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Lösung von Zusatzaufgabe 9.1P (SoSe 13)

2013-07-14T17:00:53Z

Regenschirm:

#Was versteht man unter der Parallelentreue einer Geradenspiegelung?
#Beweisen Sie die Parallelentreue einer Geradenspiegelung. 

Tipp: Im Wiki nachlesen und den Beweis dann indirekt führen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:21, 26. Jun. 2013 (CEST)
==Beweis von Blumenkind==

* Zwei Geraden sind parallentreu, wenn bei der Geradenspiegelung zueinander parallelen Geraden p1 und p2 ebensfalls zueinader parallel abgebilder werden. Kurz formuliert:
--> p1 II p2 --> p1` II p2 ` wobei Sg (P1)= P1` und Sg(P2)=P2`

* Beweisdurchführung

*Vor.: p1 II p2, Sg (P1)= P1` und Sg(P2)=P2`

* Beh.: p1`II p2`

1. Sg (p1)= p1` und Sg(p2`) Voraussetzung

2. p1 II p2 Voraussetzung

3.

--> HILFE!!!! ICH KOMM NICHT MEHR WEITER. IRGENDWIE BIN ICH DURCHEINANDER GEKOMMEN. WAS MACHE ICH FALSCH?--[[Benutzer:Blumenkind|Blumenkind]] 18:51, 4. Jul. 2013 (CEST)BLUMENKIND 18:50, 4.Juli 

Probier es mal, wie Anne schon oben angemerkt hat, über einen indirekten Beweis. Wie muss also die Annahme lauten?--[[Benutzer:TobiWan|TobiWan]] 12:28, 5. Jul. 2013 (CEST) 

* Voraussetzung und Behauptung sind richtig.
*Das ist leider kein Beweis, da nur, weil Geraden auf Geraden abgebildet werden, diese nicht unbedingt parallel sind.
* Tipp: Gehe indirekt vor, indem du annimmst dass P1 und p2 einen Schnittpunkt haben.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:22, 8. Jul. 2013 (CEST)
==Beweis von Regenschirm==
{| class="wikitable"
| Voraussetzung || <math>\ g\|| h \wedge A\in h</math>
|-
| Behauptung || <math>Sg (g\|| h) = g\||h'</math>
|-
| Annahme || <math>Sg (g\||h) = \ g \cap h'</math>
|}
 

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 || <math>Sg (g) = g</math> || Voraussetzung,<s> Def. Geradenspiegelung</s>
|-
| 2 || <math>Sg (h) = h'</math> || Voraussetzung, <s>Def. Geradenspiegelung</s>
|-
| 3 || <math>Sg (g\||h) = \ g \cap h'</math> || Annahme
|-
| 4 || <math>\ g \cap h' \ S\in h' \wedge S\in g</math> || 1) 2) 3)
|-
| 5 || <math>Sg (S) = S'</math> || 4) Def. Geradenspiegelung
|-
| 6 || <math>S'\in h' \wedge S'\in g</math> || 2) 5)
|-
| 7 || <math>\ g \cap h = {s'}</math> || 6)
|-
| 8 || Widerspruch, Annahme ist zu verwerfen, Behauptung stimmt || 7)
|}
 
--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 22:30, 11. Jul. 2013 (CEST)

Die Beweisidee ist absolut richtig, so wie auch die Abfolge der Schritte und die meisten Begründungen (manche sind nicht komplett). Die formale Schreibweise ist aber ziemlich verdreht und so nicht richtig. Zudem scheinen mir manchmal ' zu fehlen.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:47, 12. Jul. 2013 (CEST)
* <math>\ g \cap h</math> kann als "schneidet" gelesen werden. Das ist trotzdem eine Mengenoperation "Schnittmenge von g und h" und kann deshalb auch eine leere Menge sein. Deshalb bitte immer dazu schreiben, ob der Schnitt leer ist oder eben nicht.
* Tendenziell nutzen ganz viele die Definition von Geradenspiegelung (und anderen Spiegelungen) für so ziemlich alles. Da steht aber fast nichts drin! Was überhaupt?
Ich schreibe den Beweis hier nochmal. Die Schritte sind noch zu begründen: --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:47, 12. Jul. 2013 (CEST)
==Beweisschritte zu Ergänzen ==

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || a II b, <math>S_g (a) = a'</math> und <math>S_g (b)=b'</math>
|-
| Behauptung || a' II b'
|-
| Annahme || a' <s>II</s> b'
|}
 

{| class="wikitable"
!Nr. !!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 || <math>a' \cap b' </math> = {S'} || Annahme
|-
| 2 || <math>S = S_g (S')</math> || 1) Def. Geradenspiegelung
|-
| 3 || <math>S \in a</math> und <math>S \in b</math> || 1) 2)
|-
| 4 || <math>a \cap b </math> = {S} || 3)
|-
| 5 || a' II b' || 4)
|-
| 6 || Widerspruch zur Voraussetzung || 5) Voraussetzung
|}
 

Müsste bei Schritt 5) nicht a <s>II</s> b stehen?--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 19:00, 14. Jul. 2013 (CEST)
[[Kategorie: Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 7.3P (SoSe 13)

2013-07-12T09:42:40Z

Regenschirm:

Definieren Sie den Begriff Dreieck <math>\overline{ABC}</math> (umgangssprachlich: Das Dreieck ist sein Rand). 

Es seien A,B,C drei nich kollineare Punkte.. Die Vereinigungsmenge der Strecken <math>\overline{AB} , \overline{BC} , \overline{AC}</math> heißt Dreieck <math>\overline{ABC}</math>
--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 11:42, 12. Jul. 2013 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 9.1P (SoSe 13)

2013-07-11T20:30:46Z

Regenschirm:

Lösung von Aufgabe 10.2P (SoSe 13)

2013-07-02T16:00:29Z

Regenschirm:

Beweisen Sie mit abbildungsgeometrischen Mitteln den Basiswinkelsatz. 
[[Kategorie:Einführung_P]]
===== Satz VIII.1: (Basiswinkelsatz) =====
::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 

Ich habe den Beweis selbst versucht:
[[Datei:IMG 0002.jpg]]--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 18:00, 2. Jul. 2013 (CEST)

Beweis: 
Voraussetzung: Das Dreieck ist gleichschenklig: |AC| = |BC|--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:34, 2. Jul. 2013 (CEST): 
Behauptung: Die Basiswinkel sind kongruent zueinander: |α| = |β| --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:34, 2. Jul. 2013 (CEST): 

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Skizze
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (1)
| [[Bild:gleichschenklig_2.png| 200 px]]
| <math>\left| AC \right|=\left| BC \right|</math>
| Voraussetzung --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:36, 2. Jul. 2013 (CEST) 
|-
| (2)
| [[Bild:gleichschenklig_3.png| 200 px]]
| <math>C\in m</math> mit <math>m</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>
| (1); Mittelsenkrechtenkriterium --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:37, 2. Jul. 2013 (CEST) 
|-
| (3)
| 
| <math>B=S_{m}(A)</math>
| Streckentreue bzw Abstanderhaltung der Geradenspiegelung --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:48, 2. Jul. 2013 (CEST) 
|-
| (4)
| 
| <math>C=S_{m}(C)</math>
| C∈m mit m:= Spiegelachse ⇒ C ist Fixpunkt--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:51, 2. Jul. 2013 (CEST) 
|-
| (5)
| 
| <math>M=S_{m}(M)</math>
| M∈m mit m:= Spiegelachse ⇒ M ist Fixpunkt--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:53, 2. Jul. 2013 (CEST) 
|-
| (6)
| 
| <math>\angle MAC \tilde {=} \angle MBC </math>
| Winkeltreue der Geradenspiegelung--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:57, 2. Jul. 2013 (CEST) 
|-
|}

Lösung von Aufgabe 10.2P (SoSe 13)

2013-07-02T15:59:20Z

Regenschirm:

Beweisen Sie mit abbildungsgeometrischen Mitteln den Basiswinkelsatz. 
[[Kategorie:Einführung_P]]
===== Satz VIII.1: (Basiswinkelsatz) =====
::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 

Ich habe den Beweis selbst versucht:
[[Datei:IMG 0002.jpg]]

Beweis: 
Voraussetzung: Das Dreieck ist gleichschenklig: |AC| = |BC|--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:34, 2. Jul. 2013 (CEST): 
Behauptung: Die Basiswinkel sind kongruent zueinander: |α| = |β| --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:34, 2. Jul. 2013 (CEST): 

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Skizze
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (1)
| [[Bild:gleichschenklig_2.png| 200 px]]
| <math>\left| AC \right|=\left| BC \right|</math>
| Voraussetzung --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:36, 2. Jul. 2013 (CEST) 
|-
| (2)
| [[Bild:gleichschenklig_3.png| 200 px]]
| <math>C\in m</math> mit <math>m</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>
| (1); Mittelsenkrechtenkriterium --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:37, 2. Jul. 2013 (CEST) 
|-
| (3)
| 
| <math>B=S_{m}(A)</math>
| Streckentreue bzw Abstanderhaltung der Geradenspiegelung --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:48, 2. Jul. 2013 (CEST) 
|-
| (4)
| 
| <math>C=S_{m}(C)</math>
| C∈m mit m:= Spiegelachse ⇒ C ist Fixpunkt--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:51, 2. Jul. 2013 (CEST) 
|-
| (5)
| 
| <math>M=S_{m}(M)</math>
| M∈m mit m:= Spiegelachse ⇒ M ist Fixpunkt--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:53, 2. Jul. 2013 (CEST) 
|-
| (6)
| 
| <math>\angle MAC \tilde {=} \angle MBC </math>
| Winkeltreue der Geradenspiegelung--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:57, 2. Jul. 2013 (CEST) 
|-
|}

Datei:IMG 0002.jpg

2013-07-02T15:57:41Z

Regenschirm: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Lösung von Aufgabe 9.3P (SoSe 13)

2013-06-25T16:13:29Z

Regenschirm:

Beweisen Sie die Winkeltreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Halbgeradentreue und die Eigenschaft der Geradenspiegelung winkelmaßerhaltend zu sein.

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || <math>\angle ABC, Sg(A)=A', Sg(B)=B', Sg(C)=C'</math>
|-
| Behauptung || <math>Sg(\angle ABC ) = \angle A'B'C'</math>
|}
 

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 <math>\angle ABC = \ BA^{+} \cup \ BC^{+}</math>|| Voraussetzung, Def. Winkel
|-
| 2 <math>Sg(\ BA^{+} ) = \ B'A'^{+} \wedge Sg (\ BC^{+} ) = \ B'C'^{+}</math> || Halbgeradentreue, 1)
|-
| 3 <math>\angle A'B'C' = B'A'^{+} n B'C'^{+}</math> || Def Winkel, 2)
|-
| 4 <math>|\angle ABC| = |\angle A'B'C'|</math> || Winkelmaßerhaltend
|-
| 5 <math>Sg(\angle ABC ) = \angle A'B'C'</math> || 1)2)4)
|}
--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 18:13, 25. Jun. 2013 (CEST)
 
[[Kategorie: Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 9.1P (SoSe 13)

2013-06-25T15:54:25Z

Regenschirm:

Beweisen Sie die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Streckentreue der Geradenspiegelung und eine geeignete Definition des Begriffs Halbgerade.

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || <math>Sg</math> mit <math>A'= Sg (A)</math> und <math>B' = Sg (B)</math> und <math>P \in AB^{+}</math>
|-
| Behauptung || <math>Sg (AB+) = A'B'^{+}</math> d.h. <math>P' \in A'B'^{+}</math>
|}
 

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 <math>P \in AB^{+}</math>|| Voraussetzung
|-
| 2 <math>P \in \ \ \overline{AB} \cup \{P|ZW (A,B,P)\} </math> || 1), Def Halbgerade
|-
| 3 <math>P \in \overline{A'B'} </math> || Streckentreue
|-
| 4 <math>P \in \overline{AB} + \overline{BP} = \overline{AP} </math> || Def Zwischen
|-
| 5 <math>P \in \overline{A'B'} + \overline{B'P'} = \overline{A'P'} </math> || Abstandserhaltung der Geradenspiegelung
|-
| 6 <math>P' \in \ \ \overline{A'B'} \cup \{P'|ZW (A',B',P')\}</math> || Def Zwischen 3), 5)
|-
| 7 <math>P' \in A'B'^{+}</math> || Def Halbgerade 6)
|}
--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 17:50, 25. Jun. 2013 (CEST)
 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 9.1P (SoSe 13)

2013-06-25T15:50:48Z

Regenschirm:

Beweisen Sie die Halbgeradentreue der Geradenspiegelung. Nutzen Sie für den Beweis die Streckentreue der Geradenspiegelung und eine geeignete Definition des Begriffs Halbgerade.

{| class="wikitable"
| Voraussetzung || Geradenspiegelung an g <math>Sg</math> mit <math>A'= Sg (A)</math> und <math>B' = Sg (B)</math> und <math>P \in AB^{+}</math>
|-
| Behauptung || <math>Sg (AB+) = A'B'^{+}</math> d.h. <math>P' \in A'B'^{+}</math>
|}
 
Es musshttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fd/Button_underline.png also gezeigt werden, dass das Bild <math>P'</math> eines beliebigen Punkts <math>P</math> der Halbgerade auch auf dem Bilder der Halbgeraden liegt. 

{| class="wikitable"
!Beweisschritt!!Begründung
|-
| 1 <math>P \in AB^{+}</math>|| Voraussetzung
|-
| 2 <math>P \in \ \ \overline{AB} \cup \{P|ZW (A,B,P)\} </math> || 1), Def Halbgerade
|-
| 3 <math>P \in \overline{A'B'} </math> || Streckentreue
|-
| 4 <math>P \in \overline{AB} + \overline{BP} = \overline{AP} </math> || Def Zwischen
|-
| 5 <math>P \in \overline{A'B'} + \overline{B'P'} = \overline{A'P'} </math> || Abstandserhaltung der Geradenspiegelung
|-
| 6 <math>P' \in \ \ \overline{A'B'} \cup \{P'|ZW (A',B',P')\}</math> || Def Zwischen 3), 5)
|-
| 7 <math>P' \in A'B'^{+}</math> || Def Halbgerade 6)
|}
--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 17:50, 25. Jun. 2013 (CEST)
 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 8.3P (WS 12 13)

2013-06-14T12:27:01Z

Regenschirm:

Die nachfolgende GeoGebra-Applikation zeigt einen Billardtisch mit zwei Kugeln in der Draufsicht. Kugel A soll durch einen zentralen Stoß die Kugel B über zwei Banden treffen. Konstruieren und Begründen Sie Ihre Konstruktion. 
<ggb_applet width="754" height="535" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

So schaut's bei mir aus: 
[[Datei:Unicycle_M-GII_Billiardtisch.jpg]] 
Begründung: Ich konstruiere durch die Spiegelung die kürzeste Strecke zwischen den Kugeln über 2 Banden.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 20:33, 9. Jan. 2013 (CET)
*Sehr gut. Für mich bleibt noch offen: Warum ist die kürzeste Strecke die gesuchte Lösung? Warum sollte die Kugel gerade die kürzeste Strecke nehmen? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 07:58, 10. Jan. 2013 (CET) 
Da die Kugel, bei einer längeren Strecke, die zu treffende Kugel nur schneidet oder an ihr vorbeirollt bzw. über 3 oder mehr Banden erst trifft.--[[Benutzer:Unicycle|Unicycle]] 18:08, 11. Jan. 2013 (CET) 
*Deinen Gedankengang Unicycle kann ich jetzt nicht nachvollziehen. Ich wollte bei meiner Frage darauf raus: Warum wissen wir, dass die Kugel, wenn sie auf D aufschlägt anschließend wirklich Richtung Punkt C rollt?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 22:03, 13. Jan. 2013 (CET)
*Da der Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 14:27, 14. Jun. 2013 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 4.2 P (SoSe 13)

2013-05-16T08:43:08Z

Regenschirm:

Definieren Sie den Begriff Kreis unter Verwendung des Begriffs Ellipse. 

*Eine Ellipse kann definiert werden als die Menge aller Punkte P der Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten B1 und B2 gleich ist. Die Punkte F1 und F2 heißen Brennpunkte.
Daher:
Ein Kreis ist eine Ellipse, bei dem die zwei Brennpunkte B1 und B2 gleich sind. Also B1=B2. --[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 10:43, 16. Mai 2013 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 4.1 P (SoSe 13)

2013-05-14T19:33:20Z

Regenschirm:

Gegeben sei folgende Äquivalenz: Der Abstand zweier Punkte ''A'' und ''B'' ist genau dann 0, wenn ''A'' und ''B'' identisch sind. 
a) Formulieren Sie die beiden Implikationen, die in dieser Aussage stecken. 

*Wenn der Abstand zweier Punkte A und B 0 ist, dann sind A und B identisch
Wenn die zwei Punkte A und B identisch sind, dann ist der Abstand von A und B 0.--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 21:33, 14. Mai 2013 (CEST)

b) Wie lautet jeweils die Kontraposition der beiden Implikationen? 

*Wenn der Abstand zweier Punkte A und B ungleich 0 ist, dann sind A und B nicht identisch.
Wenn die zwei Punkte A und B nicht identisch sind, dann ist der Abstand von A und B ungleich 0. --[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 21:33, 14. Mai 2013 (CEST)

c) Wie lauten die beiden Annahmen, wenn Sie diese Implikationen jeweils durch einen Widerspruch beweisen möchten? 
[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 4.1 P (SoSe 13)

2013-05-14T19:33:01Z

Regenschirm:

Lösung von Aufgabe 4.3 P (SoSe 13)

2013-05-14T19:28:40Z

Regenschirm:

Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an. 
*Wenn eine Gerade m eine Strecke <math>\overline{AB}</math> mit folgender Bedingung schneidet P ∈ m ∧ P:= { P | |AP| ≌ |BP|}, dann ist m die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math>.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:07, 14. Mai 2013 (CEST) 

*Wenn die Menge aller Punkte von zwei gegebenen Punkten A und B denselben Abstand haben, dann ist es eine Mittelsenkrechte.
*Wenn eine Gerade senkrecht zu einer Strecke verläuft und diese in der hälfte teilt, dann ist es eine Mittelsenkrecht.--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 21:28, 14. Mai 2013 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 4.2 P (SoSe 13)

2013-05-14T18:21:55Z

Regenschirm:

a) Definieren Sie die Begriffe: "gleichseitiges Dreieck" und "gleichschenkliges Dreieck". Die Begriffe "Dreieck" und "Seite eines Dreiecks" seien bereits definiert. 

* Ein gleichseitiges Dreieck, ist ein Dreieck, in dem alle Seiten des Dreiecks gleich lang sind.
* Ein gleichschenkliges Dreieck is ein Dreieck, mit zwei gleichlangen Seiten.--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 20:21, 14. Mai 2013 (CEST)

b) Beweisen Sie durch Kontraposition: Jedes gleichseitige Dreieck ist auch ein gleichschenkliges Dreieck. 

[[Category:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 3.2 (SoSe 13 P)

2013-05-11T10:13:59Z

Regenschirm:

'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
''' 
'''a) Welcher Beweis ist korrekt?''' Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.) 

Beweis 1)
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck. 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
 
*Dies ist kein korrekter Beweis, da hier nicht auf die Kontraposition eingegangen wird.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:46, 6. Mai 2013 (CEST) 
**Warum sollte man auf die Kontraposition eingehen?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:14, 8. Mai 2013 (CEST) 
***Hast recht. Bei genauer Betrachtung hat dieser Beweis nichts mit einer Kontraposition zu tun.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:47, 8. Mai 2013 (CEST) 
****Ich glaube der Beweis ist korrekt, allerding muss der Basiswinkelsatz bewiesen sein.--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 12:13, 11. Mai 2013 (CEST)

Beweis 2)
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck. 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen. 
*Hierbei handelt es sich um einen korrekten Beweis, da hier ausführlich auf die Kontraposition eingegangen wird.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:48, 6. Mai 2013 (CEST) 
b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.''' 

Ein Versuch: 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
Annahme: |α| = |β| 

1. ∣α∣ = ∣β∣ (Annahme) 
2. ∣α∣ = ∣β∣ ⇒ ∣AC∣ = ∣BC∣ (Basiswinkelsatz) 
3. ∣AC∣ < ∣BC∣ (Voraussetzung) 
4. ∣AC∣ = ∣BC∣ (2.) 
Widerspruch zur Voraussetzung.
Annahme ist zu verwerfen. 
q.e.d. --[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 17:29, 6. Mai 2013 (CEST) 
* Der Beweis stimmt so noch nicht. Welcher Schritt ist nicht korrekt. Welchen Schritt kann man sich sparen?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 19:14, 8. Mai 2013 (CEST)
**Schritt 4. ist unnötig und in Schritt 2. muss die Begründung "Umkehrung des Basiswinkelsatzes" lauten.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 21:39, 8. Mai 2013 (CEST) 

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Lösung von Aufgabe 3.1 (SoSe 13 P)

2013-05-11T10:10:24Z

Regenschirm:

Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 
a) Wie lautet die Umkehrung des Basiswinkelsatzes? 
*Wenn in einem Dreieck die Basiswinkel kongruent zueinander sind, dann handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:15, 6. Mai 2013 (CEST) 

* Ich würde sagen man muss statt Basiswinkel Innenwinkel schreiben, da für Basiswinkel die Vorraussetzung ist, das es ein gleichschenkliges Dreieck ist.
Also: Sind zwei Innenwinkel konkruent zueinander, so ist es ein gleichschenkliges Dreieck.--[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 12:10, 11. Mai 2013 (CEST)

b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen. 
*Ein Dreieck ist genau dann ein gleichschenkliges Dreieck, wenn es kongruente Basiswinkel besitzt.--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:30, 6. Mai 2013 (CEST) Hierbei handelt es sich um eine Äquivalenzralation. Wenn A=>B und B=>A dann A<=>B (Äquivalenzrelationen sind symmetrisch)--[[Benutzer:Nolessonlearned|Nolessonlearned]] 12:35, 6. Mai 2013 (CEST) 
 

*Ein Dreieck ist genau dann gleichschenklig, wenn es zwei zueinander konkruente Innenwinkel gibt. --[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 12:10, 11. Mai 2013 (CEST)

*Der Ansatz ist gut, beide Sätze sind aber noch nicht korrekt. Wer kann helfen?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 14:20, 6. Mai 2013 (CEST)

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Lösung von Zusatzaufgabe 3.1P (SoSe 13)

2013-05-10T10:31:20Z

Regenschirm:

Geben Sie eine exakte Realdefinition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden. 

Eine Winkelhalbierende eines Winkels Alpha ist ein Strahl l, der den Scheitel des Winkels Alpha als anfangspunkt hat und den Winkel in zwei kongruente Winkel teilt. --[[Benutzer:Regenschirm|Regenschirm]] 12:31, 10. Mai 2013 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]