Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Die Kongruenzrelation, Geradenspiegelung als Kongruenzabbildung SoSe 26

2026-06-05T16:32:35Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „== Streckenkongruenz == ===== Definition VII.1: (Streckenkongruenz) ===== :: Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben. :: In Zeichen …“

== Streckenkongruenz ==
===== Definition VII.1: (Streckenkongruenz) =====
:: Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben. 
:: In Zeichen <math>\overline{AB} \tilde {=} \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math>

===== Satz VII.1: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen. 

Aufgrund der Strecken- und Längentreue der Geradenspiegelung sind Strecken und ihre bei einer Geradenspiegelung entstehenden Bildstrecken kongruent zueinander. 

== Winkelkongruenz ==
Analog zum Begriff der Streckenkongruenz sollen zwei Winkel genau dann kongruent zueinander genannt werden, wenn sie dieselbe Größe haben.

===== Definition VII.2 : (Winkelkongruenz) =====
::Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander. 
::In Zeichen: <math>\alpha \tilde {=} \beta := | \alpha | = | \beta |</math>

===== Satz VII.2: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen. 

Aufgrund der Winkeltreue der Geradenspiegelung und der Eigenschaft winkelmaßerhaltend zu sein, sind Winkel und ihre bei einer Geradenspiegelung entstehenden Bilder kongruent zueinander. 

== Dreieckskongruenz ==
In der Schule spricht man häufig davon, dass zwei Dreiecke dann kongruent zueinander sind, wenn sie in allen Stücken übereinstimmen. Unter den Stücken eines Dreieck sind dabei die jeweils drei Seiten und die jeweils drei Innenwinkel zu verstehen.

===== Definition VII.3: (Dreieckskongruenz) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 6 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \tilde {=} \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{BC} \tilde {=} \overline{EF}</math>
:::# <math>\overline{AC} \tilde {=} \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \tilde {=} \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \tilde {=} \angle DEF</math>
:::# <math>\angle ACB \tilde {=} \angle DFE</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Satz VII.3: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

===== Satz VII.4: =====
Bei einer Geradenspiegelung sind ein Dreieck und sein Bilddreieck kongruent zueinander. 
Beweis: ergibt sich unmittelbar aus der Winkel- und Streckenkongruenz der Geradenspiegelung und der Definition Dreieckskongruenz. 

[[Category:Geo_P]]

Mittelsenkrechte, Mittelsenkrechtenkriterium und der Zusammenhang zur Geradenspiegelung SoSe 26

2026-06-05T16:31:48Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „=== Mittelsenkrechte === Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt:eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.<br …“

=== Mittelsenkrechte ===
Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt:eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht. 
Konstruieren Sie nachfolgend die Mittelsenkrechte: Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 

<ggb_applet width="569" height="439" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />
===== Definition VI.1: (Mittelsenkrechte) =====
::Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn

::# <math>m \perp AB</math>
::# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>

=== Zusammenhang Mittelsenkrechte und Geradenspiegelung ===
Es sei ''g'' eine Gerade und <math>P\not\in g</math>, ein beliebiger Punkt der mit ''g'' in der gleichen Ebene liegt. ''P''' sei der Bildpunkt von ''P'' bei der Geradenspiegelung <math>S_{g}</math>. 
Nach der Definition Mittelsenkrechte und der Definition Geradenspiegelung ist die Spiegelgerade ''g'' Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{PP'}</math>.

=== Konstruktion eines Bildpunktes ''P''' bei der Spiegelung <math>S_{g}(P)</math> mit Zirkel und Lineal ===
Nachfolgende GeoGebra-Applikation zeigt Schritt für Schritt die Vorgehensweise bei der Konstruktion des Bildpunktes ''P''' bei der Spiegelung <math>S_{g}(P)</math> Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 
<ggb_applet width="908" height="528" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> 
Welche mathematischen Zusammenhänge zwischen den Punkten A,B,P und P' wurde für die Konstruktion genutzt? 
'''Ihre Antwort:'''

 
Wir können uns nun fragen: Ist der Punkt <math>P'</math>, den wir oben konstruiert haben, tatsächlich der Bildpunkt von ''P'' bei der Spiegelung <math>S_{g}(P)</math>? Wenn wir beweisen könnten, dass <math>g</math> tatsächlich die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{PP'}</math> ist, dann wären wir fertig, denn dann wäre nach Definition Mittelsenkrechte und Geradenspiegelung, ''P''' tatsächlich Bildpunkt von ''P'' bei der Spiegelung <math>S_{g}</math>. 
Nach unserer Konstruktion gilt: <math>\left| AP \right| =\left| AP' \right|</math> und <math>\left| BP \right| =\left| BP' \right|</math>. Wir können also sagen, die beiden Punkte ''A'' und ''B'' haben zu den beiden Endpunkten der Strecke <math>\overline{PP'}</math> nach Konstruktion jeweils ein- und denselben Abstand. Außerdem gilt nach Konstruktion, dass ''A'' und ''B'' auf der Spiegelachse ''g'' liegen. Wenn wir nun beweisen könnten, dass alle und nur die Punkte, die auf der Mittelsenkrechten einer Strecke liegen zu den beiden Endpunkten dieser Strecke ein- und denselben Abstand haben, wüssten wir sicher, dass ''g'' die Mittelsenkrechte von <math>\overline{PP'}</math> ist.
Genau das wollen wir jetzt beweisen. Wir gliedern dazu die obige Aussage in zwei Sätze: 

===== Satz VI.1 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{PP'}</math>gehört.) =====
::Wenn ein Punkt <math>\ A</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{PP'}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{PP'}</math>.

===== Satz VI.1 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{PP'}</math> gehört)=====
::Wenn ein Punkt <math>\ A</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{PP'}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ P</math> und <math>\ P'</math> ein und denselben Abstand.
 
Beweisen werden wir die beiden Sätze in der Vorlesung bzw. in der Übung! 

Wir können nun die beiden Sätze VI.1 a und VI.1 b zu einem neuen Satz zusammenfassen:
===== Satz VI.2: (Mittelsenkrechtenkriterium) =====
...

 

[[Category:Geo_P]]

Die WIKI-Seiten für die Geometrie

2026-06-05T16:30:49Z

Schnirch: /* Materialien für das Studium */

=== Wöchentlich ===
* [[Auftrag der Woche_SoSe_26, Quiz der Woche_SoSe_26, Übungsaufgaben_SoSe_26 etc.‎]]

=== Materialien für das Studium ===
* [[Allgemeine Aspekte|Allgemeine Aspekte (Literatur, Ziele, Wiki, Vorgehensweise, Forschung)]]
* {{pdf|Mengenlehre.pdf|Mengenlehre}}
* [[Definitionen in der Mathematik_SoSe_26]]
* {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}}
* [[Sätze und Beweise_SoSe_26]]
* [[Relationen_SoSe_26]]
* [[Grundbegriffe der Geometrie - exemplarisch am Beispiel der Begriffe: Punkte und Geraden_SoSe_26]]
* [[Strecken und Halbgeraden_SoSe_26]]
* [[Halbebenen und der Satz von Pasch_SoSe_26]]
* [[Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel SoSe_26]]
* [[Winkelmaß, Rechte Winkel, Orientierte Winkel_SoSe_26]]
* [[Zwei Aufgaben zur Vorbereitung auf die Abbildungsgeometrie SoSe_26]]

Abbildungsgeometrie
:*[[Die Geradenspiegelung und ihre Eigenschaften SoSe_26]]
:*[[Mittelsenkrechte, Mittelsenkrechtenkriterium und der Zusammenhang zur Geradenspiegelung SoSe_26]]
:*[[Die Kongruenzrelation, Geradenspiegelung als Kongruenzabbildung SoSe_26]]
[[Kategorie:Geo_P]]

===Fragen zur Vorlesung===
*[[Ist etwas unklar? Bitte fragen Sie hier!]]

===Hilfestellung für ersten Wikieintrag===
*[[Mein erster Wikieintrag]]

[[Category:Geo_P]]

Quiz/Spiel der Woche 8 (SoSe 26)

2026-06-05T16:28:58Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „[https://learningapps.org/display?v=p7hkxg61k17 Quiz zu Spiegelungen] Es lohnt sich mehrmals zu spielen, da per Zufallsgenerator unterschiedliche Fragen erzeu…“

[https://learningapps.org/display?v=p7hkxg61k17 Quiz zu Spiegelungen]

Es lohnt sich mehrmals zu spielen, da per Zufallsgenerator unterschiedliche Fragen erzeugt werden!

Lösung von Zusatzaufgabe 8.2P (SoSe 26)

2026-06-05T16:28:13Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Die nachfolgende GeoGebra-Applikation zeigt einen Billardtisch mit zwei Kugeln in der Draufsicht. Kugel A soll durch einen zentralen Stoß die Kugel B nun übe…“

Die nachfolgende GeoGebra-Applikation zeigt einen Billardtisch mit zwei Kugeln in der Draufsicht. Kugel A soll durch einen zentralen Stoß die Kugel B nun über '''drei''' Banden treffen. Konstruieren und Begründen Sie Ihre Konstruktion. 
Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 
<ggb_applet width="754" height="535" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Zusatzaufgabe 8.1P (SoSe 26)

2026-06-05T16:27:39Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Nachstehende Abbildung zeigt den Schnitt durch einen Lichtwellenleiter (LWL) und den Weg, den ein Laserstrahl bis zum Punkt ''P'' zurücklegt (Pfeile). Das Las…“

Nachstehende Abbildung zeigt den Schnitt durch einen Lichtwellenleiter (LWL) und den Weg, den ein Laserstrahl bis zum Punkt ''P'' zurücklegt (Pfeile). Das Laserlicht im LWL wird jeweils an den Grenzflächen (Glas, Luft) total reflektiert. Die beiden Grenzgeraden ''AB'' und ''CD'' können als ideale Spiegel betrachtet werden. Konstruieren Sie nur mit Zirkel und Lineal den weiteren Weg des Lichts vom Punkt ''P'' aus bis zur Begrenzungslinie <math>\overline{BC}</math>. 

[[Datei:lwl.jpg|500px]]

[[Kategorie:Geo_P]]

Zusatzaufgaben 8 (SoSe 26)

2026-06-05T16:27:18Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „==Aufgabe 8.1 == Nachstehende Abbildung zeigt den Schnitt durch einen Lichtwellenleiter (LWL) und den Weg, den ein Laserstrahl bis zum Punkt ''P'' zurücklegt …“

==Aufgabe 8.1 ==
Nachstehende Abbildung zeigt den Schnitt durch einen Lichtwellenleiter (LWL) und den Weg, den ein Laserstrahl bis zum Punkt ''P'' zurücklegt (Pfeile). Das Laserlicht im LWL wird jeweils an den Grenzflächen (Glas, Luft) total reflektiert. Die beiden Grenzgeraden ''AB'' und ''CD'' können als ideale Spiegel betrachtet werden. Konstruieren Sie nur mit Zirkel und Lineal den weiteren Weg des Lichts vom Punkt ''P'' aus bis zur Begrenzungslinie <math>\overline{BC}</math>. 

[[Datei:lwl.jpg|500px]]

[[Lösung von Zusatzaufgabe 8.1P (SoSe_26)]]

==Aufgabe 8.2 (Sternchenaufgabe)==
Die nachfolgende GeoGebra-Applikation zeigt einen Billardtisch mit zwei Kugeln in der Draufsicht. Kugel A soll durch einen zentralen Stoß die Kugel B nun über '''drei''' Banden treffen. Konstruieren und Begründen Sie Ihre Konstruktion. 
Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 
<ggb_applet width="754" height="535" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

[[Lösung von Zusatzaufgabe 8.2P (SoSe_26)]]

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 8.4P (SoSe 26)

2026-06-05T16:25:16Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Auf einem neu anzulegenden Abenteuerspielplatz steht ein senkrecht nach oben ragender Baum (Strecke <math>\overline{AB}</math> ). Dieser soll an einer Stelle '…“

Auf einem neu anzulegenden Abenteuerspielplatz steht ein senkrecht nach oben ragender Baum (Strecke <math>\overline{AB}</math> ). Dieser soll an einer Stelle ''K'' so angesägt werden, dass er hier umknickt und mit seiner Spitze an einer Stelle ''C'' am Boden zu liegen kommt (siehe Skizze). Konstruieren Sie die Knickstelle ''K''.

[[Datei:Baum.png|300px]]

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 8.3P (SoSe 26)

2026-06-05T16:24:12Z

Die nachfolgende GeoGebra-Applikation zeigt einen Billardtisch mit zwei Kugeln in der Draufsicht. Kugel A soll durch einen zentralen Stoß die Kugel B über zwei Banden treffen. Konstruieren und Begründen Sie Ihre Konstruktion. Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 
<ggb_applet width="754" height="535" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 8.2P (SoSe 26)

2026-06-05T16:23:44Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Wie hoch muss ein Spiegel sein, damit Sie sich ganz darin sehen können und auf welcher Höhe muss die Oberkante des Spiegels angebracht werden? Anmerkung: Sie…“

Wie hoch muss ein Spiegel sein, damit Sie sich ganz darin sehen können und auf welcher Höhe muss die Oberkante des Spiegels angebracht werden? Anmerkung: Sie dürfen hier die Strahlensätze, wie sie aus der Schule bekannt sind, verwenden. Tipp: [[Spiegel|Hier]] finden Sie eine hilfreiche GeoGebra-Applikation.

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufgabe 8.1P (SoSe 26)

2026-06-05T16:23:11Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Das klassische Feuerwehrproblem: Am Punkt ''A'' steht die Feuerwehr, Punkt ''B'' symbolisiert das brennende Haus. Die Gerade ''g'' ist die Uferbegrenzung eines…“

Das klassische Feuerwehrproblem: Am Punkt ''A'' steht die Feuerwehr, Punkt ''B'' symbolisiert das brennende Haus. Die Gerade ''g'' ist die Uferbegrenzung eines Flusses, aus dem die Feuerwehr das Wasser holen muss. Welchen Weg muss die Feuerwehr nehmen um Löschwasser am Fluss zu tanken um danach möglichst schnell am brennenden Haus zu sein? Konstruieren Sie nachstehend die optimale Route für die Feuerwehr und begründen Sie Ihre Konstruktion. Das Problem lässt sich auf viele verschiedene Anwendungen übertragen, z. B.:
* reitende Cowboys, die ihr Pferd noch tränken müssen, bevor sie den Salon in Doce City erreichen
* Lichtstrahlen, die am Spiegel ''g'' reflektiert werden und immer den kürzesten Weg nehmen
* Billardkugeln, die durch einen zentralen Stoß und über Bande g einander treffen sollen
*...

[[Datei:feuerwehr.png|400px]]

[[Kategorie:Geo_P]]

Übung Aufgaben 8 (SoSe 26)

2026-06-05T16:22:40Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „===Anwendungsorientierte Aufgaben im Kontext "Spiegelungen"=== ==Aufgabe 8.1== Das klassische Feuerwehrproblem: Am Punkt ''A'' steht die Feuerwehr, Punkt ''B''…“

===Anwendungsorientierte Aufgaben im Kontext "Spiegelungen"===
==Aufgabe 8.1==
Das klassische Feuerwehrproblem: Am Punkt ''A'' steht die Feuerwehr, Punkt ''B'' symbolisiert das brennende Haus. Die Gerade ''g'' ist die Uferbegrenzung eines Flusses, aus dem die Feuerwehr das Wasser holen muss. Welchen Weg muss die Feuerwehr nehmen um Löschwasser am Fluss zu tanken um danach möglichst schnell am brennenden Haus zu sein? Konstruieren Sie nachstehend die optimale Route für die Feuerwehr und begründen Sie Ihre Konstruktion. Das Problem lässt sich auf viele verschiedene Anwendungen übertragen, z. B.:
* reitende Cowboys, die ihr Pferd noch tränken müssen, bevor sie den Salon in Doce City erreichen
* Lichtstrahlen, die am Spiegel ''g'' reflektiert werden und immer den kürzesten Weg nehmen
* Billardkugeln, die durch einen zentralen Stoß und über Bande g einander treffen sollen
*...

[[Datei:feuerwehr.png|400px]]

 
[[Lösung von Aufgabe 8.1P (SoSe_26)]]

==Aufgabe 8.2==
Wie hoch muss ein Spiegel sein, damit Sie sich ganz darin sehen können und auf welcher Höhe muss die Oberkante des Spiegels angebracht werden? Anmerkung: Sie dürfen hier die Strahlensätze, wie sie aus der Schule bekannt sind, verwenden. Tipp: [[Spiegel|Hier]] finden Sie eine hilfreiche GeoGebra-Applikation.

[[Lösung von Aufgabe 8.2P (SoSe_26)]]

==Aufgabe 8.3==
Die nachfolgende GeoGebra-Applikation zeigt einen Billardtisch mit zwei Kugeln in der Draufsicht. Kugel A soll durch einen zentralen Stoß die Kugel B über zwei Banden treffen. Konstruieren und Begründen Sie Ihre Konstruktion. Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 
<ggb_applet width="754" height="535" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 
[[Lösung von Aufgabe 8.3P (SoSe_26)]]

==Aufgabe 8.4==
Auf einem neu anzulegenden Abenteuerspielplatz steht ein senkrecht nach oben ragender Baum (Strecke <math>\overline{AB}</math> ). Dieser soll an einer Stelle ''K'' so angesägt werden, dass er hier umknickt und mit seiner Spitze an einer Stelle ''C'' am Boden zu liegen kommt (siehe Skizze). Konstruieren Sie die Knickstelle ''K''.

[[Datei:Baum.png|300px]]

[[Lösung von Aufgabe 8.4P (SoSe_26)]]

[[Kategorie:Geo_P]]

Auftrag der Woche 7 (SoSe 26)

2026-06-05T16:21:08Z

Schnirch:

Zeigen Sie mit Hilfe einer GeoGebra-Applikation, dass beim Experiment mit der [[Zwei Aufgaben zur Vorbereitung auf die Abbildungsgeometrie SoSe_26| brennenden Kerze im Wasserglas]] die Position der gespiegelten Flamme unabhängig von der Position des Beobachters ist. 

Falls die Grafik nicht angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 

[[Kategorie:Geo_P]]

Auftrag der Woche 8 (SoSe 26)

2026-06-05T16:20:30Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „siehe Auftrag der Woche 7 Kategorie:Geo_P“

siehe [[Auftrag_der_Woche_7_(SoSe_26)| Auftrag der Woche 7]]
[[Kategorie:Geo_P]]

Auftrag der Woche SoSe 26, Quiz der Woche SoSe 26, Übungsaufgaben SoSe 26 etc.

2026-06-05T16:19:21Z

Schnirch: /* Woche 7 */

=== Woche 1===
13.04. bis 17.04.26

*[[Auftrag der Woche 1 (SoSe_26)]]
*[[Übung_Aufgaben_1 (SoSe_26)]]
*[[Zusatzaufgaben_1 (SoSe_26)]]
*[[Quiz/Spiel der Woche 1 (SoSe_26)]]

=== Woche 2===
20.04. bis 24.04.26

*[[Auftrag der Woche 2 (SoSe_26)]]
*[[Übung_Aufgaben_2 (SoSe_26)]]
*[[Zusatzaufgaben_2 (SoSe_26)]]
*[[Quiz/Spiel der Woche 2 (SoSe_26)]]

=== Woche 3===
27.04. bis 01.05.26

*[[Auftrag der Woche 3 (SoSe_26)]]
*[[Übung_Aufgaben_3 (SoSe_26)]]
*[[Zusatzaufgaben_3 (SoSe_26)]]
*[[Quiz/Spiel der Woche 3 (SoSe_26)]]

=== Woche 4===
04.05. bis 08.05.26

*[[Auftrag der Woche 4 (SoSe_26)]]
*[[Übung_Aufgaben_4 (SoSe_26)]]
*[[Zusatzaufgaben_4 (SoSe_26)]]
*[[Quiz/Spiel der Woche 4 (SoSe_26)]]

=== Woche 5===
11.05. bis 15.05.26

*[[Auftrag der Woche 5 (SoSe_26)]]
*[[Übung_Aufgaben_5 (SoSe_26)]]
*[[Zusatzaufgaben_5 (SoSe_26)]]
*[[Quiz/Spiel der Woche 5 (SoSe_26)]]

=== Woche 6===
18.05. bis 22.05.26

*[[Auftrag der Woche 6 (SoSe_26)]]
*[[Übung_Aufgaben_6 (SoSe_26)]]
*[[Zusatzaufgaben_6 (SoSe_26)]]
*[[Quiz/Spiel der Woche 6 (SoSe_26)]]

=== Woche 7===
01.06. bis 05.06.26

*[[Auftrag der Woche 7 (SoSe_26)]]
*[[Übung_Aufgaben_7 (SoSe_26)]]
*[[Zusatzaufgaben_7 (SoSe_26)]]
*[[Quiz/Spiel der Woche 7 (SoSe_26)]]

=== Woche 8===
08.06. bis 12.06.26

*[[Auftrag der Woche 8 (SoSe_26)]]
*[[Übung_Aufgaben_8 (SoSe_26)]]
*[[Zusatzaufgaben_8 (SoSe_26)]]
*[[Quiz/Spiel der Woche 8 (SoSe_26)]]

Die Geradenspiegelung und ihre Eigenschaften SoSe 26

2026-05-31T08:28:57Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Im Folgenden werden wir uns mit Geometrie in der Ebene beschäftigen. Speziell betrachten wir so genannte Abbildungen der Ebene auf sich selbst und hier wieder…“

Im Folgenden werden wir uns mit Geometrie in der Ebene beschäftigen. Speziell betrachten wir so genannte Abbildungen der Ebene auf sich selbst und hier wiederum nur ganz bestimmte Abbildungen, die so genannten Kongruenzabbildungen. 
==== Definition V.1 : (Abbildung <math>\varphi</math> )====
::Eine Zuordnung, die jedem Punkt ''P'' der Ebene eindeutig einen Bildpunkt ''P''' zuordnet, nennt man Abbildung. 
::Schreibweise: <math>P'=\varphi (P)</math> 

==== Definition V.2 : (involutorische Abbildung)====
::Eine Abbildung <math>\varphi</math>, die bei zweifacher Ausführung (<math>\varphi (\varphi )</math>) wieder zum Ursprungsbild führt (identische Abbildung), nennt man involutorisch oder involutorische Abbildung.
==== Definition V.3 : (Geraden- oder Achsenspiegelung <math>S_g</math>)====
::Gegeben sei eine Gerade ''g'' in der Ebene. Die Geraden- oder Achsenspiegelung <math>S_g</math> ist die Abbildung der Ebene auf sich selbst, die nach folgender Abbildungsvorschrift jeden Punkt ''P'' seinem Bildpunkt ''P''' zuordnet. 
# <math>\forall P\in g\Rightarrow P=P'</math>
# <math>\forall P\not\in g\Rightarrow PP'\perp \ g \wedge \left| PS \right|=\left| P'S \right| </math> mit <math>\left\{ {S} \right\}=\ g \cap PP' </math>
 
Nutzen Sie die folgende GeoGebra-Applikation um den Punkt P an der Geraden g zu spiegeln. Verschieben den Punkt ''P'' bzw. die Gerade ''g'' um die Definition der Geradenspiegelung nachzuvollziehen. Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 
<ggb_applet width="792" height="538" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAH1cyEAAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIAH1cyEAAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s1Vdbb9s2FH5uf8WBnmNblChZLuQUbYFiBdKuQLph2BslMTIbSdREynaK/vgdkpIiO13XLd2ABrEPL4fn8vFc6PT5sa5gzzslZLP1yNL3gDe5LERTbr1e3ywS7/nl07TksuRZx+BGdjXTW48aTlFsPRZEIY8TumBJsFnQNc0WScToYhMHccwoDTISeQBHJZ418h2ruWpZzq/zHa/ZlcyZtop3WrfPVqvD4bAcVS1lV67KMlseVeEBmtmorTcMnqG4k0OH0LIHvk9Wv729cuIXolGaNTn3wLjQi8unT9KDaAp5gIMo9G7rJT66seOi3KFPsZmsDFOLgLQ812LPFR6dTa3Pum49y8Yas//EjaCa3PGgEHtR8G7r+csA/Zed4I0edsmgZTWeT/eCH5wgM7I6qAdayipjRgZ8/gyBH/hwYQhxJEASx27Ld2t+6EjgCHUkcjzUHaeOlToe6nho6MFeKJFVfOvdsEohZqK56fC+prnSdxW39gwL9/6SC/RJiU/IHBoQHci47vsX5oPIXtAR3ZmTZKZVd/0/VDqqXG+Cb1cZPMrRcNQZfMnNIPoLN+OvKHV+f4ufJJrpRFX2334eaAy/5ua5Rjd/nMKY/i8upqsxVdIhO0DtDO8QPZrXyuRLuIFoY8KeQIS5Ea8xyiMgGyTrADAbgERAI5ySBGJD1xCucYNCCAkYPhKCTY4owS+6tsJiiFCYWV1jTgJBRRSiEIjNKQqYSWDzEnM0CJEjiiDCQ0Y9CYyIMAYa4yxMgKKNJiXXBBlDPIhzVB9ASCA0h8kaghhiI49Qk+pxYkxHkQHEPsTECMSsxox22Yz8CYTGm3iASzRtr08gyutiHGrZTneB3FiP7uucq08nZfBJWrGMV9gZrs1NAuxZZTLCKrqRjYbxEgO3Vnas3YlcXXOt8ZSCj2zPrpjmx9fIrUbdljeXjXrfSf1KVn3dKIBcVv5ks6zIbBxMVuMknG3Q+UY024hn4/UX9UrcgV5x1C87NbKzonhjOO5LAyL5c1Pdvew4u22lOHUjXdkmk/I+r0QhWPMrBqvRYnCBsefYcjX2HBquR0NkV1zfKYxgOP7OO4k1hkSmy965WehmKmcmxSLfbs1nVgzfT2izI58cKTtRzMdv1EtZFZNb1pNXrNV9Zxs/lrnO2PeiKStub9sWTuyq+W0mj9fumkMn68Ndi7NBf1ZaBAGzPIiw8ZUDzRy1PMawicu3PL7l8Me4EcW0Twxa5UAzRy0XBqIzbXCUjF4Sf1QjlK1NvneSATaKTY/uG6GvxokW+e3gKXH87/o641MsnIok30lkujqLlfSWdw2vhtDEi+xlr1ymzaK24Lmoceo2BkCYuaxf0AC3WvCy46PdlX1SObjsrj+PugfLVtTrTtZvmv0HjIQzA9LVaGWq8k60Jt4gw3J+y+9jqhCKYTco5udMLqHruan6CI820GCW9XonO/tqwuKA1KRQxWt8MYG2wWXjc4L5vX18GTxBZh+xPp1dw/194fYXA82GJKvaHTMPtMHpit3x7gQGK++tLM7BQeytB5isrbvblnMXFc5eHLQozubSSbFBtBUc0QCbvZhohn5yD2/38jSemvw6qa5u9eyaMHYcSH8D14sfH65wuU4sXnS5if9zwF7++IAhTtQCRpY0+S6A5bKuWVNAY190V1h8vfsHBvNNmAEjBjyHTK/HjdKJGgQ8wN7U8Qna8tHQ+/8e+Hm80WSAj+APidmfi74FSZYbPzlvRBpfO7f4k07ZbqmHvmgHP4mi4Pal69r0H407olx/EHVbiVzoc9RX84ppHxjDr+PLPwFQSwcIVffzzEsFAAC6DwAAUEsBAhQAFAAIAAgAfVzIQNY3vbkZAAAAFwAAABYAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhX2phdmFzY3JpcHQuanNQSwECFAAUAAgACAB9XMhAVffzzEsFAAC6DwAADAAAAAAAAAAAAAAAAABdAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAACAAIAfgAAAOIFAAAAAA==" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

====Konstruktion der Geradenspiegelung mit Zirkel und Lineal====
Erinnern Sie sich an Ihre Schulzeit zurück: Wie haben Sie in der Schule mit Zirkel und Lineal eine Geradenspiegelung angefertigt? 
Ihre Beschreibung (gerne auch als Bild): 

==== Definition V.4 : (Fixpunkte)====
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> ein Bildpunkt ''P''' mit seinem Urbild ''P'' zusammenfällt (''P'' wird auf sich selbst abgebildet), dann heißt ''P'' Fixpunkt der Abbildung <math>\varphi</math>. 
::formal: <math>P=\varphi (P)=P'</math> 
Aufgabe: Welche Punkte sind bei der Geradenspiegelung Fixpunkte? 

==== Definition V.5 : (Fixgerade)====
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> eine Bildgerade ''g''' mit ihrem Urbild ''g'' zusammenfällt, dann heißt ''g'' Fixgerade der Abbildung <math>\varphi</math>. 
Aufgabe: Gibt es Fixgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.? 

==== Definition V.6 : (Fixpunktgerade)====
::Wenn jeder Punkt ''P'' einer Fixgeraden ''g'' auf sich selbst abgebildet wird, so ist die Fixgerade ''g'' auch Fixpunktgerade. 
 
Aufgabe: Gibt es Fixpunktgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.? 
 

===Eigenschaften einer Geradenspiegelung===
*abstandserhaltend: Der Abstand <math>\left| A'B' \right|</math> zweier Bildpunkte <math>A'</math> und <math>B'</math> ist gleich dem Abstand <math>\left| AB \right|</math> der beiden Urbilder ''A'' und ''B''.
*winkelmaßerhaltend: hier gilt analog: <math>\left| \angle ABC \right|= \left| \angle A'B'C' \right|</math> 
diese beiden Eigenschaften lassen sich axiomatisch begründen, was wir hier aber nicht weiter vertiefen wollen. Alle weiteren Eigenschaften lassen sich aus der Abstands- und Winkelmaßerhaltung ableiten. 

==== Satz V.1 : ====
Die Geradenspiegelung <math>S_g</math> ist eine involutorische Abbildung, d. h. für alle Punkte A, A' der Ebene gilt: 
::<math>A'=S_g (A)\Rightarrow A=S_g (A')</math> 

Vor.: Geradenspiegelung <math>S_g</math> mit <math>A'=S_g (A)</math>

Beh.: <math>A=S_g (A')</math>

Beweis: 

 

==== Satz V.2 (Streckentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Strecke <math>\overline{AB}</math> auf eine Strecke <math>\overline{A'B'}</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.3 (Längentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Die Länge der Strecke <math>\overline{A'B'}</math>, die bei der Geradenspiegelung <math>S_g(\overline{AB}) </math> entsteht ist gleich der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
Beweis:

==== Satz V.4 (Halbgeradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Halbgerade <math>\ AB^{+}</math> auf eine Halbgerade <math>\ A'B'^{+}</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.5 (Geradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Gerade <math>\ AB</math> auf eine Gerade <math>\ A'B'</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.6 (Winkeltreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird ein Winkel <math>\angle ABC</math> auf einen Winkel <math>\angle A'B'C'</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math> und <math>S_g(C)=C'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.7 (Parallelentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> werden zueinander parallele Geraden <math>f</math> und <math> h</math> auf zwei zueinander parallele Geraden <math>f'</math> und <math>h'</math> abgebildet. 

[[Datei: Parallelentreue_Geradenspiegelung.PNG]]

[[Category:Geo_P]]

Beweis:

Die WIKI-Seiten für die Geometrie

2026-05-31T08:27:12Z

Schnirch: /* Materialien für das Studium */

=== Wöchentlich ===
* [[Auftrag der Woche_SoSe_26, Quiz der Woche_SoSe_26, Übungsaufgaben_SoSe_26 etc.‎]]

=== Materialien für das Studium ===
* [[Allgemeine Aspekte|Allgemeine Aspekte (Literatur, Ziele, Wiki, Vorgehensweise, Forschung)]]
* {{pdf|Mengenlehre.pdf|Mengenlehre}}
* [[Definitionen in der Mathematik_SoSe_26]]
* {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}}
* [[Sätze und Beweise_SoSe_26]]
* [[Relationen_SoSe_26]]
* [[Grundbegriffe der Geometrie - exemplarisch am Beispiel der Begriffe: Punkte und Geraden_SoSe_26]]
* [[Strecken und Halbgeraden_SoSe_26]]
* [[Halbebenen und der Satz von Pasch_SoSe_26]]
* [[Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel SoSe_26]]
* [[Winkelmaß, Rechte Winkel, Orientierte Winkel_SoSe_26]]
* [[Zwei Aufgaben zur Vorbereitung auf die Abbildungsgeometrie SoSe_26]]

Abbildungsgeometrie
:*[[Die Geradenspiegelung und ihre Eigenschaften SoSe_26]]
[[Kategorie:Geo_P]]

===Fragen zur Vorlesung===
*[[Ist etwas unklar? Bitte fragen Sie hier!]]

===Hilfestellung für ersten Wikieintrag===
*[[Mein erster Wikieintrag]]

[[Category:Geo_P]]

Quiz/Spiel der Woche 7 (SoSe 26)

2026-05-31T08:23:47Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „<quiz> { Welche der folgenden Punktmengen sind auf jeden Fall konvex?} + eine offene Halbgerade || Richtig! Da alle Punkte auf der Verbindungsstrecke zweier be…“

<quiz>
{ Welche der folgenden Punktmengen sind auf jeden Fall konvex?}
+ eine offene Halbgerade
|| Richtig! Da alle Punkte auf der Verbindungsstrecke zweier beliebiger Punkte der Halbgeraden auch auf dieser Halbgeraden liegen!
+ Schnitt einer offenen Halbebene <math> \epsilon </math> mit einer Halbgeraden, die mit <math> \epsilon </math> zwei Punkte gemeinsam hat.
|| Ja, auch das stimmt, denn nach einem bekannten Satz ist der Schnitt zweier konvexer Punktmengen auch wieder konvex.
- Schnitt eines rechten Winkels mit einem spitzen Winkel
|| Haben Sie vielleicht an das Innere der Winkel gedacht? Das steht da aber nicht! Man kann die Winkel so anordnen, dass im Schnitt z. B. genau zwei Punkte enthalten sind. Die Punkte der Verbindungsstrecke dieser beiden Punkte sind dann offensichtlich nicht in der Schnittmenge. Ein Gegenbeispiel genügt hier.
- Vereinigungsmenge des Inneren zweier Drachenvierecke, die keine Rauten sind.
|| Stellen Sie sich z. B. zwei Drachen (oder beliebige andere Figuren) vor, die in einer Ebene nebeneinander liegen sich aber nicht berühren, d. h. keine gemeinsamen Schnittpunkte haben. Eine beliebige Verbindungsstrecke zwischen einem Punkt des einen Drachen und einem Punkt des anderen Drachen besitzt dann immer Punkte, die aus der Vereinigungsmenge beider Drachen herausführen.

{ Es seien <math>\ A </math> und <math>\ B </math> zwei verschiedene Punkte. Welche der folgenden Mengen sind Strecken? }
+ <math>\ AB^{+} \cap BA^{+}</math>
|| Ja, super, das lässt sich zeichnerisch leicht verstehen.
- <math>\ AB^{-} \cap BA^{-}</math>
|| da fehlt was in der "Mitte", oder?
- <math>\ AB </math> geschnitten mit dem Kreis um <math>\ A </math> und <math>\ B </math>
|| Zwei verschiedene Schnittpunkte erzeugen noch keine Strecke!
- <math>\ AB \cap BA </math>
|| nun, eine Gerade bleibt eine Gerade, wenn man sie mit sich selbst schneidet und eine Gerade ist eben keine Strecke.

{ Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Winkel Nebenwinkel sind, dann sind sie supplementär. Kennzeichnen Sie die Kontraposition dieser Implikation.}
- Zwei Winkel sind dann und nur dann Nebenwinkel, wenn sie supplementär sind.
|| aus der Implikation wurde eine Äquivalenz.
- Nebenwinkel sind immer supplementär.
|| Hatten wir da nicht ein Axiom?
- Wenn zwei Winkel supplementär sind, so sind sie Nebenwinkel.
|| nun haben wir den Satz umgekehrt.
+ Wenn zwei Winkel nicht supplementär sind, so sind sie auch keine Nebenwinkel.
|| richtig, bei der Kontraposition folgt aus der verneinten Behauptung die verneinte Voraussetzung des ursprünglichen Satzes.

{ Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Winkel Nebenwinkel sind, dann sind sie supplementär. Kennzeichnen Sie die Umkehrung dieser Implikation.}
- Zwei Winkel sind dann und nur dann Nebenwinkel, wenn sie supplementär sind.
|| aus der Implikation wurde eine Äquivalenz.
- Nebenwinkel sind immer supplementär.
|| Hatten wir da nicht ein Axiom?
+ Wenn zwei Winkel supplementär sind, so sind sie Nebenwinkel.
|| nun haben wir den Satz umgekehrt.
- Wenn zwei Winkel nicht supplementär sind, so sind sie auch keine Nebenwinkel.
|| das ist die Kontraposition.

{ Welche der folgenden Definitionen beschreiben den jeweils zu definierenden Begriff wirklich korrekt?}
- Unter einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> versteht man die Vereinigungsmenge der drei Strecken <math>\overline{AB} </math>, <math>\overline{BC} </math> und <math>\overline{AC} </math>.
|| es fehlt noch die Voraussetzung, dass die drei Punkte <math>\ A </math>, <math>\ B </math> und <math>\ C </math> nicht kollinear sind.
- Ein n-Eck mit drei Ecken ist ein Dreieck.
|| auch ein Viereck hat drei Ecken, nur nicht genau drei Ecken. Wie so ein kleines Wort (genau) eine so große Bedeutung haben kann!
+ Ein Dreieck mit einem Umkreis heißt Sehnendreieck.
|| Auch wenn diese Definition nicht gerade sinnvoll ist, da ja jedes Dreieck einen Umkreis hat, ist diese Definition trotzdem korrekt!
- Ein Dreieck, das zwei Basiswinkel hat ist ein gleichseitiges Dreieck.
|| auch gleichschenklige Dreiecke haben zwei Basiswinkel und sind nicht unbedingt gleichseitig.

</quiz>

Lösung von Zusatzaufg. 7.4P (SoSe 26)

2026-05-31T08:22:20Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Zeigen Sie an einem Beispiel, dass die Vereinigungsmenge des Inneren zweier Drachenvierecke, die keine Rauten sind, konkav sein kann. Kategorie:Geo_P“

Zeigen Sie an einem Beispiel, dass die Vereinigungsmenge des Inneren zweier Drachenvierecke, die keine Rauten sind, konkav sein kann. 

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Zusatzaufg.7.3P (SoSe 26)

2026-05-31T08:21:56Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Beweisen Sie: Das Innere eines Dreiecks ist konvex. Kategorie:Geo_P“

Beweisen Sie: Das Innere eines Dreiecks ist konvex. 

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Zusatzaufg. 7.2P (SoSe 26)

2026-05-31T08:21:30Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Beweisen Sie: Halbebenen sind konvexe Punktmengen. Kategorie:Geo_P“

Beweisen Sie: Halbebenen sind konvexe Punktmengen. 

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Zusatzaufg. 7.1P (SoSe 26)

2026-05-31T08:21:06Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Definieren Sie den Begriff: „Konkave Punktmenge“ ohne den Begriff „konvex“ zu gebrauchen. Kategorie:Geo_P“

Definieren Sie den Begriff: „Konkave Punktmenge“ ohne den Begriff „konvex“ zu gebrauchen. 

[[Kategorie:Geo_P]]

Zusatzaufgaben 7 (SoSe 26)

2026-05-31T08:20:45Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „== Aufgabe 7.1 == Definieren Sie den Begriff: „Konkave Punktmenge“ ohne den Begriff „konvex“ zu gebrauchen. Lösung von Zusatzaufg. 7.1P (SoSe_…“

== Aufgabe 7.1 ==
Definieren Sie den Begriff: „Konkave Punktmenge“ ohne den Begriff „konvex“ zu gebrauchen. 
[[Lösung von Zusatzaufg. 7.1P (SoSe_26)]]

== Aufgabe 7.2 ==
Beweisen Sie: Halbebenen sind konvexe Punktmengen. 
[[Lösung von Zusatzaufg. 7.2P (SoSe_26)]]

== Aufgabe 7.3 ==
Beweisen Sie: Das Innere eines Dreiecks ist konvex. 
[[Lösung von Zusatzaufg.7.3P (SoSe_26)]]

== Aufgabe 7.4 ==
Zeigen Sie an einem Beispiel, dass die Vereinigungsmenge des Inneren zweier Drachenvierecke, die keine Rauten sind, konkav sein kann. 
[[Lösung von Zusatzaufg. 7.4P (SoSe_26)]]

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufg. 7.4P (SoSe 26)

2026-05-31T08:18:30Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Wir gehen von folgender Definition aus: Ein rechter Winkel ist ein Winkel, der das gleiche Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat. Außerdem gelte Satz IV.2: Ne…“

Wir gehen von folgender Definition aus: Ein rechter Winkel ist ein Winkel, der das gleiche Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat. Außerdem gelte Satz IV.2: Nebenwinkel sind supplementär.
Beweisen Sie: Jeder rechte Winkel hat das Maß 90. 

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufg. 7.3P (SoSe 26)

2026-05-31T08:17:58Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' in einer Ebene ''E''. Ferner sei eine Gerade ''g'' Teilmenge der E…“

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' in einer Ebene ''E''. Ferner sei eine Gerade ''g'' Teilmenge der Ebene ''E'', wobei keiner der Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' auf ''g'' liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang: 
<math>\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge \overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace\Rightarrow \overline{AC}\cap g=\lbrace \rbrace </math> 
(Hinweis: Nehmen Sie einen weiteren Punkt D an, mit <math>\overline{AD}\cap g\not=\lbrace \rbrace </math> und nutzen Sie den Satz von Pasch) 

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufg. 7.2P (SoSe 26)

2026-05-31T08:17:27Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Definieren Sie mittels des Schnitts geeigneter Halbebenen den Begriff des Inneren eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>. Kategorie:Geo_P“

Definieren Sie mittels des Schnitts geeigneter Halbebenen den Begriff des Inneren eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>. 

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufg. 7.1P (SoSe 26)

2026-05-31T08:16:56Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Unter einem Dreieck versteht man die Vereinigungsmenge von drei besonderen Strecken (umgangssprachlich: Das Dreieck ist sein Rand.). Definieren Sie den Begriff…“

Unter einem Dreieck versteht man die Vereinigungsmenge von drei besonderen Strecken (umgangssprachlich: Das Dreieck ist sein Rand.). Definieren Sie den Begriff Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. 

[[Kategorie:Geo_P]]

Übung Aufgaben 7 (SoSe 26)

2026-05-31T08:16:03Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „==Aufgabe 7.1== Unter einem Dreieck versteht man die Vereinigungsmenge von drei besonderen Strecken (umgangssprachlich: Das Dreieck ist sein Rand.). Definieren…“

==Aufgabe 7.1==
Unter einem Dreieck versteht man die Vereinigungsmenge von drei besonderen Strecken (umgangssprachlich: Das Dreieck ist sein Rand.). Definieren Sie den Begriff Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. 
[[Lösung von Aufg. 7.1P (SoSe_26)]] 

==Aufgabe 7.2==
Definieren Sie mittels des Schnitts geeigneter Halbebenen den Begriff des Inneren eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>. 
[[Lösung von Aufg. 7.2P (SoSe_26)]] 

==Aufgabe 7.3==
Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' in einer Ebene ''E''. Ferner sei eine Gerade ''g'' Teilmenge der Ebene ''E'', wobei keiner der Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' auf ''g'' liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang: 
<math>\overline{AB}\cap g=\lbrace \rbrace \wedge \overline{BC}\cap g=\lbrace \rbrace\Rightarrow \overline{AC}\cap g=\lbrace \rbrace </math> 
(Hinweis: Nehmen Sie einen weiteren Punkt D an, mit <math>\overline{AD}\cap g\not=\lbrace \rbrace </math> und nutzen Sie den Satz von Pasch) 
[[Lösung von Aufg. 7.3P (SoSe_26)]] 

==Aufgabe 7.4==
Wir gehen von folgender Definition aus: Ein rechter Winkel ist ein Winkel, der das gleiche Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat. Außerdem gelte Satz IV.2: Nebenwinkel sind supplementär.
Beweisen Sie: Jeder rechte Winkel hat das Maß 90. 

[[Lösung von Aufg. 7.4P (SoSe_26)]] 

[[Kategorie:Geo_P]]

Auftrag der Woche 7 (SoSe 26)

2026-05-31T08:14:21Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „eigen Sie mit Hilfe einer GeoGebra-Applikation, dass beim Experiment mit der Zwei Aufgaben zur Vorbereitung auf die Abbildungsgeometrie SoSe_26| brennenden K…“

eigen Sie mit Hilfe einer GeoGebra-Applikation, dass beim Experiment mit der [[Zwei Aufgaben zur Vorbereitung auf die Abbildungsgeometrie SoSe_26| brennenden Kerze im Wasserglas]] die Position der gespiegelten Flamme unabhängig von der Position des Beobachters ist. 

Falls die Grafik nicht angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 

[[Kategorie:Geo_P]]

Auftrag der Woche SoSe 26, Quiz der Woche SoSe 26, Übungsaufgaben SoSe 26 etc.

2026-05-31T08:13:06Z

Schnirch: /* Woche 6 */

Quiz/Spiel der Woche 6 (SoSe 26)

2026-05-17T09:31:07Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „<quiz> { In welchen Fällen ist der Begriff der Strecke mathematisch korrekt definiert worden?} - Eine Strecke ist die Menge aller Punkte, die zwischen zwei ve…“

<quiz>
{ In welchen Fällen ist der Begriff der Strecke mathematisch korrekt definiert worden?}
- Eine Strecke ist die Menge aller Punkte, die zwischen zwei verschiedenen Punkten, den sogenannten Endpunkte der Strecke, liegen.
|| Das ist leider nur die offene Strecke (Strecke ohne ihre Endpunkte).
- Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zweier verschiedener Punkte.
|| informell ok. aber was heißt das "kürzeste Verbindung" ?
- Eine Strecke ist die Vereinigung ihrer inneren Punkte mit ihren Endpunkten.
|| Was ist das Innere einer Strecke?
+ Eine offene Strecke ist die Menge aller Punkte, die zwischen zwei gegebenen verschiedenen Punkten liegen. Die beiden gegebenen Punkte heißen Endpunkte dieser offenen Strecke. Die Vereinigungsmenge einer offenen Strecke mit der Menge ihrer beiden Endpunkte ist die Strecke , die durch die beiden Endpunkte bestimmt ist.
|| gute Idee: wenn man die Formelsprache meiden möchte, dann ist es einfacher erst den Begriff der offenen Strecke sprachlich zu klären.
+ <math>\overline{AB} := \{P | \left| AP \right| + \left| PB \right| = \left| AB \right| \}</math>
|| Kein Knoten in der Zunge, dafür nach der Formeleingabe in den Fingern.
+ <math>\overline{AB} := \{P | \operatorname{Zw} \left( A, P, B \right)\} \cup \{A, B \} </math>
|| dasselbe, wie grad zuvor, warum?
- Eine Strecke ist eine beliebige konvexe Teilmenge einer Geraden.
|| Wäre eine schöne Definition. Allerdings haben wir den Begriff der konvexen Menge über den Begriff der Strecke definiert. Typischer Fall, sich im Kreis zu drehen.
- Strecke ist, wo wenn es begrenzt und nicht krumm ist.
|| ohne Worte

{ In welchen Fällen ist der Begriff der Halbgerade mathematisch korrekt definiert worden?}
- Eine Halbgerade <math>\ AB^+ </math> ist die Menge aller Punkte <math>\ P</math> für die gilt: <math>\ P</math> liegt zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math>.
|| Damit ist nur die offene Strecke <math>\overline{AB}</math> beschrieben.
- Eine Halbgerade beginnt an einem Startpunkt und läuft geradlinig immer in eine Richtung weiter.
|| Was ist ein Startpunkt? Was heißt geradlinig? Was bedeutet Richtung?
- Eine Halbgerade ist eine Gerade, auf einer Seite begrenzte Linie, die durch zwei Punkte läuft, wobei einer dieser Punkte der Anfangspunkt ist und sich die Linie über den zweiten Punkt ins Unendliche erstreckt.
|| Als informelle Definition könnte das durchgehen, aber was ist eine begrenzte Linie und was sagen uns bloß diese unendlichen Weiten?
- Ein Winkel ist die Vereinigungsmenge zweier Halbgeraden, die einen gemeinsamen Anfangspunkt haben.
|| Hier wird der Begriff der Halbgeraden dazu verwendet den Begriff Winkel zu definieren.
+ Eine Halbgerade <math>\ AB^+</math> ist die Menge der Punkte der Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller Punkte <math>\ P</math> für die gilt: <math>\ B</math> liegt zwischen <math>\ A</math> und <math>\ P</math>.
|| Das ist korrekt!
- Eine Halbgerade <math>\ AB^-</math> ist die Vereinigung des Punktes <math>\ A</math> mit der Menge aller Punkte <math>\ P</math> für die gilt <math> \operatorname{Zw} \left( P,A,B \right)</math>
|| fast, aber wie soll man einen Punkt mit einer Menge von Punkten vereinigen?
+ Eine Halbgerade <math>\ AB^- </math> ist die Vereinigung der Menge, die aus dem Punkt <math>\ A</math> besteht, mit der Menge aller Punkte <math>\ P</math> für die gilt <math>\ \operatorname{Zw}(P,A,B)</math>
|| Jetzt geht es um die Menge , die aus einem Punkt besteht. Diese kann man nun mit einer weiteren Menge vereinigen.
- Halbgeraden sind halbe Geraden.

|| ohne Worte
</quiz>

Lösung von Zusatzaufgabe 6.1 P (SoSe 26)

2026-05-17T09:30:19Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durc…“

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 

a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \| b \wedge b \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . 

b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt? 

[[Kategorie:Geo_P]]

Zusatzaufgaben 6 (SoSe 26)

2026-05-17T09:29:56Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „==Zusatzaufgabe 6.1== Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens…“

==Zusatzaufgabe 6.1==
Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden ''g'' und zu jedem nicht auf ''g'' liegenden Punkt ''A'' gibt es höchstens eine Gerade, die durch ''A'' verläuft und zu ''g'' parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 

a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \| b \wedge b \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . 

b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt? 
[[Lösung von Zusatzaufgabe 6.1_P (SoSe_26)]]

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufg. 6.5P (SoSe 26)

2026-05-17T09:28:48Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Beweisen Sie den Satz von Pasch. Kategorie:Geo_P“

Beweisen Sie den Satz von Pasch. 

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufg. 6.4P (SoSe 26)

2026-05-17T09:28:24Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „a) Formulieren Sie die Kontraposition der Implikation aus Aufgabe 6.3. b) Zeigen Sie mittels einer Skizze, dass die Umkehrung der Implikation aus Aufgabe…“

a) Formulieren Sie die Kontraposition der Implikation aus Aufgabe 6.3. 
b) Zeigen Sie mittels einer Skizze, dass die Umkehrung der Implikation aus Aufgabe 6.3 nicht wahr ist.

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufg. 6.3P (SoSe 26)

2026-05-17T09:27:58Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex. Kategorie:Geo_P“

Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufg. 6.2P (SoSe 26)

2026-05-17T09:27:34Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Definieren Sie den Begriff: "konvexe Punktmenge" indem Sie die verbal formulierte Definition (siehe Halbebenen_und_der_Satz_von_Pasch_SoSe_26#Konvexe_Punktme…“

Definieren Sie den Begriff: "konvexe Punktmenge" indem Sie die verbal formulierte Definition (siehe [[Halbebenen_und_der_Satz_von_Pasch_SoSe_26#Konvexe_Punktmengen|Wiki-Skript)]] in eine geeignete "Mengenschreibweise" übersetzen. 
'''''M'' ist konvex, wenn gilt: ...'''

[[Kategorie:Geo_P]]

Übung Aufgaben 6 (SoSe 26)

2026-05-17T09:26:49Z

Schnirch: /* Aufgabe 6.2 */

==Aufgabe 6.1==
Geben Sie eine formal korrekte Definition für die Halbgerade <math>\ AB^-</math> an, ohne die Zwischenrelation zu verwenden.

[[Lösung von Aufg. 6.1P (SoSe_26)]]

==Aufgabe 6.2==
Definieren Sie den Begriff: "konvexe Punktmenge" indem Sie die verbal formulierte Definition (siehe [[Halbebenen_und_der_Satz_von_Pasch_SoSe_26#Konvexe_Punktmengen|Wiki-Skript)]] in eine geeignete "Mengenschreibweise" übersetzen. 
'''''M'' ist konvex, wenn gilt: ...'''

[[Lösung von Aufg. 6.2P (SoSe_26)]]

== Aufgabe 6.3 ==
Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

[[Lösung von Aufg. 6.3P (SoSe_26)]]

== Aufgabe 6.4 ==
a) Formulieren Sie die Kontraposition der Implikation aus Aufgabe 6.3. 
b) Zeigen Sie mittels einer Skizze, dass die Umkehrung der Implikation aus Aufgabe 6.3 nicht wahr ist.

[[Lösung von Aufg. 6.4P (SoSe_26)]]

== Aufgabe 6.5 ==
Beweisen Sie den Satz von Pasch. 

[[Lösung von Aufg. 6.5P (SoSe_26)]]

[[Kategorie:Geo_P]]

Lösung von Aufg. 6.1P (SoSe 26)

2026-05-17T09:26:16Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Geben Sie eine formal korrekte Definition für die Halbgerade <math>\ AB^-</math> an, ohne die Zwischenrelation zu verwenden. Kategorie:Geo_P“

Geben Sie eine formal korrekte Definition für die Halbgerade <math>\ AB^-</math> an, ohne die Zwischenrelation zu verwenden.

[[Kategorie:Geo_P]]

Übung Aufgaben 6 (SoSe 26)

2026-05-17T09:25:59Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „==Aufgabe 6.1== Geben Sie eine formal korrekte Definition für die Halbgerade <math>\ AB^-</math> an, ohne die Zwischenrelation zu verwenden. Lösung von Au…“

==Aufgabe 6.1==
Geben Sie eine formal korrekte Definition für die Halbgerade <math>\ AB^-</math> an, ohne die Zwischenrelation zu verwenden.

[[Lösung von Aufg. 6.1P (SoSe_26)]]

==Aufgabe 6.2==
Definieren Sie den Begriff: "konvexe Punktmenge" indem Sie die verbal formulierte Definition (siehe [[Halbebenen_und_der_Satz_von_Pasch_WS_25_26#Konvexe_Punktmengen|Wiki-Skript)]] in eine geeignete "Mengenschreibweise" übersetzen. 
'''''M'' ist konvex, wenn gilt: ...'''

[[Lösung von Aufg. 6.2P (SoSe_26)]]

== Aufgabe 6.3 ==
Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

[[Lösung von Aufg. 6.3P (SoSe_26)]]

== Aufgabe 6.4 ==
a) Formulieren Sie die Kontraposition der Implikation aus Aufgabe 6.3. 
b) Zeigen Sie mittels einer Skizze, dass die Umkehrung der Implikation aus Aufgabe 6.3 nicht wahr ist.

[[Lösung von Aufg. 6.4P (SoSe_26)]]

== Aufgabe 6.5 ==
Beweisen Sie den Satz von Pasch. 

[[Lösung von Aufg. 6.5P (SoSe_26)]]

[[Kategorie:Geo_P]]

Auftrag der Woche 6 (SoSe 26)

2026-05-17T09:24:34Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „Im Seminar "Computer im Mathematikunterricht" hat eine Studentin eine Schatzkarte gefunden (siehe unten). Blöderweise ist auf der Insel die Feuerstelle bereit…“

Im Seminar "Computer im Mathematikunterricht" hat eine Studentin eine Schatzkarte gefunden (siehe unten). Blöderweise ist auf der Insel die Feuerstelle bereits verschwunden. 
 Falls die Grafik nicht angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 

#Können Sie den Schatz (Punkt M) trotzdem finden?
#Können Sie beweisen, dass das immer so funktioniert? (Es hat etwas mit den Eigenschaften von Parallelogrammen zu tun - siehe Hilfestelltung) 

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[[Kategorie:Geo_P]]

Auftrag der Woche SoSe 26, Quiz der Woche SoSe 26, Übungsaufgaben SoSe 26 etc.

2026-05-17T09:23:54Z

Schnirch: /* Woche 5 */

Zwei Aufgaben zur Vorbereitung auf die Abbildungsgeometrie SoSe 26

2026-05-17T09:22:59Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „='''Wie könnte dieses Bild entstanden sein?'''= {| class="wikitable" |- | 400px || == Warum brennt die Kerze scheinbar im gefül…“

='''Wie könnte dieses Bild entstanden sein?'''=
{| class="wikitable"

|-
|
[[Bild:Kerze_Hand.jpg|400px]]

||
== Warum brennt die Kerze scheinbar im gefüllten Wasserglas? ==
 
 
 
 
 

|}
 

'''Wie bekommen Sie den Papagei in den Käfig, ohne ihn oder den Käfig mit dem Mauszeiger zu verschieben?''' Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].
 
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" 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'''Ihr Kommentar:'''

[[Category:Geo_P]]

Winkelmaß, Rechte Winkel, Orientierte Winkel SoSe 26

2026-05-17T09:22:05Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „== Das Winkelmaß == === Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? === {| class="wikitable center" |- | Länge einer Strecke || Größe eines Wi…“

== Das Winkelmaß ==
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===

{| class="wikitable center"
|-
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
|-
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
|}

==== Definition IV.6 : (Winkelmaß)====
::Jedem Winkel <math>\ \alpha</math> kann genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180 zugeordnet werden. Diese Zahl wird als Größe oder als Maß des Winkels <math>\ \alpha</math> bezeichnet. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

Wie aus der Schule bekannt, lassen sich Winkelgrößen addieren oder auch subtrahieren: Falls die Grafik nicht angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 

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==== Satz IV.1 ====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.

==== Beweis von Satz IV.1 ====
Für diesen Beweis benötigen wir spezielle Winkelaxiome, auf die wir an dieser Stelle aber verzichten wollen.

== Rechte Winkel ==

==== Definition IV.2 : (Rechter Winkel) ====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

==== Definition IV.3 : (Supplementärwinkel) ====
:: Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

==== Satz IV.2: ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Satz IV.3a : ====
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Beweis von Satz IV.3a : ====
:: Übungsaufgabe 

==== Satz IV.3b : ====
::Jeder Winkel, der das Maß 90 hat ist ein rechter Winkel.

==== Beweis von Satz IV.3b : ====
:: Übungsaufgabe 

Wir haben somit in der Aussage, das Maß 90 zu haben, eine hinreichende und notwendige Bedingung dafür gefunden, ein rechter Winkel zu sein und damit ein Kriterium für einen rechten Winkel gefunden. Dieses Kriterium eignet sich somit als neue Definition des Begriffs "rechter Winkel":

==== Definition IV.4 : (Rechter Winkel) ====
Versuchen Sie sich...

== Die Relation ''Senkrecht'' auf der Menge der Geraden==
===== Definition IV.5 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

===== Definition IV.6 : (noch mehr Senkrecht) =====
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ...

==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

<quiz display="simple">
{Die Relation ''eine Gerade steht senkrecht auf einer anderen Geraden'' hat die folgenden Eigenschaften:
}
- Sie ist reflexiv.
+ Sie ist symmetrisch.
- Sie ist transitiv.
+ Sie ist keine Äquivalenzrelation.
- Sie erzeugt eine Klasseneinteilung auf der Menge aller Geraden.
- Zwei Geraden sind entweder identisch oder stehen senkrecht aufeinander.
</quiz>

==Orientierte Winkel==
Für die kommende Abbildungsgeometrie ist es manchmal hilfreich neben einem Winkel und seinem Winkelmaß auch eine Drehrichtung anzugeben. Diese Drehrichtung gibt die Richtung (im oder gegen den Uhrzeigersinn)an, um die ein Schenkel ''a'' um den Scheitelpunkt ''S'' gedreht werden muss, damit er auf dem zweiten Schenkel ''b'' zu liegen kommt. Die Drehrichtung wird dabei durch einen Pfeil angezeigt.

===== Definition IV.7 : (Orientierter Winkel) =====
Ein Winkel, bei dem die Drehrichtung mit angegeben ist, nennt man '''''Orientierter Winkel'''''.

[[Category:Geo_P]]

Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel SoSe 26

2026-05-17T09:20:47Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „= Winkel = == Begriff des Winkels == === Identifizieren von Winkeln === ==== Repräsentanten und Gegenrepräsentanten ==== In welchen Fällen sind die jeweils …“

= Winkel =
== Begriff des Winkels ==
=== Identifizieren von Winkeln ===
==== Repräsentanten und Gegenrepräsentanten ====
In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?
{| class="wikitable center"
|-
| [[Bild: winkel_01.svg]] || [[Bild: winkel_02.svg]] || [[Bild: winkel_03.svg]] || [[Bild: winkel_04.svg]]
|-
| Punktmenge 1 || Punktmenge 2 || Punktmenge 3 || Punktmenge 4
|-
| [[Bild: winkel_05.svg]] || [[Bild: winkel_06.svg]] || [[Bild: winkel_07.svg]] || [[Bild: winkel_08.svg]]
|-
| Punktmenge 5 || Punktmenge 6 || Punktmenge 7 || Punktmenge 8
|}
''Tabelle 1''
{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Winkelmodell
! kein Winkelmodell
|-
|Punktmenge: 
|Punktmenge: 
|}

==== Prozess der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung ====
In der Didaktik bezeichnen wir die Art und Weise der Erarbeitung eines neuen Begriffs entsprechend obiger Tabelle als induktive Begriffserarbeitung: Eine gewisse Menge an Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des zu erarbeitenden Begriffs wird vorgegeben. Dann teilt man diese Menge in genau zwei Klassen ein. Die eine Klasse bilden alle Begriffsrepräsentanten, die andere Menge der Rest.

Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.

=== Realisieren von Winkeln ===
==== Die Idee des konstruktiven Begriffserwerbs ====
Während beim induktiven Begriffserwerb das Ausgangsmaterial für den Schüler bereits vorgefertigt wurde, generiert er es sich beim konstruktiven Begriffserwerb selbst. Der gute Lehrer lässt in der Regel beide Varianten zur Anwendung kommen.

==== Konstruktion eines Winkels ====
Aufgabe: Zeichne einen Winkel

Lösung:

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Konstruktionsschritt
! Beschreibung
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_01.svg]]
| Zeichne einen Strahl. Nenne den Anfangspunkt S und einen weiteren Punkt auf dem Strahl B.
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_02.svg]]
| Zeichne einen zweiten Strahl, der im Anfangspunkt S beginnt. Zeichne einen Punkt A auf dem zweiten Strahl ein.

|}

=== Definition des Winkelbegriffs ===
==== Definition III.1: (Winkel)====
<math>\angle{ASB}:=SA^+\cup{SB^+}</math>

==== Arten, Winkel zu beschreiben ====

{| class="wikitable center "
! Beispiel
! Beschreibung
! in Zeichen
! Quelltext in Tex
|-
| [[Bild:Winkel_pq.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ p</math> und <math>\ q</math> besteht.
| <math>\angle pq</math>
| \angle pq
|-
| [[Bild:Winkel_ASB.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ SA^+</math> und <math>\ SB^+</math> besteht.
| <math>\angle ASB</math>
| \angle ASB

|}

=== Das Innere eines Winkels ===
==== So ist es zu verstehen ====

Blenden Sie mit den Schiebereglern die Halbebenen sowie das Innere des Winkels aus bzw. ein oder verschieben Sie die Punkte <math>S</math>, <math>A</math> oder <math>B</math>. Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren].

<ggb_applet width="900" height="814" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "false" allowRescaling = "true" />

==== Definition des Inneren eines Winkels ====
===== Definition III.2: (Inneres eines Winkels) =====
Für den Winkel <math>\angle{SAB}</math> gilt: <math>SAB^+ \cap{SBA^+}</math>

===== Satz III.1 =====
:: Das Innere eines Winkels ist konvex.
===== Beweis von Satz III.1 =====
::entsprechend Satz II.2, Satz II.3 und der Definition III.2

==== Überstumpfe Winkel? ====
Bemerkung: Entsprechend Definition III.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.

== Scheitelwinkel und Nebenwinkel ==
=== Scheitelwinkel ===

==== Definition ====
===== Definition III.3: (Scheitelwinkel) =====
'''Ihre Definition:'''
...

=== Nebenwinkel ===

==== Definition ====
===== Definition III.4: (Nebenwinkel) =====
 
'''Ihre Definition:'''
...

[[Category:Geo_P]]

Die WIKI-Seiten für die Geometrie

2026-05-17T09:19:39Z

Schnirch: /* Materialien für das Studium */

=== Wöchentlich ===
* [[Auftrag der Woche_SoSe_26, Quiz der Woche_SoSe_26, Übungsaufgaben_SoSe_26 etc.‎]]

=== Materialien für das Studium ===
* [[Allgemeine Aspekte|Allgemeine Aspekte (Literatur, Ziele, Wiki, Vorgehensweise, Forschung)]]
* {{pdf|Mengenlehre.pdf|Mengenlehre}}
* [[Definitionen in der Mathematik_SoSe_26]]
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* [[Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel SoSe_26]]
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* [[Zwei Aufgaben zur Vorbereitung auf die Abbildungsgeometrie SoSe_26]]

[[Kategorie:Geo_P]]

===Fragen zur Vorlesung===
*[[Ist etwas unklar? Bitte fragen Sie hier!]]

===Hilfestellung für ersten Wikieintrag===
*[[Mein erster Wikieintrag]]

[[Category:Geo_P]]

Strecken und Halbgeraden SoSe 26

2026-05-17T09:17:38Z

Schnirch: /* Definition I.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) */

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und auch Ebenen sind Grundbegriffe, die wir in unserer Geometrie nicht definieren können. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Da wir alle unsere geometrischen Objekte als Punktmengen betrachten, wäre es schön, wenn wir die Strecke als Menge von Punkten mit bestimmten Eigenschaften definieren könnten. An dieser Stelle brauchen wir eine neue Relation, die so genannte Zwischenrelation, die uns diese benötigten Eigenschaften liefert: 
=Vorbetrachtungen:=
==== Der Abstand zweier Punkte ====
Der Begriff des Abstands zweier Punkt ist ebenfalls ein Grundbegriff, den wir nicht definieren werden können. Wir können uns den Abstand aber als genau eine reelle Zahl vorstellen, die zwei Punkten eindeutig zugeordnet werden kann (intuitiv: das Maß der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten). Für den Abstand der beiden Punkte ''A'' und ''B'' schreibt man: <math>\left| AB \right|</math>

=====Definition I/1: (kollinear)=====
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind.

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizieren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben: Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Die Dreiecksungleichung =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition I.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz I.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.1 =====
:: Beweis: Folgt aus Symmetriebetrachtungen und dass: <math>\left| AB \right|=\left| BA \right|</math>

===== Satz I.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.2 =====
:: Beweis: Folgt aus der Definition Zw und Definition koll

===== Satz I.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.3: =====
::Übungsaufgabe

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition I.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier: 

Mit dem Begriff des Abstands können wir einer Strecke eindeutig eine Länge zuordnen.

===== Definition I.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand zwischen den Punkten A und B ist die Länge der Strecke AB. 

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

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===== Definition I.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition: Halbgerade <math>AB^+</math> (ergänzen Sie) 
{P│Zw (A, P, B)} ∪ {P│Zw (A, B, P)} ∪ {A,B}

<math>\Leftrightarrow AB^{+}:= \overline{AB} \cup \left \{P|Zw(A,B,P) \right\}</math>

:Definition: Halbgerade <math>AB^-</math> (ergänzen Sie) 
{P│Zw (P, A, B)} ∪ A

 

[[Category:Geo_P]]

Halbebenen und der Satz von Pasch SoSe 26

2026-05-09T13:32:43Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „= Halbebenen und der Satz von Pasch = == Halbebenen == === Analogiebetrachtungen === Falls die Grafik nicht angezeigt wird, können Sie mit folgendem Lin…“

= Halbebenen und der Satz von Pasch =
== Halbebenen ==
=== Analogiebetrachtungen ===
 Falls die Grafik nicht angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 

{| class="wikitable center"
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbgeraden'''</center>
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbebenen'''</center>

|-
| <ggb_applet width="398" height="401" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

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|}

=== Definition des Begriffs der Halbebene ===
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====
{|
|-
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\epsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\epsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \epsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]
|-
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\epsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\epsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]
|}
==== Offene Halbebenen ====
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \epsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \epsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \epsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \epsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.

===== Definition II.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \varepsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \varepsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \varepsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :

::::<math>\ gQ^{+}:= \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g=\phi } \right\}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \left\{ {P|\overline{PQ} \cap g\neq\phi } \right\} \setminus g </math>

==== Halbebenen ====
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

===== Definition II.2: (Halbebene) =====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Der weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen. 

==== Definition II.3: Halbraum====

Gegeben sei eine Ebene E und ein Raum R, der E enthält. Die Punkte des Raumes, die nicht in E liegen, bilden zwei Mengen derart, dass gilt: 
:: Offener Halbraum <math>\ EQ^{+} :=\left\{ {P|\overline{PQ} \cap E=\phi } \right\}</math>
:: Offener Halbraum <math>\ EQ^{-} :=\left\{ {P|\overline{PQ} \cap E=\left\{ {S} \right\} } \right\}</math> 

== Der Satz von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==
 Falls die Grafik nicht angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 

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===== Satz II.1: Der Satz von Pasch =====
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

===== Beweis des Satz von Pasch =====
Übungsaufgabe

= Konvexe Punktmengen =
=====Definition II.4: (konvexe Punktmenge)=====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.

===== Satz II.2 =====
::Halbebenen sind konvexe Punktmengen

===== Beweis von Satz II.2 =====
trivial (Der Leser überzeuge sich davon)

===== Satz II.3 =====
::Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
===== Beweis von Satz II.3 =====
Es seien <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> zwei konvexe Mengen.

zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> ist auch konvex.

[[Category:Geo_P]]

Strecken und Halbgeraden SoSe 26

2026-05-09T13:30:36Z

Schnirch: Die Seite wurde neu angelegt: „= Strecken, intuitiv = Punkte, Geraden und auch Ebenen sind Grundbegriffe, die wir in unserer Geometrie nicht definieren können. Für Strecken wird uns das ge…“

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und auch Ebenen sind Grundbegriffe, die wir in unserer Geometrie nicht definieren können. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Da wir alle unsere geometrischen Objekte als Punktmengen betrachten, wäre es schön, wenn wir die Strecke als Menge von Punkten mit bestimmten Eigenschaften definieren könnten. An dieser Stelle brauchen wir eine neue Relation, die so genannte Zwischenrelation, die uns diese benötigten Eigenschaften liefert: 
=Vorbetrachtungen:=
==== Der Abstand zweier Punkte ====
Der Begriff des Abstands zweier Punkt ist ebenfalls ein Grundbegriff, den wir nicht definieren werden können. Wir können uns den Abstand aber als genau eine reelle Zahl vorstellen, die zwei Punkten eindeutig zugeordnet werden kann (intuitiv: das Maß der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten). Für den Abstand der beiden Punkte ''A'' und ''B'' schreibt man: <math>\left| AB \right|</math>

=====Definition I/1: (kollinear)=====
::Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
::Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind.

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizieren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben: Falls nichts angezeigt wird, können Sie mit folgendem Link [{{fullurl:{{PAGENAME}}|action=purge}} den Servercache leeren]. 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Die Dreiecksungleichung =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition I.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz I.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.1 =====
:: Beweis: Folgt aus Symmetriebetrachtungen und dass: <math>\left| AB \right|=\left| BA \right|</math>

===== Satz I.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.2 =====
:: Beweis: Folgt aus der Definition Zw und Definition koll

===== Satz I.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz I.3: =====
::Übungsaufgabe

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition I.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier: 

Mit dem Begriff des Abstands können wir einer Strecke eindeutig eine Länge zuordnen.

===== Definition I.4: (Länge einer Strecke) =====
::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand zwischen den Punkten A und B ist die Länge der Strecke AB. 

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition I.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
:Definition: Halbgerade <math>AB^+</math> (ergänzen Sie) 

:Definition: Halbgerade <math>AB^-</math> (ergänzen Sie) 

 

[[Category:Geo_P]]

Die WIKI-Seiten für die Geometrie

2026-05-09T13:27:21Z

Schnirch: /* Materialien für das Studium */