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Multiplikation von Bruchzahlen, Permanenzprinzip, Permanenzreihen, 09.06.2015

2015-06-09T14:45:26Z

Schieftief: /* Gängige Prinzipien: */

=Permanenzreihen=
==Multiplikation ganzer Zahlen==
Wie muss die Reihe weitergehen? 
# <math>5 \cdot 5 = 25</math>
# <math>5 \cdot 4 = </math>
# <math>5 \cdot 3 = </math>
# <math>5 \cdot 2 = </math>
# <math>5 \cdot 1 = </math>
# <math>5 \cdot 0 = </math>
# <math>5 \cdot(-1)= </math> 
# ...
 
Um den Schülern die Rechenregel ''"minus mal minus gleich plus"'' näher zu bringen,führen wir die oben angefangene Permanenzreihe weiter und lassen die erste 5 kleiner werden.
# <math>5 \cdot (-5) = -25</math>
# <math>4 \cdot (-5) = -20</math>
# <math>3 \cdot (-5) = -15</math>
# <math>2 \cdot (-5) = -10</math>
# <math>1 \cdot (-5) = -5</math>
# <math>0 \cdot (-5) = 0</math>
# <math>(-1)\cdot(-5) = -5</math>
# ... 

Wichtig ist die Zahlbereichserweiterung von den natürlichen Zahlen N zu den positiven rationalen Zahlen Q+.
Wichtig ist außerdem, dass alle Gesetzmäßigkeiten aus N in Q+ auch gelten. --> Permanenzprinzip 

Weiteres Beispiel für eine Permanenzreihe: 
#<math> \frac{8}{1} \cdot \frac{8}{4} = \frac{64}{4}</math>
#<math> \frac{4}{1} \cdot \frac{8}{4} = \frac{32}{2}</math>
#<math> \frac{2}{1} \cdot \frac{8}{4} = \frac{16}{4}</math>
#<math> 1 \cdot \frac{8}{4} = \frac{8}{4}</math>
#<math> \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{4} = \frac{4}{4} = \frac{8}{8} </math>
# ...
Bei 5. ist es mit den <math>\frac{4}{4} = \frac{8}{8}</math> noch etwas ungeschickt. Daher sollte man sich für Schüler gegebenenfalls ein anderes Beispiel überlegen.
 
==Alte Gesetzmäßigkeiten bleiben erhalten (Permanenzprinzip)==
<math>3 \cdot 2 = 6</math>
==1.Beispiel==
<math> \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{1} = \frac{6}{1}</math> 

Schüler könnten hierbei auf die Idee kommen, dass die Rechenregel ''"bei gleichnamigen Brüchen: Nenner beibehalten und Zähler mal Zähler"'' lauten könnte. Dies sollte man die Schüler mithilfe eines weiteren Beispiel, einer Erweiterung des 1.Beispiels, überprüfen lassen. 

Überprüfung:
<math> \frac{6}{2} \cdot \frac{4}{2} = \frac{24}{2} = \frac{12}{1}</math> 

Anhand der Überprüfung lässt sich die Schüleridee verwerfen. Richtig wäre hier das Ergebnis <math> \frac{24}{4} = \frac{6}{1}</math>.
Eine weitere Schüleridee könnte es sein: ''"größerer Nenner beibehalten und Zähler mal Zähler"''. Auch diese Idee lässt sich durch eine Überprüfung mithilfe der erweiterten Beispielaufgabe verwerfen. 

Überprüfung:
<math> \frac{6}{2} \cdot \frac{6}{3} = \frac{36}{3}</math> 

==Gängige Prinzipien: ==
<math> 5 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+\frac{3}{4} = \frac{15}{4}</math>

Wichtig ist hierbei, dass man mit den Schülern nicht mit dem Beispiel <math> \frac{3}{4} \cdot 5 </math> anfängt.

#<math> 5 \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{4}</math>
#<math> \frac{3}{4} \cdot 5 = \frac{15}{4}</math>
1. und 2. sind kommutativ. Aufgrund der Kommutativität der natürlichen Zahlen N sind auch die positiven rationalen Zahlen Q+ kommutativ. 
Da dies im ersten Moment für Schüler sehr schwer zu verstehen ist, und man als Lehrer ungern sagt ''"das ist nun mal so, lernt es auswendig"'', kommt man an diesem Punkt der Mulitiplikation gemeiner Brüchen in den Bereich des Operatorkonzeptes (Von-Ansatz). 
Beispiel:
<math> \frac{3}{4} </math> von <math> 5</math>
Um dies den Schülern näher zu bringen, ist es sinnvoll mit Skizzen (Kuchenblechmodell) zu arbeiten. Siehe Bilder.
[[Datei:Kuchenblechmodell 1.JPG|thumb|Kuchenblechmodell an einem Beispiel]]
 

[[Datei:Kuchenblechmodell 2.JPG|thumb|Kuchenblechmodell an einem Beispiel]]

Datei:Kuchenblechmodell 2.JPG

2015-06-09T14:42:16Z

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Datei:Kuchenblechmodell 1.JPG

2015-06-09T14:42:09Z

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Multiplikation von Bruchzahlen, Permanenzprinzip, Permanenzreihen, 09.06.2015

2015-06-09T14:38:07Z

Schieftief: /* Permanenzreihen */

Lösung von Aufgabe 3.02 SoSe 2013 S

2013-05-07T21:10:09Z

Schieftief: /* Lösung User ... */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=80%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |

==Aufgabe 3.02 SoSe 2013 S==
Die Begriffe Dreieck, Seiten eines Dreiecks, Eckpunkte eines Dreiecks und Innenwinkel eines Dreiecks seien bereits exakt definiert worden.
Definieren Sie mathematisch korrekt die Begriffe:
# ''rechtwinkliges'' Dreieck
# ''Hypotenuse'' eines rechtwinkligen Dreiecks
# ''Katheten'' eines rechtwinkligen Dreiecks

==Lösung User ...==
1.) Es sei ein Dreieck mit den Endpunkten A,B und C. Unter einem rechtwinkligen Dreieck versteht man ein ein Dreieck, dessen eine Seite durch den Mittelpunkt eines Kreises geht und alle Endpunkte auf der Kreislinie liegen. 
2.) Unter einer Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks versteht man die Seite die dem rechten Winkel gegenüberliegt. 
3.) Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind die Seiten, die den rechten Winkel einschließen.--[[Benutzer:Blueberry|Blueberry]] 19:38, 6. Mai 2013 (CEST)
===Bemerkung --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:47, 6. Mai 2013 (CEST)===
# Die Definition eines rechtwinkligen Dreiecks mittels des Thalessatzes (bzw. seiner gleichzeitig wahren Umkehrung) ist ungewöhnlich aber völlig korrekt. (Wozu brauchen Sie eigentlich den ersten Satz in Ihrer Definition? (Es sei ein Dreieck mit den Endpunkten A,B und C.)? Ich glaub den können Sie in Ihrer Definition problemlos streichen.)
# Nach dieser korrekten aber ungewöhnlichen Definition ist nicht unmittelbar klar, dass Ihre rechtwinkligen Dreiecke einen rechten Innenwinkel haben. Dementsprechend schließt sich Ihre Definition des Begriffs Hypotenuse nicht konsistent an Ihre erste Definition des Begriffs rechtwinkliges Dreieck an. Abhilfe könnte eine Definition des Begriffs Hypotenuse mittels des Begriffs Durchmesser schaffen. (Hätten Sie rechtwinkliges Dreieck in der schulüblichen Art und Weise definiert hätten Sie das Hypotenusenproblem so nicht.)
# Das selbe Problem tritt beim Einschließen des rechten Winkels durch die Katheten auf. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:47, 6. Mai 2013 (CEST)

==Lösung User ...==

# Unter einem rechtwinkligen Dreieck versteht man ein Dreieck, bei dem ein Innenwinkel exakt 90o beträgt
# Unter der Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks versteht man die Sehne eines Kreises, auf der der Kreismittelpunkt die Sehne halbiert. Alle Eckpunkte des rechtwinkligen Dreiecks besitzen alle den Radius r zum Kreismittelpunkt.
# Unter der Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks versteht man die Seiten eines Dreiecks, die direkt an den rechten Winkel angrenzen. --[[Benutzer:Schieftief|Schieftief]] 23:10, 7. Mai 2013 (CEST)

==Lösung User ...==

zurück zu [[Serie 3 SoSe 2013]]

|}
</div>
[[Category:Einführung_S]]

Definition der Woche 1 SoSe 2013

2013-04-22T13:33:29Z

Schieftief: /* Lösung von Userin ... */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">

=Definition der Woche für weibliche Studierende=

==Aufgabe==
Der Begriff ''Bier'' (nach dem deutschen Reinheitsgebot) sei bereits definiert. Definieren Sie ''Weißbier''.
==Lösung von Userin ...==
Wenn ein Getränk ein Bier ist und es hell ist, dann ist es ein Weißbier.

--> was ist denn ein Weißbier? ich hab echt keine Ahnung :)

==Lösung von Userin ...==
Weißbier ist ein Bier, dass zusätzlich zu Gerstenmalz mit Weizenmalz hergestellt wird. Gersten- und Weizenmalz ist Malz von der Gerste und dem Weizenkorn. Dieses Malz wird durch die Mälzung, kontrollierter Keimvorgang, von gekeimtem und getrocknetem Getreide ( hier: Gerste und Weizen) hergestellt.

==Lösung von Userin ...==

=Definition der Woche für männliche Studierende=
==Aufgabe==
Der Begriff ''Damenschuh'' sei bereits definiert. Definieren Sie ''Peep Toe''.

==Lösung von User ...==

==Lösung von User ...==

==Lösung von User ...==



</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]