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Lösung von Aufg. 10.3 S

2012-07-01T12:23:45Z

Schokomuffin:

== Kopernikus / Just noch ein sailA ==
Beweisen Sie Satz VII.6 b

Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.

''' Vor: '''
 
1. <math>\ MP^{+}</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> 
2. <math>\overline{AB}</math> 
3. <math>\ AB \perp \ \ MP^{+} </math> 
 
''' Beh: '''
 
<math>\left| AP \right| =\left| PB \right|</math>
 

{| class="wikitable "
! Schritt
! Beweis
! Begründung
|-
| 1
| <math>\left| AM \right| =\left| BM \right|</math>
| Vor; Def. Mittelsenkrechte.
|-
| 2
| <math>\angle AMP \tilde {=} \angle PMB</math>
| Axiom IV.4, Def. V.7
|-
| 3
| <math>\left| MP \right| =\left| MP \right|</math>
| trivial
|-
| 4
| <math>\angle AMP \tilde {=} \angle PMB</math>
| Axiom V, SWS
|-
| 5
| <math>\left| AP \right| =\left| PB \right|</math>
|
|-
|}
 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 15:21, 28. Jun. 2012 (CEST) 
--[[Benutzer:Just noch ein sailA|Just noch ein sailA]] 15:21, 28. Jun. 2012 (CEST) 
 
Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha: 
Vor.: <math>P \in m_AB</math> 
Beh.: <math>\left| PA \right| = \left| PB \right|</math> 

(1) <math>\left| AM \right| kongruent \left| MB \right|</math> // Vor., Def. Mittelsenkrechte 
(2) <math>\left| MP \right| =\left| MP \right|</math> // trivial 
(3) <math>\left| \angle AMP \right| = \left| \angle BMP \right|</math> // Vor., Def. Mittelsenkrechte 
(4) <math>\overline{AMP} = \overline{BMP} // (1-3), SWS</math> 
(5) <math>\left| PA \right| = \left| PB \right|</math> // (4), Dreieckskongruenz 
qed --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 12:24, 30. Jun. 2012 (CEST)

== ==

Lösungsversuch schokomuffin

Vor<math>P \in m</math> : m = Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>

Beh: <math>\left| PA \right| = \left| PB \right|</math>

(1) <math>\exists M \in \overline{AB} : \left| AM \right| = \left| MB \right|</math> // Ex.Eind. Mittelpunkt, Ax II.2

(2) <math>\overline{PM}</math> // Vor

(3) <math>\overline{AP}</math> // Ax. vom Lineal

(4) <math>\overline{BP}</math> // Ax. vom Lineal

(5) <math>\overline{PM} = \overline{MP}</math> // trivial

(6) <math>\left| \angle BMP \right| = \left| \angle AMP \right|</math> // Der. RW, NW, Vor

(7) <math>\overline{AMP} \tilde {=} \overline{BMP} </math> // SWS (1), (5), (6)

(8) <math>\left| AP \right| = \left| BP \right|</math> // Def. Dreieckskongurenz, (7)

--[[schokomuffin]] 14:23, 01. Jul. 2012 (CEST)

Lösung von Aufg. 10.2 S

2012-07-01T12:04:08Z

Schokomuffin:

Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha: 

Skizze: 
[[Datei:Übung 10.2neu.png]]
 
'''Voraussetzung:''' 
(V1) Punkt P 
(V2) Strecke <math>\overline{AB}</math> 
(V3) <math>\left|\overline{PA}\right| = \left|\overline{PB}\right| = \left| d \right|</math> 
'''Behauptung:''' 
P <math>\in</math> Mittelsenkrechte<math>\overline{AB}</math> 

(1) <math>\exist M\in \overline{AB} : \left| AM \right| = \left| MB \right|</math> // (V2), Ex. & Eind. Mittelpkt. einer Strecke 
(2) <math>\exists m \in E : \ MP</math> // (V1), (1), Axiom I.1 
(3) <math>\overline{MP} = \overline{MP}</math> // trivial 
(4) <math>\left|\overline{PA}\right| = \left|\overline{PB}\right|</math> // (V3) 
(5) <math>\left|\overline{AM}\right| = \left|\overline{MB}\right|</math> // (1) 
(6) <math>\overline{AMP} kongruent \overline{BMP}</math> // (3-5), SSS 
(7) <math>\angle AMP kongruent \angle BMP </math> // (6) 
(8) <math>\ m \perp \overline{AB}</math> // (7), Def. NW, Def. suppl., Supplementaxiom, Def. rechter Winkel, Def. senkrecht 
(9) <math>P \in m</math> also auch <math>P \in Mittelsenkrechte \overline{AB}</math> // (2) 
qed --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 18:58, 27. Jun. 2012 (CEST)

== Kopernikus / Just noch ein sailA ==

Beweisen Sie Satz VII.6 a:

Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.
 
''' Vor: '''
 
1. <math>\overline{AB}</math> 
2. <math>\overline{AP} = \overline{PB}</math>
 
''' Beh: ''' 
<math>P\in</math> der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>
 

{| class="wikitable "
! Schritt
! Beweis
! Begründung
|-
| 1
| <math>\overline{AP} =\overline{BP}</math>
| Vor.
|-
| 2
| <math>\overline{AM} =\overline{MB}</math>
| Ex. Eind. der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>
|-
| 3
| <math>\overline{MP} =\overline{PM}</math>
| trivial
|-
| 4
| <math>\overline{AMP} \tilde {=} \overline{BMP} </math>
| Kong. Satz SSS, 1,2,3
|-
| 5
| <math>\angle AMP =\angle PMB</math>
| 4, Dreieckskongruenz
|-
| 6
| <math>P\in</math> der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>
| 2,5, Def. VI.1 (Mittelsenkrechte)
|-
| 7
| Beh. stimmt q.e.d
| 6, Beh.
|}
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 15:50, 28. Jun. 2012 (CEST) 

--[[Benutzer:Just noch ein sailA|Just noch ein sailA]] 15:50, 28. Jun. 2012 (CEST) 

== ==

<math>\overline{AB}</math>

Lösungsversuch schokomuffin

Vor: Abstand PA = Abstand PB
Beh: <math>P \in</math> Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>

(1) <math>\exists M \in \overline{AB} : \left| AM \right| = \left| MB \right|</math> Ex. u. Eind. Mittelpunkt, Ax. II/ 2

(2) <math>\exists g : M \in g \ \wedge P \in g</math> Ax. I/1

(3) <math>\angle BMP = 90</math> Ax. IV/2

(4) <math>\angle AMP = \angle BMP</math> Def. RW, NW, (3)

(5) <math>\ g \perp \ \overline{AB}</math> (4), (3)

(6) g ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math> (4), (1)

--[[schokomuffin]] 14:02 01. Jul. 2012 (CEST)

Lösung von Aufg. 10.2 S

2012-07-01T12:01:11Z

Schokomuffin:

Lösung von Aufg. 10.1 S

2012-06-30T09:32:50Z

Schokomuffin:

Definitionsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha: 
Def. (gleichschenkliges Dreieck): 
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck, mit 2 zueinander kongruenten Seiten. 
Diese Seiten nennt man Schenkel des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>. 
Die dritte Seite nennt man Basis des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>. 
Die Innenwinkel des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>, die die Endpunkte der Basis als Scheitelpunkte haben, nennt man Basiswinkel des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>. --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 17:45, 27. Jun. 2012 (CEST)

Definitionsversuch 2:

Sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit der Basis <math>\overline{AB}</math> und den Schenkeln <math>\overline{BC}</math> und <math>\overline{AC}</math>. Wenn die Basiswinkel < CAB und < ABC (und die Schenkel <math>\overline{BC}</math> und <math>\overline{AC}</math> (brauche ich das überhaubt noch, denn eigentlich reicht doch hier die angabe der kongruenten Basiswinkel aus, oder?)) kongruent zueinander sind, dann ist das Dreieck ein gleichschenkliges. --[[Benutzer:LuLu7410|LuLu7410]] 21:27, 28. Jun. 2012 (CEST)

Definitionsversuch 3:

Sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit der Basis <math>\overline{AB}</math> und den Schenkeln <math>\overline{BC}</math>, <math>\overline{AC}</math>.Wenn die Schenkel <math>\overline{AC}</math>, <math>\overline{BC}</math> und die Basiswinkel alpha und beta, wovon alpha die Vereinigungsmenge von Strahl b und c mit gemeinsamen Anfangspunkt A und beta die Vereinigungsmenge von Strahl a und b mit gemeinsamen Anfangspunkt B ist, konkgruent zueinander sind, ist dieses Dreick ein gleichschenkliges.
--[[Benutzer:Mahe84|Mahe84]] 15:00, 29. Jun. 2012 (CEST) 
 
Definitionsversuch 4:
Wenn in einem Dreieck (ABC) die Basis und die beiden zueinander kongruenten Schenkel die Basiswinkel, die die Innenwinkel der Basis und den beiden Schenkeln sind, einschließen, dann ist das Dreieck (ABC) gleichschenklig.--[[Benutzer:Schokomuffin|Schokomuffin]] 11:32, 30. Jun. 2012 (CEST)