Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Aufgabe 1 Lösungsversuch

2010-12-07T07:16:35Z

Steph85:

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Wir haben zu zeigen, dass <math>\ S_c \circ S_b \circ S_a</math> = <math>\ S_k </math> 
 
Es genügt zu zeigen, dass eine Gerade k existiert, die gleichzeitig Mittelsenkrechte von <math>\overline {GG'''}</math>, <math>\overline {HH'''}</math> und <math>\overline {EE'''}</math> ist. 
 
Wir wissen, dass alle drei Mittelsenkrechten der drei Strecken <math>\overline {GG'''}</math>, <math>\overline {HH'''}</math> und <math>\overline {EE'''}</math> den Punkt Z gemeinsam haben (wegen der Abstandserhaltung und des Mittelsenkrechtenkriteriums) 
Wenn wir nun noch zeigen können, dass sie einen weiteren Punkt gemeinsam haben, dann haben wir gezeigt, dass die drei Mittelsenkrechten identisch sind und damit, dass die Spiegelung von <math>\overline {GHE}</math> das Dreieck auf <math>\overline {G'''H'''E'''}</math> abbildet und wären damit fertig.
 
 
oBdA gelte, dass L1 ungleich L2 (falls L1 und L2 zusammen fallen aufgrund der von Tja??? angesprochenen Problematik, liegt der Punkt L3 auf jeden Fall nicht mit L1 und L2 zusammen und man würde einfach den nehmen) 
Wir ezigen nun, dass der Punkt L1 neben der Mittelsenkrechte von <math>\overline{HH'''}</math> noch auf den anderen beiden Mittelsenkrechten liegt:
 
 
{| class="wikitable "
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1) Das Dreieck <math>\overline {GL1L2}</math> ist kongruent zu dem Dreieck <math>\overline {G'''L1L2}</math>
| SWS (kann sich, denke ich,--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 19:52, 6. Dez. 2010 (UTC) jeder selbst überlegen)
|-
| 2) <math>\overline {GL1} \cong \overline {G'''L1}</math>
| (1)
|-
| 3) L1 liegt auch auf der Mittelsenkrechten von <math>\overline {GG'''}</math>
| (2)
|-
| 4) Analog kann man zeigen, dass L1 auch auf der Mittelsenkrechten von <math>\overline {EE'''}</math> liegt.
|
|-
| 5) Damit sind die drei Mittelsenkrechten von <math>\overline {GG'''}</math>, <math>\overline {HH'''}</math> und <math>\overline {EE'''}</math> identisch und damit ist gezeigt, dass <math>\overline {GHE}</math> bei der Spiegelung an k auf <math>\overline {G'''H'''E'''}</math> abgebildet wird.
|
|-
|}
 
 
Der Beweis ist nur ein Versuch. Wäre schön wenn jemand (am besten herr Gieding ;)) mal drüberschauen würde. --[[Benutzer:Steph85|Steph85]]
 Ich finde der Beweis hört sich gut an. Die Lage der Punkt L1 und L2 sollte du vielleicht genauer beschreiben. Dabei kann es passieren, dass L2 mit L1 zusammenfällt (falls z.B. <math>G, H, G'''</math> kollinear). Das wäre dann ein Sonderfall, den man unterscheiden müsste (denke ich zumindest). --[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 19:52, 6. Dez. 2010 (UTC) 
Danke für den hinweis. Habs editiert

Aufgabe 1 Lösungsversuch

2010-12-06T16:12:37Z

Steph85: Die Seite wurde neu angelegt: <ggb_applet width="948" height="725" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAFeFhj0AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3VxLc9s4Ej7v/AqWDnsTAqDxrLEzNXmUnSrPZqsyk0MuW5QES...

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Wir haben zu zeigen, dass <math>\ S_c \circ S_b \circ S_a</math> = <math>\ S_k </math> 
 
Es genügt zu zeigen, dass eine Gerade k existiert, die gleichzeitig Mittelsenkrechte von <math>\overline {GG'''}</math>, <math>\overline {HH'''}</math> und <math>\overline {EE'''}</math> ist. 
 
Wir wissen, dass alle drei Mittelsenkrechten der drei Strecken <math>\overline {GG'''}</math>, <math>\overline {HH'''}</math> und <math>\overline {EE'''}</math> den Punkt Z gemeinsam haben (wegen der Abstandserhaltung und des Mittelsenkrechtenkriteriums) 
Wenn wir nun noch zeigen können, dass sie einen weiteren Punkt gemeinsam haben, dann haben wir gezeigt, dass die drei Mittelsenkrechten identisch sind und damit, dass die Spiegelung von <math>\overline {GHE}</math> das Dreieck auf <math>\overline {G'''H'''E'''}</math> abbildet und wären damit fertig.
 
 
Wir ezigen nun, dass der Punkt L1 neben der Mittelsenkrechte von <math>\overline{HH'''}</math> noch auf den anderen beiden Mittelsenkrechten liegt:
 
 
{| class="wikitable "
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1) Das Dreieck <math>\overline {GL1L2}</math> ist kongruent zu dem Dreieck <math>\overline {G'''L1L2}</math>
| SWS (kann sich, denke ich, jeder selbst überlegen)
|-
| 2) <math>\overline {GL1} \cong \overline {G'''L1}</math>
| (1)
|-
| 3) L1 liegt auch auf der Mittelsenkrechten von <math>\overline {GG'''}</math>
| (2)
|-
| 4) Analog kann man zeigen, dass L1 auch auf der Mittelsenkrechten von <math>\overline {EE'''}</math> liegt.
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|-
| 5) Damit sind die drei Mittelsenkrechten von <math>\overline {GG'''}</math>, <math>\overline {HH'''}</math> und <math>\overline {EE'''}</math> identisch und damit ist gezeigt, dass <math>\overline {GHE}</math> bei der Spiegelung an k auf <math>\overline {G'''H'''E'''}</math> abgebildet wird.
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Der Beweis ist nur ein Versuch. Wäre schön wenn jemand (am besten herr Gieding ;)) mal drüberschauen würde. --[[Benutzer:Steph85|Steph85]]

Übungsaufgaben 5 EG WS2010

2010-12-06T15:43:56Z

Steph85: /* Aufgabe 1 */

==Aufgabe 1==
Es seien <math>\ a, b, c</math> drei paarweise nicht identische Geraden der Ebene, die alle drei den Punkt <math>\ Z</math> gemeinsam haben. Man beweise <math>\ S_c \circ S_b \circ S_a</math> ist eine Geradenspiegelung.
[[Aufgabe 1 Lösung (Skizze)]]

[[Aufgabe 1 Lösungsversuch]]

Übungsaufgaben 3 EG WS2010

2010-11-29T11:13:51Z

Steph85: /* Aufgabe 2 */

Alle Aufgaben beziehen sich auf die ebene Geometrie.
==Aufgabe 1==
Beweisen Sie: Wenn die beiden Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> den Punkt <math>\ Z</math> und nur den Punkt <math>\ Z</math> gemeinsam haben, dann gilt <math>S_h \circ S_g = D_{Z,2|\angle (g,h)}|</math>. 
Gitl nicht: <math>S_h \circ S_g = D_{Z,\angle (g,h)*2}</math>?--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 10:00, 25. Nov. 2010 (UTC)
hab's gerade geändert--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 10:19, 25. Nov. 2010 (UTC) danke

==Lösung von Aufgabe 1==
Wir zeigen zunächst, dass die Nacheinanderausführung <math>S_h \circ S_g</math> überhaupt eine Drehung ist.

Hierzu brauchen wir nur zu zeigen, dass <math>S_h \circ S_g</math> genau einen Fixpunkt hat, denn eine Bewegung ist genau dann eine Drehung, wenn sie genau einen Fixpunkt hat. Weil Z der einzige Punkt ist, der sowohl auf g als auch auf h liegt, ist er auch der einzige Fixpunkt von <math>S_h \circ S_g</math> (Der Leser überzeuge sich davon.)

Also ist <math>S_h \circ S_g</math> eine Drehung um den Fixpunkt Z.

Es bleibt zu zeigen, dass der Drehwinkel <math>\alpha</math> dieser Drehung doppelt so groß ist wie der Winkel zwischen den beiden Geraden g und h (Reihenfolge beachten).

Hierzu reicht es zu zeigen, dass ein spezieller Punkt P mit P verschieden von Z derart durch <math>S_h \circ S_g</math> auf P' abgebildet wird, dass der Winkel <math>\angle P,Z,P'</math> doppelt so groß ist wie der Winkel zwischen den beiden Geraden g und h.

Begründung:

==Aufgabe 2==
Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei zueinander parallele Geraden. Ferner sei <math>\ a</math> eine Gerade, die senkrecht auf <math>\ g</math> und damit auch senkrecht auf <math>\ h</math> steht. Der Punkt <math>\ G</math> sei der Schnittpunkt von <math>\ a</math> mit <math>\ g</math> und der gemeinsame Schnittpunkt von <math>\ a</math> und <math>\ h</math> sei mit <math>\ H</math> bezeichnet.

Man beweise: <math>S_h \circ S_g = V_{2 \overrightarrow{GH}}</math>. 
 
 ==Beweis Aufgabe 2== 
<ggb_applet width="882" height="498" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 
 
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt der Ebene mit <math>\ P \notin \ g, h</math> (Für <math>\ P \in \ g \ oder \ h</math> geht der Beweis analog)
 
Wir haben zu zeigen: 
1. <math>\ PP'' \ || \ GH</math> 
2. <math>\ 2| \overrightarrow{GH}| \ = \overline {|PP''|}</math> 
3. Den Richtungssinn müssen wir, glaube ich, nicht zeigen, da klar ist, dass wir zuerst an g und danach an h spiegeln und somit klar ist, dass die "Richtung" von G nach H geht (stimmt das??) 
 
1. Bei der Spiegelung von <math>\ P</math> an <math>\ g</math> erhalten wir den Lotfußpunkt <math>\ L1</math>. Bei der Spiegelung von <math>\ P'</math> an <math>\ h</math> erhalten wir den Lotfußpunkt <math>\ L2</math>. 
Somit sind <math>\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta</math> alle rechte Winkel und wir erhalten das Rechteck <math>\overline {GHL1L2}</math>. 
 
Daraus folgt, dass <math>\ L1L2 \ || \ GH</math>, woraus man folgern kann, dass <math>\ PP'' \ || \ GH</math>
 
2. 
Beweis
{| class="wikitable "
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1) <math>\overrightarrow{GH} \cong \overline {L1L2}</math>
|
|-
| 2) <math>|\overline {L1L2} | \ = \ | \overline {L1P'} | \ + \ | \overline {P'L2}| </math>
| Zwischenrelation (gilt nur für die Annahme, dass P in einer anderen Halbebene bezüglich g liegt wie h, für die anderen Fälle müsste der Beweis aber ähnlich ablaufen.)
|-
| 3) <math>\ 2| \overline {L1P'}| \ =\ | \overline {PP'}| </math> , <math>\ 2| \overline {P'L2}| \ =\ | \overline {P'P''}| </math>
| Definition Geradenspiegelung
|-
| 4) <math>\ | \overline {PP''}| \ =\ 2| \overline {L1L2}| \ =\ 2| \overline {GH}| </math>
| (1), (2), (3)

|-
|} - Steph85
 
 

==Aufgabe 3==
Es seien <math>\ Z_1</math> und <math>\ Z_2</math> zwei nicht identische Punkte. Ferner seien die Winkel <math>\ \frac{\alpha}{2}</math> und <math>\ \frac{\beta}{2}</math> supplementär.

Man beweise: <math>D_{Z_2,\beta} \circ D_{Z_1, \alpha} = V_{2 \overrightarrow{Z_1Z_2}}</math>.

===Beweis===
Ist dieser Satz überhaupt korrekt? --[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 18:19, 28. Nov. 2010 (UTC)
Ich denke nicht. Zwar ist das Ergebnis zweier solcher Drehungen eine Verschiebung, die Richtung ist jedoch eine andere und die Länge ist auch eine andere(außer <math> \alpha = \beta = 180 </math>).
Hier ein Gegenbeispiel: 

<ggb_applet width="699" height="512" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAO2UfD0AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s5Vldcts2EH5uToHhQ6Y/MQ2A/xMpGSV58YyTdGLX01HS6UAkLKGmSIUEbcmd3qnNEXqAnqkLgJJISVYk2+24qR5EcbEAFt9+u1hAnefTcYoueVGKPOtaxMYW4lmcJyIbdq1Knh+E1vNnjzpDng/5oGDoPC/GTHYtx6aWklfi2aOvOuUov0Is1Spngl91rXOWltxC5aTgLClHnMuWnFVTkQpWzN4OfuGxLJcNZpCjbFLBLLKoQBaPk2NRzl8P9YSTVMhX4lIkvEBpHnct3wPT4dcZL6SIWdq1XGwktGvRlUYQOap1lBfiOs+kUl8Ofg4ShEpxzQERqmSdQ73QDq/iVCSCZWox2g5QQuhKJHIEJkQRDMnFcAS2egSb0eI8L5KTWSn5GE37vMjBHOIpoGfmzTFvJdgFE3pYNzXf9DD88oRLCW4pEZvyJWDDQiStl6PyRZ4uRZNcZPIlm8iq0D51atGJnKkJYK5CGdzLhimvZRQgH/H4YpBPTwwIjhn6dDbRXbRBg+HLPM0LVCh4PVConwPz1DrK0oUW1jpYa9RjqEEX7SSiWkM/B+aptVKRGdPqlZP5qucQs6kokRIoGIGKi8WnbMDBtRaqMiGP5y9AgYt6qcR0eFONBxADTRIsxiT3NWbncIU+nQteZDw1JMnAt1VelehSkdHMpQ1JeCzG8GoaakiYctcPYICRJnxY8LnhJoIMYLq1RcQVcedwboSyoQRbYwmpANYj1VpUpEqIEvUrYVJJVBikfMwhRqTmg6bTApc+sRYZIdfBPQ/jWmEJMTRvJIemEUsnIwaSOf9TNoNQb65Hj/c6T9qrZBmgpZcAETdRAyh/TDhP6vQmaxKjCQypQ6IBtsaoRFPVz3MhDtUP30LXprPWMeGjAl/P69S+NZh8Dh36ZaDj2r5fo6Ng2geeOB+PWZagjI1hpmOIbQ2JUBkfMawZhBjRWBkgKjlvYmaweog1rFWiWCDJrHbukCMI0YyXpU5wspnKWu5oh/nn/YFv740m27AXtT6GfK4NG5CC94DaHnbd1YS4ZVH8Y2Z0SpOWxBj2zFjIfeja+zLYeoBttafMVK/gTnR9l0vIgiuE7Rm+EgoL/PbP3+GNahavsrf3mE3y8unPZDuLV1yw6HQbV/iu9oV6DMzjPrhKQxo4BDuRH3qBU1P1gNjUcZ0owGHkUY+G2Lt/pBdgaMSp20J8PV/U+ub7FqjXHR8K8p7tEBL5xKMupQH2Iw28Z1MSYur6vuNFJAzDu8Cu68DN/NZ5ma7QuAX3X39sx1hXLQvcQFv1B6uq2jZq4wgYBKUzdSKHRF6wIT/vnIAIXk/QZEfoyR6JlhVxA965ME3zq3f8POVTDalpbZSC++DfZj3wvOmHJbnbvvi0ly8+rfoCdp4wDCJMsRuEvhNh73/nixM+VPLN0bAd/cF28Mt65Dl0g1vWKi38G1vfP1qrHDg2UKKRcIJA5yEf8v9KdlKFC3Ft7DoQ1YFLfS/yneCeihgNeKq2/aNMwkmL65PL+gHqgvOJOrm+zU4LlpXqBmNXBrwSpWRZfENC3E4BNlB9k15L6zNbf1aNeSHiZQ27eYyVUA1s4vgh9jEOaUQ9HOxOArJWDU4nBXhC1Vy1Dad8KlcNQKDWtR5/rHL59EN+yQvlzF/NO/oOff0G0Hvf++mb5e9mfy03yr+hD09QV30tOt+wZnS4hpYEy6xtZt61eL1DuIjymJ3yH9tEA2skK+T3akc2EL4Wid6f3/eeoDZGtyLmtqOTgbVP+vRWHNQd1/cI2B6AewHGLgnJ/RNPz7oT2/qkQbc+3YljZvQdiLVY/H+ETX3yBAEG2zn0UhTxWq2hiwuy8fgSb+dNnGcN1sQP//S92wYkhjy7BNPyokRoiuuD5wybCdH1XDIl+pyp2kgtuiaNMhwOsoWYot5cvzfX6lFVwmMakeXh3wexU8/Qc2Fgc9/S8/Qcnrt5c4STcSzORbzd7YvNcsXzsXE8M8UlndvdIEDf2ecIBdoP5dwU2lCvND5OfXXltqSY3OXgdKY5clM+dtbArLZjaSi3wKq6jwLxX7rLCm04lzc+5uYFeEtI64arPqguZ9pldY1L7Jr1MeRAXgqWbc6J/bWdpu03XROm61cNzHiuWt9Id7lNaN9ENq4RHnRGfBD3kbu5p3eTe16INDmDBBePBB9U2XCflLXW96EksMB26HpIEdun+6Wsw+Z/PPpvzfp/3Wd/A1BLBwgVmNyGfwYAAAkeAABQSwECFAAUAAgACADtlHw9FZjchn8GAAAJHgAADAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAABAAEAOgAAALkGAAAAAA==" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> A'' und das Bild der Verschiebung stimmen nicht über ein!

Verschiebungen 2010

2010-11-22T08:06:36Z

Steph85: /* Hilfssatz: Wenn für ein konvexes Viereck \ ABCD gilt:\ AB \| \ CD und \overline{AB} = \overline{CD}, dann ist \ ABCD ein Parallelogramm. */

==Konstruktion des Bildes eines Punkte bei einer Verschiebung==
=== Unter Verwendung der Vektorrechnung (Pfeilklassen) ===
<ggb_applet width="732" height="512" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

 "Konstruktionsvorschrift": <math>P'=P+\overrightarrow{AB}</math>
[[Category:Elementargeometrie]]

== Konstruktionsbeschreibung ==

Gegeben sind ein Punkt <math>\ D</math> und sein Bildpunkt <math>\ D'</math>, sowie ein Punkt <math>\ P</math>. Gesucht ist sein Bildpunkt <math>\ P'</math>bei der Verschiebung an <math>\overrightarrow{DD'}</math>

(1) Für den Fall, dass gilt: <math>\ {D, D', P}</math> sind nicht kollinear.

:: 1. Parallele zu <math>\overline{DD'}</math> durch <math>\ P</math>

:: 2. Parallele zu <math>\overline{DP}</math> durch <math>\ D'</math>

:: 3. Der Schnittpunkt der beiden zuvor konstruierten Parallelen ist der gesuchte Punkt <math>\ P'</math>

(2) Für den Fall, dass gilt: <math>\ {D, D', P}</math> sind kollinear.

:: 1. Konstruiere einen beliebigen Punkt <math>\ Q</math> der Ebene der nicht kollinear zu <math>\ {D, D', P}</math> ist.

:: 2. Konstruiere den Bildpunkt <math>\ Q'</math> von <math>\ Q</math> bei der Verschiebung an <math>\overrightarrow{DD'}</math>, wie in (1) beschrieben.

:: 3. Konstruiere nun den Bildpunkt <math>\ P'</math> von <math>\ P</math> bei der Verschiebung an <math>\overrightarrow{QQ'}</math> wie in (1) beschrieben. <math>\ P'</math> ist nun auch der gesuchte Bildpunkt für die Verschiebung an <math>\overrightarrow{DD'}</math>, da <math>\overrightarrow{DD'}</math> und <math>\overrightarrow{QQ'}</math> den gleichen Richtungssinn haben. --[[Benutzer:Steph85|Steph85]]

>Eine gute Konstruktionsanweisung! Nur kann man schreiben: Parallele zu einer Strecke? Oder sollte man nicht lieber die "Overline" in Fall1, Punkt 1 und 2 weglassen? weglassen? --[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 17:11, 17. Nov. 2010 (UTC)

== Definition der Verschiebung ==
...

=== Eine andere Möglichkeit der Definition? ===
Es sei <math>\vec{AB}</math> ein Pfeil. Unter der Verschiebung längs des Pfeiles <math>\vec{AB}</math> vresteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, mit folgenden Eigenschaften: 
Für das Bild eines Punktes P, benannt mit P' muss gelten: 
1. <math> |\ AB | = |\ PP'|</math> 
2. <math> \overline{AB}</math> <math>\|</math> <math> \overline{PP'}</math> 
3. <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{PP'}</math> haben den selbern Richtungssinn 
--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 17:23, 16. Nov. 2010 (UTC)

== Sätze ==

== Satz: Jede Verschiebung ist eine Bewegung. ==

An dieser Stelle wird nur der allgemeinste Fall bewiesen (siehe Skizze), da die Beweise der anderen Fälle laut Herr Gieding immer ähnlich ablaufen.

<ggb_applet width="666" height="467" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

 
 Es sei <math>\ V</math> eine Verschiebung längs des Pfeiles <math>\overrightarrow{AB}</math> und <math>\ {P,Q}</math> zwei beliebige Punkte der Ebene mit ihren Bildern <math>\ {P',Q'}</math> bei <math>\ V</math>, die voneinander verschieden sind und nicht auf dem Pfeil <math>\overrightarrow{AB}</math> liegen.
 
Wir haben zu zeigen, dass <math>\overline{PQ} \cong \overline {P'Q'}</math> ist. Es genügt natürlich zu zeigen, dass <math>\overline {PQQ'P'}</math> ein Parallelogramm ist, da in jedem Parllelogramm die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind.
 
{| class="wikitable "
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1) <math>\overline {PP'} \| \overline {QQ'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung
|-
| 2) <math>\overline {ABPP'} </math> ist ein Parallelogramm.
| folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung ("Das Bild des Punktes <math>\ P</math> ist der fehlende Eckpunkt des Parallelogramms <math>\overline {ABPP'} </math>.")
|-
| 3) <math>\overline {ABQQ'} </math> ist ein Parallelogramm.
| folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung
|-
| 4) Aus <math>\overline {AB} \cong \overline {PP'}</math> und <math>\overline {AB} \cong \overline {QQ'}</math> folgt <math>\overline {PP'} \cong \overline {QQ'}</math>
| (2), (3), Transitivität
|-
| 5) <math>\overline {PQQ'P'} </math> ist ein Parallelogramm.
| (1), (4)
|-
|}

 
--[[Benutzer:Steph85|Steph85]]

* oder : [[kompletter Beweis abfotographiert]]

== Satz 2: Jede fixpunktfreie Bewegung, ... , ist eine Verschiebung. ==
Satzvormulierungen: 
Jede fixpunktfreie Bewegung, bei der die Geraden durch beliebibige Punkt und ihre jeweiligen Bildpunkte parallel zueinander verlaufen, ist eine Verschiebung. 

oder kürzer, aber ungenau: 
Jede fixpunktfreie Bewegung, bei de die Parallelität der Bild-Bildpunkt-Geraden gegeben ist, ist eine Verschiebung. 
--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 18:07, 17. Nov. 2010 (UTC)

== Satz: <math>\ V</math> <math>\overrightarrow{AB} =</math> <math>\ V</math> <math>\overrightarrow{DE} </math>unter der Vorraussetzung <math>\ AB \| \ DE</math> , <math> \overline{AB} = \overline{DE}</math> und <math>\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{DE}</math> haben den gleichen Richtungssinn. ==

'''Vorraussetzung:''' 1.<math>\ AB \| \ DE</math> 2. <math> \overline{AB} = \overline{DE}</math> 3. <math>\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{DE}</math> haben den gleichen Richtungssinn 
'''Behauptung:'''
<math>\ V</math> <math>\overrightarrow{AB} =</math> <math>\ V</math> <math>\overrightarrow{DE} </math> 
'''Beweis:''' 
<math>\ P'</math> ist das Bild von <math>\ P</math> bei der Verschiebung <math>\ V</math> <math>\overrightarrow{AB} </math>. <math>\ PP' \| \ DE</math> , da die Parallelität von Geraden transitiv ist. Es genügt zu zeigen, das <math>\ P'E \| \ PD</math>. Dies gilt, wenn <math>\overline{PP'ED}</math> ein Parallelogramm ist. Dies ist nach Voraussetzung und dem Hilfssatz der Fall.
... q.e.d. 
--[[Benutzer:Tetraeder|Tetraeder]] 17:36, 18. Nov. 2010 (UTC)

=== Hilfssatz: Wenn für ein konvexes Viereck <math>\ ABCD</math> gilt:<math>\ AB \| \ CD</math> und <math> \overline{AB} = \overline{CD}</math>, dann ist <math>\ ABCD</math> ein Parallelogramm. ===

Voraussetzung: konvexes Viereck <math>\ ABCD</math>, <math>\ AB \| \ CD</math> und <math> \overline{AB} = \overline{CD}</math> 
zu zeigen: <math>\ AD \| \ BC </math> 
<ggb_applet width="317" height="356" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAE1bcj0AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s7VjNcts2ED43T4Hhuab5J8mekZyh5Ytn0mYmTnNopweQXEmoQUIFQFvyWzUP0mfqAiApSooVy3Gn40x1obBYLhbf9+2C5PjtquTkDqRiopp4oR94BKpcFKyaT7xaz07OvLcXb8ZzEHPIJCUzIUuqJ17sR56x1+zizQ9jtRD3hHLr8onB/cSbUa7AI2opgRZqAaC37LReMc6oXL/P/oBcq82EC3JdLWtcRcsabXlZvGOqHZ7aBZec6St2xwqQhIt84g0HmDr++wRSs5zyiZcEzhJNvGhnEk2xmV0IyR5EpY37JvgMLYQo9gCISGRs41O70THUOWcFo5XZjM0DnQi5Z4VeYMhwhCGBzRcGoEHiouVCyOJmrTSUZPUrSIHphAMD9NqNYjdSmBcuOAjsVH9kw8DdDWiNtChCV7ABbC5ZsTW4VpeCb0xLwSo9pUtdS8tp3Jhu9NosgGtJk3BazTk0tgghX0B+m4nVjQMhdqE/rpf2FptQNp8KLiSRBt4BOjTXzF2tj8m08wqsT2A9mhgmaDcfnkfWw14zd7VenFUutWbnYbvrMGiXYYoYg4ERpdhtntMMkFqP1BXT79oBSuC22Wrobvi5LjOsgb4IupjhS8Ucn+7IZ3wLsgLuRFIht7WoFbkzYnRr2UQKyFmJQzfRQEINXb9gAs5awFxCm7irIAeYnQ36Qtwxj0/bJEwOCnPNNbYC3I82ezGVqrFKzL+CamMxZcChBKwRbfVg5dThknpdQxC2ttsqbuY3COP0F7VhVUT5ckHR0sqf0zVWen87Nt5PotjeJK0QLLsDLLilCWDoWAIUTXfTjYbJEkPaiuhhbSFSZDXxTiIfs1ibAFHikQd3t3Vy5WMK3y4cN9w6TL6CzuX3gU7QgBP68XHY5KIsaVWQipa4zg3Mjd1iwkzHJzQwCiI0NFA5HGrdTlAXrYmxh7RqorVYUm+7eegF1mgFStkOp/u97HFCett/jJHg+Xz09IYQDi2mseEBMT2J/Xi02wAP7AH+rJyPcm2IlXhG5kx3MHJD6HWlsSmBLfL9XnMLsDRN/n31UdJKmcPe+fR62JN0fvV96Bw5CFtWkrNvkfo7pHBH51dO53RP59lhnRs1dEBmzxT59mH2H6o8jP3R2fnwhYT+OAFTJnP+CAVNH/ot/ZFc/r5HR36YDjw2Wd4hmb8CPp6GMptDdYe5CakIWQVN4awDtyB5aC0rBPDEPbSGjekh7NUJFqJkK5K2/mnrleJTeBj656MIn9TbH6aRxs0SaWJ0YgowHdhaxBL8ogKwsnM2Y/lhBXStb0cEuRNBhhfzqtDm3VPA9LACtlvf9Fmtb5hYbs0lc5cXqDZse8Og/4tt7SX+4MhHmqcc200tTffQK447totXfmy/bEP7V07uI57C9umE4+iEV0Vn4rsSifw4aejEZ9wwfEV02jf5HTIvHZmpa3H7nP7912FS7etmxwZ6m/sxn7oF0h/F0ehsmAzPz0bDJAkHX2P00ANgGOxTGj6R0r1PBgeIojLv9bzWyLm4/wAzDiuL5LfA3rVEC3u6D/vno2D//D/sDq3Ndwr7aa75NnnxD1BLBwg0mPbJnAQAAM0UAABQSwECFAAUAAgACABNW3I9NJj2yZwEAADNFAAADAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAABAAEAOgAAANYEAAAAAA==" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

Beweis
{| class="wikitable "
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1) <math>\overline {AC} \cong \overline {AC}</math>
| trivial (Reflexivität der Streckenkongruenz)
|-
| 2) <DCA <math> \cong </math><BAC
| Wechselwinkelsatz+Voraussetzung
|-
| 3) <math>\overline {ACD} = \overline {CAB}</math>
| SWS: Voraussetzung+(1)+(2)
|-
| 4) <BCA<math>\cong </math><DAC
| (3), Def. kongruente Dreiecke
|-
| 5) <math>\ AD \| \ BC </math>
| (4), Umkehrung des Wechselwinkelsatz
|-
|} - Tja???
 
 

'''==== Alternativer Beweis ====''' 
 
Wenn wir zeigen, dass die Punkte <math>\ A </math> und <math>\ D </math> den selben Abstand von der Geraden <math>\ BC </math> haben , dann haben wir damit gezeigt, dass gilt: <math>\ AD \| \ BC </math> 

<ggb_applet width="746" height="459" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
 
Beweis
{| class="wikitable "
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1) Wir fällen das Lot von <math>\ A</math> und <math>\ D</math> auf die Gerade <math>\ BC</math>
|
|-

| 2) <math>\angle \ LBA </math> und <math>\angle \ L'CD</math>, sowie <math>\angle \ BAL</math> und <math>\angle \ CDL'</math> sind jeweil Stufenwinkel der Parallelen <math> \ {AB}</math> und <math> \ {CD}</math>
| Stufenwinkelsatz
|-
| 3) <math>\overline {AB} \cong \overline {CD}</math>
| Voraussetzung
|-
| 4) Die Dreiecke <math> \overline {ABL}</math> und <math> \overline {DL'C}</math> sind kongruent
| (2), (3), WSW
|-
| 5) Die Punkte <math>\ A</math> und <math>\ D</math> haben somit den gleichen Abstand von <math>\ BC</math>. Daraus folgt, zusammen mit der Voraussetzung, dass <math> \overline {ABCD} </math> ein Parallelogramm ist.
|
|-
|} - Steph85

Verschiebungen 2010

2010-11-17T11:26:06Z

Steph85: /* Satz: Jede Verschiebung ist eine Bewegung. */

Verschiebungen 2010

2010-11-17T11:23:36Z

Steph85: /* Satz: Jede Verschiebung ist eine Bewegung. */

Verschiebungen 2010

2010-11-17T11:21:02Z

Steph85: /* Sätze */

Verschiebungen 2010

2010-11-17T10:49:26Z

Steph85: /* Konstruktionsbeschreibung */

Geradenspiegelungen als Bewegungen mit genau einer Fixpunktgeraden (2010)

2010-11-12T10:18:05Z

Steph85: /* Lemma 4.1 */

===Satz 4.1===
:: Jede Geradenspiegelung besitzt genau eine Fixpunktgerade.

=== Beweis von Satz 4.1 ===
====Beweis von [[Shaun15]]====
Die folgende Beweisführung wurde von User [[Shaun15]] am 02.11. in morgentlicher Frühe geführt. Vielen Dank dafür. (Aus Gründen der Übersicht habe ich ein wenig umformatiert (nur ein paar Zeilenumbrüche) . --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:21, 2. Nov. 2010 (UTC))

=====1.Existenz=====
Es sei g eine Gerade und A, B, C drei voneinander verschiedene Punkte. Weiter möge gelten A, B nicht Є g und C Є g.
Zz: Bei Spiegelung an g wird P auf P` abgebildet. 
Nach Def. Spiegelung wird C auf C` abgebildet und A auf A`. Da P Є g wird P` ebenfalls auf g abgebildet. Sodass gilt: |AP|=|A`P`|, |CP|=|C`P`| und |AC|=|A`C`|. 
Bleibt zz: P = P`. 
Dies folgt unmittelbar aus der Abstandstreue von Bewegungen. 
Angenommen P` würde nicht mit P zusammenfallen, so gäbe es drei Möglichkeiten. 
1. |AP|=|A`P`| aber |CP|≠|C`P`| oder 
2. |CP|=|C`P`| aber |AP|≠|A`P`| oder 
3. |AP|≠|A`P`| aber |CP|≠|C`P`|. 
Jede dieser Möglichkeiten währe ein Wiederspruch zur Abstandstreue. 
Daraus folgt. P = P` 
Daraus folgt. g ist Fixpunktgerade (demnach gibt es Fixpunktgeraden bei einer Spiegelung)

Ich glaube der Beweis wird ab dem Zeitpunkt hinfällig, wenn man annimmt, dass <math>P \in g</math> gilt. Dadurch gilt nach Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>), dass <math>\ P </math> = <math>\ P' </math> . --[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 15:03, 2. Nov. 2010 (UTC)

=====2.Bei einer Spiegelung gibt es höchstens eine Fixpunktgerade=====
Es seien zwei Geraden g und h mit A, B Є g und C, D Є h. 
Im Folgenden betrachten wir die Spiegelung an g. 
Es gibt drei Fälle: 
1. g identisch h: g = h also ein und dieselbe und somit eine Fixpunktgerade. 
2. g parallel zu h: nach Def. ist g Mittelsenkrechte von |CC`| und |DD`|. |CD| verschieden von |C`D`|. also ist h keine Fixpunktgerade. Bleibt nur g. Also auch hier nur eine Fixpunktgerade. 
3. g ∩ h ={P}: P ist Fixpunkt auf g und auf h. (Bew.1.Existenz) Nach Def. ist g Mittelsenkrechte von |CC`| und |DD`|. Somit ist kein weiterer Punkt von h Fixpunkt. Also bleibt g wieder einzige Fixpunktgerade. 

===Satz 4.2===
:: Wenn eine Bewegung <math>\ \phi</math> genau eine Fixpunktgerade <math>\ g</math> hat, so ist sie eine Geradenspiegelung.

--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:30, 4. Nov. 2010 (UTC):
Der Beweis wird einfacher, wenn man ein Teiproblem auslagert und im Rahmen eines Hilfssatzes bearbeitet:
====Lemma 4.1====
::Wenn ein Bewegung <math>\ \phi</math>die beiden Fixpunkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> besitzt, dann ist die Gerade <math>\ AB</math> eine Fixpunktgerade bezüglich <math>\ \phi</math>.

Frage: Wenn wir die Fixpunktgeradendefinition von Tja??? verwenden ("Eine Fixgerade f einer Abbildung φ, bei der (mindestens) zwei Punkt der Fixgeraden f bei der Abbildung φ auf sich selbst abgebildet werden, heißt Fixpunktgerade."), können wir uns das Lemma sparen, oder? -[[Benutzer:Steph85|Steph85]]

====Beweis von Lemma 4.1====
Es sei <math>\ \phi</math> eine Bewegung mit den beiden Fixpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math>.
Ferner sei <math>\ P</math> ein weiterer von <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils verschiedener Punkt der Geraden <math>\ AB</math>.

zu zeigen: Der Punkt <math>\ P</math> wird durch <math>\ \phi</math> auf sich selbst abgebildet.

Es können genau drei Fälle auftreten:
# <math>\ Zw(A,P,B)</math>
# <math>\ Zw(P,A,B)</math>
# <math>\ Zw(A,B,P)</math>
Die Abstandserhaltung von <math>\ \phi</math> sowie die Sätze [[Bewegungen_(2010)#Satz_1.3:_.28Zwischenrelation_als_Invariante_von_Bewegungen.29|1.3]] und [[Bewegungen_(2010)#Satz_1.4:_.28Geradentreue.2C_Halgeradentreue.2C_Streckentreue.2C_Schnittpunkttreue_bei_Bewegungen.29|1.4]] helfen den Beweis zu führen.

===Beweis von Satz 4.2===
Es sei <math>\ \phi</math> eine Bewegung.
==== Voraussetzung ====
::<math>\ \phi</math> hat genau eine Fixpunktgerade. Es sei dieses die Gerade <math>\ g</math>.

==== Behauptung ====
::<math>\ \phi</math> ist eine Geradenspiegelung.
==== Beweisführung ====
Wir werden zeigen, dass <math>\ \phi</math> die Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math> ist.

Entsprechend [[Geradenspiegelungen#Definition_2.1:_.28Spiegelung_an_der_Geraden_.29|Definition 2.1]] haben wir folgendes zu zeigen:

# Jeder Punkt von <math>\ g</math> wird durch <math>\ \phi</math> auf sich selbst abgebildet: <math>\forall P \in g: \phi (P) =P</math>
# Für alle Punkte, die nicht zu <math>\ g</math> gehören, gilt: Die Gerade <math>\ g</math> ist die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{P \phi (P)}</math>.

Der Beweis von 1. ergibt sich unmittelbar aus der Voraussetzung, dass <math>\ g</math> bezüglich <math>\ \phi</math> eine Fixpunktgerade ist.

Es bleibt zu zeigen: 
Für jeden Punkt <math>\ P</math> außerhalb der Geraden <math>\ g</math> gilt: (*) <math>\ g</math> ist die Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{P \phi (P)}</math>.

Es sei <math>\ P</math> ein beliebiger Punkt, der nicht auf der Geraden <math>\ g</math> liegt.

Um (*) zu beweisen werden wir wie folgt vorgehen:

# Wir zeigen, dass die Gerade <math>\ g</math> und die Strecke <math>\overline{P \phi (P)}</math> einen gemeinsamen Schnittpunkt <math>\ M</math> haben.
# Wir zeigen, dass dieser Schnittpunkt <math>\ M</math> der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{P \phi (P)}</math> ist.
# Wir zeigen, dass die Gerade <math>\ g</math> senkrecht auf der Geraden <math>\ P \phi (P)</math> steht.

Drehungen 2010

2010-11-11T10:53:50Z

Steph85: /* Definition verstanden? */

== Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>P</math> bei einer Drehung um <math>Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\alpha</math> ==

<ggb_applet width="755" height="502" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
== Konstruktionsbeschreibung ==
Es seien <math>\ Z</math> und <math>\ P</math> zwei Punkte der Ebene. Ferner sei <math>\ \alpha</math> ein gerichteter Winkel.

Das Bild von <math>\ P</math> bei einer Drehung um <math>\ Z</math> wird wie folgt konstruiert:

Fall 1: <math>\ P \equiv Z</math> dann <math> \ P \equiv P'</math>

... .

Fall 2: <math>\ P \not\equiv Z</math>

{| class="wikitable center"
|+ Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei einer Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> im Falle <math>\ P \not\equiv Z</math>
|- style="background: #DDFFDD;"
! Schrittnr.
! Konstruktionsschritt
! Begründung der Korrektheit des Konstruktionsschrittes
|-
| (I)
| ...
| ...
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| (II)
| ...
| ...
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| (III)
| ...
| ...
|}

== Definition des Begriffs der Drehung um einen Punkt <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> ==
==== Definition 5.1: (Drehung um einen Punkt <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math>====
::Es sei <math>\ Z</math> ein Punkt der Ebene und <math>\ \alpha</math> ein gerichteter Winkel. Unter der Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich für die folgendes gilt:
# ...
# ...
==== Definition verstanden?====
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<quiz display="simple">
{Welche der folgenden Aussagen sind wahr?}
- (a) Der Punkt <math>\ A</math> wird bei der Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha = 45^\circ</math> auf den Punkt <math>\ B</math> abgebildet.
+ (b) Es gibt eine Drehung für die gleichzeitig gilt: Das Bild von <math>\ B</math> ist <math>\ E</math>, das Bild von <math>\ E</math> ist <math>\ H</math>, das Bild von <math>\ H</math> ist <math>\ K</math>, ..., das Bild von <math>\ W</math> ist <math>\ B_1</math>
- (c) (b) ist äquivalent zu: Es gibt einen Kreis auf dem die Punkte <math>\ B, E, H, K, U, Q, R, W, B_1</math> liegen.
+ (d) Der Punkt <math>\ A</math> wird bei der Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha = 40^\circ</math> auf den Punkt <math>\ D</math> abgebildet.
+ (e) Die Winkelhalbierenden der Winkel bei der obigen Darstellung, deren Scheitelpunkte alle auf ein und demselben Kreis liegen, sind parallel zueinander.
+ (f) Das Dreieck QPR wird bei einer Drehung um <math>\ Z</math> mit dem Drehwinkel <math>\ \alpha = 50^\circ</math> auf das Dreieck TSU abgebildet.
+ (g) Die Mittelsenlkrechten der Strecken AD, DG, GJ, JM,... schneiden sich im Punkt Z
</quiz>

Benutzer:Steph85

2010-11-04T10:17:34Z

Steph85: Die Seite wurde neu angelegt: <ggb_applet width="815" height="551" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIABFVZD0AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s1VhNc9s2ED03vwLDQ2+mAH5rIjkjuxfPqHU7TnPIDSQhCjVFs...

<ggb_applet width="815" height="551" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />

Fixpunkt, Fixgerade, Fixpunktgerade (2010)

2010-11-04T08:17:58Z

Steph85: /* Definition 3.1: (Fixpunkt einer Abbildung \ \phi ) */

== Fixpunkte ==
=== Beispiele/Gegenbeispiele ===

<quiz display="simple">
{In welchen Fällen handelt es sich um Fixpunkte bezüglich der genannten Abbildung?}
+ (a) Punkt <math>\ A</math> auf der Geraden <math>\ g</math> bezüglich der Spiegelung an <math>\ g</math>.
- (b) Punkt <math>\ A</math> auf der Geraden <math>\ g</math> bezüglich einer Verschiebung längs <math>\ g</math>.
+ (c) Punkt <math>\ Z</math> bezüglich einer Drehung mit dem Drehwinkel <math>\alpha = 30^\circ </math> um <math>\ Z</math>.
+ (d) Punkt <math>\ Z</math> bezüglich einer Drehung mit dem Drehwinkel <math>\alpha = 360^\circ </math> um <math>\ Z</math>.
- (e) Punkt <math>A \notin g</math> bezüglich der Spiegelung an <math>\ g</math>.
+ (f) Jeder Punkt <math>\ Q</math> bezüglich der Identität.
- (g) Jeder Punkt <math>\ D</math> bezüglich einer zentrischen Streckung an dem Punkt <math>\ Z</math>.
+ (h) Der Punkt <math>\ D</math> bezüglich einer zentrischen Streckung an sich selbst.
+ (i) Jeder Punkt der Ebene <math>\ \delta</math> bezüglich einer senkrechten Parallelprojektion auf die Ebene <math>\ \delta</math>.
- (j) Der Zentralpunkt <math>\ Z</math> einer Zentralprojektion.
</quiz>

=== Definition des Begriffs Fixpunkt einer Abbildung ===
===== Definition 3.1: (Fixpunkt einer Abbildung <math>\ \phi</math> )=====
::Ein Punkt <math>\ F</math> heißt Fixpunkt einer Abbildung <math>\ \phi</math>, wenn ... .

..gilt: <math> F = \phi (F)</math> --[[Benutzer:Steph85|Steph85]]

::Eine Abbildung <math>\ \phi</math> heißt fixpunktfrei, wenn ... .

..es keinen Punkt gibt, der bei <math>\ \phi</math> auf sich selbst abgeildet wird. --[[Benutzer:Steph85|Steph85]]

=== Richtig verstanden? ===
<quiz display="simple">
{Kennzeichnen Sie die wahren Aussagen}
+ (a) Es sei <math>\ Z</math> der Schnittpunkt der Geraden <math>\ h</math> und <math>\ g</math>. <math>\ Z</math> ist Fixpunkt bezüglich <math>\ S_h</math>.
+ (b) Es sei <math>\ Z</math> der Schnittpunkt der Geraden <math>\ h</math> und <math>\ g</math>. <math>\ Z</math> ist Fixpunkt bezüglich <math>\ S_g</math>.
+ (c) Es sei <math>\ Z</math> der Schnittpunkt der Geraden <math>\ h</math> und <math>\ g</math>. <math>\ Z</math> ist Fixpunkt bezüglich <math>\ S_h \circ S_g</math>.
+ (d) Es sei <math>\ Z</math> der Schnittpunkt der Geraden <math>\ h</math> und <math>\ g</math>. <math>\ Z</math> ist Fixpunkt bezüglich <math>\ S_g \circ S_h</math>.
- (e) Jede Drehung hat genau einen Fixpunkt.
- (f) Es gibt fixpunktfreie Geradenspiegelungen.
+ (g) Es gibt fixpunktfreie Verschiebungen.
- (h) Ihr Beispiel ... .

</quiz>

== Fixgeraden ==
=== Beispiele/Gegenbeispiele ===
=== Definition ===

* Eine Gerade g, die bei der Abbildung <math>\phi</math> auf sich selbst abgebildet wird, heißt Fixgerade g der Abbildung <math>\phi</math>. --[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 16:08, 2. Nov. 2010 (UTC)
* Es seien g eine Gerade und <math>\phi</math> eine Abbildung. g ist genau dann eine Fixgerade bezüglich <math>\phi</math>, wenn jeder Punkt von g bei der Abbildung <math>\phi</math> wieder auf einen Punkt von g abgebildet wird. --[[Benutzer:Schomuf|Schomuf]] 08:32, 3. Nov. 2010 (UTC)
* ...

=== Richtig verstanden? ===
== Fixpunktgeraden ==
=== Beispiele/Gegenbeispiele ===
=== Definition ===

* Eine Fixgerade f einer Abbildung <math>\phi</math>, bei der (mindestens) zwei Punkt der Fixgeraden f bei der Abbildung <math>\phi</math> auf sich selbst abgebildet werden, heißt Fixpunktgerade. --[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 16:06, 2. Nov. 2010 (UTC)
* Wird jeder Punkt P einer Geraden g bei einer Bewegung б derart abgebildet, dass gilt: P = P` , dann ist die Gerade g eine Fixpunktgerade bei dieser Bewegung б.--[[Benutzer:Shaun15|Shaun15]] 21:35, 3. Nov. 2010 (UTC)

=== Richtig verstanden? ===
<quiz display="simple">
{Kennzeichnen Sie die wahren Aussagen}
+ (a) Manche Fixpunktgeraden einer Abbildung sind Fixgeraden derselben Abbildung.
+ (b) Jede Fixpunktgerade einer Abbildung ist eine Fixgerade dieser Abbildung.

- (c) Jede Fixgerade einer Abbildung ist eine Fixpunktgerade dieser Abbildung.

+ (d) g sei Fixgerade der Bewegung <math>\phi</math>, dann gilt: <math>\forall P \in g . P = \phi (P)</math> --~~~~
- (e) weitere Beispiele ... .

</quiz>
Ich glaube die Auflösungen von Aufgabe (a) und (d) sind nicht korrekt.

Wenn die Aussage (a) heißt "Manche Fixpunktgeraden einer Abbildung sind Fixgeraden derselben Abbildung.", dann impliziert das ja, dass es Fixpunktgeraden gibt, die nicht zugleich Fixgeraden sind. Jede Fixpunktgerade einer Abbildung ist aber zugleich Fixgerade. Daher müsste die Aussage falsch sein.

Ich denke, dass "manche" genauso wie "eine" nicht ausschließt, dass dies für mehrere bzw. alle Fixpunktgeraden gilt!

Bei Aufgabe (d) wäre die Aussage nur richtig, wenn statt "Fixgerade" "FIxpunktgerade" stehen würde. Bei einer Fixgerade wird nur die Gerade auf sich selbst abgebildet, aber nicht unbedingt jeder Punkt der Geraden.
--Steph85

Fixpunkt, Fixgerade, Fixpunktgerade (2010)

2010-11-03T08:40:11Z

Steph85: /* Richtig verstanden? */

== Fixpunkte ==
=== Beispiele/Gegenbeispiele ===

<quiz display="simple">
{In welchen Fällen handelt es sich um Fixpunkte bezüglich der genannten Abbildung?}
+ (a) Punkt <math>\ A</math> auf der Geraden <math>\ g</math> bezüglich der Spiegelung an <math>\ g</math>.
- (b) Punkt <math>\ A</math> auf der Geraden <math>\ g</math> bezüglich einer Verschiebung längs <math>\ g</math>.
+ (c) Punkt <math>\ Z</math> bezüglich einer Drehung mit dem Drehwinkel <math>\alpha = 30^\circ </math> um <math>\ Z</math>.
+ (d) Punkt <math>\ Z</math> bezüglich einer Drehung mit dem Drehwinkel <math>\alpha = 360^\circ </math> um <math>\ Z</math>.
- (e) Punkt <math>A \notin g</math> bezüglich der Spiegelung an <math>\ g</math>.
+ (f) Jeder Punkt <math>\ Q</math> bezüglich der Identität.
- (g) Jeder Punkt <math>\ D</math> bezüglich einer zentrischen Streckung an dem Punkt <math>\ Z</math>.
+ (h) Der Punkt <math>\ D</math> bezüglich einer zentrischen Streckung an sich selbst.
+ (i) Jeder Punkt der Ebene <math>\ \delta</math> bezüglich einer senkrechten Parallelprojektion auf die Ebene <math>\ \delta</math>.
- (j) Der Zentralpunkt <math>\ Z</math> einer Zentralprojektion.
</quiz>

=== Definition des Begriffs Fixpunkt einer Abbildung ===
===== Definition 3.1: (Fixpunkt einer Abbildung <math>\ \phi</math> )=====
::Ein Punkt <math>\ F</math> heißt Fixpunkt einer Abbildung <math>\ \phi</math>, wenn ... .
::Eine Abbildung <math>\ \phi</math> heißt fixpunktfrei, wenn ... .

=== Richtig verstanden? ===
<quiz display="simple">
{Kennzeichnen Sie die wahren Aussagen}
+ (a) Es sei <math>\ Z</math> der Schnittpunkt der Geraden <math>\ h</math> und <math>\ g</math>. <math>\ Z</math> ist Fixpunkt bezüglich <math>\ S_h</math>.
+ (b) Es sei <math>\ Z</math> der Schnittpunkt der Geraden <math>\ h</math> und <math>\ g</math>. <math>\ Z</math> ist Fixpunkt bezüglich <math>\ S_g</math>.
+ (c) Es sei <math>\ Z</math> der Schnittpunkt der Geraden <math>\ h</math> und <math>\ g</math>. <math>\ Z</math> ist Fixpunkt bezüglich <math>\ S_h \circ S_g</math>.
+ (d) Es sei <math>\ Z</math> der Schnittpunkt der Geraden <math>\ h</math> und <math>\ g</math>. <math>\ Z</math> ist Fixpunkt bezüglich <math>\ S_g \circ S_h</math>.
- (e) Jede Drehung hat genau einen Fixpunkt.
- (f) Es gibt fixpunktfreie Geradenspiegelungen.
+ (g) Es gibt fixpunktfreie Verschiebungen.
- (h) Ihr Beispiel ... .

</quiz>

== Fixgeraden ==
=== Beispiele/Gegenbeispiele ===
=== Definition ===

* Eine Gerade g, die bei der Abbildung <math>\phi</math> auf sich selbst abgebildet wird, heißt Fixgerade g der Abbildung <math>\phi</math>. --[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 16:08, 2. Nov. 2010 (UTC)
* Es seien g eine Gerade und <math>\phi</math> eine Abbildung. g ist genau dann eine Fixgerade bezüglich <math>\phi</math>, wenn jeder Punkt von g bei der Abbildung <math>\phi</math> wieder auf einen Punkt von g abgebildet wird. --[[Benutzer:Schomuf|Schomuf]] 08:32, 3. Nov. 2010 (UTC)
* ...

=== Richtig verstanden? ===
== Fixpunktgeraden ==
=== Beispiele/Gegenbeispiele ===
=== Definition ===

* Eine Fixgerade f einer Abbildung <math>\phi</math>, bei der (mindestens) zwei Punkt der Fixgeraden f bei der Abbildung <math>\phi</math> auf sich selbst abgebildet werden, heißt Fixpunktgerade. --[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 16:06, 2. Nov. 2010 (UTC)
* ...

=== Richtig verstanden? ===
<quiz display="simple">
{Kennzeichnen Sie die wahren Aussagen}
+ (a) Manche Fixpunktgeraden einer Abbildung sind Fixgeraden derselben Abbildung.
+ (b) Jede Fixpunktgerade einer Abbildung ist eine Fixgerade dieser Abbildung.

- (c) Jede Fixgerade einer Abbildung ist eine Fixpunktgerade dieser Abbildung.

+ (d) g sei Fixgerade der Bewegung <math>\phi</math>, dann gilt: <math>\forall P \in g . P = \phi (P)</math> --~~~~
- (e) weitere Beispiele ... .

</quiz>
Ich glaube die Auflösungen von Aufgabe (a) und (d) sind nicht korrekt.

Wenn die Aussage (a) heißt "Manche Fixpunktgeraden einer Abbildung sind Fixgeraden derselben Abbildung.", dann impliziert das ja, dass es Fixpunktgeraden gibt, die nicht zugleich Fixgeraden sind. Jede Fixpunktgerade einer Abbildung ist aber zugleich Fixgerade. Daher müsste die Aussage falsch sein.

Bei Aufgabe (d) wäre die Aussage nur richtig, wenn statt "Fixgerade" "FIxpunktgerade" stehen würde. Bei einer Fixgerade wird nur die Gerade auf sich selbst abgebildet, aber nicht unbedingt jeder Punkt der Geraden.
--Steph85

Geradenspiegelungen

2010-11-01T07:40:50Z

Steph85: /* Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen) */

==Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei einer Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>==

<ggb_applet width="536" height="453" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Übungsaufgabe ===
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene gehört.
Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von <math>\ P</math> bei der Spiegelung an <math>\ g</math>. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.

{| class="wikitable center"
|+ Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei der Spiegelung aneiner Geraden <math>\ g</math> 
<math>(P \notin g) </math>
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beschreibung des Schrittes
! Begründung der Korrektheit des Schrittes
|-
| 1.
| Wir fällen das Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. Den Schnittpunkt des Lotes mit der Geraden <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ L</math>
| So bestimmen wir die kürzeste Strecke zwischen dem Punkt <math>\ P</math> und der Geraden <math>\ g</math>. Außerdem steht das Lot senkrecht auf <math>\ g</math> , was die Voraussetzung dafür ist, dass <math>\ g</math> später Mittelsenkrechte werden kann.
|-
| 2.
| Nun tragen wir die Strecke <math>\overline{PL}</math> auf der Halbgeraden <math>\ LP^-</math> ab
| Durch das Abtragen der Strecke bekommen wir auf beiden Seiten derHalbgeraden den gleichen Abstand vond er Geraden <math>\ g</math>
|-
| 3.
| Den entstandenen Punkt bezeichnen wir mit <math>\ P'</math>
| <math>\ P'</math> ist der Bildpunkt von P bei der Geradenspiegelung an <math>\ g</math>. Das wird dadurch ersichtlich, dass <math>\ P</math> und <math>\ P'</math> den gleichen Abstand zu <math>\ g</math> haben und <math>\ g</math> somit Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{PP'}</math> ist.
|}

==Definition des Begriffs==
=====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>)=====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Geradenspiegelung <math>\ S_g</math> versteht man eine ....

::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und P ein Punkkt der Ebene. Unter der Geradenspiegelung <math>\ S_g</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich:
(1) Für den Fall dass P <math>\in</math> <math>\ g</math>: P = P'

(2) Für den fall dass P <math>\notin</math> <math>\ g</math>: Die Gerade <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte der Strecke zwischen dem Punkt P und seinem Bildpunkt P'

Alternativ?

Es seien eine Gerade g und zwei Punkte A, A' <math>\in</math> g. s ist genau dann Spiegelgerade des Punktes A, wenn gilt: s ist Mittelsenkrechte der Strecke AA'[Balken drüber].

==Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung==
=====Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen)=====
::Jede Geradenspiegelung <math>\ S_g</math> ist eine abstandserhaltende Abbildung.

Beweis:

Es seien <math>\ A</math>, <math>\ B</math> zwei Punkte, die an einer Geraden <math>\ g</math> auf ihre Bilder <math>\ A'</math> und <math>\ B'</math> gespiegelt werden.

Wir unterscheiden drei Fälle:

1. <math>\ A, B</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>

Der Beweis ist trivial, da es sich bei dieser speziellen Geradenspiegelung um die Identität handelt.

2. <math>\ A</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>, <math>\ B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>

Den Schnittpunkt von <math>\overline {BB'}</math> mit <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ L</math>

{| class="wikitable center"
|+ Beweis 

|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beschreibung des Schrittes
! Begründung der Korrektheit des Schrittes
|-
| 1.
| <math>\ A</math> = <math>\ A'</math>
| Definition Geradenspiegelung
|-
| 2.
| <math>\ |BL| = |B'L|</math>
| <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB'}</math>
|-
| 3.
| <math>\|AL| = |A'L|</math>
| Es handelt sich um dieselbe Gerade.
|-
| 4.
| <math>\| \angle BLA| = | \angle B'LA'|</math> = 90°
| <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB'}</math>
|-
| 5.
| <math>\overline {ABL}</math> kongruent <math>\overline {A'B'L}</math>
| 2. + 3. + 4. + SWS
|-
| 6.
| <math>\ |AB| = |A'B'|</math>
| 5.
|}
|}

3.<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>

Den Schnittpunkt von <math>\overline {BB'}</math> mit <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ L</math>

Den Schnittpunkt von <math>\overline {AA'}</math> mit <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ M</math>

{| class="wikitable center"
|+ Beweis 

|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beschreibung des Schrittes
! Begründung der Korrektheit des Schrittes
|-
| 1.
| <math> | \overline {AM}| = | \overline {A'M}|, \overline {ML} = \overline{ML}, | \angle AML| = | \angle A'ML |</math> = 90°
| <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AA'}</math>
|-
| 2.
| <math>\overline {AML}</math> kongruent <math>\overline {A'ML}</math>
| 1.
|-
| 3.
| <math> | \angle MAL| = | \angle ALB |</math> und <math> | \angle MA'L| = | \angle A'LB' |</math>
| Wechselwinkelsatz, da <math>\overline {AA'} || \overline {BB'}</math>
|-
| 4.
| <math> | \angle MAL| = | \angle MA'L |</math> --> <math> | \angle ALB| = | \angle A'LB' |</math>
| 2. + 3.
|-
| 5.
| <math> | \overline {BL}| = | \overline {B'L}|</math>
| <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB'}</math>
|-
| 6.
| <math> | \overline {AL}| = | \overline {A'L}|</math>
| 2.
|-
| 7.
| <math> | \overline {ABL}| = | \overline {A'B'L}|</math>
| 4. + 5. + 6. + SWS
|-
| 8.
| <math> | \overline {AB}| = | \overline {A'B'}|</math>
| 7.
|}
Ergänzung: Für den Fall, das A und B nicht in der selben Halbebene bezüglich der Geraden s liegt, läuft der Beweis analog, nur dass die Winkel anderst benannt werden müssen.

Müsste es bei Fall 3 Schritt 5 nicht <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB'}</math> heißen oder bezieht man hier Fall 2 mit ein, sodass der Beweis formal und logisch richtig ist? Ja <math>\overline{BB'}</math> ist korrekt, habs geändert--[[Benutzer:Andreas|Andreas]] 16:02, 30. Okt. 2010 (UTC)

Geradenspiegelungen

2010-10-28T10:44:08Z

Steph85: /* Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen) */

==Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei einer Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>==

<ggb_applet width="536" height="453" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Übungsaufgabe ===
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden <math>\ g</math> dieser Ebene gehört.
Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von <math>\ P</math> bei der Spiegelung an <math>\ g</math>. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.

{| class="wikitable center"
|+ Konstruktion des Bildes eines Punktes <math>\ P</math> bei der Spiegelung aneiner Geraden <math>\ g</math> 
<math>(P \notin g) </math>
|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beschreibung des Schrittes
! Begründung der Korrektheit des Schrittes
|-
| 1.
| Wir fällen das Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. Den Schnittpunkt des Lotes mit der Geraden <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ L</math>
| So bestimmen wir die kürzeste Strecke zwischen dem Punkt <math>\ P</math> und der Geraden <math>\ g</math>. Außerdem steht das Lot senkrecht auf <math>\ g</math> , was die Voraussetzung dafür ist, dass <math>\ g</math> später Mittelsenkrechte werden kann.
|-
| 2.
| Nun tragen wir die Strecke <math>\overline{PL}</math> auf der Halbgeraden <math>\ LP^-</math> ab
| Durch das Abtragen der Strecke bekommen wir auf beiden Seiten derHalbgeraden den gleichen Abstand vond er Geraden <math>\ g</math>
|-
| 3.
| Den entstandenen Punkt bezeichnen wir mit <math>\ P'</math>
| <math>\ P'</math> ist der Bildpunkt von P bei der Geradenspiegelung an <math>\ g</math>. Das wird dadurch ersichtlich, dass <math>\ P</math> und <math>\ P'</math> den gleichen Abstand zu <math>\ g</math> haben und <math>\ g</math> somit Mittelsenkrechte der Strecke <math>\overline{PP'}</math> ist.
|}

==Definition des Begriffs==
=====Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden <math>\ g</math>)=====
::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade. Unter der Geradenspiegelung <math>\ S_g</math> versteht man eine ....

::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und P ein Punkkt der Ebene. Unter der Geradenspiegelung <math>\ S_g</math> versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich:
(1) Für den Fall dass P <math>\in</math> <math>\ g</math>: P = P'

(2) Für den fall dass P <math>\notin</math> <math>\ g</math>: Die Gerade <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte der Strecke zwischen dem Punkt P und seinem Bildpunkt P'

==Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung==
=====Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen)=====
::Jede Geradenspiegelung <math>\ S_g</math> ist eine abstandserhaltende Abbildung.

Beweis:

Es seien <math>\ A</math>, <math>\ B</math> zwei Punkte, die an einer Geraden <math>\ g</math> auf ihre Bilder <math>\ A'</math> und <math>\ B'</math> gespiegelt werden.

Wir unterscheiden drei Fälle:

1. <math>\ A, B</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>

Der Beweis ist trivial, da es sich bei dieser speziellen Geradenspiegelung um die Identität handelt.

2. <math>\ A</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>, <math>\ B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>

Den Schnittpunkt von <math>\overline {BB'}</math> mit <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ L</math>

{| class="wikitable center"
|+ Beweis 

|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beschreibung des Schrittes
! Begründung der Korrektheit des Schrittes
|-
| 1.
| <math>\ A</math> = <math>\ A'</math>
| Definition Geradenspiegelung
|-
| 2.
| <math>\ |BL| = |B'L|</math>
| <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB'}</math>
|-
| 3.
| <math>\|AL| = |A'L|</math>
| Es handelt sich um dieselbe Gerade.
|-
| 4.
| <math>\| \angle BLA| = | \angle B'LA'|</math> = 90°
| <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB'}</math>
|-
| 5.
| <math>\overline {ABL}</math> kongruent <math>\overline {A'B'L}</math>
| 2. + 3. + 4. + SWS
|-
| 6.
| <math>\ |AB| = |A'B'|</math>
| 5.
|}
|}

3.<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math>

Den Schnittpunkt von <math>\overline {BB'}</math> mit <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ L</math>

Den Schnittpunkt von <math>\overline {AA'}</math> mit <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ M</math>

{| class="wikitable center"
|+ Beweis 

|- style="background: #DDFFDD;"
! Nr.
! Beschreibung des Schrittes
! Begründung der Korrektheit des Schrittes
|-
| 1.
| <math> | \overline {AM}| = | \overline {A'M}|, \overline {ML} = \overline{ML}, | \angle AML| = | \angle A'ML |</math> = 90°
| <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AA'}</math>
|-
| 2.
| <math>\overline {AML}</math> kongruent <math>\overline {A'ML}</math>
| 1.
|-
| 3.
| <math> | \angle MAL| = | \angle ALB |</math> und <math> | \angle MA'L| = | \angle A'LB' |</math>
| Wechselwinkelsatz, da <math>\overline {AA'} || \overline {BB'}</math>
|-
| 4.
| <math> | \angle MAL| = | \angle MA'L |</math> --> <math> | \angle ALB| = | \angle A'LB' |</math>
| 2. + 3.
|-
| 5.
| <math> | \overline {BL}| = | \overline {B'L}|</math>
| <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AA'}</math>
|-
| 6.
| <math> | \overline {AL}| = | \overline {A'L}|</math>
| 2.
|-
| 7.
| <math> | \overline {ABL}| = | \overline {A'B'L}|</math>
| 4. + 5. + 6. + SWS
|-
| 8.
| <math> | \overline {AB}| = | \overline {A'B'}|</math>
| 7.
|}
|}

Geradenspiegelungen

2010-10-27T09:24:33Z

Steph85: /* Übungsaufgabe */

Geradenspiegelungen

2010-10-27T09:16:52Z

Steph85: /* Übungsaufgabe */

Geradenspiegelungen

2010-10-27T09:03:55Z

Steph85: /* Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden \ g) */