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Lösung von Aufgabe 11.5P (SoSe 12)

2012-07-13T18:29:29Z

Schnitzel:

Das Dreieck <math>\overline{ABC}</math> wird an Punkt ''D'' um 90 gedreht. Das gedrehte Dreieck wird nun um den eingezeichneten Vektor verschoben. Gibt es einen Punkt der Ebene, der nun genau wieder an seinem ursprünglichen Ort liegt? Konstruieren Sie ggf. diesen Punkt und begründen Sie! 
<ggb_applet width="624" height="445" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

Punkt g, meine konstruktion: 
1. eine senkrechte zum verktor durch den punkt d. 
2. punkt f: halbe vektorlänge vom punkt d abgetragen 
3. senkrechte zu df durch den punkt f
4. halbe vektorlänge abgetragen --> punkt g 
begründung: 
1. der gesuchte punkt muss durch die drehung an genau den punkt kommen, der genau gegenläufig dem vektor liegt (ich weiß nicht, wie man dies nennt), d.h. der punkt g und der punkt g' liegen parallel zum vektor und der abstand von g zu g' entspricht der vektorlänge. 
2. genaue lage des punktes g: kann ich nicht wirklich begründen; ich habe mir ein quadrat vorgestellt, g ung g' sind zwei ecken des quadrates und die diagonalen des quadrates schneiden sich in d. daher sind sowohl der abstand zwischen d und f als auch zwischen f und g die halbe vektorlänge) 
[[Datei:11.5.JPG]]
--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 22:31, 1. Jul. 2012 (CEST) 
Du kommst auf den richtigen Punkt G. Allerdings kannst du die Schritte selbst nicht ganz begründen. G kann auch anders konstruiert werden. 
Denkt hier daran, dass eine Drehung eine Verkettung zweier Geradenspiegelungen, die sich schneiden ist und eine Verschiebung, eine Verkettung zweier paralleler Geradenspiegelungen. Zeichnet diese ein und schiebt sie so ineinander, dass ihr möglichst einige Spiegelungen reduzieren könnt.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 20:21, 5. Jul. 2012 (CEST) 
ich finde meine konstruktion okay - ich habe es mir viel leichter gemacht und immerhin muss ich nicht zwei spiegelachsen übereinander schieben. ;-) 
ich weiss nur nicht, wie ich sie hier schriftlich erklären soll... 
vielleicht kann es jemand nachvollziehen und die begründung nachreichen?--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 22:46, 9. Jul. 2012 (CEST) 

45 minuten später versuche ich es selöbst noch einmal, ich habe das quadrat eingezeichnet: [[Datei:11.5 (2).JPG]] 
wenn ich weiss, dass der gesuchte punkt (p) bei einer drehung um 90° so ankommen muss (p'), dass er bei der anschließenden verschiebung (p´´) um den vektor wieder bei seinem ursprungspunkt (p) landet, weiß ich ja, dass die punkte p und p' irgendwo parallel zum vektor liegen müssen und der abstand beider punkte der vektorlänge entsprechen muss. 
gleichzeitig weiß ich ja, dass der abstand zwischen punkt p und d gleich groß dem abstand des punktes p' zu d sein muss. (drehung) 
der winkel pdd' soll 90° betragen. also habe ich ein dreieck dpp' mit pp' dem gleichen abstand entsprechend der vektorlänge und dem abstand d zu f (mittelpunkt der strecke pp') mit der halben vektorlänge. 
... ich merke selbst, dass ich es wohl am bild mündlich erklären müsste... --[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 23:31, 9. Jul. 2012 (CEST) 

* Danke für die ausführliche Erklärung und Begründung deiner Konstruktion. Ich kann diese nachvollziehen und würde sagen, sie ist korrekt. Es gibt auch die Möglichkeit über Achsenverschiebung zu argumentieren, dann kann man sich auch gleich auf Aufgabe 11.4 beziehen - falls man diese mit Achsenverschiebungen begründet hat.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 09:17, 10. Jul. 2012 (CEST)
 

Hi,
da ich irgendwie noch nicht ganz verstanden habe, wie man Dateien von geogebra hier einspeichert, schreibe ich kurz die Lösung.
Wir haben die Drehung Sa°Sb und die zwei parallelen Achsenspiegelungen Sc°Sd, wobei deren Abstand = der Vektorlänge ist. Jetzt kann ich - wie bei Aufgabe 11.4 gezeigt - bei einer Verkettung dieser Spiegelungen die Spiegelachsen so drehen bzw. die Parallelen so verschieben, dass Sa°Sc`identisch sind und wegfallen. Es bleibt die Verkettung Sb°Sd` übrig. Mathemtischer betrachtet sieht das so aus: (Sa°Sb)°(Sc°Sd)=(Sa°Sc`)[wobei diese id. sind und wegfallen werden]°(Sb°Sd`)=Sb°Sd`, mit Winkel (b,S2,d`)=45° und |ad`|=Vektorlänge.
D.H. Jener Punkt des Dreiecks ABC wird bei der ingesamten Ausführung wieder auf sich selbst abgebildet, der durch den "zweiten Drehpunkt S2" geht, weil dieser Punkt der einzige Punkt ist, der bei der Verkettung von Sb°Sd` Fixpunkt ist. [[Benutzer:Schnitzel|Schnitzel]] 12:01, 13. Jul. 2012 (CEST)

 
 
So sehe ich das auch!
Allerding müsste der Abstand |Sc°Sd| (kann man das so überhaupt schreiben??) die halbe Vektorlänge sein da bei einer Verschiebund um den doppelten Abstand zwischen den beiden Spiegelachsen verschoben wird. Sprich der Voktor ist doppelt so lang wie der Abstand zwischen Sc und Sd.
--[[Benutzer:Jussuf Ölkan|Jussuf Ölkan]] 17:17, 13. Jul. 2012 (CEST)

Jo, stimmt, du hast Recht. Die Vektorlänge beschreibt ja die Länge zwischen zwei Punkten (wie man bei "Studentin" gut sehen kann). Deshalb muss der Abstand zwischen den beiden parallen Spiegelachsen die Hälfte des Vektors betragen, damit das mit dem Urpunkt und dem Bildpunkt hinhaut. Vielen Dank :) [[Benutzer:Schnitzel|Schnitzel]] 20:28, 13. Jul. 2012 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufgabe 11.5P (SoSe 12)

2012-07-13T18:29:05Z

Schnitzel:

Lösung von Aufgabe 11.5P (SoSe 12)

2012-07-13T18:28:33Z

Schnitzel:

Lösung von Aufgabe 11.5P (SoSe 12)

2012-07-13T18:28:14Z

Schnitzel:

Lösung von Aufgabe 11.5P (SoSe 12)

2012-07-13T10:01:42Z

Schnitzel:

Lösung von Aufg. 5.3P (SoSe 12)

2012-05-25T15:20:05Z

Schnitzel:

Definition: Halbgerade <math>AB^-</math>
::Gegeben seien zwei nicht identische Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter <math>\ AB^-</math> wollen wir die Menge aller Punkte <math>\ P</math> verstehen, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ A</math> hinaus verlängert.

Geben Sie eine formal korrekte Definition für die Menge dieser Punkte <math>\ P</math> an.

<math>AB^-</math> = {P} \ <math>AB^+</math>

Damit meien ich alle Punkte P die nicht auf <math>AB^+</math> liegen somit ist ja schon alles ausgeschlossen und es ist <math>AB^-</math> definiert? oder? --[[Benutzer:Malilglowka|Malilglowka]] 15:51, 23. Mai 2012 (CEST) 

du meinst bestimmt
<math>\ AB^{-} = AB \setminus \ AB^{+}</math> , 
also die gesamte gerade, die durch a und b geht, aber ohne <math> \ AB^{+}</math> , oder? 
zu <math> \ AB^{+}</math> und <math>\ AB^{-} </math> gehört jeweils der punkt a. 
wenn du also <math>\ AB^{+}</math> von der geraden abziehst, fehlt der halbgeraden das der punkt a, daher muss dieser noch zugefügt werden: 
<math>\ AB^{-} = AB \setminus \ AB^{+}</math> <math>\cup \{ A\}</math> 
--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 16:13, 23. Mai 2012 (CEST)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ich verstehe die Def. nicht ganz. Warum genügt es bei AB^- {P| ZW(P,A,B)} U {A} zu schreiben? Ich weiß, dass damit gesagt wird, dass NUR die Strecke |PA| OHNE |AB| + A zu bedrachten ist.
Bei AB^+ schreiben wir '''jedoch''' |AB| U {P| ZW(A,B,P)} und beziehen bei der ZW hierbei |BP| mit ein (der rechte Teil der Halbstrecke, der nach |AB| kommt).
Ich glaube mein Problem bezieht sich auf das Verständnis der ZW. Bei AB^+ schreiben wir ZW(A,B,P) und meinen die Strecke |AB|+|BP|?! Bei AB^- schreiben wir ZW(P,A,B) und meinen |PA| OHNE |AB|?! Das erscheint mir etwas unverständlich, bitte um Hilfe! [[Benutzer:Schnitzel|Schnitzel]] 

[[Datei:Ab+, ab- 002.jpg|600px]]eine orangene geschweifte klammer hab ich vergessen zu schreiben...--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 15:59, 25. Mai 2012 (CEST)
 hallo 
leider vertehe ich deine frage nicht ganz, da es nie um eine strecke |ap| geht. 
bei ab+ geht es um die halbgerade, die bei a beginnt, und zwar ins unendliche in richtung b 
bei ab+ geht es um die halbgerade, die bei a beginnt, und zwar ins unendliche in richtung entgegengesetzt b 
im beispiel in der zeichnung also: 
ab+: alle punkte, die links von a liegen, einschließlich a 
ab-: alle punkte, die rechts von a liegen einschließlich a 
aufgedröselt wäre es für ab+: 
orange: alle punkte p zw. a und b 
türkis: alle punkte p rechts von b 
lila: punkt a 
grün: punkt b 
aufgedröselt wäre es für ab-: 
pink: alle punkte p links von a 
lila: punkt a 

oben steht noch ein anderer vorschlag: 
man nimmt, um ab- zu erhalten, die gesamte gerade (in der zeichnung ganz oben im bild), 
zieht von dieser ab+ ab (also alles rechts von a (einschließlich a)) und muss dann aber a nochmals dazugeben 
(da a ja mit ab+ abgezogen wurde.)--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 15:59, 25. Mai 2012 (CEST)

p.s.: vielleicht hast du dieses problem mit zwischen?!?: 
wenn zw (a, b, p) geschrieben wird, werden alle punkte gemeint, die in meiner zeichnung rechts von b liegen, die strecke ab ist also nicht dabei (türkis) 
wenn zw (p, a, b) geschrieben wird, werden alle punkte gemeint, die in meiner zeichnung links von a liegen, die strecke ab ist also auch nicht dabei (pink). 
bei ab+ benötigen wir aber die strecke ab, da wir ja alle punkte brauchen, die rechts von a liegen (also auch die strecke ab), bei ab- benötigen wir die strecke ab dagegen nicht, da sie nicht links von a liegt. 
war das die frage?--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 16:06, 25. Mai 2012 (CEST)

Hi Studentin,
erstmal vielen Dank für Deine Mühe! Dein zweiter Beitrag erklärt meine Frage und beantwortet diese auch!
Eine abschließende Frage - zur Kontrolle, ob ich es wirklich verstanden habe - hätte ich dazu noch. OHNE die Kenntnis der Streckeneinteilung (Bei uns durch AB gegeben) wüsste man aber dann doch nicht, welche Punkte gemeint sind, wenn zum Beispiel zw (a, b, p) gilt, oder? Statt alle Punkte rechts von b, könnten dann doch auch alle Punkte links von b gemeint sein?!

D.h. will man Halbgeraden '''mit Hilfe''' von Zwischenrelationen definieren, so muss '''zuerst''' die Streckeneinteilung durch zwei Punkte eindeutig festgelegt werden (Bsp. AB). '''Erst danach gilt für''':

1. ZW(A,B,P) = meint alle Punkte, die rechts von B liegen

2. ZW(P,A,B) = meint alle Punkte, die links von A liegen

Eine bloße Zwischenrelation (A,B,C) sagt nur aus, dass B zwischen den beiden Punkten A und C liegt, |AB|+BC|=|AC| gilt und dass der Punkt B sowohl von A als auch von C verschieden ist.

Ich hoffe, dass damit alles geklärt ist und wünsche ein schönes Wochenende :) -----[[Benutzer:Schnitzel|Schnitzel]] 17:20, 25. Mai 2012 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 5.3P (SoSe 12)

2012-05-25T15:18:18Z

Schnitzel:

Definition: Halbgerade <math>AB^-</math>
::Gegeben seien zwei nicht identische Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter <math>\ AB^-</math> wollen wir die Menge aller Punkte <math>\ P</math> verstehen, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ A</math> hinaus verlängert.

Geben Sie eine formal korrekte Definition für die Menge dieser Punkte <math>\ P</math> an.

<math>AB^-</math> = {P} \ <math>AB^+</math>

Damit meien ich alle Punkte P die nicht auf <math>AB^+</math> liegen somit ist ja schon alles ausgeschlossen und es ist <math>AB^-</math> definiert? oder? --[[Benutzer:Malilglowka|Malilglowka]] 15:51, 23. Mai 2012 (CEST) 

du meinst bestimmt
<math>\ AB^{-} = AB \setminus \ AB^{+}</math> , 
also die gesamte gerade, die durch a und b geht, aber ohne <math> \ AB^{+}</math> , oder? 
zu <math> \ AB^{+}</math> und <math>\ AB^{-} </math> gehört jeweils der punkt a. 
wenn du also <math>\ AB^{+}</math> von der geraden abziehst, fehlt der halbgeraden das der punkt a, daher muss dieser noch zugefügt werden: 
<math>\ AB^{-} = AB \setminus \ AB^{+}</math> <math>\cup \{ A\}</math> 
--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 16:13, 23. Mai 2012 (CEST)
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Ich verstehe die Def. nicht ganz. Warum genügt es bei AB^- {P| ZW(P,A,B)} U {A} zu schreiben? Ich weiß, dass damit gesagt wird, dass NUR die Strecke |PA| OHNE |AB| + A zu bedrachten ist.
Bei AB^+ schreiben wir '''jedoch''' |AB| U {P| ZW(A,B,P)} und beziehen bei der ZW hierbei |BP| mit ein (der rechte Teil der Halbstrecke, der nach |AB| kommt).
Ich glaube mein Problem bezieht sich auf das Verständnis der ZW. Bei AB^+ schreiben wir ZW(A,B,P) und meinen die Strecke |AB|+|BP|?! Bei AB^- schreiben wir ZW(P,A,B) und meinen |PA| OHNE |AB|?! Das erscheint mir etwas unverständlich, bitte um Hilfe! [[Benutzer:Schnitzel|Schnitzel]] 

[[Datei:Ab+, ab- 002.jpg|600px]]eine orangene geschweifte klammer hab ich vergessen zu schreiben...--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 15:59, 25. Mai 2012 (CEST)
 hallo 
leider vertehe ich deine frage nicht ganz, da es nie um eine strecke |ap| geht. 
bei ab+ geht es um die halbgerade, die bei a beginnt, und zwar ins unendliche in richtung b 
bei ab+ geht es um die halbgerade, die bei a beginnt, und zwar ins unendliche in richtung entgegengesetzt b 
im beispiel in der zeichnung also: 
ab+: alle punkte, die links von a liegen, einschließlich a 
ab-: alle punkte, die rechts von a liegen einschließlich a 
aufgedröselt wäre es für ab+: 
orange: alle punkte p zw. a und b 
türkis: alle punkte p rechts von b 
lila: punkt a 
grün: punkt b 
aufgedröselt wäre es für ab-: 
pink: alle punkte p links von a 
lila: punkt a 

oben steht noch ein anderer vorschlag: 
man nimmt, um ab- zu erhalten, die gesamte gerade (in der zeichnung ganz oben im bild), 
zieht von dieser ab+ ab (also alles rechts von a (einschließlich a)) und muss dann aber a nochmals dazugeben 
(da a ja mit ab+ abgezogen wurde.)--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 15:59, 25. Mai 2012 (CEST)

p.s.: vielleicht hast du dieses problem mit zwischen?!?: 
wenn zw (a, b, p) geschrieben wird, werden alle punkte gemeint, die in meiner zeichnung rechts von b liegen, die strecke ab ist also nicht dabei (türkis) 
wenn zw (p, a, b) geschrieben wird, werden alle punkte gemeint, die in meiner zeichnung links von a liegen, die strecke ab ist also auch nicht dabei (pink). 
bei ab+ benötigen wir aber die strecke ab, da wir ja alle punkte brauchen, die rechts von a liegen (also auch die strecke ab), bei ab- benötigen wir die strecke ab dagegen nicht, da sie nicht links von a liegt. 
war das die frage?--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 16:06, 25. Mai 2012 (CEST)

Hi Studentin,
erstmal vielen Dank für Deine Mühe! Dein zweiter Beitrag erklärt meine Frage und beantwortet diese auch!
Eine abschließende Frage - zur Kontrolle, ob ich es wirklich verstanden habe - hätte ich dazu noch. OHNE die Kenntnis der Streckeneinteilung (Bei uns durch AB gegeben) wüsste man aber dann doch nicht, welche Punkte gemeint sind, wenn zum Beispiel zw (a, b, p) gilt, oder? Statt alle Punkte rechts von b, könnten dann doch auch alle Punkte links von b gemeint sein?!

D.h. will man Halbgeraden '''mit Hilfe''' von Zwischenrelationen definieren, so muss '''zuerst''' die Streckeneinteilung durch zwei Punkte eindeutig festgelegt werden (Bsp. AB). '''Erst danach gilt für''':

1. ZW(A,B,P) = meint alle Punkte, die rechts von B liegen

2. ZW(P,A,B) = meint alle Punkte, die links von A liegen

Eine bloße Zwischenrelation (A,B,C) sagt nur aus, dass B zwischen den beiden Punkten A und B liegt, |AB|+BC|=|AC| gilt und dass der Punkt B sowohl von A als auch von C verschieden ist.

Ich hoffe, dass damit alles geklärt ist und wünsche ein schönes Wochenende :) -----[[Benutzer:Schnitzel|Schnitzel]] 17:18, 25. Mai 2012 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 5.3P (SoSe 12)

2012-05-25T15:17:51Z

Schnitzel:

Definition: Halbgerade <math>AB^-</math>
::Gegeben seien zwei nicht identische Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter <math>\ AB^-</math> wollen wir die Menge aller Punkte <math>\ P</math> verstehen, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ A</math> hinaus verlängert.

Geben Sie eine formal korrekte Definition für die Menge dieser Punkte <math>\ P</math> an.

<math>AB^-</math> = {P} \ <math>AB^+</math>

Damit meien ich alle Punkte P die nicht auf <math>AB^+</math> liegen somit ist ja schon alles ausgeschlossen und es ist <math>AB^-</math> definiert? oder? --[[Benutzer:Malilglowka|Malilglowka]] 15:51, 23. Mai 2012 (CEST) 

du meinst bestimmt
<math>\ AB^{-} = AB \setminus \ AB^{+}</math> , 
also die gesamte gerade, die durch a und b geht, aber ohne <math> \ AB^{+}</math> , oder? 
zu <math> \ AB^{+}</math> und <math>\ AB^{-} </math> gehört jeweils der punkt a. 
wenn du also <math>\ AB^{+}</math> von der geraden abziehst, fehlt der halbgeraden das der punkt a, daher muss dieser noch zugefügt werden: 
<math>\ AB^{-} = AB \setminus \ AB^{+}</math> <math>\cup \{ A\}</math> 
--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 16:13, 23. Mai 2012 (CEST)
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Ich verstehe die Def. nicht ganz. Warum genügt es bei AB^- {P| ZW(P,A,B)} U {A} zu schreiben? Ich weiß, dass damit gesagt wird, dass NUR die Strecke |PA| OHNE |AB| + A zu bedrachten ist.
Bei AB^+ schreiben wir '''jedoch''' |AB| U {P| ZW(A,B,P)} und beziehen bei der ZW hierbei |BP| mit ein (der rechte Teil der Halbstrecke, der nach |AB| kommt).
Ich glaube mein Problem bezieht sich auf das Verständnis der ZW. Bei AB^+ schreiben wir ZW(A,B,P) und meinen die Strecke |AB|+|BP|?! Bei AB^- schreiben wir ZW(P,A,B) und meinen |PA| OHNE |AB|?! Das erscheint mir etwas unverständlich, bitte um Hilfe! [[Benutzer:Schnitzel|Schnitzel]] 

[[Datei:Ab+, ab- 002.jpg|600px]]eine orangene geschweifte klammer hab ich vergessen zu schreiben...--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 15:59, 25. Mai 2012 (CEST)
 hallo 
leider vertehe ich deine frage nicht ganz, da es nie um eine strecke |ap| geht. 
bei ab+ geht es um die halbgerade, die bei a beginnt, und zwar ins unendliche in richtung b 
bei ab+ geht es um die halbgerade, die bei a beginnt, und zwar ins unendliche in richtung entgegengesetzt b 
im beispiel in der zeichnung also: 
ab+: alle punkte, die links von a liegen, einschließlich a 
ab-: alle punkte, die rechts von a liegen einschließlich a 
aufgedröselt wäre es für ab+: 
orange: alle punkte p zw. a und b 
türkis: alle punkte p rechts von b 
lila: punkt a 
grün: punkt b 
aufgedröselt wäre es für ab-: 
pink: alle punkte p links von a 
lila: punkt a 

oben steht noch ein anderer vorschlag: 
man nimmt, um ab- zu erhalten, die gesamte gerade (in der zeichnung ganz oben im bild), 
zieht von dieser ab+ ab (also alles rechts von a (einschließlich a)) und muss dann aber a nochmals dazugeben 
(da a ja mit ab+ abgezogen wurde.)--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 15:59, 25. Mai 2012 (CEST)

p.s.: vielleicht hast du dieses problem mit zwischen?!?: 
wenn zw (a, b, p) geschrieben wird, werden alle punkte gemeint, die in meiner zeichnung rechts von b liegen, die strecke ab ist also nicht dabei (türkis) 
wenn zw (p, a, b) geschrieben wird, werden alle punkte gemeint, die in meiner zeichnung links von a liegen, die strecke ab ist also auch nicht dabei (pink). 
bei ab+ benötigen wir aber die strecke ab, da wir ja alle punkte brauchen, die rechts von a liegen (also auch die strecke ab), bei ab- benötigen wir die strecke ab dagegen nicht, da sie nicht links von a liegt. 
war das die frage?--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 16:06, 25. Mai 2012 (CEST)

Hi Studentin,
erstmal vielen Dank für Deine Mühe! Dein zweiter Beitrag erklärt meine Frage und beantwortet diese auch!
Eine abschließende Frage - zur Kontrolle, ob ich es wirklich verstanden habe - hätte ich dazu noch. OHNE die Kenntnis der Streckeneinteilung (Bei uns durch AB gegeben) wüsste man aber dann doch nicht, welche Punkte gemeint sind, wenn zum Beispiel zw (a, b, p) gilt, oder? Statt alle Punkte rechts von b, könnten dann doch auch alle Punkte links von b gemeint sein?!

D.h. will man Halbgeraden '''mit Hilfe''' von Zwischenrelationen definieren, so muss '''zuerst''' die Streckeneinteilung durch zwei Punkte eindeutig festgelegt werden (Bsp. AB). '''Erst danach gilt für''':

1. ZW(A,B,P) = meint alle Punkte, die rechts von B liegen

2. ZW(P,A,B) = meint alle Punkte, die links von A liegen

Eine bloße Zwischenrelation (A,B,C) sagt nur aus, dass B zwischen den beiden Punkten A und B liegt, |AB|+BC|=|AC| gilt und dass der Punkt B sowohl von A als auch von C verschieden ist.

Ich hoffe, dass damit alles geklärt ist und wünsche ein schönes Wochenende :) -----[[Benutzer:Schnitzel|Schnitzel]] 17:03, 25. Mai 2012 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 5.3P (SoSe 12)

2012-05-25T15:03:44Z

Schnitzel:

Definition: Halbgerade <math>AB^-</math>
::Gegeben seien zwei nicht identische Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter <math>\ AB^-</math> wollen wir die Menge aller Punkte <math>\ P</math> verstehen, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ A</math> hinaus verlängert.

Geben Sie eine formal korrekte Definition für die Menge dieser Punkte <math>\ P</math> an.

<math>AB^-</math> = {P} \ <math>AB^+</math>

Damit meien ich alle Punkte P die nicht auf <math>AB^+</math> liegen somit ist ja schon alles ausgeschlossen und es ist <math>AB^-</math> definiert? oder? --[[Benutzer:Malilglowka|Malilglowka]] 15:51, 23. Mai 2012 (CEST) 

du meinst bestimmt
<math>\ AB^{-} = AB \setminus \ AB^{+}</math> , 
also die gesamte gerade, die durch a und b geht, aber ohne <math> \ AB^{+}</math> , oder? 
zu <math> \ AB^{+}</math> und <math>\ AB^{-} </math> gehört jeweils der punkt a. 
wenn du also <math>\ AB^{+}</math> von der geraden abziehst, fehlt der halbgeraden das der punkt a, daher muss dieser noch zugefügt werden: 
<math>\ AB^{-} = AB \setminus \ AB^{+}</math> <math>\cup \{ A\}</math> 
--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 16:13, 23. Mai 2012 (CEST)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ich verstehe die Def. nicht ganz. Warum genügt es bei AB^- {P| ZW(P,A,B)} U {A} zu schreiben? Ich weiß, dass damit gesagt wird, dass NUR die Strecke |PA| OHNE |AB| + A zu bedrachten ist.
Bei AB^+ schreiben wir '''jedoch''' |AB| U {P| ZW(A,B,P)} und beziehen bei der ZW hierbei |BP| mit ein (der rechte Teil der Halbstrecke, der nach |AB| kommt).
Ich glaube mein Problem bezieht sich auf das Verständnis der ZW. Bei AB^+ schreiben wir ZW(A,B,P) und meinen die Strecke |AB|+|BP|?! Bei AB^- schreiben wir ZW(P,A,B) und meinen |PA| OHNE |AB|?! Das erscheint mir etwas unverständlich, bitte um Hilfe! [[Benutzer:Schnitzel|Schnitzel]] 

[[Datei:Ab+, ab- 002.jpg|600px]]eine orangene geschweifte klammer hab ich vergessen zu schreiben...--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 15:59, 25. Mai 2012 (CEST)
 hallo 
leider vertehe ich deine frage nicht ganz, da es nie um eine strecke |ap| geht. 
bei ab+ geht es um die halbgerade, die bei a beginnt, und zwar ins unendliche in richtung b 
bei ab+ geht es um die halbgerade, die bei a beginnt, und zwar ins unendliche in richtung entgegengesetzt b 
im beispiel in der zeichnung also: 
ab+: alle punkte, die links von a liegen, einschließlich a 
ab-: alle punkte, die rechts von a liegen einschließlich a 
aufgedröselt wäre es für ab+: 
orange: alle punkte p zw. a und b 
türkis: alle punkte p rechts von b 
lila: punkt a 
grün: punkt b 
aufgedröselt wäre es für ab-: 
pink: alle punkte p links von a 
lila: punkt a 

oben steht noch ein anderer vorschlag: 
man nimmt, um ab- zu erhalten, die gesamte gerade (in der zeichnung ganz oben im bild), 
zieht von dieser ab+ ab (also alles rechts von a (einschließlich a)) und muss dann aber a nochmals dazugeben 
(da a ja mit ab+ abgezogen wurde.)--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 15:59, 25. Mai 2012 (CEST)

p.s.: vielleicht hast du dieses problem mit zwischen?!?: 
wenn zw (a, b, p) geschrieben wird, werden alle punkte gemeint, die in meiner zeichnung rechts von b liegen, die strecke ab ist also nicht dabei (türkis) 
wenn zw (p, a, b) geschrieben wird, werden alle punkte gemeint, die in meiner zeichnung links von a liegen, die strecke ab ist also auch nicht dabei (pink). 
bei ab+ benötigen wir aber die strecke ab, da wir ja alle punkte brauchen, die rechts von a liegen (also auch die strecke ab), bei ab- benötigen wir die strecke ab dagegen nicht, da sie nicht links von a liegt. 
war das die frage?--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 16:06, 25. Mai 2012 (CEST)

Hi Studentin,
erstmal vielen Dank für Deine Mühe! Dein zweiter Beitrag erklärt meine Frage und beantwortet diese auch!
Eine abschließende Frage - zur Kontrolle, ob ich es wirklich verstanden habe - hätte ich dazu noch. OHNE die Kenntnis der Streckeneinteilung (Bei uns durch AB gegeben) wüsste man aber dann doch nicht, welche Punkte gemeint sind, wenn zum Beispiel zw (a, b, p) gilt, oder? Statt alle Punkte rechts von b, könnten dann doch auch alle Punkte links von b gemeint sein?!

D.h. will man Halbgeraden '''mit Hilfe''' von Zwischenrelationen definieren, so muss '''zuerst''' die Streckeneinteilung durch zwei Punkte eindeutig festgelegt werden (Bsp. AB). '''Erst danach gilt für''':

1. ZW(A,B,P) = meint alle Punkte, die rechts von B liegen

2. ZW(P,A,B) = meint alle Punkte, die links von A liegen

Ich hoffe, dass damit alles geklärt ist und wünsche ein schönes Wochenende :) -----[[Benutzer:Schnitzel|Schnitzel]] 17:03, 25. Mai 2012 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 5.3P (SoSe 12)

2012-05-25T15:02:52Z

Schnitzel:

Definition: Halbgerade <math>AB^-</math>
::Gegeben seien zwei nicht identische Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter <math>\ AB^-</math> wollen wir die Menge aller Punkte <math>\ P</math> verstehen, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ A</math> hinaus verlängert.

Geben Sie eine formal korrekte Definition für die Menge dieser Punkte <math>\ P</math> an.

<math>AB^-</math> = {P} \ <math>AB^+</math>

Damit meien ich alle Punkte P die nicht auf <math>AB^+</math> liegen somit ist ja schon alles ausgeschlossen und es ist <math>AB^-</math> definiert? oder? --[[Benutzer:Malilglowka|Malilglowka]] 15:51, 23. Mai 2012 (CEST) 

du meinst bestimmt
<math>\ AB^{-} = AB \setminus \ AB^{+}</math> , 
also die gesamte gerade, die durch a und b geht, aber ohne <math> \ AB^{+}</math> , oder? 
zu <math> \ AB^{+}</math> und <math>\ AB^{-} </math> gehört jeweils der punkt a. 
wenn du also <math>\ AB^{+}</math> von der geraden abziehst, fehlt der halbgeraden das der punkt a, daher muss dieser noch zugefügt werden: 
<math>\ AB^{-} = AB \setminus \ AB^{+}</math> <math>\cup \{ A\}</math> 
--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 16:13, 23. Mai 2012 (CEST)
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Ich verstehe die Def. nicht ganz. Warum genügt es bei AB^- {P| ZW(P,A,B)} U {A} zu schreiben? Ich weiß, dass damit gesagt wird, dass NUR die Strecke |PA| OHNE |AB| + A zu bedrachten ist.
Bei AB^+ schreiben wir '''jedoch''' |AB| U {P| ZW(A,B,P)} und beziehen bei der ZW hierbei |BP| mit ein (der rechte Teil der Halbstrecke, der nach |AB| kommt).
Ich glaube mein Problem bezieht sich auf das Verständnis der ZW. Bei AB^+ schreiben wir ZW(A,B,P) und meinen die Strecke |AB|+|BP|?! Bei AB^- schreiben wir ZW(P,A,B) und meinen |PA| OHNE |AB|?! Das erscheint mir etwas unverständlich, bitte um Hilfe! [[Benutzer:Schnitzel|Schnitzel]] 

[[Datei:Ab+, ab- 002.jpg|600px]]eine orangene geschweifte klammer hab ich vergessen zu schreiben...--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 15:59, 25. Mai 2012 (CEST)
 hallo 
leider vertehe ich deine frage nicht ganz, da es nie um eine strecke |ap| geht. 
bei ab+ geht es um die halbgerade, die bei a beginnt, und zwar ins unendliche in richtung b 
bei ab+ geht es um die halbgerade, die bei a beginnt, und zwar ins unendliche in richtung entgegengesetzt b 
im beispiel in der zeichnung also: 
ab+: alle punkte, die links von a liegen, einschließlich a 
ab-: alle punkte, die rechts von a liegen einschließlich a 
aufgedröselt wäre es für ab+: 
orange: alle punkte p zw. a und b 
türkis: alle punkte p rechts von b 
lila: punkt a 
grün: punkt b 
aufgedröselt wäre es für ab-: 
pink: alle punkte p links von a 
lila: punkt a 

oben steht noch ein anderer vorschlag: 
man nimmt, um ab- zu erhalten, die gesamte gerade (in der zeichnung ganz oben im bild), 
zieht von dieser ab+ ab (also alles rechts von a (einschließlich a)) und muss dann aber a nochmals dazugeben 
(da a ja mit ab+ abgezogen wurde.)--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 15:59, 25. Mai 2012 (CEST)

p.s.: vielleicht hast du dieses problem mit zwischen?!?: 
wenn zw (a, b, p) geschrieben wird, werden alle punkte gemeint, die in meiner zeichnung rechts von b liegen, die strecke ab ist also nicht dabei (türkis) 
wenn zw (p, a, b) geschrieben wird, werden alle punkte gemeint, die in meiner zeichnung links von a liegen, die strecke ab ist also auch nicht dabei (pink). 
bei ab+ benötigen wir aber die strecke ab, da wir ja alle punkte brauchen, die rechts von a liegen (also auch die strecke ab), bei ab- benötigen wir die strecke ab dagegen nicht, da sie nicht links von a liegt. 
war das die frage?--[[Benutzer:Studentin|Studentin]] 16:06, 25. Mai 2012 (CEST)

Hi Studentin,
erstmal vielen Dank für Deine Mühe! Dein zweiter Beitrag erklärt meine Frage und beantwortet diese auch!
Eine abschließende Frage - zur Kontrolle, ob ich es wirklich verstanden habe - hätte ich dazu noch. OHNE die Kenntnis der Streckeneinteilung (Bei uns durch AB gegeben) wüsste man aber dann doch nicht, welche Punkte gemeint sind, wenn zum Beispiel zw (a, b, p) gilt, oder? Statt alle Punkte rechts von b, könnten dann doch auch alle Punkte links von b gemeint sein?!

D.h. will man Halbgeraden '''mit Hilfe''' von Zwischenrelationen definieren, so muss '''zuerst''' die Streckeneinteilung durch zwei Punkte eindeutig festgelegt werden (Bsp. AB). '''Erst danach gilt für''':

1. ZW(A,B,P) = meint alle Punkte, die rechts von B liegen

2. ZW(P,A,B) = meint alle Punkte, die links von A liegen

Ich hoffe, dass damit alles geklärt ist und wünsche ein schönes Wochenende :) -----[[Benutzer:Schnitzel|Schnitzel]]

[[Kategorie:Einführung_P]]

Lösung von Aufg. 5.3P (SoSe 12)

2012-05-25T10:26:24Z

Schnitzel:

Lösung von Aufg. 5.3P (SoSe 12)

2012-05-25T10:25:47Z

Schnitzel:

Lösung von Aufg. 5.3P (SoSe 12)

2012-05-25T10:23:34Z

Schnitzel: