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Lösung von Aufgabe 12.5P (WS 13/14)

2014-02-13T10:44:52Z

Smartie:

Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> und die Geraden ''a'', ''b'', ''c'' und ''d'' mit: <math>\ a \perp \ b</math> und <math>c||d</math> entsprechend der Skizze. 

[[Bild:verkettung_12_3.jpg]]
 
#Durch welche Abbildung kann die Verkettung der vier Geradenspiegelungen <math>S_{a}\circ S_{b}\circ S_{c}\circ S_{d} </math> ersetzt werden (Begründen Sie Ihre Entscheidung)?
#Zeichnen Sie die Achsen der Ersatzabbildung in die Skizze oben ein. Hinweis: Sie dürfen das Gitter im Hintergrund als Orientierung nutzen.
#Konstruieren Sie oben in der Skizze das Bild des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>, das nach der Verkettung <math>S_{a}\circ S_{b}\circ S_{c}\circ S_{d} </math> entsteht, mit Hilfe der Ersatzabbildung. 

Lösung: 
1.) 
::(1) Drehe <math> a </math> und <math> b </math> gleichsinnig um den gleichen Winkel um ihren Schnittpunkt <math> S</math>, bis <math> b </math> parallel zu <math> c </math> ist. | "Eig. der Drehung" 
::Man erhät <math> a' </math> und <math> b' </math>. 
::(2) Verschiebe <math> c </math> und <math> d </math> gleichsinnig und mit dem gleichen Betrag, solange bis <math> c </math> auf <math> b </math> zu liegen kommt. | "Eig. der Geradenspiegelung 
::Man erhät <math> c' </math> und <math> d' </math>. 
::(3) Die Geradenspiegelung an <math> b </math> und <math> c </math> heben sich auf (sind involutorisch). | "Eig. der Geradenspiegelung" 
::(4) Die Abbildung reduziert sich auf <math> S_{a'} \circ S_{d'}.</math> 
::--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 09:46, 10. Feb. 2014 (CET) 
 
2.) 
::Siehe Bild "Lösung_12.5b"
[[Datei:Lösung 12.5b.png|thumb|Lösung 12.5b]]
 
::--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 10:29, 10. Feb. 2014 (CET) 
3.) 
::Siehe ebenfalls Bild "Lösung_12.5b"
 
::--[[Benutzer:EarlHickey|EarlHickey]] ([[Benutzer Diskussion:EarlHickey|Diskussion]]) 10:29, 10. Feb. 2014 (CET) 
[[Kategorie:Einführung_P]] 

EarlHickey, deine Lösung hast du sehr schön dokumentiert! Echt spitze. Ergänzt werden muss nur noch die Antwort für Frage a) Du hast zwar schon die Begründung geliefert, aber die Frage noch gar nicht genau beantwortet. Handelt es sich hier um eine Drehung, Verschiebung, Punktspiegelung, Schubspiegelung ? --[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] ([[Benutzer Diskussion:Tutorin Anne|Diskussion]]) 13:48, 10. Feb. 2014 (CET) 
Es handelt sich um eine Punktspiegelung, oder? da a´ senkrecht auf d´steht. --[[Benutzer:Smartie|Smartie]] ([[Benutzer Diskussion:Smartie|Diskussion]]) 11:44, 13. Feb. 2014 (CET)

Lösung von Aufgabe 5.5 P (WS 13/14)

2013-11-26T15:57:33Z

Smartie:

Wir betrachten die Gerade ''g'' und auf dieser Geraden die Relation Punkt ''A'' liegt links von Punkt ''B'' ohne exakte Definition in intuitiver Form. Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf diese Relation zu? 
*Für jeden Punkt ''A'' von ''g'' gilt: ''A'' liegt links von sich selbst.
*Für je zwei Punkte ''A'' und ''B'' der Geraden ''g'' gilt: Wenn ''A'' links von ''B'' liegt, dann liegt ''B'' auch links von ''A''.
*Für je drei Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' der Geraden ''g'' gilt: Wenn ''A'' links von ''B'' und ''B'' links von ''C'' liegt, dann liegt ''A'' auch links von ''C''.
*Für alle Punkte der Geraden ''g'' gilt: Es existiert kein Punkt, der links neben sich selbst liegt.
*Für je zwei Punkte ''A'' und ''B'' der Geraden ''g'' gilt: entweder liegt ''A'' links von ''B'' oder ''B'' liegt links von ''A'' oder die beiden Punkte ''A'' und ''B'' sind identisch. 

[[Category:Einführung_P]]

 
*Für jeden Punkt ''A'' von ''g'' gilt: ''A'' liegt links von sich selbst. -> nein
*Für je zwei Punkte ''A'' und ''B'' der Geraden ''g'' gilt: Wenn ''A'' links von ''B'' liegt, dann liegt ''B'' auch links von ''A''. -> nein
*Für je drei Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' der Geraden ''g'' gilt: Wenn ''A'' links von ''B'' und ''B'' links von ''C'' liegt, dann liegt ''A'' auch links von ''C''. ->ja
*Für alle Punkte der Geraden ''g'' gilt: Es existiert kein Punkt, der links neben sich selbst liegt. ->ja
*Für je zwei Punkte ''A'' und ''B'' der Geraden ''g'' gilt: entweder liegt ''A'' links von ''B'' oder ''B'' liegt links von ''A'' oder die beiden Punkte ''A'' und ''B'' sind identisch. ->ja 
--[[Benutzer:Smartie|Smartie]] 16:57, 26. Nov. 2013 (CET)

Lösung von Aufgabe 5.4 P (WS 13/14)

2013-11-26T15:54:12Z

Smartie:

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace</math>. 
a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation. 
b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen. 
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen. 

[[Category:Einführung_P]]

* Wie kann eine Strecke AB eine Gerade g schneiden und dabei eine leere Menge ergeben? --[[Benutzer:Der Kuckuck|Der Kuckuck]] 20:42, 24. Nov. 2013 (CET)
** Die Schreibweise <math>\overline{AB}\cap g</math>ist eine Verknüpfung von (hier zwei) Mengen zu einer Schnittmenge. Diese kann auch leer sein. Analog: x + y heißt auch noch nicht, dass das Ergebnis positiv ist.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:20, 25. Nov. 2013 (CET)
 
 
zu a) Die Strecke AB schneidet die Gerade g nicht, d.h. A und B müssen auf den gleichen Halbebenen liegen 
zu b) Eine Äquivalenzrelation ist sowohl reflexiv, symmetrisch als auch transitiv. 
Begründung reflexiv: Alle A sind Element aus E\g 
Begründung symmetrisch: Sowohl die Strecke AB als auch die Strecke BA schneiden die Gerade g nicht, da sie identisch sind 
Begründung transitiv: ???? 
--[[Benutzer:Smartie|Smartie]] 16:54, 26. Nov. 2013 (CET)

Lösung von Aufgabe 5.3 P (WS 13/14)

2013-11-26T14:48:18Z

Smartie:

Untersuchen Sie folgende Relation ''S'' auf ihre Eigenschaften: 
<math>\ g S h \Leftrightarrow \ g \cap h \neq \lbrace \rbrace </math> 

[[Category:Einführung_P]]

Die Relation ist reflexiv, da g sich selbst schneiden kann (g ist mit sich selbst identisch) 
Die Relation ist symmetrisch, weil wenn g schneidet h dann schneidet h auch g 
Die Relation ist nicht transitiv, weil wenn g schneidet h und h schneidet k nicht unbedingt g k schneiden muss, falls g und k parallel zueinander sind 
--[[Benutzer:Smartie|Smartie]] 15:48, 26. Nov. 2013 (CET)

Lösung von Aufgabe 5.2 P (WS 13/14)

2013-11-26T14:44:23Z

Smartie:

Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, ob es sich um reflexive, symmetrische sowie transitive Relationen handelt? 
*Parallelität von Geraden der Ebene
*Kongruenz geometrischer Figuren
*Teilbarkeit in <math>\mathbb{N}</math>
*Kleinerrelation in <math>\mathbb{R}</math>
*Größer-Gleich-Relation in <math>\mathbb{R}</math>
*Ungleichheit in <math>\mathbb{R}</math>

[[Category:Einführung_P]]

Lösungsvorschlag:

* r, s, t
* r, s, t
* r, t
* r, t
* r, (s), t
* r, s, t

r= reflexiv, s= Symmetrisch, t= transitiv
--[[Benutzer:Shaun das Schaf|Shaun das Schaf]] 12:03, 26. Nov. 2013 (CET)

 
 
a) ist reflexiv, symmetrisch, transitiv 
b) ist reflexiv, symmetrisch, transitiv 
c) ist reflexiv und transitiv 
d) ist transitiv 
e) ist reflexiv und transitiv 
f) ist symmetrisch und transitiv 
--[[Benutzer:Smartie|Smartie]] 15:44, 26. Nov. 2013 (CET)

Lösung von Aufgabe 5.1 P (WS 13/14)

2013-11-26T14:39:12Z

Smartie:

a) Geben Sie die Menge <math>M</math> aller konvexer Drachenvierecke an. 
b) Bilden Sie das kartesische Produkt der Menge <math>M \times M</math>. 
c) Wir definineren eine Relation <math>R</math> mit <math>R:="A\ ist\ Teilmenge\ von\ B"</math>. Bestimmen Sie die Relation <math>R</math> auf <math>M \times M</math>. 
d) Untersuchen Sie die Relation <math>R</math> auf ihre Eigenschaften (reflexiv, symmetrisch, transitiv). 

[[Category:Einführung_P]]

* Sollen wir hier in dem Fall den schiefen Drachen auch nehmen? Ich würde sagen JA, bin mir allerdings nicht sicher. --[[Benutzer:Der Kuckuck|Der Kuckuck]] 19:57, 24. Nov. 2013 (CET)
* Es ist nur die Menge der symmetrischen Drachen gemeint. Die Aufgabe ist aber nicht falsch, wenn du von der Menge der schiefen Drachen ausgehst.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 10:11, 25. Nov. 2013 (CET)

zu a) M={Drache schief, Drache, Raute, Quadrat} 
zu b) M x M={(Ds, Ds), (Ds,D),(Ds,RA), (Q,Q), (D,Ds),(D,D), (D,RA), (D,Q), (RA, Ds), (RA,D), (RA,RA), (RA,Q), (Q,Ds), (Q,D), (Q, RA), (Q,Q)} 
zu c) R={(D,Ds), (RA,Ds), (RA,D), (Q,RA), (Q,D), (Q,Ds)} 
zu d) R ist nicht reflexiv und nicht symmetrisch
--[[Benutzer:Smartie|Smartie]] 15:39, 26. Nov. 2013 (CET)

Benutzer:Smartie

2013-10-24T17:10:40Z

Smartie:

[[Bild:2013-10-24 18.45.40.jpg|200px]]

Volumen=<math>\pi</math>r2h

Benutzer:Smartie

2013-10-24T17:03:01Z

Smartie: Die Seite wurde neu angelegt: „200px Volumen=<math>\pi r2h</math>“

[[Bild:2013-10-24 18.45.40.jpg|200px]]

Volumen=<math>\pi r2h</math>

Datei:2013-10-24 18.45.40.jpg

2013-10-24T16:52:35Z

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