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Lösung Serie 08 - WiSe 2011/12

2012-01-20T11:29:15Z

Pipi Langsocke:

„Interdisziplinäres Arbeiten ist das neue Schlagwort“, sagt Mathematiklehrerin Schultze-Kröttendörfer, „aber wie?“. Biologielehrer Krause, der schon „interdisziplinär“ arbeitete, als man noch „fächerübergreifend“ dazu sagte, gibt ihr einen Apfel: „In erster Näherung ist ein Apfel ein Rotationskörper. Lassen Sie die Schüler zur Rotationsachse senkrecht eine Schnittebene legen, welche den Apfel halbiert. Sie werden Erstaunliches entdecken können.“ 

[[Bild:Äpfel_Kopie.jpg|200 px]] 

„Oh, die Kernle bilden ä Fünfsternle“, freut sich Grundschullehrerin Sarah Plätscherbächle, die interessiert dem Gespräch gelauscht hat. „Nun ja“, räuspert sich Krause, „sagen wir ruhig Pentagramm dazu.“

„Aber zu dem Vieleck <math>\overline{ABCDE}</math> dürfet man doch fünfseitiges Quadrat sage, oder?“, meint Sarah Plätscherbächle. „Nicht schlecht diese Idee“, antwortet Frau Schultze-Kröttendörfer, „man hat sich aber auf die Bezeichnung regelmäßiges Fünfeck geeinigt."

So präpariert geht Frau Schultze Kröttendörfer in ihren Unterricht, in dem die Schüler u.a. die folgenden Probleme lösen:

'''Na dann schauen wir mal, ob wir gute Schülerinnen und Schüler bei Frau Schultze Kröttendörfer wären.'''

# Fachliche Vorbetrachtung: Definieren Sie den Begriff regelmäßiges Fünfeck. Beachten Sie hierbei, dass in eine Definition nur das Nötigste bezüglich der Begriffsbestimmung aufgenommen wird. 
Vorüberlegung: Ein regelmäßiges n-Eck zeichnet sich dadurch aus, dass die Streckenlängen kongruent sind. Wenn wir es zurückführen auf ein einfacheres Problem, so werden wir beim Dreieck kein Problem erkennen. Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten ist ein regelmäßiges Dreieck. Soweit so gut. Also wird das beim Fünfeck schon passen: Ein Fünfeck mit fünf gleich langen Seiten ist ein regelmäßiges Fünfeck - denkste. Wie komme ich darauf, dass das auch nicht der Fall sein kann? Naja ich führe wieder zurück auf ein einfacheres Problem: Das regelmäßige Viereck. Dies ist ja bekanntermaßen das Quadrat. Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten ist aber auch die Raute und das ist nur in einem speziellen Falle ein Quadrat - nämlich, wenn es einen rechten Winkel hat. Also brauchen wir noch eine zusätzliche Information. Was haben das regelmäßige Dreieck und das Quadrat gemeinsam? Naja wenn man sie um die Innenwinkelsumme eines Ecks dreht, dann liegen wieder Ecke auf Ecke. Das schreit aber nach einem Kreis und genau so ist es. Und da dies eine Äquivalenz ist, (ein gleich lange Seiten <=> Umkreis) brauchen wir die gleich langen Seiten auch nicht mehr: 
'''Ein Fünfeck mit Umkreis ist ein regelmäßiges Fünfeck.'''--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 17:33, 18. Jan. 2012 (CET)

Ich würde folgendes definieren (geht in die gleiche Richtung): 
Es seien ein Punkt <math>M</math>, ein Kreis <math>k</math> um <math>M</math> mit dem Radius <math>r</math> und <math>A,B,C,D,E \in k</math>. Für <math>A,B,C,D,E \in k: \overline{AB} kongruent zu \overline{BC} kongruent zu \overline{CD} kongruent zu \overline{DE} kongruent zu \overline{EA} </math>.
[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 12:29, 20. Jan. 2012 (CET)

# Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks mit der Einheitsstrecke als Seitenlänge:Formulieren Sie eine Konstruktionsbeschreibung zur Generierung eines solchen Fünfecks und begründen Sie diese.
# Die Schüler wissen bereits, dass die Längen zweier Strecken <math>d</math> und <math>a</math> dann im Verhältnis des goldenen Schnittes zueinander stehen, wenn <math>\frac{d}{a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math> gilt. Eine Recherche im Internet ergibt, dass sich zwei Diagonalen des regelmäßigen Fünfecks im Verhältnis des goldenen Schnittes teilen. Maria meint: „Wenn das wahr ist, dann gilt für das regelmäßige Fünfeck auch, dass die Diagonalenlänge zur Seitenlänge im Verhältnis des goldenen Schnittes steht.“ Begründen Sie die Wahrheit von Marias Aussage. Sie können dabei auf eine Skizze Bezug nehmen. 
 
Dazu müsste zunächst bewiesen werden, dass jede Diagonale zu jeweils einer Seite des reg. Fünfecks parallel ist. Dafür schicke ich ein Lemma voraus: 
[[Datei:serie_08_a_2_1.jpg|900px]]
 
Im Anschluss daran beweise ich mit diesem Lemma die Vermutung Marias: 
[[Datei:serie_08_a_2_2.jpg|900px]]
 
Auf der folgenden Seite finden sich weitere Skizzen und der erste 'Versuch' eines Beweises. 
[[Beweis_Versuch_Nummer_1_Serie_08_a_2]]
 
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 21:53, 18. Jan. 2012 (CET)

# Mark ist von dem Zusammenspiel des Fünfecks mit dem eingefassten Pentagramm begeistert und beginnt zu experimentieren (s. untenstehende Skizze).Offenbar hätte er das Fünfeck <math>\overline{A'B'C'D'E'}</math> auch durch zentrische Streckung von <math>\overline{ABCDE}</math> an <math>M</math> konstruieren können. Bestimmen Sie den Streckfaktor dieser zentrischen Streckung. Hinweise: Sie dürfen das Verhältnis des goldenen Schnittes hinsichtlich Diagonalen- und Seitenlängen im regelmäßigen Fünfeck voraussetzen. (Die Suche nach geeigneten Strahlensatzfiguren kann bei der Lösung des Problems hilfreich sein.) [[Bild: Pentagramm 00.png|300px]]
# Beweisen Sie, dass für die Seitenlänge <math>a</math> und die Diagonalenlänge <math>d</math> eines regelmäßigen Fünfecks wirklich <math>d=\frac{1+\sqrt{5}}{2}a</math> gilt.
# Die Idee von Sarah Plätscherbächle mit dem fünfseitigen Quadrat ist nicht schlecht. Wie beim Quadrat ist der Flächeninhalt des regelmäßigen Fünfecks proportional zum Quadrat der Seitenlänge <math>a</math>. Formulieren und beweisen Sie einen „Satz des Pythagoras“ entsprechend der untenstehenden Skizze. Den üblichen Satz des Pythagoras dürfen Sie als bewiesen voraussetzen.

<ggb_applet width="596" height="721" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

[[Kategorie:Elementargeometrie]]

Vorlage:Lösung 7.1

2011-12-21T11:11:56Z

Pipi Langsocke: Die Seite wurde neu angelegt: „=Aufgabe 7.1= Es seien <math>a, b</math> und <math>c</math> drei zueinander parallele Geraden (paarweise nicht identisch). Man konstruiere ein gleichseitiges Drei…“

=Aufgabe 7.1=
Es seien <math>a, b</math> und <math>c</math> drei zueinander parallele Geraden (paarweise nicht identisch). Man konstruiere ein gleichseitiges Dreieck <math>\overline{ABC}</math> derart, dass <math>A \in a, B \in b, C \in c</math> gilt.

<ggb_applet width="784" height="463" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAGhhlT8AAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIAGhhlT8AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s7Vrtjts2Fv2dPgXh37HMb0qBJ8UkzWADTJMAky0W+6eQJVrDjix5JdljB32uvsC+2F6Ski1/zGQ86SRpsUETiuIVL3nOPZdXcsc/rmY5WuqqNmVxNiABHiBdJGVqiuxssGimw3Dw48sfxpkuMz2pYjQtq1ncnA24tTTp2WCqUoyjUA6nMWFDrkI+nIQ6HEZKY8HplMaTcIDQqjYvivJdPNP1PE70VXKtZ/FlmcSNc3zdNPMXo9Ht7W3QuQrKKhtl2SRY1ekAwTKL+mzQXryA6XYeumXOnGJMRv/6+dJPPzRF3cRFogfIbmFhXv7wbHxrirS8Rbcmba7PBiGGbVxrk13DnqTtjKzRHACZ66QxS13Do72u23Mzmw+cWVzY8Wf+CuWb7QxQapYm1dXZAAdMECoGqKyMLprWgLSORt0U46XRt34ue+Xc8AFqyjKfxHYa9PvviGKK0XPbEN9QaKT0Q9jfw8w31DfcN8LbcP8496bc23Bvw9kALU1tJrkGVuO8BthMMa2Ask2/bta5dutpb2y3TJ7DnmrzCYyZxdHjDPcxfm7/ArjPeQdwb5Ok57WpFic67VzyKHy4S/olLlnnkobk0CUVd+xS3gOuX8NDtklED1lw5f5zfw88MnqCR9//MoeSf5UtjkedUsatOFB9bW1bJhs9q61cWIREZKOeIAHSkAqCXCASQaMoAjEgIhAX0CUhkrZViCkY4IihEFk7wpDThgjhH67cZBIJmMzeVSBJRMARR4Ih4iTFEQgJOVmCRCkDCyGQgIese0LtFEwiLqHHQsRhjVaRioAhgwehD+4pYgQx+zBRiEok7XyEW6XL0C4dpqRIYiSJnRBEDYL2Ygb7EDG7G9nCZYr5otmBKJml3WVTzjdcgDWko22m8+lpJxE+G+fxROdwNlxZJhFaxrlVhHM0LYsGdSRSfy+r4vm1Seor3TTwVI1+i5fxZdzo1QVY151vZ5uURf2hKpvXZb6YFTVCSZnjzZrLnPSu6WbV0GG9Ad4fEL0B2btWR/2WMIIWtQb/ZVV35nGavrUW29QASL4v8vWrSsc389LsbmM8csfMWC+S3KQmLn6BYLVeLC6oO3VctupOHc5Ft5CySq/WNUQwWv1bVyXgyFXAFSOMM8VopDCwuvZDQsqACkYI2OAoimxeSmKrPRIGmCgKWTiEJwmTMLS+Y4xx71svNxTFK73dbVa5M37beVu/KvPtLQfA63jeLCpXMYCrym7rvMhy7YLEpVs4jpObSbm68tHB/Fwf13PoYb+CSeaAR5AcqIDjMmvbiW+djV3axgo7G+wscBduJt2Mk4g6C9dOfOusIH790tqtkm6bBHduTO1SGh60wunSlY1+e7ovCtNcdp3GJDftVol/4N1iNtGbGNqdk/xZc45He0E2vtFVofM2poHMRbmovUR74Z7qxMyg6wdaSGJL1z9hAf5uqrNKdwvPXTXmAXOjpB+u29u4N9VFVc7eFsuPEAt7CxiPulWO66QycxtzaALnwI3eRlVq6hiOkbT/nBUhbD2xxwXA01hoLv/7R72A599VSAWAU7xorsvKlV+QY6C1Ssz1DOou1Lhgc/G6Af38V+LqOIsvKie/QaLb52XLIIwfjT0XpXE+v45tsdeikMdrXe3g4ub7uUz30QIy3JZA9nM7gaV7rrWPFL9ouJjDhE5gO4kLCKjRClQXcIjx9dkgCjicwp98Ie8rWbthK7udXO3v7nEHAeWx+gxqr74zzB6DmArwV0Tsp78BYiywBd7aQsfCPwWxpJzN4iJFhasQLyErD7YFS4y9PFFMLH4em0XTDcV+snaKA/htit+AGx+i39a7DwUfPx76LYA0wCLq/5EOThxQeD/r/aEO3GEUkJ0Btn94NVBY3cDLY+1O2KY9S93FP0ya6mKTqfV/Cv9I7U8UM5vnJjHNyYS88nTEB3RMTqBj8pekg8hAMNUzV1+bjw8upewScsjE+f1M7J1/j6LCfc3I2vZ7SE00UIJRwgnHBIcRo8xRSUQgQyY4ZpRzxgVjT5C2XpsqyQ8Sl9eJOGBH388O1Dgm2aCvP8NOD4snUMqjAttkuljCSuEFCqEVbj8orrH3jz51d1aAztDdWpP21ifSowZCojIrdN7Zn3dW5/DmR2kYCMEkFRRHXEQhrOqctS7O4Q1weCwgzoVV8WFIHFWkfec1U+DiXu7fFg1U5LDdPfq1p38CDd1g04uCN6do9M2jNGrP6sw3E998ecYUQcRJBK+bTEmJQxV5lUWQGLmKQiaBlAiTryWyN3eJbHqKyKb/F9lRkbGIBMC1jFTESBipA40diQYvsYN4eDqFTb3C6EEIXJyisIvvRmEKshMNBVEWN8w7hfEg5EoqyHiQtThRT6CwD2W+zsri+Dn2xsN8cQDzLwbmS27aKn3qynUwjN0FRIv+lXyOCO+2g3oz4WPFcbKQiWCOR0EOtExOofHuV8FaZ7a3Xcixjw4PKbvuXun9Afd+Oq11Y+NraCu2tRUpPboTuh+QQxaE9terEHMCAcmVUm4CFpAwVBgqaCUEibgUvkpm8DqNpVKS4ZAqiFjxNFWyi8LcloSbDAEl5OHHrhut5/Yr4/viYxUXtf3x0tv0PqI9kLb429FGWtbEw0jjkEUUoVxxBvVRyNvHSaA4jhiwRhiP5ObNRhLgOGIcCJWKYiX/NpTpb6g00gqFHeWMHAgNB1CXhlIqTKIIM2m/sVjOeRDRSDIFZS6cCYL75K+iQEInwhhsgWz+F+Js9+D5ybQ/0e+92HafftojZOfYye4/VIrFTFe9Ei9zc8N6Fl3C7mh8SEVHTv5KctGV//vrTk74SpJ807r08Z9JogByDJGQ/CFuI4af6ADoEzLq/zTgfoJr/w+Sl/8DUEsHCDai0ZVnCAAA3iIAAFBLAQIUABQACAAIAGhhlT/WN725GQAAABcAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAIAAgAaGGVPzai0ZVnCAAA3iIAAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXQAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAAD+CAAAAAA=" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Vorlage:Lösungen

2011-12-21T11:09:57Z

Pipi Langsocke: /* Aufgabe 7.1 */

=Aufgabe 7.1=
Es seien <math>a, b</math> und <math>c</math> drei zueinander parallele Geraden (paarweise nicht identisch). Man konstruiere ein gleichseitiges Dreieck <math>\overline{ABC}</math> derart, dass <math>A \in a, B \in b, C \in c</math> gilt.

{{Lösung 7.1}}

=Aufgabe 7.2=
Es seien <math>k_1, k_2, k_3</math> drei konzentrische Kreise mit den Radien <math>r_1, r_2, r_3</math>. Es gelte <math>0<r_1<r_2<r_3</math>. Man konstruiere ein gleichseitiges Dreieck <math>\overline{ABC}</math> derart, dass <math>A \in k_1, B \in k_2, C \in k_3</math> gilt.
=Aufgabe 7.3=
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein gleichseitiges Dreieck. <math>s_a</math> sei der dem Winkel <math>\angle BAC</math> zugehörige Kreisbogen auf dem Kreis um <math>A</math> durch <math>B</math>. Analog sind die Kreisbögen <math>s_b</math> und <math>s_c</math> zu verstehen. Unter dem Reuleaux-Dreieck <math>\widetilde{ABC}</math> versteht man die Vereinigungsmenge <math>s_a \cup s_b \cup s_c</math>.
Man berechne den Umfang von <math>\widetilde{ABC}</math> in Abhängigkeit von <math>|AB|</math>.
[[Kategorie:Elementargeometrie]]

Serie 07

2011-12-21T11:09:13Z

Pipi Langsocke:

Serie 07

2011-12-21T11:08:01Z

Pipi Langsocke: Der Seiteninhalt wurde durch einen anderen Text ersetzt: „ {{Lösungen}}“

Serie 07

2011-12-21T11:07:40Z

Pipi Langsocke:

{{Lösungen}}

=Aufgabe 7.1=
Es seien <math>a, b</math> und <math>c</math> drei zueinander parallele Geraden (paarweise nicht identisch). Man konstruiere ein gleichseitiges Dreieck <math>\overline{ABC}</math> derart, dass <math>A \in a, B \in b, C \in c</math> gilt.

=Aufgabe 7.2=
Es seien <math>k_1, k_2, k_3</math> drei konzentrische Kreise mit den Radien <math>r_1, r_2, r_3</math>. Es gelte <math>0<r_1<r_2<r_3</math>. Man konstruiere ein gleichseitiges Dreieck <math>\overline{ABC}</math> derart, dass <math>A \in k_1, B \in k_2, C \in k_3</math> gilt.
=Aufgabe 7.3=
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein gleichseitiges Dreieck. <math>s_a</math> sei der dem Winkel <math>\angle BAC</math> zugehörige Kreisbogen auf dem Kreis um <math>A</math> durch <math>B</math>. Analog sind die Kreisbögen <math>s_b</math> und <math>s_c</math> zu verstehen. Unter dem Reuleaux-Dreieck <math>\widetilde{ABC}</math> versteht man die Vereinigungsmenge <math>s_a \cup s_b \cup s_c</math>.
Man berechne den Umfang von <math>\widetilde{ABC}</math> in Abhängigkeit von <math>|AB|</math>.
[[Kategorie:Elementargeometrie]]

Vorlage:Lösungen

2011-12-21T11:07:27Z

=Aufgabe 7.1=
Es seien <math>a, b</math> und <math>c</math> drei zueinander parallele Geraden (paarweise nicht identisch). Man konstruiere ein gleichseitiges Dreieck <math>\overline{ABC}</math> derart, dass <math>A \in a, B \in b, C \in c</math> gilt.

=Aufgabe 7.2=
Es seien <math>k_1, k_2, k_3</math> drei konzentrische Kreise mit den Radien <math>r_1, r_2, r_3</math>. Es gelte <math>0<r_1<r_2<r_3</math>. Man konstruiere ein gleichseitiges Dreieck <math>\overline{ABC}</math> derart, dass <math>A \in k_1, B \in k_2, C \in k_3</math> gilt.
=Aufgabe 7.3=
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein gleichseitiges Dreieck. <math>s_a</math> sei der dem Winkel <math>\angle BAC</math> zugehörige Kreisbogen auf dem Kreis um <math>A</math> durch <math>B</math>. Analog sind die Kreisbögen <math>s_b</math> und <math>s_c</math> zu verstehen. Unter dem Reuleaux-Dreieck <math>\widetilde{ABC}</math> versteht man die Vereinigungsmenge <math>s_a \cup s_b \cup s_c</math>.
Man berechne den Umfang von <math>\widetilde{ABC}</math> in Abhängigkeit von <math>|AB|</math>.
[[Kategorie:Elementargeometrie]]

Serie 07

2011-12-21T11:06:54Z

Pipi Langsocke: /* Aufgabe 7.1 */

[[Lösungen
]]

{{Lösungen}}

=Aufgabe 7.1=
Es seien <math>a, b</math> und <math>c</math> drei zueinander parallele Geraden (paarweise nicht identisch). Man konstruiere ein gleichseitiges Dreieck <math>\overline{ABC}</math> derart, dass <math>A \in a, B \in b, C \in c</math> gilt.

=Aufgabe 7.2=
Es seien <math>k_1, k_2, k_3</math> drei konzentrische Kreise mit den Radien <math>r_1, r_2, r_3</math>. Es gelte <math>0<r_1<r_2<r_3</math>. Man konstruiere ein gleichseitiges Dreieck <math>\overline{ABC}</math> derart, dass <math>A \in k_1, B \in k_2, C \in k_3</math> gilt.
=Aufgabe 7.3=
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein gleichseitiges Dreieck. <math>s_a</math> sei der dem Winkel <math>\angle BAC</math> zugehörige Kreisbogen auf dem Kreis um <math>A</math> durch <math>B</math>. Analog sind die Kreisbögen <math>s_b</math> und <math>s_c</math> zu verstehen. Unter dem Reuleaux-Dreieck <math>\widetilde{ABC}</math> versteht man die Vereinigungsmenge <math>s_a \cup s_b \cup s_c</math>.
Man berechne den Umfang von <math>\widetilde{ABC}</math> in Abhängigkeit von <math>|AB|</math>.
[[Kategorie:Elementargeometrie]]

Serie 07

2011-12-21T11:05:43Z

Pipi Langsocke: /* Aufgabe 7.1 */

[[Lösungen
]]
=Aufgabe 7.1=
Es seien <math>a, b</math> und <math>c</math> drei zueinander parallele Geraden (paarweise nicht identisch). Man konstruiere ein gleichseitiges Dreieck <math>\overline{ABC}</math> derart, dass <math>A \in a, B \in b, C \in c</math> gilt.

=Aufgabe 7.2=
Es seien <math>k_1, k_2, k_3</math> drei konzentrische Kreise mit den Radien <math>r_1, r_2, r_3</math>. Es gelte <math>0<r_1<r_2<r_3</math>. Man konstruiere ein gleichseitiges Dreieck <math>\overline{ABC}</math> derart, dass <math>A \in k_1, B \in k_2, C \in k_3</math> gilt.
=Aufgabe 7.3=
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein gleichseitiges Dreieck. <math>s_a</math> sei der dem Winkel <math>\angle BAC</math> zugehörige Kreisbogen auf dem Kreis um <math>A</math> durch <math>B</math>. Analog sind die Kreisbögen <math>s_b</math> und <math>s_c</math> zu verstehen. Unter dem Reuleaux-Dreieck <math>\widetilde{ABC}</math> versteht man die Vereinigungsmenge <math>s_a \cup s_b \cup s_c</math>.
Man berechne den Umfang von <math>\widetilde{ABC}</math> in Abhängigkeit von <math>|AB|</math>.
[[Kategorie:Elementargeometrie]]

Diskussion Schubspiegelung: Was ist denn dann damit?

2011-12-15T09:19:22Z

Pipi Langsocke: /* Folgende Applikation sei gegeben */

==Folgende Applikation sei gegeben==
<ggb_applet width="1366" height="607" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Wo ist der Denkfehler oder was muss berücksichtigt werden, damit diese Konstellation nach unserer Definition auch eine Schubspiegelung ist oder brauchen wir gar eine neue Definition? --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 17:27, 14. Dez. 2011 (CET)

 Hey Flo! Ich habe mir den Fall aus der Übung vom 01.12. notiert und dort haben wir das als Verschiebung gekennzeichnet. Allerdings führt man nur die ersten beiden Verknüpfungen aus, ist es auch eine Verschiebung, danach aber eine Spiegelung. Und vorher wurde verschoben. Ich frage mich das gleiche auch gerade... [[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 09:54, 15. Dez. 2011 (CET)

[[Kategorie:Elementargeometrie]]

Diskussion Schubspiegelung: Was ist denn dann damit?

2011-12-15T08:54:18Z

Pipi Langsocke: /* Folgende Applikation sei gegeben */

==Folgende Applikation sei gegeben==
<ggb_applet width="1366" height="607" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Wo ist der Denkfehler oder was muss berücksichtigt werden, damit diese Konstellation nach unserer Definition auch eine Schubspiegelung ist oder brauchen wir gar eine neue Definition? --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 17:27, 14. Dez. 2011 (CET)

 Hey Flo! Ich denke der Denkfehler liegt darin, dass man sich immer bewusst machen muss, dass ganze Ebenen verschoben/gespiegelt werden. Dadurch gibt es immer eine Gerade (Vektorenklasse (?) mit der gleichem Richtungssinn), die senkrecht auf allen Spiegelachsen steht, solange diese parallel zueinander sind. Allerdings ist diese Gerade hier nicht eingezeichnet, oder extra verdeutlicht. Der grüne Verschiebungsvektor zeigt sie aber indirekt an. [[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 09:54, 15. Dez. 2011 (CET)

[[Kategorie:Elementargeometrie]]

Diskussion Schubspiegelung: Was ist denn dann damit?

2011-12-15T08:53:34Z

Pipi Langsocke: /* Folgende Applikation sei gegeben */

==Folgende Applikation sei gegeben==
<ggb_applet width="1366" height="607" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Wo ist der Denkfehler oder was muss berücksichtigt werden, damit diese Konstellation nach unserer Definition auch eine Schubspiegelung ist oder brauchen wir gar eine neue Definition? --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 17:27, 14. Dez. 2011 (CET)

 Hey Flo! Ich denke der Denkfehler liegt darin, dass man sich immer bewusst machen muss, dass ganze Ebenen verschoben/gespiegelt werden. Dadurch gibt es immer eine Gerade (Vektorenklasse (?) mit der gleichem Richtungssinn), die senkrecht auf allen Spiegelachsen steht, solange diese parallel zueinander sind. Allerdings ist diese Gerade hier nicht eingezeichnet, oder extra verdeutlicht. Der grüne Verschiebungsvektor zeigt sie aber indirekt an.

[[Kategorie:Elementargeometrie]]

Zu den Lösungsversuchen

2011-11-17T15:02:30Z

Pipi Langsocke: /* Aufgabe 3.4 */

==Aufgabe 3.1==
(alles in ein und derselben Ebene)
Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math> und dem Radius <math>r</math>. Ferner sei <math>g</math> eine Gerade, die durch den Mittelpunkt von k geht. Schließlich sei <math>Z</math> der gemeinsame Schnittpunkt der Senkrechten in <math>M</math> auf <math>g</math> mit <math>k</math>. Wir definieren eine Abbildung <math>\varphi</math> von <math>k\setminus_Z</math> auf <math>g</math>: <math>\forall P \in k\setminus_Z: \varphi(P)=ZP \cap g</math>. Ist <math>\varphi</math> fixpunktfrei?
 
<ggb_applet width="1366" height="607" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
 
Es scheint sich daraufhin herauszulaufen, dass die Schnittpunkte A und B aus <math>\ g \cap k</math> Fixpunkte bzgl. <math>\varphi</math> sind. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 16:58, 13. Nov. 2011 (CET)

==Aufgabe 3.2==
Es sei <math>X=\left\{ (x,0)|x\in \mathbb{R} \right\}</math>. Wir definieren auf <math>X</math> die folgende Abbildung <math>\varphi</math>: <math>\forall (x,0) \in X: \varphi((x,0))=(x, \sin^2x)</math>. Jedes Element des <math>\mathbb{R}^2</math> fassen wir als Punkt auf. Hat <math>\varphi</math> Fixpunkte? Wenn ja welche? (Geogebra hilft)
 
Also auch hier sieht es so aus, als hätten <math>\varphi</math> eine unendliche Anzahl von Fixpunkten oder anders ausgedrückt: sin(x) besitzt bzgl. <math>(sin(x))^2</math> identische Werte für alle <math>(x,0) \in X</math>. 
Allerdings habe ich mich persönlich in meinem Leben bisher wenig mit Sinusfunktionen auseinandergesetzt (kurz auf der Realschule um am Dreieck herumzurechnen). Und einfach nur Funktionen im Geogebra eingeben ist auch nicht so der Renner, wenn man nicht weiß, woher sie kommen. Vielleicht kann mal jemand eine Applikation einstellen, die den ganzen Spaß verdeutlicht - dann braucht man nicht lange in der Literatur herumzusuchen.
 
<ggb_applet width="1366" height="635" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 17:21, 13. Nov. 2011 (CET)

==Aufgabe 3.3==
Unter der Menge aller Punkte wollen wir die Menge aller Pixel eines LCD-Bildschirms <math>B</math> mit FullHD-Auflösung (1920 x 1080) verstehen. Jedes dieser Pixel <math>P </math>hat bezüglich eines bildschirmeigenen Koordinatensystems die Koordinaten <math>\left(x_p, y_p\right)</math>. Wir definieren auf den Pixeln unseres Bildschirms <math>B</math> die folgende Abbildung <math>\varphi</math>: <math>\forall P \in B: \varphi(P)=\left(\operatorname zufallsbereich(0;1920),\operatorname zufallsbereich(0;1080)\right)</math>. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass <math>\varphi</math> einen Fixpunkt hat?

Naja, nicht sehr groß :-). Ich habe mir zunächst einmal verdeutlicht, was es <math>\varphi</math> eigentlich bedeutet. Wir wählen einen beliebigen Punkt P aus unserer Menge B aus. Nun lottern wir ein wenig (wir bilden ab :-) ) und bei dieser Lotterie besitzt die x-Koordinate 1921 potenzielle Werte. Die y-Koordinate besitzt 1081 potenzielle Werte. Nun ist die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass nach der Lotterie für <math>\varphi (P)</math> genau die gleiche Position (Koordinate oder Tuppel) herauskommt wie die die P hat.

Wir können jetzt entweder sagen, alles klar: 1921 x 1081 = 2.076.601 Möglichkeiten und wir sind fertig.

Oder wir kippen noch ein wenig Didaktik mit hinein und gehen peu à peu vor: Dass (x|0) herauskommt, dafür habe ich 1921 Möglichkeiten. Dass (x|1) herauskommt, dafür habe ich auch 1921 Möglichkeiten, also schon 2 x 1921 Möglichkeiten (bzw. 1921 x 2). Wir führen das fort und kommen schlussendlich auf: 1921 x 1081 = 2.076.601

--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:02, 16. Nov. 2011 (CET)

==Aufgabe 3.4==
'''Beweisen Sie: wenn eine Bewegung <math>\varphi</math> zwei verschiedene Fixpunkte <math>A</math> und <math>B</math> hat, dann hat ist die Gerade <math>AB</math> eine Fixpunktgerade bezüglich <math>\varphi</math>.'''

VSS: Es exisitert eine Bewegung <math>\varphi</math> mit den Fixpunkten <math>A</math> und <math>B</math>.
Beh.: <math>AB</math> ist Fixpunktgerade bezüglich <math>\varphi</math>.

folgender Fall: Es sei ein Punkt <math>P</math>: <math>Zw(A,P,B)</math>

{| class="wikitable"
|-
| Nr.
| Beschreibung des Schrittes
| Begründung der Korrektheit des Schrittes

|-
| 1.
| <math>|AP|+|PB|=|AB|</math>
| gilt, wegen der Relation zwischen.

|-
| 2.
| <math>|A'P'|+|P'B'|=|A'B'|</math>
| Relation zwischen bleibt nach der Ausführung der Bewegung erhalten. Gleiches gilt auch für den Abstand.

|-
| 3.
| <math>|PP'|= 0</math> --> P=P'
| folgt aus (1.) und (2.) und der Vss, dass A und B Fixpunkte sind.
|}

Deshalb wird auch Punkt P bei der Bewegung auf sich selbst abgebildet. Andere Fälle sind analog.

[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 12:05, 10. Nov. 2011 (CET)

==Aufgabe 3.5==
Beweisen Sie: Wenn drei nicht kollineare Punkte <math>A,B,C</math> Fixpunkte der Bewegung <math>\varphi</math> sind, so ist <math>\varphi</math> die identische Abbildung.

[[Kategorie:Elementargeometrie]]

Zu den Lösungen Serie 04 WiSe 2011/12

2011-11-16T16:43:35Z

Pipi Langsocke: /* Aufgabe 4.2 */

=Aufgabe 4.1=
Es seien <math>A, B, C</math> drei nichtkollineare Punkte und <math>A', B', C'</math> ihre Bilder bei der Bewegung <math>\beta</math>. Man beweise: Für jeden Punkt <math>P</math> ist jetzt sein Bild <math>P'</math> bei <math>\beta</math> eindeutig bestimmt.
 
 
Voraussetzung: nkoll(A,B,C) sowie A', B' und C' und P
Behauptung: <math>\beta (P)</math> = P' ist eindeutig bestimmt für jede Abbildung.
 
Es sind nun verschiedene Fälle zu betrachten. Der einfachste Fall ist, dass alle Punkte Fixpunkte sind, dann haben wir - nach dem vorherigen Satz gezeigt - die Identität. In diesem Fall spielt es keine Rolle, ob <math>P \equiv A \vee P \equiv B \vee P \equiv C</math> oder ob P verschieden von A, B oder C ist. In diesen Fällen sind wir fertig. 

Nun Fall II: Bewegung ist nicht die Identität (hier spielt es übrigens schon eine Rolle, ob P verschieden ist von A, B oder C oder nicht. Da die Voraussetzung nicht erfüllt werden kann, wenn P nicht verschieden ist von den drei nichtkollinearen Punkten (kann durch eine Mittelsenkrechte ganz leicht gezeigt werden) nehmen wir an, dass dem nicht der Fall ist, also P ungleich A, B, C.

Bei der Bewegung bleiben die Abstände erhalten. <math>\\left| AB \right| </math> = <math>\left| A'B' \right|</math> . Weiter bleibt nun <math>\left| AP \right| = \left| A'P' \right| und \left| PB \right| = \left| P'B' \right|</math>.
Nun kann P (und somit auch später P') in zwei Halbebenen bzgl. AB liegen oder auf AB selbst. Wenn P aber auf AB liegt, sind wir fertig, denn dann ergibt sich nur eine Möglichkeit wegen der Zwischenrelation.
Da nun aber zusätzlich gelten muss, dass <math>\left| PC \right| = \left| P'C' \right|</math> ist nun folgendes unmittelbar einleuchtend und ersichtlich: 
Wenn P und C bzgl. AB in verschiedenen Halbebenen liegen, liegen auch P' und C' in verschiedenen Halbebenen bzgl. AB. Wenn P und C bzgl. AB in ein und derselben Halbebene liegen, liegen auch P' und C' in ein und derselben Halbebene bzgl. AB. Demnach ist P' eindeutig. 
Ich werde das ganze evtl. nochmal schöner schreiben, da es vielleicht verwirrend ist. Wenn mein Geogebra wieder funktioniert, schicke ich eine Applikation nach. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:21, 15. Nov. 2011 (CET)

=Aufgabe 4.2=
Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei Geraden, die sich in genau dem Punkt <math>Z</math> schneiden. Man beweise:
Die Nacheinanderausführung <math>S_b \circ S_a</math> ist eine Drehung um Z, wobei der Drehwinkel dieser Drehung doppelt so groß ist wie der Winkel zwischen den beiden Geraden <math>a</math> und <math>b</math>.

<ggb_applet width="1035" height="556" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAMWIcD8AAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIAMWIcD8AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s5Vrbbts4Gr7uPAXhi72qZZ4ldZ0OmgKDbZFOg013sMgdJdGOJrLkleTELuZR5iV2Ti+w9/NM+5OUfIgd18phE3SBppTEX/zJ7/sP/CkPv51PMnSlyyot8qMe8XAP6TwukjQfH/Vm9agf9L59/c1wrIuxjkqFRkU5UfVRjxvJNDnqUUmjhI1wX/OA9TmN434Qi6gvFI4l8WUSqaiH0LxKX+XF92qiq6mK9Vl8oSfqpIhVbRVf1PX01WBwfX3ttaq8ohwPxuPIm1dJD8E08+qo11y8guE2XrpmVpxiTAb//HDihu+neVWrPNY9ZJYwS19/82J4neZJcY2u06S+gAVjQXroQqfjC1iUDFkPDYzUFBCZ6rhOr3QF767d2kXXk2nPiqnc9L9wVyhbrqeHkvQqTXR51MMeJSIMuO9LjhmnAnQUZarzupEljc5BO9rwKtXXblhzZTXyHqqLIouUGRH99BOimGL00jTENRQaKV0Xds8wcw11DXeNcDLcvc6dKHcy3MlwmONVWqVRpo96I5VVAGGaj0qgb3lf1YtM2/k0D1arJy9hTVX6GYQZBjtxmBu08UvzJ+GPm47B5iLJmta6nHVU2qoMMDtcJb2PStaqpNTfVknFLauUe8B1czhkmUSsIQuq7D/7t6WR0Q4a3f39FEr+P1nicNB6yrBxDlRdGNmGyVpPKuMuLEQiNFZPkADXkD4YuUAkhManCJwBEYG4gFsSIGlaHzEfOjhiKEBGjjBkfUME8B/37WASCRjMPPXBJREBRRwJhoh1KY7AkZB1S3BRykBCCCTgJaOeUDMEk4hLuGMB4jBH45E+AUEGL8I9qKeIEcTMy8RHVCJpxiPceLoMzNRhSIokRpKYAcGpwaGdM4N8gJhZjWzgSvPprN6AKJ4k7WVdTJdcgDSEo1XQc+FpIya+GGYq0hnkiTPDJEJXKjMeYRWNirxGLYnUPRuXanqRxtWZrmt4q0I/qit1omo9/w6kq1a3lY2LvDoti/ptkc0meYVQXGR4OeciI2vXdDlruGFrHXy9Q6x1yLVrf6feAnrQrNKgvyirVlwlyTsjsQoNgOTHPFscl1pdTot0cxnDgU05Qz2LszRJVf4DGKvRYnBBbQay0apNQIIF7USKMjlbVGDBaH6uywIyAA49LhjjTEBkCSgHVheui4bEk4LTwJchJBtwvipWxvU49bDvcxZgKSUjoGmxu4cKp1dfLelRc71a6bg0br128646LrLVI7v4t2paz0q7cwBNpVnSm3ycaWsgNtRCWo4vo2J+5iyDubE+LaZwh90MorEFHUFgoEKAQNNGrrUyZmpLKWxlsJXAramlybKfhNRK2DZyrZUC23VTa5ZK2mUS3KpJKxvOcK9xmjZUGcs3SX6Wp/VJe1On8WWzVOJe+H42ifTSfjbHJA815nBww8CGl7rMddbYM5A5K2aVc881U090nE7g1nU0kChD1z9gAu5poselbiee2V2ZA8z2knVTXT3Ga0N9VxaTd/nVJ7CFGxMYDtpZDqu4TKfG5lAEOeBSr6wqSSsFKSRZf884ICw9NqkC4KkNND/oUuVVfKFmWQrNDIb6z88RNJWajcaAJeIekK9m9UVR2s0ZhB1o7XCTicoTlNvU9C6vAVuIcb1VuFQQeOZvgDYYAOLOwl7aJRazuhU4d2tqRjNOn+kJbPFQbW3buseS43M7uiETFdGPoG2ZdF3/ylqge2nHJqeOXRO5RmXTC2U2mA3kmVrocoMEO+CHItmkxjJWobl7FS2Oen178dkVAG4DbGZs3HQjrrunN7gGA3SL3YLz1C57F5Q38Tvugt/xNn6bTrQbQBPkbCCgq3ByZwxVDt5jbRBi9NR551Rr59hu0nAxheFsPNzIMS363BM+7Et9QmWIfWGKj0XDyQNQsQ/Bt3dDcD3UPjl6feKFhGKGuZSUQ31lEyJ4BiQ2EWAuMKMhpow8gmGfQOq4YdfnLjwcb5m22m/aJgstYVd3igybGfABwkK/jQs7LPTz+sjLDFrDzu4SqtfKpvm6Sej24m9pkuh8mS70v3L3SuXSWjqZZmmc1vvNN59NdJnGKwMOLVIw/Vm7iHZSe6x6zY4OwY8ciB852KjxbqNWs3mapapcuPHWMntn+3u7ZX9RB/uLnon97fDhxS0e/zT2uBlOT+8N25NHU9/zmQy4CAVnnLpI2hfwUPiCECjECfTQRwilH9KyLMobxnzqjFltGfPpX9S0qP7aZbfQvvKkFO0H+ulwbrCxaEe3oX1nzJ8X8v3Qk9SngoZBEEKVbE7F7H6L+oRxQmkA8AtO5COgb+vg3UZuAjfdgfUGE3/+ez/8ttpaQgrSN7Ij88C8mMSBhLDKwkDuyJUHsNJW5ObQPHLNgdny42hU6drS4DvcmdhJG12Wp0XpgppbodwT4sn+EK/KeMUfbYNmlhXXf9ejTM8tOYem3l1Mqtsc6M9fOtH2y03aiBf4QkIiNGmQhCGj9+Ntlz8dzBt3WVjSB+PtC6l5gzd2T9521aLb+eVNlyj35iupQyHPQ1BgPhEEc04gEz3mocCZHpvn+zLR6RYv8X5eqmbMFvj4CzlnbyFAzBe6qGnvn3YI8ThAiyllGEIvDvhGmd8PAojNjHIhSeCTu3vLvo2sxTIzJrA84QKT2T4UvNR6ak5jP+afzIma+dh7qH/tpXWD3FtSXNKN4uRuFFtS10h+mHpFeFxyjmFjIQMZWn6J7zFpHoUQvE3SdZu6voDnJAgEZTzEOPR9/pVRfr5B8y1k625k6/v4c5P08IOcmPZ3bRcXuzeXj1maPhN6t4gddSN29HyI3VGELXaUa181qVt0jrvROX42dP5/sHnb96rI8Zls8fm+y/72/bP5TtUnOPSANRaSMCA+5tJtohgPPEiuxIRjAbGYu/0qEV7IA4jEPgv8wKcPuHu9DfGmBIy3ED/pgvjJs0GcY+kRJnjAOaAY+phv1gSCejxk0hehxGEoSPjIhyUnuw5LtuvtXzvV279uf0SQzA+54IL41PzK4iHK7cO3mKtimzVw073F9s6IJToU1eIRDkM2j7VOtjn6rRNHvz0SR02th3dwJA4kiTqSCOvMUZcDq+WPXh6So/WCrGHq/TZTv3di6vft0yvKfB/qnIAQYCzg4d2o2lezkUPJ6jcexfzObHU5ppKP4FHvuxwU/9GJsz++xJlgD+1eh583+s1XP/6ojHU/WBys/wbJ/s6v+cn66/8CUEsHCBTqmYlsCQAATy8AAFBLAQIUABQACAAIAMWIcD/WN725GQAAABcAAAAWAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYV9qYXZhc2NyaXB0LmpzUEsBAhQAFAAIAAgAxYhwPxTqmYlsCQAATy8AAAwAAAAAAAAAAAAAAAAAXQAAAGdlb2dlYnJhLnhtbFBLBQYAAAAAAgACAH4AAAADCgAAAAA=" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> [[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 17:43, 16. Nov. 2011 (CET) 

VSS: Die Geraden <math>a</math> und <math>b</math> schneiden sich in dem Punkt <math>Z</math>.
Behauptung: 1. <math>S_b \circ S_a</math> ist eine Drehung um <math>Z</math>. --> Trivial nach Satz der VL vom 8.11.: Die NAF zweier Spiegelungen mit sich schneidender Spiegelachsen ist eine Drehung.
2. Drehwinkel alpha ist doppelt so groß, wie der Winkel zwischen den Geraden <math>a</math> und <math>b</math>. 

zu 2.: 

1. a ist Mittelsenkrechte von <math>PP'</math> --> |<math>|PP'| = |PL|+|PL'|</math>, weil L (Lotfußpunkt) Element a --> L ist Fixpunkt bei Spiegelung an a und es gilt das Mittelsenkrechtenkriterium 
2.Z istz Fixpunkt <math>S_a</math> -->|<math>|ZP'| = |ZP'|</math>, weil L (Lotfußpunkt) Element a --> L ist Fixpunkt bei Spiegelung an a und es gilt das Mittelsenkrechtenkriterium 
3. |<math>|ZL| = |ZL|</math>, weil L Element a und deshalb Fixpunkt (Definition 3.3 Fixpunktgerade) 
4. Die Dreiecke LPZ und LP'Z sind kongruent zueinander (SSS) 
5. b ist Mittelsenkrechte vin P'P'' mit Lotfußpunkt J --> (gleiche Begründungen wie bei 1.) 
6. Die Dreiecke P'ZJ und JZP'' sind kongruent zueinander (habe die Schritte von oben übersprungen, weil sie analog sind.) 
7. Der Winkel (LZJ') ist genau so groß wie der der Dreiecke (LZP') addiert mit dem Winkel (P'ZJ).
8. Da bereits bewiesen wurde, dass die Dreiecke (LZP') und (P'ZJ je Kongruent zu den "Nachbardreiecken" (LZP) und (JZP'') sind, ergibt sich daraus, dass der Drehwinkel alpa genau doppelt so groß sein muss, wie der Winkel zwischen den beiden Geraden a b. (Puh fertig aufgeschrieben!! Alles klar? :-D) [[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 17:43, 16. Nov. 2011 (CET)

=Aufgabe 4.3=
Sie haben mit Ihren Schülern den begriff der Drehung erarbeitet. Jetzt steht eine Erstfestigung an. Entwickeln Sie Fragestellungen, die sich auf die folgende Geogebra-Applikation beziehen und der Festigung des Begriffs der Drehung dienen.
Beispiele:

# Der Punkt <math>A</math> wird bei einer Drehung um <math>Z</math> auf den Punkt <math>B</math> abgebildet. Wie groß ist der Drehwinkel dabei?
# Ist es möglich, dass bei einer Drehung um <math>Z</math> der Punkt <math>M_1</math> auf den Punkt <math>M_2</math> abgebildet wird?

<ggb_applet width="771" height="802" version="4.0" 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" 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=Aufgabe 4.4=
Sowohl die Punkte <math>M_i, 0<i<13, i \in \mathbb{N}</math> als auch die Punkte <math>N_i, 0<i<13, i \in \mathbb{N}</math> sind zueinander Bilder bei Drehungen um das Zentrum <math>Z_M</math> bzw. <math>Z_N</math>. Berechnen Sie die Koordinaten dieser Drehzentren.

[[Kategorie:Elementargeometrie]]

Serie 04

2011-11-16T11:23:03Z

Pipi Langsocke: /* Aufgabe 4.3 */

[[Zu den Lösungen Serie 04 WiSe 2011/12]]
=Aufgabe 4.1=
Es seien <math>A, B, C</math> drei nichtkollineare Punkte und <math>A', B', C'</math> ihre Bilder bei der Bewegung <math>\beta</math>. Man beweise: Für jeden Punkt <math>P</math> ist jetzt sein Bild <math>P'</math> bei <math>\beta</math> eindeutig bestimmt.
=Aufgabe 4.2=
Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei Geraden, die sich in genau dem Punkt <math>Z</math> schneiden. Man beweise:
Die Nacheinanderausführung <math>S_b \circ S_a</math> ist eine Drehung um Z, wobei der Drehwinkel dieser Drehung doppelt so groß ist wie der Winkel zwischen den beiden Geraden <math>a</math> und <math>b</math>.

=Aufgabe 4.3=
Sie haben mit Ihren Schülern den Begriff der Drehung erarbeitet. Jetzt steht eine Erstfestigung an. Entwickeln Sie Fragestellungen, die sich auf die folgende Geogebra-Applikation beziehen und der Festigung des Begriffs der Drehung dienen.
Beispiele:

# Der Punkt <math>A</math> wird bei einer Drehung um <math>Z</math> auf den Punkt <math>B</math> abgebildet. Wie groß ist der Drehwinkel dabei?
# Ist es möglich, dass bei einer Drehung um <math>Z</math> der Punkt <math>M_1</math> auf den Punkt <math>M_2</math> abgebildet wird?

<ggb_applet width="771" height="802" version="4.0" 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" 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=Aufgabe 4.4=
Sowohl die Punkte <math>M_i, 0<i<13, i \in \mathbb{N}</math> als auch die Punkte <math>N_i, 0<i<13, i \in \mathbb{N}</math> sind zueinander Bilder bei Drehungen um das Zentrum <math>Z_M</math> bzw. <math>Z_N</math>. Berechnen Sie die Koordinaten dieser Drehzentren.

[[Kategorie:Elementargeometrie]]

Zu den Lösungsversuchen

2011-11-10T11:05:26Z

Pipi Langsocke: /* Aufgabe 3.4 */

Zu den Lösungsversuchen

2011-11-10T10:47:39Z

Pipi Langsocke: Die Seite wurde neu angelegt: „==Aufgabe 3.1== (alles in ein und derselben Ebene) Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math> und dem Radius <math>r</math>. Ferner sei <m…“

Serie 03

2011-11-10T10:47:10Z

Pipi Langsocke:

[[Zu den Lösungsversuchen]]

==Aufgabe 3.1==
(alles in ein und derselben Ebene)
Es sei <math>k</math> ein Kreis mit dem Mittelpunkt <math>M</math> und dem Radius <math>r</math>. Ferner sei <math>g</math> eine Gerade, die durch den Mittelpunkt von k geht. Schließlich sei <math>Z</math> der gemeinsame Schnittpunkt der Senkrechten in <math>M</math> auf <math>g</math> mit <math>k</math>. Wir definieren eine Abbildung <math>\varphi</math> von <math>k\setminus_Z</math> auf <math>g</math>: <math>\forall P \in k\setminus_Z: \varphi(P)=ZP \cap g</math>. Ist <math>\varphi</math> fixpunktfrei?
==Aufgabe 3.2==
Es sei <math>X=\left\{ (x,0)|x\in \mathbb{R} \right\}</math>. Wir definieren auf <math>X</math> die folgende Abbildung <math>\varphi</math>: <math>\forall (x,0) \in X: \varphi((x,0))=(x, \sin^2x)</math>. Jedes Element des <math>\mathbb{R}^2</math> fassen wir als Punkt auf. Hat <math>\varphi</math> Fixpunkte? Wenn ja welche? (Geogebra hilft)
==Aufgabe 3.3==
Unter der Menge aller Punkte wollen wir die Menge aller Pixel eines LCD-Bildschirms <math>B</math> mit FullHD-Auflösung (1920 x 1080) verstehen. Jedes dieser Pixel <math>P </math>hat bezüglich eines bildschirmeigenen Koordinatensystems die Koordinaten <math>\left(x_p, y_p\right)</math>. Wir definieren auf den Pixeln unseres Bildschirms <math>B</math> die folgende Abbildung <math>\varphi</math>: <math>\forall P \in B: \varphi(P)=\left(\operatorname zufallsbereich(0;1920),\operatorname zufallsbereich(0;1080)\right)</math>. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass <math>\varphi</math> einen Fixpunkt hat?

==Aufgabe 3.4==
Beweisen Sie: wenn eine Bewegung <math>\varphi</math> zwei verschiedene Fixpunkte <math>A</math> und <math>B</math> hat, dann hat ist die Gerade <math>AB</math> eine Fixpunktgerade bezüglich <math>\varphi</math>.

==Aufgabe 3.5==
Beweisen Sie: Wenn drei nicht kollineare Punkte <math>A,B,C</math> Fixpunkte der Bewegung <math>\varphi</math> sind, so ist <math>\varphi</math> die identische Abbildung.

[[Kategorie:Elementargeometrie]]

Lösungen zu den Aufgaben

2011-10-21T18:37:10Z

Pipi Langsocke: /* Aufgabe 1.3 */

===Aufgabe 1.1===
:: Definieren Sie für die ebene Geometrie den Begriff ''Bewegung''

::(Definition 1.1)
Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der Streckenlängen erhalten bleiben. [[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 12:45, 19. Okt. 2011 (CEST)

<math> Es \ sei \ E \ eine \ Ebene, \ \varphi \ eine \ Abbildung \ mit \ \varphi : \ E \ -> \ E. </math> 
<math> \varphi \ heisst \ Bewegung \ genau \ dann, \ wenn \ \varphi \ laengenerhaltend \ ist. </math> 
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 12:46, 19. Okt. 2011 (CEST) 

 
Nach der Vorlesung am Dienstag hätte ich auch so definiert, wie Pipi Langsocke. Nachdem ich mir aber den Mitschrieb aus der Vorlesung nochmal angeschaut habe, würde ich eine Kleinigkeit ändern, da die Def. aus meiner Sicht so nicht ganz sauber ist.
 
Ich hätte anstelle von 'Streckenlängen' 'alle Abstände von jeweils einem Paar von Punkten' geschrieben. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 21:50, 19. Okt. 2011 (CEST) -Ja, ich denke auch, das ist besser so. -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 11:06, 21. Okt. 2011 (CEST)

===Aufgabe 1.2===
::Definieren Sie die Begriffe ''injektiv'' und ''surjektiv''

''injektiv'': Es seien eine Ausgangsmenge M und eine Zielmenge N. Injektivität ist dann gegeben, wenn gilt: Jedes Element der Menge M kann einem Element der Zielmenge N eindeutig zugeordnet werden.

''surjektiv'': Es seien eine Ausgangsmenge M und eine Zielmenge N. Surjektivität ist dann gegeben, wenn gilt: Jedes Element der Zielmenge N besitzt mindestens ein Urbild in der Ausgangsmenge M. [[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 12:48, 19. Okt. 2011 (CEST)
 
::Definieren Sie die Begriffe ''injektiv'' und ''surjektiv''

<math> Definition\ injektiv:</math> 
<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2\ Mengen,\ \varphi \ eine\ Abbildung\ mit\ \varphi:\ M_1\ ->\ M_2. </math> 
<math> \varphi\ ist\ genau\ dann\ injektiv, \ wenn\ folgendes\ gilt:</math> 
<math> \varphi (x)\ = \ \varphi (y) \Rightarrow \ x\ =\ y </math> 

In Worten heisst das nichts anderes als, das wenn ein Element abbgebildet wird es nur ein Urbild hat. 
Ein Gegebbeispiel wäre z.b die Normalparabel f(x) = x^2 für diese gilt f(2)= 4 = f(-2), also ist diese nicht injektiv 
Betrachtet man nun die eingeschränkte Parabel auf D=R^+ (den rechten Ast) so ist diese injektiv.

<math> Definition\ surjektiv:</math> 
<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2\ Mengen,\ \varphi \ eine\ Abbildung\ mit\ \varphi:\ M_1\ ->\ M_2. </math> 
<math> \varphi\ ist\ genau\ dann\ surjektiv, \ wenn\ folgendes\ gilt:</math> 
<math> \forall \ y \in M_2 \ \exist x \in M_1\ mit\ \varphi (x) = y </math> 
Das heisst nichts anderes als, dass jedes Element in der Bildmenge "getroffen" wird, also zu jedem Element im Bildbereich ein Urbild existiert. 
Wieder die Normalparabel: Würden wir hier M_2 = R wählen, dann würden alle negativen Zahlen nicht getroffen werden, also wäre f nicht surjektiv.
Eine Einschränkung auf die positiven reellen Zahlen würde zur Surjektivität von f führen. 
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:14, 19. Okt. 2011 (CEST)

===Aufgabe 1.3===
::Ergänzen Sie die folgende Tabelle
{| class="wikitable"
|-
| Abbildung || Umkehrabbildung
|-
| <math>x^2, x\ge 0</math> || <math>sqrt(x)</math> , <math>x \ge 0</math> -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|-
|<math>\sin (x), 0 \le x \ge 1</math> ||<math> \arcsin (x) </math> -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|-
|Drehung um Z mit Drehwinkel <math> \alpha </math>|| Drehung um Z mit dem Drehwinkel <math> - \alpha </math>. -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|-
|Spiegelung an der Geraden <math> s </math>|| bleibt gleich -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|}

===Aufgabe 1.4===
::Beweisen Sie Satz 1.2

Es seien <math>\beta_1</math> und <math>\beta_2</math> zwei Bewegungen.

zu zeigen:

<math>\beta_2 \circ \beta_1</math> ist eine Bewegung.

 
<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2,\ M_3\ Ebenen, P,Q \in M_1\ .</math> 
<math> \beta_1,\ \beta_2 \ mit \ \beta1 : M_1 ->M_2 \ und \ \beta_2 : M_2 -> M_3 \ Bewegungen,\ d () \ sei\ die\ Abstandsfunktion </math> 
<math> zz.:\ \beta_3 := \beta_2 \circ \beta_1 \ ist\ eine\ Bewegung,\ also\ d( \beta_3(P),\beta_3(Q)) \ = \ d(P,Q) </math> 
<math> Beweis:</math> 
<math> Es\ gilt\ nach\ Voraussetzung:</math> 
<math> d(P, Q)\ = \ d(\beta_1(P),\beta_1(Q)) \ , da \ \beta_1 \ eine\ Bewegung\ ist. \(*)</math> 
<math> d(\beta_1(P),\beta_1(Q) \ = \ d( \beta_2( \beta_1 ( P)), \beta_2( \beta_1(Q))) \ , da \ \beta_2 \ eine\ Bewegung\ ist \ (**). </math> 
<math> aus\ (*) \ und\ (**) \Rightarrow \ d (P,Q) \ = \ d( \beta_3(P), \beta_3(Q) \ \Rightarrow \beta_3 \ ist \ eine \ Bewegung </math> 
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:35, 19. Okt. 2011 (CEST)

Lösungen zu den Aufgaben

2011-10-21T18:36:29Z

Pipi Langsocke: /* Aufgabe 1.3 */

===Aufgabe 1.1===
:: Definieren Sie für die ebene Geometrie den Begriff ''Bewegung''

::(Definition 1.1)
Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der Streckenlängen erhalten bleiben. [[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 12:45, 19. Okt. 2011 (CEST)

<math> Es \ sei \ E \ eine \ Ebene, \ \varphi \ eine \ Abbildung \ mit \ \varphi : \ E \ -> \ E. </math> 
<math> \varphi \ heisst \ Bewegung \ genau \ dann, \ wenn \ \varphi \ laengenerhaltend \ ist. </math> 
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 12:46, 19. Okt. 2011 (CEST) 

 
Nach der Vorlesung am Dienstag hätte ich auch so definiert, wie Pipi Langsocke. Nachdem ich mir aber den Mitschrieb aus der Vorlesung nochmal angeschaut habe, würde ich eine Kleinigkeit ändern, da die Def. aus meiner Sicht so nicht ganz sauber ist.
 
Ich hätte anstelle von 'Streckenlängen' 'alle Abstände von jeweils einem Paar von Punkten' geschrieben. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 21:50, 19. Okt. 2011 (CEST) -Ja, ich denke auch, das ist besser so. -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 11:06, 21. Okt. 2011 (CEST)

===Aufgabe 1.2===
::Definieren Sie die Begriffe ''injektiv'' und ''surjektiv''

''injektiv'': Es seien eine Ausgangsmenge M und eine Zielmenge N. Injektivität ist dann gegeben, wenn gilt: Jedes Element der Menge M kann einem Element der Zielmenge N eindeutig zugeordnet werden.

''surjektiv'': Es seien eine Ausgangsmenge M und eine Zielmenge N. Surjektivität ist dann gegeben, wenn gilt: Jedes Element der Zielmenge N besitzt mindestens ein Urbild in der Ausgangsmenge M. [[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 12:48, 19. Okt. 2011 (CEST)
 
::Definieren Sie die Begriffe ''injektiv'' und ''surjektiv''

<math> Definition\ injektiv:</math> 
<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2\ Mengen,\ \varphi \ eine\ Abbildung\ mit\ \varphi:\ M_1\ ->\ M_2. </math> 
<math> \varphi\ ist\ genau\ dann\ injektiv, \ wenn\ folgendes\ gilt:</math> 
<math> \varphi (x)\ = \ \varphi (y) \Rightarrow \ x\ =\ y </math> 

In Worten heisst das nichts anderes als, das wenn ein Element abbgebildet wird es nur ein Urbild hat. 
Ein Gegebbeispiel wäre z.b die Normalparabel f(x) = x^2 für diese gilt f(2)= 4 = f(-2), also ist diese nicht injektiv 
Betrachtet man nun die eingeschränkte Parabel auf D=R^+ (den rechten Ast) so ist diese injektiv.

<math> Definition\ surjektiv:</math> 
<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2\ Mengen,\ \varphi \ eine\ Abbildung\ mit\ \varphi:\ M_1\ ->\ M_2. </math> 
<math> \varphi\ ist\ genau\ dann\ surjektiv, \ wenn\ folgendes\ gilt:</math> 
<math> \forall \ y \in M_2 \ \exist x \in M_1\ mit\ \varphi (x) = y </math> 
Das heisst nichts anderes als, dass jedes Element in der Bildmenge "getroffen" wird, also zu jedem Element im Bildbereich ein Urbild existiert. 
Wieder die Normalparabel: Würden wir hier M_2 = R wählen, dann würden alle negativen Zahlen nicht getroffen werden, also wäre f nicht surjektiv.
Eine Einschränkung auf die positiven reellen Zahlen würde zur Surjektivität von f führen. 
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:14, 19. Okt. 2011 (CEST)

===Aufgabe 1.3===
::Ergänzen Sie die folgende Tabelle
{| class="wikitable"
|-
| Abbildung || Umkehrabbildung
|-
| <math>x^2, x\ge 0</math> || <math>sqrt(x)</math> , <math>x \ge 0</math> (Sorry für die Schreibweise!) -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|-
|<math>\sin (x), 0 \le x \ge 1</math> ||<math> \arcsin (x) </math> -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|-
|Drehung um Z mit Drehwinkel <math> \alpha </math>|| Drehung um Z mit dem Drehwinkel <math> - \alpha </math>. -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|-
|Spiegelung an der Geraden <math> s </math>|| bleibt gleich -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|}

===Aufgabe 1.4===
::Beweisen Sie Satz 1.2

Es seien <math>\beta_1</math> und <math>\beta_2</math> zwei Bewegungen.

zu zeigen:

<math>\beta_2 \circ \beta_1</math> ist eine Bewegung.

 
<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2,\ M_3\ Ebenen, P,Q \in M_1\ .</math> 
<math> \beta_1,\ \beta_2 \ mit \ \beta1 : M_1 ->M_2 \ und \ \beta_2 : M_2 -> M_3 \ Bewegungen,\ d () \ sei\ die\ Abstandsfunktion </math> 
<math> zz.:\ \beta_3 := \beta_2 \circ \beta_1 \ ist\ eine\ Bewegung,\ also\ d( \beta_3(P),\beta_3(Q)) \ = \ d(P,Q) </math> 
<math> Beweis:</math> 
<math> Es\ gilt\ nach\ Voraussetzung:</math> 
<math> d(P, Q)\ = \ d(\beta_1(P),\beta_1(Q)) \ , da \ \beta_1 \ eine\ Bewegung\ ist. \(*)</math> 
<math> d(\beta_1(P),\beta_1(Q) \ = \ d( \beta_2( \beta_1 ( P)), \beta_2( \beta_1(Q))) \ , da \ \beta_2 \ eine\ Bewegung\ ist \ (**). </math> 
<math> aus\ (*) \ und\ (**) \Rightarrow \ d (P,Q) \ = \ d( \beta_3(P), \beta_3(Q) \ \Rightarrow \beta_3 \ ist \ eine \ Bewegung </math> 
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:35, 19. Okt. 2011 (CEST)

Lösungen zu den Aufgaben

2011-10-21T09:06:14Z

Pipi Langsocke: /* Aufgabe 1.1 */

===Aufgabe 1.1===
:: Definieren Sie für die ebene Geometrie den Begriff ''Bewegung''

::(Definition 1.1)
Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der Streckenlängen erhalten bleiben. [[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 12:45, 19. Okt. 2011 (CEST)

<math> Es \ sei \ E \ eine \ Ebene, \ \varphi \ eine \ Abbildung \ mit \ \varphi : \ E \ -> \ E. </math> 
<math> \varphi \ heisst \ Bewegung \ genau \ dann, \ wenn \ \varphi \ laengenerhaltend \ ist. </math> 
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 12:46, 19. Okt. 2011 (CEST) 

 
Nach der Vorlesung am Dienstag hätte ich auch so definiert, wie Pipi Langsocke. Nachdem ich mir aber den Mitschrieb aus der Vorlesung nochmal angeschaut habe, würde ich eine Kleinigkeit ändern, da die Def. aus meiner Sicht so nicht ganz sauber ist.
 
Ich hätte anstelle von 'Streckenlängen' 'alle Abstände von jeweils einem Paar von Punkten' geschrieben. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 21:50, 19. Okt. 2011 (CEST) -Ja, ich denke auch, das ist besser so. -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 11:06, 21. Okt. 2011 (CEST)

===Aufgabe 1.2===
::Definieren Sie die Begriffe ''injektiv'' und ''surjektiv''

''injektiv'': Es seien eine Ausgangsmenge M und eine Zielmenge N. Injektivität ist dann gegeben, wenn gilt: Jedes Element der Menge M kann einem Element der Zielmenge N eindeutig zugeordnet werden.

''surjektiv'': Es seien eine Ausgangsmenge M und eine Zielmenge N. Surjektivität ist dann gegeben, wenn gilt: Jedes Element der Zielmenge N besitzt mindestens ein Urbild in der Ausgangsmenge M. [[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 12:48, 19. Okt. 2011 (CEST)
 
::Definieren Sie die Begriffe ''injektiv'' und ''surjektiv''

<math> Definition\ injektiv:</math> 
<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2\ Mengen,\ \varphi \ eine\ Abbildung\ mit\ \varphi:\ M_1\ ->\ M_2. </math> 
<math> \varphi\ ist\ genau\ dann\ injektiv, \ wenn\ folgendes\ gilt:</math> 
<math> \varphi (x)\ = \ \varphi (y) \Rightarrow \ x\ =\ y </math> 

In Worten heisst das nichts anderes als, das wenn ein Element abbgebildet wird es nur ein Urbild hat. 
Ein Gegebbeispiel wäre z.b die Normalparabel f(x) = x^2 für diese gilt f(2)= 4 = f(-2), also ist diese nicht injektiv 
Betrachtet man nun die eingeschränkte Parabel auf D=R^+ (den rechten Ast) so ist diese injektiv.

<math> Definition\ surjektiv:</math> 
<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2\ Mengen,\ \varphi \ eine\ Abbildung\ mit\ \varphi:\ M_1\ ->\ M_2. </math> 
<math> \varphi\ ist\ genau\ dann\ surjektiv, \ wenn\ folgendes\ gilt:</math> 
<math> \forall \ y \in M_2 \ \exist x \in M_1\ mit\ \varphi (x) = y </math> 
Das heisst nichts anderes als, dass jedes Element in der Bildmenge "getroffen" wird, also zu jedem Element im Bildbereich ein Urbild existiert. 
Wieder die Normalparabel: Würden wir hier M_2 = R wählen, dann würden alle negativen Zahlen nicht getroffen werden, also wäre f nicht surjektiv.
Eine Einschränkung auf die positiven reellen Zahlen würde zur Surjektivität von f führen. 
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:14, 19. Okt. 2011 (CEST)

===Aufgabe 1.3===
::Ergänzen Sie die folgende Tabelle
{| class="wikitable"
|-
| Abbildung || Umkehrabbildung
|-
| <math>x^2, x\ge 0</math> || Wurzel(x) , x \ge 0 (Sorry für die Schreibweise!) -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|-
|<math>\sin (x), 0 \le x \ge 1</math> ||<math> \arcsin (x) </math> -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|-
|Drehung um Z mit Drehwinkel <math> \alpha </math>|| Drehung um Z mit dem Drehwinkel <math> - \alpha </math>. -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|-
|Spiegelung an der Geraden <math> s </math>|| bleibt gleich -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|}

===Aufgabe 1.4===
::Beweisen Sie Satz 1.2

Es seien <math>\beta_1</math> und <math>\beta_2</math> zwei Bewegungen.

zu zeigen:

<math>\beta_2 \circ \beta_1</math> ist eine Bewegung.

 
<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2,\ M_3\ Ebenen, P,Q \in M_1\ .</math> 
<math> \beta_1,\ \beta_2 \ mit \ \beta1 : M_1 ->M_2 \ und \ \beta_2 : M_2 -> M_3 \ Bewegungen,\ d () \ sei\ die\ Abstandsfunktion </math> 
<math> zz.:\ \beta_3 := \beta_2 \circ \beta_1 \ ist\ eine\ Bewegung,\ also\ d( \beta_3(P),\beta_3(Q)) \ = \ d(P,Q) </math> 
<math> Beweis:</math> 
<math> Es\ gilt\ nach\ Voraussetzung:</math> 
<math> d(P, Q)\ = \ d(\beta_1(P),\beta_1(Q)) \ , da \ \beta_1 \ eine\ Bewegung\ ist. \(*)</math> 
<math> d(\beta_1(P),\beta_1(Q) \ = \ d( \beta_2( \beta_1 ( P)), \beta_2( \beta_1(Q))) \ , da \ \beta_2 \ eine\ Bewegung\ ist \ (**). </math> 
<math> aus\ (*) \ und\ (**) \Rightarrow \ d (P,Q) \ = \ d( \beta_3(P), \beta_3(Q) \ \Rightarrow \beta_3 \ ist \ eine \ Bewegung </math> 
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:35, 19. Okt. 2011 (CEST)

Serie 01

2011-10-19T11:11:19Z

Pipi Langsocke: /* Aufgabe 1.3 */

Serie 01

2011-10-19T10:48:54Z

Pipi Langsocke: /* Aufgabe 1.2 */

Serie 01

2011-10-19T10:45:25Z

Pipi Langsocke: /* Aufgabe 1.1 */