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Lösung von Aufgabe 3.5 (SoSe 14)

2014-05-18T16:24:17Z

Shaman:

Vergleichen Sie die Wahrheitswerte von 

<math>(\ A \Rightarrow B) </math> und <math>(\ A \wedge \neg B)</math>. 

Erklären Sie den Zusammenhang zwischen Ihrer Wahrheitstabelle und dem indirekten Beweis durch Widerspruch. 

[[Datei:2014-05-18 18.04.05.jpg|thumb|Wahrheitstabelle]]
Anbei die Wahrheitstabelle. Wie genau ist der indirekte Beweis durch Widerspruch zu führen? 
Ist das was aus der Tabelle hervorgeht schon der indirekte Beweis? --[[Benutzer:Shaman|Shaman]] ([[Benutzer Diskussion:Shaman|Diskussion]]) 18:24, 18. Mai 2014 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]

Datei:2014-05-18 18.04.05.jpg

2014-05-18T16:17:42Z

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Lösung von Aufgabe 3.3 (SoSe 14)

2014-05-18T14:44:36Z

Shaman:

a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach). 

Stufenwinkelsatz: Wenn zwei parallele Geraden a und b von einer dritten Gerade c geschnitten werden, so sind die auftretenden
Stufenwinkel gleich groß. --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 18:15, 12. Mai 2014 (CEST)

Stufenwinkelsatz: Stufenwinkel sind gleich groß genau dann, wenn sie an parallelen Geraden liegen.--[[Benutzer:Früchtchen:)|Früchtchen:)]] ([[Benutzer Diskussion:Früchtchen:)|Diskussion]]) 09:19, 15. Mai 2014 (CEST)

b) Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade ''c'' jeweils in genau einem Punkt geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äquivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)? 
#<math>\ a \ \| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>
#<math>\alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \| \ b </math>
#<math>\left|\alpha \right|\not= \left| \beta \right| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b </math>
#<math>\ a \ \| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta </math>

1. repräsentiert den Stufenwinkelsatz
2. ist eine Umkehrung des Stufenwinkelsatz
3. kein Zusammenhang zum Stufenwinkelsatz?
4. ist eine Äquivalenzaussage zum Stufenwinkelsatz --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 18:15, 12. Mai 2014 (CEST)
Deine Antwort ist schon ganz gut. 3. hat einen Zusammenhang zum Stufenwinkelsatz. Welche der 4 Aussagen sind nun aequivalent zum Stufenwinkelsatz?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 16:42, 14. Mai 2014 (CEST)
[[Category:Einführung_P]]
Ich würde sagen das Aussage Nr.3 auch äquivalent zum Stufenwinkelsatz ist. Sie repräsentiert einen indirekten Beweis durch Kontraposition,
nähmlich dass die Winkel |α| und |β| nicht gleich groß sind wenn die Geraden a und b nicht parallel zueinander sind.--[[Benutzer:Shaman|Shaman]] ([[Benutzer Diskussion:Shaman|Diskussion]]) 16:44, 18. Mai 2014 (CEST)

Entschuldigt, eine "unerfahrene" Frage: Was bedeutet das ist-gleich Zeichen mit Schlangelinie darüber? Kann ja nicht "ungefähr-ist-gleich" heißen. DANKE!! (Pippilotta) 
Das Zeichen bedeutet kongruent zu. Zwei Winkel sind kongruent, wenn sie gleich groß sind. Zwei Seiten sind kongruent, wenn sie gleich lang sind. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 19:17, 16. Mai 2014 (CEST)

Lösung von Aufgabe 3.2 (SoSe 14)

2014-05-18T14:13:03Z

Shaman:

'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
''' 
'''a) Welcher Beweis ist korrekt?''' Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.) 

Beweis 1)
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck. 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
 
Beweis 2)
Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck. 
Vor: |AC|< |BC| < |AB|. 
Beh: |α| ≠ |β| 
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen. 

Beweis 1: Der Basiswinkelsatz sagt nicht, dass |AC| ≠ |BC|, deshalb ist der Beweis nicht korrekt. --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 18:04, 12. Mai 2014 (CEST)
Beweis 2: Dies ist ein korrekter Beweis durch Kontraposition. --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 18:04, 12. Mai 2014 (CEST)

b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.''' 

Vor: |AC|< |BC| < |AB|
Beh: |α| ≠ |β|
Annahme: |α| = |β|
Basiswinkelsatz: |AC| = |BC|
--> Deshalb ist die Annahme falsch. --[[Benutzer:MarieSo|MarieSo]] ([[Benutzer Diskussion:MarieSo|Diskussion]]) 18:04, 12. Mai 2014 (CEST)

Mein Versuch: 
Vor.: |AC|< |BC| < |AB| 
Beh.: |α| ≠ |β| 
Annahme: |α| = |β| 
Beweis:

{| class="wikitable"
|-
| 1) |AC|< |BC| < |AB| || Voraussetzung
|-
| 2) |α| = |β| || 1), Annahme
|-
| 3) |AC| ≠ |BC| dann |α| ≠ |β| || 1), Stufenwinkelsatz
|-

|}--[[Benutzer:Picksel|Picksel]] ([[Benutzer Diskussion:Picksel|Diskussion]]) 08:09, 14. Mai 2014 (CEST)
Dein Beweis Picksel beinhaltet den selben Fehler wie Beispiel 1 oben (Es ist im Prinzip der Beweis 1 in schöner Tabellenform). Du verwendest die Annahme selbst nicht (du nennst sie nur) und begründest dann mit dem Stufenwinkelsatz eine Aussage, die nicht im Stufenwinkelsatz enthalten ist.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 16:47, 14. Mai 2014 (CEST)

Nächster Versuch: 

Vor.: |AC|<|BC|<|AB| 

Beh.: |α|≠|β| 

Annahme:|α|=|β| 

Beweis mit Wiederspruch: 
''
Nehmen wir an das |α|=|β| gilt. Die Umkehrung des Basiswinkelsatzes besagt: Wenn |α|=|β| dann gilt auch |AC|=|BC|.
Damit unsere Annahme wahr ist muss die Umkehrung des Basiswinkelsatzes, wenn |α|=|β| dann gilt auch |AC|=|BC|, wahr sein. Unserer
Voraussetzung zufolge aber: |AC|<|BC|, d.h. |AC|≠|BC|. Damit ist unsere Annahme falsch und im Wiederspruch zu unserer Voraussetzung.
Daraus folgt das die Behautung |a|≠|β| wahr ist.'' --[[Benutzer:Shaman|Shaman]] ([[Benutzer Diskussion:Shaman|Diskussion]]) 16:13, 18. Mai 2014 (CEST)

[[Category:Einführung_P]]