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Beweise von Studenten

2010-07-20T19:00:14Z

Snoopy:

== Satz: Wenn ein Viereck ein Rechteck...==
Wenn ein Viereck ein Rechteck ist, dann sind seine Diagonalen gleich lang und sie halbieren sich.

# Idee: Man muss dabei ja 1. die gleichlangen Diagonalen und 2. die sich halbierenden Diagonalen zeigen. Habe aber einfach ein Problem den Beweis zu den gleichlangen Diagonalen zu führen. Hat jemand eine Idee?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:52, 20. Jul. 2010 (UTC) 

Geht das nicht über SWS? Also wenn du das Rechteck ABCD hast, z.B. die beiden Dreiecke ABD und ABC vergleichen, die müssten laut SWS kongruent sein, damit also auch die Diagonalen. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 15:57, 20. Jul. 2010 (UTC)

Kann ich denn in einem Rechteck davon ausgehen, dass wir einen rechten Winkel bei <math> \angle DAB </math> und <math> \angle DCB</math> haben? Dann würde SWS gehen, das würde ich dann verstehen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:11, 20. Jul. 2010 (UTC)

Davon kann man natürlich ausgehen, das ist schließlich eins der Merkmale von Rechtecken. Die Kombination der Dreiecke DAB und DCB würde dir aber, wenn ich richtig liege, nicht weiterhelfen, weil du dann nur eine der beiden Diagonalen betrachtest. Du musst also die Dreiecke so wählen, dass beide Diagonalen betrachtet werden (z.B. ABD und ABC). --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:15, 20. Jul. 2010 (UTC)

Ah, ok, danke... sonst müsste man den Beweis ja doppelt führen, oder? Insofern ist es wirklich logischer. Blöde Frage, aber wir müssen Rechteck immer über die Innenwinkel definieren, oder geht es auch anders? Sonst müsste man vor dem Beweis sich ja für eine Art Definition entscheiden?!?!?! Und müsste man nicht sogar noch zeigen, dass alle Winkel = 90 sind?!?! Nach Def (Ein Viereck mit zwei Paar parallelen Seiten und einem rechten Innenwinkel ist ein Rechteck) benötigt man ja nur einen...--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:19, 20. Jul. 2010 (UTC)

Ich weiß nicht, ob man das alles in diesen Beweis mit reinschreiben müsste, oder ob man einfach alles als gegeben nehmen kann. Über die Definition mit dem einen rechten Innenwinkel kommt man doch mit Hilfe der Stufenwinkel etc. darauf, dass alle Winkel rechte Winkel sind, oder? --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:27, 20. Jul. 2010 (UTC)

Denke auch, dass man über Stufen- und Scheitelwinkelsatz und Supplementaxiom zeigen kann, dass alle Winkel = 90 sind. Aber dann müsste es doch klappen... oder? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:37, 20. Jul. 2010 (UTC)

Ich denke auch, dass man spätestens damit dann auf der ganz sicheren Seite wäre. --[[Benutzer:Ncesi1|Ncesi1]] 16:38, 20. Jul. 2010 (UTC)

Super... danke dir :-)-- 17:30, 20. Jul. 2010 (UTC)

Kann ich auch einfach davon ausgehen, dass die gegenüberliegenden Seiten gleichlang sind, eigentlich schon oder?

== Satz: Umkehrung entgegengesetzt liegender Winkel ==
Sind entgegengesetzt liegende Winkel an geschnittenen Geraden suplementär, so sind die Geraden parallel.

VSS: c schneidet a und c schneidet b, oBdA <math> \alpha </math> und <math>\alpha^' </math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math> 
Beh: <math> a \|b </math> 
ANN: <math> a\not\|b </math> --> es existiert ein Punkt S, der in der Schnittmenge von a und b liegt.

Müsste man hier nicht die beiden Fälle unterscheiden, für die es sich um entgegengesetzt liegende Winkel handelt? 

'''1. Der Schnitt der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, ist die leere Menge.'''
{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> |\alpha| + |\beta| = 180 </math> --> <math> |\beta| = 180 - |\alpha| </math>
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math> |\alpha^'| + |\beta^'| = 180 </math> --> <math> |\beta^'| = 180 - |\alpha^'| </math>
| (Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math> |\beta| + |\beta^'| + |\gamma| = 180 </math>
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math> 180 - |\alpha| + 180 - |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math>
| (I), (II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| - |\gamma| = 180 </math>
| (IV), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| < 0 </math>, was ein Widerspruch zum Winkelmaßaxiom ist (kein negatives Winkelmaß) --> ANN falsch --> Beh gilt
|}

'''2. Die Schnittmenge der Schenkel der Winkel, die Teilmenge ein und derselben Geraden sind, bildet eine Strecke.'''
{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> |\alpha| + |\alpha^'| + |\gamma| = 180 </math>
| (Innenwinkelsumme im Dreieck)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| da nach VSS gilt <math> |\alpha| + |\alpha^'| = 180 </math>, folgt daraus dass <math> |\gamma| < 0 </math>, was ein Widerspruch zum Winkelmaßaxiom ist (kein negatives Winkelmaß) --> ANN falsch --> Beh gilt
|}

Was haltet ihr davon? Waren uns in der Lerngruppe so unsicher, ob das so in Ordnung ist. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:56, 20. Jul. 2010 (UTC)

Diskussion:Lösung von Aufgabe 12.4

2010-07-19T15:15:09Z

Snoopy: Die Seite wurde neu angelegt: Kann man die Existenz und die Eindeutigkeit des Lotes nicht über die Mittelsenkrechte zeigen? Wenn man erst die Punkte A und B auf der Geraden g bestimmt,die denselben...

Lösung von Aufgabe 8.5

2010-07-04T18:44:48Z

Snoopy:

Definieren Sie: gleichschenkliges Dreieck, Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks, Basis eines gleichschenkligen Dreiecks, Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks.

Ein Dreieck heißt gleichschenklig, wenn es zwei gleich lange Seiten hat. Die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel und die dritte Seite Basis des gleichschenkligen Dreiecks. Basiswinkel heißen die beiden Innenwinkel an der Basis des gleichschenkligen Dreiecks. --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 17:30, 19. Jun. 2010 (UTC)

Gleichschenkliges Dreieck: Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck. Wenn <math> \left| AC \right|= \left| BC \right|</math> ist, dann ist <math>\overline{ABC}</math> ein gleichschenkliges Dreieck.

Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks: Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein gleichschenkliges Dreieck. <math>\overline{AC}</math> und <math>\overline{BC}</math> sind die Schenkel des gleichschenkligen Dreiecks.

Basis eines gleichschenkligen Dreiecks: Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein gleichschenkliges Dreieck. <math>\overline{AB}</math> ist die Basis des gleichschenkligen Dreiecks.

Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks: Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein gleichschenkliges Dreieck. Die Winkel <math>\ <AC^{+},AB^{+}</math> und <math>\ <BC^{+},BA^{+}</math> sind die Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.

[[@ Snoopy (hoffe der Nickname stimmt):]] 
Beziehst du dich bei deinen Angaben immer auf das gleiche Dreieck <math>\overline {ABC} </math> mit den üblichen Bezeichnungen??? Wenn ja müsste es doch bei der Def. gleichschenkliges Dreieck <math> \left| AC \right|= \left| BC \right|</math> heißen. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:31, 4. Jul. 2010 (UTC)

ja hab ich, ich hab mich da verschrieben, habs verbessert, danke :)

Lösung von Aufgabe 8.5

2010-07-03T18:58:43Z

Snoopy:

Definieren Sie: gleichschenkliges Dreieck, Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks, Basis eines gleichschenkligen Dreiecks, Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks.

Ein Dreieck heißt gleichschenklig, wenn es zwei gleich lange Seiten hat. Die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel und die dritte Seite Basis des gleichschenkligen Dreiecks. Basiswinkel heißen die beiden Innenwinkel an der Basis des gleichschenkligen Dreiecks. --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 17:30, 19. Jun. 2010 (UTC)

Gleichschenkliges Dreieck: Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck. Wenn <math> \left| AB \right|= \left| BC \right|</math> ist, dann ist <math>\overline{ABC}</math> ein gleichschenkliges Dreieck.

Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks: Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein gleichschenkliges Dreieck. <math>\overline{AC}</math> und <math>\overline{BC}</math> sind die Schenkel des gleichschenkligen Dreiecks.

Basis eines gleichschenkligen Dreiecks: Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein gleichschenkliges Dreieck. <math>\overline{AB}</math> ist die Basis des gleichschenkligen Dreiecks.

Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks: Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein gleichschenkliges Dreieck. Die Winkel <math>\ <AC^{+},AB^{+}</math> und <math>\ <BC^{+},BA^{+}</math> sind die Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.