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Diskussion:Quiz der Woche 7 (SoSe 11)

2011-07-21T21:00:17Z

Phil86:

Diskussion:Quiz der Woche 7 (SoSe 11)

2011-07-21T20:57:47Z

Phil86:

Lösung von Aufg. 14.6 (SoSe 11)

2011-07-19T20:19:32Z

Phil86:

Man beweise: Ein Punkt <math>\ P</math> gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\ \alpha</math>, wenn er zu den Schenkeln von <math>\ \alpha</math> jeweils denselben Abstand hat.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

 
<math>\ Vor: \alpha \ = \angle \ a,b \ = \angle \ ASB</math> 
<math>\ Winkelhalbierende: \ SW^+</math> 
<math>\ Punkt \ P, \ |Pa| \ = \ |Pb|</math> 
<math>\ Beh: \ P \in \ SW^+</math> 

<math>\ 1) \ |PS| \ = \ |PS| </math>....(trivial) 
<math>\ 2) \ Es \ sei \ l \ das \ Lot \ durch \ P \ auf \ a \ mit \ Lotfusspunkt \ La</math>....(Ex. + Eind. des Lots) 
<math>\ 3) \ Es \ sei \ m \ das \ Lot \ durch \ P \ auf \ b \ mit \ Lotfusspunkt \ Lb</math>....(Ex. + Eind. des Lots) 
<math>\ 4) \ |PLa| \ = \ |PLb| </math>....(Vor.) 
<math>\ 5) \ | \angle \ PLaS| \ = \ | \angle \ PLbS| \ = \ 90</math>....(Def. Lot, Vor) 
<math>\ 6) \triangle \ PLaS \cong \triangle \ PLbS</math>....(1,4,5, SsW, Der gilt, nach Korollar1 zum schwachen Außenwinkelsatz haben die Dreiecke mindestens zwei spitze Innenwinkel, Damit liegt dem rechten Winkel die längste Seite gegenüber (Satz größerer Winkel, größere Seite)) 
<math>\ 7) \angle \ LaSP \cong \angle \ LbSP</math>....(6) 
<math>\ 8) \ SP^+ \ ist \ Winkelhalbierende \ SW^+</math>....(7, Def WH) 
q.e.d. --[[Benutzer:Phil86|-phil-]] 22:19, 19. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 13.4 (SoSe 11)

2011-07-17T21:07:36Z

Phil86:

Beweisen Sie die Gültigkeit der Umkehrung des Basiswinkelsatzes

Hallo - kann jemand eine gültige Lösung einstellen, da wir uns in unserer Übung nicht ganz einig über
die Beweisidee waren.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 11:26, 14. Jul. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

==Beweisdarstellung 1==
[[Bild:Umkehrung_Basiswinkelsatz_01.jpg|800px]] 

Die Idee des Beweises ist korrekt: Es wird versucht, über die Mittelsenkrechte der Seite <math>\ c</math> den Beweis zu führen. Die Darstellung des Beweises ist in einigen Punkten suboptimal.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:51, 17. Jul. 2011 (CEST)

meiner ist auch schön[[Datei:Eng.MODs_Dreieck.JPG]]
[[Datei:Eng.MODs_Beweis_Umkehrung_Basiswinkelsatz.jpg|800px]] 
Gehts auch so? Nur so ne Idee: 
<math>\ Vor: \triangle \ ABC \ , \alpha \cong \beta</math> 
<math>\ Beh: \ | \overline{AC} \ | \ = \ | \overline{BC} </math> 
<math>\ Annahme \ fuer \ den \ Widerspruchsbeweis: \ | \overline{AC} \ | \neq \ | \overline{BC}</math> 
<math>\ oBdA: \ | \overline{AC} \ | \ < \ | \overline{BC} </math> 
<math>\ 1) \ | \beta \ | \ < \ | \alpha \ |</math> Annahme, Satz größere Seite liegt dem größeren Winkel gegenüber 
Widerspruch zur Vor. Die Annahme ist zu verwerfen. --[[Benutzer:Phil86|-phil-]] 23:07, 17. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 13.6 (SoSe 11)

2011-07-17T12:05:34Z

Phil86:

Beweisen Sie: 
Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz 
::In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel. 

Also Voraussetzung: Wir haben ein Dreieck. 
Behauptung: Mindestens zwei Innenwinkel sind spitze Winkel, also ihr Maß ist geringer als 90. 
Annahme für Widerspruch: Nein, es gibt auch Dreiecke, in denen zwei Innenwinkel nicht-spitze Winkel sind, also jeweils das Maß 90 oder mehr (bis zu 180) haben. 
I. An einem der beiden stumpfen Innenwinkel, nennen wir ihn Alpha, liegt ein Außenwinkel an, den wir ab jetzt Alpha-Strich nennen (Begründung: Definition Außenwinkel) 
II. Dieser Außenwinkel Alpha-Strich muss ein stumpfer Winkel sein. (Begründung: Schwacher Außenwinkelsatz und Annahme, nach der neben Alpha ja noch ein Innenwinkel nicht-spitz ist). 
III. Alpha und Alpha-Strich sind supplementär, da sie Nebenwinkel sind (Begründung: Definition Außenwinkel, Definition Nebenwinkel und Supplementaxiom) 
IV. Die Größe des Gesamtwinkels, der aus der Addition von Alpha und Alpha-Strich resultiert, ist größer als 180. (Begründung: Rechnen in R, Definition stumpfe Winkel) 
V. Das ist ein Widerspruch zu III (Begründung: Definition supplementär = Summe 180). Es kann also (in unserer Geometrie) keine Dreiecke geben, die zwei nicht-spitze Innenwinkel haben. 
 
Genügt das so? --[[Benutzer:WikiNutzer|WikiNutzer]] 12:16, 13. Jul. 2011 (CEST) 
Dieser Beweis klingt logisch. Ich mache noch eine Skizze dazu, dann ist es leichter nachvollziehbar.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 18:13, 13. Jul. 2011 (CEST) 
<ggb_applet width="511" height="293" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

 
So müsste auch gehen, ist ähnlich aber einfacher. 
Vor: Dreieck ABC mit schulüblichen Bez. 
Beh: mindestens zwei Winkel sind kleiner 90 

Beweis per Widerspruch: 
Annahme: Zwei Winkel sind nicht kleiner 90. 
z.z. oBdA: <math>| \alpha | \ = 90 \wedge \ | \beta \ | \ = \ 90 </math> 

<math>\ 1) \alpha \ * \ ist \ Aussenwinkel \ im \ Dreieck \ ABC \ und \ Nebenwinkel \ zu \alpha </math> (Def. Außenwinkel, Def. Nebenwinkel) 
<math>\ 2) \ | \alpha \ * \ | \ + \ | \alpha \ | \ = \ 180 </math> (1, Supplementax) 
<math>\ 3) \ | \alpha \ * \ | \ = \ 90 </math> (2, Rechnen in R) 
<math>\ 4) \ | \alpha \ * \ | \ = \ | \beta \ | </math> (Annahme, 3) 
Hier kommt es zum Widerspruch zum schwachen Außenwinkelsatz, nach dem <math>\ | \beta \ | \ < \ | \alpha \ * \ |</math> gelten müsste.

Die Annahme ist also zu verwerfen, es gilt die Behauptung.
--[[Benutzer:Phil86|-phil-]] 14:05, 17. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 13.6 (SoSe 11)

2011-07-16T21:51:07Z

Phil86:

Lösung von Aufg. 12.3 SS11

2011-07-05T13:13:36Z

Phil86:

Beweisen Sie Satz VII.6 a:

::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.

 
<math> \ Beweis: </math> 

<math> \ V: \overline{AP} \equiv \overline{BP}</math> 
<math>\ B: \ P\in \ m \ mit \ m \ ist \ Mittelsenkrechte \ von \ \overline{AB}</math>

<math> \ Sei \ m \ Mittelpunkt \ von \ \overline{AB}\ ( \ n. \ Existenz \ vom \ Mittelpunkt \ einer \ Strecke)</math> 
<math> \ Betrachte \ die \ beiden \ Dreieck \ \overline{AMP}\ und\ \overline{MPB} </math> 
<math> \ Es \ gilt \ : \ \overline{AP} \equiv \overline{BP}\ nach \ Voraussetzung\ </math> 
<math>\ Ferner\ \angle PMA \equiv \angle PBM \ nach \ Basiswinkelsatz</math> 
<math>\ und \ \overline{AM} \equiv \overline{MB} \ da \ M \ Mittelpunkt\ ist.</math> 
<math>\Rightarrow \ nach \ SWS \ die \ Kongruenz \ der \ beiden \ Dreiecke</math> 
<math>\Rightarrow \angle PMA\equiv \angle BMP\Rightarrow \ es \ sind \ rechte \ Winkel \Rightarrow \ PM \ ist \ Mittelsenkrechte</math> <math>\Rightarrow \ Behauptung</math>--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 17:47, 3. Jul. 2011 (CEST) 

Lösungsvorschlag 2:

<math>\ Vor: \ Punkt \ P, \ Strecke \overline{AB}, \ Mittelsenkrechte \ m \ von \overline{AB}</math> 
<math>|\ PA | = | \ PB |</math> 
<math>\ Beh: \ P \in \ m </math> 

Man muss in zwei Fälle unterscheiden: 
<math>\ 1. \ Fall: \ P \neq \ M</math> 
<math>\ 2. \ Fall: \ P \ = \ M</math> 

<math>\ 1. Fall: \ P \neq \ M</math> 
<math>\ 1) \triangle \overline{ABP} \ ist \ gleichschenklig \ (Vor, \ Def. \ gleichschenkliges \triangle \ )</math> 
<math>\ 2) \exists \ Winkelhalbierende \ w \ des \angle \ APB \ (Existenz \ und \ Eindeutigkeit \ der \ Winkelhalbierenden)</math> 
<math>\ 3) \ w \ teilt \angle \ APB \ in \ y1 \ und \ y2, \ y1 \ = \ y2 \ (Def. \ Winkelhalbierende)</math> 
<math>\ 4) \ w \cap \overline{AB} \ = \ P2 \ (Lemma1)</math> 
<math>\ 5)|\ PA | = | \ PB | \ (Vor.) </math> 
<math>\ 6) \ y1 \ = \ y2 \ (3)</math> 
<math>\ 7) \angle \ PAB \cong \angle \ PBA \ (1, \ Basiswinkelsatz)</math> 
<math>\ 8) \triangle \ APP2 \cong \triangle \ BPP2 \ (WSW, \ 5, \ 6, \ 7)</math> 
<math>\ 9) \angle | \ AP2P | \ = \angle | \ BP2P | \ = \ 90 </math> (8, Def. Nebenwinkel, Supplementaxiom) 
<math>\ 10) | \overline{AP2} | \ = | \overline{BP2}</math> (8) 
<math>\ 11) \ P2 \ = \ M, \ w \ = \ m</math> (10, Def. Mittelpunkt, 9, Def. Mittelsenkrechte) 
<math>\ 12) \ P \in \ m</math> (9, 10, 11) 

<math>\ 2. \ Fall: \ P \ = \ M</math> 
<math>\ 1) | \ PA | \ = | \ MA | \, | \ Pm | \ = | \ M | </math> (Annahme 2. Fall) 
<math>\ 2) \ P \ ist \ Mittelpunkt \ von \overline{AB}</math> (Def. Mittelpunkt, 1) 
<math>\ 3) \ P \in \ m</math> (2, Def. Mittelsenkrechte)--[[Benutzer:Phil86|-phil-]] 15:04, 5. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 12.3 SS11

2011-07-05T13:04:25Z

Phil86:

Beweisen Sie Satz VII.6 a:

::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.

 
<math> \ Beweis: </math> 

<math> \ V: \overline{AP} \equiv \overline{BP}</math> 
<math>\ B: \ P\in \ m \ mit \ m \ ist \ Mittelsenkrechte \ von \ \overline{AB}</math>

<math> \ Sei \ m \ Mittelpunkt \ von \ \overline{AB}\ ( \ n. \ Existenz \ vom \ Mittelpunkt \ einer \ Strecke)</math> 
<math> \ Betrachte \ die \ beiden \ Dreieck \ \overline{AMP}\ und\ \overline{MPB} </math> 
<math> \ Es \ gilt \ : \ \overline{AP} \equiv \overline{BP}\ nach \ Voraussetzung\ </math> 
<math>\ Ferner\ \angle PMA \equiv \angle PBM \ nach \ Basiswinkelsatz</math> 
<math>\ und \ \overline{AM} \equiv \overline{MB} \ da \ M \ Mittelpunkt\ ist.</math> 
<math>\Rightarrow \ nach \ SWS \ die \ Kongruenz \ der \ beiden \ Dreiecke</math> 
<math>\Rightarrow \angle PMA\equiv \angle BMP\Rightarrow \ es \ sind \ rechte \ Winkel \Rightarrow \ PM \ ist \ Mittelsenkrechte</math> <math>\Rightarrow \ Behauptung</math>--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 17:47, 3. Jul. 2011 (CEST) 

Lösungsvorschlag 2:

<math>\ Vor: \ Punkt \ P, \ Strecke \overline{AB}, \ Mittelsenkrechte \ m \ von \overline{AB}</math> 
<math>|\ PA | = | \ PB |</math> 
<math>\ Beh: \ P \in \ m </math> 

Man muss in zwei Fälle unterscheiden: 
<math>\ 1. \ Fall: \ P \neq \ M</math> 
<math>\ 2. \ Fall: \ P \ = \ M</math> 

<math>\ 1. Fall: \ P \neq \ M</math> 
<math>\ 1) \triangle \overline{ABP} \ ist \ gleichschenklig \ (Vor, \ Def. \ gleichschenkliges \triangle \ )</math> 
<math>\ 2) \exists \ Winkelhalbierende \ w \ des \angle \ APB \ (Existenz \ und \ Eindeutigkeit \ der \ Winkelhalbierenden)</math> 
<math>\ 3) \ w \ teilt \angle \ APB \ in \ y1 \ und \ y2, \ y1 \ = \ y2 \ (Def. \ Winkelhalbierende)</math> 
<math>\ 4) \ w \cap \overline{AB} \ = \ P2 \ (Lemma1)</math> 
<math>\ 5)|\ PA | = | \ PB | \ (Vor.) </math> 
<math>\ 6) \ y1 \ = \ y2 \ (3)</math> 
<math>\ 7) \angle \ PAB \cong \angle \ PBA \ (1, \ Basiswinkelsatz)</math> 
<math>\ 8) \triangle \ APP2 \cong \triangle \ BPP2 \ (SWS, \ 5, \ 6, \ 7)</math> 
<math>\ 9) \angle | \ AP2P | \ = \angle | \ BP2P | \ = \ 90 </math> (8, Def. Nebenwinkel, Supplementaxiom) 
<math>\ 10) | \overline{AP2} | \ = | \overline{BP2}</math> (8) 
<math>\ 11) \ P2 \ = \ M, \ w \ = \ m</math> (10, Def. Mittelpunkt, 9, Def. Mittelsenkrechte) 
<math>\ 12) \ P \in \ m</math> (9, 10, 11) 

<math>\ 2. \ Fall: \ P \ = \ M</math> 
<math>\ 1) | \ PA | \ = | \ MA | \, | \ Pm | \ = | \ M | </math> (Annahme 2. Fall) 
<math>\ 2) \ P \ ist \ Mittelpunkt \ von \overline{AB}</math> (Def. Mittelpunkt, 1) 
<math>\ 3) \ P \in \ m</math> (2, Def. Mittelsenkrechte)--[[Benutzer:Phil86|-phil-]] 15:04, 5. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 12.3 SS11

2011-07-05T12:59:44Z

Phil86:

Beweisen Sie Satz VII.6 a:

::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.

 
<math> \ Beweis: </math> 

<math> \ V: \overline{AP} \equiv \overline{BP}</math> 
<math>\ B: \ P\in \ m \ mit \ m \ ist \ Mittelsenkrechte \ von \ \overline{AB}</math>

<math> \ Sei \ m \ Mittelpunkt \ von \ \overline{AB}\ ( \ n. \ Existenz \ vom \ Mittelpunkt \ einer \ Strecke)</math> 
<math> \ Betrachte \ die \ beiden \ Dreieck \ \overline{AMP}\ und\ \overline{MPB} </math> 
<math> \ Es \ gilt \ : \ \overline{AP} \equiv \overline{BP}\ nach \ Voraussetzung\ </math> 
<math>\ Ferner\ \angle PMA \equiv \angle PBM \ nach \ Basiswinkelsatz</math> 
<math>\ und \ \overline{AM} \equiv \overline{MB} \ da \ M \ Mittelpunkt\ ist.</math> 
<math>\Rightarrow \ nach \ SWS \ die \ Kongruenz \ der \ beiden \ Dreiecke</math> 
<math>\Rightarrow \angle PMA\equiv \angle BMP\Rightarrow \ es \ sind \ rechte \ Winkel \Rightarrow \ PM \ ist \ Mittelsenkrechte</math> <math>\Rightarrow \ Behauptung</math>--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 17:47, 3. Jul. 2011 (CEST) 

<math>\ Vor: \ Punkt \ P, \ Strecke \overline{AB}, \ Mittelsenkrechte \ m \ von \overline{AB}</math> 
<math>|\ PA | = | \ PB |</math> 
<math>\ Beh: \ P \in \ m </math> 

Man muss in zwei Fälle unterscheiden: 
<math>\ 1. \ Fall: \ P \neq \ M</math> 
<math>\ 2. \ Fall: \ P \ = \ M</math> 

<math>\ 1. Fall: \ P \neq \ M</math> 
<math>\ 1) \triangle \overline{ABP} \ ist \ gleichschenklig \ (Vor, \ Def. \ gleichschenkliges \triangle \ )</math> 
<math>\ 2) \exists \ Winkelhalbierende \ w \ des \angle \ APB \ (Existenz \ und \ Eindeutigkeit \ der \ Winkelhalbierenden)</math> 
<math>\ 3) \ w \ teilt \angle \ APB \ in \ y1 \ und \ y2, \ y1 \ = \ y2 \ (Def. \ Winkelhalbierende)</math> 
<math>\ 4) \ w \cap \overline{AB} \ = \ P2 \ (Lemma1)</math> 
<math>\ 5)|\ PA | = | \ PB | \ (Vor.) </math> 
<math>\ 6) \ y1 \ = \ y2 \ (3)</math> 
<math>\ 7) \angle \ PAB \cong \angle \ PBA \ (1, \ Basiswinkelsatz)</math> 
<math>\ 8) \triangle \ APP2 \cong \triangle \ BPP2 \ (SWS, \ 5, \ 6, \ 7)</math> 
<math>\ 9) \angle | \ AP2P | \ = \angle | \ BP2P | \ = \ 90 </math> (8, Def. Nebenwinkel, Supplementaxiom) 
<math>\ 10) | \overline{AP2} | \ = | \overline{BP2}</math> (8) 
<math>\ 11) \ P2 \ = \ M, \ w \ = \ m</math> (10, Def. Mittelpunkt, 9, Def. Mittelsenkrechte) 
<math>\ 12) \ P \in \ m</math> (9, 10, 11) 

<math>\ 2. \ Fall: \ P \ = \ M</math> 
<math>\ 1) | \ PA | \ = | \ MA | \, | \ Pm | \ = | \ M | </math> (Annahme 2. Fall) 
<math>\ 2) \ P \ ist \ Mittelpunkt \ von \overline{AB}</math> (Def. Mittelpunkt, 1) 
<math>\ 3) \ P \in \ m</math> (2, Def. Mittelsenkrechte)

Lösung von Aufg. 12.3 SS11

2011-07-05T12:02:53Z

Phil86:

Lösung von Aufg. 12.3 SS11

2011-07-05T12:01:55Z

Phil86:

Lösung von Aufg. 12.3 SS11

2011-07-05T12:00:04Z

Phil86:

Lösung von Aufg. 12.3 SS11

2011-07-05T11:59:43Z

Phil86:

Lösung von Aufg. 12.3 SS11

2011-07-05T11:59:11Z

Phil86:

Lösung von Aufg. 12.3 SS11

2011-07-05T11:58:34Z

Phil86:

Lösung von Aufg. 12.3 SS11

2011-07-05T11:57:35Z

Phil86:

Lösung von Aufg. 12.3 SS11

2011-07-05T11:46:52Z

Phil86:

Lösung von Aufg. 12.3 SS11

2011-07-05T11:41:57Z

Phil86:

Lösung von Aufg. 12.3 SS11

2011-07-05T11:41:37Z

Phil86:

Lösung von Aufg. 12.3 SS11

2011-07-05T11:41:02Z

Phil86:

Lösung von Aufg. 12.3 SS11

2011-07-05T11:35:22Z

Phil86:

Lösung von Aufg. 12.3 SS11

2011-07-05T11:30:22Z

Phil86:

Lösung von Aufg. 12.3 SS11

2011-07-05T11:29:56Z

Phil86:

Lösung von Aufg. 12.3 SS11

2011-07-05T11:23:14Z

Phil86:

Lösung von Aufg. 12.3 SS11

2011-07-05T11:22:13Z

Phil86:

Lösung von Aufg. 12.3 SS11

2011-07-05T11:21:10Z

Phil86:

Lösung von Aufg. 12.3 SS11

2011-07-05T11:20:57Z

Phil86:

Lösung von Aufg. 12.3 SS11

2011-07-05T11:20:42Z

Phil86:

Lösung von Aufg. 12.3 SS11

2011-07-05T11:20:11Z

Phil86:

Lösung von Aufg. 12.3 SS11

2011-07-05T11:19:15Z

Phil86:

Lösung von Aufg. 12.1 SS11

2011-07-03T15:29:00Z

Phil86:

Definieren Sie den Begriff des gleichschenkligen Dreiecks.
Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

Hinweis: Die Schenkel eine Winkels sind Strahlen. Die Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind Strecken.

Definition: 
Es seien <math>\ A, B, C</math> drei paarweise verschiedene Punkte, <math>\overline{ABC}</math> heißt genau dann gleichschenkliges Dreieck wenn folgendes gilt: 
(i) <math>\overline{AB} \equiv \overline{BC}</math> 
Die Seite <math>\overline{AC} </math> heißt Basis, die Winkel <math>\angle CAB</math> und <math>\angle BCA</math> heißen Basiswinkel, die Strecken <math>\overline{AB},\overline{BC}</math> heißen Schenkel des Dreiecks.--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 20:55, 2. Jul. 2011 (CEST)

Lösungsvorschlag 2:
In einem gleichschenkligen Dreieck sind jeweils zwei Seiten kongruent zueinander, diese zwei Seiten nennt man Schenkel. Die Basis ist die dritte Seite, sie ist nicht kongruent zu den beiden Schenkeln, die an der Basis anliegenden Winkel nennt man Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck. --[[Benutzer:Phil86|-phil-]] 17:29, 3. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 12.1 SS11

2011-07-03T15:28:25Z

Phil86:

Lösung von Aufgabe 2.1 (SoSe 11)

2011-04-21T15:06:10Z

Phil86:

Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde. 
Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an. 
 Wenn jeder Punkt einer Geraden zu den Endpunkten einer jeweils Strecke ein und denselben Abstand hat, dann ist die Gerade eine Mittelsenkrechte.
 Wenn es eine Gerade gibt, die durch den Mittelpunkt einer Strecke geht und senkrecht auf ihr steht, dann ist die Gerade eine Mittelsenkrechte. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 11:12, 18. Apr. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Wenn mindestens zwei beliebige Punkte einer Punktmenge m zu dem Anfangspunkt A und Endpunkt B einer Strecke AB ein und denselben Abstand haben, dann spricht man von der Mittelsenkrechten der Strecke AB.

Wenn eine Gerade g zu dem Anfangspunkt und Endpunkt einer Strecke AB ein und denselben Abstand hat und senkrecht auf ihr steht und die Strecke AB schneidet, dann spricht man von der Mittelsenkrechten der Strecke AB.--[[Benutzer:Celebino|Celebino]] 09:35, 20. Apr. 2011 (CEST)

1) Wenn eine Gerade m durch den Mittelpunkt der Strecke AB geht und senkrecht auf dieser steht, dann ist m Mittelsenkrechte der Strecke AB 
2) Wenn jeder Punkt einer Geraden m zu den zwei Endpunkten einer Strecke AB den gleichen Abstand hat, ist m Mittelsenkrechte.
--[[Benutzer:Phil86|-phil-]] 17:06, 21. Apr. 2011 (CEST)