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Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks WS 11/12

2012-01-28T10:16:47Z

Schmarn: /* Satz XV.1b : (Umkehrung von Satz XV.1a) */

== Winkelhalbierenden eines Dreiecks ==
===== Definition XV.1 : (Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
::Unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks versteht man die Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Dreiecks.
===== Satz XV.1a : (Abstand eines Punktes einer Winkelhalbierenden zu den Schenkeln des Winkels) =====
::Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines Winkels hat zu den Schenkeln des Winkels jeweils ein und denselben Abstand.
===== Satz XV.1b : (Umkehrung von Satz XV.1a) =====
(das können Sie selbst:) 

* Jeder Punkt der zu den Schenkeln des Winkels jew. ein und denselben Abstand hat, gehört zur Winkelhablbierenden des Winkels --[[Benutzer:Schmarn|Schmarn]] 11:16, 28. Jan. 2012 (CET)

===== Winkelhalbierendenkriterium=====
(auch das sollten Sie jetzt selbst hinbekommen:) 

===== Satz XV.2 : (Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt.

Beweis von Satz XV.2 mit Hilfe des Winkelhalbierendenkriteriums: Versuchen Sie es selbst: 

== Inkreis eines Dreiecks ==
===== Definition XV.2 : (Tangente an einen Kreis) =====
Eine Gerade <math>\ g</math> berührt den Kreis <math>\ k</math>, wenn sie mit ihm genau einen Punkt <math>\ P</math> gemeinsam hat. Die Gerade <math>\ t</math> heißt Tangente an Kreis <math>\ k</math> im Punkt <math>\ P</math>, wenn <math>\ t</math> und <math>\ k</math> in derselben Ebene liegen und <math>\ t</math> den Kreis <math>\ k</math> im Punkt <math>\ P</math> berührt.

===== Definition XV.3 : (Strecke berührt Kreis) =====
Eine Strecke <math>\overline{AB}</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie... (ergänzen Sie!) 
...Teilmenge einer Tangenten des Kreises k ist. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 13:53, 19. Jan. 2012 (CET) 
da fehlt noch was--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:01, 25. Jan. 2012 (CET)

* ... wenn sie mit k genau einen Punkt gemeinsam hat. --[[Benutzer:Schmarn|Schmarn]] 11:13, 28. Jan. 2012 (CET)

 

===== Definition XV.4 : (Inkreis eines Dreiecks) =====
::Ein Kreis, der alle drei Seiten eines Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt, heißt Inkreis des Dreiecks.

===== Satz XV.3 : (Existenz und Eindeutigkeit des Inkreises) =====
...ergänzen Sie! 

Jedes Dreieck hat genau einen Inkreis. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 13:56, 19. Jan. 2012 (CET)

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks WS 11/12

2012-01-28T10:16:11Z

Schmarn: /* Satz XV.1b : (Umkehrung von Satz XV.1a) */

== Winkelhalbierenden eines Dreiecks ==
===== Definition XV.1 : (Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
::Unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks versteht man die Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Dreiecks.
===== Satz XV.1a : (Abstand eines Punktes einer Winkelhalbierenden zu den Schenkeln des Winkels) =====
::Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines Winkels hat zu den Schenkeln des Winkels jeweils ein und denselben Abstand.
===== Satz XV.1b : (Umkehrung von Satz XV.1a) =====
(das können Sie selbst:) 

* Jeder Punkt der zu dehn Schenkeln des Winkels jew. ein und denselben Abstand hat, gehört zur Winkelhablbierenden des Winkels --[[Benutzer:Schmarn|Schmarn]] 11:16, 28. Jan. 2012 (CET)

===== Winkelhalbierendenkriterium=====
(auch das sollten Sie jetzt selbst hinbekommen:) 

===== Satz XV.2 : (Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt.

Beweis von Satz XV.2 mit Hilfe des Winkelhalbierendenkriteriums: Versuchen Sie es selbst: 

== Inkreis eines Dreiecks ==
===== Definition XV.2 : (Tangente an einen Kreis) =====
Eine Gerade <math>\ g</math> berührt den Kreis <math>\ k</math>, wenn sie mit ihm genau einen Punkt <math>\ P</math> gemeinsam hat. Die Gerade <math>\ t</math> heißt Tangente an Kreis <math>\ k</math> im Punkt <math>\ P</math>, wenn <math>\ t</math> und <math>\ k</math> in derselben Ebene liegen und <math>\ t</math> den Kreis <math>\ k</math> im Punkt <math>\ P</math> berührt.

===== Definition XV.3 : (Strecke berührt Kreis) =====
Eine Strecke <math>\overline{AB}</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie... (ergänzen Sie!) 
...Teilmenge einer Tangenten des Kreises k ist. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 13:53, 19. Jan. 2012 (CET) 
da fehlt noch was--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:01, 25. Jan. 2012 (CET)

* ... wenn sie mit k genau einen Punkt gemeinsam hat. --[[Benutzer:Schmarn|Schmarn]] 11:13, 28. Jan. 2012 (CET)

 

===== Definition XV.4 : (Inkreis eines Dreiecks) =====
::Ein Kreis, der alle drei Seiten eines Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt, heißt Inkreis des Dreiecks.

===== Satz XV.3 : (Existenz und Eindeutigkeit des Inkreises) =====
...ergänzen Sie! 

Jedes Dreieck hat genau einen Inkreis. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 13:56, 19. Jan. 2012 (CET)

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks WS 11/12

2012-01-28T10:15:22Z

Schmarn: /* Satz XV.1b : (Umkehrung von Satz XV.1a) */

== Winkelhalbierenden eines Dreiecks ==
===== Definition XV.1 : (Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
::Unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks versteht man die Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Dreiecks.
===== Satz XV.1a : (Abstand eines Punktes einer Winkelhalbierenden zu den Schenkeln des Winkels) =====
::Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines Winkels hat zu den Schenkeln des Winkels jeweils ein und denselben Abstand.
===== Satz XV.1b : (Umkehrung von Satz XV.1a) =====
(das können Sie selbst:) 

* Jeder Punkt der zu dehn Schenkeln des Winkels jew. ein und denselben Abstand hat, gehört zur Winkelhablbierenden des Winkels

===== Winkelhalbierendenkriterium=====
(auch das sollten Sie jetzt selbst hinbekommen:) 

===== Satz XV.2 : (Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt.

Beweis von Satz XV.2 mit Hilfe des Winkelhalbierendenkriteriums: Versuchen Sie es selbst: 

== Inkreis eines Dreiecks ==
===== Definition XV.2 : (Tangente an einen Kreis) =====
Eine Gerade <math>\ g</math> berührt den Kreis <math>\ k</math>, wenn sie mit ihm genau einen Punkt <math>\ P</math> gemeinsam hat. Die Gerade <math>\ t</math> heißt Tangente an Kreis <math>\ k</math> im Punkt <math>\ P</math>, wenn <math>\ t</math> und <math>\ k</math> in derselben Ebene liegen und <math>\ t</math> den Kreis <math>\ k</math> im Punkt <math>\ P</math> berührt.

===== Definition XV.3 : (Strecke berührt Kreis) =====
Eine Strecke <math>\overline{AB}</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie... (ergänzen Sie!) 
...Teilmenge einer Tangenten des Kreises k ist. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 13:53, 19. Jan. 2012 (CET) 
da fehlt noch was--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:01, 25. Jan. 2012 (CET)

* ... wenn sie mit k genau einen Punkt gemeinsam hat. --[[Benutzer:Schmarn|Schmarn]] 11:13, 28. Jan. 2012 (CET)

 

===== Definition XV.4 : (Inkreis eines Dreiecks) =====
::Ein Kreis, der alle drei Seiten eines Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt, heißt Inkreis des Dreiecks.

===== Satz XV.3 : (Existenz und Eindeutigkeit des Inkreises) =====
...ergänzen Sie! 

Jedes Dreieck hat genau einen Inkreis. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 13:56, 19. Jan. 2012 (CET)

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks WS 11/12

2012-01-28T10:13:06Z

Schmarn:

== Winkelhalbierenden eines Dreiecks ==
===== Definition XV.1 : (Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
::Unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks versteht man die Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Dreiecks.
===== Satz XV.1a : (Abstand eines Punktes einer Winkelhalbierenden zu den Schenkeln des Winkels) =====
::Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines Winkels hat zu den Schenkeln des Winkels jeweils ein und denselben Abstand.
===== Satz XV.1b : (Umkehrung von Satz XV.1a) =====
(das können Sie selbst:) 

===== Winkelhalbierendenkriterium=====
(auch das sollten Sie jetzt selbst hinbekommen:) 

===== Satz XV.2 : (Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt.

Beweis von Satz XV.2 mit Hilfe des Winkelhalbierendenkriteriums: Versuchen Sie es selbst: 

== Inkreis eines Dreiecks ==
===== Definition XV.2 : (Tangente an einen Kreis) =====
Eine Gerade <math>\ g</math> berührt den Kreis <math>\ k</math>, wenn sie mit ihm genau einen Punkt <math>\ P</math> gemeinsam hat. Die Gerade <math>\ t</math> heißt Tangente an Kreis <math>\ k</math> im Punkt <math>\ P</math>, wenn <math>\ t</math> und <math>\ k</math> in derselben Ebene liegen und <math>\ t</math> den Kreis <math>\ k</math> im Punkt <math>\ P</math> berührt.

===== Definition XV.3 : (Strecke berührt Kreis) =====
Eine Strecke <math>\overline{AB}</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie... (ergänzen Sie!) 
...Teilmenge einer Tangenten des Kreises k ist. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 13:53, 19. Jan. 2012 (CET) 
da fehlt noch was--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:01, 25. Jan. 2012 (CET)

* ... wenn sie mit k genau einen Punkt gemeinsam hat. --[[Benutzer:Schmarn|Schmarn]] 11:13, 28. Jan. 2012 (CET)

 

===== Definition XV.4 : (Inkreis eines Dreiecks) =====
::Ein Kreis, der alle drei Seiten eines Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt, heißt Inkreis des Dreiecks.

===== Satz XV.3 : (Existenz und Eindeutigkeit des Inkreises) =====
...ergänzen Sie! 

Jedes Dreieck hat genau einen Inkreis. --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 13:56, 19. Jan. 2012 (CET)

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 12.2

2012-01-12T21:03:35Z

Schmarn:

== Aufgabenstellung ==
Beweisen Sie: 
[[Der_schwache_Außenwinkelsatz| Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz]] 
::In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel.

== Lösung 1 ==
Definition spitzer Winkel: Ein spitzer Winkel ist kleiner als ein rechter Winkel. Definition korrekt? (Diskussion)
 Voraussetzung: Dreieck <math>\overline {ABC}</math>
 Behauptung:
 Der Einfachheit halber werden die Winkel mit <math>\alpha \ \beta \ \gamma</math> bezeichnet, die jeweiligen Außenwinkel sind dann <math>\alpha' \ \beta' \ \gamma'</math>. Es gilt entweder....
::(1) <math>|\alpha| \ < 90 \land |\beta| \ < 90</math>
::oder (2) <math>|\beta| \ < 90 \land |\gamma| \ < 90</math>
::oder (3) <math>|\alpha| \ < 90 \land |\gamma| \ < 90</math>
 Indirekter Beweis.
 Annahme: Es gilt entweder....
::(1) <math>|\alpha| \ \ge 90 \land |\beta| \ \ge 90</math>
::oder (2) <math>|\beta| \ \ge 90 \land |\gamma| \ \ge 90</math>
::oder (3) <math>|\alpha| \ \ge 90 \land |\gamma| \ \ge 90</math>
Anmerkung: Man muss natürlich aus <math>\ < </math>in der Behauptung <math>\ \ge</math> in der Annahme machen, denn spitze Winkel sind KLEINER ALS rechte Winkel. Rechte Winkel selbst zählen somit nicht zur möglichen Menge der spitzen Winkel. In der zu widerlegenden Annahme geht man somit von allen möglichen Fällen aus, also auch von dem Fall, dass zwei rechte Winkel in einem Dreieck möglich sind. Somit ist eine Umformulierung des Korollars: "In jedem Dreieck gibt es höchstens einen rechten Winkel." Dies wird durch den Beweis gleich mit bewiesen! (Oder doch nicht? --> Diskussion)
 [[Bild:Skizze_Übung_12_2.png]]
{| class="wikitable "
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Es gilt: <math>|\alpha| \ < |\beta'|</math> und <math>|\gamma| \ < |\beta'|</math>
| schwacher Außenwinkelsatz
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>|\beta| \ + |\beta'| = 180</math>
| Axiom IV.4: (Supplementaxiom): Nebenwinkel sind supplementär.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\ |\beta'| = 180 - |\beta|</math>
| (II) Algebraische Umformung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>|\alpha| \ < 180 - |\beta|</math> und <math>|\gamma| \ < 180 - |\beta|</math>
| (I), (III)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>|\alpha| + |\beta|\ < 180 </math> und <math>|\gamma| + |\beta| \ < 180</math>
| (IV) Algebraische Umformung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| Wenn <math>|\alpha| + |\beta|\ < 180 </math> gilt, muss (1) <math>|\alpha| \ \ge 90</math> und <math>|\beta| \ \ge 90</math> verworfen werden.
| Annahme, (V)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| Wenn <math>|\gamma| + |\beta| \ < 180</math> gilt, muss (2) <math>|\beta| \ \ge 90</math> und <math>|\gamma| \ \ge 90</math> verworfen werden.
| Annahme, (V)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VIII)
| Es gilt: <math>|\beta| \ < |\alpha'|</math> und <math>|\gamma| \ < |\alpha'|</math>
| schwacher Außenwinkelsatz
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IX)
| Wenn <math>|\alpha| + |\gamma| \ < 180</math> gilt, muss (3) <math>|\alpha| \ \ge 90</math> und <math>|\gamma| \ \ge 90</math> verworfen werden.
| Beweis zusammengefasst, analog zu Schritte (I) bis (VII)
|}
 Annahme muss verworfen werden.
 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 21:48, 11. Jul. 2010 (UTC)

Versuch:

Voraussetzung: Es sei ein Dreierck <math>\overline {ABC}</math> 
Behauptung: es seien mindesten zwei Innenwinkel spitze Winkel 

Annahme: es sei höchsten ein Winkel ein spitzer Winkel 

alpha < 90 nach Definition Spitzer Winkel
somit sind beta und gamma beide größer gleich 90 (Maß) nach Annahme

so bleiben für schwachen Winkelsatz die Möglichkeiten:

beta + beta' aus dem folgt entweder ist beta > bata' oder |beta = beta'
analog gilt das auch für gamma nach Komplementäraxiom Nebenwinkel.

zu müsste es doch zum Widerspruch kommen oder??? nach schwachen Außenwinkelsatz?????

* Kann man das nicht einfach über die Winkelsumme im Dreieck beweisen, oder darf man das hier nicht? --[[Benutzer:Schmarn|Schmarn]] 22:03, 12. Jan. 2012 (CET)

Lösung von Aufg. 9.5 (WS 11/12)

2011-12-14T09:54:30Z

Schmarn:

a) Definieren Sie den Begriff: "Konkave Punktmenge" ohne den Begriff "konvex" zu gebrauchen. 

b) Begründen Sie, dass der Schnitt einer offenen Halbebene ''E'' mit einer Halbgeraden, die zwei Punkte mit ''E'' gemeinsam hat, auf jeden Fall eine konvexe Punktmenge ist. 

c) Zeigen Sie an einem Beispiel, dass die Vereinigungsmenge des Inneren zweier Drachenvierecke, die keine Rauten sind, konkav sein kann. 

a. Eine Konkave Punktmenge ist eine Menge von Punkten für die gilt, dass beim Verbinden aller Punkte mit allen Punkten, sich auf irgendeiner dieser durch das Verbinden erhaltenen Strecken, sich wenigstens ein Punkt findet, welcher nicht zu der Punktmenge gehört.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 18:21, 6. Dez. 2011 (CET) 
Ich versuche es mal formal: Eine Menge M von Punkten heißt konkav wenn: <math>\forall P, Q \in M: \exists S\in \overline{PQ} \ \Rightarrow S\not\in M</math> --[[Benutzer:Todah raba|Todah raba]] 17:37, 7. Dez. 2011 (CET) 
Gute Idee, aber ich denke an einer Stelle ist ein kleiner Fehler, ich denke es muss heißen:<math>\forall P, Q \in M: \exists S\in \overline{PQ} \ \wedge S\not\in M</math>--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:55, 8. Dez. 2011 (CET)
: Mmh.... muss das denn wirklich <math>\forall P, Q \in M</math> gelten? --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 13:27, 10. Dez. 2011 (CET)
 
<math>P, Q \in M: \exists S\in \overline{PQ} \ \wedge S\not\in M</math>Stimmt es reicht ja wenn in Punkt sich irgendwo außerhalb findet--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 16:03, 11. Dez. 2011 (CET) 
b. Wenn von einer Halbgeraden nur zwei Punke in der offnen Halbebenen liegen, dann bedeutet dies, dass der Ursprungspunkt und ein weiterer Punkt nähmlich der neben dem Ursprungspunkt in dieser offenen Halbebenen liegen. Der nächste also der dritte Punkt der Halbgeraden liegt dann bereits auf Geraden welche die Halbebene erzeugt. Schneide ich jetzt die offene Halbebene mit diesem Strahl erhalte die Punktmenge von zwei Punkten die nebeneinander liegen. Zwei Punkte die nebeneinander liegen haben keinen Punkt zwischen sich und sind somit immer konvex. Wären mehr Punkte in der Schnittmenge, wäre die Vorraussetzung verletzt, zwei Punkte die nicht nebeneinander liegen kommen auf Grund der Def. von der Halbgeraden nicht in Frage. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 22:01, 8. Dez. 2011 (CET)
: Ein Hinweis: In der Aufgabenstellung steht, dass sie zwei Punkte gemeinsam haben - nicht ''genau'' zwei. --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 13:30, 10. Dez. 2011 (CET)

c.
<ggb_applet width="784" height="484" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 22:16, 8. Dez. 2011 (CET)

* b) hätte ich anders begründet.Der Ursprungspunkt der Geraden muss ja nicht unbedingt in der Halbebene liegen. Wir haben ja das Inzidenzaxiom I/5, welches besagt, dass wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, g zu E gehört.
Wir haben es hier allerdings mit einer Halbgeraden und einer offenen Halbebene zu tun, anschaulich ist das aber ganz ähnlich. Zwischen zwei beliebigen Punkten, die in der Schnittmenge enthalten sind, gibt es demnach keine Punkte, die außerhalb der Ebene liegen. Der Ursprungspunkt könnte jedoch trotzdem außerhalb der Halbebene liegen.--[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 13:12, 10. Dez. 2011 (CET)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

* a) es seien zwei verschieden Punkte A und B Element der Punktmenge M.
Wenn die Stecke AB nich vollständig in M liegt, so ist M eine konkave Punktmenge. --[[Benutzer:Schmarn|Schmarn]] 10:54, 14. Dez. 2011 (CET)

Lösung von Aufg. 9.2 (WS 11/12)

2011-12-14T09:49:42Z

Schmarn:

Definieren Sie den Begriff Strahl <math>\ AB^{+}</math>. Verwenden Sie dabei den Begriff Strecke. 

<math>\ AB^{+} := \overline{AB} \ \cup \ \{P| Zw (A, B, P)\}</math> --[[Benutzer:Todah raba|Todah raba]] 16:29, 7. Dez. 2011 (CET)
 
<math> AB^{+} := \overline{AB} \ \cup \ \{\overline{BP}| Zw (A, B, P)\}</math>--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 21:50, 8. Dez. 2011 (CET)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

: Eine dieser beiden Lösungsvorschläge stimmt nicht - aber welcher und warum nicht? --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 12:38, 10. Dez. 2011 (CET)

Bei der Definition von RicRic werden zwei Strecken vereinigt, die beide endlich sind. Das müsste falsch sein, da der Strahl AB^{+} in eine Richtung unendlich ist.
Wäre es auch möglich die Definition in einem Satz zu schreiben ? Mathenerds 12:27, 11. Dez. 2011 (CET)
 
Ja Strecken sind schon endlich, aber meine Überlegung ist, dass bei der zweiten Strecke P eine Varialbe ist die irgendwo nach <math>\overline{AB}</math> sich befindet, also auch in der Unendlichkeit.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 16:16, 11. Dez. 2011 (CET)

- Es seien zwie verschiedene Punkte A und B und g die Gerade durch A und B
AB+ ist die Steck AB und alle Punkte P für die gilt P ist Element von g und P ist nicht Element von AB. --[[Benutzer:Schmarn|Schmarn]] 10:49, 14. Dez. 2011 (CET)

Lösung von Aufgabe 2.4 (WS 11/12)

2011-10-24T21:22:37Z

Schmarn:

Ein Tangentenviereck ist das, was der Begriff suggeriert. Definieren Sie den Begriff ''Tangentenviereck'' 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

* Ein Viereck mit einem Inkreis nennt man Tangentenviereck. --[[Benutzer:Todah raba|Todah raba]] 17:12, 20. Okt. 2011 (CEST)

* Ein Tangentenviereck, ist ein Viereck bei dem jede Seite des Vierecks ein Tangente zu einem Innenkreis ist. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]]
** Die Verwendung des Artikels "einem" wirft Fragen auf: Können die Seiten jeweils Tagenten zu unterschiedlichen Inkreisen (anderer Vierecke) sein? --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 20:32, 24. Okt. 2011 (CEST)
* Wenn die Seiten eines Vierecks Tangenten eines Kreises sind, dann ist es ein Tangentenviereck. --[[Benutzer:Schmarn|Schmarn]] 23:22, 24. Okt. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 2.7 (WS 11/12)

2011-10-24T21:20:25Z

Schmarn:

Geben Sie eine exakte Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden. 

Die Winkelhalbierende, ist die Gerade, welche bei einer geometrischen Figur einen Eckpunkt so schneidet, dass der Winkel der beiden Strecken welche diesen Eckpunkt dieser Figur bilden, in zwei gleich große Winkel geteilt wird. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 
: Ist die Winkelhalbierende eine Gerade oder, wie unten beschrieben, eine Halbgerade? Und sind die Schenkel eines Winkels Strecken, Geraden oder Halbgeraden? Es ist wichtig, dass man hier die richtigen Bezeichnungen verwendet und klar unterscheidet.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 17:47, 23. Okt. 2011 (CEST)

Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade, die durch den Scheitelpunkt eines Winkels verläuft und das Winkelfeld in zwei kongruente Teile teilt. --[[Benutzer:CaroDa|CaroDa]] 12:36, 23. Okt. 2011 (CEST) 
: Was ist ein Winkelfeld? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 17:47, 23. Okt. 2011 (CEST)
** Ähm, also, ich glaub, das was zwischen dem ersten und zweiten Schenkeln entgegen des Uhrzeigersinns liegt ist ein Winkelfeld. Oder so ähnlich... --[[Benutzer:Schmarn|Schmarn]] 23:20, 24. Okt. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Wenn eine Halbgerade SP+ den Scheitelpunkt S eines Winkels <math>\angle ASB</math> schneidet und es gilt <math>\angle ASP</math> = <math>\angle PSB</math>, dann ist SP+ eine Winkelhalbierende.--[[Benutzer:Lindi 88|Lindi 88]] 19:43, 24. Okt. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 2.7 (WS 11/12)

2011-10-24T21:19:38Z

Schmarn:

Geben Sie eine exakte Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden. 

Die Winkelhalbierende, ist die Gerade, welche bei einer geometrischen Figur einen Eckpunkt so schneidet, dass der Winkel der beiden Strecken welche diesen Eckpunkt dieser Figur bilden, in zwei gleich große Winkel geteilt wird. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 
: Ist die Winkelhalbierende eine Gerade oder, wie unten beschrieben, eine Halbgerade? Und sind die Schenkel eines Winkels Strecken, Geraden oder Halbgeraden? Es ist wichtig, dass man hier die richtigen Bezeichnungen verwendet und klar unterscheidet.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 17:47, 23. Okt. 2011 (CEST)

Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade, die durch den Scheitelpunkt eines Winkels verläuft und das Winkelfeld in zwei kongruente Teile teilt. --[[Benutzer:CaroDa|CaroDa]] 12:36, 23. Okt. 2011 (CEST) 
: Was ist ein Winkelfeld? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 17:47, 23. Okt. 2011 (CEST)
** Ähm, also, ich glaub, das was zwischen dem ersten und zweiten Schenkeln entgegen des Uhrzeigersinns liegt ist ein Winkelfeld. Oder so ähnlich...
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Wenn eine Halbgerade SP+ den Scheitelpunkt S eines Winkels <math>\angle ASB</math> schneidet und es gilt <math>\angle ASP</math> = <math>\angle PSB</math>, dann ist SP+ eine Winkelhalbierende.--[[Benutzer:Lindi 88|Lindi 88]] 19:43, 24. Okt. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 2.4 (WS 11/12)

2011-10-24T20:58:53Z

Schmarn:

Lösung von Aufgabe 1.2 (WS 11 12)

2011-10-24T20:46:13Z

Schmarn:

Definieren Sie die folgenden Begriffe mathematisch korrekt: 
Viereck, Trapez, Parallelogramm, Drachen, Raute, Rechteck, Quadrat

Viereck: Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4.

'''Trapez''': Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei zueinander parallelen Seiten. --[[Benutzer:Schambes|Schambes]] 23:06, 17. Okt. 2011 (CEST)
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Raute: Wenn ein Viereck vier gleich lange Seiten hat, dann ist es eine Raute.
Eine Raute ist ein Viereck, bei dem beide Diagonalen Symetrieachsen sind.--Tee 14:29, 23. Okt. 2011 (CEST)

Wäre die folgende Defintion auch richtig, wenn Parallelogramm definiert wäre?
Ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten ist eine Raute. 

Ich denke, dass deine Definition unter der Vorraussetzung, dass wir Parallelogramm bereits definiert haben, richtig ist ;) --[[Benutzer:Schambes|Schambes]] 19:26, 18. Okt. 2011 (CEST) 
Enthält diese Denfinition auch nur die nötigen Angaben, damit sie eindeutig ist? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:05, 23. Okt. 2011 (CEST) 

'''Parallelogramm''': Ein Viereck, dessen gegenüberliegenede Seiten jeweils parallel sind, heißt Parallelogramm. 
'''Drachen''': Ein Viereck mit zwei paar gleichlangen, benachbarten Seiten, heißt Drachen. 
*Kann man Drache nicht auch so definieren: Ein Viereck dessen Diagonalen (Strecke zwischen zwei gegenüberliegenden Ecken) sich im rechten Winkel schneiden heißt Drache. ?--[[Benutzer:Flobold|Flobold]] 10:27, 23. Okt. 2011 (CEST) Gute Idee--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:05, 23. Okt. 2011 (CEST)
'''Raute''': Ein Drachen mit drei kongruenten Seiten, heißt Raute. 
'''Rechteck''': Wenn ein Parallelogramm einen rechten Innenwinkel besitzt, dann heißt es Rechteck. 
'''Quadrat''': Eine Raute mit einem rechten Innenwinkel, heißt Quadrat.
Ein Rechteck mit drei kongruenten Seiten, heißt Quadrat. --[[Benutzer:Schambes|Schambes]] 19:26, 18. Okt. 2011 (CEST) 
* So auch in Ordnung?: Ein Quadrat ist ein Viereck mit vier gleichlangen Seiten und einem rechten Innenwinkel.
--> oder muss dafür Viereck erst definiert sein? --[[Benutzer:Schmarn|Schmarn]] 18:30, 23. Okt. 2011 (CEST)

* Wäre diese Definiton für "Rechteck" so in Ordnung: Ein Rechteck ist ein Viereck, bei dem jew. die gegenüberliegenden Seiten gleichlang und parallel sind.
Oder ist hier eine Information überflüssig? --[[Benutzer:Schmarn|Schmarn]] 18:30, 23. Okt. 2011 (CEST) 
** Ja, diese Definition ist noch nicht ganz richtig. Vorschläge:--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:05, 23. Okt. 2011 (CEST)
*** Vllt so besser: Ein Viereck mit jew. zwei gleichlangen, gegenüberliegenden Seitenpaaren und einem rechten Innenwinkel ist ein Rechteck. (?!) --[[Benutzer:Schmarn|Schmarn]] 22:46, 24. Okt. 2011 (CEST)

* Ist eine Fläche die aus vier Ecken besteht, welche nicht nur mit Geraden verbunden sind auch ein Viereck? --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 

* Wie meinst du das, welche nicht nur mit Geraden verbunden sind? --[[Benutzer:Schambes|Schambes]] 22:08, 19. Okt. 2011 (CEST) 
* Na ja, wenn zwei Punkte mit einem Bogen verbunden sind, oder mit einem Halbkreis und dennoch Vier Ecken vorhanden sind --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 
** Gute Frage! Was ist eigentlich ein Viereck? Was ist eigentlich ein n-Eck? --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 01:19, 21. Okt. 2011 (CEST)
*** Diese Frage habe ich mir auch schon gestellt. Eigentlich muss man zuerst definieren, was ein n-Eck ist, was gar nicht so leicht ist. Ich bin davon ausgegangen jetzt, dass wir wissen, was ein n-Eck ist.
@ RicRic: diese Vierecke gibt es auch würde ich behaupten, denn wer weiß schon, was eine Gerade ist ;) --[[Benutzer:Schambes|Schambes]] 11:33, 21. Okt. 2011 (CEST)
die Frage nach der Definition Viereck ist äußerst sinnvoll und wichtig. Die Def. N-Eck haben wir ja in der Übung 1.1 schon kennengelernt aber auch hier wird ja auf den Begriff Viereck zurückgegriffen. Was ist also ein Viereck? Versuchen Sie hier doch mal eine Defition für das Viereck zu formulieren.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:29, 23. Okt. 2011 (CEST)

'''Viereck:''' ein Viereck ist ein schlichter, zusammenhängender, planarer Graph mit 4 Ecken und 4 Kanten. Aber dann gibt es wieder das Problem: was is ein Graph...

* Also wenn ich jetzt definiere: Ein Viereck ist eine Geometrische Form mit vier Eckpunkten, welche durch Geraden zu dieser Form verbunden sind. (in diesem Fall fällt das Viereck mit dem Halbkreis raus und somit kein Viereck)--[[Benutzer:RicRic|RicRic]]
* Genauso kann ich definieren: Ein Viereck ist jede Geometische Form die vier Eckpunkte hat. (In diesem Fall ist das Teil drin!)--[[Benutzer:RicRic|RicRic]]
** Welches ist jetzt die richtige Definition? --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 
** Was ist eine geometrische Form? Ist bei einem Viereck die ganze Fläche gemeint oder nur die "Umrandung"?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 21:22, 23. Okt. 2011 (CEST) 

* @ RicRic: kann man von Geraden sprechen die die Ecken verbinden...oder nicht eher Strecken? Und es ist ja nicht gesagt das es eine "geschloßene" Form sein muss...

Lösung von Aufgabe 2.2 (WS 11/12)

2011-10-24T20:40:54Z

Schmarn:

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 

=== Antworten ===

1. 
2. Eine Raute ist ein Viereck, bei dem die Diagonalen die Symmetrieachsen sind. --[[Benutzer:Cmhock|Cmhock]] 09:59, 20. Okt. 2011 (CEST) 
* Vorsicht mit dem bestimmten Artikel! ''Eine Raute ist ein Viereck, bei dem die Diagonalen die Symmetrieachsen sind.'' Ein Quadrat ist eine Raute. In jedem Quadrat sind die Mittelsenkrechten der Seiten auch Symmetrieachsen des jeweiligen Quadrates. Die Geraden, auf denen die Diagonalen liegen, sind natürlich auch Symmetrieachsen des Quadrates. Sind sie aber '''die''' Symmetrieachsen? --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:48, 20. Okt. 2011 (CEST)
Wurde nicht aber in der letzten Übung angenommen, dass ein Rechteck auch ein Parallelogramm ist? Ist dann nicht auch ein Quadrat eine bestimmte Form der Raute? Wäre die Definition dann richtig, wenn der bestimmte Artikel weggelassen wird? Also: ..bei dem die Diagonalen Symmetrieachsen sind?--[[Benutzer:Cmhock|Cmhock]] 12:00, 21. Okt. 2011 (CEST)

3. Eine Raute ist ein Drache mit vier zueinander kongruenten Seiten. --[[Benutzer:Cmhock|Cmhock]] 09:59, 20. Okt. 2011 (CEST) 
: Hier haben Sie allerdings einen Oberbegriff verwendet - laut Aufgabenstellung sollen Sie dies hier aber vermeiden! ;-) --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 01:40, 21. Okt. 2011 (CEST) 
: Ich glaube die Antwort ist schon richtig, aber sie ist wohl durch meine Formatierung etwas verrutscht. Sollte jetzt aber wieder passen. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 07:46, 21. Okt. 2011 (CEST)
Eine Raute ist ein Drache, bei welchem die gegenüber liegenden Seiten gleich lang sind. --[[Benutzer:CaroDa|CaroDa]] 12:09, 23. Okt. 2011 (CEST)
4.

1. Raute und Drachenviereck --[[Benutzer:RicRic|RicRic]]

2. Eine Raute ist ein Viereck bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander, sich einander halbieren und Symmetrieachsen sind. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]]
* Ich glaube, dass man den Teil mit "Symmetrieachsen" weglassen kann, da schon das Vohergehende ausreicht um die Raute zu beschreiben.

3a. Eine Raute ist ein Viereck bei dem die jeweils gegenüberliegenden Strecken parallel sind. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 
: Hier ein Beispiel dafür, dass diese Definition nicht ganz passt. Und noch ein Hinweis: Strecken sind nicht parallel, sondern nur die Geraden, die durch diese Strecken bestimmt werden.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 17:22, 23. Okt. 2011 (CEST) 
<ggb_applet width="377" height="201" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

3b. Eine Raute ist ein Viereck bei dem gegenüberliegende Winkel gleich groß sind und die nebeneinander liegenden Winkel sich zu 180 Grad ergänzen. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 
: Diese Definition ist auch nicht ganz korrekt. Die Figur oben zeigt, dass diese Bedingung nicht ausreicht, um eine Raute zu definieren.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 17:25, 23. Okt. 2011 (CEST)

4. Drachenviereck; Bei einem Drachenviereck ist ein Viereck bei dem eine Diagonale die Symmetrieachse bildet.
Quadrate sind Teilmengen von Drachenvierecken; Rechtecke sind Teilmengen von Drachenvierecken; Rauten sind Teilmengen von Drachenvierecken; Drachenvierecke sind eine Teilmenge der aller Vierecke --[[Benutzer:RicRic|RicRic]]

* Wenn ich also zu 3a und 3b jeweils noch ergänse, ... und vier gleich Lange Seiten haben. Die Worte Stecken durch Geraden ersetze, ist es dann korrekt, oder habe ich dann schon zu viel angegeben? --[[Benutzer:RicRic|RicRic]]

[[Category:Einführung_Geometrie]]
*Wäre diese Def. für Drachenviereck so korrekt: Ein Drachenviereck ist ein Viereck bei dem jew. zwei benachbarte Seitenpaare gleichlang sind. --[[Benutzer:Schmarn|Schmarn]] 22:40, 24. Okt. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 1.3 (WS 11 12)

2011-10-23T18:05:16Z

Schmarn:

Am 03. Febr. 2003 wurde in der Quiz-Sendung "Wer wird Millionär" folgende 16000 €-Frage gestellt: 
'''Jedes Rechteck ist ein ...''' 
Mit folgenden Auswahlantworten: '''Rhombus (Raute), Quadrat, Trapez, Parallelogramm''' 
Nehmen Sie Stellung!

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm.
Weil das Rechteck ein spezielles Parallelogramm ist, da es zu den je zwei paralleln Seiten noch vier rechte Winkel hat.--[[Benutzer:Lindi 88|Lindi 88]] 17:05, 18. Okt. 2011 (CEST)

Ganz genau :) wobei ich sagen würde, dass das Rechteck ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel ist, da sich die restlichen rechten Winkel automatisch ergeben. --[[Benutzer:Schambes|Schambes]] 19:28, 18. Okt. 2011 (CEST)

Jedes Rechteck ist aber auch ein Trapez.
Da jedes Parallelogramm aufgrund seiner zwei parallelen Seiten ein spezielles Trapez ist und wie oben schon gesagt jedes Rechteck ja ein Parallelogramm ist. Daher gibt es für diese Aufgabe zwei richtige Antwortmöglichkeiten, was für eine Frage bei "Wer wird Millionär" eher suboptimal ist.--[[Benutzer:Ani309|Ani309]] 22:29, 18. Okt. 2011 (CEST)

Ich dachte eher, dass keine der Antworten richtig ist, da ein Rechteck ja ein bestimmtes Viereck/ Prallelogramm... ist - es muss ja einen rechten Innenwinkel haben, was ein Parallelogramm nicht hat. Oder lieg ich da falsch? --[[Benutzer:Cmhock|Cmhock]] 16:10, 19. Okt. 2011 (CEST)

Denke auch das Parallelogramm richtig ist, ist für ein Trapez nicht auch Voraussetzung, dass zwei Geraden nicht die gleiche Länge haben dürfen? [[Benutzer:RicRic|RicRic]]
: Bei dieser Formulierung muss man vorsichtig sein. Das klingt jetzt vllt. etwas kleinkarriert, aber eine Gerade hat keine Länge. Man müsste hier von Strecke oder Seite sprechen. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:40, 23. Okt. 2011 (CEST)

Nein, soweit ich weiß ist dies keine Voraussetzung. Wir würden ein Rechteck im Alltag nicht als ein Trapez bezeichnen, d.h. aber nicht das es nicht auch ein spezielles Trapez ist. Denn es erfüllt ja die Eigenschaften, die in der Definition eines Trapezes ( " Ein Viereck mit zwei zueinander parallelen Seiten ist ein Trapez." ) gefordert werden. Ein Rechteck besitz auch zwei parallele Seiten, ja es hat noch weitere Eigenschaften, die es wiederum zu einem speziellen Trapez machen.
@ Cmhock: Du sagst ja selber, dass ein Rechteck ein bestimmtes Parallogramm ist, d.h. dass es alle Eigenschaften erfüllt, die in der Definition eines Parallelogrammes für ein Parallelogramm genannt werden und somit ist es nach Definition Parallelogramm auch ein Parallelogramm. Dasselbe lässt sich bezüglich Trapez und Rechteck sagen, weswegen eigentlich beide Antworten richtig seien müssten.--[[Benutzer:Ani309|Ani309]] 16:31, 19. Okt. 2011 (CEST)

Dann ergibt sich also, Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm ; Jedes Parallelogramm ist ein Trapez; Somit muss jedes Rechteck auch ein Trapez sein. [[Benutzer:RicRic|RicRic]]

Ich würde sagen "Parallelogramm" ist richtig. Aus der Definition Rechteck (= Viereck mit drei Rechten Innenwinkeln) ergibt sich ja auch die parallelität der gegenüberliegenden Seiten wie sie bei Parallelogramm gefordert werden. Jedes Rechteck erfüllt also "von Natur aus" diese Eigenschaften.
Die hinreichenden Bedingungen für ein Trapez sind ja nur 2 zueinander parallele Seiten, es gibt also spezielle Trapeze die Rechtecke sind, aber eben nicht jedes Rechteck ist ein Trapez. Genau wie Rauten Rechtecke sein können, aber nicht jede Raute ein Rechteck ist.
--[[Benutzer:Pinky*|Pinky*]] 15:55, 22. Okt. 2011 (CEST) 
* Aber wenn die Aussage lautet: "Jedes Rechteck ist ein Trapez", dann müsste es ja stimmen und somit zwei richtige Antworten geben, ganz gleich, ob es ein spezielles Trapez ist, denn, es ist eins...?! --[[Benutzer:Schmarn|Schmarn]] 19:34, 23. Okt. 2011 (CEST)
--> Auf "welt.de" steht, dass beide Antworten als korrekt gewertet worden wären, sowohl Parallelogramm als auch Trapez.
http://www.welt.de/print-welt/article363872/Zweite_Chance_in_Quiz_Show_Wer_wird_Millionaer.html --[[Benutzer:Schmarn|Schmarn]] 20:05, 23. Okt. 2011 (CEST)
: Was meinen denn die anderen zu dieser Aussage? Rauten können Rechtecke sein... wann ist denn eine Raute ein Rechteck? Die andere Sache ist das mit den Trapzen und den Rechtecken. Es stimmt, dass es spezielle Trapeze gibt, die Rechtecke sind, aber welches Rechteck ist denn kein Trapez? Was kann man zu dem Vergleich von Trapez+Rechteck und Rechteck+Raute sagen? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:48, 23. Okt. 2011 (CEST)

Lösung von Aufgabe 1.3 (WS 11 12)

2011-10-23T17:34:36Z

Schmarn:

Am 03. Febr. 2003 wurde in der Quiz-Sendung "Wer wird Millionär" folgende 16000 €-Frage gestellt: 
'''Jedes Rechteck ist ein ...''' 
Mit folgenden Auswahlantworten: '''Rhombus (Raute), Quadrat, Trapez, Parallelogramm''' 
Nehmen Sie Stellung!

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm.
Weil das Rechteck ein spezielles Parallelogramm ist, da es zu den je zwei paralleln Seiten noch vier rechte Winkel hat.--[[Benutzer:Lindi 88|Lindi 88]] 17:05, 18. Okt. 2011 (CEST)

Ganz genau :) wobei ich sagen würde, dass das Rechteck ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel ist, da sich die restlichen rechten Winkel automatisch ergeben. --[[Benutzer:Schambes|Schambes]] 19:28, 18. Okt. 2011 (CEST)

Jedes Rechteck ist aber auch ein Trapez.
Da jedes Parallelogramm aufgrund seiner zwei parallelen Seiten ein spezielles Trapez ist und wie oben schon gesagt jedes Rechteck ja ein Parallelogramm ist. Daher gibt es für diese Aufgabe zwei richtige Antwortmöglichkeiten, was für eine Frage bei "Wer wird Millionär" eher suboptimal ist.--[[Benutzer:Ani309|Ani309]] 22:29, 18. Okt. 2011 (CEST)

Ich dachte eher, dass keine der Antworten richtig ist, da ein Rechteck ja ein bestimmtes Viereck/ Prallelogramm... ist - es muss ja einen rechten Innenwinkel haben, was ein Parallelogramm nicht hat. Oder lieg ich da falsch? --[[Benutzer:Cmhock|Cmhock]] 16:10, 19. Okt. 2011 (CEST)

Denke auch das Parallelogramm richtig ist, ist für ein Trapez nicht auch Voraussetzung, dass zwei Geraden nicht die gleiche Länge haben dürfen? [[Benutzer:RicRic|RicRic]]
: Bei dieser Formulierung muss man vorsichtig sein. Das klingt jetzt vllt. etwas kleinkarriert, aber eine Gerade hat keine Länge. Man müsste hier von Strecke oder Seite sprechen. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:40, 23. Okt. 2011 (CEST)

Nein, soweit ich weiß ist dies keine Voraussetzung. Wir würden ein Rechteck im Alltag nicht als ein Trapez bezeichnen, d.h. aber nicht das es nicht auch ein spezielles Trapez ist. Denn es erfüllt ja die Eigenschaften, die in der Definition eines Trapezes ( " Ein Viereck mit zwei zueinander parallelen Seiten ist ein Trapez." ) gefordert werden. Ein Rechteck besitz auch zwei parallele Seiten, ja es hat noch weitere Eigenschaften, die es wiederum zu einem speziellen Trapez machen.
@ Cmhock: Du sagst ja selber, dass ein Rechteck ein bestimmtes Parallogramm ist, d.h. dass es alle Eigenschaften erfüllt, die in der Definition eines Parallelogrammes für ein Parallelogramm genannt werden und somit ist es nach Definition Parallelogramm auch ein Parallelogramm. Dasselbe lässt sich bezüglich Trapez und Rechteck sagen, weswegen eigentlich beide Antworten richtig seien müssten.--[[Benutzer:Ani309|Ani309]] 16:31, 19. Okt. 2011 (CEST)

Dann ergibt sich also, Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm ; Jedes Parallelogramm ist ein Trapez; Somit muss jedes Rechteck auch ein Trapez sein. [[Benutzer:RicRic|RicRic]]

Ich würde sagen "Parallelogramm" ist richtig. Aus der Definition Rechteck (= Viereck mit drei Rechten Innenwinkeln) ergibt sich ja auch die parallelität der gegenüberliegenden Seiten wie sie bei Parallelogramm gefordert werden. Jedes Rechteck erfüllt also "von Natur aus" diese Eigenschaften.
Die hinreichenden Bedingungen für ein Trapez sind ja nur 2 zueinander parallele Seiten, es gibt also spezielle Trapeze die Rechtecke sind, aber eben nicht jedes Rechteck ist ein Trapez. Genau wie Rauten Rechtecke sein können, aber nicht jede Raute ein Rechteck ist.
--[[Benutzer:Pinky*|Pinky*]] 15:55, 22. Okt. 2011 (CEST) 
* Aber wenn die Aussage lautet: "Jedes Rechteck ist ein Trapez", dann müsste es ja stimmen und somit zwei richtige Antworten geben, ganz gleich, ob es ein spezielles Trapez ist, denn, es ist eins...?! --[[Benutzer:Schmarn|Schmarn]] 19:34, 23. Okt. 2011 (CEST)
: Was meinen denn die anderen zu dieser Aussage? Rauten können Rechtecke sein... wann ist denn eine Raute ein Rechteck? Die andere Sache ist das mit den Trapzen und den Rechtecken. Es stimmt, dass es spezielle Trapeze gibt, die Rechtecke sind, aber welches Rechteck ist denn kein Trapez? Was kann man zu dem Vergleich von Trapez+Rechteck und Rechteck+Raute sagen? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 15:48, 23. Okt. 2011 (CEST)

Benutzerin:Schmarn

2011-10-23T17:09:12Z

Schmarn:

Habe diesen Zylinder beim Kochen entdeckt:

[[Bild:Zylinder.JPG]]

Das Volumen eines Zylinders:

<math>V = \pi*r^2*h</math> , wobei <math>r</math> der Radius und <math>h</math> die Höhe des Zylinders ist. --[[Benutzer:Schmarn|Schmarn]] 19:09, 23. Okt. 2011 (CEST)

Auftrag der Woche 1 (WS 11/12)

2011-10-23T17:05:37Z

Schmarn:

== Geometrie im Alltag - Kennenlernen des Wikis ==

Im ersten Wochenauftrag sollen Sie den Umgang mit diesem Wiki im Sinne von "Learning by doing" besser kennenlernen. Hierzu haben Sie zwei Aufgaben:

# Spüren Sie Geometrie im Alltag auf und stellen Sie diese als Bild auf ihre eigene Benutzerseite (Diese Benutzerseite können Sie später nutzen um sich z. B. nach und nach ein eigenes individuelles Skript aufzubauen). '''Wichtig: Nehmen Sie keine Bilder aus dem Internet (wegen Urheberrecht). Verwenden Sie nur eigene Fotografien!'''
# Schreiben Sie mit Hilfe des Formeleditors der TEX-Box (Aufruf über das Summenzeichen - oben)eine passende Formel zu ihrem Bild.

=== Anleitung ===

# Gehen Sie mit offenen Augen durch den Alltag. Wo steckt hier Geometrie? Machen Sie ein Foto!
# Melden Sie sich mit Ihrem Pseudonym, das Sie auf dem Fragebogen angegeben haben, im Wiki an.
# Laden Sie das Foto ins Wiki hoch. ([[Dateien hochladen|Anleitung zum Hochladen]])
# Binden Sie das Foto auf Ihre Benutzerseite ein. Gehen Sie hierzu auf Ihre Benutzerseite, indem Sie oben auf Ihren Namen klicken. ([[Bilder einbinden|Anleitung zum Einbinden]])
# Schreiben Sie jetzt noch eine passende Formel mit Hilfe der TEX-Box unter Ihr Bild.
# Tragen Sie Ihre Benutzerseite hier unten unter "Ergebnisse" ein. Orientieren Sie sich dabei an den Eintragungen, die dort bereits existieren.
# Durchstöbern Sie die Ergebnisse der anderen Teilnehmerinnen und Teilnehmer. Kommentieren Sie auf den Benutzerseiten! Loben Sie die schönen Fotos, oder stellen Sie Fragen dazu! Dies sollten Sie nicht auf der jeweiligen Benutzerseite selbst eintragen, sondern auf der dazugehörigen Diskussionsseite. (Der zweite Reiter oben links heißt "Diskussion").

=== Ergebnisse: Geometrie im Alltag ===

* [[Benutzer:Schnirch]] - Kukulkan-Pyramide in Mexiko[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

* [[Benutzer:RicRic]] - Der Ball ist rund

* [[Benutzer:Todah_raba]] - Davidsstern

* [[Benutzer:Da-Di-La]] - Puzzle
* [[Benutzer:Miriam]] - Moschee in Istanbul

* [[Benutzer:Maximilian84]] - Vase

* [[Benutzer:Undecan]] - Kugel

* [[Benutzer:Schmarn]] - Zylinder

Benutzerin:Schmarn

2011-10-23T17:03:24Z

Schmarn: Die Seite wurde neu angelegt: „Habe diesen Zylinder beim Kochen entdeckt: Bild:Zylinder.JPG Das Volumen eines Zylinders: <math>V = \pi*r^2*h</math> , wobei <math>r</math> der Radius un…“

Datei:Zylinder.JPG

2011-10-23T16:56:05Z

Schmarn: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = Schmarn |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung =
|Quelle =
|Urheber = Schmarn
|Datum =
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}
== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/3.0/de}}

Lösung von Aufgabe 1.2 (WS 11 12)

2011-10-23T16:30:31Z

Schmarn:

Lösung von Aufgabe 1.2 (WS 11 12)

2011-10-23T15:59:10Z

Schmarn:

Lösung von Aufgabe 1.2 (WS 11 12)

2011-10-23T15:55:41Z

Schmarn: