Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

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2012-07-14T06:59:04Z

PippiLotta: /* Klausurvorbereitung */

__NOTOC__
'''Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω'''
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{|width=100%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |
'''Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Sommersemester 2012 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.'''

*Spezialveranstaltung: [[Selbstverteidigung und mentales Training]]
*Die Spezialveranstaltung ''Selbstverteidigung und mentales Training'' ist für dieses Semester abgeschlossen. An den letzten beiden Montagen des Semesters finden spezielle Übungen zur Klausurvorbereitung statt: [[Übungen_zur_Klausurvorbereitung_SS_12]]
*Die kleine Kolumne: [[Marx, Engels und Bildzeitungsbeweise]]
*Nach der Klausur: [[Semesterabschlussgrillen Sommersemester 2012 mit Sceptor]]

==Semesterabschlussgrillen==
Das amtliche Endergebnis des Plakatwettbewerbs steht fest: The Winner is ... 
[[Datei:Grillen_01.jpg|200px]] 
Hier wurde abgestimmt: 
[[Semesterabschlussgrillen Plakat Abstimmung|Welches Plakat soll es werden?]] 
Flo60 hatte den Trend so nicht geshen: [[Lustige Plakatwahl 2012]]
==Klausurvorbereitung==

{| class="wikitable"
|Die nebenstehende Abbildung zeigt das sogenannte ''Heidelberger Winkelkreuz''. Es besteht zu 100% aus Acrylglas ( [[Die Ökovariante aus gewachstem Buchenholz ist in Planung]].) und wird zu 100% in eine Klausuraufgabe eingehen. Das gilt sowohl für die beiden Klausuren zur Einführung in die Geometrie (alte und neue Prüfungsordnung) als auch für die Didaktik der Geometrie. Was könnten wohl für Klausuraufgaben gestellt werden, die sich auf das ''Winkelkreuz'' beziehen? Hinsichtlich der Einführung in die Geometrie wird es eine zur Aufgabe 3 der Klausur vom Wintersemester analoge Aufgabe mit dem ''Winkelkreuz'' geben. Diskutieren Sie hier und Sie sind bestens auf die Klausuren vorbereitet: [[Winkelkreuz]]--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 23:51, 13. Jul. 2012 (CEST)||[[Datei:Wk 00 0002 Kopie.png|300px]]

Wohl auch nur in der Sekundarstufe?--[[Benutzer:PippiLotta|PippiLotta]] 08:59, 14. Jul. 2012 (CEST)
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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Primarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Primarstufe]]

==Hinweise==
*Hier ein sehr schönes [[Übungsblatt Halbgeraden|Übungsblatt]] zum Thema Halbgeraden aus der Sekundarstufe!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 11:20, 29. Mai 2012 (CEST) 

==Newsticker==
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| valign="top" |
====Vorlesung====
{| class="wikitable"
|-
| Di. || 08-10 Uhr ||H001 ||Schnirch
|}

====Übungen====
{| class="wikitable"
|-
| Mo.|| 08-10 Uhr || A206 ||Henrich
|-
| Mo.|| 16-18 Uhr || A108 ||Hucke
|-
| Di.||12-14 Uhr || A106||Zähringer
|-
| Do.|| 10-12 Uhr || A206 ||Strauß
|-
| Do.|| 12-14 Uhr || A106 ||Schulte

|}

====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im Sommersemester 2012!

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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Sekundarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe]]

==Hinweise==
*Wichtig zur Klausurvorbereitung: [[Winkelkreuz]]--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 11:57, 12. Jul. 2012 (CEST)
*Test2: [[Bin ich für die Klausur fit_Teil_2? SS12]]--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 06:56, 14. Jul. 2012 (CEST)
*Test1: [[Bin ich für die Klausur fit? SS12]]--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:25, 8. Jul. 2012 (CEST)
*ein offizieller [[Spickzettel]] für die Klausur--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:21, 8. Jul. 2012 (CEST)
* Der Bierkastenbeweis wurde erbracht. Glückwunsch an Oz44oz und AnnaP. Bier oder Prosecco?--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 11:57, 12. Jul. 2012 (CEST)

==Newsticker==
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====Vorlesung====
{| class="wikitable"
|-
| Donnerstag || 08-10 Uhr ||H001 || Buchner/Gieding
|}

====Übungen====

{{Schrift_orange|ACHTUNG:}} Am Donnerstag den 12.07. findet die Übung von Ricky Sharma ausnahmsweise in Raum B 007 (EG, Fach Kunst) statt.--[[Benutzer:Buchner|Buchner]] 15:14, 27. Jun. 2012 (CEST)
 
{| class="wikitable"
|-
| Dienstag || 16:00 - 18:00 || A106 ||Gaß
|-
| Mittwoch ||16:00 - 18:00 || {{Schrift_orange|H002}}||Heckl || [[WIKI-Übung-Heckl]]
|-
| Donnerstag|| 10:00 - 12:00 || A106 ||Sharma
|-
| Donnerstag|| 16:00 - 18:00 || A106 ||Jäckle
|-
| Freitag|| 14:00 - 16:00 || A206 ||Bode
|}

====Zusatzübung====
(Übung mit Convertibles)
{| class="wikitable"
|-

| Freitag|| 12:00 - 14:00 || H002 ||Gieding
|}

====Hinweise, Kommentare====
Bitte bereiten Sie wöchentlich die Übungsaufgaben vor und besuchen Sie eine der Übungsgruppen. 
Viel Erfolg im Sommersemester 2012! 

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</div>
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| style="vertical-align:top;" |

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=Didaktik der Geometrie=
*[[Das WIKI für die Lehrveranstaltung "Didaktik der Geometrie"]]
==Neu==
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====Vorlesung/Seminar/Übung====
{| class="wikitable"
|-
| Freitag|| 10:00 - 12:00 || H002 ||Gieding
|}

====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im Sommersemester 2012!

* Wann findet eigentlich die Klausur statt?
am 20.07. 2012. 10-12UHR
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</div>
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<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FED7D7; align:left;">

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| valign="top" |

=Elementargeometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Elementargeometrie]]
*[[Materialien/Ideen/Fragen/Diskussionen aus der Prüfungsvorbereitung SoSe2012]]
|}
==Hinweise==

neuer Termin: 
{{Schrift_grün|'''Mittwochs, 12:00 - 14:00 Uhr - Raum: A236 ---[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:31, 21. Jun. 2012 (CEST)'''}}

*[[Übungsveranstaltung Elementargeometrie 2012]]
*[[Diskussion Termin SoSe2012]]

==Newsticker==
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====Vorlesung/Seminar/Übung====
Die Lehrveranstaltung Elementargeometrie wird nur im Wintersemester angeboten. Bei Bedarf finden nach Absprache mit mir Ende des Sommersemesters vier Übungen zur Vorbereitung auf die Geometrieaufgaben der Staatsexamensklausur statt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:22, 10. Apr. 2012 (CEST)

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[[dmuw:Hauptseite]]
[[geogebra-rlp:Hauptseite]]
[[medienvielfalt:Hauptseite]]
[[wikis:Hauptseite]]
[[zum-wiki:Hauptseite]]

Verkettung zweier Geradenspiegelungen SoSe 12

2012-07-02T17:38:10Z

PippiLotta: /* Definition IX.4 (Translation): */

== Verkettung von Abbildungen ==
===== Definition IX.1 : (Verkettung von Abbildungen) =====
:Unter einer Verkettung von Abbildungen versteht man das Hintereinanderausführen zweier oder mehrerer Abbildungen <math>\varphi _{1}..\varphi _{n}</math>. Schreibweise: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}\circ ... \circ \varphi _{n}</math>. 
Anmerkung: In der Literatur wird die Reihenfolge der Verkettung unterschiedlich angewendet: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}</math> kann bedeuten, dass man zuerst <math>\varphi _{1}</math> und dann <math>\varphi _{2}</math> ausführen muss, aber auch die umgekehrte Reihenfolge wird verwendet. Wir einigen uns im Rahmen dieser Veranstaltung für die erste Variante, also die Ausführungsreihenfolge von links nach rechts.

=== Verkettung zweier Geradenspiegelungen===
Gegeben seien zwei Geraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. 
'''Aufgabe:''' Welche prinzipiellen Möglichkeiten bezüglich der Lage der beiden Geraden ''a'' und ''b'' gibt es? Ihre Antwort: 1. Die Geraden a und b sind identisch. 2. Die Geraden a und b sind parallel. 3. Die Geraden a und b schneiden sich in einem Punkt. 
Wir betrachten zunächst zwei sich schneidende Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
<ggb_applet width="649" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> 

===== Satz IX.1 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' liegt dabei mit seinem Bildpunkt <math>P''=a\circ b(P) </math> auf einem Kreis ''k'' um ''S''. 
'''Beweis:''' 

===== Satz IX.2 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S'', sowie zwei Punkten <math>A\in a</math> und <math>B\in b</math>, die von ''S'' jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt <math>P''=a\circ b(P) </math> gilt: <math>\left| \angle PSP'' \right| =2\cdot\left| \angle ASB \right|</math>. 
'''Beweis:''' 

Eine Abbildung, wie wir sie auf dieser Seite kennengelernt haben, nennen wir auch Drehung. Definieren Sie im Folgenden den Begriff Drehung: 
===== Definition IX.2 (Drehung): =====
Eine Drehung ist ... (Ergänzen Sie)
eine Abbildung, bei der die Originalpunkte um das sogenannte Drehzentrum um die Weite des sogenannten Drehwinkels gedreht werden. --[[Benutzer:PippiLotta|PippiLotta]] 19:23, 2. Jul. 2012 (CEST)

<ggb_applet width="1281" height="493" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> du kannst punkt d bewegen--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 10:10, 26. Jun. 2012 (CEST)

=== Die Punktspiegelung als Sonderfall der Drehung===
===== Definition IX.3 (Punktspiegelung): =====
Eine Punktspiegelung ist eine Abbildung, die bei der Verkettung zweier senkrecht aufeinanderstehender Spiegelungsgeraden entsteht. 

Die Punktspiegelung ist damit eine Drehung mit einem Drehwinkel, der das Maß 180 hat und wird deshalb auch als Halbdrehung bezeichnet. 
Experimentieren Sie mit dem folgenden GeoGebra-Applet. Vergleichen Sie dabei die beiden Möglichkeiten: ''Spiegle Objekt an Gerade'' und ''Spiegle Objekt an Punkt''. 
Können Sie besondere Eigenschaften der Punktspiegelung entdecken, die die allgemeine Drehung nicht aufweist? 
Bewegen Sie den Punkt ''A''. Was fällt Ihnen auf? 

<ggb_applet width="543" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> 
===== Satz IX.3 : =====
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=a\circ b(P) </math>. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe

===== Satz IX.4 : =====
Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe 

===== Satz IX.5 : =====
Bei einer Punktspiegelung <math>D(S,180)</math> wird eine Gerade ''g'' für die gilt: <math>S\in g</math> stets auf sich selbst abgebildet. 
'''Beweis:''' 
'''Mit Hilfe der Sätze zur Punktspiegelung lassen sich einige wichtige Winkelsätze der Geometrie beweisen:''' 

===== Satz IX.6 : =====
Paare von Scheitelwinkeln sind zueinander kongruent. 
Beweis:

===== Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) : =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis:

===== Satz IX.8 (Stufenwinkelsatz) : =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis: 

'''Anmerkung:''' Bei den Beweisen zum Wechselwinkel- bzw. Stufenwinkelsatz gehen wir davon aus, dass es durch einen beliebigen Punkt ''P'' außerhalb einer Geraden ''g'' immer genau eine Parallele ''h'' zu ''g'' gibt, die durch den Punkt ''P'' verläuft. Dass es in der ebenen Geometrie eine solche Parallele geben muss können wir beweisen, dass es höchstens eine solche Parallele gibt wird durch ein Axiom festgelegt. Es handelt sich hier um das berühmte Parallelenaxiom. Näheres hierzu finden Sie im Sekundarstufen-Wiki! 

===Verkettung zweier Geradenspiegelungen mit zueinander parallelen Achsen===
Wir betrachten nun zwei parallele Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
<ggb_applet width="731" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
===== Satz IX.9 : =====
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' hat dabei zu seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> einen Abstand der doppelt so groß ist als der Abstand der beiden Spiegelgeraden. 
'''Beweis:''' 
Obige Abbildung nennt man auch Translation, Parallelverschiebung oder einfach nur Verschiebung. Definieren Sie den Begriff Translation formal korrekt: 

===== Definition IX.4 (Translation):=====
Die Translation ist diejenige Abbildung der Ebene auf sich, die jedem Punkt P seinen Bildpunkt P´ nach der folgenden Vorschrift zuordnet: 
<math>\vec{PP´}</math> ist richtungsgleich zu <math>\vec{ST}</math> und l(<math>\overline{PP´}</math>)=l(<math>\overline{ST}</math> )--[[Benutzer:PippiLotta|PippiLotta]] 19:35, 2. Jul. 2012 (CEST)

Verkettung zweier Geradenspiegelungen SoSe 12

2012-07-02T17:37:35Z

PippiLotta: /* Definition IX.4 (Translation): */

== Verkettung von Abbildungen ==
===== Definition IX.1 : (Verkettung von Abbildungen) =====
:Unter einer Verkettung von Abbildungen versteht man das Hintereinanderausführen zweier oder mehrerer Abbildungen <math>\varphi _{1}..\varphi _{n}</math>. Schreibweise: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}\circ ... \circ \varphi _{n}</math>. 
Anmerkung: In der Literatur wird die Reihenfolge der Verkettung unterschiedlich angewendet: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}</math> kann bedeuten, dass man zuerst <math>\varphi _{1}</math> und dann <math>\varphi _{2}</math> ausführen muss, aber auch die umgekehrte Reihenfolge wird verwendet. Wir einigen uns im Rahmen dieser Veranstaltung für die erste Variante, also die Ausführungsreihenfolge von links nach rechts.

=== Verkettung zweier Geradenspiegelungen===
Gegeben seien zwei Geraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. 
'''Aufgabe:''' Welche prinzipiellen Möglichkeiten bezüglich der Lage der beiden Geraden ''a'' und ''b'' gibt es? Ihre Antwort: 1. Die Geraden a und b sind identisch. 2. Die Geraden a und b sind parallel. 3. Die Geraden a und b schneiden sich in einem Punkt. 
Wir betrachten zunächst zwei sich schneidende Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
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===== Satz IX.1 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' liegt dabei mit seinem Bildpunkt <math>P''=a\circ b(P) </math> auf einem Kreis ''k'' um ''S''. 
'''Beweis:''' 

===== Satz IX.2 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S'', sowie zwei Punkten <math>A\in a</math> und <math>B\in b</math>, die von ''S'' jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt <math>P''=a\circ b(P) </math> gilt: <math>\left| \angle PSP'' \right| =2\cdot\left| \angle ASB \right|</math>. 
'''Beweis:''' 

Eine Abbildung, wie wir sie auf dieser Seite kennengelernt haben, nennen wir auch Drehung. Definieren Sie im Folgenden den Begriff Drehung: 
===== Definition IX.2 (Drehung): =====
Eine Drehung ist ... (Ergänzen Sie)
eine Abbildung, bei der die Originalpunkte um das sogenannte Drehzentrum um die Weite des sogenannten Drehwinkels gedreht werden. --[[Benutzer:PippiLotta|PippiLotta]] 19:23, 2. Jul. 2012 (CEST)

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=== Die Punktspiegelung als Sonderfall der Drehung===
===== Definition IX.3 (Punktspiegelung): =====
Eine Punktspiegelung ist eine Abbildung, die bei der Verkettung zweier senkrecht aufeinanderstehender Spiegelungsgeraden entsteht. 

Die Punktspiegelung ist damit eine Drehung mit einem Drehwinkel, der das Maß 180 hat und wird deshalb auch als Halbdrehung bezeichnet. 
Experimentieren Sie mit dem folgenden GeoGebra-Applet. Vergleichen Sie dabei die beiden Möglichkeiten: ''Spiegle Objekt an Gerade'' und ''Spiegle Objekt an Punkt''. 
Können Sie besondere Eigenschaften der Punktspiegelung entdecken, die die allgemeine Drehung nicht aufweist? 
Bewegen Sie den Punkt ''A''. Was fällt Ihnen auf? 

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===== Satz IX.3 : =====
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=a\circ b(P) </math>. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe

===== Satz IX.4 : =====
Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe 

===== Satz IX.5 : =====
Bei einer Punktspiegelung <math>D(S,180)</math> wird eine Gerade ''g'' für die gilt: <math>S\in g</math> stets auf sich selbst abgebildet. 
'''Beweis:''' 
'''Mit Hilfe der Sätze zur Punktspiegelung lassen sich einige wichtige Winkelsätze der Geometrie beweisen:''' 

===== Satz IX.6 : =====
Paare von Scheitelwinkeln sind zueinander kongruent. 
Beweis:

===== Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) : =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis:

===== Satz IX.8 (Stufenwinkelsatz) : =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis: 

'''Anmerkung:''' Bei den Beweisen zum Wechselwinkel- bzw. Stufenwinkelsatz gehen wir davon aus, dass es durch einen beliebigen Punkt ''P'' außerhalb einer Geraden ''g'' immer genau eine Parallele ''h'' zu ''g'' gibt, die durch den Punkt ''P'' verläuft. Dass es in der ebenen Geometrie eine solche Parallele geben muss können wir beweisen, dass es höchstens eine solche Parallele gibt wird durch ein Axiom festgelegt. Es handelt sich hier um das berühmte Parallelenaxiom. Näheres hierzu finden Sie im Sekundarstufen-Wiki! 

===Verkettung zweier Geradenspiegelungen mit zueinander parallelen Achsen===
Wir betrachten nun zwei parallele Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
<ggb_applet width="731" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
===== Satz IX.9 : =====
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' hat dabei zu seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> einen Abstand der doppelt so groß ist als der Abstand der beiden Spiegelgeraden. 
'''Beweis:''' 
Obige Abbildung nennt man auch Translation, Parallelverschiebung oder einfach nur Verschiebung. Definieren Sie den Begriff Translation formal korrekt: 

===== Definition IX.4 (Translation):=====
Die Translation ist diejenige Abbildung der Ebene auf sich, die jedem Punkt P seinen Bildpunkt P´ nach der folgenden Vorschrift zuordnet: 
<math>\vec{PP}</math> ist richtungsgleich zu <math>\vec{ST}</math> und l(<math>\overline{PP}</math>)=l(<math>\overline{ST}</math> )--[[Benutzer:PippiLotta|PippiLotta]] 19:35, 2. Jul. 2012 (CEST)

Verkettung zweier Geradenspiegelungen SoSe 12

2012-07-02T17:35:55Z

PippiLotta: /* Definition IX.4 (Translation): */

Verkettung zweier Geradenspiegelungen SoSe 12

2012-07-02T17:35:24Z

PippiLotta: /* Definition IX.4 (Translation): */

== Verkettung von Abbildungen ==
===== Definition IX.1 : (Verkettung von Abbildungen) =====
:Unter einer Verkettung von Abbildungen versteht man das Hintereinanderausführen zweier oder mehrerer Abbildungen <math>\varphi _{1}..\varphi _{n}</math>. Schreibweise: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}\circ ... \circ \varphi _{n}</math>. 
Anmerkung: In der Literatur wird die Reihenfolge der Verkettung unterschiedlich angewendet: <math>\varphi _{1}\circ\varphi _{2}</math> kann bedeuten, dass man zuerst <math>\varphi _{1}</math> und dann <math>\varphi _{2}</math> ausführen muss, aber auch die umgekehrte Reihenfolge wird verwendet. Wir einigen uns im Rahmen dieser Veranstaltung für die erste Variante, also die Ausführungsreihenfolge von links nach rechts.

=== Verkettung zweier Geradenspiegelungen===
Gegeben seien zwei Geraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. 
'''Aufgabe:''' Welche prinzipiellen Möglichkeiten bezüglich der Lage der beiden Geraden ''a'' und ''b'' gibt es? Ihre Antwort: 1. Die Geraden a und b sind identisch. 2. Die Geraden a und b sind parallel. 3. Die Geraden a und b schneiden sich in einem Punkt. 
Wir betrachten zunächst zwei sich schneidende Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
<ggb_applet width="649" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> 

===== Satz IX.1 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' liegt dabei mit seinem Bildpunkt <math>P''=a\circ b(P) </math> auf einem Kreis ''k'' um ''S''. 
'''Beweis:''' 

===== Satz IX.2 : =====
Gegeben seien zwei Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' mit einem gemeinsamen Schnittpunkt ''S'', sowie zwei Punkten <math>A\in a</math> und <math>B\in b</math>, die von ''S'' jeweils verschieden sind. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Für einen beliebigen Punkt P und seinen Bildpunkt <math>P''=a\circ b(P) </math> gilt: <math>\left| \angle PSP'' \right| =2\cdot\left| \angle ASB \right|</math>. 
'''Beweis:''' 

Eine Abbildung, wie wir sie auf dieser Seite kennengelernt haben, nennen wir auch Drehung. Definieren Sie im Folgenden den Begriff Drehung: 
===== Definition IX.2 (Drehung): =====
Eine Drehung ist ... (Ergänzen Sie)
eine Abbildung, bei der die Originalpunkte um das sogenannte Drehzentrum um die Weite des sogenannten Drehwinkels gedreht werden. --[[Benutzer:PippiLotta|PippiLotta]] 19:23, 2. Jul. 2012 (CEST)

<ggb_applet width="1281" height="493" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> du kannst punkt d bewegen--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 10:10, 26. Jun. 2012 (CEST)

=== Die Punktspiegelung als Sonderfall der Drehung===
===== Definition IX.3 (Punktspiegelung): =====
Eine Punktspiegelung ist eine Abbildung, die bei der Verkettung zweier senkrecht aufeinanderstehender Spiegelungsgeraden entsteht. 

Die Punktspiegelung ist damit eine Drehung mit einem Drehwinkel, der das Maß 180 hat und wird deshalb auch als Halbdrehung bezeichnet. 
Experimentieren Sie mit dem folgenden GeoGebra-Applet. Vergleichen Sie dabei die beiden Möglichkeiten: ''Spiegle Objekt an Gerade'' und ''Spiegle Objekt an Punkt''. 
Können Sie besondere Eigenschaften der Punktspiegelung entdecken, die die allgemeine Drehung nicht aufweist? 
Bewegen Sie den Punkt ''A''. Was fällt Ihnen auf? 

<ggb_applet width="543" height="538" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIABtV1UAAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIABtV1UAAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3Vnrjts2Fv6dPgWh37HMi0hKgSdFJ22xAaZNsJNdLPYfLdE2O7KkleRb0Zfqi+wz7SEpybI9M7nOIukgE4ri0bl85yrN7Pv9OkdbXTemLK4CEuIA6SItM1Msr4JNu5jEwfcvv5stdbnU81qhRVmvVXsVRJbSZFcBW2isEiknXGRkEnFCJzERfMLxQuJMcRYnWYDQvjEvivJXtdZNpVJ9m670Wt2UqWqd4FXbVi+m091uF/aiwrJeTpfLebhvgAGoWTRXQXfxAtidPLRjjpxiTKb/+uXGs5+YomlVkeoAWRM25uV3z2Y7U2TlDu1M1q6uAs5JgFbaLFdgk8Bg09QSVQBIpdPWbHUDj462zuZ2XQWOTBX2/Jm/QvlgToAyszWZrq8CHPIkTgjBEssYsyRhASpro4u2oyWdzGnPbbY1eufZ2isnMQpQW5b5XFmO6I8/EMUUo+d2IX6hsAjhj7C/h5lfqF8iv3BPE/nHI08aeZrI00Sg49Y0Zp7rq2Ch8gYQNMWiBu8N+6Y95Nrp0904Wk+eg02N+R2ImYXUQw73MX5ufwHn51GP9chIMpLa1puPFNqL5Fb7DxVJP8tQNpjJ7jGT8gfMFI8I9XZ/iJ2Ej2SCKPfP/V5IZI+ZeS7R7z9PoIj+LybOpn2qzLrsQM3K0nbR0+p1Y/OFJYgnNuwJ4pAbQkKUc0QSWCRFkA2IcBRx2JIYCbtKxCQcRIihGFk6wpBLDh7Df5F0zATiwMzelZCTiICgCHGGiMupCEEmIZeXkKOUAQXniMNDVjyhlgUTKBKwYzGKQEebkpIAIYMHYQ/iKWIEMfswkYgKJCw/EtlUF7FVHVhSJDASxDKErIaM9tkM9DFi1hrRwWWKatOeQJSus/6yLavBF0AN9ehY9Xx9OimKz2a5musc+sSt9SRCW5XbjHCCFmXRot6J1N9b1qpambS51W0LTzXoN7VVN6rV+5+BuullO9q0LJq3ddm+KvPNumgQSsscDzqXORld00Fr2LDRQTQ+4KMDMbqW98ot4QRtGg3yy7rpyVWWvbYUx9IASL4p8sN1rdVdVZpTM2ZT13JmepPmJjOq+CcEq5VicUFDB7Llqu9AEZO9ImWd3R4aiGC0/7euS8CRiFAQKakkMuaYSkjqgz9iPAmlkAJ6gogxlwkH3VJlk4/KUNKIwj2Mk0RIDEeHB846R+nt4CK110drl7UZgsVev26uyzwbjp39r1TVbmo3PIBZtbXqh2KZaxcjrtxCZ07v5uX+1gcH87zeHSrYYa/AfOlwR1AbKAd9l90696ujsZoNVNjRYEeB+2gz2XBOEuoo3Dr3q6OC8PWqdZaS3kqCezGmcRUNB13e9NXKBr9t9JvCtDf9pjXpXWcq8Q/8ulnP9RBCpzzJl+I5m57F2OxO14XOu5AGX27KTeMzdBTtmU7NGrb+oINEWXf9AxTwdzO9rHWveO4GMw+YO8XjaL247Vj9XJfr18X2HcTCmQKzaa/lrElrU9mQQ3NoA3f6GFWZaRR0kWz8nM1BMD213QLgaS00kJ2bdlXWbvaCogKrTb1cr2HSQq0LLxehA8w/uBHO4onK+W9Q14bW58+PDoPje0PNBaXKq5WyY15ndK4Ouj6BwfH7pczOwQHsnQWQ5JX3baW1DwuvL1xUwM5l00mRArQbtLdDeAKN9mDndh4H6Hc/wPsJ1tpqc+ykLvu7Z46C6PEwvQew278CYMIDxkNMvwhgableqyJDhRttbqCeBMdOq7ANM6SIBc8js2n7A+VZdQwusLelaYBWfTb0+NOBP8I3YWEEbzCjH+7QnOAQBv3xj/TgyjCCtnRea1sYA+7gXadxDaHtSr+7+JvJMu1GQN+K/lP4RxpfAM26yk1q2se98KaGSrAsC5Xf449b7w914Y/5R/hj/nX44z7YDw+4ybqDhzGMCcfbF13wqT3z1hWUU4fMLzxx/bgnTqvS9aUrTtvp/b4g1A8Wbv0aShMOI8kIZ0xiFsE4lgjnS6hYXAhCKShKE8nkE1QtN6GdeeW6L1tIUVvEzn303z8fd5Lr/YMPgNp92FD5plMJOpbEMhGMQkBGcSK6KvFpOUXwZVaRR334ZrFodGuBp9S30Hsd/BkZoup05Jg+UvK83P1dL3K9d6j709Ec90Gd+NW334lty/CtmIbxl2nFjyH247ePGO0BYyGJnhywn759wHAo4348IU8x7b0t8wOMGWeV85WvnD/6yvnTReWEN7QcXoGJJ9OeLIWFwdvW+zqfF9g7YWD1qTXqYf+OED1pm5w5F9vP5h9Vb888/HAYNnppd4Mi+j2B+PGKfvr4CzWLnsxbrKtg46EKfnyTnshQCDEexJ5m3HLRldtEeF20um60ezG+fN2/07qy31neFO9qVTT2Lzkf2n7OnZJ+PU5hIRUnPvHtfAIDBj9xin9BntBQng7N0V/GK9nX4xWAufs0AY7oii8NCY/jbwjt6fhDk/ue2/1p8uX/AFBLBwh5aruGPwcAADcdAABQSwECFAAUAAgACAAbVdVA1je9uRkAAAAXAAAAFgAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc1BLAQIUABQACAAIABtV1UB5aruGPwcAADcdAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAF0AAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAIAAgB+AAAA1gcAAAAA" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> 
===== Satz IX.3 : =====
Bei einer Punktspiegelung ist der Schnittpunkt ''S'' der beiden Spiegelgeraden ''a'' und ''b'' Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{PP''}</math>, mit <math>P''=a\circ b(P) </math>. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe

===== Satz IX.4 : =====
Bei einer Punktspiegelung werden Geraden stets auf parallele Bildgeraden abgebildet. 
'''Beweis:''' Übungsaufgabe 

===== Satz IX.5 : =====
Bei einer Punktspiegelung <math>D(S,180)</math> wird eine Gerade ''g'' für die gilt: <math>S\in g</math> stets auf sich selbst abgebildet. 
'''Beweis:''' 
'''Mit Hilfe der Sätze zur Punktspiegelung lassen sich einige wichtige Winkelsätze der Geometrie beweisen:''' 

===== Satz IX.6 : =====
Paare von Scheitelwinkeln sind zueinander kongruent. 
Beweis:

===== Satz IX.7 (Wechselwinkelsatz) : =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis:

===== Satz IX.8 (Stufenwinkelsatz) : =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander. 
Beweis: 

'''Anmerkung:''' Bei den Beweisen zum Wechselwinkel- bzw. Stufenwinkelsatz gehen wir davon aus, dass es durch einen beliebigen Punkt ''P'' außerhalb einer Geraden ''g'' immer genau eine Parallele ''h'' zu ''g'' gibt, die durch den Punkt ''P'' verläuft. Dass es in der ebenen Geometrie eine solche Parallele geben muss können wir beweisen, dass es höchstens eine solche Parallele gibt wird durch ein Axiom festgelegt. Es handelt sich hier um das berühmte Parallelenaxiom. Näheres hierzu finden Sie im Sekundarstufen-Wiki! 

===Verkettung zweier Geradenspiegelungen mit zueinander parallelen Achsen===
Wir betrachten nun zwei parallele Spiegelgeraden: Experimentieren Sie mit dem nachfolgenden Applet, indem Sie die Verkettung der beiden Geradenspiegelungen ausführen, d. h. auf das Dreieck anwenden. Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
<ggb_applet width="731" height="538" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
===== Satz IX.9 : =====
Gegeben seien zwei zueinander parallele Spiegelgeraden ''a'' und ''b''. Wir betrachten die Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b} </math>. Jeder Punkt ''P'' hat dabei zu seinem Bildpunkt <math>P''=S_{a}\circ S_{b}(P) </math> einen Abstand der doppelt so groß ist als der Abstand der beiden Spiegelgeraden. 
'''Beweis:''' 
Obige Abbildung nennt man auch Translation, Parallelverschiebung oder einfach nur Verschiebung. Definieren Sie den Begriff Translation formal korrekt: 

===== Definition IX.4 (Translation):=====
Die Translation ist diejenige Abbildung der Ebene auf sich, die jedem Punkt P seinen Bildpunkt P´ nach der folgenden Vorschrift zuordnet:
<math>\vec{PP´}</math> ist richtungsgleich zu <math>\vec{ST}</math> und l(<math>\overline{PP´}</math>)=l(<math>\overline{ST}</math> )

Verkettung zweier Geradenspiegelungen SoSe 12

2012-07-02T17:23:26Z

PippiLotta:

Lösung von Aufgabe 10.2P (SoSe 12)

2012-06-26T14:52:23Z

PippiLotta:

Formulieren Sie die Umkehrung des Basiswinkelsatzes. 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Hat ein Dreieck zwei zueinander kongruente Innenwinkel, handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck.--[[Benutzer:PippiLotta|PippiLotta]] 16:52, 26. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 10.1P (SoSe 12)

2012-06-26T14:50:35Z

PippiLotta:

Definieren Sie den Begriff "Gleichschenkliges Dreieck". Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

[[Kategorie:Einführung_P]]

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei kongruenten Schenkeln und zwei kongruenten Innenwinkel (Basiswinkel). Die dritte Seite nennt man Basis.--[[Benutzer:PippiLotta|PippiLotta]] 16:50, 26. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 10.1P (SoSe 12)

2012-06-26T14:50:23Z

PippiLotta:

Definieren Sie den Begriff "Gleichschenkliges Dreieck". Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

[[Kategorie:Einführung_P]]
Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei kongruenten Schenkeln und zwei kongruenten Innenwinkel (Basiswinkel). Die dritte Seite nennt man Basis.--[[Benutzer:PippiLotta|PippiLotta]] 16:50, 26. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 9.2P (SoSe 12)

2012-06-25T11:57:22Z

PippiLotta:

Beweisen Sie die Geradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung.
 
[[Kategorie:Einführung_P]]

ich versteh nicht ganz, was wir beweisen sollen:
 
wenn wir die halbgeradentreue bewiesen haben, müssen wir die geradentreue doch eigentlich gar nicht mehr beweisen, oder? 
eine gerade ab ist doch die vereinigungsmenge der beiden halbgeraden ab+ und ab- 
wenn beide halbgeradentreu sind, ist doch die gerade geradentreu...--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 00:47, 25. Jun. 2012 (CEST)

Ja, dann müssen wir evtl einfach noch die Halbgerade AB+ und AB- zusammenfügen und somit zeigen, dass A´B´ existiert. Oder?--[[Benutzer:PippiLotta|PippiLotta]] 13:57, 25. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 9.1P (SoSe 12)

2012-06-25T11:48:49Z

PippiLotta:

Beweisen Sie die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Streckentreue der Geradenspiegelung und eine geeignete Definition des Begriffs Halbgerade.
 
Manchmal kommt man nicht weiter, weil man nicht weiß wie es losgehen soll. Deshalb fange ich hier mal an. Diese Struktur kann auch für die anderen Aufgaben genutzt werden.''(z.B. kopieren, um die Formelschreibweise auf einer anderen Seite zu nutzen)''--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 13:03, 21. Jun. 2012 (CEST)

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || Geradenspiegelung an g <math>Sg</math> mit <math>A'= Sg (A)</math> und <math>B' = Sg (B)</math> und <math>P \in AB^{+}</math>
|-
| Behauptung || <math>Sg (AB+) = A'B'^{+}</math> d.h. <math>P' \in A'B'^{+}</math>
|}
 
Es muss also gezeigt werden, dass das Bild <math>P'</math> eines beliebigen Punkts <math>P</math> der Halbgerade auch auf dem Bilder der Halbgeraden liegt. 

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 <math>P \in AB^{+}</math>|| (Begründung 1)
|-
| 2 (Schritt 2) || (Begründung 2)
|-
| 3 (Schritt) || (Begründung)
|-
| 4 (Schritt) || (Begründung)
|}
 

[[Kategorie:Einführung_P]]

Mal ein Versuch:
{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 <math>P \in AB^{+}</math>|| Voraussetzung
|-
| 2 Zw(ABP) <math> \wedge</math> Zw (APB) || (1), Def. Zw., Def. Halbgerade
|-
| 3 <math>\left| AB \right| + \left| BP \right| = \left| AP \right| \wedge
\left| AP \right| + \left| PB \right| = \left| AB \right|</math> || (2), Def. koll
|-
| 4 <math>\left| A'B' \right| + \left| B'P' \right| = \left| A'P' \right| \wedge
\left| A'P' \right| + \left| P'B' \right| = \left| A'B' \right|</math> || (3), Abstandserhaltung der Geradenspiegelung
|-
| 5 Zw(A'B'P') <math>\wedge</math> Zw(A'P'B') || (4), Def. Zw
|-
| 6 P<math>\in</math>A'B'+ || (5)
|}
 --[[Benutzer:Zitrone|Zitrone]] 12:50, 24. Jun. 2012 (CEST)

Habe das etwas anders gemacht und zwar bin ich gleich am Anfang auf die Definition Halbgerade AB+ und dann auf die Spiegelung von A und B eingegangen und habe dann die Definition der Halbgerade A´B´+ erstellt. Dadurch wäre es dann klar, das P´<math>\in</math> A´B´+ ist.
Geht das so auch? --[[Benutzer:PippiLotta|PippiLotta]] 13:48, 25. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 1.2 (SoSe 12)

2012-04-22T11:53:15Z

PippiLotta:

Definieren Sie die folgenden Begriffe mathematisch korrekt. Die Begriffe n-Eck, Seite und Ecke eines n-Ecks seien bereits definiert. Beziehen Sie sich auf den nächsthöheren Oberbegriff. 
Viereck, Trapez, gleichschenkliges Trapez, Parallelogramm, Drachen, Raute, Rechteck, Quadrat

Viereck:

Ein Vieleck mit genau vier Ecken ist ein Viereck.--[[Benutzer:Oz44oz|Oz44oz]] 23:30, 19. Apr. 2012 (CEST) 
FRAGE: Ist Vieleck ein Überbegriff???

Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4. --[[Benutzer:PippiLotta|PippiLotta]] 14:41, 20. Apr. 2012 (CEST)
::Vieleck und n-Eck sind synonym zu verstehen. Ja, Vieleck/n-Eck ist ein Oberbegriff bzgl. des Begriffs Viereck.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:51, 21. Apr. 2012 (CEST)

Quadrat:

Ein Rechteck mit vier gleichlangen Seiten ist ein Quadrat.--[[Benutzer:Oz44oz|Oz44oz]] 23:36, 19. Apr. 2012 (CEST) 

Ein Quadrat ist eine Raute mit einem rechten Innenwinkel.

Raute:

''Ein Viereck mit vier kongruenten Seiten ist eine Raute. 
''Ein Drache mit vier kongruenten Seiten ist eine Raute. 
''Ein Parallelogramm mit vier kongruenten Seiten ist eine Raute.--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 14:42, 21. Apr. 2012 (CEST) 

Ein Viereck dessen gegenüberliegenden Winkel gleich groß sind nennt man Raute.--[[Benutzer:Michael|Michael]] 20:22, 21. Apr. 2012 (CEST) Ein Parallelogramm? --[[Benutzer:PippiLotta|PippiLotta]] 13:53, 22. Apr. 2012 (CEST)

 Rechteck:

''Ein Viereck mit vier rechten Innenwinkeln ist ein Rechteck. 
''Ein Parallelogramm mit einem rechten Innenwinkel ist ein Rechteck. 
''Ein gleichschenkliges Trapez mit einem rechten Innenwinkel ist ein Rechteck.--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 14:50, 21. Apr. 2012 (CEST) 

 Trapez:

''Ein Viereck mit einem Paar paralleler Gegenseiten ist ein Trapez.--[[Benutzer:Braindead|Braindead]] 14:52, 21. Apr. 2012 (CEST) 
Immer genau zwei Seiten sind parallel [[Benutzer:Wurzel|Wurzel]]
 Paralellogramm:

Ein Parallelogramm ist ein Trapez, bei dem die gegenüberliegenden Seiten parallel sind. --[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 01:13, 21. Apr. 2012 (CEST)

Anmerkung: Oberbegiff ist Trapez. Unterbegriffe wären u.a. Raute und Rechteck. Frage: Auf die nicht vorhandenen rechten Winkel muss ich bei der Definition nicht eingegen, da der Oberbegriff Trapez diese auch nicht hat. Ist das korrekt? --[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 01:13, 21. Apr. 2012 (CEST)

Drachenviereck:

Wenn ein konvexes Viereck zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten besitzt, dann nennt man es Drachenviereck.
(Konventionaldefinition)
--[[Benutzer:Honeydukes|Honeydukes]] 00:53, 21. Apr. 2012 (CEST)

Ein Drachenviereck ist ein konvexes Viereck, bei dem eine Diagonale auf der Mittelsenkrechten der anderen Diagonalen liegt.

Wenn die Diagonalen eines Viereckes eine Symmetrieachse bildet so spricht man von einem Drachen. --[[Benutzer:Michael|Michael]] 20:22, 21. Apr. 2012 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]
[[Kategorie:Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 1.2 (SoSe 12)

2012-04-21T07:26:45Z

PippiLotta:

Lösung von Aufgabe 1.2 (SoSe 12)

2012-04-21T07:26:15Z

PippiLotta:

Lösung von Aufgabe 1.2 (SoSe 12)

2012-04-20T12:41:39Z

PippiLotta:

Lösung der Aufgaben zur Mengenlehre (SoSe 12)

2012-04-18T07:22:49Z

PippiLotta:

== Mengenlehre ==
1. A und B sind identisch. --[[Benutzer:PippiLotta|PippiLotta]] 09:22, 18. Apr. 2012 (CEST)

2. M1={} M2={} M3={-2} M4={} M5= Wie kann ich Wurzeln schreiben? M6={-2} M1=M2=M4 M3=M6--[[Benutzer:PippiLotta|PippiLotta]] 09:22, 18. Apr. 2012 (CEST)