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Der Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz

2010-07-28T22:35:07Z

Sefamerve: /* Definition (Zentriwinkel, Mittelpunktswinkel) */

== Idee des Beweises eines Spezialfalls ==
Um welchen Spezialfall handelt es sich? 
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?

{{#ev:youtube|QyCtXT3mGjI}}

== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==

===Definition (Zentriwinkel, Mittelpunktswinkel)===
Ist M der Mittelpunkt des Kreises k, so bezeichnet man einen Winkel <math> \angle AMB </math> als den zughörigen Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel).

=== Definition (Peripheriewinkel) ===
Sei k ein Kreis und alpha ein Winkel. Alpha ist Peripheriewinkel von k, wenn sein Scheitelpunkt auf dem Kreis k liegt und seine beiden Schenkeln den Kreis k in jeweils einem weiteren Punkt schneiden.

=== Satz:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) ===
(abgeändert) Jeder Peripheriewinkel ist halb so groß, wie sein zugehöriger Zentriwinkel.

Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 20:59, 23. Jul. 2010 (UTC): Vorsicht mit den Artikeln: Wie viele Zentriwinkel sind einem Peripheriewinkel zugehörig? In der Definition war es korrekt.

==== Beweis ====
 Ich hab mir Gedanken zu den Fallunterscheidungen gemacht, komme aber irgendwie nicht weiter. Ich stelle meine Notizen mal hier ein, kann mir jemand weiter helfen?

[[Bild:Teil_1.jpg]]
 [[Bild:Teil_2.jpg]]

--[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 13:22, 25. Jul. 2010 (UTC)
 Jaaaaaaaaa :-) Ich glaube, ich hatte gerade DIE Eingebung, zumindest bezüglich der Fallunterscheidungen ;-). Und zwar:
Laut dem Peripheriewinkelsatz sind alle Peripheriewinkel eines Kreises über einer Sehne gleich groß. Ich kann also sagen, dass ich den Scheitelpunkt des Peripheriewinkels so wähle, dass er auf der Mittelsenkrechten der Sehne liegt. Damit würden zumindest die Fälle 2 und 5 wegfallen. Hm, naja, ob es allerdings viel hilft? Denn schließlich wären ja gerade Fall 3 und 4 die "unmöglichen Beweise"... Egal, Hauptsache Eingebung :-) --[[Benutzer:Barbarossa|Barbarossa]] 12:45, 26. Jul. 2010 (UTC)

Überlegung--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:02, 26. Jul. 2010 (UTC)
# Könnte ich nicht Fall 1 so umändern, dass Fall 5 daraus wird: Wegen dem Satz "Peripheriewinkel über ein und derselben Sehne sind kongruent zueinander". Dann könnte man wie bei Fall 5 weiter argumentieren und man hätte auch schon Fall 2 drin.
# Fall 3 und 4 sind nicht beweisbar, wegen unserem Winkelmaß zwischen 0 und 180.
# zu Fall 2: könnte man nicht hier auch wieder eine Strecke <math> \overline {CM} </math> konstruieren, wodurch wieder eine ähnliche Beweisführung wie bei Fall 1 eintritt? 
Mal so ne blöde Frage zwischendurch: Haben wir schon bewiesen, dass der Radius immer gleich groß bleibt!?

Ich glaub wir haben den Radius schon indirekt durch unsere Definition des Kreises festgelegt. Es kann keinen Punkt eines Kreises k geben der einen anderen Abstand zum Mittelpunkt von k hat als der Rest der Punkte von k (nach Def. Kreis), denn sonst wäre es kein Kreis mehr...
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 19:40, 26. Jul. 2010 (UTC)

OK, ich bin soweit durch mit meinem Beweis - fängt an mit Basiswinkelsätzen, dem starken Außenwinkelsatz und dem Winkeladditionsaxiom zum Schluss...
Aber wie kann man jetzt zahlenmäßig beweisen, dass der Zentriewinkel doppelt so groß ist, wie der zugehörige Peripheriewinkel!??--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 13:41, 27. Jul. 2010 (UTC)

Ich gehe mal davon aus, dass du gezeigt hast, dass <math> \gamma </math> und sein Basiswinkel, ich nenne ihn mal <math> \gamma'</math> kongruent sind. Dann weiß du nach dem starken Außenwinkelsatz dass <math> \delta = \gamma + \gamma' </math> gilt. Da jetzt <math> \gamma'\cong \gamma</math> gilt, folgt <math> \delta = 2 \gamma </math>.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:43, 27. Jul. 2010 (UTC) 

Alles klar, bin etwas durcheinandergekommen, weil ich die Winkelbezeichnungen, <ABM z.B. benutze und nicht alpha und beta... Kann ich dann einfach bei der Klausur die Winkel in meiner Skizze benennen und mich dann auf die Skizze berufen oder ab wann sollte man sich für alpha und beta bzw. <AMP und so weiter entscheiden!?
--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 07:57, 28. Jul. 2010 (UTC)

Gestern hat Herr Schnirch bestätigt, dass man sich auf eine Skizze beziehen kann. Und dann würde ich auch mit alpha, beta weiterarbeiten. Zum einen weniger zum schreiben und zum anderen einfach übersichtlicher/leichter nachvollziehbar. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:31, 28. Jul. 2010 (UTC)

Diskussion:Der Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz

2010-07-28T22:20:55Z

Sefamerve:

Diskussion:Der Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz

2010-07-28T22:20:17Z

Sefamerve:

Diskussion:Der Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz

2010-07-28T22:10:35Z

Sefamerve:

Diskussion:Der Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz

2010-07-28T22:10:09Z

Sefamerve: Die Seite wurde neu angelegt: Sollte man nicht sagen, dass A und B Elemente des Kreises sind und verschieden?

Lösung von Aufgabe 14.4

2010-07-28T01:34:40Z

Sefamerve: /* Zusatz-Aufgabe */

==== Aufgabenstellung 1 ====

Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die kongruent zueinander sind.

Man beweise: Wenn ein Viereck \overline{ABCD} ein Drachen ist, dann halbiert eine Diagonale dieses Vierecks die andere Diagonale von \overline{ABCD}.

==== Zusatz-Aufgabe ==== '''''Versuch 1''''' 
'''Voraussetzung:''' Strecke AD kongrent zu Strecke DC und Strecke AB kongruent zu Strecke BC
 '''Behauptung:''' Strecke DB halbiert die Strecke AC

'''Beweis:''' Betrachte die Mittelsenkrechte von AC. Laut MiSe-Kriterium enthält diese alle Punkte, die zu den beiden Endpunkten A und C jeweils denselben Abstand haben. Laut Voraussetzung gilt, dass D denselben Abstand zu A und C hat, ferner hat B denselben Abstand zu A und C. Wegen dem o.g. Kriterium gehören nun D und B zu der Mittelsenkrechte der Strecke AC. Da ABCD nicht konvex, und wegen Definition Mittelsenkrechte folgt nun, dass die Strecke DB die Strecke AC halbiert.

Lösung von Aufgabe 14.4

2010-07-28T01:33:41Z

Sefamerve: /* Zusatz-Aufgabe */

==== Aufgabenstellung 1 ====

Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die kongruent zueinander sind.

Man beweise: Wenn ein Viereck \overline{ABCD} ein Drachen ist, dann halbiert eine Diagonale dieses Vierecks die andere Diagonale von \overline{ABCD}.

==== Zusatz-Aufgabe ====
'''Voraussetzung:''' Strecke AD kongrent zu Strecke DC und Strecke AB kongruent zu Strecke BC
 '''Behauptung:''' Strecke DB halbiert die Strecke AC

'''Beweis:''' Betrachte die Mittelsenkrechte von AC. Laut MiSe-Kriterium enthält diese alle Punkte, die zu den beiden Endpunkten A und C jeweils denselben Abstand haben. Laut Voraussetzung gilt, dass D denselben Abstand zu A und C hat, ferner hat B denselben Abstand zu A und C. Wegen dem o.g. Kriterium gehören nun D und B zu der Mittelsenkrechte der Strecke AC. Da ABCD nicht konvex, und wegen Definition Mittelsenkrechte folgt nun, dass die Strecke DB die Strecke AC halbiert.

Lösung von Aufgabe 12.3

2010-07-25T21:39:12Z

Sefamerve: /* Lösung 1 */

== Aufgabenstellung ==
Beweisen Sie: 
[[Der_schwache_Außenwinkelsatz| Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz]] 
::Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.

== Lösung 1 ==
Die Beweisführung ist natürlich sehr ähnlich zu [[Lösung_von_Aufgabe_12.2| Aufgabe 12.2]].
 Der Einfachheit halber werden die Winkel mit <math>\alpha \ \beta \ \gamma</math> bezeichnet, die jeweiligen Außenwinkel sind dann <math>\alpha' \ \beta' \ \gamma'</math>.
 Voraussetzung: Dreieck <math>\overline{ABC}</math>
 Behauptung; Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.
 Indirekter Beweis. Annahme: Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks kann 180 oder mehr betragen.
 [[Bild:Skizze_Übung_12_2.png]]

{| class="wikitable "
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Es gilt: <math>|\alpha| \ < |\beta'|</math> und <math>|\gamma| \ < |\beta'|</math>
| schwacher Außenwinkelsatz
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>|\beta| \ + |\beta'| = 180</math>
| Axiom IV.4: (Supplementaxiom): Nebenwinkel sind supplementär.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>\ |\beta'| = 180 - |\beta|</math>
| (II), Algebraische Umformung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>|\alpha| \ < 180 - |\beta|</math> und <math>|\gamma| \ < 180 - |\beta|</math>
| (I), (III)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>|\alpha| + |\beta|\ < 180 </math> und <math>|\gamma| + |\beta| \ < 180</math>
| (IV), Algebraische Umformung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| Es gilt: <math>|\beta| \ < |\alpha'|</math> und <math>|\gamma| \ < |\alpha'|</math>
| schwacher Außenwinkelsatz
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VII)
| <math>|\alpha| + |\gamma|\ < 180 </math> und <math>|\beta| + |\gamma| \ < 180</math>
| Beweis zusammengefasst, analog zu Schritte (I) bis (V)
|}

 Aus (V) und (VII) folgt, dass die Annahme verworfen werden muss.

 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 01:55, 12. Jul. 2010 (UTC) 
== Lösung 2 == Sei ABC ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Laut dem schwachen Außenwinkelsatz gilt, dass <math>|\alpha| \ < |\beta'|</math>. Zudem gilt wegen Nebenwinkelaxiom und nach Umformung: <math>\ |\beta'| = 180 - |\beta|</math>
Nun gilt: <math>|\alpha| \ < 180 - |\beta|</math>
Nach Umformung erhält man: <math>|\alpha| + |\beta|\ < 180 </math>.

Diskussion:Lösung von Aufgabe 10.4

2010-07-16T00:17:58Z

Sefamerve: Die Seite wurde neu angelegt: Es gab einen zweiten Fall, für den die angegebene Definition nicht korrekt ist. Dieser wurde in der Übung besprochen, leider hab ich es nicht ganz verstanden. Weiß j...

Diskussion:Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar

2010-07-10T23:59:48Z

Sefamerve:

Diskussion:Lösung von Aufgabe 11.4

2010-07-04T23:20:41Z

Sefamerve: Die Seite wurde neu angelegt: Das Mittelsenkrechtenkriterium kann auf zwei verschiedene Arten formuliert werden. In der Vorlesung hatten wir: ''Eine Menge von Punkten ist genau dann die M...

Halbebenen oder das Axiom von Pasch

2010-06-25T18:22:51Z

Sefamerve: /* Analogiebetrachtungen */

= Halbebenen und das Axiom von Pasch =
== Halbebenen ==
=== Analogiebetrachtungen ===

{| class="wikitable center"
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbgeraden'''</center>
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbebenen'''</center>

|-
| <ggb_applet width="398" height="401" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

| <ggb_applet width="396" height="402" version="3.2" 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|}
{|class="wikitable center"
|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Objekt <math>\ G</math>, das in Klassen eingeteilt wird</center>

|-
| <math>\ G</math> ist eine Gerade
| <math>\ G</math> ist eine Ebene

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ G</math></center>

|-
| eindimensional
| zweidimensional

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center> Objekt <math>\ T</math>, das <math>\ G</math> in Klassen einteilt</center>

|-
| Anfangspunkt <math>\ A</math>
| Trägergerade <math>\ g</math>

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ T</math></center>

|-
| eindimensional
| zweidimensional

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD; "| <center>Referenzpunkt <math>\ Q</math> teilt <math>\ G \setminus_{\{ Q \}}</math> in genau zwei Klassen</center>

|-
| colspan="2" |
<center>Klasse 1: </center>
<center>Menge aller Punkte <math>\ P\mathrm{\in }G</math> , die mit <math>\ Q</math> bezüglich <math>\ T</math> „auf derselben Seite liegen“</center>

|-
| <math>\ AQ^{+} = \{P| A \not \in \overline{PQ} \} </math>
| <math>\ gQ^{+} = \{P| g\cap\overline {PQ} =\{\}\}</math>

|-
| colspan="2" |
<center>Klasse 2:</center>
<center>Menge aller Punkte <math>P\mathrm{\in }G</math>, die bezüglich <math>\ T</math> nicht auf der Seite von <math>\ Q</math>liegen.</center>

|-
| <math>\ AQ^{-} = \{P| A \in \overline{PQ} \} </math>
| <math>\ gQ^{-} = \{P| \neg \exist S : g\cap\overline {PQ} =\{S\} \}</math>

|}
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 20:00, 23. Jun. 2010 (UTC)

Was ich nicht verstanden habe ist, warum die Dimension vom Anfangspunkt A gleich eins ist und die Dimension von der Trägergeraden gleich zwei? Soweit ich weiß, hat ein Punkt die Dimension null und eine Gerade die Dimension 1.

=== Definition des Begriffs der Halbebene ===
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====
{|
|-
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \Epsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]
|-
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]
|}
==== Offene Halbebenen ====
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \Epsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \Epsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math>
Danke für Ihren Diskussionsbeitrag, Herr *m.g.*, ich wollte nochmal fragen, ob es nur bei gQ- ausreicht die Trägergeraden g mit rauszunehmen, oder ob man das auch noch bei gQ+ dazuschreiben muss/soll/darf!??
--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 18:46, 24. Jun. 2010 (UTC)

--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:27, 23. Jun. 2010 (UTC)

==== Halbebenen ====
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

allright!? --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 18:50, 24. Jun. 2010 (UTC)

Vereinigt mit g ist bei gQ- überflüssig, ist doch eh mit dabei...
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 18:59, 24. Jun. 2010 (UTC)

Ein Schnittpunkt entsteht bei dem Schnitt von einer Strecken und der Geraden g. Das heißt dann, dass
die Menge von Geraden g automatisch dabei ist, wenn g irgendwas schneidet und dabei Schnittpunkte entstehen!? (Sorry, steh grad auf dem Schlauch)--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 19:23, 24. Jun. 2010 (UTC)

Wenn ich alle Punkte nehme, für die gilt dass wenn ich sie mit Q verbinde ein Schnittpunkt S entsteht, dann habe ich die komplette Halbebene, d.h. auch alle Punkte von g sind mit dabei, denn angenommen P liegt auf g, dann ist ja wieder P=S und es gibt einen Schnittpunkt.
Wenn ich diese Menge mit g vereinige ist das nicht schlimm, ich hab ja trotzdem alle Punkte, aber ich brauch sie eigentlich nicht…
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 19:40, 24. Jun. 2010 (UTC)

Herzlichen Dank! --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 20:16, 24. Jun. 2010 (UTC)

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.

--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)

== Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen ==
=== Repräsentantenunabhängigkeit? ===
===== Satz IV.1 =====
:: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.

===== Beweis des Satzes IV.1 =====
===== Neuer Versuch (siehe Diskussionsseite) =====
'''Voraussetzung:''' <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+} </math>
 '''Behauptung:''' <math>{gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}</math> und <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math>
 '''Fallunterscheidung:'''
 Fall I <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> sind '''nicht kollinear'''.
 Fall II <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> '''sind kollinear'''.

{| class="wikitable"
|-
| ||'''Fall I''' <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> sind '''nicht kollinear'''.
|-
| ''Schritt''|| ''Aussage'' || ''Begründung''
|-
| (1) || <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}</math> Die Strecke <math>\overline {PQ_1}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Definition von Halbebene
|-
| (2) || <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math> <math>Q_2</math> liegt in der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>|| Voraussetzung
|-
| (3) || <math>P,Q_1,Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math>|| Schritt (1) und (2)
|-
| (4) || Da <math>\overline {PQ_1}</math> (Def. der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>) und <math>\overline {Q_1Q_2}</math> (nach Voraussetzung) keinen Schnittpunkt mit <math>g</math> haben, kann auch <math>\overline {PQ_2}</math> als dritte Seite des Dreiecks <math>\overline {PQ_1Q_2}</math>keinen Schnittpunkt mit g haben (da sonst Widerspruch mit Axiom von Pasch).
 Die Strecke <math>\overline {PQ_2}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.
|| Schritt (3) und Satz von Pasch
|-
| (5) || <math>{gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math>|| Schritt (4)
|-
| (6) || Es gilt: <math>{gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math> und
 <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math>|| Voraussetzung und Schritt (5)
|-
| (7) || <math>{gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}</math>|| Der Definitionsbereich der beiden Halbebene ist identisch - Schritt (6)
|-
| (8) || <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math>|| Die Mengen <math>{gQ_1}^{+}</math> und <math>{gQ_1}^{-}</math>sind disjunkt, gleiches gilt für die Mengen <math>{gQ_2}^{+}</math> und <math>{gQ_2}^{-}
</math>Schritt (7) - Durch Umformung:
 Ebene<math>\Epsilon = {gQ_1}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g</math>
 Ebene<math>\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g</math>
 Da Ebene<math>\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_2}^{-} \cup g</math> gilt somit auch <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math>
|}

{| class="wikitable"
|-
| ||'''Fall II''' <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> '''sind kollinear''', liegen auf der Geraden <math>\ h</math>.
|-
| ''Schritt''|| ''Aussage'' || ''Begründung''
|-
| (1) || <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}</math> Die Strecke <math>\overline {PQ_1}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Definition von Halbebene
|-
| (2) || <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math> <math>Q_2</math> liegt in der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>, dadurch gilt: die Strecke <math>\overline {Q_1Q_2}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Voraussetzung und Definition von Halbebene
|-
| (3) || Wenn <math> \operatorname{koll} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math> und <math>\ Q_1, Q_2, P</math> paarweise verschieden sind, dann gilt
 <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math> oder
 <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right) </math> oder
 <math> \operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right) </math>.|| Aus Voraussetzung '''kollinear''' und [http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Strecken#Satz_II.3 Satz II.3]
|-
| (4) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math>, dann ist <math>\overline {PQ_2} \subset \overline {PQ_1}</math> und dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math>
|| Zwischenrelation, Voraussetzung
|-
| (5) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right) </math>, dann ist <math>\overline {PQ_2} \subset \overline {Q_1Q_2}</math> und dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math>
|| Zwischenrelation, Voraussetzung
|-
| (6) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right)</math>, dann gehören alle Punkte der Strecke <math>\overline {PQ_2}</math> entweder zur Strecke <math>\overline {Q_1Q_2}</math> oder zur Strecke <math>\overline {PQ_1}</math>, für die gilt <math>\overline {Q_1Q_2} \in {gQ_1}^{+}</math> oder <math>\overline {PQ_1} \in {gQ_1}^{+}</math>
 Dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math>
|| Zwischenrelation, Aussagenlogik
|-
| (7) || Trivial, bzw. analog zu '''Fall I'''||
|}

Stimmt das so? Nochmal geändert...
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 15:10, 23. Jun. 2010 (UTC)

[[Bild:Dozenten.jpg]]

Analog dazu: [[Lösung_von_Aufgabe_8.1|Übungsaufgabe 8.1]]. Dort wird allerdings etwas anders vorgegangen, nämlich dass <math>R \notin {gQ}^{+} </math>. Die Analogie der Lösungen ergibt sich daraus, dass die Mengen disjunkt sind.

== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert. [http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''

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===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

= Konvexe Punktmengen =
=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.
===== Satz IV.2 =====
::Halbebenen sind konvexe Punktmengen

===== Beweis von Satz IV.2 =====
trivial (Der Leser überzeuge sich davon)
===== Satz IV.3 =====
::Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
===== Beweis von Satz IV.3 =====
Es seien <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> zwei konvexe Mengen.

zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> ist auch konvex.

...

Halbebenen oder das Axiom von Pasch

2010-06-25T18:12:32Z

Sefamerve: /* Analogiebetrachtungen */

= Halbebenen und das Axiom von Pasch =
== Halbebenen ==
=== Analogiebetrachtungen ===

{| class="wikitable center"
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbgeraden'''</center>
| style="background: #DDFFDD;"| <center>'''Halbebenen'''</center>

|-
| <ggb_applet width="398" height="401" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAGSMwjwAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s1Vlbb9s2FH5efwUhFMWGIbIoWbKF2imyrg8BsiVdsmIYhgG0RMtcdHElypcW/e87vMiW7FhR3KQXP0TmRYeH3+VQckavVkmMFjQvWJaODWxaBqJpkIUsjcZGyacnQ+PV6bNRRLOITnKCplmeED42HNM2RH/JTp/9MCpm2RKRWE55x+hybExJXFADFfOckrCYUcob/aRcsZiRfH05+Y8GvNgOqCDn6byEVXheQl+QhBesqJo9ueA8ZvxXtmAhzVGcBWPDcyF1+PaO5pwFJB4bfUv12GPD3hmELkeMzrKcfchSLqZvg0+hB6GCfaBwpyX6Rj250REtg5iFjKRiMzIPmITQkoV8BiH9IYSkLJoJgHxfRQuyLA+v1wWnCVr9TfNsbJxg7Auk16o5dEWjgLxgQdeSI/WWDEMX15RzoKVAZEW3gEU5CxuN8+KXLN52zTOW8tdkzstccurormu+FgvAWrlI+CyNYqr7MEA+o8HtJFtdSxCwo0LfrOfyFpnQJHqdxVmOcgGvCxP0daKuco7IdDPLknMsOUPHEEE349i35Qx5nairnBWzVKWmd46rXWOrWoYVSHQIGEGKm83HZEKBWgOVKeMXVQMkcLvdqrjh9zKZgAfqItjExI8Vc9Tbkc/oluYpjZVIUuC2zMoCLYQY1VoykZAGLIGmGtCQEEHXn5CA6g1plNMqceUgBZgctepC3Oke9aokRA4F5BpwKAWwHy72IpzKwSVjIzEj00Ah4aJXWCGmCQWfcKkJKakNNmfGpihk0t+Vk/X4FmUY3lORiyX94kLi+YxAppUJYrIGv9c3JSP+loXNrZIUIJP7ANvNRQBBypzSUNc4rpWM5hBS+qKGuASqQCvIAaocWoNhHRODtz+ou+UkZSJhf7mwqxlWqNyDz9uj8Kn7R2L1tdEZmK5t1T+uAss27f7DwAqyJCFpiFKSwMIX4HeJEBOnACKWUBQiWACnUCl5NRCpUDrAHu6idGxgjYxmNeEzMG1Ki0JktNl073husOuoymXZndm5nE4LygWcnqe1ZreRt4X/xDL9vrzFNp0mEY6CH4jwXG/bjXfraQsC9H2q5hSqqrEEjtyA8Xbq/iDrrsxN2pnLIVKF+eQwcX5n4hoSTkOmDADTL/Vsil5E/CXaEPZEtempCNxFoo1ASUQsrH2ecjikqCz6+2fPLaVzcehfpjc5SQvx8Kfm1M60A0q4khWvqYVoTwRX7SJols2ro8omthV18vqtlM6h6dveEFvW0MMD3xkq52PT83z4OB72nL6NRUU4vowe9OLVHg1Bdy8GX8qL8SEvCvNtrfhZdNa8iE0XC4t5ztDx3AH8kZw45qBO1MDXlPjmwHJs13d8x3Xh9aL//Tjzmkaif0cbV4fqdNiujUJHq6gNv4g+SPvjkdUqCa+bJCzTHdyhCFBK32pIQhXrk4HZdwbeVhLO9yOJdxAzy7ue3GW7IhYqWMVleVgQdpsgmq9btX0eR3rHOnDXSbwWEX31SLsN3WVDtVcuTWxAck4LeAXUO+bQlkcloqu5wPxonvar+uJBPC0ehaf7X10ehaa7yvJanJT7RfwrkAa9OYQWRUvDsjTU1BL10MLYIaB3HzXL74kay/Rs28We7TsYDzB8q8qmPfD7ntvHbt/xh7735gQ/AT3tPFDNw+rH5U93AZ+WCc1ZYGzniyVho2W13f3ddYYU35/fDV1xrHN88b7M+Muzt/9+/PkTUg1jP2MOdxjN25/wPeiR1MKKC3JD/2oeT/qH1wIImFY5qx9hQSaaanvPgapo+0Ndpl3Xb3zqD9D3Q2/vQX/yEOjtzi8oD3/q/VaRd70K+YNQN0CbZFlMwaoVJmTXYTV9dhLxcSC5d/4E46tTpN8C4f0ichoiev5PtqC5qGwfr95+et5dTE53H38+BE+tE8e0Bg1f6kNBPFc1HrfsQyrq1X+elv+R0f+SOv0fUEsHCKhmSd+1BQAAxBoAAFBLAQIUABQACAAIAGSMwjyoZknftQUAAMQaAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAEAAQA6AAAA7wUAAAAA" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

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|}
{|class="wikitable center"
|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Objekt <math>\ G</math>, das in Klassen eingeteilt wird</center>

|-
| <math>\ G</math> ist eine Gerade
| <math>\ G</math> ist eine Ebene

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ G</math></center>

|-
| eindimensional
| zweidimensional

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center> Objekt <math>\ T</math>, das <math>\ G</math> in Klassen einteilt</center>

|-
| Anfangspunkt <math>\ A</math>
| Trägergerade <math>\ g</math>

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD;"| <center>Dimension von <math>\ T</math></center>

|-
| eindimensional
| zweidimensional

|-
| colspan="2" style="background: #DDFFDD; "| <center>Referenzpunkt <math>\ Q</math> teilt <math>\ G \setminus_{\{ Q \}}</math> in genau zwei Klassen</center>

|-
| colspan="2" |
<center>Klasse 1: </center>
<center>Menge aller Punkte <math>\ P\mathrm{\in }G</math> , die mit <math>\ Q</math> bezüglich <math>\ T</math> „auf derselben Seite liegen“</center>

|-
| <math>\ AQ^{+} = \{P| A \not \in \overline{PQ} \} </math>
| <math>\ gQ^{+} = \{P| g\cap\overline {PQ} =\{\}\}</math>

|-
| colspan="2" |
<center>Klasse 2:</center>
<center>Menge aller Punkte <math>P\mathrm{\in }G</math>, die bezüglich <math>\ T</math> nicht auf der Seite von <math>\ Q</math>liegen.</center>

|-
| <math>\ AQ^{-} = \{P| A \in \overline{PQ} \} </math>
| <math>\ gQ^{-} = \{P| \neg \exist S : g\cap\overline {PQ} =\{S\} \}</math>

|}
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 20:00, 23. Jun. 2010 (UTC)

Was ich nicht verstanden habe ist, warum die Dimension vom Anfangspunkt A gleich eins ist und die Dimension vom Trägergeraden gleich zwei? Soweit ich weiß, hat ein Punkt die Dimension null und eine Gerade die Dimension 1.

=== Definition des Begriffs der Halbebene ===
==== Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen ====
{|
|-
| Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört u.a., dass jede Gerade <math>\ g</math>, die zu unserer jeweiligen Ebene <math>\Epsilon</math> gehört, diese in zwei ''Hälften'' bzw. zwei ''Seiten'' einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden ''Seiten'' von <math>\Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> verwenden wir einen Punkt <math>\ Q \in \Epsilon</math>, welcher nicht zu <math>\ g</math> gehören sollte.
|[[Bild:Halbebene_00.png| 100 px]]
|-
| Zu der einen ''Hälfte'' von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> gehören alle die Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math>, die mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite von <math>\ g</math> liegen. Alle anderen Punkte aus <math>\Epsilon \setminus g</math> gehören zur anderen Seite von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>.
| [[Bild:Halbebene_01.png | 100 px]]
|}
==== Offene Halbebenen ====
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene <math>\ \Epsilon</math>, die nicht auf einer Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene liegen, durch diese Gerade <math>\ g</math> eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math>. Der nicht zu <math>\ g</math> gehörende Referenzpunkt <math>\ Q \in \Epsilon</math> bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich <math>\ g</math> mit <math>\ Q</math> auf derselben Seite liegen, wird mit <math>\ gQ^{+}</math> bezeichnet, die andere offene Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> und <math>\ Q</math> mit <math>\ gQ^{-}</math>.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte <math>\ P</math> und <math> \ Q</math> einer Ebene <math>\ \Epsilon</math> auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden <math>\ g</math> liegen.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> ohne die Gerade <math>\ g</math> :

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus \{ g\}</math>
Danke für Ihren Diskussionsbeitrag, Herr *m.g.*, ich wollte nochmal fragen, ob es nur bei gQ- ausreicht die Trägergeraden g mit rauszunehmen, oder ob man das auch noch bei gQ+ dazuschreiben muss/soll/darf!??
--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 18:46, 24. Jun. 2010 (UTC)

--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:27, 23. Jun. 2010 (UTC)

==== Halbebenen ====
Vereinigt man die Menge der Punkte einer offenen Halbeben mit der Menge der Punkte der Trägergerade so erhält man eine Halbebene.

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>

::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

allright!? --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 18:50, 24. Jun. 2010 (UTC)

Vereinigt mit g ist bei gQ- überflüssig, ist doch eh mit dabei...
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 18:59, 24. Jun. 2010 (UTC)

Ein Schnittpunkt entsteht bei dem Schnitt von einer Strecken und der Geraden g. Das heißt dann, dass
die Menge von Geraden g automatisch dabei ist, wenn g irgendwas schneidet und dabei Schnittpunkte entstehen!? (Sorry, steh grad auf dem Schlauch)--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 19:23, 24. Jun. 2010 (UTC)

Wenn ich alle Punkte nehme, für die gilt dass wenn ich sie mit Q verbinde ein Schnittpunkt S entsteht, dann habe ich die komplette Halbebene, d.h. auch alle Punkte von g sind mit dabei, denn angenommen P liegt auf g, dann ist ja wieder P=S und es gibt einen Schnittpunkt.
Wenn ich diese Menge mit g vereinige ist das nicht schlimm, ich hab ja trotzdem alle Punkte, aber ich brauch sie eigentlich nicht…
--[[Benutzer:Principella|Principella]] 19:40, 24. Jun. 2010 (UTC)

Herzlichen Dank! --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 20:16, 24. Jun. 2010 (UTC)

Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.

--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)

== Die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen ==
=== Repräsentantenunabhängigkeit? ===
===== Satz IV.1 =====
:: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.

===== Beweis des Satzes IV.1 =====
===== Neuer Versuch (siehe Diskussionsseite) =====
'''Voraussetzung:''' <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+} </math>
 '''Behauptung:''' <math>{gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}</math> und <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math>
 '''Fallunterscheidung:'''
 Fall I <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> sind '''nicht kollinear'''.
 Fall II <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> '''sind kollinear'''.

{| class="wikitable"
|-
| ||'''Fall I''' <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> sind '''nicht kollinear'''.
|-
| ''Schritt''|| ''Aussage'' || ''Begründung''
|-
| (1) || <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}</math> Die Strecke <math>\overline {PQ_1}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Definition von Halbebene
|-
| (2) || <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math> <math>Q_2</math> liegt in der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>|| Voraussetzung
|-
| (3) || <math>P,Q_1,Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math>|| Schritt (1) und (2)
|-
| (4) || Da <math>\overline {PQ_1}</math> (Def. der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>) und <math>\overline {Q_1Q_2}</math> (nach Voraussetzung) keinen Schnittpunkt mit <math>g</math> haben, kann auch <math>\overline {PQ_2}</math> als dritte Seite des Dreiecks <math>\overline {PQ_1Q_2}</math>keinen Schnittpunkt mit g haben (da sonst Widerspruch mit Axiom von Pasch).
 Die Strecke <math>\overline {PQ_2}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.
|| Schritt (3) und Satz von Pasch
|-
| (5) || <math>{gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math>|| Schritt (4)
|-
| (6) || Es gilt: <math>{gQ_2}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math> und
 <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_2} \} \cup \{g\}</math>|| Voraussetzung und Schritt (5)
|-
| (7) || <math>{gQ_1}^{+} \equiv {gQ_2}^{+}</math>|| Der Definitionsbereich der beiden Halbebene ist identisch - Schritt (6)
|-
| (8) || <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math>|| Die Mengen <math>{gQ_1}^{+}</math> und <math>{gQ_1}^{-}</math>sind disjunkt, gleiches gilt für die Mengen <math>{gQ_2}^{+}</math> und <math>{gQ_2}^{-}
</math>Schritt (7) - Durch Umformung:
 Ebene<math>\Epsilon = {gQ_1}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g</math>
 Ebene<math>\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_1}^{-} \cup g</math>
 Da Ebene<math>\Epsilon = {gQ_2}^{+} \cup {gQ_2}^{-} \cup g</math> gilt somit auch <math>{gQ_1}^{-} \equiv {gQ_2}^{-}</math>
|}

{| class="wikitable"
|-
| ||'''Fall II''' <math>\ Q_1, Q_2</math> und <math>\ P</math> '''sind kollinear''', liegen auf der Geraden <math>\ h</math>.
|-
| ''Schritt''|| ''Aussage'' || ''Begründung''
|-
| (1) || <math>{gQ_1}^{+} = \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ_1} \} \cup \{g\}</math> Die Strecke <math>\overline {PQ_1}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Definition von Halbebene
|-
| (2) || <math>Q_2 \in {gQ_1}^{+}</math> <math>Q_2</math> liegt in der Halbebene <math>{gQ_1}^{+}</math>, dadurch gilt: die Strecke <math>\overline {Q_1Q_2}</math> schneidet '''nicht''' die Trägergerade g.|| Voraussetzung und Definition von Halbebene
|-
| (3) || Wenn <math> \operatorname{koll} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math> und <math>\ Q_1, Q_2, P</math> paarweise verschieden sind, dann gilt
 <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math> oder
 <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right) </math> oder
 <math> \operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right) </math>.|| Aus Voraussetzung '''kollinear''' und [http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Strecken#Satz_II.3 Satz II.3]
|-
| (4) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, Q_2, P \right) </math>, dann ist <math>\overline {PQ_2} \subset \overline {PQ_1}</math> und dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math>
|| Zwischenrelation, Voraussetzung
|-
| (5) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_1, P, Q_2 \right) </math>, dann ist <math>\overline {PQ_2} \subset \overline {Q_1Q_2}</math> und dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math>
|| Zwischenrelation, Voraussetzung
|-
| (6) || Wenn <math> \operatorname{Zw} \left( Q_2, Q_1, P \right)</math>, dann gehören alle Punkte der Strecke <math>\overline {PQ_2}</math> entweder zur Strecke <math>\overline {Q_1Q_2}</math> oder zur Strecke <math>\overline {PQ_1}</math>, für die gilt <math>\overline {Q_1Q_2} \in {gQ_1}^{+}</math> oder <math>\overline {PQ_1} \in {gQ_1}^{+}</math>
 Dadurch gilt <math>\overline {PQ_2} \in {gQ_1}^{+}</math>
|| Zwischenrelation, Aussagenlogik
|-
| (7) || Trivial, bzw. analog zu '''Fall I'''||
|}

Stimmt das so? Nochmal geändert...
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 15:10, 23. Jun. 2010 (UTC)

[[Bild:Dozenten.jpg]]

Analog dazu: [[Lösung_von_Aufgabe_8.1|Übungsaufgabe 8.1]]. Dort wird allerdings etwas anders vorgegangen, nämlich dass <math>R \notin {gQ}^{+} </math>. Die Analogie der Lösungen ergibt sich daraus, dass die Mengen disjunkt sind.

== Das Axiom von [http://de.wikipedia.org/wiki/Moritz_Pasch Pasch] ==
:::''Was Axiomatik ist und wie man Axiome zu formulieren hat, das ist erst gegen Ende des 19. Jh. von Pasch gezeigt worden; von ihm lernten es die italienischen Geometer und lernte es Hilbert. [http://de.wikipedia.org/wiki/Hans_Freudenthal Hans Freudenthal], Mathematik als pädagogische Aufgabe, Stuttgart 1973, S. 14)''

<ggb_applet width="550" height="343" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Axiom III.2: Das Axiom von Pasch =====
:::Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

= Konvexe Punktmengen =
=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.
===== Satz IV.2 =====
::Halbebenen sind konvexe Punktmengen

===== Beweis von Satz IV.2 =====
trivial (Der Leser überzeuge sich davon)
===== Satz IV.3 =====
::Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
===== Beweis von Satz IV.3 =====
Es seien <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> zwei konvexe Mengen.

zu zeigen: Der Durchschnitt der beiden Mengen <math>\ M_1</math> und <math>\ M_2</math> ist auch konvex.

...

Lösung von Aufgabe 7.9

2010-06-17T10:09:20Z

Sefamerve:

Definieren Sie mittels des Schnitts geeigneter Halbebenen den Begriff des Inneren eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

1)<math>\overline{AB}</math> = g

gC <math> \ OA^+ \ </math> := {P| Punkt, der links von g liegt}

--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 13:48, 6. Jun. 2010 (UTC)

2):<math>\overline{ABC}</math> sei ein Dreieck und <math>\ a,b,c</math> drei Geraden mit <math>\overline{BC} \subset a, \ \ \overline{AC} \subset b, \ \ \overline{AB} \subset c</math>. Die Punktmenge <math>I = aA^+ \cap bB^+ \cap cC^+ \setminus \overline{ABC}</math> heißt das Innere des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 17:20, 10. Jun. 2010 (UTC)

3)Gegeben seien drei nicht kollineare Punkte A, B und C. Die Schnittmenge der offenen Halbebenen ACB+, BCA+ und ABC+ heißt das Innere des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

Lösung von Aufgabe 7.6

2010-06-17T09:45:38Z

Sefamerve:

Formulieren Sie die Kontraposition der Implikation aus Aufgabe 7.5.

1)Ist der Durchschnitt zweier Punktmengen nicht konvex, so sind die Punktmengen ebenfalls nicht konvex.
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 13:51, 6. Jun. 2010 (UTC) 
 
2)Ist der Durchschnitt zweier Punktmengen nicht konvex, so ist (mindestens) eine der Punktmengen nicht konvex. --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:08, 10. Jun. 2010 (UTC) 
 
3)''Voraussetzung'': M1 geschnitten M2 ist eine nicht konvexe Punktmenge ''Behauptung'': entweder M1 oder M2 oder beide Punktmengen sind nicht konvex.

Lösung von Aufgabe 7.6

2010-06-17T09:44:39Z

Sefamerve:

Formulieren Sie die Kontraposition der Implikation aus Aufgabe 7.5.

1)Ist der Durchschnitt zweier Punktmengen nicht konvex, so sind die Punktmengen ebenfalls nicht konvex.
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 13:51, 6. Jun. 2010 (UTC) 
 
2)Ist der Durchschnitt zweier Punktmengen nicht konvex, so ist (mindestens) eine der Punktmengen nicht konvex. --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:08, 10. Jun. 2010 (UTC) 

3)Voraussetung: M1 geschnitten M2 ist eine nicht konvexe Punktenge Behauptung: entweder M1 oder M2 oder beide Punktengen sind nicht konvex.

Lösung von Aufgabe 7.6

2010-06-17T09:43:53Z

Sefamerve:

Formulieren Sie die Kontraposition der Implikation aus Aufgabe 7.5.

1)Ist der Durchschnitt zweier Punktmengen nicht konvex, so sind die Punktmengen ebenfalls nicht konvex.
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 13:51, 6. Jun. 2010 (UTC) 
 
2)Ist der Durchschnitt zweier Punktmengen nicht konvex, so ist (mindestens) eine der Punktmengen nicht konvex. --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:08, 10. Jun. 2010 (UTC)

3)Voraussetung: M1 geschnitten M2 ist eine nicht konvexe Menge Behauptung: entweder M1 oder M2 oder beide Mengen sind nicht konvex

Lösung von Aufgabe 7.5

2010-06-17T09:37:45Z

Sefamerve: /* Wieso */

Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

'''Voraussetzung:''' M1 = konvexe Punktmenge und M2 = konvexe Punktmenge
'''Behauptung:''' M1 geschnitten M2 = konvexe Punktmenge

Beweis:

Seien A und B zwei verschiedene Punkte, die so gewählt sind, dass gilt:

A ist Element von M1 und M2, B ist Element von M1 und M2 dh beide Punkte liegen in der Schittmenge.
1)Da M1 konvex, gilt, dass die Strecke AB Element von M1 ist.
2)Da M2 konvex, gilt gleichzeitig, dass die Strecke AB Element von M2 ist.
3)Weil 1) und 2) gelten, liegt die Strecke AB sowohl in M1 als auch in M2 und damit in der Schnittmenge.
Da A und B zwei beliebige Punkte der Schnittmenge waren, gilt die Behauptung.

=== Wieso ===
können wir annehmen, dass sowohl A als auch B Elemente beider Mengen sind? Mir ist der Satz IV.3 alles andere als klar. Natürlich müssen beide Mengen mindestens zwei Punkte haben, denn sie sind ja konvex. Aber wieso könnten das nicht bei M1 die Punkte A und B und bei Menge 2 die Punkte A und C sein. Damit wäre doch die Schnittmenge nicht konvex????? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 12:38, 15. Jun. 2010 (UTC)

Antwort:
Wir nehmen nicht an, dass A und B Elemente beider Mengen sind, wir nehmen bewusst 2 Elemente aus der Schnittmenge.
In der Schnittmenge muss mindestens ein Element enthalten sein, ansonsten würde die Schnittmenge nicht existieren.
Wenn wir zeigen wollen, dass die Schnittmenge konvex ist, dann brauchen wir 2 Punkte, diese sind A und B.
Wenn nur A in der Schnittmenge wäre, dann können wir nicht zeigen, dass es konvex ist. Wir können es nicht zeigen aber das heißt
noch nicht, dass es NICHT KONVEX ist, also nehmen wir einen zweiten Punkt B.
Den zweiten Punkt darf ich nehmen, weil ich in der Schnittmenge mindestens einen Punkt habe, dh 2 oder 3 usw

vielleicht ist dies eine bessere Antwort:

laut wikipedia gilt, dass die leere Menge und jede einelementige Menge konvex sind. Das heißt wir müssen nur für die Fälle beweisen,
in denen im Durchschnitt mindestens 2 Elemente drin sind.

Lösung von Aufgabe 7.5

2010-06-15T14:33:36Z

Sefamerve:

Lösung von Aufgabe 7.5

2010-06-15T14:31:50Z

Sefamerve: /* Wieso */

Diskussion:Strecken

2010-06-13T15:06:45Z

Sefamerve:

Lösung von Aufgabe 7.5

2010-06-11T21:24:03Z

Sefamerve:

Lösung von Aufgabe 6.4

2010-06-08T15:05:12Z

Sefamerve: table+

Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.

===Eins===
Behauptung: Wenn eine Ebene E existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.
Vorraussetzung: Es existiert eine Ebene E mit A, B, C Element E
Annahme: A, B, C sind paarweise verschieden. 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| (1) komp (A,B,C) (2) A nicht identisch B 
B nicht identisch C 
C nicht identlich A
|| 1)nach Definition I/6 2)nach Satz I/7
|}

=> A, B, C sind paarweise verschieden

Kommt uns ein wenig zu kurz vor.
von Maude001 und Nicola

===Zwo===
====Behauptung:====
Wenn eine Ebene <math>\Epsilon</math> existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.
====Vorraussetzung:====
Es existiert eine Ebene <math>\Epsilon</math> mit A, B, C <math>\in</math> <math>\Epsilon</math>
====Annahme:====
A, B, C sind paarweise verschieden.

Diesen Satz I.7 ("Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.") muss man bestimmt mit einer Fallunterscheidung beginnen.

=====Fall 1:=====
koll(A, B, C) <-> A, B, C <math>\in</math> Gerade g
Dadurch ergibt sich ja (nach Vorraussetzung), dass A, B, C <math>\in</math> <math>\Epsilon</math> und (nach Fallunterscheidung) A, B, C <math>\in</math> g. Dann greift Axiom I/5

Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

...hier sind es sogar alle drei Punkte.

=====Fall 2:=====
Je zwei Punkte sind kollinear.
 o.B.d.A koll(A, B) -> A, B <math>\in</math> Gerade g <math>\land</math> C <math>\ni</math> Gerade g
 nkoll(A, B, C)
 Nun besagt Axiom I/4

Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält.

Reicht das als Begründung für [[Inzidenz_im_Raum#Satz_I.7:|Satz I.7]] ?

Zusatz:
Deswegen brauchen wir den Fall 3 nicht, wonach alle drei Punkte nichtkollinear sind. Geht nicht!
 AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)

Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

 --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 

===Drei===
Ich habe ein Problem mit eurer Voraussetzung. Dass die Ebene drei Punkte enthält, soll man ja beweisen. Ich würde es eher so formulieren:
:Voraussetzung: <math>\ \Epsilon</math> ist eine Ebene.
:Behauptung: <math>\ \Epsilon</math> enthält wenigstens drei verschiedene Punkte.
::Das könnte man natürlich aufgliedern in: <math>\ \Epsilon</math> enthält wenigstens drei Punkte. Und in: Diese drei Punkte sind paarweise verschieden. Damit habt ihr schon recht. Aber in eurer Argumentation kommt nicht vor, dass es ja auch Ebenen geben könnte, die nur einen oder zwei Punkte enthalten. Und genau das soll man ja widerlegen. 
Übrigens ergibt sich direkt aus Axiom I/4, dass es keine Ebene gibt, die keinen Punkt enthält. Da heißt es ja: "Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt." Aber wo kommen die anderen Punkte her? In Axiom I/4 heißt es ja, dass es zu drei nichtkollinearen Punkten genau eine Ebene gibt, die diese enthält, aber da steht nicht, dass es auch umgekehrt zu jeder Ebene drei Punkte gibt, die darin enthalten sind. 
Ich stelle mir also eine Ebene <math>\ \Epsilon_1</math> vor, die den Punkt <math>\ A</math> enthält. Einen Punkt muss sie ja schließlich nach Axiom I/4 enthalten. Dann weiß ich nach Axiom I/3, dass es wenigstens drei nichtkollineare Punkte gibt. Gehen wir davon aus, <math>\ A</math> wäre einer davon und die anderen beiden hießen <math>\ B</math> und <math>\ C</math>. Jetzt gibt es aber meines Erachtens zwei Möglichkeiten, wie Axiom I/4 erfüllt werden kann.
:1.Fall: Die gesuchte Ebene, die zu diesen drei Punkten gehört ist <math>\ \Epsilon_1</math>. Problem geklärt, <math>\ \Epsilon_1</math> enthält drei Punkte. Prima.
:2.Fall: Die gesuchte Ebene ist <math>\ \Epsilon_2</math>, wobei gilt <math>\ B,C \not\in \Epsilon_1</math>, also <math>\ \Epsilon_2 \not\equiv \Epsilon_1</math>. Womit immer noch das Problem besteht, wo die anderen Punkte für <math>\ \Epsilon_1</math> herkommen. 
Es geht bestimmt irgendwie, aber ich bin noch nicht draufgekommen. 
--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 12:32, 5. Jun. 2010 (UTC)

== '''Vier''' ==

zz: Jede Ebene enthält wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte.

Beweisidee:

Ausgangspunkt ist Axiom I/7 : Es gibt 4 Punkte, die nicht in ein und derselben Ebene liegen.
Seien dies die Punkte A,B,C und D. Ferner sei E1 eine Ebene.

Es gilt 3 Fälle zu unterscheiden:

Fall 1:
A,B gehört zu E1 und C,D gehört nicht zu E1

Fall 2:
A gehört zu E1 und B,C,D gehören nicht zu E1

Fall 3:
keine der 4 Punkte A,B,C,D gehören zu E1

''BEWEIS:''

Fall 1:

1) nkomp(A,B,C,D) -> nkoll(A,B,C) (Satz und Axiom I/7)

2) Es existiert zu A,B,C eine Ebene F, sodass A,B und C in F liegen (Axiom I/4)

3) Nun gilt, dass A sowohl in E1 als auch in F enthalten ist (Voraussetzung und 2))

4) Es existiert ein Punkt S mit: S ist sowohl in E1 als auch in F enhalten (Axiom I/6 und 3))

5) A, B und S sind in E1 enthalten ( 4)und Voraussetzung, dass A und B in E1 liegt)

Fall 2 funktioniert analog:
Es existieren zu den Punktemengen {A,B,C}, {A,B,D} jeweils eine Ebene. Seien diese E2 und E3. Jede dieser Ebenen
haben den Punkt A mit E1 gemeinsam. Laut Axiom I/6 gibt es dann zwei weitere Punkte P1 und P2, die sowohl in diesen Ebenen als auch in E1 enthalten sind. Folglich enthält E1 die Punkte A, P1 und P2.

In den beiden bisherigen Fällen hat E1 also mindestens 3 Punkte.

Fall 3 konnte ich leider nicht lösen.