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Lösung von Aufg. 13.1

2011-01-26T08:28:19Z

Sommer80:

Beweisen Sie den Innenwinkelsatz für Dreiecke.

Könnte es so gehen?

Vor.: ABC; α=<CAB, β=<CBA, γ=<ACB

Beh.: IαI+IβI+IγI=180

1) IαI+IάI=180_________Definition Nebenwinkel, Supplementaxiom

2) IβI+IγI=ά___________starker Außenwinkelsatz (oder darf ich den noch gar nicht nehmen???)

3) IαI+IβI+IγI=180_____1),2), Rechnen in R

4) Behauptung stimmt___3)

Idee 2
VSS : Dreick ABC mit α,β,γ y als Innenwinkel 
Beh: IαI+IβI+IγI=180 

1. Konstruiere eine Parallele zu AB durch C (Satz über die Existenz von Parallelen und Euklidisches Parallelenaxiom) 

2. IαI = Iα´I (Wechselwinkelsatz) 
3. IβI = Iβ´I (Wechselwinkelsatz) 
4. IβI + IγI = I<math>\delta </math>I (Winkeladditionsaxiom) 
5. I<math>\delta </math>I + IαI = 180 ( Definition Nebenwinkel, Supplementaxiom) 
6. IαI+IβI+IγI=180 (2,3,5, rechnen in R) --[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 08:28, 26. Jan. 2011 (UTC)

Existenz von Parallelen und das Euklidische Parallelenaxiom (WS10/11)

2011-01-25T08:47:10Z

Sommer80: /* Satz XII.3 */

===== Satz XI. 1: (Existenz von Parallelen) =====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parallel zu <math>\ g</math> ist.
===== Beweis der Existenz von Parallelen =====

Übungsaufgabe
 
== Geschichte des Parallelenaxioms ==
=== Vater und Sohn Bolyai===
''Du darfst die Parallelen nicht auf jenem Wege versuchen; ich kenne
diesen Weg bis an sein Ende — auch ich habe diese bodenlose Nacht
durchmessen, jedes Licht, jede Freude meines Lebens sind in ihr ausgelöscht worden — ich beschwöre Dich bei Gott — laß die Lehre von
den Parallelen in Frieden. . . sie kann Dich um all Deine Ruhe, Deine
Gesundheit und um Dein ganzes Lebensglück bringen. . . .Wenn
ich die Parallelen hätte entdecken können, so wäre ich ein Engel geworden.
. . . Es ist unbegreiflich, daß diese unabwendbare Dunkelheit,
diese ewige Sonnenfinsternis, dieser Makel der Geometrie zugelassen
wurde, diese ewige Wolke an der jungfräulichen Wahrheit. 
Farkas Bolyai (in einem Brief an seinen Sohn Janos Bolyai, 1820)''
([http://www.mathematik.hu-berlin.de/~filler/publikat/filler_eukl-ne-geom.pdf], S. 162)

http://de.wikipedia.org/wiki/Farkas_Bolyai 
http://de.wikipedia.org/wiki/Janos_Bolyai

=== Carl Friedrich Gauß ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F
=== Николай Иванович Лобачевский ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Lobatschewski
== Das Euklidische Parallelenaxiom ==
===== EP =====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.
== Sätze über Winkel an geschnittenen Parallelen ==
=== Der Stufenwinkelsatz ===
===== Satz XII.1: (Stufenwinkelsatz) =====
Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 08:45, 25. Jan. 2011 (UTC)

Beweis: 
Übungsaufgabe

=== Der Wechselwinkelsatz ===
===== Satz XII.2: (Wechselwinkelsatz) =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 08:46, 25. Jan. 2011 (UTC)

=== Der Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen ===
===== Satz XII.3 =====
Entgegengesetzte Winkel an geschnittenen Parallelen sind supplementär.--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 08:47, 25. Jan. 2011 (UTC)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Existenz von Parallelen und das Euklidische Parallelenaxiom (WS10/11)

2011-01-25T08:46:14Z

Sommer80: /* Satz XII.2: (Wechselwinkelsatz) */

===== Satz XI. 1: (Existenz von Parallelen) =====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parallel zu <math>\ g</math> ist.
===== Beweis der Existenz von Parallelen =====

Übungsaufgabe
 
== Geschichte des Parallelenaxioms ==
=== Vater und Sohn Bolyai===
''Du darfst die Parallelen nicht auf jenem Wege versuchen; ich kenne
diesen Weg bis an sein Ende — auch ich habe diese bodenlose Nacht
durchmessen, jedes Licht, jede Freude meines Lebens sind in ihr ausgelöscht worden — ich beschwöre Dich bei Gott — laß die Lehre von
den Parallelen in Frieden. . . sie kann Dich um all Deine Ruhe, Deine
Gesundheit und um Dein ganzes Lebensglück bringen. . . .Wenn
ich die Parallelen hätte entdecken können, so wäre ich ein Engel geworden.
. . . Es ist unbegreiflich, daß diese unabwendbare Dunkelheit,
diese ewige Sonnenfinsternis, dieser Makel der Geometrie zugelassen
wurde, diese ewige Wolke an der jungfräulichen Wahrheit. 
Farkas Bolyai (in einem Brief an seinen Sohn Janos Bolyai, 1820)''
([http://www.mathematik.hu-berlin.de/~filler/publikat/filler_eukl-ne-geom.pdf], S. 162)

http://de.wikipedia.org/wiki/Farkas_Bolyai 
http://de.wikipedia.org/wiki/Janos_Bolyai

=== Carl Friedrich Gauß ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F
=== Николай Иванович Лобачевский ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Lobatschewski
== Das Euklidische Parallelenaxiom ==
===== EP =====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.
== Sätze über Winkel an geschnittenen Parallelen ==
=== Der Stufenwinkelsatz ===
===== Satz XII.1: (Stufenwinkelsatz) =====
Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 08:45, 25. Jan. 2011 (UTC)

Beweis: 
Übungsaufgabe

=== Der Wechselwinkelsatz ===
===== Satz XII.2: (Wechselwinkelsatz) =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 08:46, 25. Jan. 2011 (UTC)

=== Der Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen ===
===== Satz XII.3 =====
wie kann dieser Satz wohl lauten?

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Existenz von Parallelen und das Euklidische Parallelenaxiom (WS10/11)

2011-01-25T08:45:35Z

Sommer80: /* Satz XII.1: (Stufenwinkelsatz) */

===== Satz XI. 1: (Existenz von Parallelen) =====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parallel zu <math>\ g</math> ist.
===== Beweis der Existenz von Parallelen =====

Übungsaufgabe
 
== Geschichte des Parallelenaxioms ==
=== Vater und Sohn Bolyai===
''Du darfst die Parallelen nicht auf jenem Wege versuchen; ich kenne
diesen Weg bis an sein Ende — auch ich habe diese bodenlose Nacht
durchmessen, jedes Licht, jede Freude meines Lebens sind in ihr ausgelöscht worden — ich beschwöre Dich bei Gott — laß die Lehre von
den Parallelen in Frieden. . . sie kann Dich um all Deine Ruhe, Deine
Gesundheit und um Dein ganzes Lebensglück bringen. . . .Wenn
ich die Parallelen hätte entdecken können, so wäre ich ein Engel geworden.
. . . Es ist unbegreiflich, daß diese unabwendbare Dunkelheit,
diese ewige Sonnenfinsternis, dieser Makel der Geometrie zugelassen
wurde, diese ewige Wolke an der jungfräulichen Wahrheit. 
Farkas Bolyai (in einem Brief an seinen Sohn Janos Bolyai, 1820)''
([http://www.mathematik.hu-berlin.de/~filler/publikat/filler_eukl-ne-geom.pdf], S. 162)

http://de.wikipedia.org/wiki/Farkas_Bolyai 
http://de.wikipedia.org/wiki/Janos_Bolyai

=== Carl Friedrich Gauß ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F
=== Николай Иванович Лобачевский ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Lobatschewski
== Das Euklidische Parallelenaxiom ==
===== EP =====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.
== Sätze über Winkel an geschnittenen Parallelen ==
=== Der Stufenwinkelsatz ===
===== Satz XII.1: (Stufenwinkelsatz) =====
Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 08:45, 25. Jan. 2011 (UTC)

Beweis: 
Übungsaufgabe

=== Der Wechselwinkelsatz ===
===== Satz XII.2: (Wechselwinkelsatz) =====
auch hier sind Sie gefragt:

=== Der Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen ===
===== Satz XII.3 =====
wie kann dieser Satz wohl lauten?

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 12.1

2011-01-19T16:05:38Z

Sommer80:

Beweisen Sie: 
Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz 
::In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel.

[[Category:Einführung_Geometrie]]
Voraussetzung: Dreieck ABC, <math>\alpha </math>, <math>\beta </math>, <math>\gamma </math>. 
Behauptung: mindestens zwei Innenwinkel sind spitz 
Annahme: zwei Innenwinkel sind nicht spitz o.B.d.A <math>\alpha </math> und <math>\beta </math>. 

Beweisschritt ''(Begründung)'' 
1. <math>\alpha </math> >90 und <math>\beta </math> >90 ''(Annahme)'' 
2. <math>\delta </math> ist Außenwinkel ''(Definition Außenwinkel)'' 
3. <math>\delta </math> + <math>\beta </math> =180 ''(Supplementaxiom)'' 
4. <math>\delta </math> <90 ''(1,3 rechnen in R)'' 
5. <math>\delta </math> < <math>\alpha </math>. ''(1,4)'' 

Widerspruch zum schwachen Außenwinkelsatz, Annahme ist zu verwerfen Behauptung stimmt --[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 16:05, 19. Jan. 2011 (UTC)

Lösung von Aufg. 8.5

2010-11-30T14:25:39Z

Sommer80:

Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.
VSS: zwei konvexe Punktmengen o.B.d.A M1 und M2 
Beh: Durchschnitt ist konvex 

Beweisschritt Begründung 
1. A Element M1 geschnitten M2 und B Element Axiom vom Lineal 
M1 geschnitten M2 
2. A,B sind Element von M1 und A,B Element M2 1 
3. Strecke AB ist Element von M1 VSS, 1, Definition konvex 
4. Strecke AB ist Element von M2 VSS, 1, Definition konvex 
5. Strecke AB ist Teilmenge von M1 und M2, 
daraus folgt M1 geschnitten M2 ist konvex 4
--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 14:25, 30. Nov. 2010 (UTC)

Lösung von Aufg. 7.7

2010-11-26T09:27:56Z

Sommer80:

Definieren Sie, was man unter einem Kreis <math>\ k</math> mit dem Mittelpunkt <math>\ M</math> versteht. (Bezüglich der Definition wollen wir davon ausgehen, dass wir Geometrie im Raum betreiben.)<br /

M sei ein Punkt in einer Ebene E. Ein Kreis k ist die Menge aller Punkte der Ebene E, die von M den gleichen Abstand haben. M heißt Mittelpunkt des Kreises k.--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:27, 26. Nov. 2010 (UTC)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 7.2

2010-11-25T10:51:58Z

Sommer80:

Das Axiom I.7 sagt aus:

Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine beliebige Ebene und <math>\ A, B, C, D</math> die vier Punkte entsprechend Axiom I.7. Klassifizieren Sie alle Fälle die bezüglich der Inzidenz der Punkte <math>\ A, B, C, D</math> mit <math>\ \Epsilon</math> auftreten können. 

drei Punkte können in der Ebene E liegen (o.B.d.A A,B,C) 
zwei Punkte können in der Ebene E liegen (o.B.d.A A,B) 
ein Punkt kann in der Ebene E liegen (o.B.d.A A) 
kein Punkt kann in der Ebene E liegen 
--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 10:51, 25. Nov. 2010 (UTC)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 5.5

2010-11-19T09:45:30Z

Sommer80:

Gegeben sei eine Gerade ''g'' und ein Punkt ''P'' auf ''g''. Durch diesen Punkt ''P'' wird die Gerade ''g'' in zwei Halbgeraden geteilt. 
a) Warum ist diese Einteilung von ''g'' in die zwei Halbgeraden bezüglich ''P'' keine Klasseneinteilung auf der Menge der Punkte von ''g''? 
b) Geben Sie zwei Klasseneinteilungen auf der Menge der Punkte von ''g'' an, die den Punkt ''P'' und die auf ''g'' durch ''P'' bestimmten Halbgeraden in modifizierter Form verwenden. 
a) Das kann keine Klasseneinteilung sein, denn der Punkt P gehört zu beiden Halbgeraden.
--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 20:12, 10. Nov. 2010 (UTC) 

b)1. Klasseneinteilung: Offene Halberade PQ- (ohne den Punkt P), geschlossene Halbgerade PQ+ (mit dem Punkt P) 
2. Klasseneinteilung: K1: offene Halbgerade PQ- ohne den Punkt P, K2: offene Halbgerade ohne den Punkt P, K3: der Punkt P.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 00:22, 11. Nov. 2010 (UTC) 

Du sprichst von PQ- und PQ+ woher kommt Q?--[[Benutzer:-mystery-|-mystery-]] 21:06, 18. Nov. 2010 (UTC)

also @mystery: PQ+ und PQ- sind die beiden möglichen Halbgeraden. Q ist ein weiterer Punkt auf der Geraden. Nach den Axiomen wissen wir ja, dass jede Gerade mindestens zwei Punkte enthält. Also kannst du den zweiten Punkt Q nennen.--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:45, 19. Nov. 2010 (UTC)

Lösung von Aufg. 6.4

2010-11-17T13:46:38Z

Sommer80:

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“
# Beweisen Sie Satz I indirekt.
# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
# Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

1. Wenn A,B, C paarweise verschieden sind, dann sind die Punkte kollinear. 
--> es müsste aber doch heißen: dann sind die Punkte NICHT kollinear. ALso so steht es doch auch in Satz 1 --[[Benutzer:DeFloGe|DeFloGe]] 12:39, 17. Nov. 2010 (UTC)
Stimmt. Habe ich was übersehen. Man soll halt nicht mehrere Sachen gleichzeitig machen--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 13:46, 17. Nov. 2010 (UTC)

2. Voraussetzung: A,B,C sind nicht kollinear 
Behauptung: A,B,C sind paarweise verschieden 
Annahme: A,B,C sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A A=B 

Beweisschritt Begründung 
1. A=B Annahme 
2. Durch A und C geht genau eine Gerade Axiom I/1 
3. A,B,C sind kollinear 1.), 2.) 

Widerspruch zur Voraussetzung, damit ist die Annahme zu verwerfen und die Behauptung stimmt 

3. Sind die Punkte A,B,C nicht paarweise verschieden, dann sind sie kollinear. 

4. Voraussetzung: A,B,C sind nicht paarweise verschieden 
Behauptung : A,B,C sind kollinear 

Wenn A=B gilt, dann folgt nach Axiom I/1 dass es genau eine Gerade gibt, die durch die Punkte A und C verläuft. Damit liegen 
A,B,C auf einer Geraden. Die Punkte sind kollinear.

5. Sind die Punkte A,B,C paarweise verschieden, dann sind sie nicht kollinear 

6. Nein die Umkehrung gilt nicht für den Fall, dass A Element von g, B Element von g, C Element von g mit A ungleich B ungleich C --[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 08:49, 17. Nov. 2010 (UTC)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 6.2

2010-11-17T13:44:35Z

Sommer80:

--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 13:44, 17. Nov. 2010 (UTC)Oberstudienrat Kramer beginnt die Stunde zur analytischen Geometrie mit der Frage, ob denn jemand wüsste, wie eine Gerade im <math>\mathbb{R}^2</math> definiert wäre. Vergleichen Sie mit Aufgabe 1. 

Analog zu Aufgabe 1. 
Man kann Geraden auch nicht in einer Ebene definieren, da Ebene und Geraden undefinierte Grundbergriffe sind. 
Die Grundbegriffe kann man mit Inhalt aufgrund der Axiome füllen. --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 13:08, 17. Nov. 2010 (UTC)

Ich war mir hier nicht sicher, aber ich glaube das hat was mit den vektoren zu tun und deswegen sind Geraden irgendwie definierbar in R2. Weiß aber nicht genau wie

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 6.6

2010-11-17T09:18:31Z

Sommer80:

Satz II: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden.

Formulieren Sie Teilaufgaben, die zu den Teilaufgaben a) bis f) von Aufgabe 4 analog sind und lösen Sie dann diese Teilaufgaben.

1. Wenn A, B, C und D nicht kommplanar sind, dann sind die Punkte paarweise verschieden 

2. 
Voraussetzung: A,B,C,D sind nicht kommplanar 
Behauptung: A,B,C,D sind paarweise verschieden 
Annahme: A,B,C,D sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A C=D 

Beweisschritt Begründung 
1. Es existierte genau eine Gerade g Axiom I/1 
die die Punkte A und B enthält 
2. Es existiert ein Punkt C außerhalb von g Axiom I/3 
3. A,B C sind nicht kollinear 1), 2) 
4. Es existiert eine Ebene E die A,B C enthält Axiom I/4 
5. C = D Annahme 
6. D ist Element der Ebene E 5) 
7. A,B,C,D sind komplanar 4), 6) 
Widerspruch zur Voraussetzung- Die Annahme ist zu verwerfen und die Behauptung stimmt.

3. Sind die Punkte A,B,C,D nicht paarweise verschieden, dann sind sie komplanar 

4. 
Voraussetzung: A,B,C,D sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A C=D 
Behauptung: A,B,C,D sind komplanar

Wenn A,B,C drei nicht kollineare Punkte sind, dann existiert nach Axiom I/4 genau eine Ebene E die die drei Punkte A,B,C enthält. Da C= D nach Vorausetzung gegeben ist, sind A,B,C,D in einer Ebene und somit komplanar 

5. Wenn A,B,C,D paarweise verschieden sind, dann sind die vier Punkte nicht komplanar 
--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:18, 17. Nov. 2010 (UTC)

Lösung von Aufg. 6.5

2010-11-17T08:52:22Z

Sommer80:

Axiom I/1 sagte aus, dass es zu je zwei verschiedenen Punkten genau eine Gerade gibt, zu der die beiden Punkte gehören. Für die räumliche Geometrie gibt es ein analoges Axiom. Wir wollen es mit Axiom I/4 bezeichnen. Formulieren Sie dieses Axiom I/4.

Axiom I/4 
Zu je drei nicht kollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 08:52, 17. Nov. 2010 (UTC)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 6.4

2010-11-17T08:49:55Z

Sommer80:

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

# Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn <math>A</math>,<math>B</math> und <math>C</math> … , dann … .“
# Beweisen Sie Satz I indirekt.
# Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
# Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
# Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
# Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

1. Wenn A,B, C paarweise verschieden sind, dann sind die Punkte kollinear. 

2. Voraussetzung: A,B,C sind nicht kollinear 
Behauptung: A,B,C sind paarweise verschieden 
Annahme: A,B,C sind nicht paarweise verschieden o.B.d.A A=B 

Beweisschritt Begründung 
1. A=B Annahme 
2. Durch A und C geht genau eine Gerade Axiom I/1 
3. A,B,C sind kollinear 1.), 2.) 

Widerspruch zur Voraussetzung, damit ist die Annahme zu verwerfen und die Behauptung stimmt 

3. Sind die Punkte A,B,C nicht paarweise verschieden, dann sind sie kollinear. 

4. Voraussetzung: A,B,C sind nicht paarweise verschieden 
Behauptung : A,B,C sind kollinear 

Wenn A=B gilt, dann folgt nach Axiom I/1 dass es genau eine Gerade gibt, die durch die Punkte A und C verläuft. Damit liegen 
A,B,C auf einer Geraden. Die Punkte sind kollinear.

5. Sind die Punkte A,B,C paarweise verschieden, dann sind sie nicht kollinear 

6. Nein die Umkehrung gilt nicht für den Fall, dass A Element von g, B Element von g, C Element von g mit A ungleich B ungleich C --[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 08:49, 17. Nov. 2010 (UTC)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 6.1

2010-11-17T08:24:53Z

Sommer80:

Frau Schultze-Kröttendörfer beginnt die letzte Geometriestunde in ihrer 4. Klasse mit der folgenden Frage: „In der letzten Woche haben wir ganz viele Geraden gezeichnet. Wer weiß denn noch was eine Gerade ist?“

Warum ist diese Frage nicht nur aus didaktischer Sicht sinnlos?

Geraden sind nicht definiert sondern sind über die Axiome festgelegt.--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 08:24, 17. Nov. 2010 (UTC)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 5.3

2010-11-10T20:26:27Z

Sommer80:

Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, ob es sich um reflexive, symmetrische sowie transitive Relationen handelt? 
*Parallelität von Geraden der Ebene
*Kongruenz geometrischer Figuren
*Teilbarkeit in <math>\mathbb{N}</math>
*Kleinerrelation in <math>\mathbb{R}</math>
*Größer-Gleich-Relation in <math>\mathbb{R}</math>
*Ungleichheit in <math>\mathbb{R}</math>

Parallelität von Geraden in der Ebene ist reflexiv, symmetrisch und transitiv 
Kongruenz geometrischer Figuren ist reflexiv,symmetrisch und transitiv 
Teilbarkeit in N ist reflexiv aber nicht symmetrisch. Bei der Transitivität bin ich unsicher. Ich denke aber auch die ist gegeben? 
Kleinerrelation in R ist nicht reflexiv, nicht symmetrisch aber transitiv 
größer- gleich relation ist reflexiv, nicht symmetrisch und transitiv 
--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 20:25, 10. Nov. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 5.3

2010-11-10T20:25:51Z

Sommer80:

Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, ob es sich um reflexive, symmetrische sowie transitive Relationen handelt? 
*Parallelität von Geraden der Ebene
*Kongruenz geometrischer Figuren
*Teilbarkeit in <math>\mathbb{N}</math>
*Kleinerrelation in <math>\mathbb{R}</math>
*Größer-Gleich-Relation in <math>\mathbb{R}</math>
*Ungleichheit in <math>\mathbb{R}</math>

Parallelität von Geraden in der Ebene ist reflexiv, symmetrisch und transitiv
Kongruenz geometrischer Figuren ist reflexiv,symmetrisch und transitiv
Teilbarkeit in N ist reflexiv aber nicht symmetrisch. Bei der Transitivität bin ich unsicher. Ich denke aber auch die ist gegeben?
Kleinerrelation in R ist nicht reflexiv, nicht symmetrisch aber transitiv
größer- gleich relation ist reflexiv, nicht symmetrisch und transitiv
--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 20:25, 10. Nov. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 5.5

2010-11-10T20:12:14Z

Sommer80:

Lösung von Aufgabe 4.4

2010-11-09T10:42:25Z

Sommer80:

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt: 
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist. 
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe: 
Es seien ''a'', ''b'' und ''c'' drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene. 
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: <math>\ a \| b \land a \| c \Rightarrow \ a \| c</math> . 
b) Welche Eigenschaft der Relation <math>\| </math> auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt? 
VSS: a//b und b//c 
Beh: a//c 
Annahme: a ist nicht parallel zu c 

1. a geschnitten mit c hat den Schnittpunkt S_____nach Annhamne 
2. a ist parallel zu b mit S e a und c ist parallel zu b mit S e c____1. 
3. zu b existieren zwei verschiedene Parallelen a und c durch S___1. und 2. 
4. Widerspruch zum Parallenaxiom 
Annahme ist zu verwerfen 
daraus folgt a//c 
b) Transitivität --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:42, 4. Nov. 2010 (UTC)

Was bedeutet das "S e c" und "S e a"? 
--> ich denke man meint mit S den Schnittpunkt und mit e Element, also S ist Element von a. --[[Benutzer:Kinder Riegel|Kinder Riegel]] 02:51, 9. Nov. 2010 (UTC) 

Und woher das "b//c" in der Aufgabenstellung gibt es das nicht

das b//c gehört in die Aufgabenstellung. da hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen. warum sollte in Implikation und Behauptung das selbe stehen.--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 10:42, 9. Nov. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 4.1

2010-11-07T19:49:04Z

Sommer80:

Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. 
a) Wie lautet die Umkehrung des Basiswinkelsatzes? 
b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen (Kriterium).
 

a) Sind in einem Dreieck genau zwei Winkel kongruent zueinander, so handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck. --DeFloGe

b) Ein Dreieck ist genau dann gleichschenklig, wenn genau zwei Winkel des Dreiecks kongruent zueinander sind. --DeFloGe

Ich finde das klingt schon ganz gut @DeFloGe aber ich glaube beim Kriterium reicht ein genau dann: <br /Ich würde das Kriterium folgendermaßen formulieren: Ein Dreieck ist genau dann gleichschenklig, wenn es zwei kongruente Innenwinkel hat.--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 19:49, 7. Nov. 2010 (UTC)

Übung Aufgaben 2

2010-10-26T08:57:25Z

Sommer80: /* Aufgabe 2.4 */

=Aufgaben zu Definitionen=
==Aufgabe 2.1==
Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde. 
Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an.

Lösungsvorschlag 
Wenn eine Gerade g senkrecht auf der Strecke s steht und durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft, dann ist g Mittelsenkrechte der Strecke s.

Wenn alle Punkte einer Punktmenge m zu den Endpunkten der Strecke den gleichen Abstand haben, dann ist die Punktmenge die Mittelsenkrechte der Strecke. Bin aber nicht sicher, ob das sauber definiert ist?--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 09:38, 24. Okt. 2010 (UTC) 

 Du hast eine Strecke AB

A ------------------------- B
:
:
: jeder dieser Punkte hat für sich, wenn ich das jetzt richtig eingezeichnet habe, den selben Abstand zu Punkt A und zu Punkt B

Wenn die Menge aller Punkte zu den Endpunkten der Strecke AB den gleichen Abstand haben, dann bilden sie die Mittelsenkrechte. <-- das wäre mein Vorschlag.

@sommer80: Müsstest du nicht voraussetzen, dass der Begriff "senkrecht" bereits bekannt ist? 

Die Definition von Sommer80 ist richtig. Die Mittelsenkrechte einer Strecke AB wird über den Abstand alles Punkte definiert die ein und denselben Abstand zu den A und B haben. So werden alle anderen Punkte ausgeschlossen und man erhält die Mittelsenkrechtengerade. Den Der Mittepunkt wird ja auch über den Abstand definiert. AM = MB 25.10.2010
 

=Aufgabe 2.2=

# Zur praktischen Motivierung der Beschäftigung mit welcher Vierecksart sind Scherenwagenheber (passende Bilder lassen sich leicht googlen) geeignet?
# Definieren Sie die Vierecksart, die Sie unter 1) genannt haben ohne auf einen Oberbegriff (außer Viereck) zurückzugreifen. Verwenden Sie für Ihre Definition die Eigenschaften der Diagonalen der zu definierenden Vierecksart.
# Definieren Sie die Vierecksart aus 1) noch zweimal unter Verwendung der unmittelbaren Oberbegriffe (Die Diagonaleigenschaften müssen jetzt keine Rolle in der Definition spielen).
# Aus rein geometrischer Sicht ist es für einen praktikablen Einsatz etwa zum Reifenwechsel hinreichend, Scherenwagenheber auf der Grundlage von Vierecken mit vier gleichlangen Seiten zu konstruieren. Allerdings ist die Verwendung dieser Vierecksart nicht notwendig für einen (aus rein geometrischer Sicht) funktionierenden Scherenwagenheber. Definieren Sie den Begriff des allgemeinen Wagenhebervierecks und ordnen Sie diesen in das Haus der Vierecke ein. 
Lösungsvorschlag: 
1. Raute 
2. Eine Raute ist ein Viereck, bei dem sich die Diagonalen halbieren und senkrecht zueinander verlaufen. 
3. Eine Raute ist ein Parallelogramm mit vier kongruenten Seiten. EIne Raute ist ein Drache bei dem 1 Paar gegenüberliegenden Seiten kongruent sind.<- 2 Paar? 
4. EIn allgemeiner Wagenheberviereck ist ein Viereck, bei dem die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen--Drache--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 11:31, 24. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.3==
Definieren Sie den Begriff ''gleichschenkliges Trapez''. Beachten Sie dabei, dass ein Parallelogramm dann und nur dann ein gleichschenkliges Trapez ist, wenn es einen rechten Innenwinkel besitzt.

Ein Trapez mit einem Umkreis, heißt gleichschenkliges Trapez.--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:22, 25. Okt. 2010 (UTC) 

Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Viereck, mit zwei parallelen Seiten und zwei kongruenten Diagonalen.
(Ein Trapez mit zwei kongruenten Diagonalen heißt gleichschenkliges Trapez.)--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:48, 25. Okt. 2010 (UTC)

Ein Trapez heißt gleichschenkliges Trapez, wenn die beiden nicht parallelen Seiten gleich lang sind.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 02:09, 26. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.4==
Ein Tangentenviereck ist das was der Begriff sugeriert. Definieren Sie den Begriff ''Tangentenviereck''

Lösungsvorschlag:
Ein Tangentenviereck ist ein Viereck mit einem Innenkreis. Die Seiten des Vierecks sind die Tangenten.

Es heißt Inkreis. 

Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, dessen Seiten Tangenten eines Kreis sind.--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:50, 25. Okt. 2010 (UTC)

Ein Viereck, dessen Winkelhalbierende sich alle in einem Punkt schneiden, heißt Tangentenviereck. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Inkreismittelpunkt. --[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 02:21, 26. Okt. 2010 (UTC)

Ein Trapez mit einer Symmetrieachse heißt gleichschenkliges Trapez. Stimmt das?--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 08:57, 26. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.5==
Begründen Sie, dass es sinnvoll ist, den Begriff ''Tangentenviereck'' zu definieren. <- sinnvoll für Mathematiker -hust-

Ja es ist sinnvoll, da nicht jedes Viereck einen Inkreis hat, zum Beispiel hat ein überschlagendens Viereck keinen Inkreis.
Bei Dreiecken ist es nicht sinnvoll, da jedes Dreieck einen Inkreis sowie einen Umkreis besitzt. 25.10.2010--[[Benutzer:Hasekm|Hasekm]] 20:03, 25. Okt. 2010 (UTC) 

==Aufgabe 2.6==
Geben Sie eine exakte Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' an (orientieren Sie sich gegebenenfalls an Schulbuchdefinitionen). Notieren Sie, welche anderen Begriffe Sie dazu verwenden. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel ASB und ein Strahl SP*.
Eine Winkelhalbierende w ist ein Strahl SP*, der im Inneren des Winkels ASB liegt 
und die Winkel ASP und PSB haben dieselbe Größe. 
-Strahl SP* 
-Innere des Winkels--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:47, 24. Okt. 2010 (UTC)

Lösungsvorschlag: Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade die im Scheitelpunkt S des Winkels beginnt und den Winkel in zwei gleich große Winkel teilt.
Begriffe: Halbgerade, Scheitelpunkt, Winkel 

Gegeben ist der Winkel ABC. Eine Gerade g, die vom Punkt B ausgeht und den Winkel ABC halbiert, nennt man Winkelhalbierende. 
Begriffe: Winkel, Punkt, Gerade, halbieren (?)--[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 22:54, 25. Okt. 2010 (UTC)

Eine Winkelhalbierende eines Winkels ist die Gerade, die durch den Scheitelpunkt des Winkels geht und diesen in zwei gleich große Teile teilt. Begriffe: Schenkel, Symmetrieachse. --[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 02:43, 26. Okt. 2010 (UTC)

==Aufgabe 2.7==
Geben Sie eine Konstruktionsvorschrift für die Winkelhalbierende eines gegebenen Winkels an. 
Lösungsvorschlag: 
Gegeben sei ein Winkel pq, die Schenkel p,q und ein Scheitelpunkt S. 
1. Konstruiere mit dem Zirkel vom Scheitelpunkt S des Winkels pq zwei Schnittpunkte mit den beiden 
Schenkeln p und q.(Radius bleibt gleich). 
2. Es entstehen die Punkte P und Q. 
3. Konstruiere mit dem Radius SP und SQ jeweils von den Schnittpunkten P und Q einen weiteren Schnittpunkt X. 
4. Zeichne einen Strahl von S durch X und du erhälst die Winkelhalbierende.[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 10:55, 24. Okt. 2010 (UTC)

eine vielleicht besser verständliche Formulierung zu 3.: Zeichne einen Kreis um den Punkt P mit dem Radius SP und einen Kreis mit dem Radius SQ (entspricht SP)um Q. Die Kreise schneiden sich im Scheitelpunkt S und einem weiteren Punkt X. 

Vielleicht einfacher, wenn man bei sagt:

1. Konstruiere mit dem Zirkel einen Kreis k um den Scheitelpunkt S des Winkels pq.
2.Der Kreis schneidet die Schenkel p und q in den Punkten P und Q.
3. Konstruiere jeweils einen Kreis um P und Q mit dem Radius von k.
4. Die beiden Kreise haben zwei Schnittpunkte: S und X
5. Die Gerade durch die Punkte S und X nennt man Winkelhalbierende des Winkels pSq --[[Benutzer:Lialin|Lialin]] 23:01, 25. Okt. 2010 (UTC)

Übung Aufgaben 2

2010-10-24T09:38:11Z

Sommer80: /* Aufgabe 2.1 */

Lösung von Aufgabe 1.1

2010-10-18T16:21:21Z

Sommer80:

In welchen Fällen handelt es sich um Definitionen? Begründen Sie! 

# Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck.
# <math>\ n!=(n-1)! \cdot n </math>, falls <math>\ n > 0 </math> <math>\ n!=1 </math>, falls <math>\ n=0 </math> 
# Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent.
# Jedes Dreieck mit einem Umkreis heißt Sehnendreieck.
# Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören.
# Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke.
# Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck.
# Jedes Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck.
# Es gibt Sehnenvierecke.
# Fakultät schlägt jede Potenz.
# Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter.
# Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist.
# Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter.
# Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute.
# Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf ''a'' und ''b'' jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez.
# Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel.
# Ein Quadrat ist ein Rechteck.
# Jedes Quadrat ist ein Rechteck

1. Ist eine Realdefintion. n.eck ist der Oberbegriff und n=4 ist ein Merkmal
2. Definition
3. Stufenwinkelsatz- also beweisbar
4. Defintion
5. Definition, allerdings gibt es keinen Dreieckschneider
6. Satz
7. falsche Aussage, denn auch ein Fünfeck hat vier Ecken
8. Definition
9. Existenzaussage
10.keine Definition
11.Satz des Thales
12.Definition
13.Definition
14.keine Definition
15.Definition
16.Definition
17.Definition
18.keine Definition, denn Oberbegriff fehlt
19.keine Definiton, denn Eigenschaft fehlt
20 keine Definiton
--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 16:21, 18. Okt. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 1.2

2010-10-18T16:02:57Z

Sommer80:

Definieren Sie die folgenden Begriffe mathematisch korrekt: 
Viereck, Trapez, Parallelogramm, Drachen, Raute, Rechteck, Quadrat

Viereck: Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4 
Trapez: Das Viereck ist dann ein Trapez, wenn zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind 
Drache: Das ist ein Viereck mit einer Diagonalen als Symmetrieachse 
Raute: das ist ein Viereck mit vier gleichlangen Seiten 
Rechteck: Das ist ein Viereck bei dem alle Innenwinkel rechte Winkel sind 
Quadrat Ist ein Rechteck mit vier gleichlangen Seiten--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 16:02, 18. Okt. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 1.3

2010-10-18T15:57:37Z

Sommer80:

Am 03. Febr. 2003 wurde in der Quiz-Sendung "Wer wird Millionär" folgende 16000 €-Frage gestellt: 
'''Jedes Rechteck ist ein ...''' 
Mit folgenden Auswahlantworten: '''Rhombus (Raute), Quadrat, Trapez, Parallelogramm''' 
Nehmen Sie Stellung!

Also hier ist den Autoren von wer wird Millionär ein Fehler unterlaufen. Der Kandidat hätte zwei Antwortmöglichkeiten gehabt, denn sowohl das Trapez als auch das Parallogramm sind Rechtecke.
--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 15:57, 18. Okt. 2010 (UTC)