Drehungen 2010

2010-11-11T13:08:55Z

SpongeBob: /* Definition verstanden? */

== Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>P</math> bei einer Drehung um <math>Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\alpha</math> ==

<ggb_applet width="755" height="502" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
== Konstruktionsbeschreibung ==
Es seien <math>\ Z</math> und <math>\ P</math> zwei Punkte der Ebene. Ferner sei <math>\ \alpha</math> ein gerichteter Winkel.

Das Bild von <math>\ P</math> bei einer Drehung um <math>\ Z</math> wird wie folgt konstruiert:

Fall 1: <math>\ P \equiv Z</math> ,dann <math> \ P \equiv P'</math>

Fall 2: <math>\ P \not\equiv Z</math>, dann

{| class="wikitable center"
|+ Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei einer Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> im Falle <math>\ P \not\equiv Z</math>
|- style="background: #DDFFDD;"
! Schrittnr.
! Konstruktionsschritt
! Begründung der Korrektheit des Konstruktionsschrittes
|-

| (I)
| Konstruktion des Strahls <math>ZQ+</math> an den Strahl <math>ZP+</math> mit dem Winkel <math>\ \alpha</math> so an, dass die positive Orientierung von <math>\alpha</math> für <PZP’erhalten bleibt.
| Winkelkonstruktionsaxiom
|-
| (II)
| Trage die Strecke<math>\overline{ZP}</math> auf <math>ZQ+</math> an Z ab und nenne den Punkt P’ab.
| Axiom vom Lineal--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 10:56, 11. Nov. 2010 (UTC)

|-
| (III)
| ...
| ...
|}

==Konstruktionsbeschreibung für Konstruktion nur mit Zirkel und Lineal==
[[Bild:Schritt 1 VSS.jpg|400px]] 
1) Wir zeichnen mit dem Zirkel einen Kreis k1 um Z, der durch P geht. 
[[Bild:P1000886.JPG|400px]] 
2) Mit demselben Radius zeichnen wir nun einen Kreis um S. 
[[Bild:P1000887.JPG|400px]] 
3) Die Schnittpunkte mit den Schenkeln p un q bezeichnen wir mit R und Q. 
[[Bild:P1000888.JPG|400px]] 
4) Wir nimm die Strecke RQ in die Zirkelspanne, 
[[Bild:P1000889.JPG|400px]] 
5) zeichne mit der Strecke RQ als Radius einen zweiten Kreis k2 um P. 
[[Bild:P1000890.JPG|400px]] 
6) Die Schnittpunkte der beiden Kreise k1 und k2 benennen wir mit S1 und S2. 
[[Bild:P1000891.JPG|400px]] 
7) Da der Winkel α mathematisch positiv gerichtet ist, muss auch der Drehwinkel der Abbildung positiv gerichtet sein. 
8) Wir zeichnen die Strahlen ZP+ und ZS2+. 
[[Bild:P1000892.JPG|400px]] 
9) S2 ist P', der Bildpunkt von P. 
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 12:35, 11. Nov. 2010 (UTC)
--[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 13:00, 11. Nov. 2010 (UTC)
--[[Benutzer:phhd_mat|phhd_mat]] 12:35, 11. Nov. 2010 (UTC)

== Definition des Begriffs der Drehung um einen Punkt <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> ==
==== Definition 5.1: (Drehung um einen Punkt <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math>====
::Es sei <math>\ Z</math> ein Punkt der Ebene und <math>\ \alpha</math> ein gerichteter Winkel. Unter der Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich für die folgendes gilt:
# ...
# ...
==== Definition verstanden?====
<ggb_applet width="890" height="837" version="3.2" ggbBase64="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" 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<quiz display="simple">
{Welche der folgenden Aussagen sind wahr?}
- (a) Der Punkt <math>\ A</math> wird bei der Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha = 45^\circ</math> auf den Punkt <math>\ B</math> abgebildet.
+ (b) Es gibt eine Drehung für die gleichzeitig gilt: Das Bild von <math>\ B</math> ist <math>\ E</math>, das Bild von <math>\ E</math> ist <math>\ H</math>, das Bild von <math>\ H</math> ist <math>\ K</math>, ..., das Bild von <math>\ W</math> ist <math>\ B_1</math>
- (c) (b) ist äquivalent zu: Es gibt einen Kreis auf dem die Punkte <math>\ B, E, H, K, U, Q, T, W, B_1</math> liegen.
+ (d) Der Punkt <math>\ A</math> wird bei der Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha = 40^\circ</math> auf den Punkt <math>\ D</math> abgebildet.
+ (e) Die Winkelhalbierenden der Winkel bei der obigen Darstellung, deren Scheitelpunkte alle auf ein und demselben Kreis liegen, sind parallel zueinander.
- (f) Das Dreieck QPR wird bei einer Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha = 50^\circ</math> auf das Dreieck TSU abgebildet.
+ (g) Die Mittelsenlkrechten der Strecken AD, DG, GJ, JM,... schneiden sich im Punkt Z
+ (h) Es gibt eine Drehung für die gleichzeitig gilt: Das Bild von <math>\ L</math> ist <math>\ O</math>, das Bild von <math>\ O</math> ist <math>\ R</math>, das Bild von <math>\ R</math> ist <math>\ U</math>, ..., das Bild von <math>\ F</math> ist <math>\ I</math>
</quiz>

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