Datei:HSV.jpg

2012-02-10T04:35:35Z

RicRic: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Die Kraft der Raute

2012-02-09T16:06:51Z

RicRic: /* Vorbemerkung */

Die Kraft der Raute

2012-02-08T07:09:56Z

RicRic: /* Aufgabe 3 */

2012-01-31T18:15:46Z

RicRic: /* SsW-Kongruenzsatz */

= Die beiden grundlegenden Ideen der Kongruenz ==
=== Bewegungsgeometrie ===
==== naive Deckungsgleichheit ====
==== Bewegungen: abstandserhaltende Abbildungen der Ebene auf sich ====
=== Euklid lässt grüßen: Dreieckskongruenz ===
===Videos zur Idee der Kongruenz===
{{#ev:youtube|fs5NeNuGzA8}}
{{#ev:youtube|Wm9xdlvD6Z8}}
{{#ev:youtube|tF-z3vQZZFA}}

== Streckenkongruenz ==
Wir erinnern uns an die Diskussion zu Anfang des Semesters.
<quiz display="simple">
{Wie sagt man es richtig?
}
+ Die Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{CD}</math> sind kongruent zueinander.
+ Der Punkt <math>\ A</math> hat zum Punkt <math>\ B</math> denselben Abstand wie der Punkt <math>\ C</math> zum Punkt <math>\ D</math>
+ Die Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{CD}</math> haben dieselbe Länge.
</quiz>

Die Auswertung des Quiz zeigt: Alle drei Aussagen sind synonym.

Momentan jedoch eigentlich noch nicht. Uns fehlt eine Definition des Begriffs der Streckenkongruenz.

===== Definition VII.1: (Streckenkongruenz) =====
:: Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben. 
:: In Zeichen <math>\overline{AB} \tilde {=} \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math>
===== Satz VII.1: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

== Winkelkongruenz ==
Analog zum Begriff der Streckenkongruenz sollen zwei Winkel genau dann kongruent zueinander genannt werden, wenn sie dieselbe Größe haben.

===== Definition VII.2 : (Winkelkongruenz) =====
::Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander. 
::In Zeichen: <math>\alpha \tilde {=} \beta := | \alpha | = | \beta |</math>

===== Satz VII.2: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

== Dreieckskongruenz ==
In der Schule spricht man häufig davon, dass zwei Dreiecke dann kongruent zueinander sind, wenn sie in allen Stücken übereinstimmen. Unter den Stücken eines Dreieck sind dabei die jeweils drei Seiten und die jeweils drei Innenwinkel zu verstehen.

===== Definition VII.3: (Dreieckskongruenz) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 6 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \tilde {=} \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{BC} \tilde {=} \overline{EF}</math>
:::# <math>\overline{AC} \tilde {=} \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \tilde {=} \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \tilde {=} \angle DEF</math>
:::# <math>\angle ACB \tilde {=} \angle DFE</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Satz VII.3: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

Überprüfen Sie Ihr Verständnis:

In den Schullehrbüchern findet man häufig Konstruktionsaufgaben wie: 
konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen <math>\ a = 5\operatorname{cm}</math>, <math>\ b = 4\operatorname{cm}</math>, <math>\ c = 3\operatorname{cm}</math>. <math>\ 30</math> Schüler konstruieren aufgrund dieser Aufgabenstellung <math>\ 30</math> Dreiecke. Kommentieren Sie den bestimmten Artikel in der Aufgabenstellung. Was hat das alles mit der Idee der Repräsentantenunabhängigkeit zu tun?

== Das Kongruenzaxiom SWS ==
===== Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \tilde {=} \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{AC} \tilde {=} \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \tilde {=} \angle FDE</math>
::gelten, 
::dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

== Der Kongruenzsatz WSW ==
===== Satz VII.4: (Kongruenzsatz WSW) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \tilde {=} \overline{DE}</math>
:::# <math>\angle CAB \tilde {=} \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \tilde {=} \angle DEF</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Beweis von Satz VII.4 =====
======Als Folge von Tafeln ======
[[Der fotografierte Beweis]]
======Video======
{{#ev:youtube|vgACEclZ4aI}}
{{#ev:youtube|gKsqeAUNf8g}}
{{#ev:youtube|VYptKtH_ZkQ}}

===== Die Beweisidee =====
Testen Sie Ihr Verständnis: Beschreiben Sie hier mit drei ganz einfachen Sätzen, auf welcher Idee der Beweis beruht.
 

== Der Kongruenzsatz SSS ==
Hier dürfen und sollen Sie sich austoben.
Für den Beweis des Kongruenzsatzes SSS werden Sie sinnvollerweise den Basiswinkelsatz benötigen. Weil dieser jedoch von so zentraler Bedeutung ist, haben wir ihm einen eigenen Unterpunkt auf der Hauptseite spendiert. Sie dürfen ihn also hier vorab als wahr voraussetzen.
===Beweisidee I ===
 Zwei Dreiecke ABC und DEF sind zueinander kongruent, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen. 

Vor.:
<math>\overline{AB} \tilde {=} \overline{DE}</math> 
<math>\overline{BC} \tilde {=} \overline{EF}</math> 
<math>\overline{AC} \tilde {=} \overline{DF}</math> 
Beh.: <math>\overline{ABC} \tilde {=} \overline{DEF}</math> 
Beweis: 
<ggb_applet width="667" height="440" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />
 
{| class="wikitable sortable"
!Überschrift 1!!Überschrift 2
|-
| (1)<math>\overline{AB} \tilde {=} \overline{DE}</math> <math>\overline{BC} \tilde {=} \overline{EF}</math> <math>\overline{AC} \tilde {=} \overline{DF}</math> || Vor.
|-
| (2) <math>\exists Mc:\left| AMc \right| =\left| McB \right| \wedge Mc \in \overline{AB}</math> <math>\exists Mb:\left| AMb \right| =\left| MbC \right| \wedge Mc \in \overline{AC}</math> <math>\exists Ma:\left| BMa \right| =\left| MaC \right| \wedge Mc \in \overline{BC}</math> || Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkts einer Strecke
|-
| (3) <math>\exists mc: \ mc \perp \overline{AB} \wedge Mc\in mc</math> <math>\exists mb: \ mb \perp \overline{AC} \wedge Mb\in mb</math> <math>\exists ma: \ ma \perp \overline{BC} \wedge Ma\in ma</math> || Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten (2)
|-
| (4) <math>\exists S: S \in mc \wedge S \in mb \wedge S \in ma</math> || Schnittpukt der Mittelsenkrechten (3)
|-
| (5) <math>\overline{McS} \tilde= \overline{McS}</math> || trivial
|-
| (6) <math>\overline{AMc} \tilde= \overline{BMc}</math> || M ist Mittelpunkt (2)
|-
| (7) <math>\angle AMcS \tilde= \angle BMcS</math> || rechter Winkel, Mittelsenkrechte (3)
|-
| (8) <math>\overline{AMcS} \tilde= \overline{BMcS}</math> || (5)(6)(7) SWS
|-
| (9) <math>\angle McAS \tilde= \angle McBS</math> || (8)
|-
| (10) <math>\overline{MbS} \tilde= \overline{MbS}</math> || trivial
|-
| (11) <math>\overline{AMb} \tilde= \overline{CMb}</math> || M ist Mittelpunkt (2)
|-
| (12) <math>\angle AMbS \tilde= \angle CMbS</math> || rechter Winkel, Mittelsenkrechte (3)
|-
| (13) <math>\overline{AMbS} \tilde= \overline{CMbS}</math> || (10)(11)(12) SWS
|-
| (14) <math>\angle MbAS \tilde= \angle MbCS</math> || (13)
|-
| (15) <math>\left| \angle McAMb \right| = \left| \angle MbAS \right| + \left| \angle McAS \right|</math> || (9),(14) Winkeladditionsaxiom
|-
| (16) Schritte (2) bis (15) analog mit Dreicek <math>\overline{DEF}</math> ||
|-
| (17) <math>\angle BAC \tilde= \angle DEF</math> || (15),(16)
|-
| (18) <math>\overline{ABC} \tilde {=} \overline{DEF}</math> || (17), Vor., SWS
|}--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 17:33, 29. Dez. 2011 (CET)

Den Beweisschritten konnte ich soweit folgen. Allerdings ist Schritt (17) nicht aus den vorrigen Schritten ableitbar. 
(Du hast davor für zwei Dreiecke gezeigt, dass bestimmt Seiten/ Winkel kongruent sind, bestimmte Innendreiecke usw. Allerdings hast du keine Kongruenz zwischen Innendreiecke der verschiedenen Dreiecke ABC und DEF gezeigt. Somit kannst du auch nicht auf die Winkel schließen. - Falls du es versuchen willst, die inneren Dreiecke aufeinander zu beziehen, wird es schon damit scheitern, dass du nicht weißt, ob der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten die gleiche Entfernung in beiden Dreiecken z.B. zu den Seiten des Dreiecks hat. ) Ich glaube nicht, dass der Ansatz dir weiter hilft - sorry. Trotzdem: Danke für den Beitrag ... so lernen wir gemeinsam.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 20:45, 12. Jan. 2012 (CET) 
Aber wenn doch die Seiten konguent sind, müssen es die die davon abgeleiteten Mittelsenkrechten auch sein. Ich meine damit , ich beziehe mich immer auf die Steken zunächst eines Dreiecks, die Stecken beider Dreiecke sind aber Konguent laut Vorrausetzung, also müssen sämtliche Innendreiecke auch konguent sein. Da ich die Mittelsenkrechen nur auf die Jeweiligen Strecken beziehe. Somit muss der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten auch konguent sein (siehe Geogebra sktize). Also wo ist mein Denkfehler?--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:45, 12. Jan. 2012 (CET) 
'''Kann ich bis einschließlich Punkt 4 davon ausgehen, dass dies bei beidens Dreieken gleich ist. Also der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten somit bei beiden Dreieken identisch ist. Da ich mich ja auf das Mittelsenkrechtenkriterium berufe und dies müsste ja für jede Strecke eindeutig sein, somit auch für den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, oder?'''--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 20:50, 16. Jan. 2012 (CET) Warum sollte der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten in beiden Dreiecken identisch sein, wenn diese vielleicht gar nicht kongruent sind? Das Problem an dem Beweis ist, dass du innerhalb eines Dreicks viel zeigst, aber es geht um den Vergleich, um Kongruenzen zum anderen Dreieck. 
Da sehe ich die Schwierigkeit--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:48, 18. Jan. 2012 (CET)

=== Beweisidee II ===
Vor.:
<math>\overline{AB} \tilde {=} \overline{AB}</math> 
<math>\overline{BC} \tilde {=} \overline{BC'}</math> 
<math>\overline{AC} \tilde {=} \overline{AC'}</math> 

Beh.: <math>\overline{ABC} \tilde {=} \overline{ABC'}</math> 

<ggb_applet width="784" height="484" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />

Beweis:

{| class="wikitable sortable"
!Schritt!!Begründung
|-
| (1)<math>\exists CC'</math> || Axiom I2 Gerade durch zwei Punkte
|-
| (2) <math>\exists \overline{CC'B} \wedge \overline{CC'A} </math> || (1)
|-
| (3)<math>\exists \overline{CC'B} \wedge \overline{CC'A} </math> sind gleichschenklig, da <math>\overline{BC} \tilde {=} \overline{BC'}</math> und <math>\overline{AC} \tilde {=} \overline{AC'}</math> || nach Vorr (2)
|-
| (4) es gelten konguente Winkel siehe Skizze || Basiswinkelsatz, (3)
|-
| (5) <math>\overline{ABC} \tilde {=} \overline{ABC'}</math> || SWS, Winkeladditionsaxiom, Rechnen in R,Vorr. (4)
|} q.e.d. --[[Benutzer:CostaRica|CostaRica]]--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 23:26, 3. Jan. 2012 (CET)
Der Beweis ist soweit korrekt, allerdings habt ihr damit auch wirklich nur diese spezielle Behauptung beweisen. Also nicht allgemein den SSS-Kongruenzsatz. Dazu müsst ihr von zwei Dreiecken ausgehen, die keine gemeinsame Strecke haben müssen. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 20:33, 12. Jan. 2012 (CET)
Aber wenn die Stecken konguent ist, dann kann ich sie doch durch drehen oder spiegeln oder verschieben genau auf der andern Stecke abbilden, warum darf ich das hier nicht?--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:47, 12. Jan. 2012 (CET) 
Du kannt die Beweisidee so verwenden für ein allgemeinen Beweis. Dazu musst du aber von Anfang an von zwei komplett verschiedenen Dreiecken ausgehen, nicht von Dreiecken die eine Seite gemeinsam haben. Das ist aber nicht viel zu ändern.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:43, 18. Jan. 2012 (CET) 
Aber die Idee funktioniert doch nur weil ich eine gemeinsame Seite habe und diese teile, sehe nicht wie sich sonst die gleichschenkligen Dreieke sonst hinbekommen soll.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 20:39, 18. Jan. 2012 (CET)

===weitere Beweisideen===

Vor.: <math>\overline{AB} \tilde {=} \overline{A'B'} , \overline{CB} \tilde {=} \overline{C'B'} ,\overline{AC} \tilde {=} \overline{A'C'}</math> 

Beh.: <math>\overline{ABC} \tilde {=} \overline{A'B'C'}</math> 

Beweis: 

{| class="wikitable sortable"
!Überschrift 1!!Überschrift 2
|-
| (1) <math>\exists \angle BAD: \left| \angle BAD \right| =\left| \angle B'A'C' \right| \wedge D\in \ AB,C^{-}</math> || Winkelmaßaxiom, Winkelkonstruktionsaxiom
|-
| (2) <math>\exists C'': C''\in \ AD^{+} \wedge \left| A'C' \right| =\left| AC'' \right|</math> || Abstsaxiom, Axiom vom Lineal
|-
| (3) <math>\overline{AB} \tilde {=} \overline{A'B'}</math> || Vorr
|-
| (4) <math>\overline{ABC''} \tilde {=} \overline{A'B'C'}</math> || SWS, (1),(2),(3)
|-
| (5) <math>\overline{AC''} \tilde {=} \overline{A'C'} \tilde {=} \overline{AC}</math> || Vor, (2)
|-
| (6) <math>\overline{AC''C}</math> ist gleichschenklig || (5)
|-
| (7) <math>\angle ACC'' \tilde {=} \angle AC''C</math> || Basiswinkelsatz (6)
|-
| (8) <math>\overline{BC''} \tilde {=} \overline{B'C'} \tilde {=} \overline{BC}</math>|| Vor, (4)
|-
| (9) <math>\overline{BC''C}</math> ist gleichschenklig || (8)
|-
| (10) <math>\angle BCC'' \tilde {=} \angle BC''C</math> || Basiswinkelsatz (9)
|-
| (11) <math>\left| \angle ACC'' \right| +\left| \angle BCC'' \right| =\left| \angle ACB \right|</math> || Winkeladitionosaxiom (7),(10)
|-
| (12) <math>\left| \angle ACC'' \right| +\left| \angle BCC'' \right| =\left| \angle ACB \right|</math> || Winkeladitionosaxiom (7),(10)
|-
| (13) <math>\angle ACB \tilde {=} \angle AC''B</math> || Rechen in R (11),(12)
|-
| (14) <math>\overline{ABC} \tilde {=} \overline{ABC''}</math> || Vor. (13) SWS
|-
| (15) <math>\overline{ABC} \tilde {=} \overline{A'B'C'}</math> q.e.d.|| (14),(4)
|}--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 16:52, 20. Jan. 2012 (CET) 

<ggb_applet width="739" height="463" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
Nach dem ich es dann visualisiert habe, habe ich es wieder nachvollziehen können. Gut! (Die ersten Schritte der Applikation sind für den Beweis unwichtig. Ich musste nur erst mal die Voraussetzung konstruieren (wobei ich darauf zurückgegriffen habe, dass die Behauptung stimmt :)). --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 12:55, 25. Jan. 2012 (CET) 
Prima, dann können wir ja den SsW angehen.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 17:42, 25. Jan. 2012 (CET)
... 
ja dann, viel Freude!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 18:27, 25. Jan. 2012 (CET)
== SsW-Kongruenzsatz==
[[Category:Einführung_Geometrie]]
Vor: <math>\overline{ABC}</math> ; <math>\overline{A'B'C'}</math> 
1. <math>\overline{AB} \tilde {=} \overline{A'B'}</math> ; 
2. <math>\overline{AC} \tilde {=} \overline{A'C'}</math> ; 
3. <math>\left| AB \right| >\left| AC \right|</math> ; 
4. <math>\left| AB \right| >\left| BC \right|</math> ; Dies muss nicht gelten! --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:52, 29. Jan. 2012 (CET) 
5. <math>\angle ACB \tilde {=} \angle A'C'B'</math> 
Beh.: <math>\overline{ABC} \tilde {=} \overline{A'B'C'}</math> 
Es genügt zu zeigen, dass <math>\left| BC \right| = \left| B'C' \right|</math>, da nach SSS die Dreiecke dann kongruent sind. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:52, 29. Jan. 2012 (CET)
Ann.: o.B.d.A. <math>\left| BC \right| < \left| B'C' \right|</math>
Beweis:

{| class="wikitable sortable"
!Überschrift 1!!Überschrift 2
|-
| (1) <math>\exists D: D\in \ CB^{+} \wedge \left| B'C' \right| = \left| CD \right|</math> || Axiome Abstand und Lineal
|-
| (2) <math>\overline{ABD} \tilde {=} \overline{A'B'C'}</math> || SWS, (1), Ann., Vor2, Vor5
|-
| (3) <math>\overline{AD} \tilde {=} \overline{A'B'} \tilde {=} \overline{AB}</math> || (2), Vor.1
|-
| (4) <math>\exists \overline{ABD}</math> || (1),Ann.
|-
| (5) <math>\overline{ABD}</math> ist gl.schenklig || (3)
|-
| (6) <math>\angle ABD \tilde {=} \angle ADB</math> || (5) Basiswinkelsatz
|-
| (7) <math>\left| \angle ADB \right| < \left| \angle ACD\right|</math> || Vor3, Vor4, Satz der gr. Seite liegt der gr. Winkel gegenüber
|-
| (8) <math>\left| \angle ABD \right| < \left| \angle ACD\right|</math> Wiederspruch zu (6) und (7) Ann verwerfen Beh., Stimmt, betrift auch das Deieck A'B'C' wegen (2)|| schwacher Ausenwinkelsatz, ist Außenwikel von <math>\overline{ABC}</math>
|}--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 16:17, 28. Jan. 2012 (CET)
 
[[Bild:Idee SsW.JPG|500px]]
 
Sehr gut! Mit Skizze lässt sich dein Beweis gut nachvollziehen. Allerdings musst du die Begründung für Schritt (7) noch ändern, denn Vor4 gibt es leider nicht!--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 17:52, 29. Jan. 2012 (CET) 
Die Dreieke müssen in dem Winkel übereinstimmen, der der längeren Seite gegenüber liegt. Somit Reicht mir doch als Begründung für Schritt (7) die Vor3. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 19:15, 31. Jan. 2012 (CET)

Lösung von Aufg. 13.7 (WS 11/12)

2012-01-31T17:31:22Z

RicRic:

Hauptseite

2012-01-28T16:47:51Z

RicRic: /* Hinweise */

__NOTOC__
Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Wintersemester 2011/12 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.
{| width="100%"
| style="vertical-align:top;" |

| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em"
| valign="top" |
= Einführung in die Geometrie =
== Haben wir nicht, bekommen wir auch nicht rein==
{{wpd|Nürnberger_Trichter}}
== Wöchentlich ==
* [[Auftrag der Woche_WS_11/12, Quiz der Woche_WS_11/12, Übungsaufgaben_WS_11/12 etc.‎]]

== Skripte, erstellt durch die Studierenden ==

== Materialien für das Studium ==
* [[Allgemeine Aspekte|Allgemeine Aspekte (Literatur, Ziele, Wiki, Vorgehensweise, Forschung)]]
* [[Einführendes Beispiel_WS_11/12]]
* {{pdf|Mengenlehre.pdf|Mengenlehre}} [[http://wiki.zum.de/Benutzer:Cspannagel/Arithmetik/Mengenlehre Videos zur Mengenlehre]]
* [[Definitionen in der Mathematik_WS_11/12]]
* {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}}
* [[Sätze und Beweise WS_11/12]]
* [[Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen WS_11/12]]
* [[Zusammenhang zwischen Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen WS_11/12]]
* [[Einige grundlegende Aspekte zum Geometrieunterricht WS_11/12]]
* [[Eigenschaften von Geraden WS_11/12]]
* {{pdf|Geometrie_Inzidenzaxiome.pdf|Übersicht: axiomatischer Aufbau der Geometrie}}
*[[Eigentlich ganz einfach und doch kompliziert: Punkte, Geraden WS_11/12]]
*[[Inzidenz im Raum WS_11/12)]]
*[[Strecken WS_11/12]]
*[[Streckenantragen oder das Axiom vom Lineal WS_11/12]]
*[[Halbebenen oder das Axiom von Pasch WS_11/12]]
*[[Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel WS_11/12]]
*[[Winkelmessung WS_11/12]]
*[[Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende WS_11/12]]
*[[Dreieckskongruenz WS_11/12]]
*[[Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium WS_11/12]]
*[[Der schwache Außenwinkelsatz WS_11/12]]
*[[Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks WS_11/12]]
*[[Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade WS_11/12]]
*[[Umkehrung des Stufenwinkelsatzes WS_11/12]]
*[[Existenz von Parallelen und das Euklidische Parallelenaxiom WS_11/12]]
*Sätze über Dreiecke
:*[[Innenwinkelsatz für Dreiecke und starker Außenwinkelsatz WS_11/12]]
:*Dreieckstransversalen
::*[[Der Umkreis und die Mittelsenkrechten eines Dreiecks WS_11/12]]
::*[[Die Höhen eines Dreiecks WS_11/12]]
::*[[Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks WS_11/12]]
::*[[Der Schwerpunkt und die Seitenhalbierenden eines Dreiecks WS_11/12]]
*Sätze am Kreis
:*[[Der Satz des Thales WS_11/12]]
:*[[Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck WS_11/12]]
:*[[Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz WS_11/12]]

== Videos ==
===Videos von Studierenden===
*[[Videos von Studierenden]]
===Vorlesungsvideos===
*[[:zum-wiki:Benutzer:Cspannagel/Arithmetik/Mengenlehre|Videos zur Mengenlehre]]
*[[Videos zur Einführung in die Geometrie]]
==="Videobeweise"===
*[[Der gefilmte Beweis SoSe_2011]]

== Üben... Üben... Üben...==
[[Aus den Übungen mit dem Classroompresenter (SoSe_2011)]]und Wintersemester 2011/12

== Teilprüfungsklausuren der letzten Semester ==
{{pdf|TP_Modul2_Sommersemester_10_L.pdf|Teilprüfungsklausur SoSe 10 mit Lösungen}} 
{{pdf|Klausur_zur_Teilpruefung_Lösungen.pdf|Teilprüfungsklausur WS 10/11 mit Lösungen}} 
{{pdf|Klausur_zur_Teilprüfung_SS_11_Loesungen.pdf|Teilprüfungsklausur SoSe 11 mit Lösungen}}
|}

= Elementargeometrie =
== Literatur zur Elementargeometrie==
*[[Literatur zur Elementargeometrie]]
==Offene Fragen zur Elemetargeometrie==

==Übungsaufgaben und Kontrollfragen zur EG==
*[[Übungsaufgaben EG 2011/12]]
== Skript und mehr ==
=== Kongruenzgeometrie===
*[[Bewegungen (2011/12)]]
*[[Geradenspiegelungen (2011/12)]]
*[[Fixpunkt, Fixpunktgerade, Fixgerade (2011/12)]]
*[[Die Geradenspiegelung als Bewegung mit genau einer Fixpunktgeraden (2011/12)]]
*[[Drehungen, Drehungen als Bewegungen mit genau einem Fixpunkt (2011/12)]]
*[[Reduktionssatz: Jede Bewegung ist die NAF von zwei oder drei Geradenspiegelungen]]
*[[Drehungen als Geradenspiegelungen (2011/12)]]
*[[Verschiebungen (2011/12)]]
*[[Klassifizierung aller Bewegungen (2011/12)]]
*[[Schubspiegelung (2011/12)]]
===Ähnlichkeitsgeometrie===
*[[Zentralprojektion, Parallelprojektion (2011/12)]]
*[[Strahlensätze (2011/12)]]
*[[Zentrische Streckungen (2011/12)]]

===Satzgruppe des Pythagoras===
*[[Die Satzgruppe des Pythagoras]]
===Spezialthema: Parabeln===

= Didaktik der Geometrie=
* [[Hinweise und Literatur]]
===Kapitel 1: Erarbeiten geometrischer Begriffe===
* [[Erarbeitung der Begriffe Kreis und Prisma (15.04.2011)]]
* [[Erarbeitung der Begriffe senkrecht, Pyramide, Geradenspiegelung (29.04.2011)]]
* [[Arten der Begriffserarbeitung (06.05.2011)]]
* [[Haus der Vierecke (15.07.2011)]]

===Kapitel 2: Argumentieren, Begründen, Beweisen===
*[[Der_Satz_des_Thales_(SoSe_11)]]
*[[Zentri-Peripheriewinkelsatz]]
*[[Satz des Pythagoras]]
*[[Satz über die Summe der Längen gegenüberliegender Seiten im Tangentenviereck]]
*[[Höhensatz mit "Beweisapplikation"]]
*[[Kathetensatz mit PPT-"Beweis"]]
*[["Beweisidee" Satz des Tangentensatzes]]

===Kapitel 3: Konstruieren===
* [[Konstruktion eines Sehnen-Tangenten-Viereck]]
* [[Äußere Tangenten an zwei gegebene Kreise]]
* [[Innere Tangenten an zwei gegebene Kreise]]

= Gastwiki =
*[[Didaktik 08 - 10]]
*[[AK_E-Learning]]

</div>


| width="50%" style="vertical-align:top" |
<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 0em 1em 1em 1em; background-color:#E8E8E8; align:left;">

{|width=90%| style="background-color:#E8E8E8; padding:0.5em"
| valign="top" |

==Hinweise==
 Hat eigentlich jemand alle Sätze, Lemminge und Korallen :-), die wir kennengelernt und erarbeitet haben, als Fleißarbeit gesammelt? --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 17:46, 28. Jan. 2012 (CET) 

Raumwechsel: Die Mi.-Übung bei Frau Bertelli findet ab sofort im Raum A106 statt.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 10:01, 26. Jan. 2012 (CET) 

Leider muss meine Übung morgen (Do, 26.01.) krankheitsbedingt ausfallen. Bitte treffen Sie sich trotzdem und versuchen Sie, Ihre Fragen in Kleingruppen zu bearbeiten. Ich werde versuchen, die Übung nachzuholen, sobald es mir besser geht. --[[Benutzer:Buchner|Buchner]] 16:42, 25. Jan. 2012 (CET)

Ausgewählte Teile der Zusatzübung vom letzten Freitag sind online: 
[[Übung_vom_20.01.12]] --[[Benutzer:Adores|Adores]] 00:55, 24. Jan. 2012 (CET)

'''Veranstaltungsangebot:'''

=== Einführung in die Geometrie ===

Vorlesungen:

{| class="wikitable"
|-
| Mo. || 14-16 Uhr ||H001 ||(Schnirch)
|-
| Fr. || 10-12 Uhr ||H001 ||(Gieding)
|}

Übungen: 
{| class="wikitable"
|-
| Di. || 10-12 Uhr ||A106 ||(Schnirch)
|-
| Di. || 14-16 Uhr ||H002 ||(Spannagel)
|-
| Mi. || 16-18 Uhr ||H002 ||(Bertelli)
|-
| Do. || 10-12 Uhr ||A106 ||(Buchner)
|}

Tutorien: 
{| class="wikitable"
|-
| Mo. || 08-10 Uhr ||A106 ||(Henrich)
|-
| Di. || 08-10 Uhr ||A206 ||(Smuda)
|-
| Di. || 12-14 Uhr ||A108 ||(Gaß)
|-
| Do. || 08-10 Uhr ||A106 ||(Zähringer)
|-
| Do. || 16-18 Uhr ||A108 ||(Jäckle)

|}

=== Elementargeometrie ===
Vorlesung:

Di. 10 - 12 Uhr H002

Übungen:

Übung 1: Do 10 - 12 Uhr A236

Übung 2: Do 14 - 16 Uhr A236

=== Didaktik der Geometrie===
Die Veranstaltung Didaktik der Geometrie findet nur im Sommersemester statt.

==Hier gibt's was Neues zur "Einführung in die Geometrie"==
<dpl>
namespace=Issue
category=Category:Einführung_Geometrie
addeditdate=true
addpagecounter=true
ordermethod=lastedit
order=descending
count=8
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,
userdateformat= d.m.y, G:i -
adduser=true
</dpl>

([[Neuigkeiten|mehr]])

==Hier wird diskutiert zur "Einführung in die Geometrie"==
<dpl>
namespace=Diskussion
category=Category:Einführung_Geometrie
addeditdate=true
addpagecounter=true
ordermethod=lastedit
order=descending
count=8
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,
userdateformat= d.m.y, G:i -
adduser=true
</dpl>

([[Diskussionen|mehr]]) ([[Statistik]])

==Hier gibt's was Neues zur "Elementargeometrie"==
<dpl>
namespace=Elementargeometrie
category=Category:Elementargeometrie
addeditdate=true
addpagecounter=true
ordermethod=lastedit
order=descending
count=8
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,
userdateformat= d.m.y, G:i -
adduser=true
</dpl>

([[Neuigkeiten zu Elementargeometrie|mehr]])

==Hier wird diskutiert zur "Elementargeometrie"==
<dpl>
namespace=Diskussion
category=Category:Didaktik_Geometrie
addeditdate=true
addpagecounter=true
ordermethod=lastedit
order=descending
count=8
format=,\n* %USER% (%DATE%): [[%PAGE%|%TITLE%]] (%COUNT% views),,
userdateformat= d.m.y, G:i -
adduser=true
</dpl>

([[Diskussionen zu Elementargeometrie|mehr]]) ([[Statistik]])

|}

</div>
|}


[[wikis:Hauptseite]]
[[zum-wiki:Hauptseite]]

Hauptseite

Definieren Sie die Begriffe ''Stufenwinkel'', ''Wechselwinkel'' und ''entgegengesetzt liegende Winkel''.

Auch wenn ich gestern in der Übung schon gehört habe, dass man so nicht Definiert, würde ich gerne wissen ob diese Definiton trotzdem richtig ist. 
Stufenwinkel 
* Es seien a und b zwei nicht identische parallele Geraden und c eine weitere Gerade die a und b schneidet und nicht senkrecht auf a und b steht. Die Kongueten Winkel Alpha und Beta die bezüglich c in der gleichen Halbebene liegen sind Stufenwinkel. Wenn jetzt a und b zwei nicht identische belibige Geraden sind die von der weitern nicht identischen belibigen Geraden c geschnitten werden, sind die Winkel Alpha und Beta (die jetzt nicht mehr konguent sein müssen) die bezüglich c wieder in der gleichen Halbebene liegen auch Stufenwinkel. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 17:38, 25. Jan. 2012 (CET) 

Wechselwinkel: Es seien alpha und beta zwei Stufenwinkel, der Scheitelwinkel von alpha ist der Wechselwinkel von beta. 
entgegengesetzt liegende Winkel: Es seien alpha und beta zwei Stufenwinkel, der Nebenwinkel von alpha ist der Wechselwinkel von beta. 
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 13.4 (WS 11/12)

2012-01-25T16:38:08Z

RicRic:

Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks WS 11/12

2012-01-23T06:55:59Z

RicRic: /* Beweis von Satz IX.3 */

Lösung von Aufg. 13.2 (WS 11/12)

2012-01-23T06:53:53Z

RicRic:

Beweisen Sie: Wenn <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math> ist, dann gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parellel zu <math>\ g</math> ist.

Kann man, um diese Implikation zu beweisen, das Parallelnaxiom verwenden?
* Mann kann es in der absoluten Geometrie beweisen. D.h. ohne Parallelaxiom. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 07:53, 23. Jan. 2012 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks WS 11/12

2012-01-20T15:58:05Z

RicRic: /* Beweis von Satz IX.3 */

Dreieckskongruenz WS 11/12

2012-01-20T15:52:01Z

RicRic: /* weitere Beweisideen */

Dreieckskongruenz WS 11/12

2012-01-19T17:02:29Z

RicRic: /* weitere Beweisideen */

Definitionen in der Mathematik WS 11/12

2012-01-19T16:54:41Z

RicRic: /* Definition: Rechteck */

==Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]]==
Wir haben im [[einführendes Beispiel_WS_11/12|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden.
 Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus. 
Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...). 
Man legt nur, mit Hilfe der so genannten ''Axiome'', die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen fest. 

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 
==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
{{#ev:youtube|PQjeTmY0cdQ&NR=1}}
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
 
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. 
 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition E.1: Ellipse====
Eine Ellipse ist eine Punktmenge, die alle Punkte P enthält, die folgende Eigenschaften besitzen |F1P|+|F2P|=konstant mit F1 und F2 sind zwei beliebe Punkte in der Ebene und |F1P|+|F2P| > |F1F2| (In der Vorlesung am 24.10.2011 erarbeitet.)
--[[Benutzer:Cluster|Cluster]] 17:07, 24. Okt. 2011 (CEST)

Darf man es auch so formulieren:
-> Es seien F1 und F2 zwei Brennpunkte. Die Punktmenge P ergibt eine Ellipse, wenn gilt, dass die Strecke F1,P,F2 insgesamt/in der Summe immer die gleiche Länge hat.
--[[Benutzer:Carmen88|Carmen88]] 17:18, 24. Okt. 2011 (CEST)
* Wenn jetzt aber die Strecke F1,P,F2 gleich groß ist wie die Strecke F1,F2 dann erhalte ich in der Summe zwei Punke und keine Elipse, oder?--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 22:19, 1. Nov. 2011 (CET)

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====

 
Der Kreis ist eine Sonderform der Elipse, hier fallen die zwei Punke F1,F2 auf einen einzigen Punkt. Somit sind alle Kreise Elipsen. 
Kreise sind also ein echte Teilmenge der Elipsen. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:53, 1. Nov. 2011 (CET)

==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen==
===Das Haus der Vierecke===
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/HDV_AndreaSpitz.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
 
=== In Anlehnung an die Übungsaufgabe 1.2 der ersten Serie ===
Im Folgenden seien die Begriffe n-Eck, Seite eines n-ecks, Ecke eines n-Ecks bereits definiert.
Ergänzen Sie die folgenden Definitionen. Beziehen Sie sich dabei jeweils auf den nächst höheren Oberbegriff.
====Definition: Viereck===

====Definition: Trapez====

====Definition: Parallelogramm====

====Definition: gleichschenkliges Trapez====

====Definition: Rechteck====

* Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Innenwinkeln. --[[Benutzer:Phhd mat|Phhd mat]] 10:40, 18. Jan. 2012 (CET)
* Bei einem Rechteck sind alle vier Innenwinkel gleichgroß. --[[Benutzer:Phhd mat|Phhd mat]] 10:40, 18. Jan. 2012 (CET)

''>Beachte, dass bei formalen Definitionen nur so viel an Eigenschaften genannt wird, wie auch wirklich benötigt wird, damit der Begriff eindeutig ist. Bei je einer Definiton von Rechteck und Quadrat lassen sich noch Eigenschaften reduzieren. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:03, 18. Jan. 2012 (CET)''

* Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwikeln.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 20:50, 18. Jan. 2012 (CET)
* Ein Rechteck ist Paralellogramm mit einem rechten Innenwikel. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 20:50, 18. Jan. 2012 (CET)
* Ein Rechreck ist ein Trapez mit einem weiteren Paar paralleler Seiten und drei kongruenten Innenwinkeln. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 20:50, 18. Jan. 2012 (CET) 
Müssen es bei der letzten Def. 3 kongruente Innenwinkel sein? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:07, 19. Jan. 2012 (CET)
* Wenn ich Innen weglasse, könnte es doch so ausehen:
<ggb_applet width="784" height="484" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />
--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 17:54, 19. Jan. 2012 (CET)

====Definition: Quadrat====

* Ein Quadrat ist ein Viereck mit vier rechten Innenwinkeln und gleichlangen Diagonalen. --[[Benutzer:Phhd mat|Phhd mat]] 10:46, 18. Jan. 2012 (CET)
* Ein Quadrat ist ein Rechteck mit vier gleichlangen Seiten (Rechteck muss bekannt sein). --[[Benutzer:Phhd mat|Phhd mat]] 10:46, 18. Jan. 2012 (CET)
* Ein Quadrat ist ein Rechteck mit drei gleichlangen Seiten.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 20:46, 18. Jan. 2012 (CET)
* Ein Quadrat ist ein Raute mit einem rechten Innenwinkel.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 20:46, 18. Jan. 2012 (CET)
* Ein Quadrat ist ein Parallelogramm mit einem rechten Innenwikel und zwei gleich langen benachbarten Seiten. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 20:46, 18. Jan. 2012 (CET)

====Definition: Drachen====

====Definition: Raute====

* Eine Raute ist ein Viereck, das diagonalsymmetrisch und punktsymmetrisch ist. Die sich schneidenen Diagonal stehen senkrecht zueinandern und halbieren sich. --[[Benutzer:Phhd mat|Phhd mat]] 10:49, 18. Jan. 2012 (CET)

==Es kann nur eine geben - oder?==
{{#ev:youtube|kq4SqgxIKM0}} 
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Kegelschnitte.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe>
 
Das obige Video wurde von Prof. Dr. Filler erstellt.
====Definition E.2: Ellipse====

{| class="wikitable"
|-
| Parabel || Hyperbel
|-
| [[Bild:Parabel_Kopie.png]] || [[Bild:Hyperbel_Kopie.png]]
|}

==Darf es ein wenig mehr sein? Ellipse als Hypozykloide==
Mit einem {{wpd|Spirograph (Spielzeug)}} lassen sich geometrische Kurven zeichnen. Läßt man dabei ein kleineres Zahnrad innerhalb eines großen Zahnrades abrollen entstehen sogenannte Hypozykloiden. Ellipsen sind besondere Hypozykloiden. Die folgende Flash-Applikation wurde im Seminar "Erstellen von Multimedianwendungen für den Unterricht" im Sommersemester 2008 erstellt. Versuchen Sie mit der Applikation eine Ellipse zu generieren (Was aussieht wie ein Ellipse ist dann auch eine). Definieren Sie dann den Begriff Ellipse als spezielle Hypozykloide.
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Hypozykloide_0202.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Die Kurve wird durch Klicken bzw. Ziehen im linken unteren Bereich des Applikationsfensters generiert. 
Die Variablen bedeuten: 

* n1: Anzahl der Zähne des festen Zahnrades
* n2: Anzahl der Zähne des abrollenden Zahnrades
* R: Radius des festen Kreises
* r: Radius des abrollenden Kreises
* d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises.
Die Werte der Variablen können selbstverständlich manipuliert werden.

====Definition E.3: Ellipse====
:: Es sei <math>\ h</math> eine Hypozykloide, für die die folgenden Bezeichnungen gelten mögen: R: Radius des festen Kreises, r: Radius des abrollenden Kreises und d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises. Wenn ... , dann ist <math>\ h</math> eine Ellipse.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Definitionen in der Mathematik WS 11/12

2012-01-18T19:50:33Z

RicRic: /* Definition: Rechteck */

==Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]]==
Wir haben im [[einführendes Beispiel_WS_11/12|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden.
 Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus. 
Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...). 
Man legt nur, mit Hilfe der so genannten ''Axiome'', die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen fest. 

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 
==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
{{#ev:youtube|PQjeTmY0cdQ&NR=1}}
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
 
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. 
 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition E.1: Ellipse====
Eine Ellipse ist eine Punktmenge, die alle Punkte P enthält, die folgende Eigenschaften besitzen |F1P|+|F2P|=konstant mit F1 und F2 sind zwei beliebe Punkte in der Ebene und |F1P|+|F2P| > |F1F2| (In der Vorlesung am 24.10.2011 erarbeitet.)
--[[Benutzer:Cluster|Cluster]] 17:07, 24. Okt. 2011 (CEST)

Darf man es auch so formulieren:
-> Es seien F1 und F2 zwei Brennpunkte. Die Punktmenge P ergibt eine Ellipse, wenn gilt, dass die Strecke F1,P,F2 insgesamt/in der Summe immer die gleiche Länge hat.
--[[Benutzer:Carmen88|Carmen88]] 17:18, 24. Okt. 2011 (CEST)
* Wenn jetzt aber die Strecke F1,P,F2 gleich groß ist wie die Strecke F1,F2 dann erhalte ich in der Summe zwei Punke und keine Elipse, oder?--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 22:19, 1. Nov. 2011 (CET)

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====

 
Der Kreis ist eine Sonderform der Elipse, hier fallen die zwei Punke F1,F2 auf einen einzigen Punkt. Somit sind alle Kreise Elipsen. 
Kreise sind also ein echte Teilmenge der Elipsen. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:53, 1. Nov. 2011 (CET)

==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen==
===Das Haus der Vierecke===
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/HDV_AndreaSpitz.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
 
=== In Anlehnung an die Übungsaufgabe 1.2 der ersten Serie ===
Im Folgenden seien die Begriffe n-Eck, Seite eines n-ecks, Ecke eines n-Ecks bereits definiert.
Ergänzen Sie die folgenden Definitionen. Beziehen Sie sich dabei jeweils auf den nächst höheren Oberbegriff.
====Definition: Viereck===

====Definition: Trapez====

====Definition: Parallelogramm====

====Definition: gleichschenkliges Trapez====

====Definition: Rechteck====

* Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Innenwinkeln. --[[Benutzer:Phhd mat|Phhd mat]] 10:40, 18. Jan. 2012 (CET)
* Bei einem Rechteck sind alle vier Innenwinkel gleichgroß. --[[Benutzer:Phhd mat|Phhd mat]] 10:40, 18. Jan. 2012 (CET)

''>Beachte, dass bei formalen Definitionen nur so viel an Eigenschaften genannt wird, wie auch wirklich benötigt wird, damit der Begriff eindeutig ist. Bei je einer Definiton von Rechteck und Quadrat lassen sich noch Eigenschaften reduzieren. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:03, 18. Jan. 2012 (CET)''

* Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwikeln.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 20:50, 18. Jan. 2012 (CET)
* Ein Rechteck ist Paralellogramm mit einem rechten Innenwikel. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 20:50, 18. Jan. 2012 (CET)
* Ein Rechreck ist ein Trapez mit einem weiterm Paar paralleler Seiten und drei konguenten Inennwinkeln. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 20:50, 18. Jan. 2012 (CET)

====Definition: Quadrat====

* Ein Quadrat ist ein Viereck mit vier rechten Innenwinkeln und gleichlangen Diagonalen. --[[Benutzer:Phhd mat|Phhd mat]] 10:46, 18. Jan. 2012 (CET)
* Ein Quadrat ist ein Rechteck mit vier gleichlangen Seiten (Rechteck muss bekannt sein). --[[Benutzer:Phhd mat|Phhd mat]] 10:46, 18. Jan. 2012 (CET)
* Ein Quadrat ist ein Rechteck mit drei gleichlangen Seiten.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 20:46, 18. Jan. 2012 (CET)
* Ein Quadrat ist ein Raute mit einem rechten Innenwinkel.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 20:46, 18. Jan. 2012 (CET)
* Ein Quadrat ein Parallelogramm mit einem rechten Innenwikel und zwei gleich langen benachbarten Seiten. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 20:46, 18. Jan. 2012 (CET)

====Definition: Drachen====

====Definition: Raute====

* Eine Raute ist ein Viereck, das diagonalsymmetrisch und punktsymmetrisch ist. Die sich schneidenen Diagonal stehen senkrecht zueinandern und halbieren sich. --[[Benutzer:Phhd mat|Phhd mat]] 10:49, 18. Jan. 2012 (CET)

==Es kann nur eine geben - oder?==
{{#ev:youtube|kq4SqgxIKM0}} 
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Kegelschnitte.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe>
 
Das obige Video wurde von Prof. Dr. Filler erstellt.
====Definition E.2: Ellipse====

{| class="wikitable"
|-
| Parabel || Hyperbel
|-
| [[Bild:Parabel_Kopie.png]] || [[Bild:Hyperbel_Kopie.png]]
|}

==Darf es ein wenig mehr sein? Ellipse als Hypozykloide==
Mit einem {{wpd|Spirograph (Spielzeug)}} lassen sich geometrische Kurven zeichnen. Läßt man dabei ein kleineres Zahnrad innerhalb eines großen Zahnrades abrollen entstehen sogenannte Hypozykloiden. Ellipsen sind besondere Hypozykloiden. Die folgende Flash-Applikation wurde im Seminar "Erstellen von Multimedianwendungen für den Unterricht" im Sommersemester 2008 erstellt. Versuchen Sie mit der Applikation eine Ellipse zu generieren (Was aussieht wie ein Ellipse ist dann auch eine). Definieren Sie dann den Begriff Ellipse als spezielle Hypozykloide.
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Hypozykloide_0202.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Die Kurve wird durch Klicken bzw. Ziehen im linken unteren Bereich des Applikationsfensters generiert. 
Die Variablen bedeuten: 

* n1: Anzahl der Zähne des festen Zahnrades
* n2: Anzahl der Zähne des abrollenden Zahnrades
* R: Radius des festen Kreises
* r: Radius des abrollenden Kreises
* d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises.
Die Werte der Variablen können selbstverständlich manipuliert werden.

====Definition E.3: Ellipse====
:: Es sei <math>\ h</math> eine Hypozykloide, für die die folgenden Bezeichnungen gelten mögen: R: Radius des festen Kreises, r: Radius des abrollenden Kreises und d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises. Wenn ... , dann ist <math>\ h</math> eine Ellipse.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Definitionen in der Mathematik WS 11/12

2012-01-18T19:46:31Z

RicRic: /* Definition: Quadrat */

==Erkenntnisse aus dem [[einführendes Beispiel_SoSe_11|einführenden Beispiel]]==
Wir haben im [[einführendes Beispiel_WS_11/12|einführenden Beispiel]] festgestellt, dass Eratosthenes zur Umfangsbestimmung der Erde z. B. den Wechselwinkelsatz benutzte. Um einen mathematischen Satz verstehen oder auch beweisen zu können müssen die Begriffe und ihre Bedeutung exakt bestimmt, d. h. definiert werden.
 Um einen Begriff definieren zu können braucht man weitere Begriffe, mit denen man den neu zu definierten Begriff um- bzw. beschreibt. Auch diese weiteren Begriffe müssen aber im Vorfeld natürlich festgelegt, also auch definiert werden. Dies lässt sich dann endlos so weiterführen und man käme aus der Endlosschleife des Begriffedefinierens nicht heraus. 
Deshalb hat man in der Mathematik möglichst wenige grundlegende Begriffe, so genannte ''Grundbegriffe'' eingeführt, die nicht weiter bestimmt werden müssen (in der Geometrie z. B. die Begriffe: Punkte, Geraden, Ebenen, Abstand ...). 
Man legt nur, mit Hilfe der so genannten ''Axiome'', die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen fest. 

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 
==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
{{#ev:youtube|PQjeTmY0cdQ&NR=1}}
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
 
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. 
 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie? 
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 
#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition E.1: Ellipse====
Eine Ellipse ist eine Punktmenge, die alle Punkte P enthält, die folgende Eigenschaften besitzen |F1P|+|F2P|=konstant mit F1 und F2 sind zwei beliebe Punkte in der Ebene und |F1P|+|F2P| > |F1F2| (In der Vorlesung am 24.10.2011 erarbeitet.)
--[[Benutzer:Cluster|Cluster]] 17:07, 24. Okt. 2011 (CEST)

Darf man es auch so formulieren:
-> Es seien F1 und F2 zwei Brennpunkte. Die Punktmenge P ergibt eine Ellipse, wenn gilt, dass die Strecke F1,P,F2 insgesamt/in der Summe immer die gleiche Länge hat.
--[[Benutzer:Carmen88|Carmen88]] 17:18, 24. Okt. 2011 (CEST)
* Wenn jetzt aber die Strecke F1,P,F2 gleich groß ist wie die Strecke F1,F2 dann erhalte ich in der Summe zwei Punke und keine Elipse, oder?--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 22:19, 1. Nov. 2011 (CET)

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====

 
Der Kreis ist eine Sonderform der Elipse, hier fallen die zwei Punke F1,F2 auf einen einzigen Punkt. Somit sind alle Kreise Elipsen. 
Kreise sind also ein echte Teilmenge der Elipsen. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:53, 1. Nov. 2011 (CET)

==Zurückführen auf bereits vorhanden Definitionen: Verwenden von Oberbegriffen==
===Das Haus der Vierecke===
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/HDV_AndreaSpitz.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Obige Flash-Applikation wurde von Frau Andrea Spitz im Rahmen des Seminars "Erstellen von Multimediaanwendungen für den Unterricht" generiert.
 
=== In Anlehnung an die Übungsaufgabe 1.2 der ersten Serie ===
Im Folgenden seien die Begriffe n-Eck, Seite eines n-ecks, Ecke eines n-Ecks bereits definiert.
Ergänzen Sie die folgenden Definitionen. Beziehen Sie sich dabei jeweils auf den nächst höheren Oberbegriff.
====Definition: Viereck===

====Definition: Trapez====

====Definition: Parallelogramm====

====Definition: gleichschenkliges Trapez====

====Definition: Rechteck====

* Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Innenwinkeln. --[[Benutzer:Phhd mat|Phhd mat]] 10:40, 18. Jan. 2012 (CET)
* Bei einem Rechteck sind alle vier Innenwinkel gleichgroß. --[[Benutzer:Phhd mat|Phhd mat]] 10:40, 18. Jan. 2012 (CET)

''>Beachte, dass bei formalen Definitionen nur so viel an Eigenschaften genannt wird, wie auch wirklich benötigt wird, damit der Begriff eindeutig ist. Bei je einer Definiton von Rechteck und Quadrat lassen sich noch Eigenschaften reduzieren. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 11:03, 18. Jan. 2012 (CET)''

====Definition: Quadrat====

* Ein Quadrat ist ein Viereck mit vier rechten Innenwinkeln und gleichlangen Diagonalen. --[[Benutzer:Phhd mat|Phhd mat]] 10:46, 18. Jan. 2012 (CET)
* Ein Quadrat ist ein Rechteck mit vier gleichlangen Seiten (Rechteck muss bekannt sein). --[[Benutzer:Phhd mat|Phhd mat]] 10:46, 18. Jan. 2012 (CET)
* Ein Quadrat ist ein Rechteck mit drei gleichlangen Seiten.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 20:46, 18. Jan. 2012 (CET)
* Ein Quadrat ist ein Raute mit einem rechten Innenwinkel.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 20:46, 18. Jan. 2012 (CET)
* Ein Quadrat ein Parallelogramm mit einem rechten Innenwikel und zwei gleich langen benachbarten Seiten. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 20:46, 18. Jan. 2012 (CET)

====Definition: Drachen====

====Definition: Raute====

* Eine Raute ist ein Viereck, das diagonalsymmetrisch und punktsymmetrisch ist. Die sich schneidenen Diagonal stehen senkrecht zueinandern und halbieren sich. --[[Benutzer:Phhd mat|Phhd mat]] 10:49, 18. Jan. 2012 (CET)

==Es kann nur eine geben - oder?==
{{#ev:youtube|kq4SqgxIKM0}} 
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Kegelschnitte.swf" width="600" height="400" frameborder="2"></iframe>
 
Das obige Video wurde von Prof. Dr. Filler erstellt.
====Definition E.2: Ellipse====

{| class="wikitable"
|-
| Parabel || Hyperbel
|-
| [[Bild:Parabel_Kopie.png]] || [[Bild:Hyperbel_Kopie.png]]
|}

==Darf es ein wenig mehr sein? Ellipse als Hypozykloide==
Mit einem {{wpd|Spirograph (Spielzeug)}} lassen sich geometrische Kurven zeichnen. Läßt man dabei ein kleineres Zahnrad innerhalb eines großen Zahnrades abrollen entstehen sogenannte Hypozykloiden. Ellipsen sind besondere Hypozykloiden. Die folgende Flash-Applikation wurde im Seminar "Erstellen von Multimedianwendungen für den Unterricht" im Sommersemester 2008 erstellt. Versuchen Sie mit der Applikation eine Ellipse zu generieren (Was aussieht wie ein Ellipse ist dann auch eine). Definieren Sie dann den Begriff Ellipse als spezielle Hypozykloide.
<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding//FLASHZ/Hypozykloide_0202.swf" width="1000" height="600" frameborder="2"></iframe>
 
Die Kurve wird durch Klicken bzw. Ziehen im linken unteren Bereich des Applikationsfensters generiert. 
Die Variablen bedeuten: 

* n1: Anzahl der Zähne des festen Zahnrades
* n2: Anzahl der Zähne des abrollenden Zahnrades
* R: Radius des festen Kreises
* r: Radius des abrollenden Kreises
* d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises.
Die Werte der Variablen können selbstverständlich manipuliert werden.

====Definition E.3: Ellipse====
:: Es sei <math>\ h</math> eine Hypozykloide, für die die folgenden Bezeichnungen gelten mögen: R: Radius des festen Kreises, r: Radius des abrollenden Kreises und d: Abstand des Stiftes zum Mittelpunkt des abrollenden Kreises. Wenn ... , dann ist <math>\ h</math> eine Ellipse.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Dreieckskongruenz WS 11/12

2012-01-18T19:39:50Z

RicRic: /* Beweisidee II */

Lösung von Aufg. 12.6 WS 11/12

2012-01-17T19:20:07Z

RicRic:

Beweisen Sie: 
Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz 
::In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel.

Beweis:
Vor.: <math>\overline{ABC}</math> mit <math>\ \beta , \alpha & \gamma </math>
Beh.: <math>\ | \alpha | < 90 </math>, <math>\ | \beta | < 90 </math>
Ann.: <math>\ | \alpha | = 90 </math>, <math>\ | \beta | = 90 </math> Was wäre es denn, wenn <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> größer 90 sind? Dies müsste auch noch untersucht werden. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 14:26, 16. Jan. 2012 (CET)
[[Datei:Bildschirmfoto 2012-01-15 um 13.31.23.png]]

1) M sei Mittelpunkt von Strecke AB / Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkts
2) Es existiert P Element MC- mit Abstand MC=MP / Axiom vom Lineal
3) lila Winkel = lila Winkel / Scheitelwinkelsatz
4) Strecke AM kongruent zu MB / (1), Def. Mittelpunkt
5) Strecke CM kongruent zu MP / (2)
6) Dreieck AMC kongruent zu Dreieck BMP / (3), (4), (5), SWS
7) <math>\ | \alpha | =\angle PBM = 90 </math> / (6), Vor.
8) <math>\ | \beta | = | \delta | =90 </math> / Supplementaxiom, Vor.
9) <math>\ | \delta | =\angle PBM = 90 </math> / (7), (8)
10) BC- kongruent zu BP'+ / (9),Winkelkonstruktionsaxiom
11) P ist Element von BC / (10)

12) Analog lässt sich zeigen, dass P Element von AB

13) AC kongruent zu BC / (11), (12), Axiom I.1
14) koll(ABC) / 13), Def. koll -> Widerspruch zur Vorrausetzung

--[[Benutzer:Flobold|Flobold]] 13:56, 15. Jan. 2012 (CET) 
@Flobold, kannst du bitte mal mit Worten erklären, warum du den schwachen Außenwinkelsatz nochmal vollständig beweist? 
Mir ist auch nicht --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 08:01, 16. Jan. 2012 (CET)klar, wo du die Annahme verwendest. 

Vor.: Dreiek ABC 
Beh.: Dreick ABC hat mindestens zweii spitze innenwinkel 
Ann.: o.B.d.A. <math>\left| \beta \right| < 90 \wedge \left| \alpha \right| < 90</math> 
Beweis:

{| class="wikitable sortable"
!Schritt!!Begründung
|-
| (1) <math>\left| \beta \right| > 90</math> || Annahme
|-
| (2) <math>\exists \beta' : ist Nebenwikel von \beta </math> ||
|-
| (3) <math>\left| \beta' \right| < 90</math> || (2),(1) Nebenweikel sind sublimäntär
|-
| (4) <math>\left| \alpha \right| < \left| \beta' \right| \lightning</math> zur Vorr q.e.d.|| Schwacher Ausenwinkelsatz, <math>\left| \beta' \right|</math> ist Außenwikel, <math>\left| \alpha \right|</math> ist nicht anliegender Innenwinkel. (3)
|}--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:06, 16. Jan. 2012 (CET)Muss heißen größer gleich und nicht nur größer --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 20:20, 17. Jan. 2012 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Problem der Woche 12 (WS 11/12)

2012-01-17T19:12:38Z

RicRic:

'''Entdecken Sie den Fehler:''' 
Beweis dafür, dass alle Winkel das Maß 90 haben: 
Vor.: Viereck <math>\overline{ABCD}</math> mit <math>\left|\angle BCD \right| = 90</math>; <math>\left|\angle ADC \right|\neq 90</math> und <math>\overline{BC} =\overline{AD}</math>. 
[[Bild:Viereck.jpg]]

Beh.: <math>\left|\angle ADC \right|= 90</math>

Beweis:
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) <math>\ m_1</math> und <math>\ m_2</math> sind Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{CD}</math> || Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten
|-
| (2) <math>\ m_1\cap m_2 = \lbrace M \rbrace</math> || Genau ein Schnittpunkt von zwei nicht identischen und nicht parallelen Geraden
|-
| (3) <math>\overline{AM}\tilde {=}\overline{BM}</math> || (1), (2), Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| (4) <math>\overline{CM}\tilde {=}\overline{DM}</math> || (1), (2), Mittelsenkrechtenkriterium
|-
| (5) <math>\overline{AMD} \tilde {=} \overline{BMC} </math> || Vor., (3), (4), sss-Kongruenzsatz
|-
| (6) <math>\left|\angle BCM \right|=\left|\angle ADM \right|</math> || (5)
|-
| (7) <math>\left|\angle MCD \right|=\left|\angle MDC \right|</math> || Basiswinkelsatz
|-
| (8) <math>\left|\angle MCD \right|+\left|\angle BCM \right|=\left|\angle BCD \right|=\left|\angle MDC \right|+\left|\angle ADM \right|=\left|\angle ADC \right|=90</math> || (6), (7), Winkeladditionsaxiom, Rechnen in R

|-
|} 
Erst mal wird etwas behaupet was bereis in der Vorraussetung negiert ist. Vorr.:<math>\left|\angle ADC \right|\neq 90</math>; Beh.:<math>\left|\angle ADC \right|= 90</math>. Wie soll dies Möglich sein es entsteht direkt ein Wiederspruch zu Vorr.
Wenn ich die Figur berachte denke ich nicht, dass die Mittelsenkrechten sich in der Figur schneiden, somit entstehen die Dreiecke nicht wie in der Abbildung, sondern eher so<--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:31, 12. Jan. 2012 (CET):
<ggb_applet width="1600" height="760" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />

Ich denke so sollte die Vor. und Beh. für den Beweis aussehen

Vor.: Viereck <math>\overline{ABCD}</math> mit <math>\left|\angle BCD \right| = 90</math> und <math>\overline{BC} =\overline{AD}</math>. 

Behauptung: <math>\left|\angle ADC \right|\neq 90</math> 

Zugegeben, dass mit der Voraussetzung und der Behauptung ist etwas ungewöhnlich, aber der Fehler muss ja irgendwo im Beweis liegen. Auch wenn ''M'' so liegt, wie in Ihrem Applet angegeben, wären die beiden Winkel <math>\angle BCD </math> und <math>\angle ADC </math> kongruent zueinander und hätten damit das Maß 90. Es wären nämlich weiterhin die beiden Dreiecke <math>\overline{AMD}</math> und <math>\overline{BMC} </math> kongruent zueinander, also gilt: <math>\left|\angle BCM \right|=\left|\angle ADM \right|</math>. Wegen des Basiswinkelsatzes gilt außerdem weiterhin: <math>\left|\angle MCD \right|=\left|\angle MDC \right|</math> und daraus folgt die Behauptung. Also, ganz so einfach ist es nicht, aber Sie sind auf der richtigen Spur!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 17:19, 15. Jan. 2012 (CET) 

Okay der Fehler liegt darin dass mein Applet immernoch nicht richtig war, es mus so aussehen: 
[[Bild:A12.png]] 
Die Dreiecke sind konguent, aber die Winkel nicht.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 20:12, 17. Jan. 2012 (CET)
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Datei:A12.png

2012-01-17T19:09:46Z

RicRic: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber =
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}

Lösung von Aufg. 12.6 WS 11/12

2012-01-16T20:06:18Z

RicRic:

Dreieckskongruenz WS 11/12

2012-01-16T19:50:03Z

RicRic: /* Beweisidee I */

Lösung von Aufg. 12.2 WS 11/12

2012-01-16T07:05:57Z

RicRic:

Beweisen Sie Satz VII.6 b

::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.

 
Vor: <math>P \epsilon m</math> ; m ist Mittelsenkrechte der Strecke <math>\left| AB \right|</math>
 Beh: <math>\left| AP \right|= \left| BP \right|</math>
 

1. <math>P \epsilon m</math> --> Vor.
 
2. <math> \ m \perp \ \left| AB \right| </math> und <math>\angle AMP \equiv \angle BMP </math> --> 1, Def Mittelsenkrechte, Def senkrecht, Def rechter Winkel
 
3. <math>\left| AM \right|= \left| BM \right| </math> --> 2, Existenz Mittelpunkt
 
4. <math>\left| PM \right|= \left| PM \right| </math> --> trivial, 1
 
5. Dreiecke <math>\overline{AMP} \equiv \overline{BMP} </math> --> 2,3,4, SWS
 
6. <math>\left| AP \right| = \left| BP \right| </math> --> 5, Def Dreieckskongruenz

 was zu beweisen war. --[[Benutzer:Cmhock|Cmhock]] 13:32, 15. Jan. 2012 (CET) 

Halte ich für richtig, habe ich im Prinzip genauso.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 08:05, 16. Jan. 2012 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]