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Lösung von Zusatzaufgabe 3.1P (SoSe 14)

2014-07-29T14:25:45Z

Picksel:

Geben Sie eine exakte Realdefinition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden. 

Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade, die einen Winkel genau in der Mitte teilt.--[[Benutzer:Früchtchen:)|Früchtchen:)]] ([[Benutzer Diskussion:Früchtchen:)|Diskussion]]) 09:29, 15. Mai 2014 (CEST)
in der Mitte teilt ist umgangssprachlich. Das ist also informell.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 17:01, 15. Mai 2014 (CEST)

Winkelhalbierende ist eine Halbgerade, die durch den Scheitelpunkt eines Winkels läuft und das Innere des Winkels in zwei deckungsgleiche (kongruente) Teile teilt.--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 22:53, 24. Jun. 2014 (CEST) 

Hier ist ebenfalls nicht klar, wo die Halbgerade beginnt und "Teile" ist ungenau. Besser ist es von entstehenden Winkeln zu sprechen, als von Teilen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 19:49, 25. Jun. 2014 (CEST)
[[Category:Einführung_P]]

Kann man sagen, dass die Halbgerade den Innenwinkel in zwei Halbebenen teilt?

Lösung von Zusatzaufgabe 3.1P (SoSe 14)

2014-07-29T14:25:25Z

Picksel:

Der Basiswinkelsatz SoSe 14

2014-07-13T16:31:01Z

Picksel: /* Satz VIII.1: (Basiswinkelsatz) */

== Der Basiswinkelsatz ==
=== Gleichschenklige Dreiecke ===
===== Definition VIII.1 : (gleichschenkliges Dreieck) =====
Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

Übungsaufgabe

=== Der Basiswinkelsatz ===
===== Satz VIII.1: (Basiswinkelsatz) =====
::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 
Beweis: 
Voraussetzung: Das Dreieck ist gleichschenklig--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 18:31, 13. Jul. 2014 (CEST) 

Behauptung: die Winkel α und β sind kongruent --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 18:31, 13. Jul. 2014 (CEST) 
{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Skizze
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (1)
| [[Bild:gleichschenklig_2.png| 200 px]]
| <math>\left| AC \right|=\left| BC \right|</math>
| Voraussetzung--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 18:31, 13. Jul. 2014 (CEST)
|-
| (2)
| [[Bild:gleichschenklig_3.png| 200 px]]
| <math>C\in m</math> mit <math>m</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>
| 1, Def. Mittelsenkrechte --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 18:31, 13. Jul. 2014 (CEST)
|-
| (3)
| 
| <math>B=S_{m}(A)</math>
|2, Def. Geradenspiegelung --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 18:31, 13. Jul. 2014 (CEST)
|-
| (4)
| 
| <math>C=S_{m}(C)</math>
| 2, Def. Fixpunkt --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 18:31, 13. Jul. 2014 (CEST)
|-
| (5)
| 
| <math>M=S_{m}(M)</math>
| 2, Def. Fixpunkt--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 18:31, 13. Jul. 2014 (CEST)
|-
| (6a)
| 
| <math> S_{m} (\angle MAC ) = \angle MBC </math>
|3,4,5, Def. Winkeltreue der Geradenspiegelung--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 18:31, 13. Jul. 2014 (CEST)
|-
|-
| (6b)
| 
| <math>\angle MAC \tilde {=} \angle MBC </math>
|6, Winkelkongruenz--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 18:31, 13. Jul. 2014 (CEST)
|-
|}

Lösung von Aufgabe 10.3P (SoSe 14)

2014-07-13T16:11:25Z

Picksel:

Formulieren Sie die Umkehrung des Basiswinkelsatzes. 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Wenn die Basiswinkel in einem Dreieck kongruent zueinander sind, dann ist das Dreieck gleichschenklig.

|α| = |β| --> |AC| = |BC| --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 10:25, 9. Jul. 2014 (CEST) 

Die Umkehrung beinhaltet sozusagen eine Falle. So ist die Umkehrung nicht korrekt. Wer findet den Fehler und kann ein anderen Vorschlag machen?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 19:33, 11. Jul. 2014 (CEST)

Wenn in einem Dreieck (genau?) zwei Winkel kongruent zu einander sind, dann nennt man diese Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks. 

Das Problem ist hier schon erkannt, es muss zunächst von kongruenten Winkeln im Allgemeinen gesprochen werden. Allerdings ist die Wenn- Dann Formulierung falsch. Es klingt so wie eine Konventionaldefinition für Basiswinkel.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 09:04, 13. Jul. 2014 (CEST)

Wenn in einem Dreieck zwei Winkel kongruent zu einander sind, dann ist dieses Dreieck gleichschenklig.--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 18:11, 13. Jul. 2014 (CEST)

Lösung von Aufgabe 10.2P (SoSe 14)

2014-07-13T15:55:11Z

Picksel:

Beweisen Sie mit abbildungsgeometrischen Mitteln den Basiswinkelsatz. 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Hier mal mein Versuch:

Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander
|AC| = |BC| --> |α| = |β|

Beweisschritt Begründung

1) |AC| = |BC| Vor.

2) g ist Mittelsenkrechte der Strecke AB,
C liegt auf g und G liegt auf g 1); Mittelsenkrechtenkriterium

3) Sg(A)=B 2); Def. Geradenspiegelung

4) Sg(C)=C 2);Def. Fixpunkt

5) <CAG = α und <CBG= β 2);Def. Winkel

6) Sg(α) = β |α| = |β| 3);4);5); Def. Winkeltreue der Geradenspiegelung --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 11:48, 8. Jul. 2014 (CEST) 

Was meinst ihr? Steckt ein guter Plan dahinter. Könnt ihr alle Schritte nachvollziehen? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 19:32, 11. Jul. 2014 (CEST)

Im Schritt 3 können wir auch am Punkt G spiegeln? G ist doch Schnittpunkt von der Gerade g und der Stecke AB. Dann wäre es Punktspiegelung. --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 17:55, 13. Jul. 2014 (CEST)

Lösung von Aufgabe 10.1P (SoSe 14)

2014-07-13T14:49:42Z

Picksel:

Definieren Sie den Begriff "Gleichschenkliges Dreieck". Definieren Sie außerdem die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks.
 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, das zwei gleich lange Seiten hat. Diese zwei gleich langen Seiten nennt man Schenkel. Die dritte Seite des Dreiecks nennt man Basis. Die Innenwinkel der Basis nennt man Basiswinkel. --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 11:33, 8. Jul. 2014 (CEST) 

Gut! Lediglich kannst du nicht von den Innenwinkel der Basis sprechen, sondern musst dies genauer umschreiben.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 19:29, 11. Jul. 2014 (CEST)

Zwei an die Basis anliegenden Winkel heißen Basiswinkel. --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 16:49, 13. Jul. 2014 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 8.1P (SoSe 14)

2014-06-30T18:47:38Z

Picksel:

Das klassische Feuerwehrproblem: Am Punkt ''A'' steht die Feuerwehr, Punkt ''B'' symbolisiert das brennende Haus. Die Gerade ''g'' ist die Uferbegrenzung eines Flusses, aus dem die Feuerwehr das Wasser holen muss. Welchen Weg muss die Feuerwehr nehmen um Löschwasser am Fluss zu tanken um danach möglichst schnell am brennenden Haus zu sein? Konstruieren Sie nachstehend die optimale Route für die Feuerwehr und begründen Sie Ihre Konstruktion. Das Problem lässt sich auf viele verschiedene Anwendungen übertragen, z. B.:
* reitende Cowboys, die ihr Pferd noch tränken müssen, bevor sie den Salon in Doce City erreichen
* Lichtstrahlen, die am Spiegel ''g'' reflektiert werden und immer den kürzesten Weg nehmen
* Billardkugeln, die durch einen zentralen Stoß und über Bande g einander treffen sollen
*...

[[Datei:feuerwehr.png|400px]]

 

[[Datei:Feuerwehrproblem.pdf|zentriert]]

Als erstes habe ich den Punkt A (Feuerwehr)an der Geraden g (Fluss) gespiegelt. Das Spiegelbild (A') habe dann mit dem Punkt B (das Haus) verbunden, dabei entsteht ein Schnittpunkt zu der Spiegelgerade. Wenn man dann den Punkt A mit dem Schnittpunkt verbindet, bekommt man den kürzesten Weg.--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 20:47, 30. Jun. 2014 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 8.1P (SoSe 14)

2014-06-30T18:46:59Z

Picksel:

Datei:Feuerwehrproblem.pdf

2014-06-30T18:35:14Z

Picksel: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Fuerwehrproblem}}
|date=2014-06-30 20:36:26
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=={{int:license-header}}==
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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Lösung von Zusatzaufgabe 3.3 P (SoSe 14)

2014-06-24T21:14:00Z

Picksel:

Es seine A und B zwei Punktmengen. Was müssen Sie konkret zeigen, wenn Sie beweisen wollen, dass A = B ? 

Wir können einen Punkt P nehmen und sagen: Für alle Punkte P:= P ist Element von A und P ist Element von B, daraus folgt A=B--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 23:14, 24. Jun. 2014 (CEST)
[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 3.2P (SoSe 14)

2014-06-24T21:06:34Z

Picksel:

Geben Sie eine genetische Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an. 

[[Category:Einführung_P]]

Man zeichnet zwei Geraden, die sich in einem Punkt P treffen. Nun zeichnet man eine Halbgerade, die im Scheitelpunkt P des Innenwinkels beginnt und die das Winkelfeld in zwei deckungsgleiche Teile teilt.
--[[Benutzer:Pippilotta|Pippilotta]] ([[Benutzer Diskussion:Pippilotta|Diskussion]]) 11:57, 16. Mai 2014 (CEST) 

Das ist keine korrekte Definition, da sie nicht beschreibt, wie ich die Halbgerade konstruieren muss. Winkelfeld und deckungsgleich sind zudem nicht definiert. Desweiteren können sich zwei Geraden nicht in einem Punkt treffen, nur schneiden. 
Versuche dich an einer Konstruktionsbeschreibung (so wie du eine Winkelhalbierende mit Zirkel und Lineal konstruieren würdest), dann wird es klappen. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 19:14, 16. Mai 2014 (CEST) 

Gegeben sei ein Winkel ABC, wobei B der Scheitelpunkt des Winkels ist. Man nehme den Zirkel und zeichne einen Kreis um den Scheitelpunkt B. Es entstehen zwei Schnittpunkte mit den Schenkeln des Winkels. An den Schnittpunkten mit den Schenkeln des Winkels wird der Zirkel erneut angesetzt. Dann zeichnet man jeweils einen Kreis mit gleichem Radius. Die Schnittpunkte dieser zwei Kreise liegen auf der Winkelhalbierenden. Zuletzt muss man nur den Schnittpunkt mit dem Scheitelpunkt verbinden. Die Halbgerade die dabei entsteht ist die Winkelhalbierende.--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 23:06, 24. Jun. 2014 (CEST)

Lösung von Zusatzaufgabe 3.1P (SoSe 14)

2014-06-24T20:53:23Z

Picksel:

Relationen SoSe 14

2014-06-24T20:29:34Z

Picksel: /* Beispiel 3 */

== Relationen ==

=== Beispiele ===

==== Halt dich senkrecht====

[[File:Flag of Switzerland (Pantone).svg|thumb|Flag of Switzerland (Pantone)]] 
Im Schulpraktikum war der Begriff der Senkrechten zu behandeln. Der Praktikant hatte ein Bild der Schweizer Nationalflagge auf eine Folie gedruckt und fragte die Schüler, welche Linien Senkrechte wären. Bei den Schülern stellte sich nach den ersten Antworten leichte Unsicherheit ein. Der Grund für diese Unsicherheit: Die Frage des Praktikanten war völlig unsinnig. Eine Antwort wie ''Gerade <math>a</math> steht senkrecht'' ist lediglich eine Aussageform, der kein Wahrheitswert zuzuordnen ist. Erst wenn man die Lage von <math>a</math> bezüglich einer anderen Geraden <math>b</math> (Ebene, Strahl, Strecke) betrachtet, ist es sinnvoll davon zu sprechen, dass <math>a</math> eine Senkrechte ist. '''Die Relation Gerade <math>a</math> steht senkrecht auf Gerade <math>b</math> ist zweistellig.'''

====Eine klassische Dreiecksbeziehung====
Tom ist der Liebhaber von Gabi. Zu der Ehre der Liebhabereigenschaft kommt er durch die Existenz von Frank, dem Ehemann von Gabi. Tom, Gabi und Frank stehen in einer dreistelligen Relation zueinander, der klassischen Dreiecksbeziehung. Wir könnten diese Relation auch so formulieren: Gabi steht zwischen zwei Männern.
==== Beispiel 3 ====
Trauen Sie sich: Präsentieren Sie hier ein eigenes Beispiel.

Ich wohne in eine 4-er WG. Mandi ist meine Mitbewohnerin. Sie hat einen Freund, der Tim heißt. Er kommt öfters zu uns zu Besuch. Anni wohnt zusammen in einer WG mit Mandi und Eric. Wie heißen die Mitbewohner von Picksel? Picksel wohnt zusammen mit:...... --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 22:29, 24. Jun. 2014 (CEST)

==== Ein Quiz zwischendurch ====
<quiz>
{Setzen Sie ein Häckchen, wenn es sich um eine zweistellige Relation handelt}
+ Eine Ebene <math>\alpha</math> steht senkrecht zu einer Ebene <math>\beta</math>.
|| klar, wie bei Beispiel 1 für Geraden
- Der Punkt <math>B</math> liegt zwischen den Punkten <math>A</math> und <math>C</math>.
|| dreistellig
+ Von zwei Punkten ein und derselben Geraden liegt einer vor dem anderen.
|| Jetzt werden nur zwei Punkte verglichen.
</quiz>

==== Definition des Begriffs der Relation ====
Definition: (n-stellige Relation)
:::Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.

[[Category:Einführung_P]]

Sätze und Beweise SoSe 14

2014-06-23T21:24:17Z

Picksel: /* Beweise */

==Implikationen==
''Wechselwinkelsatz: 
''Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.'' 
''
Betrachten wir diesen Satz etwas genauer: Es wird hier behauptet, dass Wechselwinkel kongruent zueinander sind (Behauptung), unter der Bedingung, dass die Wechselwinkel an geschnittenen '''parallelen''' Geraden betrachtet werden (Voraussetzung). Wir können den Satz also in eine '''Voraussetzung (A)''' und eine '''Behauptung (B)''' aufteilen. 
In der Mathematik gehen wir davon aus, dass Sätze wahr sind, d. h. wenn die Voraussetzung erfüllt ist, muss auch die Behauptung notwendigerweise wahr sein. 
Aussagenlogisch haben wir es somit mit einer Implikation zu tun: 
formal: <math>\ A \Rightarrow B</math> 

Wir können aus jedem Satz auch eine Umkehrung bilden (die nicht unbedingt wahr sein muss), d. h. wir formulieren die Behauptung als Voraussetzung und die Vorausetzung als Behauptung: 
formal:<math>\ B \Rightarrow A</math> 
'''Aufgabe:''' Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: 
Sind die Wechselwinkel an geschnittenen Geraden kongruent zueinander, so sind die 2 Geraden parallel zueinander. --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 23:12, 23. Jun. 2014 (CEST) 

Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: <math>\ A \Leftrightarrow B</math> 

'''Aufgabe:''' Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz: 
Genau dann, wenn zwei Geraden, die parallel zueinander sind, von einer dritten Gerade geschnitten werden, sind die Wechselwinkel kongruent.--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 23:12, 23. Jun. 2014 (CEST)
 

==notwendige und hinreichende Bedingung==
An dieser Stelle ist es sinnvoll zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: '''hinreichende''' und '''notwendige Bedingung''' Lassen Sie uns die Begriffe an einem alltäglichen Beispiel erläutern: 
Wir nehmen mal den folgenden Satz: Wenn die Deckenlampe leuchtet, dann ist das Zimmer hell. <br\>
Es handelt sich hierbei um eine Implikation in der Form: Voraussetzung (Die Deckenlampe leuchtet)<math>\Rightarrow </math> Behauptung (Das Zimmer ist hell).<br\>
Die Voraussetzung ist dabei die hinreichende Bedingung für die Behauptung, denn es genügt, für die Zimmerhelligkeit die Deckenbeleuchtung einzuschalten, man könnte das Zimmer aber z. B. ja auch durch eine Kerze beleuchten. Es ist also nicht unbedingt notwendig die Deckenlampe einzuschalten um das Zimmer hell zu bekommen. Umgekehrt ist die Behauptung notwendige Bedingung der Voraussetzung, denn wenn die Deckenlampe leuchtet, dann wird notwendigerweise das Zimmer hell. <br\>
Diesen Zusammenhang zwischen hinreichender Bedingung und Voraussetzung bzw. notwendiger Bedingung und Behauptung einer Implikation trifft auf alle Implikationen zu. <br\>
Ist nun auch die Umkehrung einer Implikation wahr, dann wird in der Umkehrung aus der Voraussetzung die Behauptung und aus der Behauptung die Voraussetzung. Damit tauschen sich aber dann auch jeweils die hinreichende und notwendige Bedingung, so dass jeweils die eine Teilaussage des Satzes sowohl hinreichende als auch notwendige Bedingung für die zweite Teilaussage ist. Man spricht in diesem Zusammenhang dann auch von einem '''Kriterium''' (hinreichende und notwendige Bedingung). Die Voraussetzung ist dann also hinreichende als auch notwendige Bedingung und damit ein Kriterium für die Behauptung und die Behauptung hinreichende und notwendige Bedingung und damit ein Kriterium für die Voraussetzung. <br\>
Wir können damit die Implikation und ihre Umkehrung in einem neuen Satz als Äquivalenzaussage formulieren.

==Beweise==
Mathematische Sätze lassen sich im Unterschied zu Definitionen beweisen. Um einen Satz zu beweisen können verschiedene Beweistechniken angewendet werden. Grundsätzlich unterscheidet man '''direkte''' von '''indirekten Beweisen'''. Außerdem gibt es noch so genannte '''Induktionsbeweise''' (vollständige Induktion, Wohlordnungsprinzip). 
'''Direkter Beweis''' 
Die Voraussetzung (A) eines Satzes wird solange durch Implikationen umgeformt, bis die Behauptung (B) herauskommt, z.B.: <math>\ A \Rightarrow C \Rightarrow D \Rightarrow B</math> 
'''Indirekter Beweis''' 
Beim indirekten Beweisen unterscheidet man '''Widerspruchsbeweise (1)''' von '''Beweisen durch Kontraposition (2)'''. 
#'''Widerspruchsbeweis:''' Beim Widerspruchsbeweis nimmt man das Gegenteil der Behauptung an (Annahme) und führt diese Annahme zu einem Widerspruch (meist zur Voraussetzung oder zu einem bereits bewiesenen Satz). (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
#'''Beweis durch Kontraposition:''' Beim Beweisen durch Kontraposition nutzt man den folgenden Zusammenhang aus: <math>\ (\ A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \ (\neg B \Rightarrow \neg A)</math> (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik). Wenn man also die Behauptung negiert und daraus zeigen kann, dass die negierte Voraussetzung wahr ist, dann hat man auch den ursprünglichen Satz bewiesen. 

'''Aufgabe:'''
Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes. 
Sind die Wechselwinkel nicht kongruent zueinander, so sind die 2 Geraden, die von der dritten Gerade geschnitten werden, nicht parallel zueinander.--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 23:24, 23. Jun. 2014 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]

Sätze und Beweise SoSe 14

2014-06-23T21:12:56Z

Picksel: /* Implikationen */

Definitionen in der Mathematik SoSe 14

2014-06-23T20:11:31Z

Picksel: /* Definition E.1: Ellipse */

===Das Haus der Vierecke===
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/HDV_AndreaSpitz.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
 

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 

==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
{{#ev:youtube|PQjeTmY0cdQ&NR=1}}
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
#eine Ellipse, ist eine Figur, die bei der Gärtnerkonstruktion entsteht.
#eine Ellipse ist ein plattgedrückter Kreis.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch|Diskussion]]) 15:25, 5. Mai 2014 (CEST)

 
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. 
 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 

#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 
...

#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition E.1: Ellipse====
<math>\overline{ F_{1} P} + \overline{ F_{2} P} = c</math> <math> F_{1} F_{2} </math> sind Punkte einer Ebene und c = konstant.
* Dieser Beitrag ist nicht unterschrieben; bitte vergesst das nicht! Sonst weiss man nicht; wer etwas eingefuegt hat. Die Idee ist richtig; aber was ist denn jetzt die Ellipse?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 17:06, 15. Mai 2014 (CEST)
Ellipse ist die Menge aller Punkte P für die gilt: <math>\overline{ F_{1} P} + \overline{ F_{2} P} = c; </math> <math> F_{1} F_{2} </math> sind Punkte einer Ebene und c = konstant.--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 22:11, 23. Jun. 2014 (CEST)

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====
... 

==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen==
===Das Haus der Vierecke===
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/HDV_AndreaSpitz.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
 

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 1.2 (SoSe 14)

2014-06-23T19:53:53Z

Picksel:

Definieren Sie die folgenden Begriffe mathematisch korrekt. Die Begriffe n-Eck, Seite und Ecke eines n-Ecks seien bereits definiert. Beziehen Sie sich auf den nächsthöheren Oberbegriff. 
Viereck, Trapez, gleichschenkliges Trapez, Parallelogramm, Drachen, Schiefer Drachen, Raute, Rechteck, Quadrat

Viereck- ein n-Eck, bei dem n=4, ist ein Viereck. 

Trapez - ein Viereck mit 1 Paar paralleler Seiten ist ein Trapez. 

Gl. Trapez - ist ein Trapez mit einer Symmetrieachse. 
*Aufgepasst! Die Raute hat ist auch ein Trapez und hat mehrere Symmetrieachsen, ist aber kein gleichschenkliges Trapez.

Parallelogramm- ist ein allgemeines Trapez, bei der sich die Diagonalen halbieren. 

Drachen - ist ein ein Viereck, bei dem die Symmetrieachse auf einer der Diagonalen liegt. 
*Achsen können nicht auf Diagonalen liegen, da Achsen Geraden sind und Diagnoalen Strecken.

Schiefer Drachen - ist ein Drachen, bei dem eine Diagonale die andere halbiert. 

Raute - ist ein Drachen mit einer weiteren Symmetrieachse. 

Rechteck - ist ein Parallelogramm mit 4 Rechten Winkeln. 

Quadrat - ist eine Raute, bei der die Diagonalen gleich lang sind.
--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 11:30, 30. Apr. 2014 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_P]]

Viereck: Ein Viereck ist eine geometrische Figur mit 4 geraden Seiten.
* Das ist ungenau, weil gerade Seiten nicht defniiert ist.
Trapez: Ein Trapez ist ein Viereck, das 2 parallele Seiten (Grundlinien) hat. Die anderen beiden Seiten heißen Schenkel.

gleichschenkliges Trapez: Ein gleichschenkliges Trapez ist eine besondere Trapezfprm, dessen Schenkel gleich lang sind.
* Die Definition ist umgangssprachlich. Man spricht nicht von Trapezform. Ein weiteres Problem ist, dass gleichlange Schenkel auch parallel sein könnten und es sich dann um ein Parallelogramm handelt. Das ist aber keine Teilmenge des gleichschenkligen Trapezes.

Parallelogramm: Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paaren paralleler Seiten. Seine Diagonalen halbieren sich.
* Zu viele Informationen. Der erste Satz genügt. Formale Definitionen enthalten nur die nötigsten Eigenschaften. Alle anderen werden in Sätzen formuliert und können bewiesen werden.

Drachen: Ein Drachen ist ein Viereck, bei dem die benachbarten Seiten gleich lang sind. Eine Diagonale wird durch die andere halbiert und sie stehen senkrecht aufeinander.
* das ist ungenau. z.B. benachbarte Seiten gleich lang... dann sind doch alle gleich lang

schiefer Drachen: Ein schiefer Drachen ist ein besonderer Drachen, bei dem eine Diagonale von der anderen halbiert wird.
* Schiefer Drache ist keine Untergruppe des Drachen, sondern schiefer Drache ist der Oberbegriff. Damit kannst du ihn nicht über Drachen defniieren.

Raute: Eine Raute ist ein Rechteck, bei dem 2 Seiten jeweils parallel zueinander sind. Seine Diagonalen halbieren sich und stehen senkrecht aufeinander.
* informell, da zu viele Informationen.
Rechteck: Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit vier rechten Winkeln. Der Flächeninhalt mit den Seiten a und b ist A=a*b.
* informell, da zu viele Informationen.
Quadrat: Ein Quadrat ist ein Viereck mit 4 gleichen Seiten und 4 rechten Winkeln. Seine Diagonalen sind gleich lang, halbieren sich und stehen senkrecht aufeinander.--[[Benutzer:Früchtchen:)|Früchtchen:)]] ([[Benutzer Diskussion:Früchtchen:)|Diskussion]]) 09:31, 2. Mai 2014 (CEST)
* ebenfalls informell. (alles mit Aufzählungszeichen ist von --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 23:06, 2. Mai 2014 (CEST))
Zweiter VERSUCH: 

Gl. Trapez - ist ein Trapez mit einer Symmetrieachse. 
*Aufgepasst! Die Raute hat ist auch ein Trapez und hat mehrere Symmetrieachsen, ist aber kein gleichschenkliges Trapez.
Gl. Trapez ist ein Trapez mit einer Symmetrieachse, die nicht auf einer der Diagonalen liegt. --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 07:45, 7. Mai 2014 (CEST)
Sehr gut!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 15:40, 7. Mai 2014 (CEST)

Eine grundsätzliche Frage: In der Aufgabe steht ja, dass das n-Eck, die Seite und die Ecke eines n-Ecks bereits definiert sind. Das heißt ja dass zum Beispiel die Symmetrie, Winkel,... nicht definiert sind. Dann darf man diese Begriffe doch auch nicht verwenden, oder sehe ich das falsch? --[[Benutzer:Quadrat|Quadrat]] ([[Benutzer Diskussion:Quadrat|Diskussion]]) 16:38, 7. Mai 2014 (CEST) 
Wenn du es ganz genau nimmst. Aber ich würde sagen, du darfst trotzdem parallel und Winkel benutzen. Später werden die Begriffe auch noch genauer definiert. Man sollt sich aber bei jedem Begriff, den man verwendet klar sein, was es bedeutet und es gegebenenfalls vorher definieren.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 08:36, 8. Mai 2014 (CEST)

Raute: Ein Drache, bei dem alle Seiten gleich lang sind, ist eine Raute. 
korrekte informelle Definition. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 13:25, 11. Mai 2014 (CEST) 

Rechteck: Ein Trapez, bei dem die Seiten senkrecht zueinander stehen, ist ein Rechteck. 
das ist informell; da nicht genau beschrieben wird welche Seiten senkrecht stehen und Ein Viereck bei dem... dann auch ausreichen wuerde.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 13:25, 11. Mai 2014 (CEST) 

Drachen: Ein schiefer Drachen, bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen, ist ein Drachen.--[[Benutzer:Audrey Hepburn|Audrey Hepburn]] ([[Benutzer Diskussion:Audrey Hepburn|Diskussion]]) 12:26, 8. Mai 2014 (CEST) 
Ja genau--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 13:25, 11. Mai 2014 (CEST) 

Hallo Anne, wir werden nächste Woche eine Probeklausur schreiben. Aus diesem Grund gehe ich noch einmal alle Aufgaben durch und versuche die noch offenen Fragen zu klären. Bei dieser Aufgabe habe ich versucht die Vierecke neu zu definieren. 
Drachen ist ein sch. Drachen bei dem die Symmetrieachse auf einer der Diagonallen liegt. - Dazu hast du geschrieben, dass es nicht korrekt ist,da Symmetrieachse eine Gerade ist und Diagonalle eine Strecke. Wir haben aber in der Vorlesung und in der Übung so definiert. 
Parallelogramm - ist ein Viereck mit der Punktsymmetrie. 
Parallelogramm - ist ein sch. Drachen bei dem die Diagonallen sich gegenseitig halbieren. 
Rechteck- ist ein Trapez mit einer weiteren Symmetrieachse. 
Rechteck- ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel. 
Quadrat - ist eine Raute bei der die Symmetrieachsen gleich lang sind. 
Rechteck - ist ein sch. Drachen (oder Parallelogramm) bei dem die Diagonallen gleich lang sind.--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 21:53, 23. Jun. 2014 (CEST)

Lösung von Aufg. 7.4P (WS 13/14)

2014-06-18T09:19:11Z

Picksel:

Wir gehen von folgender Definition aus: Ein rechter Winkel ist ein Winkel, der das gleiche Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.
Beweisen Sie: Jeder rechte Winkel hat das Maß 90. 

[[Kategorie:Einführung_P]]

Beweis:
vor.: Ein Winkel Alpha ist ein rechter Winkel
Beh.: Alpha hat das Maß 90

1) alpha ist ein rechter Winkel -> Vor 

2) Beta ist ein Nebenwinkel von Alpha -> Def. rechter Winkel 

3) alpha = Beta -> De. rechter Winkel 

4) /alpha/ + /beta/ = 180 -> Satz über Nebenwinkel (supplementär); 2) 

5) /alpha/ = 90 -> 2);3); Rechnen in R 

--[[Benutzer:TheBurni|TheBurni]] ([[Benutzer Diskussion:TheBurni|Diskussion]]) 15:25, 17. Jun. 2014 (CEST)

Zum Schritt 2): Die Begründung ist nicht richtig, denke ich zumindest. Man könnte nur sagen, dass jeder Winkel einen Nebenwinkel hat. Das müsste ein Axiom sein.--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 11:19, 18. Jun. 2014 (CEST)

Lösung von Aufg. 7.3P (WS 13/14)

2014-06-18T09:05:07Z

Picksel:

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' in einer Ebene ''E''. Ferner sei eine Gerade ''g'' Teilmenge der Ebene ''E'', wobei keiner der Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' auf ''g'' liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang: 
<math>\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge \overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace\Rightarrow \overline{AC}\cap g=\lbrace \rbrace </math> 
(Hinweis: Nehmen Sie einen weiteren Punkt ''D'' an, mit <math>\overline{AD}\cap g\not=\lbrace \rbrace </math> und nutzen Sie den Satz von Pasch) 

Verstehe nicht wirklich warum wir noch den vierten Punkt D brauchen. Man kann auch ohne den zusätzlichen Punkt zeigen, dass die Behauptung stimmt.

Voraussetzung: <math>\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge \overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace \ </math> 
Behauptung: <math>\overline{AC}\cap g=\lbrace \rbrace </math> 
Annahme: <math>\overline{AC}\cap g\not=\lbrace \rbrace </math> 
{| class="wikitable"
|-
! Nr. !! Schritt !! Begründung
|-
| 1. || <math>\overline{AC}\cap g\not=\lbrace \rbrace </math> || Annahme
|-
| 3. || Wenn die Gerade g eine Seite schneidet, dann schneidet sie genau eine weitere Seite des Dreiecks. Gerade g schneidet entweder <math>\overline{AB}</math> oder <math>\overline{BC}</math> || Satz von Pasch
|-
| 4. ||<math>\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge \overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace \ </math> || Voraussetzung
|-
| 5. || Die Annahme ist zu verwerfen, die Behauptung stimmt. || 3),4)
|
|}--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 11:05, 18. Jun. 2014 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 7.2P (SoSe 14)

2014-06-18T08:29:35Z

Picksel:

Definieren Sie mittels des Schnitts geeigneter Halbebenen den Begriff des Inneren eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>. 

Unter dem Inneren eines Dreiecks versteht man die Schnittmenge dreier Halbebenen:=BA+ geschnitten mit BC+ geschnitten mit CA+--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 10:29, 18. Jun. 2014 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 7.1P (SoSe 14)

2014-06-18T08:15:00Z

Picksel:

Unter einem Dreieck versteht man die Vereinigungsmenge von drei besonderen Strecken (umgangssprachlich: Das Dreieck ist sein Rand.). Definieren Sie den Begriff Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. 

Habe die Frage nicht wirklich verstanden. Trotzdem hier mein Versuch: 

Dreieck <math>\overline{ABC}</math> = Strecke AB vereinigt mit der Strecke BC vereinigt mit der Strecke AC --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 10:15, 18. Jun. 2014 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 6.5P (SoSe 14)

2014-06-15T19:03:50Z

Picksel:

a) Gegeben seien drei paarweise verschiedene und nichtkollineare Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' in einer Ebene ''E''. Ferner sei eine Gerade ''g'' Teilmenge der Ebene ''E'', wobei keiner der Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' auf ''g'' liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang: 
<math>\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge \overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace\Rightarrow \overline{AC}\cap g=\lbrace \rbrace </math> 
b) Was hat Aufgabe 6.5 mit Aufgabe 5.4 zu tun? 

a) Direkter Beweis: 

Vor.
<math>\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge \overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace\ </math>

Beh.: <math>\overline{AC}\cap g=\lbrace \rbrace </math> 

{| class="wikitable"
|-
! Nr. !! Schritt !! Begruendung
|-
| 1 || <math>\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \ </math> || Voraussetzung
|-
| 2. || Punkte A und B sind auf der selben Halbebene|| 1), Def. Halbebene
|-
| 3. || <math>\overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace \ </math>|| Voraussetzung
|-
| 4. || Punkte B und C sind auf der selben Halbebene || 3), Def. Halbebene
|-
| 5. || Punkte A und C sind auf der selben Halbebene, wie der Punkt B. Das heisst Punkte A und C sind auf der selben Halbebene. || 2), 4)
|-
| 6. || Wenn alle drei Punkte auf der selben Halbebene sind, dann schneidet weder die Strecke AB, noch BC, noch AC die Gerade g. || Schlussfolgerung aus 5)
|}

Man koennte auch durch die Kontraposition Beweisen, das haben wir allerdings in der Vorlesung gemacht, als wir den Satz von Pasch bewiesen haben. 

b) Damit haben wir die Transitivitaet bewiesen.--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 21:03, 15. Jun. 2014 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 6.4P (SoSe 14)

2014-06-12T13:14:08Z

Picksel:

a) Formulieren Sie die Kontraposition der Implikation aus Aufgabe 6.3. 
b) Zeigen Sie mittels einer Skizze, dass die Umkehrung der Implikation aus Aufgabe 6.3 nicht wahr ist.

a) Kontraposition: Wenn der Durchschnitt zweier Punktmengen nicht konvex ist, dann sind entweder beide Mengen nicht konvex, oder nur eine davon. 

b) Umkehrung: Wenn der Durchschnitt zweier Punktmengen konvex ist, dann sind die zwei Punktmengen auch konvex.
<gallery>
Datei:Nicht_konvex_1.png|
Datei:Nicht_konvex_2.png|
</gallery>
--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 15:14, 12. Jun. 2014 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_P]]

Datei:Nicht konvex 1.png

2014-06-12T13:03:56Z

Picksel: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Beispiel von konvexem Durchschnitt}}
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|author=[[User:Picksel|Picksel]]
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|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Nicht konvex 2.png

2014-06-12T13:03:49Z

Picksel: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Beispiel von konvexem Durchschnitt}}
|date=2014-06-12 15:01:27
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|author=[[User:Picksel|Picksel]]
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|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Lösung von Aufg. 6.4P (SoSe 14)

2014-06-12T13:00:40Z

Picksel:

a) Formulieren Sie die Kontraposition der Implikation aus Aufgabe 6.3. 
b) Zeigen Sie mittels einer Skizze, dass die Umkehrung der Implikation aus Aufgabe 6.3 nicht wahr ist.

a) Kontraposition: Wenn der Durchschnitt zweier Punktmengen nicht konvex ist, dann sind entweder beide Mengen nicht konvex, oder nur eine davon.
b) Umkehrung: Wenn der Durchschnitt zweier Punktmengen konvex ist, dann sind die zwei Punktmengen auch konvex.

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 6.3P (SoSe 14)

2014-06-12T12:35:44Z

Picksel:

Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

Voraussetzung: M1 und M2 sind zwei konvexe Punktmengen 
Behauptung: Der Durchschnitt von M1 und M2 ist auch konvex

{| class="wikitable"
|-
! Nummer !! Schritt !! Begruendung
|-
| 1. || Punkte A und B sind Elemente der Menge M1 || Voraussetzung
|-
| 2. || Punkte A und B sind Elemente der Menge M2 || Voraussetzung
|-
| 3. || Punkte A und B sind Elemente von M1 geschnitten M2 || Def. Schnittmenge
|-
| 4. || Strecke AB ist Element der Menge M1 || 1., Def. konvexe Punktmenge
|-
| 5. || Strecke AB ist Element der Menge M2 || 2., Def. konvexe Punktmenge
|-
| 6. ||Strecke AB ist Element von M1 geschnitten M2 || 3.
|-
| 7. ||Da die Strecke AB in der Schnittmenge komplett enthalten ist, kann man daraus schliessen, dass die Schnittmenge auch konvex ist. || 6. Def. konvexe Punktmenge
|}--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 14:35, 12. Jun. 2014 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 6.2P (SoSe 14)

2014-06-12T11:21:08Z

Picksel:

Definieren Sie den Begriff: "konvexe Punktmenge" indem Sie die verbal formulierte Definition (siehe [[Halbebenen und der Satz von Pasch_SoSe_14#Konvexe_Punktmengen|Wiki-Skript)]] in eine geeignete "Mengenschreibweise" übersetzen. 
'''''M'' ist konvex, wenn gilt: ...'''

Wir gehen von der Definition der Strecke aus. Wir haben gesagt, dass Strecke AB={P|Zw.(A,P,B)} vereinigt (A,B). 
Dann koennen wir sagen, dass M ist konvex, wenn gilt: Strecke AB ist Element M. --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 13:21, 12. Jun. 2014 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 6.1P (SoSe 14)

2014-06-12T11:02:10Z

Picksel:

Geben Sie eine formal korrekte Definition für die Halbgerade <math>\ AB^-</math> an, ohne die Zwischenrelation zu verwenden.

<math>\ AB^-</math>= (AB ohne AB+ ) vereinigt mit {A} 

Ich finde die noetigen Zeichen nicht. Habe versucht so gut, wie moeglich aufzuschreiben.
Halbgerade AB- ist eine Gerade AB ohne der Halbgerade AB+ vereinigt mit dem Punkt A.--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 13:02, 12. Jun. 2014 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 5.2 P (SoSe 14)

2014-06-02T06:56:24Z

Picksel:

Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, ob es sich um reflexive, symmetrische sowie transitive Relationen handelt? 
*Parallelität von Geraden der Ebene
*Kongruenz geometrischer Figuren
*Teilbarkeit in <math>\mathbb{N}</math>
*Kleinerrelation in <math>\mathbb{R}</math>
*Größer-Gleich-Relation in <math>\mathbb{R}</math>
*Ungleichheit in <math>\mathbb{R}</math>

*Parallelität von Geraden der Ebene : reflexiv, symmetrisch, transitiv
*Kongruenz geometrischer Figuren : reflexiv, symmetrisch, transitiv,
*Teilbarkeit in <math>\mathbb{N}</math> : reflexiv, transitiv
*Kleinerrelation in <math>\mathbb{R}</math> : transitiv
*Größer-Gleich-Relation in <math>\mathbb{R}</math> : reflexiv
*Ungleichheit in <math>\mathbb{R}</math> : symmetrisch, transitiv --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 19:22, 26. Mai 2014 (CEST)

Stimme dir zu, MarieSo --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 21:19, 26. Mai 2014 (CEST)
[[Category:Einführung_P]]

Ist die Größer-Gleich-Relation in <math>\mathbb{R}</math> nicht auch transitiv?
Wenn 4>2 ist und 2>1 ist, ist auch 4>1. --[[Benutzer:Pippilotta|Pippilotta]] ([[Benutzer Diskussion:Pippilotta|Diskussion]]) 16:42, 27. Mai 2014 (CEST)

Ich denke da reicht es nur einen Gegenbeispiel zu nennen, wo es nicht der Fall ist. Z.B. 4≥3 und 3≥7 daraus folgt 4≥7. Die erste Aussage ist Wahr, die zweite falsch. Wahr und falsch ergibt falsch. Der hintere Teil 4≥7 ist falsch. Bei der Implikation aus falsch folgt falsch, bedeutet die Aussage ist wahr. Also müsste die Größer-gleich-Relation transitiv sein. --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 09:47, 29. Mai 2014 (CEST) 

Es ist richtig, wie Pippilotta schreibt, dass die Größer-Gleich-Relation auch transitiv ist. Es gibt kein Gegenbeispiel. Bei einem Gegenbeispiel muss aus einer wahren Gegebenheit ein falsches Ergebnis folgen. Das Beispiel von Picksel hilft hier nicht weiter. Sonst stimme ich den Antworten von MarieSo zu, bis auf eine. Die Ungleichheit in R ist nicht transitiv. Wer findet ein Gegenbeispiel?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 08:30, 2. Jun. 2014 (CEST)

Na ja, damit wollte ich zeigen, dass man keinen Gegenbeispiel finden kann. Auch in dem Fall, den ich hier geschildert habe, ist die Aussage wahr, wegen der Implikation. Also ist die Relation transitiv. Zu d) 4≠5 und 5≠4 → 4≠4 --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 08:56, 2. Jun. 2014 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.3 P (SoSe 14)

2014-05-29T07:54:46Z

Picksel:

Untersuchen Sie folgende Relation ''S'' auf ihre Eigenschaften: 
<math>\ g S h \Leftrightarrow \ g \cap h \neq \lbrace \rbrace </math> 

Die Relation ist symmetrisch, reflexiv und transitiv (Also ein Äquivalenzrelation). --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 19:25, 26. Mai 2014 (CEST)

Richtig --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 21:23, 26. Mai 2014 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]

Wisst Ihr das nur wegen dem Leftrightarrow oder weil Ihr Euch das irgendwie mit einer Wahrheitstabelle hergeleitet habt?
Ich verstehe gar nicht, was ich damit anfangen soll... :o( Außer dass der Leftrightarrow = Äquivalenzrelation heißt und diese immer symmetrisch, reflexiv und transitiv ist.
--[[Benutzer:Pippilotta|Pippilotta]] ([[Benutzer Diskussion:Pippilotta|Diskussion]]) 16:47, 27. Mai 2014 (CEST)

Mach dir eine Skizze dazu. Der Satz besagt, dass g schneidet h genau dann, wenn g h schneidet und dabei keine leere Menge ergibt, also ein Schnittpunkt entsteht. 
Reflexiv: jede Gerade schneidet sich selbst 
Symmetrisch: wenn g h schneidet, dann auch h schneidet g. 
Transitiv: dafür nimmst du noch eine Gerade z.B. c. Wenn g schneidet h und h schneidet c, dann muss g auch c schneiden. --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 09:54, 29. Mai 2014 (CEST)

Lösung von Aufgabe 5.2 P (SoSe 14)

2014-05-29T07:47:05Z

Picksel:

Lösung von Aufgabe 5.5 P (SoSe 14)

2014-05-27T07:59:27Z

Picksel:

Wir betrachten die Gerade ''g'' und auf dieser Geraden die Relation Punkt ''A'' liegt links von Punkt ''B'' ohne exakte Definition in intuitiver Form. Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf diese Relation zu? 
*Für jeden Punkt ''A'' von ''g'' gilt: ''A'' liegt links von sich selbst.
*Für je zwei Punkte ''A'' und ''B'' der Geraden ''g'' gilt: Wenn ''A'' links von ''B'' liegt, dann liegt ''B'' auch links von ''A''.
*Für je drei Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' der Geraden ''g'' gilt: Wenn ''A'' links von ''B'' und ''B'' links von ''C'' liegt, dann liegt ''A'' auch links von ''C''.
*Für alle Punkte der Geraden ''g'' gilt: Es existiert kein Punkt, der links neben sich selbst liegt.
*Für je zwei Punkte ''A'' und ''B'' der Geraden ''g'' gilt: entweder liegt ''A'' links von ''B'' oder ''B'' liegt links von ''A'' oder die beiden Punkte ''A'' und ''B'' sind identisch. 

a) A kann nicht links von sich selbst liegen. 

b) stimmt nicht 

c) passt 

d)links neben sich selbst, geht doch nicht? Also stimmt. 

e)trifft zu 

--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 09:59, 27. Mai 2014 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]

Datei:Gerade.ggb

2014-05-27T07:51:48Z

Picksel: User created page with UploadWizard

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|description={{de|1=Gerade a mit den Punkten A und B}}
|date=2014-05-27 09:51:04
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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Lösung von Aufgabe 5.4 P (SoSe 14)

2014-05-27T07:36:16Z

Picksel:

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>. 
a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation. 
b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen. 
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen. 

a) A steht in Relation zu B, wenn die Strecke AB die Gerade g nicht schneidet. --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 19:34, 26. Mai 2014 (CEST)

a) A und B sind zwei Punkte der Ebene E ohne der Gerade g, für die Punkte A und B gilt: A steht in Relation zu B genau dann, wenn die Strecke AB die Gerade g schneidet und die leere Menge ergibt. (Also schneidet nicht)
<gallery>
Datei:Strecke_AB.jpg|

</gallery>

b) Reflexiv: jeder Punkt steht zu sich selbst in Relation 

Symmetrisch: A steht in Relation zu B, wie B zu A. Ob ich Strecke AB definiere oder BA ist völlig egal. 

Transitiv: Wenn A zu B und B zu C, dann steht auch A in Relation zu C. 

<gallery>
Datei:Transitivität.jpg|

</gallery> --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 09:36, 27. Mai 2014 (CEST)
[[Category:Einführung_P]]

Datei:Transitivität.jpg

2014-05-27T07:31:10Z

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Lösung von Aufgabe 5.4 P (SoSe 14)

2014-05-27T06:11:15Z

Picksel:

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>. 
a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation. 
b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen. 
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen. 

a) A steht in Relation zu B, wenn die Strecke AB die Gerade g nicht schneidet. --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 19:34, 26. Mai 2014 (CEST)

a) A und B sind zwei Punkte der Ebene E ohne der Gerade g, für die Punkte A und B gilt: A steht in Relation zu B genau dann, wenn die Strecke AB die Gerade g schneidet und die leere Menge ergibt. (Also schneidet nicht)--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 22:02, 26. Mai 2014 (CEST)
<gallery>
Datei:Strecke_AB.jpg|

</gallery>

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 5.4 P (SoSe 14)

2014-05-26T20:02:57Z

Picksel:

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>. 
a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation. 
b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen. 
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen. 

a) A steht in Relation zu B, wenn die Strecke AB die Gerade g nicht schneidet. --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 19:34, 26. Mai 2014 (CEST)

a) A und B sind zwei Punkte der Ebene E ohne der Gerade g, für die Punkte A und B gilt: A steht in Relation zu B genau dann, wenn die Strecke AB die Gerade g schneidet und die leere Menge ergibt. (Also schneidet nicht)--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 22:02, 26. Mai 2014 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]

Datei:Strecke AB.jpg

2014-05-26T19:56:36Z

Picksel: User created page with UploadWizard

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|description={{de|1=Die Strecke AB schneidet die Gerade g nicht}}
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Lösung von Aufgabe 5.3 P (SoSe 14)

2014-05-26T19:23:15Z

Picksel:

Lösung von Aufgabe 5.2 P (SoSe 14)

2014-05-26T19:19:26Z

Picksel:

Lösung von Aufgabe 5.1 P (SoSe 14)

2014-05-26T19:16:50Z

Picksel:

a) Geben Sie die Menge <math>M</math> aller konvexer Drachenvierecke an. 
b) Bilden Sie das kartesische Produkt der Menge <math>M \times M</math>. 
c) Wir definineren eine Relation <math>R</math> mit <math>R:=A\subseteq B</math>. Bestimmen Sie die Relation <math>R</math> auf <math>M \times M</math>. 
d) Untersuchen Sie die Relation <math>R</math> auf ihre Eigenschaften (reflexiv, symmetrisch, transitiv). 

a) Raute (R), Quadrat (Q), Drachen (D)
b) M x M : ((R,R);(R,Q);(R,D);(Q,Q);(Q,R);(Q,D);(D,D);(D,R);(D,Q))
c) R auf M x M : ((R,R);(R,D);(Q,Q);(Q,R);(Q,D);(D,D))
d) Die Relation ist reflexiv, sie ist nicht symmetrisch und nicht transitiv --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 19:18, 26. Mai 2014 (CEST)

Eine Frage, was für ein Drachen ist dabei gemeint? Der schiefe Drachen ist auch ein konvexer Viereck. Wenn wir uns dann die Menge anschauen, wären noch der Parallelogramm und der Rechteck dabei. --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 21:16, 26. Mai 2014 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 3.5 (SoSe 14)

2014-05-18T17:26:07Z

Picksel:

Vergleichen Sie die Wahrheitswerte von 

<math>(\ A \Rightarrow B) </math> und <math>(\ A \wedge \neg B)</math>. 

Erklären Sie den Zusammenhang zwischen Ihrer Wahrheitstabelle und dem indirekten Beweis durch Widerspruch. 

[[Datei:2014-05-18 18.04.05.jpg|thumb|Wahrheitstabelle]]
Anbei die Wahrheitstabelle. Wie genau ist der indirekte Beweis durch Widerspruch zu führen? 
Ist das was aus der Tabelle hervorgeht schon der indirekte Beweis? --[[Benutzer:Shaman|Shaman]] ([[Benutzer Diskussion:Shaman|Diskussion]]) 18:24, 18. Mai 2014 (CEST)

Aus der Wahrheitstabelle kann man noch kein Schluß ziehen, es fehlt noch ein Schritt und zwar der Widerspruch der zweiten Aussage. <math> - (\ A \wedge \neg B)</math> 
Wenn man das in der Wahrheitstabelle dargestellt hat, merkt man, dass die Implikation und die Negation Äquivalent sind. Es bedeutet für uns, wenn man durch Widerspruch Beweisen möchte, muss man einfach nur die eine Aussage negieren. --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 19:26, 18. Mai 2014 (CEST)
[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 3.4 (SoSe 14)

2014-05-18T16:58:35Z

Picksel:

Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Geraden g und h nicht identisch sind, dann haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam. 
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation? 

Wenn zwei Geraden g und h mehr als einen Punkt gemeinsam haben, dann sind sie identisch. --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 18:30, 12. Mai 2014 (CEST)

b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten? 

Annahme: g und h haben mehrere Punkte gemeinsam (und sind nicht identisch)--[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 18:30, 12. Mai 2014 (CEST)

Meiner Meinung nach ist Maries Lösung richtig.--[[Benutzer:Früchtchen:)|Früchtchen:)]] ([[Benutzer Diskussion:Früchtchen:)|Diskussion]]) 09:23, 15. Mai 2014 (CEST)

Ich stimme auch zu. Allerdings habe mich die ganze Zeit gefragt, wie man das formal aufschreiben könnte.Hier mein Versuch: 

Voraussetzung: g‡h 
Behauptung: E S| S€ g ʌ S€ h 
Annahme: A S| S€ g ʌ S€ h 
Kurze Erklärung dazu, konnte die Zeichen für "es gibt" und "für alle" nicht finden.Deswegen habe E und A genommen. --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 18:58, 18. Mai 2014 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 3.3 (SoSe 14)

2014-05-18T16:20:16Z

Picksel:

a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach). 

Stufenwinkelsatz: Wenn zwei parallele Geraden a und b von einer dritten Gerade c geschnitten werden, so sind die auftretenden
Stufenwinkel gleich groß. --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 18:15, 12. Mai 2014 (CEST)

Stufenwinkelsatz: Stufenwinkel sind gleich groß genau dann, wenn sie an parallelen Geraden liegen.--[[Benutzer:Früchtchen:)|Früchtchen:)]] ([[Benutzer Diskussion:Früchtchen:)|Diskussion]]) 09:19, 15. Mai 2014 (CEST)

b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äquivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)? 
#<math>\ a \ \| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
#<math>\alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \| \ b </math>
#<math>\left|\alpha \right|\not= \left| \beta \right| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
#<math>\ a \ \| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>

1. repräsentiert den Stufenwinkelsatz
2. ist eine Umkehrung des Stufenwinkelsatz
3. kein Zusammenhang zum Stufenwinkelsatz?
4. ist eine Äquivalenzaussage zum Stufenwinkelsatz --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 18:15, 12. Mai 2014 (CEST)
Deine Antwort ist schon ganz gut. 3. hat einen Zusammenhang zum Stufenwinkelsatz. Welche der 4 Aussagen sind nun aequivalent zum Stufenwinkelsatz?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 16:42, 14. Mai 2014 (CEST)
[[Category:Einführung_P]]
Ich würde sagen das Aussage Nr.3 auch äquivalent zum Stufenwinkelsatz ist. Sie repräsentiert einen indirekten Beweis durch Kontraposition,
nähmlich dass die Winkel |α| und |β| nicht gleich groß sind wenn die Geraden a und b nicht parallel zueinander sind.--[[Benutzer:Shaman|Shaman]] ([[Benutzer Diskussion:Shaman|Diskussion]]) 16:44, 18. Mai 2014 (CEST)

Entschuldigt, eine "unerfahrene" Frage: Was bedeutet das ist-gleich Zeichen mit Schlangelinie darüber? Kann ja nicht "ungefähr-ist-gleich" heißen. DANKE!! (Pippilotta) 
Das Zeichen bedeutet kongruent zu. Zwei Winkel sind kongruent, wenn sie gleich groß sind. Zwei Seiten sind kongruent, wenn sie gleich lang sind. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 19:17, 16. Mai 2014 (CEST) 

Meiner Meinung nach die Aussage Nr. 4 ist die Äquivalenzaussagen zum Stufenwinkelsatz, damit auch ein Kriterium für eine hinreichende und notwendige Bedingung.
Werde versuchen die Nr. 3 zu übersetzen. Die Winkel |α| und |β| sind nicht gleich, daraus folgt, dass ein Punkt S existiert, der Element von der Gerade a und Gerade b ist. Bin mir nicht sicher aber kann sein, dass es damit gemeint ist, dass die eine Gerade die andere im Punkt S schneidet?--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 18:20, 18. Mai 2014 (CEST)

Lösung von Aufgabe 3.2 (SoSe 14)

2014-05-18T15:56:10Z

Picksel:

'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
''' 
'''a) Welcher Beweis ist korrekt?''' Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.) 

Beweis 1)
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck. 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
 
Beweis 2)
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck. 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen. 

Beweis 1: Der Basiswinkelsatz sagt nicht, dass |AC| ≠ |BC|, deshalb ist der Beweis nicht korrekt. --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 18:04, 12. Mai 2014 (CEST)
Beweis 2: Dies ist ein korrekter Beweis durch Kontraposition. --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 18:04, 12. Mai 2014 (CEST)

b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.''' 

Vor: |AC|< |BC| < |AB|
Beh: |α| ≠ |β|
Annahme: |α| = |β|
Basiswinkelsatz: |AC| = |BC|
--> Deshalb ist die Annahme falsch. --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 18:04, 12. Mai 2014 (CEST)

Mein Versuch: 
Vor.: |AC|< |BC| < |AB| 
Beh.: |α| ≠ |β| 
Annahme: |α| = |β| 
Beweis:

{| class="wikitable"
|-
| 1) |AC|< |BC| < |AB| || Voraussetzung
|-
| 2) |α| = |β| || 1), Annahme
|-
| 3) |AC| ≠ |BC| dann |α| ≠ |β| || 1), Stufenwinkelsatz
|-

|}--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 08:09, 14. Mai 2014 (CEST)
Dein Beweis Picksel beinhaltet den selben Fehler wie Beispiel 1 oben (Es ist im Prinzip der Beweis 1 in schöner Tabellenform). Du verwendest die Annahme selbst nicht (du nennst sie nur) und begründest dann mit dem Stufenwinkelsatz eine Aussage, die nicht im Stufenwinkelsatz enthalten ist.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 16:47, 14. Mai 2014 (CEST) 
Klar,du hast Recht. Keine Ahnung warum ich Stufenwinkelsatz angegeben habe. Meinte den Basiswinkelsatz eigentlich, sorry.--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 17:56, 18. Mai 2014 (CEST)

Nächster Versuch: 

Vor.: |AC|<|BC|<|AB| 

Beh.: |α|≠|β| 

Annahme:|α|=|β| 

Beweis mit Wiederspruch: 
''
Nehmen wir an das |α|=|β| gilt. Die Umkehrung des Basiswinkelsatzes besagt: Wenn |α|=|β| dann gilt auch |AC|=|BC|.
Damit unsere Annahme wahr ist muss die Umkehrung des Basiswinkelsatzes, wenn |α|=|β| dann gilt auch |AC|=|BC|, wahr sein. Unserer
Voraussetzung zufolge aber: |AC|<|BC|, d.h. |AC|≠|BC|. Damit ist unsere Annahme falsch und im Wiederspruch zu unserer Voraussetzung.
Daraus folgt das die Behautung |a|≠|β| wahr ist.'' --[[Benutzer:Shaman|Shaman]] ([[Benutzer Diskussion:Shaman|Diskussion]]) 16:13, 18. Mai 2014 (CEST)

Mein 2-er Versuch: 

Vor.: |AC|< |BC| < |AB| 
Beh.: |α| ≠ |β| 
Annahme: |α| = |β| 
Beweis durch Wiederspruch: 

1) |AC|≠|BC| -Voraussetzung 
2) |α| = |β| - Annahme 
3) |α| = |β| => |AC|=|BC| - Basiswinkelsatz 
4) |AC|≠|BC| => |α| ≠ |β| - Die Annahme war falsch, daraus folgt, dass die Behauptung richtig ist. --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 17:56, 18. Mai 2014 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 3.1 (SoSe 14)

2014-05-18T15:30:00Z

Picksel:

Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 
a) Wie lautet die Umkehrung des Basiswinkelsatzes? 
b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen.
 

a) Wenn die Basiswinkel eines Dreiecks kongruent zueinander sind, dann ist es gleichschenklig.--[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 17:46, 12. Mai 2014 (CEST)
* In einem allgemeinen Dreieck gibt es keine Basiswinkel, denn es gibt ja auch keine Basis. Das ist das Problem deiner Umkehrung - so kannst du sie nicht formulieren.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 16:52, 14. Mai 2014 (CEST)

Wenn in einem Dreieck zwei Winkel gleich groß sind, dann ist das Dreieck gleichschenklig,--[[Benutzer:Früchtchen:)|Früchtchen:)]] ([[Benutzer Diskussion:Früchtchen:)|Diskussion]]) 09:16, 15. Mai 2014 (CEST)
b) Genau dann, wenn ein Dreieck zueinander kongruente Basiswinkel hat, dann ist es gleichschenklig.--[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 17:46, 12. Mai 2014 (CEST)
* Das selbe Problem auch hier.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 16:52, 14. Mai 2014 (CEST)

Zu a) stimme MarieSo zu. 
Zu b) Ist die Umkehrung und der zu zusammenfassende Satz (b)) nicht eigentlich das gleiche? Was ist der Unterschied? --[[Benutzer:NinaKlett|NinaKlett]] ([[Benutzer Diskussion:NinaKlett|Diskussion]]) 15:02, 14. Mai 2014 (CEST)
* Der Satz ist eine Implikation: A-->B, die Umkehrung wieder eine Implikation: B-->A, die Zusammenfassung ist eine Äquivalenzaussage: A<-->B. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 16:52, 14. Mai 2014 (CEST)

[[Category:Einführung_P]

Wenn ein Dreieck zwei kongruente Winkel hat, dann hat es auch zwei gleichlange Seiten (,die den Winkeln gegenüber liegen und Schenkel heißen).
--[[Benutzer:Pippilotta|Pippilotta]] ([[Benutzer Diskussion:Pippilotta|Diskussion]]) 12:00, 16. Mai 2014 (CEST) 
DAs geht auch. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 19:15, 16. Mai 2014 (CEST)
 
a) Wenn in einem Dreieck zwei Winkel kongruent zueinander sind, dann ist der Dreieck gleichschenklig. 
b) Genau dann, wenn in einem Dreieck zwei Winkel kongruent zueinander sind, ist dieses Dreieck geichschenklig.--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 17:30, 18. Mai 2014 (CEST)

Lösung von Aufgabe 3.1 (SoSe 14)

2014-05-18T15:28:36Z

Picksel:

Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 
a) Wie lautet die Umkehrung des Basiswinkelsatzes? 
b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen.
 

a) Wenn die Basiswinkel eines Dreiecks kongruent zueinander sind, dann ist es gleichschenklig.--[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 17:46, 12. Mai 2014 (CEST)
* In einem allgemeinen Dreieck gibt es keine Basiswinkel, denn es gibt ja auch keine Basis. Das ist das Problem deiner Umkehrung - so kannst du sie nicht formulieren.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 16:52, 14. Mai 2014 (CEST)

Wenn in einem Dreieck zwei Winkel gleich groß sind, dann ist das Dreieck gleichschenklig,--[[Benutzer:Früchtchen:)|Früchtchen:)]] ([[Benutzer Diskussion:Früchtchen:)|Diskussion]]) 09:16, 15. Mai 2014 (CEST)
b) Genau dann, wenn ein Dreieck zueinander kongruente Basiswinkel hat, dann ist es gleichschenklig.--[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 17:46, 12. Mai 2014 (CEST)
* Das selbe Problem auch hier.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 16:52, 14. Mai 2014 (CEST)

Zu a) stimme MarieSo zu. 
Zu b) Ist die Umkehrung und der zu zusammenfassende Satz (b)) nicht eigentlich das gleiche? Was ist der Unterschied? --[[Benutzer:NinaKlett|NinaKlett]] ([[Benutzer Diskussion:NinaKlett|Diskussion]]) 15:02, 14. Mai 2014 (CEST)
* Der Satz ist eine Implikation: A-->B, die Umkehrung wieder eine Implikation: B-->A, die Zusammenfassung ist eine Äquivalenzaussage: A<-->B. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 16:52, 14. Mai 2014 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]

Wenn ein Dreieck zwei kongruente Winkel hat, dann hat es auch zwei gleichlange Seiten (,die den Winkeln gegenüber liegen und Schenkel heißen).
--[[Benutzer:Pippilotta|Pippilotta]] ([[Benutzer Diskussion:Pippilotta|Diskussion]]) 12:00, 16. Mai 2014 (CEST) 
DAs geht auch. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 19:15, 16. Mai 2014 (CEST)
 
a) Wenn in einem Dreieck zwei Winkel kongruent zueinander sind, dann ist der Dreieck gleichschenklig. 
b) Genau dann, wenn in einem Dreieck zwei Winkel kongruent zueinander sind, ist dieses Dreieck geichschenklig.

Auftrag der Woche 3 (SoSe 14)

2014-05-16T12:21:41Z

Picksel:

Erstellen Sie einen Film über die Gärtnerkonstruktion und stellen Sie diesen hier ein. 

Zuhause habe ich entdeckt, dass unser Esstisch die Form einer Ellipse hat. Die Aufgabe war: stimmt das wirklich? 

1. Als erstes haben wir uns den Tisch angeschaut und versucht die Mittelpunkte zu finden. 
[[Datei:Unser Tisch.jpg|miniatur]] 

2. Sieht gut aus,die Mittelpunkte stimmen, die Länge der Schnur passt auch. Alles stabil, es kann los gehen. Wir haben versucht am Rand des Tisches entlang zu gehen. Unsere Mittelpunkte markieren die zwei Wasserflaschen. Die dritte Wasserflasche ist der Stift.
[[Datei:Ellipse mit zwei Mittelpunkten.jpg|miniatur]] 

3. Was soll das denn jetzt? Die Schnur ist plötzlich zu kurz. Wir haben doch gelernt, dass die Schnur gleich lang bleibt. Verzweifelte Gesichter... Ist der Tisch vielleicht doch keine Ellipse?

[[Datei:Keine Ellipse mehr.jpg|miniatur]] 

Es hat auf jeden Fall riesen Spaß gemacht. Und laut David: "Der Tisch ist keine Ellipse, es sieht, wie ein Ei aus" :) --[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 14:21, 16. Mai 2014 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_P]]

Auftrag der Woche 3 (SoSe 14)

2014-05-16T12:20:35Z

Picksel:

Erstellen Sie einen Film über die Gärtnerkonstruktion und stellen Sie diesen hier ein. 

Zuhause habe ich entdeckt, dass unser Esstisch die Form einer Ellipse hat. Die Aufgabe war: stimmt das wirklich? 

1. Als erstes haben wir uns den Tisch angeschaut und versucht die Mittelpunkte zu finden. 
[[Datei:Unser Tisch.jpg|miniatur]] 

2. Sieht gut aus,die Mittelpunkte stimmen, die Länge der Schnur passt auch. Alles stabil, es kann los gehen. Wir haben versucht am Rand des Tisches entlang zu gehen. Unsere Mittelpunkte markieren die zwei Wasserflaschen. Die dritte Wasserflasche ist der Stift.
[[Datei:Ellipse mit zwei Mittelpunkten.jpg|miniatur]] 

3. Was soll das denn jetzt? Die Schnur ist plötzlich zu kurz. Wir haben doch gelernt, dass die Schnur gleich lang bleibt. Verzweifelte Gesichter... Ist der Tisch vielleicht doch keine Ellipse?

[[Datei:Keine Ellipse mehr.jpg|miniatur]] 

Es hat auf jeden Fall riesen Spaß gemacht. Und laut David: "Der Tisch ist keine Ellipse, es sieht, wie ein Ei aus" :) (Vaida Simbi, 16.05.2014)
[[Kategorie:Einführung_P]]