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Sätze WS10/11

2011-01-21T10:29:54Z

Rakorium: /* Satz I.4 */

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= Sätze =

== Sätze I ==

===Satz I.1===
Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.

===Satz I.2 (Kontraposition von Satz I.1)===
Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind g und h identisch.

===Satz I.3 (Existenz von drei Geraden)===
Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.

=== Satz I.4 (Minimales Modell für die Inzidenzaxiome der ebenen Geometrie)===

Jedes Modell für die ebenen Inzidenzaxiome besteht aus wenigstens 3 Punkten und 3 Geraden.

===Satz I.5===
Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

===Satz I.6===
Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

===Satz I.7===
Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

== Sätze II ==

=== Satz II.1 ===
Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

=== Satz II.2 ===
Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

=== Satz II.3 ===
Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden.

Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

=== Satz II.4 ===
Es sei <math>\ O</math> ein Punkt einer Geraden <math>\ g</math>.

Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math>\ g</math>.

== Sätze III ==

=== Satz III.1 (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) ===
Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

== Sätze IV ==

=== Satz IV.1 ===
Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.

=== Satz IV.2 ===
Halbebenen sind konvexe Punktmengen

=== Satz IV.3 ===
Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

== Sätze V ==

=== Satz V.1 ===
Das Innere eines Winkels ist konvex.

=== Satz V.2 ===
Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.

=== Satz V.3 (Existenz von rechten Winkeln) ===
Es gibt rechte Winkel.

=== Satz V.4 ===
Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

=== Satz V.5 (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden) ===
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Ferner sei <math>\ P</math> ein Punkt auf <math>\ g</math>. In der Ebene <math>\ \Epsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ s</math>, die durch <math>\ P</math> geht und senkrecht auf <math>\ g</math> steht.

== Sätze VI ==

=== Satz VI.1 (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten) ===
Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

=== Satz VI.1 1/2 ===
Es sei <math>\ SW^+</math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt <math>| \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB |</math>.

=== Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)===
Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.

== Sätze VII ==

=== Satz VII.1 ===
Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.

=== Satz VII.2 ===
Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.

=== Satz VII.3 ===
Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.

=== Satz VII.4 (Kongruenzsatz WSW) ===
Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>

gelten,
 dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

=== Der Kongruenzsatz SSS ===
Hier dürfen und sollen Sie sich austoben.
Für den Beweis des Kongruenzsatzes SSS werden Sie sinnvollerweise den Basiswinkelsatz benötigen. Weil dieser jedoch von so zentraler Bedeutung ist, haben wir ihm einen eigenen Unterpunkt auf der Hauptseite spendiert. Sie dürfen ihn also hier vorab als wahr voraussetzen.

=== Satz VII.5 Basiswinkelsatz ===
In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.

=== Satz VII.6 (Mittelsenkrechtenkriterium) ===
Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\ \overline{AB}</math>, wenn für jeden Punkt <math>\ P \in\ M</math> gilt: <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>.

=== Satz VII.6a ===
Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.

:(hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.)

=== Satz VII.6b ===
Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.

:(notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)

== Sätze VIII ==

=== Satz VIII.1 (schwacher Außenwinkelsatz) ===
Die Größe eines jeden Außenwinkels eines Dreiecks ist jeweils größer als die Größe eines jeden Innenwinkels dieses Dreiecks, der kein Nebenwinkel zu dem gewählten Außenwinkel des Dreiecks ist.

==== Lemma 2 ====
Wenn ein Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math> \angle ASB</math> liegt, dann liegt der gesamte Strahl <math>\ SP^+</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> .

==== Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz ====
In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel.

==== Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz ====
Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.

== Sätze IX ==

=== Satz IX.1 (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) ===
Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.

=== Satz IX.2 (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber) ===
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.

<math>\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math>

=== Satz IX.3 (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber) ===
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.

<math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right| </math>

== Sätze X ==

=== Satz X.1 (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) ===
Es seien <math>\ a</math> und <math>\ b</math> zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade <math>\ c</math> jeweils geschnitten werden. Es seien ferner <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von <math>\ c</math> mit <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entstehen mögen.

Wenn die beiden Stufenwinkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> parallel zueinander.

== Sätze XI ==

=== Satz XI.1 (Existenz von Parallelen) ===
Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parallel zu <math>\ g</math> ist.

== Sätze XII ==

=== Satz XII.1 (Stufenwinkelsatz) ===
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Stufenwinkel sind kongruent zueinander.
=== Satz XII.2 (Wechselwinkelsatz) ===
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden Wechselwinkel sind kongruent zueinander.

=== Satz XII.3 ===
Es seien <math> \ a </math> und <math> \ b </math> zwei zueinander parallele Geraden, die durch eine dritte Gerade <math> \ c </math> geschnitten werden. Die bei diesem Schnitt entstehenden entgegengesetzt liegenden Winkel sind supplementär zueinander.

Halbebenen oder das Axiom von Pasch (WS10/11)

2010-12-06T21:43:35Z

Rakorium: /* Analogiebetrachtungen */

= Halbebenen und das Axiom von Pasch =
== Halbebenen ==
=== Analogiebetrachtungen ===

{| class="wikitable center"
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbgeraden'''</center>
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbebenen'''</center>

|-
| <ggb_applet width="398" height="401" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAGSMwjwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s1Vlbb9s2FH5efwUhFMWGIbIoWbKF2imyrg8BsiVdsmIYhgG0RMtcdHElypcW/e87vMiW7FhR3KQXP0TmRYeH3+VQckavVkmMFjQvWJaODWxaBqJpkIUsjcZGyacnQ+PV6bNRRLOITnKCplmeED42HNM2RH/JTp/9MCpm2RKRWE55x+hybExJXFADFfOckrCYUcob/aRcsZiRfH05+Y8GvNgOqCDn6byEVXheQl+QhBesqJo9ueA8ZvxXtmAhzVGcBWPDcyF1+PaO5pwFJB4bfUv12GPD3hmELkeMzrKcfchSLqZvg0+hB6GCfaBwpyX6Rj250REtg5iFjKRiMzIPmITQkoV8BiH9IYSkLJoJgHxfRQuyLA+v1wWnCVr9TfNsbJxg7Auk16o5dEWjgLxgQdeSI/WWDEMX15RzoKVAZEW3gEU5CxuN8+KXLN52zTOW8tdkzstccurormu+FgvAWrlI+CyNYqr7MEA+o8HtJFtdSxCwo0LfrOfyFpnQJHqdxVmOcgGvCxP0daKuco7IdDPLknMsOUPHEEE349i35Qx5nairnBWzVKWmd46rXWOrWoYVSHQIGEGKm83HZEKBWgOVKeMXVQMkcLvdqrjh9zKZgAfqItjExI8Vc9Tbkc/oluYpjZVIUuC2zMoCLYQY1VoykZAGLIGmGtCQEEHXn5CA6g1plNMqceUgBZgctepC3Oke9aokRA4F5BpwKAWwHy72IpzKwSVjIzEj00Ah4aJXWCGmCQWfcKkJKakNNmfGpihk0t+Vk/X4FmUY3lORiyX94kLi+YxAppUJYrIGv9c3JSP+loXNrZIUIJP7ANvNRQBBypzSUNc4rpWM5hBS+qKGuASqQCvIAaocWoNhHRODtz+ou+UkZSJhf7mwqxlWqNyDz9uj8Kn7R2L1tdEZmK5t1T+uAss27f7DwAqyJCFpiFKSwMIX4HeJEBOnACKWUBQiWACnUCl5NRCpUDrAHu6idGxgjYxmNeEzMG1Ki0JktNl073husOuoymXZndm5nE4LygWcnqe1ZreRt4X/xDL9vrzFNp0mEY6CH4jwXG/bjXfraQsC9H2q5hSqqrEEjtyA8Xbq/iDrrsxN2pnLIVKF+eQwcX5n4hoSTkOmDADTL/Vsil5E/CXaEPZEtempCNxFoo1ASUQsrH2ecjikqCz6+2fPLaVzcehfpjc5SQvx8Kfm1M60A0q4khWvqYVoTwRX7SJols2ro8omthV18vqtlM6h6dveEFvW0MMD3xkq52PT83z4OB72nL6NRUU4vowe9OLVHg1Bdy8GX8qL8SEvCvNtrfhZdNa8iE0XC4t5ztDx3AH8kZw45qBO1MDXlPjmwHJs13d8x3Xh9aL//Tjzmkaif0cbV4fqdNiujUJHq6gNv4g+SPvjkdUqCa+bJCzTHdyhCFBK32pIQhXrk4HZdwbeVhLO9yOJdxAzy7ue3GW7IhYqWMVleVgQdpsgmq9btX0eR3rHOnDXSbwWEX31SLsN3WVDtVcuTWxAck4LeAXUO+bQlkcloqu5wPxonvar+uJBPC0ehaf7X10ehaa7yvJanJT7RfwrkAa9OYQWRUvDsjTU1BL10MLYIaB3HzXL74kay/Rs28We7TsYDzB8q8qmPfD7ntvHbt/xh7735gQ/AT3tPFDNw+rH5U93AZ+WCc1ZYGzniyVho2W13f3ddYYU35/fDV1xrHN88b7M+Muzt/9+/PkTUg1jP2MOdxjN25/wPeiR1MKKC3JD/2oeT/qH1wIImFY5qx9hQSaaanvPgapo+0Ndpl3Xb3zqD9D3Q2/vQX/yEOjtzi8oD3/q/VaRd70K+YNQN0CbZFlMwaoVJmTXYTV9dhLxcSC5d/4E46tTpN8C4f0ichoiev5PtqC5qGwfr95+et5dTE53H38+BE+tE8e0Bg1f6kNBPFc1HrfsQyrq1X+elv+R0f+SOv0fUEsHCKhmSd+1BQAAxBoAAFBLAQIUABQACAAIAGSMwjyoZknftQUAAMQaAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAA7wUAAAAA" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

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|}
{|class="wikitable center"
|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Objekt <math>\ G</math>, das in Klassen eingeteilt wird</center>

|-
| <math>\ G</math> ist eine Gerade --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)
| <math>\ G</math> ist eine Ebene --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ G</math></center>

|-
| eindimensional --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)
| zweidimensional --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center> Objekt <math>\ T</math>, das <math>\ G</math> in Klassen einteilt</center>

|-
| Punkt A --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)
| Gerade g --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ T</math></center>

|-
| nulldimensional --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)
| eindimensional --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD; "| <center> <math>\ T</math> teilt <math>\ G \setminus_{\{ T \}}</math> in genau zwei Klassen. Der Referenzpunkt <math>\ Q</math> hilft, diese Klassen anzugeben:</center>

|-
| colspan="2" |
<center>Klasse 1: </center>
<center> Menge aller Punkte von <math>\ G \setminus_{\{ T \}}</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ T </math> liegen </center>

|-
| <math>\ AQ^{+} := \overline {AQ}/ \{A \} \cup \{P| \operatorname{Zw}(A,Q,P) \} </math> --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)
| <math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math> oder
<math>\ gQ^{+}:= \{P| \overline {PQ} \cap g= \{ \} \and P \in E/g \}</math> --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)

|-
| colspan="2" |
<center>Klasse 2:</center>
<center> Menge aller Punkte von <math>\ G \setminus_{\{ T \}}</math>, die bezüglich <math>\ Q</math> auf auf verschiedenen Seiten von <math>\ T</math> liegen </center>

|-
| <math>AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}</math> --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)
| <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math> oder
<math>\ gQ^{-}:= \{P| \overline {PQ} \cap g \not= \{ \} \and P \in E/g \}</math> oder

<math>\ gQ^{-}:= \{P| P \in E/g \and P \not \in gQ^{+} \} </math> --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)

|}

=== Definition des Begriffs der Halbebene ===
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====
{|
|-
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \Epsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]
|-
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]
|}
==== Offene Halbebenen ====
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \Epsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \Epsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math>

==== Halbebenen ====
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen. 

Definition: Halbraum 

Gegeben sei eine Ebene E und ein Raum R, der E enthält. Die Punkte des Raumes, die nicht in E liegen, bilden zwei Mengen derart, dass gilt: 

1) Jede der Mengen ist konvex 
2) Wenn der Punkt A zur einen und der Punkt B zur anderen dieser beiden Mengen gehört, dann schneidet die Strecke <math>\overline {AB}</math> die Ebene E. --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:16, 3. Dez. 2010 (UTC)

== Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen ==
=== Repräsentantenunabhängigkeit? ===
===== Satz IV.1 =====
:: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.

===== Beweis des Satzes IV.1 =====
'''Voraussetzung:''' <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+} </math>
 '''Behauptung:''' <math>{gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}</math> und <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math>

Üben Sie sich hier:

== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert. [http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''

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===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

= Konvexe Punktmengen =
=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.
===== Satz IV.2 =====
::Halbebenen sind konvexe Punktmengen

===== Beweis von Satz IV.2 =====
trivial (Der Leser überzeuge sich davon)
===== Satz IV.3 =====
::Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
===== Beweis von Satz IV.3 =====
Es seien <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> zwei konvexe Mengen.

zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> ist auch konvex.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Halbebenen oder das Axiom von Pasch (WS10/11)

2010-12-06T21:25:01Z

Rakorium: /* Analogiebetrachtungen */

= Halbebenen und das Axiom von Pasch =
== Halbebenen ==
=== Analogiebetrachtungen ===

{| class="wikitable center"
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbgeraden'''</center>
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbebenen'''</center>

|-
| <ggb_applet width="398" height="401" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

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|}
{|class="wikitable center"
|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Objekt <math>\ G</math>, das in Klassen eingeteilt wird</center>

|-
| <math>\ G</math> ist eine Gerade --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)
| <math>\ G</math> ist eine Ebene --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ G</math></center>

|-
| eindimensional --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)
| zweidimensional --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center> Objekt <math>\ T</math>, das <math>\ G</math> in Klassen einteilt</center>

|-
| Punkt A --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)
| Gerade g --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ T</math></center>

|-
| nulldimensional --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)
| eindimensional --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD; "| <center> <math>\ T</math> teilt <math>\ G \setminus_{\{ T \}}</math> in genau zwei Klassen. Der Referenzpunkt <math>\ Q</math> hilft, diese Klassen anzugeben:</center>

|-
| colspan="2" |
<center>Klasse 1: </center>
<center> Menge aller Punkte von <math>\ G \setminus_{\{ T \}}</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ T </math> liegen </center>

|-
| <math>\ AQ^{+} := \overline {AQ}/ \{A \} \cup \{P| \operatorname{Zw}(A,Q,P) \} </math> --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)
| <math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math> oder
<math>\ gQ^{+}:= \{P| \overline {PQ} \cap g= \{ \} \and P \in E/g \}</math> --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)

|-
| colspan="2" |
<center>Klasse 2:</center>
<center> Menge aller Punkte von <math>\ G \setminus_{\{ T \}}</math>, die bezüglich <math>\ Q</math> auf auf verschiedenen Seiten von <math>\ T</math> liegen </center>

|-
| <math>AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}</math> --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)
| <math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math> oder
<math>\ gQ^{-}:= \{P| \overline {PQ} \cap g \not= \{ \} \and P \in E/g \}</math> oder
<math>\ gQ^{-}:= \{P| P \in E/g \and P \not \in gQ^{+} \} </math> --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 21:25, 6. Dez. 2010 (UTC)

|}

=== Definition des Begriffs der Halbebene ===
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====
{|
|-
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \Epsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]
|-
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]
|}
==== Offene Halbebenen ====
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \Epsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \Epsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math>

==== Halbebenen ====
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen. 

Definition: Halbraum 

Gegeben sei eine Ebene E und ein Raum R, der E enthält. Die Punkte des Raumes, die nicht in E liegen, bilden zwei Mengen derart, dass gilt: 

1) Jede der Mengen ist konvex 
2) Wenn der Punkt A zur einen und der Punkt B zur anderen dieser beiden Mengen gehört, dann schneidet die Strecke <math>\overline {AB}</math> die Ebene E. --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:16, 3. Dez. 2010 (UTC)

== Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen ==
=== Repräsentantenunabhängigkeit? ===
===== Satz IV.1 =====
:: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.

===== Beweis des Satzes IV.1 =====
'''Voraussetzung:''' <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+} </math>
 '''Behauptung:''' <math>{gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}</math> und <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math>

Üben Sie sich hier:

== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert. [http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''

<ggb_applet width="550" height="343" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIADkmxTwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3VlLcuM2EF1nToHiIjtTBCFSYkXylD+zcJVjp8qTWWSTAkmIQkyCCgnakk+Qm+ReOUkaAElRkmVLGsXjjDcwGi00+r3+WR59nGcpemBFyXMxtrDtWIiJKI+5SMZWJScnQ+vj6YdRwvKEhQVFk7zIqBxbxHYtJa/46YcfRuU0f0Q01SpfOHscWxOalsxC5axgNC6njMkVOa3mPOW0WNyGf7BIlssDc8mVmFVgRRYVyKIsvuZls+1pg7OUy0v+wGNWoDSPxpbvwdPhty+skDyi6djqO0biji137RBERJ1O84I/5UIq9eXlE5AgVPInBp90lGzU046OWBWlPOZUKGf0O0AJoUcey+nY8pSVKePJVAHUx+a2KM+L+G5RSpah+W+syOFlvsJ5YTYn3lDtSngW2PMcfdTd6VvYwx2TElgpEZ2zJV5JweOVzVV5nqdL0SznQl7QmawKTSmpRXdyoQyArUK990wkKatlLiA+ZdF9mM/vNAaYmKs/L2b6I/pBYXKRp3mBCoWuBwr1GppV66iXtlqO1nG0Rn2HurQ9x4GrNfQamlVrpVyYp9We48Zr7DRmeImUQMEIkdg6n9KQAbMWqgSX180GIuC+dhWbD9xUWQgp0I2B9k58rDtHvbXoGd2zQrDUxIgAbqu8KtGDikVjSz8kZhHPYGsOakiooutXeICRxiwpWPNwk0AGMH3qdONwTTzqNY9QbyjhrZGESgD+SOWLSlQJSTK2MjuxLRRTqaQqE1KWMUgTqWNCh1SLzZnV1oRcp3eTyPX5EmU4fjY+dCTRdDalIGlSIKULSPauS/q+28mkZBLNIZOID6nT5Gx9/HMer+JABeCpnYSUnKn7FWMzxuK6/sk6zNEMLOqk6dChUSyVNWz7rjZ34tl9MPxkPq61TIqp2qAtk5p/g9kr6J1/I/QMdiR4C+x8G0N1Xv5gAySURb8rdrzjwXrxprC+NXLu3iEY5VlGRYwEzcDuL3m6SHKhMeKq9yLqqERGFKuIRNRVCBp4KtmcQx1LoVFgoxYZNQoLGVuhMVibeYYcY7CBv71qteLLKRRWwcpStyXZbUDbqewA1+USe0Sz6eG6By3JxPuQuT3iSpaoXfuQ6Nt4s2doLoPLsVfTT+UfRFff9txn0tIl9sAZbDTpF5xkfwqjU5pWyTMY4yIu28BKVeRfCQmNk+lGtNkP7xmbqUHkVnwuqCjVPGp0On12R3roe6Sn085w3V+Iuxt9J+R5/vRIqQhzbex0qwf5/3IXvm/u3L6hDg93o47oqR8+sCXXTtzA9sjmRPx+CVvtvpffR/cdPJ9gMAHiI06An74PsFybNAVM3XD4cHIN4b42mVyakePTxkiSvDx2qMxpcUyOUUOWZMAfUDE3uIH2ba0cox8T+RMCENE/f/2N2Op20m5fJvSQGjRwdpjoO93Dhem7CWd3uDZkqhqEse0Nh52TY/WP7dS35WmNf2r4Tzb4v/udvjZ4dlNNqR+SbH5fk6OW0CxfP31h7MNAFeC2/tc9ZDiwXVX7G7FrcimwHafLkn9Iam3DN9yO76uD/Sq+4fvB1yEQv57fCV+Nb+DZPh5gz+DqQi33cKcHk2PiGm3HNdoP1+htcd38loV4u8F+Q2+0vl6fzHoAope8lFRE643gbBug8ctwiipjBY9auGJ9Lzykqp8Df1F7xMFBHweeQ/qB4+1eofFBrpxvc4Xt5wpbdwXbxA+wEzg+6fuDAQmC/9qVi22uTPZzZbLpSjAEHzw3wHgYOH3va1jpdb/y1F/y1//lOP0XUEsHCKIurGc0BQAAFxkAAFBLAQIUABQACAAIADkmxTyiLqxnNAUAABcZAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAAbgUAAAAA" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

= Konvexe Punktmengen =
=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.
===== Satz IV.2 =====
::Halbebenen sind konvexe Punktmengen

===== Beweis von Satz IV.2 =====
trivial (Der Leser überzeuge sich davon)
===== Satz IV.3 =====
::Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
===== Beweis von Satz IV.3 =====
Es seien <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> zwei konvexe Mengen.

zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> ist auch konvex.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Definitionen WS10/11

2010-12-06T21:09:18Z

Rakorium: /* Definition IV.2: (Halbebene) */

== '''Definitionen''' ==

Hier geht es zu den [[Axiome WS10/11]]

Hier geht es zu den [[Sätze WS10/11]]

=====Definition: (n-stellige Relation)=====
:Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.

=====Definition: (Klasseneinteilung eine Menge)=====
:Es sei <math>M</math> eine Menge und <math>K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>M</math>.
:<math>K</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>M</math>, wenn

:# notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
:# notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
:# notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge <math>M</math>.

:Mengen sind disjukt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

=====Definition I/2: (kollinear)=====
:Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
:Schreibweise kolinear: koll(A, B, C, ...)
:Schreibweise nicht kollinear: nkoll(A, B, C)

=====Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====
:Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.

=====Definition: (Parallelität von Geraden)=====
:Zwei Geraden sind paralle, wenn sie in derselben Ebene liegen und entweder keinen oder alle Punkte gemeinsam haben.

=====Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====
:Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.

=====Definition I/5: (Raum)=====
:Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

=====Definition I/6: (komplanar)=====
:Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...) (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

=====Definition I/7: (komplanar für Geraden)=====
:Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
:Schreibweise: komp(g, h)

=====Definition I/8: (Geradenparallelität)=====
:Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
:In Zeichen: g||h.

=====Definition I/9: (windschief )=====
:Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

=====Definition I/10: (parallel für Ebenen)=====
:Zwei Ebene E1 und E2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
:Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.
:Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
:Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>.

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
:Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>
::<math>AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}</math>

:Definition: Halbgerade <math>AB^-</math>
::<math>AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}</math>

===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
:Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :

::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math> oder <math>\ gQ^{+}:= \{P| \overline {PQ} \cap g= \{ \} \and P \in E/g \}</math>

::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \in \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math> oder <math>\ gQ^{-}:= \{P| \overline {PQ} \cap g \not= \{ \} \and P \in E/g \}</math> oder <math>\ gQ^{-}:= \{P| P \in E/g \and P \not \in gQ^{+} \} </math>

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
:Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>

::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====
:Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.

2010-11-21T11:43:49Z

Rakorium: /* Definitionen */

Definitionen WS10/11

2010-11-21T11:41:10Z

Rakorium: /* Definitionen */

== '''Definitionen''' ==

=====Definition: (n-stellige Relation)=====
:Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.

=====Definition: (Klasseneinteilung eine Menge)=====
:Es sei <math>M</math> eine Menge und <math>K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>M</math>.
:<math>K</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>M</math>, wenn

:# notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
:# notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
:# notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge <math>M</math>.

:Mengen sind disjukt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

=====Definition I/2: (kollinear)=====
:Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
:Schreibweise kolinear: koll(A, B, C, ...)
:Schreibweise nicht kollinear: nkoll(A, B, C)

=====Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====
:Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.

=====Definition: (Parallelität von Geraden)=====
:Zwei Geraden sind paralle, wenn sie in derselben Ebene liegen und entweder keinen oder alle Punkte gemeinsam haben.

=====Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====
:Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.

=====Definition I/5: (Raum)=====
:Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

=====Definition I/6: (komplanar)=====
:Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...) (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

=====Definition I/7: (komplanar für Geraden)=====
:Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
:Schreibweise: komp(g, h)

=====Definition I/8: (Geradenparallelität)=====
:Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
:In Zeichen: g||h.

=====Definition I/9: (windschief )=====
:Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

=====Definition I/10: (parallel für Ebenen)=====
:Zwei Ebene E1 und E2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.

Axiome WS10/11

2010-11-21T11:39:22Z

Rakorium: /* Axiome */

== '''Axiome''' ==

* '''Inzidenzaxiome:'''

=====AXIOM I/0=====
:Geraden sind Punktmengen.

=====AXIOM I/1 (Axiom von der Geraden)=====
:Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

:weitere Bezeichnungsmöglichkeit von Geraden

:Eine Gerade g, die durch zwei verschiedene Punkte A und B eindeutig bestimmt ist wird auch mit AB bezeichnet.

=====AXIOM I/2=====
:Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.

=====AXIOM I/3=====
:Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.

=====Axiom I/4=====
:Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

=====Axiom I/5=====
:Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

=====Axiom I/6=====
:Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

=====Axiom I/7=====
:Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

* '''Abstandsaxiome:'''

===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.

===== Axiom II.2: =====
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.

Beweise zu den Sätze WS10/11

2010-11-17T16:42:26Z

Rakorium: /* Beweise zu den Sätzen */

== '''Beweise zu den Sätzen''' ==

'''''Die Beweise auf deser Seite sind aus dem Skript hier vom WIKI entnommen.'''''

=====Beweis von Satz I.1=====
:Voraussetzung: Es seien g und h zwei Geraden, die nicht identisch sind.
:Fall 1:
:Die Geraden g und h haben keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall ist nichts weiter zu zeigen, denn sie haben damit nicht mehr als einen Punkt gemeinsam.
:Fall 2:
:Die Geraden g und h schneiden sich in einem Punkt P.
:Wir haben zu zeigen, dass sie keinen weiteren Punkt gemeinsam haben.
:Wir führen den Beweis indirekt und nehmen an, dass die Geraden g und h einen weiteren von P verschiedenen Punkt Q gemeinsam haben.
:Das Axiom I/1 sagt aus, dass durch zwei verschiedene Punkte genau eine Gerade geht. Da die beiden Punkte P und Q verschieden sind, kann auf sie dieses Axiom angewandt werden.
:Die Gerade g geht durch P und Q und die Gerade h geht durch P und Q. Da es nun eine und nur eine Gerade gibt, die durch P und Q geht, müssen die beiden Geraden g und h identisch sein.
:Das ist allerdings ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass g und h nicht identisch sind.

=====Beweis von Satz I.2=====
:Es seien g und h zwei Geraden.
:Voraussetzung: g und h haben mehr als einen Punkt gemeinsam.
:Es seien dieses die Punkte P und Q.
:Wir haben zu zeigen, dass die beiden Geraden g und h identisch sind.
:Dieses folgt unmittelbar aus Axiom I/1.
:Die Annahme, dass ein weiterer gemeinsamer Punkt Q der beiden Geraden g und h existiert, ist damit zu verwerfen. 

Dieser Beweis ist nicht schlüssig. Es wird von einer Annahme gesprochen, die nur aufgestellt wird, wenn es sich um einen indirekten Beweis handelt. Bei der Kontraposition wird direkt bewiesen. 
Der weitere gemeinsame Punkt Q ist schon Element der Geraden g und h laut Voraussetung. 
Also der Beweis wird wie folgt geführt. 

Voraussetzung: g und h haben mehr als einen Punkt gemeinsam. P, Q sind Element der Geraden g und h 
Behauptung: g und h sind identisch 

1) P, Q sind Element von g und h____laut Voraussetzung 
2) Durch die Punkte P und Q geht____Axiom I/1 
genau eine Gerade. 
3) g und h sind identisch__________2) 
Behauptung stimmt q.e.d --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 16:43, 15. Nov. 2010 (UTC)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Sätze WS10/11

2010-11-17T16:38:30Z

Rakorium: /* Sätze */

== '''Sätze''' ==

=====Satz I.1=====
:Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.

=====Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)=====
:Es seien g und h zwei Geraden.
:Wenn g und h mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind g und h identisch.

=====Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)=====
:Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.

=====Satz I.5:=====
:Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

=====Satz I.6:=====
:Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

=====Satz I.7:=====
:Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

Axiome WS10/11

2010-11-17T16:37:11Z

Rakorium: /* Axiome */

Definitionen WS10/11

2010-11-17T16:34:52Z

Rakorium: /* Definitionen */

Axiome WS10/11

2010-11-14T14:26:14Z

Rakorium:

Axiome WS10/11

2010-11-14T14:25:48Z

Rakorium: /* Axiome */

== '''Axiome''' ==

* Inzidenzaxiome:

=====AXIOM I/0=====
:Geraden sind Punktmengen.

=====AXIOM I/1 (Axiom von der Geraden)=====
:Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

:weitere Bezeichnungsmöglichkeit von Geraden

:Eine Gerade g, die durch zwei verschiedene Punkte A und B eindeutig bestimmt ist wird auch mit AB bezeichnet.

=====AXIOM I/2=====
:Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.

=====AXIOM I/3=====
:Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.

Definitionen WS10/11

2010-11-14T14:25:26Z

Rakorium: /* Definitionen */

Beweise zu den Sätze WS10/11

2010-11-14T14:24:24Z

Rakorium: /* Beweise zu den Sätze */

== '''Beweise zu den Sätze''' ==

=====Beweis von Satz I.1=====
:Voraussetzung: Es seien g und h zwei Geraden, die nicht identisch sind.
:Fall 1:
:Die Geraden g und h haben keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall ist nichts weiter zu zeigen, denn sie haben damit nicht mehr als einen Punkt gemeinsam.
:Fall 2:
:Die Geraden g und h schneiden sich in einem Punkt P.
:Wir haben zu zeigen, dass sie keinen weiteren Punkt gemeinsam haben.
:Wir führen den Beweis indirekt und nehmen an, dass die Geraden g und h einen weiteren von P verschiedenen Punkt Q gemeinsam haben.
:Das Axiom I/1 sagt aus, dass durch zwei verschiedene Punkte genau eine Gerade geht. Da die beiden Punkte P und Q verschieden sind, kann auf sie dieses Axiom angewandt werden.
:Die Gerade g geht durch P und Q und die Gerade h geht durch P und Q. Da es nun eine und nur eine Gerade gibt, die durch P und Q geht, müssen die beiden Geraden g und h identisch sein.
:Das ist allerdings ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass g und h nicht identisch sind.

=====Beweis von Satz I.2=====
:Es seien g und h zwei Geraden.
:Voraussetzung: g und h haben mehr als einen Punkt gemeinsam.
:Es seien dieses die Punkte P und Q.
:Wir haben zu zeigen, dass die beiden Geraden g und h identisch sind.
:Dieses folgt unmittelbar aus Axiom I/1.
:Die Annahme, dass ein weiterer gemeinsamer Punkt Q der beiden Geraden g und h existiert, ist damit zu verwerfen.

Beweise zu den Sätze WS10/11

2010-11-14T14:24:11Z

Rakorium:

2010-11-11T22:57:55Z

Rakorium: /* Einführung in die Geometrie */

__NOTOC__
Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltung im Wintersemester 2010/11 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.
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= Einführung in die Geometrie =
== Wöchentlich ==
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== Skript, erstellt durch die Studierenden ==
*[[Axiome WS10/11]]
*[[Definitionen WS10/11]]
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=== Kapitel 1: Kongruenzgeometrie ===
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*[[Drehungen 2010]]

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== Übungsaufgaben ==

*[[Übungsaufgaben zur Elementargeometrie im WS 2010/11]]

*[[Elementargeometrie|alte Übungen zur Vorbereitung aufs Staatsexamen im Anschluss an das SS 2010]]

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==Hinweise==
'''Veranstaltungsangebot:''' 
=== Einführung in die Geometrie ===
Vorlesungen:

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| Mo. || 10-12 Uhr ||H001 ||(Schnirch)
|-
| Fr. || 10-12 Uhr ||H001 ||(Gieding)
|}

Übungen: 
{| class="wikitable"
|-
| Di. || 10-12 Uhr ||A106 ||(Schnirch)
|-
| Do. || 14-16 Uhr ||A108 ||(Buchner)
|-
| Fr. || 12-14 Uhr ||H002 ||(Gieding)
|}

Tutorien: 
{| class="wikitable"
|-
| Mo. || 12-14 Uhr ||A206 ||(Salah)
|-
| Di. || 08-10 Uhr ||A206 ||(Henrich)
|-
| Do. || 12-14 Uhr ||B109 ||(Zähringer)
|}

=== Elementargeometrie ===
{| class="wikitable"
|-
| Di. || 12-14 Uhr ||H002 ||(Gieding)
|}
Übungen:
{| class="wikitable"
|-
| Do. || 12-14 Uhr ||A236 ||(Gieding)
|
|-
| Do. || 10-12 Uhr ||A236 ||(Gieding)
|}
Erste Übung: 04.11.2010 
([[Frühere Hinweise|mehr]])

==Hier gibt's was Neues==
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([[Neuigkeiten|mehr]])

==Hier wird diskutiert==
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([[Diskussionen|mehr]]) ([[Statistik]])

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Definitionen in der Mathematik

2010-10-25T19:28:08Z

Rakorium: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */

==Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel|einführenden Beispiel]]==
Wir haben im [[einführendes Beispiel|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden.
 Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus. 
Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...). 
Man legt nur, mit Hilfe der so genannten ''Axiome'', die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen fest. 
==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 
Definitionen lassen sich auf verschiedene Arten und auf verschiedenen Niveaustufen formulieren. Das nachfolgende Skript gibt hierzu nähere und ausführliche Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der Gärtnerkonstruktion, wie im untenstehenden Applet dargestellt, erzeugen. 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
Eine Ellipse ist das, was ein Gärtner mit der Gärtnerkonstruktion machen kann (Vorlesung 25.10.10 --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 10:01, 25. Okt. 2010 (UTC)) 
'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 
Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, für die die Summe der Abstände von zwei gegebenen Punkten F1 und F2 konstant ist (Vorlesung 25.10.10 --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 10:12, 25. Okt. 2010 (UTC))<br />
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Ein Kreis ist eine Ellipse für die gilt, dass die beiden Punkte F1 und F2 identisch sind. --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 19:28, 25. Okt. 2010 (UTC)
 

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