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GeometrieUndUnterrichtSS2019 07

2019-06-21T08:05:14Z

Pquicker: /* Ergebnisse der Nachbereitung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Die Schüler*in Alice und Bob haben die unten stehende Aufgabe bearbeitet.
# Bewerten Sie zunächst die jeweiligen Konstruktionsbeschreibungen der Schüler*innen. Diskutieren Sie gegebenenfalls Fehler.
# Führen Sie die Konstruktion gemäß der Konstruktionsbeschreibungen durch. Diskutieren Sie gegebenenfalls Probleme, die Ihnen bei der Durchführung auffallen.

=== Dreieckskonstruktion SSWk ===

Konstruiere ein Dreieck ABC mit den folgenden Eigenschaften: <math>\alpha = 25, a = 3.5 \text{cm}, c = 6 \text{cm}</math>. Beschreibe deine Konstruktion.

==== Konstruktionsbeschreibung von Alice (Zirkel & Lineal) ====

: Ich ziehe einen 6cm langen Strich. Am rechten Ende (B) steche ich den Zirkel in das Blatt und stelle ihn auf 3,5 cm ein. Jetzt zirkle ich einen Halbkreis nach oben. Dieser Halbkreis schneidet den Winkel, den ich vorher am linken Ende der Strecke mit dem Geodreieck eingezeichnet habe, in zwei Punkten. Jetzt verbinde ich die erhaltenen Punkte miteinander und sehe, dass es zwei Dreiecke gibt, die die SSWk=Konnsstruktion erfüllen.

Quelle: „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''

==== Konstruktionsbeschreibung von Bob (GeoGebra) ====

[[Datei:GuU2019 SSWkKonstruktion.png|thumb|rechts|Screenshot der „Konstruktion“ von Bob mit GeoGebra unter SSWk-Vorgaben]]

: Zeichne Strecke a mit Länge 3,5cm. Zeichne Kreis um B mit Länge 6cm. Erstelle Punkt A auf dem Kreis und Messe den Winkel α = ∠BAC. Verschiebe Punkt A auf dem Kreis so, dass α = 25°. Spiegele das Dreieck ABC an a. Ich habe jetzt zwei Dreiecke, die die Bedingungen erfüllen.

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===

==== Bearbeitung von Ilona ====

Die Konstruktionsbeschreibung von Alice verwendet tendentiell einfachere Begriffe und vermeidet konkrete mathematische Bezeichnungen (z.B. Strich statt Strecke von A nach B). Auch folgt sie in der Beschreibung der Schritte nicht der tatsächlichen Reihenfolge, sondern springt zwischendurch zurück ("Winkel, den ich vorher...eingezeichnet habe"). Darüber hinaus bezeichnet Alice die geometrischen Objekte ihrer Konstruktion nicht eindeutig (z.B. "am linken Ende der Strecke"). Allerdings konstruiert sie zwei Dreiecke, welche die Anforderungen erfüllen, wenn auch die Formulierung "Jetzt verbinde ich die erhaltenen Punkte" wieder nicht sehr präzise ist und nur erahnen lässt, was genau dieser Schritt beinhaltet. Bob hingegen formuliert meiner Meinung nach präziser und unter Verwendung mathematischer Begriffe sein Vorgehen. Beispielsweise führt er die Benennung der Punkte, Winkel und Strecken seiner Konstruktion stringent durch. Bob hat seine Konstruktion offenbar mit Hilfe von Geogebra durchgeführt, wodurch es ihm möglich war, den Punkt A auf dem Kreis um B zu verschieben, bis der Winkel α die gewollte Größe hatte. Konstruiert man mit Zirkel und Lineal, so erweist sich dieses Vorgehen jedoch als schwierig und der Ansatz von Alice als praktikabler. Auch hat Bob durch seine Spiegelung an der durch a verlaufenden Gerade lediglich zwei Dreiecke konstruiert, die zueinander kongruent bzw. durch Verschiebung / Spiegelung / Drehung ineinander überführbar sind. Das Dreieck, welches Alice zusätzlich gefunden hat, fehlt in Bobs Konstruktion (es wurde aber auch nur die Konstruktion eines Dreiecks in der Aufgabenstellung gefordert).
Die Konstruktionsbeschreibung von Alice lässt sich recht gut durchführen, wenn man die fehlenden Benennungen der geometrischen Objekte für sich erschließt. Bobs Beschreibung funktioniert gut bis zu dem Punkt, an welchem er den Punkt A auf dem Kreis verschiebt, bis der Winkel stimmt. Dieser Schritt lässt sich nur mit Hilfsmitteln wie Geogebra leicht durchführen.

==== Bearbeitung von Wibke ====
Alice’s Konstruktionsbeschreibung führt zum Ziel, jedoch ist ihre Ausdrucksweise nicht fachlich korrekt. Sie sollte folgende sprachlichen Formulierungen beachten: 
Strich – Strecke von A nach B 
In das Blatt – Zirkel bei B ansetzen 
Zirkle Halbkreis nach oben – Zeichne Kreis um B 
Schneidet Winkel – schneidet die Gerade 
Linkes Ende – Punkt A 
Punkte verbinden – Stecken AC, AC‘ 
Außerdem, sollte die Konstruktionsbeschreibung in der Reihenfolge geschrieben werden, in welcher auch die einzelnen Schritte durchgeführt werden.

Bob’s Konstruktionsbeschreibung führt ebenfalls zum Ziel. Er konstruiert mit Hilfe von Geogebra zwei kongruente Dreiecke. Falls die Aufgabenstellung nur so gegeben wird, ohne konkrete Hilfsmittel zu nennen, halte ich seine Ausführung für gut. Will man, dass die SuS mit Zirkel und Lineal arbeiten, sollte dies explizit in der Aufgabenstellung genannt werden.

==== Bearbeitung von Anna-Lena ====
Meine Vorredner haben die wichtigsten Bemerkungen zu den beiden Konstruktionsbeschreibungen schon gemacht. Diesen stimme ich zu, weshalb ich hier nur noch ergänze:
Aus der Konstruktionsbeschreibung von Alice geht die Konstruktion eines zweiten Dreiecks nicht hervor, da sie nur einen Winkel in B abträgt und von einem Zweiten, nach unten Gespiegelten nie die Rede war. Die Konstruktionsbeschreibung ist deshalb meiner Meinung nach auch bei Hinwegsehen der (fach-)sprachlichen Mängel und der Reihenfolge nicht vollkommen richtig. Dennoch nennt sie die entscheidenden Konstruktionsschritte. Die Konstruktionsbschreibung zeigt auch wie wichtig das Training und auch die häufige Kontrolle der logischen Argumentationsweise sowie der korrekte Fachsprache bei den Texten der SuS ist.

Bob's Konstruktionsbeschreiben lässt sich ohne Probleme nachvollziehen.
Sein Ansatz ist in dem Sinne interessant, dass sich durch die Variation der Winkelbreite eine dynamische Konstruktion entwickelt. Er kann durch den Prozess entdecken, dass die Angaben SSW bis auf Konkruenz ein solches Dreieck eindeutig bestimmen und wie sich das Dreieck beim Abändern einer Größe verändert. Darauf müssen SuS meiner Meinung bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal eher aufmerksam gemacht werden. Die Konstruktion des Dreieck mit Bob's Methode bedarf jedoch höchst wahrscheinlich mehrerer Schritte, s.d. das das Hilfmittel Geogebra bis auf den obenen genannten keinen Vorteil bringt.

Bei beiden Ansätzen stellt sich mir die Frage, ob die Konstruktion des zweiten Dreiecks die Aufgabe überhaupt erfüllt. Da "ein(?)" Dreieck ABC konstruiert werden sollte und nicht das Dreieck ACB.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1PdIBhF1HD2NjfOs2yavMngKoGOhXL2ftUvmSdOgwWko/edit?usp=sharing Begleitfolien der Sitzung vom 07.06.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/1EbyJdxehQcJ_b8ZRs3C-OHPhlpwLXP6i/view?usp=sharing Arbeitsblätter zu Konstruktionsaufgaben und idealtypische Problemlöseprozesse]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== ''' Ergebnisse der Vorbereitungsaufträge''' ===
Erinnerung: Es geht um die Art & Weise wie Alice und Bob die die Aufgabenstellung bearbeitet haben. 

Zusammenfassend halten wir fest: Alice argumentiert mit intuitiven Begriffen, die nicht mathematischer Natur sind. Die Reihenfolge der Konstrukionsbeschreibung ist durcheinander und daher schwer zu folgen. Außerdem schreibt sie in der Ich-Form, während Bob eine Gebrauchsanweisung / Konstruktionsanweisung in neutraler Form schreibt. Es kam der Einwand, dass es in Geogebra nur schwer möglich ist, einen Winkel so zu verschieben, dass keine Nachkommastellen entstehen. Stattdessen hätte Bob auch einfach einen festen Winkel konstruieren können. 

Wir halten '''zentrale Aspekte von Konstruktionsbeschreibungen''' an der Tafel fest: 

* Grad der mathematischen Fachsprache
* Reihenfolge der Operationen
* Unterscheidung von Objekten / Begriffen
* Anweisung vs. Erzählung
* Erlaubte / Angemessene Operationen 

-> Die Reihenfolge ist besonders für das Verständnis der anderen SuS und zur eigenen Überprüfung wichtig (vgl. Konstruktionsbeschreibung von Alice). Ob in der Ich-Perspektive oder aus neutraler Sichtweise geschrieben wird ist dabei variabel, es kommt dabei auf die Aufgabenstellung an; generell ist beides erlaubt. 

Wir halten '''Ziele von Konstruktionsbeschreibungen''' an der Tafel fest: 

* Erziehung zu sprachlicher Genauigkeit
* Nachvollziehbare Dokumentation des eigenen Vorgehens; Wichtig für Nachbereitung / Modulanwendung
* Ermöglichung von Kommunikation über Konstruktionsaufgaben 

-> Außerdem muss die Klausursituation / Leistungsmessung beachtet werden: Lehrkräfte brauchen die Konstruktionsbeschreibungen um gelöste Aufgaben der SuS bewerten zu können. 
 

Es folgt ein kurzer Input zur '''„Artifact-Centric Activity Theory“''' (ACAT, Ladel & Kortenkamp, 2016) – siehe Literaturhinweise

[[Datei:Artifact-Centric Activity Theory.PNG|thumb|Artifact-Centric Activity Theory]]

Das Modell besteht aus folgenden Elementen: Subjekt (z.B. Schüler/in), Objekt (z.B. Mathematik) und Artefakt (z.B. Hilfsmittel wie Zirkel, Lineal, Papier). Das Artefakt vermittelt zwischen Subjekt und Objekt (beispielsweise hilft das Artefakt dem/der Schüler/in an das gegebene mathematische Problem heranzugehen). Der/Die Schüler/in gibt Arbeit in das Artefakt hinein, dabei entsteht ein Produkt und die Beobachtung von Handlungen ist sichtbar. Die Beziehung zwischen Artefakt und Objekt bzw. das Problem an sich kann jedoch beispielsweise nur durch die geforderte Konstruktionsbeschreibung sichtbar gemacht werden. Zirkel und Lineal erlauben diese Sichtbarkeit zum Beispiel nicht. 
Der Ursprung dieser Theorie geht auf den Umgang mit Stellenwerttafeln in der Grundschule zurück. Trotzdem passt dieser Ansatz gut zur Geometrie in der Sekundarstufe; besonders zum Thema Konstruieren. 
Anschließend an diese Theorie wird noch genannt, dass der Anspruch und der Umfang an eine Konstruktionsbeschreibung an der Lehrkraft selbst liegt. Es kann mit der Klasse individuell ausgemacht werden, welche Aspekte in einer Konstruktionsbeschreibung berücksichtigt werden müssen, dabei kommt es unter anderem auch auf die Klassenstufe an.
:--> Sinn & Zweck von Konstruktionsbeschreibungen sollte nun erkannt sein!

=== Komplexere Konstruktionsaufgaben in der Perspektive des Problemlösens ===
==== Input-Phase ====

Es folgt eine Diskussion/Austausch zu der Frage „Was ist ein Problem?“ (Folie 5). Verschiedene Meinungen zu den ersten drei Beispielen werden diskutiert: 
Muss man bei Beispiel 1 (Umfang eines Rechtecks mit Länge 32 m und Flächeninhalt 640m^2 berechnen) nur stumpf eine Formel anwenden oder auch den Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Umfang verstehen? Ist die Oberfläche und das Volumen eines Menschen zu bestimmen zu allgemein um ein Problem zu sein? Muss man dabei wissen wie schwer/groß der Mensch ist? Ist eine Aufgabe ein Problem wenn sie ganz allgemein, ohne Anforderungen und offen gestellt ist? 
Beispiel 2 (Oberfläche und Volumen eines Menschen bestimmen) ist ein '''Approximierungs- / Modellierungsproblem''', indem man den Körper des Menschen durch verschiedene Formen wie Kegel, Zylinder,… approximiert. Formuliert man Beispiel 3 (Form einer Verpackung für 3 Tennisbälle) so um, dass die Frage lautet: „Welche Größe sollte die Verpackung haben, dass das Oberfläche / Volumen maximal / minimal wird?“, so handelt es sich um ein '''Optimierungsproblem'''. (-> Weitere Klassifizierungen von Problemtypen, siehe Folie 8) 

Auf Folie 6 folgt die Differenzierung eines '''Routine-Problems (Aufgabe)''' und einer '''Problemlöse-Aufgabe (Problem)'''. Dabei kommt es darauf an, ob man den Algorithmus kennt oder nicht und die Klassifizierung hängt davon ab, wer sie lösen soll und ist daher subjektiv und vom Adressaten abhängig. Beispielsweise ist Beispiel 1 für uns oder auch höhere Klassenstufen keine Problemlöseaufgabe, aber für die Klasse 5 evtl. schon. 
Die Definition von Problemlösen (Folie 7) lautet: ''„Ein Problemlöser kennt keine Lösung der Problemstellung, also weder einen Operator noch eine Operatorkette, die den Anfangszustand in den Zielzustand überführt.“''

==== Arbeitsphase ====
Die Erarbeitung des Arbeitsauftrags erfolgt in 4 Gruppen, welche jeweils verschiedene Konstruktionsprobleme lösen sollen. Dabei soll das eigene Vorgehen anhand eines Leitfadens dokumentiert werden (Arbeitsblätter siehe unter "Sitzungsmaterialien"). 

Die Konstruktionsschritte werden dabei mit Hilfe eines Phasenmodells festgehalten. Dieses Modell beinhaltet folgende drei Aspekte:
* Problemverstehen
* Planentwickeln
* Rückschau
Die Konstruktionsprobleme sollen mit Hilfe einer der folgenden '''heuristischen Strategien''' (Folie 12) gelöst werden:
* n-1 Methode (Weglassen einer Bedingung)
* Konstruktion von Teilkonfigurationen /-figuren
* Reduktion auf Berechnungsproblem
Dabei können die heuristischen Strategien folgender Maßen kategorisiert werden (Folie 11):
* Inhaltliches / konkret-experimentelles Lösen (z.B. Grundschule)
* Nutzung von Darstellungen und Darstellungswechsel
* Vorwärts-/Rückwärtsarbeiten (z.B. Übungszettel im Mathestudium)

'''Ergebnisse der Gruppenarbeit'''
{| class="wikitable"
|-
! !! Konstruktion 1!! Konstruktion 2!! Konstruktion 3!! Konstruktion 4
|-
| Aufgabe|| Mittelpunkt des gegebenen Kreises konstruieren.|| Quadrat DEFG zum gegebenen spitzwinkligen Dreieck konstruieren.|| Dreieck zur gegebenen Seite a, Seitenhalbierenden sa und Höhe hc konstruieren.|| Kreis K konstruieren, so dass K die Kreisbögen und die beiden Halbkreise in je einem Punkt berührt und die Gesamtfigur achsensymmetrisch bleibt.
|-
| Typ|| || (n-1)-Methode|| Konstruktion einer Teilfigur|| Reduktion auf Berechnungsproblem
|-
| Bild|| || [[Datei:Konstruktion 2.PNG|thumb|(n-1)-Methode]]|| [[Datei:Konstruktion 3.PNG|thumb|Konstruktion einer Teilfigur]]|| [[Datei:Konstruktion 4.PNG|thumb|Reduktion auf Berechnungsproblem]]
|-
| Quelle ||
|| Folie 18 in den Präsentationsfolien zu Kapitel 5 „Problemlösen“ der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In Vorlesungsskripte von Jürgen Roth, Universität Koblenz-Landau.
|| Folie 19 in den Präsentationsfolien zu Kapitel 5 „Problemlösen“ der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In Vorlesungsskripte von Jürgen Roth, Universität Koblenz-Landau.
|| Folie 20 in den Präsentationsfolien zu Kapitel 5 „Problemlösen“ der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In Vorlesungsskripte von Jürgen Roth, Universität Koblenz-Landau.
|}

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Konstrieren'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''
* Kapitel 3 „Konstruieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Präsentationsfolien zu [http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_3_konstruieren.pdf Kapitel 3 „Konstruieren“] der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte Vorlesungsskripte von Jürgen Roth], Universität Koblenz-Landau.
* Präsentationsfolien zu [http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_5_problemloesen.pdf Kapitel 5 „Problemlösen“] der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte Vorlesungsskripte von Jürgen Roth], Universität Koblenz-Landau.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
Die SuS stehen vor dieser Aufgabe:
Gibt es Dreiecke, welche die Bedingung <math>\alpha=\beta +\gamma</math>, erfüllen? Wenn ja welche? Begründe deine Antwort.

*Handelt es sich hierbei um ein Problem? Wenn ja, zu welcher Kategorie von Problem kann die Aufgabe zugeordnet werden? Nenne noch andere Problemkategorien.
*Analysiere das Problem: Welche Schritte sollten beim Lösen des und auch jedes anderen Problems durchlaufen werden? Welche heuristischen Strategien können bei diesem konkreten Problem hilfreich sein?
*Wo liegen die größten Hürden beim Lösen des Problems für SuS? Wie kann ihnen beim Problemlösen geholfen werden?
||
*Da eine Problem nur von dem Problemlösenden zu einem solchen erkoren werden kann, ist der Kenntnisstand des Problemlösenden der entscheidende Faktor zur Problemidentifizierung. So erachte ich die Aufgabe für SuS der 7. Klasse durchaus als eine recht anspruchsvolle Problemstellung. Das Problem lässt sich so wie es oben formuliert wurde der Kategorie Existenzproblem/Anzahlproblem zuordnen, doch lässt es sich sicherlich auch als von Beweis- und Konstruktionsproblem formulieren. Weiterhin gibt es Optimierungs-, Modellierungs- und Berechnungsprobleme.
*Zunächst einmal muss das '''Problem verstanden''' und durchdrungen werden. Bekannt sind der Gegenstand, nämlich Dreiecke, sowie Bedingungen für die Winkel des Dreiecks, wobei die Bedingung a priori nicht ausreicht um alle Winkel zu bestimmen (3 Unbekannte, 1 Gleichung). Für geübte Gleichungssystemanwender ergibt sich durch die Analyse schon der Hinweis eine zweite Bestimmungsgleichung zu finden. 
:Beim '''Entwickeln eines Lösungsplans''' liegt es nahe zunächst einmal zu Rekapitulieren, welche Regeln/Formeln/Verfahren/Sätze in dem Kontext „Dreieck und Winkel im Dreieck“ bekannt sind. Hierzu zählen in Klasse 7 beispielsweise der Satz von der Winkelsumme im Dreieck, der Satz des Gleichschenkligen Dreiecks und der Satz des Thales. Außerdem ist es sinnvoll beim Annähern an einen Lösungsweg heuristischen Strategien wie das konkret-experimentelles Lösen und das Spezialisieren des Problems zu verwenden, um Protyp-Dreiecke z.B. gleichschenkliche, gleichseitige oder rechtwinklige Dreiecke auf die Bedingung zu testen. Dadurch wird min. ein Dreieck gefunden, d.h. die Existenz bewiesen, und noch dazu die Vermutung, dass alle rechtwinklige Dreiecke die Bedinung erfüllen, gewonnen. Für die Begründung dieser Vermutung ist es insbesondere wichtig das Probelm auf ein Berechnungsproblem bzw. das Lösen von einem Gleichungssystem zu reduzieren. Die zweite Gleichung für die drei Winkelvariablen erhalten wir aus dem Satz von der Winkelsumme im Dreieck: 
#<math>\alpha = \beta+\gamma </math>
#<math>\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ </math> 
:1. in 2: <math> 2(\beta+\gamma) = 180^\circ \Rightarrow \alpha = \beta + \gamma = 90^\circ </math> 
:In der '''Rückschau''', ein nicht zu vernachlässigender Schritt des Lösungsprozesses, wird über das Problem reflektiert. So deckt sich dieser Lösungsweg inhaltlich mit dem Beweis des Satz des Thales. Außerdem ist ersichtlich, dass zur Bestimmung von <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> noch eine weitere Bedingung/ Gleichung gestellt werden muss. Für den oben beschriebenen Lösungsweg wurde "nur" der Satz von der Winkelsumme im Dreieck und Äquivalenzumformungen gebraucht.
* Meiner Meinung nach können die SuS sehr schnell durch Ausprobieren auf die rechtwinklige Dreiecke kommen, doch stellt der Lösungsweg mit Hilfe von Gleichungsystemen eine große Hürde da; selbst dann noch, wenn die SuS zuvor Äquivalenzumformungen und Lösen von Gleichungssystemen trainiert haben. Das Arbeiten mit Variablen und das Einsetzen von Gleichungen muss häufig geübt werden und wird erst nach mehrjähirger Übung von den meisten SuS verstanden. Auch die Idee bei einer Geometrieaufgabe algebraische Hilfsmittel zu nutzen ist nicht intuitiv. Hier fände ich einen (optionalen) Tipp wie "Stelle zwei Gleichungen mit <math>\alpha,\beta</math> und <math>\gamma</math> auf" oder "Nutze den Satz der Winkelsumme im Dreieck" hilfreich.
||
Zur Beantwortung der Aufgabe sind die erlernten Problemkategorien auf ein konkrete Fragstellung anzuwenden und die Phasen des Problemlösens an dem Problem zu näher erläutern. Zuletzt wird eine didaktische Analyse des Problems gefordert.


|-
|
Betrachten Sie die folgende Aufgabe für SuS der achten Klasse:
[[Datei:Problemlöseaufgabe Berechnungsproblem.JPG|thumb|Skizze]]
Bestimme das Volumen des geometrischen Objekts, welches die orangene Grundfläche hat und eine Höhe von 5 cm aufweist.
# Handelt es sich bei dieser Aufgabe um ein Problem? Wenn ja, welche Art von Problemlöseaufgabe liegt vor?
# Welche Inhaltsbereiche tangiert die Aufgabe? Welche Begriffe und Konzepte werden angesprochen oder vertieft?
# Nennen Sie mögliche Probleme, die SuS im Umgang mit dieser Aufgabe haben könnten und wie diesen begegnet werden kann.
||
# Es handelt sich in erster Linie um ein Berechnungsproblem, da hier eine unbekannte Größe rechnerisch und auf der Grundlage geometrischer Kenntnisse ermittelt werden soll.
# Insbesondere werden die Begriffe Flächeninhalt und Volumen aufgegriffen und vertieft. Zudem müssen die SuS für die Lösung der Aufgabe auf das Konzept des Zerlegens einer Fläche in bekannte geometrische Objekte (hier Dreiecke und Parallelogramme) zurückgreifen, welches im Kontext von Flächeninhaltsbestimmungen wahrscheinlich bereits angesprochen worden ist. Dabei wiederholen die SuS natürlich auch die Begriffe des Dreiecks und Parallelogramms und das Vorgehen bei der Bestimmung der entsprechenden Flächeninhalte. Die Lösung der Aufgabe kann auf zwei Arten erfolgen: entweder bestimmt man zunächst den Inhalt der orangenen Fläche (und zerlegt sie dafür in 12 gleichseitige Dreieicke) und dann das gesamte Volument, oder man zerlegt die Fläche erst in die Dreiecke, bildet dann 12 Prismen, deren Volumen man dann aufaddiert. In beiden Fällen verwenden die SuS alle genannten Begriffe und Konzepte. Außerdem ist eine hohe Abstraktionsfähigkeit gefragt, da die Zeichnung lediglich die Grundfläche liefert und der Transfer ins Dreidimensionale von den SuS geleistet werden muss.
# Dies halte ich neben der Zerlegung der Grundfläche für die größte Schwierigkeit an der Aufgabe. Dass das Prinzip der Zerlegung quasi auch dreidimensional, also mit Prismen, durchgeführt werden kann, ist möglicherweise nicht jedem Schüler sofort ersichtlich. Auch die Idee zur Zerlegung in Dreiecke könnte für Schwierigkeiten sorgen, insbesondere wenn der Ansatz zuvor nicht ausreichend behandelt worden ist. Ebenso sind mangelnde Kenntnisse von Dreiecken, Parallelogrammen und deren Flächeninhalten mögliche Hindernisse bei der Bearbeitung des Problems. Sollten die SuS die Idee mit dem Zerlegen nicht von selbst haben, so könnte man ggf. einen Hinweis geben oder an das Vorgehen bei Flächeninhalten von Rechtecken erinnern bzw. wie dieses möglicherweise hergeleitet wurde. Sollten die SuS Schwierigkeiten haben, sich das dreidimensionale Objekt vorzustellen, so wäre eine Zeichnung oder ein Modell hilfreich, welches die Struktur anschaulich macht.
||
Die Aufgabe greift die unterschiedlichen Arten von Problemen im Kontext des Geometrieunterrichts auf und vertieft durch die Anwendung an einem konkreten Beispiel. Auch die theoretischen Grundlagen zu Grundbegriffen und -Konzepten der Geometrie werden angesprochen und mann muss sich damit auseinandersetzen, auf welchem Stand die SuS in der 8. Klasse sind, bzw. welche Schwierigkeiten eine solche Aufgabe mit sich bringt.


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Betrachtet wird folgende Situation: (In der Unterstufe)
Bei 𝑛 Geraden (𝑛> 1) kann es maximal 𝑘 = 1 + 2 +⋯+ (𝑛−1) Schnittpunkte geben.

# Stellt diese Situation ein Problem dar? (Beründung)
# Welche Problemkategorie liegt hier vor und aus welchen Gründen?
# Gibt es spezielle geometrisch-heuristischen Strategien oder kann diese Aufgabe anhand allg. heursitischer Strategien gelöst werden? Welche Strategien würden Sie verwenden?

||
# Die Problemdefinition ist abhängig vom Subjekt und dem Vorwissen. In der Unterstufe kann nicht von einer Routine Aufgabe ausgegangen werden. Alleine die algebraische Schreibweise deutet hierauf hin. Die SuS kennen keine Lösung bzw. eine Operatorkette und müssen den "Algorithmus" finden um den Zielzustand zu erreichen.
# Es liegt ein Beweisproblem vor, da eine Aussage bewiesen werden muss und ein Anzahlproblem vor, da die Frage "Wie viele Schnittpunkte gibt es" beantwortet werden müssen.
# Es gibt allg. Strategie um dieses Problem zu lösen. Gezielt geometirsche Stratgien gibt es hierbei weniger. Diese beziehen sich eher auf Zerlergung, Ergänzung von Hilfslinien, Suche nach geeigneten Objekten (Dreiecke, Parallelen), Ergänzung etc. die geeigneten allg. Strategien wären ''konkret-experimentelles Lösen'' oder die ''Nutzung von Darstellungen und Darstellungswechse'' wie beispielsweise eine Tabelle. ( Siehe F. 21. http://www.dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_5_problemloesen.pdf )

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Die Aufgabe thematisiert die Unterscheidung Problem - Routineaufgabe und geht spezieller auf die Problemkategorien ein. Anschließend werden die Stratgien zur Problemlösung behandelt.

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Betrachte folgendes Problem: 
Gegeben seien drei parallele Geraden a, b, c. Es soll ein gleichseitiges Dreieck ABC konstruiert werden, dessen Eckpunkte jeweils auf einer der drei gegebenen parallelen Geraden liegen. 
* Welche der heuristischen Strategien kann angewandt werden, um ein solches Dreieck zu konstruieren?
* Wie kann man vorgehen, um dieses Problem zu Lösen?
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Bei diesem Problem bietet sich die (n-1)-Methode, also das Weglassen einer Bedingung an. 
Lege einen der Eckpunkte (O.E.) A auf die parallele Gerade a. Setze nun den Eckpunkt B beliebig auf b, um dann zu der Seite AB ein gleichseitiges Dreieck zu konstruieren. Daraus ergibt sich der Eckpunkt C, der vermutlich noch nicht auf c liegt. Verschiebe nun B auf b so, dass C auf c liegt.
[[Datei:Beispiel Parallele Geraden.jpg|thumb|(n-1)-Methode]]

||
Um diese Prüfungsfrage zu beantworten müssen die verschiedenen heuristischen Strategien bekannt sein. Zusätzlich wird durch ein konkretes Beispiel fachliches Geometrie-Wissen integriert.


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Finden Sie die folgende Aufgabenstellung als Klausuraufgabe geeignet? 

Ist die folgende Aussage wahr, oder falsch? Begründe! 

Wenn zwei Geraden <math>g</math> und <math>h</math> parallel sind, dann bildet die Gerade <math>h</math> '''IMMER''' die Mittelparallele von den Geraden <math>g</math> und einer weiteren parallelen Geraden <math>i</math>, wenn die Gerade <math>i</math> doppelt so weit von <math>g</math> entfernt ist, wie von der Geraden <math>h</math>.
||
Um diese Aufgabenstellung zu beantworten, müssen die SuS die genaue Definition einer Mittelparallelen kennen. 

''Sind zwei parallele Geraden <math>g</math> und <math>h</math> gegeben, so ist ihre Mittelparallele die Gerade, die von <math>g</math> und <math>h</math> jeweils den gleichen Abstand hat.'' 

Hier gibt es aber auch gleich eine Schwierigkeit. Viele SuS werden wahrscheinlich argumentieren, dass wenn ich eine Gerade habe, die von zwei weiteren Geraden den gleichen Abstand hat, es sich um eine Mittelparallele handelt. Sie gehen davon aus, dass <math>h</math> die Mittelparallele ist und legen <math>i</math> auf die andere Seite wie <math>g</math>. Nachmessen zeigt, dass die Abstandsvoraussetzungen erfüllt sind. Die Aussage scheint also zu stimmen. 

Dies ist jedoch nicht der Fall! In dieser Situation soll nämlich die Gerade <math>i</math> so konstruiert werden, dass <math>h</math> gerade NICHT die Mittelparallele ist. Wichtig in diesem Zusammenhang ist das Wort ''''''immer'''''' aus der Aufgabenstellung. Mit etwas überlegen, kann man nämlich leicht ein Gegenbeispiel konstruieren, wenn man die Gerade <math>i</math> zwischen die Geraden <math>g</math> und <math>h</math> legt. Dies muss nur von den SuS erkannt werden. 

Die Aufgabe erscheint nicht sonderlich geeignet, da gerade das exakte Wissen über die Definition von Mittelparallele zum falschen Ergebnis führen kann. Genauso hat das finden des Gegenbeispiels sehr wahrscheinlich nichts, mit dem im Unterricht behandelten Wissen über Geometrie zu tun. Es wird hier nämlich, anders als es die Aufgabe vermuten lässt NICHTS so konstruiert, dass es sich bei der Geraden <math>h</math> um eine Mittelparallele handelt.
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Um diese Prüfungsfrage beantworten zu können, muss sich der Prüfling über das Verständnis des Begriffs Mittelparallele für SuS im klaren sein und den Denkansatz der SuS beim Beginn einer Konstruktion nachvollziehen können.


|-
|
Folgende Aufgabe wird Schülern der Oberstufe gestellt: 
Finde ein Verfahren zur Bestimmung des Abstands zwischen zwei windschiefen Geraden. 
* In wie fern handelt es sich bei der gegebenen Aufgabe um ein Problem?
* Welche Lösungsstrategien können Schüler verfolgen?
* In wie weit unterscheidet sich die Aufgabe von dem Auftrag, den Abstand zweier Geraden gegeben einem geeigneten Verfahren auszurechnen?
||
* Ob es sich bei der gegebenen Aufgabe um ein Problem handelt, hängt vom Vorwissen der Schülerinnen und Schüler ab. Im Falle, dass sie die Formel bereits kennen, erübrigt sich das Problem. Andernfalls, können die Schülerinnen und Schüler die Aufgabe nur mit Hilfe einiger erfordelichen Grundvorstellungen lösen. Ein klassischer analytischer Weg führt über die Minimierung der Abstandsfunktion zweier allgemeiner Punkte auf den Geraden. In diesem Fall müsste jedoch bezüglich zwei Parametern optimiert werden. Dieser Weg kann in der Schule auf Grund des mangelnden Vorwissens nicht genutzt werden. Damit lässt sich die Aufgabe auch nicht als Routineproblem auffassen, das einem klassischen Optimierungsschema folgt. Vielmehr ist hier ein geometrischer Ansatz gefragt. Mit Hilfe geeigneter geometrischer Grundvorstellungen müssen die Schülerinnen und Schüler den Weg von den gegebenen Voraussetzungen zum Ziel selbst finden. Damit stellt die Aufgabe für sie ein Problem dar.
* Das Problem lässt sich geometrisch auf mindestens zwei Wegen lösen. Einer dieser Wege führt über das Vorwissen/die Heuristik, dass der Abstandsvektor senkrecht auf beiden Geraden stehen muss, sein Skalarprodukt mit den jeweiligen Richtungsvektoren also Null sein muss. Dadurch ergibt sich ein Gleichungssystem, dessen Lösung die gesuchten Parameter sind, welche angeben, welche Punkte durch den Abstandsvektor zu verbinden sind. Schließlich ist die Länge dieses Vektors der Abstand. Alternativ kann die Aufgabe mit Hilfe einer Hilfsebene gelöst werden. Legt man eine Ebene durch eine der Geraden, die Parallel zur zweiten Ebene ist, sind alle Punkte dieser zweiten Geraden gleich weit von der Hilfseben entfernt. Kennen die Schüler die Hesse'sche Normalform für Ebenen, so wissen sie auch, dass sich damit leicht der Abstand zwischen Ebene und einem Punkt ausrechnen lässt. Sie können also eine konkrete Formel angeben, welche den Abstand zwischen der Hilfsebene und einem beliebigen Punkt angibt.
* Diese Berechnungsaufgabe würde viel mehr einem Routine-Problem entsprechen, da die Schüler den erwarteten Lösungsweg bzw. einen "Problem-Löse-Algorithmus" für die Aufgabe kennen. Im Gegensatz dazu verlangt die vorherige Aufgabe neben geeignetem Vorwissen, einigen Transfer und Kreativität ab. Die Schüler kennen für die ursprüngliche Aufgabe keine fertige Methode vom Anfangs in den Zielzustand zu gelangen.

||
* Charakterisierung eines Problems wird diskutiert
* Mögliche Lösungsstrategien werden erörtert
* Unterschiede zwischen Problem und Routine-Problem werden herausgearbeitet



|}

== Literaturhinweise ==

* „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen.]''
* Kapitel 3 „Konstruieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Ladel & Kortenkamp (2016). [https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-32718-1_2 „Artifact-Centric Activity Theory—A Framework for the Analysis of the Design and Use of Virtual Manipulatives“]. In Moyer-Packenham (Hrsg.). [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-32718-1 ''International Perspectives on Teaching and Learning Mathematics with Virtual Manipulatives''].

GeometrieUndUnterrichtSS2019 05

2019-05-30T18:12:29Z

Pquicker: /* Ergebnisse der Nachbereitung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Lesen Sie die Seiten 30-43 in [https://www.ph-ludwigsburg.de/fileadmin/subsites/2e-imix-t-01/user_files/Veranstaltungsmaterialien_offen/Zusatzmaterialien/Skripte_Krauter/FD_Geom_Skript_neu_2008.pdf Krauter (2008). „Beiträge zur Methodik und Didaktik des Geometrieunterrichts in der Sekundarstufe 1 (Klassen 5 bis 10)“.] Wählen Sie einen der genannten Größenbereiche aus: Länge, Flächeninhalt, Rauminhalt, Gewicht, Zeitdauer, Geldwert. Geben Sie für den gewählten Größenbereich wichtige Aktivitätsformen für Schülerinnen und Schüler zu den in Abschnitt 3.8 dargestellten methodischen Stufen an.

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===

{| class="wikitable"

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! Größenbereich !! Stufe 1 (Unmittelbarer Vergleich von Repräsentanten) !! Stufe 2 (Mittelbarer Vergleich mit willk. Maßeinheiten) !! Stufe 3 (Normrepräsentanten) !! Stufe 4 (Einheitensystem) !! Stufe 5 (Rechnen mit Größen)


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Flächeninhalt
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Flächeninhalte verschiedener ausgeschnittener geometrischer Formen durch Übereinanderlegen vergleichen. Aufbau einer Ordnungsrelation durch Gegenüberstellung von flächenmäßig größeren und kleineren Objekten. Augenscheinlich und intuitiv klar.
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Flächeninhalte verschiedener ausgeschnittener geometrischer Formen durch Übereinanderlegen vergleichen und der Größe nach sortieren. Objekte die ineinander liegen stellen eine visuelle Repräsentation der Transitivität dar: "Wenn A in B liegt, und B in C liegt, dann liegt auch A in C."
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Ausmessen von Flächen durch Norm- Quadrate/Rechtecke/Dreiecke. Einheiten wie cm^2, m^2 können durch Normquadrate eingeführt und repräsentiert werden. Mit Hilfe dieser (Flächen-)Einheiten können Flächeninhalte größerer und/oder komplizierterer Flächen gemessen werden. Hier ist noch keine explizite Berechnung nötig, nur das Auslegen und Zählen.
||
Einheiten aus der vorherigen Stufe können dazu genutzt werden Flächen in der realen Welt zu messen. Schnell ergeben sich hier unterschiedliche Größendimensionen/Größenskalen. Dies motiviert die Einführung eines Einheitensystems, das verschiedene Größenordnungen umfasst, und Umrechnung innerhalb dieses Einheitensystems. Der Übergang von cm^2 über dm^2 zu m^2 kann noch mit Hilfe von ausgeschnitteten Schablonen bewältigt werden. Für größere Größenordnungen muss eine abstrakte/verbale Respräsentation aus der realen Welt gewählt werden z.B. Fußballfelder, Acker, Schwimmbecken im lokalen Freibad, ... Aktivität: Schätzung von Flächeninhalten durch Repräsentaten dieser neuen Größenordnungen und Umrechnung/Interpretation in kleinerer/größerer Größenordnung.
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Einführung eines alternativen Einheitensystems. Hier bietet sich ein ausländisches (nicht SI-)Einheitensystem an. Hier kann erneut verdeutlicht werden, wie Flächeninhalte, je nach Wahl der Einheit (Einheitsmeter vs Fuß), variieren können. Schülerinnen und Schüler können Flächeninhalte in verschiedenen Einheiten messen. Durch eine Messreihe können Schüler ein Muster in den Messergebnissen feststellen und sogar einen Umrechnungsfaktor bestimmen.




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Zeitdauer
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Anknüpfen an intuitives Verständnis von Zeitdauer und Zeit (z.B. "etwas dauert lange"); beispielsweise schätzen lassen, wie lange ein gemeinsam abgewartetes Zeitintervall war oder wie viel Zeit die SuS brauchen, um bestimmte Dinge zu tun; Hervorheben der Subjektivität im Kontext von Zeitwahrnehmung
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Zeitdauern und / Zeitintervalle vergleichen; beispielsweise vergleichen, wie lange Schüler x und Schüler y für den Schulweg brauchen, wie viel Zeit man für den Schulweg benötigt, wenn man unterschiedliche Verkehrsmittel verwendet oder wie viel mehr Zeit Sportler x für die Laufstrecke bracht als Sportler y. Hierbei können Zeitangaben in Form von Einheiten (z.B. 10 Minuten für den Schulweg) bereits vorkommen und werden von den SuS vermutlich intuitiv genannt, da sie täglich mit Zeitangaben konfrontiert werden.
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Zeiteinheiten: Sekunden, Minuten und Stunden (s, min, h) als Standardeinheiten einführen. Der Aufbau des Einheitensystems kann hierbei problematisch sein, weil nicht auf das Prinzip bekannter Einheitensysteme (z.B. für Längen) zurückgegriffen werden kann. Der Umgang mit der Tatsache, dass eine Minute nicht aus 100, sondern aus 60 Sekunden besteht, kann zu Verständnisproblemen führen, ließe sich aber beispielsweise anhand einer Uhr als Alltagsgegenstand, welchen die SuS sicher schon kennen, verdeutlichen. Ein geeignetes Messverfahren wäre hierbei v.a. das Stoppen der Zeit mithilfe von Uhren oder Timern auf dem Handy usw. (wobei die Unterscheidung zwischen digitaler und analoger Zeitangabe eine Herausforderung darstellt). Auch die Verwendung eines Metronoms, das Zählen oder das Messen anhand des eigenen Pulses sind hier denkbar.
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Zeiteinheiten: Tag, Monat, Jahr (größerer Zusammenhang), beispielsweise mithilfe des Kalenders und des Aufbaus eines Jahres inklusive ggf. astronomischer Zusammenhänge (z.B. Warum ein Jahr 365 Tage hat, warum es ein Schaltjahr geben muss oder woher die Einteilung des Tags in 24 Stunden kommt.)
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Die Besonderheiten der Einheiten zur Zeitdauer, die unter Stufe 3 bereits angesprochen wurden, müssen hier vertieft werden, um insbesondere das Umrechnen von Zeitangaben und das Addieren und Vervielfachen derselben bewerkstelligen und vertiefen zu können. Denkbar wäre es auch, sich andere Zeiteinheiten zu überlegen als die bereits bekannten, auf dieser Grundlage Zeitangaben miteinander zu vergleichen und ggf. auf ihre Praktikabilität hin zu untersuchen (z.B. Zeiteinteilung des Tages in Schulstunden, sofern diese 45 statt 60 Minuten dauern).



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Längen
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Aufgrund ihrer eigenen Erfahrungen im Alltag besitzen vermutlich die meisten SuS eine gewisse Grundvorstellung von Längen (z.B. Körpergröße). Als einführende Aufgabe könnten die SuS mithilfe von Schnur und Schere die Länge von ausgewählten Gegenständen messen, indem sie die Schnur an die zu messende Strecke anlegen und ein der Länge entsprechendes Stück davon abschneiden. Abschließend können beide „Schnurstücke“, d.h. indirekt die Länge der beiden Gegenstände, vergleichen werden (z.B. „Die Tafel ist länger bzw. breiter als die Schreibtischkante.“)

Ziel: Ordnungsrelation 

I. Vergleich der Körpergröße der Sitznachbarn: größer <-> kleiner via: Zwei stellen sich nebeneinander, ein Dritter überprüft die Größe

Das Ziel hierbei ist, die SuS der Größe nach aufzustellen.

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Die Schülerinnen und Schüler erhalten die Aufgabe, sich ihrer Körpergröße nach geordnet im Klassenzimmer aufzustellen. Um das Verständnis für die Transitivität der Ordnung zu fördern, könnte jedem Schüler/jeder Schülerin (A) die Aufgabe erteilt werden, einen Schüler/eine Schülerin in der aufgestellten Reihe zu bestimmen, die größer (B) bzw. kleiner (C) als er selbst/sie selbst ist. Anschließend kann die Lehrperson hervorheben, dass damit Schüler/Schülerin C ebenfalls kleiner als Schüler/Schülerin B ist. Um diesen Sachverhalt zu verdeutlichen, können Schüler/Schülerin C und B aus der Reihe heraustreten und sich zum Vergleich nebeneinander aufstellen.

Ziel: Transitivität 

Aktivität: 
I. A ist größer als B und B ist größer als C somit auch A größer als C.(siehe Text oben) 
II. Vergleich von Strecken, Schulhof, Zimmerlänge, Tischlänge mithilfe von willkürlichen Maßeinheiten 

Bsp. für willkürliche Maßeinheiten sind:
Stifte , Fußlänge und anhand derer Objekte und deren Länge vergleichen, Anzahl Schritte

Bsp. für Messobjekte hierbei sind : Tafellänge, Tischlänge, Stift, Unterarm, Zimmerlänge, Körpergröße und diese anhand der willkürlichen Maßeinheiten vergleichen und auf Transitivität kommen.

||
Den SuS werden verschiedene Längenrepräsentanten zur Verfügung gestellt, die den Standardeinheiten entsprechen (z.B. Schaschlikspieße der Länge 1dm, Büroklammern der Länge 1cm, …) mithilfe derer sie ihre Körpergröße ermitteln sollen, indem sie sich auf den Fußboden legen und ihre „Länge“ von anderen SuS mit den Repräsentanten „ausgelegt“ wird. Während dieser Aufgabe wird den SuS bewusst, welche „Messgeräte“ sich für die Messung von Körpergrößen eignen und weshalb verschiedene Längeneinheiten sinnvoll sind (z.B. damit man nicht 140 Büroklammern verwenden muss, um die Körpergröße nachzubilden).

Ziel: Standardeinheiten einführen

Aktivität: 
I. Bedürfnis einer Standardeinheit motivieren(Zahlen in cm beispielsweise zu groß für km-Angaben) 
II.Meterstab wird zum Messen als einheitliches Messgerät verwendet, da nicht alle Stifte gleich lang sind bzw. nicht alle Füße gleich groß und nicht jeder dieselbe Anzahl von Schritten bei einer Strecke hat etc. (Standardteinheiten motivieren, siehe Text oben) 

Ab nun werden Messobjekte anhand von Normrepräsentanten gemessen: 
Hierfür Einheitensystem aufbauen durch abmessen der Länge von: Radiergummi, Stifte, Tischlänge, Tafellänge, Körpergröße, Zimmerlänge. Diese Längen mit Meterstab messen und dokumentieren 

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Um den Ausbau des Systems von Standardrepräsentanten zu fördern, erhalten die SuS eine Liste von Längenrepräsentanten (z.B. Gegenstände, bestimmte Wegabschnitte, die Höhe des Schulgebäudes u.Ä.), deren Längen sie zunächst schätzen und anschließend mithilfe von zur Verfügung gestellten Messgeräten abmessen sollen. Der Schätzvorgang dient dabei dem gedanklichen Vergleich mit bekannten Repräsentanten und fördert die Kenntnis weiterer Repräsentanten.

Ziel: Einheitensystem und Standardrepräsentanten 

Aktivität: Ausbau Einheitensystem durch System von Standartrepräsentanten wie beispielsweise: 

1 cm = Büroklammer

10 cm = Stift

100cm =Tafelbreite

1000cm = Zimmerlänge

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Zum Rechnen mit Längen eignen sich Aufgaben, mit denen die SuS auch im Alltag konfrontiert werden könnten. Beispielsweise könnte berechnen werden, wie groß einer der Schüler/eine der Schülerinnen im nächsten Schuljahr sein wird, wenn sie innerhalb des nächsten Jahres 8cm wächst, usw.

Ziel: Rechnen mit den Größen; Umrechnen der Einheiten 

Aktivität: 
Einheiten umrechnen zur besseren Vergleichbarkeit der Längen-Liste in Stufe 4. Diese in passende Standardrepräsentanten für cm, dm, m, km umwandeln und ergänzen: 

1cm = Büroklammer

1dm= Stiftlänge

1m= Tafellänge

10m= Zimmerlänge

100m= Sprintstrecke

1km= ...

10km…...

Rechenaktivitäten: Wie groß ist Klasse zusammen in cm ausgedrückt? Wie groß in km?...




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Längen
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Direkter, unmittelbarer Vergleich von Repräsentanten:

Vergleich von verschieden langen Gegenständen, z.B. Buntstifte. Gleichlang, kürzer, länger.

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Mittelbarer Vergleich:

Buntstifte oder verschieden lange Papier-Streifen der Länge nach ordnen.

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Vergleichen und Messen mit Normrepräsentantnen:

Einführung der Standardeinheiten 1mm, 1cm, 1dm, 1m, 1km. Kann anhand eines Meterstabs/Maßband/Lineal erfolgen. SuS sollen anhand von Stäben oder Schnüren Objekte messen.

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Ausbau des Einheitensystems:

1mm: Dicke eines Geodreiecks

1cm: Breite eines Fingernagels

1dm: Breite von Toilettenpapier

1m: Höhe der grünen Fläche von Schultafeln

1km: Von meinem Haus zum Bäcker.

Sus sollen zu jeder Einheit selbst Repräsentanten finden und notieren

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Rechnen mit Größen des Bereichs: Addieren, Vervielfachen, Umwandeln der verschiedenen Einheiten. Übung zum Berechnen von Längenunterschieden.




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Geldwert
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Geldbeträge dargestellt durch Münzberge bestehend nur aus einer Münzart. Diese nach Wertigkeit sortieren.
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Aufbauend auf die eigenen Erfahrungen vergleichen die SuS nun beliebige Geldwerte. Womit kann ich mehr kaufen? Mit einem 2€ Stück oder mit einem 50ct Stück, etc.
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Alle Euromünzen in 1ct Stücken darstellen. Wie viele 1ct Stücke brauche ich bis die so viel Wert sind wie ein 20ct Stück, etc.
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Mit der Klasse Überlegungen anstellen:

Für 10ct = 0.1€ bekomme ich ein Bonbon.

Für 1€ bekomme ich einen Apfel.

Für 10€ ein T-Shirt,

für 100€ fliege ich nach London, etc.
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Wie viel von XY kann ich mir mit YZ€ kaufen? Einfache Kassnebeispiele berechnen. Rückgeld von Einkäufen ausrechnen, etc.




|}

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://drive.google.com/file/d/1p8b6ZmfaTWUxaTb4j4y1UKLp1j7E744p/view?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 24.05.2019 (Ute Sproesser)]

== Dokumentation der Sitzung ==
Die Sitzung war in drei Punkte gegliedert. Zu Beginn wurden die Ziele im Zusammenhang mit Größen erläutert. Anschließend wurde der Aufbau von Größenvorstellungen und Stützpunktvorstellungen thematisiert. Hierunter war auch die Arbeitsphase der Sitzung zu finden. Abschließend wurde grundsätzliches zu Flächeninhalt und Volumen präsentiert.

=== A. Ziele im Zusammenhang mit Größen ===
==== I. Messen und Größen im Bildungsplan====
Mithilfe eines kurzen Brainstormings sollten die Teilnehmer die Aspekte von „Messen und Größen“ im Bildungsplan erarbeiten. Die hierbei erwähnten Aspekte deckten sich größtenteils mit den Standards im Bildungsplan (siehe Folie 3). Die folgende Tabelle dokumentiert die Ergebnisse im Vergleich zum Bildunsplan.

{| class="wikitable"
|-
! Ergebnisse des Brainstormings !! Aspekte im Bildungsplan
|-
| Rechnen mit Einheiten, Vorstellungen von Größen entwickeln (Realitätsbezug hierbei wichtig), Umgang mit Messgeräten erlernen (Geodreieck Winkelbestimmung, Thermometer, etc.), Grundvorstellungen zu Volumen und Flächen entwickeln, Schätzen,
||
Messvorgänge, Umgang mit Einheiten (Standardeinheiten), spezifische Größen messen (Längen, Volumina, Flächeninhalte, Winkel, etc.), Schätzen und Vergleichen, Umgang mit Figuren und Körpern und Rechnungen in diesem Zusammenhang durchführen
|}

==== II. Ziele der Leitidee Messen und Rechnen ====
'''1.Aufbau von Größenbegriffen'''
Hierbei sind im speziellen die Fragen „Was ist diese Größe. Wie messe ich diese Größe“ von zentraler Bedeutung um den Größenbegriff zu durchdringen.

''Beispiele:''

:* Flächeninhalt= „Was mit der Rasterfolie gemessen wird.“
:* Volumen= „Was mit einem Einheitsmesswürfel gemessen wird.“
:* Länge= „Was mit einem Metermaß gemessen wird.“
:* Gewicht= „ Was mit einer Wage gemessen wird.“

Hierbei können die Größenbegriffe unterschieden werden, da der Zugang zu diesem Größenbegriff über dessen Messgerät erfolgt und diese unterschiedlich sind. Hiermit kann vor allem der Schwierigkeit des Flächeninhaltsbegriffes entgegen gewirkt werden (siehe grundsätzliches zu Flächeninhalt und Volumen).

'''2. Standardrepräsentanten aufbauen für Einheitensystem (Stützpunktvorstellungen)'''

'''3. Umwandlung von Einheiten'''

'''4. Rechnen mit Größen'''

Bemerkung: Bei allen Zielen der Leitidee ist das Schätzen ein hilfreicher Vorgang. Schätzen aktiviert die SuS und bestärkt den Zielaufbau. Allerdings bedarf erfolgreiches Schätzen Stützpunktvorstellungen, welche wiederum ein Ziel der Leitidee sind.

==== III. Abschließende Bemerkung zur Leitidee Messen ====

Die Leitidee Messen steht nicht isoliert im Bildungsplan. Es bestehen Vernetzungen und Verweise zu anderen Leitideen (beispielsweise der Leitidee Funktionaler Zusammenhang, via: Berechnungsformel als Funktion) und zu prozessbezogenen Kompetenzen (beispielsweise zur p. Kompetenz „Modellieren“, hier gilt es um „messen in alltäglichen Kontexten“. Hierzu wurden die Beispiele Tapezieren, Küche erneuen oder Garten ausmessen präsentiert)

=== B. Aufbau von Größenvorstellungen ===

Zu Beginn dieses Gliederungspunktes stand eine kurze Arbeitsphase.

''Arbeitsauftrag:''

SuS spielen auf einer Wiese Fußball. Sie möchten ein Fußballtor mithilfe von Steinen begrenzen. Beide Tore sollen gleich lang sein. Wie geht das?

''Ergebnisse:'' 

:*''Richtiges Tor (mit Latte und somit Höhe):'' Messen mit Körpergröße; einen Pfosten als Normlänge festlegen und andere Längen in diesem Verhältnis ausmessen.

:*''Nur Torbegrenzung (Steine als Begrenzung, keine Pfosten oder Latte)'': Tor mit Füßen ablaufen und somit Fußlänge als Normlänge festlegen; Seil, Stock, Metermaß als alternative Normlängen nehmen zum abmessen.

==== I. Methodische Stufenfolge ====
In dieser Inputphase wurde das Stufenmodell zur Größenerarbeitung vorgestellt (siehe Folie 8ff.). Ergänzend siehe Vorbereitungsauftrag. Zusammenfassend gilt:

'''1.Stufe: Direkter, unmittelbarer Vergleich von Repräsentanten
'''
*Ziel: Ordnungsrelation Aufbauen
*Ideen: nebeneinanderstehen (Länge), übereinanderliegen (Flächeninhalt), ineinander (Volumen)

'''2.Stufen: Mittelbarer Vergleich mit selbst gewählten Einheiten (willkürlichen Maßeinheiten)'''

*Ziel: Transitivität aufzeigen
*Ideen: Siehe Beispiel mit dem Tor: Hierbei mit Körper, Seil, Füße, Stock als willkürliche Maßeinheiten die Längen der Tore vergleichen.

'''3. Stufe: Vergleich mithilfe von Standardrepräsentanten'''

*Ziel: Einführung von Standardeinheiten und Anfang eines Einheitensystems
*Idee: Standardisierte Messverfahren verwenden, z.B. Tore mit Metermaß abmessen und vergleichen.

'''4.Stufen: Ausbau des Einheitensystems und Größenvorstellungen aufbauen'''

*Ziel: Stützpunktvorstellungen als Standardrepräsentanten für bestimmte Größen aufbauen
*Idee: Gemeinsam System von Stützpunktvorstellungen erarbeiten (siehe Arbeitsauftrag 2).

'''5.Stufe: Rechnen und Umwandeln der Einheiten aus dem Einheitensystem'''

==== II. Ergebnisse der Diskussion dieses Stufenmodells ====
:* Kernidee der Stufen 2 und 3 ist die folgende Abfolge:
::Maßeinheit finden-> auslegen, zählen, messen-> Einheiten verfeinern->Standardeinheiten erlangen

:* ''Geldwert im Modell:'' Zu diesem Punkt entstand eine Diskussion, inwieweit das Modell und die Größe Geldwert kompatibel sind. Als Ergebnis dieser Diskussion wurde festgestellt, dass das Modell eher nicht geeignet ist um hiermit Geld als Größe zu thematisieren. Es wurde erarbeitet, dass der Geldwert als markwirtschaftliche, monetäre Zuschreibung eines Geldwertes zu einem Objekt (der Preis des Objektes) ein sehr abstrakter Größenbereich ist und das Stufenmodell eben nicht für diesen Bereich gilt. Anderseits kam die Idee auf, dass unter Geldwert auch subjektive Wertzuschreibungen zu einem Objekt gemeint sein können. Die Größenvorstellungen einer subjektiven Wertzuschreibung können beispielsweise durch Tauschgeschäfte und Tauschspiele gestärkt und aufgebaut werden. Als Beispiel um solche subjektiven Wertvorstellungen aufzubauen wurde der Tausch „Pulli vs. Laptop“ genannt. Statt die abstrakte Größe Preis zu betrachten und die Zahlen der Preisangabe zu vergleichen wird bei einem Tauschgeschäft die individuelle Wertzuschreibung betrachtet. Die SuS fragen sich selbst, ob sie einen Pulli gegen einen Laptop tauschen würden und entwickeln somit eigene Größenvorstellungen von ihrem subjektiven Geldwert statt Preise und deren Zahlenwerte zu vergleichen.

:* Die Teilnehmer lernten bei der Diskussion über das Modell, dass das Rechnen mit Größen und das Umwandeln von Einheiten nicht am Anfang der Betrachtung, sondern am Ende der Beschäftigung mit Größen stehen sollte. Ebenso wurde die Erkenntnis geschärft, dass das Schätzen und Messen als Tätigkeiten im Unterricht nicht zu kurz kommen sollten. Zusammen mit dem Aufbau von Stützpunktvorstellungen stellen sie die wichtigsten Aspekte bei der Beschäftigung mit Größen dar. Rechnen und Umwandeln wird nur als Zusatz gesehen in diesem Modell.

==== III. Arbeitsauftrag 1 ====

''Auftrag:''
''
:Welche Einheiten würden Sie zum messen wählen?''

Hierbei wurden die Teilnehmer der Reihe nach gefragt.

''Ergebnisse:''

{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
|-
! Objekt!! Einheit
|-
| Wasser in Badewanne|| Liter
|-
| Wasser in Getränk|| ml
|-
| Geschwindigkeit Auto|| km/h
|-
| Geschwindigkeit Fußgänger|| km/h oder m/s
|-
| Tischfläche || m²
|-
| Fläche Sportstadion|| ha
|-
| Gewicht Brot|| g
|-
| Gewicht Auto|| kg
|}
|}

Bei der Geschwindigkeit des Fußgängers gab es eine Diskussion, ob es besser ist in km/h oder m/s zu messen. Es wurde festgestellt, dass km/h besser geeignet ist um Vergleiche herzustellen (z.B. Vergleiche Auto, Zug, Tiere) und im Alltag gebräuchlicher ist während m/s besser geeignet ist um ein Gefühl für die Geschwindigkeit aufzubauen. Außerdem kommt es auf die Situation an. Beispielweise würde ein Jogger bei einem 60min-Lauf seine Geschwindigkeit eher in km/h statt in m/s angeben.

===== Fazit zu Arbeitsauftrag 1 =====
Es ist wichtig Stützpunktvorstellungen aufzubauen. Diese dienen als Standardrepräsentanten für bestimmte Einheiten und erlauben eine Vorstellung von einer Größe in dieser Einheit (Bsp: 1kg ist das Gewicht von einer Packung Zucker). Zusätzlich sind Stützpunktvorstellungen auch Voraussetzung für das erfolgreiche Schätzen und die geeignete Wahl von Messeinheiten bei Messvorgängen.

==== IV. Arbeitsauftrag 2: Einheitensystem ====
In dieser Phase erarbeiteten sich die Teilnehmer in zwei Gruppen ein Einheitensystem zu den Größen Länge, Flächeninhalt und Volumen. Der Arbeitsauftrag lautete:
„Überlegen Sie sich geeignete Stützpunktvorstellungen in Sek I."

'''''Ergebnisse:'''''

{| class="wikitable"
|-
! Länge!! km!! m!! dm!! cm!! mm
|-
| '''Stützpunktvorstellung'''|| 2.5 mal eine Runde auf dem Sportplatz|| Schritt|| Handlänge|| Fingernagelbreite|| Dicke Geodreieck
|-
|}

{| class="wikitable"
|-
! Flächeninhalt!! ha!! 10a!! 1a !! 10m²!! 1m²!! 10dm²!! 1dm²!! 10cm²!! 1cm²
|-
| '''Stützpunktvorstellung'''|| Sportplatz|| Bauplatz|| Wohung|| Kleines Zimmer|| Tafelseite|| DIN A3|| Ritter Sport Tafel|| Motivbriefmarken|| Würfeleite Spielwürfel
|}

{| class="wikitable"
|-
! Volumen!! 100m³!! 1m³!! 100dm³= 100l!! 10dm³= 10l!! 1dm³= 1l!! 100cm³!! 10cm³!! 1cm³= 1ml
|-
| '''Stützpunktvorstellung'''|| Schwimmbecken|| großer Müllcontainer|| Badewanne|| 10l Putzeimer|| Milchpackung|| kleines Glas|| Duplostein (3er)|| Spielwürfel
|}

===== Fazit von Arbeitsauftrag 2 =====

Es wurden in dieser Phase geeignete Stützpunktvorstellungen für die Sek. I erarbeitet. Hierbei ist es den Teilnehmern selbst schwer gefallen für bestimmte Einheiten (z.B. 10a, 1 km) geeignete Stützpunktvorstellungen zu finden. Im Idealfall wäre für eine Einheit unmittelbar ein passender Repräsentant aus der Realität als Stützpunktvorstellung im Kopf. Dies verdeutlicht die Notwendigkeit Stützpunktvorstellungen bei SuS aufzubauen und nicht den Fokus auf Rechnen und Umwandeln zu legen. Die unterrichtspraktische Erkenntnis lautete somit: Stützpunktvorstellungen im Unterricht aufbauen, um das Schätzen zu verbessen.

Es gilt:
:::„Stützpunktvorstellungen sollen ebenso zum Schätzen verfügbar sein wie Grundrechenarten zum Rechnen“

=== C. Grundsätzliches zu Flächeninhalt und Volumen ===

In der letzten Inputphase wurde in knapper Form die wichtigsten Fehler und Vorstellungen zum Thema Flächeninhalt und Volumen präsentiert (siehe Folien 13ff.). Die wichtigsten ''Erkenntnisse'' werden hier vorgestellt:

:* Verwechslung von Länge, Umfang, Flächeninhalt, Volumen sind oftmals Ursache für falschen Umgang mit Größen.
:* Dem Begriff Flächeninhalt liegen 4 Schwierigkeiten zugrunde:
::#Keine Vorerfahrungen mit Flächeninhalt aus dem Alltag
::#Flächeninhalte werde selten gemessen, meistens berechnet
::#Fehlende visuelle Präsentation der Fläche als Träger der Eigenschaft Flächeninhalt (bei Skizzen wird die Fläche selten schraffiert, obwohl sie ja existent ist)
::#Fehlende Sprachliche Unterscheidung zwischen Fläche und Flächeninhalt:
:::„ Wie groß ist die Fläche des Rechteckes“ muss heißen „Wie groß ist der Flächeninhalt der Rechtecksfläche“.
:* Unterrichtspraktischer Tipp: Stützpunktvorstellungen über praktische, experimentelle Zugänge aufbauen. Beispielweise durch auslegen, ablaufen, umfüllen, wiegen…
:* Keine formal mathematische Begriffsfestlegung sondern der Aufbau von Stützpunktvorstellungen steht zu Beginn im Zentrum (vgl. Ziele der Leitidee Messen und Rechnen, Aufbau von Größenbegriffen)
:* Keine formalen Umrechnungszahlen nutzen (da diese verwirrend sind).
:* Flächeninhalt eines Rechtecks und dessen Einheit über „Länge x Breite x Einheitsquadrate“ einführen. Die bedeutet: dm² über „1dm² = 1dm x 1dm = 10cm x 10cm = 100 cm²“ einführen und nicht als Ergebnis von Umrechnungszahlen.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Kapitel 7 „Flächeninhalt und Volumen“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Kapitel 3 „Größen im Mathematikunterricht“ in [https://www.ph-ludwigsburg.de/fileadmin/subsites/2e-imix-t-01/user_files/Veranstaltungsmaterialien_offen/Zusatzmaterialien/Skripte_Krauter/FD_Geom_Skript_neu_2008.pdf Krauter (2008). „Beiträge zur Methodik und Didaktik des Geometrieunterrichts in der Sekundarstufe 1 (Klassen 5 bis 10)“.]
* Kapitel 5 „Flächeninhalte in den Klassen 5 bis 10“ in [https://www.ph-ludwigsburg.de/fileadmin/subsites/2e-imix-t-01/user_files/Veranstaltungsmaterialien_offen/Zusatzmaterialien/Skripte_Krauter/FD_Geom_Skript_neu_2008.pdf Krauter (2008). „Beiträge zur Methodik und Didaktik des Geometrieunterrichts in der Sekundarstufe 1 (Klassen 5 bis 10)“.]
* Abschnitt [http://www.dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/cavalieri_dehn_pyramidenvolumen.pdf „Prinzip von Cavalieri, Satz von Dehn und Pyramidenvolumen“] aus dem Skript zur [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte „Didaktik der Mathematik in der Sek. I“], Kapitel „Didaktik der Geometrie“, von Prof. Dr. Jürgen Roth (Universität Koblenz Landau).
* [http://www.urn.fi/urn:nbn:de:hebis:34-2017110153692 Hoffmann (2018). „Konzeption von fachmathematischen Schnittstellenmodulen für Lehramtsstudierende am Beispiel ausgewählter Themen der höheren Analysis“]. In ''khdm-Report'' (Masterarbeit).

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

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|
Häufig bereitet der Flächeninhaltsbegriff im Vergleich zu anderen, in der Schule behandelten Größenbegriffen die größten Schwierigkeiten für SuS.

Nennen und erläutern Sie kurz drei mögliche Ursachen für diese Schwierigkeiten.

Mit welchen Maßnahmen könnten Sie diesen als Lehrperson zukünftig entgegenwirken?
||
Ursache 1: Fehlende Messprozesse

Flächeninhalte werden von SuS nur selten oder nie selbst gemessen. In den meisten Fällen kennen sie nicht einmal ein geeignetes Messgerät für das Bestimmen von Flächeninhalten. Im Unterricht werden Flächeninhalte meist lediglich berechnet. Für die Berechnungen sind nur Längenangaben zu den Seiten einer Figur nötig. Entsprechend verwechseln SuS den Flächeninhalt nicht selten mit dem Umfang einer Figur, da ihnen der Unterschied zwischen Längen- und Flächenmaß nicht bewusst ist.

Ursache 2: Mangelnde Erfahrungen im Alltag

Nur die wenigsten SuS können in ihrem Alltag bereits Vorerfahrungen zu Flächeninhalten sammeln. Grund dafür ist, dass der Umgang mit Flächeninhalten im alltäglichen Leben - im Gegensatz zum Umgang mit Rauminhalten oder Gewichten - nur selten erforderlich ist.

Ursache 3: Linien- statt Flächenfiguren

Der Unterschied zwischen Längen- und Flächenmaß wird außerdem dadurch „verwischt“, dass Figuren in Schulbüchern oftmals als Linien- und nicht als Flächenfiguren dargestellt werden. Dreiecke, Rechtecke und Kreise werden häufig nur durch ihre Umrisslinien präsentiert, weshalb SuS nur unzureichend wahrnehmen, dass die Figuren auch eine gewisse Fläche besitzen.

Um den Schwierigkeiten beim Umgang mit Flächeninhalten entgegenzuwirken, sind die folgenden Maßnahmen empfehlenswert:

1. SuS entwickeln ein Verständnis für den Flächeninhalt als Größe, die von Längen zu unterscheiden ist, indem sie Flächeninhalte verstärkt durch Verwendung von geeigneten Flächenmessgeräten (z.B. Rasterfolien) selbst direkt ausmessen.

2. Gemeinsam wird ein System von Standardrepräsentanten für Flächeninhalte aufgebaut. Die dazugehörigen Vorstellungen können durch Schätzaufgaben tiefer im Gedächtnis der SuS verankert werden.

3. Ebene Figuren werden nicht als Linien- sondern als Flächenfiguren dargestellt.
||
Die Aufgabe eignet sich dazu, den Prozess des Aufbaus von Größenvorstellungen und mögliche, dabei auftretende Schwierigkeiten aus Schülersicht zu reflektieren.


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Welche Aufgaben / Aktivitätsformen können zur Unterscheidung von nahen Größenpaaren, wie z.B. Gewicht & Volumen, Umfang & Flächeninhalt, Oberfläche & Rauminhalt, im Unterricht eingesetzt werden? Entscheiden Sie sich für ein Größenpaar und geben Sie eine konkrete geeignete Aufgabe für die SuS an, um den Unterschied der beiden verschiedenen Größen herauszuarbeiten und erläutern Sie, weshalb Sie sich für diese Aktivität entschieden haben. Nennen Sie ebenfalls Gründe, warum es für SuS schwer ist, diese beiden Größen zu unterscheiden.
||

Zum Beispiel Umfang & Flächeninhalt:

Jede/r SuS bekommt ein Kärtchen mit Beispielen für Umfang & Flächeninhalt (z.B. Zaun, Rasen, ). In einer Ecke des Klassenzimmers steht ist ein Plakat mit der Überschrift '''Umfang''', in der anderen Ecke eines mit der Überschrift '''Flächeninhalt'''. Die SuS sollen zur passenden Ecke gehen und gemeinsam vergleichen, ob sie richtig stehen. Wenn sich alle in der richtigen Ecke eingefunden haben, werden die Kärtchen auf das jeweilige Plakat geklebt und im Klassenzimmer aufgehängt. Zusätzlich könnte man die Begriffe noch nach Größen ordnen lassen, um eine bessere Größenvorstellungen zu bekommen.

Durch diese Aufgabe, werden die SuS nicht nur kognitiv, sondern auch körperlich aktiviert. Die SuS müssen kommunizieren und gemeinsam zu einer Lösung kommen.
Ein Grund für die Schwierigkeit der Unterscheidung von Flächeninhalt und Umfang ist zum einen, dass der Flächeninhalt fast nie gemessen, sondern meistens berechnet wird. Außerdem wird der Flächeninhalt oft einfach als Linienfigur graphisch dargestellt, was zur Verwechslung mit dem Umfang führen kann.

||
Durch diese Aufgabe wird das Thema der Größen inklusive der Repräsentanten und Einheiten aufgegriffen. Außerdem wird durch die Überlegung einer konkreten Aktivität für die SuS ein direkter Bezug zur Unterrichtspraxis hergestellt und es wird sich in ein Unterrichtsgeschehen versetzt. Problematiken im Umgang mit der Unterscheidung von Größen werden herausgearbeitet um diesen entgegenzuwirken.
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Führen Sie sich den Größenbereich der "Zeitdauer" vor Augen und wenden diesen auf die Grundprinzipien des Messens an. Welche Möglichkeiten für unterrichtliche Umsetzungen bieten sich? Welche Bereiche bereiten Schwierigkeiten und wie könnte man diesen entgegenwirken? Welche Besonderheiten charakterisieren den Größenbereich der "Zeitdauer" im Vergleich zu anderen Ihnen bekannten Größenbereichen?
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Vergleichsaspekt:
* Die SuS bauen auf intuitiven Verständnissen und Wahrnehmungen von Zeitdauer auf, welche zudem situationsabhängig sind (ob eine Unterrichtsstunde von 45 Minuten als "lang" empfunden wird, hängt beispielsweise vom Thema und der Unterrichtsgestaltung, aber auch von Aufmerksamkeitsspanne und Interesse der SuS ab). Dies ist definitiv eine Schwierigkeit im Umgang mit dem Größenbereich "Zeitdauer".
* Der Vergleich von Zeitangaben wie "3 h", "1 Tag", "30 Sekunden" funktioniert entweder intuitiv oder anhand des Einheitensystems. Dieser Aspekt lässt sich sehr gut auf die Zeitdauer anwenden.
* Schwierigkeit hierbei kann es jedoch sein, dass das aus anderen Größenbereichen bekannte Einheitensystemen nicht auf die Zeitdauer angewedet werden kann. Statt 100 Sekunden enthält eine Minute lediglich 60 Sekunden. Durch diese Schwierigkeit wird auch das Umrechnen im Einheitensystem der Zeitdauer zu einer größeren Herausforderung und ebenso der Vergleich von Größen. Dem entgegenwirken ließe sich beispielsweise über einen sehr grundlegenden Ansatz, der die analoge Uhr (nicht die weit verbreitete Digitalanzeige) als Ausgangspunkt nimmt und daher begründet, warum eine Minute 60 Sekunden hat usw.

Messen-durch-Auslegen-und-Zählen-Aspekt:
* Für grundlegende Herangehensweisen ließe sich ggf. ebenso mit dem Ziffernblatt arbeiten (beispielsweise indem man es vierteilt und auf diese Art und Weise die Sprechweise "Viertel vor / Viertel nach" begründet bzw. nachvollziehbar macht).
* Ansonsten bietet dieser Aspekt des Messens im Kontext von "Zeitdauer" einige Schwierigkeiten. Er lässt sich beispielsweise nicht so anschaulich darstellen wie das Auslegen eines Rechtecks mit Einheitsquadraten.

Messgerät-Aspekt:
* Hier fällt es wieder leichter, konkrete Bezüge herzustellen: Der Umgang mit Zeitangaben und "Zeitdauer" ist im Unterricht in der Regel mit Messgeräten verbunden. Insbesondere Uhren (digital / analog) und / oder Stoppuhren dürften immer wieder Einsatz finden, wenn es um das Messen von "Zeitdauer" geht.
* Auch hier existiert jedoch eine Schwierigkeit: Die Zeitangaben eines Ziffernblatts mit denen einer Digitalanzeige in Beziehung zu setzen, mag den SuS schwerfallen, bietet aber zugleich die Möglichkeit, den Größenbereich "Zeitdauer" wirklich gut zu durchdenken und zu verstehen.

Messen-als-Berechnen-Aspekt:
* Der richtige Umgang mit dem Einheitensystem spielt hierbei eine große Rolle. Ist den SuS dieses bekannt, so sind sie dazu in der Lage, gemessene Zeitdauern umzurechnen.
* Schwierigkeiten des Einheitensystems wurden weiter oben und im Vorbereitungsauftrag bereits thematisiert.

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Diese Aufgabe vertieft zum einen das Verständnis der Grundprinzipien des Messens und fordert zum anderen dazu auf, diese an einem konkreten Größenbereich durchzuspielen. Dadurch kann zusätzlich auch das Verständnis für den Größenbereich "Zeitdauer" verstärkt werden. Insbesondere die speziellen Herausforderungen und Anforderungen dieses Größenbereichs werden vor Augen geführt und die Aufgabe fordert dazu auf, sich in die SuS und ihren aktuellen Wissens- und Kenntnisstand hineinzuversetzen.



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Hannah steht vor der folgenden Aufgabe: "Die Fläche der Bundesrepublik Deutschland beträgt etwa 357.386 km². Wie viele Quadratmeter sind das?" Im Mathematikunterricht hat sie bereits gelernt, dass der Buchstabe "k" in der Einheitsangabe für "kilo" steht, was so viel wie "tausend" bedeutet. Sie sagt: "Ein Kilogramm, das sind eintausend Gramm. Genauso funktioniert das mit Längen. Ein Kilometer, das sind eintausend Meter. Es reicht also mit 1000 zu multiplizieren." Sie schlussfolgert: "Die Fläche unserer Bundesrepublik in Quadratmetern beträgt 357.386.000."

*Welchen Fehler hat Hannah gemacht?
*Warum könnte diese Fehlvorstellung entstanden sein?
*Welche Ansätze für den Unterricht fallen Ihnen ein, um solche Fehlschlüsse zu vermeiden?

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*Hannah nutzte eine simple Analogie um einen scheinbar logischen Schluss zu ziehen. Sie fällt der Sprache der Mathematik zum Opfer, aus der nicht direkt deutlich wird, das Flächen und damit auch ihre Einheiten quadratisch wachsen. Die Fläche der Bundesrepublik beträgt demnach 357.386.000.000m². Man multipliziert die Größe also doch mit dem Faktor eintausend, jedoch tut man dies einmal pro Raumdimension der Größe.
*Hannah hat leider nicht verstanden/nicht gelernt, dass Flächeninhalte quadratisch wachsen und sich ihre Einheiten ebenso verhalten. Sie zieht direkte Schlüsse aus den linearen Größen wie Längen und Gewicht und überträgt diese analog auf den Flächeninhalt.
*Zu allererst ist es wichtig diesen Sachverhalt direkt im Unterricht zu thematisieren. Das Umrechnen von Flächeneinheiten muss ebenso geübt werden, wie das Umrechnen von Längeneinheiten geübt wurde. Dabei können Grundvorstellungen geschaffen und Eselsbrücken gefunden werden, wie beispielsweise der Bezug zur Dimension. Die Fläche verändert sich in zwei Richtungen, demnach muss die bekannte Längenumrechnung in beide Richtungen berücksichtigt werden. Diese Tatsache kann auch konkret erfahrbar gemacht werden, indem man im Unterricht konkrete Flächen mit unterschiedlichen Einheiten ausmisst. Hier wird der Vergleich/der Umrechnung von Einheiten direkt sichtbar. Weiterhin hilft es, eine Vorstellung für Größenordnungen zu besitzen. Dies ist vorallem bei der Umrechnung von kleineren Einheiten wie mm², cm², dm² oder m² hilfreich, denn mögliche Rechenfehler können durch einen schnellen Sanity-Check schnell entlarvt werden, beispielsweise durch einen Vergleich mit der Fläche eines realen Gegenstands aus der Alltagswelt (zB Zimmer, Fingernagel, Stecknadelkopf etc.). Schwieriger wird diese Methode bei Größenordnungen, die nicht im Alltag auftreten oder schwer zu begreifen sind, wie beispielsweise der Fläche von Ländern.

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Das gestellte Problem stellt eine realistische Situation im Alltag eines Didaktikers dar und thematisiert mögliche Schwierigkeiten im Bezug auf das Messen und Vorstellungen die damit verbunden sind.



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== Literaturhinweise ==

GeometrieUndUnterrichtSS2019 06

2019-05-30T17:12:45Z

Pquicker: /* Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags */

== Vorbereitungsauftrag ==

Die Klasse 6a hat gerade gelernt, mit Schnur oder Zirkel Kreise zu zeichnen und weiß, dass „ein Kreis mit
Radius 3cm“ aus allen Punkten besteht, die vom Mittelpunkt M genau 3cm entfernt sind. Nun sollen
die Kinder einen Punkt finden („konstruieren“), der von A(1;3) genau 7cm und von B(4;1) genau
5cm entfernt ist.

Eine Schüler*in kommt ans Pult. Mit spitzem Bleistift gezeichnet, bietet sie Ihnen voller Stolz in
ihrem Heft einen solchen Punkte C an. Sie messen nach, es stimmt. Haargenau! Nur leider sind im
Heft der Schüler*in weder Zirkelspuren zu finden noch ein Einstich einer Zirkelspitze.

(adaptiert aus Riemer (2014). „Erziehen im Mathematikunterricht.“ In: Kaenders & Schmidt (Hrsg.) ''[https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Mit GeoGebra mehr Mathematikverstehen.]'')

=== Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags ===

Schreiben Sie auf, wie Sie in dieser Situation reagieren würden.

==== Reaktion von Wibke ====
Ich würde den Schüler zuerst loben, dass er die Aufgabe richtig gelöst hat und dabei fragen, wie er auf seine Lösung gekommen ist. Abhängig davon, ob seine Methode in all solchen Aufgaben, die mit Zirkel und Lineal gelöst werden sollen immer funktioniert oder nicht, würde ich ihn motivieren auch den Weg mit Zirkel und Lineal auszuprobieren. Alternativ könnte man den Schüler auch bitten seinen Lösungsweg vor der Klasse vorzustellen und im gleichen Zuge auch einen anderen Schüler bitten, die „herkömmliche“ Methode vorzustellen, damit im Klassengespräch erörtert werden kann, welche Vor- und Nachteile es bei der jeweiligen Methode gibt.

==== Reaktion von Ilona ====
In erster Linie würde mich interessieren, wie der Schüler auf die Lösung gekommen ist, da mir intuitiv "nur" die klassische Lösung mit dem Zirkel einfällt. Es wäre möglich, dass der Schüler mehrere Punkte ausprobiert hat, was grundsätzlich auch eine gute Herangehensweise ist, welche ich durchaus unterstützen würde, da sie zeigt, dass der Schüler sich Gedanken über die Aufgabe gemacht und das Prinzip verstanden hat (auch wenn er es nicht in Verbindung mit dem bereits Gelernten bringen konnte). Meiner Meinung nach ist Ausprobieren grundsätzlich eine legtitime Herangehensweise, die jedoch mit zunehmendem thematischem Verständnis obsolet gemacht werden kann. Evtl. könnte man die Klasse vor die Herausforderung einer weiteren Aufgabe stellen, die durch Ausprobieren weniger gut lösbar ist, um zu motivieren, warum uns der Lösungsweg des Schülers nicht ausreicht.
Auf jeden Fall würde ich die Richtigkeit der Lösung herausstellen und dann auf den Lösungsweg mit Zirkel hinarbeiten. Möglicherweise ließe sich hier der Lösungsweg eines anderen Schülers vergleichend vorstellen und man könnte entsprechende Vor- und Nachteile erörtern. Die Lösung mit Hilfe des Zirkels wäre dann sozusagen die Verbesserung des Ansatzes des Schülers und zugleich die Verknüpfung mit bereits Gelerntem.

==== Reaktion von Marc ====
Ich würde den Schüler zuerst loben und interessiert nach dem Lösungsweg fragen. Hierdurch erfährt die Klasse einen (möglicherweise) alternativen Lösungsweg für das vorgestellte Problem. Im Plenum können mögliche Vor- und Nachteile erörtert werden (Geht es immer? Welcher Ansatz ist schneller, einfacher zu handhaben? …) . Anschließend würde ich den Schüler frage, ob er auch mit dem Ansatz mit Zirkel und Lineal zu einer Lösung gekommen wäre und hierdurch beide Ansätze verstanden hat. Einen alternativen Lösungsweg für eine Aufgabe zu haben, welche zum richtigen Ergebnis führt, ist nicht negativ. Ich persönlich finde es hierbei wichtig auch über den Vergleich der Ansätze zu sprechen und zu vergleichen. Für das Ziel einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal müsste die Aufgabe enger gestellt werden.

==== Reaktion von Katharina ====
Ebenso wie meine Vorgänger würde auch ich den Schüler zunächst für das richtige Ergebnis loben. Anschließend würde ich ihm erklären, dass es beim Lösen von mathematischen Problemen nicht nur um das Ergebnis, sondern auch um den Lösungsweg geht. Da aus seiner Aufgabenbearbeitung nicht hervor geht, auf welche Art und Weise er zum Ergebnis gekommen ist, wäre es entsprechend schwer, seine Lösungsidee auf ähnlich gestellte Aufgaben anzuwenden. Ich würde den Schüler deshalb in etwa mit den folgenden Worten zu einer erneuten Bearbeitung der Aufgabenstellung ermutigen: „Jetzt versuch einmal die Aufgabe mit einem Lösungsweg so zu bearbeiten, dass alle deine Mitschüler/innen diesen nachvollziehen und genauso gut wie du anwenden können.“

==== Reaktion von Hajime ====
Ich würde zuerst den Schüler darum bitten, es uns zu erklären, wie er diesen Kreis gezeichnet hat.
Dann würde ich andere Schüler*innen fragen, ob sie andere Lösung gefunden haben und wie er/sie auf die Lösung gekommen ist.
Danach würden wir jede Lösung vergleichen, was die Vorteile und Nachteile vom jedem sind, indem wir die Bedingug z.B den Radius ändern.

==== Reaktion von Patrick ====
Ein richtiges Ergebnis verdient an erster Stelle ein Lob. Es soll schließlich nicht der Eindruck entstehen, das Ergebnis falsch. Um weiterhin zu erfahren, welchen Lösungsweg der Schüler gewählt hat, frage ich den Schüler nach seinem Vorgehen. Ausgenommen von dem Fall, dass es sich bei dem Schüler um Gauß persönlich handelt, der einen genialen alternativen Weg vorschlägt, ist es wahrscheinlich, dass der Schüler durch glückliches ausprobieren oder eine mentale Abschätzung im Kopf den gesuchten Punkt gefunden hat. Auf die Erklärung "Ich habs einfach ausprobiert", würde ich fragen, ob der Schüler einen konkreteren Weg kennt, welchen er mit garantiertem Erfolg in einer Klassenarbeit anwenden könnte. Im Falle, dass der Schüler sein Ergebnis mit "Ich habs mir vorgestellt" antwortet, wird deutlich, dass der Schüler ein geeignetes Modell im Kopf hat, sich jedoch nicht die Mühe gemacht hat dieses aufzuzeichnen. Um dieses Modell zu festigen und zu validieren würde ich den Schüler auffordern seine Vorstellung zu Papier zu bringen. Hierüber ließe sich das erwartete Verfahren herleiten/motivieren. In beiden Fällen könnte man alternativ zu den genannten Reaktionen fragen, ob es sich bei der gefundenen Lösung um die einzige Lösung handelt und wie man dies herausfinden könnte. Hier würde offensichtlich die Schwäche des "Ich habs ausprobiert"-Verfahrens entlarvt werden. Andererseits könnte dies auch mögliche Fehlvorstellungen oder die Unzuverlässigkeit von rein mentalen Modellen deutlich machen. Im Gegensatz zu diesen Vorgehensweisen bietet die Zirkelmethode eine direkte Antwort auf die Frage. Eine Frage nach der Eindeutigkeit der Lösung bietet darüber hinaus weiteren Diskussionsstoff zum gegebenen Problem.

== Literaturhinweise ==

* Kaenders & Schmidt (2014). [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 „Mit GeoGebra mehr Mathematikverstehen“]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 05

2019-05-22T11:24:44Z

Pquicker: /* Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags */

GeometrieUndUnterrichtSS2019 04

2019-05-22T10:39:27Z

Pquicker: /* Abgabe von pq */

== Vorbereitungsauftrag ==

=== Vom Volumen zum Flächeninhalt ===

Denken Sie sich einen mit rechtiger Innenquerschnittsfläche (Würfel, Milchkarton,…). Gesucht ist der Flächeninhalt der Innenquerschnittsfläche (Grundfläche). Zur Verfügung stehen Ihnen Wasser, eine
Waage und ein Maßband.
# Wie würden Sie mit Hilfe der gegebenen Hilfsmittel den gesuchten Flächeninhalt bestimmen?
# Übertragen Sie ihr vorgehen auf Körper mit zylinder-förmiger Innenquerschnittsfläche (Tasse, Regentonne, Mülleimer,…) und auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Zylinder_(Geometrie)#Allgemeiner_Zylinder allgemeine Zylinder].
# In dieser Aufgabe wurde das Problem der ''Flächenmessung'' auf das Problem der ''Volumenmessung'' zurückgeführt. Aus sicht der gewöhnlichen Sequenzierung der mathematischen Inhalte in der Sekundarstufe erscheint dieses Vorgehen zunächst fragwürdig. Erläutern Sie, warum das Problem der Volumenmessung ''im Alltag'' tatsächlich das einfacherere Problem ist.

=== Vom Flächeninhalt zum Volumen ===

Lesen Sie den Abschnitt [http://www.dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/cavalieri_dehn_pyramidenvolumen.pdf „Prinzip von Cavalieri, Satz von Dehn und Pyramidenvolumen“] aus dem Skript zur [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte „Didaktik der Mathematik in der Sek. I“], Kapitel „Didaktik der Geometrie“, von Prof. Dr. Jürgen Roth (Universität Koblenz Landau).

# Vollziehen Sie die Argumente und Beweise der Argumentationslinie ''Nachweis der Gültigkeit der Volumenformel mit dem Satz von Cavalieri'' nach.
# Vollziehen Sie die Argumente und Beweise der Argumentationslinie ''Nachweis der Gültigkeit der Volumenformel mit Stufenkörpern'' nach.
# Für welchen Unterrichtsgang würden Sie sich in Ihrem Unterricht entscheiden? Warum?

== Vorbereitungsauftrag (Zusatz) ==

Der ''Satz von Fubini'' ist ein Satz über die Möglichkeit der Berechnung von Doppelintegralen durch iterative Integration:

:<math>
\int_X\left(\int_Y f(x,y)\,\text{d}y\right)\,\text{d}x=\int_Y\left(\int_X f(x,y)\,\text{d}x\right)\,\text{d}y=\int_{X\times Y} f(x,y)\,\text{d}(x,y)
</math>

Bearbeiten Sie die folgenden Aufträge.
# Wiederholen Sie den ''Satz von Fubini'' aus Ihrer entsprechenden Mathematik-Vorlesung (vermutlich Analysis, Maßtheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Funkionalanalysis o.Ä.).
# Formulieren Sie den ''Satz von Fubini'' für folgenden Spezialfall: Es sei <math>X \subseteq \mathbb{R}^{n}</math> ein abgeschlossener Quader, und <math>I \subseteq \mathbb{R}</math> ein abgeschlossenes Intervall. Ferner sei <math>A\subseteq X\times I</math> messbar. Wir betrachten für <math>h\in I</math> die Mengen <math>A(h) = \{ x\in X \mid (x,h) \in A\}</math>. Wie können Sie <math>\int_{A}d(x,y)</math> berechnen?
# Für das ''Prinzip von Cavalieri'' findet man in Schulbüchern die unten stehende Formulierung. Verwenden Sie die hier angesprochene Integrationstheorie, um eine fachmathematisch präzise Formulierung zu erstellen.
# Welche Bestandteile der Schulbuch-üblichen Formulierung entsprechen welchen Bestandteilen der fachmathematisch präzisen Formulierung?

=== Das Prinzip von Cavalieri (für Körper) ===

Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn sie gleiche Grundflächeninhalte sowie gleiche Höhen besitzen und sämtliche Schnittflächen im gleichen Abstand parallel zur Grundfläche den gleichen Flächeninhalt haben.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1JewWDjuI0dHJAIfV28_y4CsV2JQZJz3PXSFs902YaXU/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 17.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/1UDlDhDVIjxRBy6n_bYPyYkXLdjUQ14RK/view?usp=sharing Vortragsnotizen für die Integration des Paralellograms]
* Sie auch [https://mampf.mathi.uni-heidelberg.de/media/491 Zusatzmaterial Fläche und Volumen auf der Mathematischen Medienplattform des Mathematischen Instituts der Universität Heidelberg.]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Zusammenfassung ===

Diese Sitzung beschäftigte sich exemplarisch mit der Bestimmung des Flächeninhaltes von Parallelogrammen als Einstieg in den Themenkomplex "Messen".

=== Inhaltlicher Input (Einführung) ===

In den Bildungsstandards von Baden-Württemberg findet sich die '''Leitidee Messen'''. In diesem Zusammenhang ist oft auch von den vier '''Grundprinzipien des Messens''' die Rede:
* Vergleichsaspekt
* Messe-durch-Auslegen-und-Zählen-Aspekt
* Messgeräte-Aspekt
* Messen-als-Berechnen-Aspekt
[Details, siehe oben verlinkte Sitzungsfolien]

Da die Bestimmung von Flächeninhalt/Volumen als Integration angesehen werden kann ['''Propädeutik'''], haben wir uns in der folgenden Arbeitsphase mit der Berechnung des Flächeninhalts von Parallelogrammen [mithilfe der Integrationstheorie] beschäftigt.

=== Arbeitsphase (Flächeninhalt eines Parallelogramms) ===

Aufwärmübung - Flächeninhalt eines Rechtecks. 

Sei <math>ABCD</math> ein Rechteck mit Grundseite <math>g</math> und Höhe <math>h</math>. Dieses Rechteck kann man wie folgt in einem 2D-Koordinatensystem betrachten:
Der Punkt <math>A</math> ist der Ursprung mit Koordinaten <math>(0;0)</math>, der Punkt <math>B</math> entspricht dem Punkt mit Koordinaten <math>(g;0)</math> und der Punkt <math>D</math> entspricht dem Punkt mit Koordinaten <math>(0;h)</math>.
Dadurch ist auch bereits <math>C</math> mit <math>(g;h)</math> eindeutig festgelegt.
Nun kann die Berechnung des Flächeninhalts als Bestimmung der Fläche Zwischen x-Achse und der Geraden durch <math>C</math> und <math>D</math> auf dem Intervall <math>[0, g]</math> betrachte werden. Es handelt sich also um eine simple Integration. Man erhält:

<math> F_{ABCD} = \int_0^g h \, dt = [ht]^g_0 = hg </math>.

Dieser Ansatz verwendet gerade die Rieman-Integration. 

Natürlich wäre aber auch eine Integration über die Höhe <math>h</math> Mittels der Lebesgue-Integration möglich gewesen. Man erhält so:

<math> F_{ABCD} = \int_0^h g \, dt = [gt]^h_0 = gh </math>.

Flächeninhalt eines Parallelogramms 
Im Folgenden werden nun verschiedene Ansätze zur Bestimmung des Flächeninhalts eines Parallelogramms <math>ABCD</math> vorgestellt. Für die exakten Rechnungen sei auf die verlinkten Vortragsnotizen des Dozenten verwiesen. 

{| class="wikitable"
|-
! Idee !! Skizze !! Ausführung !! Entsprechung
|-
| Zerlege das Parallelogramm in drei Teile ||
[[Datei:Para1.PNG|thumb]]
|| Man berechnet <math> F_{ABCD} = \int_0^{g+\alpha} h_t \, dt = \int_0^{\alpha} h_t \, dt + \int_\alpha^{g} h_t \, dt + \int_g^{g+\alpha} h_t \, dt </math>. 
Zur Berechnung von <math>h_t</math> im ersten und dritten Summanden bietet sich ein Steigungsdreick zur Bestimmung von <math>\beta</math> an.
|| Die Integration entlang der Grundseite (Riemann) entspricht gerade der Zerlegung des Parallelogramms in Rechteck und Dreiecke.
|-
| Betrachte eine Parallele zur Grundseite und Integriere über die Höhe ||
[[Datei:Para2.PNG|thumb]]
|| Analog zum Rechteck. Es gilt: <math> g_t = \alpha_t + g - \alpha_t = g</math> || Die Integration entlang der Höhe (Lebesgue) entspricht der Idee, dass Scherungen Flächeninhalte nicht ändern.
|-
| Mittels der Determinante bzw. Koordinatentransformation || siehe zum Beispiel [http://i.stack.imgur.com/gCaz3.png hier] || Die Transformation um Scherung <math>\alpha</math> ist gegeben durch 
<math>(1;0)^T -> (1;0)^T</math> und <math>(0;1)^T -> (\alpha;1)^T</math>
|| Scherungen entsprechen Koordinatentransformationen
|}

==== Das Prinzip von Cavalieri (für Körper) ====

Im Raum werden zwei Körper und die Schar aller zu einer Ebene parallelen Ebenen betrachtet. Wenn für jede Ebene der Schar die beiden Schnittflächen mit den zwei Körpern gleichen Flächeninhalt haben, so sind die beiden Körper volumengleich.

==== Das Prinzip von Cavalieri (für Flächen) ====

In einer Ebene werden zwei Figuren und die Schar aller zu einer Geraden parallelen Geraden betrachtet. Wenn für jede Gerade der Schar die beiden Schnitte mit den zwei Figuren gleich lang sind, so sind die beiden Figuren flächengleich.

== Nachbereitungsauftrag ==

Im Jahre 1994 veröffentlichte das Journal ''Diabetes Care'' den Artikel [https://doi.org/10.2337/diacare.17.2.152 „A Mathematical Model for the Determination of Total Area Under Glucose Tolerance and Other Metabolic Curves“] von Mary M. Tai. In dem Artikel entwickelt und validiert Tai eine Methode zur Berechnung der Fläche unter einer Blutzuckerkurve.

# Finden Sie heraus, wann und von wem die ''Integrationstheorie'' und insbesondere die ''Trapezregel'' entwickelt wurde. Lesen Sie dann [https://math.berkeley.edu/~ehallman/math1B/TaisMethod.pdf Tai (1994) „A Mathematical Model for the Determination of Total Area Under Glucose Tolerance and Other Metabolic Curves“].
# Für die Validierung „ihres“ Approximationsverfahrens vergleicht Tai ihre Rechenergebnisse mit einem Bestimmungsverfahren für den „wahren Wert“. Diskutieren Sie die beiden Verfahren vor dem Hintergrund des ''Messen-durch-Auslegen-und-Zählen-Aspekts'', des ''Messen-als-Berechnen-Aspekts'' und des ''Vergleichsaspekt'' (vgl. Grundprinzipien des Messens in ).
# Analysieren Sie die Fehler/Fehlvorstellung zum ''Messen'', die in dem Artikel sichtbar werden. Skizzieren Sie Hypothesen, wie diese Fehlvorstellungen entstanden sein könnten und wie Sie Ihnen im Unterricht der Sekundarstufe II begegnen bzw. im Unterricht der Sekundarstufe I vorbeugen könnten.

=== Ergebnisse der Nachbereitung ===

Tragen Sie hier die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in Textform (nicht länger als 500 Wörter) ein.

==== Abgabe von Max Mustermann ====

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==== Abgabe von pq ====

#Die Frage nach Flächeninhalten, hier speziell im Flächeninhalt unter einer Kurve aka Integral, ist so alt wie die Mathematik selbst. Die in der Arbeit [https://math.berkeley.edu/~ehallman/math1B/TaisMethod.pdf Tai (1994) „A Mathematical Model for the Determination of Total Area Under Glucose Tolerance and Other Metabolic Curves“] angeführte Methodik des Ausfüllens oder Erschöpfens einer Fläche durch kleinere Flächen, deren Flächeninhalte durch bekannte Formeln trivial bestimmbar sind, findet sich zuerst beim antiken griechischen Philosophen Antiphon, der im 5. Jahrhundert vor Christus lebte. Dieser Methode bediente sich später auch Johannes Kepler, der bei der Berechnung von Planetenbahnen eben Integrale durch einfachere Flächen approximierte und damit die heute bekannte numerische Integration nutzte. Basierend auf dieser einfachen Idee entwickelten die Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz und Sir Isaac Newton unabhängig voneinander die Theorie der Differential- und Integralrechnung, welche mithilfe der Infinitesimalrechnung die Approximation eines Integrals durch infinitesimal kleine Quader oder Trapeze erlaubt. Numerische Verfahren zur Bestimmung solcher einfacher, aber auch komplexerer, Integrale waren 1994 sicher bereits weit verbreitet.
# Zur Validierung ihres Verfahrens vergleichen Tai et al. die Ergebnisse ihrer neuartigen Methode mit einer ''ground truth'', welche darin besteht, die Kurve auf Millimeterpapier zu zeichnen und die Kästchen unter der Kurve zu zählen (''Messen-durch-Auslegen-und-Zählen-Aspekt'') (''The validity of each model was verified through comparison of the total area obtained from the above formulas to a standard (true value), which is obtained by plotting the curve on graph paper and counting the number of small units under the curve. The sum of these units represents the actual total area under the curve.''). Dabei scheinen sie nicht zu bemerken, dass dieses Verfahren ebenso eine Approximation des gewünschten Ergebnisses ist, wenn auch eine hinreichend genaue. Beide Verfahren beinhalten also einen Prozess des Messens. Die "neu entwicklete" Methode beinhaltet über das Messen der Seiten der Trapeze hinaus jedoch einige Rechnungen und entspricht vielmehr einem berechnenden Ansatz, wie es eben auch der Fall für das Berechnen von Flächeninhalten von einfachen geometrischen Objekten der Fall ist (''Messen-als-Berechnen-Aspekt''). Beide Methoden werden empirisch verglichen, indem man die relativen Abweichungen der Ergebnisse in verschiedenen Tests prüft. Dabei scheint den Autoren auch nicht bewusst zu sein, dass es sich bei ihrem Vergleich nicht um einen Beweis handelt, welcher ihre Methode validiert. Beispielsweise könnten die Tests nur einen Teil von möglichen Szenarien abdecken, in welchen ihr Verfahren eben die gewünschte Genauigkeit aufweist. Schließlich werden die Abweichungen der neuen Methode von der "ground truth" als "statistisch nicht signifikant" bezeichnet (?).
# Aus dem Artikel wird klar, dass die Autoren die reine Messmethode für die genauere Methode, welche das "echte Ergebnis" liefert, halten. Ihre berechnende Methode halten sie, zu Recht, für eine Approximation. Unklar bleibt, wie die tatsächlichen Kurven der Tests aussahen und welche Annahmen über diese Kurven getroffen wurden. Wurden die Kurven beispielsweise als stückweise linear angenommen, so liefert die angewandte Trapezregel offenbar sogar das exakte Ergebnis und ist damit sogar genauer als die ''Messen-durch-Auslegen-und-Zählen''-Methode. Das Missverständnis der Autoren scheint für mich auf der kindlichen Vorstellung zu beruhen, dass etwas, dass ich tatsächlich messe und sehe, das echte und richtige Ergebnis ist. Dagegen scheinen Tai et al. jedoch erkannt zu haben, das sie das Integral der Kurve (wenn sie denn nicht stückweise linear angenommen wird) durch die Trapeze und damit Flächen unter stückweisen linearen Kurven nur approximieren. Im Falle, dass die Trapezregel tatsächlich die exakte Lösung darstellt, bleibt diese Auffassung für mich jedoch ein Rätsel. Um solchen Vorstellungen vorzubeugen, sollte im Laufe der Sekundarstufe I stark betont werden, dass eine Messung immer mit einer Messgenauigkeit und einem Messfehler zusammenhängen. Hier könnten Beispiele und Vergleiche von Messung und Berechnung schon am Beispiel von Dreiecken herangezogen werden. Am Beispiel des Kreises lässt sich dieser Sachverhalt noch deutlicher darstellen, da sich Kreise nie vollständig durch Dreiecke oder Vierecke auslegen lassen. In der Sekundarstufe II ist es wichtig bei der Einführung des Hauptsatzes der Integral- und Differenzialrechnung darauf wert zu legen, dass die Approximation durch Ober- und Untersummen (i.e. Quader) immer genauer wird, wenn die Zerlegungsintervalle kleiner werden und nur dann exakt ist, wenn die Teile unendlich klein sind. Das analytische Integral ist also tatsächlich die einzige exakte Lösung für beliebige Kurven.

Weitere Fragen/Anmerkungen:
* Habe ich etwas falsch verstanden?
* Beispielrechnung auf Seite zwei enthält einen Klammerfehler/Typo, das Ergebnis ist jedoch korrekt.
* Wie rechtfertigt sich die Annahme, dass der Blutzuckerspiegel stückweise linear approximiert werden kann?
* Was waren die anderen Formeln zur Berechnung des Blutzuckers?
* Gab es 1994 keinen Reviewingprocess für wissenschaftliche Arbeiten?
* Was haben die Autoren dieser Arbeit im Mathematikunterricht gemacht?
* Warum wurde dieses Paper 273 mal zitiert, davon 6 Zitationen im Jahr 2019?!

== Literaturhinweise ==

* [https://doi.org/10.1007978-3-662-48877-5 Greefrath et al. (2016) „Didaktik der Analysis“].
* [http://www.urn.fi/urn:nbn:de:hebis:34-2017110153692 Hoffmann (2018). „Konzeption von fachmathematischen Schnittstellenmodulen für Lehramtsstudierende am Beispiel ausgewählter Themen der höheren Analysis“]. In ''khdm-Report'' (Masterarbeit).
* Kapitel 5 (Flächeninhalte in den Klassen 5 bis 10) in [https://www.ph-ludwigsburg.de/fileadmin/subsites/2e-imix-t-01/user_files/Veranstaltungsmaterialien_offen/Zusatzmaterialien/Skripte_Krauter/FD_Geom_Skript_neu_2008.pdf Krauter (2008). „Beiträge zur Methodik und Didaktik des Geometrieunterrichts in der Sekundarstufe 1 (Klassen 5 bis 10)“.]
* siehe auch: [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifende Literaturhinweise]]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 04

2019-05-22T10:31:33Z

Pquicker: /* Abgabe von pq */

== Vorbereitungsauftrag ==

=== Vom Volumen zum Flächeninhalt ===

Denken Sie sich einen mit rechtiger Innenquerschnittsfläche (Würfel, Milchkarton,…). Gesucht ist der Flächeninhalt der Innenquerschnittsfläche (Grundfläche). Zur Verfügung stehen Ihnen Wasser, eine
Waage und ein Maßband.
# Wie würden Sie mit Hilfe der gegebenen Hilfsmittel den gesuchten Flächeninhalt bestimmen?
# Übertragen Sie ihr vorgehen auf Körper mit zylinder-förmiger Innenquerschnittsfläche (Tasse, Regentonne, Mülleimer,…) und auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Zylinder_(Geometrie)#Allgemeiner_Zylinder allgemeine Zylinder].
# In dieser Aufgabe wurde das Problem der ''Flächenmessung'' auf das Problem der ''Volumenmessung'' zurückgeführt. Aus sicht der gewöhnlichen Sequenzierung der mathematischen Inhalte in der Sekundarstufe erscheint dieses Vorgehen zunächst fragwürdig. Erläutern Sie, warum das Problem der Volumenmessung ''im Alltag'' tatsächlich das einfacherere Problem ist.

=== Vom Flächeninhalt zum Volumen ===

Lesen Sie den Abschnitt [http://www.dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/cavalieri_dehn_pyramidenvolumen.pdf „Prinzip von Cavalieri, Satz von Dehn und Pyramidenvolumen“] aus dem Skript zur [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte „Didaktik der Mathematik in der Sek. I“], Kapitel „Didaktik der Geometrie“, von Prof. Dr. Jürgen Roth (Universität Koblenz Landau).

# Vollziehen Sie die Argumente und Beweise der Argumentationslinie ''Nachweis der Gültigkeit der Volumenformel mit dem Satz von Cavalieri'' nach.
# Vollziehen Sie die Argumente und Beweise der Argumentationslinie ''Nachweis der Gültigkeit der Volumenformel mit Stufenkörpern'' nach.
# Für welchen Unterrichtsgang würden Sie sich in Ihrem Unterricht entscheiden? Warum?

== Vorbereitungsauftrag (Zusatz) ==

Der ''Satz von Fubini'' ist ein Satz über die Möglichkeit der Berechnung von Doppelintegralen durch iterative Integration:

:<math>
\int_X\left(\int_Y f(x,y)\,\text{d}y\right)\,\text{d}x=\int_Y\left(\int_X f(x,y)\,\text{d}x\right)\,\text{d}y=\int_{X\times Y} f(x,y)\,\text{d}(x,y)
</math>

Bearbeiten Sie die folgenden Aufträge.
# Wiederholen Sie den ''Satz von Fubini'' aus Ihrer entsprechenden Mathematik-Vorlesung (vermutlich Analysis, Maßtheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Funkionalanalysis o.Ä.).
# Formulieren Sie den ''Satz von Fubini'' für folgenden Spezialfall: Es sei <math>X \subseteq \mathbb{R}^{n}</math> ein abgeschlossener Quader, und <math>I \subseteq \mathbb{R}</math> ein abgeschlossenes Intervall. Ferner sei <math>A\subseteq X\times I</math> messbar. Wir betrachten für <math>h\in I</math> die Mengen <math>A(h) = \{ x\in X \mid (x,h) \in A\}</math>. Wie können Sie <math>\int_{A}d(x,y)</math> berechnen?
# Für das ''Prinzip von Cavalieri'' findet man in Schulbüchern die unten stehende Formulierung. Verwenden Sie die hier angesprochene Integrationstheorie, um eine fachmathematisch präzise Formulierung zu erstellen.
# Welche Bestandteile der Schulbuch-üblichen Formulierung entsprechen welchen Bestandteilen der fachmathematisch präzisen Formulierung?

=== Das Prinzip von Cavalieri (für Körper) ===

Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn sie gleiche Grundflächeninhalte sowie gleiche Höhen besitzen und sämtliche Schnittflächen im gleichen Abstand parallel zur Grundfläche den gleichen Flächeninhalt haben.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1JewWDjuI0dHJAIfV28_y4CsV2JQZJz3PXSFs902YaXU/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 17.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/1UDlDhDVIjxRBy6n_bYPyYkXLdjUQ14RK/view?usp=sharing Vortragsnotizen für die Integration des Paralellograms]
* Sie auch [https://mampf.mathi.uni-heidelberg.de/media/491 Zusatzmaterial Fläche und Volumen auf der Mathematischen Medienplattform des Mathematischen Instituts der Universität Heidelberg.]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Zusammenfassung ===

Diese Sitzung beschäftigte sich exemplarisch mit der Bestimmung des Flächeninhaltes von Parallelogrammen als Einstieg in den Themenkomplex "Messen".

=== Inhaltlicher Input (Einführung) ===

In den Bildungsstandards von Baden-Württemberg findet sich die '''Leitidee Messen'''. In diesem Zusammenhang ist oft auch von den vier '''Grundprinzipien des Messens''' die Rede:
* Vergleichsaspekt
* Messe-durch-Auslegen-und-Zählen-Aspekt
* Messgeräte-Aspekt
* Messen-als-Berechnen-Aspekt
[Details, siehe oben verlinkte Sitzungsfolien]

Da die Bestimmung von Flächeninhalt/Volumen als Integration angesehen werden kann ['''Propädeutik'''], haben wir uns in der folgenden Arbeitsphase mit der Berechnung des Flächeninhalts von Parallelogrammen [mithilfe der Integrationstheorie] beschäftigt.

=== Arbeitsphase (Flächeninhalt eines Parallelogramms) ===

Aufwärmübung - Flächeninhalt eines Rechtecks. 

Sei <math>ABCD</math> ein Rechteck mit Grundseite <math>g</math> und Höhe <math>h</math>. Dieses Rechteck kann man wie folgt in einem 2D-Koordinatensystem betrachten:
Der Punkt <math>A</math> ist der Ursprung mit Koordinaten <math>(0;0)</math>, der Punkt <math>B</math> entspricht dem Punkt mit Koordinaten <math>(g;0)</math> und der Punkt <math>D</math> entspricht dem Punkt mit Koordinaten <math>(0;h)</math>.
Dadurch ist auch bereits <math>C</math> mit <math>(g;h)</math> eindeutig festgelegt.
Nun kann die Berechnung des Flächeninhalts als Bestimmung der Fläche Zwischen x-Achse und der Geraden durch <math>C</math> und <math>D</math> auf dem Intervall <math>[0, g]</math> betrachte werden. Es handelt sich also um eine simple Integration. Man erhält:

<math> F_{ABCD} = \int_0^g h \, dt = [ht]^g_0 = hg </math>.

Dieser Ansatz verwendet gerade die Rieman-Integration. 

Natürlich wäre aber auch eine Integration über die Höhe <math>h</math> Mittels der Lebesgue-Integration möglich gewesen. Man erhält so:

<math> F_{ABCD} = \int_0^h g \, dt = [gt]^h_0 = gh </math>.

Flächeninhalt eines Parallelogramms 
Im Folgenden werden nun verschiedene Ansätze zur Bestimmung des Flächeninhalts eines Parallelogramms <math>ABCD</math> vorgestellt. Für die exakten Rechnungen sei auf die verlinkten Vortragsnotizen des Dozenten verwiesen. 

{| class="wikitable"
|-
! Idee !! Skizze !! Ausführung !! Entsprechung
|-
| Zerlege das Parallelogramm in drei Teile ||
[[Datei:Para1.PNG|thumb]]
|| Man berechnet <math> F_{ABCD} = \int_0^{g+\alpha} h_t \, dt = \int_0^{\alpha} h_t \, dt + \int_\alpha^{g} h_t \, dt + \int_g^{g+\alpha} h_t \, dt </math>. 
Zur Berechnung von <math>h_t</math> im ersten und dritten Summanden bietet sich ein Steigungsdreick zur Bestimmung von <math>\beta</math> an.
|| Die Integration entlang der Grundseite (Riemann) entspricht gerade der Zerlegung des Parallelogramms in Rechteck und Dreiecke.
|-
| Betrachte eine Parallele zur Grundseite und Integriere über die Höhe ||
[[Datei:Para2.PNG|thumb]]
|| Analog zum Rechteck. Es gilt: <math> g_t = \alpha_t + g - \alpha_t = g</math> || Die Integration entlang der Höhe (Lebesgue) entspricht der Idee, dass Scherungen Flächeninhalte nicht ändern.
|-
| Mittels der Determinante bzw. Koordinatentransformation || siehe zum Beispiel [http://i.stack.imgur.com/gCaz3.png hier] || Die Transformation um Scherung <math>\alpha</math> ist gegeben durch 
<math>(1;0)^T -> (1;0)^T</math> und <math>(0;1)^T -> (\alpha;1)^T</math>
|| Scherungen entsprechen Koordinatentransformationen
|}

==== Das Prinzip von Cavalieri (für Körper) ====

Im Raum werden zwei Körper und die Schar aller zu einer Ebene parallelen Ebenen betrachtet. Wenn für jede Ebene der Schar die beiden Schnittflächen mit den zwei Körpern gleichen Flächeninhalt haben, so sind die beiden Körper volumengleich.

==== Das Prinzip von Cavalieri (für Flächen) ====

In einer Ebene werden zwei Figuren und die Schar aller zu einer Geraden parallelen Geraden betrachtet. Wenn für jede Gerade der Schar die beiden Schnitte mit den zwei Figuren gleich lang sind, so sind die beiden Figuren flächengleich.

== Nachbereitungsauftrag ==

Im Jahre 1994 veröffentlichte das Journal ''Diabetes Care'' den Artikel [https://doi.org/10.2337/diacare.17.2.152 „A Mathematical Model for the Determination of Total Area Under Glucose Tolerance and Other Metabolic Curves“] von Mary M. Tai. In dem Artikel entwickelt und validiert Tai eine Methode zur Berechnung der Fläche unter einer Blutzuckerkurve.

# Finden Sie heraus, wann und von wem die ''Integrationstheorie'' und insbesondere die ''Trapezregel'' entwickelt wurde. Lesen Sie dann [https://math.berkeley.edu/~ehallman/math1B/TaisMethod.pdf Tai (1994) „A Mathematical Model for the Determination of Total Area Under Glucose Tolerance and Other Metabolic Curves“].
# Für die Validierung „ihres“ Approximationsverfahrens vergleicht Tai ihre Rechenergebnisse mit einem Bestimmungsverfahren für den „wahren Wert“. Diskutieren Sie die beiden Verfahren vor dem Hintergrund des ''Messen-durch-Auslegen-und-Zählen-Aspekts'', des ''Messen-als-Berechnen-Aspekts'' und des ''Vergleichsaspekt'' (vgl. Grundprinzipien des Messens in ).
# Analysieren Sie die Fehler/Fehlvorstellung zum ''Messen'', die in dem Artikel sichtbar werden. Skizzieren Sie Hypothesen, wie diese Fehlvorstellungen entstanden sein könnten und wie Sie Ihnen im Unterricht der Sekundarstufe II begegnen bzw. im Unterricht der Sekundarstufe I vorbeugen könnten.

=== Ergebnisse der Nachbereitung ===

Tragen Sie hier die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in Textform (nicht länger als 500 Wörter) ein.

==== Abgabe von Max Mustermann ====

Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam erat, sed diam voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit amet. Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam erat, sed diam voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit amet. Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam erat, sed diam voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit amet.

==== Abgabe von pq ====

#Die Frage nach Flächeninhalten, hier speziell im Flächeninhalt unter einer Kurve aka Integral, ist so alt wie die Mathematik selbst. Die in der Arbeit [https://math.berkeley.edu/~ehallman/math1B/TaisMethod.pdf Tai (1994) „A Mathematical Model for the Determination of Total Area Under Glucose Tolerance and Other Metabolic Curves“] angeführte Methodik des Ausfüllens oder Erschöpfens einer Fläche durch kleinere Flächen, deren Flächeninhalte durch bekannte Formeln trivial bestimmbar sind, findet sich zuerst beim antiken griechischen Philosophen Antiphon, der im 5. Jahrhundert vor Christus lebte. Dieser Methode bediente sich später auch Johannes Kepler, der bei der Berechnung von Planetenbahnen eben Integrale durch einfachere Flächen approximierte und damit die heute bekannte numerische Integration nutzte. Basierend auf dieser einfachen Idee entwickelten die Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz und Sir Isaac Newton unabhängig voneinander die Theorie der Differential- und Integralrechnung, welche mithilfe der Infinitesimalrechnung die Approximation eines Integrals durch infinitesimal kleine Quader oder Trapeze erlaubt. Numerische Verfahren zur Bestimmung solcher einfacher, aber auch komplexerer, Integrale waren 1994 sicher bereits weit verbreitet.
# Zur Validierung ihres Verfahrens vergleichen Tai et al. die Ergebnisse ihrer neuartigen Methode mit einer ''ground truth'', welche darin besteht, die Kurve auf Millimeterpapier zu zeichnen und die Kästchen unter der Kurve zu zählen (''Messen-durch-Auslegen-und-Zählen-Aspekt''). Dabei scheinen sie nicht zu bemerken, dass dieses Verfahren ebenso eine Approximation des gewünschten Ergebnisses ist, wenn auch eine hinreichend genaue. Beide Verfahren beinhalten also einen Prozess des Messens. Die "neu entwicklete" Methode beinhaltet über das Messen der Seiten der Trapeze hinaus jedoch einige Rechnungen und entspricht vielmehr einem berechnenden Ansatz, wie es eben auch der Fall für das Berechnen von Flächeninhalten von einfachen geometrischen Objekten der Fall ist (''Messen-als-Berechnen-Aspekt''). Beide Methoden werden empirisch verglichen, indem man die relativen Abweichungen der Ergebnisse in verschiedenen Tests prüft. Dabei scheint den Autoren auch nicht bewusst zu sein, dass es sich bei ihrem Vergleich nicht um einen Beweis handelt, welcher ihre Methode validiert. Beispielsweise könnten die Tests nur einen Teil von möglichen Szenarien abdecken, in welchen ihr Verfahren eben die gewünschte Genauigkeit aufweist. Schließlich werden die Abweichungen der neuen Methode von der "ground truth" als "statistisch nicht signifikant" bezeichnet (?).
# Aus dem Artikel wird klar, dass die Autoren die reine Messmethode für die genauere Methode, welche das "echte Ergebnis" liefert, halten. Ihre berechnende Methode halten sie, zu Recht, für eine Approximation. Unklar bleibt, wie die tatsächlichen Kurven der Tests aussahen und welche Annahmen über diese Kurven getroffen wurden. Wurden die Kurven beispielsweise als stückweise linear angenommen, so liefert die angewandte Trapezregel offenbar sogar das exakte Ergebnis und ist damit sogar genauer als die ''Messen-durch-Auslegen-und-Zählen''-Methode. Das Missverständnis der Autoren scheint für mich auf der kindlichen Vorstellung zu beruhen, dass etwas, dass ich tatsächlich messe und sehe, das echte und richtige Ergebnis ist. Dagegen scheinen Tai et al. jedoch erkannt zu haben, das sie das Integral der Kurve (wenn sie denn nicht stückweise linear angenommen wird) durch die Trapeze und damit Flächen unter stückweisen linearen Kurven nur approximieren. Im Falle, dass die Trapezregel tatsächlich die exakte Lösung darstellt, bleibt diese Auffassung für mich jedoch ein Rätsel. Um solchen Vorstellungen vorzubeugen, sollte im Laufe der Sekundarstufe I stark betont werden, dass eine Messung immer mit einer Messgenauigkeit und einem Messfehler zusammenhängen. Hier könnten Beispiele und Vergleiche von Messung und Berechnung schon am Beispiel von Dreiecken herangezogen werden. Am Beispiel des Kreises lässt sich dieser Sachverhalt noch deutlicher darstellen, da sich Kreise nie vollständig durch Dreiecke oder Vierecke auslegen lassen. In der Sekundarstufe II ist es wichtig bei der Einführung des Hauptsatzes der Integral- und Differenzialrechnung darauf wert zu legen, dass die Approximation durch Ober- und Untersummen (i.e. Quader) immer genauer wird, wenn die Zerlegungsintervalle kleiner werden und nur dann exakt ist, wenn die Teile unendlich klein sind. Das analytische Integral ist also tatsächlich die einzige exakte Lösung für beliebige Kurven.

Weitere Fragen/Anmerkungen:
* Beispielrechnung auf Seite zwei enthält einen Klammerfehler/Typo, das Ergebnis ist jedoch korrekt.
* Wie rechtfertigt sich die Annahme, dass der Blutzuckerspiegel stückweise linear approximiert werden kann?
* Was waren die anderen Formeln zur Berechnung des Blutzuckers?
* Gab es 1994 keinen Reviewingprocess für wissenschaftliche Arbeiten?
* Was haben die Autoren dieser Arbeit im Mathematikunterricht gemacht?
* Warum wurde dieses Paper 273 mal zitiert, davon 6 Zitationen im Jahr 2019?!
* Habe ich etwas falsch verstanden?

== Literaturhinweise ==

* [https://doi.org/10.1007978-3-662-48877-5 Greefrath et al. (2016) „Didaktik der Analysis“].
* [http://www.urn.fi/urn:nbn:de:hebis:34-2017110153692 Hoffmann (2018). „Konzeption von fachmathematischen Schnittstellenmodulen für Lehramtsstudierende am Beispiel ausgewählter Themen der höheren Analysis“]. In ''khdm-Report'' (Masterarbeit).
* Kapitel 5 (Flächeninhalte in den Klassen 5 bis 10) in [https://www.ph-ludwigsburg.de/fileadmin/subsites/2e-imix-t-01/user_files/Veranstaltungsmaterialien_offen/Zusatzmaterialien/Skripte_Krauter/FD_Geom_Skript_neu_2008.pdf Krauter (2008). „Beiträge zur Methodik und Didaktik des Geometrieunterrichts in der Sekundarstufe 1 (Klassen 5 bis 10)“.]
* siehe auch: [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifende Literaturhinweise]]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 04

2019-05-22T10:29:58Z

Pquicker: /* Nachbereitungsauftrag */

== Vorbereitungsauftrag ==

=== Vom Volumen zum Flächeninhalt ===

Denken Sie sich einen mit rechtiger Innenquerschnittsfläche (Würfel, Milchkarton,…). Gesucht ist der Flächeninhalt der Innenquerschnittsfläche (Grundfläche). Zur Verfügung stehen Ihnen Wasser, eine
Waage und ein Maßband.
# Wie würden Sie mit Hilfe der gegebenen Hilfsmittel den gesuchten Flächeninhalt bestimmen?
# Übertragen Sie ihr vorgehen auf Körper mit zylinder-förmiger Innenquerschnittsfläche (Tasse, Regentonne, Mülleimer,…) und auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Zylinder_(Geometrie)#Allgemeiner_Zylinder allgemeine Zylinder].
# In dieser Aufgabe wurde das Problem der ''Flächenmessung'' auf das Problem der ''Volumenmessung'' zurückgeführt. Aus sicht der gewöhnlichen Sequenzierung der mathematischen Inhalte in der Sekundarstufe erscheint dieses Vorgehen zunächst fragwürdig. Erläutern Sie, warum das Problem der Volumenmessung ''im Alltag'' tatsächlich das einfacherere Problem ist.

=== Vom Flächeninhalt zum Volumen ===

Lesen Sie den Abschnitt [http://www.dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/cavalieri_dehn_pyramidenvolumen.pdf „Prinzip von Cavalieri, Satz von Dehn und Pyramidenvolumen“] aus dem Skript zur [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte „Didaktik der Mathematik in der Sek. I“], Kapitel „Didaktik der Geometrie“, von Prof. Dr. Jürgen Roth (Universität Koblenz Landau).

# Vollziehen Sie die Argumente und Beweise der Argumentationslinie ''Nachweis der Gültigkeit der Volumenformel mit dem Satz von Cavalieri'' nach.
# Vollziehen Sie die Argumente und Beweise der Argumentationslinie ''Nachweis der Gültigkeit der Volumenformel mit Stufenkörpern'' nach.
# Für welchen Unterrichtsgang würden Sie sich in Ihrem Unterricht entscheiden? Warum?

== Vorbereitungsauftrag (Zusatz) ==

Der ''Satz von Fubini'' ist ein Satz über die Möglichkeit der Berechnung von Doppelintegralen durch iterative Integration:

:<math>
\int_X\left(\int_Y f(x,y)\,\text{d}y\right)\,\text{d}x=\int_Y\left(\int_X f(x,y)\,\text{d}x\right)\,\text{d}y=\int_{X\times Y} f(x,y)\,\text{d}(x,y)
</math>

Bearbeiten Sie die folgenden Aufträge.
# Wiederholen Sie den ''Satz von Fubini'' aus Ihrer entsprechenden Mathematik-Vorlesung (vermutlich Analysis, Maßtheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie, Funkionalanalysis o.Ä.).
# Formulieren Sie den ''Satz von Fubini'' für folgenden Spezialfall: Es sei <math>X \subseteq \mathbb{R}^{n}</math> ein abgeschlossener Quader, und <math>I \subseteq \mathbb{R}</math> ein abgeschlossenes Intervall. Ferner sei <math>A\subseteq X\times I</math> messbar. Wir betrachten für <math>h\in I</math> die Mengen <math>A(h) = \{ x\in X \mid (x,h) \in A\}</math>. Wie können Sie <math>\int_{A}d(x,y)</math> berechnen?
# Für das ''Prinzip von Cavalieri'' findet man in Schulbüchern die unten stehende Formulierung. Verwenden Sie die hier angesprochene Integrationstheorie, um eine fachmathematisch präzise Formulierung zu erstellen.
# Welche Bestandteile der Schulbuch-üblichen Formulierung entsprechen welchen Bestandteilen der fachmathematisch präzisen Formulierung?

=== Das Prinzip von Cavalieri (für Körper) ===

Zwei Körper haben das gleiche Volumen, wenn sie gleiche Grundflächeninhalte sowie gleiche Höhen besitzen und sämtliche Schnittflächen im gleichen Abstand parallel zur Grundfläche den gleichen Flächeninhalt haben.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1JewWDjuI0dHJAIfV28_y4CsV2JQZJz3PXSFs902YaXU/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 17.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/1UDlDhDVIjxRBy6n_bYPyYkXLdjUQ14RK/view?usp=sharing Vortragsnotizen für die Integration des Paralellograms]
* Sie auch [https://mampf.mathi.uni-heidelberg.de/media/491 Zusatzmaterial Fläche und Volumen auf der Mathematischen Medienplattform des Mathematischen Instituts der Universität Heidelberg.]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Zusammenfassung ===

Diese Sitzung beschäftigte sich exemplarisch mit der Bestimmung des Flächeninhaltes von Parallelogrammen als Einstieg in den Themenkomplex "Messen".

=== Inhaltlicher Input (Einführung) ===

In den Bildungsstandards von Baden-Württemberg findet sich die '''Leitidee Messen'''. In diesem Zusammenhang ist oft auch von den vier '''Grundprinzipien des Messens''' die Rede:
* Vergleichsaspekt
* Messe-durch-Auslegen-und-Zählen-Aspekt
* Messgeräte-Aspekt
* Messen-als-Berechnen-Aspekt
[Details, siehe oben verlinkte Sitzungsfolien]

Da die Bestimmung von Flächeninhalt/Volumen als Integration angesehen werden kann ['''Propädeutik'''], haben wir uns in der folgenden Arbeitsphase mit der Berechnung des Flächeninhalts von Parallelogrammen [mithilfe der Integrationstheorie] beschäftigt.

=== Arbeitsphase (Flächeninhalt eines Parallelogramms) ===

Aufwärmübung - Flächeninhalt eines Rechtecks. 

Sei <math>ABCD</math> ein Rechteck mit Grundseite <math>g</math> und Höhe <math>h</math>. Dieses Rechteck kann man wie folgt in einem 2D-Koordinatensystem betrachten:
Der Punkt <math>A</math> ist der Ursprung mit Koordinaten <math>(0;0)</math>, der Punkt <math>B</math> entspricht dem Punkt mit Koordinaten <math>(g;0)</math> und der Punkt <math>D</math> entspricht dem Punkt mit Koordinaten <math>(0;h)</math>.
Dadurch ist auch bereits <math>C</math> mit <math>(g;h)</math> eindeutig festgelegt.
Nun kann die Berechnung des Flächeninhalts als Bestimmung der Fläche Zwischen x-Achse und der Geraden durch <math>C</math> und <math>D</math> auf dem Intervall <math>[0, g]</math> betrachte werden. Es handelt sich also um eine simple Integration. Man erhält:

<math> F_{ABCD} = \int_0^g h \, dt = [ht]^g_0 = hg </math>.

Dieser Ansatz verwendet gerade die Rieman-Integration. 

Natürlich wäre aber auch eine Integration über die Höhe <math>h</math> Mittels der Lebesgue-Integration möglich gewesen. Man erhält so:

<math> F_{ABCD} = \int_0^h g \, dt = [gt]^h_0 = gh </math>.

Flächeninhalt eines Parallelogramms 
Im Folgenden werden nun verschiedene Ansätze zur Bestimmung des Flächeninhalts eines Parallelogramms <math>ABCD</math> vorgestellt. Für die exakten Rechnungen sei auf die verlinkten Vortragsnotizen des Dozenten verwiesen. 

{| class="wikitable"
|-
! Idee !! Skizze !! Ausführung !! Entsprechung
|-
| Zerlege das Parallelogramm in drei Teile ||
[[Datei:Para1.PNG|thumb]]
|| Man berechnet <math> F_{ABCD} = \int_0^{g+\alpha} h_t \, dt = \int_0^{\alpha} h_t \, dt + \int_\alpha^{g} h_t \, dt + \int_g^{g+\alpha} h_t \, dt </math>. 
Zur Berechnung von <math>h_t</math> im ersten und dritten Summanden bietet sich ein Steigungsdreick zur Bestimmung von <math>\beta</math> an.
|| Die Integration entlang der Grundseite (Riemann) entspricht gerade der Zerlegung des Parallelogramms in Rechteck und Dreiecke.
|-
| Betrachte eine Parallele zur Grundseite und Integriere über die Höhe ||
[[Datei:Para2.PNG|thumb]]
|| Analog zum Rechteck. Es gilt: <math> g_t = \alpha_t + g - \alpha_t = g</math> || Die Integration entlang der Höhe (Lebesgue) entspricht der Idee, dass Scherungen Flächeninhalte nicht ändern.
|-
| Mittels der Determinante bzw. Koordinatentransformation || siehe zum Beispiel [http://i.stack.imgur.com/gCaz3.png hier] || Die Transformation um Scherung <math>\alpha</math> ist gegeben durch 
<math>(1;0)^T -> (1;0)^T</math> und <math>(0;1)^T -> (\alpha;1)^T</math>
|| Scherungen entsprechen Koordinatentransformationen
|}

==== Das Prinzip von Cavalieri (für Körper) ====

Im Raum werden zwei Körper und die Schar aller zu einer Ebene parallelen Ebenen betrachtet. Wenn für jede Ebene der Schar die beiden Schnittflächen mit den zwei Körpern gleichen Flächeninhalt haben, so sind die beiden Körper volumengleich.

==== Das Prinzip von Cavalieri (für Flächen) ====

In einer Ebene werden zwei Figuren und die Schar aller zu einer Geraden parallelen Geraden betrachtet. Wenn für jede Gerade der Schar die beiden Schnitte mit den zwei Figuren gleich lang sind, so sind die beiden Figuren flächengleich.

== Nachbereitungsauftrag ==

Im Jahre 1994 veröffentlichte das Journal ''Diabetes Care'' den Artikel [https://doi.org/10.2337/diacare.17.2.152 „A Mathematical Model for the Determination of Total Area Under Glucose Tolerance and Other Metabolic Curves“] von Mary M. Tai. In dem Artikel entwickelt und validiert Tai eine Methode zur Berechnung der Fläche unter einer Blutzuckerkurve.

# Finden Sie heraus, wann und von wem die ''Integrationstheorie'' und insbesondere die ''Trapezregel'' entwickelt wurde. Lesen Sie dann [https://math.berkeley.edu/~ehallman/math1B/TaisMethod.pdf Tai (1994) „A Mathematical Model for the Determination of Total Area Under Glucose Tolerance and Other Metabolic Curves“].
# Für die Validierung „ihres“ Approximationsverfahrens vergleicht Tai ihre Rechenergebnisse mit einem Bestimmungsverfahren für den „wahren Wert“. Diskutieren Sie die beiden Verfahren vor dem Hintergrund des ''Messen-durch-Auslegen-und-Zählen-Aspekts'', des ''Messen-als-Berechnen-Aspekts'' und des ''Vergleichsaspekt'' (vgl. Grundprinzipien des Messens in ).
# Analysieren Sie die Fehler/Fehlvorstellung zum ''Messen'', die in dem Artikel sichtbar werden. Skizzieren Sie Hypothesen, wie diese Fehlvorstellungen entstanden sein könnten und wie Sie Ihnen im Unterricht der Sekundarstufe II begegnen bzw. im Unterricht der Sekundarstufe I vorbeugen könnten.

=== Ergebnisse der Nachbereitung ===

Tragen Sie hier die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in Textform (nicht länger als 500 Wörter) ein.

==== Abgabe von Max Mustermann ====

Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam erat, sed diam voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit amet. Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam erat, sed diam voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit amet. Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam erat, sed diam voluptua. At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit amet.

==== Abgabe von pq ====

#Die Frage nach Flächeninhalten, hier speziell im Flächeninhalt unter einer Kurve aka Integral, ist so alt wie die Mathematik selbst. Die in der Arbeit [https://math.berkeley.edu/~ehallman/math1B/TaisMethod.pdf Tai (1994) „A Mathematical Model for the Determination of Total Area Under Glucose Tolerance and Other Metabolic Curves“] angeführte Methodik des Ausfüllens oder Erschöpfens einer Fläche durch kleinere Flächen, deren Flächeninhalte durch bekannte Formeln trivial bestimmbar sind, findet sich zuerst beim antiken griechischen Philosophen Antiphon, der im 5. Jahrhundert vor Christus lebte. Dieser Methode bediente sich später auch Johannes Kepler, der bei der Berechnung von Planetenbahnen eben Integrale durch einfachere Flächen approximierte und damit die heute bekannte numerische Integration nutzte. Basierend auf dieser einfachen Idee entwickelten die Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz und Sir Isaac Newton unabhängig voneinander die Theorie der Differential- und Integralrechnung, welche mithilfe der Infinitesimalrechnung die Approximation eines Integrals durch infinitesimal kleine Quader oder Trapeze erlaubt. Numerische Verfahren zur Bestimmung solcher einfacher, aber auch komplexerer, Integrale waren 1994 sicher bereits weit verbreitet.
# Zur Validierung ihres Verfahrens vergleichen Tai et al. die Ergebnisse ihrer neuartigen Methode mit einer ''ground truth'', welche darin besteht, die Kurve auf Millimeterpapier zu zeichnen und die Kästchen unter der Kurve zu zählen (''Messen-durch-Auslegen-und-Zählen-Aspekt''). Dabei scheinen sie nicht zu bemerken, dass dieses Verfahren ebenso eine Approximation des gewünschten Ergebnisses ist, wenn auch eine hinreichend genaue. Beide Verfahren beinhalten also einen Prozess des Messens. Die "neu entwicklete" Methode beinhaltet über das Messen der Seiten der Trapeze hinaus jedoch einige Rechnungen und entspricht vielmehr einem berechnenden Ansatz, wie es eben auch der Fall für das Berechnen von Flächeninhalten von einfachen geometrischen Objekten der Fall ist (''Messen-als-Berechnen-Aspekt''). Beide Methoden werden empirisch verglichen, indem man die relativen Abweichungen der Ergebnisse in verschiedenen Tests prüft. Dabei scheint den Autoren auch nicht bewusst zu sein, dass es sich bei ihrem Vergleich nicht um einen Beweis handelt, welcher ihre Methode validiert. Beispielsweise könnten die Tests nur einen Teil von möglichen Szenarien abdecken, in welchen ihr Verfahren eben die gewünschte Genauigkeit aufweist. Schließlich werden die Abweichungen der neuen Methode von der "ground truth" als "statistisch nicht signifikant" bezeichnet (?).
# Aus dem Artikel wird klar, dass die Autoren die reine Messmethode für die genauere Methode, welche das "echte Ergebnis" liefert, halten. Ihre berechnende Methode halten sie, zu Recht, für eine Approximation. Unklar bleibt, wie die tatsächlichen Kurven der Tests aussahen und welche Annahmen über diese Kurven getroffen wurden. Wurden die Kurven beispielsweise als stückweise linear angenommen, so liefert die angewandte Trapezregel offenbar sogar das exakte Ergebnis und ist damit sogar genauer als die ''Messen-durch-Auslegen-und-Zählen''-Methode. Das Missverständnis der Autoren scheint für mich auf der kindlichen Vorstellung zu beruhen, dass etwas, dass ich tatsächlich messe und sehe, das echte und richtige Ergebnis ist. Dagegen scheinen Tai et al. jedoch erkannt zu haben, das sie das Integral der Kurve (wenn sie denn nicht stückweise linear angenommen wird) durch die Trapeze und damit Flächen unter stückweisen linearen Kurven nur approximieren. Im Falle, dass die Trapezregel tatsächlich die exakte Lösung darstellt, bleibt diese Auffassung für mich jedoch ein Rätsel. Um solchen Vorstellungen vorzubeugen, sollte im Laufe der Sekundarstufe I stark betont werden, dass eine Messung immer mit einer Messgenauigkeit und einem Messfehler zusammenhängen. Hier könnten Beispiele und Vergleiche von Messung und Berechnung schon am Beispiel von Dreiecken herangezogen werden. Am Beispiel des Kreises lässt sich dieser Sachverhalt noch deutlicher darstellen, da sich Kreise nie vollständig durch Dreiecke oder Vierecke auslegen lassen. In der Sekundarstufe II ist es wichtig bei der Einführung des Hauptsatzes der Integral- und Differenzialrechnung darauf wert zu legen, dass die Approximation durch Ober- und Untersummen (i.e. Quader) immer genauer wird, wenn die Zerlegungsintervalle kleiner werden und nur dann exakt ist, wenn die Teile unendlich klein sind. Das analytische Integral ist also tatsächlich die einzige exakte Lösung für beliebige Kurven.

Weitere Fragen/Anmerkungen:
* Beispielrechnung auf Seite zwei enthält einen Klammerfehler/Typo, das Ergebnis ist jedoch korrekt.
* Wie rechtfertigt sich die Annahme, dass der Blutzuckerspiegel stückweise linear approximiert werden kann?
* Was waren die anderen Formeln zur Berechnung des Blutzuckers?
* Was haben die Autoren dieser Arbeit im Mathematikunterricht gemacht?
* Warum wurde dieses Paper 273 mal zitiert, davon 6 Zitationen im Jahr 2019?!
* Habe ich etwas falsch verstanden?

== Literaturhinweise ==

* [https://doi.org/10.1007978-3-662-48877-5 Greefrath et al. (2016) „Didaktik der Analysis“].
* [http://www.urn.fi/urn:nbn:de:hebis:34-2017110153692 Hoffmann (2018). „Konzeption von fachmathematischen Schnittstellenmodulen für Lehramtsstudierende am Beispiel ausgewählter Themen der höheren Analysis“]. In ''khdm-Report'' (Masterarbeit).
* Kapitel 5 (Flächeninhalte in den Klassen 5 bis 10) in [https://www.ph-ludwigsburg.de/fileadmin/subsites/2e-imix-t-01/user_files/Veranstaltungsmaterialien_offen/Zusatzmaterialien/Skripte_Krauter/FD_Geom_Skript_neu_2008.pdf Krauter (2008). „Beiträge zur Methodik und Didaktik des Geometrieunterrichts in der Sekundarstufe 1 (Klassen 5 bis 10)“.]
* siehe auch: [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifende Literaturhinweise]]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 03

2019-05-16T21:20:19Z

Pquicker: /* Ergebnisse der Nachbereitung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Unterrichtsaktivität für die Einführung bzw. einführenden Erarbeitung des Begriffs ''Parallelogramm''. Ziel der Unterrichtsaktivität ist die Kenntnis der Begriffsdefinition. Gehen Sie von einer generischen (Real-)Schulklasse der sechsten Jahrgangsstufe aus. Gehen Sie davon aus, dass die Schüler*innen aus der fünften Jahrgangsstufe bereits in der Lage sind, 'Parallelität' im Kontext paralleler Geraden und Vierecke, Quadrate und Rechtecke identifizieren können. Beachten Sie auch [http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/SEK1/M/IK/5-6/03 den gemeinsamer Bildungsplan für die Sekundarstufe I] des Landes Baden-Württemberg.

In der [https://www.ph-heidelberg.de/didaktische-werkstatt-mathematik-und-informatik Didaktischen Werkstatt Mathematik und Informatik] der PH Heidelberg finden Sie u.a. eine Sammlung von verschiedenen Schulbüchern, die Sie gerne zur Inspiration nutzen können.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1zJ_R6H-kaYdej31urdaYdSNWJG5F7Ga-kcHsYVNtr6k/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 10.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/16-5bPnzUdlZimEor4vVfUkKovk4IGokK/view?usp=sharing Screenshot „Das Problem der Apfelbauern“ (Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve)]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Zusammenfassung ===
Das Augenmerk dieser Sitzung lag auf der kurzfristigen Erarbeitungsphase von Begriffen. Dabei haben wir die verschiedenen Zugänge zur Erarbeitung von geometrischen Begriffen sowie konkrete Beispiele für sie kennengelernt. Dabei haben sich das ''operative Prinzip'' sowie die ''Begriffsbildung durch Abstraktion'' als zentral für den Begriffserwerb im Geometrieunterricht in der Sekundarstufe erwiesen. Da sich ''mathematische Denkstile'' wie Lernstile auch in persona je nach Thematik und über die Zeit abwechseln und jeder Zugang verschiedene Vor- und Nachteile besitzt, ist ein ergänzender, abwechslungsreicher Umgang der Zugänge am gewinnbringendsten. Unabhängig von dem gewählten Zugang sollten ''Phänomene'' als Ausgangspunkt für die Begriffsbildung im Geometrieunterricht genutzt werden und zwar solche, die unter mathematischen und didaktischen Aspekten vertretbar sind.

=== Inputphase ===
Im Allgemeinen erfolgt der kurzfristige Erwerb von geometrischen Begriffen in drei Phasen (vgl. Weigand et al. 2018, S. 100f.). In der ersten Phase wird zunächst ein Bedürfnis zur Bildung des Begriffs geschaffen, indem ein passender ''Problemkontext'', möglichst ein Phänomen (s.u.), betrachtet wird. Danach folgt die Phase der ''Erarbeitung'' des Begriffs, in der intuitiv gesammelte Begriffsvorstellungen präzisiert sowie '''Begriffsinhalt''' und '''Begriffsumfang''' konkretisiert werden. Im Unterricht zählen dazu neben der Sicherung im Heft auch schon erste Übungsphasen. Um einen Begriff in seinem Kontext zu verstehen, schließt sich anschließend eine ''Reflexionsphase'' an. In dieser werden Prototypen bewertet und der zu lernendn geometrische Begriff in ein '''Begriffsnetz''' einsortiert.
Welche Umsetzungsmöglichkeiten sich für die ersten beiden Phasen konkret für eine(n) Lehrer(in) ermöglichen und welche Vor- und Nachteile diese beinhalten, wurde im Verlauf der Sitzung näher erörtert.

==== Phase 2: Erarbeitungsphase ====
In der unteren Tabelle sind die Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags (siehe unten und Abb. 1) den einzelnen '''Arten der Begriffserarbeitung''' zugeordnet sowie Vor- und Nachteile aufgelistet. Die größte Bedeutung für die Erarbeitung eines geometrischen Begriffs in der Sekundarstufe besitzt die operative Begriffsbildung, welche auf dem von Aebli 1985 geprägten ''operativen Prinzip'' beruht, sowie in der Sek II immer zunehmender die Begriffsbildung durch Abstraktion.
[[Datei:Ergebnisse_des_Vorbereitungsauftrages.png|thumb|Abb. 1: Ideensammlung zur Begriffserarbeitung 'Parallelogramm']]
[[Datei: MD Geo VB2.pdf|thumb| Beispiel eines Vorbereitungsauftrags]]

===== Tabelle 1: Arten der Begrifferarbeitung =====
{| class="wikitable"
|-
| '''Arten der Begriffserarbeitung''' || '''Grundidee''' || '''Ausgangspunkt''' || '''Klassenstufe''' || '''Nachteile''' ||| '''Bsp. (auch Vorbereitungsauftrag)'''
|-
| '''Exemplarische Begriffsbildung''' || Generalisierung und Bildung ganzheitlicher Vorstellungen (Gestalt, Bild, Aussehen) durch Vergleich von (gemeinsamen) Eigenschaften und Analyse von Bsp. und Gegenbsp. aus dem Alltag || Einzelobjekt/ Einzelfall || Primarstufe und Übergang zur Sekundarstufe ||
* eher ungeeignet für Sek1

* Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')
||
* Begriffsbildung aus Bildern
|-
| '''Spezifikation aus einem Oberbegriff''' || Ausbildung eines Teilbegriffs durch Einschränkung von Eigenschaften bzw. Angabe von Anforderungen || allgemeiner Oberbegriff || ||
* Notwendigkeit von Vorwissen
* Deduktiver Charakter und nicht von der Problemstellung ausgehend (nicht induktiv)
||
* ''Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel''
|-
| '''Konstruktive oder operative Begriffsbildung''' 
(''funktionales Denken'')
|| Ausbildung einer dynamischen bzw. flexiblen Begriffsvorstellung durch internalisiertes, zielgerichtetes Handeln (variable Operationen, Transformationen und Konstruktionen) und bewusstes, reflektierendes Beobachten der durch die Handlung aufgezwungen Eigenschaften || reale, virtuelle oder mentale Handlung || uneingeschränkt ||
* Bedarf an konkreten, unterstütztenden Beobachtungshilfen/-fragen
|| * Parallelstreifen
* Gelenkparallelogramm
|-
| '''Begriffsbildung durch Abstraktion''' 
(''prädikatives Denken'')
|| Begriffsbildung durch (Äquivalenz-)Klassenbildung, d.h. Sortieren anhand charakteristischer Merkmale. Das inkludiert ein:
* Abstraktionsprozess
* Idealisierungsprozess
|| Beispiele und Gegenbeispiele || höhere Klassenstufen ||
* Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')
||
* Realisieren und Identifizieren
* Sortierungsaufgabe mit Bsp. und Gegenbsp.: ''Sortiere die Figuren nach ihrer Form''
* Geschichte: Rechtecke verändern
* Variation der Quadratdefiniton
|-
|}

===== Operatives Prinzip und operative Begriffsbildung =====
Das '''Operative Prinzip''' (vgl. Aebli 1985, Wittmann 1985) ist ein didaktisches Konzept, welches schulische Lern- und Denkprozesse auf internalisiertes Handeln gründet und zumeist bei Problemlöseaufgaben und Phasen des entdeckenden Lernens eingesetzt wird. Ein zentraler Aspekt des Konzepts ist der Begriff der Operation. An konkreten Problemstellungen beginnen in jeglichen Lebensaltern Denkprozesse. Durch zielgerichtete praktische Handlungen (Zeichnen, Konstruieren, Falten, Bewegen) und bewusste Beobachtungen (Varianz, Invarianz, Abhängigkeiten und Beziehungen) können Operationen, Begriffe und Eigenschaften verinnerlicht und Grundvorstellungen aufgebaut werden (''''Interiorisation''''). Bei einigen Begriffen und Operationen bedarf es einer zusätzlichen Abstraktion der praktischen Handlungen (z.B. die Zahl л durch Umfangsmessungen) sowie einer begrifflichen (Re-)Konstruktion mit Hilfe der Vorkenntnisse der Schüler. Um sich von Prototypen und konkreten Situation zu lösen, werden sie zahlreichen Transformationen unterzogen und aus verschieden Blickwinkeln betrachtet. Schließlich zeigt sich das Ziel und die Produkte des operativen Prinzips sowohl in der Anwendung auf konkreten Handlungssituationen, als auch in der Erkenntnis des Systemcharakters von Operationen und Begriffen.

: '' '''Operative (konstruktive) Begriffsbildung''': „Ein Begriff wird nach dieser Methode dadurch erschlossen, dass man ein Verfahren zur Konstruktion der unter den Begriff fallenden Objekte angibt und die diesen Objekten durch die Konstruktion aufgeprägter Eigenschaften untersucht" (Wittmann 1985).''

In der Praxis sind für den erfolgreichen Einsatz der operativen Begriffsbildung Beobachtungen der SuS durch zielgerichtete Aufgabenstellungen und Hypothesenaufträge zu unterstützen (Folie 9).
:* Welche Transformationen sind durchführbar?
:* Welche Operationen ermöglicht das Werkzeug?
:* Welche Eigenschaften und Beziehungen haben Objekte?
:* Welche Wirkung haben Transformationen auf Eigenschaften und Beziehungen?
:* Formulierungen von Vermutungen und Begründungen

==== Phase 1: Darbietung des Problemkontextes ====
===== Phänomene =====
'''Phänomene''' sind für die Entwicklung von Begriffsvorstellungen (''Konstituierung mentaler Objekte'') gut geeignet sowie dazu, um in den ersten Kontakt mit dem zu erarbeitenden Begriff zu treten. Sie eröffnen eine oder mehrere Problemstellungen, die z.T. auch entwicklungsgeschichtlich zur Begriffsdefinition motiviert haben und die die Sinnhaftigkeit der Begriffsbildung hervorheben. Offensichtlich spielt das Vorwissen oder die Vorerfahrung der SuS eine entscheidende Rolle bei der Entwicklung des Begriffsverständnisses. Faltkanten in einem Blattpapier legen beispielsweise die Definition des Begriffs ''Gerade'' nahe (weitere Bsp. Folie 13). Dabei sollte für jeden Begriff die Tragfähigkeit des Phänomens unter mathematischen und didaktischen Gesichtspunkten geprüft werden. Als solide erweisen sich '''kulturhistorisch-genetische Phänomene''' (z. B. Quadratur des Kreises, Dreiteilung des Winkels), '''Alltags-/Lebenswirklichkeits-Phänomene''' (z. B. Flächenberechnung fürs Fliesenlegen, Optimierungsprobleme wie der kürzeste Weg zwischen A und B in Mannheim) und '''innermathematische Phänomene''' (z. B. Invarianz des Abstands zweier Parallelen, Klassifikationen von Vierecken). Nach van Hofe sollte ein dem Begriff angemessenes Beispiel/Phänomen gewählt werden.

=== Arbeitsphase ===
Äquidistanzkurven wurden in der Arbeitsphase als Beispielphänomen zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten genutzt und untersucht.

:'''''Äquidistanzpunkte''' sind diejenigen Punkte (der Ebene/des Raumes), die von vorgegebenen geometrischen Objekten den gleichen Abstand haben.''

Dieser koordinatenlose Zugang zur Kurvengeometrie bietet einen „historischen“ Einblick in eine Art und Weise Geometrie zu betreiben. René Decartes und Pierre de Fermat entwickelten (unabhängig voneinander) die Koordinatenmethode erst 1637. Dieses Jahr gilt als natürliche Grenze zum Übergang in die „moderne“ Mathematik. Vor Begründung der Koordinatenmethode wurden Kurven etwa als ebene Schnitte räumlicher Figuren (etwa Kegelschnitte), durch punktweise Konstruktion oder durch (gedachte) mechanische Erzeugung mit bestimmten Werkzeugen konstruiert.

Äquidistanzkurven dienen beispielsweise als Ausgangspunkt zur Beschreibung von Parabeln, Kreisen, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden. Das Phänomen ist demnach kulturhistorisch-genetisch, aber auch innermathmatisch begründet.

===== Die Problemstellung =====
„Alice und Bob sind Apfelbauern. Zwei ihrer Apfelbäume stehen nebeneinander. Jedes Jahr streiten sie sich darum, welche Äpfel auf dem Boden von welchem Baum gefallen sind. Ihr Freund Charlie möchte den beiden helfen. Wie können die Äpfel auf die beiden aufgeteilt werden?“
Neben Charlie waren die Bäume von Alices und Bobs sowie einige Äpfel im Geogebra-Applet als Punkte dargestellt.
Im Plenum wurden einige mögliche Schülerantworten bezüglich ihrer Fairness diskutiert und mit Geogebra z.T. auch in Kleingruppen ausprobiertund umgesetzt.

===== Lösungsvorschläge =====
Neben der Mittelsenkrechten, deren Begriffsinhalt (Eigenschaft: Äquidistanzkurve zweier Punkte) Ziel der Aufgabe darstellte, wurde auch das Zeichnen zweier Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt Charlie als Lösungsvorschlag genannt. Bei Letzterem lässt sich jedoch ein Apfel keinem der beiden Kreise zuordnen. Ein an die Konstruktion der Mittelsenkrechten angelehnter Vorschlag wäre das Zeichnen zweier Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt des jeweils anderen Baumes. Die Äpfel in der Schnittmenge sollten dann geteilt werden. Doch auch hier können (zumindest theoretisch) Äpfel auftauchen, die in keinem Kreis liegen.

===== Bemerkungen und Kritik =====
Zum einen wurde festgestellt, dass bei sauberer Formulierung der Fragstellung Nachfragen bezüglich der Hangneigung und Höhe der Bäume vorgebeugt werden kann. Zum anderen entscheidet das '''Zeitbudget''', wie offen bzw. angeleitet sie gefasst werden kann. Dabei sollte das Ziel der Aufgabe immer im Blick behalten werden, denn die Fülle an Lösungsmöglichkeiten und ihr Diskussionspotential erfordert viel Zeit, denn Schülerantworten sollten ernst genommen werden. 
Außerdem ist dieser Zugang '''als Einstiegszugang''' zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten '''schlecht''' geeignet, da Begriffe (wenn möglich) immer angelehnt an ihre Etymologie eingeführt werden sollten. Im Falle der Mittelsenkrechten entspricht das der Konstruktion einer Senkrechten durch den Mittelpunkt einer Strecke zwischen A und B. 
Die SuS wissen i.A. nicht, dass die Mittelsenkrechte weiterhin die Eigenschaft einer Äquidistanzkurve erfüllt. Mit Hilfe der Geogebra-Software, insbesondere des Spurmodus, kann dieser Zugang dazu genutzt werden, dieses Charakteristikum '''enaktiv''' zu erschließen und '''sichtbar''' zu machen: Dazu wurden die Punkte der Bäume mit dem Punkt Charlie durch eine Strecke verbunden und ihr Abstand durch das Abstandstool gemessen. Die Äquidistanzkurve kann dann bei aktiviertem Spurmodus durch Bewegen von Charlie und konstantes Überwachen der Abstände ermittelt werden. Zu diesen Zeitpunkt ist (den SuS) noch nicht klar, dass die durch den Spurmodus sichtbar gemachte Äquidistanzkurve genau der Mittelsenkrechten der zwei Punkten entspricht. Deshalb steht die Lehrkraft danach vor der Aufgabe '''beide Zugänge''' miteinander zu '''verbinden''', um ein '''integriertes mentales Modell''' bei den SuS zu produzieren. Dies kann über Plausibilitätsargumente wie Kreise mit Mittelpunkt auf der konstruierten Mittelsenkrechten durch die Ausgangspunkte geschehen oder angelehnt an den eigentlichen Kongruenzbeweis durch Symmetriebetrachtungen eines durch die Mittelsenkrechte geteilten, gleichschenkligen Dreiecks (siehe Abb. 2).
[[Datei:Mittelsenkrechte-Äquidistanzkurve.png|thumb|Abb. 2: Beweisidee zur Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve zweier Punkte]]

===== Das Fazit der Arbeitsphase =====
Zur Untersuchung von Äquidistanzkurven ist die „Spurmodus“-Funktion in Geogebra (auch bei anderen dynamischen Geometrie-Programmen) sehr geeignet.

=== Zusatzmaterial ===

Als zusätzliche Übungsgelegenheit für die Unterstützung des Begriffslernens mit Blick auf das Operative Prinzip finden Sie die Aktivität „Schwarze Kisten am Dreieck“ in der GeoGebra.org-Gruppe des Seminars. Entwerfen Sie hierzu ein Arbeitsblatt zur angeleiteten Exploration des Applets. Versuchen Sie dabei explizite Handlungs-, Beobachtungs- und hypothesengenerierende Anweisungen zu geben.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Kapitel 5 „Begriffslernen und Begriffslehren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Diverse Ausgangspunkte zu Diskussionen über Grundvorstellungen und Darstellungen sind in den ersten Kapiteln von [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-06835-6 Ludwig et. al. (2015). „Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen“] zu finden.
* Kapitel 4 in [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Kaenders & Schmitt (2014). „Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen“] bietet Ausgangspunkte zur Diskussion über das Operative Prinzip. Genauso [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.

Mögliche Inspiration können Sie gerne auch weiteren Quellen entnehmen. Zum Beispiel:
* [https://www.researchgate.net/publication/242204500_The_van_Hiele_Levels_of_Geometric_Understanding Mason (2009). „The van Hiele levels of geometric understanding.“] In ''Colección Digital Eudoxus 1.2''.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

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Aus algebraischer Sicht ist die folgende Gleichungskette offensichtlich wahr (Assoziativgesetz für Brüche):

<math>\frac{g}{2}h = g\frac{h}{2} = \frac{gh}{2}</math>.

* Welche geometrischen Zugänge fallen Ihnen zu diesen Termen ein?
* Warum ist ein solcher Zugang mit Blick auf die Algebra sinnvoll?
* Welche Stufe des Begriffserwerbs mit Blick auf die Geometrie (Begriff: ''Dreiecke'') wird durch einen solchen Zugang angesprochen?
* Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
||
Die Symbole lassen sich als Formel für die Berechnung des Flächeninhalt eines Dreiecks interpretieren. In ihnen sind sogar verschiedene Beweisideen der Berechnungsformel enthalten, die sich aus der Berechnungsformel des Flächeninhalts des Rechtecks herleiten lassen: Der Flächeninhalt ist das Produkt der Hälfte der Grundseite mit der Höhe bzw. die Hälfte des Produkts aus Grundseite und Höhe bzw. das Produkt der Grundseite mit der Hälfte der Höhe. Anfertigung von Skizzen zu den jeweiligen Interpretationen.

Der geometrische Zugang unterstützt das Aufbauen von Grundvorstellungen zur Bruchrechnung (u.a. Multiplikation Zahl-mal-Bruch und Bruch-mal-Zahl) und zum Termbegriff (u.a. Kalkülvorstellung, Gegenstandsvorstellung, Terme als „Bauplan“?). Aufzählung der Aspekte von Grundvorstellungen.

Die Diskussion der Gleichungskette aus geometrischer Perspektive verlangt mindestens ein integriertes Begriffsverständnis von Viereck und Dreieck (van-Hiele: 3 Apstraction). Beziehungen zwischen den Figuren Dreieck und Viereck müssen erkannt werden (Begriffsnetz). Schlussfolgerungen finden vermutlich auf informeller Ebene statt (etwa Zerlegungen und Verschiebungen vs. formaler Nachweis der Kongruenz von Teildreiecken und Flächengleichheit kongruenter Dreiecke).

Es werden u.a. die folgenden geometrischen Konzepte angesprochen: Strecke, Rechteck, Dreieck, Streckenlänge, Flächeninhalt, Zerlegungsgleichkeit, Translationsinvarianz von Streckenlänge und Flächeninhalt.
||
Die Aufgabe bietet Anlass, das Wissen zu folgenden Inhalten abzufragen: Grundvorstellungen, Stufen des Begriffserwerbs (van-Hiele-Modell). Darüber hinaus wird die Anwendung des Stufenmodells gefordert und es ist eine Begründung für die Stufenzuteilung nötig.


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Betrachten Sie die folgende Situation:

Für seine Mathematikhausaufgaben dividiert Lukas die Zahl 3 durch 1/3. Er wendet die Rechenregeln zur Bruch-Division richtig an und erhält das Ergebnis 9. Lukas fragt sich: „Warum kann das Ergebnis der Division größer sein als der Dividend?“

1. Wie erklären Sie sich Lukas‘ Denkfehler? Beziehen Sie das Konzept der Grundvorstellungen in die Beantwortung ein.

2. Mit welchem veranschaulichenden Beispiel könnte diesem Denkfehler entgegen gewirkt werden?

3. Könnte man Lukas den Sachverhalt auch anhand von geometrischen Figuren erklären?
||
1. Das Problem zeigt, wie wichtig neben den Rechenverfahren auch inhaltliche Vorstellungen mathematischer Inhalte, wie z.B. der Division, sind. Diese inhaltlichen Vorstellungen werden in der Mathematikdidaktik als Grundvorstellungen bezeichnet. Sie beschreiben die möglichst konkrete, inhaltliche ‚Interpretation‘ von mathematischen Objekten und Sachverhalten und sollen dabei helfen, ein tieferes Verständnis der mathematischen Verfahrensweisen zu erhalten.

Lukas verfügt nicht über ausreichende Grundvorstellungen der Division durch Brüche, weil er auf die Vorstellung der Division als ‚Verteilen‘ fixiert ist. Würde er sich stattdessen die Frage stellen, wie oft 1/3 in 3 ‚passt‘, und die Division damit als Frage des richtigen Aufteilens interpretieren, wäre sein Vorstellungsproblem gelöst.

2. Um Lukas‘ Denkfehler vorzubeugen, müsste bei den SuS die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation geweckt werden. Zur Veranschaulichung des Sachverhaltes eignet sich beispielsweise die folgende Problemstellung: „3 Liter Apfelsaft sind in 1/3-l-Flaschen umzufüllen. Wie viele Flaschen werden hierfür benötigt?“

3. Die folgende Möglichkeit bietet sich dazu an, Lukas den Sachverhalt bzw. die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation anhand von geometrischen Figuren zu vermitteln: Gegeben seien 3 identische, geometrische Figuren (z.B. Kreise, Rechtecke, Quadrate), die von den SuS in jeweils 3 gleich große Teile zerlegt werden sollen. Anschließend kann gezählt werden, wie viele ‚Drittel‘ in die 3 Figuren 'passen'.

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Die Aufgabe eignet sich dazu, das didaktische Konzept der 'Grundvorstellungen' anwendungsorientiert abzufragen.


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Situationen

Einführung gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke über AB mit 12 bis 16 Bildern entsprechender Dreiecke und dem Arbeitsauftrag mithilfe eines Lineals die Bilder in zwei Kategorien einzuteilen.

Fragen:

1. Welche Art von Begriffserarbeitung wurde hier gewählt und wieso? Gibt es Kritik an dieser Art?

2. Ist diese Art typisch bzw. geeignet um in der Sek. I einen Begriff einzuführen?

3. Welche Stufe den van-Hiele-Modell wird mit dieser Begriffseinführung angesprochen?

||
1. Begriffserarbeitung durch Abstraktion von gegebenen Objekten. Begriffsbildung wird als Klassenbildung verstanden anhand der charakteristischen Merkmale der Objekte (2 oder 3 gleich lange Seiten). Der Arbeitsauftrag „sortiere die Figuren nach ihrer Form“ ist typisch für diese Art der Begriffserarbeitung. Kritik: Überbetonung Unterschiede, hauptsächlich bildliche Vorstellungen

2. Typisch für Sek. 1, da nur Konstruktiv-operative Begriffsbildung oder Begriffsbildung durch Abstraktion zentral sind.

3. Analyse- Stufe, da es um die Klassifizierung von Dreiecke und dem Erkennen und Beschreiben von deren Eigenschaften geht. Diese Eigenschaften begründen Klassifizierung. Inhaltliches Begriffsverständnis, da noch keine Beziehung zwischen Eigenschaften hergestellt wird (vgl. Abstraktion).

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Es werden die im Seminar besprochenen Konzepte des Begriffslernens und der Begriffserarbeitung angesprochen und abgefragt.


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Betrachten Sie die Einführung des Begriffs eines Parallelogramms. Suchen Sie sich einen möglichen Einstieg einer Unterrichtsstunde aus (z.B. Parallelstreifen, Arbeitsblatt mit verschiedenen Vierecken,…), in welcher der Begriff des Parallelogramms eingeführt werden soll und beschreiben Sie anhand des Van-Hiele Modells den schrittweisen Begriffslernprozess in den entsprechenden 5 Phasen.

||
Beispiel Parallelstreifen:

1. Visualisation: Vierecke werden gelegt und dadurch eine ganzheitliche Erfassung von dem geometrischen Objekt des Vierecks angeregt. Basale Kenntnisse (4 Ecken, 4 Seiten,..) werden aktiviert.

2. Analysis: Spezielle Eigenschaften (verschiedene Winkelgrößen, Seitenlängen,..) werden erkannt und beschrieben.

3. Abstraction: Klassifizierungen (Rechteck, Quadrat, Parallelogramm) werden verstanden und mathematische Definitionen der einzelnen Begriffe herausgearbeitet.

4. Deduction: Geometrische Theorien und Eigenschaften der speziellen Kategorien Quadrat, Rechteck, Parallelogramm werden erkannt und Beziehungen zwischen den Begriffen werden schlussgefolgert.

5. Rigor: wird in der Schule eher weniger praktiziert. Das Verständnis von Beweisen und anspruchsvollen Sätzen ist in der Schule nicht zwingend gegeben.

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Durch diese Aufgabe wird das Van-Hiele Modell wiederholt und der Prozess des Begriffslernens anhand des Beispiels eines Parallelogramms nachvollzogen. Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte werden gefordert und man versetzt sich in eine konkrete Unterrichtseinheit.



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Eine siebte Klasse bearbeitet die folgende Aufgabenstellung:

Wie viele gemeinsame Punkte kann eine Kreislinie mit einer Geraden haben? Treten hierbei Symmetrien auf?
(Wie) Ist es möglich eine Gerade zu konstruieren, welche genau einen gemeinsamen Punkt mit der Kreislinie besitzt?

* Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
* Ist diese Aufgabenstellung geeignet um den Begriff der Tangente einzuführen? Wenn nicht, was sollte geändert werden?

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Es werden u.a. die folgenden geometrischen Konzepte angesprochen: Gerade, Kreis, Passante, Sekante, Tangente, rechte Winkel, Orthogonale und Achsensymmetrie.

Die Lösung der Aufgabenstellung verlangt mindestens ein Begriffsverständnis auf der Stufe 3 Apstraction (van Hile). Beziehungen zwischen Gerade und Kreis müssen erkannt werden. Schlussfolgerungen bezüglich der Konstruktion der Tangenten finden vermutlich nur auf informeller Ebene statt. (Es sieht so aus, als steht die Tangente senkrecht zum Radius durch den Schnittpunkt.)

In der Sekundarstufe 1 sind die konstruktiv-operative Begriffsbildung bzw. die Begriffsbildung durch Abstraktion zentral. Eine mögliche Vereinfachung der Aufgabenstellung könnte wie folgt aussehen: Die Klasse experimentiert nicht selbst mit der Anzahl der gleichen Punkte, sondern es werden die drei Möglichkeiten vorgegeben und dann selbstständig genauer auf ihre Eigenschaften untersucht.
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Die Aufgabe eignet sich dazu, die Einführung geometrischer Konzepte aus einer Aufgabenstellung in den Kontext des Stufenmodells der Begriffsbildung zu übertragen. Desweiteren wird bewertet, welche Arten der Begriffsbildung in welcher Klassenstufe sich als sinnvoll erweißen.



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Im Untericht wurde anhand von Prototypen, mit unterschiedlich großen benachbarten Winkeln und Seiten, der Begriff des Parallelograms erarbeitet. Die anschließende Reflexionsphase zeigt bei einigen SuS. Probleme beim erkennen von Quadraten, Rechtecken, Rauten usw. als Parallelograme.

*Wie könnte man vorgehen um diese Probleme abzubauen?
*Welche Begriffsvorstellungen liegen der Problematik zu Grunde?

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Im Kern beruht die Problematik auf der Vorstellung Parallelograme seien immer schief. Dabei herrscht eine Inuitive, ganzheitliche Vorstellung vor, die unzureichende Verknüpfungen oder Abgrenzungen zu den Begriffen Quadrate, Rechtecke, Raute aufzeigt.

Zum Abbau der Fehlvorstellung kann ein Konflikt zum Präkonzept Parallelograme erzeugt werden. So lassen sich durch systematische Erkundung der Eigenschaften von schiefen Parallelogramen, Quadraten usw. Gemeinsamkeiten und Unterschiede finden, die in den SuS. ein kritische Prüfung ihrer Präkonzepte anregen. So festigt sich eine Inhaltliche Vorstellung. Über Gemeinsamkeiten der Begriffe lässt sich der Parallelogramsbegriff in des Begriffsnetz der Vierecke einordenen und so ein Integrierte Begriffsvorstellung erzielen.

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Es werden beispielhaft Erarbeitung und Reflexion des Kurzfristigen Lehren geometrischer Begriff abgefragt.




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Eine Lehrerin in Klasse 5 führt den Begriff des Drachenvierecks ein, indem sie die SuS ein DIN A5 Blatt zu einem DIN A6 Blatt falten lässt. Danach sollen die SuS mit der Schere zwei Schnitte legen, die zusammen mit der Faltkante ein Dreieck ergeben. Anschließend wird auseinander gefaltet.

* Zu welcher Art der Begriffserarbeitung lässt sich dieser Zugang zuordnen?
* Warum hat die Lehrerin wohl diesen Zugang gewählt?/Erklären sie kurz, welches Prinzip dem Zugang zugrunde liegt?/Welche Vorteile ergeben sich aus ihm?
* Was muss die Lehrkraft bei diesem Zugang beachten?
* Welche anderen Zugänge fallen Ihnen konkret ein?

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Die Lehrerin wählt eine operative bzw. konstruierende Begriffserarbeitung, welche auf dem Operativen Prinzip beruht.

Die Schüler sollen durch den enaktiven Zugang zu einer dynamischen Begriffsvorstellung von Drachen gelangen. Durch die (aufgrund der Klassengröße mehrfach) durchgeführte Konstruktion (falten und schneiden) wird dem Objekt Eigenschaften und Beziehungen aufgeprägt, sodass sich SuS den Begriffsinhalt und durch mehrfaches Durchführen auch den Begriffsumfang relativ selbständig erschließen können. Eine Prototypenfixierung und eine Verkümmerung der feinmotorischen Fähigkeiten kann dadurch auch entgegengewirkt werden. Die Lehrkraft kann die Konstruktion vor der Klasse vormachen, sodass auch ohne Sprache jeder SuS die Möglichkeit hat aktiv das zu untersuchende Objekt zu erforschen (-> Inklusion). Außerdem können Beziehungen zu anderen Begriffen (Raute, Quadrat) beobachtet werden, die den zu erlernenden Begriff an ein schon vorhandenes Begriffsnetz anknüpft.

Wichtig bei dem gewählten Zugang ist nicht nur das zielgerichtete, internalisierte Handeln, sondern auch das bewusste Beobachten der Wirkung der Operation. Die Lehrerin sollte/kann dies durch einige der folgenden Leitfragen unterstützen:
* Welche Eigenschaften werden einem Drachenviereck durch dieses Herstellungsverfahren aufgeprägt?
* Welche verschiedenen Formen kann ein Drachenviereck haben?
* Wie muss man schneiden, damit alle vier Seiten gleichlang werden? Kann man auch ein Quadrat erhalten?

Alternativ könnte man auch eine Sortierungsaufgabe stellen, in der Drachenvierecke aus verschiedenen Vierecken ausgesucht werden sollen (Begriffsbildung durch Abstraktion). Ein anderer Zugang wäre ein „echter“ Drache, an dem Eigenschaften untersucht werden (Exemplarische Begriffsbildung) oder die Definition eines Drachen als ein bzgl. einer Diagonale achsensymmetrisches Viereck (Spezifikation aus einem Oberbegriff). Grundsätzlich ist für eine umfassende Begriffsvorstellung der Einsatz verschiedener Zugänge am besten.

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Diese Aufgabe deckt die verschieden Arten der Begriffserarbeitung, insbesondere das Operative Prinzip ab. An Hand der operativen Begriffserarbeitung werden Herausforderungen, Vorteile, Nachteile sowie Alternativen diskutiert und reflektiert. Ausgehend von dieser Frage lassen sich weiter Fragen zu den Phasen des kurzfristigen Begriffserwerb, Grund- bzw. Fehlvorstellungen oder mentalen Modellen stellen.



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Der Lehrplan der 5. Klasse (Gymnasium) sieht vor, dass neben den Begriffen Viereck, Rechteck und Quadrat auch die Begriffe Würfel und Quarder eingeführt werden. Darüber hinaus wird gefordert, den SuS die Darstellungsform des Würfel- bzw. Quardernetzes zu vermitteln und Zusammenhänge zu anderen Darstellungsformen herzustellen (z.B. zu Schrägbildern).

1) Wie beurteilen Sie dieses Vorgehen? Welche Schwierigkeiten können bei der Realisierung im Unterricht auftreten und wie ließen sich diese beheben?

2) Welche Aspekte des Begriffslernens werden bei einem solchen Ansatz besonders angesprochen?

3) Welche Arten des Begriffslernens lassen sich an diesem Ansatz realisieren? Nennen Sie Beispiele!
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1)
* grundsätzlich gutes Vorgehen, da anderer Blick auf den bereits gelernten Begriff des Würfels / Quarders --> Erweiterung des Begriffskonzepts
* praktisch umsetzbar (z.B. Basteln von Würfelnetzen)
* ggf. Schwierigkeiten aufgrund mangelnden räumlichen Vorstellungsvermögens (--> Veranschaulichung durch Modelle / Nachbasteln)
* verlangt gewisses Maß an Abstraktion (--> entdeckendes Lernen, beispielsweise als Gruppen- oder kleine Projektarbeit)
* möglicherweise unterschiedliche Konzepte von Würfeln / Quardern: "ausgefüllt" vs. "leer" (je nachdem wie der Begriff eingeführt wurden, kann beispielsweise die Vorstellung eines Würfels als eines tatsächlichen Spielwürfels (der massiv ist und nicht "nur" durch sechs quadratische Flächen begrenzt wird) vorliegen, sodass das Konzept des "Auseinanderfaltens" der Flächen des Würfels Probleme bereiten kann) (--> Definition des Würfels / Quarders passend wählen als Körper, der durch sechs entsprechende Flächen begrenzt wird)

2)
* Aufbau von Vorstellungen: Wahrnehmung des Würfels als "aufklappbar" und Handlung an konkreten Gegenständen (z.B. Modell eines Würfels, Tetrapack, Kantenmodell)
* Wissen über Eigenschaften von Würfeln / Quardern wird vertieft
* Aneingnen von Fähigkeiten: v.a. konstruieren (z.B. passendes Würfelnetz zu gegebenem Würfel konstruieren), argumentieren (z.B. begründen, warum ein bestimmtes Netz nicht zu einem bestimmten Quarder passen kann) oder problemlösen (z.B. anhand der Länge eines Drahtstückes die möglichen Würfel und Quarder ermitteln und erstellen, welche damit konstruiert werden können)

3)
* Ausgehend von Einzelobjekten den Begriff des Quarder- / Würfelnetztes erarbeiten --> exemplarische Begriffsbildung
* ausgehend von den Oberbegriffen Würfel und Quarder (Vorwissen über Quadrate und Rechtecke sowie geometrische Körper) die Begriffe Würfel- und Quardernetz erlernen --> Spezifikation aus Oberbegriffen
* anhand von Modellen / Basteln / Nachbauen / Falten den Begriff des Würfels / Quarders vertiefen --> operative Begriffsbildung
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* Auseinandersetzung mit den groben Inhalten und Zielen des Lehrplans
* Auseinandersetzung mit den Zielen und Komponenten des Begriffslernens (Aufbau von Vorstellungen, Erwerb von Kenntnissen, Aneignen von Fähigkeiten) und Anwendung dieser Komponenten auf einen konkreten Unterrichtsinhalt
* Auseinandersetzung mit den Arten des Begriffslernens und deren Möglichkeiten am konkreten Unterrichtsinhalt


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Eine klassische Methode zur Konstruktion von Kreisen ist das zeichnen von Kreisen mit Hilfe einer Schnur. Ein Ende der Schnur wird dabei beispielsweise mit einer Stecknadel fixiert, während ein Stift/Stück Kreide am anderen Schnurende befestigt wird. Die Schnur wird gespannt und der Stift um den Mittelpunkt geführt, um einen Kreis zu zeichnen. Sie beschließen den Begriff des Kreises auf diese Art und Weise einzuführen.

1) Welche Art der Begriffsbildung liegt dieser Methode zu Grunde?

2) Wie lautet die formale Definition des Kreises? Welche inhaltlichen Aspekte des Begriffs Kreis lassen sich durch die gewählte Handlung ableiten?

3) In welcher Phase des Begriffslernens nach dem van-Hiele-Modell würden Sie einen solchen Ansatz wählen?

||
1) Das operative Prinzip liegt der Methode zu Grunde. Eine konstruktive oder operative Art der Begriffsbildung wird hier gewählt. Durch die Handlung werden inhaltliche Eigenschaften internalisiert. Schülerinnen und Schüler lernen den Begriff Kreis zu denken, indem sie die definierenden Eigenschaften eines Kreises in der realen Welt umsetzen ("Denken ist internalisiertes Handeln" - Piaget).

2) Def.: Menge aller Punkte, welche im Abstand r>0 zu einem Punkt P liegen.
Bei der Konstruktion von Kreisen mit der gegebene Methode lassen sich die folgenden inhaltlichen Eigenschaften von Kreisen nachvollziehen:
* Kreismittelpunkt (verkörpert durch die Stecknadel, mit welcher die Schnur fixiert ist)
* Radius (verkörpert durch die gespannte Schnur fester Länge)
* Kreislinie/Menge der Punkte auf dem Kreis (verkörpert durch die gezeichnete Linie)
Die direkten Analogien zwischen Konstruktionswerkzeugen und Kreiseigenschaften machen den Begriff und die abstrakte Definition des Kreises greifbar.

3) Der Ansatz lässt sich in der zweiten Phase des Begriffslernens nach van-Hiele zuordnen (2. Analysis: Geometrisch-analysierendes Denken). Denn:
* Ein Prototyp eines Kreises liegt bereits vor, denn Ziel der Handlung ist bekannt (also nicht erste Phase)
* Inhaltliche Eigenschaften sollen untersucht werden (Radius, Mittelpunkt, ...)
* Anschauliche Begründungen für Definition von Kreisen und deren Eigenschaften
* Beziehungen zwischen den Eigenschaften (Bspw. Radius <-> Umfang, Radius <-> Fläche) liegen nicht im Fokus (also nicht dritte Phase)

||
* Reflexion der Arten des Begriffslernens
* Anwendung der im Seminar behandelten Modelle des Begriffslernens
* Didaktische Argumentation für eine konkrete Unterrichtsmethode


|}

== Literaturhinweise ==

* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.
* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Aebli (1985): „Das Operative Prinzip“] In ''Mathematik lehren''. (Zweiter Teil des PDFs)
* [https://link.springer.com/article/10.1007/s11858-003-0002-5 Schwank (2003): „Einführung in prädikatives und funktionales Denken“] In ''ZDM Mathematics Education''
* [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-642-02362-0 Scriba und Schreiber (2010): „5000 Jahre Geometrie“].

GeometrieUndUnterrichtSS2019 03

2019-05-16T21:19:31Z

Pquicker: /* Ergebnisse der Nachbereitung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Unterrichtsaktivität für die Einführung bzw. einführenden Erarbeitung des Begriffs ''Parallelogramm''. Ziel der Unterrichtsaktivität ist die Kenntnis der Begriffsdefinition. Gehen Sie von einer generischen (Real-)Schulklasse der sechsten Jahrgangsstufe aus. Gehen Sie davon aus, dass die Schüler*innen aus der fünften Jahrgangsstufe bereits in der Lage sind, 'Parallelität' im Kontext paralleler Geraden und Vierecke, Quadrate und Rechtecke identifizieren können. Beachten Sie auch [http://www.bildungsplaene-bw.de/,Lde/LS/BP2016BW/ALLG/SEK1/M/IK/5-6/03 den gemeinsamer Bildungsplan für die Sekundarstufe I] des Landes Baden-Württemberg.

In der [https://www.ph-heidelberg.de/didaktische-werkstatt-mathematik-und-informatik Didaktischen Werkstatt Mathematik und Informatik] der PH Heidelberg finden Sie u.a. eine Sammlung von verschiedenen Schulbüchern, die Sie gerne zur Inspiration nutzen können.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1zJ_R6H-kaYdej31urdaYdSNWJG5F7Ga-kcHsYVNtr6k/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 10.05.2019]
* [https://drive.google.com/file/d/16-5bPnzUdlZimEor4vVfUkKovk4IGokK/view?usp=sharing Screenshot „Das Problem der Apfelbauern“ (Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve)]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Zusammenfassung ===
Das Augenmerk dieser Sitzung lag auf der kurzfristigen Erarbeitungsphase von Begriffen. Dabei haben wir die verschiedenen Zugänge zur Erarbeitung von geometrischen Begriffen sowie konkrete Beispiele für sie kennengelernt. Dabei haben sich das ''operative Prinzip'' sowie die ''Begriffsbildung durch Abstraktion'' als zentral für den Begriffserwerb im Geometrieunterricht in der Sekundarstufe erwiesen. Da sich ''mathematische Denkstile'' wie Lernstile auch in persona je nach Thematik und über die Zeit abwechseln und jeder Zugang verschiedene Vor- und Nachteile besitzt, ist ein ergänzender, abwechslungsreicher Umgang der Zugänge am gewinnbringendsten. Unabhängig von dem gewählten Zugang sollten ''Phänomene'' als Ausgangspunkt für die Begriffsbildung im Geometrieunterricht genutzt werden und zwar solche, die unter mathematischen und didaktischen Aspekten vertretbar sind.

=== Inputphase ===
Im Allgemeinen erfolgt der kurzfristige Erwerb von geometrischen Begriffen in drei Phasen (vgl. Weigand et al. 2018, S. 100f.). In der ersten Phase wird zunächst ein Bedürfnis zur Bildung des Begriffs geschaffen, indem ein passender ''Problemkontext'', möglichst ein Phänomen (s.u.), betrachtet wird. Danach folgt die Phase der ''Erarbeitung'' des Begriffs, in der intuitiv gesammelte Begriffsvorstellungen präzisiert sowie '''Begriffsinhalt''' und '''Begriffsumfang''' konkretisiert werden. Im Unterricht zählen dazu neben der Sicherung im Heft auch schon erste Übungsphasen. Um einen Begriff in seinem Kontext zu verstehen, schließt sich anschließend eine ''Reflexionsphase'' an. In dieser werden Prototypen bewertet und der zu lernendn geometrische Begriff in ein '''Begriffsnetz''' einsortiert.
Welche Umsetzungsmöglichkeiten sich für die ersten beiden Phasen konkret für eine(n) Lehrer(in) ermöglichen und welche Vor- und Nachteile diese beinhalten, wurde im Verlauf der Sitzung näher erörtert.

==== Phase 2: Erarbeitungsphase ====
In der unteren Tabelle sind die Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags (siehe unten und Abb. 1) den einzelnen '''Arten der Begriffserarbeitung''' zugeordnet sowie Vor- und Nachteile aufgelistet. Die größte Bedeutung für die Erarbeitung eines geometrischen Begriffs in der Sekundarstufe besitzt die operative Begriffsbildung, welche auf dem von Aebli 1985 geprägten ''operativen Prinzip'' beruht, sowie in der Sek II immer zunehmender die Begriffsbildung durch Abstraktion.
[[Datei:Ergebnisse_des_Vorbereitungsauftrages.png|thumb|Abb. 1: Ideensammlung zur Begriffserarbeitung 'Parallelogramm']]
[[Datei: MD Geo VB2.pdf|thumb| Beispiel eines Vorbereitungsauftrags]]

===== Tabelle 1: Arten der Begrifferarbeitung =====
{| class="wikitable"
|-
| '''Arten der Begriffserarbeitung''' || '''Grundidee''' || '''Ausgangspunkt''' || '''Klassenstufe''' || '''Nachteile''' ||| '''Bsp. (auch Vorbereitungsauftrag)'''
|-
| '''Exemplarische Begriffsbildung''' || Generalisierung und Bildung ganzheitlicher Vorstellungen (Gestalt, Bild, Aussehen) durch Vergleich von (gemeinsamen) Eigenschaften und Analyse von Bsp. und Gegenbsp. aus dem Alltag || Einzelobjekt/ Einzelfall || Primarstufe und Übergang zur Sekundarstufe ||
* eher ungeeignet für Sek1

* Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')
||
* Begriffsbildung aus Bildern
|-
| '''Spezifikation aus einem Oberbegriff''' || Ausbildung eines Teilbegriffs durch Einschränkung von Eigenschaften bzw. Angabe von Anforderungen || allgemeiner Oberbegriff || ||
* Notwendigkeit von Vorwissen
* Deduktiver Charakter und nicht von der Problemstellung ausgehend (nicht induktiv)
||
* ''Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel''
|-
| '''Konstruktive oder operative Begriffsbildung''' 
(''funktionales Denken'')
|| Ausbildung einer dynamischen bzw. flexiblen Begriffsvorstellung durch internalisiertes, zielgerichtetes Handeln (variable Operationen, Transformationen und Konstruktionen) und bewusstes, reflektierendes Beobachten der durch die Handlung aufgezwungen Eigenschaften || reale, virtuelle oder mentale Handlung || uneingeschränkt ||
* Bedarf an konkreten, unterstütztenden Beobachtungshilfen/-fragen
|| * Parallelstreifen
* Gelenkparallelogramm
|-
| '''Begriffsbildung durch Abstraktion''' 
(''prädikatives Denken'')
|| Begriffsbildung durch (Äquivalenz-)Klassenbildung, d.h. Sortieren anhand charakteristischer Merkmale. Das inkludiert ein:
* Abstraktionsprozess
* Idealisierungsprozess
|| Beispiele und Gegenbeispiele || höhere Klassenstufen ||
* Förderung von Prototypen und Partitionen anstelle von Hierachien (''interner Bezüge'')
||
* Realisieren und Identifizieren
* Sortierungsaufgabe mit Bsp. und Gegenbsp.: ''Sortiere die Figuren nach ihrer Form''
* Geschichte: Rechtecke verändern
* Variation der Quadratdefiniton
|-
|}

===== Operatives Prinzip und operative Begriffsbildung =====
Das '''Operative Prinzip''' (vgl. Aebli 1985, Wittmann 1985) ist ein didaktisches Konzept, welches schulische Lern- und Denkprozesse auf internalisiertes Handeln gründet und zumeist bei Problemlöseaufgaben und Phasen des entdeckenden Lernens eingesetzt wird. Ein zentraler Aspekt des Konzepts ist der Begriff der Operation. An konkreten Problemstellungen beginnen in jeglichen Lebensaltern Denkprozesse. Durch zielgerichtete praktische Handlungen (Zeichnen, Konstruieren, Falten, Bewegen) und bewusste Beobachtungen (Varianz, Invarianz, Abhängigkeiten und Beziehungen) können Operationen, Begriffe und Eigenschaften verinnerlicht und Grundvorstellungen aufgebaut werden (''''Interiorisation''''). Bei einigen Begriffen und Operationen bedarf es einer zusätzlichen Abstraktion der praktischen Handlungen (z.B. die Zahl л durch Umfangsmessungen) sowie einer begrifflichen (Re-)Konstruktion mit Hilfe der Vorkenntnisse der Schüler. Um sich von Prototypen und konkreten Situation zu lösen, werden sie zahlreichen Transformationen unterzogen und aus verschieden Blickwinkeln betrachtet. Schließlich zeigt sich das Ziel und die Produkte des operativen Prinzips sowohl in der Anwendung auf konkreten Handlungssituationen, als auch in der Erkenntnis des Systemcharakters von Operationen und Begriffen.

: '' '''Operative (konstruktive) Begriffsbildung''': „Ein Begriff wird nach dieser Methode dadurch erschlossen, dass man ein Verfahren zur Konstruktion der unter den Begriff fallenden Objekte angibt und die diesen Objekten durch die Konstruktion aufgeprägter Eigenschaften untersucht" (Wittmann 1985).''

In der Praxis sind für den erfolgreichen Einsatz der operativen Begriffsbildung Beobachtungen der SuS durch zielgerichtete Aufgabenstellungen und Hypothesenaufträge zu unterstützen (Folie 9).
:* Welche Transformationen sind durchführbar?
:* Welche Operationen ermöglicht das Werkzeug?
:* Welche Eigenschaften und Beziehungen haben Objekte?
:* Welche Wirkung haben Transformationen auf Eigenschaften und Beziehungen?
:* Formulierungen von Vermutungen und Begründungen

==== Phase 1: Darbietung des Problemkontextes ====
===== Phänomene =====
'''Phänomene''' sind für die Entwicklung von Begriffsvorstellungen (''Konstituierung mentaler Objekte'') gut geeignet sowie dazu, um in den ersten Kontakt mit dem zu erarbeitenden Begriff zu treten. Sie eröffnen eine oder mehrere Problemstellungen, die z.T. auch entwicklungsgeschichtlich zur Begriffsdefinition motiviert haben und die die Sinnhaftigkeit der Begriffsbildung hervorheben. Offensichtlich spielt das Vorwissen oder die Vorerfahrung der SuS eine entscheidende Rolle bei der Entwicklung des Begriffsverständnisses. Faltkanten in einem Blattpapier legen beispielsweise die Definition des Begriffs ''Gerade'' nahe (weitere Bsp. Folie 13). Dabei sollte für jeden Begriff die Tragfähigkeit des Phänomens unter mathematischen und didaktischen Gesichtspunkten geprüft werden. Als solide erweisen sich '''kulturhistorisch-genetische Phänomene''' (z. B. Quadratur des Kreises, Dreiteilung des Winkels), '''Alltags-/Lebenswirklichkeits-Phänomene''' (z. B. Flächenberechnung fürs Fliesenlegen, Optimierungsprobleme wie der kürzeste Weg zwischen A und B in Mannheim) und '''innermathematische Phänomene''' (z. B. Invarianz des Abstands zweier Parallelen, Klassifikationen von Vierecken). Nach van Hofe sollte ein dem Begriff angemessenes Beispiel/Phänomen gewählt werden.

=== Arbeitsphase ===
Äquidistanzkurven wurden in der Arbeitsphase als Beispielphänomen zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten genutzt und untersucht.

:'''''Äquidistanzpunkte''' sind diejenigen Punkte (der Ebene/des Raumes), die von vorgegebenen geometrischen Objekten den gleichen Abstand haben.''

Dieser koordinatenlose Zugang zur Kurvengeometrie bietet einen „historischen“ Einblick in eine Art und Weise Geometrie zu betreiben. René Decartes und Pierre de Fermat entwickelten (unabhängig voneinander) die Koordinatenmethode erst 1637. Dieses Jahr gilt als natürliche Grenze zum Übergang in die „moderne“ Mathematik. Vor Begründung der Koordinatenmethode wurden Kurven etwa als ebene Schnitte räumlicher Figuren (etwa Kegelschnitte), durch punktweise Konstruktion oder durch (gedachte) mechanische Erzeugung mit bestimmten Werkzeugen konstruiert.

Äquidistanzkurven dienen beispielsweise als Ausgangspunkt zur Beschreibung von Parabeln, Kreisen, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden. Das Phänomen ist demnach kulturhistorisch-genetisch, aber auch innermathmatisch begründet.

===== Die Problemstellung =====
„Alice und Bob sind Apfelbauern. Zwei ihrer Apfelbäume stehen nebeneinander. Jedes Jahr streiten sie sich darum, welche Äpfel auf dem Boden von welchem Baum gefallen sind. Ihr Freund Charlie möchte den beiden helfen. Wie können die Äpfel auf die beiden aufgeteilt werden?“
Neben Charlie waren die Bäume von Alices und Bobs sowie einige Äpfel im Geogebra-Applet als Punkte dargestellt.
Im Plenum wurden einige mögliche Schülerantworten bezüglich ihrer Fairness diskutiert und mit Geogebra z.T. auch in Kleingruppen ausprobiertund umgesetzt.

===== Lösungsvorschläge =====
Neben der Mittelsenkrechten, deren Begriffsinhalt (Eigenschaft: Äquidistanzkurve zweier Punkte) Ziel der Aufgabe darstellte, wurde auch das Zeichnen zweier Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt Charlie als Lösungsvorschlag genannt. Bei Letzterem lässt sich jedoch ein Apfel keinem der beiden Kreise zuordnen. Ein an die Konstruktion der Mittelsenkrechten angelehnter Vorschlag wäre das Zeichnen zweier Kreise mit Mittelpunkt in je einem Baum durch den Punkt des jeweils anderen Baumes. Die Äpfel in der Schnittmenge sollten dann geteilt werden. Doch auch hier können (zumindest theoretisch) Äpfel auftauchen, die in keinem Kreis liegen.

===== Bemerkungen und Kritik =====
Zum einen wurde festgestellt, dass bei sauberer Formulierung der Fragstellung Nachfragen bezüglich der Hangneigung und Höhe der Bäume vorgebeugt werden kann. Zum anderen entscheidet das '''Zeitbudget''', wie offen bzw. angeleitet sie gefasst werden kann. Dabei sollte das Ziel der Aufgabe immer im Blick behalten werden, denn die Fülle an Lösungsmöglichkeiten und ihr Diskussionspotential erfordert viel Zeit, denn Schülerantworten sollten ernst genommen werden. 
Außerdem ist dieser Zugang '''als Einstiegszugang''' zum Begriffserwerb der Mittelsenkrechten '''schlecht''' geeignet, da Begriffe (wenn möglich) immer angelehnt an ihre Etymologie eingeführt werden sollten. Im Falle der Mittelsenkrechten entspricht das der Konstruktion einer Senkrechten durch den Mittelpunkt einer Strecke zwischen A und B. 
Die SuS wissen i.A. nicht, dass die Mittelsenkrechte weiterhin die Eigenschaft einer Äquidistanzkurve erfüllt. Mit Hilfe der Geogebra-Software, insbesondere des Spurmodus, kann dieser Zugang dazu genutzt werden, dieses Charakteristikum '''enaktiv''' zu erschließen und '''sichtbar''' zu machen: Dazu wurden die Punkte der Bäume mit dem Punkt Charlie durch eine Strecke verbunden und ihr Abstand durch das Abstandstool gemessen. Die Äquidistanzkurve kann dann bei aktiviertem Spurmodus durch Bewegen von Charlie und konstantes Überwachen der Abstände ermittelt werden. Zu diesen Zeitpunkt ist (den SuS) noch nicht klar, dass die durch den Spurmodus sichtbar gemachte Äquidistanzkurve genau der Mittelsenkrechten der zwei Punkten entspricht. Deshalb steht die Lehrkraft danach vor der Aufgabe '''beide Zugänge''' miteinander zu '''verbinden''', um ein '''integriertes mentales Modell''' bei den SuS zu produzieren. Dies kann über Plausibilitätsargumente wie Kreise mit Mittelpunkt auf der konstruierten Mittelsenkrechten durch die Ausgangspunkte geschehen oder angelehnt an den eigentlichen Kongruenzbeweis durch Symmetriebetrachtungen eines durch die Mittelsenkrechte geteilten, gleichschenkligen Dreiecks (siehe Abb. 2).
[[Datei:Mittelsenkrechte-Äquidistanzkurve.png|thumb|Abb. 2: Beweisidee zur Mittelsenkrechte als Äquidistanzkurve zweier Punkte]]

===== Das Fazit der Arbeitsphase =====
Zur Untersuchung von Äquidistanzkurven ist die „Spurmodus“-Funktion in Geogebra (auch bei anderen dynamischen Geometrie-Programmen) sehr geeignet.

=== Zusatzmaterial ===

Als zusätzliche Übungsgelegenheit für die Unterstützung des Begriffslernens mit Blick auf das Operative Prinzip finden Sie die Aktivität „Schwarze Kisten am Dreieck“ in der GeoGebra.org-Gruppe des Seminars. Entwerfen Sie hierzu ein Arbeitsblatt zur angeleiteten Exploration des Applets. Versuchen Sie dabei explizite Handlungs-, Beobachtungs- und hypothesengenerierende Anweisungen zu geben.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Begriffslernen'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Kapitel 5 „Begriffslernen und Begriffslehren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
* Diverse Ausgangspunkte zu Diskussionen über Grundvorstellungen und Darstellungen sind in den ersten Kapiteln von [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-06835-6 Ludwig et. al. (2015). „Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen“] zu finden.
* Kapitel 4 in [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-658-04222-6 Kaenders & Schmitt (2014). „Mit GeoGebra mehr Mathematik verstehen“] bietet Ausgangspunkte zur Diskussion über das Operative Prinzip. Genauso [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.

Mögliche Inspiration können Sie gerne auch weiteren Quellen entnehmen. Zum Beispiel:
* [https://www.researchgate.net/publication/242204500_The_van_Hiele_Levels_of_Geometric_Understanding Mason (2009). „The van Hiele levels of geometric understanding.“] In ''Colección Digital Eudoxus 1.2''.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

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Aus algebraischer Sicht ist die folgende Gleichungskette offensichtlich wahr (Assoziativgesetz für Brüche):

<math>\frac{g}{2}h = g\frac{h}{2} = \frac{gh}{2}</math>.

* Welche geometrischen Zugänge fallen Ihnen zu diesen Termen ein?
* Warum ist ein solcher Zugang mit Blick auf die Algebra sinnvoll?
* Welche Stufe des Begriffserwerbs mit Blick auf die Geometrie (Begriff: ''Dreiecke'') wird durch einen solchen Zugang angesprochen?
* Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
||
Die Symbole lassen sich als Formel für die Berechnung des Flächeninhalt eines Dreiecks interpretieren. In ihnen sind sogar verschiedene Beweisideen der Berechnungsformel enthalten, die sich aus der Berechnungsformel des Flächeninhalts des Rechtecks herleiten lassen: Der Flächeninhalt ist das Produkt der Hälfte der Grundseite mit der Höhe bzw. die Hälfte des Produkts aus Grundseite und Höhe bzw. das Produkt der Grundseite mit der Hälfte der Höhe. Anfertigung von Skizzen zu den jeweiligen Interpretationen.

Der geometrische Zugang unterstützt das Aufbauen von Grundvorstellungen zur Bruchrechnung (u.a. Multiplikation Zahl-mal-Bruch und Bruch-mal-Zahl) und zum Termbegriff (u.a. Kalkülvorstellung, Gegenstandsvorstellung, Terme als „Bauplan“?). Aufzählung der Aspekte von Grundvorstellungen.

Die Diskussion der Gleichungskette aus geometrischer Perspektive verlangt mindestens ein integriertes Begriffsverständnis von Viereck und Dreieck (van-Hiele: 3 Apstraction). Beziehungen zwischen den Figuren Dreieck und Viereck müssen erkannt werden (Begriffsnetz). Schlussfolgerungen finden vermutlich auf informeller Ebene statt (etwa Zerlegungen und Verschiebungen vs. formaler Nachweis der Kongruenz von Teildreiecken und Flächengleichheit kongruenter Dreiecke).

Es werden u.a. die folgenden geometrischen Konzepte angesprochen: Strecke, Rechteck, Dreieck, Streckenlänge, Flächeninhalt, Zerlegungsgleichkeit, Translationsinvarianz von Streckenlänge und Flächeninhalt.
||
Die Aufgabe bietet Anlass, das Wissen zu folgenden Inhalten abzufragen: Grundvorstellungen, Stufen des Begriffserwerbs (van-Hiele-Modell). Darüber hinaus wird die Anwendung des Stufenmodells gefordert und es ist eine Begründung für die Stufenzuteilung nötig.


|-
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Betrachten Sie die folgende Situation:

Für seine Mathematikhausaufgaben dividiert Lukas die Zahl 3 durch 1/3. Er wendet die Rechenregeln zur Bruch-Division richtig an und erhält das Ergebnis 9. Lukas fragt sich: „Warum kann das Ergebnis der Division größer sein als der Dividend?“

1. Wie erklären Sie sich Lukas‘ Denkfehler? Beziehen Sie das Konzept der Grundvorstellungen in die Beantwortung ein.

2. Mit welchem veranschaulichenden Beispiel könnte diesem Denkfehler entgegen gewirkt werden?

3. Könnte man Lukas den Sachverhalt auch anhand von geometrischen Figuren erklären?
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1. Das Problem zeigt, wie wichtig neben den Rechenverfahren auch inhaltliche Vorstellungen mathematischer Inhalte, wie z.B. der Division, sind. Diese inhaltlichen Vorstellungen werden in der Mathematikdidaktik als Grundvorstellungen bezeichnet. Sie beschreiben die möglichst konkrete, inhaltliche ‚Interpretation‘ von mathematischen Objekten und Sachverhalten und sollen dabei helfen, ein tieferes Verständnis der mathematischen Verfahrensweisen zu erhalten.

Lukas verfügt nicht über ausreichende Grundvorstellungen der Division durch Brüche, weil er auf die Vorstellung der Division als ‚Verteilen‘ fixiert ist. Würde er sich stattdessen die Frage stellen, wie oft 1/3 in 3 ‚passt‘, und die Division damit als Frage des richtigen Aufteilens interpretieren, wäre sein Vorstellungsproblem gelöst.

2. Um Lukas‘ Denkfehler vorzubeugen, müsste bei den SuS die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation geweckt werden. Zur Veranschaulichung des Sachverhaltes eignet sich beispielsweise die folgende Problemstellung: „3 Liter Apfelsaft sind in 1/3-l-Flaschen umzufüllen. Wie viele Flaschen werden hierfür benötigt?“

3. Die folgende Möglichkeit bietet sich dazu an, Lukas den Sachverhalt bzw. die Grundvorstellung der Division als ‚Aufteilen‘-Operation anhand von geometrischen Figuren zu vermitteln: Gegeben seien 3 identische, geometrische Figuren (z.B. Kreise, Rechtecke, Quadrate), die von den SuS in jeweils 3 gleich große Teile zerlegt werden sollen. Anschließend kann gezählt werden, wie viele ‚Drittel‘ in die 3 Figuren 'passen'.

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Die Aufgabe eignet sich dazu, das didaktische Konzept der 'Grundvorstellungen' anwendungsorientiert abzufragen.


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Situationen

Einführung gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke über AB mit 12 bis 16 Bildern entsprechender Dreiecke und dem Arbeitsauftrag mithilfe eines Lineals die Bilder in zwei Kategorien einzuteilen.

Fragen:

1. Welche Art von Begriffserarbeitung wurde hier gewählt und wieso? Gibt es Kritik an dieser Art?

2. Ist diese Art typisch bzw. geeignet um in der Sek. I einen Begriff einzuführen?

3. Welche Stufe den van-Hiele-Modell wird mit dieser Begriffseinführung angesprochen?

||
1. Begriffserarbeitung durch Abstraktion von gegebenen Objekten. Begriffsbildung wird als Klassenbildung verstanden anhand der charakteristischen Merkmale der Objekte (2 oder 3 gleich lange Seiten). Der Arbeitsauftrag „sortiere die Figuren nach ihrer Form“ ist typisch für diese Art der Begriffserarbeitung. Kritik: Überbetonung Unterschiede, hauptsächlich bildliche Vorstellungen

2. Typisch für Sek. 1, da nur Konstruktiv-operative Begriffsbildung oder Begriffsbildung durch Abstraktion zentral sind.

3. Analyse- Stufe, da es um die Klassifizierung von Dreiecke und dem Erkennen und Beschreiben von deren Eigenschaften geht. Diese Eigenschaften begründen Klassifizierung. Inhaltliches Begriffsverständnis, da noch keine Beziehung zwischen Eigenschaften hergestellt wird (vgl. Abstraktion).

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Es werden die im Seminar besprochenen Konzepte des Begriffslernens und der Begriffserarbeitung angesprochen und abgefragt.


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Betrachten Sie die Einführung des Begriffs eines Parallelogramms. Suchen Sie sich einen möglichen Einstieg einer Unterrichtsstunde aus (z.B. Parallelstreifen, Arbeitsblatt mit verschiedenen Vierecken,…), in welcher der Begriff des Parallelogramms eingeführt werden soll und beschreiben Sie anhand des Van-Hiele Modells den schrittweisen Begriffslernprozess in den entsprechenden 5 Phasen.

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Beispiel Parallelstreifen:

1. Visualisation: Vierecke werden gelegt und dadurch eine ganzheitliche Erfassung von dem geometrischen Objekt des Vierecks angeregt. Basale Kenntnisse (4 Ecken, 4 Seiten,..) werden aktiviert.

2. Analysis: Spezielle Eigenschaften (verschiedene Winkelgrößen, Seitenlängen,..) werden erkannt und beschrieben.

3. Abstraction: Klassifizierungen (Rechteck, Quadrat, Parallelogramm) werden verstanden und mathematische Definitionen der einzelnen Begriffe herausgearbeitet.

4. Deduction: Geometrische Theorien und Eigenschaften der speziellen Kategorien Quadrat, Rechteck, Parallelogramm werden erkannt und Beziehungen zwischen den Begriffen werden schlussgefolgert.

5. Rigor: wird in der Schule eher weniger praktiziert. Das Verständnis von Beweisen und anspruchsvollen Sätzen ist in der Schule nicht zwingend gegeben.

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Durch diese Aufgabe wird das Van-Hiele Modell wiederholt und der Prozess des Begriffslernens anhand des Beispiels eines Parallelogramms nachvollzogen. Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte werden gefordert und man versetzt sich in eine konkrete Unterrichtseinheit.



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Eine siebte Klasse bearbeitet die folgende Aufgabenstellung:

Wie viele gemeinsame Punkte kann eine Kreislinie mit einer Geraden haben? Treten hierbei Symmetrien auf?
(Wie) Ist es möglich eine Gerade zu konstruieren, welche genau einen gemeinsamen Punkt mit der Kreislinie besitzt?

* Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
* Ist diese Aufgabenstellung geeignet um den Begriff der Tangente einzuführen? Wenn nicht, was sollte geändert werden?

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Es werden u.a. die folgenden geometrischen Konzepte angesprochen: Gerade, Kreis, Passante, Sekante, Tangente, rechte Winkel, Orthogonale und Achsensymmetrie.

Die Lösung der Aufgabenstellung verlangt mindestens ein Begriffsverständnis auf der Stufe 3 Apstraction (van Hile). Beziehungen zwischen Gerade und Kreis müssen erkannt werden. Schlussfolgerungen bezüglich der Konstruktion der Tangenten finden vermutlich nur auf informeller Ebene statt. (Es sieht so aus, als steht die Tangente senkrecht zum Radius durch den Schnittpunkt.)

In der Sekundarstufe 1 sind die konstruktiv-operative Begriffsbildung bzw. die Begriffsbildung durch Abstraktion zentral. Eine mögliche Vereinfachung der Aufgabenstellung könnte wie folgt aussehen: Die Klasse experimentiert nicht selbst mit der Anzahl der gleichen Punkte, sondern es werden die drei Möglichkeiten vorgegeben und dann selbstständig genauer auf ihre Eigenschaften untersucht.
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Die Aufgabe eignet sich dazu, die Einführung geometrischer Konzepte aus einer Aufgabenstellung in den Kontext des Stufenmodells der Begriffsbildung zu übertragen. Desweiteren wird bewertet, welche Arten der Begriffsbildung in welcher Klassenstufe sich als sinnvoll erweißen.



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Im Untericht wurde anhand von Prototypen, mit unterschiedlich großen benachbarten Winkeln und Seiten, der Begriff des Parallelograms erarbeitet. Die anschließende Reflexionsphase zeigt bei einigen SuS. Probleme beim erkennen von Quadraten, Rechtecken, Rauten usw. als Parallelograme.

*Wie könnte man vorgehen um diese Probleme abzubauen?
*Welche Begriffsvorstellungen liegen der Problematik zu Grunde?

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Im Kern beruht die Problematik auf der Vorstellung Parallelograme seien immer schief. Dabei herrscht eine Inuitive, ganzheitliche Vorstellung vor, die unzureichende Verknüpfungen oder Abgrenzungen zu den Begriffen Quadrate, Rechtecke, Raute aufzeigt.

Zum Abbau der Fehlvorstellung kann ein Konflikt zum Präkonzept Parallelograme erzeugt werden. So lassen sich durch systematische Erkundung der Eigenschaften von schiefen Parallelogramen, Quadraten usw. Gemeinsamkeiten und Unterschiede finden, die in den SuS. ein kritische Prüfung ihrer Präkonzepte anregen. So festigt sich eine Inhaltliche Vorstellung. Über Gemeinsamkeiten der Begriffe lässt sich der Parallelogramsbegriff in des Begriffsnetz der Vierecke einordenen und so ein Integrierte Begriffsvorstellung erzielen.

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Es werden beispielhaft Erarbeitung und Reflexion des Kurzfristigen Lehren geometrischer Begriff abgefragt.




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Eine Lehrerin in Klasse 5 führt den Begriff des Drachenvierecks ein, indem sie die SuS ein DIN A5 Blatt zu einem DIN A6 Blatt falten lässt. Danach sollen die SuS mit der Schere zwei Schnitte legen, die zusammen mit der Faltkante ein Dreieck ergeben. Anschließend wird auseinander gefaltet.

* Zu welcher Art der Begriffserarbeitung lässt sich dieser Zugang zuordnen?
* Warum hat die Lehrerin wohl diesen Zugang gewählt?/Erklären sie kurz, welches Prinzip dem Zugang zugrunde liegt?/Welche Vorteile ergeben sich aus ihm?
* Was muss die Lehrkraft bei diesem Zugang beachten?
* Welche anderen Zugänge fallen Ihnen konkret ein?

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Die Lehrerin wählt eine operative bzw. konstruierende Begriffserarbeitung, welche auf dem Operativen Prinzip beruht.

Die Schüler sollen durch den enaktiven Zugang zu einer dynamischen Begriffsvorstellung von Drachen gelangen. Durch die (aufgrund der Klassengröße mehrfach) durchgeführte Konstruktion (falten und schneiden) wird dem Objekt Eigenschaften und Beziehungen aufgeprägt, sodass sich SuS den Begriffsinhalt und durch mehrfaches Durchführen auch den Begriffsumfang relativ selbständig erschließen können. Eine Prototypenfixierung und eine Verkümmerung der feinmotorischen Fähigkeiten kann dadurch auch entgegengewirkt werden. Die Lehrkraft kann die Konstruktion vor der Klasse vormachen, sodass auch ohne Sprache jeder SuS die Möglichkeit hat aktiv das zu untersuchende Objekt zu erforschen (-> Inklusion). Außerdem können Beziehungen zu anderen Begriffen (Raute, Quadrat) beobachtet werden, die den zu erlernenden Begriff an ein schon vorhandenes Begriffsnetz anknüpft.

Wichtig bei dem gewählten Zugang ist nicht nur das zielgerichtete, internalisierte Handeln, sondern auch das bewusste Beobachten der Wirkung der Operation. Die Lehrerin sollte/kann dies durch einige der folgenden Leitfragen unterstützen:
* Welche Eigenschaften werden einem Drachenviereck durch dieses Herstellungsverfahren aufgeprägt?
* Welche verschiedenen Formen kann ein Drachenviereck haben?
* Wie muss man schneiden, damit alle vier Seiten gleichlang werden? Kann man auch ein Quadrat erhalten?

Alternativ könnte man auch eine Sortierungsaufgabe stellen, in der Drachenvierecke aus verschiedenen Vierecken ausgesucht werden sollen (Begriffsbildung durch Abstraktion). Ein anderer Zugang wäre ein „echter“ Drache, an dem Eigenschaften untersucht werden (Exemplarische Begriffsbildung) oder die Definition eines Drachen als ein bzgl. einer Diagonale achsensymmetrisches Viereck (Spezifikation aus einem Oberbegriff). Grundsätzlich ist für eine umfassende Begriffsvorstellung der Einsatz verschiedener Zugänge am besten.

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Diese Aufgabe deckt die verschieden Arten der Begriffserarbeitung, insbesondere das Operative Prinzip ab. An Hand der operativen Begriffserarbeitung werden Herausforderungen, Vorteile, Nachteile sowie Alternativen diskutiert und reflektiert. Ausgehend von dieser Frage lassen sich weiter Fragen zu den Phasen des kurzfristigen Begriffserwerb, Grund- bzw. Fehlvorstellungen oder mentalen Modellen stellen.



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Der Lehrplan der 5. Klasse (Gymnasium) sieht vor, dass neben den Begriffen Viereck, Rechteck und Quadrat auch die Begriffe Würfel und Quarder eingeführt werden. Darüber hinaus wird gefordert, den SuS die Darstellungsform des Würfel- bzw. Quardernetzes zu vermitteln und Zusammenhänge zu anderen Darstellungsformen herzustellen (z.B. zu Schrägbildern).

1) Wie beurteilen Sie dieses Vorgehen? Welche Schwierigkeiten können bei der Realisierung im Unterricht auftreten und wie ließen sich diese beheben?

2) Welche Aspekte des Begriffslernens werden bei einem solchen Ansatz besonders angesprochen?

3) Welche Arten des Begriffslernens lassen sich an diesem Ansatz realisieren? Nennen Sie Beispiele!
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1)
* grundsätzlich gutes Vorgehen, da anderer Blick auf den bereits gelernten Begriff des Würfels / Quarders --> Erweiterung des Begriffskonzepts
* praktisch umsetzbar (z.B. Basteln von Würfelnetzen)
* ggf. Schwierigkeiten aufgrund mangelnden räumlichen Vorstellungsvermögens (--> Veranschaulichung durch Modelle / Nachbasteln)
* verlangt gewisses Maß an Abstraktion (--> entdeckendes Lernen, beispielsweise als Gruppen- oder kleine Projektarbeit)
* möglicherweise unterschiedliche Konzepte von Würfeln / Quardern: "ausgefüllt" vs. "leer" (je nachdem wie der Begriff eingeführt wurden, kann beispielsweise die Vorstellung eines Würfels als eines tatsächlichen Spielwürfels (der massiv ist und nicht "nur" durch sechs quadratische Flächen begrenzt wird) vorliegen, sodass das Konzept des "Auseinanderfaltens" der Flächen des Würfels Probleme bereiten kann) (--> Definition des Würfels / Quarders passend wählen als Körper, der durch sechs entsprechende Flächen begrenzt wird)

2)
* Aufbau von Vorstellungen: Wahrnehmung des Würfels als "aufklappbar" und Handlung an konkreten Gegenständen (z.B. Modell eines Würfels, Tetrapack, Kantenmodell)
* Wissen über Eigenschaften von Würfeln / Quardern wird vertieft
* Aneingnen von Fähigkeiten: v.a. konstruieren (z.B. passendes Würfelnetz zu gegebenem Würfel konstruieren), argumentieren (z.B. begründen, warum ein bestimmtes Netz nicht zu einem bestimmten Quarder passen kann) oder problemlösen (z.B. anhand der Länge eines Drahtstückes die möglichen Würfel und Quarder ermitteln und erstellen, welche damit konstruiert werden können)

3)
* Ausgehend von Einzelobjekten den Begriff des Quarder- / Würfelnetztes erarbeiten --> exemplarische Begriffsbildung
* ausgehend von den Oberbegriffen Würfel und Quarder (Vorwissen über Quadrate und Rechtecke sowie geometrische Körper) die Begriffe Würfel- und Quardernetz erlernen --> Spezifikation aus Oberbegriffen
* anhand von Modellen / Basteln / Nachbauen / Falten den Begriff des Würfels / Quarders vertiefen --> operative Begriffsbildung
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* Auseinandersetzung mit den groben Inhalten und Zielen des Lehrplans
* Auseinandersetzung mit den Zielen und Komponenten des Begriffslernens (Aufbau von Vorstellungen, Erwerb von Kenntnissen, Aneignen von Fähigkeiten) und Anwendung dieser Komponenten auf einen konkreten Unterrichtsinhalt
* Auseinandersetzung mit den Arten des Begriffslernens und deren Möglichkeiten am konkreten Unterrichtsinhalt


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Eine klassische Methode zur Konstruktion von Kreisen ist das zeichnen von Kreisen mit Hilfe einer Schnur. Ein Ende der Schnur wird dabei beispielsweise mit einer Stecknadel fixiert, während ein Stift/Stück Kreide am anderen Schnurende befestigt wird. Die Schnur wird gespannt und der Stift um den Mittelpunkt geführt, um einen Kreis zu zeichnen. Sie beschließen den Begriff des Kreises auf diese Art und Weise einzuführen.

1) Welche Art der Begriffsbildung liegt dieser Methode zu Grunde?
2) Wie lautet die formale Definition des Kreises? Welche inhaltlichen Aspekte des Begriffs Kreis lassen sich durch die gewählte Handlung ableiten?
3) In welcher Phase des Begriffslernens nach dem van-Hiele-Modell würden Sie einen solchen Ansatz wählen?

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1) Das operative Prinzip liegt der Methode zu Grunde. Eine konstruktive oder operative Art der Begriffsbildung wird hier gewählt. Durch die Handlung werden inhaltliche Eigenschaften internalisiert. Schülerinnen und Schüler lernen den Begriff Kreis zu denken, indem sie die definierenden Eigenschaften eines Kreises in der realen Welt umsetzen ("Denken ist internalisiertes Handeln" - Piaget).

2) Def.: Menge aller Punkte, welche im Abstand r>0 zu einem Punkt P liegen.
Bei der Konstruktion von Kreisen mit der gegebene Methode lassen sich die folgenden inhaltlichen Eigenschaften von Kreisen nachvollziehen:
* Kreismittelpunkt (verkörpert durch die Stecknadel, mit welcher die Schnur fixiert ist)
* Radius (verkörpert durch die gespannte Schnur fester Länge)
* Kreislinie/Menge der Punkte auf dem Kreis (verkörpert durch die gezeichnete Linie)
Die direkten Analogien zwischen Konstruktionswerkzeugen und Kreiseigenschaften machen den Begriff und die abstrakte Definition des Kreises greifbar.

3) Der Ansatz lässt sich in der zweiten Phase des Begriffslernens nach van-Hiele zuordnen (2. Analysis: Geometrisch-analysierendes Denken). Denn:
* Ein Prototyp eines Kreises liegt bereits vor, denn Ziel der Handlung ist bekannt (also nicht erste Phase)
* Inhaltliche Eigenschaften sollen untersucht werden (Radius, Mittelpunkt, ...)
* Anschauliche Begründungen für Definition von Kreisen und deren Eigenschaften
* Beziehungen zwischen den Eigenschaften (Bspw. Radius <-> Umfang, Radius <-> Fläche) liegen nicht im Fokus (also nicht dritte Phase)

||
* Reflexion der Arten des Begriffslernens
* Anwendung der im Seminar behandelten Modelle des Begriffslernens
* Didaktische Argumentation für eine konkrete Unterrichtsmethode


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== Literaturhinweise ==

* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Wittmann (1985): „Objekte-Operationen-Wirkungen: Das operative Prinzip in der Mathematikdidaktik“] In ''Mathematik lehren''.
* [https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/math/math-ausbildung-dam/documents/fachdidaktik-berufspraktische-uebungen/Wittmann_operatP.pdf Aebli (1985): „Das Operative Prinzip“] In ''Mathematik lehren''. (Zweiter Teil des PDFs)
* [https://link.springer.com/article/10.1007/s11858-003-0002-5 Schwank (2003): „Einführung in prädikatives und funktionales Denken“] In ''ZDM Mathematics Education''
* [https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-642-02362-0 Scriba und Schreiber (2010): „5000 Jahre Geometrie“].

GeometrieUndUnterrichtSS2019 01

2019-05-10T08:03:43Z

Pquicker: /* Arbeitsphase (2), Schulbuchanalyse */

== Vorbereitungsauftrag ==

Der Begriff ''Grundvorstellung'' steht für ein tragfähiges mentales Modell für einen Begriff oder ein Verfahren. Lesen Sie [https://link.springer.com/article/10.1007/BF03338785 vom Hofe (2013). „Grundvorstellungen mathematischer Inhalte als didaktisches Modell“] in ''Journal für Mathematik-Didaktik'' und eigenständig recherchierte Beiträge zum Thema ''Grundvorstellungen'' (mit Bezug zum Geometrieunterricht). Bearbeiten Sie die folgenden Aufträge.

# Diskutieren Sie, wie sich ''Flächeninhalte von Rechtecken'' als (innermathematischen) Sachzusammenhang für die ''Multiplikation zweier positiver (rationaler) Zahlen'' für den Aufbau einer Grundvorstellung eignen. Berücksichtigen Sie dabei die Aspekte ''Sinnkonstituierung'', ''Aufbau von Repräsentationen'' und ''Anwendung des Begriffs''. (Die folgenden zwei Aufgaben können dabei helfen.)
# Wie können Sie diese Vorstellung zur Erklärung des ''Distributivgesetz'' beim Rechnen mit positiven (rationalen) Zahlen verwenden?
# Wie können Sie diese Vorstellung zur Erklärung der ''ersten binomischen Formel'' beim Rechnen mit positiven (rationalen) Zahlen verwenden?
# Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
# Entwickeln Sie einen analolgen Sachzusammenhang für den Aufbau einer Grundvorstellung für die ''Multiplikation zweier natürlicher Zahlen''.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1OxiIGkZanj9obbwDT8X7dX_IaRnN69huHLTQX3gA_ks/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 03.05.2019]
* [https://zumpad.zum.de/p/GuU_Begriff ZUM-Pad zum Arbeitsauftrag: „Welche Beispiele für geometrische Begriffe fallen Ihnen ein?“]
* [https://drive.google.com/file/d/1J_tLLcdCTIicy5IH5usrEBSIXOzcuFxG/view?usp=sharing PDF-Export vom ZUM-Pad „Welche Beispiele für geometrische Begriffe fallen Ihnen ein?“]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Zusammenfassung ===

In dieser Sitzung haben wir uns mit dem Konzept des Begriffslernen beschäfigt. Es wurden Ziele und Möglichkeiten des Begriffslernens erarbeitet und diskutiert. Ausgehend von dem Artikel [https://link.springer.com/article/10.1007/BF03338785 vom Hofe (2013) „Grundvorstellungen mathematischer Inhalte als didaktisches Modell“] wurden verschiedene Grundvorstellungen besprochen und Phasen des Begriffslernens diskutiert. Weiterhin wurde eine Sammlung geometrischer Begriffe erstellt und diskutiert, die als Gegenstand des Nachbereitungsauftrags dient.

=== Inhaltlicher Input (1), Begriffslernen ===

In der ersten inhaltlichen Phase standen Ziele und Legitimierung des Begriffslernens im Vordergrund. Ausgangspunkt hierfür war der Text [https://link.springer.com/article/10.1007/BF03338785 vom Hofe (2013) „Grundvorstellungen mathematischer Inhalte als didaktisches Modell“], in dem der Autor das Konzept der Grundvorstellungen sowohl als normatives didaktisches Modell als auch als diagnostische Heuristik für Strategien oder Fehlvorstellungen von Schülerinnen und Schülern diskutiert. In der Seminarsitzung wurde nur auf die normative Komponente des Grundvorstellungskonzepts eingegangen. Als erstes Diskussionsthema diente das folgende Zitat aus eben jenem Text:

<poem>
"Wichtigster Kritikpunkt, weit häufiger genannt als Klagen über Angsterlebnisse der zeitliche Belastung, war der Vorwurf der Sinnlosigkeit."
</poem>

Mögliche Gründe für diese Sinnlosigkeit, welche die Seminarteilnehmer äußerten, waren der fehlender Realitätsbezug von Mathematik und von mathematischen Begriffen, mangelnde Authentizität in Begriffen, Aufgaben und Legitimierung im Mathematikunterricht und die fehlende Perspektive, in welchen Lebenssituationen Mathematik und damit verbundene Grundvorstellungen und Grundbegrifflichkeiten von Bedeutung sein können. Weiterhin wurde angeführt, dass das Lernen formaler Regeln ohne eine Einbettung in einen praktischen Kontext, wenig Sinn macht. Das Fach Mathematik treffe hier, in der Form in der es gelehrt wird, auf eine unter Schülern fehlende Wertschätzung für die Eleganz der Mathematik und den formalen Methoden. Angefügt wurde hierzu, dass formale Regeln, wie beispielsweise die binomischen Formeln, aus guten Gründen nicht hergeleitet werden[1], aber die Präsentation von festen Regeln "die halt so sind" die Schüler unbefriedigt lassen. Aus diesen festgesetzten Regeln könnte es auch zu Frust bei Schülerinnen und Schülern kommen, wenn ihre Vorstellung und Intuition diesen mathematischen Gesetzmäßigkeiten widersprechen, besonders, wenn keine Begründung oder Erklärung für diese Diskrepanz gegeben wird. Ein mangeldes Verständnis oder falsche Vorstellung führen dann eben auch zu unreflektierter Anwendung von Pseudoregeln, welche die Schüler aus ihrer Intuition ableiten.

Davon ausgehend wurden verschiedene Grundvorstellungen disktutiert. Insbesondere wurden verschiedene Grundvorstellungen und Zugänge zur Addition mit natürlichen Zahlen vorgeschlagen:

* Natürliche Zahlen als Kardinalzahlen: Summenbildung als Vereinigung von Mengen, Summanden und Summe als Kardinalitäten dieser Mengen.
* Addition natürlicher Zahlen als Operator: Schritte die man gehen kann, Summand 1 als Startpunkt, Summand 2 als Zahl der Schritte, Summe als Zielpunkt
* Natürliche Zahlen als Ordinalzahlen (Zählzahlen): Summenbildung als „Weiterzählen“.

Weiterhin diskutierten die Seminarteilnehmer die Vorteile der Grundvorstellung der Multiplikation als Flächeninhalte von Rechtecken (Multiplikation rationaler/reller Zahlen). Die geometrische Konzepte die bei dieser Vorstellung oder Analogie, sind dabei das Messen, Argumentieren, Seiten und Seitenlängen, Flächeninhalte und die Zerlegungsgleichheit. Ähnliche Argumente erlauben eine visuelle Darstellung der binomischen Formeln. Vorgeschlagen wurde ebenso ein methodischer Zugang zur Verdeutlichung der Analogie zwischen Flächeninhalten von Rechtecken und Multiplikation. Beispielsweise könnten Schüler Rechtecke mit kleineren quadratischen Einheiten auslegen. Diese Einheiten lassen sich in einem ersten Schritt elementar zählen (Multiplikation natürlicher Zahlen). Eine abstraktere Herangehensweise wäre die Multiplikation von Reihen und Spaltenzahl, welche einen intuitiven Zwischenschritt zur Multiplikation im reelen darstellt, welche auch im Sinne eines Spiralcurriculums zum tragen kommen könnte. Ein weiterer Vorteil der Rechtecks-Analogie ist, dass sich Rechengesetze wie Kommutativität und Distributivität visualiseren lassen. Diese Grundvorstellungen stellen einen wesentlichen Teil zum Verständnis von mathematischen Sachverhalten und Gesetzmäßigkeiten dar und erlauben es abstrakte und formale Mathematik anschaulich anzugehen.

=== Arbeitsphase (1), Sammeln geometrischer Begriffe ===

In einer ersten Arbeitsphase ging es darum, bekannte geometrische Begriffe aufzulisten. Die entstandene Sammlung ist unter dem folgenden Link zu finden:
https://zumpad.zum.de/p/GuU_Begriff

=== Inhaltlicher Input (2), Ziele des Begriffslernens ===

Als wichtigstes Ziel des Begriffslernens gilt das Aufbauen von mentalen Modellen. Dazu gehören:
* Angemessene (Grund-)Vorstellungen: wahrnehmungsbezogene Vorstellungen, handlungsbezogene Vorstellungen, verbalisierungsbezogene Vorstellungen (sprachlich, gedanklich, Kopfgeometrie)
* Kenntnisse über Eigenschaften und Beziehungen: Begriffsinhalt, Beziehungen von Eigenschaften, Beziehungen zu anderen Begriffen (Begriffsnetz)
* Aneignung von verwandten Fähigkeiten: Rechnen, Argumentieren, Problemlösen, Konstruieren

Dabei ist zu beachten, dass diese mentalen Modelle sich von Individuum zu Individuum unterscheiden können. Der Aufbau der Vorstellungen kann dabei durch Wahrnehmung von Gegenständen und Phänomenen, Handlungen an Gegenständen und durch Verbalisierung von Objekten und Phänomenen geschehen. Unter Verbalisierung wird damit auch das rein sprachliche oder gedankliche Operieren mit geometrischen Objekten verstandan: ein Beispiel ist das Zerlegen von Figuren im Kopf - beispielsweise eines Parallelogramms in Dreiecke. Handlungsbezogene Zugänge zu mathematischen Konzepten haben Seminarteilnehmer beispielsweise durch das Messen des Umfangs und des Radius eines Kreises mithilfe eines Fadens in ihrer eigenen Schulzeit erlebt. Ein solcher handlungsbezogener Ansatz ist analog zur Erschließung enaktiver Repräsentationen (EIS-Prinzip) zu verstehen.

=== Arbeitsphase (2), Schulbuchanalyse ===

In einer zweiten Arbeitsphase fanden sich die Teilnehmer in Kleingruppen zusammen. Ziel war es Schulbücher für die Sekundarstufe 1 daraufhin zu untersuchen, ob diese Lerngelegenheiten zu allen Aspekten des Aufbaus mentaler Modelle bieten. Die dabei untersuchten Schulbücher waren:
* Einblicke Mathematik 3 (Klett, 2006, Baden-Württemberg)
* Schnittpunkt Mathematik 3 (Klett, 2005, Bade-Württemberg)
* matheWerkstatt 3 (Cornelsen, 2014, Baden-Württemberg)
* XQuadrat Mathematik 7 (Cornelsen, 2016, Baden-Württemberg)
Die konkrete Aufgabe bestand darin, ein Geometriekapitel im jeweiligen Buch auszusuchen und unter dem Blickwinkel des Begriffslernens (Aufbau mentaler Modelle) zu betrachten. Dabei stellte sich heraus, dass jedes Buch Stärken und Schwächen in verschiedenen Bereichen aufweist. Es war vorallem ein unterschiedlicher Fokus auf verschiedene Aspekte des Begriffslernens zu erkennen. Besonders tat sich das Buch matheWerkstatt hervor, welches einen sehr handlungs- und wahrnehmungsbezogenen Ansatz verfolgt, aber auch gute Möglichkeiten zum Trainieren von Fähigkeiten und Vertiefen von Verständnis bietet. Ebenso interessant war der besondere Fokus auf Einsatz von digitalen Hilfsmitteln.

Größte Erkenntnis dieser Übung war, dass Lehrer nicht nur ein Buch besitzen sollten, sondern eine vielfalt von Büchern komplementär zueinander benutzen sollte. Auf diese Weise kann die Lehrkraft sicherstellen, dass den Schülerinnen und Schülern ausreichend Lernaktivitäten angeboten werden, um eine umfassende Begriffbildung zu ermöglichen.

=== Inhaltlicher Input (3) ===

In einer letzten inhaltlichen Phase, lernten die Seminarteilnehmer das van-Hiele-Modell des Begriffslernens kennen. In diesem werden verschiedene Stadien des Begriffslernens geschildert, welcher jede(r) Lernende (immer wieder) durchläuft,[2] wenn sie/er mit einem neuen Sachverhalt oder Thema, einem neuen Begriffsbildungsprozess, konfrontiert wird. Die Stadien sind:
# Visualisation: Räumlich-anschauungsgebundenes Denken (Intuitives Begriffsverständnis, Prototypen basiert, keine Eigenschaften oder Beziehungen, "Vorschulstufe")
# Analysis: Geometrisch-analysierendes Denken (Inhaltliches Begriffsverständnis, Eigenschaften, Klassifizierung/Defintion mit Begründung, keine Beziehungen, Grundschule)
# Abstraction: Geometrisch-abstrahierendes Denken (Integriertes Begriffsverständnis, Beziehungen zwischen Eigenschaften, Verständnis von Klassifizierung, informelle Argumente, Mittelstufe)
# Deduction: Geometrisch-schlussfolgerndes Denken (Integriertes Begriffsverständnis, formales Begriffsverständnis, formale Beweisführung Oberstufe)
# Rigor: Strenge, abstrakte Geometrie (Formales Begriffsverständnis, Meta-Ebene, formale Sprache, verschiedene Geometrien und Theorien, Akademia)

Dabei ist zu beachten, dass der chronologische Zusammenhang zu den verschiedenen Abschnitten der Bildungslaufbahn nicht zwingend bedeutet, dass diese Phasen in dieser Zeit durchlaufen werden. Sie gelten nur einem groben analogen Verständnis, in der sich eben diese Stadien oft wieder finden. Ebenso wird ein bereits ausgebildeter Mensch diese Stadien durchlaufen, wenn er neue Begriffe kennelernt, bevor er den Sachverhalt völlig durchdrungen und verstanden hat.

=== Kommentare des Dozenten ===
* [1] Das wurde meiner Erinnerung nach ''nicht'' angeführt. Natürlich können und sollten Regeln im Speziellen (und Konzepte im Allgeimen) hergeleitet oder mindestens plausibel gemacht werden. Diese Herleitung kann u.a. auf Kalkülebene erfolgen (Bei bin. Formel etwa durch Rückgriff auf das Distributivgesetz) oder auf Ebene eines sinnstiftenden Sachzusammenhang (siehe Grundvorstellungen, Vorbereitungsauftrag).
* [2] Ausgangspunkt für das van-Hiele-Modell war das Figurenlernen im Geometrieunterricht. Bezogen auf die Sequenzierung des Figurenlernens im typischen Geometrieunterricht, kann (in erster Näherung) tatsächlich davon ausgegangen werden, dass diese Stadien einmal durchlaufen werden. Die Diskussion darüber, ob sich Lernende bezügich verschiedener Begriffe in verschiedenen Stadien der Begriffsbildung befinden können, ist daher bereits Bestandteil einer kritischen Betrachtung des Modells.

== Nachbereitungsauftrag ==

Andreas Vohns stellt in seiner Vorlesung „Didaktik der Geometrie“ an der Universität Klagenfurt verschiedene Klassifikationssysteme für (geometrische) Begriffe im Mathematikunterricht vor. Schauen Sie sich [https://www.youtube.com/watch?v=y6Syb-izjnY&feature=youtu.be&t=300 den Vorlesungsmitschnitt der dritten Sitzung aus dem WiSe 2018/19 (Ausschnitt von Minute 5.00 bis 11.00)] an. Suchen Sie sich eines der Klassifikationssysteme aus und sortieren Sie die in der Sitzung gesammelten Begriffe in dieses System ein.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

'''Inhaltliche Einteilung:'''
{| class="wikitable"
|-
| '''Figurenbegriffe''' || Dreieck, Quadrat, Kreis, Prisma, Würfel, Kugel, Körper allg., Eigenschaften und Beziehung untereinander (gleichschenklig, gleichseitig, parallel, senkrecht, rechtwinklig, kongruent, achsensymmetrisch)
|-
| '''Abbildungsbegriffe''' || Geraden, Spiegelung, Drehung, Kongruenzabbildung, zentrische Streckung, Verschiebung
|-
| '''Maßbegriffe''' || Länge, Winkelgröße, Flächeninhalt, Volumen, Gewicht, Umfang

|}

'''Logische Einteilung'''
{| class="wikitable"
|-
| '''Objektbegriffe''' || Dreieck, Viereck, Vieleck, Kreis, Ellipse, Zylinder, Würfel, Kegel, Quarder, Prisma, Parallelogramm, Ebene, Gerade
|-
| '''Eigenschaftsbegriffe''' || dreieckig, viereckig, rund, elliptisch, zylindrisch, würfelförmig, kegelförmig, quadratisch, eben, gerade, Punkt, Seite, Strecke, Kreisbogen (?), Diagonale (?)
|-
| '''Relationsbegriffe''' || parallel, symmetrisch, orthogonal, kongruent, windschief, identisch, ähnlich, deckungsgleich
|-
|'''Funktionsbegriffe''' || Abbildungen, Länge, Winkelgröße, Flächeninhalt, Volumen, Gewicht, Umfang, Streckensymmetrale

|}

'''Axiomatische Einteilung'''
{| class="wikitable"
|-
| '''Grundbegriffe''' || Punkte, Geraden
|-
| '''definierte Begriffe''' || alle anderen Begriffe
|-
|}

'''Einteilung nach Bedeutung'''
{| class="wikitable"
|-
| '''Leitbegriffe''' || Sinus, Kosinus, Tangens, Flächeninhalt, Volumen, Vektoren, Bewegung, Spiegelung, Symmetrie, Drehung, Verschiebung/Transĺation, Identität, Parallelität, Orthogonalität
|-
| '''Schlüsselbegriffe''' || Strahlensätze, Winkelsumme, Satz des Thales, Satz des Pythagoras, binomische Formeln, Winkel, Winkelgröße, Ebene, Raum
|-
| '''zentrale Begriffe ''' || Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte, Seitenhalbierende, Diagonale, Haus der Vierecke, Einheitskreis, Stufenwinkel, Wechselwinkel, Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Körpernetz, Vieleck, Quadrat, Körper, Quader, Kegel, Zylinder, Höhensatz, Winkelsummensatz, Ellipse, Kegelschnitte, kongruent, deckungsgleich, windschief, identisch, orthogonal, goldener Schnitt, ähnlich, Kongruenz
|-
| '''Arbeitsbegriffe''' || Länge, Breite, Mittelpunkt, Innenkreis, Außenkreis, Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse, Durchmesser, Radius, Punkt, Strecke, Gerade, Strahl, Kreisbogen, spitzer Winkel, stumpfer Winkel, überspitzer Winkel, rechter Winkel, gleichseitig, gleichschenklig, rechtwinklig, Kreis, Umfang
|}

==Zusatzmaterial==

[https://mediaup.uni-potsdam.de/Play/7250 Hier finden Sie einen Mitschnitt der Vortrags „Moving mathematics - Technology that changes teaching and learning“] von Dr. Nathalie Sinclair zu ihrer Arbeit mit jungen Lernenden im Kindergarten- und Vorschulalter. Der Vortrag wurde auf der 51. Jahrestagung der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik in Potsdam gehalten.

Ab der Zeitmarke 22 Minuten 55 Sekunden werden Beispiele zur Erarbeitung von Begriffsaspekten (Dreiecken, Lage von Geraden, Spiegelungen und Symmetrien) erörtert. Sie können diese Beispiele als Lerngelegenheit für das ''van-Hiele-Modells'' nutzbar machen, indem Sie diese vor dem Hintergrund der Stufen des Begriffserwerbs reflektieren.

==Literaturhinweise==

* Zalman (1982). [https://eric.ed.gov/?id=ED220288 „Van Hiele Levels and Achievement in Secondary School Geometry“].
* Klinger (2019). „[http://dx.doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_5 Grundvorstellungen versus Concept Image? Gemeinsamkeiten und Unterschiede beider Theorien am Beispiel des Funktionsbegriffs]“. In Büchter, et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht: Konzepte und Beispiele aus Forschung und Praxis (S. 61–75). Wiesbaden: Springer Spektrum.
* Griesel, vom Hofe, Blum (2019). „[https://doi.org/10.1007/s13138-019-00140-4 Das Konzept der Grundvorstellungen im Rahmen der mathematischen und kognitionspsychologischen Begrifflichkeit in der Mathematikdidaktik]“. In Journal für Mathematikdidaktik.
* siehe auch: [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifende Literaturhinweise]]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 01

2019-05-09T22:23:25Z

Pquicker: /* Zusammenfassung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Der Begriff ''Grundvorstellung'' steht für ein tragfähiges mentales Modell für einen Begriff oder ein Verfahren. Lesen Sie [https://link.springer.com/article/10.1007/BF03338785 vom Hofe (2013). „Grundvorstellungen mathematischer Inhalte als didaktisches Modell“] in ''Journal für Mathematik-Didaktik'' und eigenständig recherchierte Beiträge zum Thema ''Grundvorstellungen'' (mit Bezug zum Geometrieunterricht). Bearbeiten Sie die folgenden Aufträge.

# Diskutieren Sie, wie sich ''Flächeninhalte von Rechtecken'' als (innermathematischen) Sachzusammenhang für die ''Multiplikation zweier positiver (rationaler) Zahlen'' für den Aufbau einer Grundvorstellung eignen. Berücksichtigen Sie dabei die Aspekte ''Sinnkonstituierung'', ''Aufbau von Repräsentationen'' und ''Anwendung des Begriffs''. (Die folgenden zwei Aufgaben können dabei helfen.)
# Wie können Sie diese Vorstellung zur Erklärung des ''Distributivgesetz'' beim Rechnen mit positiven (rationalen) Zahlen verwenden?
# Wie können Sie diese Vorstellung zur Erklärung der ''ersten binomischen Formel'' beim Rechnen mit positiven (rationalen) Zahlen verwenden?
# Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
# Entwickeln Sie einen analolgen Sachzusammenhang für den Aufbau einer Grundvorstellung für die ''Multiplikation zweier natürlicher Zahlen''.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1OxiIGkZanj9obbwDT8X7dX_IaRnN69huHLTQX3gA_ks/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 03.05.2019]
* [https://zumpad.zum.de/p/GuU_Begriff ZUM-Pad zum Arbeitsauftrag: „Welche Beispiele für geometrische Begriffe fallen Ihnen ein?“]
* [https://drive.google.com/file/d/1J_tLLcdCTIicy5IH5usrEBSIXOzcuFxG/view?usp=sharing PDF-Export vom ZUM-Pad „Welche Beispiele für geometrische Begriffe fallen Ihnen ein?“]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Zusammenfassung ===

In dieser Sitzung haben wir uns mit dem Konzept des Begriffslernen beschäfigt. Es wurden Ziele und Möglichkeiten des Begriffslernens erarbeitet und diskutiert. Ausgehend von Vom Hofe's Artikel Grundvorstellungsbegriff wurden verschiedene Grundvorstellungen besprochen und Phasen des Begriffslernens diskutiert. Weiterhin wurden geometrische Begriffe gesammelt und diskutiert.

=== Inhaltlicher Input (1), Begriffslernen ===

In der ersten inhaltlichen Phase standen Ziele und Legitimierung des Begriffslernens im Vordergrund. Ausgangspunkt hierfür war der Text "Grundvorstellungen mathematischer Inhalte als didaktisches Modell" von Rudolf vom Hofe, in dem er den Begriff der Grundvorstellung erklärt. Als erstes Diskussionsthema diente das folgende Zitat aus eben jenem Text:

<poem>
"Wichtigster Kritikpunkt, weit häufiger genannt als Klagen über Angsterlebnisse der zeitliche Belastung, war der Vorwurf der Sinnlosigkeit."
</poem>

Mögliche Gründe für diese Sinnlosigkeit, welche die Seminarteilnehmer äußerten, waren der fehlender Realitätsbezug von Mathematik und mathematischen Begriffen, mangelnde Authentizität in Begriffen, Aufgaben und Legitimierung im Mathematikunterricht und die fehlende Perspektive, in welchen Lebenssituationen Mathematik und damit verbundene Grundvorstellungen und Grundbegrifflichkeiten von Bedeutung sein können. Weiterhin wurde angeführt, dass das Lernen formaler Regeln ohne eine Einbettung in einen praktischen Kontext, wenig Sinn macht. Das Fach Mathematik treffe hier, in der Form in der es gelehrt wird, auf eine unter Schülern fehlende Wertschätzung für die Eleganz der Mathematik und den formalen Methoden. Angefügt wurde hierzu, dass formale Regeln, wie beispielsweise die binomischen Formeln, aus guten Gründen nicht hergeleitet werden, aber die Präsentation von festen Regeln "die halt so sind" die Schüler unbefriedigt lassen. Aus diesen festgesetzten Regeln könnte es auch zu Furst bei Schülerinnen und Schülern kommen, wenn ihre Vorstellung und Intuition diesen mathematischen Gesetzmäßigkeiten widersprechen, besonders, wenn keine Begründung oder Erklärung für diese Diskrepanz gegeben wird. Ein mangeldes Verständnis oder falsche Vorstellung führen dann eben auch zu unreflektierter Anwendung von Pseudoregeln, welche die Schüler aus ihrer Intuition ableiten.
Davon ausgehend wurden verschiedene Grundvorstellungen disktutiert. Insbesondere wurden verschiedene Grundvorstellungen und Zugänge zur Addition mit natürlichen Zahlen vorgeschlagen:

* Vereinigung von Mengen, Summanden und Summe als Kardinalitäten dieser Mengen
=> Natürliche Zahlen als Kardinalzahlen
* Schritte die man gehen kann, Summand 1 als Startpunkt, Summand 2 als Zahl der Schritte, Summe als Zielpunkt
=> Summand als Operator

Weiterhin diskutierten die Seminarteilnehmer die Vorteile der Grundvorstellung der Multiplikation über Rechtecke. Die geometrische Konzepte die bei dieser Vorstellung oder Analogie, sind dabei das Messen, Argumentieren, Seiten und Seitenlängen, Flächeninhalte und die Zerlegungsgleichheit. Ähnliche Argumente erlauben eine visuelle Darstellung der binomischen Formeln. Vorgeschlagen wurde ebenso ein methodischer Zugang zur Verdeutlichung der Analogie zwischen Flächeninhalten von Rechtecken und Multiplikation. Beispielsweise könnten Schüler Rechtecke mit kleineren quadratischen Einheiten auslegen. Diese Einheiten lassen sich in einem ersten Schritt elementar zählen. Eine abstraktere Herangehensweise wäre die Multiplikation von Reihen und Spaltenzahl, welche einen intuitiven Zwischenschritt zur Multiplikation im reelen darstellt, welche auch im Sinne eines Spiralcurriculums zum tragen kommen könnte. Ein weiterer Vorteil der Rechtecks-Analogie ist, dass sich Rechengesetze wie Kommutativität und Distributivität visualiseren lassen. Diese Grundvorstellungen stellen einen wesentlichen Teil zum Verständnis von mathematischen Sachverhalten und Gesetzmäßigkeiten dar und erlauben es abstrakte und formale Mathematik anschaulich anzugehen.

=== Arbeitsphase (1), Sammeln geometrischer Begriffe ===

In einer ersten Arbeitsphase ging es darum, bekannte geometrische Begrifflichkeiten zu aufzulisten. Die entstandene Sammlung ist unter dem folgenden Link zu finden:
https://zumpad.zum.de/p/GuU_Begriff

=== Inhaltlicher Input (2), Ziele des Begriffslernens ===

Als wichtigstes Ziel des Begriffslernens gilt das Aufbauen von mentalen Modellen. Dazu gehören:
* Angemessene Grundvorstellungen
* Kenntnisse über Eigenschaften und Beziehungen
* Aneignung von verwandten Fähigkeiten (z.B. Rechnen, Argumentieren, Problemlösen...)

Dabei ist zu beachten, dass diese mentalen Modelle sich von Individuum zu Individuum unterscheiden können. Der Aufbau der Vorstellungen kann dabei durch Wahrnehmung von Gegenständen und Phänomenen, Handlungen an Gegenständen und durch Verbalisierung von Objekten und Phänomenen geschehen. Ein Beispiel für Verbalisierung von geometrischen Objekten ist das Zerlegen von Figuren, beispielsweise eines Parallelogramms in Dreiecke. Handlungsbezogene Zugänge zu mathematischen Konzepten haben Seminarteilnehmer beispielsweise durch das Messen des Umfangs und des Radius eines Kreises mithilfe eines Fadens in ihrer eigenen Schulzeit erlebt. Ein solcher handlungsbezogener Ansatz ist analog zum enaktiven Handeln im EIS-Prinzip zu verstehen.

=== Arbeitsphase (2), Schulbuchanalyse ===

In einer zweiten Arbeitsphase fanden sich die Teilnehmer in Kleingruppen zusammen, um Bücher auf Handlungsbezogene Elemente, Verbalisierungen, Begriffslernen und Aneignung sowie Training von Fähigkeiten zu untersuchen. Die dabei untersuchten Schulbücher waren:
* Buch 1
* Buch 2
* Buch 3
* Buch 4
Die konkrete Aufgabe bestand darin, ein Geometriekapitel im Buch jeweiligen Buch auszusuchen und unter dem Blickwinkel des Begriffslernens zu betrachten. Dabei stellte sich heraus, dass jedes Buch Stärken und Schwächen in verschiedenen Bereichen aufweist. Es war vorallem ein unterschiedlicher Fokus auf verschiedene Aspekte des Begriffslernens zu erkennen. Besonders tat sich Buch X hervor, welches einen sehr handlungs- und wahrnehmungsbezogenen Ansatz verfolgt, aber auch gute Möglichkeiten zum Trainieren von Fähigkeiten und Vertiefen von Verständnis bietet. Ebenso interessant war der besondere Fokus auf Einsatz von digitalen Hilfsmitteln. Größte Erkenntnis dieser Übung war, dass Lehrer nicht nur ein Buch besitzen sollten, sondern eine vielfalt von Büchern komplementär zueinander benutzen sollte.

=== Inhaltlicher Input (3) ===

In einer letzten inhaltlichen Phase, lernten die Seminarteilnehmer das van-Hiele-Modell des Begriffslernens kennen. In diesem werden verschiedene Stadien des Begriffslernens geschildert, welcher jede(r) Lernende immer wieder durchläuft, wenn sie/er mit einem neuen Sachverhalt oder Thema konfrontiert wird. Die Stadien sind:
# Visualisation: Räumlich-anschauungsgebundenes Denken (Intuitives Begriffsverständnis, Prototypen basiert, keine Eigenschaften oder Beziehungen, "Vorschulstufe")
# Analysis: Geometrisch-analysierendes Denken (Inhaltliches Begriffsverständnis, Eigenschaften, Klassifizierung/Defintion mit Begründung, keine Beziehungen, Grundschule)
# Abstraction: Geometrisch-abstrahierendes Denken (Integriertes Begriffsverständnis, Beziehungen zwischen Eigenschaften, Verständnis von Klassifizierung, informelle Argumente, Mittelstufe)
# Deduction: Geometrisch-schlussfolgerndes Denken (Integriertes Begriffsverständnis, formales Begriffsverständnis, formale Beweisführung Oberstufe)
# Rigor: Strenge, abstrakte Geometrie (Formales Begriffsverständnis, Meta-Ebene, formale Sprache, verschiedene Geometrien und Theorien, Akademia)

Dabei ist zu beachten, dass die chronologische Zusammenhang zu den verschiedenen Abschnitten der Bildungslaufbahn nicht zwingend bedeutet, dass diese Phasen in dieser Zeit durchlaufen werden. Sie gelten nur einem groben analogen Verständnis, in der sich eben diese Stadien oft wieder finden. Ebenso wird ein bereits ausgebildeter Mensch diese Stadien durchlaufen, wenn er neue Begriffe kennelernt, bevor er den Sachverhalt völlig durchdrungen und verstanden hat.

== Nachbereitungsauftrag ==

Andreas Vohns stellt in seiner Vorlesung „Didaktik der Geometrie“ an der Universität Klagenfurt verschiedene Klassifikationssysteme für (geometrische) Begriffe im Mathematikunterricht vor. Schauen Sie sich [https://www.youtube.com/watch?v=y6Syb-izjnY&feature=youtu.be&t=300 den Vorlesungsmitschnitt der dritten Sitzung aus dem WiSe 2018/19 (Ausschnitt von Minute 5.00 bis 11.00)] an. Suchen Sie sich eines der Klassifikationssysteme aus und sortieren Sie die in der Sitzung gesammelten Begriffe in dieses System ein.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

'''Inhaltliche Einteilung:'''
{| class="wikitable"
|-
| '''Figurenbegriffe''' || Dreieck, Quadrat, Kreis, Prisma, Würfel, Kugel, Körper allg., Eigenschaften und Beziehung untereinander (gleichschenklig, gleichseitig, parallel, senkrecht, rechtwinklig, kongruent, achsensymmetrisch)
|-
| '''Abbildungsbegriffe''' || Geraden, Spiegelung, Drehung, Kongruenzabbildung, zentrische Streckung, Verschiebung
|-
| '''Maßbegriffe''' || Länge, Winkelgröße, Flächeninhalt, Volumen, Gewicht, Umfang

|}

'''Logische Einteilung'''
{| class="wikitable"
|-
| '''Objektbegriffe''' || Dreieck, Viereck, Vieleck, Kreis, Ellipse, Zylinder, Würfel, Kegel, Quarder, Prisma, Parallelogramm, Ebene, Gerade
|-
| '''Eigenschaftsbegriffe''' || dreieckig, viereckig, rund, elliptisch, zylindrisch, würfelförmig, kegelförmig, quadratisch, eben, gerade, Punkt, Seite, Strecke, Kreisbogen (?), Diagonale (?)
|-
| '''Relationsbegriffe''' || parallel, symmetrisch, orthogonal, kongruent, windschief, identisch, ähnlich, deckungsgleich
|-
|'''Funktionsbegriffe''' || Abbildungen, Länge, Winkelgröße, Flächeninhalt, Volumen, Gewicht, Umfang, Streckensymmetrale

|}

'''Axiomatische Einteilung'''
{| class="wikitable"
|-
| '''Grundbegriffe''' || Punkte, Geraden
|-
| '''definierte Begriffe''' || alle anderen Begriffe
|-
|}

'''Einteilung nach Bedeutung'''
{| class="wikitable"
|-
| '''Leitbegriffe''' || Sinus, Kosinus, Tangens, Flächeninhalt, Volumen, Vektoren, Bewegung, Spiegelung, Symmetrie, Drehung, Verschiebung/Transĺation, Identität, Parallelität, Orthogonalität
|-
| '''Schlüsselbegriffe''' || Strahlensätze, Winkelsumme, Satz des Thales, Satz des Pythagoras, binomische Formeln, Winkel, Winkelgröße, Ebene, Raum
|-
| '''zentrale Begriffe ''' || Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte, Seitenhalbierende, Diagonale, Haus der Vierecke, Einheitskreis, Stufenwinkel, Wechselwinkel, Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Körpernetz, Vieleck, Quadrat, Körper, Quader, Kegel, Zylinder, Höhensatz, Winkelsummensatz, Ellipse, Kegelschnitte, kongruent, deckungsgleich, windschief, identisch, orthogonal, goldener Schnitt, ähnlich, Kongruenz
|-
| '''Arbeitsbegriffe''' || Länge, Breite, Mittelpunkt, Innenkreis, Außenkreis, Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse, Durchmesser, Radius, Punkt, Strecke, Gerade, Strahl, Kreisbogen, spitzer Winkel, stumpfer Winkel, überspitzer Winkel, rechter Winkel, gleichseitig, gleichschenklig, rechtwinklig, Kreis, Umfang
|}

==Zusatzmaterial==

[https://mediaup.uni-potsdam.de/Play/7250 Hier finden Sie einen Mitschnitt der Vortrags „Moving mathematics - Technology that changes teaching and learning“] von Dr. Nathalie Sinclair zu ihrer Arbeit mit jungen Lernenden im Kindergarten- und Vorschulalter. Der Vortrag wurde auf der 51. Jahrestagung der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik in Potsdam gehalten.

Ab der Zeitmarke 22 Minuten 55 Sekunden werden Beispiele zur Erarbeitung von Begriffsaspekten (Dreiecken, Lage von Geraden, Spiegelungen und Symmetrien) erörtert. Sie können diese Beispiele als Lerngelegenheit für das ''van-Hiele-Modells'' nutzbar machen, indem Sie diese vor dem Hintergrund der Stufen des Begriffserwerbs reflektieren.

==Literaturhinweise==

* Zalman (1982). [https://eric.ed.gov/?id=ED220288 „Van Hiele Levels and Achievement in Secondary School Geometry“].
* Klinger (2019). „[http://dx.doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_5 Grundvorstellungen versus Concept Image? Gemeinsamkeiten und Unterschiede beider Theorien am Beispiel des Funktionsbegriffs]“. In Büchter, et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht: Konzepte und Beispiele aus Forschung und Praxis (S. 61–75). Wiesbaden: Springer Spektrum.
* Griesel, vom Hofe, Blum (2019). „[https://doi.org/10.1007/s13138-019-00140-4 Das Konzept der Grundvorstellungen im Rahmen der mathematischen und kognitionspsychologischen Begrifflichkeit in der Mathematikdidaktik]“. In Journal für Mathematikdidaktik.
* siehe auch: [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifende Literaturhinweise]]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 01

2019-05-09T22:22:21Z

Pquicker: /* Inhaltlicher Input (3) */

== Vorbereitungsauftrag ==

Der Begriff ''Grundvorstellung'' steht für ein tragfähiges mentales Modell für einen Begriff oder ein Verfahren. Lesen Sie [https://link.springer.com/article/10.1007/BF03338785 vom Hofe (2013). „Grundvorstellungen mathematischer Inhalte als didaktisches Modell“] in ''Journal für Mathematik-Didaktik'' und eigenständig recherchierte Beiträge zum Thema ''Grundvorstellungen'' (mit Bezug zum Geometrieunterricht). Bearbeiten Sie die folgenden Aufträge.

# Diskutieren Sie, wie sich ''Flächeninhalte von Rechtecken'' als (innermathematischen) Sachzusammenhang für die ''Multiplikation zweier positiver (rationaler) Zahlen'' für den Aufbau einer Grundvorstellung eignen. Berücksichtigen Sie dabei die Aspekte ''Sinnkonstituierung'', ''Aufbau von Repräsentationen'' und ''Anwendung des Begriffs''. (Die folgenden zwei Aufgaben können dabei helfen.)
# Wie können Sie diese Vorstellung zur Erklärung des ''Distributivgesetz'' beim Rechnen mit positiven (rationalen) Zahlen verwenden?
# Wie können Sie diese Vorstellung zur Erklärung der ''ersten binomischen Formel'' beim Rechnen mit positiven (rationalen) Zahlen verwenden?
# Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
# Entwickeln Sie einen analolgen Sachzusammenhang für den Aufbau einer Grundvorstellung für die ''Multiplikation zweier natürlicher Zahlen''.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1OxiIGkZanj9obbwDT8X7dX_IaRnN69huHLTQX3gA_ks/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 03.05.2019]
* [https://zumpad.zum.de/p/GuU_Begriff ZUM-Pad zum Arbeitsauftrag: „Welche Beispiele für geometrische Begriffe fallen Ihnen ein?“]
* [https://drive.google.com/file/d/1J_tLLcdCTIicy5IH5usrEBSIXOzcuFxG/view?usp=sharing PDF-Export vom ZUM-Pad „Welche Beispiele für geometrische Begriffe fallen Ihnen ein?“]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Zusammenfassung ===

In dieser Sitzung haben wir uns mit dem Konzept des Begriffslernen beschäfigt. Es wurden Ziele und Möglichkeiten des Begriffslernens erarbeitet und diskutiert. Ausgehend von Vom Hofe's Artikel Grundvorstellungsbegriff wurden verschiedene Grundvorstellungen .....

=== Inhaltlicher Input (1), Begriffslernen ===

In der ersten inhaltlichen Phase standen Ziele und Legitimierung des Begriffslernens im Vordergrund. Ausgangspunkt hierfür war der Text "Grundvorstellungen mathematischer Inhalte als didaktisches Modell" von Rudolf vom Hofe, in dem er den Begriff der Grundvorstellung erklärt. Als erstes Diskussionsthema diente das folgende Zitat aus eben jenem Text:

<poem>
"Wichtigster Kritikpunkt, weit häufiger genannt als Klagen über Angsterlebnisse der zeitliche Belastung, war der Vorwurf der Sinnlosigkeit."
</poem>

Mögliche Gründe für diese Sinnlosigkeit, welche die Seminarteilnehmer äußerten, waren der fehlender Realitätsbezug von Mathematik und mathematischen Begriffen, mangelnde Authentizität in Begriffen, Aufgaben und Legitimierung im Mathematikunterricht und die fehlende Perspektive, in welchen Lebenssituationen Mathematik und damit verbundene Grundvorstellungen und Grundbegrifflichkeiten von Bedeutung sein können. Weiterhin wurde angeführt, dass das Lernen formaler Regeln ohne eine Einbettung in einen praktischen Kontext, wenig Sinn macht. Das Fach Mathematik treffe hier, in der Form in der es gelehrt wird, auf eine unter Schülern fehlende Wertschätzung für die Eleganz der Mathematik und den formalen Methoden. Angefügt wurde hierzu, dass formale Regeln, wie beispielsweise die binomischen Formeln, aus guten Gründen nicht hergeleitet werden, aber die Präsentation von festen Regeln "die halt so sind" die Schüler unbefriedigt lassen. Aus diesen festgesetzten Regeln könnte es auch zu Furst bei Schülerinnen und Schülern kommen, wenn ihre Vorstellung und Intuition diesen mathematischen Gesetzmäßigkeiten widersprechen, besonders, wenn keine Begründung oder Erklärung für diese Diskrepanz gegeben wird. Ein mangeldes Verständnis oder falsche Vorstellung führen dann eben auch zu unreflektierter Anwendung von Pseudoregeln, welche die Schüler aus ihrer Intuition ableiten.
Davon ausgehend wurden verschiedene Grundvorstellungen disktutiert. Insbesondere wurden verschiedene Grundvorstellungen und Zugänge zur Addition mit natürlichen Zahlen vorgeschlagen:

* Vereinigung von Mengen, Summanden und Summe als Kardinalitäten dieser Mengen
=> Natürliche Zahlen als Kardinalzahlen
* Schritte die man gehen kann, Summand 1 als Startpunkt, Summand 2 als Zahl der Schritte, Summe als Zielpunkt
=> Summand als Operator

Weiterhin diskutierten die Seminarteilnehmer die Vorteile der Grundvorstellung der Multiplikation über Rechtecke. Die geometrische Konzepte die bei dieser Vorstellung oder Analogie, sind dabei das Messen, Argumentieren, Seiten und Seitenlängen, Flächeninhalte und die Zerlegungsgleichheit. Ähnliche Argumente erlauben eine visuelle Darstellung der binomischen Formeln. Vorgeschlagen wurde ebenso ein methodischer Zugang zur Verdeutlichung der Analogie zwischen Flächeninhalten von Rechtecken und Multiplikation. Beispielsweise könnten Schüler Rechtecke mit kleineren quadratischen Einheiten auslegen. Diese Einheiten lassen sich in einem ersten Schritt elementar zählen. Eine abstraktere Herangehensweise wäre die Multiplikation von Reihen und Spaltenzahl, welche einen intuitiven Zwischenschritt zur Multiplikation im reelen darstellt, welche auch im Sinne eines Spiralcurriculums zum tragen kommen könnte. Ein weiterer Vorteil der Rechtecks-Analogie ist, dass sich Rechengesetze wie Kommutativität und Distributivität visualiseren lassen. Diese Grundvorstellungen stellen einen wesentlichen Teil zum Verständnis von mathematischen Sachverhalten und Gesetzmäßigkeiten dar und erlauben es abstrakte und formale Mathematik anschaulich anzugehen.

=== Arbeitsphase (1), Sammeln geometrischer Begriffe ===

In einer ersten Arbeitsphase ging es darum, bekannte geometrische Begrifflichkeiten zu aufzulisten. Die entstandene Sammlung ist unter dem folgenden Link zu finden:
https://zumpad.zum.de/p/GuU_Begriff

=== Inhaltlicher Input (2), Ziele des Begriffslernens ===

Als wichtigstes Ziel des Begriffslernens gilt das Aufbauen von mentalen Modellen. Dazu gehören:
* Angemessene Grundvorstellungen
* Kenntnisse über Eigenschaften und Beziehungen
* Aneignung von verwandten Fähigkeiten (z.B. Rechnen, Argumentieren, Problemlösen...)

Dabei ist zu beachten, dass diese mentalen Modelle sich von Individuum zu Individuum unterscheiden können. Der Aufbau der Vorstellungen kann dabei durch Wahrnehmung von Gegenständen und Phänomenen, Handlungen an Gegenständen und durch Verbalisierung von Objekten und Phänomenen geschehen. Ein Beispiel für Verbalisierung von geometrischen Objekten ist das Zerlegen von Figuren, beispielsweise eines Parallelogramms in Dreiecke. Handlungsbezogene Zugänge zu mathematischen Konzepten haben Seminarteilnehmer beispielsweise durch das Messen des Umfangs und des Radius eines Kreises mithilfe eines Fadens in ihrer eigenen Schulzeit erlebt. Ein solcher handlungsbezogener Ansatz ist analog zum enaktiven Handeln im EIS-Prinzip zu verstehen.

=== Arbeitsphase (2), Schulbuchanalyse ===

In einer zweiten Arbeitsphase fanden sich die Teilnehmer in Kleingruppen zusammen, um Bücher auf Handlungsbezogene Elemente, Verbalisierungen, Begriffslernen und Aneignung sowie Training von Fähigkeiten zu untersuchen. Die dabei untersuchten Schulbücher waren:
* Buch 1
* Buch 2
* Buch 3
* Buch 4
Die konkrete Aufgabe bestand darin, ein Geometriekapitel im Buch jeweiligen Buch auszusuchen und unter dem Blickwinkel des Begriffslernens zu betrachten. Dabei stellte sich heraus, dass jedes Buch Stärken und Schwächen in verschiedenen Bereichen aufweist. Es war vorallem ein unterschiedlicher Fokus auf verschiedene Aspekte des Begriffslernens zu erkennen. Besonders tat sich Buch X hervor, welches einen sehr handlungs- und wahrnehmungsbezogenen Ansatz verfolgt, aber auch gute Möglichkeiten zum Trainieren von Fähigkeiten und Vertiefen von Verständnis bietet. Ebenso interessant war der besondere Fokus auf Einsatz von digitalen Hilfsmitteln. Größte Erkenntnis dieser Übung war, dass Lehrer nicht nur ein Buch besitzen sollten, sondern eine vielfalt von Büchern komplementär zueinander benutzen sollte.

=== Inhaltlicher Input (3) ===

In einer letzten inhaltlichen Phase, lernten die Seminarteilnehmer das van-Hiele-Modell des Begriffslernens kennen. In diesem werden verschiedene Stadien des Begriffslernens geschildert, welcher jede(r) Lernende immer wieder durchläuft, wenn sie/er mit einem neuen Sachverhalt oder Thema konfrontiert wird. Die Stadien sind:
# Visualisation: Räumlich-anschauungsgebundenes Denken (Intuitives Begriffsverständnis, Prototypen basiert, keine Eigenschaften oder Beziehungen, "Vorschulstufe")
# Analysis: Geometrisch-analysierendes Denken (Inhaltliches Begriffsverständnis, Eigenschaften, Klassifizierung/Defintion mit Begründung, keine Beziehungen, Grundschule)
# Abstraction: Geometrisch-abstrahierendes Denken (Integriertes Begriffsverständnis, Beziehungen zwischen Eigenschaften, Verständnis von Klassifizierung, informelle Argumente, Mittelstufe)
# Deduction: Geometrisch-schlussfolgerndes Denken (Integriertes Begriffsverständnis, formales Begriffsverständnis, formale Beweisführung Oberstufe)
# Rigor: Strenge, abstrakte Geometrie (Formales Begriffsverständnis, Meta-Ebene, formale Sprache, verschiedene Geometrien und Theorien, Akademia)

Dabei ist zu beachten, dass die chronologische Zusammenhang zu den verschiedenen Abschnitten der Bildungslaufbahn nicht zwingend bedeutet, dass diese Phasen in dieser Zeit durchlaufen werden. Sie gelten nur einem groben analogen Verständnis, in der sich eben diese Stadien oft wieder finden. Ebenso wird ein bereits ausgebildeter Mensch diese Stadien durchlaufen, wenn er neue Begriffe kennelernt, bevor er den Sachverhalt völlig durchdrungen und verstanden hat.

== Nachbereitungsauftrag ==

Andreas Vohns stellt in seiner Vorlesung „Didaktik der Geometrie“ an der Universität Klagenfurt verschiedene Klassifikationssysteme für (geometrische) Begriffe im Mathematikunterricht vor. Schauen Sie sich [https://www.youtube.com/watch?v=y6Syb-izjnY&feature=youtu.be&t=300 den Vorlesungsmitschnitt der dritten Sitzung aus dem WiSe 2018/19 (Ausschnitt von Minute 5.00 bis 11.00)] an. Suchen Sie sich eines der Klassifikationssysteme aus und sortieren Sie die in der Sitzung gesammelten Begriffe in dieses System ein.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

'''Inhaltliche Einteilung:'''
{| class="wikitable"
|-
| '''Figurenbegriffe''' || Dreieck, Quadrat, Kreis, Prisma, Würfel, Kugel, Körper allg., Eigenschaften und Beziehung untereinander (gleichschenklig, gleichseitig, parallel, senkrecht, rechtwinklig, kongruent, achsensymmetrisch)
|-
| '''Abbildungsbegriffe''' || Geraden, Spiegelung, Drehung, Kongruenzabbildung, zentrische Streckung, Verschiebung
|-
| '''Maßbegriffe''' || Länge, Winkelgröße, Flächeninhalt, Volumen, Gewicht, Umfang

|}

'''Logische Einteilung'''
{| class="wikitable"
|-
| '''Objektbegriffe''' || Dreieck, Viereck, Vieleck, Kreis, Ellipse, Zylinder, Würfel, Kegel, Quarder, Prisma, Parallelogramm, Ebene, Gerade
|-
| '''Eigenschaftsbegriffe''' || dreieckig, viereckig, rund, elliptisch, zylindrisch, würfelförmig, kegelförmig, quadratisch, eben, gerade, Punkt, Seite, Strecke, Kreisbogen (?), Diagonale (?)
|-
| '''Relationsbegriffe''' || parallel, symmetrisch, orthogonal, kongruent, windschief, identisch, ähnlich, deckungsgleich
|-
|'''Funktionsbegriffe''' || Abbildungen, Länge, Winkelgröße, Flächeninhalt, Volumen, Gewicht, Umfang, Streckensymmetrale

|}

'''Axiomatische Einteilung'''
{| class="wikitable"
|-
| '''Grundbegriffe''' || Punkte, Geraden
|-
| '''definierte Begriffe''' || alle anderen Begriffe
|-
|}

'''Einteilung nach Bedeutung'''
{| class="wikitable"
|-
| '''Leitbegriffe''' || Sinus, Kosinus, Tangens, Flächeninhalt, Volumen, Vektoren, Bewegung, Spiegelung, Symmetrie, Drehung, Verschiebung/Transĺation, Identität, Parallelität, Orthogonalität
|-
| '''Schlüsselbegriffe''' || Strahlensätze, Winkelsumme, Satz des Thales, Satz des Pythagoras, binomische Formeln, Winkel, Winkelgröße, Ebene, Raum
|-
| '''zentrale Begriffe ''' || Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte, Seitenhalbierende, Diagonale, Haus der Vierecke, Einheitskreis, Stufenwinkel, Wechselwinkel, Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Körpernetz, Vieleck, Quadrat, Körper, Quader, Kegel, Zylinder, Höhensatz, Winkelsummensatz, Ellipse, Kegelschnitte, kongruent, deckungsgleich, windschief, identisch, orthogonal, goldener Schnitt, ähnlich, Kongruenz
|-
| '''Arbeitsbegriffe''' || Länge, Breite, Mittelpunkt, Innenkreis, Außenkreis, Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse, Durchmesser, Radius, Punkt, Strecke, Gerade, Strahl, Kreisbogen, spitzer Winkel, stumpfer Winkel, überspitzer Winkel, rechter Winkel, gleichseitig, gleichschenklig, rechtwinklig, Kreis, Umfang
|}

==Zusatzmaterial==

[https://mediaup.uni-potsdam.de/Play/7250 Hier finden Sie einen Mitschnitt der Vortrags „Moving mathematics - Technology that changes teaching and learning“] von Dr. Nathalie Sinclair zu ihrer Arbeit mit jungen Lernenden im Kindergarten- und Vorschulalter. Der Vortrag wurde auf der 51. Jahrestagung der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik in Potsdam gehalten.

Ab der Zeitmarke 22 Minuten 55 Sekunden werden Beispiele zur Erarbeitung von Begriffsaspekten (Dreiecken, Lage von Geraden, Spiegelungen und Symmetrien) erörtert. Sie können diese Beispiele als Lerngelegenheit für das ''van-Hiele-Modells'' nutzbar machen, indem Sie diese vor dem Hintergrund der Stufen des Begriffserwerbs reflektieren.

==Literaturhinweise==

* Zalman (1982). [https://eric.ed.gov/?id=ED220288 „Van Hiele Levels and Achievement in Secondary School Geometry“].
* Klinger (2019). „[http://dx.doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_5 Grundvorstellungen versus Concept Image? Gemeinsamkeiten und Unterschiede beider Theorien am Beispiel des Funktionsbegriffs]“. In Büchter, et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht: Konzepte und Beispiele aus Forschung und Praxis (S. 61–75). Wiesbaden: Springer Spektrum.
* Griesel, vom Hofe, Blum (2019). „[https://doi.org/10.1007/s13138-019-00140-4 Das Konzept der Grundvorstellungen im Rahmen der mathematischen und kognitionspsychologischen Begrifflichkeit in der Mathematikdidaktik]“. In Journal für Mathematikdidaktik.
* siehe auch: [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifende Literaturhinweise]]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 01

2019-05-09T22:04:09Z

Pquicker: /* Arbeitsphase (2), Schulbuchanalyse */

== Vorbereitungsauftrag ==

Der Begriff ''Grundvorstellung'' steht für ein tragfähiges mentales Modell für einen Begriff oder ein Verfahren. Lesen Sie [https://link.springer.com/article/10.1007/BF03338785 vom Hofe (2013). „Grundvorstellungen mathematischer Inhalte als didaktisches Modell“] in ''Journal für Mathematik-Didaktik'' und eigenständig recherchierte Beiträge zum Thema ''Grundvorstellungen'' (mit Bezug zum Geometrieunterricht). Bearbeiten Sie die folgenden Aufträge.

# Diskutieren Sie, wie sich ''Flächeninhalte von Rechtecken'' als (innermathematischen) Sachzusammenhang für die ''Multiplikation zweier positiver (rationaler) Zahlen'' für den Aufbau einer Grundvorstellung eignen. Berücksichtigen Sie dabei die Aspekte ''Sinnkonstituierung'', ''Aufbau von Repräsentationen'' und ''Anwendung des Begriffs''. (Die folgenden zwei Aufgaben können dabei helfen.)
# Wie können Sie diese Vorstellung zur Erklärung des ''Distributivgesetz'' beim Rechnen mit positiven (rationalen) Zahlen verwenden?
# Wie können Sie diese Vorstellung zur Erklärung der ''ersten binomischen Formel'' beim Rechnen mit positiven (rationalen) Zahlen verwenden?
# Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
# Entwickeln Sie einen analolgen Sachzusammenhang für den Aufbau einer Grundvorstellung für die ''Multiplikation zweier natürlicher Zahlen''.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1OxiIGkZanj9obbwDT8X7dX_IaRnN69huHLTQX3gA_ks/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 03.05.2019]
* [https://zumpad.zum.de/p/GuU_Begriff ZUM-Pad zum Arbeitsauftrag: „Welche Beispiele für geometrische Begriffe fallen Ihnen ein?“]
* [https://drive.google.com/file/d/1J_tLLcdCTIicy5IH5usrEBSIXOzcuFxG/view?usp=sharing PDF-Export vom ZUM-Pad „Welche Beispiele für geometrische Begriffe fallen Ihnen ein?“]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Zusammenfassung ===

In dieser Sitzung haben wir uns mit dem Konzept des Begriffslernen beschäfigt. Es wurden Ziele und Möglichkeiten des Begriffslernens erarbeitet und diskutiert. Ausgehend von Vom Hofe's Artikel Grundvorstellungsbegriff wurden verschiedene Grundvorstellungen .....

=== Inhaltlicher Input (1), Begriffslernen ===

In der ersten inhaltlichen Phase standen Ziele und Legitimierung des Begriffslernens im Vordergrund. Ausgangspunkt hierfür war der Text "Grundvorstellungen mathematischer Inhalte als didaktisches Modell" von Rudolf vom Hofe, in dem er den Begriff der Grundvorstellung erklärt. Als erstes Diskussionsthema diente das folgende Zitat aus eben jenem Text:

<poem>
"Wichtigster Kritikpunkt, weit häufiger genannt als Klagen über Angsterlebnisse der zeitliche Belastung, war der Vorwurf der Sinnlosigkeit."
</poem>

Mögliche Gründe für diese Sinnlosigkeit, welche die Seminarteilnehmer äußerten, waren der fehlender Realitätsbezug von Mathematik und mathematischen Begriffen, mangelnde Authentizität in Begriffen, Aufgaben und Legitimierung im Mathematikunterricht und die fehlende Perspektive, in welchen Lebenssituationen Mathematik und damit verbundene Grundvorstellungen und Grundbegrifflichkeiten von Bedeutung sein können. Weiterhin wurde angeführt, dass das Lernen formaler Regeln ohne eine Einbettung in einen praktischen Kontext, wenig Sinn macht. Das Fach Mathematik treffe hier, in der Form in der es gelehrt wird, auf eine unter Schülern fehlende Wertschätzung für die Eleganz der Mathematik und den formalen Methoden. Angefügt wurde hierzu, dass formale Regeln, wie beispielsweise die binomischen Formeln, aus guten Gründen nicht hergeleitet werden, aber die Präsentation von festen Regeln "die halt so sind" die Schüler unbefriedigt lassen. Aus diesen festgesetzten Regeln könnte es auch zu Furst bei Schülerinnen und Schülern kommen, wenn ihre Vorstellung und Intuition diesen mathematischen Gesetzmäßigkeiten widersprechen, besonders, wenn keine Begründung oder Erklärung für diese Diskrepanz gegeben wird. Ein mangeldes Verständnis oder falsche Vorstellung führen dann eben auch zu unreflektierter Anwendung von Pseudoregeln, welche die Schüler aus ihrer Intuition ableiten.
Davon ausgehend wurden verschiedene Grundvorstellungen disktutiert. Insbesondere wurden verschiedene Grundvorstellungen und Zugänge zur Addition mit natürlichen Zahlen vorgeschlagen:

* Vereinigung von Mengen, Summanden und Summe als Kardinalitäten dieser Mengen
=> Natürliche Zahlen als Kardinalzahlen
* Schritte die man gehen kann, Summand 1 als Startpunkt, Summand 2 als Zahl der Schritte, Summe als Zielpunkt
=> Summand als Operator

Weiterhin diskutierten die Seminarteilnehmer die Vorteile der Grundvorstellung der Multiplikation über Rechtecke. Die geometrische Konzepte die bei dieser Vorstellung oder Analogie, sind dabei das Messen, Argumentieren, Seiten und Seitenlängen, Flächeninhalte und die Zerlegungsgleichheit. Ähnliche Argumente erlauben eine visuelle Darstellung der binomischen Formeln. Vorgeschlagen wurde ebenso ein methodischer Zugang zur Verdeutlichung der Analogie zwischen Flächeninhalten von Rechtecken und Multiplikation. Beispielsweise könnten Schüler Rechtecke mit kleineren quadratischen Einheiten auslegen. Diese Einheiten lassen sich in einem ersten Schritt elementar zählen. Eine abstraktere Herangehensweise wäre die Multiplikation von Reihen und Spaltenzahl, welche einen intuitiven Zwischenschritt zur Multiplikation im reelen darstellt, welche auch im Sinne eines Spiralcurriculums zum tragen kommen könnte. Ein weiterer Vorteil der Rechtecks-Analogie ist, dass sich Rechengesetze wie Kommutativität und Distributivität visualiseren lassen. Diese Grundvorstellungen stellen einen wesentlichen Teil zum Verständnis von mathematischen Sachverhalten und Gesetzmäßigkeiten dar und erlauben es abstrakte und formale Mathematik anschaulich anzugehen.

=== Arbeitsphase (1), Sammeln geometrischer Begriffe ===

In einer ersten Arbeitsphase ging es darum, bekannte geometrische Begrifflichkeiten zu aufzulisten. Die entstandene Sammlung ist unter dem folgenden Link zu finden:
https://zumpad.zum.de/p/GuU_Begriff

=== Inhaltlicher Input (2), Ziele des Begriffslernens ===

Als wichtigstes Ziel des Begriffslernens gilt das Aufbauen von mentalen Modellen. Dazu gehören:
* Angemessene Grundvorstellungen
* Kenntnisse über Eigenschaften und Beziehungen
* Aneignung von verwandten Fähigkeiten (z.B. Rechnen, Argumentieren, Problemlösen...)

Dabei ist zu beachten, dass diese mentalen Modelle sich von Individuum zu Individuum unterscheiden können. Der Aufbau der Vorstellungen kann dabei durch Wahrnehmung von Gegenständen und Phänomenen, Handlungen an Gegenständen und durch Verbalisierung von Objekten und Phänomenen geschehen. Ein Beispiel für Verbalisierung von geometrischen Objekten ist das Zerlegen von Figuren, beispielsweise eines Parallelogramms in Dreiecke. Handlungsbezogene Zugänge zu mathematischen Konzepten haben Seminarteilnehmer beispielsweise durch das Messen des Umfangs und des Radius eines Kreises mithilfe eines Fadens in ihrer eigenen Schulzeit erlebt. Ein solcher handlungsbezogener Ansatz ist analog zum enaktiven Handeln im EIS-Prinzip zu verstehen.

=== Arbeitsphase (2), Schulbuchanalyse ===

In einer zweiten Arbeitsphase fanden sich die Teilnehmer in Kleingruppen zusammen, um Bücher auf Handlungsbezogene Elemente, Verbalisierungen, Begriffslernen und Aneignung sowie Training von Fähigkeiten zu untersuchen. Die dabei untersuchten Schulbücher waren:
* Buch 1
* Buch 2
* Buch 3
* Buch 4
Die konkrete Aufgabe bestand darin, ein Geometriekapitel im Buch jeweiligen Buch auszusuchen und unter dem Blickwinkel des Begriffslernens zu betrachten. Dabei stellte sich heraus, dass jedes Buch Stärken und Schwächen in verschiedenen Bereichen aufweist. Es war vorallem ein unterschiedlicher Fokus auf verschiedene Aspekte des Begriffslernens zu erkennen. Besonders tat sich Buch X hervor, welches einen sehr handlungs- und wahrnehmungsbezogenen Ansatz verfolgt, aber auch gute Möglichkeiten zum Trainieren von Fähigkeiten und Vertiefen von Verständnis bietet. Ebenso interessant war der besondere Fokus auf Einsatz von digitalen Hilfsmitteln. Größte Erkenntnis dieser Übung war, dass Lehrer nicht nur ein Buch besitzen sollten, sondern eine vielfalt von Büchern komplementär zueinander benutzen sollte.

=== Inhaltlicher Input (3) ===

== Nachbereitungsauftrag ==

Andreas Vohns stellt in seiner Vorlesung „Didaktik der Geometrie“ an der Universität Klagenfurt verschiedene Klassifikationssysteme für (geometrische) Begriffe im Mathematikunterricht vor. Schauen Sie sich [https://www.youtube.com/watch?v=y6Syb-izjnY&feature=youtu.be&t=300 den Vorlesungsmitschnitt der dritten Sitzung aus dem WiSe 2018/19 (Ausschnitt von Minute 5.00 bis 11.00)] an. Suchen Sie sich eines der Klassifikationssysteme aus und sortieren Sie die in der Sitzung gesammelten Begriffe in dieses System ein.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

'''Inhaltliche Einteilung:'''
{| class="wikitable"
|-
| '''Figurenbegriffe''' || Dreieck, Quadrat, Kreis, Prisma, Würfel, Kugel, Körper allg., Eigenschaften und Beziehung untereinander (gleichschenklig, gleichseitig, parallel, senkrecht, rechtwinklig, kongruent, achsensymmetrisch)
|-
| '''Abbildungsbegriffe''' || Geraden, Spiegelung, Drehung, Kongruenzabbildung, zentrische Streckung, Verschiebung
|-
| '''Maßbegriffe''' || Länge, Winkelgröße, Flächeninhalt, Volumen, Gewicht, Umfang

|}

'''Logische Einteilung'''
{| class="wikitable"
|-
| '''Objektbegriffe''' || Dreieck, Viereck, Vieleck, Kreis, Ellipse, Zylinder, Würfel, Kegel, Quarder, Prisma, Parallelogramm, Ebene, Gerade
|-
| '''Eigenschaftsbegriffe''' || dreieckig, viereckig, rund, elliptisch, zylindrisch, würfelförmig, kegelförmig, quadratisch, eben, gerade, Punkt, Seite, Strecke, Kreisbogen (?), Diagonale (?)
|-
| '''Relationsbegriffe''' || parallel, symmetrisch, orthogonal, kongruent, windschief, identisch, ähnlich, deckungsgleich
|-
|'''Funktionsbegriffe''' || Abbildungen, Länge, Winkelgröße, Flächeninhalt, Volumen, Gewicht, Umfang, Streckensymmetrale

|}

'''Axiomatische Einteilung'''
{| class="wikitable"
|-
| '''Grundbegriffe''' || Punkte, Geraden
|-
| '''definierte Begriffe''' || alle anderen Begriffe
|-
|}

'''Einteilung nach Bedeutung'''
{| class="wikitable"
|-
| '''Leitbegriffe''' || Sinus, Kosinus, Tangens, Flächeninhalt, Volumen, Vektoren, Bewegung, Spiegelung, Symmetrie, Drehung, Verschiebung/Transĺation, Identität, Parallelität, Orthogonalität
|-
| '''Schlüsselbegriffe''' || Strahlensätze, Winkelsumme, Satz des Thales, Satz des Pythagoras, binomische Formeln, Winkel, Winkelgröße, Ebene, Raum
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| '''zentrale Begriffe ''' || Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte, Seitenhalbierende, Diagonale, Haus der Vierecke, Einheitskreis, Stufenwinkel, Wechselwinkel, Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Körpernetz, Vieleck, Quadrat, Körper, Quader, Kegel, Zylinder, Höhensatz, Winkelsummensatz, Ellipse, Kegelschnitte, kongruent, deckungsgleich, windschief, identisch, orthogonal, goldener Schnitt, ähnlich, Kongruenz
|-
| '''Arbeitsbegriffe''' || Länge, Breite, Mittelpunkt, Innenkreis, Außenkreis, Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse, Durchmesser, Radius, Punkt, Strecke, Gerade, Strahl, Kreisbogen, spitzer Winkel, stumpfer Winkel, überspitzer Winkel, rechter Winkel, gleichseitig, gleichschenklig, rechtwinklig, Kreis, Umfang
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==Zusatzmaterial==

[https://mediaup.uni-potsdam.de/Play/7250 Hier finden Sie einen Mitschnitt der Vortrags „Moving mathematics - Technology that changes teaching and learning“] von Dr. Nathalie Sinclair zu ihrer Arbeit mit jungen Lernenden im Kindergarten- und Vorschulalter. Der Vortrag wurde auf der 51. Jahrestagung der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik in Potsdam gehalten.

Ab der Zeitmarke 22 Minuten 55 Sekunden werden Beispiele zur Erarbeitung von Begriffsaspekten (Dreiecken, Lage von Geraden, Spiegelungen und Symmetrien) erörtert. Sie können diese Beispiele als Lerngelegenheit für das ''van-Hiele-Modells'' nutzbar machen, indem Sie diese vor dem Hintergrund der Stufen des Begriffserwerbs reflektieren.

==Literaturhinweise==

* Zalman (1982). [https://eric.ed.gov/?id=ED220288 „Van Hiele Levels and Achievement in Secondary School Geometry“].
* Klinger (2019). „[http://dx.doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_5 Grundvorstellungen versus Concept Image? Gemeinsamkeiten und Unterschiede beider Theorien am Beispiel des Funktionsbegriffs]“. In Büchter, et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht: Konzepte und Beispiele aus Forschung und Praxis (S. 61–75). Wiesbaden: Springer Spektrum.
* Griesel, vom Hofe, Blum (2019). „[https://doi.org/10.1007/s13138-019-00140-4 Das Konzept der Grundvorstellungen im Rahmen der mathematischen und kognitionspsychologischen Begrifflichkeit in der Mathematikdidaktik]“. In Journal für Mathematikdidaktik.
* siehe auch: [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifende Literaturhinweise]]

GeometrieUndUnterrichtSS2019 01

2019-05-09T21:56:16Z

Pquicker: /* Inhaltlicher Input (2), Ziele des Begriffslernens */

GeometrieUndUnterrichtSS2019 01

2019-05-09T21:26:20Z

Pquicker: /* Arbeitsphase (1), Sammeln geometrischer Begriffe */

GeometrieUndUnterrichtSS2019 01

2019-05-09T21:25:12Z

Pquicker: /* Arbeitsphase (1), Sammeln geometrischer Begriffe */

GeometrieUndUnterrichtSS2019 01

2019-05-09T21:23:29Z

Pquicker: /* Inhaltlicher Input (1), Begriffslernen */

GeometrieUndUnterrichtSS2019 01

2019-05-08T14:14:49Z

Pquicker: /* Inhaltlicher Input (1), Begriffslernen */

GeometrieUndUnterrichtSS2019 01

2019-05-08T14:11:00Z

Pquicker: /* Dokumentation der Sitzung */

GeometrieUndUnterrichtSS2019 01

2019-05-08T12:21:24Z

Pquicker: /* Dokumentation der Sitzung */