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Definitionen in der Mathematik WS 16 17

2016-10-27T16:25:48Z

Shaun das Schaf: /* Entwicklung einer "neuen" Definition */

==Was ist eine Definition?==
*Eine Definition ist in der Mathematik eine Begriffsbestimmung, die nur aus Grundbegriffen oder bereits definierten Begriffen besteht. 
*Eine Definition ist nicht beweisbar und damit auch nicht wahr oder falsch sondern höchstens sinnvoll oder nicht sinnvoll. '''Anmerkung:''' Sie können z. B. eine Raute auf verschiedene Arten definieren. Alle Definitionen sollten aber immer die uns bekannte Raute beschreiben und nicht plötzlich eine andere Figur (Fünfeck, Trapez etc.). Das wäre dann natürlich schon falsch! Beispiele für in diesem Sinne falsche Definitionen finden Sie in den Übungen 1.
*Eine Definition sollte so wenig wie möglich und so viel wie nötig beinhalten. '''Anmerkung:''' Dabei schwingt immer eine gewisse Unschärfe mit, die sich didaktisch begründen lässt: Bsp. Definition Rechteck: Ein Rechteck ist ein Viereck mit drei rechten Innenwinkel. Diese Definition ist so knapp wie möglich gehalten. Insbesondere genügt es die Eigenschaft: "besitzt drei rechte Innenwinkel" zu beschreiben, da sich der vierte rechte Innenwinkel zwangsläufig ergibt. In der Regel wird man hier aber ein Rechteck als Viereck mit vier rechten Innenwinkel definieren, da diese Definition insbesondere für Schülerinnen und Schüler einsichtiger und griffiger ist. 

==Genau dasselbe, nur ganz anders: Arten, Definitionen zu formulieren==
Es gibt verschiedene Arten, Definitionen zu formulieren.
===Beispiel 1: ggT zweier ganzer Zahlen===
Die Begriffe Teiler und Euklidischer Algorithmus seien im Folgenden bereits exakt definiert.
====Das Übliche, die Realdefinition====
::Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei ganze Zahlen. <math>T</math> sei die Menge aller Zahlen, die sowohl Teiler von <math>a</math> als auch von <math>b</math> sind. Die größte Zahl der Menge <math>T</math> heißt größter gemeinsamer Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

====Konventionaldefinition, das Ganze in "wenn-dann"====
::Wenn eine Zahl <math>g</math> sowohl die ganze Zahl <math>a</math> als auch die ganze Zahl <math>b</math> teilt und es keine Zahl <math>t</math> gibt, die auch <math>a</math> und <math>b</math> teilt und dabei größer als <math>g</math> ist, dann ist <math>g</math> der größte gemeinsame Teiler von <math>a</math> und <math>b</math>.

====Schön, aber wie bekomme ich den ggT: die genetisch, operative Definition====
::Der letzte von 0 verschiedene Rest, den man bei Anwendung des Euklidischen Algorithmus auf die ganzen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> erhält, ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
===Beispiel 2: Drachenviereck===
Die Begriffe Dreieck, Viereck, Diagonale, Eckpunkt, Geradenspiegelung und achsensymmetrisch seien im Folgenden bereits definiert.
====Realdefinition====
::Ein Viereck, bei dem die eine Diagonale Teilmenge der Mittelsenkrechten seiner anderen Diagonale ist, heißt Drachenviereck.
====Konventionaldefinition====
::Wenn ein Viereck achsensymmetrisch bezüglich einer Geraden ist, die durch zwei Eckpunkte des Vierecks geht, dann heißt das Viereck Drachenviereck.
====genetisch, operative Definition====
::Es sei <math>\overline{ABC}</math>ein Dreieck und <math>\ C'</math> das Bild von <math>\ C</math> bei der Spiegelung an <math>\ AB</math>. Das Viereck <math>\overline{AC'BC}</math> ist ein Drachenviereck.

==Ein wenig Didaktik: Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen==
Aus didaktischer Sicht lassen sich Definitionen auf verschiedenen Niveaustufen formulieren.

Das nachfolgende Skript gibt weitere Informationen: * {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}} 

==Entwicklung einer "neuen" Definition==
Im Folgenden wollen wir versuchen, den (ihnen vermutlich wenig geläufigen) Begriff ''Ellipse'' zu definieren. Konstruktiv lässt sich eine Ellipse mit Hilfe der sogenannten Gärtnerkonstruktion, wie im folgenden Video, erzeugen. 
YOUTUBE --> http://www.youtube.com/watch?v=7UD8hOs-vaI

 
Bemerkung zu obigem Video: Das geht natürlich noch schöner. Ansporn für Sie? 
In einer ersten intuitiven Definition können wir also sagen: 
*Eine Ellipse ist eine kreisförmige Figur, die ungleiche Radien besitzt.
*Eine Ellipse ist eine kreisförmige Figur, die zwei verschiedene Radien besitzt.
*Spannt man ein Band um zwei Nägel und einen Stift und führt den Stift mit gespanntem Band um die Nägel herum, so erhält man eine Ellipse.
*Man nehme eine Raute, die kein Quadrat ist und lege eine kreisförmige Figur um die Raute, so erhält man eine Ellipse.
*Eine Ellipse ist ein abgeflachter Kreis.
*Eine Ellipse ist eine Figur, die um zwei nebeneinander liegende Kreise gespannt wird.
*eine Ellipse ist das, was bei der Gärtnerkonstruktion entsteht. (erarbeitet in der Vorlesung am 27.10.16 --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] ([[Benutzer Diskussion:Schnirch|Diskussion]]) 15:15, 27. Okt. 2016 (CEST))
Endgültige Definition in der Vorlesung:
Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P, für die gilt, dass die Summe der Streckenlängen der Strecken PF1 und PF2 konstant ist. Es gilt F1 und F2 sind 2 beliebige Punkte mit F1, F2, P ɛ Ebene.--[[Benutzer:Shaun das Schaf|Shaun das Schaf]] ([[Benutzer Diskussion:Shaun das Schaf|Diskussion]]) 18:25, 27. Okt. 2016 (CEST)
 
Das folgende Applet empfindet die Gärtnerkonstruktion nach. 
 

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

'''Aufgaben:''' 
#Experimentieren Sie nun mit dem Applet und machen Sie sich dabei die mathematischen Zusammenhänge klar (Tipp: Bewegen Sie den Punkt ''P'' und beobachten Sie die Strecken ''a'' und ''b''). Welche Zusammenhänge entdecken Sie?
#Versuchen Sie nun aus den Erkenntnissen eine formale Definition des Begriffs Ellipse zu entwickeln. 

#Können Sie nun den Begriff Kreis unter Verwendung des Oberbegriffs Ellipse definieren? 
Vereinbarung: Wir setzen ebene Geometrie voraus.
====Definition E.1: Ellipse====

====Definition K.1: Kreis als spezielle Ellipse====

[[Category:Geo_P]]

Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel WS 13/14

2014-02-11T08:18:46Z

Shaun das Schaf: /* == Definition III.2: (Inneres eines Winkels) */

= Winkel =
== Begriff des Winkels ==
=== Identifizieren von Winkeln ===
==== Repräsentanten und Gegenrepräsentanten ====
In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?
{| class="wikitable center"
|-
| [[Bild: winkel_01.svg]] || [[Bild: winkel_02.svg]] || [[Bild: winkel_03.svg]] || [[Bild: winkel_04.svg]]
|-
| Punktmenge 1 || Punktmenge 2 || Punktmenge 3 || Punktmenge 4
|-
| [[Bild: winkel_05.svg]] || [[Bild: winkel_06.svg]] || [[Bild: winkel_07.svg]] || [[Bild: winkel_08.svg]]
|-
| Punktmenge 5 || Punktmenge 6 || Punktmenge 7 || Punktmenge 8
|}
''Tabelle 1''
{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Winkelmodell
! kein Winkelmodell
|-
|Punktmenge: 3,5--[[Benutzer:RoteBeere|RoteBeere]] ([[Benutzer Diskussion:RoteBeere|Diskussion]]) 12:49, 24. Dez. 2013 (CET)
Ich denke, da fehlt noch die 4...--[[Benutzer:Shaun das Schaf|Shaun das Schaf]] ([[Benutzer Diskussion:Shaun das Schaf|Diskussion]]) 09:12, 11. Feb. 2014 (CET)
|Punktmenge: 1,2,4,6,7,8--[[Benutzer:RoteBeere|RoteBeere]] ([[Benutzer Diskussion:RoteBeere|Diskussion]]) 12:49, 24. Dez. 2013 (CET)

|}
* Danke RoteBeere für deinen Beitrag. Du hast schon eine gute Zuordnung gemacht. Es gibt insgesamt 3 Bilder für korrekte Winkelmodelle. Eines ist also falsch zugeordnet.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 12:30, 26. Dez. 2013 (CET)

==== Prozess der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung ====
In der Didaktik bezeichnen wir die Art und Weise der Erarbeitung eines neuen Begriffs entsprechend obiger Tabelle als induktive Begriffserarbeitung: Eine gewisse Menge an Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des zu erarbeitenden Begriffs wird vorgegeben. Dann teilt man diese Menge in genau zwei Klassen ein. Die eine Klasse bilden alle Begriffsrepräsentanten, die andere Menge der Rest.

Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Lehre/didaktik_5_8/flash/Trapez_Erarbeitung_drag.html Zum besseren Verständnis: Analoge Erarbeitung des Begriffs Trapez:]

=== Realisieren von Winkeln ===
==== Die Idee des konstruktiven Begriffserwerbs ====
Während beim induktiven Begriffserwerb das Ausgangsmaterial für den Schüler bereits vorgefertigt wurde, generiert er es sich beim konstruktiven Begriffserwerb selbst. Der gute Lehrer läßt in der Regel beide Varianten zur Anwendung kommen.

==== Konstruktion eines Winkels ====
Aufgabe: Zeichne einen Winkel

Lösung:

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Konstruktionsschritt
! Beschreibung
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_01.svg]]
| Zeichne einen Strahl. Nenne den Anfangspunkt S und einen weiteren Punkt auf dem Strahl B.
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_02.svg]]
| Zeichne einen zweiten Strahl, der im Anfangspunkt S beginnt. Zeichne einen Punkt A auf dem zweiten Strahl ein.

|}

=== Definition des Winkelbegriffs ===
===== Definition III.1: (Winkel)=====

Unter einem Winkel verseht man ... ergänzen Sie 

Die Vereinigungsmenge zweier Strahlen SA+ und SB+, die im selben Punkt S beginnen
--[[Benutzer:RoteBeere|RoteBeere]] ([[Benutzer Diskussion:RoteBeere|Diskussion]]) 12:52, 24. Dez. 2013 (CET)
* Die Idee ist korrekt. Wenn du bereits zwei Strahlen benennst und den selben Punkt S enthalten ist, würde ich sagen, du brauchst nicht unbedingt "im selben Punkt S beginnen" ergänzen. Lässt du die genaue Bezeichnung weg, ist es aber unbedingt nötig. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 12:32, 26. Dez. 2013 (CET)

==== Arten, Winkel zu beschreiben ====

{| class="wikitable center "
! Beispiel
! Beschreibung
! in Zeichen
! Quelltext in Tex
|-
| [[Bild:Winkel_pq.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ p</math> und <math>\ q</math> besteht.
| <math>\angle pq</math>
| \angle pq
|-
| [[Bild:Winkel_ASB.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ SA^+</math> und <math>\ SB^+</math> besteht.
| <math>\angle ASB</math>
| \angle ASB

|}

=== Das Innere eines Winkels ===
==== So ist es zu verstehen ====

<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/Wiki/Flash/Inneres_Winkel.swf" width="400" height="400" frameborder="2"></iframe> 
Klicken Sie auf die Steuerknöpfe um die Halbebenen ein- und auszublenden.

==== Definition des Inneren eines Winkels ====
===== Definition III.2: (Inneres eines Winkels) ===
Unter dem Inneren eines Winkels ... ergänzen Sie 
versteht man die Schnittmenge der Ebenen SAB+ und SBA+.--[[Benutzer:Shaun das Schaf|Shaun das Schaf]] ([[Benutzer Diskussion:Shaun das Schaf|Diskussion]]) 09:59, 25. Dez. 2013 (CET)
* Das ist korrekt, sofern du vorher erwähnst, welchen Winkel du meinst... (hier fehlt die genaue Bezeichung).--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 12:34, 26. Dez. 2013 (CET)
* Unter dem Inneren des Winkels ASB versteht man die Schnittmenge der Ebenen SAB+ und SBA+.--[[Benutzer:Shaun das Schaf|Shaun das Schaf]] ([[Benutzer Diskussion:Shaun das Schaf|Diskussion]]) 09:18, 11. Feb. 2014 (CET)
===== Satz III.1 =====
:: Das Innere eines Winkels ist konvex.
===== Beweis von Satz III.1 =====
::trivial entsprechend Satz II.2, Satz II.3 und der Definition III.2

==== Überstumpfe Winkel? ====
Bemerkung: Entsprechend Definition III.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.

== Scheitelwinkel und Nebenwinkel ==
=== Scheitelwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
==== Definition ====
===== Definition III.3: (Scheitelwinkel) =====
 

Zwei Winkel sind genau dann Scheitelwinkel, wenn sie einen gemeinsamen Scheitel haben, sich gegenüberliegen und das gleiche Maß jaben--[[Benutzer:RoteBeere|RoteBeere]] ([[Benutzer Diskussion:RoteBeere|Diskussion]]) 15:05, 28. Dez. 2013 (CET)
* Schon ganz viel richtig. Nur was heißt gegenüber liegen? Das ist zu ungenau.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 20:54, 1. Jan. 2014 (CET)

=== Nebenwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
Hier sind Beispiele aus der Classroompresenter-Übung vom 20.04.12. Kommentieren Sie die Definitionsversuche! 
* Danke RoteBeere für deine korrekten Kommentare, die man noch ergänzen kann.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 21:03, 1. Jan. 2014 (CET) 
{| class="wikitable left"
|- style="background: #DDFFDD;"
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_046.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_036.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
|-
|'''Ihr Kommentar:''' Wahrscheinlich müsste man hier statt "benachbart" schreiben, dass sie je einen gemeinsamen Schenkel haben (daraus müsste sich ja der gleiche Scheitelpunkt ergeben, oder?)--[[Benutzer:RoteBeere|RoteBeere]] ([[Benutzer Diskussion:RoteBeere|Diskussion]]) 15:02, 28. Dez. 2013 (CET)
|'''Ihr Kommentar:''' Müssten ja nicht den gleichen Scheitel haben--[[Benutzer:RoteBeere|RoteBeere]] ([[Benutzer Diskussion:RoteBeere|Diskussion]]) 15:02, 28. Dez. 2013 (CET)
|}

 
{| class="wikitable left"
|- style="background: #DDFFDD;"
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_064.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_035.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
|-
|'''Ihr Kommentar:''' kann man "sich ergebende Winkel" schreiben? Eine Gerade kann nicht halbiert werden...--[[Benutzer:RoteBeere|RoteBeere]] ([[Benutzer Diskussion:RoteBeere|Diskussion]]) 15:02, 28. Dez. 2013 (CET)
|'''Ihr Kommentar:''' dann könnten rechte Winkel ja keine Nebenwinkel sein--[[Benutzer:RoteBeere|RoteBeere]] ([[Benutzer Diskussion:RoteBeere|Diskussion]]) 15:02, 28. Dez. 2013 (CET)
|}
 
{| class="wikitable left"
|- style="background: #DDFFDD;"
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_069.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_042.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
|-
|'''Ihr Kommentar:''' Was heißt "eine Gerade berührt"? Außerdem fehlt, dass sie gemeinsam 180° ergeben--[[Benutzer:RoteBeere|RoteBeere]] ([[Benutzer Diskussion:RoteBeere|Diskussion]]) 15:02, 28. Dez. 2013 (CET)
|'''Ihr Kommentar:''' Sie müssten auch noch einen gemeinsamen Schenkel haben--[[Benutzer:RoteBeere|RoteBeere]] ([[Benutzer Diskussion:RoteBeere|Diskussion]]) 15:02, 28. Dez. 2013 (CET)
|}
 

==== Definition ====
===== Definition III.4: (Nebenwinkel) =====
 
'''Ihre Definition:''' Ein Paar von Nebenwinkeln sind zwei Winkel mit einem gemeinsamen Schenkel (und Scheitelpunkt), deren Maß addiert 180 ergibt. --[[Benutzer:RoteBeere|RoteBeere]] ([[Benutzer Diskussion:RoteBeere|Diskussion]]) 15:04, 28. Dez. 2013 (CET)
* Nebenwinkel kannst du auch ohne das Wort "Paar" definieren.
* Gibt es auch eine Möglichkeit Nebenwinkel ohne das Maß von 180 Grad zu definieren?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 21:06, 1. Jan. 2014 (CET)
[[Category:Einführung_P]]

Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel WS 13/14

2014-02-11T08:12:06Z

Shaun das Schaf: /* Repräsentanten und Gegenrepräsentanten */

= Winkel =
== Begriff des Winkels ==
=== Identifizieren von Winkeln ===
==== Repräsentanten und Gegenrepräsentanten ====
In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?
{| class="wikitable center"
|-
| [[Bild: winkel_01.svg]] || [[Bild: winkel_02.svg]] || [[Bild: winkel_03.svg]] || [[Bild: winkel_04.svg]]
|-
| Punktmenge 1 || Punktmenge 2 || Punktmenge 3 || Punktmenge 4
|-
| [[Bild: winkel_05.svg]] || [[Bild: winkel_06.svg]] || [[Bild: winkel_07.svg]] || [[Bild: winkel_08.svg]]
|-
| Punktmenge 5 || Punktmenge 6 || Punktmenge 7 || Punktmenge 8
|}
''Tabelle 1''
{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Winkelmodell
! kein Winkelmodell
|-
|Punktmenge: 3,5--[[Benutzer:RoteBeere|RoteBeere]] ([[Benutzer Diskussion:RoteBeere|Diskussion]]) 12:49, 24. Dez. 2013 (CET)
Ich denke, da fehlt noch die 4...--[[Benutzer:Shaun das Schaf|Shaun das Schaf]] ([[Benutzer Diskussion:Shaun das Schaf|Diskussion]]) 09:12, 11. Feb. 2014 (CET)
|Punktmenge: 1,2,4,6,7,8--[[Benutzer:RoteBeere|RoteBeere]] ([[Benutzer Diskussion:RoteBeere|Diskussion]]) 12:49, 24. Dez. 2013 (CET)

|}
* Danke RoteBeere für deinen Beitrag. Du hast schon eine gute Zuordnung gemacht. Es gibt insgesamt 3 Bilder für korrekte Winkelmodelle. Eines ist also falsch zugeordnet.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 12:30, 26. Dez. 2013 (CET)

==== Prozess der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung ====
In der Didaktik bezeichnen wir die Art und Weise der Erarbeitung eines neuen Begriffs entsprechend obiger Tabelle als induktive Begriffserarbeitung: Eine gewisse Menge an Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des zu erarbeitenden Begriffs wird vorgegeben. Dann teilt man diese Menge in genau zwei Klassen ein. Die eine Klasse bilden alle Begriffsrepräsentanten, die andere Menge der Rest.

Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Lehre/didaktik_5_8/flash/Trapez_Erarbeitung_drag.html Zum besseren Verständnis: Analoge Erarbeitung des Begriffs Trapez:]

=== Realisieren von Winkeln ===
==== Die Idee des konstruktiven Begriffserwerbs ====
Während beim induktiven Begriffserwerb das Ausgangsmaterial für den Schüler bereits vorgefertigt wurde, generiert er es sich beim konstruktiven Begriffserwerb selbst. Der gute Lehrer läßt in der Regel beide Varianten zur Anwendung kommen.

==== Konstruktion eines Winkels ====
Aufgabe: Zeichne einen Winkel

Lösung:

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Konstruktionsschritt
! Beschreibung
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_01.svg]]
| Zeichne einen Strahl. Nenne den Anfangspunkt S und einen weiteren Punkt auf dem Strahl B.
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_02.svg]]
| Zeichne einen zweiten Strahl, der im Anfangspunkt S beginnt. Zeichne einen Punkt A auf dem zweiten Strahl ein.

|}

=== Definition des Winkelbegriffs ===
===== Definition III.1: (Winkel)=====

Unter einem Winkel verseht man ... ergänzen Sie 

Die Vereinigungsmenge zweier Strahlen SA+ und SB+, die im selben Punkt S beginnen
--[[Benutzer:RoteBeere|RoteBeere]] ([[Benutzer Diskussion:RoteBeere|Diskussion]]) 12:52, 24. Dez. 2013 (CET)
* Die Idee ist korrekt. Wenn du bereits zwei Strahlen benennst und den selben Punkt S enthalten ist, würde ich sagen, du brauchst nicht unbedingt "im selben Punkt S beginnen" ergänzen. Lässt du die genaue Bezeichnung weg, ist es aber unbedingt nötig. --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 12:32, 26. Dez. 2013 (CET)

==== Arten, Winkel zu beschreiben ====

{| class="wikitable center "
! Beispiel
! Beschreibung
! in Zeichen
! Quelltext in Tex
|-
| [[Bild:Winkel_pq.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ p</math> und <math>\ q</math> besteht.
| <math>\angle pq</math>
| \angle pq
|-
| [[Bild:Winkel_ASB.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ SA^+</math> und <math>\ SB^+</math> besteht.
| <math>\angle ASB</math>
| \angle ASB

|}

=== Das Innere eines Winkels ===
==== So ist es zu verstehen ====

<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/Wiki/Flash/Inneres_Winkel.swf" width="400" height="400" frameborder="2"></iframe> 
Klicken Sie auf die Steuerknöpfe um die Halbebenen ein- und auszublenden.

==== Definition des Inneren eines Winkels ====
===== Definition III.2: (Inneres eines Winkels) ===
Unter dem Inneren eines Winkels ... ergänzen Sie 
versteht man die Schnittmenge der Ebenen SAB+ und SBA+.--[[Benutzer:Shaun das Schaf|Shaun das Schaf]] ([[Benutzer Diskussion:Shaun das Schaf|Diskussion]]) 09:59, 25. Dez. 2013 (CET)
* Das ist korrekt, sofern du vorher erwähnst, welchen Winkel du meinst... (hier fehlt die genaue Bezeichung).--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 12:34, 26. Dez. 2013 (CET)

===== Satz III.1 =====
:: Das Innere eines Winkels ist konvex.
===== Beweis von Satz III.1 =====
::trivial entsprechend Satz II.2, Satz II.3 und der Definition III.2

==== Überstumpfe Winkel? ====
Bemerkung: Entsprechend Definition III.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.

== Scheitelwinkel und Nebenwinkel ==
=== Scheitelwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
==== Definition ====
===== Definition III.3: (Scheitelwinkel) =====
 

Zwei Winkel sind genau dann Scheitelwinkel, wenn sie einen gemeinsamen Scheitel haben, sich gegenüberliegen und das gleiche Maß jaben--[[Benutzer:RoteBeere|RoteBeere]] ([[Benutzer Diskussion:RoteBeere|Diskussion]]) 15:05, 28. Dez. 2013 (CET)
* Schon ganz viel richtig. Nur was heißt gegenüber liegen? Das ist zu ungenau.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 20:54, 1. Jan. 2014 (CET)

=== Nebenwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
Hier sind Beispiele aus der Classroompresenter-Übung vom 20.04.12. Kommentieren Sie die Definitionsversuche! 
* Danke RoteBeere für deine korrekten Kommentare, die man noch ergänzen kann.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 21:03, 1. Jan. 2014 (CET) 
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|- style="background: #DDFFDD;"
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_046.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_036.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
|-
|'''Ihr Kommentar:''' Wahrscheinlich müsste man hier statt "benachbart" schreiben, dass sie je einen gemeinsamen Schenkel haben (daraus müsste sich ja der gleiche Scheitelpunkt ergeben, oder?)--[[Benutzer:RoteBeere|RoteBeere]] ([[Benutzer Diskussion:RoteBeere|Diskussion]]) 15:02, 28. Dez. 2013 (CET)
|'''Ihr Kommentar:''' Müssten ja nicht den gleichen Scheitel haben--[[Benutzer:RoteBeere|RoteBeere]] ([[Benutzer Diskussion:RoteBeere|Diskussion]]) 15:02, 28. Dez. 2013 (CET)
|}

 
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|-
|'''Ihr Kommentar:''' kann man "sich ergebende Winkel" schreiben? Eine Gerade kann nicht halbiert werden...--[[Benutzer:RoteBeere|RoteBeere]] ([[Benutzer Diskussion:RoteBeere|Diskussion]]) 15:02, 28. Dez. 2013 (CET)
|'''Ihr Kommentar:''' dann könnten rechte Winkel ja keine Nebenwinkel sein--[[Benutzer:RoteBeere|RoteBeere]] ([[Benutzer Diskussion:RoteBeere|Diskussion]]) 15:02, 28. Dez. 2013 (CET)
|}
 
{| class="wikitable left"
|- style="background: #DDFFDD;"
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_069.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
! <iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/uebungen/20_04_12/Student Submissions_files/Student Submissions_042.png" width="480" height="360" frameborder="2"></iframe>
|-
|'''Ihr Kommentar:''' Was heißt "eine Gerade berührt"? Außerdem fehlt, dass sie gemeinsam 180° ergeben--[[Benutzer:RoteBeere|RoteBeere]] ([[Benutzer Diskussion:RoteBeere|Diskussion]]) 15:02, 28. Dez. 2013 (CET)
|'''Ihr Kommentar:''' Sie müssten auch noch einen gemeinsamen Schenkel haben--[[Benutzer:RoteBeere|RoteBeere]] ([[Benutzer Diskussion:RoteBeere|Diskussion]]) 15:02, 28. Dez. 2013 (CET)
|}
 

==== Definition ====
===== Definition III.4: (Nebenwinkel) =====
 
'''Ihre Definition:''' Ein Paar von Nebenwinkeln sind zwei Winkel mit einem gemeinsamen Schenkel (und Scheitelpunkt), deren Maß addiert 180 ergibt. --[[Benutzer:RoteBeere|RoteBeere]] ([[Benutzer Diskussion:RoteBeere|Diskussion]]) 15:04, 28. Dez. 2013 (CET)
* Nebenwinkel kannst du auch ohne das Wort "Paar" definieren.
* Gibt es auch eine Möglichkeit Nebenwinkel ohne das Maß von 180 Grad zu definieren?--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 21:06, 1. Jan. 2014 (CET)
[[Category:Einführung_P]]

Der Basiswinkelsatz WS 13/14

2013-12-25T09:23:09Z

Shaun das Schaf: /* Satz VIII.1: (Basiswinkelsatz) */

== Der Basiswinkelsatz ==
=== Gleichschenklige Dreiecke ===
===== Definition VIII.1 : (gleichschenkliges Dreieck) =====
Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

Übungsaufgabe

=== Der Basiswinkelsatz ===
===== Satz VIII.1: (Basiswinkelsatz) =====
::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 
Beweis: 
Voraussetzung: ergänzen Sie! Das Dreieck ist gleichschenklig.--[[Benutzer:Shaun das Schaf|Shaun das Schaf]] ([[Benutzer Diskussion:Shaun das Schaf|Diskussion]]) 10:23, 25. Dez. 2013 (CET)

Behauptung: ergänzen Sie! Die Basiswinkel sind kongruent zueinander.--[[Benutzer:Shaun das Schaf|Shaun das Schaf]] ([[Benutzer Diskussion:Shaun das Schaf|Diskussion]]) 10:23, 25. Dez. 2013 (CET)

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Skizze
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (1)
| [[Bild:gleichschenklig_2.png| 200 px]]
| <math>\left| AC \right|=\left| BC \right|</math>
| ...
|-
| (2)
| [[Bild:gleichschenklig_3.png| 200 px]]
| <math>C\in m</math> mit <math>m</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>
| ...
|-
| (3)
| 
| <math>B=S_{m}(A)</math>
| ...
|-
| (4)
| 
| <math>C=S_{m}(C)</math>
| ...
|-
| (5)
| 
| <math>M=S_{m}(M)</math>
| ...
|-
| (6a)
| 
| <math> S_{m} (\angle MAC ) = \angle MBC </math>
| ...
|-
|-
| (6b)
| 
| <math>\angle MAC \tilde {=} \angle MBC </math>
| ...
|-
|}

Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel WS 13/14

2013-12-25T08:59:53Z

Shaun das Schaf: /* == Definition III.2: (Inneres eines Winkels) */

Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel WS 13/14

2013-12-25T08:59:02Z

Shaun das Schaf: /* Definition III.2: (Inneres eines Winkels) */

Die Geradenspiegelung und ihre Eigenschaften WS 13/14

2013-12-11T08:51:58Z

Shaun das Schaf: /* Definition V.6 : (Fixpunktgerade) */

Im Folgenden werden wir uns mit Geometrie in der Ebene beschäftigen. Speziell betrachten wir so genannte Abbildungen der Ebene auf sich selbst und hier wiederum nur ganz bestimmte Abbildungen, die so genannten Kongruenzabbildungen. 
==== Definition V.1 : (Abbildung <math>\varphi</math> )====
::Eine Zuordnung, die jedem Punkt ''P'' der Ebene eindeutig einen Bildpunkt ''P''' zuordnet, nennt man Abbildung. 
::Schreibweise: <math>P'=\varphi (P)</math> 

==== Definition V.2 : (involutorische Abbildung)====
::Eine Abbildung <math>\varphi</math>, die bei zweifacher Ausführung (<math>\varphi (\varphi )</math>) wieder zum Ursprungsbild führt (identische Abbildung), nennt man involutorisch oder involutorische Abbildung.
==== Definition V.3 : (Geraden- oder Achsenspiegelung <math>S_g</math>)====
::Gegeben sei eine Gerade ''g'' in der Ebene. Die Geraden- oder Achsenspiegelung <math>S_g</math> ist die Abbildung der Ebene auf sich selbst, die nach folgender Abbildungsvorschrift jeden Punkt ''P'' seinem Bildpunkt ''P''' zuordnet. 
# <math>\forall P\in g\Rightarrow P=P'</math>
# <math>\forall P\not\in g\Rightarrow PP'\perp \ g \wedge \left| PS \right|=\left| P'S \right| </math> mit <math>\left\{ {S} \right\}=\ g \cap PP' </math>
 
Nutzen Sie die folgende GeoGebra-Applikation um den Punkt P an der Geraden g zu spiegeln. Verschieben den Punkt ''P'' bzw. die Gerade ''g'' um die Definition der Geradenspiegelung nachzuvollziehen. 
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====Konstruktion der Geradenspiegelung mit Zirkel und Lineal====
Erinnern Sie sich an Ihre Schulzeit zurück: Wie haben Sie in der Schule mit Zirkel und Lineal eine Geradenspiegelung angefertigt? 
Ihre Beschreibung (gerne auch als Bild): 

Man zeichne eine Gerade g und einen Punkt P, der nicht Element von g ist. Dann steche man mit dem Zirkel in Punkt P und ziehe einen Kreis mit beliebigem Radius (so groß, dass g geschnitten wird). Anschließend steche man hinterinander in die entstandenen Schnittpunkte auf g und ziehe je einen Kreis mit dem vorherigen Radius. An dem Punkt, wo sich diese beiden Kreise schneiden, liegt P´.--[[Benutzer:Shaun das Schaf|Shaun das Schaf]] ([[Benutzer Diskussion:Shaun das Schaf|Diskussion]]) 09:49, 11. Dez. 2013 (CET)

==== Definition V.4 : (Fixpunkte)====
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> ein Bildpunkt ''P''' mit seinem Urbild ''P'' zusammenfällt (''P'' wird auf sich selbst abgebildet), dann heißt ''P'' Fixpunkt der Abbildung <math>\varphi</math>. 
::formal: <math>P=\varphi (P)=P'</math> 
Aufgabe: Welche Punkte sind bei der Geradenspiegelung Fixpunkte? 

Alle Punkte, die bei einer Geradenspiegelung auf der Symmetrieachse liegen, sind Fixpunkte. --[[Benutzer:Simon-2206|Simon-2206]] ([[Benutzer Diskussion:Simon-2206|Diskussion]]) 09:21, 11. Dez. 2013 (CET)

==== Definition V.5 : (Fixgerade)====
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> eine Bildgerade ''g''' mit ihrem Urbild ''g'' zusammenfällt, dann heißt ''g'' Fixgerade der Abbildung <math>\varphi</math>. 
Aufgabe: Gibt es Fixgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.? 

==== Definition V.6 : (Fixpunktgerade)====
::Wenn jeder Punkt ''P'' einer Fixgeraden ''g'' auf sich selbst abgebildet wird, so ist die Fixgerade ''g'' auch Fixpunktgerade. 
Aufgabe: Gibt es Fixpunktgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.? 

Alle Geraden, die auf der Symmetrieachse liegen, sind Fixpunktgeraden.--[[Benutzer:Shaun das Schaf|Shaun das Schaf]] ([[Benutzer Diskussion:Shaun das Schaf|Diskussion]]) 09:51, 11. Dez. 2013 (CET)

===Eigenschaften einer Geradenspiegelung===
*abstandserhaltend: Der Abstand <math>\left| A'B' \right|</math> zweier Bildpunkte <math>A'</math> und <math>B'</math> ist gleich dem Abstand <math>\left| AB \right|</math> der beiden Urbilder ''A'' und ''B''.
*winkelmaßerhaltend: hier gilt analog: <math>\left| \angle ABC \right|= \left| \angle A'B'C' \right|</math> 
diese beiden Eigenschaften lassen sich axiomatisch begründen, was wir hier aber nicht weiter vertiefen wollen. Alle weiteren Eigenschaften lassen sich aus der Abstands- und Winkelmaßerhaltung ableiten. 

==== Satz V.1 : ====
Die Geradenspiegelung <math>S_g</math> ist eine involutorische Abbildung, d. h. für alle Punkte A, B der Ebene gilt: 
::<math>B=S_g (A)\Rightarrow A=S_g (B)</math> 
Beweis: 

==== Satz V.2 (Streckentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Strecke <math>\overline{AB}</math> auf eine Strecke <math>\overline{A'B'}</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.3 (Längentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Die Länge der Strecke <math>\overline{A'B'}</math>, die bei der Geradenspiegelung <math>S_g(\overline{AB}) </math> entsteht ist gleich der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
Beweis:

==== Satz V.4 (Halbgeradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Halbgerade <math>\ AB^{+}</math> auf eine Halbgerade <math>\ A'B'^{+}</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.5 (Geradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Gerade <math>\ AB</math> auf eine Gerade <math>\ A'B'</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.6 (Winkeltreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird ein Winkel <math>\angle ABC</math> auf einen Winkel <math>\angle A'B'C'</math> abgebildet. Dabei stimmen die Winkelmaße beider Winkel überein. 
Beweis:

==== Satz V.7 (Parallelentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> werden zueinander parallele Geraden <math>f</math> und <math> h</math> auf zwei zueinander parallele Geraden <math>f'</math> und <math>h'</math> abgebildet. 

[[Datei: Parallelentreue_Geradenspiegelung.PNG]]

Beweis:

Die Geradenspiegelung und ihre Eigenschaften WS 13/14

2013-12-11T08:49:41Z

Shaun das Schaf: /* Konstruktion der Geradenspiegelung mit Zirkel und Lineal */

Im Folgenden werden wir uns mit Geometrie in der Ebene beschäftigen. Speziell betrachten wir so genannte Abbildungen der Ebene auf sich selbst und hier wiederum nur ganz bestimmte Abbildungen, die so genannten Kongruenzabbildungen. 
==== Definition V.1 : (Abbildung <math>\varphi</math> )====
::Eine Zuordnung, die jedem Punkt ''P'' der Ebene eindeutig einen Bildpunkt ''P''' zuordnet, nennt man Abbildung. 
::Schreibweise: <math>P'=\varphi (P)</math> 

==== Definition V.2 : (involutorische Abbildung)====
::Eine Abbildung <math>\varphi</math>, die bei zweifacher Ausführung (<math>\varphi (\varphi )</math>) wieder zum Ursprungsbild führt (identische Abbildung), nennt man involutorisch oder involutorische Abbildung.
==== Definition V.3 : (Geraden- oder Achsenspiegelung <math>S_g</math>)====
::Gegeben sei eine Gerade ''g'' in der Ebene. Die Geraden- oder Achsenspiegelung <math>S_g</math> ist die Abbildung der Ebene auf sich selbst, die nach folgender Abbildungsvorschrift jeden Punkt ''P'' seinem Bildpunkt ''P''' zuordnet. 
# <math>\forall P\in g\Rightarrow P=P'</math>
# <math>\forall P\not\in g\Rightarrow PP'\perp \ g \wedge \left| PS \right|=\left| P'S \right| </math> mit <math>\left\{ {S} \right\}=\ g \cap PP' </math>
 
Nutzen Sie die folgende GeoGebra-Applikation um den Punkt P an der Geraden g zu spiegeln. Verschieben den Punkt ''P'' bzw. die Gerade ''g'' um die Definition der Geradenspiegelung nachzuvollziehen. 
<ggb_applet width="792" height="538" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAH1cyEAAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIAH1cyEAAAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s1Vdbb9s2FH5uf8WBnmNblChZLuQUbYFiBdKuQLph2BslMTIbSdREynaK/vgdkpIiO13XLd2ABrEPL4fn8vFc6PT5sa5gzzslZLP1yNL3gDe5LERTbr1e3ywS7/nl07TksuRZx+BGdjXTW48aTlFsPRZEIY8TumBJsFnQNc0WScToYhMHccwoDTISeQBHJZ418h2ruWpZzq/zHa/ZlcyZtop3WrfPVqvD4bAcVS1lV67KMlseVeEBmtmorTcMnqG4k0OH0LIHvk9Wv729cuIXolGaNTn3wLjQi8unT9KDaAp5gIMo9G7rJT66seOi3KFPsZmsDFOLgLQ812LPFR6dTa3Pum49y8Yas//EjaCa3PGgEHtR8G7r+csA/Zed4I0edsmgZTWeT/eCH5wgM7I6qAdayipjRgZ8/gyBH/hwYQhxJEASx27Ld2t+6EjgCHUkcjzUHaeOlToe6nho6MFeKJFVfOvdsEohZqK56fC+prnSdxW39gwL9/6SC/RJiU/IHBoQHci47vsX5oPIXtAR3ZmTZKZVd/0/VDqqXG+Cb1cZPMrRcNQZfMnNIPoLN+OvKHV+f4ufJJrpRFX2334eaAy/5ua5Rjd/nMKY/i8upqsxVdIhO0DtDO8QPZrXyuRLuIFoY8KeQIS5Ea8xyiMgGyTrADAbgERAI5ySBGJD1xCucYNCCAkYPhKCTY4owS+6tsJiiFCYWV1jTgJBRRSiEIjNKQqYSWDzEnM0CJEjiiDCQ0Y9CYyIMAYa4yxMgKKNJiXXBBlDPIhzVB9ASCA0h8kaghhiI49Qk+pxYkxHkQHEPsTECMSsxox22Yz8CYTGm3iASzRtr08gyutiHGrZTneB3FiP7uucq08nZfBJWrGMV9gZrs1NAuxZZTLCKrqRjYbxEgO3Vnas3YlcXXOt8ZSCj2zPrpjmx9fIrUbdljeXjXrfSf1KVn3dKIBcVv5ks6zIbBxMVuMknG3Q+UY024hn4/UX9UrcgV5x1C87NbKzonhjOO5LAyL5c1Pdvew4u22lOHUjXdkmk/I+r0QhWPMrBqvRYnCBsefYcjX2HBquR0NkV1zfKYxgOP7OO4k1hkSmy965WehmKmcmxSLfbs1nVgzfT2izI58cKTtRzMdv1EtZFZNb1pNXrNV9Zxs/lrnO2PeiKStub9sWTuyq+W0mj9fumkMn68Ndi7NBf1ZaBAGzPIiw8ZUDzRy1PMawicu3PL7l8Me4EcW0Twxa5UAzRy0XBqIzbXCUjF4Sf1QjlK1NvneSATaKTY/uG6GvxokW+e3gKXH87/o641MsnIok30lkujqLlfSWdw2vhtDEi+xlr1ymzaK24Lmoceo2BkCYuaxf0AC3WvCy46PdlX1SObjsrj+PugfLVtTrTtZvmv0HjIQzA9LVaGWq8k60Jt4gw3J+y+9jqhCKYTco5udMLqHruan6CI820GCW9XonO/tqwuKA1KRQxWt8MYG2wWXjc4L5vX18GTxBZh+xPp1dw/194fYXA82GJKvaHTMPtMHpit3x7gQGK++tLM7BQeytB5isrbvblnMXFc5eHLQozubSSbFBtBUc0QCbvZhohn5yD2/38jSemvw6qa5u9eyaMHYcSH8D14sfH65wuU4sXnS5if9zwF7++IAhTtQCRpY0+S6A5bKuWVNAY190V1h8vfsHBvNNmAEjBjyHTK/HjdKJGgQ8wN7U8Qna8tHQ+/8e+Hm80WSAj+APidmfi74FSZYbPzlvRBpfO7f4k07ZbqmHvmgHP4mi4Pal69r0H407olx/EHVbiVzoc9RX84ppHxjDr+PLPwFQSwcIVffzzEsFAAC6DwAAUEsBAhQAFAAIAAgAfVzIQNY3vbkZAAAAFwAAABYAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhX2phdmFzY3JpcHQuanNQSwECFAAUAAgACAB9XMhAVffzzEsFAAC6DwAADAAAAAAAAAAAAAAAAABdAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAACAAIAfgAAAOIFAAAAAA==" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> 

====Konstruktion der Geradenspiegelung mit Zirkel und Lineal====
Erinnern Sie sich an Ihre Schulzeit zurück: Wie haben Sie in der Schule mit Zirkel und Lineal eine Geradenspiegelung angefertigt? 
Ihre Beschreibung (gerne auch als Bild): 

Man zeichne eine Gerade g und einen Punkt P, der nicht Element von g ist. Dann steche man mit dem Zirkel in Punkt P und ziehe einen Kreis mit beliebigem Radius (so groß, dass g geschnitten wird). Anschließend steche man hinterinander in die entstandenen Schnittpunkte auf g und ziehe je einen Kreis mit dem vorherigen Radius. An dem Punkt, wo sich diese beiden Kreise schneiden, liegt P´.--[[Benutzer:Shaun das Schaf|Shaun das Schaf]] ([[Benutzer Diskussion:Shaun das Schaf|Diskussion]]) 09:49, 11. Dez. 2013 (CET)

==== Definition V.4 : (Fixpunkte)====
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> ein Bildpunkt ''P''' mit seinem Urbild ''P'' zusammenfällt (''P'' wird auf sich selbst abgebildet), dann heißt ''P'' Fixpunkt der Abbildung <math>\varphi</math>. 
::formal: <math>P=\varphi (P)=P'</math> 
Aufgabe: Welche Punkte sind bei der Geradenspiegelung Fixpunkte? 

Alle Punkte, die bei einer Geradenspiegelung auf der Symmetrieachse liegen, sind Fixpunkte. --[[Benutzer:Simon-2206|Simon-2206]] ([[Benutzer Diskussion:Simon-2206|Diskussion]]) 09:21, 11. Dez. 2013 (CET)

==== Definition V.5 : (Fixgerade)====
::Wenn bei einer Abbildung <math>\varphi</math> eine Bildgerade ''g''' mit ihrem Urbild ''g'' zusammenfällt, dann heißt ''g'' Fixgerade der Abbildung <math>\varphi</math>. 
Aufgabe: Gibt es Fixgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.? 

==== Definition V.6 : (Fixpunktgerade)====
::Wenn jeder Punkt ''P'' einer Fixgeraden ''g'' auf sich selbst abgebildet wird, so ist die Fixgerade ''g'' auch Fixpunktgerade. 
Aufgabe: Gibt es Fixpunktgeraden bei der Geradenspiegelung und welche sind dies ggf.? 

===Eigenschaften einer Geradenspiegelung===
*abstandserhaltend: Der Abstand <math>\left| A'B' \right|</math> zweier Bildpunkte <math>A'</math> und <math>B'</math> ist gleich dem Abstand <math>\left| AB \right|</math> der beiden Urbilder ''A'' und ''B''.
*winkelmaßerhaltend: hier gilt analog: <math>\left| \angle ABC \right|= \left| \angle A'B'C' \right|</math> 
diese beiden Eigenschaften lassen sich axiomatisch begründen, was wir hier aber nicht weiter vertiefen wollen. Alle weiteren Eigenschaften lassen sich aus der Abstands- und Winkelmaßerhaltung ableiten. 

==== Satz V.1 : ====
Die Geradenspiegelung <math>S_g</math> ist eine involutorische Abbildung, d. h. für alle Punkte A, B der Ebene gilt: 
::<math>B=S_g (A)\Rightarrow A=S_g (B)</math> 
Beweis: 

==== Satz V.2 (Streckentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Strecke <math>\overline{AB}</math> auf eine Strecke <math>\overline{A'B'}</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.3 (Längentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Die Länge der Strecke <math>\overline{A'B'}</math>, die bei der Geradenspiegelung <math>S_g(\overline{AB}) </math> entsteht ist gleich der Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. 
Beweis:

==== Satz V.4 (Halbgeradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Halbgerade <math>\ AB^{+}</math> auf eine Halbgerade <math>\ A'B'^{+}</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.5 (Geradentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird eine Gerade <math>\ AB</math> auf eine Gerade <math>\ A'B'</math> abgebildet. Dabei gilt: <math>S_g(A)=A'</math> und <math>S_g(B)=B'</math>. 
Beweis:

==== Satz V.6 (Winkeltreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> wird ein Winkel <math>\angle ABC</math> auf einen Winkel <math>\angle A'B'C'</math> abgebildet. Dabei stimmen die Winkelmaße beider Winkel überein. 
Beweis:

==== Satz V.7 (Parallelentreue der Geradenspiegelung <math>S_g </math>): ====
Bei der Geradenspiegelung <math>S_g </math> werden zueinander parallele Geraden <math>f</math> und <math> h</math> auf zwei zueinander parallele Geraden <math>f'</math> und <math>h'</math> abgebildet. 

[[Datei: Parallelentreue_Geradenspiegelung.PNG]]

Beweis:

Lösung von Aufgabe 5.2 P (WS 13/14)

2013-11-26T11:03:05Z

Shaun das Schaf:

Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, ob es sich um reflexive, symmetrische sowie transitive Relationen handelt? 
*Parallelität von Geraden der Ebene
*Kongruenz geometrischer Figuren
*Teilbarkeit in <math>\mathbb{N}</math>
*Kleinerrelation in <math>\mathbb{R}</math>
*Größer-Gleich-Relation in <math>\mathbb{R}</math>
*Ungleichheit in <math>\mathbb{R}</math>

[[Category:Einführung_P]]

Lösungsvorschlag:

* r, s, t
* r, s, t
* r, t
* r, t
* r, (s), t
* r, s, t

r= reflexiv, s= Symmetrisch, t= transitiv

--[[Benutzer:Shaun das Schaf|Shaun das Schaf]] 12:03, 26. Nov. 2013 (CET)

Lösung von Aufgabe 5.2 P (WS 13/14)

2013-11-26T11:02:28Z

Shaun das Schaf:

Lösung von Aufgabe 5.2 P (WS 13/14)

2013-11-26T11:00:24Z

Shaun das Schaf:

Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, ob es sich um reflexive, symmetrische sowie transitive Relationen handelt? 
*Parallelität von Geraden der Ebene
*Kongruenz geometrischer Figuren
*Teilbarkeit in <math>\mathbb{N}</math>
*Kleinerrelation in <math>\mathbb{R}</math>
*Größer-Gleich-Relation in <math>\mathbb{R}</math>
*Ungleichheit in <math>\mathbb{R}</math>

[[Category:Einführung_P]]

Lösungsvorschlag:

a) r, s, t
b) r, s, t
c) r, t
d) r, t
e) r, (s), t
f) r, s, t

r= reflexiv, s= Symmetrisch, t= transitiv

Auftrag der Woche 2 (WS 13/14)

2013-11-04T18:01:32Z

Shaun das Schaf:

== Quiz zu Definitionen ==
Generieren Sie gemeinsam ein eigenes Quiz zum Begriff der Definition bzw. zum Definieren.
Hier der Anfang. Sie müssen nur nur auf Bearbeiten klicken, den Quelltext der ersten Frage kopieren, wieder einfügen und schließlich manipulieren. F.F. (Viel Freude!)

<quiz>
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]{ In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Dreieck?
(Wir gehen davon aus, dass die Begriffe n-Eck und Eckpunkt eines n-Ecks bereits korrekt definiert wurden.) }
- Ein Dreieck hat drei Eckpunkte.
|| Gut zu wissen, aber was ist denn nun ein Dreieck?
- Jedes n-Eck mit drei Eckpunkten ist ein Dreieck.
|| Ein Viereck hat auch drei Ecken. Analogie: Das ein Bier-Problem: Frau: Wo warst du? Mann: Ich habe ein Bier getrunken. Frau (sauer) Es waren bestimmt 8 Bier. Bewertung: Beide haben Recht. Der Mann hat nicht gelogen. (Ein Bier zu trinken ist eine notwendige Bedingung um 8 Bier zu trinken. Allerdings ist es nicht hinreichend, ein Bier zu trinken um 8 Bier getrunken zu haben.)
- Es gibt n-Ecke mit drei Eckpunkten, welche Dreiecke genannt werden.
|| Was zu beweisen wäre. Definitionen kann man nicht beweisen.
+ Für n=3 ist ein n-Eck ein Dreieck.
|| Wenn n=3 gilt, gilt nicht gleichzeitig etwa n=5.
+ Ein n-Eck mit genau drei Eckpunkten ist ein Dreieck.
|| Analog zur vorangegengenen Frage.

</quiz>

<quiz>
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]{ In welchen Fällen handelt es sich um eine korrekte Definition des Begriffs Quadrat?
(Wir gehen davon aus, dass die Begriffe n-Eck und Eckpunkt eines n-Ecks bereits korrekt definiert wurden.) }
- Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten.
|| Ein Quadrat hat zwar vier gleich lange Seiten, aber das hat eine Raute auch.
- Jedes n-Eck mit 4 Eckpunkten ist ein Quadrat.
|| Das trifft auf alle Vierecke des Hauses der Vierecke zu!
+ Ein Quadrat ist ein Rechteck mit 3 gleich langen Seiten.
|| Da ein Rechteck 4 rechte Winkel hat und nun auch noch 3 gleich lange Seiten hinzu kommen, wird alles andere außer einem Quadrat ausgeschlossen.
+ Ein Quadrat ist ein Viereck mit 3 gleichlangen Seiten und 3 rechten Winkeln.
|| Aus 3 gleich großen Winkeln und 3 gleich langen Seiten folgt zwangsmäßig ein Quadrat.
+ Ein Quadrat ist ein Viereck mit 4 Symmetrieachsen.
|| Vier Symmetrieachsen hat nur das Quadrat.

</quiz>

[[Kategorie:Einführung_P]]

Auftrag der Woche 0 (WS 13/14)

2013-11-03T18:13:49Z

Shaun das Schaf: /* Ergebnisse: Geometrie im Alltag */

== Geometrie im Alltag - Kennenlernen des Wikis ==

Im ersten Wochenauftrag sollen Sie den Umgang mit diesem Wiki im Sinne von "Learning by doing" besser kennenlernen. Hierzu haben Sie zwei Aufgaben:

# Spüren Sie Geometrie im Alltag auf und stellen Sie diese als Bild auf ihre eigene Benutzerseite (Diese Benutzerseite können Sie später nutzen um sich z. B. nach und nach ein eigenes individuelles Skript aufzubauen). '''Wichtig: Nehmen Sie keine Bilder aus dem Internet (wegen Urheberrecht). Verwenden Sie nur eigene Fotografien!'''
# Schreiben Sie mit Hilfe des Formeleditors der TEX-Box (Aufruf über das Summenzeichen - oben)eine passende Formel zu ihrem Bild.

=== Anleitung ===

# Gehen Sie mit offenen Augen durch den Alltag. Wo steckt hier Geometrie? Machen Sie ein Foto!
# Melden Sie sich mit Ihrem Pseudonym, das Sie auf dem Fragebogen angegeben haben, im Wiki an.
# Laden Sie das Foto ins Wiki hoch. ([[Dateien hochladen|Anleitung zum Hochladen]])
# Binden Sie das Foto auf Ihre Benutzerseite ein. Gehen Sie hierzu auf Ihre Benutzerseite, indem Sie oben auf Ihren Namen klicken. ([[Bilder einbinden|Anleitung zum Einbinden]])
# Schreiben Sie jetzt noch eine passende Formel mit Hilfe der TEX-Box unter Ihr Bild.
# Tragen Sie Ihre Benutzerseite hier unten unter "Ergebnisse" ein. Orientieren Sie sich dabei an den Eintragungen, die dort bereits existieren.
# Durchstöbern Sie die Ergebnisse der anderen Teilnehmerinnen und Teilnehmer. Kommentieren Sie auf den Benutzerseiten! Loben Sie die schönen Fotos, oder stellen Sie Fragen dazu! Dies sollten Sie nicht auf der jeweiligen Benutzerseite selbst eintragen, sondern auf der dazugehörigen Diskussionsseite. (Der zweite Reiter oben links heißt "Diskussion").

=== Ergebnisse: Geometrie im Alltag ===

* [[Benutzer:Schnirch]] - Kukulkan-Pyramide in Mexiko[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]
* [[Benutzer:der Kuckuck]] - Würfel[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]
* [[Benutzer:Mützle]] - Ball=Kugelform [[Kategorie:Einführung_Geometrie]]
* [[Benutzer:PhilTaylor]] - Dartscheibe(Kreis)[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]
* [[Benutzer:Student93]] - Bild [[Kategorie: Einführung_Geometrie]]
* [[Benutzer:mickey mouse]] - Küchenpapierrolle=Zylinder [[Kategorie: Einführung_Geometrie]]
* [[Benutzer:Rapunzel]] - Prisma [[Kategorie: Einführung_Geometrie]]
* [[Benutzer:racoon]] - Quadrat [[Kategorie: Einführung_Geometrie]]
* [[Benutzer:Shaun das Schaf]] - Quader [[Kategorie: Einführung_Geometrie]]

2013-11-01T10:22:01Z

Shaun das Schaf: Quader auf meinem Schreibtisch

Datei:Patronen.JPG

2013-11-01T10:18:18Z

Shaun das Schaf: {{Information |Beschreibung = Quader |Quelle = Shaun das Schaf |Urheber = Shaun das Schaf |Datum = 01.11.2013 |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}