Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Das WIKI für die Veranstaltung Lineare Algebra analytische Geometrie

2013-03-11T17:06:19Z

Peterpummel: Änderung 22108 von Peterpummel (Diskussion) rückgängig gemacht.

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=Übungsaufgaben=
*[[Serie_01_12_13]]
*[[Serie_02_12_13]]
*[[Serie_03_12_13]]
*[[Serie_04_12_13]]
*[[Serie_05_12_13]]
*[[Serie_06_12_13]]
*[[Serie_07_12_13]]

=Koordinatengeometrie=
*[[Koordinatengeometrie?]]
*[[Kreise_2012_13]]
*[[Geraden_2012_13]]
*[[Parameterdarstellungen_2012_13]]

*[[Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)]]

=Vektoren und der Vektorraumbegriff=
*[[gerichtetet physikalische Größen_2012_13]]
*[[Pfeilklassen_2012_13]]
*[[Gruppen, abelsche Gruppen 2012_12]]
*[[Die abelsche Gruppe der Pfeilklassen 2012_13]]
*[[Die abelsche Gruppe der geordneten Paare reeller Zahlen 2012_13]]
*[[Die abelsche Gruppe der geordneten Tripel reeller Zahlen 2012_13]]
*[[Vektorräume_2012_13]]
*[[Isomorphie von Gruppen 2012_13]]
*[[Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012_13]]
*[[Linearkombinationen 2012_13]]
*[[Erzeugendensystem 2012_13]]


[[Kategorie:Linalg]]

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2013-03-11T17:03:44Z

Peterpummel: Änderung 22109 von Peterpummel (Diskussion) rückgängig gemacht.

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=Übungsaufgaben=
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=Koordinatengeometrie=
*[[Koordinatengeometrie?]]
*[[Kreise_2012_13]]
*[[Geraden_2012_13]]
*[[Parameterdarstellungen_2012_13]]

*[[Bresenham-Algorithmus für Geraden]]

=Vektoren und der Vektorraumbegriff=
*[[gerichtetet physikalische Größen_2012_13]]
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*[[Die abelsche Gruppe der geordneten Tripel reeller Zahlen 2012_13]]
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*[[Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012_13]]
*[[Linearkombinationen 2012_13]]
*[[Erzeugendensystem 2012_13]]


[[Kategorie:Linalg]]

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2013-03-11T17:01:53Z

Peterpummel: /* Koordinatengeometrie */

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=Übungsaufgaben=
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=Koordinatengeometrie=
*[[Koordinatengeometrie?]]
*[[Kreise_2012_13]]
*[[Hesseform_von_Geraden_2012_13]]
*[[Parameterdarstellungen_2012_13]]

*[[Bresenham-Algorithmus_für_Geraden_2012_13]]

=Vektoren und der Vektorraumbegriff=
*[[gerichtetet physikalische Größen_2012_13]]
*[[Pfeilklassen_2012_13]]
*[[Gruppen, abelsche Gruppen 2012_12]]
*[[Die abelsche Gruppe der Pfeilklassen 2012_13]]
*[[Die abelsche Gruppe der geordneten Paare reeller Zahlen 2012_13]]
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*[[Isomorphie von Gruppen 2012_13]]
*[[Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012_13]]
*[[Linearkombinationen 2012_13]]
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[[Kategorie:Linalg]]

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2013-03-11T17:01:10Z

Peterpummel: /* Koordinatengeometrie */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#B9D0F0; align:left;">
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=Übungsaufgaben=
*[[Serie_01_12_13]]
*[[Serie_02_12_13]]
*[[Serie_03_12_13]]
*[[Serie_04_12_13]]
*[[Serie_05_12_13]]
*[[Serie_06_12_13]]
*[[Serie_07_12_13]]

=Koordinatengeometrie=
*[[Koordinatengeometrie?]]
*[[Kreise_2012_13]]
*[[Geraden_2012_13]]
*[[Parameterdarstellungen_2012_13]]

*[[Bresenham-Algorithmus für Geraden]]

=Vektoren und der Vektorraumbegriff=
*[[gerichtetet physikalische Größen_2012_13]]
*[[Pfeilklassen_2012_13]]
*[[Gruppen, abelsche Gruppen 2012_12]]
*[[Die abelsche Gruppe der Pfeilklassen 2012_13]]
*[[Die abelsche Gruppe der geordneten Paare reeller Zahlen 2012_13]]
*[[Die abelsche Gruppe der geordneten Tripel reeller Zahlen 2012_13]]
*[[Vektorräume_2012_13]]
*[[Isomorphie von Gruppen 2012_13]]
*[[Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012_13]]
*[[Linearkombinationen 2012_13]]
*[[Erzeugendensystem 2012_13]]


[[Kategorie:Linalg]]

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Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-11T17:00:20Z

Peterpummel: /* Zusammenfassung */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham Algorihtmus, ist ein Verfahren um Geraden möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist, dadurch entstehen "Lücken" beim Zeichnen. Da unsere Augen nur eine endliche Auflösung verarbeiten können, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das Achtfache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da sich die Rechenoperationen h auf Addition und die Multiplikation mit Zwei beschränken. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.
'''Potenzen:'''
Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet. 

'''Multiplikation mit Zwei''':<br\>
Eine Multiplikation mit Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt wird.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit Zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei, jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m <= 1 ==
Betrachten wir die folgende Problemstellung: Wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B. auf einem Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Der erste Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel (allgemein: einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |d_t|-|d_s|</math>. 
Da wir nur die y-Achsenabweichung der gezeichneten Geraden mit dem Auge wahrnehmen, aber der folgende Zusammenhang besteht, können wir mit den reinen Abständen, die wir aus der Hesseform gewinnen rechnen:

zu zeigen ist: <math> d_s >= d_t \Leftrightarrow s >= t</math> 

es gilt: 
<math> d_s >= d_t \ \ d_s = s \cdot sin (\alpha) \ \ d_t = t \cdot sin (\alpha) </math> 
<math> \Leftrightarrow d_s = s \cdot sin (\alpha) >= t \cdot sin (\alpha) = d_t </math> 
<math> \Leftrightarrow s >= t </math> 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Nun gehen wir nicht mehr von dem ersten Punkt (Ursprung) <math> O= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> aus, sondern von einem allgemeinen Punkt <math> P = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} </math>, dementsprechend lautet dann der Punkt
<math> T = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y \end{pmatrix} </math> und der Punkt <math> S = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y + 1 \end{pmatrix} </math>

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'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Abschnitt Hesseform gesehen haben, kommt es bei dem Vorzeichen der Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit: 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x + 1 + p_x + 1 \\ p_y + p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot p_x + 2 \\ 2 \cdot p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math> 

Nun entscheidet das Vorzeichen von <math> d </math> welcher Punkt angesteuert wird: 
Für <math> d >= 0 </math> der Punkt <math> S </math> 
Für <math> d < 0 </math> der Punkt <math> T </math> 

==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 ==
Wir wollen nun den Fall für Geraden betrachten deren Steigung größer ist als Eins. Die Vorausetzungen seien wie in dem Fall für die Steigung kleiner Eins. Im Fall der Steigung kleiner gleich Eins musste die Stiftposition bei jedem Zeichenschritt in x-Achsenrichtung inkrementiert werden und es wurde anhand einer Gleichung entschieden ob wir auch in y-Richtung inkrementieren müssen. Im Falle der Steigung größer Eins ist es nun genau umgekehrt, wir müssen bei jedem Zeichenschritt in y-Richtung inkrementieren und an Hand der Abstandsgleichung entscheiden ob wir dies auch in x-Richtung tun müssen. 

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Wir betrachten wieder die Differenz der Abstände: 
<math> |s| - |t| = s + t </math> 
<math>=\vec{n_n} \cdot (\vec{s} - \vec{t}) ) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} (p_x) + (p_x + 1) \\ (p_y + 1) + (p_y + 1) \end{pmatrix} </math> 
<math>= n_x \cdot 2 \cdot p_x + n_x + 2 \cdot n_y \cdot p_y + 2 \cdot n_y =: d</math> 
Auch hier entscheidet nun wieder die Differenz <math> d </math> welcher Punkt angesteuert werden soll. 

Für <math> d >= 0 </math> wird der Punkt <math>T</math> angesteuert. 
Für <math> d < 0 </math> wird der Punkt <math>S</math> angesteuert. 

== Zusammenfassung ==
Durch die beiden Fallunterscheidungen in 2.1 und 2.2 kann nun im ersten Quadranten jede Linie mit positiver Steigung gezeichnet werden. Wollen wir nun auch die negativen Steigungen zulassen, spiegeln wir den Endpunkt der Strecke in den ersten Quadranten. Dies geschieht indem wir in die passende Gleichung die Absolutbeträge des Punktes und des Normalenvektors einsetzten. 

Also für Steigungen mit <math> |m| <= 1 </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot |p_x| \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot |p_y| + n_y ) =: d </math> 

Also für Steigungen mit <math> |m| > 1 </math> 
<math>= n_x \cdot 2 \cdot |p_x| + n_x + 2 \cdot n_y \cdot |p_y| + 2 \cdot n_y =: d</math> 

=Literaturnachweise=

Olaf Müller, Ralf Kunze, Vorlesungskript SS 2002: Computergrafik, [http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2002/skript/node30.html http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2002/skript/node30.html] 11.03.2012 

J. Frank, Informatik, [http://www.wvs.be.schule.de/faecher/informatik/material/grafik/strecke3.html http://www.wvs.be.schule.de/faecher/informatik/material/grafik/strecke3.html] 11.03.2012 

Markus Grodd, Der Bresenham-Algorithmus, [http://algorithm.name/rasteralgorithmus_1.html http://algorithm.name/rasteralgorithmus_1.html], 11.03.2012

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-11T16:50:57Z

Peterpummel: /* Algorithmus für Gerade mit der Steigung m <= 1 */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham Algorihtmus, ist ein Verfahren um Geraden möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist, dadurch entstehen "Lücken" beim Zeichnen. Da unsere Augen nur eine endliche Auflösung verarbeiten können, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das Achtfache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da sich die Rechenoperationen h auf Addition und die Multiplikation mit Zwei beschränken. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.
'''Potenzen:'''
Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet. 

'''Multiplikation mit Zwei''':<br\>
Eine Multiplikation mit Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt wird.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit Zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei, jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m <= 1 ==
Betrachten wir die folgende Problemstellung: Wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B. auf einem Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Der erste Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel (allgemein: einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |d_t|-|d_s|</math>. 
Da wir nur die y-Achsenabweichung der gezeichneten Geraden mit dem Auge wahrnehmen, aber der folgende Zusammenhang besteht, können wir mit den reinen Abständen, die wir aus der Hesseform gewinnen rechnen:

zu zeigen ist: <math> d_s >= d_t \Leftrightarrow s >= t</math> 

es gilt: 
<math> d_s >= d_t \ \ d_s = s \cdot sin (\alpha) \ \ d_t = t \cdot sin (\alpha) </math> 
<math> \Leftrightarrow d_s = s \cdot sin (\alpha) >= t \cdot sin (\alpha) = d_t </math> 
<math> \Leftrightarrow s >= t </math> 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Nun gehen wir nicht mehr von dem ersten Punkt (Ursprung) <math> O= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> aus, sondern von einem allgemeinen Punkt <math> P = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} </math>, dementsprechend lautet dann der Punkt
<math> T = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y \end{pmatrix} </math> und der Punkt <math> S = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y + 1 \end{pmatrix} </math>

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'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Abschnitt Hesseform gesehen haben, kommt es bei dem Vorzeichen der Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit: 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x + 1 + p_x + 1 \\ p_y + p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot p_x + 2 \\ 2 \cdot p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math> 

Nun entscheidet das Vorzeichen von <math> d </math> welcher Punkt angesteuert wird: 
Für <math> d >= 0 </math> der Punkt <math> S </math> 
Für <math> d < 0 </math> der Punkt <math> T </math> 

==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 ==
Wir wollen nun den Fall für Geraden betrachten deren Steigung größer ist als Eins. Die Vorausetzungen seien wie in dem Fall für die Steigung kleiner Eins. Im Fall der Steigung kleiner gleich Eins musste die Stiftposition bei jedem Zeichenschritt in x-Achsenrichtung inkrementiert werden und es wurde anhand einer Gleichung entschieden ob wir auch in y-Richtung inkrementieren müssen. Im Falle der Steigung größer Eins ist es nun genau umgekehrt, wir müssen bei jedem Zeichenschritt in y-Richtung inkrementieren und an Hand der Abstandsgleichung entscheiden ob wir dies auch in x-Richtung tun müssen. 

<ggb_applet width="1269" height="888" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

 

Wir betrachten wieder die Differenz der Abstände: 
<math> |s| - |t| = s + t </math> 
<math>=\vec{n_n} \cdot (\vec{s} - \vec{t}) ) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} (p_x) + (p_x + 1) \\ (p_y + 1) + (p_y + 1) \end{pmatrix} </math> 
<math>= n_x \cdot 2 \cdot p_x + n_x + 2 \cdot n_y \cdot p_y + 2 \cdot n_y =: d</math> 
Auch hier entscheidet nun wieder die Differenz <math> d </math> welcher Punkt angesteuert werden soll. 

Für <math> d >= 0 </math> wird der Punkt <math>T</math> angesteuert. 
Für <math> d < 0 </math> wird der Punkt <math>S</math> angesteuert. 

== Zusammenfassung ==
Durch die beiden Fallunterscheidungen in 2.1 und 2.2 kann nun im ersten Quadranten jede Linie mit positiver Steigung gezeichnet werden. Wollen wir nun in der Lage sein, auch die negativen Steigungen zu zulassen, Spiegeln wir den Endpunkt der Strecke in den ersten Quadranten, indem wir in die passende Gleichung die Absolutbeträge des Punktes und des Normalenvektors einsetzten. 

Also für Steigungen mit <math> |m| <= 1 </math> 
<math>= - ( |n_x| \cdot 2 \cdot |p_x| \ + 2 \cdot |n_x| + |n_y |\cdot 2 \cdot |p_y| + |n_y| ) =: d </math> 

Also für Steigungen mit <math> |m| > 1 </math> 
<math>= |n_x| \cdot 2 \cdot |p_x| + |n_x| + 2 \cdot |n_y| \cdot |p_y| + 2 \cdot |n_y| =: d</math> 

=Literaturnachweise=

Olaf Müller, Ralf Kunze, Vorlesungskript SS 2002: Computergrafik, [http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2002/skript/node30.html http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2002/skript/node30.html] 11.03.2012 

J. Frank, Informatik, [http://www.wvs.be.schule.de/faecher/informatik/material/grafik/strecke3.html http://www.wvs.be.schule.de/faecher/informatik/material/grafik/strecke3.html] 11.03.2012 

Markus Grodd, Der Bresenham-Algorithmus, [http://algorithm.name/rasteralgorithmus_1.html http://algorithm.name/rasteralgorithmus_1.html], 11.03.2012

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-11T16:49:15Z

Peterpummel: /* Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham Algorihtmus, ist ein Verfahren um Geraden möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist, dadurch entstehen "Lücken" beim Zeichnen. Da unsere Augen nur eine endliche Auflösung verarbeiten können, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das Achtfache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da sich die Rechenoperationen h auf Addition und die Multiplikation mit Zwei beschränken. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.
'''Potenzen:'''
Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet. 

'''Multiplikation mit Zwei''':<br\>
Eine Multiplikation mit Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt wird.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit Zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei, jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m <= 1 ==
Betrachten wir die folgende Problemstellung: Wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B. auf einem Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Der erste Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel (allgemein: einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |d_t|-|d_s|</math>. 
Da wir nur die y-Achsenabweichung der gezeichneten Geraden mit dem Auge wahrnehmen, aber der folgende Zusammenhang besteht, können wir mit den reinen Abständen, die wir aus der Hesseform gewinnen rechnen:

zu zeigen ist: <math> d_s >= d_t \Leftrightarrow s >= t</math> 

es gilt: 
<math> d_s >= d_t \ \ d_s = s \cdot sin (\alpha) \ \ d_t = t \cdot sin (\alpha) </math> 
<math> \Leftrightarrow d_s = s \cdot sin (\alpha) >= t \cdot sin (\alpha) = d_t </math> 
<math> \Leftrightarrow s >= t </math> 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Nun gehen wir nicht mehr von dem ersten Punkt (Ursprung) <math> O= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> aus, sondern von einem allgemeinen Punkt <math> P = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} </math>, dementsprechend lautet dann der Punkt
<math> T = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y \end{pmatrix} </math> und der Punkt <math> S = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y + 1 \end{pmatrix} </math>

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'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Abschnitt Hesseform gesehen haben, kommt es bei dem Vorzeichen der Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit: 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x + 1 + p_x + 1 \\ p_y + p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot p_x + 2 \\ 2 \cdot p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math> 

Nun entscheidet das Vorzeichen von <math> d </math> welcher Punkt angesteuert wird: 
Für <math> d >= 0 </math> der Punkt <math> S </math> 
Für <math> d < 0 </math> der Punkt <math> T </math> 

==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 ==
Wir wollen nun den Fall für Geraden betrachten deren Steigung größer ist als Eins. Die Vorausetzungen seien wie in dem Fall für die Steigung kleiner Eins. Im Fall der Steigung kleiner gleich Eins musste die Stiftposition bei jedem Zeichenschritt in x-Achsenrichtung inkrementiert werden und es wurde anhand einer Gleichung entschieden ob wir auch in y-Richtung inkrementieren müssen. Im Falle der Steigung größer Eins ist es nun genau umgekehrt, wir müssen bei jedem Zeichenschritt in y-Richtung inkrementieren und an Hand der Abstandsgleichung entscheiden ob wir dies auch in x-Richtung tun müssen. 

<ggb_applet width="1269" height="888" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

 

Wir betrachten wieder die Differenz der Abstände: 
<math> |s| - |t| = s + t </math> 
<math>=\vec{n_n} \cdot (\vec{s} - \vec{t}) ) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} (p_x) + (p_x + 1) \\ (p_y + 1) + (p_y + 1) \end{pmatrix} </math> 
<math>= n_x \cdot 2 \cdot p_x + n_x + 2 \cdot n_y \cdot p_y + 2 \cdot n_y =: d</math> 
Auch hier entscheidet nun wieder die Differenz <math> d </math> welcher Punkt angesteuert werden soll. 

Für <math> d >= 0 </math> wird der Punkt <math>T</math> angesteuert. 
Für <math> d < 0 </math> wird der Punkt <math>S</math> angesteuert. 

== Zusammenfassung ==
Durch die beiden Fallunterscheidungen in 2.1 und 2.2 kann nun im ersten Quadranten jede Linie mit positiver Steigung gezeichnet werden. Wollen wir nun in der Lage sein, auch die negativen Steigungen zu zulassen, Spiegeln wir den Endpunkt der Strecke in den ersten Quadranten, indem wir in die passende Gleichung die Absolutbeträge des Punktes und des Normalenvektors einsetzten. 

Also für Steigungen mit <math> |m| <= 1 </math> 
<math>= - ( |n_x| \cdot 2 \cdot |p_x| \ + 2 \cdot |n_x| + |n_y |\cdot 2 \cdot |p_y| + |n_y| ) =: d </math> 

Also für Steigungen mit <math> |m| > 1 </math> 
<math>= |n_x| \cdot 2 \cdot |p_x| + |n_x| + 2 \cdot |n_y| \cdot |p_y| + 2 \cdot |n_y| =: d</math> 

=Literaturnachweise=

Olaf Müller, Ralf Kunze, Vorlesungskript SS 2002: Computergrafik, [http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2002/skript/node30.html http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2002/skript/node30.html] 11.03.2012 

J. Frank, Informatik, [http://www.wvs.be.schule.de/faecher/informatik/material/grafik/strecke3.html http://www.wvs.be.schule.de/faecher/informatik/material/grafik/strecke3.html] 11.03.2012 

Markus Grodd, Der Bresenham-Algorithmus, [http://algorithm.name/rasteralgorithmus_1.html http://algorithm.name/rasteralgorithmus_1.html], 11.03.2012

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-11T16:47:45Z

Peterpummel: /* Zusammenfassung */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham Algorihtmus, ist ein Verfahren um Geraden möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist, dadurch entstehen "Lücken" beim Zeichnen. Da unsere Augen nur eine endliche Auflösung verarbeiten können, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das Achtfache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da sich die Rechenoperationen h auf Addition und die Multiplikation mit Zwei beschränken. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.
'''Potenzen:'''
Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet. 

'''Multiplikation mit Zwei''':<br\>
Eine Multiplikation mit Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt wird.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit Zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei, jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m <= 1 ==
Betrachten wir die folgende Problemstellung: Wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B. auf einem Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Der erste Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel (allgemein: einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |d_t|-|d_s|</math>. 
Da wir nur die y-Achsenabweichung der gezeichneten Geraden mit dem Auge wahrnehmen, aber der folgende Zusammenhang besteht, können wir mit den reinen Abständen, die wir aus der Hesseform gewinnen rechnen:

zu zeigen ist: <math> d_s >= d_t \Leftrightarrow s >= t</math> 

es gilt: 
<math> d_s >= d_t \ \ d_s = s \cdot sin (\alpha) \ \ d_t = t \cdot sin (\alpha) </math> 
<math> \Leftrightarrow d_s = s \cdot sin (\alpha) >= t \cdot sin (\alpha) = d_t </math> 
<math> \Leftrightarrow s >= t </math> 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Nun gehen wir nicht mehr von dem ersten Punkt (Ursprung) <math> O= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> aus, sondern von einem allgemeinen Punkt <math> P = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} </math>, dementsprechend lautet dann der Punkt
<math> T = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y \end{pmatrix} </math> und der Punkt <math> S = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y + 1 \end{pmatrix} </math>

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'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Abschnitt Hesseform gesehen haben, kommt es bei dem Vorzeichen der Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit: 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x + 1 + p_x + 1 \\ p_y + p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot p_x + 2 \\ 2 \cdot p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math> 

Nun entscheidet das Vorzeichen von <math> d </math> welcher Punkt angesteuert wird: 
Für <math> d >= 0 </math> der Punkt <math> S </math> 
Für <math> d < 0 </math> der Punkt <math> T </math> 

==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 ==
Wir wollen nun den Fall für Geraden betrachten deren Steigung größer ist als Eins. Die Vorausetzungen seien wie in dem Fall für die Steigung kleiner Eins. Im Fall der Steigung kleiner gleich Eins musste die Stiftposition bei jedem Zeichenschritt in x-Achsenrichtung inkrementiert werden und es wurde anhand einer Gleichung entschieden ob wir auch in y-Richtung inkrementieren müssen. Im Falle der Steigung größer Eins ist es nun genau umgekehrt, wir müssen bei jedem Zeichenschritt in y-Richtung inkrementieren und an Hand der Abstandsgleichung entscheiden ob wir dies auch in x-Richtung tun müssen. 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

 

Wir betrachten wieder die Differenz der Abstände: 
<math> |s| - |t| = s + t </math> 
<math>=\vec{n_n} \cdot (\vec{s} - \vec{t}) ) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} (p_x) + (p_x + 1) \\ (p_y + 1) + (p_y + 1) \end{pmatrix} </math> 
<math>= n_x \cdot 2 \cdot p_x + n_x + 2 \cdot n_y \cdot p_y + 2 \cdot n_y =: d</math> 
Auch hier entscheidet nun wieder die Differenz <math> d </math> welcher Punkt angesteuert werden soll. 

Für <math> d >= 0 </math> wird der Punkt <math>T</math> angesteuert. 
Für <math> d < 0 </math> wird der Punkt <math>S</math> angesteuert. 

== Zusammenfassung ==
Durch die beiden Fallunterscheidungen in 2.1 und 2.2 kann nun im ersten Quadranten jede Linie mit positiver Steigung gezeichnet werden. Wollen wir nun in der Lage sein, auch die negativen Steigungen zu zulassen, Spiegeln wir den Endpunkt der Strecke in den ersten Quadranten, indem wir in die passende Gleichung die Absolutbeträge des Punktes und des Normalenvektors einsetzten. 

Also für Steigungen mit <math> |m| <= 1 </math> 
<math>= - ( |n_x| \cdot 2 \cdot |p_x| \ + 2 \cdot |n_x| + |n_y |\cdot 2 \cdot |p_y| + |n_y| ) =: d </math> 

Also für Steigungen mit <math> |m| > 1 </math> 
<math>= |n_x| \cdot 2 \cdot |p_x| + |n_x| + 2 \cdot |n_y| \cdot |p_y| + 2 \cdot |n_y| =: d</math> 

=Literaturnachweise=

Olaf Müller, Ralf Kunze, Vorlesungskript SS 2002: Computergrafik, [http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2002/skript/node30.html http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2002/skript/node30.html] 11.03.2012 

J. Frank, Informatik, [http://www.wvs.be.schule.de/faecher/informatik/material/grafik/strecke3.html http://www.wvs.be.schule.de/faecher/informatik/material/grafik/strecke3.html] 11.03.2012 

Markus Grodd, Der Bresenham-Algorithmus, [http://algorithm.name/rasteralgorithmus_1.html http://algorithm.name/rasteralgorithmus_1.html], 11.03.2012

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-11T16:45:44Z

Peterpummel: /* Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham Algorihtmus, ist ein Verfahren um Geraden möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist, dadurch entstehen "Lücken" beim Zeichnen. Da unsere Augen nur eine endliche Auflösung verarbeiten können, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das Achtfache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da sich die Rechenoperationen h auf Addition und die Multiplikation mit Zwei beschränken. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.
'''Potenzen:'''
Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet. 

'''Multiplikation mit Zwei''':<br\>
Eine Multiplikation mit Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt wird.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit Zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei, jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m <= 1 ==
Betrachten wir die folgende Problemstellung: Wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B. auf einem Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Der erste Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel (allgemein: einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |d_t|-|d_s|</math>. 
Da wir nur die y-Achsenabweichung der gezeichneten Geraden mit dem Auge wahrnehmen, aber der folgende Zusammenhang besteht, können wir mit den reinen Abständen, die wir aus der Hesseform gewinnen rechnen:

zu zeigen ist: <math> d_s >= d_t \Leftrightarrow s >= t</math> 

es gilt: 
<math> d_s >= d_t \ \ d_s = s \cdot sin (\alpha) \ \ d_t = t \cdot sin (\alpha) </math> 
<math> \Leftrightarrow d_s = s \cdot sin (\alpha) >= t \cdot sin (\alpha) = d_t </math> 
<math> \Leftrightarrow s >= t </math> 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Nun gehen wir nicht mehr von dem ersten Punkt (Ursprung) <math> O= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> aus, sondern von einem allgemeinen Punkt <math> P = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} </math>, dementsprechend lautet dann der Punkt
<math> T = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y \end{pmatrix} </math> und der Punkt <math> S = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y + 1 \end{pmatrix} </math>

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'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Abschnitt Hesseform gesehen haben, kommt es bei dem Vorzeichen der Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit: 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x + 1 + p_x + 1 \\ p_y + p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot p_x + 2 \\ 2 \cdot p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math> 

Nun entscheidet das Vorzeichen von <math> d </math> welcher Punkt angesteuert wird: 
Für <math> d >= 0 </math> der Punkt <math> S </math> 
Für <math> d < 0 </math> der Punkt <math> T </math> 

==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 ==
Wir wollen nun den Fall für Geraden betrachten deren Steigung größer ist als Eins. Die Vorausetzungen seien wie in dem Fall für die Steigung kleiner Eins. Im Fall der Steigung kleiner gleich Eins musste die Stiftposition bei jedem Zeichenschritt in x-Achsenrichtung inkrementiert werden und es wurde anhand einer Gleichung entschieden ob wir auch in y-Richtung inkrementieren müssen. Im Falle der Steigung größer Eins ist es nun genau umgekehrt, wir müssen bei jedem Zeichenschritt in y-Richtung inkrementieren und an Hand der Abstandsgleichung entscheiden ob wir dies auch in x-Richtung tun müssen. 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

 

Wir betrachten wieder die Differenz der Abstände: 
<math> |s| - |t| = s + t </math> 
<math>=\vec{n_n} \cdot (\vec{s} - \vec{t}) ) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} (p_x) + (p_x + 1) \\ (p_y + 1) + (p_y + 1) \end{pmatrix} </math> 
<math>= n_x \cdot 2 \cdot p_x + n_x + 2 \cdot n_y \cdot p_y + 2 \cdot n_y =: d</math> 
Auch hier entscheidet nun wieder die Differenz <math> d </math> welcher Punkt angesteuert werden soll. 

Für <math> d >= 0 </math> wird der Punkt <math>T</math> angesteuert. 
Für <math> d < 0 </math> wird der Punkt <math>S</math> angesteuert. 

== Zusammenfassung ==
Durch die beiden Fallunterscheidungen in 2.1 und 2.2 kann nun im ersten Quadranten jede Linie mit positiver Steigung gezeichnet werden. Wollen wir nun in der Lage sein, auch die negativen Steigungen zu zulassen, Spiegeln wir den Endpunkt der Strecke in den ersten Quadranten, indem wir in die passende Gleichung die Absolutbeträge des Punktes und des Normalenvektors einsetzten. 

Also für Steigungen mit <math> |m| <= 1 </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math> 

Also für Steigungen mit <math> |m| > 1 </math> 
<math>= n_x \cdot 2 \cdot x_i + n_x + 2 \cdot n_y \cdot y_i + 2 \cdot n_y =: d</math> 

=Literaturnachweise=

Olaf Müller, Ralf Kunze, Vorlesungskript SS 2002: Computergrafik, [http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2002/skript/node30.html http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2002/skript/node30.html] 11.03.2012 

J. Frank, Informatik, [http://www.wvs.be.schule.de/faecher/informatik/material/grafik/strecke3.html http://www.wvs.be.schule.de/faecher/informatik/material/grafik/strecke3.html] 11.03.2012 

Markus Grodd, Der Bresenham-Algorithmus, [http://algorithm.name/rasteralgorithmus_1.html http://algorithm.name/rasteralgorithmus_1.html], 11.03.2012

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-11T16:43:46Z

Peterpummel: /* Zusammenfassung */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham Algorihtmus, ist ein Verfahren um Geraden möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist, dadurch entstehen "Lücken" beim Zeichnen. Da unsere Augen nur eine endliche Auflösung verarbeiten können, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das Achtfache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da sich die Rechenoperationen h auf Addition und die Multiplikation mit Zwei beschränken. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.
'''Potenzen:'''
Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet. 

'''Multiplikation mit Zwei''':<br\>
Eine Multiplikation mit Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt wird.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit Zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei, jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m <= 1 ==
Betrachten wir die folgende Problemstellung: Wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B. auf einem Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Der erste Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel (allgemein: einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |d_t|-|d_s|</math>. 
Da wir nur die y-Achsenabweichung der gezeichneten Geraden mit dem Auge wahrnehmen, aber der folgende Zusammenhang besteht, können wir mit den reinen Abständen, die wir aus der Hesseform gewinnen rechnen:

zu zeigen ist: <math> d_s >= d_t \Leftrightarrow s >= t</math> 

es gilt: 
<math> d_s >= d_t \ \ d_s = s \cdot sin (\alpha) \ \ d_t = t \cdot sin (\alpha) </math> 
<math> \Leftrightarrow d_s = s \cdot sin (\alpha) >= t \cdot sin (\alpha) = d_t </math> 
<math> \Leftrightarrow s >= t </math> 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Nun gehen wir nicht mehr von dem ersten Punkt (Ursprung) <math> O= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> aus, sondern von einem allgemeinen Punkt <math> P = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} </math>, dementsprechend lautet dann der Punkt
<math> T = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y \end{pmatrix} </math> und der Punkt <math> S = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y + 1 \end{pmatrix} </math>

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'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Abschnitt Hesseform gesehen haben, kommt es bei dem Vorzeichen der Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit: 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x + 1 + p_x + 1 \\ p_y + p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot p_x + 2 \\ 2 \cdot p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math> 

Nun entscheidet das Vorzeichen von <math> d </math> welcher Punkt angesteuert wird: 
Für <math> d >= 0 </math> der Punkt <math> S </math> 
Für <math> d < 0 </math> der Punkt <math> T </math> 

==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 ==
Wir wollen nun den Fall für Geraden betrachten deren Steigung größer ist als Eins. Die Vorausetzungen seien wie in dem Fall für die Steigung kleiner Eins. Im Fall der Steigung kleiner gleich Eins musste die Stiftposition bei jedem Zeichenschritt in x-Achsenrichtung inkrementiert werden und es wurde anhand einer Gleichung entschieden ob wir auch in y-Richtung inkrementieren müssen. Im Falle der Steigung größer Eins ist es nun genau umgekehrt, wir müssen bei jedem Zeichenschritt in y-Richtung inkrementieren und an Hand der Abstandsgleichung entscheiden ob wir dies auch in x-Richtung tun müssen. 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

 

Wir betrachten wieder die Differenz der Abstände: 
<math> |s| - |t| = s + t </math> 
<math>=\vec{n_n} \cdot (\vec{s} - \vec{t}) ) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} (x_i) + (x_i + 1) \\ (y_i + 1) + (y_i + 1) \end{pmatrix} </math> 
<math>= n_x \cdot 2 \cdot x_i + n_x + 2 \cdot n_y \cdot y_i + 2 \cdot n_y =: d</math> 
Auch hier entscheidet nun wieder die Differenz <math> d </math> welcher Punkt angesteuert werden soll. 

Für <math> d >= 0 </math> wird der Punkt <math>T</math> angesteuert. 
Für <math> d < 0 </math> wird der Punkt <math>S</math> angesteuert. 

== Zusammenfassung ==
Durch die beiden Fallunterscheidungen in 2.1 und 2.2 kann nun im ersten Quadranten jede Linie mit positiver Steigung gezeichnet werden. Wollen wir nun in der Lage sein, auch die negativen Steigungen zu zulassen, Spiegeln wir den Endpunkt der Strecke in den ersten Quadranten, indem wir in die passende Gleichung die Absolutbeträge des Punktes und des Normalenvektors einsetzten. 

Also für Steigungen mit <math> |m| <= 1 </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math> 

Also für Steigungen mit <math> |m| > 1 </math> 
<math>= n_x \cdot 2 \cdot x_i + n_x + 2 \cdot n_y \cdot y_i + 2 \cdot n_y =: d</math> 

=Literaturnachweise=

Olaf Müller, Ralf Kunze, Vorlesungskript SS 2002: Computergrafik, [http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2002/skript/node30.html http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2002/skript/node30.html] 11.03.2012 

J. Frank, Informatik, [http://www.wvs.be.schule.de/faecher/informatik/material/grafik/strecke3.html http://www.wvs.be.schule.de/faecher/informatik/material/grafik/strecke3.html] 11.03.2012 

Markus Grodd, Der Bresenham-Algorithmus, [http://algorithm.name/rasteralgorithmus_1.html http://algorithm.name/rasteralgorithmus_1.html], 11.03.2012

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-11T15:10:28Z

Peterpummel: /* Zusammenfassung */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham Algorihtmus, ist ein Verfahren um Geraden möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist, dadurch entstehen "Lücken" beim Zeichnen. Da unsere Augen nur eine endliche Auflösung verarbeiten können, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das Achtfache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da sich die Rechenoperationen h auf Addition und die Multiplikation mit Zwei beschränken. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.
'''Potenzen:'''
Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet. 

'''Multiplikation mit Zwei''':<br\>
Eine Multiplikation mit Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt wird.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit Zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei, jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m <= 1 ==
Betrachten wir die folgende Problemstellung: Wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B. auf einem Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Der erste Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel (allgemein: einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |d_t|-|d_s|</math>. 
Da wir nur die y-Achsenabweichung der gezeichneten Geraden mit dem Auge wahrnehmen, aber der folgende Zusammenhang besteht, können wir mit den reinen Abständen, die wir aus der Hesseform gewinnen rechnen:

zu zeigen ist: <math> d_s >= d_t \Leftrightarrow s >= t</math> 

es gilt: 
<math> d_s >= d_t \ \ d_s = s \cdot sin (\alpha) \ \ d_t = t \cdot sin (\alpha) </math> 
<math> \Leftrightarrow d_s = s \cdot sin (\alpha) >= t \cdot sin (\alpha) = d_t </math> 
<math> \Leftrightarrow s >= t </math> 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Nun gehen wir nicht mehr von dem ersten Punkt (Ursprung) <math> O= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> aus, sondern von einem allgemeinen Punkt <math> P = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} </math>, dementsprechend lautet dann der Punkt
<math> T = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y \end{pmatrix} </math> und der Punkt <math> S = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y + 1 \end{pmatrix} </math>

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'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Abschnitt Hesseform gesehen haben, kommt es bei dem Vorzeichen der Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit: 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x + 1 + p_x + 1 \\ p_y + p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot p_x + 2 \\ 2 \cdot p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math> 

Nun entscheidet das Vorzeichen von <math> d </math> welcher Punkt angesteuert wird: 
Für <math> d >= 0 </math> der Punkt <math> S </math> 
Für <math> d < 0 </math> der Punkt <math> T </math> 

==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 ==
Wir wollen nun den Fall für Geraden betrachten deren Steigung größer ist als Eins. Die Vorausetzungen seien wie in dem Fall für die Steigung kleiner Eins. Im Fall der Steigung kleiner gleich Eins musste die Stiftposition bei jedem Zeichenschritt in x-Achsenrichtung inkrementiert werden und es wurde anhand einer Gleichung entschieden ob wir auch in y-Richtung inkrementieren müssen. Im Falle der Steigung größer Eins ist es nun genau umgekehrt, wir müssen bei jedem Zeichenschritt in y-Richtung inkrementieren und an Hand der Abstandsgleichung entscheiden ob wir dies auch in x-Richtung tun müssen. 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

 

Wir betrachten wieder die Differenz der Abstände: 
<math> |s| - |t| = s + t </math> 
<math>=\vec{n_n} \cdot (\vec{s} - \vec{t}) ) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} (x_i) + (x_i + 1) \\ (y_i + 1) + (y_i + 1) \end{pmatrix} </math> 
<math>= n_x \cdot 2 \cdot x_i + n_x + 2 \cdot n_y \cdot y_i + 2 \cdot n_y =: d</math> 
Auch hier entscheidet nun wieder die Differenz <math> d </math> welcher Punkt angesteuert werden soll. 

Für <math> d >= 0 </math> wird der Punkt <math>T</math> angesteuert. 
Für <math> d < 0 </math> wird der Punkt <math>S</math> angesteuert. 

== Zusammenfassung ==
Durch die beiden Fallunterscheidungen in 2.1 und 2.2 kann nun im ersten Quadranten jede Linie mit positiver Steigung gezeichnet werden. Wollen wir nun in der Lage sein, auch die negativen Steigungen zu zulassen, Spiegeln wir den Endpunkt der Strecke in den ersten Quadranten, indem wir in die passende Gleichung die Absolutbeträge des Punktes und des Normalenvektors einsetzten. 

Also für Steigungen mit <math> |m| <= 1 <\math> 

Also für Steigungen mit <math> |m| > 1 <\math> 

=Literaturnachweise=

Olaf Müller, Ralf Kunze, Vorlesungskript SS 2002: Computergrafik, [http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2002/skript/node30.html http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2002/skript/node30.html] 11.03.2012 

J. Frank, Informatik, [http://www.wvs.be.schule.de/faecher/informatik/material/grafik/strecke3.html http://www.wvs.be.schule.de/faecher/informatik/material/grafik/strecke3.html] 11.03.2012 

Markus Grodd, Der Bresenham-Algorithmus, [http://algorithm.name/rasteralgorithmus_1.html http://algorithm.name/rasteralgorithmus_1.html], 11.03.2012

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-11T14:51:28Z

Peterpummel: /* Bresenham-Algortihmus für Geraden */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham Algorihtmus, ist ein Verfahren um Geraden möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist, dadurch entstehen "Lücken" beim Zeichnen. Da unsere Augen nur eine endliche Auflösung verarbeiten können, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das Achtfache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da sich die Rechenoperationen h auf Addition und die Multiplikation mit Zwei beschränken. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.
'''Potenzen:'''
Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet. 

'''Multiplikation mit Zwei''':<br\>
Eine Multiplikation mit Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt wird.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit Zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei, jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m <= 1 ==
Betrachten wir die folgende Problemstellung: Wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B. auf einem Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Der erste Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel (allgemein: einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |d_t|-|d_s|</math>. 
Da wir nur die y-Achsenabweichung der gezeichneten Geraden mit dem Auge wahrnehmen, aber der folgende Zusammenhang besteht, können wir mit den reinen Abständen, die wir aus der Hesseform gewinnen rechnen:

zu zeigen ist: <math> d_s >= d_t \Leftrightarrow s >= t</math> 

es gilt: 
<math> d_s >= d_t \ \ d_s = s \cdot sin (\alpha) \ \ d_t = t \cdot sin (\alpha) </math> 
<math> \Leftrightarrow d_s = s \cdot sin (\alpha) >= t \cdot sin (\alpha) = d_t </math> 
<math> \Leftrightarrow s >= t </math> 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Nun gehen wir nicht mehr von dem ersten Punkt (Ursprung) <math> O= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> aus, sondern von einem allgemeinen Punkt <math> P = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} </math>, dementsprechend lautet dann der Punkt
<math> T = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y \end{pmatrix} </math> und der Punkt <math> S = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y + 1 \end{pmatrix} </math>

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'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Abschnitt Hesseform gesehen haben, kommt es bei dem Vorzeichen der Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit: 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x + 1 + p_x + 1 \\ p_y + p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot p_x + 2 \\ 2 \cdot p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math> 

Nun entscheidet das Vorzeichen von <math> d </math> welcher Punkt angesteuert wird: 
Für <math> d >= 0 </math> der Punkt <math> S </math> 
Für <math> d < 0 </math> der Punkt <math> T </math> 

==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 ==
Wir wollen nun den Fall für Geraden betrachten deren Steigung größer ist als Eins. Die Vorausetzungen seien wie in dem Fall für die Steigung kleiner Eins. Im Fall der Steigung kleiner gleich Eins musste die Stiftposition bei jedem Zeichenschritt in x-Achsenrichtung inkrementiert werden und es wurde anhand einer Gleichung entschieden ob wir auch in y-Richtung inkrementieren müssen. Im Falle der Steigung größer Eins ist es nun genau umgekehrt, wir müssen bei jedem Zeichenschritt in y-Richtung inkrementieren und an Hand der Abstandsgleichung entscheiden ob wir dies auch in x-Richtung tun müssen. 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

 

Wir betrachten wieder die Differenz der Abstände: 
<math> |s| - |t| = s + t </math> 
<math>=\vec{n_n} \cdot (\vec{s} - \vec{t}) ) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} (x_i) + (x_i + 1) \\ (y_i + 1) + (y_i + 1) \end{pmatrix} </math> 
<math>= n_x \cdot 2 \cdot x_i + n_x + 2 \cdot n_y \cdot y_i + 2 \cdot n_y =: d</math> 
Auch hier entscheidet nun wieder die Differenz <math> d </math> welcher Punkt angesteuert werden soll. 

Für <math> d >= 0 </math> wird der Punkt <math>T</math> angesteuert. 
Für <math> d < 0 </math> wird der Punkt <math>S</math> angesteuert. 

== Zusammenfassung ==

=Literaturnachweise=

Olaf Müller, Ralf Kunze, Vorlesungskript SS 2002: Computergrafik, [http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2002/skript/node30.html http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2002/skript/node30.html] 11.03.2012 

J. Frank, Informatik, [http://www.wvs.be.schule.de/faecher/informatik/material/grafik/strecke3.html http://www.wvs.be.schule.de/faecher/informatik/material/grafik/strecke3.html] 11.03.2012 

Markus Grodd, Der Bresenham-Algorithmus, [http://algorithm.name/rasteralgorithmus_1.html http://algorithm.name/rasteralgorithmus_1.html], 11.03.2012

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-11T14:50:47Z

Peterpummel: /* Algorithmus für Gerade mit der Steigung m <= 1 */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham Algorihtmus, ist ein Verfahren um Geraden möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist, dadurch entstehen "Lücken" beim Zeichnen. Da unsere Augen nur eine endliche Auflösung verarbeiten können, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das Achtfache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da sich die Rechenoperationen h auf Addition und die Multiplikation mit Zwei beschränken. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.
'''Potenzen:'''
Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet. 

'''Multiplikation mit Zwei''':<br\>
Eine Multiplikation mit Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt wird.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit Zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei, jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m <= 1 ==
Betrachten wir die folgende Problemstellung: Wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B. auf einem Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Der erste Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel (allgemein: einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |d_t|-|d_s|</math>. 
Da wir nur die y-Achsenabweichung der gezeichneten Geraden mit dem Auge wahrnehmen, aber der folgende Zusammenhang besteht, können wir mit den reinen Abständen, die wir aus der Hesseform gewinnen rechnen:

zu zeigen ist: <math> d_s >= d_t \Leftrightarrow s >= t</math> 

es gilt: 
<math> d_s >= d_t \ \ d_s = s \cdot sin (\alpha) \ \ d_t = t \cdot sin (\alpha) </math> 
<math> \Leftrightarrow d_s = s \cdot sin (\alpha) >= t \cdot sin (\alpha) = d_t </math> 
<math> \Leftrightarrow s >= t </math> 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Nun gehen wir nicht mehr von dem ersten Punkt (Ursprung) <math> O= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> aus, sondern von einem allgemeinen Punkt <math> P = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} </math>, dementsprechend lautet dann der Punkt
<math> T = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y \end{pmatrix} </math> und der Punkt <math> S = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y + 1 \end{pmatrix} </math>

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'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Abschnitt Hesseform gesehen haben, kommt es bei dem Vorzeichen der Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit: 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x + 1 + p_x + 1 \\ p_y + p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot p_x + 2 \\ 2 \cdot p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math> 

Nun entscheidet das Vorzeichen von <math> d </math> welcher Punkt angesteuert wird: 
Für <math> d >= 0 </math> der Punkt <math> S </math> 
Für <math> d < 0 </math> der Punkt <math> T </math> 

==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 ==
Wir wollen nun den Fall für Geraden betrachten deren Steigung größer ist als Eins. Die Vorausetzungen seien wie in dem Fall für die Steigung kleiner Eins. Im Fall der Steigung kleiner gleich Eins musste die Stiftposition bei jedem Zeichenschritt in x-Achsenrichtung inkrementiert werden und es wurde anhand einer Gleichung entschieden ob wir auch in y-Richtung inkrementieren müssen. Im Falle der Steigung größer Eins ist es nun genau umgekehrt, wir müssen bei jedem Zeichenschritt in y-Richtung inkrementieren und an Hand der Abstandsgleichung entscheiden ob wir dies auch in x-Richtung tun müssen. 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

 

Wir betrachten wieder die Differenz der Abstände: 
<math> |s| - |t| = s + t </math> 
<math>=\vec{n_n} \cdot (\vec{s} - \vec{t}) ) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} (x_i) + (x_i + 1) \\ (y_i + 1) + (y_i + 1) \end{pmatrix} </math> 
<math>= n_x \cdot 2 \cdot x_i + n_x + 2 \cdot n_y \cdot y_i + 2 \cdot n_y =: d</math> 
Auch hier entscheidet nun wieder die Differenz <math> d </math> welcher Punkt angesteuert werden soll. 

Für <math> d >= 0 </math> wird der Punkt <math>T</math> angesteuert. 
Für <math> d < 0 </math> wird der Punkt <math>S</math> angesteuert. 

=Literaturnachweise=

Olaf Müller, Ralf Kunze, Vorlesungskript SS 2002: Computergrafik, [http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2002/skript/node30.html http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2002/skript/node30.html] 11.03.2012 

J. Frank, Informatik, [http://www.wvs.be.schule.de/faecher/informatik/material/grafik/strecke3.html http://www.wvs.be.schule.de/faecher/informatik/material/grafik/strecke3.html] 11.03.2012 

Markus Grodd, Der Bresenham-Algorithmus, [http://algorithm.name/rasteralgorithmus_1.html http://algorithm.name/rasteralgorithmus_1.html], 11.03.2012

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-11T14:46:40Z

Peterpummel: /* Effektivität des Algorithmus */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham Algorihtmus, ist ein Verfahren um Geraden möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist, dadurch entstehen "Lücken" beim Zeichnen. Da unsere Augen nur eine endliche Auflösung verarbeiten können, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das Achtfache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da sich die Rechenoperationen h auf Addition und die Multiplikation mit Zwei beschränken. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.
'''Potenzen:'''
Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet. 

'''Multiplikation mit Zwei''':<br\>
Eine Multiplikation mit Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt wird.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit Zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei, jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m <= 1 ==
Wir wollen uns nun mit der folgenden Problemstellung beschäftigen, wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B. Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Den ersten Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel (allgemein: einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |d_t|-|d_s|</math>. 
Da wir nur die y-Achsenabweichung der gezeichneten Geraden mit dem Auge wahrnehmen, aber der folgende Zusammenhang besteht, können wir mit den reinen Abständen, die wir aus der Hesseform gewinnen rechnen:

zu zeigen ist: <math> d_s >= d_t \Leftrightarrow s >= t</math> 

es gilt: 
<math> d_s >= d_t \ \ d_s = s \cdot sin (\alpha) \ \ d_t = t \cdot sin (\alpha) </math> 
<math> \Leftrightarrow d_s = s \cdot sin (\alpha) >= t \cdot sin (\alpha) = d_t </math> 
<math> \Leftrightarrow s >= t </math> 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Nun gehen wir nicht mehr von dem ersten Punkt (Ursprung) <math> O= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> aus, sondern von einem allgemeinen Punkt <math> P = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} </math>, dementsprechend lautet dann der Punkt
<math> T = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y \end{pmatrix} </math> und der Punkt <math> S = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y + 1 \end{pmatrix} </math>

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'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Punkt Hesseform gesehen haben, kommt es bei dem Vorzeichen der Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt hat, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit: 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x + 1 + p_x + 1 \\ p_y + p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot p_x + 2 \\ 2 \cdot p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math> 

Nun entscheidet das Vorzeichen von <math> d </math> welcher Punkt angesteuert wird: 
Für <math> d >= 0 </math> der Punkt <math> S </math> 
Für <math> d < 0 </math> der Punkt <math> T </math> 

==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 ==
Wir wollen nun den Fall für Geraden betrachten deren Steigung größer ist als Eins. Die Vorausetzungen seien wie in dem Fall für die Steigung kleiner Eins. Im Fall der Steigung kleiner gleich Eins musste die Stiftposition bei jedem Zeichenschritt in x-Achsenrichtung inkrementiert werden und es wurde anhand einer Gleichung entschieden ob wir auch in y-Richtung inkrementieren müssen. Im Falle der Steigung größer Eins ist es nun genau umgekehrt, wir müssen bei jedem Zeichenschritt in y-Richtung inkrementieren und an Hand der Abstandsgleichung entscheiden ob wir dies auch in x-Richtung tun müssen. 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

 

Wir betrachten wieder die Differenz der Abstände: 
<math> |s| - |t| = s + t </math> 
<math>=\vec{n_n} \cdot (\vec{s} - \vec{t}) ) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} (x_i) + (x_i + 1) \\ (y_i + 1) + (y_i + 1) \end{pmatrix} </math> 
<math>= n_x \cdot 2 \cdot x_i + n_x + 2 \cdot n_y \cdot y_i + 2 \cdot n_y =: d</math> 
Auch hier entscheidet nun wieder die Differenz <math> d </math> welcher Punkt angesteuert werden soll. 

Für <math> d >= 0 </math> wird der Punkt <math>T</math> angesteuert. 
Für <math> d < 0 </math> wird der Punkt <math>S</math> angesteuert. 

=Literaturnachweise=

Olaf Müller, Ralf Kunze, Vorlesungskript SS 2002: Computergrafik, [http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2002/skript/node30.html http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2002/skript/node30.html] 11.03.2012 

J. Frank, Informatik, [http://www.wvs.be.schule.de/faecher/informatik/material/grafik/strecke3.html http://www.wvs.be.schule.de/faecher/informatik/material/grafik/strecke3.html] 11.03.2012 

Markus Grodd, Der Bresenham-Algorithmus, [http://algorithm.name/rasteralgorithmus_1.html http://algorithm.name/rasteralgorithmus_1.html], 11.03.2012

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-11T14:43:52Z

Peterpummel: /* Motivation des Algorithmus */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham Algorihtmus, ist ein Verfahren um Geraden möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist, dadurch entstehen "Lücken" beim Zeichnen. Da unsere Augen nur eine endliche Auflösung verarbeiten können, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das Achtfache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da die Rechenoperationen sich auf Addition und die Multiplikation mit der Zwei beschränken lässt. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.
'''Potenzen:'''
Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet. 

'''Multiplikation mit Zwei''':<br\>
Eine Multiplikation mit Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt werden kann.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m <= 1 ==
Wir wollen uns nun mit der folgenden Problemstellung beschäftigen, wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B. Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Den ersten Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel (allgemein: einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |d_t|-|d_s|</math>. 
Da wir nur die y-Achsenabweichung der gezeichneten Geraden mit dem Auge wahrnehmen, aber der folgende Zusammenhang besteht, können wir mit den reinen Abständen, die wir aus der Hesseform gewinnen rechnen:

zu zeigen ist: <math> d_s >= d_t \Leftrightarrow s >= t</math> 

es gilt: 
<math> d_s >= d_t \ \ d_s = s \cdot sin (\alpha) \ \ d_t = t \cdot sin (\alpha) </math> 
<math> \Leftrightarrow d_s = s \cdot sin (\alpha) >= t \cdot sin (\alpha) = d_t </math> 
<math> \Leftrightarrow s >= t </math> 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Nun gehen wir nicht mehr von dem ersten Punkt (Ursprung) <math> O= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> aus, sondern von einem allgemeinen Punkt <math> P = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} </math>, dementsprechend lautet dann der Punkt
<math> T = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y \end{pmatrix} </math> und der Punkt <math> S = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y + 1 \end{pmatrix} </math>

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'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Punkt Hesseform gesehen haben, kommt es bei dem Vorzeichen der Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt hat, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit: 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x + 1 + p_x + 1 \\ p_y + p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot p_x + 2 \\ 2 \cdot p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math> 

Nun entscheidet das Vorzeichen von <math> d </math> welcher Punkt angesteuert wird: 
Für <math> d >= 0 </math> der Punkt <math> S </math> 
Für <math> d < 0 </math> der Punkt <math> T </math> 

==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 ==
Wir wollen nun den Fall für Geraden betrachten deren Steigung größer ist als Eins. Die Vorausetzungen seien wie in dem Fall für die Steigung kleiner Eins. Im Fall der Steigung kleiner gleich Eins musste die Stiftposition bei jedem Zeichenschritt in x-Achsenrichtung inkrementiert werden und es wurde anhand einer Gleichung entschieden ob wir auch in y-Richtung inkrementieren müssen. Im Falle der Steigung größer Eins ist es nun genau umgekehrt, wir müssen bei jedem Zeichenschritt in y-Richtung inkrementieren und an Hand der Abstandsgleichung entscheiden ob wir dies auch in x-Richtung tun müssen. 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

 

Wir betrachten wieder die Differenz der Abstände: 
<math> |s| - |t| = s + t </math> 
<math>=\vec{n_n} \cdot (\vec{s} - \vec{t}) ) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} (x_i) + (x_i + 1) \\ (y_i + 1) + (y_i + 1) \end{pmatrix} </math> 
<math>= n_x \cdot 2 \cdot x_i + n_x + 2 \cdot n_y \cdot y_i + 2 \cdot n_y =: d</math> 
Auch hier entscheidet nun wieder die Differenz <math> d </math> welcher Punkt angesteuert werden soll. 

Für <math> d >= 0 </math> wird der Punkt <math>T</math> angesteuert. 
Für <math> d < 0 </math> wird der Punkt <math>S</math> angesteuert. 

=Literaturnachweise=

Olaf Müller, Ralf Kunze, Vorlesungskript SS 2002: Computergrafik, [http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2002/skript/node30.html http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2002/skript/node30.html] 11.03.2012 

J. Frank, Informatik, [http://www.wvs.be.schule.de/faecher/informatik/material/grafik/strecke3.html http://www.wvs.be.schule.de/faecher/informatik/material/grafik/strecke3.html] 11.03.2012 

Markus Grodd, Der Bresenham-Algorithmus, [http://algorithm.name/rasteralgorithmus_1.html http://algorithm.name/rasteralgorithmus_1.html], 11.03.2012

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-11T14:42:31Z

Peterpummel: /* Literaturnachweise */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham Algorihtmus, ist ein Verfahren um Geraden möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist, dadurch entstehen "Lücken" beim zeichnen. Da unser Auge nur eine endliche Auflösung verarbeiten kann, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das Achtfache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da die Rechenoperationen sich auf Addition und die Multiplikation mit der Zwei beschränken lässt. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.
'''Potenzen:'''
Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet. 

'''Multiplikation mit Zwei''':<br\>
Eine Multiplikation mit Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt werden kann.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m <= 1 ==
Wir wollen uns nun mit der folgenden Problemstellung beschäftigen, wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B. Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Den ersten Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel (allgemein: einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |d_t|-|d_s|</math>. 
Da wir nur die y-Achsenabweichung der gezeichneten Geraden mit dem Auge wahrnehmen, aber der folgende Zusammenhang besteht, können wir mit den reinen Abständen, die wir aus der Hesseform gewinnen rechnen:

zu zeigen ist: <math> d_s >= d_t \Leftrightarrow s >= t</math> 

es gilt: 
<math> d_s >= d_t \ \ d_s = s \cdot sin (\alpha) \ \ d_t = t \cdot sin (\alpha) </math> 
<math> \Leftrightarrow d_s = s \cdot sin (\alpha) >= t \cdot sin (\alpha) = d_t </math> 
<math> \Leftrightarrow s >= t </math> 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Nun gehen wir nicht mehr von dem ersten Punkt (Ursprung) <math> O= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> aus, sondern von einem allgemeinen Punkt <math> P = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} </math>, dementsprechend lautet dann der Punkt
<math> T = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y \end{pmatrix} </math> und der Punkt <math> S = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y + 1 \end{pmatrix} </math>

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'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Punkt Hesseform gesehen haben, kommt es bei dem Vorzeichen der Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt hat, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit: 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x + 1 + p_x + 1 \\ p_y + p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot p_x + 2 \\ 2 \cdot p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math> 

Nun entscheidet das Vorzeichen von <math> d </math> welcher Punkt angesteuert wird: 
Für <math> d >= 0 </math> der Punkt <math> S </math> 
Für <math> d < 0 </math> der Punkt <math> T </math> 

==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 ==
Wir wollen nun den Fall für Geraden betrachten deren Steigung größer ist als Eins. Die Vorausetzungen seien wie in dem Fall für die Steigung kleiner Eins. Im Fall der Steigung kleiner gleich Eins musste die Stiftposition bei jedem Zeichenschritt in x-Achsenrichtung inkrementiert werden und es wurde anhand einer Gleichung entschieden ob wir auch in y-Richtung inkrementieren müssen. Im Falle der Steigung größer Eins ist es nun genau umgekehrt, wir müssen bei jedem Zeichenschritt in y-Richtung inkrementieren und an Hand der Abstandsgleichung entscheiden ob wir dies auch in x-Richtung tun müssen. 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="UEsDBBQACAgIANN7a0IAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgICADTe2tCAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbN1b23LbuBm+zj4FRhed7dSmcT6kcnaSbdNNaseZddrZ9iZDSZDENUVqScqHTB6nL9B9hd73mfoDIHW0vKbtOK4msUGAOP3ffwbo7neXkxSd26JM8uywQyLcQTbr54MkGx12ZtVwX3e+e/FNd2Tzke0VMRrmxSSuDjs8op3FOKhFhLnByQBm6ffskBKyL+Oe2Ocxifd7Q4z3BbNqCD9ccdJB6LJMnmf5u3hiy2nct6f9sZ3ER3k/rvyc46qaPj84uLi4iJrVo7wYHYxGveiyHHQQ7DwrDzv1w3OYbmXQBfPdKcbk4KfjozD9fpKVVZz1bQc5qmbJi2+edS+SbJBfoItkUI1h91SZDhrbZDQGOo0Gog5crykQO7X9Kjm3JYxdqnqiq8m047vFmXv/LDyhdE5PBw2S82Rgi8MOjihTUgtpiOFSM8Z1B+VFYrOq7kzqRQ+a6brnib0I87onvyTHRgETkjLppfawM4zTEuhKsmEBmMKOihlUy+oqtb24aOqLDZE9+Acdkk/WzQV0BiAOO9TgPUrEnsJ4T4gagOWFO6jK89TPipEw6PNnRDHFaM8VJBQUCinDKxzaMAsFDQUPhQh9eBjOQ1ce+vDQh7Mb6KzrC0LrhhVKGzrZMp0E6HM/En48AGt06iU6iSPiMyJu975gyO2b+P27gtdVGarKFwSHgtQvtfvl8ZL3pIjdiSKytGqQh+2LbshLsyKhcmlJxkFYzPYlaRtC19dcopIvlhQgm15GxRYq7wnunFAulhYFXXD//c/GkuxeZC5WFPi2K0p+H92/w4IKr6h9o/OhJHV5EwwPtqnuQWMNu/WGUDl2fWuRruykdFtkxhsnRJAA5ZUKbIlAxEChnBJTRATiAqpEI+lKhZjTW44Y0sj1Iwx5EyQ0/OJepyUSMJdrVEG5EeNIMES84eIIUEDe+AEmlEEPIZCAQW514pZlEnEJFaYRhw06s6ecaWEwDuqwOEWMIObGEoWoRJIi5Uwn4c6iSu32DpNSJDGSbijYTrCbwWbCCI2Yowa0YJqXyRzcsU2nc654HJNsOqtq7Or2/mTQ4Fjla90Hef/s1RrYNi6r5hk6gcdaOMbgwVb85rNuGvdsCuHFqZMDhM7j1Km5n3+YZxWaG5nQNiri6Tjpl6e2qmBUiX6Oz+OjuLKXr6F32WzQL+39edfO+mkySOLs7yAkbgo3IVq4d2e8GveuRb1MP8+LwelVCaKDLv9pixwMFxaRVBQzhiU3WDJQuKvwSjMaCamYEYRwKkHoy36ceslVkVKUY0GMIuDgYcj1r5TmYWV7PictvrRzgtCocEq3VHlTvsrTRdM0T7Lq+3hazQofrIGpLBxRL7NRaj243vZC2NM/6+WXpwFVFub6cDWFGg476I2+z9O8QKCSVIDFG9VlL5S+j9vavBf2fbDvgRs2JYP5e2Ko7+HLXih9L+B72FpNKmnIJLhZJim9sYHJV8TSS40LomZZUh01lSrpn9WkkjDg3WzSA4GrJXJ1TvJQc3YP1mSse2aLzKZBkDJg5iyflUG05+L5rDsr7fu4Gr/MBj/aESjl+9jZxQqmDl0XWx7YfjKBgaG9Bi92jP0bbDW0DuyosA2JqY+PA7T+LV4W641mP9XrIp+8yc4/gNSsbbV70NDTLftFMnXSiXpgqM/sQv4GSRmDmR8sjwPiS6Ci70wOAFk5EDsonlXjvPARMOgtOBL09j//yjJbgKkEgXQqezktbOlyiYYpH+xlBfDDi8PO736Z5dUf36Nvf/qY7KF/fEx+H1r8kja1E4ibUeUlGsxC1Vmdw1sA4CLKez+DGZq7ndBniT3wfouEozidjmMXt9f4pfEV7H4ZUT/dcT5YxdkbtNIWyXDu/UANj4GlLleaG7rgE+ejIEMpqvdOvSFJ8kkZRD8SlIhRITVxOnzlp1DCELAkVFNFXHz0KWRwQUIDLlvBpSvgni7ARX9ApAXA9MkA3ERZ7RGGZcHIK0g6GBaKMC2Mh5gDxFRpKSDOkYYa0g5itgLxBw+xQ/cuMLMdgJlFmHJwmBC+Y0iboGhQ5gZEWAimDBGabkV5BSLv/+b0v7w/Pt7n3RWhOAOD7c0ehBDT4Dqm1gavEzYMD1OYzjvrpe14E13Wit4AsgzBs64n1TnwlWgptK7Z9tvi9WoH8KKRYQIEihnGNcFSN+gRpqRhUivBIUb74lh+vwNYikeUvT/tAF64xgtH4mHwutaD8BUPcoK+xXu4hdPgO+A0YFlqGIW0jQkmCCfMpVseeSrBlRCtteSYcGXaeWexgu3gY3l7XMXdcG2SqyeCLIkIpLgac80UddFlYz+pJi7soYwzSahuB6tcg7W6PazyPuLaZKxfHVYaQZSuCDeCEkkUNtLDyiKpBcecQ3ApGePbY8kbLOefd8ByNlGOfARP83oH8GKPiNdfdgAv8Yh4/bADeDXyRR8BrzebeK2exS2OwJ4yXtIIIYxzmRgzE7JYFUESAm4UY60huTUPk3b088kkzgYo8xcoR0lmPYLh3D7GLpZGMXHABtBmVfMiDlPVE2zwxZ3EzlGPv2qcuIB2X0Z6HcSr6xEHbPdJJBhXShnwqERgYlS9zPyUuRon/bMMghR/FF7Vh97+4YdkMLD+XsSPsb9kYUjt25PJNE36SdWaIS8DQ15tMKTXgiG939KTR+MIXsumtZRB3slm8u14oiIXOioJkSUBpjH22Cx5k7kDdYBsjS+9wJd4gy9vb+bLqgF7e0fGOHhGoeiF4v68oThSAkPozowhggoV4ndBI4MJFhDZUwqBfH0uzCIKuZIQFJgIT0w+oF06tSPXfr0mvN1AvH8z4mU9WwNp/ytnW6vagDnYJWEUU9pQzGptwJFQWIKmcEIVwxD4B3WAZEBpMFhMKkUY4fwGdeA3qwMAmDq3NBdwcGObd0xn1k7d5d5J9qGIs9J9rrV6udSWi2+32bNBOy4OvnJyt8ZFA4mZY4kSmmhaOxoSMcmVUVJQijVYsNqoiYhzwzWGRJkLybR+Uly8yV79dQcCVPLAAeqq1J8U1Tgf5Vmcbnfmm07DtnDm9sk48y2h63Vh1yf3yVXEJeWMGME5gwf52L78Rt682sabYQveDP9feSMjbpztgsiLaqrNTY7lUeMsu40tR23irKMnFGdpCKiMkJwqSgWX9fEzhF0RKAUHbjFBlcHKM0ZIaMXUuRamlMbsAU3VNsiH2yA/bgP58ROCnGDI7cAFKwxxLeaC1ZgLHknh7o8h7TO0vin+kpBfHxPVpud4A/Bxu5ho/JRiIkgllHJXLVwLbOqICHJswqiGoEhr7i4LZMBcRhhCJwKGSkqIbfE90ryvFNfWrv1og4ejdjwcPZnsBEOGR6mR4A4g74NEj8g6N4GUD7gEOQukiUq7j+lDbuLSds4VKBqFvJ7cw4d8ibD22usltXK91OLOTu3KnR0Rxn09A6m/Ac9TH5BBsgLclYZgykjLGzu9AmmL+zq9I/d1jFLQD4ElU4SAMtTXoNCsiYL4l3ChNdsG6qqx8fOumZpNx/yujWN+d7dDc0KD5PryKeRx1EW4khkM1gkQ5Tw4dQEirZghXGItwB49zPcUd+HKSRuunOwIV5yDN1iC0wcHoJhQzZE7J9R5B+HOuQz/AkzxH6pvi6xQTGs1WWHRf/99M4/8h81zFkBvNx42M6u3RNw5nQIppFIZro2sc9o7GjGCN/0CuSUPm35tvG3zJXjRXwK/EYY0zS9+tMPUXnpkbxseXceGeXDk2XCyyYZfW7Hh199ig+B3ZMN29/z02XCTdXm/A+d24oHP7Q6W/7rA/7lP/WfBL/4HUEsHCLkXsPkhCwAAxjwAAFBLAQIUABQACAgIANN7a0JFzN5dGgAAABgAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAICAgA03trQrkXsPkhCwAAxjwAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXgAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAAC5CwAAAAA=" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

 

Wir betrachten wieder die Differenz der Abstände: 
<math> |s| - |t| = s + t </math> 
<math>=\vec{n_n} \cdot (\vec{s} - \vec{t}) ) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} (x_i) + (x_i + 1) \\ (y_i + 1) + (y_i + 1) \end{pmatrix} </math> 
<math>= n_x \cdot 2 \cdot x_i + n_x + 2 \cdot n_y \cdot y_i + 2 \cdot n_y =: d</math> 
Auch hier entscheidet nun wieder die Differenz <math> d </math> welcher Punkt angesteuert werden soll. 

Für <math> d >= 0 </math> wird der Punkt <math>T</math> angesteuert. 
Für <math> d < 0 </math> wird der Punkt <math>S</math> angesteuert. 

=Literaturnachweise=

Olaf Müller, Ralf Kunze, Vorlesungskript SS 2002: Computergrafik, [http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2002/skript/node30.html http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2002/skript/node30.html] 11.03.2012 

J. Frank, Informatik, [http://www.wvs.be.schule.de/faecher/informatik/material/grafik/strecke3.html http://www.wvs.be.schule.de/faecher/informatik/material/grafik/strecke3.html] 11.03.2012 

Markus Grodd, Der Bresenham-Algorithmus, [http://algorithm.name/rasteralgorithmus_1.html http://algorithm.name/rasteralgorithmus_1.html], 11.03.2012

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-11T14:35:40Z

Peterpummel: /* Literaturnachweise */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham Algorihtmus, ist ein Verfahren um Geraden möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist, dadurch entstehen "Lücken" beim zeichnen. Da unser Auge nur eine endliche Auflösung verarbeiten kann, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das Achtfache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da die Rechenoperationen sich auf Addition und die Multiplikation mit der Zwei beschränken lässt. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.
'''Potenzen:'''
Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet. 

'''Multiplikation mit Zwei''':<br\>
Eine Multiplikation mit Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt werden kann.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m <= 1 ==
Wir wollen uns nun mit der folgenden Problemstellung beschäftigen, wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B. Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Den ersten Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel (allgemein: einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |d_t|-|d_s|</math>. 
Da wir nur die y-Achsenabweichung der gezeichneten Geraden mit dem Auge wahrnehmen, aber der folgende Zusammenhang besteht, können wir mit den reinen Abständen, die wir aus der Hesseform gewinnen rechnen:

zu zeigen ist: <math> d_s >= d_t \Leftrightarrow s >= t</math> 

es gilt: 
<math> d_s >= d_t \ \ d_s = s \cdot sin (\alpha) \ \ d_t = t \cdot sin (\alpha) </math> 
<math> \Leftrightarrow d_s = s \cdot sin (\alpha) >= t \cdot sin (\alpha) = d_t </math> 
<math> \Leftrightarrow s >= t </math> 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Nun gehen wir nicht mehr von dem ersten Punkt (Ursprung) <math> O= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> aus, sondern von einem allgemeinen Punkt <math> P = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} </math>, dementsprechend lautet dann der Punkt
<math> T = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y \end{pmatrix} </math> und der Punkt <math> S = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y + 1 \end{pmatrix} </math>

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'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Punkt Hesseform gesehen haben, kommt es bei dem Vorzeichen der Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt hat, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit: 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x + 1 + p_x + 1 \\ p_y + p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot p_x + 2 \\ 2 \cdot p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math> 

Nun entscheidet das Vorzeichen von <math> d </math> welcher Punkt angesteuert wird: 
Für <math> d >= 0 </math> der Punkt <math> S </math> 
Für <math> d < 0 </math> der Punkt <math> T </math> 

==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 ==
Wir wollen nun den Fall für Geraden betrachten deren Steigung größer ist als Eins. Die Vorausetzungen seien wie in dem Fall für die Steigung kleiner Eins. Im Fall der Steigung kleiner gleich Eins musste die Stiftposition bei jedem Zeichenschritt in x-Achsenrichtung inkrementiert werden und es wurde anhand einer Gleichung entschieden ob wir auch in y-Richtung inkrementieren müssen. Im Falle der Steigung größer Eins ist es nun genau umgekehrt, wir müssen bei jedem Zeichenschritt in y-Richtung inkrementieren und an Hand der Abstandsgleichung entscheiden ob wir dies auch in x-Richtung tun müssen. 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="UEsDBBQACAgIANN7a0IAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgICADTe2tCAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbN1b23LbuBm+zj4FRhed7dSmcT6kcnaSbdNNaseZddrZ9iZDSZDENUVqScqHTB6nL9B9hd73mfoDIHW0vKbtOK4msUGAOP3ffwbo7neXkxSd26JM8uywQyLcQTbr54MkGx12ZtVwX3e+e/FNd2Tzke0VMRrmxSSuDjs8op3FOKhFhLnByQBm6ffskBKyL+Oe2Ocxifd7Q4z3BbNqCD9ccdJB6LJMnmf5u3hiy2nct6f9sZ3ER3k/rvyc46qaPj84uLi4iJrVo7wYHYxGveiyHHQQ7DwrDzv1w3OYbmXQBfPdKcbk4KfjozD9fpKVVZz1bQc5qmbJi2+edS+SbJBfoItkUI1h91SZDhrbZDQGOo0Gog5crykQO7X9Kjm3JYxdqnqiq8m047vFmXv/LDyhdE5PBw2S82Rgi8MOjihTUgtpiOFSM8Z1B+VFYrOq7kzqRQ+a6brnib0I87onvyTHRgETkjLppfawM4zTEuhKsmEBmMKOihlUy+oqtb24aOqLDZE9+Acdkk/WzQV0BiAOO9TgPUrEnsJ4T4gagOWFO6jK89TPipEw6PNnRDHFaM8VJBQUCinDKxzaMAsFDQUPhQh9eBjOQ1ce+vDQh7Mb6KzrC0LrhhVKGzrZMp0E6HM/En48AGt06iU6iSPiMyJu975gyO2b+P27gtdVGarKFwSHgtQvtfvl8ZL3pIjdiSKytGqQh+2LbshLsyKhcmlJxkFYzPYlaRtC19dcopIvlhQgm15GxRYq7wnunFAulhYFXXD//c/GkuxeZC5WFPi2K0p+H92/w4IKr6h9o/OhJHV5EwwPtqnuQWMNu/WGUDl2fWuRruykdFtkxhsnRJAA5ZUKbIlAxEChnBJTRATiAqpEI+lKhZjTW44Y0sj1Iwx5EyQ0/OJepyUSMJdrVEG5EeNIMES84eIIUEDe+AEmlEEPIZCAQW514pZlEnEJFaYRhw06s6ecaWEwDuqwOEWMIObGEoWoRJIi5Uwn4c6iSu32DpNSJDGSbijYTrCbwWbCCI2Yowa0YJqXyRzcsU2nc654HJNsOqtq7Or2/mTQ4Fjla90Hef/s1RrYNi6r5hk6gcdaOMbgwVb85rNuGvdsCuHFqZMDhM7j1Km5n3+YZxWaG5nQNiri6Tjpl6e2qmBUiX6Oz+OjuLKXr6F32WzQL+39edfO+mkySOLs7yAkbgo3IVq4d2e8GveuRb1MP8+LwelVCaKDLv9pixwMFxaRVBQzhiU3WDJQuKvwSjMaCamYEYRwKkHoy36ceslVkVKUY0GMIuDgYcj1r5TmYWV7PictvrRzgtCocEq3VHlTvsrTRdM0T7Lq+3hazQofrIGpLBxRL7NRaj243vZC2NM/6+WXpwFVFub6cDWFGg476I2+z9O8QKCSVIDFG9VlL5S+j9vavBf2fbDvgRs2JYP5e2Ko7+HLXih9L+B72FpNKmnIJLhZJim9sYHJV8TSS40LomZZUh01lSrpn9WkkjDg3WzSA4GrJXJ1TvJQc3YP1mSse2aLzKZBkDJg5iyflUG05+L5rDsr7fu4Gr/MBj/aESjl+9jZxQqmDl0XWx7YfjKBgaG9Bi92jP0bbDW0DuyosA2JqY+PA7T+LV4W641mP9XrIp+8yc4/gNSsbbV70NDTLftFMnXSiXpgqM/sQv4GSRmDmR8sjwPiS6Ci70wOAFk5EDsonlXjvPARMOgtOBL09j//yjJbgKkEgXQqezktbOlyiYYpH+xlBfDDi8PO736Z5dUf36Nvf/qY7KF/fEx+H1r8kja1E4ibUeUlGsxC1Vmdw1sA4CLKez+DGZq7ndBniT3wfouEozidjmMXt9f4pfEV7H4ZUT/dcT5YxdkbtNIWyXDu/UANj4GlLleaG7rgE+ejIEMpqvdOvSFJ8kkZRD8SlIhRITVxOnzlp1DCELAkVFNFXHz0KWRwQUIDLlvBpSvgni7ARX9ApAXA9MkA3ERZ7RGGZcHIK0g6GBaKMC2Mh5gDxFRpKSDOkYYa0g5itgLxBw+xQ/cuMLMdgJlFmHJwmBC+Y0iboGhQ5gZEWAimDBGabkV5BSLv/+b0v7w/Pt7n3RWhOAOD7c0ehBDT4Dqm1gavEzYMD1OYzjvrpe14E13Wit4AsgzBs64n1TnwlWgptK7Z9tvi9WoH8KKRYQIEihnGNcFSN+gRpqRhUivBIUb74lh+vwNYikeUvT/tAF64xgtH4mHwutaD8BUPcoK+xXu4hdPgO+A0YFlqGIW0jQkmCCfMpVseeSrBlRCtteSYcGXaeWexgu3gY3l7XMXdcG2SqyeCLIkIpLgac80UddFlYz+pJi7soYwzSahuB6tcg7W6PazyPuLaZKxfHVYaQZSuCDeCEkkUNtLDyiKpBcecQ3ApGePbY8kbLOefd8ByNlGOfARP83oH8GKPiNdfdgAv8Yh4/bADeDXyRR8BrzebeK2exS2OwJ4yXtIIIYxzmRgzE7JYFUESAm4UY60huTUPk3b088kkzgYo8xcoR0lmPYLh3D7GLpZGMXHABtBmVfMiDlPVE2zwxZ3EzlGPv2qcuIB2X0Z6HcSr6xEHbPdJJBhXShnwqERgYlS9zPyUuRon/bMMghR/FF7Vh97+4YdkMLD+XsSPsb9kYUjt25PJNE36SdWaIS8DQ15tMKTXgiG939KTR+MIXsumtZRB3slm8u14oiIXOioJkSUBpjH22Cx5k7kDdYBsjS+9wJd4gy9vb+bLqgF7e0fGOHhGoeiF4v68oThSAkPozowhggoV4ndBI4MJFhDZUwqBfH0uzCIKuZIQFJgIT0w+oF06tSPXfr0mvN1AvH8z4mU9WwNp/ytnW6vagDnYJWEUU9pQzGptwJFQWIKmcEIVwxD4B3WAZEBpMFhMKkUY4fwGdeA3qwMAmDq3NBdwcGObd0xn1k7d5d5J9qGIs9J9rrV6udSWi2+32bNBOy4OvnJyt8ZFA4mZY4kSmmhaOxoSMcmVUVJQijVYsNqoiYhzwzWGRJkLybR+Uly8yV79dQcCVPLAAeqq1J8U1Tgf5Vmcbnfmm07DtnDm9sk48y2h63Vh1yf3yVXEJeWMGME5gwf52L78Rt682sabYQveDP9feSMjbpztgsiLaqrNTY7lUeMsu40tR23irKMnFGdpCKiMkJwqSgWX9fEzhF0RKAUHbjFBlcHKM0ZIaMXUuRamlMbsAU3VNsiH2yA/bgP58ROCnGDI7cAFKwxxLeaC1ZgLHknh7o8h7TO0vin+kpBfHxPVpud4A/Bxu5ho/JRiIkgllHJXLVwLbOqICHJswqiGoEhr7i4LZMBcRhhCJwKGSkqIbfE90ryvFNfWrv1og4ejdjwcPZnsBEOGR6mR4A4g74NEj8g6N4GUD7gEOQukiUq7j+lDbuLSds4VKBqFvJ7cw4d8ibD22usltXK91OLOTu3KnR0Rxn09A6m/Ac9TH5BBsgLclYZgykjLGzu9AmmL+zq9I/d1jFLQD4ElU4SAMtTXoNCsiYL4l3ChNdsG6qqx8fOumZpNx/yujWN+d7dDc0KD5PryKeRx1EW4khkM1gkQ5Tw4dQEirZghXGItwB49zPcUd+HKSRuunOwIV5yDN1iC0wcHoJhQzZE7J9R5B+HOuQz/AkzxH6pvi6xQTGs1WWHRf/99M4/8h81zFkBvNx42M6u3RNw5nQIppFIZro2sc9o7GjGCN/0CuSUPm35tvG3zJXjRXwK/EYY0zS9+tMPUXnpkbxseXceGeXDk2XCyyYZfW7Hh199ig+B3ZMN29/z02XCTdXm/A+d24oHP7Q6W/7rA/7lP/WfBL/4HUEsHCLkXsPkhCwAAxjwAAFBLAQIUABQACAgIANN7a0JFzN5dGgAAABgAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAICAgA03trQrkXsPkhCwAAxjwAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXgAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAAC5CwAAAAA=" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

 

Wir betrachten wieder die Differenz der Abstände: 
<math> |s| - |t| = s + t </math> 
<math>=\vec{n_n} \cdot (\vec{s} - \vec{t}) ) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} (x_i) + (x_i + 1) \\ (y_i + 1) + (y_i + 1) \end{pmatrix} </math> 
<math>= n_x \cdot 2 \cdot x_i + n_x + 2 \cdot n_y \cdot y_i + 2 \cdot n_y =: d</math> 
Auch hier entscheidet nun wieder die Differenz <math> d </math> welcher Punkt angesteuert werden soll. 

Für <math> d >= 0 </math> wird der Punkt <math>T</math> angesteuert. 
Für <math> d < 0 </math> wird der Punkt <math>S</math> angesteuert. 

=Literaturnachweise=

[http://algorithm.name/rasteralgorithmus_1.html http://algorithm.name/rasteralgorithmus_1.html] 11.03.2012 
[http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2002/skript/node30.html http://www-lehre.inf.uos.de/~cg/2002/skript/node30.html] 11.03.2012 
[http://www.wvs.be.schule.de/faecher/informatik/material/grafik/strecke3.html http://www.wvs.be.schule.de/faecher/informatik/material/grafik/strecke3.html] 11.03.2012

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-11T14:31:42Z

Peterpummel:

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham Algorihtmus, ist ein Verfahren um Geraden möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist, dadurch entstehen "Lücken" beim zeichnen. Da unser Auge nur eine endliche Auflösung verarbeiten kann, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das Achtfache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da die Rechenoperationen sich auf Addition und die Multiplikation mit der Zwei beschränken lässt. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.
'''Potenzen:'''
Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet. 

'''Multiplikation mit Zwei''':<br\>
Eine Multiplikation mit Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt werden kann.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m <= 1 ==
Wir wollen uns nun mit der folgenden Problemstellung beschäftigen, wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B. Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Den ersten Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel (allgemein: einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |d_t|-|d_s|</math>. 
Da wir nur die y-Achsenabweichung der gezeichneten Geraden mit dem Auge wahrnehmen, aber der folgende Zusammenhang besteht, können wir mit den reinen Abständen, die wir aus der Hesseform gewinnen rechnen:

zu zeigen ist: <math> d_s >= d_t \Leftrightarrow s >= t</math> 

es gilt: 
<math> d_s >= d_t \ \ d_s = s \cdot sin (\alpha) \ \ d_t = t \cdot sin (\alpha) </math> 
<math> \Leftrightarrow d_s = s \cdot sin (\alpha) >= t \cdot sin (\alpha) = d_t </math> 
<math> \Leftrightarrow s >= t </math> 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Nun gehen wir nicht mehr von dem ersten Punkt (Ursprung) <math> O= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> aus, sondern von einem allgemeinen Punkt <math> P = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} </math>, dementsprechend lautet dann der Punkt
<math> T = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y \end{pmatrix} </math> und der Punkt <math> S = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y + 1 \end{pmatrix} </math>

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'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Punkt Hesseform gesehen haben, kommt es bei dem Vorzeichen der Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt hat, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit: 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x + 1 + p_x + 1 \\ p_y + p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot p_x + 2 \\ 2 \cdot p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math> 

Nun entscheidet das Vorzeichen von <math> d </math> welcher Punkt angesteuert wird: 
Für <math> d >= 0 </math> der Punkt <math> S </math> 
Für <math> d < 0 </math> der Punkt <math> T </math> 

==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 ==
Wir wollen nun den Fall für Geraden betrachten deren Steigung größer ist als Eins. Die Vorausetzungen seien wie in dem Fall für die Steigung kleiner Eins. Im Fall der Steigung kleiner gleich Eins musste die Stiftposition bei jedem Zeichenschritt in x-Achsenrichtung inkrementiert werden und es wurde anhand einer Gleichung entschieden ob wir auch in y-Richtung inkrementieren müssen. Im Falle der Steigung größer Eins ist es nun genau umgekehrt, wir müssen bei jedem Zeichenschritt in y-Richtung inkrementieren und an Hand der Abstandsgleichung entscheiden ob wir dies auch in x-Richtung tun müssen. 

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Wir betrachten wieder die Differenz der Abstände: 
<math> |s| - |t| = s + t </math> 
<math>=\vec{n_n} \cdot (\vec{s} - \vec{t}) ) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} (x_i) + (x_i + 1) \\ (y_i + 1) + (y_i + 1) \end{pmatrix} </math> 
<math>= n_x \cdot 2 \cdot x_i + n_x + 2 \cdot n_y \cdot y_i + 2 \cdot n_y =: d</math> 
Auch hier entscheidet nun wieder die Differenz <math> d </math> welcher Punkt angesteuert werden soll. 

Für <math> d >= 0 </math> wird der Punkt <math>T</math> angesteuert. 
Für <math> d < 0 </math> wird der Punkt <math>S</math> angesteuert. 

=Literaturnachweise=

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-11T14:31:08Z

Peterpummel: /* Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham Algorihtmus, ist ein Verfahren um Geraden möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist, dadurch entstehen "Lücken" beim zeichnen. Da unser Auge nur eine endliche Auflösung verarbeiten kann, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das Achtfache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da die Rechenoperationen sich auf Addition und die Multiplikation mit der Zwei beschränken lässt. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.
'''Potenzen:'''
Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet. 

'''Multiplikation mit Zwei''':<br\>
Eine Multiplikation mit Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt werden kann.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m <= 1 ==
Wir wollen uns nun mit der folgenden Problemstellung beschäftigen, wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B. Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Den ersten Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel (allgemein: einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |d_t|-|d_s|</math>. 
Da wir nur die y-Achsenabweichung der gezeichneten Geraden mit dem Auge wahrnehmen, aber der folgende Zusammenhang besteht, können wir mit den reinen Abständen, die wir aus der Hesseform gewinnen rechnen:

zu zeigen ist: <math> d_s >= d_t \Leftrightarrow s >= t</math> 

es gilt: 
<math> d_s >= d_t \ \ d_s = s \cdot sin (\alpha) \ \ d_t = t \cdot sin (\alpha) </math> 
<math> \Leftrightarrow d_s = s \cdot sin (\alpha) >= t \cdot sin (\alpha) = d_t </math> 
<math> \Leftrightarrow s >= t </math> 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Nun gehen wir nicht mehr von dem ersten Punkt (Ursprung) <math> O= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> aus, sondern von einem allgemeinen Punkt <math> P = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} </math>, dementsprechend lautet dann der Punkt
<math> T = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y \end{pmatrix} </math> und der Punkt <math> S = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y + 1 \end{pmatrix} </math>

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Punkt Hesseform gesehen haben, kommt es bei dem Vorzeichen der Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt hat, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit: 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x + 1 + p_x + 1 \\ p_y + p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot p_x + 2 \\ 2 \cdot p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math> 

Nun entscheidet das Vorzeichen von <math> d </math> welcher Punkt angesteuert wird: 
Für <math> d >= 0 </math> der Punkt <math> S </math> 
Für <math> d < 0 </math> der Punkt <math> T </math> 

==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 ==
Wir wollen nun den Fall für Geraden betrachten deren Steigung größer ist als Eins. Die Vorausetzungen seien wie in dem Fall für die Steigung kleiner Eins. Im Fall der Steigung kleiner gleich Eins musste die Stiftposition bei jedem Zeichenschritt in x-Achsenrichtung inkrementiert werden und es wurde anhand einer Gleichung entschieden ob wir auch in y-Richtung inkrementieren müssen. Im Falle der Steigung größer Eins ist es nun genau umgekehrt, wir müssen bei jedem Zeichenschritt in y-Richtung inkrementieren und an Hand der Abstandsgleichung entscheiden ob wir dies auch in x-Richtung tun müssen. 

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Wir betrachten wieder die Differenz der Abstände: 
<math> |s| - |t| = s + t </math> 
<math>=\vec{n_n} \cdot (\vec{s} - \vec{t}) ) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} (x_i) + (x_i + 1) \\ (y_i + 1) + (y_i + 1) \end{pmatrix} </math> 
<math>= n_x \cdot 2 \cdot x_i + n_x + 2 \cdot n_y \cdot y_i + 2 \cdot n_y =: d</math> 
Auch hier entscheidet nun wieder die Differenz <math> d </math> welcher Punkt angesteuert werden soll. 

Für <math> d >= 0 </math> wird der Punkt <math>T</math> angesteuert. 
Für <math> d < 0 </math> wird der Punkt <math>S</math> angesteuert.

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-11T14:30:11Z

Peterpummel: /* Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham Algorihtmus, ist ein Verfahren um Geraden möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist, dadurch entstehen "Lücken" beim zeichnen. Da unser Auge nur eine endliche Auflösung verarbeiten kann, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das Achtfache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da die Rechenoperationen sich auf Addition und die Multiplikation mit der Zwei beschränken lässt. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.
'''Potenzen:'''
Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet. 

'''Multiplikation mit Zwei''':<br\>
Eine Multiplikation mit Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt werden kann.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m <= 1 ==
Wir wollen uns nun mit der folgenden Problemstellung beschäftigen, wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B. Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Den ersten Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel (allgemein: einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |d_t|-|d_s|</math>. 
Da wir nur die y-Achsenabweichung der gezeichneten Geraden mit dem Auge wahrnehmen, aber der folgende Zusammenhang besteht, können wir mit den reinen Abständen, die wir aus der Hesseform gewinnen rechnen:

zu zeigen ist: <math> d_s >= d_t \Leftrightarrow s >= t</math> 

es gilt: 
<math> d_s >= d_t \ \ d_s = s \cdot sin (\alpha) \ \ d_t = t \cdot sin (\alpha) </math> 
<math> \Leftrightarrow d_s = s \cdot sin (\alpha) >= t \cdot sin (\alpha) = d_t </math> 
<math> \Leftrightarrow s >= t </math> 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Nun gehen wir nicht mehr von dem ersten Punkt (Ursprung) <math> O= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> aus, sondern von einem allgemeinen Punkt <math> P = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} </math>, dementsprechend lautet dann der Punkt
<math> T = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y \end{pmatrix} </math> und der Punkt <math> S = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y + 1 \end{pmatrix} </math>

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'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Punkt Hesseform gesehen haben, kommt es bei dem Vorzeichen der Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt hat, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit: 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x + 1 + p_x + 1 \\ p_y + p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot p_x + 2 \\ 2 \cdot p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math> 

Nun entscheidet das Vorzeichen von <math> d </math> welcher Punkt angesteuert wird: 
Für <math> d >= 0 </math> der Punkt <math> S </math> 
Für <math> d < 0 </math> der Punkt <math> T </math> 

==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 ==
Wir wollen nun den Fall für Geraden betrachten deren Steigung größer ist als Eins. Die Vorausetzungen seien wie in dem Fall für die Steigung kleiner Eins. Im Fall der Steigung kleiner gleich Eins musste die Stiftposition bei jedem Zeichenschritt in x-Achsenrichtung inkrementiert werden und es wurde anhand einer Gleichung entschieden ob wir auch in y-Richtung inkrementieren müssen. Im Falle der Steigung größer Eins ist es nun genau umgekehrt, wir müssen bei jedem Zeichenschritt in y-Richtung inkrementieren und an Hand der Abstandsgleichung entscheiden ob wir dies auch in x-Richtung tun müssen. 

Wir betrachten wieder die Differenz der Abstände: 
<math> |s| - |t| = s + t </math> 
<math>=\vec{n_n} \cdot (\vec{s} - \vec{t}) ) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} (x_i) + (x_i + 1) \\ (y_i + 1) + (y_i + 1) \end{pmatrix} </math> 
<math>= n_x \cdot 2 \cdot x_i + n_x + 2 \cdot n_y \cdot y_i + 2 \cdot n_y =: d</math> 
Auch hier entscheidet nun wieder die Differenz <math> d </math> welcher Punkt angesteuert werden soll. 

Für <math> d >= 0 </math> wird der Punkt <math>T</math> angesteuert. 
Für <math> d < 0 </math> wird der Punkt <math>S</math> angesteuert.

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-11T14:28:26Z

Peterpummel: /* Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham Algorihtmus, ist ein Verfahren um Geraden möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist, dadurch entstehen "Lücken" beim zeichnen. Da unser Auge nur eine endliche Auflösung verarbeiten kann, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das Achtfache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da die Rechenoperationen sich auf Addition und die Multiplikation mit der Zwei beschränken lässt. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.
'''Potenzen:'''
Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet. 

'''Multiplikation mit Zwei''':<br\>
Eine Multiplikation mit Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt werden kann.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m <= 1 ==
Wir wollen uns nun mit der folgenden Problemstellung beschäftigen, wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B. Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Den ersten Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel (allgemein: einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |d_t|-|d_s|</math>. 
Da wir nur die y-Achsenabweichung der gezeichneten Geraden mit dem Auge wahrnehmen, aber der folgende Zusammenhang besteht, können wir mit den reinen Abständen, die wir aus der Hesseform gewinnen rechnen:

zu zeigen ist: <math> d_s >= d_t \Leftrightarrow s >= t</math> 

es gilt: 
<math> d_s >= d_t \ \ d_s = s \cdot sin (\alpha) \ \ d_t = t \cdot sin (\alpha) </math> 
<math> \Leftrightarrow d_s = s \cdot sin (\alpha) >= t \cdot sin (\alpha) = d_t </math> 
<math> \Leftrightarrow s >= t </math> 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Nun gehen wir nicht mehr von dem ersten Punkt (Ursprung) <math> O= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> aus, sondern von einem allgemeinen Punkt <math> P = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} </math>, dementsprechend lautet dann der Punkt
<math> T = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y \end{pmatrix} </math> und der Punkt <math> S = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y + 1 \end{pmatrix} </math>

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'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Punkt Hesseform gesehen haben, kommt es bei dem Vorzeichen der Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt hat, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit: 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x + 1 + p_x + 1 \\ p_y + p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot p_x + 2 \\ 2 \cdot p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math> 

Nun entscheidet das Vorzeichen von <math> d </math> welcher Punkt angesteuert wird: 
Für <math> d >= 0 </math> der Punkt <math> S </math> 
Für <math> d < 0 </math> der Punkt <math> T </math> 

==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 ==
Wir wollen nun den Fall für Geraden betrachten deren Steigung größer ist als Eins. Die Vorausetzungen seien wie in dem Fall für die Steigung kleiner Eins. Im Fall der Steigung kleiner gleich Eins musste die Stiftposition bei jedem Zeichenschritt in x-Achsenrichtung inkrementiert werden und es wurde anhand einer Gleichung entschieden ob wir auch in y-Richtung inkrementieren müssen. Im Falle der Steigung größer Eins ist es nun genau umgekehrt, wir müssen bei jedem Zeichenschritt in y-Richtung inkrementieren und an Hand der Abstandsgleichung entscheiden ob wir dies auch in x-Richtung tun müssen. 

Wir betrachten wieder die Differenz der Abstände: 
<math> |s| - |t| = s + t </math> 
<math>=\vec{n_n} \cdot (\vec{s} - \vec{t}) ) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} (x_i) + (x_i + 1) \\ (y_i + 1) + (y_i + 1) \end{pmatrix} </math> 
<math>= n_x \cdot 2 \cdot x_i + n_x + 2 \cdot n_y \cdot y_i + 2 \cdot n_y =: d</math> 
Auch hier entscheidet nun wieder die Differenz <math> d </math>, welcher Punkt angesteuert werden soll. 

Für <math> d >= 0 </math> wird der Punkt <math>T</math> angesteuert. 
Für <math> d < 0 </math> wird der Punkt <math>S</math> angesteuert.

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-11T14:15:50Z

Peterpummel: /* Algorithmus für Gerade mit der Steigung m <= 1 */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham Algorihtmus, ist ein Verfahren um Geraden möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist, dadurch entstehen "Lücken" beim zeichnen. Da unser Auge nur eine endliche Auflösung verarbeiten kann, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das Achtfache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da die Rechenoperationen sich auf Addition und die Multiplikation mit der Zwei beschränken lässt. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.
'''Potenzen:'''
Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet. 

'''Multiplikation mit Zwei''':<br\>
Eine Multiplikation mit Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt werden kann.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m <= 1 ==
Wir wollen uns nun mit der folgenden Problemstellung beschäftigen, wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B. Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Den ersten Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel (allgemein: einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |d_t|-|d_s|</math>. 
Da wir nur die y-Achsenabweichung der gezeichneten Geraden mit dem Auge wahrnehmen, aber der folgende Zusammenhang besteht, können wir mit den reinen Abständen, die wir aus der Hesseform gewinnen rechnen:

zu zeigen ist: <math> d_s >= d_t \Leftrightarrow s >= t</math> 

es gilt: 
<math> d_s >= d_t \ \ d_s = s \cdot sin (\alpha) \ \ d_t = t \cdot sin (\alpha) </math> 
<math> \Leftrightarrow d_s = s \cdot sin (\alpha) >= t \cdot sin (\alpha) = d_t </math> 
<math> \Leftrightarrow s >= t </math> 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Nun gehen wir nicht mehr von dem ersten Punkt (Ursprung) <math> O= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> aus, sondern von einem allgemeinen Punkt <math> P = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} </math>, dementsprechend lautet dann der Punkt
<math> T = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y \end{pmatrix} </math> und der Punkt <math> S = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y + 1 \end{pmatrix} </math>

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Punkt Hesseform gesehen haben, kommt es bei dem Vorzeichen der Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt hat, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit: 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x + 1 + p_x + 1 \\ p_y + p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot p_x + 2 \\ 2 \cdot p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math> 

Nun entscheidet das Vorzeichen von <math> d </math> welcher Punkt angesteuert wird: 
Für <math> d >= 0 </math> der Punkt <math> S </math> 
Für <math> d < 0 </math> der Punkt <math> T </math> 

==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 ==
Wir wollen nun den Fall für Geraden betrachten deren Steigung größer ist als Eins. Die Vorausetzungen seien wie in dem Fall für die Steigung kleiner Eins. Im Fall der Steigung kleiner gleich Eins musste die Stiftposition bei jedem Zeichenschritt in x-Achsenrichtung inkrementiert werden und es wurde anhand einer Gleichung entschieden ob wir auch in y-Richtung inkrementieren müssen. Im Falle der Steigung größer Eins ist es nun genau umgekehrt, wir müssen bei jedem Zeichenschritt in y-Richtung inkrementieren und an Hand der Abstandsgleichung entscheiden ob wir dies auch in x-Richtung tun müssen. 

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Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-11T14:11:05Z

Peterpummel: /* Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham Algorihtmus, ist ein Verfahren um Geraden möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist, dadurch entstehen "Lücken" beim zeichnen. Da unser Auge nur eine endliche Auflösung verarbeiten kann, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das Achtfache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da die Rechenoperationen sich auf Addition und die Multiplikation mit der Zwei beschränken lässt. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.
'''Potenzen:'''
Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet. 

'''Multiplikation mit Zwei''':<br\>
Eine Multiplikation mit Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt werden kann.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m <= 1 ==
Wir wollen uns nun mit der folgenden Problemstellung beschäftigen, wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B. Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Den ersten Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel (allgemein: einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |d_t|-|d_s|</math>. 
Da wir nur die y-Achsenabweichung der gezeichneten Geraden mit dem Auge wahrnehmen, aber der folgende Zusammenhang besteht, können wir mit den reinen Abständen, die wir aus der Hesseform gewinnen rechnen:

zu zeigen ist: <math> d_s >= d_t \Leftrightarrow s >= t</math> 

es gilt: 
<math> d_s >= d_t \ \ d_s = s \cdot sin (\alpha) \ \ d_t = t \cdot sin (alpha) </math> 
<math> \Leftrightarrow d_s = s \cdot sin (\alpha) >= t \cdot sin (\alpha) = d_t </math> 
<math> \Leftrightarrow s >= t </math> 

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Nun gehen wir nicht mehr von dem ersten Punkt (Ursprung) <math> O= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> aus, sondern von einem allgemeinen Punkt <math> P = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} </math>, dementsprechend lautet dann der Punkt
<math> T = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y \end{pmatrix} </math> und der Punkt <math> S = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y + 1 \end{pmatrix} </math>

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'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Punkt Hesseform gesehen haben, kommt es bei dem Vorzeichen der Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt hat, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit: 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x + 1 + p_x + 1 \\ p_y + p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot p_x + 2 \\ 2 \cdot p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math> 

Nun entscheidet das Vorzeichen von <math> d </math> welcher Punkt angesteuert wird: 
Für <math> d >= 0 </math> der Punkt <math> S </math> 
Für <math> d < 0 </math> der Punkt <math> T </math> 

==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 ==
Wir wollen nun den Fall für Geraden betrachten deren Steigung größer ist als Eins. Die Vorausetzungen seien wie in dem Fall für die Steigung kleiner Eins. Im Fall der Steigung kleiner gleich Eins musste die Stiftposition bei jedem Zeichenschritt in x-Achsenrichtung inkrementiert werden und es wurde anhand einer Gleichung entschieden ob wir auch in y-Richtung inkrementieren müssen. Im Falle der Steigung größer Eins ist es nun genau umgekehrt, wir müssen bei jedem Zeichenschritt in y-Richtung inkrementieren und an Hand der Abstandsgleichung entscheiden ob wir dies auch in x-Richtung tun müssen. 

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Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-08T15:55:15Z

Peterpummel: /* Algorithmus für Gerade mit der Steigung m <= 1 */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham Algorihtmus, ist ein Verfahren um Geraden möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist, dadurch entstehen "Lücken" beim zeichnen. Da unser Auge nur eine endliche Auflösung verarbeiten kann, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das Achtfache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da die Rechenoperationen sich auf Addition und die Multiplikation mit der Zwei beschränken lässt. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.
'''Potenzen:'''
Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet. 

'''Multiplikation mit Zwei''':<br\>
Eine Multiplikation mit Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt werden kann.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m <= 1 ==
Wir wollen uns nun mit der folgenden Problemstellung beschäftigen, wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B. Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Den ersten Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel (allgemein: einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |d_t|-|d_s|</math>. 
Da wir nur die y-Achsenabweichung der gezeichneten Geraden mit dem Auge wahrnehmen, aber der folgende Zusammenhang besteht, können wir mit den reinen Abständen, die wir aus der Hesseform gewinnen rechnen:

zu zeigen ist: <math> d_s >= d_t \Leftrightarrow s >= t</math> 

es gilt: 
<math> d_s >= d_t \ \ d_s = s \cdot sin (\alpha) \ \ d_t = t \cdot sin (alpha) </math> 
<math> \Leftrightarrow d_s = s \cdot sin (\alpha) >= t \cdot sin (\alpha) = d_t </math> 
<math> \Leftrightarrow s >= t </math> 

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Nun gehen wir nicht mehr von dem ersten Punkt (Ursprung) <math> O= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> aus, sondern von einem allgemeinen Punkt <math> P = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} </math>, dementsprechend lautet dann der Punkt
<math> T = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y \end{pmatrix} </math> und der Punkt <math> S = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y + 1 \end{pmatrix} </math>

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Punkt Hesseform gesehen haben, kommt es bei dem Vorzeichen der Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt hat, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit: 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x + 1 + p_x + 1 \\ p_y + p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot p_x + 2 \\ 2 \cdot p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math> 

Nun entscheidet das Vorzeichen von <math> d </math> welcher Punkt angesteuert wird: 
Für <math> d >= 0 </math> der Punkt <math> S </math> 
Für <math> d < 0 </math> der Punkt <math> T </math> 

==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 ==
Wir wollen nun den Fall für Geraden betrachten deren Steigung größer ist als Eins. Ist dieser Fall nun auch betrachtet, steht uns der Algorithmus für alle Geraden zur Verfügung.

Die Vorausetzungen seien wie in dem Fall für die Steigung kleiner Eins.

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-08T11:58:11Z

Peterpummel: /* Algorithmus für Gerade mit der Steigung m <= 1 */

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-08T11:30:43Z

Peterpummel: /* Effektivität des Algorithmus */

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-08T11:22:35Z

Peterpummel: /* Motivation des Algorithmus */

Geraden 2012 13

2013-03-08T11:17:57Z

Peterpummel:

== Darstellung von Geraden ==
=== Die Parameterform ===
Eine Möglichkeit ist es Geraden mit Hilfe von zwei Vektoren darzustellen. Hierfür wird zum einen ein Stützvektor, zum anderen ein Richtungsvektor benötigt.

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=== Normierung eines Vektors ===
Manchmal ist es bei einem Vektor von größerem Interesse in welche Richtung er zeigt, als welche Länge (Betrag) er besitzt.
In solchen Fällen wird der Vektor durch seine Länge geteilt und hat dann damit die Länge Eins. Nun ist es wesentlich bequemer mit diesem normierten Vektor zu rechnen, als mit dem unnormierten Vektor.
Rechnerisch ergibt sich der Betrag eines Vektors aus der Wurzel des Skalarproduktes mit sich selbst. 

Beispiel: 

<math>
\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ |\vec{v} | = 5
</math>
 
Nun wird der Vektor durch seinen Betrag geteilt: 
<math>
\Rightarrow \ \ \ \ \ \vec{v_n} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5}\\ \frac{4}{5} \end{pmatrix}
\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ |\vec{v}| = 1
</math>
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== Der Normalenvektor ==
=== Definition des Normalenvektors ===
Sei g eine Gerade. Ein Vektor <math> \ \vec{n} \ </math> heisst genau dann Normalenvektor von g, wenn <math>\ \vec{n}\ </math> senkrecht zu der Geraden g steht. 

Der Punkt A an dem sich ein Normalenvektor mit der Geraden schneidet, wird auch Aufpunkt genannt.

 
Skizze eines Normalenvektors
 
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=== Eigenschaften des Normalenvektors ===

Sei g eine Gerade mit <math> \ \ g = \vec{s} + \lambda \cdot \vec{r} \ </math> und <math> \vec{n}</math> der Normalenvektor auf g , mit <math> s =\begin{pmatrix} s_1 \\ s_2 \end{pmatrix}, \ r =\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \end{pmatrix},\ n =\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix}. </math>

<math> E1:\ \ \ \vec{n} \cdot \vec{r} = 0 </math> 
<math> E2:\ \ \ n =\begin{pmatrix} -r_2 \\ r_1 \end{pmatrix} </math> 
<math> E3:</math> Im Raum gibt es unendlich viele Normalenvektoren zu einer Gerade g und einem Aufpunkt A.

Ist in der Ebene von einer Geraden ein Punkt P und ihr Normalenvektor bekannt, so wird diese hierdurch eindeutig beschrieben.
Sei <math> \vec{r} </math> ein beliebiger Ortsvektor auf der Geraden g, da der Normalenvektor <math> \vec{n} </math> senkrecht zu der Geraden <math> \vec{r} </math> steht, steht <math> \vec{n} </math> auch senkrecht zu jedem anderen Vektor <math> \vec{r}- \vec{a} </math> der Geraden g.
 
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Da die beiden Vektoren <math> \vec{n}</math> und <math> \vec{r}-\vec{a}</math> senkrecht zueinander stehen, muss das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren Null ergeben:
 

<math> \vec{n} \cdot (\vec{r}-\vec{a}) = 0 </math> 
<math>\Leftrightarrow \vec{n} \cdot \vec{r} - \vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{0}</math> 
<math>\Leftrightarrow \vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{n} \cdot \vec{r} </math>
 

== Hesseform ==
===Herleitung der Hesseform ===
(Otto Hesse, deutscher Mathematiker, von 1811-1874) 

Aus den Eigenschaften des Normalenvektors einer Gerade, wollen wir nun auf eine neue Darstellungsform von Geraden in der Ebene schliessen.

Wir fassen zusammen:
Eine Gerade g in der Ebene ist durch einen Punkt A auf der Geraden und einen Normalenvektor n eindeutig festgelegt.
Ein jeder Ortsvektor <math> \vec{r} </math> eines Punktes der Geraden erfüllt die folgende Gleichung: 

<math> \vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{n} \cdot \vec{r} </math>

diese Gleichung wird auch Punktnormalengleichung der Geraden genannt. 

Das Skalarprodukt <math> \vec{n} \cdot \vec{a} \ </math> ist natürlich bestimmbar, wenn zumindest der Punkt A und ein Normalenvektor <math> \vec{n} \ </math> gegeben sind. Dies ist eine reele Zahl c, also lässt sich die Punktenormalengleichung noch etwas umschreiben: 

<math> c = \vec{n} \cdot \vec{r} </math>

Diese Gleichung wird nun allgemeine Normalengleichung der Geraden genannt. Wird nun noch zusätzlich der Normalenvektor <math>\vec{n}</math> normiert so sprechen wir von der Hesseform der Geraden: 

<math> \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \cdot \vec{r} = \frac{c}{\vec{n}} =: d</math>

=== Abstand eines Punktes zu einer Geraden ===
Sei nun eine Gerade <math> \ g \ </math> in Hesseform gegeben: 
<math> g: \ d = n_n \cdot a </math> 
Wobei <math> \ n_n \ </math> der normierte Normalenvektor und <math>\ \vec{a} \ </math> der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden ist. 
Nun betrachten wir den Abstand der Geraden zum Ursprung. Da das Skalarprodukt der Vektoren <math> \vec{n_n}</math> und <math> \vec{a} \ </math> die Länge der senkrechten Projektion von <math> \vec{a} </math> auf <math> \vec{n_n}\ </math>ist, entspricht dieser Abstand genau <math> d </math>. 
Betrachten wir nun einen Punkt P der nicht auf der Geraden liegt:

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Sei nun der Vektor <math> \vec{FP} </math> der Normalenvektor vom Fußpunkt <math>F</math> zum Punkt <math>P\ </math> dann gilt:
<math> \vec{FP} = \vec{n} = \vec{n_n} \cdot h </math>, wobei <math> h</math> ein geeignete reele Zahlt ist. Man erkennt nun, da der Betrag von <math> |\vec{n_n}| = 1 </math>, dass <math> |h| </math> der Abstand des Punktes <math> P </math> zur Geraden <math> g </math> sein muss.
Da der Punkt <math> F </math> auf der Geraden <math>g</math> liegt muss für ihn die Punktenormalengleichung erfüllt sein: 
<math> n_n \cdot ( \vec{f} - \vec{a}) = 0</math> 

<ggb_applet width="900" height="650" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
 
Aus <math> n_n \cdot ( \vec{f} - \vec{a}) = 0</math> folgt wegen <math> \vec{f} = \vec{p}- h \cdot \vec{n_n}</math> 
<math> \vec{n_n} \cdot ( \vec{p} - h \cdot \vec{n_n} - \vec{a} ) = 0 </math> 
<math> \Leftrightarrow \ \ \ \vec{n_n} \cdot \vec{p} - h \cdot \vec{n_n} \cdot \vec{n_n} - \vec{a} = 0 </math> 
<math> \Leftrightarrow \ \ \ \vec{n_n} \cdot ( \vec{p} - \vec{a}) = h \cdot (\vec{n_n} \cdot \vec{n_n}) = h </math> 

Fassen wir zusammen: 

Sei eine Gerade g in Hesseform mit <math> \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a}) = 0 </math> gegeben, dann gilt für den Abstand h des Punktes P von der Geraden g: 
<math> |h| = |\vec{n_n} \cdot (\vec{p} - \vec{a})|</math> 
'''Anmerkung:''' 
Hierbei ist zu beachten, dass das Vorzeichen des Abstands <math> h </math> von der Lage des Punktes abhängt. Zeigt der Normalenvektor <math> \vec{n_n} </math> in die offene Halbebene <math> gP^+ </math> ist der Abstand positiv, zeigt <math> \vec{n_n} </math> in <math> gP^-</math> ist der Abstand negativ.

= Literatur =
* Müller-Fonfara, Robert: Mathematik verständlich. Augsburg: Weltbild GmbH 2006. S. 574 - 577.

Geraden 2012 13

2013-03-08T11:07:12Z

Peterpummel: /* Eigenschaften des Normalenvektors */

Geraden 2012 13

2013-03-08T11:03:47Z

Peterpummel: /* Die Parameterform */

== Darstellung von Geraden ==
=== Die Parameterform ===
Eine Möglichkeit ist es Geraden mit Hilfe von zwei Vektoren darzustellen. Hierfür wird zum einen ein Stützvektor, zum anderen ein Richtungsvektor benötigt.

<ggb_applet width="700" height="450" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Normierung eines Vektors ===
Manchmal ist es bei einem Vektor von größerem Interesse in welche Richtung er zeigt, als welche Länge (Betrag) er besitzt.
In solchen Fällen wird der Vektor durch seine Länge geteilt und hat dann damit die Länge Eins. Nun ist es wesentlich bequemer mit diesem normierten Vektor zu rechnen, als mit dem unnormierten Vektor.
Rechnerisch ergibt sich der Betrag eines Vektors aus der Wurzel des Skalarproduktes mit sich selbst. 

Beispiel: 

<math>
\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ |\vec{v} | = 5
</math>
 
Nun wird der Vektor durch seinen Betrag geteilt: 
<math>
\Rightarrow \ \ \ \ \ \vec{v_n} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5}\\ \frac{4}{5} \end{pmatrix}
\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ |\vec{v}| = 1
</math>
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== Der Normalenvektor ==
=== Definition des Normalenvektors ===
Sei g eine Gerade. Ein Vektor <math> \ \vec{n} \ </math> heisst genau dann Normalenvektor von g, wenn <math>\ \vec{n}\ </math> senkrecht zu der Geraden g steht. 

Der Punkt A an dem sich ein Normalenvektor mit der Geraden schneidet, wird auch Aufpunkt genannt.

 
Skizze eines Normalenvektors
 
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=== Eigenschaften des Normalenvektors ===

Sei g eine Gerade mit <math> \ \ g = \vec{s} + \lambda \cdot \vec{r} \ </math> und <math> \vec{n}</math> der Normalenvektor auf g , mit <math> s =\begin{pmatrix} s_1 \\ s_2 \end{pmatrix}, \ r =\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \end{pmatrix},\ n =\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix}. </math>

<math> E1:\ \ \ \vec{n} \cdot \vec{r} = 0 </math> 
<math> E2:\ \ \ n =\begin{pmatrix} -r_2 \\ r_1 \end{pmatrix} </math> 
<math> E3:</math> Im Raum gibt es unendlich viele Normalenvektoren zu einer Gerade g und einem Aufpunkt A.

Ist in der Ebene von einer Geraden ein Punkt P und ihr Normalenvektor bekannt, so wird diese hierdurch eindeutig beschrieben.
Sei <math> \vec{r} </math> ein beliebiger Ortsvektor auf der Geraden g, da der Normalenvektor <math> \vec{n} </math> senkrecht zu der Geraden <math> \vec{r} </math> steht, so steht <math> \vec{n} </math> auch senkrecht zu jedem anderen Vektor <math> \vec{r}- \vec{a} </math> der Geraden g.
 
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Da die beiden Vektoren <math> \vec{n}</math> und <math> \vec{r}-\vec{a}</math> senkrecht zueinander stehen, muss das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren Null ergeben:
 

<math> \vec{n} \cdot \vec{r}-\vec{a} = 0 </math> 
<math>\Leftrightarrow \vec{n} \cdot \vec{r} - \vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{0}</math> 
<math>\Leftrightarrow \vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{n} \cdot \vec{r} </math>
 

== Hesseform ==
===Herleitung der Hesseform ===
(Otto Hesse, deutscher Mathematiker, von 1811-1874) 

Aus den Eigenschaften des Normalenvektors einer Gerade, wollen wir nun auf eine neue Darstellungsform von Geraden in der Ebene schliessen.

Wir fassen zusammen:
Eine Gerade g in der Ebene ist durch einen Punkt A auf der Geraden und einen Normalenvektor n eindeutig festgelegt.
Ein jeder Ortsvektor <math> \vec{r} </math> eines Punktes der Geraden erfüllt die folgende Gleichung: 

<math> \vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{n} \cdot \vec{r} </math>

diese Gleichung wird auch Punktnormalengleichung der Geraden genannt. 

Das Skalarprodukt <math> \vec{n} \cdot \vec{a} \ </math> ist natürlich bestimmbar, wenn zumindest der Punkt A und ein Normalenvektor <math> \vec{n} \ </math> gegeben sind. Dies ist eine reele Zahl c, also lässt sich die Punktenormalengleichung noch etwas umschreiben: 

<math> c = \vec{n} \cdot \vec{r} </math>

Diese Gleichung wird nun allgemeine Normalengleichung der Geraden genannt. Wird nun noch zusätzlich der Normalenvektor <math>\vec{n}</math> normiert so sprechen wir von der Hesseform der Geraden: 

<math> \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \cdot \vec{r} = \frac{c}{\vec{n}} =: d</math>

=== Abstand eines Punktes zu einer Geraden ===
Sei nun eine Gerade <math> \ g \ </math> in Hesseform gegeben: 
<math> g: \ d = n_n \cdot a </math> 
Wobei <math> \ n_n \ </math> der normierte Normalenvektor und <math>\ \vec{a} \ </math> der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden ist. 
Nun betrachten wir den Abstand der Geraden zum Ursprung. Da das Skalarprodukt der Vektoren <math> \vec{n_n}</math> und <math> \vec{a} \ </math> die Länge der senkrechten Projektion von <math> \vec{a} </math> auf <math> \vec{n_n}\ </math>ist, entspricht dieser Abstand genau <math> d </math>. 
Betrachten wir nun einen Punkt P der nicht auf der Geraden liegt:

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Sei nun der Vektor <math> \vec{FP} </math> der Normalenvektor vom Fußpunkt <math>F</math> zum Punkt <math>P\ </math> dann gilt:
<math> \vec{FP} = \vec{n} = \vec{n_n} \cdot h </math>, wobei <math> h</math> ein geeignete reele Zahlt ist. Man erkennt nun, da der Betrag von <math> |\vec{n_n}| = 1 </math>, dass <math> |h| </math> der Abstand des Punktes <math> P </math> zur Geraden <math> g </math> sein muss.
Da der Punkt <math> F </math> auf der Geraden <math>g</math> liegt muss für ihn die Punktenormalengleichung erfüllt sein: 
<math> n_n \cdot ( \vec{f} - \vec{a}) = 0</math> 

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Aus <math> n_n \cdot ( \vec{f} - \vec{a}) = 0</math> folgt wegen <math> \vec{f} = \vec{p}- h \cdot \vec{n_n}</math> 
<math> \vec{n_n} \cdot ( \vec{p} - h \cdot \vec{n_n} - \vec{a} ) = 0 </math> 
<math> \Leftrightarrow \ \ \ \vec{n_n} \cdot \vec{p} - h \cdot \vec{n_n} \cdot \vec{n_n} - \vec{a} = 0 </math> 
<math> \Leftrightarrow \ \ \ \vec{n_n} \cdot ( \vec{p} - \vec{a}) = h \cdot (\vec{n_n} \cdot \vec{n_n}) = h </math> 

Fassen wir zusammen: 

Sei eine Gerade g in Hesseform mit <math> \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a}) = 0 </math> gegeben, dann gilt für den Abstand h des Punktes P von der Geraden g: 
<math> |h| = |\vec{n_n} \cdot (\vec{p} - \vec{a})|</math> 
'''Anmerkung:''' 
Hierbei ist zu beachten, dass das Vorzeichen des Abstands <math> h </math> von der Lage des Punktes abhängt. Zeigt der Normalenvektor <math> \vec{n_n} </math> in die offene Halbebene <math> gP^+ </math> ist der Abstand positiv, zeigt <math> \vec{n_n} </math> in <math> gP^-</math> ist der Abstand negativ.

Geraden 2012 13

2013-03-08T11:02:50Z

Peterpummel: /* Abstand eines Punktes zu einer Geraden */

== Darstellung von Geraden ==
=== Die Parameterform ===
Eine Möglichkeit ist es Geraden mit Hilfe von zwei Vektoren darzustellen. Hierfür wir zum einen ein Stützvektor, zum anderen ein Richtungsvektor benötigt.

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=== Normierung eines Vektors ===
Manchmal ist es bei einem Vektor von größerem Interesse in welche Richtung er zeigt, als welche Länge (Betrag) er besitzt.
In solchen Fällen wird der Vektor durch seine Länge geteilt und hat dann damit die Länge Eins. Nun ist es wesentlich bequemer mit diesem normierten Vektor zu rechnen, als mit dem unnormierten Vektor.
Rechnerisch ergibt sich der Betrag eines Vektors aus der Wurzel des Skalarproduktes mit sich selbst. 

Beispiel: 

<math>
\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ |\vec{v} | = 5
</math>
 
Nun wird der Vektor durch seinen Betrag geteilt: 
<math>
\Rightarrow \ \ \ \ \ \vec{v_n} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5}\\ \frac{4}{5} \end{pmatrix}
\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ |\vec{v}| = 1
</math>
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== Der Normalenvektor ==
=== Definition des Normalenvektors ===
Sei g eine Gerade. Ein Vektor <math> \ \vec{n} \ </math> heisst genau dann Normalenvektor von g, wenn <math>\ \vec{n}\ </math> senkrecht zu der Geraden g steht. 

Der Punkt A an dem sich ein Normalenvektor mit der Geraden schneidet, wird auch Aufpunkt genannt.

 
Skizze eines Normalenvektors
 
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=== Eigenschaften des Normalenvektors ===

Sei g eine Gerade mit <math> \ \ g = \vec{s} + \lambda \cdot \vec{r} \ </math> und <math> \vec{n}</math> der Normalenvektor auf g , mit <math> s =\begin{pmatrix} s_1 \\ s_2 \end{pmatrix}, \ r =\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \end{pmatrix},\ n =\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix}. </math>

<math> E1:\ \ \ \vec{n} \cdot \vec{r} = 0 </math> 
<math> E2:\ \ \ n =\begin{pmatrix} -r_2 \\ r_1 \end{pmatrix} </math> 
<math> E3:</math> Im Raum gibt es unendlich viele Normalenvektoren zu einer Gerade g und einem Aufpunkt A.

Ist in der Ebene von einer Geraden ein Punkt P und ihr Normalenvektor bekannt, so wird diese hierdurch eindeutig beschrieben.
Sei <math> \vec{r} </math> ein beliebiger Ortsvektor auf der Geraden g, da der Normalenvektor <math> \vec{n} </math> senkrecht zu der Geraden <math> \vec{r} </math> steht, so steht <math> \vec{n} </math> auch senkrecht zu jedem anderen Vektor <math> \vec{r}- \vec{a} </math> der Geraden g.
 
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Da die beiden Vektoren <math> \vec{n}</math> und <math> \vec{r}-\vec{a}</math> senkrecht zueinander stehen, muss das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren Null ergeben:
 

<math> \vec{n} \cdot \vec{r}-\vec{a} = 0 </math> 
<math>\Leftrightarrow \vec{n} \cdot \vec{r} - \vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{0}</math> 
<math>\Leftrightarrow \vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{n} \cdot \vec{r} </math>
 

== Hesseform ==
===Herleitung der Hesseform ===
(Otto Hesse, deutscher Mathematiker, von 1811-1874) 

Aus den Eigenschaften des Normalenvektors einer Gerade, wollen wir nun auf eine neue Darstellungsform von Geraden in der Ebene schliessen.

Wir fassen zusammen:
Eine Gerade g in der Ebene ist durch einen Punkt A auf der Geraden und einen Normalenvektor n eindeutig festgelegt.
Ein jeder Ortsvektor <math> \vec{r} </math> eines Punktes der Geraden erfüllt die folgende Gleichung: 

<math> \vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{n} \cdot \vec{r} </math>

diese Gleichung wird auch Punktnormalengleichung der Geraden genannt. 

Das Skalarprodukt <math> \vec{n} \cdot \vec{a} \ </math> ist natürlich bestimmbar, wenn zumindest der Punkt A und ein Normalenvektor <math> \vec{n} \ </math> gegeben sind. Dies ist eine reele Zahl c, also lässt sich die Punktenormalengleichung noch etwas umschreiben: 

<math> c = \vec{n} \cdot \vec{r} </math>

Diese Gleichung wird nun allgemeine Normalengleichung der Geraden genannt. Wird nun noch zusätzlich der Normalenvektor <math>\vec{n}</math> normiert so sprechen wir von der Hesseform der Geraden: 

<math> \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \cdot \vec{r} = \frac{c}{\vec{n}} =: d</math>

=== Abstand eines Punktes zu einer Geraden ===
Sei nun eine Gerade <math> \ g \ </math> in Hesseform gegeben: 
<math> g: \ d = n_n \cdot a </math> 
Wobei <math> \ n_n \ </math> der normierte Normalenvektor und <math>\ \vec{a} \ </math> der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden ist. 
Nun betrachten wir den Abstand der Geraden zum Ursprung. Da das Skalarprodukt der Vektoren <math> \vec{n_n}</math> und <math> \vec{a} \ </math> die Länge der senkrechten Projektion von <math> \vec{a} </math> auf <math> \vec{n_n}\ </math>ist, entspricht dieser Abstand genau <math> d </math>. 
Betrachten wir nun einen Punkt P der nicht auf der Geraden liegt:

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Sei nun der Vektor <math> \vec{FP} </math> der Normalenvektor vom Fußpunkt <math>F</math> zum Punkt <math>P\ </math> dann gilt:
<math> \vec{FP} = \vec{n} = \vec{n_n} \cdot h </math>, wobei <math> h</math> ein geeignete reele Zahlt ist. Man erkennt nun, da der Betrag von <math> |\vec{n_n}| = 1 </math>, dass <math> |h| </math> der Abstand des Punktes <math> P </math> zur Geraden <math> g </math> sein muss.
Da der Punkt <math> F </math> auf der Geraden <math>g</math> liegt muss für ihn die Punktenormalengleichung erfüllt sein: 
<math> n_n \cdot ( \vec{f} - \vec{a}) = 0</math> 

<ggb_applet width="900" height="650" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
 
Aus <math> n_n \cdot ( \vec{f} - \vec{a}) = 0</math> folgt wegen <math> \vec{f} = \vec{p}- h \cdot \vec{n_n}</math> 
<math> \vec{n_n} \cdot ( \vec{p} - h \cdot \vec{n_n} - \vec{a} ) = 0 </math> 
<math> \Leftrightarrow \ \ \ \vec{n_n} \cdot \vec{p} - h \cdot \vec{n_n} \cdot \vec{n_n} - \vec{a} = 0 </math> 
<math> \Leftrightarrow \ \ \ \vec{n_n} \cdot ( \vec{p} - \vec{a}) = h \cdot (\vec{n_n} \cdot \vec{n_n}) = h </math> 

Fassen wir zusammen: 

Sei eine Gerade g in Hesseform mit <math> \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a}) = 0 </math> gegeben, dann gilt für den Abstand h des Punktes P von der Geraden g: 
<math> |h| = |\vec{n_n} \cdot (\vec{p} - \vec{a})|</math> 
'''Anmerkung:''' 
Hierbei ist zu beachten, dass das Vorzeichen des Abstands <math> h </math> von der Lage des Punktes abhängt. Zeigt der Normalenvektor <math> \vec{n_n} </math> in die offene Halbebene <math> gP^+ </math> ist der Abstand positiv, zeigt <math> \vec{n_n} </math> in <math> gP^-</math> ist der Abstand negativ.

Geraden 2012 13

2013-03-07T16:56:18Z

Peterpummel: /* Abstand eines Punktes zu einer Geraden */

== Darstellung von Geraden ==
=== Die Parameterform ===
Eine Möglichkeit ist es Geraden mit Hilfe von zwei Vektoren darzustellen. Hierfür wir zum einen ein Stützvektor, zum anderen ein Richtungsvektor benötigt.

<ggb_applet width="700" height="450" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Normierung eines Vektors ===
Manchmal ist es bei einem Vektor von größerem Interesse in welche Richtung er zeigt, als welche Länge (Betrag) er besitzt.
In solchen Fällen wird der Vektor durch seine Länge geteilt und hat dann damit die Länge Eins. Nun ist es wesentlich bequemer mit diesem normierten Vektor zu rechnen, als mit dem unnormierten Vektor.
Rechnerisch ergibt sich der Betrag eines Vektors aus der Wurzel des Skalarproduktes mit sich selbst. 

Beispiel: 

<math>
\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ |\vec{v} | = 5
</math>
 
Nun wird der Vektor durch seinen Betrag geteilt: 
<math>
\Rightarrow \ \ \ \ \ \vec{v_n} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5}\\ \frac{4}{5} \end{pmatrix}
\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ |\vec{v}| = 1
</math>
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== Der Normalenvektor ==
=== Definition des Normalenvektors ===
Sei g eine Gerade. Ein Vektor <math> \ \vec{n} \ </math> heisst genau dann Normalenvektor von g, wenn <math>\ \vec{n}\ </math> senkrecht zu der Geraden g steht. 

Der Punkt A an dem sich ein Normalenvektor mit der Geraden schneidet, wird auch Aufpunkt genannt.

 
Skizze eines Normalenvektors
 
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=== Eigenschaften des Normalenvektors ===

Sei g eine Gerade mit <math> \ \ g = \vec{s} + \lambda \cdot \vec{r} \ </math> und <math> \vec{n}</math> der Normalenvektor auf g , mit <math> s =\begin{pmatrix} s_1 \\ s_2 \end{pmatrix}, \ r =\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \end{pmatrix},\ n =\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix}. </math>

<math> E1:\ \ \ \vec{n} \cdot \vec{r} = 0 </math> 
<math> E2:\ \ \ n =\begin{pmatrix} -r_2 \\ r_1 \end{pmatrix} </math> 
<math> E3:</math> Im Raum gibt es unendlich viele Normalenvektoren zu einer Gerade g und einem Aufpunkt A.

Ist in der Ebene von einer Geraden ein Punkt P und ihr Normalenvektor bekannt, so wird diese hierdurch eindeutig beschrieben.
Sei <math> \vec{r} </math> ein beliebiger Ortsvektor auf der Geraden g, da der Normalenvektor <math> \vec{n} </math> senkrecht zu der Geraden <math> \vec{r} </math> steht, so steht <math> \vec{n} </math> auch senkrecht zu jedem anderen Vektor <math> \vec{r}- \vec{a} </math> der Geraden g.
 
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Da die beiden Vektoren <math> \vec{n}</math> und <math> \vec{r}-\vec{a}</math> senkrecht zueinander stehen, muss das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren Null ergeben:
 

<math> \vec{n} \cdot \vec{r}-\vec{a} = 0 </math> 
<math>\Leftrightarrow \vec{n} \cdot \vec{r} - \vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{0}</math> 
<math>\Leftrightarrow \vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{n} \cdot \vec{r} </math>
 

== Hesseform ==
===Herleitung der Hesseform ===
(Otto Hesse, deutscher Mathematiker, von 1811-1874) 

Aus den Eigenschaften des Normalenvektors einer Gerade, wollen wir nun auf eine neue Darstellungsform von Geraden in der Ebene schliessen.

Wir fassen zusammen:
Eine Gerade g in der Ebene ist durch einen Punkt A auf der Geraden und einen Normalenvektor n eindeutig festgelegt.
Ein jeder Ortsvektor <math> \vec{r} </math> eines Punktes der Geraden erfüllt die folgende Gleichung: 

<math> \vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{n} \cdot \vec{r} </math>

diese Gleichung wird auch Punktnormalengleichung der Geraden genannt. 

Das Skalarprodukt <math> \vec{n} \cdot \vec{a} \ </math> ist natürlich bestimmbar, wenn zumindest der Punkt A und ein Normalenvektor <math> \vec{n} \ </math> gegeben sind. Dies ist eine reele Zahl c, also lässt sich die Punktenormalengleichung noch etwas umschreiben: 

<math> c = \vec{n} \cdot \vec{r} </math>

Diese Gleichung wird nun allgemeine Normalengleichung der Geraden genannt. Wird nun noch zusätzlich der Normalenvektor <math>\vec{n}</math> normiert so sprechen wir von der Hesseform der Geraden: 

<math> \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \cdot \vec{r} = \frac{c}{\vec{n}} =: d</math>

=== Abstand eines Punktes zu einer Geraden ===
Sei nun eine Gerade <math> \ g \ </math> in Hesseform gegeben: 
<math> g: \ d = n_n \cdot a </math> 
Wobei <math> \ n_n \ </math> der normierte Normalenvektor und <math>\ \vec{a} \ </math> der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden ist. 
Nun betrachten wir den Abstand der Geraden zum Ursprung. Da das Skalarprodukt der Vektoren <math> \vec{n_n}</math> und <math> \vec{a} \ </math> die Länge der senkrechten Projektion von <math> \vec{a} </math> auf <math> \vec{n_n}\ </math>ist, entspricht dieser Abstand genau <math> d </math>. 
Betrachten wir nun einen Punkt P der nicht auf der Geraden liegt:

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Sei nun der Vektor <math> \vec{FP} </math> der Normalenvektor vom Fußpunkt <math>F</math> zum Punkt <math>P\ </math> dann gilt:
<math> \vec{FP} = \vec{n} = \vec{n_n} \cdot h </math>, wobei <math> h</math> ein geeignete reele Zahlt ist. Man erkennt nun, da der Betrag von <math> |\vec{n_n}| = 1 </math>, dass <math> |h| </math> der Abstand des Punktes <math> P </math> zur Geraden <math> g </math> sein muss.
Da der Punkt <math> F </math> auf der Geraden <math>g</math> liegt muss für ihn die Punktenormalengleichung erfüllt sein: 
<math> n_n \cdot ( \vec{f} - \vec{a}) = 0</math> 

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Aus <math> n_n \cdot ( \vec{f} - \vec{a}) = 0</math> folgt wegen <math> \vec{f} = \vec{p}- h \cdot \vec{n_n}</math> 
<math> \vec{n_n} \cdot ( \vec{p} - h \cdot \vec{n_n} - \vec{a} ) = 0 </math> 
<math> \Leftrightarrow \ \ \ \vec{n_n} \cdot \vec{p} - h \cdot \vec{n_n} \cdot \vec{n_n} - \vec{a} = 0 </math> 
<math> \Leftrightarrow \ \ \ \vec{n_n} \cdot ( \vec{p} - \vec{a}) = h \cdot (\vec{n_n} \cdot \vec{n_n}) = h </math> 

Fassen wir zusammen: 

Sei eine Gerade g in Hesseform mit <math> \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a}) = 0 </math> gegeben, dann gilt für den Abstand h des Punktes P von der Geraden g: 
<math> |h| = |\vec{n_n} \cdot (\vec{p} - \vec{a})|</math> 
'''Anmerkung:''' 
Hierbei ist zu beachten, dass das Vorzeichen des Abstands <math> h </math> von der Lage des Punktes abhängt. Zeigt der Normalenvektor <math> \vec{n_n} </math> in die Halbebene <math> gP^+ </math> ist der Abstand positiv, zeigt <math> \vec{n_n} </math> in <math> gP^-</math> ist der Abstand negativ.

Geraden 2012 13

2013-03-07T16:13:37Z

Peterpummel: /* Abstand eines Punktes zu einer Geraden */

== Darstellung von Geraden ==
=== Die Parameterform ===
Eine Möglichkeit ist es Geraden mit Hilfe von zwei Vektoren darzustellen. Hierfür wir zum einen ein Stützvektor, zum anderen ein Richtungsvektor benötigt.

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=== Normierung eines Vektors ===
Manchmal ist es bei einem Vektor von größerem Interesse in welche Richtung er zeigt, als welche Länge (Betrag) er besitzt.
In solchen Fällen wird der Vektor durch seine Länge geteilt und hat dann damit die Länge Eins. Nun ist es wesentlich bequemer mit diesem normierten Vektor zu rechnen, als mit dem unnormierten Vektor.
Rechnerisch ergibt sich der Betrag eines Vektors aus der Wurzel des Skalarproduktes mit sich selbst. 

Beispiel: 

<math>
\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ |\vec{v} | = 5
</math>
 
Nun wird der Vektor durch seinen Betrag geteilt: 
<math>
\Rightarrow \ \ \ \ \ \vec{v_n} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5}\\ \frac{4}{5} \end{pmatrix}
\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ |\vec{v}| = 1
</math>
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== Der Normalenvektor ==
=== Definition des Normalenvektors ===
Sei g eine Gerade. Ein Vektor <math> \ \vec{n} \ </math> heisst genau dann Normalenvektor von g, wenn <math>\ \vec{n}\ </math> senkrecht zu der Geraden g steht. 

Der Punkt A an dem sich ein Normalenvektor mit der Geraden schneidet, wird auch Aufpunkt genannt.

 
Skizze eines Normalenvektors
 
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=== Eigenschaften des Normalenvektors ===

Sei g eine Gerade mit <math> \ \ g = \vec{s} + \lambda \cdot \vec{r} \ </math> und <math> \vec{n}</math> der Normalenvektor auf g , mit <math> s =\begin{pmatrix} s_1 \\ s_2 \end{pmatrix}, \ r =\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \end{pmatrix},\ n =\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix}. </math>

<math> E1:\ \ \ \vec{n} \cdot \vec{r} = 0 </math> 
<math> E2:\ \ \ n =\begin{pmatrix} -r_2 \\ r_1 \end{pmatrix} </math> 
<math> E3:</math> Im Raum gibt es unendlich viele Normalenvektoren zu einer Gerade g und einem Aufpunkt A.

Ist in der Ebene von einer Geraden ein Punkt P und ihr Normalenvektor bekannt, so wird diese hierdurch eindeutig beschrieben.
Sei <math> \vec{r} </math> ein beliebiger Ortsvektor auf der Geraden g, da der Normalenvektor <math> \vec{n} </math> senkrecht zu der Geraden <math> \vec{r} </math> steht, so steht <math> \vec{n} </math> auch senkrecht zu jedem anderen Vektor <math> \vec{r}- \vec{a} </math> der Geraden g.
 
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Da die beiden Vektoren <math> \vec{n}</math> und <math> \vec{r}-\vec{a}</math> senkrecht zueinander stehen, muss das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren Null ergeben:
 

<math> \vec{n} \cdot \vec{r}-\vec{a} = 0 </math> 
<math>\Leftrightarrow \vec{n} \cdot \vec{r} - \vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{0}</math> 
<math>\Leftrightarrow \vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{n} \cdot \vec{r} </math>
 

== Hesseform ==
===Herleitung der Hesseform ===
(Otto Hesse, deutscher Mathematiker, von 1811-1874) 

Aus den Eigenschaften des Normalenvektors einer Gerade, wollen wir nun auf eine neue Darstellungsform von Geraden in der Ebene schliessen.

Wir fassen zusammen:
Eine Gerade g in der Ebene ist durch einen Punkt A auf der Geraden und einen Normalenvektor n eindeutig festgelegt.
Ein jeder Ortsvektor <math> \vec{r} </math> eines Punktes der Geraden erfüllt die folgende Gleichung: 

<math> \vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{n} \cdot \vec{r} </math>

diese Gleichung wird auch Punktnormalengleichung der Geraden genannt. 

Das Skalarprodukt <math> \vec{n} \cdot \vec{a} \ </math> ist natürlich bestimmbar, wenn zumindest der Punkt A und ein Normalenvektor <math> \vec{n} \ </math> gegeben sind. Dies ist eine reele Zahl c, also lässt sich die Punktenormalengleichung noch etwas umschreiben: 

<math> c = \vec{n} \cdot \vec{r} </math>

Diese Gleichung wird nun allgemeine Normalengleichung der Geraden genannt. Wird nun noch zusätzlich der Normalenvektor <math>\vec{n}</math> normiert so sprechen wir von der Hesseform der Geraden: 

<math> \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \cdot \vec{r} = \frac{c}{\vec{n}} =: d</math>

=== Abstand eines Punktes zu einer Geraden ===
Sei nun eine Gerade <math> \ g \ </math> in Hesseform gegeben: 
<math> g: \ d = n_n \cdot a </math> 
Wobei <math> \ n_n \ </math> der normierte Normalenvektor und <math>\ \vec{a} \ </math> der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden ist. 
Nun betrachten wir den Abstand der Geraden zum Ursprung. Da das Skalarprodukt der Vektoren <math> \vec{n_n}</math> und <math> \vec{a} \ </math> die Länge der senkrechten Projektion von <math> \vec{a} </math> auf <math> \vec{n_n}\ </math>ist, entspricht dieser Abstand genau <math> d </math>. 
Betrachten wir nun einen Punkt P der nicht auf der Geraden liegt:

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Sei nun der Vektor <math> \vec{FP} </math> der Normalenvektor vom Fußpunkt <math>F</math> zum Punkt <math>P\ </math> dann gilt:
<math> \vec{FP} = \vec{n} = \vec{n_n} \cdot h </math>, wobei <math> h</math> ein geeignete reele Zahlt ist. Man erkennt nun, da der Betrag von <math> |\vec{n_n}| = 1 </math>, dass <math> |h| </math> der Abstand des Punktes <math> P </math> zur Geraden <math> g </math> sein muss.
Da der Punkt <math> F </math> auf der Geraden <math>g</math> liegt muss für ihn die Punktenormalengleichung erfüllt sein: 
<math> n_n \cdot ( \vec{f} - \vec{a}) = 0</math> 

<ggb_applet width="900" height="650" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
 
Aus <math> n_n \cdot ( \vec{f} - \vec{a}) = 0</math> folgt wegen <math> \vec{f} = \vec{p}- h \cdot \vec{n_n}</math> 
<math> \vec{n_n} \cdot ( \vec{p} - h \cdot \vec{n_n} - \vec{a} ) = 0 </math> 
<math> \Leftrightarrow \ \ \ \vec{n_n} \cdot \vec{p} - h \cdot \vec{n_n} \cdot \vec{n_n} - \vec{a} = 0 </math> 
<math> \Leftrightarrow \ \ \ \vec{n_n} \cdot ( \vec{p} - \vec{a}) = h \cdot (\vec{n_n} \cdot \vec{n_n}) = h </math> 

Fassen wir zusammen: 

Sei eine Gerade g in Hesseform mit <math> \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a}) = 0 </math> gegeben, dann gilt für den Abstand h des Punktes P von der Geraden g: 
<math> |h| = |\vec{n_n} \cdot (\vec{p} - \vec{a})|</math> 
'''Anmerkung:''' 
Hierbei ist zu beachten, dass das Vorzeichen des Abstands <math> h </math> von der Lage des Punktes abhängt. Für den Abstand der Geraden zum Ursprung <math> \vec{n_n} \cdot \vec{a} > 0</math>

da der Normalenvektor mit positiven Vorzeichen die Richtung von der Geraden zum Punkt hat. 
Also gilt für den Abstand eines Punktes der zwischen Geraden und Nullpunkt liegt, dass dieser negativ ist. Analog besitzt ein Punkt,der nicht zwischen Geraden und Ursprung liegt, einen positiven Abstand.

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-07T15:57:30Z

Peterpummel: /* Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham-Algorihtmus, ist ein Verfahren um Graden bzw. Kreise möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist. Dadurch entstehen "Lücken" beim zeichnen. Da unser Auge nur eine endliche Auflösung verarbeiten kann, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das 8fache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit, in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da die Rechenoperationen sich auf Addition und die Multiplikation mit zwei beschränken lässt. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.

Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet.

Multiplikation mit zwei<br\>
Eine Multiplikation mit der Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt werden kann.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m <= 1 ==
Wir wollen uns nun mit der folgenden Problemstellung beschäftigen, wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B. Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Den ersten Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel (allgemein: einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |t|-|s|</math>. 
Nun gehen wir nicht mehr von dem ersten Punkt (Ursprung) <math> O </math> aus, sondern von einem allgemeinen Punkt <math> P = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} </math>, dementsprechend lautet dann der Punkt
<math> T = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y \end{pmatrix} </math> und der Punkt <math> S = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y + 1 \end{pmatrix} </math>

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

(*)'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Punkt Hesseform gesehen haben, kommt es bei den Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt hat, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit (*): 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x + 1 + p_x + 1 \\ p_y + p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot p_x + 2 \\ 2 \cdot p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math> 

Nun entscheidet das Vorzeichen von <math> d </math> welcher Punkt angesteuert wird: 
Für <math> d >= 0 </math> der Punkt <math> S </math> 
Für <math> d < 0 </math> der Punkt <math> T </math> 

==Algorithmus für Gerade mit der Steigung m > 1 ==
Wir wollen nun den Fall für Geraden betrachten deren Steigung größer ist als Eins. Ist dieser Fall nun auch betrachtet, steht uns der Algorithmus für alle Geraden zur Verfügung.

Die Vorausetzungen seien wie in dem Fall für die Steigung kleiner Eins.

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-07T15:32:14Z

Peterpummel: /* Bresenham-Algortihmus für Geraden */

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-07T15:31:24Z

Peterpummel: /* Bresenham-Algortihmus für Geraden */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham-Algorihtmus, ist ein Verfahren um Graden bzw. Kreise möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist. Dadurch entstehen "Lücken" beim zeichnen. Da unser Auge nur eine endliche Auflösung verarbeiten kann, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das 8fache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit, in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da die Rechenoperationen sich auf Addition und die Multiplikation mit zwei beschränken lässt. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.

Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet.

Multiplikation mit zwei<br\>
Eine Multiplikation mit der Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt werden kann.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
==Für Gerade mit der Steigung m <= 1 ==
Wir wollen uns nun mit der folgenden Problemstellung beschäftigen, wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B. Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Den ersten Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel (allgemein: einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |t|-|s|</math>. 
Nun gehen wir nicht mehr von dem ersten Punkt (Ursprung) <math> O </math> aus, sondern von einem allgemeinen Punkt <math> P = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} </math>, dementsprechend lautet dann der Punkt
<math> T = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y \end{pmatrix} </math> und der Punkt <math> S = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y + 1 \end{pmatrix} </math>

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

(*)'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Punkt Hesseform gesehen haben, kommt es bei den Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt hat, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit (*): 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x + 1 + p_x + 1 \\ p_y + p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot p_x + 2 \\ 2 \cdot p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math> 

Nun entscheidet das Vorzeichen von <math> d </math> welcher Punkt angesteuert wird: 
Für <math> d >= 0 </math> der Punkt <math> S </math> 
Für <math> d < 0 </math> der Punkt <math> T </math>

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-07T15:30:38Z

Peterpummel: /* Bresenham-Algortihmus für Geraden */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham-Algorihtmus, ist ein Verfahren um Graden bzw. Kreise möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist. Dadurch entstehen "Lücken" beim zeichnen. Da unser Auge nur eine endliche Auflösung verarbeiten kann, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das 8fache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit, in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da die Rechenoperationen sich auf Addition und die Multiplikation mit zwei beschränken lässt. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.

Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet.

Multiplikation mit zwei<br\>
Eine Multiplikation mit der Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt werden kann.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
==Für Gerade mit der Steigung m <= 1
Wir wollen uns nun mit der folgenden Problemstellung beschäftigen, wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B. Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Den ersten Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel (allgemein: einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |t|-|s|</math>. 
Nun gehen wir nicht mehr von dem ersten Punkt (Ursprung) <math> O </math> aus, sondern von einem allgemeinen Punkt <math> P = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} </math>, dementsprechend lautet dann der Punkt
<math> T = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y \end{pmatrix} </math> und der Punkt <math> S = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y + 1 \end{pmatrix} </math>

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

(*)'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Punkt Hesseform gesehen haben, kommt es bei den Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt hat, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit (*): 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x + 1 + p_x + 1 \\ p_y + p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot p_x + 2 \\ 2 \cdot p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math> 

Nun entscheidet das Vorzeichen von <math> d </math> welcher Punkt angesteuert wird: 
Für <math> d >= 0 </math> der Punkt <math> S </math> 
Für <math> d < 0 </math> der Punkt <math> T </math>

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-07T14:31:54Z

Peterpummel: /* Bresenham-Algortihmus für Geraden */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham-Algorihtmus, ist ein Verfahren um Graden bzw. Kreise möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist. Dadurch entstehen "Lücken" beim zeichnen. Da unser Auge nur eine endliche Auflösung verarbeiten kann, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das 8fache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit, in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da die Rechenoperationen sich auf Addition und die Multiplikation mit zwei beschränken lässt. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.

Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet.

Multiplikation mit zwei<br\>
Eine Multiplikation mit der Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt werden kann.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
Wir wollen uns nun mit der folgenden Problemstellung beschäftigen, wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B. Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Den ersten Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel (allgemein: einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |t|-|s|</math>. 
Nun gehen wir nicht mehr von dem ersten Punkt (Ursprung) <math> O </math> aus, sondern von einem allgemeinen Punkt <math> P = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} </math>, dementsprechend lautet dann der Punkt
<math> T = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y \end{pmatrix} </math> und der Punkt <math> S = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y + 1 \end{pmatrix} </math>

<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="UEsDBBQACAgIANV7Z0IAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgICADVe2dCAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbN1a63LjthX+7TwFhj866dSicCe4lTez63abzXiTndrtpP2zQ5GwhJgiGZLyJbOPkzfJi/UAICVRsh3f6ux4bAkECJyD850rSE2+uVzk6FzXjSmLg4CEOEC6SMvMFLODYNmejlTwzeuvJjNdzvS0TtBpWS+S9iDgIQ3W66AXEmYXmwyopFN9SgkZyWQqRjwhyWh6ivFIMB2dwodHnAQIXTbmVVF+nyx0UyWpPk7nepEclWnSOprztq1ejccXFxdhzz0s69l4NpuGl00WINh50RwE3cUrIDdYdMHcdIoxGf/44ciTH5miaZMi1QGyUi3N66/2JhemyMoLdGGydg67p1EcoLk2sznIGSsQamxnVSBspdPWnOsG1m50ndDtogrctKSw9/f8FcpX8gQoM+cm0/VBgC1SZW100XY3Scdk3C+fnBt94enYK8eC4zgC0E1jprk+CE6TvAE5THFaA4awg3oJ3aa9yvU0qfv+egNkH/5ggvlFW1qwBS/4QUBjvE+J2I8w3heiE3iTcYDasswdVYxEjD5/RhRTjPZtQ3xDoZHS38J+DDPfUN9w3wg/h/vl3E/lfg73czi7Rc6uvxa0GxhI2svJNuUkIJ/9SPg4ALbkpPfhug0v22drpnzNVACwDmBxPVO1AS6xyH1GxELmGoYsWMSBZhvedaXvRq4h2Deku6nsl1OSfCSM7EEwkg2uHqW7o7hSHKFygyXj2IF4I8tHSrriysWG5sAb7L/77LBkj7KWNUeB78pR8sd4/wMYRnjg+L3X+5Z07W0wPNmmJuM+Hk66DaFmbud29tXqRWO3yGIXnhBBAjxJRhBNBCIxNJH1KIqIQFxAlygkbRshZp2II4YUsvMIQy4ICQVf3DmYRAJo2cHIexpiHAmGiAtdHAEKyIU/wIQymCEEErDIcieWLZOIS+gwhThs0Aa+yPo5g3XQB+YUMYKYXUsiRCWSFEU2eBJuY6pUdu9AlCKJkbRLIXpC5PRRE1YoxKw04AVV2ZgVuHOdVyutOBxNUS3bDrtuPF1kPY5tuTU9K9Ozt1tg66Rp+2uYBDlrnQp9Dhtkyr1Jnkx1DgXFsbUDhM6THLwncPRPy6JFK4/3Y7M6qeYmbY5128KqBv2UnCdHSasv38Hspt+gY+0y+EQv09xkJin+DUZiSViCaJ3QbSTpE7oSHZu0LOvs+KoB00GX/9V1eRCMSBwKFXEWcxFHQsLKAF35e0qJkKlYUsUiQQWFGqFJE2v0JKIhVlQpKhihUPfAmhtuqU5sfb4SLrnUK5HQrLZut9F537wt8/VQVZqiPUyqdlm7Ag3ic23FelPMcu3gdUkMSp30bFpeHntcmad1clVBD/sdTGeHZV7WCJySCoh5s66d+tbNsVtbzcJuDnYzcK8ok63uk5i6Ga6d+tbNAs37rXWikl5Mgns2pnHhBogPDNPZjS2cloVpj/pOa9KzTlTiF3y/XEzB5DqbHNIkT0VzMt6yssmZrgude1MqQJnLctl4414Z6N5k2eiPSTt/U2T/1DNwy4+JjYwtkPZT11vOdGoWsNCPd+AlVrH/gq360UzPat2LmLua2EPr7uJNw94ZdqTe1eXifXF+AlaztdXJuJdn0qS1qax1oimE6jO9tr/MNAkE+mxzHQjfgBSpDToAZGtBDFCybOdl7ape8FxIJei7334tCl1DsASDtE57WdW6seeHXikn+rIF+OHGQfCnn5dl+9eP6OsfP5l99J9P5s9+xLHUuV5A7YxaZ9EQGNpgSMPFANAiKqc/QSBaJR4/Z0M9cP8GC0dJXs0TX6t7O06uYPebiDpyH8psiLMLaY2uzekq/4EbfgCV2qp/Fep8VlytglNJ3X607g0HIzuX80hGlMaKYiYkzL+yx7MIqkkVQywSTApmc+8v/tTmLdTjciO4dADusQMX/QURB7C9uAfI9IsBua+17o8yDyPGBJdSMSqF4tKhzEMiJItixRiTRCl1P5DZAOSTIcj3AJi9CIBjEXMVCwtoRGwB68xYxgryA2Vw4IyjWMobER5A5LLfSv43j8fHZbyHIpQUEK5d0IMSovKJo9La5xy/YbiogJxL1RvbcQG6sfi45y3O5PAmBHsTJ6pN34NqyY9uRfa74vX2BeDFnhGvwxeAl3hGvP72AvDq/ZE+A15/fwF4sWfE690LwEs8NV7XViB8UIH8gL7G+/gehQd/AYUHDqFG5oozAqUHlypifQFNsOJcYRGJGFPxkMLjHy/AEKNndNxvXxBez5FI3+/iNXx4sX5m8MXipcJY4ljC4YkqjBX1JysRwoEqJpLwmMUykvH/HcvvXgCWMmSxkhILRmIFQcuHMhYCjBxjTuAcZf/lk4CZlotFUmSocM/vj0yhg/Vj4wTbMg8lxALrQVu2/Y3Ek+oI7OjFPgZcoZ78oSlmDe2IXIOiN9RtyAHbURwSRWOKpSARF4rw7Sec7dykZwVkZPcYtu0euLqLb02WafdU3q3RPxd+SZfGzKLKTWrae+vj0Ovj3Y4+pvfQx/T33OS5FEK7OIu7ODsia2LPhvL7wj6fBRS2oE481NMdqI/TeWFa6BZn7e2oD6PTYN3DNCCVU4Ftpr55vBIEC68LODwUOFZccAqmz+KudsJhFEeMEixZHCnM5ROGn2M9s+Nbahig5jRyuKOR7FNzuyKajnQPr13woJjUvz3xTiDIk4QlKF8xU4IQ+MKSM8oHXgFVCImBsYQvgF5ScYuLiNtdBEDLbfJZGT0kq93XGGdaV/b90Q/FSZ0Ujf0V0PD9xeOVuBvBsk+/4027SrzGje6iRIL9yytqf7jxVLGMhCSG7KKUq3cE1DvD0CbAy3DEOYMvGdnXil+UFq8/W4rB2RK85u7nSvEUDvaHnyx5CNmfMYyFEIRi1RVjwr6sYaBDW9i6Ld/nnYHcQrW9O6ryMaVU/8r3C0A1whhLIiNCJJzQseiOp9K+NMeYEUVwpG583zXefAvpfhjQ/WTw9f8AUEsHCAuvQiO3CAAA4igAAFBLAQIUABQACAgIANV7Z0JFzN5dGgAAABgAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAICAgA1XtnQguvQiO3CAAA4igAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXgAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAABPCQAAAAA=" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

(*)'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Punkt Hesseform gesehen haben, kommt es bei den Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt hat, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit (*): 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x + 1 + p_x + 1 \\ p_y + p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot p_x + 2 \\ 2 \cdot p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math> 

Nun entscheidet das Vorzeichen von <math> d </math> welcher Punkt angesteuert wird: 
Für <math> d >= 0 </math> der Punkt <math> S </math> 
Für <math> d < 0 </math> der Punkt <math> T </math>

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-07T14:29:21Z

Peterpummel: /* Skizzen */

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-07T14:29:02Z

Peterpummel: /* Bresenham-Algortihmus für Geraden */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham-Algorihtmus, ist ein Verfahren um Graden bzw. Kreise möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist. Dadurch entstehen "Lücken" beim zeichnen. Da unser Auge nur eine endliche Auflösung verarbeiten kann, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das 8fache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit, in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da die Rechenoperationen sich auf Addition und die Multiplikation mit zwei beschränken lässt. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.

Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet.

Multiplikation mit zwei<br\>
Eine Multiplikation mit der Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt werden kann.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Skizzen=
<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
Wir wollen uns nun mit der folgenden Problemstellung beschäftigen, wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B. Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Den ersten Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel (allgemein: einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |t|-|s|</math>. 
Nun gehen wir nicht mehr von dem ersten Punkt (Ursprung) <math> O </math> aus, sondern von einem allgemeinen Punkt <math> P = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} </math>, dementsprechend lautet dann der Punkt
<math> T = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y \end{pmatrix} </math> und der Punkt <math> S = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y + 1 \end{pmatrix} </math>

(*)'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Punkt Hesseform gesehen haben, kommt es bei den Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt hat, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit (*): 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x + 1 + p_x + 1 \\ p_y + p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot p_x + 2 \\ 2 \cdot p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math> 

Nun entscheidet das Vorzeichen von <math> d </math> welcher Punkt angesteuert wird: 
Für <math> d >= 0 </math> der Punkt <math> S </math> 
Für <math> d < 0 </math> der Punkt <math> T </math> 

 
Skizze

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-07T14:26:34Z

Peterpummel: /* Bresenham-Algortihmus für Geraden */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham-Algorihtmus, ist ein Verfahren um Graden bzw. Kreise möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist. Dadurch entstehen "Lücken" beim zeichnen. Da unser Auge nur eine endliche Auflösung verarbeiten kann, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das 8fache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit, in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da die Rechenoperationen sich auf Addition und die Multiplikation mit zwei beschränken lässt. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.

Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet.

Multiplikation mit zwei<br\>
Eine Multiplikation mit der Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt werden kann.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Skizzen=
<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
Wir wollen uns nun mit der folgenden Problemstellung beschäftigen, wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B. Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Den ersten Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel (allgemein: einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |t|-|s|</math>. 
Nun gehen wir nicht mehr von dem ersten Punkt (Ursprung) <math> O </math> aus, sondern von einem allgemeinen Punkt <math> P = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} </math>, dementsprechend lautet dann der Punkt
<math> T = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y \end{pmatrix} </math> und der Punkt <math> S = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y + 1 \end{pmatrix} </math>

(*)'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Punkt Hesseform gesehen haben, kommt es bei den Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt hat, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit (*): 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x + 1 + p_x + 1 \\ p_y + p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot p_x + 2 \\ 2 \cdot p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) =: d </math>

Nun entscheidet das Vorzeichen von <math> d </math> welcher Punkt angesteuert wird:
Für <math> d >= 0 </math> der Punkt <math> S </math> 
Für <math> d < 0 </math> der Punkt <math> T </math> 

 
Skizze

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-07T14:23:23Z

Peterpummel: /* Bresenham-Algortihmus für Geraden */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham-Algorihtmus, ist ein Verfahren um Graden bzw. Kreise möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist. Dadurch entstehen "Lücken" beim zeichnen. Da unser Auge nur eine endliche Auflösung verarbeiten kann, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das 8fache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit, in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da die Rechenoperationen sich auf Addition und die Multiplikation mit zwei beschränken lässt. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.

Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet.

Multiplikation mit zwei<br\>
Eine Multiplikation mit der Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt werden kann.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Skizzen=
<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
Wir wollen uns nun mit der folgenden Problemstellung beschäftigen, wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B. Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Den ersten Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel (allgemein: einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |t|-|s|</math>. 
Nun gehen wir nicht mehr von dem ersten Punkt (Ursprung) <math> O </math> aus, sondern von einem allgemeinen Punkt <math> P = \begin{pmatrix} p_x \\ p_y \end{pmatrix} </math>, dementsprechend lautet dann der Punkt
<math> T = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y \end{pmatrix} </math> und der Punkt <math> S = \begin{pmatrix} p_x + 1 \\ p_y + 1 \end{pmatrix} </math>

(*)'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Punkt Hesseform gesehen haben, kommt es bei den Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt hat, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit (*): 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_x + 1 + p_x + 1 \\ p_y + p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot p_x + 2 \\ 2 \cdot p_y + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot p_x \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot p_y + n_y ) </math>

 
Skizze

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-07T14:15:23Z

Peterpummel: /* Bresenham-Algortihmus für Geraden */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham-Algorihtmus, ist ein Verfahren um Graden bzw. Kreise möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist. Dadurch entstehen "Lücken" beim zeichnen. Da unser Auge nur eine endliche Auflösung verarbeiten kann, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das 8fache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit, in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da die Rechenoperationen sich auf Addition und die Multiplikation mit zwei beschränken lässt. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.

Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet.

Multiplikation mit zwei<br\>
Eine Multiplikation mit der Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt werden kann.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Skizzen=
<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
Wir wollen uns nun mit der folgenden Problemstellung beschäftigen, wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B Monitor) zeichnen lassen. Wir wollen für den ersten Teil nur Geraden mit einer Steigung <math> m <= 1 </math> betrachten. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden. 
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.
Den ersten Punkt den wir zeichnen ist natürlich der Punkt <math>O (0,0)</math>, denn dies haben wir so festgelegt. Nun müssen wir für den nächsten Punkt entscheiden, ob wir nur ein Pixel ( allgemein einen Plotterschritt) nach rechts zum Punkt <math> T </math> gehen oder ein Pixel nach rechts und nach oben zum Punkt <math> S </math>. Um dies zu entscheiden müssen wir die Abstände, die die jeweiligen Punkte zu der idealen Geraden haben, vergleichen. Der Punkt mit dem kleineren Abstand wird dann angesteuert. 
Hierfür betrachten wir die Differenz der Abstände <math> |t|-|s|</math>. 

(*)'''Achtung:''' 
Wie wir unter dem Punkt Hesseform gesehen haben, kommt es bei den Abständen der Punkte auf die Lage der Punkte im Bezug zur Geraden und dem Ursprung an. Da der Punkt <math> S </math> nicht zwischen Gerade und Ursprung liegt hat, ist der Abstand <math> d_s </math> positiv, analog ist der Abstand <math> d_t </math> negativ. 

Also folgt mit (*): 

<math>|t| - |s| = -t - s = - (t+s) </math> 
<math>= -(\vec{n_n} \cdot (\vec {t} - \vec {a}) - \vec n_n \cdot ( \vec{s} - \vec {a})) </math> 
<math>= - ( \vec{n} \cdot ( \vec{t} + \vec{s})) </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_i + 1 + x_i + 1 \\ y_i + y_i + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \cdot x_i + 2 \\ 2 \cdot y_i + 1 \end{pmatrix} </math> 
<math>= - ( n_x \cdot 2 \cdot x_i \ + 2 \cdot n_x + n_y \cdot 2 \cdot y_i + n_y ) </math>

 
Skizze

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-07T13:45:53Z

Peterpummel: /* Allgemeines zum Bresenham Algorithmus */

=Allgemeines zum Bresenham Algorithmus=

==Motivation des Algorithmus==

Der Bresenham-Algorihtmus, ist ein Verfahren um Graden bzw. Kreise möglichst "gut" auf Anzeigegeräten zu zeichnen. Hier heisst "gut", dass die Abweichung zwischen dem gezeichneten und dem gedachten Objekt möglichst gering ist.

Das Problem beim Darstellen einer Strecke auf einem Anzeigegerät ist, dass das erzeugte Bild nur durch endlich viele Punkte aufgebaut ist. Dadurch entstehen "Lücken" beim zeichnen. Da unser Auge nur eine endliche Auflösung verarbeiten kann, scheint uns ein Bild auf dem Monitor nicht durch einzelne Punkte aufgebaut zu sein, sondern es entstehen für uns geometrische Formen, die wir mit unserer Vorstellung von mathematischen Objekten in Einklang bringen können.
 
 
 
 
Eine Gerade wie wir sie auf dem Bildschirm wahrnehmen. 
[[Datei:GradeNormalBresenham.png|Gerade in normaler Größe]]
 
 
 
 
Hier sieht man dieselbe Gerade um das 8fache vergrößert. 
 
 
[[Datei:GeradeZoom4.png|Gerade bis auf die Pixeleben vergrößert]]

==Effektivität des Algorithmus==
Dieser Algorithmus ist auch in heutiger Zeit, in seiner Geschwindigkeit und Einfachheit ungeschlagen, da die Rechenoperationen sich auf Addition und die Multiplikation mit zwei beschränken lässt. Dadurch kann dieser Rechenalgorithmus direkt in die Hardware der Grafikkarten implementiert werden.

Obwohl in den Rechentermen Potenzen auftreten, kann man diese umgehen.
Hierfür betrachten wir den Ausdruck: 
<math> n^2 </math> 
die zweite Binomische Formel liefert: 
<math> (n - 1)^2 = n^2 - 2 \cdot n + 1 \ \Leftrightarrow n ^ 2 = ( n - 1)^2 + 2 \cdot n - 1</math><br\> 
durch rekursives Anwenden dieser Formel lassen sich Potenzen solange vereinfachen bis die Basis Eins erreicht ist und damit die Potenz verschwindet.

Multiplikation mit zwei<br\>
Eine Multiplikation mit der Zwei ist für einen Computer eine elementare Rechenoperation, da die sogenannte Shift Operation (Verrückungsoperation) durchgeführt werden kann.

Wir erinnern uns an die Darstellung von Zahlen im Binärsystem.

{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 0
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
|}
Hier wird die Zahl (im Dezimalsystem) dargestellt<br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 77</math><br\><br\>
Multiplizerien wir nun mit zwei, so folgt:<br\><br\>
<math>2 \cdot ( 0 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 ) = 154</math><br\><br\>
<math> \Leftrightarrow </math><br\><br\>
<math> 0 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 154</math> <br\>

Also die Zahl 154 (Dezimal) in Binärdarstellung:
{| class="wikitable "
! Wertigkeit der Stelle
! 2^7 = 128
! 2^6 = 64
! 2^5 = 32
! 2^4 = 16
! 2^3 = 8
! 2^2 = 4
! 2^1 = 2
! 2^0 = 1

|-
| Binärzahl
| 1
| 0
| 0
| 1
| 1
| 0
| 1
| 0
|}
Vergleichen wir nun die Darstellung der Zahl 77 mit der Darstellung der Zahl 154, so fällt auf, dass durch die Multiplikation mit Zwei jedes Bit um eine Stelle nach links verschoben wurde.

=Skizzen=
<ggb_applet width="1260" height="880" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=Bresenham-Algortihmus für Geraden=
Wir wollen uns nun mit der folgenden Problemstellung beschäftigen, wir wollen eine Gerade, welche in Hesseform gegeben ist, mit einem Plotter (z.B Monitor) zeichnen lassen. 
Sei die Gerade <math> g : \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a} ) = 0 </math> gegeben. Hierbei ist <math> n_n </math> der normierte Normalenvektor, <math> \vec{a}</math> ein gegebener Ortsvektor eines Punktes der Geraden.
Wir geben den Startpunkt der Geraden auf unserem Plotter die Koordinaten (0,0), d.h. jede Gerade, die wir zeichnen erhält damit ein eigenes Koordinatensystem.

==Skizze==

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-07T13:45:03Z

Peterpummel: /* Bresenham-Algortihmus für Geraden */

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-07T13:44:19Z

Peterpummel: /* Bresenham-Algortihmus für Geraden */

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-07T13:33:35Z

Peterpummel: /* Bresenham-Algortihmus für Geraden */

Bresenham-Algorithmus (in Arbeit)

2013-03-07T13:15:10Z

Peterpummel:

Geraden 2012 13

2013-03-07T13:12:04Z

Peterpummel: /* Abstand eines Punktes zu einer Geraden */

== Darstellung von Geraden ==
=== Die Parameterform ===
Eine Möglichkeit ist es Geraden mit Hilfe von zwei Vektoren darzustellen. Hierfür wir zum einen ein Stützvektor, zum anderen ein Richtungsvektor benötigt.

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=== Normierung eines Vektors ===
Manchmal ist es bei einem Vektor von größerem Interesse in welche Richtung er zeigt, als welche Länge (Betrag) er besitzt.
In solchen Fällen wird der Vektor durch seine Länge geteilt und hat dann damit die Länge Eins. Nun ist es wesentlich bequemer mit diesem normierten Vektor zu rechnen, als mit dem unnormierten Vektor.
Rechnerisch ergibt sich der Betrag eines Vektors aus der Wurzel des Skalarproduktes mit sich selbst. 

Beispiel: 

<math>
\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ |\vec{v} | = 5
</math>
 
Nun wird der Vektor durch seinen Betrag geteilt: 
<math>
\Rightarrow \ \ \ \ \ \vec{v_n} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5}\\ \frac{4}{5} \end{pmatrix}
\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ |\vec{v}| = 1
</math>
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== Der Normalenvektor ==
=== Definition des Normalenvektors ===
Sei g eine Gerade. Ein Vektor <math> \ \vec{n} \ </math> heisst genau dann Normalenvektor von g, wenn <math>\ \vec{n}\ </math> senkrecht zu der Geraden g steht. 

Der Punkt A an dem sich ein Normalenvektor mit der Geraden schneidet, wird auch Aufpunkt genannt.

 
Skizze eines Normalenvektors
 
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=== Eigenschaften des Normalenvektors ===

Sei g eine Gerade mit <math> \ \ g = \vec{s} + \lambda \cdot \vec{r} \ </math> und <math> \vec{n}</math> der Normalenvektor auf g , mit <math> s =\begin{pmatrix} s_1 \\ s_2 \end{pmatrix}, \ r =\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \end{pmatrix},\ n =\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix}. </math>

<math> E1:\ \ \ \vec{n} \cdot \vec{r} = 0 </math> 
<math> E2:\ \ \ n =\begin{pmatrix} -r_2 \\ r_1 \end{pmatrix} </math> 
<math> E3:</math> Im Raum gibt es unendlich viele Normalenvektoren zu einer Gerade g und einem Aufpunkt A.

Ist in der Ebene von einer Geraden ein Punkt P und ihr Normalenvektor bekannt, so wird diese hierdurch eindeutig beschrieben.
Sei <math> \vec{r} </math> ein beliebiger Ortsvektor auf der Geraden g, da der Normalenvektor <math> \vec{n} </math> senkrecht zu der Geraden <math> \vec{r} </math> steht, so steht <math> \vec{n} </math> auch senkrecht zu jedem anderen Vektor <math> \vec{r}- \vec{a} </math> der Geraden g.
 
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Da die beiden Vektoren <math> \vec{n}</math> und <math> \vec{r}-\vec{a}</math> senkrecht zueinander stehen, muss das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren Null ergeben:
 

<math> \vec{n} \cdot \vec{r}-\vec{a} = 0 </math> 
<math>\Leftrightarrow \vec{n} \cdot \vec{r} - \vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{0}</math> 
<math>\Leftrightarrow \vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{n} \cdot \vec{r} </math>
 

== Hesseform ==
===Herleitung der Hesseform ===
(Otto Hesse, deutscher Mathematiker, von 1811-1874) 

Aus den Eigenschaften des Normalenvektors einer Gerade, wollen wir nun auf eine neue Darstellungsform von Geraden in der Ebene schliessen.

Wir fassen zusammen:
Eine Gerade g in der Ebene ist durch einen Punkt A auf der Geraden und einen Normalenvektor n eindeutig festgelegt.
Ein jeder Ortsvektor <math> \vec{r} </math> eines Punktes der Geraden erfüllt die folgende Gleichung: 

<math> \vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{n} \cdot \vec{r} </math>

diese Gleichung wird auch Punktnormalengleichung der Geraden genannt. 

Das Skalarprodukt <math> \vec{n} \cdot \vec{a} \ </math> ist natürlich bestimmbar, wenn zumindest der Punkt A und ein Normalenvektor <math> \vec{n} \ </math> gegeben sind. Dies ist eine reele Zahl c, also lässt sich die Punktenormalengleichung noch etwas umschreiben: 

<math> c = \vec{n} \cdot \vec{r} </math>

Diese Gleichung wird nun allgemeine Normalengleichung der Geraden genannt. Wird nun noch zusätzlich der Normalenvektor <math>\vec{n}</math> normiert so sprechen wir von der Hesseform der Geraden: 

<math> \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \cdot \vec{r} = \frac{c}{\vec{n}} =: d</math>

=== Abstand eines Punktes zu einer Geraden ===
Sei nun eine Gerade <math> \ g \ </math> in Hesseform gegeben: 
<math> g: \ d = n_n \cdot a </math> 
Wobei <math> \ n_n \ </math> der normierte Normalenvektor und <math>\ \vec{a} \ </math> der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden ist. 
Nun betrachten wir den Abstand der Geraden zum Ursprung. Da das Skalarprodukt der Vektoren <math> \vec{n_n}</math> und <math> \vec{a} \ </math> die Länge der senkrechten Projektion von <math> \vec{a} </math> auf <math> \vec{n_n}\ </math>ist, entspricht dieser Abstand genau <math> d </math>. 
Betrachten wir nun einen Punkt P der nicht auf der Geraden liegt:

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Sei nun der Vektor <math> \vec{FP} </math> der Normalenvektor vom Fußpunkt <math>F</math> zum Punkt <math>P\ </math> dann gilt:
<math> \vec{FP} = \vec{n} = \vec{n_n} \cdot h </math>, wobei <math> h</math> ein geeignete reele Zahlt ist. Man erkennt nun, da der Betrag von <math> |\vec{n_n}| = 1 </math>, dass <math> |h| </math> der Abstand des Punktes <math> P </math> zur Geraden <math> g </math> sein muss.
Da der Punkt <math> F </math> auf der Geraden <math>g</math> liegt muss für ihn die Punktenormalengleichung erfüllt sein: 
<math> n_n \cdot ( \vec{f} - \vec{a}) = 0</math> 

<ggb_applet width="900" height="650" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
 
Aus <math> n_n \cdot ( \vec{f} - \vec{a}) = 0</math> folgt wegen <math> \vec{f} = \vec{p}- h \cdot \vec{n_n}</math> 
<math> \vec{n_n} \cdot ( \vec{p} - h \cdot \vec{n_n} - \vec{a} ) = 0 </math> 
<math> \Leftrightarrow \ \ \ \vec{n_n} \cdot \vec{p} - h \cdot \vec{n_n} \cdot \vec{n_n} - \vec{a} = 0 </math> 
<math> \Leftrightarrow \ \ \ \vec{n_n} \cdot ( \vec{p} - \vec{a}) = h \cdot (\vec{n_n} \cdot \vec{n_n}) = h </math> 

Fassen wir zusammen: 

Sei eine Gerade g in Hesseform mit <math> \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a}) = 0 </math> gegeben, dann gilt für den Abstand h des Punktes P von der Geraden g: 
<math> |h| = |\vec{n_n} \cdot (\vec{p} - \vec{a})|</math> 
'''Anmerkung:''' 
Hierbei ist zu beachten, dass das Vorzeichen des Abstands <math> h </math> von der Lage des Punktes abhängt, da der Normalenvektor mit positiven Vorzeichen die Richtung vom Ursprung zur Geraden hat. 
Also gilt für den Abstand eines Punktes der zwischen Geraden und Nullpunkt liegt, dass dieser negativ ist. Analog besitzt ein Punkt,der nicht zwischen Geraden und Ursprung liegt, einen positiven Abstand.

Geraden 2012 13

2013-03-07T13:10:48Z

Peterpummel: /* Abstand eines Punktes zu einer Geraden */

== Darstellung von Geraden ==
=== Die Parameterform ===
Eine Möglichkeit ist es Geraden mit Hilfe von zwei Vektoren darzustellen. Hierfür wir zum einen ein Stützvektor, zum anderen ein Richtungsvektor benötigt.

<ggb_applet width="700" height="450" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

=== Normierung eines Vektors ===
Manchmal ist es bei einem Vektor von größerem Interesse in welche Richtung er zeigt, als welche Länge (Betrag) er besitzt.
In solchen Fällen wird der Vektor durch seine Länge geteilt und hat dann damit die Länge Eins. Nun ist es wesentlich bequemer mit diesem normierten Vektor zu rechnen, als mit dem unnormierten Vektor.
Rechnerisch ergibt sich der Betrag eines Vektors aus der Wurzel des Skalarproduktes mit sich selbst. 

Beispiel: 

<math>
\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ |\vec{v} | = 5
</math>
 
Nun wird der Vektor durch seinen Betrag geteilt: 
<math>
\Rightarrow \ \ \ \ \ \vec{v_n} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5}\\ \frac{4}{5} \end{pmatrix}
\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ |\vec{v}| = 1
</math>
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== Der Normalenvektor ==
=== Definition des Normalenvektors ===
Sei g eine Gerade. Ein Vektor <math> \ \vec{n} \ </math> heisst genau dann Normalenvektor von g, wenn <math>\ \vec{n}\ </math> senkrecht zu der Geraden g steht. 

Der Punkt A an dem sich ein Normalenvektor mit der Geraden schneidet, wird auch Aufpunkt genannt.

 
Skizze eines Normalenvektors
 
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=== Eigenschaften des Normalenvektors ===

Sei g eine Gerade mit <math> \ \ g = \vec{s} + \lambda \cdot \vec{r} \ </math> und <math> \vec{n}</math> der Normalenvektor auf g , mit <math> s =\begin{pmatrix} s_1 \\ s_2 \end{pmatrix}, \ r =\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \end{pmatrix},\ n =\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix}. </math>

<math> E1:\ \ \ \vec{n} \cdot \vec{r} = 0 </math> 
<math> E2:\ \ \ n =\begin{pmatrix} -r_2 \\ r_1 \end{pmatrix} </math> 
<math> E3:</math> Im Raum gibt es unendlich viele Normalenvektoren zu einer Gerade g und einem Aufpunkt A.

Ist in der Ebene von einer Geraden ein Punkt P und ihr Normalenvektor bekannt, so wird diese hierdurch eindeutig beschrieben.
Sei <math> \vec{r} </math> ein beliebiger Ortsvektor auf der Geraden g, da der Normalenvektor <math> \vec{n} </math> senkrecht zu der Geraden <math> \vec{r} </math> steht, so steht <math> \vec{n} </math> auch senkrecht zu jedem anderen Vektor <math> \vec{r}- \vec{a} </math> der Geraden g.
 
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Da die beiden Vektoren <math> \vec{n}</math> und <math> \vec{r}-\vec{a}</math> senkrecht zueinander stehen, muss das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren Null ergeben:
 

<math> \vec{n} \cdot \vec{r}-\vec{a} = 0 </math> 
<math>\Leftrightarrow \vec{n} \cdot \vec{r} - \vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{0}</math> 
<math>\Leftrightarrow \vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{n} \cdot \vec{r} </math>
 

== Hesseform ==
===Herleitung der Hesseform ===
(Otto Hesse, deutscher Mathematiker, von 1811-1874) 

Aus den Eigenschaften des Normalenvektors einer Gerade, wollen wir nun auf eine neue Darstellungsform von Geraden in der Ebene schliessen.

Wir fassen zusammen:
Eine Gerade g in der Ebene ist durch einen Punkt A auf der Geraden und einen Normalenvektor n eindeutig festgelegt.
Ein jeder Ortsvektor <math> \vec{r} </math> eines Punktes der Geraden erfüllt die folgende Gleichung: 

<math> \vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{n} \cdot \vec{r} </math>

diese Gleichung wird auch Punktnormalengleichung der Geraden genannt. 

Das Skalarprodukt <math> \vec{n} \cdot \vec{a} \ </math> ist natürlich bestimmbar, wenn zumindest der Punkt A und ein Normalenvektor <math> \vec{n} \ </math> gegeben sind. Dies ist eine reele Zahl c, also lässt sich die Punktenormalengleichung noch etwas umschreiben: 

<math> c = \vec{n} \cdot \vec{r} </math>

Diese Gleichung wird nun allgemeine Normalengleichung der Geraden genannt. Wird nun noch zusätzlich der Normalenvektor <math>\vec{n}</math> normiert so sprechen wir von der Hesseform der Geraden: 

<math> \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \cdot \vec{r} = \frac{c}{\vec{n}} =: d</math>

=== Abstand eines Punktes zu einer Geraden ===
Sei nun eine Gerade <math> \ g \ </math> in Hesseform gegeben: 
<math> g: \ d = n_n \cdot a </math> 
Wobei <math> \ n_n \ </math> der normierte Normalenvektor und <math>\ \vec{a} \ </math> der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden ist. 
Nun betrachten wir den Abstand der Geraden zum Ursprung. Da das Skalarprodukt der Vektoren <math> \vec{n_n}</math> und <math> \vec{a} \ </math> die Länge der senkrechten Projektion von <math> \vec{a} </math> auf <math> \vec{n_n}\ </math>ist, entspricht dieser Abstand genau <math> d </math>. 
Betrachten wir nun einen Punkt P der nicht auf der Geraden liegt:

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Sei nun der Vektor <math> \vec{FP} </math> der Normalenvektor vom Fußpunkt <math>F</math> zum Punkt <math>P\ </math> dann gilt:
<math> \vec{FP} = \vec{n} = \vec{n_n} \cdot h </math>, wobei <math> h</math> ein geeignete reele Zahlt ist. Man erkennt nun, da der Betrag von <math> |\vec{n_n}| = 1 </math>, dass <math> |h| </math> der Abstand des Punktes <math> P </math> zur Geraden <math> g </math> sein muss.
Da der Punkt <math> F </math> auf der Geraden <math>g</math> liegt muss für ihn die Punktenormalengleichung erfüllt sein: 
<math> n_n \cdot ( \vec{f} - \vec{a}) = 0</math> 

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Aus <math> n_n \cdot ( \vec{f} - \vec{a}) = 0</math> folgt wegen <math> \vec{f} = \vec{p}- h \cdot \vec{n_n}</math> 
<math> \vec{n_n} \cdot ( \vec{p} - h \cdot \vec{n_n} - \vec{a} ) = 0 </math> 
<math> \Leftrightarrow \ \ \ \vec{n_n} \cdot \vec{p} - h \cdot \vec{n_n} \cdot \vec{n_n} - \vec{a} = 0 </math> 
<math> \Leftrightarrow \ \ \ \vec{n_n} \cdot ( \vec{p} - \vec{a}) = h \cdot (\vec{n_n} \cdot \vec{n_n}) = h </math> 

Fassen wir zusammen: 

Sei eine Gerade g in Hesseform mit <math> \vec{n_n} \cdot ( \vec{r} - \vec{a}) = 0 </math> gegeben, dann gilt für den Abstand h des Punktes P von der Geraden g: 
<math> |h| = |\vec{n_n} \cdot (\vec{p} - \vec{a})|</math> 
Anmerkung 
Hierbei ist zu beachten, dass das Vorzeichen des Abstands <math> h </math> von der Lage des Punktes abhängt, da der Normalenvektor mit positiven Vorzeichen die Richtung vom Ursprung zur Geraden hat. 
Also gilt für den Abstand eines Punktes der zwischen Geraden und Nullpunkt liegt, dass dieser negativ ist. Analog besitzt ein Punkt,der nicht zwischen Geraden und Ursprung liegt, einen positiven Abstand.