Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Kommentar von Shaun15

2011-01-31T09:05:43Z

Shaun15: Die Seite wurde neu angelegt: Zu 1: Ein Kreis ist die Menge aller Punkte die von einem gegebenen Punkt( hier O) denselben Abstand haben. (wir befinden uns natürlich in der Ebene) Demnach hat jede...

Zu 1: Ein Kreis ist die Menge aller Punkte die von einem gegebenen Punkt( hier O) denselben Abstand haben. (wir befinden uns natürlich in der Ebene) Demnach hat jeder Stahl der seinen Anfangspunkt im Inneren des Kreises hat einen Punkt mit dem Kreis gemeinsam. 
 
Zu 2: Def. Tangente 
 
Zu 3: (Außer die Tangenten an den Punkten (0/1) und (0/-1). Die möchten wir hier übersehen, denn diese beiden Tangenten währen parallel zur x-Achse und hätten somit auch keinen Schnittpunkt. –Lässt sich beweisen, ist aber trivial. „OB⁺ liegt auf der y-Achse…)) Alle anderen Tangenten an diesem Kreis sind nicht parallel zur x-Achse. Lässt sich auch beweisen (Annahme es gäbe noch eine parallele Tangente und Parallelenaxiom….) Demnach haben sie alle einen Schnittpunkt mit der X-Achse. 
 
Tu 4: Lässt man die zwei parallelen Tangenten weg, so hat jeder Punkt auf dem Kreis genau einen Partner auf der x-Achse, demnach hat der Kreis genauso viele Punkte wie die x-Achse. 
--[[Benutzer:Shaun15|Shaun15]] 09:05, 31. Jan. 2011 (UTC)

Aufgabe Kontinuum 01 WS 10 11

2011-01-31T09:01:34Z

Shaun15:

Mark behauptet:

# Zu jedem Winkel α mit 0≤ α<2<math>\pi</math> gibt es genau einen Punkt B auf dem Kreis.
# Zu jedem Punkt B gibt es genau eine Tangente an den Kreis.
# Jede Tangente schneidet die x Achse in genau einem Punkt A.
# Es gibt genau so viele reelle Zahlen α mit 0≤ α<2<math>\pi</math> wie Punkte auf der x-Achse.

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Man kommentiere die "Beweisführung" von Mark. 

[[Kommentar von Shaun15]]

Aufgabe Kontinuum 01 WS 10 11

2011-01-31T09:00:47Z

Shaun15:

Lösung A5

2010-12-07T14:05:41Z

Shaun15:

Drei nicht kollineare Punkte A, B, C beschreiben eine Ebene ε eindeutig.
 Eine Bewegung mit drei nicht kollinearen Fixpunkten beschreibt die Identität. (Abstände bleiben erhalten)
 Somit: A=A‘, B=B‘, C=C‘. Also auch : ε=ε‘ Somit gilt auch für jeden Punkt P € ε: P=P‘
 Die Identität ist insofern eine Verschiebung als das um den Nullvektor verschoben wird.
 Die Identität ist in sofern eine Drehung als dass um den Winkel = 0 gedreht wird.
 --[[Benutzer:Shaun15|Shaun15]] 14:05, 7. Dez. 2010 (UTC)

Lösung A5

2010-12-07T14:05:07Z

Shaun15:

Drei nicht kollineare Punkte A, B, C beschreiben eine Ebene ε eindeutig.
 Eine Bewegung mit drei nicht kollinearen Fixpunkten beschreibt die Identität. (Abstände bleiben erhalten)
 Somit: A=A‘, B=B‘, C=C‘. Also auch : ε=ε‘ Somit gilt auch für jeden Punkt P € ε: P=P‘
 Die Identität ist insofern eine Verschiebung als das um den Nullvektor verschoben wird.
 Die Identität ist in sofern eine Drehung als dass um den Winkel = 0 gedreht wird.--[[Benutzer:Shaun15|Shaun15]] 14:05, 7. Dez. 2010 (UTC)

Lösung A4

2010-12-07T14:04:37Z

Shaun15: Die Seite wurde neu angelegt: <ggb_applet width="360" height="327" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAE54hz0AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3VpJc6M4FD5P/wqKw9xCtCCWGru7HM+lqzqTqUpPH+bShUGxN...

<ggb_applet width="360" height="327" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
 
 Bei der Nacheinanderausführung der genannten Spiegelungen erhalten wir ein Parallelogramm(□ACBA‘).
 Begründung: Abstandserhaltung.
 Die gegenüberliegenden Winkel im Parallelogramm sind gleich groß.
 Da □ACBA‘ ein Sehnenviereck ist ergänzen sich die gegenüberliegenden Winkel auch noch zu 180 °.
 Ergo: < ACB = 90 °.--[[Benutzer:Shaun15|Shaun15]] 14:04, 7. Dez. 2010 (UTC)

Übungsaufgaben 4 EG WS2010

2010-12-07T14:02:13Z

Shaun15: /* Aufgabe 4 */

==Aufgabe 1==
Interpretieren Sie das folgende Video:
{{#ev:youtube|j4T7D4cMN2U}}

*[[zu einzelne Bilder als Beweishilfe]]

==Aufgabe 2==
Es sei <math>\ SP_{\overrightarrow{AB},AB}</math> eine Schubspiegelung. 
Beweisen Sie: <math>S_{AB} \circ V_\overrightarrow{AB} = V_\overrightarrow{AB} \circ S_{AB}</math>

==Aufgabe 3==
Es seien <math>\ a</math> und <math>\ b</math> zwei nichtidentische Geraden ein und derselben Ebene. 
Beweisen Sie: <math>\ a \perp b \Leftrightarrow S_a \circ S_b = S_b \circ S_a</math>.
==Aufgabe 4==
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck und <math>\ k</math> der Umkreis dieses Dreiecks. 
Ferner seien <math>\overline{AB}</math> ein Durchmesser von <math>\ k</math>, <math>\ a</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{BC}</math> und <math>\ b</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AC}</math>. 
Beweisen Sie mittels der Bewegung <math>S_b \circ S_a</math>, dass <math>\overline{ABC}</math> rechtwinklig ist.

[[Lösung A4]]

==Aufgabe 5==
Beweisen Sie: 
Jede Bewegung mit drei nichtkollineraren Fixpunkten ist gleichzeitig eine Verschiebung und eine Drehung.

[[Lösung A5]]

Lösung A5

2010-12-07T14:01:33Z

Shaun15: Die Seite wurde neu angelegt: Drei nicht kollineare Punkte A, B, C beschreiben eine Ebene ε eindeutig. Eine Bewegung mit drei nicht kollinearen Fixpunkten beschreibt die Identität. (Ab...

Übungsaufgaben 4 EG WS2010

2010-12-07T13:59:47Z

Shaun15: /* Aufgabe 5 */

==Aufgabe 1==
Interpretieren Sie das folgende Video:
{{#ev:youtube|j4T7D4cMN2U}}

*[[zu einzelne Bilder als Beweishilfe]]

==Aufgabe 2==
Es sei <math>\ SP_{\overrightarrow{AB},AB}</math> eine Schubspiegelung. 
Beweisen Sie: <math>S_{AB} \circ V_\overrightarrow{AB} = V_\overrightarrow{AB} \circ S_{AB}</math>

==Aufgabe 3==
Es seien <math>\ a</math> und <math>\ b</math> zwei nichtidentische Geraden ein und derselben Ebene. 
Beweisen Sie: <math>\ a \perp b \Leftrightarrow S_a \circ S_b = S_b \circ S_a</math>.
==Aufgabe 4==
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck und <math>\ k</math> der Umkreis dieses Dreiecks. 
Ferner seien <math>\overline{AB}</math> ein Durchmesser von <math>\ k</math>, <math>\ a</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{BC}</math> und <math>\ b</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AC}</math>. 
Beweisen Sie mittels der Bewegung <math>S_b \circ S_a</math>, dass <math>\overline{ABC}</math> rechtwinklig ist.

[[Lösung]]

==Aufgabe 5==
Beweisen Sie: 
Jede Bewegung mit drei nichtkollineraren Fixpunkten ist gleichzeitig eine Verschiebung und eine Drehung.

[[Lösung A5]]

Übungsaufgaben 4 EG WS2010

2010-12-07T13:58:35Z

Shaun15: /* Aufgabe 5 */

==Aufgabe 1==
Interpretieren Sie das folgende Video:
{{#ev:youtube|j4T7D4cMN2U}}

*[[zu einzelne Bilder als Beweishilfe]]

==Aufgabe 2==
Es sei <math>\ SP_{\overrightarrow{AB},AB}</math> eine Schubspiegelung. 
Beweisen Sie: <math>S_{AB} \circ V_\overrightarrow{AB} = V_\overrightarrow{AB} \circ S_{AB}</math>

==Aufgabe 3==
Es seien <math>\ a</math> und <math>\ b</math> zwei nichtidentische Geraden ein und derselben Ebene. 
Beweisen Sie: <math>\ a \perp b \Leftrightarrow S_a \circ S_b = S_b \circ S_a</math>.
==Aufgabe 4==
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck und <math>\ k</math> der Umkreis dieses Dreiecks. 
Ferner seien <math>\overline{AB}</math> ein Durchmesser von <math>\ k</math>, <math>\ a</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{BC}</math> und <math>\ b</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AC}</math>. 
Beweisen Sie mittels der Bewegung <math>S_b \circ S_a</math>, dass <math>\overline{ABC}</math> rechtwinklig ist.

[[Lösung]]

==Aufgabe 5==
Beweisen Sie: 
Jede Bewegung mit drei nichtkollineraren Fixpunkten ist gleichzeitig eine Verschiebung und eine Drehung.

[[Lösung]]

Lösung

2010-12-07T13:42:53Z

Shaun15: Die Seite wurde neu angelegt: <ggb_applet width="360" height="327" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAEZ0hz0AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3VpJc6M4FD5P/wqKw9xCtCCWGru7HM+lqzqTqUpPH+bShUGxN...

<ggb_applet width="360" height="327" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

 
 Bei der Nacheinanderausführung der genannten Spiegelungen erhalten wir ein Parallelogramm(□ACBA‘).
 Begründung: Abstandserhaltung.
 Die gegenüberliegenden Winkel im Parallelogramm sind gleichgroß.
 Da □ACBA‘ ein Sehnenviereck ist ergänzen sich die gegenüberliegenden Winkel auch noch zu 180 °.
 Ergo: < ACB = 90 °.--[[Benutzer:Shaun15|Shaun15]] 13:42, 7. Dez. 2010 (UTC)

Übungsaufgaben 4 EG WS2010

2010-12-07T13:36:43Z

Shaun15: /* Aufgabe 4 */

==Aufgabe 1==
Interpretieren Sie das folgende Video:
{{#ev:youtube|j4T7D4cMN2U}}

*[[zu einzelne Bilder als Beweishilfe]]

==Aufgabe 2==
Es sei <math>\ SP_{\overrightarrow{AB},AB}</math> eine Schubspiegelung. 
Beweisen Sie: <math>S_{AB} \circ V_\overrightarrow{AB} = V_\overrightarrow{AB} \circ S_{AB}</math>

==Aufgabe 3==
Es seien <math>\ a</math> und <math>\ b</math> zwei nichtidentische Geraden ein und derselben Ebene. 
Beweisen Sie: <math>\ a \perp b \Leftrightarrow S_a \circ S_b = S_b \circ S_a</math>.
==Aufgabe 4==
Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck und <math>\ k</math> der Umkreis dieses Dreiecks. 
Ferner seien <math>\overline{AB}</math> ein Durchmesser von <math>\ k</math>, <math>\ a</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{BC}</math> und <math>\ b</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AC}</math>. 
Beweisen Sie mittels der Bewegung <math>S_b \circ S_a</math>, dass <math>\overline{ABC}</math> rechtwinklig ist.

[[Lösung]]

==Aufgabe 5==
Beweisen Sie: 
Jede Bewegung mit drei nichtkollineraren Fixpunkten ist gleichzeitig eine Verschiebung und eine Drehung.

Aufgabe 1 Lösung (Skizze)

2010-12-01T09:10:14Z

Shaun15: Die Seite wurde neu angelegt: <ggb_applet width="335" height="336" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAMhQgT0AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3VrNbts4ED5vn0LQobco/BeF2i3atAUKtJsA7vawN1qibW1ky...

<ggb_applet width="335" height="336" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

Übungsaufgaben 5 EG WS2010

2010-12-01T09:09:34Z

Shaun15:

==Aufgabe 1==
Es seien <math>\ a, b, c</math> drei paarweise nicht identische Geraden der Ebene, die alle drei den Punkt <math>\ Z</math> gemeinsam haben. Man beweise <math>\ S_c \circ S_b \circ S_a</math> ist eine Geradenspiegelung.
[[Aufgabe 1 Lösung (Skizze)]]

Kontraposition und Beispiel zu Nr. 7

2010-11-07T11:49:52Z

Shaun15: /* Kontraposition: Wenn g nicht senkrecht zu h, dann Sg°Sh ≠Sh°Sg. */

====='''Kontraposition: Wenn g nicht senkrecht zu h, dann Sg°Sh ≠Sh°Sg.'''=====
::
::
=====Beispiel:=====
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Kontraposition und Beispiel zu Nr. 7

2010-11-07T11:47:01Z

Shaun15: /* Kontraposition: Wenn g nicht senkrecht zu h, dann Sg°Sh ≠Sh°Sg. */

======'''Kontraposition: Wenn g nicht senkrecht zu h, dann Sg°Sh ≠Sh°Sg.'''======
::
::
<ggb_applet width="539" height="404" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

Kontraposition und Beispiel zu Nr. 7

2010-11-07T11:42:54Z

Shaun15: Die Seite wurde neu angelegt: ======'''Kontraposition: Wenn g nicht senkrecht zu h, dann Sg°Sh ≠Sh°Sg.'''====== :: :: <ggb_applet width="539" height="404" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIA...

======'''Kontraposition: Wenn g nicht senkrecht zu h, dann Sg°Sh ≠Sh°Sg.'''======
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Übungsaufgabe zur Vorbereitung auf die vierte Sitzung

2010-11-07T11:38:04Z

Shaun15:

# Definieren Sie die Begriffe ''Zentriwinkel'' und ''Peripheriewinkel''.
# Formulieren Sie den ''Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz'' in der ''Wenn-Dann-Form''.
# Beweisen Sie den ''Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz'' unter Verwendung der ''Nacheinanderausführung zweier Geradenspiegelungen''.
# Erläutern Sie, wie sich Ihr Beweis entsprechend Teilaufgabe 3 vereinfacht, wenn nicht der allgemeine Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz sondern dessen Spezialfall ''Satz des Thales'' zu beweisen ist.
# Wir spielen Billard: Bei einer Konstellation entsprechend der eingebetteten Geogebraapplikation soll die Kugel A zunächst die Bande c treffen, um dann Kugel B zu erreichen. Geben Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Spur der Kugel A an. Begründen Sie die Korrektheit ihrer Beschreibung.
# Mike kann es noch besser: Er trifft mit A die Kugel B über die vorherige Berührung erst der Bande c und dann der Bande d. Geben Sie auch hierfür eine Vorschrift zur Konstruktion der Spur von Kugel A an und begründen Sie die Korrektheit ihrer Konstruktionsbeschreibung.
# Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei nichtidentische Geraden. Unter <math>S_a</math> und <math>S_b</math> wollen wir wie üblich die Geradenspiegelungen an <math>a</math> bzw. <math>b</math> verstehen. Formulieren Sie die Kontraposition der folgenden Implikation und beweisen sie diese. <math>S_a</math>∘<math>S_b</math>=<math>S_b</math>∘<math>S_a</math>⇒<math>a</math>⊥<math>b</math>.
:: [[Kontraposition und Beispiel zu Nr. 7]]

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Benutzer:Shaun15

2010-11-05T11:54:55Z

Shaun15: Die Seite wurde neu angelegt: ====Die Seitenverhältnisse der DIN A Papiere betragen immer 1 zu Wurzel aus 2==== :: <ggb_applet width="277" height="367" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAEFiZT0...

====Die Seitenverhältnisse der DIN A Papiere betragen immer 1 zu Wurzel aus 2====
::
<ggb_applet width="277" height="367" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

Fixpunkt, Fixgerade, Fixpunktgerade (2010)

2010-11-03T21:35:18Z

Shaun15: /* Definition */

== Fixpunkte ==
=== Beispiele/Gegenbeispiele ===

<quiz display="simple">
{In welchen Fällen handelt es sich um Fixpunkte bezüglich der genannten Abbildung?}
+ (a) Punkt <math>\ A</math> auf der Geraden <math>\ g</math> bezüglich der Spiegelung an <math>\ g</math>.
- (b) Punkt <math>\ A</math> auf der Geraden <math>\ g</math> bezüglich einer Verschiebung längs <math>\ g</math>.
+ (c) Punkt <math>\ Z</math> bezüglich einer Drehung mit dem Drehwinkel <math>\alpha = 30^\circ </math> um <math>\ Z</math>.
+ (d) Punkt <math>\ Z</math> bezüglich einer Drehung mit dem Drehwinkel <math>\alpha = 360^\circ </math> um <math>\ Z</math>.
- (e) Punkt <math>A \notin g</math> bezüglich der Spiegelung an <math>\ g</math>.
+ (f) Jeder Punkt <math>\ Q</math> bezüglich der Identität.
- (g) Jeder Punkt <math>\ D</math> bezüglich einer zentrischen Streckung an dem Punkt <math>\ Z</math>.
+ (h) Der Punkt <math>\ D</math> bezüglich einer zentrischen Streckung an sich selbst.
+ (i) Jeder Punkt der Ebene <math>\ \delta</math> bezüglich einer senkrechten Parallelprojektion auf die Ebene <math>\ \delta</math>.
- (j) Der Zentralpunkt <math>\ Z</math> einer Zentralprojektion.
</quiz>

=== Definition des Begriffs Fixpunkt einer Abbildung ===
===== Definition 3.1: (Fixpunkt einer Abbildung <math>\ \phi</math> )=====
::Ein Punkt <math>\ F</math> heißt Fixpunkt einer Abbildung <math>\ \phi</math>, wenn ... .
::Eine Abbildung <math>\ \phi</math> heißt fixpunktfrei, wenn ... .

=== Richtig verstanden? ===
<quiz display="simple">
{Kennzeichnen Sie die wahren Aussagen}
+ (a) Es sei <math>\ Z</math> der Schnittpunkt der Geraden <math>\ h</math> und <math>\ g</math>. <math>\ Z</math> ist Fixpunkt bezüglich <math>\ S_h</math>.
+ (b) Es sei <math>\ Z</math> der Schnittpunkt der Geraden <math>\ h</math> und <math>\ g</math>. <math>\ Z</math> ist Fixpunkt bezüglich <math>\ S_g</math>.
+ (c) Es sei <math>\ Z</math> der Schnittpunkt der Geraden <math>\ h</math> und <math>\ g</math>. <math>\ Z</math> ist Fixpunkt bezüglich <math>\ S_h \circ S_g</math>.
+ (d) Es sei <math>\ Z</math> der Schnittpunkt der Geraden <math>\ h</math> und <math>\ g</math>. <math>\ Z</math> ist Fixpunkt bezüglich <math>\ S_g \circ S_h</math>.
- (e) Jede Drehung hat genau einen Fixpunkt.
- (f) Es gibt fixpunktfreie Geradenspiegelungen.
+ (g) Es gibt fixpunktfreie Verschiebungen.
- (h) Ihr Beispiel ... .

</quiz>

== Fixgeraden ==
=== Beispiele/Gegenbeispiele ===
=== Definition ===

* Eine Gerade g, die bei der Abbildung <math>\phi</math> auf sich selbst abgebildet wird, heißt Fixgerade g der Abbildung <math>\phi</math>. --[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 16:08, 2. Nov. 2010 (UTC)
* Es seien g eine Gerade und <math>\phi</math> eine Abbildung. g ist genau dann eine Fixgerade bezüglich <math>\phi</math>, wenn jeder Punkt von g bei der Abbildung <math>\phi</math> wieder auf einen Punkt von g abgebildet wird. --[[Benutzer:Schomuf|Schomuf]] 08:32, 3. Nov. 2010 (UTC)
* ...

=== Richtig verstanden? ===
== Fixpunktgeraden ==
=== Beispiele/Gegenbeispiele ===
=== Definition ===

* Eine Fixgerade f einer Abbildung <math>\phi</math>, bei der (mindestens) zwei Punkt der Fixgeraden f bei der Abbildung <math>\phi</math> auf sich selbst abgebildet werden, heißt Fixpunktgerade. --[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 16:06, 2. Nov. 2010 (UTC)
* Wird jeder Punkt P einer Geraden g bei einer Bewegung б derart abgebildet, dass gilt: P = P` , dann ist die Gerade g eine Fixpunktgerade bei dieser Bewegung б.--[[Benutzer:Shaun15|Shaun15]] 21:35, 3. Nov. 2010 (UTC)

=== Richtig verstanden? ===
<quiz display="simple">
{Kennzeichnen Sie die wahren Aussagen}
+ (a) Manche Fixpunktgeraden einer Abbildung sind Fixgeraden derselben Abbildung.
+ (b) Jede Fixpunktgerade einer Abbildung ist eine Fixgerade dieser Abbildung.

- (c) Jede Fixgerade einer Abbildung ist eine Fixpunktgerade dieser Abbildung.

+ (d) g sei Fixgerade der Bewegung <math>\phi</math>, dann gilt: <math>\forall P \in g . P = \phi (P)</math> --~~~~
- (e) weitere Beispiele ... .

</quiz>
Ich glaube die Auflösungen von Aufgabe (a) und (d) sind nicht korrekt.

Wenn die Aussage (a) heißt "Manche Fixpunktgeraden einer Abbildung sind Fixgeraden derselben Abbildung.", dann impliziert das ja, dass es Fixpunktgeraden gibt, die nicht zugleich Fixgeraden sind. Jede Fixpunktgerade einer Abbildung ist aber zugleich Fixgerade. Daher müsste die Aussage falsch sein.

Ich denke, dass "manche" genauso wie "eine" nicht ausschließt, dass dies für mehrere bzw. alle Fixpunktgeraden gilt!

Bei Aufgabe (d) wäre die Aussage nur richtig, wenn statt "Fixgerade" "FIxpunktgerade" stehen würde. Bei einer Fixgerade wird nur die Gerade auf sich selbst abgebildet, aber nicht unbedingt jeder Punkt der Geraden.
--Steph85

Geradenspiegelungen

2010-11-02T23:23:34Z

Shaun15: /* Satz 2.2 */

==Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei einer Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>==

<ggb_applet width="536" height="453" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Übungsaufgabe ===
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene gehört.
Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von <math>\ P</math> bei der Spiegelung an <math>\ g</math>. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.

{| class="wikitable center"
|+ Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei der Spiegelung aneiner Geraden <math>\ g</math> 
<math>(P \notin g) </math>
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beschreibung des Schrittes
! Genauere Beschreibung
! Begründung der Korrektheit des Schrittes
|-
| 1.
| Wir fällen das Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. Den Schnittpunkt des Lotes mit der Geraden <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ L</math>
| Existenz und Eindeutigkeit des Lotes So bestimmen wir die kürzeste Strecke zwischen dem Punkt <math>\ P</math> und der Geraden <math>\ g</math>. Außerdem steht das Lot senkrecht auf <math>\ g</math> , was die Voraussetzung dafür ist, dass <math>\ g</math> später Mittelsenkrechte werden kann.
| Existenz und Eindeutigkeit des Lotes + Existenz und Eindeutigkeit des Schnittpunktes <math>L</math>
|-
| 2.
| Nun tragen wir die Strecke <math>\overline{PL}</math> auf der Halbgeraden <math>\ LP^-</math> ab
| Axiom vom Lineal (Eindeutigkeit des Streckenabtragens auf einem Strahl) Durch das Abtragen der Strecke bekommen wir auf beiden Seiten der Halbgeraden den gleichen Abstand vond er Geraden <math>\ g</math>
| Existenz und Eindeutigkeit des Streckenabtragens
|-
| 3.
| Den entstandenen Punkt bezeichnen wir mit <math>\ P'</math>
| <math>\ P'</math> ist der Bildpunkt von P bei der Geradenspiegelung an <math>\ g</math>. Das wird dadurch ersichtlich, dass <math>\ P</math> und <math>\ P'</math> den gleichen Abstand zu <math>\ g</math> haben und <math>\ g</math> somit Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{PP'}</math> ist.
| (ergänzen!)
|}
Bemerkung --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 16:20, 1. Nov. 2010 (UTC): Mit der Korrektheit ist hier etwas anderes gemeint ... .

==Definition des Begriffs==
=====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>)=====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Geradenspiegelung <math>\ S_g</math> versteht man eine ....

::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und P ein Punkkt der Ebene. Unter der Geradenspiegelung <math>\ S_g</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich:
(1) Für den Fall dass P <math>\in</math> <math>\ g</math>: P = P'

(2) Für den fall dass P <math>\notin</math> <math>\ g</math>: Die Gerade <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte der Strecke zwischen dem Punkt P und seinem Bildpunkt P'

Alternativ?

Es seien eine Gerade g und zwei Punkte A, A' <math>\in</math> g. s ist genau dann Spiegelgerade des Punktes A, wenn gilt: s ist Mittelsenkrechte der Strecke AA'[Balken drüber].

Bemerkungen --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 15:49, 1. Nov. 2010 (UTC): 
"Balken drüber": \overline{AA'}: <math>\overline{AA'}</math> 
Handelt es sich wirklich um eine Definition des Begriffs Geradenspiegelung oder doch eher um eine Definition des Begriffs Spiegelgerade? Beide hängen natürlich eng miteinander zusammen, aber wenn Geradenspiegelung zu definieren ist ... . 
Macht es Sinn einem Punkt seine Spiegelgerade zuzuordnen ("s ist genau dann Spiegelgerade des Punktes A")

==Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung==
====Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen)====
::Jede Geradenspiegelung <math>\ S_g</math> ist eine abstandserhaltende Abbildung.

====Beweis von Satz 2.1:====

Es seien <math>\ A</math>, <math>\ B</math> zwei Punkte, die an einer Geraden <math>\ g</math> auf ihre Bilder <math>\ A'</math> und <math>\ B'</math> gespiegelt werden.

Wir unterscheiden drei Fälle:
=====Fall 1=====
::<math>\ A, B</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>

Der Beweis ist trivial, da es sich bei dieser speziellen Geradenspiegelung um die Identität handelt.

Bemerkung --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 16:01, 1. Nov. 2010 (UTC): Auch wenn wir Umlaufsinn bisher nirgends definiert haben, wissen wir, dass jede Geradenspieglung den Umlaufsinn verändert. Kann eine Geradenspeigelung damit die Identität sein? Sie meinen nicht, dass die jweils betrachtete Geradenspiegelung die Identität ist, sondern, dass jeder Punkt der Spiegelgeraden <math>g</math> auf sich selbst abgebildet wird.

=====Fall 2=====
::<math>\ A</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>, <math>\ B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>

Den Schnittpunkt von <math>\overline {BB'}</math> mit <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ L</math>

{| class="wikitable center"
|+ Beweis 

|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beschreibung des Schrittes
! Begründung der Korrektheit des Schrittes
|-
| 1.
| <math>\ A</math> = <math>\ A'</math>
| Definition Geradenspiegelung
|-
| 2.
| <math>\ |BL| = |B'L|</math>
| <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB'}</math>
|-
| 3.
| <math>\|AL| = |A'L|</math>
| Es handelt sich um dieselbe Gerade.
|-
| 4.
| <math>\| \angle BLA| = | \angle B'LA'|</math> = 90°
| <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB'}</math>
|-
| 5.
| <math>\overline {ABL}</math> kongruent <math>\overline {A'B'L}</math>
| 2. + 3. + 4. + SWS
|-
| 6.
| <math>\ |AB| = |A'B'|</math>
| 5.
|}

=====Fall 3=====
::<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>

Den Schnittpunkt von <math>\overline {BB'}</math> mit <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ L</math>

Den Schnittpunkt von <math>\overline {AA'}</math> mit <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ M</math>

{| class="wikitable center"
|+ Beweis 

|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beschreibung des Schrittes
! Begründung der Korrektheit des Schrittes
|-
| 1.
| <math> | \overline {AM}| = | \overline {A'M}|, \overline {ML} = \overline{ML}, | \angle AML| = | \angle A'ML |</math> = 90°
| <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AA'}</math>
|-
| 2.
| <math>\overline {AML}</math> kongruent <math>\overline {A'ML}</math>
| 1.
|-
| 3.
| <math> | \angle MAL| = | \angle ALB |</math> und <math> | \angle MA'L| = | \angle A'LB' |</math>
| Wechselwinkelsatz, da <math>\overline {AA'} || \overline {BB'}</math>
|-
| 4.
| <math> | \angle MAL| = | \angle MA'L |</math> --> <math> | \angle ALB| = | \angle A'LB' |</math>
| 2. + 3.
|-
| 5.
| <math> | \overline {BL}| = | \overline {B'L}|</math>
| <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB'}</math>
|-
| 6.
| <math> | \overline {AL}| = | \overline {A'L}|</math>
| 2.
|-
| 7.
| <math> | \overline {ABL}| = | \overline {A'B'L}|</math>
| 4. + 5. + 6. + SWS
|-
| 8.
| <math> | \overline {AB}| = | \overline {A'B'}|</math>
| 7.
|}
Ergänzung: Für den Fall, das A und B nicht in der selben Halbebene bezüglich der Geraden s liegt, läuft der Beweis analog, nur dass die Winkel anderst benannt werden müssen.

Müsste es bei Fall 3 Schritt 5 nicht <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB'}</math> heißen oder bezieht man hier Fall 2 mit ein, sodass der Beweis formal und logisch richtig ist? Ja <math>\overline{BB'}</math> ist korrekt, habs geändert. Vielen Dank :) --[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 16:02, 30. Okt. 2010 (UTC)

Bemerkung--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 16:44, 1. Nov. 2010 (UTC): soweit ich sehe ist der Beweis korrekt. Fall 2 dürfte, da er bereits bewiesen wurde, verwendet werden. Vielleicht doch zwei Unterfälle: <math>A</math> und <math>B</math> in derselben Halbebene bezüglich <math>g</math> und <math>A</math> und <math>B</math> in verschiedenen Halbebenen bezüglich <math>g</math>?

== Eindeutige Bestimmtheit von Geradenspiegelungen ==
=== Bestimmung über die Spiegelgerade ===
==== Satz 2.2 ====
:: Zu jeder Geraden gibt es genau eine Geradenspiegelung.

Anders ausgedrückt: Eine Geradenspieglung ist durch die Angabe ihrer Spiegelachse eindeutig bestimmt.

====Möglicher Beweis von Satz 2.2====

1.(es gibt mindestens eine)
::
Es sei eine Gerade g und ein Punkt P nicht Є g. Ich konstruiere P´ dermaßen, dass gilt: g ist Mittelsenkrechte von |PP´|. Nach Def. ist dies eine Geradenspiegelung an g.
::Damit ist die Existenz bewiesen.
::
::
2. (es gibt höchstens eine)
::
Um zu zeigen dass es nicht mehr Geradenspiegelungen geben kann, nehme ich an, dass es mindestens zwei Geradenspiegelungen an einer Geraden gibt.
::
So konstruiere ich also P´´ so, dass g die Mittelsenkrechte von |P´P´´| ist (dies möge auf dem Bild so sein).

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::
Bleibt also z.z.: P = P´´
::
Kann ich das zeigen bin ich fertig, denn dann habe ich wieder die Identität und das "Spiegelspielchen" könnte von neuem beginnen.
Also nehme ich an: P ≠P``
::
Es möge gelten: |PP´| ∩ g = Q und |P`P``| ∩ g = R
::
Ich betrachte das Dreieck ∆P´QR:
::
Es gilt also nach Konstruktion (Ich geh einfach mal davon aus ich könnte so etwas konstruieren) bzw. Def. Spiegelung an einer Geraden: |<P´QR = <P`RQ = 90°|(Wiederspruch zum Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck)
::
Also ist P = P´´.
::Damit ist bewiesen, dass es nicht mehr als eine Spiegelung geben kann. --[[Benutzer:Shaun15|Shaun15]] 23:23, 2. Nov. 2010 (UTC)

==== Satz 2.3 ====
:: Eine Geradenspiegelung <math>\ S</math> ist durch die Angabe eines Punktes <math>\ P</math> und dem Bild von <math>\ S(P)</math> eindeutig bestimmt, falls <math>\ P \not= S(P)</math> gilt.

Dieser Satz gilt, da nach Definition Geradenspiegelung die Spiegelgerade s die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline PS(P) </math> ist und diese Mittelsenkrechte exisitert und eindeutig ist. --[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 16:40, 2. Nov. 2010 (UTC)

Geradenspiegelungen als Bewegungen mit genau einer Fixpunktgeraden (2010)

2010-11-02T08:27:24Z

Shaun15:

===Satz 4.1===
:: Jede Geradenspiegelung besitzt genau eine Fixpunktgerade.

=== Beweis von Satz 4.1 ===
==1.Existenz==
Es sei g eine Gerade und A, B, C drei voneinander verschiedene Punkte. Weiter möge gelten A, B nicht Є g und C Є g.
Zz: Bei Spiegelung an g wird P auf P` abgebildet.
Nach Def. Spiegelung wird C auf C` abgebildet und A auf A`. Da P Є g wird P` ebenfalls auf g abgebildet. Sodass gilt: |AP|=|A`P`|, |CP|=|C`P`| und |AC|=|A`C`|.
Bleibt zz: P = P`.
Dies folgt unmittelbar aus der Abstandstreue von Bewegungen.
Angenommen P` würde nicht mit P zusammenfallen, so gäbe es drei Möglichkeiten.
1. |AP|=|A`P`| aber |CP|≠|C`P`| oder
2. |CP|=|C`P`| aber |AP|≠|A`P`| oder
3. |AP|≠|A`P`| aber |CP|≠|C`P`|.
Jede dieser Möglichkeiten währe ein Wiederspruch zur Abstandstreue.
Daraus folgt. P = P`
Daraus folgt. g ist Fixpunktgerade (demnach gibt es Fixpunktgeraden bei einer Spiegelung)

==2.Bei einer Spiegelung gibt es höchstens eine Fixpunktgerade==
Es seien zwei Geraden g und h mit A, B Є g und C, D Є h.
Im Folgenden betrachten wir die Spiegelung an g.
Es gibt drei Fälle:
1. g identisch h: g = h also ein und dieselbe und somit eine Fixpunktgerade.
2. g parallel zu h: nach Def. ist g Mittelsenkrechte von |CC`| und |DD`|. |CD| verschieden von |C`D`|. also ist h keine Fixpunktgerade. Bleibt nur g. Also auch hier nur eine Fixpunktgerade.
3. g ∩ h ={P}: P ist Fixpunkt auf g und auf h. (Bew.1.Existenz) Nach Def. ist g Mittelsenkrechte von |CC`| und |DD`|. Somit ist kein weiterer Punkt von h Fixpunkt. Also bleibt g wieder einzige Fixpunktgerade.

===Satz 4.2===
:: Wenn eine Bewegung <math>\ \phi</math> genau eine Fixpunktgerade <math>\ g</math> hat, so ist sie die Spiegelung an <math>\ g</math>.
===Beweis von Satz 4.2===

Geradenspiegelungen als Bewegungen mit genau einer Fixpunktgeraden (2010)

2010-11-02T07:50:02Z

Shaun15:

Geradenspiegelungen

2010-10-26T16:03:01Z

Shaun15: /* Definition des Begriffs */

==die Idee==

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==Definition des Begriffs==

Es sei s eine Gerade und P ein Punkt der Ebene <math>\epsilon</math>. Eine Geradenspiegelung <math>\phi</math> bildet P auf P` ab, wenn s die Mittelsenkrechte von [PP`]ist. Fallen dabei P und P` zusammen, so ist P€s.