Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Lösung von Aufg. 10.4 S

2012-07-02T09:10:26Z

Snooth: /* Vorschlag Snooth: */

== Vorschlag Snooth: ==
 
Satz VII.6 enthält eine Äquivalenz. Diese bildet sich aus den zwei Implikationen der Sätze VII.6a und VII.6b. 
Wenn man nun schon diese zwei Implikationen bewiesen hat, dann hat man auch automatisch die Äquvialenz, also Satz VII.6 bewiesen. (Satz VII.6 sagt ja nichts neues mehr aus.)

--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 22:17, 29. Jun. 2012 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_S]]

Lösung von Aufg. 10.4 S

2012-06-29T20:17:26Z

Snooth:

== Vorschlag Snooth: ==
 
Satz VII.6 enthält eine Äquivalenz. Diese bildet sich aus den zwei Implikationen der Sätze VII.6a und VII.6b. 
Wenn man nun schon diese zwei Implikationen bewiesen hat, dann hat man auch automatisch die Äquvalenz, also Satz VII.6 bewiesen. (Satz VII.6 sagt ja nichts neues mehr aus.)

--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 22:17, 29. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Aufg. 10.5 S

2012-06-29T20:10:24Z

Snooth: /* Vorschlag Snooth: */

== Vorschlag Snooth: ==
 
Satz VII.6 hat einen ganz anderen Ansatz, als die übliche Definition der Mittelsenkrechten: 
:- Er geht von einer Punktmenge aus, die bei Erfüllung eines Kriteriums zur Mittelsenkrechten gehört.
:- Die übliche Definition der Mittelsenkrechten hingegen geht von einer Geraden aus, die bei Erfüllung von mehreren Kriterien die Mittelsenkrechte bildet.
 
Da ja aber eine Gerade nichts anderes als eine Punktmenge ist, kann man aus Satz VII.6 folgende Definition der Mittelsenkrechten basteln:
:Die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist die Punktmenge, für die <math>|AP| = |PB|</math> gilt.
--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 22:06, 29. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Aufg. 10.5 S

2012-06-29T20:10:07Z

Snooth: /* Vorschlag Snooth: */

== Vorschlag Snooth: ==
 
Satz VII.6 hat einen ganz anderen Ansatz, als die übliche Definition der Mittelsenkrechten: 
:- Er geht von einer Punktmenge aus, die bei Erfüllung eines Kriteriums zur Mittelsenkrechten gehört.
:- Die übliche Definition der Mittelsenkrechten hingegen geht von einer Geraden aus, die bei Erfüllung von mehreren Kriterien die Mittelsenkrechte bildet.
 
Da ja aber eine Gerade nichts anderes als eine Punktmenge ist, kann man aus Satz VII.6 folgende Definition der Mittelsenkrechten basteln:
:Die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist die Punktmenge, für die <math>|AP| = |PB|</math> gilt.
--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 22:06, 29. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Aufg. 10.5 S

2012-06-29T20:09:36Z

Snooth: Die Seite wurde neu angelegt: „== Vorschlag Snooth: == Satz VII.6 hat einen ganz anderen Ansatz, als die übliche Definition der Mittelsenkrechten: :- Er geht von beliebigen Pun…“

== Vorschlag Snooth: ==
 
Satz VII.6 hat einen ganz anderen Ansatz, als die übliche Definition der Mittelsenkrechten: 
:- Er geht von beliebigen Punkten aus, die bei Erfüllung eines Kriteriums zur Mittelsenkrechten gehören.
:- Die übliche Definition der Mittelsenkrechten hingegen geht von einer Geraden aus, die bei Erfüllung von mehreren Kriterien die Mittelsenkrechte bildet.
 
Da ja aber eine Gerade nichts anderes als eine Punktmenge ist, kann man aus Satz VII.6 folgende Definition der Mittelsenkrechten basteln:
:Die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist die Punktmenge, für die <math>|AP| = |PB|</math> gilt.
--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 22:06, 29. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Aufg. 10.4 S

2012-06-29T20:07:43Z

Snooth: /* Vorschlag Snooth: */

Lösung von Aufg. 10.4 S

2012-06-29T20:06:02Z

== Vorschlag Snooth: ==
 
Satz VII.6 hat einen ganz anderen Ansatz, als die übliche Definition der Mittelsenkrechten: 
:- Er geht von beliebigen Punkten aus, die bei Erfüllung eines Kriteriums zur Mittelsenkrechten gehören.
:- Die übliche Definition der Mittelsenkrechten hingegen geht von einer Geraden aus, die bei Erfüllung von mehreren Kriterien die Mittelsenkrechte bildet.
 
Aus Satz VII.6 kann man folgende Definition der Mittelsenkrechten basteln:
:Die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{AB}</math> ist die Punktmenge, für die <math>|AP| = |PB|</math> gilt.
--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 22:06, 29. Jun. 2012 (CEST)

Winkelmessung SS 2012

2012-06-28T17:26:25Z

Snooth: /* Definition V.12: (senkrecht für Ebenen) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



== Das Winkelmaß ==
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===

{| class="wikitable center"
|-
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
|-
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
|}

=== Das Winkelmaßaxiom ===
==== Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\omega</math> zwischen 0 und 180.

====Definition V.5: (Größe eines Winkels) ====
:: Die Zahl <math>\omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

== Winkelkonstruktion ==
=== Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens ===
==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \varepsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

== Winkeladdition ==
==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

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==== Satz V.2 ====
::Wenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math> \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\angle ASP</math> und <math>\angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\angle ASB</math>.

==== Beweis von Satz V.2 ==== 

'''Lösung von Nummero6/Tchu Tcha Tcha:''' 

'''Vor:''' 
<math>\angle ASB</math>, P liegt im I von <math>\angle ASB</math>, P liegt nicht auf einem der Schenkel von <math>\angle ASB</math> 
'''Beh:''' 
<math>\angle ASP</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math> oder <math>\angle PSB</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math>
 
'''Ann:''' 
oBdA: <math>\angle ASP</math><math>\ge</math> <math>\angle ASB</math>
 

{| class="wikitable"
! Nr. !! Beweisschritt!!Begründung
|-
|1)|| <math>\angle ASB</math> || Vor
|-
|2) || Es gibt einen Winkel <math>\angle ASP</math>und einen Winkel <math>\angle PSB</math> || laut Voraussetzung (oder muss man zuerst das Winkelkonstruktionsaxiom IV.2 anwenden??)
|-
|3)|| <math>\left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math> || Axiom IV.3 (Winkeladditionsaxiom), (1), (2)
|-
|4)|| Widerspruch zur Annahme || (3)
|-
|5)|| Behauptung stimmt || (4)
|}qed --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 17:01, 10. Jun. 2012 (CEST)

== Rechte Winkel ==

==== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

==== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ====
:: Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) ====
::Es gibt rechte Winkel.

==== Beweis von Satz V.3 : ====
Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.

Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.

Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt.

Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.
<ggb_applet width="505" height="348" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.

In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden <math>\ SA</math> zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel <math>\ \angle ASP</math> gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.

==== Satz V.4 : ====
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Beweis von Satz V.4 : ====
:: Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen. 

 {{#ev:youtube|Lur1-hWGgH0}}

== Die Relation ''Senkrecht'' auf verschiedenen Punktmengen==
===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>g</math> und <math>h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>g</math> und <math>h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>g</math> und <math>h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>g \perp h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?

=====Frage zur Def. V.8=====
Warum rede ich im Plural wenn es um die Winkel geht? Es reicht doch einer. " ....und bei diesem Schnitt ein rechter Winkel entsteht." oder? 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:40, 26. Jun. 2012 (CEST)

=====Antwort M.G.=====
Testen Sie Ihr Verständnis für den bestimmten und den unbestimmten Artikel.

Stellen wir uns vor es gäbe einen und nur einen rechten Winkel, der beim Schnitt zweier zueinander senkrechter Geraden entsteht. Wäre es dann falsch, in der Definition zu fordern, es entstehen rechte Winkel? Sicherlich nicht. Wir könnten genauso fordern, dass rechte Winkel entstehen. Rechte Winkel zu fordern schließt ein, dass eventuell genau ein rechter Winkel existiert. Vielleicht das Ganze noch mal anders: Zwei Geraden <math>g</math> und <math>h</math> stehen senkrecht zueinander, wenn bei ihrem Schnitt ein rechter Winkel entsteht. Diese Definition ist dasselbe wie: Zwei Geraden <math>g</math> und <math>h</math> stehen senkrecht zueinander, wenn bei ihrem Schnitt rechte Winkel entstehen. Wenn mehrere entstehen, entsteht wenigstens einer. Es wäre was anderes, wenn wir fordern würden, dass genau ein rechter Winkel entsteht. Jetzt gäbe es keine zueinander senkrechten Geraden --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:22, 26. Jun. 2012 (CEST)
 

Ja, also ist die Definition von Kopernikus 20:40, 26. Jun. 2012 (CEST) mit ".. und bei diesem Schnitt ein rechter Winkel entsteht." auch korrekt.
Seine Aussage ist doch, dass ein rechter Winkel entsteht.. Es ist aber nicht ausgeschlossen, dass es auch 2, 3 oder 4 sein können.
Das ist doch dieselbe Geschichte, wie mit der Aussage, dass ich "ein Bier" getrunken habe..
Könnten ja auch mehr gewesen sein.. Ich werde mir morgen, bei einem deutschen Sieg, auch ein Bier gönnen.. :-) 
Es wäre nur nicht korrekt, wenn man schreiben würde, dass bei dem Schnitt "genau ein rechter Winkel" entsteht. Dann gäbe es keinen "Spielraum". --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 17:08, 27. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.9: (senkrecht für Strecken und Geraden) =====
:: Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .

'' : Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn sich die Strecke <math>\overline{AB}</math> und die Gerade <math>g</math> schneiden und dabei rechte Winkel entstehen. ''--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:34, 26. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.10: (senkrecht für Strecken)=====
:: Zwei Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .
'' : Eine Stecke <math>\overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn sich die Strecke <math>\overline{AB}</math> und die Stecke <math>\overline{PQ}</math> schneiden und dabei rechte Winkel entstehen. '' 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:56, 26. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.11: (senkrecht für Ebenen und Geraden)=====
::Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math> wenn, ... .
Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math>, wenn die Gerade <math>g</math> die Ebene <math>\varepsilon</math> in geanu einem Punkt <math>P</math> schneidet und zu zwei nichtidentischen Geraden die durch <math>P</math> gehen und in der Ebene <math>\varepsilon</math> liegen orthogonal ist. '' 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:56, 26. Jun. 2012 (CEST)+--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 18:07, 28. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.12: (senkrecht für Ebenen)=====
::Eine Ebene <math>\varepsilon</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\alpha</math>, wenn ...
...die Schnittmenge der beiden Ebenen eine Gerade (g) ist, <math>S</math> <math>\in</math> Gerade (g), <math>P_1</math> <math>\in</math> <math>\varepsilon</math>,
<math>P_2</math> <math>\in</math> <math>\alpha</math> und <math>\left| \angle P_1SP_2 \right| = 90</math> gilt. --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 22:03, 26. Jun. 2012 (CEST)
 
 
... eine Gerade <math>g</math> in <math>\varepsilon</math> liegt, eine Gerade <math>s</math> in <math>\alpha</math> liegt und <math> g\perp s</math> gilt.
 
:Ist die Definition so sinnvoll?
:Mein Gedanke war: Wenn zwei Geraden senkrecht zueinander verlaufen, dann müssen auch die Ebenen in welchen sie liegen senkrecht zueinander sein.
--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 19:26, 28. Jun. 2012 (CEST)

==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

<quiz display="simple">
{Für beliebige <math>g, h, i</math> aus der Menge der Geraden der Ebene gilt:
}
- <math>g \perp g</math>
+ <math>g \perp h \Rightarrow h \perp g</math>
- <math>g \perp h \wedge h \perp i \Rightarrow g \perp i </math>
- <math>g \perp h \vee g \equiv h</math>

</quiz>

===== Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden) =====
:: Es sei <math>g</math> eine Gerade der Ebene <math> \varepsilon</math>. Ferner sei <math>P</math> ein Punkt auf <math>g</math>. In der Ebene <math>\varepsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>s</math>, die durch <math>P</math> geht und senkrecht auf <math> g</math> steht.

===== Beweis von Satz V.5 =====
Aufgabe_Tutorium

==Einige Lemmata zu Winkeln==
Die Lemmata noch mal in einer eigenen Datei:
[[Lemmata zu Winkeln]]
===Vorbemerkungen===
Unter einem Lemma versteht der Mathematiker einen Hilfssatz. Wir geben hier die folgenden Hilfssätze an, die wir im weiteren verwenden werden, ohne sie hier bewiesen zu haben. Die Beweise dieser Lemmata sind nicht wirklich schwer aber unerquicklich.

Wer sich für die Beweise interessiert findet sie hier:

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/pdf_07_08/V08.pdf]

===Lemma W/1===
::Gegeben seien drei nicht kollineare Punkte <math>A, B, S</math>. Wenn <math>P</math> ein Punkt der offenen Strecke <math>\overline{AB}</math> ist, dann liegt der Strahl <math>SP^+</math> vollständig im Inneren von <math>\angle ASB</math>.

[[Datei:Lemma01.jpg]]
===Lemma W/2===
::Liegt ein Punkt <math>P</math> im Inneren eines Winkels mit dem Scheitel <math>S</math>, dann liegt der gesamte Strahl <math>SP^+</math> im Inneren dieses Winkels.
===Lemma W/3===
::Es seien <math>A,B,S</math> drei nichtkollineare Punkte. WEenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf den Schenkeln dieses Winkels liegt, dann schneidet der Strahl <math>SP^+</math> die offene Strecke <math>\overline{AB}</math>.


|}
</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Datei:Snooth Definition senkrecht für geraden.JPG

2012-06-28T17:24:53Z

Snooth: hat eine neue Version von „Datei:Snooth Definition senkrecht für geraden.JPG“ hochgeladen: {{Information |Beschreibung = skizze |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} ==

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|Quelle = selbst erstellt
|Urheber = [[Benutzer:Snooth|Snooth]]
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}}

== Lizenz ==
{{Bild-frei}}

Datei:Snooth Definition senkrecht für geraden.JPG

2012-06-28T17:24:15Z

Snooth: {{Information |Beschreibung = |Quelle = selbst erstellt |Urheber = ~~~ |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }} == Lizenz == {{Bild-frei}}

Winkelmessung SS 2012

2012-06-28T16:08:42Z

Snooth: /* Definition V.11: (senkrecht für Ebenen und Geraden) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



== Das Winkelmaß ==
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===

{| class="wikitable center"
|-
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
|-
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
|}

=== Das Winkelmaßaxiom ===
==== Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\omega</math> zwischen 0 und 180.

====Definition V.5: (Größe eines Winkels) ====
:: Die Zahl <math>\omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

== Winkelkonstruktion ==
=== Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens ===
==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \varepsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

== Winkeladdition ==
==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Satz V.2 ====
::Wenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math> \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\angle ASP</math> und <math>\angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\angle ASB</math>.

==== Beweis von Satz V.2 ==== 

'''Lösung von Nummero6/Tchu Tcha Tcha:''' 

'''Vor:''' 
<math>\angle ASB</math>, P liegt im I von <math>\angle ASB</math>, P liegt nicht auf einem der Schenkel von <math>\angle ASB</math> 
'''Beh:''' 
<math>\angle ASP</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math> oder <math>\angle PSB</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math>
 
'''Ann:''' 
oBdA: <math>\angle ASP</math><math>\ge</math> <math>\angle ASB</math>
 

{| class="wikitable"
! Nr. !! Beweisschritt!!Begründung
|-
|1)|| <math>\angle ASB</math> || Vor
|-
|2) || Es gibt einen Winkel <math>\angle ASP</math>und einen Winkel <math>\angle PSB</math> || laut Voraussetzung (oder muss man zuerst das Winkelkonstruktionsaxiom IV.2 anwenden??)
|-
|3)|| <math>\left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math> || Axiom IV.3 (Winkeladditionsaxiom), (1), (2)
|-
|4)|| Widerspruch zur Annahme || (3)
|-
|5)|| Behauptung stimmt || (4)
|}qed --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 17:01, 10. Jun. 2012 (CEST)

== Rechte Winkel ==

==== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

==== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ====
:: Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) ====
::Es gibt rechte Winkel.

==== Beweis von Satz V.3 : ====
Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.

Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.

Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt.

Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.
<ggb_applet width="505" height="348" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.

In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden <math>\ SA</math> zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel <math>\ \angle ASP</math> gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.

==== Satz V.4 : ====
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Beweis von Satz V.4 : ====
:: Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen. 

 {{#ev:youtube|Lur1-hWGgH0}}

== Die Relation ''Senkrecht'' auf verschiedenen Punktmengen==
===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>g</math> und <math>h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>g</math> und <math>h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>g</math> und <math>h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>g \perp h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?

=====Frage zur Def. V.8=====
Warum rede ich im Plural wenn es um die Winkel geht? Es reicht doch einer. " ....und bei diesem Schnitt ein rechter Winkel entsteht." oder? 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:40, 26. Jun. 2012 (CEST)

=====Antwort M.G.=====
Testen Sie Ihr Verständnis für den bestimmten und den unbestimmten Artikel.

Stellen wir uns vor es gäbe einen und nur einen rechten Winkel, der beim Schnitt zweier zueinander senkrechter Geraden entsteht. Wäre es dann falsch, in der Definition zu fordern, es entstehen rechte Winkel? Sicherlich nicht. Wir könnten genauso fordern, dass rechte Winkel entstehen. Rechte Winkel zu fordern schließt ein, dass eventuell genau ein rechter Winkel existiert. Vielleicht das Ganze noch mal anders: Zwei Geraden <math>g</math> und <math>h</math> stehen senkrecht zueinander, wenn bei ihrem Schnitt ein rechter Winkel entsteht. Diese Definition ist dasselbe wie: Zwei Geraden <math>g</math> und <math>h</math> stehen senkrecht zueinander, wenn bei ihrem Schnitt rechte Winkel entstehen. Wenn mehrere entstehen, entsteht wenigstens einer. Es wäre was anderes, wenn wir fordern würden, dass genau ein rechter Winkel entsteht. Jetzt gäbe es keine zueinander senkrechten Geraden --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:22, 26. Jun. 2012 (CEST)
 

Ja, also ist die Definition von Kopernikus 20:40, 26. Jun. 2012 (CEST) mit ".. und bei diesem Schnitt ein rechter Winkel entsteht." auch korrekt.
Seine Aussage ist doch, dass ein rechter Winkel entsteht.. Es ist aber nicht ausgeschlossen, dass es auch 2, 3 oder 4 sein können.
Das ist doch dieselbe Geschichte, wie mit der Aussage, dass ich "ein Bier" getrunken habe..
Könnten ja auch mehr gewesen sein.. Ich werde mir morgen, bei einem deutschen Sieg, auch ein Bier gönnen.. :-) 
Es wäre nur nicht korrekt, wenn man schreiben würde, dass bei dem Schnitt "genau ein rechter Winkel" entsteht. Dann gäbe es keinen "Spielraum". --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 17:08, 27. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.9: (senkrecht für Strecken und Geraden) =====
:: Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .

'' : Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn sich die Strecke <math>\overline{AB}</math> und die Gerade <math>g</math> schneiden und dabei rechte Winkel entstehen. ''--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:34, 26. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.10: (senkrecht für Strecken)=====
:: Zwei Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .
'' : Eine Stecke <math>\overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn sich die Strecke <math>\overline{AB}</math> und die Stecke <math>\overline{PQ}</math> schneiden und dabei rechte Winkel entstehen. '' 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:56, 26. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.11: (senkrecht für Ebenen und Geraden)=====
::Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math> wenn, ... .
Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math>, wenn die Gerade <math>g</math> die Ebene <math>\varepsilon</math> in geanu einem Punkt <math>P</math> schneidet und zu zwei nichtidentischen Geraden die durch <math>P</math> gehen und in der Ebene <math>\varepsilon</math> liegen orthogonal ist. '' 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:56, 26. Jun. 2012 (CEST)+--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 18:07, 28. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.12: (senkrecht für Ebenen)=====
::Eine Ebene <math>\varepsilon</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\alpha</math>, wenn ...
...die Schnittmenge der beiden Ebenen eine Gerade (g) ist, <math>S</math> <math>\in</math> Gerade (g), <math>P_1</math> <math>\in</math> <math>\varepsilon</math>,
<math>P_2</math> <math>\in</math> <math>\alpha</math> und <math>\left| \angle P_1SP_2 \right| = 90</math> gilt. --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 22:03, 26. Jun. 2012 (CEST)

==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

<quiz display="simple">
{Für beliebige <math>g, h, i</math> aus der Menge der Geraden der Ebene gilt:
}
- <math>g \perp g</math>
+ <math>g \perp h \Rightarrow h \perp g</math>
- <math>g \perp h \wedge h \perp i \Rightarrow g \perp i </math>
- <math>g \perp h \vee g \equiv h</math>

</quiz>

===== Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden) =====
:: Es sei <math>g</math> eine Gerade der Ebene <math> \varepsilon</math>. Ferner sei <math>P</math> ein Punkt auf <math>g</math>. In der Ebene <math>\varepsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>s</math>, die durch <math>P</math> geht und senkrecht auf <math> g</math> steht.

===== Beweis von Satz V.5 =====
Aufgabe_Tutorium

==Einige Lemmata zu Winkeln==
Die Lemmata noch mal in einer eigenen Datei:
[[Lemmata zu Winkeln]]
===Vorbemerkungen===
Unter einem Lemma versteht der Mathematiker einen Hilfssatz. Wir geben hier die folgenden Hilfssätze an, die wir im weiteren verwenden werden, ohne sie hier bewiesen zu haben. Die Beweise dieser Lemmata sind nicht wirklich schwer aber unerquicklich.

Wer sich für die Beweise interessiert findet sie hier:

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/pdf_07_08/V08.pdf]

===Lemma W/1===
::Gegeben seien drei nicht kollineare Punkte <math>A, B, S</math>. Wenn <math>P</math> ein Punkt der offenen Strecke <math>\overline{AB}</math> ist, dann liegt der Strahl <math>SP^+</math> vollständig im Inneren von <math>\angle ASB</math>.

[[Datei:Lemma01.jpg]]
===Lemma W/2===
::Liegt ein Punkt <math>P</math> im Inneren eines Winkels mit dem Scheitel <math>S</math>, dann liegt der gesamte Strahl <math>SP^+</math> im Inneren dieses Winkels.
===Lemma W/3===
::Es seien <math>A,B,S</math> drei nichtkollineare Punkte. WEenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf den Schenkeln dieses Winkels liegt, dann schneidet der Strahl <math>SP^+</math> die offene Strecke <math>\overline{AB}</math>.


|}
</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Winkelmessung SS 2012

2012-06-28T16:07:40Z

Snooth: /* Definition V.11: (senkrecht für Ebenen und Geraden) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



== Das Winkelmaß ==
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===

{| class="wikitable center"
|-
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
|-
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
|}

=== Das Winkelmaßaxiom ===
==== Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\omega</math> zwischen 0 und 180.

====Definition V.5: (Größe eines Winkels) ====
:: Die Zahl <math>\omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

== Winkelkonstruktion ==
=== Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens ===
==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \varepsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

== Winkeladdition ==
==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Satz V.2 ====
::Wenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math> \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\angle ASP</math> und <math>\angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\angle ASB</math>.

==== Beweis von Satz V.2 ==== 

'''Lösung von Nummero6/Tchu Tcha Tcha:''' 

'''Vor:''' 
<math>\angle ASB</math>, P liegt im I von <math>\angle ASB</math>, P liegt nicht auf einem der Schenkel von <math>\angle ASB</math> 
'''Beh:''' 
<math>\angle ASP</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math> oder <math>\angle PSB</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math>
 
'''Ann:''' 
oBdA: <math>\angle ASP</math><math>\ge</math> <math>\angle ASB</math>
 

{| class="wikitable"
! Nr. !! Beweisschritt!!Begründung
|-
|1)|| <math>\angle ASB</math> || Vor
|-
|2) || Es gibt einen Winkel <math>\angle ASP</math>und einen Winkel <math>\angle PSB</math> || laut Voraussetzung (oder muss man zuerst das Winkelkonstruktionsaxiom IV.2 anwenden??)
|-
|3)|| <math>\left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math> || Axiom IV.3 (Winkeladditionsaxiom), (1), (2)
|-
|4)|| Widerspruch zur Annahme || (3)
|-
|5)|| Behauptung stimmt || (4)
|}qed --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 17:01, 10. Jun. 2012 (CEST)

== Rechte Winkel ==

==== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

==== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ====
:: Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) ====
::Es gibt rechte Winkel.

==== Beweis von Satz V.3 : ====
Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.

Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.

Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt.

Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.
<ggb_applet width="505" height="348" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.

In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden <math>\ SA</math> zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel <math>\ \angle ASP</math> gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.

==== Satz V.4 : ====
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Beweis von Satz V.4 : ====
:: Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen. 

 {{#ev:youtube|Lur1-hWGgH0}}

== Die Relation ''Senkrecht'' auf verschiedenen Punktmengen==
===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>g</math> und <math>h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>g</math> und <math>h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>g</math> und <math>h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>g \perp h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?

=====Frage zur Def. V.8=====
Warum rede ich im Plural wenn es um die Winkel geht? Es reicht doch einer. " ....und bei diesem Schnitt ein rechter Winkel entsteht." oder? 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:40, 26. Jun. 2012 (CEST)

=====Antwort M.G.=====
Testen Sie Ihr Verständnis für den bestimmten und den unbestimmten Artikel.

Stellen wir uns vor es gäbe einen und nur einen rechten Winkel, der beim Schnitt zweier zueinander senkrechter Geraden entsteht. Wäre es dann falsch, in der Definition zu fordern, es entstehen rechte Winkel? Sicherlich nicht. Wir könnten genauso fordern, dass rechte Winkel entstehen. Rechte Winkel zu fordern schließt ein, dass eventuell genau ein rechter Winkel existiert. Vielleicht das Ganze noch mal anders: Zwei Geraden <math>g</math> und <math>h</math> stehen senkrecht zueinander, wenn bei ihrem Schnitt ein rechter Winkel entsteht. Diese Definition ist dasselbe wie: Zwei Geraden <math>g</math> und <math>h</math> stehen senkrecht zueinander, wenn bei ihrem Schnitt rechte Winkel entstehen. Wenn mehrere entstehen, entsteht wenigstens einer. Es wäre was anderes, wenn wir fordern würden, dass genau ein rechter Winkel entsteht. Jetzt gäbe es keine zueinander senkrechten Geraden --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:22, 26. Jun. 2012 (CEST)
 

Ja, also ist die Definition von Kopernikus 20:40, 26. Jun. 2012 (CEST) mit ".. und bei diesem Schnitt ein rechter Winkel entsteht." auch korrekt.
Seine Aussage ist doch, dass ein rechter Winkel entsteht.. Es ist aber nicht ausgeschlossen, dass es auch 2, 3 oder 4 sein können.
Das ist doch dieselbe Geschichte, wie mit der Aussage, dass ich "ein Bier" getrunken habe..
Könnten ja auch mehr gewesen sein.. Ich werde mir morgen, bei einem deutschen Sieg, auch ein Bier gönnen.. :-) 
Es wäre nur nicht korrekt, wenn man schreiben würde, dass bei dem Schnitt "genau ein rechter Winkel" entsteht. Dann gäbe es keinen "Spielraum". --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 17:08, 27. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.9: (senkrecht für Strecken und Geraden) =====
:: Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .

'' : Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn sich die Strecke <math>\overline{AB}</math> und die Gerade <math>g</math> schneiden und dabei rechte Winkel entstehen. ''--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:34, 26. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.10: (senkrecht für Strecken)=====
:: Zwei Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .
'' : Eine Stecke <math>\overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn sich die Strecke <math>\overline{AB}</math> und die Stecke <math>\overline{PQ}</math> schneiden und dabei rechte Winkel entstehen. '' 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:56, 26. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.11: (senkrecht für Ebenen und Geraden)=====
::Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math> wenn, ... .
Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math>, wenn die Gerade <math>g</math> die Ebene <math>\varepsilon</math> in geanu einem Punkt <math>P</math> schneidet und zu zwei nichtidentischen Geraden die durch P gehen und in der Ebene <math>\varepsilon</math> liegen orthogonal ist. '' 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:56, 26. Jun. 2012 (CEST)+--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 18:07, 28. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.12: (senkrecht für Ebenen)=====
::Eine Ebene <math>\varepsilon</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\alpha</math>, wenn ...
...die Schnittmenge der beiden Ebenen eine Gerade (g) ist, <math>S</math> <math>\in</math> Gerade (g), <math>P_1</math> <math>\in</math> <math>\varepsilon</math>,
<math>P_2</math> <math>\in</math> <math>\alpha</math> und <math>\left| \angle P_1SP_2 \right| = 90</math> gilt. --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 22:03, 26. Jun. 2012 (CEST)

==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

<quiz display="simple">
{Für beliebige <math>g, h, i</math> aus der Menge der Geraden der Ebene gilt:
}
- <math>g \perp g</math>
+ <math>g \perp h \Rightarrow h \perp g</math>
- <math>g \perp h \wedge h \perp i \Rightarrow g \perp i </math>
- <math>g \perp h \vee g \equiv h</math>

</quiz>

===== Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden) =====
:: Es sei <math>g</math> eine Gerade der Ebene <math> \varepsilon</math>. Ferner sei <math>P</math> ein Punkt auf <math>g</math>. In der Ebene <math>\varepsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>s</math>, die durch <math>P</math> geht und senkrecht auf <math> g</math> steht.

===== Beweis von Satz V.5 =====
Aufgabe_Tutorium

==Einige Lemmata zu Winkeln==
Die Lemmata noch mal in einer eigenen Datei:
[[Lemmata zu Winkeln]]
===Vorbemerkungen===
Unter einem Lemma versteht der Mathematiker einen Hilfssatz. Wir geben hier die folgenden Hilfssätze an, die wir im weiteren verwenden werden, ohne sie hier bewiesen zu haben. Die Beweise dieser Lemmata sind nicht wirklich schwer aber unerquicklich.

Wer sich für die Beweise interessiert findet sie hier:

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/pdf_07_08/V08.pdf]

===Lemma W/1===
::Gegeben seien drei nicht kollineare Punkte <math>A, B, S</math>. Wenn <math>P</math> ein Punkt der offenen Strecke <math>\overline{AB}</math> ist, dann liegt der Strahl <math>SP^+</math> vollständig im Inneren von <math>\angle ASB</math>.

[[Datei:Lemma01.jpg]]
===Lemma W/2===
::Liegt ein Punkt <math>P</math> im Inneren eines Winkels mit dem Scheitel <math>S</math>, dann liegt der gesamte Strahl <math>SP^+</math> im Inneren dieses Winkels.
===Lemma W/3===
::Es seien <math>A,B,S</math> drei nichtkollineare Punkte. WEenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf den Schenkeln dieses Winkels liegt, dann schneidet der Strahl <math>SP^+</math> die offene Strecke <math>\overline{AB}</math>.


|}
</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Winkelmessung SS 2012

2012-06-28T16:06:19Z

Snooth: /* Definition V.11: (senkrecht für Ebenen und Geraden) */

<div style="margin:0; margin-right:4px; border:1px solid #27408B; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFF99; align:left;">
{|width=90%| style="background-color:#FFFF99; padding:1em"
| valign="top" |



== Das Winkelmaß ==
=== Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen? ===

{| class="wikitable center"
|-
| Länge einer Strecke || Größe eines Winkels
|-
| nichtnegative reelle Zahl || reelle Zahl zwischen 0 und 180
|}

=== Das Winkelmaßaxiom ===
==== Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\omega</math> zwischen 0 und 180.

====Definition V.5: (Größe eines Winkels) ====
:: Die Zahl <math>\omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

== Winkelkonstruktion ==
=== Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens ===
==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \varepsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \varepsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

== Winkeladdition ==
==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

<ggb_applet width="664" height="442" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==== Satz V.2 ====
::Wenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math> \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\angle ASP</math> und <math>\angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\angle ASB</math>.

==== Beweis von Satz V.2 ==== 

'''Lösung von Nummero6/Tchu Tcha Tcha:''' 

'''Vor:''' 
<math>\angle ASB</math>, P liegt im I von <math>\angle ASB</math>, P liegt nicht auf einem der Schenkel von <math>\angle ASB</math> 
'''Beh:''' 
<math>\angle ASP</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math> oder <math>\angle PSB</math><math>\le</math><math>\angle ASB</math>
 
'''Ann:''' 
oBdA: <math>\angle ASP</math><math>\ge</math> <math>\angle ASB</math>
 

{| class="wikitable"
! Nr. !! Beweisschritt!!Begründung
|-
|1)|| <math>\angle ASB</math> || Vor
|-
|2) || Es gibt einen Winkel <math>\angle ASP</math>und einen Winkel <math>\angle PSB</math> || laut Voraussetzung (oder muss man zuerst das Winkelkonstruktionsaxiom IV.2 anwenden??)
|-
|3)|| <math>\left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math> || Axiom IV.3 (Winkeladditionsaxiom), (1), (2)
|-
|4)|| Widerspruch zur Annahme || (3)
|-
|5)|| Behauptung stimmt || (4)
|}qed --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 17:01, 10. Jun. 2012 (CEST)

== Rechte Winkel ==

==== Definition V.6 : (Rechter Winkel) ====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

==== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) ====
:: Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln) ====
::Es gibt rechte Winkel.

==== Beweis von Satz V.3 : ====
Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.

Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.

Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt.

Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.
<ggb_applet width="505" height="348" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.

In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden <math>\ SA</math> zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel <math>\ \angle ASP</math> gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.

==== Satz V.4 : ====
::Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Beweis von Satz V.4 : ====
:: Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen. 

 {{#ev:youtube|Lur1-hWGgH0}}

== Die Relation ''Senkrecht'' auf verschiedenen Punktmengen==
===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>g</math> und <math>h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>g</math> und <math>h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>g</math> und <math>h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>g \perp h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?

=====Frage zur Def. V.8=====
Warum rede ich im Plural wenn es um die Winkel geht? Es reicht doch einer. " ....und bei diesem Schnitt ein rechter Winkel entsteht." oder? 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:40, 26. Jun. 2012 (CEST)

=====Antwort M.G.=====
Testen Sie Ihr Verständnis für den bestimmten und den unbestimmten Artikel.

Stellen wir uns vor es gäbe einen und nur einen rechten Winkel, der beim Schnitt zweier zueinander senkrechter Geraden entsteht. Wäre es dann falsch, in der Definition zu fordern, es entstehen rechte Winkel? Sicherlich nicht. Wir könnten genauso fordern, dass rechte Winkel entstehen. Rechte Winkel zu fordern schließt ein, dass eventuell genau ein rechter Winkel existiert. Vielleicht das Ganze noch mal anders: Zwei Geraden <math>g</math> und <math>h</math> stehen senkrecht zueinander, wenn bei ihrem Schnitt ein rechter Winkel entsteht. Diese Definition ist dasselbe wie: Zwei Geraden <math>g</math> und <math>h</math> stehen senkrecht zueinander, wenn bei ihrem Schnitt rechte Winkel entstehen. Wenn mehrere entstehen, entsteht wenigstens einer. Es wäre was anderes, wenn wir fordern würden, dass genau ein rechter Winkel entsteht. Jetzt gäbe es keine zueinander senkrechten Geraden --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 22:22, 26. Jun. 2012 (CEST)
 

Ja, also ist die Definition von Kopernikus 20:40, 26. Jun. 2012 (CEST) mit ".. und bei diesem Schnitt ein rechter Winkel entsteht." auch korrekt.
Seine Aussage ist doch, dass ein rechter Winkel entsteht.. Es ist aber nicht ausgeschlossen, dass es auch 2, 3 oder 4 sein können.
Das ist doch dieselbe Geschichte, wie mit der Aussage, dass ich "ein Bier" getrunken habe..
Könnten ja auch mehr gewesen sein.. Ich werde mir morgen, bei einem deutschen Sieg, auch ein Bier gönnen.. :-) 
Es wäre nur nicht korrekt, wenn man schreiben würde, dass bei dem Schnitt "genau ein rechter Winkel" entsteht. Dann gäbe es keinen "Spielraum". --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 17:08, 27. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.9: (senkrecht für Strecken und Geraden) =====
:: Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .

'' : Eine Gerade <math>g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn sich die Strecke <math>\overline{AB}</math> und die Gerade <math>g</math> schneiden und dabei rechte Winkel entstehen. ''--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:34, 26. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.10: (senkrecht für Strecken)=====
:: Zwei Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn ... .
'' : Eine Stecke <math>\overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\overline{PQ}</math> stehen senkrecht zueinander, wenn sich die Strecke <math>\overline{AB}</math> und die Stecke <math>\overline{PQ}</math> schneiden und dabei rechte Winkel entstehen. '' 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:56, 26. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.11: (senkrecht für Ebenen und Geraden)=====
::Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math> wenn, ... .
Eine Gerade <math>g</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\varepsilon</math>, wenn die Gerade <math>g</math> die Ebene <math>\varepsilon</math> in geanu einem Punkt P schneidet und zu zwei nichtidentischen Geraden die durch P gehen und in der Ebene <math>\varepsilon</math> liegen orthogonal sind. '' 
--[[Benutzer:Kopernikus|Kopernikus]] 20:56, 26. Jun. 2012 (CEST)

===== Definition V.12: (senkrecht für Ebenen)=====
::Eine Ebene <math>\varepsilon</math> steht senkrecht auf einer Ebene <math>\alpha</math>, wenn ...
...die Schnittmenge der beiden Ebenen eine Gerade (g) ist, <math>S</math> <math>\in</math> Gerade (g), <math>P_1</math> <math>\in</math> <math>\varepsilon</math>,
<math>P_2</math> <math>\in</math> <math>\alpha</math> und <math>\left| \angle P_1SP_2 \right| = 90</math> gilt. --[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 22:03, 26. Jun. 2012 (CEST)

==== Eigenschaften der Relation senkrecht ====

<quiz display="simple">
{Für beliebige <math>g, h, i</math> aus der Menge der Geraden der Ebene gilt:
}
- <math>g \perp g</math>
+ <math>g \perp h \Rightarrow h \perp g</math>
- <math>g \perp h \wedge h \perp i \Rightarrow g \perp i </math>
- <math>g \perp h \vee g \equiv h</math>

</quiz>

===== Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden) =====
:: Es sei <math>g</math> eine Gerade der Ebene <math> \varepsilon</math>. Ferner sei <math>P</math> ein Punkt auf <math>g</math>. In der Ebene <math>\varepsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>s</math>, die durch <math>P</math> geht und senkrecht auf <math> g</math> steht.

===== Beweis von Satz V.5 =====
Aufgabe_Tutorium

==Einige Lemmata zu Winkeln==
Die Lemmata noch mal in einer eigenen Datei:
[[Lemmata zu Winkeln]]
===Vorbemerkungen===
Unter einem Lemma versteht der Mathematiker einen Hilfssatz. Wir geben hier die folgenden Hilfssätze an, die wir im weiteren verwenden werden, ohne sie hier bewiesen zu haben. Die Beweise dieser Lemmata sind nicht wirklich schwer aber unerquicklich.

Wer sich für die Beweise interessiert findet sie hier:

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/pdf_07_08/V08.pdf]

===Lemma W/1===
::Gegeben seien drei nicht kollineare Punkte <math>A, B, S</math>. Wenn <math>P</math> ein Punkt der offenen Strecke <math>\overline{AB}</math> ist, dann liegt der Strahl <math>SP^+</math> vollständig im Inneren von <math>\angle ASB</math>.

[[Datei:Lemma01.jpg]]
===Lemma W/2===
::Liegt ein Punkt <math>P</math> im Inneren eines Winkels mit dem Scheitel <math>S</math>, dann liegt der gesamte Strahl <math>SP^+</math> im Inneren dieses Winkels.
===Lemma W/3===
::Es seien <math>A,B,S</math> drei nichtkollineare Punkte. WEenn der Punkt <math>P</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math> und nicht auf den Schenkeln dieses Winkels liegt, dann schneidet der Strahl <math>SP^+</math> die offene Strecke <math>\overline{AB}</math>.


|}
</div>

[[Kategorie:Einführung_S]]

Winkel SS 2012

2012-06-28T14:16:10Z

Snooth: /* Definition V.2: (Inneres eines Winkels) */

Winkel SS 2012

2012-06-28T14:15:51Z

Snooth: /* Definition V.2: (Inneres eines Winkels) */

20.06.2012: Probeklausur

2012-06-22T12:15:33Z

Snooth: /* Platz für Diskussionen und Inhaltsbesprechungen zur Probeklausur */

Nützliche Informationen zur Übungsveranstaltung dieser Woche findet Ihr unter folgendem Link: [[Infos zur Übung 8 S (SoSe 12)]] 
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 10:40, 12. Jun. 2012 (CEST)

=Platz für Diskussionen und Inhaltsbesprechungen zur Probeklausur=
Ich hätte gerne gewusst, ob "Muster-Lösungen" der Probeklausur online verfügbar gemacht werden?
--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 20:39, 20. Jun. 2012 (CEST)
 
Im Anschluss an diese Woche werden die Lösungen 'möglichst zeitnah' eingestellt. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 07:19, 22. Jun. 2012 (CEST)
 
Vielen Dank und ein schönes Wochenende!--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 14:15, 22. Jun. 2012 (CEST)
 

=Zurück zur Übersichtsseite=
[[WIKI-Übung-Heckl]]

[[Kategorie: WIKI-Übung-Heckl]]

20.06.2012: Probeklausur

2012-06-22T12:15:22Z

Snooth: /* Platz für Diskussionen und Inhaltsbesprechungen zur Probeklausur */

Nützliche Informationen zur Übungsveranstaltung dieser Woche findet Ihr unter folgendem Link: [[Infos zur Übung 8 S (SoSe 12)]] 
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 10:40, 12. Jun. 2012 (CEST)

=Platz für Diskussionen und Inhaltsbesprechungen zur Probeklausur=
Ich hätte gerne gewusst, ob "Muster-Lösungen" der Probeklausur online verfügbar gemacht werden?
--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 20:39, 20. Jun. 2012 (CEST)
 
Im Anschluss an diese Woche werden die Lösungen 'möglichst zeitnah' eingestellt. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 07:19, 22. Jun. 2012 (CEST)
 
Vielen Dank und ein schönes Wochenende!--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 14:15, 22. Jun. 2012 (CEST)
 

=Zurück zur Übersichtsseite=
[[WIKI-Übung-Heckl]]

[[Kategorie: WIKI-Übung-Heckl]]

20.06.2012: Probeklausur

2012-06-20T18:39:38Z

Snooth: /* Platz für Diskussionen und Inhaltsbesprechungen zur Probeklausur */

20.06.2012: Probeklausur

2012-06-20T18:39:23Z

Snooth: /* Platz für Diskussionen und Inhaltsbesprechungen zur Probeklausur */

Übung Aufgaben 7 S (SoSe 12)

2012-06-17T11:11:45Z

Snooth: /* Aufgabe 7.4 */

== Aufgabe 7.1 ==
Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?

a) <math>\ AB^{+} \cap BA^{+} =</math> <br\>

b) <math>\ AB^{-} \cap BA^{-} =</math> <br\>

c) <math>\ AB </math> geschnitten mit dem Kreis um <math>\ A </math> durch <math>\ B </math> =

d)<math>\ AB \cap BA =</math> <br\>

[[Lösung von Aufgabe 7.1_S (SoSe_12)]]
 

== Aufgabe 7.2 ==
[[Bild:konvex02.gif|links]] 
Student XY argumentiert: "Weil <math>\overline{AB} </math> komplett innerhalb der Punktmenge liegt, ist die Figur konvex." 
Wo liegt XYs Denkfehler? 
[[Lösung von Aufgabe 7.2_S (SoSe_12)]]

== Aufgabe 7.3 ==
'''Satz: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.''' 
a) Beweisen Sie den Satz. 
b) Wie lautet die Kontraposition? 
c) Wie lautet die Umkehrung? Widerlegen Sie die Umkehrung durch eine Skizze. 
[[Lösung von Aufgabe 7.3_S (SoSe_12)]]

== Aufgabe 7.4 ==
Ergänzen Sie die Definition für offene Halbebenen <math>\ gQ^{+} </math> und <math>\ gQ^{-} </math> 
("Offen" bedeutet hier: Die Halbebene '''ohne''' die Gerade, die die Ebene teilt). 
'''Definition (offene Halbebene):''' 
:: Es sei E eine Ebene, in der die Gerade g und der Punkt Q liegen mögen. Q gehöre nicht zu g. Unter den offenen Teilmengen <math>\ gQ^{+} </math> und <math>\ gQ^{-} </math> bezüglich der Trägergeraden g versteht man die folgenden Teilmengen von E: 
<math>\ gQ^{+} := \{P|...\} </math> 
<math>\ gQ^{-} := \{P|...\}</math> 
[[Lösung von Aufgabe 7.4_S (SoSe_12)]]

== Aufgabe 7.5 ==
Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte A, B und C in einer Ebene E. Außerdem sei eine Gerade g Teilmenge von E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. 
Es gilt folgender Zusammenhang: 

<math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace </math> 
a) Fertigen Sie eine Skizze an, aus der der oben genannte Zusammenhang ersichtlich wird. 
b) Beweisen Sie den oben genannten Zusammenhang.

 [[Lösung von Aufgabe 7.5_S (SoSe_12)]]

Übung Aufgaben 7 S (SoSe 12)

2012-06-17T11:03:42Z

Snooth: /* Aufgabe 7.4 */

== Aufgabe 7.1 ==
Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?

a) <math>\ AB^{+} \cap BA^{+} =</math> <br\>

b) <math>\ AB^{-} \cap BA^{-} =</math> <br\>

c) <math>\ AB </math> geschnitten mit dem Kreis um <math>\ A </math> durch <math>\ B </math> =

d)<math>\ AB \cap BA =</math> <br\>

[[Lösung von Aufgabe 7.1_S (SoSe_12)]]
 

== Aufgabe 7.2 ==
[[Bild:konvex02.gif|links]] 
Student XY argumentiert: "Weil <math>\overline{AB} </math> komplett innerhalb der Punktmenge liegt, ist die Figur konvex." 
Wo liegt XYs Denkfehler? 
[[Lösung von Aufgabe 7.2_S (SoSe_12)]]

== Aufgabe 7.3 ==
'''Satz: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.''' 
a) Beweisen Sie den Satz. 
b) Wie lautet die Kontraposition? 
c) Wie lautet die Umkehrung? Widerlegen Sie die Umkehrung durch eine Skizze. 
[[Lösung von Aufgabe 7.3_S (SoSe_12)]]

== Aufgabe 7.4 ==
Ergänzen Sie die Definition für offene Halbebenen <math>\ gQ^{+} </math> und <math>\ gQ^{-} </math> 
("Offen" bedeutet hier: Die Halbebene '''ohne''' die Gerade, die die Ebene teilt). 
'''Definition (offene Halbebene):''' 
:: Es sei E eine Ebene, in der die Gerade g und der Punkt Q liegen mögen. Q gehöre nicht zu g. Unter den offenen Teilmengen ''(Halbgeraden?)''--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 13:03, 17. Jun. 2012 (CEST) <math>\ gQ^{+} </math> und <math>\ gQ^{-} </math> bezüglich der Trägergeraden g versteht man die folgenden Teilmengen von E: 
<math>\ gQ^{+} := \{P|...\} </math> 
<math>\ gQ^{-} := \{P|...\}</math> 
[[Lösung von Aufgabe 7.4_S (SoSe_12)]]

== Aufgabe 7.5 ==
Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte A, B und C in einer Ebene E. Außerdem sei eine Gerade g Teilmenge von E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. 
Es gilt folgender Zusammenhang: 

<math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace </math> 
a) Fertigen Sie eine Skizze an, aus der der oben genannte Zusammenhang ersichtlich wird. 
b) Beweisen Sie den oben genannten Zusammenhang.

 [[Lösung von Aufgabe 7.5_S (SoSe_12)]]

Übung Aufgaben 7 S (SoSe 12)

2012-06-17T11:01:33Z

Snooth: /* Aufgabe 7.4 */

== Aufgabe 7.1 ==
Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?

a) <math>\ AB^{+} \cap BA^{+} =</math> <br\>

b) <math>\ AB^{-} \cap BA^{-} =</math> <br\>

c) <math>\ AB </math> geschnitten mit dem Kreis um <math>\ A </math> durch <math>\ B </math> =

d)<math>\ AB \cap BA =</math> <br\>

[[Lösung von Aufgabe 7.1_S (SoSe_12)]]
 

== Aufgabe 7.2 ==
[[Bild:konvex02.gif|links]] 
Student XY argumentiert: "Weil <math>\overline{AB} </math> komplett innerhalb der Punktmenge liegt, ist die Figur konvex." 
Wo liegt XYs Denkfehler? 
[[Lösung von Aufgabe 7.2_S (SoSe_12)]]

== Aufgabe 7.3 ==
'''Satz: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.''' 
a) Beweisen Sie den Satz. 
b) Wie lautet die Kontraposition? 
c) Wie lautet die Umkehrung? Widerlegen Sie die Umkehrung durch eine Skizze. 
[[Lösung von Aufgabe 7.3_S (SoSe_12)]]

== Aufgabe 7.4 ==
Ergänzen Sie die Definition für offene Halbebenen <math>\ gQ^{+} </math> und <math>\ gQ^{-} </math> 
("Offen" bedeutet hier: Die Halbebene '''ohne''' die Gerade, die die Ebene teilt). 
'''Definition (offene Halbebene):''' 
:: Es sei E eine Ebene, in der die Gerade g und der Punkt Q liegen mögen. Q gehöre nicht zu g. Unter den offenen Teilmengen ''(Halbgeraden?)'' <math>\ gQ^{+} </math> und <math>\ gQ^{-} </math> bezüglich der Trägergeraden g versteht man die folgenden Teilmengen von E: 
<math>\ gQ^{+} := \{P|...\} </math> 
<math>\ gQ^{-} := \{P|...\}</math> 
[[Lösung von Aufgabe 7.4_S (SoSe_12)]]

== Aufgabe 7.5 ==
Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte A, B und C in einer Ebene E. Außerdem sei eine Gerade g Teilmenge von E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. 
Es gilt folgender Zusammenhang: 

<math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace </math> 
a) Fertigen Sie eine Skizze an, aus der der oben genannte Zusammenhang ersichtlich wird. 
b) Beweisen Sie den oben genannten Zusammenhang.

 [[Lösung von Aufgabe 7.5_S (SoSe_12)]]

Lösung von Aufgabe 6.3 S (SoSe 12)

2012-06-16T18:08:52Z

Snooth:

== Aufgabe 6.3 ==
Beweisen Sie: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt. 

[[Datei:6.3.JPG]]--[[Benutzer:Wurzel|H2O]] 20:07, 28. Mai 2012 (CEST) und keinKurpfälzer

=== Anmerkungen von Buchner ===

Leider kann ich das eingescannte Dokument nicht so gut lesen unten. 
Zu Ihrem ersten Beweisversuch. Die Annahme und die ersten Schritte sind gut. Ab Schritt 5 macht der Beweis für mich aber keinen Sinn. Rechnen Sie doch mal mit den Gleichungen aus Schritt 3 und 4 weiter! Kleiner Tipp: Der Widerspruch sollte was mit dem Axiom vom Lineal zu tun haben!--[[Benutzer:Buchner|Buchner]] 16:18, 31. Mai 2012 (CEST)

[[Category:Einführung_S]]
 
Ich kann leider immer noch nicht diese Zeichen einfügen, deswegen ist meine Lösung ohne Formeln^^ 
Vorraussetzung: Strecke AB mit Mittelpunkt M 
Behauptung: Es gibt keinen weiteren Mittelpunkt N, der nicht zu M identisch ist 
Annahme: Es gibt noch weitere Mittelpunkte N, die nicht zu M identisch sind 
Beweis: (1) Es gibt ein M, das auf AB liegt und zu A den Abstand AM hat, dieser Abstand ist gleich MB, also AB/2 | Vor., Def. Mittelp. 
(2) Es gibt einen weiteren Punkt N ungleich M, der ebenfalls auf AB liegt und von A den Abstand AB/2 hat | Beh., Def. Mittelp. 
Widerspruch zum Axiom vom Lineal (denn es gibt nur genau einen Punkt mit Abstand x zu A) 
--[[Benutzer:Monsta|Monsta]] 13:15, 5. Jun. 2012 (CEST)
 

=== Anmerkungen von Buchner zu Monstas Beweis===
Das sieht schon sehr gut aus! 
Vor, Beh und Ann sind absolut korrekt. 
Schritt eins ist auch in Ordnung- ergänzen Sie noch in der Begründung, dass Sie sich auf den Existenzbeweis beziehen. (Die Definition sagt nämlich noch nicht aus, dass <math>\left| AM \right| = \frac{\left| AB \right|}{2}</math>, aber das wissen wir aus dem Existenzbeweis.) 
In Schritt zwei wirds jetzt unsauber. Nach Annahme ist N eine weiterer, von M verschiedener Mittelpunkt. Nach Definition für Mittelpunkt gilt: <math>N \in \overline{AB}</math> und <math>\left| AN \right| = \left| NB \right| </math>. Dass <math>\left| AN \right| =\frac{\left| AB \right|}{2}</math> ist, müssen Sie noch zeigen (Sie dürfen das also nicht einfach annhemen) . Hier fehlen ein, zwei Zwischenschritte. Ansonsten schon wirklich gut! 
--[[Benutzer:Buchner|Buchner]] 12:11, 6. Jun. 2012 (CEST)

=== Noch ein Versuch: ===

:Def. (Mittelpunkt einer Strecke):
Wenn ein Punkt <math>M</math> einer Strecke <math> \overline {AB} </math> zu den beiden Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, heißt <math>M</math> der Mittelpunkt der Strecke <math> \overline {AB} </math>.

was nun zu zeigen wäre: ''Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.'' 
:Vor.: <math> \overline {AB} </math> mit Mittelpunkt <math>M</math>. 
:Beh.: Es gibt genau einen Punkt <math>M</math> einer Strecke <math> \overline {AB} </math>, der zu den beiden Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math> jeweils ein und denselben Abstand hat. 
:Ann.: Es gibt zwei nichtidentische Punkte <math>M</math> und <math>N</math> einer Strecke <math> \overline {AB} </math>, die zu den beiden Endpunkten <math>A</math> und <math>B</math> jeweils ein und denselben Abstand haben.

{| class="wikitable "
|+ Beweis (durch Widerspruch)
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Schritt
! Begr.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(1)
| <math>\exists M \in \overline{AB} : \ \left| AM \right| = \left| MB \right|</math>
| Beh.; Def. Mittelpunkt
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(2)
| <math>\left| AM \right| = \frac{\left| \overline{AB} \right|}{2}</math>
| [[Existenzbeweis]]
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(3)
| <math>\left| AN \right| = \left| NB \right|</math>
| Ann.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(4)
| <math>\left| AM \right| + \left| MB \right| = \left| \overline{AB} \right|</math>
| (1); (2); Rechnen in R
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(5)
| <math>\left| AM \right| + \left| MB \right| = \left| \overline{AB} \right|</math>
| (2); (3); Rechnen in R
|-IT
! style="background: #FFDDDD;"|(6)
| <math>\left| AN \right| = \frac{\left| \overline{AB} \right|}{2}</math>
| (5); Rechnen in R
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(7)
| Es gibt einen weiteren Punkt <math>N \in \overline{AB} : \ \left| AN \right| = \frac{\left| \overline{AB} \right|}{2}</math>
| (6)
|-
! style="background: yellow;"|
| Widerspruch zu Axiom III.1 (Axiom vom Lineal), nach dem es nur genau einen Punkt gibt, für welchen (7) gilt!
|
|}

--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 13:14, 16. Jun. 2012 (CEST)
 

===Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha:===

zu zeigen: ''Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.'' 
:Vor.: (V1)<math> \overline {AB} </math> (V2)Mittelpunkt <math>M</math> mit <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math> 
:Beh.: Es gibt höchstens einen Mittelpunkt einer Strecke <math> \overline {AB} </math>. 
:Ann.: Es gibt zwei nichtidentische Mittelpunkte (<math>M</math> nicht<math>\equiv</math> <math>N</math>) einer Strecke <math> \overline {AB} </math>.

{| class="wikitable "
|+ Beweis (durch Widerspruch)
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! Schritt
! Begr.
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(1)
| <math>\exists M \in \overline{AB} : \ \left| AM \right| = \left| MB \right|</math>
| Vor.; Def. Mittelpunkt
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(2)
| <math>\left| AM \right| = \frac{\left| \overline{AB} \right|}{2}</math>
| [[Existenzbeweis]]
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(3)
| <math>\exists N \in \overline{AB} : \ \left| AN \right| = \left| NB \right|</math> mit<math>N \neq M</math>
| Def. Mittelpunkt
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(4)
| <math>\operatorname(Zw) (A, N, B)</math>
| (3)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(5)
| <math>\left| AN \right| + \left| NB \right| = \left|AB \right|</math>
| (4); Def. Zw.
|-IT
! style="background: #FFDDDD;"|(6)
| <math>\left| AN \right| + \left| AN \right| = \left|AB \right|</math>
| (3); (5)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(7)
| <math>2\left| AN \right| = \left| AB \right|</math>
| (6); Rechnen in R
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(8)
| <math>2\left| AM \right| = \left| AB \right|</math>
| (2); Rechnen in R
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(9)
| <math>\left| AN \right| = \left| AM \right|</math>
| (7); (8)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(10)
| <math>\left| AN \right| = \frac{\left| \overline{AB} \right|}{2}</math>
| (2); (9)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(11)
| Es gibt einen weiteren Punkt <math>N \in \overline{AB} : \ \left| AN \right| = \frac{\left| \overline{AB} \right|}{2}</math>
| (10)
|-
! style="background: yellow;"|
| Widerspruch zu Axiom III.1 (Axiom vom Lineal), nach dem es nur genau einen Punkt geben darf, für welchen (11) gilt! Daher muss <math>M\equiv N</math> sein, was ein Widerspruch zur Annahme ist. Die Annahme ist dadurch zu verwerfen. Die Behauptung stimmt. qed
|
|} 
--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 15:26, 16. Jun. 2012 (CEST)
==Bemerkungen M.G.==
Die Versuche (Snooth und Nummero6) sind prinzipiell in Ordnung. Sie machen sich das leben jedoch ein wenig zu schwer. Auf den Existenzbeweis muss man eigentlich keinen Bezug nehmen. Man könnte die Eindeutigkeit nämlich auch vor der Existenz zeigen.

Wir nehmen an, dass eine Stecke <math>\overline{AB}</math> die beiden verschiedenen Mittelpunkte <math>M_1</math> und <math>M_2</math> besitzt.

Entsprechend der Definition ''Mittelpunkt einer Strecke'' würde gelten:

(1) <math>|AM_1|+|M_1B|=|AB| \wedge |AM_1|=|M_1B|</math>, 
(2) <math>|AM_2|+|M_2B|=|AB| \wedge |AM_2|=|M_2B|</math>. 

Aus (1) und (2) folgt sofort: <math>|AM_1|=|AM_2|=\frac{|AB|}{2}</math>

Nun gibt es auf <math>AB^+</math> genau einen Punkt <math>M</math> der zu <math>A</math> den Abstand <math>\frac{|AB|}{2}</math> hat.

Damit müssen <math>M_1</math> und <math>M_2</math> identisch sein, was ein Widerspruch zu unserer Annahme ist.

Vom Prinzip her sind Ihre Beweise wie meiner. Ich brauche jedoch die Existenzgeschichte nicht. Es interessiert mich bei diesem Beweis gar nicht, ob irgend ein Mittelpunkt existiert. Ich zeige: Falls es welche geben sollte, dann nicht mehr als einen.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:47, 16. Jun. 2012 (CEST)

Hinweis: Das Tabellenschema hilft häufig, aber nicht immer. Versuchen Sie es mitunter auch anders.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:47, 16. Jun. 2012 (CEST)

==Kommentar Snooth:==
Danke für den Hinweis! So ist es viel überschaubarer. Ich hatte mir den Tipp von "Buchner" zu Herzen genommen, dass der Widerspruch etwas mit dem Axiom vom Lineal zu tun haben sollte. 
Ich bin auf jeden Fall erleichtert, dass es legitim ist, auch einfacher vorzugehen.
--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 20:08, 16. Jun. 2012 (CEST)

Lösung von Aufgabe 6.1 S (SoSe 12)

2012-06-16T11:54:22Z

Snooth: /* Länge */

== Aufgabe 6.1 ==

Definieren Sie: Strecke, Länge einer Strecke, die Halbgerade <math>AB^+</math> und die Halbgerade <math>AB^-</math>. Suchen Sie verschiedene Schreibweisen. (Hilfe finden Sie im Skript "Abstand, Anordnung, Strecke".) 

==Lösung von Monsta==

Strecke: 
Es seien A und B zwei verschiedene Punkte auf einer Geraden g. Alle Punkte die auf dieser Geraden zwischen A und B liegen, zusammen mit den beiden Punkten selbst, bilden die Strecke AB. 
Halbgerade AB+ 
Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Wenn man die Strecke AB und alle Punkte P, die mit AB kollinear sind und von A aus hinter B liegen vereinigt, dann erhält man die Halbgerade AB+. 
Halbgerade AB- 
Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Wenn man die Strecke AB und alle Punkte P, die mit AB kollinear sind und von B aus hinter A liegen vereinigt, dann erhält man die Halbgerade AB-. 
--[[Benutzer:Monsta|Monsta]] 22:41, 4. Jun. 2012 (CEST)

== Anmerkungen von Buchner zu Monstas Definitionen ==
Zur Definition Strecke: Die Definition ist korrekt- allerdings brauchen Sie die Gerade g nicht zu nennen. Die Zwischenrealtion beinhaltet schon, dass alle Punkte kollinear sein müssen. 
Zur Definition <math>\ AB^{+} </math>: Von der Idee absolut richtig. Allerdings ist "hinter B liegen" informell. Versuchen Sie es mal mit der Zwischenrealtion auszudrücken! 
Zur Definition <math>\ AB^{-} </math>: Achtung: Strecke <math>\overline{AB} </math> gehört nicht dazu! 
--[[Benutzer:Buchner|Buchner]] 12:20, 6. Jun. 2012 (CEST)
==Lösung von Mahe84==
Def. Strecke:

Eine Strecke AB (mit "überstrich") wird die Vereinigungsmenge der offene Strecke (AB) mit den Punkten A und B bezeichnet.
oder AB (mit "übertrich") : = (AB) u {A,B}

Länge einer Strecke:

Der Abstand I AB I der Strecke AB (mit "überstrich") wird als Länge der Strecke AB bezeichnet.

Halbgerade AB+:

Existiert für die Strecke AB (mit "überstrich") ein Punkt, für den entweder Zw (ABP), Zw (APB) oder identisch mit B gilt, wird die Strecke Halbgerade AB+ genannt.

Halbgerade AB-:

Existiert für die Strecke AB (mit "überstrich") ein Punkt, für den Zw (PAB) gilt, wird die Strecke Halbgerade AB- genannt. --[[Benutzer:Mahe84|Mahe84]] 16:07, 7. Jun. 2012 (CEST)

==Bemerkungen von M.G. zu den Definitionen von Mahe84==
===Vorbemerkung===
Sie sind auf dem richtigen Weg. Nur wenn man es probiert, die Begriffe aus eigener Kraft zu verbalisieren wird sich Erfolg einstellen. Kleine Unvollkommenheiten sind dabei notwendig, um Vollkommenheit zu erreichen. (s. hierzu meine Bemerkungen von heute in der Datei [[Selbstverteidigung und mentales Training]] (Veranstaltung vom 4. Juni)

Lassen Sie sich bitte nicht entmutigen und versuchen Sie die kleinen "Unvollkommenheiten" auszuräumen. Ich weiß, es bedarf einer hohen Frusttoleranz, aber eine solche müssen Sie ja später auch bei Ihren Schülern entwickeln.
===Definition ''Strecke''===
Prinzipiell ist Ihre Definition richtig. Vom Ausdruck her lässt sie zu wünschen übrig.Ich lass mal einiges weg, um die sprachlichen Ungereimtheiten zu verdeutlichen: Eine Strecke wird die Vereinigungsmenge bezeichnet. Da stimmt was nicht. Ich nehme an, reine Flüchtigkeit. Man liest sich das Ganze zwar abschließend durch, liest jedoch nicht wirklich sondern das was man lesen möchte. Mit einigem zeitlichen Abstand fragt man sich verständnislos, was man da geschrieben hat.

Die Sache mit der Vereingungsmenge geht dann jedoch auch aus der Sicht der mathematischen Syntax schief: Sie wollen die offene Strecke <math>\overline{AB}</math> mit den Punkten <math>A</math> und <math>B</math> vereinigen. Eine offene Strecke ist eine Punktmenge. Dies können Sie nur mit einer Menge von Punkten vereinigen. Dementsprechend müssen die beiden Punkte als Menge von Punkten betrachtet werden. 
Kleine Hilfe: Ich bereite die Definition in Ihrem Sinne schon mal mit Tex-Tags vor:

'''Strecke''': ...Strecke <math>\overline{AB}</math> wird die Vereinigungsmenge der offenen Strecke <math>\overline{AB}</math> mit der Menge, die aus den Punkten <math>A</math> und <math>B</math> besteht, bezeichnet.

===Definition ''Länge einer Strecke''===
Die Länge einer Strecke ist der Abstand, den ihre Endpunkte zueinander haben. Das haben Sie richtig erkannt. Die Ungereimtheit liegt wieder im Ausdruck aus Sicht der deutschen Sprache:

Wenn Sie schreiben: Der Abstand <math>|AB|</math> dann ist der Abstand der beiden Punkte zueinander gemeint. Damit ist der Abstand der beiden Punkte den beiden Punkten zuzuordnen. Sie schreiben jedoch: Der Abstand <math>|AB|</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> ... . Das passt so nicht. Ich verdeutliche das noch mal auf andere Art und Weise. Der Abstand zweier Punkte ist eine Zahl, die wir hier mal mit <math>d</math> bezeichnen wollen. Unter Verwendung dieser Zahl <math>d</math> würde Ihre Definition wie folgt beginnen:

Es sei <math>d</math> der Abstand der beiden Punkte <math>A</math> und <math>B</math>. Die Zahl <math>d</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> ...

Ich bereite die korrekte Schreibweise für Sie wieder vor:

'''Länge einer Strecke''': Der Abstand <math>|AB|</math> der ... der Strecke <math>\overline{AB}</math> wird Länge von <math>\overline{AB}</math> genannt.

===Definition Halbgerade <math>AB^+</math> und <math>AB^-</math>===

Hier geht es richtig daneben. Zur Verdeutlichung das es so nicht geht, hier quasi die Quintessenz Ihrer Definitionen:

Definition Halbgerade:

::Gilt für eine Strecke eine gewisse Existenzaussage, dann ist die Strecke eine Halbgerade.

Ergo: Jede Halbgerade ist eine Strecke.

Damit werden die Mathematiker nicht einverstanden sein.

Hilfe: Eine Halbgerade ist eine Menge von Punkten.

'''Halbgerade <math>AB^+</math>:''' Unter der Halbgeraden <math>AB^+</math> versteht man die Menge der Punkte der Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit ... .
===Korrekturen von Mahe84===
Okay, vielen, vielen Dank für Ihre ausführliche Erläuterung, ich hoffe ich habe es jetzt verstanden!

Def. Strecke, ist klar, mit ein "wenig zeitlichem Abstand" ist es auch mir aufgefallen ...

Def. Länge einer Strecke:

Der Abstand <math>|AB|</math> der beiden Punkte A und B der Strecke <math>\overline{AB}</math> wird Länge von <math>\overline{AB}</math> genannt.

Def. Halbgerade:

Unter der Halbgeraden <math>AB^+</math> versteht man die Menge der Punkte der Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller Punkte P für die gilt: Zw(A,B,P).

Unter der Halbgeraden <math>AB^-</math> versteht man die Menge der Punkte der Stercke <math>\overline {AB}</math> vereinigt mit der Menge aller Punkte P für die gilt: ZW (P,A,B).
===Bemerkungen M.G. zu den Korrekturen===
====Länge====
So passt es. Aus rein ''didaktischer'' Sicht könnte man noch erwähnen, dass <math>A</math> und <math>B</math> die Endpunkte der Strecke sind: 
Der Abstand <math>|AB|</math> der Endpunkte <math>A</math> und <math>B</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> wird Länge von <math>\overline{AB}</math> genannt. 
Oder: 
Der Abstand der Endpunkte einer Strecke wird Länge dieser Strecke genannt. 
Formal: 
Länge einer Strecke <math>\overline{AB}</math> in formaler Schreibweise:<math>\left|\overline{AB}\right|</math>. 
Definition: <math>\left|\overline{AB}\right|:=\left|AB\right|</math>

Ich hätte gerne gewusst, ob man den Begriff "Endpunkt" an dieser Stelle undefiniert verwenden darf?
--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 13:54, 16. Jun. 2012 (CEST)

====Halbgerade AB+====
passt
====Halbgerade AB-====
<math>AB^+</math> und <math>AB^-</math> haben genau einen Punkt gemeinsam, nämlich den Anfangspunkt <math>A</math>. Die Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört nur zu <math>AB^+</math>.

Versuchen Sie es noch mal:
Defintion: (Halbgerade bzw. Strahl <math>AB^-</math>) 
:::<math>AB^-:=\left{ P|...\right} \cup \left{ ...\right}</math>.
 '''Versuch Def. (geschlossene Halbgerade bzw. Strahl <math>AB^-</math>) Nummero6/Tchu Tcha Tcha:''' 
:::<math>AB^-:=\left{ P|\operatorname(Zw) (P, A, B)} \cup \left{A\right}</math>. 
Unter der Halbgeraden <math>AB^-</math> versteht man die Punktmenge A vereinigt mit der Menge aller Punkte P für die gilt: ZW (P,A,B). 
--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 13:50, 9. Jun. 2012 (CEST)

====sonstige Bemerkungen====
Schön, dass Sie dran geblieben sind. Versuchen Sie weiter zu analysieren, wo Ihre persönlichen Fehlerquellen liegen. Ich wette, die Sache mit der Halbgeraden <math>AB^-</math> ist Ihnen absolut klar. Ihre letzte Definition war ein "Schnellschuss", bei dem Sie kurzerhand, ohne das Ganze noch einmal genau zu hinterfragen, das Schema von Halbgerade <math>AB^+</math> verwendet haben. Was lernen wir: Immer wieder die eigenen Überlegungen hinterfragen. Das ist es dann auch, was Sie später Ihren Schülern mit auf den Weg geben werden.
====zur weiteren Übung====
Richtig verstanden haben Sie die Dinge erst, wenn Sie jetzt die Definitionen bzw. Sachverhalte noch einmal anders formulieren können.

Versuchen Sie es:

Definition S: (Punkt einer Strecke <math>\overline{AB}</math>) 
::Es seien <math>A</math> und <math>B</math> zwei verschiedene Punkte. Ein Punkt <math>P</math> ist ein Punkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>, wenn ... .

Definition oHG+: (offene Halbgerade <math>AB^+</math>) 
::Es seien <math>A</math> und <math>B</math> zwei verschiedene Punkte. Unter der offenen Halbgeraden <math>AB^+</math> versteht man die Menge aller Punkte <math>P</math> von ..., für die nicht gilt: ... .

Definition HG-: (Halbgerade <math>AB^-</math>) 
::Es seien <math>A</math> und <math>B</math> zwei verschiedene Punkte. Unter der Halbgeraden <math>AB^-</math> versteht man die Menge der Punkte der Geraden <math>AB</math>, die nicht ... .

Hinweis zur Definition HG-: Auf oHG+ darf zurückgegriffen werden. 
 
'''
== Lösung von Nummero6/Tchu Tcha Tcha: ==
'''
Definition S: (Punkt einer Strecke <math>\overline{AB}</math>) 
::Es seien <math>A</math> und <math>B</math> zwei verschiedene Punkte. Ein Punkt <math>P</math> ist ein Punkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>, wenn <math>P</math>=<math>A</math>oder<math>P</math>=<math>B</math>oder<math>\operatorname(Zw) (A, P, B)</math> .

Definition oHG+: (offene Halbgerade <math>AB^+</math>) 
::Es seien <math>A</math> und <math>B</math> zwei verschiedene Punkte. Unter der offenen Halbgeraden <math>AB^+</math> versteht man die Menge aller Punkte <math>P</math> von der Geraden <math>AB</math>, für die nicht gilt: <math>\operatorname(Zw) (P, A, B) \cup A </math> .

Definition HG-: (Halbgerade <math>AB^-</math>) 
::Es seien <math>A</math> und <math>B</math> zwei verschiedene Punkte. Unter der Halbgeraden <math>AB^-</math> versteht man die Menge der Punkte der Geraden <math>AB</math>, die nicht zur Menge der offenen Halbgeraden <math>AB^+</math>gehören. 
--[[Benutzer:Nummero6|Tchu Tcha Tcha]] 14:10, 9. Jun. 2012 (CEST)

====noch ein paar Bemerkungen====
Begriffe versteht man erst, wenn man sie aus "verschiedenen Blickwinkeln" betrachtet. Das ist das Wichtigste, was Sie hier für Ihre spätere Tätigkeit als Lehrer mitnehmen sollen. 
--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 06:14, 9. Jun. 2012 (CEST)

[[Category:Einführung_S]]

Lösung von Aufgabe 6.3 S (SoSe 12)

2012-06-16T11:49:44Z

Snooth: /* Anmerkungen von Buchner zu Monstas Beweis */

Lösung von Aufgabe 6.3 S (SoSe 12)

2012-06-16T11:48:21Z