'</math>
|-
| Behauptung || a' II b'
|-
| Annahme || a' <s>II</s> b'
|}
 

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 || <math>a' \cap b' </math> = {S'} || Annahme
|-
| 2 || <math>S = S_g (S')</math> || 1) Def. Geradenspiegelung
|-
| 3 || <math>S \in a</math> und <math>S \in b</math> || 1) 2)
|-
| 4 || <math>a \cap b </math> = {S} || 3)
|-
| 5 || <s>a' II b'</s> a <s>II</s> b || 4)
|-
| 6 || Widerspruch zur Voraussetzung || 5) Voraussetzung
|}
 

Müsste bei Schritt 5) nicht a <s>II</s> b stehen?--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 19:00, 14. Jul. 2013 (CEST)
* Denke Regenschirm, so ist es! Danke auch fürs Ergänzen.
*Die Begründungen für Schritt 3, 4 und 5 sollten noch zusätzlich durch Definitionen oder Eigenschaften ergänzt werden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:00, 15. Jul. 2013 (CEST)
[[Kategorie: Einführung_P]] 
 
==Beweis von Nolessonlearnd==
'''Voraussetzung''': <math>f\ ||\ h\ mit\ f,h\ \in\ \ E</math> 
 
'''Behauptung''': <math>f'\ ||\ h'</math> 
'''Annahme''': <math>f'\ nicht\ ||\ h'</math> 
 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| <math>f'\ =\ Sg(f)\ \wedge\ h'\ =\ Sg(h)</math>
| Eigenschaft d. GS
|-
| 2)
| <math>\ f' \cap h'\ =\ \left\{ {S} \right\} </math>
| (1); Annahme
|-
| 3)
| <math>S\ \in\ f'\ \wedge\ S\ \in\ h'</math>
| (2); Eigenschaft d. Schnittpunktes
|-
| 4)
| <math>S\ \in\ f\ \wedge\ S\ \in\ h</math>
| (3); Eigenschaft d. GS
|-
| 5)
| <math>\ f \cap h\ =\ \left\{ {leer} \right\} </math>
| (3); Voraussetzung
|-
| 6)
| Widerspruch zur Voraussetzung. Annahme ist zu verwerfen.
Behauptung stimmt.
q.e.d.
| (3); (4); (5)
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:43, 15. Jul. 2013 (CEST) 
Den Beweis kannst du so nicht führen, da in der Geradentreue der GEradenspiegelung nicht steht, dass die Gerade und ihre Bildgerade keinen Schnittpunkt haben (Schritt 4 und 5). Ganz im Gegenteil, in den meisten Fällen (außer die GErade liegt zufälligerweise parallel zur Achse der Spiegelung) schneiden sich die Garade und die Bildgerade nämlich in einem Punkt, der auf der Achse liegt. 
Unabhängig vom Beweis - dein Beweis hat den Aufbau eines direkten Beweises - in sollen Fällen ist es sinnvoll die Annahme durch zu streichen und als 7) Schritt die Behauptung hinzuschreiben.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:48, 16. Jul. 2013 (CEST) 
* Ups, habe Geradenspiegelung mit Punktspiegelung verwechselt. Bei der PS werden Geraden auf parallele Bildgeraden gespiegelt. Sorry, werde ich korrigieren.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:58, 16. Jul. 2013 (CEST) 
**Ist verbessert.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:14, 18. Jul. 2013 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 9.1P (SoSe 13)

2013-07-18T18:13:21Z

Nolessonlearned:

#Was versteht man unter der Parallelentreue einer Geradenspiegelung?
#Beweisen Sie die Parallelentreue einer Geradenspiegelung. 

Tipp: Im Wiki nachlesen und den Beweis dann indirekt führen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:21, 26. Jun. 2013 (CEST)
==Beweis von Blumenkind==

* Zwei Geraden sind parallentreu, wenn bei der Geradenspiegelung zueinander parallelen Geraden p1 und p2 ebensfalls zueinader parallel abgebilder werden. Kurz formuliert:
--> p1 II p2 --> p1` II p2 ` wobei Sg (P1)= P1` und Sg(P2)=P2`

* Beweisdurchführung

*Vor.: p1 II p2, Sg (P1)= P1` und Sg(P2)=P2`

* Beh.: p1`II p2`

1. Sg (p1)= p1` und Sg(p2`) Voraussetzung

2. p1 II p2 Voraussetzung

3.

--> HILFE!!!! ICH KOMM NICHT MEHR WEITER. IRGENDWIE BIN ICH DURCHEINANDER GEKOMMEN. WAS MACHE ICH FALSCH?--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 18:51, 4. Jul. 2013 (CEST)BLUMENKIND 18:50, 4.Juli 

Probier es mal, wie Anne schon oben angemerkt hat, über einen indirekten Beweis. Wie muss also die Annahme lauten?--[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 12:28, 5. Jul. 2013 (CEST) 

* Voraussetzung und Behauptung sind richtig.
*Das ist leider kein Beweis, da nur, weil Geraden auf Geraden abgebildet werden, diese nicht unbedingt parallel sind.
* Tipp: Gehe indirekt vor, indem du annimmst dass P1 und p2 einen Schnittpunkt haben.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:22, 8. Jul. 2013 (CEST)
==Beweis von Regenschirm==
{| class="wikitable"
| Voraussetzung || <math>\ g\|| h \wedge A\in h</math>
|-
| Behauptung || <math>Sg (g\|| h) = g\||h'</math>
|-
| Annahme || <math>Sg (g\||h) = \ g \cap h'</math>
|}
 

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 || <math>Sg (g) = g</math> || Voraussetzung,<s> Def. Geradenspiegelung</s>
|-
| 2 || <math>Sg (h) = h'</math> || Voraussetzung, <s>Def. Geradenspiegelung</s>
|-
| 3 || <math>Sg (g\||h) = \ g \cap h'</math> || Annahme
|-
| 4 || <math>\ g \cap h' \ S\in h' \wedge S\in g</math> || 1) 2) 3)
|-
| 5 || <math>Sg (S) = S'</math> || 4) Def. Geradenspiegelung
|-
| 6 || <math>S'\in h' \wedge S'\in g</math> || 2) 5)
|-
| 7 || <math>\ g \cap h = {s'}</math> || 6)
|-
| 8 || Widerspruch, Annahme ist zu verwerfen, Behauptung stimmt || 7)
|}
 
--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 22:30, 11. Jul. 2013 (CEST)

Die Beweisidee ist absolut richtig, so wie auch die Abfolge der Schritte und die meisten Begründungen (manche sind nicht komplett). Die formale Schreibweise ist aber ziemlich verdreht und so nicht richtig. Zudem scheinen mir manchmal ' zu fehlen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:47, 12. Jul. 2013 (CEST)
* <math>\ g \cap h</math> kann als "schneidet" gelesen werden. Das ist trotzdem eine Mengenoperation "Schnittmenge von g und h" und kann deshalb auch eine leere Menge sein. Deshalb bitte immer dazu schreiben, ob der Schnitt leer ist oder eben nicht.
* Tendenziell nutzen ganz viele die Definition von Geradenspiegelung (und anderen Spiegelungen) für so ziemlich alles. Da steht aber fast nichts drin! Was überhaupt?
Ich schreibe den Beweis hier nochmal. Die Schritte sind noch zu begründen: --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:47, 12. Jul. 2013 (CEST)
==Beweisschritte zu Ergänzen ==

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || a II b, <math>S_g (a) = a'</math> und <math>S_g (b)=b'</math>
|-
| Behauptung || a' II b'
|-
| Annahme || a' <s>II</s> b'
|}
 

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 || <math>a' \cap b' </math> = {S'} || Annahme
|-
| 2 || <math>S = S_g (S')</math> || 1) Def. Geradenspiegelung
|-
| 3 || <math>S \in a</math> und <math>S \in b</math> || 1) 2)
|-
| 4 || <math>a \cap b </math> = {S} || 3)
|-
| 5 || <s>a' II b'</s> a <s>II</s> b || 4)
|-
| 6 || Widerspruch zur Voraussetzung || 5) Voraussetzung
|}
 

Müsste bei Schritt 5) nicht a <s>II</s> b stehen?--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 19:00, 14. Jul. 2013 (CEST)
* Denke Regenschirm, so ist es! Danke auch fürs Ergänzen.
*Die Begründungen für Schritt 3, 4 und 5 sollten noch zusätzlich durch Definitionen oder Eigenschaften ergänzt werden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:00, 15. Jul. 2013 (CEST)
[[Kategorie: Einführung_P]] 
 
==Beweis von Nolessonlearnd==
'''Voraussetzung''': <math>f\ ||\ h\ mit\ f,h\ \in\ \ E</math> 
 
'''Behauptung''': <math>f'\ ||\ h'</math> 
'''Annahme''': <math>f'\ nicht\ ||\ h'</math> 
 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| <math>f'\ =\ Sg(f)\ \wedge\ h'\ =\ Sg(h)</math>
| Eigenschaft d. GS
|-
| 2)
| <math>\ f' \cap h'\ =\ \left\{ {S} \right\} </math>
| (1); Annahme
|-
| 3)
| <math>S\ \in\ f'\ \wedge\ S\ \in\ h'</math>
| (2); Eigenschaft d. Schnittpunktes
|-
| 4)
| <math>S\ \in\ f\ \wedge\ S\ \in\ h</math>
| (3); Eigenschaft d. GS
|-
| 5)
| <math>\ f \cap h\ =\ \left\{ {leer} \right\} </math>
| (3); Voraussetzung
|-
| 6)
| Widerspruch zur Voraussetzung. Annahme ist zu verwerfen.
Behauptung stimmt.
q.e.d.
| (3); (4); (5)
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:43, 15. Jul. 2013 (CEST) 
Den Beweis kannst du so nicht führen, da in der Geradentreue der GEradenspiegelung nicht steht, dass die Gerade und ihre Bildgerade keinen Schnittpunkt haben (Schritt 4 und 5). Ganz im Gegenteil, in den meisten Fällen (außer die GErade liegt zufälligerweise parallel zur Achse der Spiegelung) schneiden sich die Garade und die Bildgerade nämlich in einem Punkt, der auf der Achse liegt. 
Unabhängig vom Beweis - dein Beweis hat den Aufbau eines direkten Beweises - in sollen Fällen ist es sinnvoll die Annahme durch zu streichen und als 7) Schritt die Behauptung hinzuschreiben.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:48, 16. Jul. 2013 (CEST) 
* Ups, habe Geradenspiegelung mit Punktspiegelung verwechselt. Bei der PS werden Geraden auf parallele Bildgeraden gespiegelt. Sorry, werde ich korrigieren.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:58, 16. Jul. 2013 (CEST)

Lösung von Aufgabe 9.4P (SoSe 13)

2013-07-18T17:26:48Z

Nolessonlearned:

''m'' sei Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>. Beweisen Sie durch Kontraposition: <math>\left| AP \right| =\left| BP \right|\Rightarrow P\in m</math>
 '''Tipp:''' Nutzen Sie den Satz von Pasch und die Dreiecksungleichung. 
'''Hinweis:''' Die Umkehrung des hier zu beweisenden Satzes sei bereits bewiesen. 

Kontraposition lautet: P <math>\not\in</math> m<math>\Rightarrow</math> IAPI<math>\neq</math> IBPI 
Wenn P nicht Element m ist, dann sind 2 Fälle zu betrachten. Weil P kann einmal in der Halbebene von m liegen in der B liegt oder P kann in der Halbebene von m liegen in der A liegt.

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || |AP|=|BP|, m ist Mittelsenkrechte der Strecke AB|
|-
| Behauptung || P ist Element m
|-
| Annahme || P ist nicht Element m
|}
 

[[Datei:9-4-Skizze.PNG ]] 
Betrachtung: Punkt P liegt in der selben Halbebene von m wie B

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 ||(Strecke BP geschnitten mit m=leere Menge )|| (Def. HE, Annahme)
|-
| 2 || (Strecke AP geschnitten mit m =(R)) || (1,)
|-
| 3 || (R ist Element Strecke AP) || (2)
|-
| 4 || (Zw(ARP)) || (Def. ZW, 3)
|-
| 5 || IARI + IRPI= IAPI || 4
|-
| ... || ...|| ...
|-
| ... || ... || ...

|-
| 6 || StreckeAPI > IStrecke BPI || 5
|}

WIEDERSPRUCH ZUR VORAUSSETZUNG. ANNAHME VERWERFEN, BEHAUPTUNG STIMMT.
 
--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 17:49, 4. Jul. 2013 (CEST)BLUMENKIND 17:47, 4.JULI

Ich verstehe Schritt 6 nicht, denn der Abstand BP kommt ja in 5 nicht vor. Da sind noch Zwischenschritte nötig.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:13, 8. Jul. 2013 (CEST)

* Da ich bei der Betrachtung oben geschrieben habe, dass mein Punkt P in der selben Halbebene von m wie B liegt, ergibt sich nach meiner Konstruktion ein neues "Dreieck" mit APB und ich will ja zeigen, dass die Strecke AP gleich Strecke BP ist. Durch Schritt 4 und 5 sehe ich, dass die Strecke AP kleiner ist als die Strecke BP und dass ist ein Wiederspruch zur Voraussetzung. Ich weis es ist kompliziert, da keine Zeichnung vorliegt. Ich kann irgendwie mein Bild nicht hochladen. Herr Schnirch, hatte uns in der Vorlesung eine Skizze gezeichnet, wo er das Dreieck einfach verlängert hat und wir dadurch 2 Dreiecke hatte. Ich weis aber nicht, wie ich es in Schritten erklären soll;-/---[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 16:04, 8. Jul. 2013 (CEST)Blumenkind 16:03, 8.Juli
**Ich habe die Idee schon verstanden und die Skizze kenne ich und habe sie jetzt nochmal zugefügt. Entscheident ist, dass trotzdem nicht so Schritt 6 abgeleitet werden kann. Das was du da über ein Dreieck schreibst, muss auch im Beweis stehen. (Sieh in der Aufgabenstellung bei TIPP).--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:13, 10. Jul. 2013 (CEST)

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung!! Skizze dazu
|-
| 1 ||IBPI geschnitten mit m = { } || (Def. HE, Annahme) || Müsste es nicht <math>\ \overline{BP}\ \cap\ m\ = \phi</math> heißen? (rein formell) Man schneidet ja Strecken und keine Beträge. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 15:27, 15. Jul. 2013 (CEST) Sehr gut! Da habe ich nicht aufgepasst.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:41, 16. Jul. 2013 (CEST)
|-
| 2 || IAPI geschnitten mit m = (R) || 1.)|| [[Datei:9-4-Skizze.PNG ]]
|-
| 3 || IARI = IBRI || 2.), Def. Mittelsenkrechte
|-
| 4 || IRBI < IRPI + IPBI|| Dreiecksungleichung
|-
| 5 || IRBI < IARI + IRPI || 4.); Rechnen in IR || Hier fehlt (3)--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 15:17, 15. Jul. 2013 (CEST) Genau!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:41, 16. Jul. 2013 (CEST)
|-
| 6 || IAPI = IARI + IRPI || Def. Zwischen
|-
| 7 || IAPI > IBPI || 5.); 6.); Rechnen in IR
|-
| 8 || IAPI <math>\neq</math> IBPI <math>\Rightarrow</math> P <math>\not\in</math> m || 3.); 7.)<s>; Def. Mittelsenkrechte</s> || den Schritt darfst du so nicht schreiben, da du die Voraussetzung ja nicht zeigen sollst. Ich meine aber zu verstehen, was du sagen möchtest. Dann besser so:
|-
| 8 || IAPI <math>\neq</math> IBPI || 7)
|-
| 9 || <math>\left| AP \right| =\left| BP \right|\Rightarrow P\in m</math> || 1-8 Beweis durch Kontraposition

|} --[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 16:49, 14. Jul. 2013 (CEST)

* Sehr gut, Wüstenfuchs. Ich habe Schritt 8 und 9 (rot) hinzugefügt. Denn Schritt 9, den ich vorgeschlagen habe, brauch man nicht zu machen. (Ich meinte nur, dass du so was in der Art schreiben wolltest.)--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:52, 15. Jul. 2013 (CEST)
[[Kategorie: Einführung_P]]

'''Voraussetzung''': 
<math>\overline{AB}\ =\ \overline{BP}\ mit\ A,B,P\ \in\ E</math>, <math>m \ ist\ Mittelsenkrechte\ von\ \overline{AB}</math> 
 
'''Behauptung''': <math>P\ \in\ m</math> 
 
'''Annahme''':
<math>P\ \not\in\ m\ und\ P,B\ \in\ Ebene\ E</math> 
 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| <math>\ \overline{BP}\ \cap\ m\ = \phi</math>
| Annahme
|-
| 2)
| <math>\ \overline{AP}\ \cap\ m\ =\ \left\{ {R} \right\}</math>
| (1); Def. Halbebene
|-
| 3)
| <math>\left| AR \right|\ =\ \left| BR \right|</math>
| (2); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 4)
| <math>\left| AP \right| \ =\ \left| AR \right|\ +\ \left| RP \right| </math>
| (2); Def. Zwischen
|-
| 5)
| <math>\left| BP \right|\ <\ \left| BR \right|\ +\ \left| RP \right| </math>
| (3); (4); Dreiecksungleichung
|-
| 6)
| <math>\left| AP \right|\ >\ \left| BP \right| </math>
| (3); (4); (5)
|-
| 7)
| <math>\left| AP \right|\ \neq\ \left| BP \right| </math>
| (6); <s>Annahme stimmt</s>

|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 16:23, 15. Jul. 2013 (CEST) 
Annahme ist zu verwerfen. Behauptung stimmt. q.e.d.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:41, 16. Jul. 2013 (CEST) 
Du kannst Schritt 2 auch über Satz von Pasch begründen, musst aber dann bereits 2 Seiten des Dreiecks bezüglich dem Schnitt mit m kennen, bevor du auf die dritte schließen kannst: Du musst dann noch einen Zwischenschritt machen, indem zu einfügst dass AB geschnitten wird von m. Man kann Schritt 2 aber auch über die Definition Halbebene begründen, wenn man in der Annahme noch ergänzt, dass man vom Fall ausgeht, das P mit B in der selben Halbebene bzg. m liegt. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:41, 16. Jul. 2013 (CEST)

Lösung von Aufgabe 9.4P (SoSe 13)

2013-07-18T14:34:45Z

Nolessonlearned:

''m'' sei Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>. Beweisen Sie durch Kontraposition: <math>\left| AP \right| =\left| BP \right|\Rightarrow P\in m</math>
 '''Tipp:''' Nutzen Sie den Satz von Pasch und die Dreiecksungleichung. 
'''Hinweis:''' Die Umkehrung des hier zu beweisenden Satzes sei bereits bewiesen. 

Kontraposition lautet: P <math>\not\in</math> m<math>\Rightarrow</math> IAPI<math>\neq</math> IBPI 
Wenn P nicht Element m ist, dann sind 2 Fälle zu betrachten. Weil P kann einmal in der Halbebene von m liegen in der B liegt oder P kann in der Halbebene von m liegen in der A liegt.

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || |AP|=|BP|, m ist Mittelsenkrechte der Strecke AB|
|-
| Behauptung || P ist Element m
|-
| Annahme || P ist nicht Element m
|}
 

[[Datei:9-4-Skizze.PNG ]] 
Betrachtung: Punkt P liegt in der selben Halbebene von m wie B

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 ||(Strecke BP geschnitten mit m=leere Menge )|| (Def. HE, Annahme)
|-
| 2 || (Strecke AP geschnitten mit m =(R)) || (1,)
|-
| 3 || (R ist Element Strecke AP) || (2)
|-
| 4 || (Zw(ARP)) || (Def. ZW, 3)
|-
| 5 || IARI + IRPI= IAPI || 4
|-
| ... || ...|| ...
|-
| ... || ... || ...

|-
| 6 || StreckeAPI > IStrecke BPI || 5
|}

WIEDERSPRUCH ZUR VORAUSSETZUNG. ANNAHME VERWERFEN, BEHAUPTUNG STIMMT.
 
--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 17:49, 4. Jul. 2013 (CEST)BLUMENKIND 17:47, 4.JULI

Ich verstehe Schritt 6 nicht, denn der Abstand BP kommt ja in 5 nicht vor. Da sind noch Zwischenschritte nötig.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:13, 8. Jul. 2013 (CEST)

* Da ich bei der Betrachtung oben geschrieben habe, dass mein Punkt P in der selben Halbebene von m wie B liegt, ergibt sich nach meiner Konstruktion ein neues "Dreieck" mit APB und ich will ja zeigen, dass die Strecke AP gleich Strecke BP ist. Durch Schritt 4 und 5 sehe ich, dass die Strecke AP kleiner ist als die Strecke BP und dass ist ein Wiederspruch zur Voraussetzung. Ich weis es ist kompliziert, da keine Zeichnung vorliegt. Ich kann irgendwie mein Bild nicht hochladen. Herr Schnirch, hatte uns in der Vorlesung eine Skizze gezeichnet, wo er das Dreieck einfach verlängert hat und wir dadurch 2 Dreiecke hatte. Ich weis aber nicht, wie ich es in Schritten erklären soll;-/---[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 16:04, 8. Jul. 2013 (CEST)Blumenkind 16:03, 8.Juli
**Ich habe die Idee schon verstanden und die Skizze kenne ich und habe sie jetzt nochmal zugefügt. Entscheident ist, dass trotzdem nicht so Schritt 6 abgeleitet werden kann. Das was du da über ein Dreieck schreibst, muss auch im Beweis stehen. (Sieh in der Aufgabenstellung bei TIPP).--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:13, 10. Jul. 2013 (CEST)

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung!! Skizze dazu
|-
| 1 ||IBPI geschnitten mit m = { } || (Def. HE, Annahme) || Müsste es nicht <math>\ \overline{BP}\ \cap\ m\ = \phi</math> heißen? (rein formell) Man schneidet ja Strecken und keine Beträge. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 15:27, 15. Jul. 2013 (CEST) Sehr gut! Da habe ich nicht aufgepasst.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:41, 16. Jul. 2013 (CEST)
|-
| 2 || IAPI geschnitten mit m = (R) || 1.)|| [[Datei:9-4-Skizze.PNG ]]
|-
| 3 || IARI = IBRI || 2.), Def. Mittelsenkrechte
|-
| 4 || IRBI < IRPI + IPBI|| Dreiecksungleichung
|-
| 5 || IRBI < IARI + IRPI || 4.); Rechnen in IR || Hier fehlt (3)--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 15:17, 15. Jul. 2013 (CEST) Genau!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:41, 16. Jul. 2013 (CEST)
|-
| 6 || IAPI = IARI + IRPI || Def. Zwischen
|-
| 7 || IAPI > IBPI || 5.); 6.); Rechnen in IR
|-
| 8 || IAPI <math>\neq</math> IBPI <math>\Rightarrow</math> P <math>\not\in</math> m || 3.); 7.)<s>; Def. Mittelsenkrechte</s> || den Schritt darfst du so nicht schreiben, da du die Voraussetzung ja nicht zeigen sollst. Ich meine aber zu verstehen, was du sagen möchtest. Dann besser so:
|-
| 8 || IAPI <math>\neq</math> IBPI || 7)
|-
| 9 || <math>\left| AP \right| =\left| BP \right|\Rightarrow P\in m</math> || 1-8 Beweis durch Kontraposition

|} --[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 16:49, 14. Jul. 2013 (CEST)

* Sehr gut, Wüstenfuchs. Ich habe Schritt 8 und 9 (rot) hinzugefügt. Denn Schritt 9, den ich vorgeschlagen habe, brauch man nicht zu machen. (Ich meinte nur, dass du so was in der Art schreiben wolltest.)--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:52, 15. Jul. 2013 (CEST)
[[Kategorie: Einführung_P]]

'''Voraussetzung''': 
<math>\overline{AB}\ =\ \overline{BP}\ mit\ A,B,P\ \in\ E</math>, <math>m \ ist\ Mittelsenkrechte\ von\ \overline{AB}</math> 
 
'''Behauptung''': <math>P\ \in\ m</math> 
 
'''Annahme''':
<math>P\ \not\in\ m</math> 
 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| <math>\ \overline{BP}\ \cap\ m\ = \phi</math>
| Annahme
|-
| 2)
| <math>\ \overline{AP}\ \cap\ m\ =\ \left\{ {R} \right\}</math>
| (1); Def. Halbebene
|-
| 3)
| <math>\left| AR \right|\ =\ \left| BR \right|</math>
| (2); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 4)
| <math>\left| AP \right| \ =\ \left| AR \right|\ +\ \left| RP \right| </math>
| (2); Def. Zwischen
|-
| 5)
| <math>\left| BP \right|\ <\ \left| BR \right|\ +\ \left| RP \right| </math>
| (3); (4); Dreiecksungleichung
|-
| 6)
| <math>\left| AP \right|\ >\ \left| BP \right| </math>
| (3); (4); (5)
|-
| 7)
| <math>\left| AP \right|\ \neq\ \left| BP \right| </math>
| (6); <s>Annahme stimmt</s>

|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 16:23, 15. Jul. 2013 (CEST) 
Annahme ist zu verwerfen. Behauptung stimmt. q.e.d.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:41, 16. Jul. 2013 (CEST) 
Du kannst Schritt 2 auch über Satz von Pasch begründen, musst aber dann bereits 2 Seiten des Dreiecks bezüglich dem Schnitt mit m kennen, bevor du auf die dritte schließen kannst: Du musst dann noch einen Zwischenschritt machen, indem zu einfügst dass AB geschnitten wird von m. Man kann Schritt 2 aber auch über die Definition Halbebene begründen, wenn man in der Annahme noch ergänzt, dass man vom Fall ausgeht, das P mit B in der selben Halbebene bzg. m liegt. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:41, 16. Jul. 2013 (CEST)

Lösung von Aufgabe 9.1P (SoSe 13)

2013-07-18T12:08:40Z

Nolessonlearned:

Beweisen Sie die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Streckentreue der Geradenspiegelung und eine geeignete Definition des Begriffs Halbgerade.

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || <math>Sg</math> mit <math>A'= Sg (A)</math> und <math>B' = Sg (B)</math> und <math>P \in AB^{+}</math>
|-
| Behauptung || <math>Sg (AB+) = A'B'^{+}</math> d.h. <math>P' \in A'B'^{+}</math>
|}
 

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 <math>P \in AB^{+}</math>|| Voraussetzung
|-
| 2 <math>P \in \ \ \overline{AB} \cup \{P|ZW (A,B,P)\} </math> || 1), Def Halbgerade
|-
| 3 <math>P \in \overline{A'B'} </math> || Streckentreue
|-
| 4 <math>P \in \overline{AB} + \overline{BP} = \overline{AP} </math> || Def Zwischen
|-
| 5 <math>P \in \overline{A'B'} + \overline{B'P'} = \overline{A'P'} </math> || Abstandserhaltung der Geradenspiegelung
|-
| 6 <math>P' \in \ \ \overline{A'B'} \cup \{P'|ZW (A',B',P')\}</math> || Def Zwischen 3), 5)
|-
| 7 <math>P' \in A'B'^{+}</math> || Def Halbgerade 6)
|}
--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 17:50, 25. Jun. 2013 (CEST)
Die Beweisidee und Schritte sind super. Es fehlen noch ein paar Striche und Klammern, damit der Beweis auch ganz richtig ist.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:18, 26. Jun. 2013 (CEST) 
**Darf man eigentlich <math>\overline{AP}</math> schreiben? <math>P</math> ist doch ein Vertreter aller Punkte innerhalb der Halbgerade <math>\ AB^{+</math> und diese ist ja unendlich.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 14:08, 18. Jul. 2013 (CEST) 

 

'''Voraussetzung''': <math>\ A'B'^{+} =Sg( AB^{+} )\ mit\ A,B \in Ebene\ E</math> 

Definitionen gehören nicht in die Voraussetzung, sondern nur die "Mitspieler". Es ist sinnvoll sich die Definitionen am Rand zu notieren und in den Begründungsschritten dann Def. ... zu schreiben, wenn man sie verwendet hat. In seltenen Fällen v.a. dann wenn es mehrere Definitionen eines Begriffs gibt, kann man die Definition dann in der Begründung auch explizit nennen. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:47, 16. Jul. 2013 (CEST) 
*Danke, habe die VSS geändert.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:01, 16. Jul. 2013 (CEST) 
'''Behauptung''': <math>\ AB^{+} \tilde {=} A'B'^{+}</math> --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:39, 14. Jul. 2013 (CEST)
 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| <math>A'=Sg(A)</math>
| Eigenschaft Sg
|-
| 2)
| <math>B'=Sg(B)</math>
| Eigenschaft Sg
|-
|3)
|<math>P'=Sg(P)\ mit\ P\in Ebene\ E</math>
|Eigenschaft Sg
|-
| 4)
| <math>\ \overline{AB} \tilde {=} \overline{A'B'} </math>
| (1); (2); Voraussetzung; Streckentreue d. Sg
|-
| 5)
| <math>\ AB^{+} :=\overline{AB}\ \cup\ \left\{ {P|Zw(A,B,P)} \right\}</math>
| (1); (2); (3); Voraussetzung; Def. Halbgerade
|-
| 6)
| <math>\ A'B'^{+} :=\overline{A'B'}\ \cup\ \left\{ {P'|Zw(A',B',P')} \right\}</math>
| (4); (5); Voraussetzung; Def. Halbgerade; Eigenschaft Sg
|-
| 7)
| <math>\ AB^{+} \tilde {=} A'B'^{+}</math>
| (4); (5); (6)
q.e.d.
|} --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:57, 14. Jul. 2013 (CEST)

Schritt 6 kannst du nicht aus 4) und 5) herleiten, da eine Halbgerade ja noch aus weiteren Punkten besteht, die nicht auf der STrecke liegen. Diese könnten ja nicht aufeinander abgebildet werden. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:47, 16. Jul. 2013 (CEST) 
* So könnte es passen.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:01, 16. Jul. 2013 (CEST) 
** Du kannst die Zwischenrelation nicht einfach ersetzen. Du benötigst die Umformungsschitte, die auch im Beweis darüber zu finden sind. Nur dass da ein paar Fehler in der Schreibweise sind. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:52, 17. Jul. 2013 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 10.4P (SoSe 13)

2013-07-18T11:26:14Z

Nolessonlearned:

Beweisen Sie Satz IX.3:
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=S_a\circ S_b(P) </math>. 
[[Kategorie:Einführung_P]]

'''Voraussetzung''': 
a ∩ b = {S} ∧ a ⊥ b --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 

'''Behauptung''': 
S ist Mittelpunkt von P͞,P͞`` 
mit P``= Sa∘Sb(P) --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 

==Beweis von Nolessonlearnd==
{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| ∃m: m ∩ a ∩ b = {S}
mit m ≠ a,b
| Voraussetzung;
Konstruktion der Gerade m
|-
| 2)
| Es existiert Q Element von m: Q͞P kongruent Q͞P͞``
| (1); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 3)
| m senkrecht P͞P͞``
| (2); Def. Mittelsenkrechte
|-
| 4)
| |PS| = |SP'|
| (3); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 5)
| S ist Mittelpunkt von P͞P͞``
| (1); (2); (3); (4); Voraussetzung
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 18:24, 13. Jul. 2013 (CEST) 
 
Kreative Beweisidee. Zwei Probleme fallen mir auf: 
1. Du kannst nicht erst die GErade m konstruieren (dann ist sie bereits fest) und sie dann später als Mittelsenkrechte deuten. (Schritt 2 und 3) - > Diese Schwierigkeit lässt sich leicht beheben. 
2. Du kannst nicht in Schritt 5 sagen, dass S Mittelpunkt von PP´´ ist, da dafür laut Def. Mittelpunkt zwei Dinge erfüllt sein müssen: 1. <math>S \in \overline{PP''}</math> und <math>|PS|=|P''S|</math>. Ersteres hast du noch nicht gezeigt. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:04, 16. Jul. 2013 (CEST)
 
Neuer Versuch 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| <math>\exists Q:\ Q\ \not\in\ a,b\ \wedge\ QS\ \cap\ a\ \cap\ b\ =\ \left\{ {S} \right\}</math>
| Voraussetzung; Konstruktion der Gerade QS
|-
| 2)
| <math>P''\ =\ Sa\ o\ Sb(P)</math>
| Eigenschaft der Punktspiegelung
|-
| 3)
| <math>\left| QP \right| \ =\ \left| QP" \right|</math>
| (1); (2); Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 4)
| <math>\left\{ {S} \right\}\ =\ QS\ \cap\ \overline{PP"} \ \wedge\ QS\ \perp \ \overline{PP"}</math>
| (1); (2); (3); Def. Mittelsenkrechte
|-
| 5)
| <math>\left| PP" \right|\ =\ \left| PS \right|\ +\ \left| SP" \right|</math>
| Def. Zwischen; Eigenschaft der Mittelsenkrechte
|-
| 6)
| <math>S\ ist\ Mittelpunkt\ von\ \overline{PP"}</math>
| 3); (4); (5)
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 19:35, 17. Jul. 2013 (CEST) 
Das löst das Problem leider nicht: Du nennst in Schritt 1 einen Punkt Q, damit liegt dieser fest. Erst in Schritt 3 nennst du, dass er zu P und P´´ den gleichen Abstand hat. Hat er aber - wenn nicht zufällig so gezeichnet - gar nicht. Geht echt nicht. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 20:06, 17. Jul. 2013 (CEST) 
 
'''Voraussetzung''': Sa∘Sb mit a ∩ b = {S} ∧ a ⊥ b 
 
'''Behauptung''': S ist Mittelpunkt von P͞P" .
 
'''Beweis''': 
1) Sa∘Sb(P) = P" 
Begründung: Eigenschaft d. PS; Voraussetzung 

2) Sa∘Sb(S) = S" = S 
Begründung: Eigenschaft d. PS; Voraussetzung; S ist Fixpunkt 

3) |PS| + |SP"| = |PP"| mit koll(P,S,P") 
Begründung: (1); (2); Def. Zwischen 

4) |PS| = |SP"| 
Begründung: (3); Streckentreue d. GS 

5) S ist Mittelpunkt von P͞P" 
Begründung: (3); (4); Def. Mittelpunkt --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:26, 18. Jul. 2013 (CEST) 

==Beweis von Wüstenfuchs==
{| class="wikitable"
| Voraussetzung || a⊥b ∧ a∩b = {S} ∧ Sa∘Sb(P)= P``
|-
| Behauptung || IPSI = ISP``I (das ist nicht die komplette Behauptung; s.Anmerkung oben.)
|}
 

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 ||Drehe a⊥b so das P <math>\in</math> a und S fest || Vor. ; <s>Def.</s> Punktspiegelung ; IX.3 (oder Eigenschaft der Punktspiegelung)
|-
| 2 || Sa(P) = P' = P || 1.) ; Def. Geradenspiegelung
|-
| 3 || Sb(P') = P`` mit P`` <math>\in</math> a || 2.) ; a ist Fixgerade bezüglich der <math> S_{b}</math>
|-
| 4 || IPSI = ISP``I || 3.) ; Def. Geradenspiegelung
|-
| 4b || <math>S \in \overline{PP''}</math>|| ...
|-
| 5 || <s>S = Mittelpunkt IPP``I</s> Keine Betragstriche!! besser: S ist Mittelpunkt von <math>\overline{PP''}</math> || 4.)+4b) ; Def. Mittelpunkt
|}
--[[Benutzer:Wüstenfuchs|Wüstenfuchs]] 20:42, 15. Jul. 2013 (CEST) 
Der Beweis ist fast korrekt. Auch hier fehlt die Begründung, dass S auch Element der Strecke PP´´ ist, weil er nur dann Mittelpunkt von PP`` ist. Optimalerweise dafür noch ein Extraschritt einbauen, oder aber die Begründung in 5) ergänzen. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:13, 16. Jul. 2013 (CEST)

Lösung von Aufgabe 9.3P (SoSe 13)

2013-07-18T10:30:45Z

Nolessonlearned:

Beweisen Sie die Winkeltreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Halbgeradentreue und die Eigenschaft der Geradenspiegelung winkelmaßerhaltend zu sein.

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || <math>\angle ABC, Sg(A)=A', Sg(B)=B', Sg(C)=C'</math>
|-
| Behauptung || <math>Sg(\angle ABC ) = \angle A'B'C'</math>
|}
 

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 <math>\angle ABC = \ BA^{+} \cup \ BC^{+}</math>|| Voraussetzung, Def. Winkel
|-
| 2 <math>Sg(\ BA^{+} ) = \ B'A'^{+} \wedge Sg (\ BC^{+} ) = \ B'C'^{+}</math> || Halbgeradentreue, 1)
|-
| 3 <math>\angle A'B'C' = B'A'^{+} \cup B'C'^{+}</math> || Def Winkel, 2)
|-
| 4 <math>|\angle ABC| = |\angle A'B'C'|</math> || Winkelmaßerhaltend
|-
| 5 <math>Sg(\angle ABC ) = \angle A'B'C'</math> || 1)2)4)
|}
--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 18:13, 25. Jun. 2013 (CEST) 

Der Beweis ist korrekt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:16, 26. Jun. 2013 (CEST)

 
[[Kategorie: Einführung_P]] 
 
'''Voraussetzung''': 
<math>\angle ABC\ mit\ \ BA^{+}\ \cup\ \ BC^{+}\ </math> <math>mit\ A,B,C \in\ \epsilon</math> 
 
'''Behauptung''': <math>\angle ABC\ \tilde {=}\ \angle A'B'C'</math> 
 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| A' = Sg(A)
| Eigenschaft d. GS
|-
| 2)
| B' = Sg(B)
| Eigenschaft d. GS
|-
| 3)
| C' = Sg(C)
| Eigenschaft d. GS
|-
| 4)
| <math>\\ BA^{+}\ \tilde {=}\ \ B'A'^{+}</math>
| (1); (2); Voraussetzung; Halbgeradentreue d. GS
|-
| 5)
| <math>\\ BC^{+}\ \tilde {=}\ \ B'C'^{+}</math>
| (2); (3); Voraussetzung; Halbgeradentreue d. GS
|-
| 6)
| <math>\left| \angle ABC\ \right|\ =\ \left| \angle A'B'C'\ \right| </math>
| (4); (5); Winkelmaßerhaltung d. GS;
|-
| 7)
| <math>\angle ABC\ \tilde {=} \ \angle A'B'C' </math>
| (4); (5); (6); Winkelkongruenz
q.e.d.
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
Der Beweis ist so nicht richtig. Es gibt keine kongruenten Halbgeraden, da wir Kongruenz von Halbgeraden nicht definiert haben (und ich auch nicht wüsste, wie man es definieren sollte). Schritt 1-3 ist lediglich eine Benennung, die aus der Def. Geradenspiegelung folgt. Schreibe Benennungen lieber in die Voraussetzung, v.a. da du diese ja bereits in der Behauptung nutzt. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:27, 16. Jul. 2013 (CEST) 
* Wir hatten doch mal die Halbgeradentreue bewiesen. Ich ging davon aus, dass bei der Halbgeradentreue die Halbgeraden kongruent zueinander sind.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:31, 16. Jul. 2013 (CEST) Ist nicht so, zumindest wäre mir das total neu. 
** Was muss ich mir dann unter der Halbgeradentreue vorstellen?--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:30, 18. Jul. 2013 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 11.3 (SoSe 13)

2013-07-18T10:27:30Z

Nolessonlearned:

ein paar Definitionsaufgaben passend zum aktuellen Thema: 
Bitte falsche Definitionen nicht direkt verbessern, sondern kopieren, darunter einfügen und dann verbessern!!!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:00, 16. Jul. 2013 (CEST)
'''1. Geben Sie eine formal korrekte Konventionaldefinition des Begriffs achsensymmetrisches Viereck an.''' 
*Wenn ein Viereck sich an den Symmetrieachsen in 2 kongruente Teilmengen zerlegen lässt, dann ist es ein achsensymmetrisches Viereck.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:38, 12. Jul. 2013 (CEST) 
**Die Definition ist so nicht möglich, da wir kongruentze Mengen nicht definiert haben und ich kenne diese Definition auch nicht, falls es eine gibt. Andere Vorschläge?
*Ein Viereck dessen Diagonalen oder Mittelsenkrechten Teilmengen der Spiegelachsen sind, heißt achsensymmetrisches Viereck.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:48, 14. Jul. 2013 (CEST) 

**Die Überlegung ist sehr gut. Aber was bewirkt eine Spiegelachse? Spiegelachsen kann ich ja überall hinlegen, das heißt ja noch nichts. Das ist also noch keine korrekte Definition.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
***Ein Viereck dessen Diagonalen oder Mittelsenkrechten Teilmengen der Spiegelachsen sind und sich daran in zwei gleiche Teile zerlegen lässt, heißt achsensymmetrisches Viereck.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:10, 15. Jul. 2013 (CEST) 
****Das ist informell. Wo die Achse liegt, muss nicht weiter erklärt werden.
*TIPP: Wenn es eine Geradenspiegelung gibt, die ein Viereck auf .... abbildet , ... . Bitte darunter ergänzen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:00, 16. Jul. 2013 (CEST)
**Wenn es eine Geradenspiegelung gibt, die ein Viereck auf sich selbst abbildet , dann ist das Viereck ein achsensymmetrisches Viereck .--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:16, 16. Jul. 2013 (CEST) 
Genau, so schlicht!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:53, 17. Jul. 2013 (CEST)

 
 
'''2. Definieren Sie formal korrekt den Begriff Drache unter Berücksichtigung achsensymmetrischer Zusammenhänge.'''
Ein Drache ist ein Viereck mit einer Symmetrieachse, die auf einer der Diagonalen liegt. --[[Benutzer:Obstkuchen|Obstkuchen]] 16:00, 10. Jul. 2013 (CEST) 
Gut, kleines Problem: Eine Gerade kann nicht auf einer Strecke liegen. Deshalb bitte etwas umformulieren. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:17, 12. Jul. 2013 (CEST) 
**Ein Drachenviereck ist ein schiefes Drachenviereck, dessen Diagonale eine Teilmenge der Symmetrieachse ist.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:21, 12. Jul. 2013 (CEST) 
***Ist es formal korrekt, bei Definitionen stets auf den unmittelbaren Oberbegriff zurückzugreifen?--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:21, 12. Jul. 2013 (CEST) 
*** Die Definition ist korrekt. Es ist eine möglichkeit auf den nächst höheren Oberbegriff zurückzugreifen. Man kann aber auch vom allgemeinen Viereck aus definieren, wie Obstkuchen es gemacht hat (sofern er z.B. deine Formulierung übernimmt).--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 00:46, 14. Jul. 2013 (CEST)
 
 
'''3. Was versteht man unter einer Verschiebung? Definieren Sie formal korrekt.''' 
*Bei einer Verschiebung handelt es sich um verkettete Geradenspiegelungen an zueinander parallelen Spiegelachsen.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:31, 12. Jul. 2013 (CEST) 

**Richtiger Ansatz. Allerdings kann eine Geradenspiegelung nicht verkettet sein, sondern nur mehrere (oder die selbe Geradenspiegelung mit sich selbst) können verkettet werden. Die Formulierung muss also noch optimiert werden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 00:46, 14. Jul. 2013 (CEST) 
***Danke, ist verbessert.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:50, 14. Jul. 2013 (CEST) 
**** Das könnte auch noch eine Spiegelung sein. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
*****Bei einer Verschiebung handelt es sich um mehrere miteinander verkettete Geradenspiegelungen an zueinander parallelen Spiegelachsen.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:15, 15. Jul. 2013 (CEST)
******Das löst das Problem nicht, denn die Verkettung dreier paralleler Geraden ist eine Spiegelung.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:15, 16. Jul. 2013 (CEST) 
* Bei einer Verschiebung handelt es sich um zwei zueinander parallele und miteinander verkettete Geradenspiegelungen.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:22, 16. Jul. 2013 (CEST) 
**Die Verkettung zweier Geradenspiegelungen Sa∘Sb mit a || b und a,b ∈ E, heißt Verschiebung.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:27, 18. Jul. 2013 (CEST)
 
 
'''4. Definieren Sie den Begriff Punktspiegelung, ohne den Begriff Drehung zu verwenden.''' 
*Bei einer Punktspiegelung beträgt das Winkelmaß, zwischen den zwei sich schneidenden und miteinander verketteten Geradenspiegelungen, genau 90.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:26, 12. Jul. 2013 (CEST) 
** Was ist überhaupt eine Spiegelung, das hast du gar nicht genannt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 00:46, 14. Jul. 2013 (CEST) 
***Habe Geradenspiegelungen statt Spiegelachsen verwendet.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:58, 14. Jul. 2013 (CEST) 
****Habe noch miteinander verkettet hinzugefügt.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
***** Das hilft wenig, allein die Formulierung "Bei ein Punktspiegelung" spricht nicht für eine gelungene Definition.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:20, 16. Jul. 2013 (CEST)
*Wenn zwei miteinander verkettete Geradenspiegelungen sich senkrecht zueinander befinden, dann handelt es sich um eine Punktspiegelung. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:58, 14. Jul. 2013 (CEST) 
**Die Formulierung ist so nicht korrekt. Spiegelungen (Abbildungen der gesamten Ebene auf sich selbst, so dass die Spiegelachse Fixpunktgerade ist) können nicht senkrecht aufeinander stehen. (anderes Beispiel: Äpfel können auch nicht senkrecht zueinander stehen). --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
 
*Wenn folgende Aussage gilt: Sa∘Sb mit a ⊥ b und a,b ∈ E, dann ist Sa∘Sb eine Punktspiegelung.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
** Diese Definition ist ok. In Worten könnte man so beginnen: Die Verkettung zweier Geradenspiegelungen Sa°Sb, ...., heißt Punktspiegelung. Darunter ergänzen. 
*Die Verkettung zweier Geradenspiegelungen Sa∘Sb mit a ⊥ b und a,b ∈ E, heißt Punktspiegelung.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:25, 16. Jul. 2013 (CEST) 
**Gut, beachte auch bei Definitionsaufgabe 3, dass Geradenspiegelungen selber nicht parallel sein können!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:55, 17. Jul. 2013 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 10.1P (SoSe 13)

2013-07-18T05:09:20Z

Nolessonlearned:

Lösung von Zusatzaufgabe 10.1P (SoSe 13)

2013-07-18T05:07:14Z

Nolessonlearned:

#Gegeben sei ein Winkel <math>\angle ABC</math> und ein Punkt ''P'' im Inneren des Winkels der nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\angle ABC</math> liegt. Konstruieren Sie eine Strecke <math>\overline{DE}</math> deren Endpunkte ''D'' und ''E'' jeweils auf einem der beiden Schenkel des Winkels <math>\angle ABC</math> liegen und ''P'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{DE}</math> ist.
#Beweisen Sie, dass Ihre Konstruktion richtig ist. 
[[Kategorie:Einführung_P]]

1) '''Konstruktion''' 

Zeichne einen Strahl <math>\ BA^{+}</math> . Zeichne einen weiteren, von <math>\ BA^{+}</math> verschiedenen Strahl, <math>\ BC^{+}</math> mit dem selben Anfangspunkt (Ursprung) wie <math>\ BA^{+}</math> . Zeichne einen Kreis k mit dem Mittelpunkt B und dem Radius <math>r=\left| \overline{BD} \right|=\left| \overline{BE} \right|, r>0 </math> . Zeichne nun einen Kreis p mit dem Mittelpunkt D und dem Radius von k. Zeichne nun einen Kreis l mit dem Mittelpunkt E und dem Radius von k. Zeichne den Punkt M an der Stelle mit der folgenden Bedingung ein: <math>\left\{ {M} \right\}= \ p \cap l \neq B</math>. Zeichne nun den Strahl <math>\ BM^{+}</math> . Zeichne die Strecke <math>\overline{DE}</math> ein, mit der folgenden Bedingung: <math>\left\{ {P} \right\} =\ \overline{DE}\ \cap \ BM^{+} </math> und <math>\left| DP \right| \ =\ \left| PE \right|</math> .--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 16:08, 14. Jul. 2013 (CEST) 
* Deine Konstruktion ist sehr gut beschrieben und super nachvollziehbar - aber leider n'''icht die Lösung'''. Gegeben ist der Punkt P und der Winkel. Bei dir ist P das Endprodukt. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:37, 16. Jul. 2013 (CEST) 
**Nun ist ist das Resultat die Strecke DE.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:09, 16. Jul. 2013 (CEST) 
<ggb_applet width="551" height="372" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> 
**Das löst das Problem nicht, der Punkt P ist Voraussetzung und dieser liegt nicht unbedingt auf der Winkelhalbierenden. Gesucht ist die Strecke DE, wobei die Endpunkte nicht den selben Abstand von B haben müssen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 07:36, 17. Jul. 2013 (CEST) 
***Dachte, da in der Aufgabenstellung steht, dass P in der Mitte der Strecke DE liegen muss, dass P ein Element der Winkelhalbierenden sein muss. Hast du einen Tipp für einen neuen Beweisansatz?--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 07:07, 18. Jul. 2013 (CEST) 
2) '''Beweis'''
* Dein Beweis ist leider hinfällig, da die Konstruktion nicht der Aufgabenstellung entspricht.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:38, 16. Jul. 2013 (CEST) 
**Ich befürchte, dass ich eine falsche Voraussetzung gewählt habe.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:18, 16. Jul. 2013 (CEST) 
 
'''Voraussetzung''': 
D͞E entspricht {D} = BC+ ∩ k und {E} = BA+ ∩ k 
mit k ≔ {P | |PB| = |BD| = r, r > 0, r ∈ ℝ} 
 
{M} = p ∩ l ≠ B 
mit p,l ≔ {P | |PD| = |PE| = |BD| = r, r > 0, r ∈ ℝ} 
 
{P} = D͞E ∩ BM+ und BM+ senkrecht D͞E --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:33, 14. Jul. 2013 (CEST)
 
'''Behauptung''': 
D͞E mit dem Mittelpunkt P --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:33, 14. Jul. 2013 (CEST)
 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| {P} = D͞E ∩ BM+ und BM+ senkrecht D͞E
| Voraussetzung, Konstruktion
Mittelsenkrechte
|-
| 2)
| |BD| = |BE|
| Voraussetzung;
Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| 3)
| |DP| = |PE|
| (1); (2); Def. Mittelsenkrechte
|-
| 4)
| D͞E mit P als Mittelpunkt
| (1); (3); Def. Mittelsenkrechte
|} --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:33, 14. Jul. 2013 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 5.1 P (SoSe 13)

2013-07-18T04:52:50Z

Nolessonlearned:

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 
'''a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> .''' 

VSS: aTEILTb und bTEILTc 
Beh: aTEILTC 
Annahme: aTEILTNICHTc 
<math>||</math> - dieses Zeichen heißt parallel zu (das ist eine Relation) und nicht TEILT--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:30, 2. Jun. 2013 (CEST) 
BEWEIS: 

1. a geschnitten c = {S} -------------------> ANNAHME 

2. S ist Element von a und ---------------> (1.) 
S ist Element von c

3. a und c sind jeweils parallele Geraden zu b und a und c gehen beide durch S -----------> (1.) (2.) 

4. Annahme ist zu verwerfen, da Wiederspruch zum Parallelenaxiom -------------> ( 3.) Def. Parallenaxiom und wenn a durch S parallel zu b ist, dann kann nicht c durch S ebenso parallel zu b sein 

---> Behauptung stimmt--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 11:37, 31. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 11:36, 31. Mai 

'''b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?''' 

---> TRANSITIVITÄT --[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 11:37, 31. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 11:37, 31. Mai
 
 
'''Voraussetzung''': <math>a\ ||\ b\ \wedge\ b\ ||\ c\ \Rightarrow \ a\ ||\ c</math> Das gehört nicht in die Vors.: mit <math>a\ \cap\ b\ =\ \left\{ {leer} \right\}</math> \ ,\ \ b\ \cap\ c\ =\ \left\{ {leer} \right\} 
 
'''Behauptung''': <math>a\ ||\ b\ </math> 
Das gehört nicht in die Vors.: <math> mit\ \ a\ \cap\ c\ =\left\{ {leer} \right\} </math> 
 
'''Annahme''': <math>a\ nicht\ ||\ c\ </math> 
Das kansnt du dir auch sparen, da du es ja in Schritt 1 nennst: <math>mit\ a\ \cap\ c\ =\ \left\{ {S} \right\}</math> --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:34, 16. Jul. 2013 (CEST)
 
 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| <math>\ a\ \cap\ c\ =\ \left\{ {S} \right\}</math>
| Annahme
|-
| 2)
| <math>S\ \in\ a\ \wedge\ S\ \in\ c</math>
| (1); Annahme
|-
| 3)
| <math>S\ \in\ a\ mit\ a\ ||\ b\ \wedge\ S\ \in\ c\ mit\ b\ ||\ c</math>
| (2); Voraussetzung;
|-
|4)
|Die Gerade b hat in Bezug zu dem Punkt S zwei zu b parallele Geraden.
|(2); (3); Widerspruch zum Parallelenaxiom;
Annahme ist zu verwerfen; Behauptung stimmt.
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:47, 16. Jul. 2013 (CEST) 
Ich würde gerne genauer begründet haben, was da jetzt der Widerspruch zum Parallelenaxiom ist. Das habe ich nicht nachvollziehen können. Der Beweis geht aber sicher in die richtige Richtung.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:36, 16. Jul. 2013 (CEST)
Es liegt meiner Meinung nach überhaupt keine Widerspurch vor im Bezug zu Punkt (2) und (3) vor. Deshalb wollte ich eine genaue Begründung.Wo meinst du ist hier genau der Widerspruch? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 07:31, 17. Jul. 2013 (CEST) 
*Ich habe Schritt 4 verbessert. Wusste nicht wie ich ihn formal korrekt ausdrücken soll.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 06:51, 18. Jul. 2013 (CEST) 

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 5.1 P (SoSe 13)

2013-07-18T04:51:50Z

Nolessonlearned:

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 
'''a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> .''' 

VSS: aTEILTb und bTEILTc 
Beh: aTEILTC 
Annahme: aTEILTNICHTc 
<math>||</math> - dieses Zeichen heißt parallel zu (das ist eine Relation) und nicht TEILT--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:30, 2. Jun. 2013 (CEST) 
BEWEIS: 

1. a geschnitten c = {S} -------------------> ANNAHME 

2. S ist Element von a und ---------------> (1.) 
S ist Element von c

3. a und c sind jeweils parallele Geraden zu b und a und c gehen beide durch S -----------> (1.) (2.) 

4. Annahme ist zu verwerfen, da Wiederspruch zum Parallelenaxiom -------------> ( 3.) Def. Parallenaxiom und wenn a durch S parallel zu b ist, dann kann nicht c durch S ebenso parallel zu b sein 

---> Behauptung stimmt--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 11:37, 31. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 11:36, 31. Mai 

'''b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?''' 

---> TRANSITIVITÄT --[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 11:37, 31. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 11:37, 31. Mai
 
 
'''Voraussetzung''': <math>a\ ||\ b\ \wedge\ b\ ||\ c\ \Rightarrow \ a\ ||\ c</math> Das gehört nicht in die Vors.: mit <math>a\ \cap\ b\ =\ \left\{ {leer} \right\}</math> \ ,\ \ b\ \cap\ c\ =\ \left\{ {leer} \right\} 
 
'''Behauptung''': <math>a\ ||\ b\ </math> 
Das gehört nicht in die Vors.: <math> mit\ \ a\ \cap\ c\ =\left\{ {leer} \right\} </math> 
 
'''Annahme''': <math>a\ nicht\ ||\ c\ </math> 
Das kansnt du dir auch sparen, da du es ja in Schritt 1 nennst: <math>mit\ a\ \cap\ c\ =\ \left\{ {S} \right\}</math> --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:34, 16. Jul. 2013 (CEST)
 
 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| <math>\ a\ \cap\ c\ =\ \left\{ {S} \right\}</math>
| Annahme
|-
| 2)
| <math>S\ \in\ a\ \wedge\ S\ \in\ c</math>
| (1); Annahme
|-
| 3)
| <math>S\ \in\ a\ mit\ a\ ||\ b\ \wedge\ S\ \in\ c\ mit\ b\ ||\ c</math>
| (2); Voraussetzung;
|-
|4)
|Die Gerade b hat in Bezug zu dem Punkt C zwei zu b parallele Geraden.
|(2); (3); Widerspruch zum Parallelenaxiom;
Annahme ist zu verwerfen; Behauptung stimmt.
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:47, 16. Jul. 2013 (CEST) 
Ich würde gerne genauer begründet haben, was da jetzt der Widerspruch zum Parallelenaxiom ist. Das habe ich nicht nachvollziehen können. Der Beweis geht aber sicher in die richtige Richtung.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:36, 16. Jul. 2013 (CEST)
Es liegt meiner Meinung nach überhaupt keine Widerspurch vor im Bezug zu Punkt (2) und (3) vor. Deshalb wollte ich eine genaue Begründung.Wo meinst du ist hier genau der Widerspruch? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 07:31, 17. Jul. 2013 (CEST) 
*Ich habe Schritt 4 verbessert. Wusste nicht wie ich ihn formal korrekt ausdrücken soll.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 06:51, 18. Jul. 2013 (CEST) 

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 5.1 P (SoSe 13)

2013-07-18T04:51:10Z

Nolessonlearned:

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 
'''a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c</math> .''' 

VSS: aTEILTb und bTEILTc 
Beh: aTEILTC 
Annahme: aTEILTNICHTc 
<math>||</math> - dieses Zeichen heißt parallel zu (das ist eine Relation) und nicht TEILT--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:30, 2. Jun. 2013 (CEST) 
BEWEIS: 

1. a geschnitten c = {S} -------------------> ANNAHME 

2. S ist Element von a und ---------------> (1.) 
S ist Element von c

3. a und c sind jeweils parallele Geraden zu b und a und c gehen beide durch S -----------> (1.) (2.) 

4. Annahme ist zu verwerfen, da Wiederspruch zum Parallelenaxiom -------------> ( 3.) Def. Parallenaxiom und wenn a durch S parallel zu b ist, dann kann nicht c durch S ebenso parallel zu b sein 

---> Behauptung stimmt--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 11:37, 31. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 11:36, 31. Mai 

'''b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\|| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?''' 

---> TRANSITIVITÄT --[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 11:37, 31. Mai 2013 (CEST)Blumenkind 11:37, 31. Mai
 
 
'''Voraussetzung''': <math>a\ ||\ b\ \wedge\ b\ ||\ c\ \Rightarrow \ a\ ||\ c</math> Das gehört nicht in die Vors.: mit <math>a\ \cap\ b\ =\ \left\{ {leer} \right\}</math> \ ,\ \ b\ \cap\ c\ =\ \left\{ {leer} \right\} 
 
'''Behauptung''': <math>a\ ||\ b\ </math> 
Das gehört nicht in die Vors.: <math> mit\ \ a\ \cap\ c\ =\left\{ {leer} \right\} </math> 
 
'''Annahme''': <math>a\ nicht\ ||\ c\ </math> 
Das kansnt du dir auch sparen, da du es ja in Schritt 1 nennst: <math>mit\ a\ \cap\ c\ =\ \left\{ {S} \right\}</math> --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:34, 16. Jul. 2013 (CEST)
 
 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| <math>\ a\ \cap\ c\ =\ \left\{ {S} \right\}</math>
| Annahme
|-
| 2)
| <math>S\ \in\ a\ \wedge\ S\ \in\ c</math>
| (1); Annahme
|-
| 3)
| <math>S\ \in\ a\ mit\ a\ ||\ b\ \wedge\ S\ \in\ c\ mit\ b\ ||\ c</math>
| (2); Voraussetzung;
|-
|4)
|Die Gerade b hat in Bezug auf den Punkt C zwei zu b parallele Geraden.
|(2); (3); Widerspruch zum Parallelenaxiom;
Annahme ist zu verwerfen; Behauptung stimmt.
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:47, 16. Jul. 2013 (CEST) 
Ich würde gerne genauer begründet haben, was da jetzt der Widerspruch zum Parallelenaxiom ist. Das habe ich nicht nachvollziehen können. Der Beweis geht aber sicher in die richtige Richtung.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:36, 16. Jul. 2013 (CEST)
Es liegt meiner Meinung nach überhaupt keine Widerspurch vor im Bezug zu Punkt (2) und (3) vor. Deshalb wollte ich eine genaue Begründung.Wo meinst du ist hier genau der Widerspruch? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 07:31, 17. Jul. 2013 (CEST) 
*Ich habe Schritt 4 verbessert. Wusste nicht wie ich ihn formal korrekt ausdrücken soll.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 06:51, 18. Jul. 2013 (CEST) 

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 12.1P (SoSe 13)

2013-07-17T18:26:18Z

Nolessonlearned:

Durch welche Abbildung kann die Verkettung zweier Punktspiegelungen ersetzt werden? Begründen Sie!
 
[[Kategorie:Einführung_P]]

<ggb_applet width="920" height="530" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> 
--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:13, 15. Jul. 2013 (CEST) 

'''Voraussetzung''' 
Sa∘Sb∘Sc∘Sd 
mit Sa∘Sb ≔ D(M,180), a ∩ b = {M}, a ⊥ b 
mit Sc∘Sd ≔ D(N,180), c ∩ d = {N}, c ⊥ d --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:35, 12. Jul. 2013 (CEST)

'''Behauptung''': 
Sa'∘Sc' mit a' || c' --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:35, 12. Jul. 2013 (CEST) 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| Sa'∘Sb' mit D(M,180),
a' ⊥ b' ∧ a' || c
| Eigenschaft d. Punktspiegelung;
Voraussetzung
|-
| 2)
| Sc∘Sd ≔ D(N,180),
c ⊥ d ∧ c || a
| Eigenschaft d. Punktspiegelung;
Voraussetzung
|-
| 3)
| wir wählen b' = c
mit |∠a',b'| = |∠c,d| = 90
| (1); (2); Identität; Eigenschaft d. Punktspiegelung;
Def. involutorische Abbildung
|-
| 4)
| Sa'∘Sd
mit a' || d
| (3);
Eigenschaft d. Translation
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:35, 12. Jul. 2013 (CEST) 
Oh Mann, die Tabelle spinnt mal wieder. :(--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:35, 12. Jul. 2013 (CEST)
*Wie lässt sich die Tabelle automatisch an den Inhalt anpassen? Weiß jemand Rat?--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 15:54, 13. Jul. 2013 (CEST) 

Der Beweis ist so nicht korrekt. Schritt 2 entspricht doch Schritt 1, oder? Ich erkenne auch nicht, dass b auf d liegt. Und allgemein ist die Verkettung von Geradenspiegelungen nicht kommutativ (die Reihenfolge der Spiegelungen darf nicht vertauscht werden). --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:13, 15. Jul. 2013 (CEST) 
* Ok, das die Verkettung von GS nicht kommutativ ist, war mir nicht klar. Danke 
* In Schritt 1) wollte ich andeuten, dass die PS gedreht wird. In Schritt 2) bleibt die PS unverändert. In Schritt 3) deute ich an, dass sich die GS b' und c überlappen und dadurch in ihrer Wirkung aufheben (involutorische Abb.) Schritt 4) ist das Resultat: die verbleibende Verschiebung.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:00, 15. Jul. 2013 (CEST) 
 
Also in der eingefügten Applikation überlappen sich aber keine Geraden nachdem ich einen 1. Schritt durchgeführt habe. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:39, 16. Jul. 2013 (CEST)
 
* Durch eine Verschiebung kann man die Verkettung zweier Punktspiegelungen ersetzen.
Begründung: Gegeben Sa o Sb--> Sa(P)= P` und Sb(P`)= P``
Bewegt man nun die Spiegelgerade a so bewegen sich P`und P``und man erkennt dass P=P`. Bewegt man die Spiegelgerade b--> P`bewegt sich p``NICHT. 
 
Vielen Dank für die anschauliche Applikation. Hier ein neuer Versuch.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:25, 17. Jul. 2013 (CEST) 
 
1) Sa∘Sb = Sa'∘Sb' mit a'⊥b' ∧ a' ∩ d = {N} 
mit gleichbleibendem Drehpunkt 
Begründung: Eigenschaft der Drehung 
 
2) Sc∘Sd = Sc'∘Sd' mit c'⊥d' ∧ c'∩b' = {M} 
mit gleichbleibendem Drehpunkt 
Begründung: Eigenschaft der Drehung 
 
3) c' = a' 
Begründung: (1); (2); involutorische Abbildung 
 
4) Sa∘Sb∘Sc∘Sd = Sb'∘(Sa'∘Sc')= Identität ∘Sd' = Sb'∘Sd' 
mit b' || d' 
Begründung: (1); (2); (3) --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:25, 17. Jul. 2013 (CEST)
 
 
MEINE FRAGE IST: Von wo wusste Nolessonlearned, dass man für die Verkettung 2 Punktspiegelungen die Verkettung 4 Geradenspiegelungen benötigt?--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 13:02, 13. Jul. 2013 (CEST)Blumenkind 13.Juli, 13:00 
*Hallo Blumenkind. Sowohl bei der Punktspiegelung als auch bei der Verschiebung handelt es sich jeweils um eine Verkettung von jeweils 2 Geradenspiegelungen. In der Voraussetzung habe ich 4 verkettete GS verwendet, da es sich in der Aufgabenstellung um eine Verkettung von 2 Punktspiegelungen handelt. 2 x 2 = 4. Schau dir mal deren Definitionen an, dann kommst du dahinter. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 14:36, 13. Jul. 2013 (CEST) 

** Vieeeeelleeen Dank Nolessonlearned;-) Durch die vielen SPIEGELUNGEN komme ich durcheinander;-))--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 14:45, 13. Jul. 2013 (CEST)Blumenkind 14:44, 13.Juli

Lösung von Aufgabe 12.1P (SoSe 13)

2013-07-17T18:25:43Z

Nolessonlearned:

Durch welche Abbildung kann die Verkettung zweier Punktspiegelungen ersetzt werden? Begründen Sie!
 
[[Kategorie:Einführung_P]]

<ggb_applet width="920" height="530" version="4.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIADlJ70IAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIADlJ70IAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3VzZcts4Fn1OfwVKD/MU0dgBZuR0pRc7SWWrSaZrat4okpYYS6SGpLx05ePnAiAlUqIUy3IcJo5tCCTWcy/OPQDpjH69mc/QVZwXSZaeDoiHByhOwyxK0snpYFleDPXg1+e/jCZxNonHeYAusnwelKcD7tHBuh7kPK5M5SQ6HYQ4YkGE+XCsJRtySsKhr0M5FH50IS+I0GOhBwjdFMmzNHsXzONiEYTxx3Aaz4M3WRiUts1pWS6enZxcX197de9elk9OJpOxd1NEAwQjT4vTQfXhGTTXqnTNbHGKMTn5z9s3rvlhkhZlkIbxAJlZLZPnvzwZXSdplF2j6yQqp6cDn6sBmsbJZArTlBIyJ6bQAua6iMMyuYoLqNrI2jmX88XAFgtSc/+J+4Rmq+kMUJRcJVGcnw6wRwkhPqOcaCKpJBo6yfIkTsuqMKk6PambG10l8bVr13yyXfIBKrNsNg5Mk0j46MsXRDHF6KlJiEsoJFK6W9hdw8wl1CXcJcKV4a46d0W5K8NdGc7A5EmRjGfx6eAimBWAYpJe5GDBVb4ob2exHVJ1YY0AeQrTKpK/oTDD4CoOdriO8VPzI+GHmxsn7XnqxjyJmcQXRMzobcKQGTex4zcJr7LSZZVNCHYJqW5q88viJY+cEbvXjDj21SEdl/lyJ5K+WPdLffyUEvVUQb9CbPdLGp26Ng/os+7RpwfMlB6F7wpd2oUuFd19kiONWndKRKNT6Mt+25+tLtlB89wJ7QE9Sr6nR9fBw3ao8GN0ODqpiW5UrXlUTE3Zyl3LeF4YtmO+JTxEkABCkAr4SSDiQ6IMMVBEBOICskQjaVKFmOECjhjSyJQjDFlaExp+ccsTEgloy1xUjjAQ40gwRCwZcgQUiCyhArlSBiWEQAIqmd6J6ZZJxCVkmEYcBmioVBm6YlAP8tA5RYwgZuoShahEkiJl6Jhww9JSm7FDoxRJjKSpCnwMXOx4GGpoxMxswMMXWZGswJ3Gs8XKKhbHJF0syxZ24TyqP5bZRukoCy9/28A6Doqy/gyFIBatQ56LTa2I+GQ0C8bxDHTDR+MGCF0FM7OCbfsXWVqi2gWouzbJg8U0CYuPcVlCrQJ9Dq6CN0EZ35xB6aIeoO3aBupRvAxnSZQE6V/gI6YJ0yBaxW3DS3XcFrjqJcyyPPp4W4DjoJv/xnkGZEKEh5tf/gDdults8xYAXYSBcXmB23dgxd/uvGW7jq9WUwtu4tWE0CQ366mReVX8ls3WlxZZkpa/B4tymVsVBiyYm1m9SCez2IJreRX0THg5zm4+OlSZa+vT7QJy2I1gPPk9m2U5ghVJBcSJSZWOXWrLmKGtSmFbBtsSuDZTEq3uE5/aEjYdu9SWAru7oVVTJfU0Ca67SQrLI9C487KaeI3XGHm0TJPyTZ0pk/CymipxFd4t52NwuMoj222Sh2pzdLLhY6PLOE/jmfOkFIy5zJaFc+2Vez4ZLYv4Q1BOX6TRv+IJrMkPgaHFEpp2RddDjuIwmUNFd70CLzCG/TcM1V2N4kke11OcWeHroLV3cdOvty7bps7ybP4qvfoEXrMx1NFJPZ9REebJwngnGgNPX8Zr/4uSIgCWj5r1YPIFzCI0jANAlgbEAQqW5TTLrbaFdWvYHb1ezhLgSXBHs2Bn8RxELSqtU1q/XhnnhZXLxgooG38GGllFDXe/AS/c7/RQ68vBbDENjKauEJgFt3HewsQ2+DaLNpECQ9jpADcsnEss4th5kxswfFhAc3YRNoZjoS/QjdkuMRCnt8AAZuvzt9s/ud2CmatZmS0adFc3jAY+52D6CmBvvwLY2sl6i9fQ7i9vDU5SPwhgYTafB2mEUitD3gALDdbRL8DGzVBADHgOmWVZ3whcU1UDW9gbQltBGxwNPb4/8Gv4mMdoK9AwC+aQWjcENJXHiOabjFxClL2EbWRhw0ZZBQj74WUSRbGVEC5i/S91VQpHk8l8MUvCpNyP+vscWGCSpcGsA/+3Dv9gC//xAfiP+4E/rZd7lyEA/iHziK9k4/oj2GIfZbz78SlDeqRiDMG/OcX+8RPEJOFJaRHjntGoj8Gx79wa/2NrjYcHrPGwH2t8aA4y/eaXcCSLPc42rxtwhaexEM3LfaLfyjThlmmiA0wT9cM0XRa43WEx6/aEiQZNU//7kvGfPwG5QIRTNbvoh2GXfZCd/QyQgWrg1SZBPYzo3QfZ+c8BmT1eMZCxbxHDPmSzW2DMDa7803HlGSTUALlJmX8l0F54SVyxiSsGyAYM5rGfThdVh7UVVk3dl5AOJWMimLWwIFt87O818PuLiyIu7e7DCbEh4bvtv9tLi3hicqthTu7np3vmcf+QDxjISmRy525DAsFGHKHewW1mxsNfpeYUKLbnJtvnRpdxvDAHdu/TT3mQFubZavvA6O54xv3B00DXiscVuhh2p63L2il6wF+p1q2tQ8UeA3/RJ+ArRUQ81VZKVdzBHpVSNS/3Cec2R79N8jzLuyl6+zThz38Ei6z459dYuKXHqirfN142Txc0LBvOtZQSE8JFvWqw4kxJrahisE6oeXT84BGxE+2zXWifHY72Wc/QZkBGjADQmApfYsl5FQEAZs4YN+8+aELZY2F9vgvr88OxPu8Z1hT4nYMHwzZZaNiI6QpqranSkvkcM4kxl4+n9CqAnN5bZWgL7S7tRyvt16wSrzJGB97NWp1qkPZBDSqx18prOUjrw+cHUYPHeOye2ZB7a0LiScGwkAIc18fMr7iYC0aJoMwwtU+0dj7LPemDGxPwcM004apXcfUrwrF30ENdIZiAQAe0oLQmQtdHcIJp5hPBGQbqZrI+EeacKwicREvhY+H/SPBf9A1+oGWsOfYFJdQHgiYrGaIFUZJhhc3bi0o41x8KjyhNQbSABXxFsTziAPQ7icpmNBjvkpb3Fpg9C8agcGTr2RWt9wwbuzbxaDJzP/5n98X/rJf4wy6Yt/Dnq1Nsunn9kaTnfvzP74v/eU/xxxs4y9UK8Nsrw39sQdohSzvE6X6JyloStUOodsjVI0Qr64NoFftF67GytG8hGnc4akXhtH4RQUmq1wUI61VQvpMi7Rvqw61zzdWT4Y1zzSp0wg1J+nXEdict2kPgRcvdCavParpOOZkJpI0QS3plgbvr0WYw2H5+3yp0pDbtWYQmxKNYEU65LzVs7AitdiCUSALbOyo10B9l5PEOQu9ikbPjLNJVvTcWoZ5WWFHYfTPYfIv6xUNY1GAi2BFKonwslf1DtkcVrftNcn6cSbqq98YkzMOwQeeamjcOOa7eMTC7C/PSi8CcEyaJwN9iG3cHEbtTyu4UtPtlLe+QtTvF7U6Je4TQ5X0QuuwxhG7f4j/oLvB0cxqlpcDSr+mHeFIyoQljUoIg9uu3cLnnA1tpzrVvHuHQH1b79s0QRoiZQwolpLTPx2R9LA7BmlLOJccSC0aqF0+VB7tr2G1z5ROfwr9+HQ0eIIb7ZgmoSn3sc6GUOSo3TyLqLaDGwn47K5FqTQD/C2lKat8nBFZHryxxqChuBpdoK2K8PCTGv+xPRN98v1VXL1qK9i7nu4je/Yi/OgTxV/1BnNhXLjYRFx73vwviXXJoB+KvD0H8dX8Qpx5RXYh/k9Pubpn60mH6yunG17sEp3DFPrtiUycmk3tJR9EH6XhQrLl7mPzcn6DY8R4n8wSEwcZZ0I/0Sue0P9BuHX2SerfZ+XdwyqPkgf4m5tFRT/qEevvcc33Or9qPEJ2zU08qv4E66xfsJ82/ITf5+n91ev5/UEsHCGAYVqIECwAAhUoAAFBLAQIUABQACAAIADlJ70LWN725GQAAABcAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAIAAgAOUnvQmAYVqIECwAAhUoAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXQAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAACbCwAAAAA=" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> 
--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:13, 15. Jul. 2013 (CEST) 

'''Voraussetzung''' 
Sa∘Sb∘Sc∘Sd 
mit Sa∘Sb ≔ D(M,180), a ∩ b = {M}, a ⊥ b 
mit Sc∘Sd ≔ D(N,180), c ∩ d = {N}, c ⊥ d --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:35, 12. Jul. 2013 (CEST)

'''Behauptung''': 
Sa'∘Sc' mit a' || c' --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:35, 12. Jul. 2013 (CEST) 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| Sa'∘Sb' mit D(M,180),
a' ⊥ b' ∧ a' || c
| Eigenschaft d. Punktspiegelung;
Voraussetzung
|-
| 2)
| Sc∘Sd ≔ D(N,180),
c ⊥ d ∧ c || a
| Eigenschaft d. Punktspiegelung;
Voraussetzung
|-
| 3)
| wir wählen b' = c
mit |∠a',b'| = |∠c,d| = 90
| (1); (2); Identität; Eigenschaft d. Punktspiegelung;
Def. involutorische Abbildung
|-
| 4)
| Sa'∘Sd
mit a' || d
| (3);
Eigenschaft d. Translation
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:35, 12. Jul. 2013 (CEST) 
Oh Mann, die Tabelle spinnt mal wieder. :(--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:35, 12. Jul. 2013 (CEST)
*Wie lässt sich die Tabelle automatisch an den Inhalt anpassen? Weiß jemand Rat?--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 15:54, 13. Jul. 2013 (CEST) 

Der Beweis ist so nicht korrekt. Schritt 2 entspricht doch Schritt 1, oder? Ich erkenne auch nicht, dass b auf d liegt. Und allgemein ist die Verkettung von Geradenspiegelungen nicht kommutativ (die Reihenfolge der Spiegelungen darf nicht vertauscht werden). --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:13, 15. Jul. 2013 (CEST) 
* Ok, das die Verkettung von GS nicht kommutativ ist, war mir nicht klar. Danke 
* In Schritt 1) wollte ich andeuten, dass die PS gedreht wird. In Schritt 2) bleibt die PS unverändert. In Schritt 3) deute ich an, dass sich die GS b' und c überlappen und dadurch in ihrer Wirkung aufheben (involutorische Abb.) Schritt 4) ist das Resultat: die verbleibende Verschiebung.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:00, 15. Jul. 2013 (CEST) 
 
Also in der eingefügten Applikation überlappen sich aber keine Geraden nachdem ich einen 1. Schritt durchgeführt habe. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:39, 16. Jul. 2013 (CEST)
 
* Durch eine Verschiebung kann man die Verkettung zweier Punktspiegelungen ersetzen.
Begründung: Gegeben Sa o Sb--> Sa(P)= P` und Sb(P`)= P``
Bewegt man nun die Spiegelgerade a so bewegen sich P`und P``und man erkennt dass P=P`. Bewegt man die Spiegelgerade b--> P`bewegt sich p``NICHT. 
 
Vielen Dank für die anschauliche Applikation. Hier ein neuer Versuch.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:25, 17. Jul. 2013 (CEST) 
 
1) Sa∘Sb = Sa'∘Sb' mit a'⊥b' ∧ a' ∩ d = {N} 
mit gleichbleibendem Drehpunkt 
Begründung: Eigenschaft der Drehung 
 
2) Sc∘Sd = Sc'∘Sd' mit c'⊥d' ∧ c'∩b' = {M} 
mit gleichbleibendem Drehpunkt 
Begründung: Eigenschaft der Drehung 
 
3) c' = a' 
Begründung: (1); (2); involutorische Abbildung 
 
4) Sa∘Sb∘Sc∘Sd = Sb'∘(Sa'∘Sc')= Identität ∘Sd' = Sb'∘Sd' 
mit b' || d' 
Begründung: (1); (2); (3) --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:25, 17. Jul. 2013 (CEST)

MEINE FRAGE IST: Von wo wusste Nolessonlearned, dass man für die Verkettung 2 Punktspiegelungen die Verkettung 4 Geradenspiegelungen benötigt?--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 13:02, 13. Jul. 2013 (CEST)Blumenkind 13.Juli, 13:00 
*Hallo Blumenkind. Sowohl bei der Punktspiegelung als auch bei der Verschiebung handelt es sich jeweils um eine Verkettung von jeweils 2 Geradenspiegelungen. In der Voraussetzung habe ich 4 verkettete GS verwendet, da es sich in der Aufgabenstellung um eine Verkettung von 2 Punktspiegelungen handelt. 2 x 2 = 4. Schau dir mal deren Definitionen an, dann kommst du dahinter. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 14:36, 13. Jul. 2013 (CEST) 

** Vieeeeelleeen Dank Nolessonlearned;-) Durch die vielen SPIEGELUNGEN komme ich durcheinander;-))--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 14:45, 13. Jul. 2013 (CEST)Blumenkind 14:44, 13.Juli

Lösung von Aufgabe 10.4P (SoSe 13)

2013-07-17T17:35:09Z

Nolessonlearned: table+

Lösung von Zusatzaufgabe 9.1P (SoSe 13)

2013-07-16T19:58:54Z

Nolessonlearned:

#Was versteht man unter der Parallelentreue einer Geradenspiegelung?
#Beweisen Sie die Parallelentreue einer Geradenspiegelung. 

Tipp: Im Wiki nachlesen und den Beweis dann indirekt führen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:21, 26. Jun. 2013 (CEST)
==Beweis von Blumenkind==

* Zwei Geraden sind parallentreu, wenn bei der Geradenspiegelung zueinander parallelen Geraden p1 und p2 ebensfalls zueinader parallel abgebilder werden. Kurz formuliert:
--> p1 II p2 --> p1` II p2 ` wobei Sg (P1)= P1` und Sg(P2)=P2`

* Beweisdurchführung

*Vor.: p1 II p2, Sg (P1)= P1` und Sg(P2)=P2`

* Beh.: p1`II p2`

1. Sg (p1)= p1` und Sg(p2`) Voraussetzung

2. p1 II p2 Voraussetzung

3.

--> HILFE!!!! ICH KOMM NICHT MEHR WEITER. IRGENDWIE BIN ICH DURCHEINANDER GEKOMMEN. WAS MACHE ICH FALSCH?--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 18:51, 4. Jul. 2013 (CEST)BLUMENKIND 18:50, 4.Juli 

Probier es mal, wie Anne schon oben angemerkt hat, über einen indirekten Beweis. Wie muss also die Annahme lauten?--[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 12:28, 5. Jul. 2013 (CEST) 

* Voraussetzung und Behauptung sind richtig.
*Das ist leider kein Beweis, da nur, weil Geraden auf Geraden abgebildet werden, diese nicht unbedingt parallel sind.
* Tipp: Gehe indirekt vor, indem du annimmst dass P1 und p2 einen Schnittpunkt haben.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:22, 8. Jul. 2013 (CEST)
==Beweis von Regenschirm==
{| class="wikitable"
| Voraussetzung || <math>\ g\|| h \wedge A\in h</math>
|-
| Behauptung || <math>Sg (g\|| h) = g\||h'</math>
|-
| Annahme || <math>Sg (g\||h) = \ g \cap h'</math>
|}
 

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 || <math>Sg (g) = g</math> || Voraussetzung,<s> Def. Geradenspiegelung</s>
|-
| 2 || <math>Sg (h) = h'</math> || Voraussetzung, <s>Def. Geradenspiegelung</s>
|-
| 3 || <math>Sg (g\||h) = \ g \cap h'</math> || Annahme
|-
| 4 || <math>\ g \cap h' \ S\in h' \wedge S\in g</math> || 1) 2) 3)
|-
| 5 || <math>Sg (S) = S'</math> || 4) Def. Geradenspiegelung
|-
| 6 || <math>S'\in h' \wedge S'\in g</math> || 2) 5)
|-
| 7 || <math>\ g \cap h = {s'}</math> || 6)
|-
| 8 || Widerspruch, Annahme ist zu verwerfen, Behauptung stimmt || 7)
|}
 
--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 22:30, 11. Jul. 2013 (CEST)

Die Beweisidee ist absolut richtig, so wie auch die Abfolge der Schritte und die meisten Begründungen (manche sind nicht komplett). Die formale Schreibweise ist aber ziemlich verdreht und so nicht richtig. Zudem scheinen mir manchmal ' zu fehlen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:47, 12. Jul. 2013 (CEST)
* <math>\ g \cap h</math> kann als "schneidet" gelesen werden. Das ist trotzdem eine Mengenoperation "Schnittmenge von g und h" und kann deshalb auch eine leere Menge sein. Deshalb bitte immer dazu schreiben, ob der Schnitt leer ist oder eben nicht.
* Tendenziell nutzen ganz viele die Definition von Geradenspiegelung (und anderen Spiegelungen) für so ziemlich alles. Da steht aber fast nichts drin! Was überhaupt?
Ich schreibe den Beweis hier nochmal. Die Schritte sind noch zu begründen: --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:47, 12. Jul. 2013 (CEST)
==Beweisschritte zu Ergänzen ==

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || a II b, <math>S_g (a) = a'</math> und <math>S_g (b)=b'</math>
|-
| Behauptung || a' II b'
|-
| Annahme || a' <s>II</s> b'
|}
 

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 || <math>a' \cap b' </math> = {S'} || Annahme
|-
| 2 || <math>S = S_g (S')</math> || 1) Def. Geradenspiegelung
|-
| 3 || <math>S \in a</math> und <math>S \in b</math> || 1) 2)
|-
| 4 || <math>a \cap b </math> = {S} || 3)
|-
| 5 || <s>a' II b'</s> a <s>II</s> b || 4)
|-
| 6 || Widerspruch zur Voraussetzung || 5) Voraussetzung
|}
 

Müsste bei Schritt 5) nicht a <s>II</s> b stehen?--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 19:00, 14. Jul. 2013 (CEST)
* Denke Regenschirm, so ist es! Danke auch fürs Ergänzen.
*Die Begründungen für Schritt 3, 4 und 5 sollten noch zusätzlich durch Definitionen oder Eigenschaften ergänzt werden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:00, 15. Jul. 2013 (CEST)
[[Kategorie: Einführung_P]] 
 
==Beweis von Nolessonlearnd==
'''Voraussetzung''': <math>f\ ||\ h\ mit\ f,h\ \in\ \ E</math> 
 
'''Behauptung''': <math>f'\ ||\ h'</math> 
'''Annahme''': <math>\ f' \cap\ h'\ =\ \left\{ {S} \right\}</math> 
 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| <math>\ f\ \cap\ \ h\ =\ \left\{ {leer} \right\}</math>
| Voraussetzung
|-
| 2)
| <math>f'\ =\ Sg(f)</math>
| Eigenschaft von Sg
|-
| 3)
| <math>h'\ =\ Sg(h)</math>
| Eigenschaft von Sg
|-
| 4)
| <math>\ f\ \cap\ \ f'\ =\ \left\{ {leer} \right\}</math>
| (2); Geradentreue von Sg
|-
| 5)
| <math>\ h\ \cap\ \ h'\ =\ \left\{ {leer} \right\}</math>
| (3); Geradentreue von Sg
|-
| 6)
| <math>\ f'\ \cap\ \ h'\ =\ \left\{ {leer} \right\}</math>
| (4); (5);
Widerspruch zur Annahme. Annahme ist zu verwerfen.
Behauptung stimmt.
q.e.d.
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:43, 15. Jul. 2013 (CEST) 
Den Beweis kannst du so nicht führen, da in der Geradentreue der GEradenspiegelung nicht steht, dass die Gerade und ihre Bildgerade keinen Schnittpunkt haben (Schritt 4 und 5). Ganz im Gegenteil, in den meisten Fällen (außer die GErade liegt zufälligerweise parallel zur Achse der Spiegelung) schneiden sich die Garade und die Bildgerade nämlich in einem Punkt, der auf der Achse liegt. 
Unabhängig vom Beweis - dein Beweis hat den Aufbau eines direkten Beweises - in sollen Fällen ist es sinnvoll die Annahme durch zu streichen und als 7) Schritt die Behauptung hinzuschreiben.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:48, 16. Jul. 2013 (CEST) 
* Ups, habe Geradenspiegelung mit Punktspiegelung verwechselt. Bei der PS werden Geraden auf parallele Bildgeraden gespiegelt. Sorry, werde ich korrigieren.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:58, 16. Jul. 2013 (CEST)

Lösung von Aufgabe 9.3P (SoSe 13)

2013-07-16T19:31:35Z

Nolessonlearned:

Beweisen Sie die Winkeltreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Halbgeradentreue und die Eigenschaft der Geradenspiegelung winkelmaßerhaltend zu sein.

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || <math>\angle ABC, Sg(A)=A', Sg(B)=B', Sg(C)=C'</math>
|-
| Behauptung || <math>Sg(\angle ABC ) = \angle A'B'C'</math>
|}
 

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 <math>\angle ABC = \ BA^{+} \cup \ BC^{+}</math>|| Voraussetzung, Def. Winkel
|-
| 2 <math>Sg(\ BA^{+} ) = \ B'A'^{+} \wedge Sg (\ BC^{+} ) = \ B'C'^{+}</math> || Halbgeradentreue, 1)
|-
| 3 <math>\angle A'B'C' = B'A'^{+} \cup B'C'^{+}</math> || Def Winkel, 2)
|-
| 4 <math>|\angle ABC| = |\angle A'B'C'|</math> || Winkelmaßerhaltend
|-
| 5 <math>Sg(\angle ABC ) = \angle A'B'C'</math> || 1)2)4)
|}
--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 18:13, 25. Jun. 2013 (CEST) 

Der Beweis ist korrekt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 15:16, 26. Jun. 2013 (CEST)

 
[[Kategorie: Einführung_P]] 
 
'''Voraussetzung''': 
<math>\angle ABC\ mit\ \ BA^{+}\ \cup\ \ BC^{+}\ </math> <math>mit\ A,B,C \in\ \epsilon</math> 
 
'''Behauptung''': <math>\angle ABC\ \tilde {=}\ \angle A'B'C'</math> 
 

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1)
| A' = Sg(A)
| Eigenschaft d. GS
|-
| 2)
| B' = Sg(B)
| Eigenschaft d. GS
|-
| 3)
| C' = Sg(C)
| Eigenschaft d. GS
|-
| 4)
| <math>\\ BA^{+}\ \tilde {=}\ \ B'A'^{+}</math>
| (1); (2); Voraussetzung; Halbgeradentreue d. GS
|-
| 5)
| <math>\\ BC^{+}\ \tilde {=}\ \ B'C'^{+}</math>
| (2); (3); Voraussetzung; Halbgeradentreue d. GS
|-
| 6)
| <math>\left| \angle ABC\ \right|\ =\ \left| \angle A'B'C'\ \right| </math>
| (4); (5); Winkelmaßerhaltung d. GS;
|-
| 7)
| <math>\angle ABC\ \tilde {=} \ \angle A'B'C' </math>
| (4); (5); (6); Winkelkongruenz
q.e.d.
|}--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
Der Beweis ist so nicht richtig. Es gibt keine kongruenten Halbgeraden, da wir Kongruenz von Halbgeraden nicht definiert haben (und ich auch nicht wüsste, wie man es definieren sollte). Schritt 1-3 ist lediglich eine Benennung, die aus der Def. Geradenspiegelung folgt. Schreibe Benennungen lieber in die Voraussetzung, v.a. da du diese ja bereits in der Behauptung nutzt. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:27, 16. Jul. 2013 (CEST) 
* Wir hatten doch mal die Halbgeradentreue bewiesen. Ich ging davon aus, dass bei der Halbgeradentreue die Halbgeraden kongruent zueinander sind.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:31, 16. Jul. 2013 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 11.3 (SoSe 13)

2013-07-16T19:25:30Z

Nolessonlearned:

ein paar Definitionsaufgaben passend zum aktuellen Thema: 
Bitte falsche Definitionen nicht direkt verbessern, sondern kopieren, darunter einfügen und dann verbessern!!!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:00, 16. Jul. 2013 (CEST)
'''1. Geben Sie eine formal korrekte Konventionaldefinition des Begriffs achsensymmetrisches Viereck an.''' 
*Wenn ein Viereck sich an den Symmetrieachsen in 2 kongruente Teilmengen zerlegen lässt, dann ist es ein achsensymmetrisches Viereck.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:38, 12. Jul. 2013 (CEST) 
**Die Definition ist so nicht möglich, da wir kongruentze Mengen nicht definiert haben und ich kenne diese Definition auch nicht, falls es eine gibt. Andere Vorschläge?
*Ein Viereck dessen Diagonalen oder Mittelsenkrechten Teilmengen der Spiegelachsen sind, heißt achsensymmetrisches Viereck.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:48, 14. Jul. 2013 (CEST) 

**Die Überlegung ist sehr gut. Aber was bewirkt eine Spiegelachse? Spiegelachsen kann ich ja überall hinlegen, das heißt ja noch nichts. Das ist also noch keine korrekte Definition.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
***Ein Viereck dessen Diagonalen oder Mittelsenkrechten Teilmengen der Spiegelachsen sind und sich daran in zwei gleiche Teile zerlegen lässt, heißt achsensymmetrisches Viereck.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:10, 15. Jul. 2013 (CEST) 
****Das ist informell. Wo die Achse liegt, muss nicht weiter erklärt werden.
*TIPP: Wenn es eine Geradenspiegelung gibt, die ein Viereck auf .... abbildet , ... . Bitte darunter ergänzen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:00, 16. Jul. 2013 (CEST)
**Wenn es eine Geradenspiegelung gibt, die ein Viereck auf sich selbst abbildet , dann ist das Viereck ein achsensymmetrisches Viereck .--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:16, 16. Jul. 2013 (CEST) 

 
 
'''2. Definieren Sie formal korrekt den Begriff Drache unter Berücksichtigung achsensymmetrischer Zusammenhänge.'''
Ein Drache ist ein Viereck mit einer Symmetrieachse, die auf einer der Diagonalen liegt. --[[Benutzer:Obstkuchen|Obstkuchen]] 16:00, 10. Jul. 2013 (CEST) 
Gut, kleines Problem: Eine Gerade kann nicht auf einer Strecke liegen. Deshalb bitte etwas umformulieren. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:17, 12. Jul. 2013 (CEST) 
**Ein Drachenviereck ist ein schiefes Drachenviereck, dessen Diagonale eine Teilmenge der Symmetrieachse ist.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:21, 12. Jul. 2013 (CEST) 
***Ist es formal korrekt, bei Definitionen stets auf den unmittelbaren Oberbegriff zurückzugreifen?--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:21, 12. Jul. 2013 (CEST) 
*** Die Definition ist korrekt. Es ist eine möglichkeit auf den nächst höheren Oberbegriff zurückzugreifen. Man kann aber auch vom allgemeinen Viereck aus definieren, wie Obstkuchen es gemacht hat (sofern er z.B. deine Formulierung übernimmt).--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 00:46, 14. Jul. 2013 (CEST)
 
 
'''3. Was versteht man unter einer Verschiebung? Definieren Sie formal korrekt.''' 
*Bei einer Verschiebung handelt es sich um verkettete Geradenspiegelungen an zueinander parallelen Spiegelachsen.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:31, 12. Jul. 2013 (CEST) 

**Richtiger Ansatz. Allerdings kann eine Geradenspiegelung nicht verkettet sein, sondern nur mehrere (oder die selbe Geradenspiegelung mit sich selbst) können verkettet werden. Die Formulierung muss also noch optimiert werden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 00:46, 14. Jul. 2013 (CEST) 
***Danke, ist verbessert.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:50, 14. Jul. 2013 (CEST) 
**** Das könnte auch noch eine Spiegelung sein. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
*****Bei einer Verschiebung handelt es sich um mehrere miteinander verkettete Geradenspiegelungen an zueinander parallelen Spiegelachsen.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:15, 15. Jul. 2013 (CEST)
******Das löst das Problem nicht, denn die Verkettung dreier paralleler Geraden ist eine Spiegelung.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:15, 16. Jul. 2013 (CEST) 
* Bei einer Verschiebung handelt es sich um zwei zueinander parallele und miteinander verkettete Geradenspiegelungen.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:22, 16. Jul. 2013 (CEST) 
 
 
'''4. Definieren Sie den Begriff Punktspiegelung, ohne den Begriff Drehung zu verwenden.''' 
*Bei einer Punktspiegelung beträgt das Winkelmaß, zwischen den zwei sich schneidenden und miteinander verketteten Geradenspiegelungen, genau 90.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:26, 12. Jul. 2013 (CEST) 
** Was ist überhaupt eine Spiegelung, das hast du gar nicht genannt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 00:46, 14. Jul. 2013 (CEST) 
***Habe Geradenspiegelungen statt Spiegelachsen verwendet.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:58, 14. Jul. 2013 (CEST) 
****Habe noch miteinander verkettet hinzugefügt.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
***** Das hilft wenig, allein die Formulierung "Bei ein Punktspiegelung" spricht nicht für eine gelungene Definition.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:20, 16. Jul. 2013 (CEST)
*Wenn zwei miteinander verkettete Geradenspiegelungen sich senkrecht zueinander befinden, dann handelt es sich um eine Punktspiegelung. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:58, 14. Jul. 2013 (CEST) 
**Die Formulierung ist so nicht korrekt. Spiegelungen (Abbildungen der gesamten Ebene auf sich selbst, so dass die Spiegelachse Fixpunktgerade ist) können nicht senkrecht aufeinander stehen. (anderes Beispiel: Äpfel können auch nicht senkrecht zueinander stehen). --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
 
*Wenn folgende Aussage gilt: Sa∘Sb mit a ⊥ b und a,b ∈ E, dann ist Sa∘Sb eine Punktspiegelung.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
** Diese Definition ist ok. In Worten könnte man so beginnen: Die Verkettung zweier Geradenspiegelungen Sa°Sb, ...., heißt Punktspiegelung. Darunter ergänzen. 
*Die Verkettung zweier Geradenspiegelungen Sa∘Sb mit a ⊥ b und a,b ∈ E, heißt Punktspiegelung.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:25, 16. Jul. 2013 (CEST) 

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 11.3 (SoSe 13)

2013-07-16T19:22:41Z

Nolessonlearned:

ein paar Definitionsaufgaben passend zum aktuellen Thema: 
Bitte falsche Definitionen nicht direkt verbessern, sondern kopieren, darunter einfügen und dann verbessern!!!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:00, 16. Jul. 2013 (CEST)
'''1. Geben Sie eine formal korrekte Konventionaldefinition des Begriffs achsensymmetrisches Viereck an.''' 
*Wenn ein Viereck sich an den Symmetrieachsen in 2 kongruente Teilmengen zerlegen lässt, dann ist es ein achsensymmetrisches Viereck.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:38, 12. Jul. 2013 (CEST) 
**Die Definition ist so nicht möglich, da wir kongruentze Mengen nicht definiert haben und ich kenne diese Definition auch nicht, falls es eine gibt. Andere Vorschläge?
*Ein Viereck dessen Diagonalen oder Mittelsenkrechten Teilmengen der Spiegelachsen sind, heißt achsensymmetrisches Viereck.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:48, 14. Jul. 2013 (CEST) 

**Die Überlegung ist sehr gut. Aber was bewirkt eine Spiegelachse? Spiegelachsen kann ich ja überall hinlegen, das heißt ja noch nichts. Das ist also noch keine korrekte Definition.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
***Ein Viereck dessen Diagonalen oder Mittelsenkrechten Teilmengen der Spiegelachsen sind und sich daran in zwei gleiche Teile zerlegen lässt, heißt achsensymmetrisches Viereck.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:10, 15. Jul. 2013 (CEST) 
****Das ist informell. Wo die Achse liegt, muss nicht weiter erklärt werden.
*TIPP: Wenn es eine Geradenspiegelung gibt, die ein Viereck auf .... abbildet , ... . Bitte darunter ergänzen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:00, 16. Jul. 2013 (CEST)
**Wenn es eine Geradenspiegelung gibt, die ein Viereck auf sich selbst abbildet , dann ist das Viereck ein achsensymmetrisches Viereck .--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:16, 16. Jul. 2013 (CEST) 

 
 
'''2. Definieren Sie formal korrekt den Begriff Drache unter Berücksichtigung achsensymmetrischer Zusammenhänge.'''
Ein Drache ist ein Viereck mit einer Symmetrieachse, die auf einer der Diagonalen liegt. --[[Benutzer:Obstkuchen|Obstkuchen]] 16:00, 10. Jul. 2013 (CEST) 
Gut, kleines Problem: Eine Gerade kann nicht auf einer Strecke liegen. Deshalb bitte etwas umformulieren. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:17, 12. Jul. 2013 (CEST) 
**Ein Drachenviereck ist ein schiefes Drachenviereck, dessen Diagonale eine Teilmenge der Symmetrieachse ist.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:21, 12. Jul. 2013 (CEST) 
***Ist es formal korrekt, bei Definitionen stets auf den unmittelbaren Oberbegriff zurückzugreifen?--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:21, 12. Jul. 2013 (CEST) 
*** Die Definition ist korrekt. Es ist eine möglichkeit auf den nächst höheren Oberbegriff zurückzugreifen. Man kann aber auch vom allgemeinen Viereck aus definieren, wie Obstkuchen es gemacht hat (sofern er z.B. deine Formulierung übernimmt).--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 00:46, 14. Jul. 2013 (CEST)
 
 
'''3. Was versteht man unter einer Verschiebung? Definieren Sie formal korrekt.''' 
*Bei einer Verschiebung handelt es sich um verkettete Geradenspiegelungen an zueinander parallelen Spiegelachsen.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:31, 12. Jul. 2013 (CEST) 

**Richtiger Ansatz. Allerdings kann eine Geradenspiegelung nicht verkettet sein, sondern nur mehrere (oder die selbe Geradenspiegelung mit sich selbst) können verkettet werden. Die Formulierung muss also noch optimiert werden.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 00:46, 14. Jul. 2013 (CEST) 
***Danke, ist verbessert.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:50, 14. Jul. 2013 (CEST) 
**** Das könnte auch noch eine Spiegelung sein. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
*****Bei einer Verschiebung handelt es sich um mehrere miteinander verkettete Geradenspiegelungen an zueinander parallelen Spiegelachsen.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:15, 15. Jul. 2013 (CEST)
******Das löst das Problem nicht, denn die Verkettung dreier paralleler Geraden ist eine Spiegelung.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:15, 16. Jul. 2013 (CEST) 
* Bei einer Verschiebung handelt es sich um zwei zueinander parallele und miteinander verkettete Geradenspiegelungen.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:22, 16. Jul. 2013 (CEST) 
 
 
'''4. Definieren Sie den Begriff Punktspiegelung, ohne den Begriff Drehung zu verwenden.''' 
*Bei einer Punktspiegelung beträgt das Winkelmaß, zwischen den zwei sich schneidenden und miteinander verketteten Geradenspiegelungen, genau 90.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 20:26, 12. Jul. 2013 (CEST) 
** Was ist überhaupt eine Spiegelung, das hast du gar nicht genannt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 00:46, 14. Jul. 2013 (CEST) 
***Habe Geradenspiegelungen statt Spiegelachsen verwendet.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:58, 14. Jul. 2013 (CEST) 
****Habe noch miteinander verkettet hinzugefügt.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
***** Das hilft wenig, allein die Formulierung "Bei ein Punktspiegelung" spricht nicht für eine gelungene Definition.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:20, 16. Jul. 2013 (CEST)
*Wenn zwei miteinander verkettete Geradenspiegelungen sich senkrecht zueinander befinden, dann handelt es sich um eine Punktspiegelung. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 13:58, 14. Jul. 2013 (CEST) 
**Die Formulierung ist so nicht korrekt. Spiegelungen (Abbildungen der gesamten Ebene auf sich selbst, so dass die Spiegelachse Fixpunktgerade ist) können nicht senkrecht aufeinander stehen. (anderes Beispiel: Äpfel können auch nicht senkrecht zueinander stehen). --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
 
*Wenn folgende Aussage gilt: Sa∘Sb mit a ⊥ b und a,b ∈ E, dann ist Sa∘Sb eine Punktspiegelung.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 11:27, 15. Jul. 2013 (CEST) 
** Diese Definition ist ok. In Worten könnte man so beginnen: Die Verkettung zweier Geradenspiegelungen Sa°Sb, ...., heißt Punktspiegelung. Darunter ergänzen.

[[Kategorie:Einführung_P]]