Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Benutzer:Sternchen

2016-04-22T13:51:32Z

Sternchen:

:::::<math>\star</math> 
[[Datei:Sternchen blau.png]]

== Formatierungshilfen ==
[http://wiki.zum.de/Hilfe:TeX Hilfe zu LaTeX] 
<math>\varphi</math> (dieses kleine phi heißt \varphi)

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|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
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| Voraussetzung
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2016-04-22T13:48:35Z

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Benutzer:Sternchen

2014-10-31T09:38:30Z

Sternchen:

::::<math>\star</math> 
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== Formatierungshilfen ==
[http://wiki.zum.de/Hilfe:TeX Hilfe zu LaTeX] 
<math>\varphi</math> (dieses kleine phi heißt \varphi)

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Lösungen WiSe 2011/12 - Serie 05

2011-12-01T20:27:34Z

Sternchen: /* Aufgabe 5.3 */

=Aufgabe 5.1=
[[Bild:Reduktionssatz Schritt 01.png|600px]]
 
Es sei <math>\overline{A'B'C'_1</math> das Bild von <math>\overline{ABC}</math> bei einer Bewegung <math>\varphi</math>. 
<math>\overline{A'_1B'_1C'_1</math> sei das Bild von <math>\overline{ABC}</math> bei der Spiegelung an der Mittelsenkrechten von <math>\overline{CC'_1}</math>. 
Beweisen Sie:

Die Mittelsenkrechte von <math>\overline{B'_1B'}</math> geht durch den Punkt <math>C'_1</math>.

Die Mittelsenkrechte von <math>\overline{A'_1A'}</math> geht durch den Punkt <math>C'_1</math>.

[[Bild: Beweis_ws_11_12-5_1.JPG|1200px]]
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:26, 29. Nov. 2011 (CET)

=Aufgabe 5.2=
Das Bild aus Aufgabe 5.1 suggeriert, dass die Mittelsenkrechten von <math>\overline{B'_1B'}</math> und <math>\overline{A'_1A'}</math> identisch sind. Zeigen Sie mittels einer Skizze, dass es Fälle gibt, in denen dieselben Voraussetzungen wie in Aufgabe 5.1 gelten, die genannten beiden Mittelsenkrechten jedoch nicht identisch sind.

=Aufgabe 5.3=
Definition: (Verschiebung)
::Die Nacheinanderausführung zweier Geradenspiegelungen <math>S_a</math> und <math>S_b</math> mit <math>b \|| a</math> heißt Verschiebung.
Beweisen Sie:

# Die Identität ist eine Verschiebung.
 
Für diejenigen, die an die Ästhetik der Mathematik appelieren, sei gesagt, dass sie bitte nicht mehr weiterlesen sollen. Es wird nicht schön. Für euch sei gesagt, dass die Identität durch Spiegelung an zwei identischen Geraden hergestellt werden kann. Das sollte genügen und ist unmittelbar einleuchtend. 
Diejenigen, die sich immer schon mit der Thematik 'Wie schaffe ich es, einfache und unmittelbar einleuchtende Dinge kompliziert darzustellen und dabei ohne Rücksicht auf Verluste vorzugehen, der hole sich bitte noch ein Bier, ein paar Chips, lehnt sich in seinem Sessel gemütlich zurück und lässt den Wahnsinn einfach vor seinen Augen geschehen. 

LIGHT OFF - SPOT ON!

Wir setzen logischerweise ebene Geometrie voraus. 
Wir haben gegeben: Zwei parallele Geraden a und b. Ferner betrachten wir alle beliebigen Punkte P der Ebene. 
Behauptung: Die Identität ist eine Verschiebung. 
Es gilt also zu zeigen, dass für jeden Punkt P gilt: <math>\forall P \in \epsilon: S_a(S_b(P)) \equiv P</math>

Es gelte: <math>S_a(S_b(P))= P'</math>
Wir werden keine Fallunterscheidung durchführen, da es für unsere Beweisführung (fast) keine Rolle spielt, ob P auf a oder b liegt, da wir uns alle Punkte anschauen und für alle Punkte gleichermaßen den Beweis führen. Ein Punkt alleine würde zum Nachweis der Identität so und so nicht reichen.

Wenn P an der Geraden a gespiegelt wird, dann gilt nach der Definition der Spiegelung, dass a die Mittelsenkrechten von <math>\overline{PP'} </math> ist. Nach der gleichen Definition gilt aber auch, dass die Abbildung von P' auf P genau dann zustande kommt, wenn eine Gerade g Mittelsenkrechten von <math>\overline{PP'} </math> ist. Weil nun <math>\overline{PP'} \equiv \overline{PP'}</math> (der Leser überzeuge sich selbst) gilt auch, dass die Menge aller Punkte für die gilt, dass der Abstand zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{PP'}</math> identisch zu sich selbst ist.
Aus diesen Punkten folgt: <math>a\equiv b \Leftrightarrow S_b o S_a = id.</math>
 
 
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit :-). 

::Ich grins mal zurück =) und geb zu: Ich hab's überhaupt nicht verstanden, außer vielleicht <math>\overline{PP'} \equiv \overline{PP'}</math>. Dass der Beweis (deine Worte)
<blockquote style="border: 1px solid blue; padding: 2em;">
einfache und unmittelbar einleuchtende Dinge kompliziert
</blockquote>
::darstellt, rettet dich nicht davor, dass ich ihn gern verstehen würde. ;-)
::Ich versuch mal, ne schlaue Frage zu stellen:
::Warum sprichst du nur von <math>P'</math> wobei gilt <math>P' = S_a(S_b(P))</math>? Was ist mit dem Punkt, der nach der ersten Spiegelung entsteht, also hier <math>S_b(P)</math>? Inwiefern kannst du die Definition der Spiegelung hier auf die ''Nacheinanderausführung'' von zwei Spiegelungen anwenden?
::--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:26, 1. Dez. 2011 (CET)
 
<quiz>
{Ich bin ein Freund der ästhetischen Mathematik und hätte mich auch mit der ersten Lösung zufrieden gegeben, habe aber gegen alle Warnungen weitergelesen}
- JA
||erwischt :-)
+ NEIN
||gut, dann hat sich die Arbeit wenigstens gelohnt :-)
</quiz>
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 21:29, 30. Nov. 2011 (CET)

# Wenn die beiden Spiegelgeraden <math>a</math> und <math>b</math> den Abstand <math>d</math> zueinander haben, dann gilt <math>\forall A: \left|A S_b \left( S_a \left( A \right) \right)\right| =2d</math>

Dafür ist die umso schwieriger - glaube ich :-).

Ich denke, wir müssen drei Fälle unterscheiden. 

Voraussetzung: Zwei parallele Geraden a und b, mit dem Abstand d. Punkt A
Behauptung: <math>\forall A: \left|A S_b \left( S_a \left( A \right) \right)\right| =2d</math> 
Wir gönnen uns zur besseren Beschreibung der einzelnen Fälle noch eine Senkrechte s mit der Eigenschaft: <math>\ s \perp \ a \ \wedge \ s \perp \ b \ \wedge \ A \in s</math>. Ferner gilt: <math>a \ \cap s = {S_a} </math> und <math>b \ \cap s = {S_b} </math>

Fallunterscheidung: 
Fall I: <math>\operatorname(Zw) (S_a, A, S_b)</math> 
Fall II: <math>\neg (\operatorname(Zw) (S_a, A, S_b)) \ \wedge \ S_b \not\in \ \overline{AA'} </math> 
Fall III: <math>S_b \in \overline{AA'}</math> 
Skizze:

<ggb_applet width="1366" height="607" version="4.0" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Für Fall I gilt: 
<math>\left| AA' \right| = 2\left| AS_a \right|</math>. 
<math>\left| A'A'' \right| = 2\left| S_bA' \right| </math>, weil Spiegelung gleich Bewegung und somit abstandserhaltend 
Demnach gilt: <math>\left| A''A' \right| = 2 \left| S_aS_b \right| + 2\left| S_aA' \right|</math> Hier könnte man noch mit Halbebenen argumentieren - ich denke aber die Argumentation Mittelsenkrechtenkriterium müsste reichen, weil ja A' dadurch nicht mehr in der Halbebene <math>\ aA^{+}</math> liegen kann und demnach wird <math>\left| S_bS_a \right|</math> komplett gespiegelt. 
<math>\left| AA'' \right| = \left| A'A'' \right| - \left| AA' \right|</math> 
::<math>= 2\left| S_bA' \right| - 2\left| AS_a \right|</math>
::<math>= 2\left| S_bS_a \right|</math> Nach vorherigen Schritten. [Änderung: --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:10, 1. Dez. 2011 (CET)] 
Begründet wird natürlich immer mit dem Mittelsenkrechtenkriterium und der Definiton von Spiegelung.
 
Die restlichen Fälle werden analog ausgeführt und durch rechnerische Begründungen beschränkt. Durch diese Fallunterscheidung ist es relativ einfach diese Tatsache nahezulegen, jedoch schreiberisch arg aufwendig und irreführend. Vielleicht gibt es eine allgemeinere Lösung. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:48, 30. Nov. 2011 (CET)

[[Kategorie:Elementargeometrie]]

Lösungen WiSe 2011/12 - Serie 05

2011-12-01T20:26:30Z

Sternchen: /* Aufgabe 5.3 */

=Aufgabe 5.1=
[[Bild:Reduktionssatz Schritt 01.png|600px]]
 
Es sei <math>\overline{A'B'C'_1</math> das Bild von <math>\overline{ABC}</math> bei einer Bewegung <math>\varphi</math>. 
<math>\overline{A'_1B'_1C'_1</math> sei das Bild von <math>\overline{ABC}</math> bei der Spiegelung an der Mittelsenkrechten von <math>\overline{CC'_1}</math>. 
Beweisen Sie:

Die Mittelsenkrechte von <math>\overline{B'_1B'}</math> geht durch den Punkt <math>C'_1</math>.

Die Mittelsenkrechte von <math>\overline{A'_1A'}</math> geht durch den Punkt <math>C'_1</math>.

[[Bild: Beweis_ws_11_12-5_1.JPG|1200px]]
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:26, 29. Nov. 2011 (CET)

=Aufgabe 5.2=
Das Bild aus Aufgabe 5.1 suggeriert, dass die Mittelsenkrechten von <math>\overline{B'_1B'}</math> und <math>\overline{A'_1A'}</math> identisch sind. Zeigen Sie mittels einer Skizze, dass es Fälle gibt, in denen dieselben Voraussetzungen wie in Aufgabe 5.1 gelten, die genannten beiden Mittelsenkrechten jedoch nicht identisch sind.

=Aufgabe 5.3=
Definition: (Verschiebung)
::Die Nacheinanderausführung zweier Geradenspiegelungen <math>S_a</math> und <math>S_b</math> mit <math>b \|| a</math> heißt Verschiebung.
Beweisen Sie:

# Die Identität ist eine Verschiebung.
 
Für diejenigen, die an die Ästhetik der Mathematik appelieren, sei gesagt, dass sie bitte nicht mehr weiterlesen sollen. Es wird nicht schön. Für euch sei gesagt, dass die Identität durch Spiegelung an zwei identischen Geraden hergestellt werden kann. Das sollte genügen und ist unmittelbar einleuchtend. 
Diejenigen, die sich immer schon mit der Thematik 'Wie schaffe ich es, einfache und unmittelbar einleuchtende Dinge kompliziert darzustellen und dabei ohne Rücksicht auf Verluste vorzugehen, der hole sich bitte noch ein Bier, ein paar Chips, lehnt sich in seinem Sessel gemütlich zurück und lässt den Wahnsinn einfach vor seinen Augen geschehen. 

LIGHT OFF - SPOT ON!

Wir setzen logischerweise ebene Geometrie voraus. 
Wir haben gegeben: Zwei parallele Geraden a und b. Ferner betrachten wir alle beliebigen Punkte P der Ebene. 
Behauptung: Die Identität ist eine Verschiebung. 
Es gilt also zu zeigen, dass für jeden Punkt P gilt: <math>\forall P \in \epsilon: S_a(S_b(P)) \equiv P</math>

Es gelte: <math>S_a(S_b(P))= P'</math>
Wir werden keine Fallunterscheidung durchführen, da es für unsere Beweisführung (fast) keine Rolle spielt, ob P auf a oder b liegt, da wir uns alle Punkte anschauen und für alle Punkte gleichermaßen den Beweis führen. Ein Punkt alleine würde zum Nachweis der Identität so und so nicht reichen.

Wenn P an der Geraden a gespiegelt wird, dann gilt nach der Definition der Spiegelung, dass a die Mittelsenkrechten von <math>\overline{PP'} </math> ist. Nach der gleichen Definition gilt aber auch, dass die Abbildung von P' auf P genau dann zustande kommt, wenn eine Gerade g Mittelsenkrechten von <math>\overline{PP'} </math> ist. Weil nun <math>\overline{PP'} \equiv \overline{PP'}</math> (der Leser überzeuge sich selbst) gilt auch, dass die Menge aller Punkte für die gilt, dass der Abstand zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{PP'}</math> identisch zu sich selbst ist.
Aus diesen Punkten folgt: <math>a\equiv b \Leftrightarrow S_b o S_a = id.</math>
 
 
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit :-). 

::Ich grins mal zurück =) und geb zu: Ich hab's überhaupt nicht verstanden, außer vielleicht <math>\overline{PP'} \equiv \overline{PP'}</math>. Dass der Beweis (deine Worte)
<blockquote style="border: 1px solid blue; padding: 2em;">
einfache und unmittelbar einleuchtende Dinge kompliziert
</blockquote>
::darstellt, rettet dich nicht davor, dass ich ihn gern verstehen würde. ;-)
::Ich versuch mal, ne schlaue Frage zu stellen:
::Warum sprichst du nur von <math>P'</math> wobei gilt <math>P' = S_a(S_b(P))</math>. Was ist mit dem Punkt, der nach der ersten Spiegelung entsteht, also hier <math>S_b(P)</math>? Inwiefern kannst du die Definition der Spiegelung hier auf die ''Nacheinanderausführung'' von zwei Spiegelungen anwenden?
::--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:26, 1. Dez. 2011 (CET)
 
<quiz>
{Ich bin ein Freund der ästhetischen Mathematik und hätte mich auch mit der ersten Lösung zufrieden gegeben, habe aber gegen alle Warnungen weitergelesen}
- JA
||erwischt :-)
+ NEIN
||gut, dann hat sich die Arbeit wenigstens gelohnt :-)
</quiz>
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 21:29, 30. Nov. 2011 (CET)

# Wenn die beiden Spiegelgeraden <math>a</math> und <math>b</math> den Abstand <math>d</math> zueinander haben, dann gilt <math>\forall A: \left|A S_b \left( S_a \left( A \right) \right)\right| =2d</math>

Dafür ist die umso schwieriger - glaube ich :-).

Ich denke, wir müssen drei Fälle unterscheiden. 

Voraussetzung: Zwei parallele Geraden a und b, mit dem Abstand d. Punkt A
Behauptung: <math>\forall A: \left|A S_b \left( S_a \left( A \right) \right)\right| =2d</math> 
Wir gönnen uns zur besseren Beschreibung der einzelnen Fälle noch eine Senkrechte s mit der Eigenschaft: <math>\ s \perp \ a \ \wedge \ s \perp \ b \ \wedge \ A \in s</math>. Ferner gilt: <math>a \ \cap s = {S_a} </math> und <math>b \ \cap s = {S_b} </math>

Fallunterscheidung: 
Fall I: <math>\operatorname(Zw) (S_a, A, S_b)</math> 
Fall II: <math>\neg (\operatorname(Zw) (S_a, A, S_b)) \ \wedge \ S_b \not\in \ \overline{AA'} </math> 
Fall III: <math>S_b \in \overline{AA'}</math> 
Skizze:

<ggb_applet width="1366" height="607" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIADO0fj8AAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIADO0fj8AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3Vlbj9u2En5OfwWhhz7FsniVlNopkhTFCbBpCmzOQdGXgJK4trqypEr0ZYP++A5JyZbsvSa7yUEW66VIDjmcb76Zobyzn3erAm1U0+ZVOfewH3hIlWmV5eVi7q31xSTyfn75w2yhqoVKGokuqmYl9dxjRjLP5h5NCBWBCCaKhWTClJSTOJFqwnDG6IWgKsOph9CuzV+U1W9ypdpapuo8XaqVPKtSqa3ipdb1i+l0u936vSq/ahbTxSLxd23mIThm2c697uEFbDdatKVWnAQBnv7x7sxtP8nLVssyVR4yJqzzlz88m23zMqu2aJtnegkG04h4aKnyxRKMChnz0NRI1YBIrVKdb1QLawdda7Re1Z4Vk6WZf+aeULG3x0NZvskz1cy9wMcMR4QyxkhEBRNR5KGqyVWpO2HcKZ322802udq6fc2TVQkn01VVJNJsif75B5GABOi5abBrCDRCuKnAjQXUNcQ1zDXcyTC3nDlR5mSYk2HUQ5u8zZNCzb0LWbSAYV5eNOC/fb/VV4Wy5+kGDubj52BTm38CYRoAURzoMB4Ez81HwIeZienYSDzQqpv1A5X2KjEV4v46yRdZSvdK42t0En6DneIWpc7wexnKB9iCKvtrPyca6W1mHmt0/S9TKNhXMXE27WNl1oUHapdGtqOPVqvWBAyNEY8N7zHiEBwiBJpzhGNoQoIgHBDmiHHo4ggJ04aIhjDBEEURMnKYIhsdPII/LLSbCcRhMzMaQlAiDIoY4hRhG1QMQSghG5gQpISCBOeIwyKjHhOzBRWICejRCDE4o4nJEIMghYXQB/UEUYyoWYxDRAQSZj/MTKyLyBwdtiRIBEhgsyGENYS0C2eQjxA11ogOrrys13oEUbrK+kdd1XtfgDQkpEPecwlqlBafzQqZqAJKxbnxJEIbWZiIsIouqlKj3onEjS0aWS/ztD1XWsOqFv0lN/JMarX7FaTbXreVTauy/b2p9JuqWK/KFqG0KoL9masCD57J/tTQoYMJNpzggwkxeA6v1VvBDFq3CvRXTduLyyx7ayQOqQGQfF8WV68bJS/rKh+bMZvaqjNT67TIs1yW/wOyGi0GF3QoQiZf9UWIh3F/kqrJzq9aoDDa/amaCnIV5qbuXrkexcyPhz8Qcm0qTcDxwMp1PRaP5ToFarN3hNypg02LxgTwoPO2fV0VhyFr5htZ63VjrwmQAxtz9lflolCWCjarQg1OL5Nqd94lZbfXh6saeoE7QbKw8CJIAYRzEOjaxLVWxhxtLxVYmcBKBD2p8mw/j2NiJWybuNZKAUvd0TpTcW8mDno1eWsTV+B14dEnJcNxU9HXZa7P+o7O08vOVOwW/LZeJWrPlPGe+LH2nE2PqDS7VE2pio654Mx1tW5dIA5Inak0X0HXTXSQSOOu/8IB3GimFo3qD17YK5gDzM4GQ06eDNutfm2q1dty8wG4cHSA2bQ/5axNm7w2nEMJZPtLdWBVlrcSikU2XGdCDUxPTVEAeLSBBoJwrZdVYy9ZkDugNRFWqBXcqJC29LIM3cP86iO2tzWDKKqSvyCBHXvi4DOYv5ZtlpeyqJfSXOk6uwt5pZoREna/d1V2jA/Ab42AaK6de2ulHDPckeGhhu1sQI3SEQDeot3cmwS+uTle2ScBT5/cfd3dV43BJtBGOdiNHnkLKOSwugO1198BZpj41GHGHguytFqtZJmh0l5kziCteIe6KgPHNiSxAdCBs9b9VOI267Y4wd/kqD26ySn83bXsvugH98b+/cVFq7QBLAwcwyi/zTUDUnKf8nFpMesx9Qnctw8/xGLPfBqMRnst++Ss4XpwCS9Bra0guqsV9uE/eZYpezV0xevv0i1pXcbMV3WRp7l+CMXffAcUD/1IWMzhPfMrMfyN43dywm/5AH7Lb8vv+Cn4TWM/ZCQ8CH9jfv/yHfCbA9IWc+qH5An4/b6By8SiKmVxDdN/uYnp6QOYnt7lhYHdX87128h8HW2vric54BzFUDOhaj45hccO+d1SeOyH9MQBr253wNEF8LNyDSbujcS2/w+hIHxOaUhYHDBK4piGvEv8XEQxFyKkhFEWsieIknd501TN8U3HRYc8dc6Psq7anx7kom7JN3fUsLLiUHAuaCRwxFiAHdwTQJZgSrEA2IUQ1g2PDvi5Wpjx6xEf4DvCPbsd8bbbs0czuwPtr5WXsM/jgEQRpQHG8ItZx2thvjHHLMIRZ0w4Xk9w4IdcQBSEsCQMw5g9TYayyBYmHN+WGl7ClX0LPX23vlSqNl9qvC8/NLJszT9InMzgnf0GJ+83PnJzdlNgnX+844o1Dioj/jkB1X8X8/n3LBcqmN2TACKCWOPgSkZwLDiO+rrEIdlh8HWMMYeAswwgDPIgiQ5VjD9i3N3kkvSmm8D5xzve6o5d8nkvdl/uEuyKPRb39AmBl2cSs1hEw7sCI3APC6DQuHcNEoAzeEgeyRdqVzcQt6ZMdmh8UDsNhREm5t6Pf68r/dNrtVULhV65nt1hDLiGJd54/bfMc62WjbaXGmRwJX6HJAEWn166uioyBGU6/BbMfqfc/Yf05b9QSwcIr6ZMV38HAAC+HQAAUEsBAhQAFAAIAAgAM7R+P9Y3vbkZAAAAFwAAABYAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhX2phdmFzY3JpcHQuanNQSwECFAAUAAgACAAztH4/r6ZMV38HAAC+HQAADAAAAAAAAAAAAAAAAABdAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAACAAIAfgAAABYIAAAAAA==" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Für Fall I gilt: 
<math>\left| AA' \right| = 2\left| AS_a \right|</math>. 
<math>\left| A'A'' \right| = 2\left| S_bA' \right| </math>, weil Spiegelung gleich Bewegung und somit abstandserhaltend 
Demnach gilt: <math>\left| A''A' \right| = 2 \left| S_aS_b \right| + 2\left| S_aA' \right|</math> Hier könnte man noch mit Halbebenen argumentieren - ich denke aber die Argumentation Mittelsenkrechtenkriterium müsste reichen, weil ja A' dadurch nicht mehr in der Halbebene <math>\ aA^{+}</math> liegen kann und demnach wird <math>\left| S_bS_a \right|</math> komplett gespiegelt. 
<math>\left| AA'' \right| = \left| A'A'' \right| - \left| AA' \right|</math> 
::<math>= 2\left| S_bA' \right| - 2\left| AS_a \right|</math>
::<math>= 2\left| S_bS_a \right|</math> Nach vorherigen Schritten. [Änderung: --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:10, 1. Dez. 2011 (CET)] 
Begründet wird natürlich immer mit dem Mittelsenkrechtenkriterium und der Definiton von Spiegelung.
 
Die restlichen Fälle werden analog ausgeführt und durch rechnerische Begründungen beschränkt. Durch diese Fallunterscheidung ist es relativ einfach diese Tatsache nahezulegen, jedoch schreiberisch arg aufwendig und irreführend. Vielleicht gibt es eine allgemeinere Lösung. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:48, 30. Nov. 2011 (CET)

[[Kategorie:Elementargeometrie]]

Lösungen WiSe 2011/12 - Serie 05

2011-12-01T20:10:29Z

Sternchen: /* Aufgabe 5.3 */

=Aufgabe 5.1=
[[Bild:Reduktionssatz Schritt 01.png|600px]]
 
Es sei <math>\overline{A'B'C'_1</math> das Bild von <math>\overline{ABC}</math> bei einer Bewegung <math>\varphi</math>. 
<math>\overline{A'_1B'_1C'_1</math> sei das Bild von <math>\overline{ABC}</math> bei der Spiegelung an der Mittelsenkrechten von <math>\overline{CC'_1}</math>. 
Beweisen Sie:

Die Mittelsenkrechte von <math>\overline{B'_1B'}</math> geht durch den Punkt <math>C'_1</math>.

Die Mittelsenkrechte von <math>\overline{A'_1A'}</math> geht durch den Punkt <math>C'_1</math>.

[[Bild: Beweis_ws_11_12-5_1.JPG|1200px]]
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:26, 29. Nov. 2011 (CET)

=Aufgabe 5.2=
Das Bild aus Aufgabe 5.1 suggeriert, dass die Mittelsenkrechten von <math>\overline{B'_1B'}</math> und <math>\overline{A'_1A'}</math> identisch sind. Zeigen Sie mittels einer Skizze, dass es Fälle gibt, in denen dieselben Voraussetzungen wie in Aufgabe 5.1 gelten, die genannten beiden Mittelsenkrechten jedoch nicht identisch sind.

=Aufgabe 5.3=
Definition: (Verschiebung)
::Die Nacheinanderausführung zweier Geradenspiegelungen <math>S_a</math> und <math>S_b</math> mit <math>b \|| a</math> heißt Verschiebung.
Beweisen Sie:

# Die Identität ist eine Verschiebung.
 
Für diejenigen, die an die Ästhetik der Mathematik appelieren, sei gesagt, dass sie bitte nicht mehr weiterlesen sollen. Es wird nicht schön. Für euch sei gesagt, dass die Identität durch Spiegelung an zwei identischen Geraden hergestellt werden kann. Das sollte genügen und ist unmittelbar einleuchtend. 
Diejenigen, die sich immer schon mit der Thematik 'Wie schaffe ich es, einfache und unmittelbar einleuchtende Dinge kompliziert darzustellen und dabei ohne Rücksicht auf Verluste vorzugehen, der hole sich bitte noch ein Bier, ein paar Chips, lehnt sich in seinem Sessel gemütlich zurück und lässt den Wahnsinn einfach vor seinen Augen geschehen. 

LIGHT OFF - SPOT ON!

Wir setzen logischerweise ebene Geometrie voraus. 
Wir haben gegeben: Zwei parallele Geraden a und b. Ferner betrachten wir alle beliebigen Punkte P der Ebene. 
Behauptung: Die Identität ist eine Verschiebung. 
Es gilt also zu zeigen, dass für jeden Punkt P gilt: <math>\forall P \in \epsilon: S_a(S_b(P)) \equiv P</math>

Es gelte: <math>S_a(S_b(P))= P'</math>
Wir werden keine Fallunterscheidung durchführen, da es für unsere Beweisführung (fast) keine Rolle spielt, ob P auf a oder b liegt, da wir uns alle Punkte anschauen und für alle Punkte gleichermaßen den Beweis führen. Ein Punkt alleine würde zum Nachweis der Identität so und so nicht reichen.

Wenn P an der Geraden a gespiegelt wird, dann gilt nach der Definition der Spiegelung, dass a die Mittelsenkrechten von <math>\overline{PP'} </math> ist. Nach der gleichen Definition gilt aber auch, dass die Abbildung von P' auf P genau dann zustande kommt, wenn eine Gerade g Mittelsenkrechten von <math>\overline{PP'} </math> ist. Weil nun <math>\overline{PP'} \equiv \overline{PP'}</math> (der Leser überzeuge sich selbst) gilt auch, dass die Menge aller Punkte für die gilt, dass der Abstand zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{PP'}</math> identisch zu sich selbst ist.
Aus diesen Punkten folgt: <math>a\equiv b \Leftrightarrow S_b o S_a = id.</math>
 
 
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit :-).
<quiz>
{Ich bin ein Freund der ästhetischen Mathematik und hätte mich auch mit der ersten Lösung zufrieden gegeben, habe aber gegen alle Warnungen weitergelesen}
- JA
||erwischt :-)
+ NEIN
||gut, dann hat sich die Arbeit wenigstens gelohnt :-)
</quiz>
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 21:29, 30. Nov. 2011 (CET)

# Wenn die beiden Spiegelgeraden <math>a</math> und <math>b</math> den Abstand <math>d</math> zueinander haben, dann gilt <math>\forall A: \left|A S_b \left( S_a \left( A \right) \right)\right| =2d</math>

Dafür ist die umso schwieriger - glaube ich :-).

Ich denke, wir müssen drei Fälle unterscheiden. 

Voraussetzung: Zwei parallele Geraden a und b, mit dem Abstand d. Punkt A
Behauptung: <math>\forall A: \left|A S_b \left( S_a \left( A \right) \right)\right| =2d</math> 
Wir gönnen uns zur besseren Beschreibung der einzelnen Fälle noch eine Senkrechte s mit der Eigenschaft: <math>\ s \perp \ a \ \wedge \ s \perp \ b \ \wedge \ A \in s</math>. Ferner gilt: <math>a \ \cap s = {S_a} </math> und <math>b \ \cap s = {S_b} </math>

Fallunterscheidung: 
Fall I: <math>\operatorname(Zw) (S_a, A, S_b)</math> 
Fall II: <math>\neg (\operatorname(Zw) (S_a, A, S_b)) \ \wedge \ S_b \not\in \ \overline{AA'} </math> 
Fall III: <math>S_b \in \overline{AA'}</math> 
Skizze:

<ggb_applet width="1366" height="607" version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIADO0fj8AAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiuBQBQSwcI1je9uRkAAAAXAAAAUEsDBBQACAAIADO0fj8AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s3Vlbj9u2En5OfwWhhz7FsniVlNopkhTFCbBpCmzOQdGXgJK4trqypEr0ZYP++A5JyZbsvSa7yUEW66VIDjmcb76Zobyzn3erAm1U0+ZVOfewH3hIlWmV5eVi7q31xSTyfn75w2yhqoVKGokuqmYl9dxjRjLP5h5NCBWBCCaKhWTClJSTOJFqwnDG6IWgKsOph9CuzV+U1W9ypdpapuo8XaqVPKtSqa3ipdb1i+l0u936vSq/ahbTxSLxd23mIThm2c697uEFbDdatKVWnAQBnv7x7sxtP8nLVssyVR4yJqzzlz88m23zMqu2aJtnegkG04h4aKnyxRKMChnz0NRI1YBIrVKdb1QLawdda7Re1Z4Vk6WZf+aeULG3x0NZvskz1cy9wMcMR4QyxkhEBRNR5KGqyVWpO2HcKZ322802udq6fc2TVQkn01VVJNJsif75B5GABOi5abBrCDRCuKnAjQXUNcQ1zDXcyTC3nDlR5mSYk2HUQ5u8zZNCzb0LWbSAYV5eNOC/fb/VV4Wy5+kGDubj52BTm38CYRoAURzoMB4Ez81HwIeZienYSDzQqpv1A5X2KjEV4v46yRdZSvdK42t0En6DneIWpc7wexnKB9iCKvtrPyca6W1mHmt0/S9TKNhXMXE27WNl1oUHapdGtqOPVqvWBAyNEY8N7zHiEBwiBJpzhGNoQoIgHBDmiHHo4ggJ04aIhjDBEEURMnKYIhsdPII/LLSbCcRhMzMaQlAiDIoY4hRhG1QMQSghG5gQpISCBOeIwyKjHhOzBRWICejRCDE4o4nJEIMghYXQB/UEUYyoWYxDRAQSZj/MTKyLyBwdtiRIBEhgsyGENYS0C2eQjxA11ogOrrys13oEUbrK+kdd1XtfgDQkpEPecwlqlBafzQqZqAJKxbnxJEIbWZiIsIouqlKj3onEjS0aWS/ztD1XWsOqFv0lN/JMarX7FaTbXreVTauy/b2p9JuqWK/KFqG0KoL9masCD57J/tTQoYMJNpzggwkxeA6v1VvBDFq3CvRXTduLyyx7ayQOqQGQfF8WV68bJS/rKh+bMZvaqjNT67TIs1yW/wOyGi0GF3QoQiZf9UWIh3F/kqrJzq9aoDDa/amaCnIV5qbuXrkexcyPhz8Qcm0qTcDxwMp1PRaP5ToFarN3hNypg02LxgTwoPO2fV0VhyFr5htZ63VjrwmQAxtz9lflolCWCjarQg1OL5Nqd94lZbfXh6saeoE7QbKw8CJIAYRzEOjaxLVWxhxtLxVYmcBKBD2p8mw/j2NiJWybuNZKAUvd0TpTcW8mDno1eWsTV+B14dEnJcNxU9HXZa7P+o7O08vOVOwW/LZeJWrPlPGe+LH2nE2PqDS7VE2pio654Mx1tW5dIA5Inak0X0HXTXSQSOOu/8IB3GimFo3qD17YK5gDzM4GQ06eDNutfm2q1dty8wG4cHSA2bQ/5axNm7w2nEMJZPtLdWBVlrcSikU2XGdCDUxPTVEAeLSBBoJwrZdVYy9ZkDugNRFWqBXcqJC29LIM3cP86iO2tzWDKKqSvyCBHXvi4DOYv5ZtlpeyqJfSXOk6uwt5pZoREna/d1V2jA/Ab42AaK6de2ulHDPckeGhhu1sQI3SEQDeot3cmwS+uTle2ScBT5/cfd3dV43BJtBGOdiNHnkLKOSwugO1198BZpj41GHGHguytFqtZJmh0l5kziCteIe6KgPHNiSxAdCBs9b9VOI267Y4wd/kqD26ySn83bXsvugH98b+/cVFq7QBLAwcwyi/zTUDUnKf8nFpMesx9Qnctw8/xGLPfBqMRnst++Ss4XpwCS9Bra0guqsV9uE/eZYpezV0xevv0i1pXcbMV3WRp7l+CMXffAcUD/1IWMzhPfMrMfyN43dywm/5AH7Lb8vv+Cn4TWM/ZCQ8CH9jfv/yHfCbA9IWc+qH5An4/b6By8SiKmVxDdN/uYnp6QOYnt7lhYHdX87128h8HW2vric54BzFUDOhaj45hccO+d1SeOyH9MQBr253wNEF8LNyDSbujcS2/w+hIHxOaUhYHDBK4piGvEv8XEQxFyKkhFEWsieIknd501TN8U3HRYc8dc6Psq7anx7kom7JN3fUsLLiUHAuaCRwxFiAHdwTQJZgSrEA2IUQ1g2PDvi5Wpjx6xEf4DvCPbsd8bbbs0czuwPtr5WXsM/jgEQRpQHG8ItZx2thvjHHLMIRZ0w4Xk9w4IdcQBSEsCQMw5g9TYayyBYmHN+WGl7ClX0LPX23vlSqNl9qvC8/NLJszT9InMzgnf0GJ+83PnJzdlNgnX+844o1Dioj/jkB1X8X8/n3LBcqmN2TACKCWOPgSkZwLDiO+rrEIdlh8HWMMYeAswwgDPIgiQ5VjD9i3N3kkvSmm8D5xzve6o5d8nkvdl/uEuyKPRb39AmBl2cSs1hEw7sCI3APC6DQuHcNEoAzeEgeyRdqVzcQt6ZMdmh8UDsNhREm5t6Pf68r/dNrtVULhV65nt1hDLiGJd54/bfMc62WjbaXGmRwJX6HJAEWn166uioyBGU6/BbMfqfc/Yf05b9QSwcIr6ZMV38HAAC+HQAAUEsBAhQAFAAIAAgAM7R+P9Y3vbkZAAAAFwAAABYAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAGdlb2dlYnJhX2phdmFzY3JpcHQuanNQSwECFAAUAAgACAAztH4/r6ZMV38HAAC+HQAADAAAAAAAAAAAAAAAAABdAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAACAAIAfgAAABYIAAAAAA==" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />

Für Fall I gilt: 
<math>\left| AA' \right| = 2\left| AS_a \right|</math>. 
<math>\left| A'A'' \right| = 2\left| S_bA' \right| </math>, weil Spiegelung gleich Bewegung und somit abstandserhaltend 
Demnach gilt: <math>\left| A''A' \right| = 2 \left| S_aS_b \right| + 2\left| S_aA' \right|</math> Hier könnte man noch mit Halbebenen argumentieren - ich denke aber die Argumentation Mittelsenkrechtenkriterium müsste reichen, weil ja A' dadurch nicht mehr in der Halbebene <math>\ aA^{+}</math> liegen kann und demnach wird <math>\left| S_bS_a \right|</math> komplett gespiegelt. 
<math>\left| AA'' \right| = \left| A'A'' \right| - \left| AA' \right|</math> 
::<math>= 2\left| S_bA' \right| - 2\left| AS_a \right|</math>
::<math>= 2\left| S_bS_a \right|</math> Nach vorherigen Schritten. [Änderung: --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:10, 1. Dez. 2011 (CET)] 
Begründet wird natürlich immer mit dem Mittelsenkrechtenkriterium und der Definiton von Spiegelung.
 
Die restlichen Fälle werden analog ausgeführt und durch rechnerische Begründungen beschränkt. Durch diese Fallunterscheidung ist es relativ einfach diese Tatsache nahezulegen, jedoch schreiberisch arg aufwendig und irreführend. Vielleicht gibt es eine allgemeinere Lösung. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:48, 30. Nov. 2011 (CET)

[[Kategorie:Elementargeometrie]]

Drehungen als Geradenspiegelungen (2011/12)

2011-12-01T10:29:08Z

Sternchen: /* Satz */

=Beziehung zwischen "senkrecht" und Kommutativität=
==Satz==
::Es seien <math>S_a</math> und <math>S_b</math> zwei Geradenspiegelungen, deren Spiegelgeraden <math>a</math> und <math>b</math> nicht identisch sind.
:: Es gilt die folgende Äquivalenz:
::<math>a \perp b \Leftrightarrow (S_b \circ S_a = S_a \circ S_b)</math>--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 11:27, 1. Dez. 2011 (CET)

Drehungen als Geradenspiegelungen (2011/12)

2011-12-01T10:27:22Z

Sternchen: /* Satz */

=Beziehung zwischen "senkrecht" und Kommutativität=
==Satz==
::Es seien <math>S_a</math> und <math>S_b</math> zwei Geradenspiegelungen, deren Spiegelgeraden <math>a</math> und <math>b</math> nicht identisch sind.
:: Es gilt die folgende Äquivalenz:
::<math>a \perp b \Leftrightarrow (S_b \circ S_a \Leftrightarrow S_a \circ S_b)</math>--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 11:27, 1. Dez. 2011 (CET)

Benutzer:Sternchen

2011-10-27T10:49:13Z

Sternchen: /* Formatierungshilfen */

::::<math>\star</math> 
[[Bild:Lady.png|100px]]

== Wer ist intelligent? ==
Die Furcht des Herrn ist der Anfang der Erkenntnis; nur Toren verachten Weisheit und Zucht! 
Sprüche 1,7
 

== Formatierungshilfen ==
[http://wiki.zum.de/Hilfe:TeX Hilfe zu LaTeX] 
<math>\varphi</math> (dieses kleine phi heißt \varphi)

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Element
| Voraussetzung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| Element
| Element
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| Element
| Element
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| Element
| Element
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| Element
| Element
|}

Lösungen zu den Aufgaben

2011-10-27T10:28:26Z

Sternchen: /* Aufgabe 1.2 */

===Aufgabe 1.1===
:: Definieren Sie für die ebene Geometrie den Begriff ''Bewegung''

::(Definition 1.1)
Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der Streckenlängen erhalten bleiben. [[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 12:45, 19. Okt. 2011 (CEST)

<math> Es \ sei \ E \ eine \ Ebene, \ \varphi \ eine \ Abbildung \ mit \ \varphi : \ E \ -> \ E. </math> 
<math> \varphi \ heisst \ Bewegung \ genau \ dann, \ wenn \ \varphi \ laengenerhaltend \ ist. </math> 
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 12:46, 19. Okt. 2011 (CEST) 

 
Nach der Vorlesung am Dienstag hätte ich auch so definiert, wie Pipi Langsocke. Nachdem ich mir aber den Mitschrieb aus der Vorlesung nochmal angeschaut habe, würde ich eine Kleinigkeit ändern, da die Def. aus meiner Sicht so nicht ganz sauber ist.
 
Ich hätte anstelle von 'Streckenlängen' 'alle Abstände von jeweils einem Paar von Punkten' geschrieben. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 21:50, 19. Okt. 2011 (CEST) -Ja, ich denke auch, das ist besser so. -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 11:06, 21. Okt. 2011 (CEST)

===Aufgabe 1.2===
::Definieren Sie die Begriffe ''injektiv'' und ''surjektiv''

''injektiv'': Es seien eine Ausgangsmenge M und eine Zielmenge N. Injektivität ist dann gegeben, wenn gilt: Jedes Element der Menge M kann einem Element der Zielmenge N eindeutig zugeordnet werden.

''surjektiv'': Es seien eine Ausgangsmenge M und eine Zielmenge N. Surjektivität ist dann gegeben, wenn gilt: Jedes Element der Zielmenge N besitzt mindestens ein Urbild in der Ausgangsmenge M. [[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 12:48, 19. Okt. 2011 (CEST)
 
Bessere Version von Pipis Definition (injektiv): 
Es sei M die Definitionsmenge und N die Zielmenge einer Abbildung. Die Abbildung ist injektiv, wenn gilt: Jedem Element der Zielmenge N kann ein Element der Definitionsmenge M eindeutig zugeordnet werden. 
Anders: ... wenn gilt: Zu jedem Element der Zielmenge N existiert höchstens ein Element der Defintionsmenge M, dem es zugeordnet ist. 
 
Es ist also genau umgekehrt. Was Pipi geschrieben hat passt in die Definition der Funktion bzw. Abbildung als besondere Relation. Da werden nämlich den Elementen aus einer Defintionsmenge eindeutig Elemente aus einer Zielmenge zugeordnet. 
Passend zu Pipis Definition von surjektiv könnte man auch sagen: 
... Die Abbildung ist injektiv, wenn gilt: Jedes Element der Zielmenge N "besitzt" '''''höchstens''''' ein Element in der Definitionsmenge M. 
--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:29, 26. Okt. 2011 (CEST)
 
::Definieren Sie die Begriffe ''injektiv'' und ''surjektiv''

<math> Definition\ injektiv:</math> 
<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2\ Mengen,\ \varphi \ eine\ Abbildung\ mit\ \varphi:\ M_1\ ->\ M_2. </math> 
<math> \varphi\ ist\ genau\ dann\ injektiv, \ wenn\ folgendes\ gilt:</math> 
<math> \varphi (x)\ = \ \varphi (y) \Rightarrow \ x\ =\ y </math> 

In Worten heisst das nichts anderes als, das wenn ein Element abbgebildet wird es nur ein Urbild hat. 
Ein Gegebbeispiel wäre z.b die Normalparabel f(x) = x^2 für diese gilt f(2)= 4 = f(-2), also ist diese nicht injektiv 
Betrachtet man nun die eingeschränkte Parabel auf D=R^+ (den rechten Ast) so ist diese injektiv.

<math> Definition\ surjektiv:</math> 
<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2\ Mengen,\ \varphi \ eine\ Abbildung\ mit\ \varphi:\ M_1\ ->\ M_2. </math> 
<math> \varphi\ ist\ genau\ dann\ surjektiv, \ wenn\ folgendes\ gilt:</math> 
<math> \forall \ y \in M_2 \ \exist x \in M_1\ mit\ \varphi (x) = y </math> 
Das heisst nichts anderes als, dass jedes Element in der Bildmenge "getroffen" wird, also zu jedem Element im Bildbereich ein Urbild existiert. 
Wieder die Normalparabel: Würden wir hier M_2 = R wählen, dann würden alle negativen Zahlen nicht getroffen werden, also wäre f nicht surjektiv.
Eine Einschränkung auf die positiven reellen Zahlen würde zur Surjektivität von f führen. 
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:14, 19. Okt. 2011 (CEST)
 
Ich fass nochmal zusammen.
:Eine ''Relation'' ist genau dann eine '''Funktion''', wenn sie a) linkstotal und b) rechtseindeutig ist.
::a) linkstotal,
:::d.h. jedem Element der Menge <math>M_1</math> ist mindestens ein Element der Menge <math>M_2</math> zugeordnet,
:::d.h. es gibt kein Element in der linken Menge, von dem kein Pfeil weggeht.
::b) rechtseindeutig (eindeutig),
:::d.h. jedem Element der Menge <math>M_1</math> ist höchstens ein Element der Menge <math>M_2</math> zugeordnet,
:::d.h. es gibt kein Element in der linken Menge, von dem mehrere Pfeile weggehen,
:::d.h. die Zuordnung ist von links ''nach rechts'' eindeutig.
:Eine ''Funktion'' ist genau dann eine '''Bijektion''', wenn sie a) rechtstotal und b) linkseindeutig ist.
::a) rechtstotal ('''surjektiv'''),
:::d.h. jedes Element der Zielmenge <math>Z</math> ist mindestens einem Element der Definitionsmenge <math>D</math> zugeordnet,
:::d.h. es gibt kein Element in der rechten Menge, auf das kein Pfeil auftrifft.
::b) linkseindeutig (umkehrbar eindeutig, '''injektiv'''),
:::d.h. jedes Element der Zielmenge <math>Z</math> ist höchstens einem Element der Definitionsmenge <math>D</math> zugeordnet,
:::d.h. es gibt kein Element in der rechten Menge, auf das mehrere Pfeile auftreffen,
:::d.h. die Zuordnung ist von rechts ''nach links'' eindeutig.
::::--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 12:28, 27. Okt. 2011 (CEST)

===Aufgabe 1.3===
::Ergänzen Sie die folgende Tabelle
{| class="wikitable"
|-
| Abbildung || Umkehrabbildung
|-
| <math>x^2, x\ge 0</math> || <math>sqrt(x)</math> , <math>x \ge 0</math> -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|-
|<math>\sin (x), 0 \le x \ge 1</math> ||<math> \arcsin (x) </math> -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|-
|Drehung um Z mit Drehwinkel <math> \alpha </math>|| Drehung um Z mit dem Drehwinkel <math> - \alpha </math>. -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST) Sind negative Winkel erlaubt? Ich hätte gesagt wie in der Vorlesung 360°<math> - \alpha </math> --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:51, 26. Okt. 2011 (CEST) Ja, negative Winkel gehen auch. --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 12:01, 27. Okt. 2011 (CEST)
|-
|Spiegelung an der Geraden <math> s </math>|| bleibt gleich -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|}
Ich habe ein Problem mit der Aufgabenstellung in der zweiten Zeile. Müsste es nicht heißen <math>0 \le x \le \pi</math> ? 
--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:46, 26. Okt. 2011 (CEST) 
OK, also <math>-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}</math> beim Arkussinus und <math>0 \le x \le \pi</math> beim Arkuskosinus, alles klar. 
--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 11:59, 27. Okt. 2011 (CEST)

===Aufgabe 1.4===
::Beweisen Sie Satz 1.2

Es seien <math>\beta_1</math> und <math>\beta_2</math> zwei Bewegungen.

zu zeigen:

<math>\beta_2 \circ \beta_1</math> ist eine Bewegung.

 
<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2,\ M_3\ Ebenen, P,Q \in M_1\ .</math> 
<math> \beta_1,\ \beta_2 \ mit \ \beta1 : M_1 ->M_2 \ und \ \beta_2 : M_2 -> M_3 \ Bewegungen,\ d () \ sei\ die\ Abstandsfunktion </math> 
<math> zz.:\ \beta_3 := \beta_2 \circ \beta_1 \ ist\ eine\ Bewegung,\ also\ d( \beta_3(P),\beta_3(Q)) \ = \ d(P,Q) </math> 
<math> Beweis:</math> 
<math> Es\ gilt\ nach\ Voraussetzung:</math> 
<math> d(P, Q)\ = \ d(\beta_1(P),\beta_1(Q)) \ , da \ \beta_1 \ eine\ Bewegung\ ist. \(*)</math> 
<math> d(\beta_1(P),\beta_1(Q) \ = \ d( \beta_2( \beta_1 ( P)), \beta_2( \beta_1(Q))) \ , da \ \beta_2 \ eine\ Bewegung\ ist \ (**). </math> 
<math> aus\ (*) \ und\ (**) \Rightarrow \ d (P,Q) \ = \ d( \beta_3(P), \beta_3(Q) \ \Rightarrow \beta_3 \ ist \ eine \ Bewegung </math> 
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:35, 19. Okt. 2011 (CEST)

Lösungen zu den Aufgaben

2011-10-27T10:01:06Z

Sternchen: /* Aufgabe 1.3 */

===Aufgabe 1.1===
:: Definieren Sie für die ebene Geometrie den Begriff ''Bewegung''

::(Definition 1.1)
Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der Streckenlängen erhalten bleiben. [[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 12:45, 19. Okt. 2011 (CEST)

<math> Es \ sei \ E \ eine \ Ebene, \ \varphi \ eine \ Abbildung \ mit \ \varphi : \ E \ -> \ E. </math> 
<math> \varphi \ heisst \ Bewegung \ genau \ dann, \ wenn \ \varphi \ laengenerhaltend \ ist. </math> 
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 12:46, 19. Okt. 2011 (CEST) 

 
Nach der Vorlesung am Dienstag hätte ich auch so definiert, wie Pipi Langsocke. Nachdem ich mir aber den Mitschrieb aus der Vorlesung nochmal angeschaut habe, würde ich eine Kleinigkeit ändern, da die Def. aus meiner Sicht so nicht ganz sauber ist.
 
Ich hätte anstelle von 'Streckenlängen' 'alle Abstände von jeweils einem Paar von Punkten' geschrieben. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 21:50, 19. Okt. 2011 (CEST) -Ja, ich denke auch, das ist besser so. -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 11:06, 21. Okt. 2011 (CEST)

===Aufgabe 1.2===
::Definieren Sie die Begriffe ''injektiv'' und ''surjektiv''

''injektiv'': Es seien eine Ausgangsmenge M und eine Zielmenge N. Injektivität ist dann gegeben, wenn gilt: Jedes Element der Menge M kann einem Element der Zielmenge N eindeutig zugeordnet werden.

''surjektiv'': Es seien eine Ausgangsmenge M und eine Zielmenge N. Surjektivität ist dann gegeben, wenn gilt: Jedes Element der Zielmenge N besitzt mindestens ein Urbild in der Ausgangsmenge M. [[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 12:48, 19. Okt. 2011 (CEST)
 
Bessere Version von Pipis Definition (injektiv): 
Es sei M die Definitionsmenge und N die Zielmenge einer Abbildung. Die Abbildung ist injektiv, wenn gilt: Jedem Element der Zielmenge N kann ein Element der Definitionsmenge M eindeutig zugeordnet werden. 
Anders: ... wenn gilt: Zu jedem Element der Zielmenge N existiert höchstens ein Element der Defintionsmenge M, dem es zugeordnet ist. 
 
Es ist also genau umgekehrt. Was Pipi geschrieben hat passt in die Definition der Funktion bzw. Abbildung als besondere Relation. Da werden nämlich den Elementen aus einer Defintionsmenge eindeutig Elemente aus einer Zielmenge zugeordnet. 
Passend zu Pipis Definition von surjektiv könnte man auch sagen: 
... Die Abbildung ist injektiv, wenn gilt: Jedes Element der Zielmenge N "besitzt" '''''höchstens''''' ein Element in der Definitionsmenge M. 
--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:29, 26. Okt. 2011 (CEST)
 
::Definieren Sie die Begriffe ''injektiv'' und ''surjektiv''

<math> Definition\ injektiv:</math> 
<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2\ Mengen,\ \varphi \ eine\ Abbildung\ mit\ \varphi:\ M_1\ ->\ M_2. </math> 
<math> \varphi\ ist\ genau\ dann\ injektiv, \ wenn\ folgendes\ gilt:</math> 
<math> \varphi (x)\ = \ \varphi (y) \Rightarrow \ x\ =\ y </math> 

In Worten heisst das nichts anderes als, das wenn ein Element abbgebildet wird es nur ein Urbild hat. 
Ein Gegebbeispiel wäre z.b die Normalparabel f(x) = x^2 für diese gilt f(2)= 4 = f(-2), also ist diese nicht injektiv 
Betrachtet man nun die eingeschränkte Parabel auf D=R^+ (den rechten Ast) so ist diese injektiv.

<math> Definition\ surjektiv:</math> 
<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2\ Mengen,\ \varphi \ eine\ Abbildung\ mit\ \varphi:\ M_1\ ->\ M_2. </math> 
<math> \varphi\ ist\ genau\ dann\ surjektiv, \ wenn\ folgendes\ gilt:</math> 
<math> \forall \ y \in M_2 \ \exist x \in M_1\ mit\ \varphi (x) = y </math> 
Das heisst nichts anderes als, dass jedes Element in der Bildmenge "getroffen" wird, also zu jedem Element im Bildbereich ein Urbild existiert. 
Wieder die Normalparabel: Würden wir hier M_2 = R wählen, dann würden alle negativen Zahlen nicht getroffen werden, also wäre f nicht surjektiv.
Eine Einschränkung auf die positiven reellen Zahlen würde zur Surjektivität von f führen. 
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:14, 19. Okt. 2011 (CEST)

===Aufgabe 1.3===
::Ergänzen Sie die folgende Tabelle
{| class="wikitable"
|-
| Abbildung || Umkehrabbildung
|-
| <math>x^2, x\ge 0</math> || <math>sqrt(x)</math> , <math>x \ge 0</math> -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|-
|<math>\sin (x), 0 \le x \ge 1</math> ||<math> \arcsin (x) </math> -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|-
|Drehung um Z mit Drehwinkel <math> \alpha </math>|| Drehung um Z mit dem Drehwinkel <math> - \alpha </math>. -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST) Sind negative Winkel erlaubt? Ich hätte gesagt wie in der Vorlesung 360°<math> - \alpha </math> --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:51, 26. Okt. 2011 (CEST) Ja, negative Winkel gehen auch. --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 12:01, 27. Okt. 2011 (CEST)
|-
|Spiegelung an der Geraden <math> s </math>|| bleibt gleich -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|}
Ich habe ein Problem mit der Aufgabenstellung in der zweiten Zeile. Müsste es nicht heißen <math>0 \le x \le \pi</math> ? 
--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:46, 26. Okt. 2011 (CEST) 
OK, also <math>-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}</math> beim Arkussinus und <math>0 \le x \le \pi</math> beim Arkuskosinus, alles klar. 
--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 11:59, 27. Okt. 2011 (CEST)

===Aufgabe 1.4===
::Beweisen Sie Satz 1.2

Es seien <math>\beta_1</math> und <math>\beta_2</math> zwei Bewegungen.

zu zeigen:

<math>\beta_2 \circ \beta_1</math> ist eine Bewegung.

 
<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2,\ M_3\ Ebenen, P,Q \in M_1\ .</math> 
<math> \beta_1,\ \beta_2 \ mit \ \beta1 : M_1 ->M_2 \ und \ \beta_2 : M_2 -> M_3 \ Bewegungen,\ d () \ sei\ die\ Abstandsfunktion </math> 
<math> zz.:\ \beta_3 := \beta_2 \circ \beta_1 \ ist\ eine\ Bewegung,\ also\ d( \beta_3(P),\beta_3(Q)) \ = \ d(P,Q) </math> 
<math> Beweis:</math> 
<math> Es\ gilt\ nach\ Voraussetzung:</math> 
<math> d(P, Q)\ = \ d(\beta_1(P),\beta_1(Q)) \ , da \ \beta_1 \ eine\ Bewegung\ ist. \(*)</math> 
<math> d(\beta_1(P),\beta_1(Q) \ = \ d( \beta_2( \beta_1 ( P)), \beta_2( \beta_1(Q))) \ , da \ \beta_2 \ eine\ Bewegung\ ist \ (**). </math> 
<math> aus\ (*) \ und\ (**) \Rightarrow \ d (P,Q) \ = \ d( \beta_3(P), \beta_3(Q) \ \Rightarrow \beta_3 \ ist \ eine \ Bewegung </math> 
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:35, 19. Okt. 2011 (CEST)

Lösungen zu den Aufgaben

2011-10-27T09:59:36Z

Sternchen: /* Aufgabe 1.3 */

===Aufgabe 1.1===
:: Definieren Sie für die ebene Geometrie den Begriff ''Bewegung''

::(Definition 1.1)
Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der Streckenlängen erhalten bleiben. [[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 12:45, 19. Okt. 2011 (CEST)

<math> Es \ sei \ E \ eine \ Ebene, \ \varphi \ eine \ Abbildung \ mit \ \varphi : \ E \ -> \ E. </math> 
<math> \varphi \ heisst \ Bewegung \ genau \ dann, \ wenn \ \varphi \ laengenerhaltend \ ist. </math> 
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 12:46, 19. Okt. 2011 (CEST) 

 
Nach der Vorlesung am Dienstag hätte ich auch so definiert, wie Pipi Langsocke. Nachdem ich mir aber den Mitschrieb aus der Vorlesung nochmal angeschaut habe, würde ich eine Kleinigkeit ändern, da die Def. aus meiner Sicht so nicht ganz sauber ist.
 
Ich hätte anstelle von 'Streckenlängen' 'alle Abstände von jeweils einem Paar von Punkten' geschrieben. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 21:50, 19. Okt. 2011 (CEST) -Ja, ich denke auch, das ist besser so. -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 11:06, 21. Okt. 2011 (CEST)

===Aufgabe 1.2===
::Definieren Sie die Begriffe ''injektiv'' und ''surjektiv''

''injektiv'': Es seien eine Ausgangsmenge M und eine Zielmenge N. Injektivität ist dann gegeben, wenn gilt: Jedes Element der Menge M kann einem Element der Zielmenge N eindeutig zugeordnet werden.

''surjektiv'': Es seien eine Ausgangsmenge M und eine Zielmenge N. Surjektivität ist dann gegeben, wenn gilt: Jedes Element der Zielmenge N besitzt mindestens ein Urbild in der Ausgangsmenge M. [[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 12:48, 19. Okt. 2011 (CEST)
 
Bessere Version von Pipis Definition (injektiv): 
Es sei M die Definitionsmenge und N die Zielmenge einer Abbildung. Die Abbildung ist injektiv, wenn gilt: Jedem Element der Zielmenge N kann ein Element der Definitionsmenge M eindeutig zugeordnet werden. 
Anders: ... wenn gilt: Zu jedem Element der Zielmenge N existiert höchstens ein Element der Defintionsmenge M, dem es zugeordnet ist. 
 
Es ist also genau umgekehrt. Was Pipi geschrieben hat passt in die Definition der Funktion bzw. Abbildung als besondere Relation. Da werden nämlich den Elementen aus einer Defintionsmenge eindeutig Elemente aus einer Zielmenge zugeordnet. 
Passend zu Pipis Definition von surjektiv könnte man auch sagen: 
... Die Abbildung ist injektiv, wenn gilt: Jedes Element der Zielmenge N "besitzt" '''''höchstens''''' ein Element in der Definitionsmenge M. 
--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:29, 26. Okt. 2011 (CEST)
 
::Definieren Sie die Begriffe ''injektiv'' und ''surjektiv''

<math> Definition\ injektiv:</math> 
<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2\ Mengen,\ \varphi \ eine\ Abbildung\ mit\ \varphi:\ M_1\ ->\ M_2. </math> 
<math> \varphi\ ist\ genau\ dann\ injektiv, \ wenn\ folgendes\ gilt:</math> 
<math> \varphi (x)\ = \ \varphi (y) \Rightarrow \ x\ =\ y </math> 

In Worten heisst das nichts anderes als, das wenn ein Element abbgebildet wird es nur ein Urbild hat. 
Ein Gegebbeispiel wäre z.b die Normalparabel f(x) = x^2 für diese gilt f(2)= 4 = f(-2), also ist diese nicht injektiv 
Betrachtet man nun die eingeschränkte Parabel auf D=R^+ (den rechten Ast) so ist diese injektiv.

<math> Definition\ surjektiv:</math> 
<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2\ Mengen,\ \varphi \ eine\ Abbildung\ mit\ \varphi:\ M_1\ ->\ M_2. </math> 
<math> \varphi\ ist\ genau\ dann\ surjektiv, \ wenn\ folgendes\ gilt:</math> 
<math> \forall \ y \in M_2 \ \exist x \in M_1\ mit\ \varphi (x) = y </math> 
Das heisst nichts anderes als, dass jedes Element in der Bildmenge "getroffen" wird, also zu jedem Element im Bildbereich ein Urbild existiert. 
Wieder die Normalparabel: Würden wir hier M_2 = R wählen, dann würden alle negativen Zahlen nicht getroffen werden, also wäre f nicht surjektiv.
Eine Einschränkung auf die positiven reellen Zahlen würde zur Surjektivität von f führen. 
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:14, 19. Okt. 2011 (CEST)

===Aufgabe 1.3===
::Ergänzen Sie die folgende Tabelle
{| class="wikitable"
|-
| Abbildung || Umkehrabbildung
|-
| <math>x^2, x\ge 0</math> || <math>sqrt(x)</math> , <math>x \ge 0</math> -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|-
|<math>\sin (x), 0 \le x \ge 1</math> ||<math> \arcsin (x) </math> -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|-
|Drehung um Z mit Drehwinkel <math> \alpha </math>|| Drehung um Z mit dem Drehwinkel <math> - \alpha </math>. -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST) Sind negative Winkel erlaubt? Ich hätte gesagt wie in der Vorlesung 360°<math> - \alpha </math> --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:51, 26. Okt. 2011 (CEST)
|-
|Spiegelung an der Geraden <math> s </math>|| bleibt gleich -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|}
Ich habe ein Problem mit der Aufgabenstellung in der zweiten Zeile. Müsste es nicht heißen <math>0 \le x \le \pi</math> ? 
--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:46, 26. Okt. 2011 (CEST) 
OK, also <math>-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}</math> beim Arkussinus und <math>0 \le x \le \pi</math> beim Arkuskosinus, alles klar. 
--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 11:59, 27. Okt. 2011 (CEST)

===Aufgabe 1.4===
::Beweisen Sie Satz 1.2

Es seien <math>\beta_1</math> und <math>\beta_2</math> zwei Bewegungen.

zu zeigen:

<math>\beta_2 \circ \beta_1</math> ist eine Bewegung.

 
<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2,\ M_3\ Ebenen, P,Q \in M_1\ .</math> 
<math> \beta_1,\ \beta_2 \ mit \ \beta1 : M_1 ->M_2 \ und \ \beta_2 : M_2 -> M_3 \ Bewegungen,\ d () \ sei\ die\ Abstandsfunktion </math> 
<math> zz.:\ \beta_3 := \beta_2 \circ \beta_1 \ ist\ eine\ Bewegung,\ also\ d( \beta_3(P),\beta_3(Q)) \ = \ d(P,Q) </math> 
<math> Beweis:</math> 
<math> Es\ gilt\ nach\ Voraussetzung:</math> 
<math> d(P, Q)\ = \ d(\beta_1(P),\beta_1(Q)) \ , da \ \beta_1 \ eine\ Bewegung\ ist. \(*)</math> 
<math> d(\beta_1(P),\beta_1(Q) \ = \ d( \beta_2( \beta_1 ( P)), \beta_2( \beta_1(Q))) \ , da \ \beta_2 \ eine\ Bewegung\ ist \ (**). </math> 
<math> aus\ (*) \ und\ (**) \Rightarrow \ d (P,Q) \ = \ d( \beta_3(P), \beta_3(Q) \ \Rightarrow \beta_3 \ ist \ eine \ Bewegung </math> 
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:35, 19. Okt. 2011 (CEST)

Serie 01

2011-10-27T09:59:15Z

Sternchen: /* Aufgabe 1.3 */

[[Lösungen zu den Aufgaben]]
 
 
Hi Leute, 
keine Panik, ich habe eure Lösungen in die neue Seite gepackt - genau so, wie ihr sie bearbeitet habt. Ich glaub es ist besser so, da die Aufgaben für alle jederzeit bearbeitbar sind. Zumindest hat sich das System letztes Jahr in der Geometrieeinführung bewährt. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:36, 19. Okt. 2011 (CEST)

===Aufgabe 1.1===
:: Definieren Sie für die ebene Geometrie den Begriff ''Bewegung''

::(Definition 1.1)

===Aufgabe 1.2===
::Definieren Sie die Begriffe ''injektiv'' und ''surjektiv''

===Aufgabe 1.3===
::Ergänzen Sie die folgende Tabelle
{| class="wikitable"
|-
| Abbildung || Umkehrabbildung
|-
| <math>x^2, x\ge 0</math> ||
|-
|<math>\sin (x), 0 \le x \ge 1</math> ||
|-
|Drehung um Z mit Drehwinkel <math> \alpha </math>||
|-
|Spiegelung an der Geraden <math> s </math>||
|}
Ich habe ein Problem mit der Aufgabenstellung in der zweiten Zeile. Müsste es nicht heißen <math>0 \le x \le \pi</math> ? 
--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:45, 26. Okt. 2011 (CEST) 
OK, also <math>-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}</math> beim Arkussinus und <math>0 \le x \le \pi</math> beim Arkuskosinus, alles klar. 
--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 11:59, 27. Okt. 2011 (CEST)

===Aufgabe 1.4===
::Beweisen Sie Satz 1.2

Es seien <math>\beta_1</math> und <math>\beta_2</math> zwei Bewegungen.

zu zeigen:

<math>\beta_2 \circ \beta_1</math> ist eine Bewegung.

Lösungen zu den Aufgaben

2011-10-26T18:51:54Z

Sternchen: /* Aufgabe 1.3 */

===Aufgabe 1.1===
:: Definieren Sie für die ebene Geometrie den Begriff ''Bewegung''

::(Definition 1.1)
Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der Streckenlängen erhalten bleiben. [[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 12:45, 19. Okt. 2011 (CEST)

<math> Es \ sei \ E \ eine \ Ebene, \ \varphi \ eine \ Abbildung \ mit \ \varphi : \ E \ -> \ E. </math> 
<math> \varphi \ heisst \ Bewegung \ genau \ dann, \ wenn \ \varphi \ laengenerhaltend \ ist. </math> 
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 12:46, 19. Okt. 2011 (CEST) 

 
Nach der Vorlesung am Dienstag hätte ich auch so definiert, wie Pipi Langsocke. Nachdem ich mir aber den Mitschrieb aus der Vorlesung nochmal angeschaut habe, würde ich eine Kleinigkeit ändern, da die Def. aus meiner Sicht so nicht ganz sauber ist.
 
Ich hätte anstelle von 'Streckenlängen' 'alle Abstände von jeweils einem Paar von Punkten' geschrieben. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 21:50, 19. Okt. 2011 (CEST) -Ja, ich denke auch, das ist besser so. -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 11:06, 21. Okt. 2011 (CEST)

===Aufgabe 1.2===
::Definieren Sie die Begriffe ''injektiv'' und ''surjektiv''

''injektiv'': Es seien eine Ausgangsmenge M und eine Zielmenge N. Injektivität ist dann gegeben, wenn gilt: Jedes Element der Menge M kann einem Element der Zielmenge N eindeutig zugeordnet werden.

''surjektiv'': Es seien eine Ausgangsmenge M und eine Zielmenge N. Surjektivität ist dann gegeben, wenn gilt: Jedes Element der Zielmenge N besitzt mindestens ein Urbild in der Ausgangsmenge M. [[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 12:48, 19. Okt. 2011 (CEST)
 
Bessere Version von Pipis Definition (injektiv): 
Es sei M die Definitionsmenge und N die Zielmenge einer Abbildung. Die Abbildung ist injektiv, wenn gilt: Jedem Element der Zielmenge N kann ein Element der Definitionsmenge M eindeutig zugeordnet werden. 
Anders: ... wenn gilt: Zu jedem Element der Zielmenge N existiert höchstens ein Element der Defintionsmenge M, dem es zugeordnet ist. 
 
Es ist also genau umgekehrt. Was Pipi geschrieben hat passt in die Definition der Funktion bzw. Abbildung als besondere Relation. Da werden nämlich den Elementen aus einer Defintionsmenge eindeutig Elemente aus einer Zielmenge zugeordnet. 
Passend zu Pipis Definition von surjektiv könnte man auch sagen: 
... Die Abbildung ist injektiv, wenn gilt: Jedes Element der Zielmenge N "besitzt" '''''höchstens''''' ein Element in der Definitionsmenge M. 
--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:29, 26. Okt. 2011 (CEST)
 
::Definieren Sie die Begriffe ''injektiv'' und ''surjektiv''

<math> Definition\ injektiv:</math> 
<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2\ Mengen,\ \varphi \ eine\ Abbildung\ mit\ \varphi:\ M_1\ ->\ M_2. </math> 
<math> \varphi\ ist\ genau\ dann\ injektiv, \ wenn\ folgendes\ gilt:</math> 
<math> \varphi (x)\ = \ \varphi (y) \Rightarrow \ x\ =\ y </math> 

In Worten heisst das nichts anderes als, das wenn ein Element abbgebildet wird es nur ein Urbild hat. 
Ein Gegebbeispiel wäre z.b die Normalparabel f(x) = x^2 für diese gilt f(2)= 4 = f(-2), also ist diese nicht injektiv 
Betrachtet man nun die eingeschränkte Parabel auf D=R^+ (den rechten Ast) so ist diese injektiv.

<math> Definition\ surjektiv:</math> 
<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2\ Mengen,\ \varphi \ eine\ Abbildung\ mit\ \varphi:\ M_1\ ->\ M_2. </math> 
<math> \varphi\ ist\ genau\ dann\ surjektiv, \ wenn\ folgendes\ gilt:</math> 
<math> \forall \ y \in M_2 \ \exist x \in M_1\ mit\ \varphi (x) = y </math> 
Das heisst nichts anderes als, dass jedes Element in der Bildmenge "getroffen" wird, also zu jedem Element im Bildbereich ein Urbild existiert. 
Wieder die Normalparabel: Würden wir hier M_2 = R wählen, dann würden alle negativen Zahlen nicht getroffen werden, also wäre f nicht surjektiv.
Eine Einschränkung auf die positiven reellen Zahlen würde zur Surjektivität von f führen. 
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:14, 19. Okt. 2011 (CEST)

===Aufgabe 1.3===
::Ergänzen Sie die folgende Tabelle
{| class="wikitable"
|-
| Abbildung || Umkehrabbildung
|-
| <math>x^2, x\ge 0</math> || <math>sqrt(x)</math> , <math>x \ge 0</math> -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|-
|<math>\sin (x), 0 \le x \ge 1</math> ||<math> \arcsin (x) </math> -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|-
|Drehung um Z mit Drehwinkel <math> \alpha </math>|| Drehung um Z mit dem Drehwinkel <math> - \alpha </math>. -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST) Sind negative Winkel erlaubt? Ich hätte gesagt wie in der Vorlesung 360°<math> - \alpha </math> --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:51, 26. Okt. 2011 (CEST)
|-
|Spiegelung an der Geraden <math> s </math>|| bleibt gleich -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|}
Ich habe ein Problem mit der Aufgabenstellung in der zweiten Zeile. Müsste es nicht heißen <math>0 \le x \le \pi</math> ? 
--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:46, 26. Okt. 2011 (CEST)

===Aufgabe 1.4===
::Beweisen Sie Satz 1.2

Es seien <math>\beta_1</math> und <math>\beta_2</math> zwei Bewegungen.

zu zeigen:

<math>\beta_2 \circ \beta_1</math> ist eine Bewegung.

 
<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2,\ M_3\ Ebenen, P,Q \in M_1\ .</math> 
<math> \beta_1,\ \beta_2 \ mit \ \beta1 : M_1 ->M_2 \ und \ \beta_2 : M_2 -> M_3 \ Bewegungen,\ d () \ sei\ die\ Abstandsfunktion </math> 
<math> zz.:\ \beta_3 := \beta_2 \circ \beta_1 \ ist\ eine\ Bewegung,\ also\ d( \beta_3(P),\beta_3(Q)) \ = \ d(P,Q) </math> 
<math> Beweis:</math> 
<math> Es\ gilt\ nach\ Voraussetzung:</math> 
<math> d(P, Q)\ = \ d(\beta_1(P),\beta_1(Q)) \ , da \ \beta_1 \ eine\ Bewegung\ ist. \(*)</math> 
<math> d(\beta_1(P),\beta_1(Q) \ = \ d( \beta_2( \beta_1 ( P)), \beta_2( \beta_1(Q))) \ , da \ \beta_2 \ eine\ Bewegung\ ist \ (**). </math> 
<math> aus\ (*) \ und\ (**) \Rightarrow \ d (P,Q) \ = \ d( \beta_3(P), \beta_3(Q) \ \Rightarrow \beta_3 \ ist \ eine \ Bewegung </math> 
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:35, 19. Okt. 2011 (CEST)

Lösungen zu den Aufgaben

2011-10-26T18:46:23Z

Sternchen: /* Aufgabe 1.3 */

===Aufgabe 1.1===
:: Definieren Sie für die ebene Geometrie den Begriff ''Bewegung''

::(Definition 1.1)
Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der Streckenlängen erhalten bleiben. [[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 12:45, 19. Okt. 2011 (CEST)

<math> Es \ sei \ E \ eine \ Ebene, \ \varphi \ eine \ Abbildung \ mit \ \varphi : \ E \ -> \ E. </math> 
<math> \varphi \ heisst \ Bewegung \ genau \ dann, \ wenn \ \varphi \ laengenerhaltend \ ist. </math> 
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 12:46, 19. Okt. 2011 (CEST) 

 
Nach der Vorlesung am Dienstag hätte ich auch so definiert, wie Pipi Langsocke. Nachdem ich mir aber den Mitschrieb aus der Vorlesung nochmal angeschaut habe, würde ich eine Kleinigkeit ändern, da die Def. aus meiner Sicht so nicht ganz sauber ist.
 
Ich hätte anstelle von 'Streckenlängen' 'alle Abstände von jeweils einem Paar von Punkten' geschrieben. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 21:50, 19. Okt. 2011 (CEST) -Ja, ich denke auch, das ist besser so. -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 11:06, 21. Okt. 2011 (CEST)

===Aufgabe 1.2===
::Definieren Sie die Begriffe ''injektiv'' und ''surjektiv''

''injektiv'': Es seien eine Ausgangsmenge M und eine Zielmenge N. Injektivität ist dann gegeben, wenn gilt: Jedes Element der Menge M kann einem Element der Zielmenge N eindeutig zugeordnet werden.

''surjektiv'': Es seien eine Ausgangsmenge M und eine Zielmenge N. Surjektivität ist dann gegeben, wenn gilt: Jedes Element der Zielmenge N besitzt mindestens ein Urbild in der Ausgangsmenge M. [[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 12:48, 19. Okt. 2011 (CEST)
 
Bessere Version von Pipis Definition (injektiv): 
Es sei M die Definitionsmenge und N die Zielmenge einer Abbildung. Die Abbildung ist injektiv, wenn gilt: Jedem Element der Zielmenge N kann ein Element der Definitionsmenge M eindeutig zugeordnet werden. 
Anders: ... wenn gilt: Zu jedem Element der Zielmenge N existiert höchstens ein Element der Defintionsmenge M, dem es zugeordnet ist. 
 
Es ist also genau umgekehrt. Was Pipi geschrieben hat passt in die Definition der Funktion bzw. Abbildung als besondere Relation. Da werden nämlich den Elementen aus einer Defintionsmenge eindeutig Elemente aus einer Zielmenge zugeordnet. 
Passend zu Pipis Definition von surjektiv könnte man auch sagen: 
... Die Abbildung ist injektiv, wenn gilt: Jedes Element der Zielmenge N "besitzt" '''''höchstens''''' ein Element in der Definitionsmenge M. 
--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:29, 26. Okt. 2011 (CEST)
 
::Definieren Sie die Begriffe ''injektiv'' und ''surjektiv''

<math> Definition\ injektiv:</math> 
<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2\ Mengen,\ \varphi \ eine\ Abbildung\ mit\ \varphi:\ M_1\ ->\ M_2. </math> 
<math> \varphi\ ist\ genau\ dann\ injektiv, \ wenn\ folgendes\ gilt:</math> 
<math> \varphi (x)\ = \ \varphi (y) \Rightarrow \ x\ =\ y </math> 

In Worten heisst das nichts anderes als, das wenn ein Element abbgebildet wird es nur ein Urbild hat. 
Ein Gegebbeispiel wäre z.b die Normalparabel f(x) = x^2 für diese gilt f(2)= 4 = f(-2), also ist diese nicht injektiv 
Betrachtet man nun die eingeschränkte Parabel auf D=R^+ (den rechten Ast) so ist diese injektiv.

<math> Definition\ surjektiv:</math> 
<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2\ Mengen,\ \varphi \ eine\ Abbildung\ mit\ \varphi:\ M_1\ ->\ M_2. </math> 
<math> \varphi\ ist\ genau\ dann\ surjektiv, \ wenn\ folgendes\ gilt:</math> 
<math> \forall \ y \in M_2 \ \exist x \in M_1\ mit\ \varphi (x) = y </math> 
Das heisst nichts anderes als, dass jedes Element in der Bildmenge "getroffen" wird, also zu jedem Element im Bildbereich ein Urbild existiert. 
Wieder die Normalparabel: Würden wir hier M_2 = R wählen, dann würden alle negativen Zahlen nicht getroffen werden, also wäre f nicht surjektiv.
Eine Einschränkung auf die positiven reellen Zahlen würde zur Surjektivität von f führen. 
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:14, 19. Okt. 2011 (CEST)

===Aufgabe 1.3===
::Ergänzen Sie die folgende Tabelle
{| class="wikitable"
|-
| Abbildung || Umkehrabbildung
|-
| <math>x^2, x\ge 0</math> || <math>sqrt(x)</math> , <math>x \ge 0</math> -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|-
|<math>\sin (x), 0 \le x \ge 1</math> ||<math> \arcsin (x) </math> -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|-
|Drehung um Z mit Drehwinkel <math> \alpha </math>|| Drehung um Z mit dem Drehwinkel <math> - \alpha </math>. -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|-
|Spiegelung an der Geraden <math> s </math>|| bleibt gleich -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|}
Ich habe ein Problem mit der Aufgabenstellung in der zweiten Zeile. Müsste es nicht heißen <math>0 \le x \le \pi</math> ? 
--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:46, 26. Okt. 2011 (CEST)

===Aufgabe 1.4===
::Beweisen Sie Satz 1.2

Es seien <math>\beta_1</math> und <math>\beta_2</math> zwei Bewegungen.

zu zeigen:

<math>\beta_2 \circ \beta_1</math> ist eine Bewegung.

 
<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2,\ M_3\ Ebenen, P,Q \in M_1\ .</math> 
<math> \beta_1,\ \beta_2 \ mit \ \beta1 : M_1 ->M_2 \ und \ \beta_2 : M_2 -> M_3 \ Bewegungen,\ d () \ sei\ die\ Abstandsfunktion </math> 
<math> zz.:\ \beta_3 := \beta_2 \circ \beta_1 \ ist\ eine\ Bewegung,\ also\ d( \beta_3(P),\beta_3(Q)) \ = \ d(P,Q) </math> 
<math> Beweis:</math> 
<math> Es\ gilt\ nach\ Voraussetzung:</math> 
<math> d(P, Q)\ = \ d(\beta_1(P),\beta_1(Q)) \ , da \ \beta_1 \ eine\ Bewegung\ ist. \(*)</math> 
<math> d(\beta_1(P),\beta_1(Q) \ = \ d( \beta_2( \beta_1 ( P)), \beta_2( \beta_1(Q))) \ , da \ \beta_2 \ eine\ Bewegung\ ist \ (**). </math> 
<math> aus\ (*) \ und\ (**) \Rightarrow \ d (P,Q) \ = \ d( \beta_3(P), \beta_3(Q) \ \Rightarrow \beta_3 \ ist \ eine \ Bewegung </math> 
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:35, 19. Okt. 2011 (CEST)

Serie 01

2011-10-26T18:45:49Z

Sternchen: /* Aufgabe 1.3 */

[[Lösungen zu den Aufgaben]]
 
 
Hi Leute, 
keine Panik, ich habe eure Lösungen in die neue Seite gepackt - genau so, wie ihr sie bearbeitet habt. Ich glaub es ist besser so, da die Aufgaben für alle jederzeit bearbeitbar sind. Zumindest hat sich das System letztes Jahr in der Geometrieeinführung bewährt. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:36, 19. Okt. 2011 (CEST)

===Aufgabe 1.1===
:: Definieren Sie für die ebene Geometrie den Begriff ''Bewegung''

::(Definition 1.1)

===Aufgabe 1.2===
::Definieren Sie die Begriffe ''injektiv'' und ''surjektiv''

===Aufgabe 1.3===
::Ergänzen Sie die folgende Tabelle
{| class="wikitable"
|-
| Abbildung || Umkehrabbildung
|-
| <math>x^2, x\ge 0</math> ||
|-
|<math>\sin (x), 0 \le x \ge 1</math> ||
|-
|Drehung um Z mit Drehwinkel <math> \alpha </math>||
|-
|Spiegelung an der Geraden <math> s </math>||
|}
Ich habe ein Problem mit der Aufgabenstellung in der zweiten Zeile. Müsste es nicht heißen <math>0 \le x \le \pi</math> ? 
--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:45, 26. Okt. 2011 (CEST)

===Aufgabe 1.4===
::Beweisen Sie Satz 1.2

Es seien <math>\beta_1</math> und <math>\beta_2</math> zwei Bewegungen.

zu zeigen:

<math>\beta_2 \circ \beta_1</math> ist eine Bewegung.

Benutzer:Sternchen

2011-10-26T18:31:26Z

Sternchen: /* Formatierungshilfen */

::::<math>\star</math> 
[[Bild:Lady.png|100px]]

== Wer ist intelligent? ==
Die Furcht des Herrn ist der Anfang der Erkenntnis; nur Toren verachten Weisheit und Zucht! 
Sprüche 1,7
 

== Formatierungshilfen ==
[http://wiki.zum.de/Hilfe:TeX Hilfe zu LaTeX]

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Element
| Voraussetzung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| Element
| Element
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| Element
| Element
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| Element
| Element
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| Element
| Element
|}

Benutzer:Sternchen

2011-10-26T18:30:57Z

Sternchen: /* Wer ist intelligent? */

::::<math>\star</math> 
[[Bild:Lady.png|100px]]

== Wer ist intelligent? ==
Die Furcht des Herrn ist der Anfang der Erkenntnis; nur Toren verachten Weisheit und Zucht! 
Sprüche 1,7
 

== Formatierungshilfen ==
[http://wiki.zum.de/Hilfe:TeX Hilfe zu LaTeX] 

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Element
| Voraussetzung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| Element
| Element
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| Element
| Element
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| Element
| Element
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| Element
| Element
|}

Benutzer:Sternchen

2011-10-26T18:30:40Z

Sternchen: /* Wer ist intelligent? */

::::<math>\star</math> 
[[Bild:Lady.png|100px]]

== Wer ist intelligent? ==
Die Furcht des Herrn ist der Anfang der Erkenntnis; nur Toren verachten Weisheit und Zucht! 
Sprüche 1,7

== Formatierungshilfen ==
[http://wiki.zum.de/Hilfe:TeX Hilfe zu LaTeX] 

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Element
| Voraussetzung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| Element
| Element
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| Element
| Element
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| Element
| Element
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| Element
| Element
|}

Lösungen zu den Aufgaben

2011-10-26T18:29:41Z

Sternchen: /* Aufgabe 1.2 */

===Aufgabe 1.1===
:: Definieren Sie für die ebene Geometrie den Begriff ''Bewegung''

::(Definition 1.1)
Eine Bewegung ist eine Abbildung der Ebene auf sich, bei der Streckenlängen erhalten bleiben. [[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 12:45, 19. Okt. 2011 (CEST)

<math> Es \ sei \ E \ eine \ Ebene, \ \varphi \ eine \ Abbildung \ mit \ \varphi : \ E \ -> \ E. </math> 
<math> \varphi \ heisst \ Bewegung \ genau \ dann, \ wenn \ \varphi \ laengenerhaltend \ ist. </math> 
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 12:46, 19. Okt. 2011 (CEST) 

 
Nach der Vorlesung am Dienstag hätte ich auch so definiert, wie Pipi Langsocke. Nachdem ich mir aber den Mitschrieb aus der Vorlesung nochmal angeschaut habe, würde ich eine Kleinigkeit ändern, da die Def. aus meiner Sicht so nicht ganz sauber ist.
 
Ich hätte anstelle von 'Streckenlängen' 'alle Abstände von jeweils einem Paar von Punkten' geschrieben. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 21:50, 19. Okt. 2011 (CEST) -Ja, ich denke auch, das ist besser so. -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 11:06, 21. Okt. 2011 (CEST)

===Aufgabe 1.2===
::Definieren Sie die Begriffe ''injektiv'' und ''surjektiv''

''injektiv'': Es seien eine Ausgangsmenge M und eine Zielmenge N. Injektivität ist dann gegeben, wenn gilt: Jedes Element der Menge M kann einem Element der Zielmenge N eindeutig zugeordnet werden.

''surjektiv'': Es seien eine Ausgangsmenge M und eine Zielmenge N. Surjektivität ist dann gegeben, wenn gilt: Jedes Element der Zielmenge N besitzt mindestens ein Urbild in der Ausgangsmenge M. [[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 12:48, 19. Okt. 2011 (CEST)
 
Bessere Version von Pipis Definition (injektiv): 
Es sei M die Definitionsmenge und N die Zielmenge einer Abbildung. Die Abbildung ist injektiv, wenn gilt: Jedem Element der Zielmenge N kann ein Element der Definitionsmenge M eindeutig zugeordnet werden. 
Anders: ... wenn gilt: Zu jedem Element der Zielmenge N existiert höchstens ein Element der Defintionsmenge M, dem es zugeordnet ist. 
 
Es ist also genau umgekehrt. Was Pipi geschrieben hat passt in die Definition der Funktion bzw. Abbildung als besondere Relation. Da werden nämlich den Elementen aus einer Defintionsmenge eindeutig Elemente aus einer Zielmenge zugeordnet. 
Passend zu Pipis Definition von surjektiv könnte man auch sagen: 
... Die Abbildung ist injektiv, wenn gilt: Jedes Element der Zielmenge N "besitzt" '''''höchstens''''' ein Element in der Definitionsmenge M. 
--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:29, 26. Okt. 2011 (CEST)
 
::Definieren Sie die Begriffe ''injektiv'' und ''surjektiv''

<math> Definition\ injektiv:</math> 
<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2\ Mengen,\ \varphi \ eine\ Abbildung\ mit\ \varphi:\ M_1\ ->\ M_2. </math> 
<math> \varphi\ ist\ genau\ dann\ injektiv, \ wenn\ folgendes\ gilt:</math> 
<math> \varphi (x)\ = \ \varphi (y) \Rightarrow \ x\ =\ y </math> 

In Worten heisst das nichts anderes als, das wenn ein Element abbgebildet wird es nur ein Urbild hat. 
Ein Gegebbeispiel wäre z.b die Normalparabel f(x) = x^2 für diese gilt f(2)= 4 = f(-2), also ist diese nicht injektiv 
Betrachtet man nun die eingeschränkte Parabel auf D=R^+ (den rechten Ast) so ist diese injektiv.

<math> Definition\ surjektiv:</math> 
<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2\ Mengen,\ \varphi \ eine\ Abbildung\ mit\ \varphi:\ M_1\ ->\ M_2. </math> 
<math> \varphi\ ist\ genau\ dann\ surjektiv, \ wenn\ folgendes\ gilt:</math> 
<math> \forall \ y \in M_2 \ \exist x \in M_1\ mit\ \varphi (x) = y </math> 
Das heisst nichts anderes als, dass jedes Element in der Bildmenge "getroffen" wird, also zu jedem Element im Bildbereich ein Urbild existiert. 
Wieder die Normalparabel: Würden wir hier M_2 = R wählen, dann würden alle negativen Zahlen nicht getroffen werden, also wäre f nicht surjektiv.
Eine Einschränkung auf die positiven reellen Zahlen würde zur Surjektivität von f führen. 
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:14, 19. Okt. 2011 (CEST)

===Aufgabe 1.3===
::Ergänzen Sie die folgende Tabelle
{| class="wikitable"
|-
| Abbildung || Umkehrabbildung
|-
| <math>x^2, x\ge 0</math> || <math>sqrt(x)</math> , <math>x \ge 0</math> -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|-
|<math>\sin (x), 0 \le x \ge 1</math> ||<math> \arcsin (x) </math> -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|-
|Drehung um Z mit Drehwinkel <math> \alpha </math>|| Drehung um Z mit dem Drehwinkel <math> - \alpha </math>. -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|-
|Spiegelung an der Geraden <math> s </math>|| bleibt gleich -[[Benutzer:Pipi Langsocke|Pipi Langsocke]] 13:11, 19. Okt. 2011 (CEST)
|}

===Aufgabe 1.4===
::Beweisen Sie Satz 1.2

Es seien <math>\beta_1</math> und <math>\beta_2</math> zwei Bewegungen.

zu zeigen:

<math>\beta_2 \circ \beta_1</math> ist eine Bewegung.

 
<math> Es\ seien\ M_1,\ M_2,\ M_3\ Ebenen, P,Q \in M_1\ .</math> 
<math> \beta_1,\ \beta_2 \ mit \ \beta1 : M_1 ->M_2 \ und \ \beta_2 : M_2 -> M_3 \ Bewegungen,\ d () \ sei\ die\ Abstandsfunktion </math> 
<math> zz.:\ \beta_3 := \beta_2 \circ \beta_1 \ ist\ eine\ Bewegung,\ also\ d( \beta_3(P),\beta_3(Q)) \ = \ d(P,Q) </math> 
<math> Beweis:</math> 
<math> Es\ gilt\ nach\ Voraussetzung:</math> 
<math> d(P, Q)\ = \ d(\beta_1(P),\beta_1(Q)) \ , da \ \beta_1 \ eine\ Bewegung\ ist. \(*)</math> 
<math> d(\beta_1(P),\beta_1(Q) \ = \ d( \beta_2( \beta_1 ( P)), \beta_2( \beta_1(Q))) \ , da \ \beta_2 \ eine\ Bewegung\ ist \ (**). </math> 
<math> aus\ (*) \ und\ (**) \Rightarrow \ d (P,Q) \ = \ d( \beta_3(P), \beta_3(Q) \ \Rightarrow \beta_3 \ ist \ eine \ Bewegung </math> 
--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:35, 19. Okt. 2011 (CEST)

Definitionen von Studenten

2010-07-22T21:03:56Z

Sternchen: /* Kontraposition */

== Höhe eines Dreiecks ==

# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl... --[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)

Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll die Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?

# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Stufenwinkel ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.

:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.

== Innenwinkel eines Dreiecks ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.

:Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreiecks ist und der zwei verschiedene Dreiecksseiten als Teilmenge hat, heißt Innenwinkel eines Dreiecks.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:44, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.

==Definition Halbkreis==
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.

==Kontraposition==
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)

Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.

 Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)

:Der Einwand von [[Benutzer:Frühling|Frühling]] ist m.E. nicht so zwingend, wie es aussieht. <math> \neg A \Rightarrow \neg B</math> kann ja genausogut die Implikation sein, von der man ausgeht. Und davon heißt die Kontraposition dann eben <math> A \Rightarrow B </math>. Aus Gründen der Verständigung bleibt man gern bei der Implikation <math> A \Rightarrow B </math>, das ist natürlich vollkommen richtig. Aber es gibt halt auch Implikationen wie <math> \neg A \Rightarrow B </math> und die Kontraposition davon heißt <math> A \Rightarrow \neg B </math>. Also nichts festlegen, was sich nicht festlegen lässt. Jede Kontraposition ist ja an sich selbst eine Implikation...
:Um deine Frage zu beantworten, [[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]]: JA! Die Implikation ist in der Logik auf eine bestimmte Art definiert genauso wie Negation und Kontraposition. Und aus diesen Definitonen ergibt sich zwingend, dass eine Implikation und ihre Kontraposition äquivalente Wahrheitswerte haben.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 21:03, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Punkte für Halbebenen erschaffen ==
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)

Frage: 
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.

Antwort: 
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung. 
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). 
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.

Definitionen von Studenten

2010-07-22T20:44:27Z

Sternchen: /* Innenwinkel eines Dreiecks */

== Höhe eines Dreiecks ==

# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl... --[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)

Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll die Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?

# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Stufenwinkel ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.

:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.

== Innenwinkel eines Dreiecks ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.

:Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreiecks ist und der zwei verschiedene Dreiecksseiten als Teilmenge hat, heißt Innenwinkel eines Dreiecks.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:44, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.

==Definition Halbkreis==
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.

==Kontraposition==
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)

Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.

 Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Punkte für Halbebenen erschaffen ==
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)

Frage: 
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.

Antwort: 
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung. 
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). 
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.

Definitionen von Studenten

2010-07-22T20:40:16Z

Sternchen: /* Stufenwinkel */

== Höhe eines Dreiecks ==

# Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Länge des Lotes von C auf AB. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 18:05, 19. Jul. 2010 (UTC)
# Ich würde eher sagen, dass die Höhe gleich dem Lot ist und die Länge der Höhe gleich der Länge des Lotes. Ich meine: die Höhe ist eine Strecke (die man "einzeichnen" kann), die Länge ist jedoch eine Zahl... --[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 18:30, 19. Jul. 2010 (UTC)
# Aber: ist das Lot die Lotstrecke oder die Lotgerade? Dadurch ist jene Definition, die Höhe sei gleich dem Lot nicht eindeutig zu bejahen. Sicherheitshalber "Lotsrecke" statt "Lot" im ersten Teil der Definition (2), dadurch ergibt sich auch die Identität der Strecken und die Länge muss nicht zusätzlich erwähnt werden. --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 07:42, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Ok, danke euch. Also dann besser: "Die Höhe hc (oBdA) eines Dreiecks <math> \overline {ABC} </math> ist die Lotstrecke von C auf AB." Dabei muss ich aber nicht mehr sagen, dass die Lotstrecke über die Lotgerade bestimmt ist, oder? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:39, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Schau mal im Skript (Höhen eines Dreiecks)...da ist die Höhe dem Lot gleichgesetzt, wenn ich es nicht falsch verstehe, habe dort deswegen auch eine Diskussion eröffnet ;)--[[Benutzer:"chris"07|"chris"07]] 19:10, 20. Jul. 2010 (UTC)
# Idee um dem Problem zu entgehen. Weiß nicht ob es so stimmt. Es sei das Dreieck ABC. L ist der Lotfußpunkt des Lotes durch C auf AB. Die Höhe hc des Dreiecks ABC ist der Abstand von CL.--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 16:30, 21. Jul. 2010 (UTC)

Kommentar: --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Die Höhen eines Dreiecks sind Strecken. Warum soll die Höhe <math>\ h_c</math> o.B.d.A. betrachtet werden?

# @ --[[Benutzer:Frühling|Frühling]]. Ist das mit "Abstand" nicht das gleiche Problem wie mit "Länge", das damit nicht die Strecke, sondern das Maß der Strecke gemeint ist?--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)
# Neuer Versuch (allgemeiner): Eine Höhe eines Dreiecks, ist das Lot eines Eckpunktes des Dreiecks auf eine Gerade, die durch die gegenüberliegende Dreiecksseite bestimmt ist.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:18, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Stufenwinkel ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> 3 komplanare, paarweise verschiedene Geraden, wobei <math>\ c</math> die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> in den zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> schneiden möge.
Die Winkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> , von denen einer <math>\ A</math> und einer <math>\ B</math> als Scheitelpunkt haben möge, heißen Stufenwinkel, wenn ein Schenkel von <math>\ \alpha</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegt, wie ein Schenkel von <math>\ \beta</math> und wenn ein Schenkel eines der beiden Winkel Teilmenge eines Schenkels des anderen Winkels ist.

:Ich bin der Meinung, die Definition ist dann korrekt, wenn mit Halbebene die offene Halbebene gemeint ist. Wenn die geschlossene gemeint ist, müsste es heißen: "wenn <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>\ c</math> liegen und wenn ein Schenkel" ... - oder nicht?
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:40, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Lot von einem Punkt auf eine Gerade ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten korrekt.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 21. Jul. 2010 (UTC)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:59, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Es sei <math>\ g</math> eine Gerade und <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math>. Die Strecke <math>\ \overline{PX}</math> nennt man Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, wenn <math>\ X</math> Element von <math>\ g</math> ist und <math>\ \overline{PX}</math> Teilmenge der Senkrechten zu <math>\ g</math> durch <math>\ X</math> ist.

== Innenwinkel eines Dreiecks ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist nach meinem Erachten fast korrekt (Formulierungsoptimierung!).--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:12, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Ein Winkel, dessen Scheitelpunkt Eckpunkt eines Dreicks ist und bei dem für beide Schenkel gilt, dass eine Dreiecksseite Teilmenge eines Schenkels ist, heißen Innenwinkel eines Dreiecks.

== Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ==
Die folgende Definition wurde uns per Mail zugesandt: Sie ist ungewöhnlich, aber korrekt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:13, 21. Jul. 2010 (UTC) 
Die Dreiecksseite im gleichschenkligen Dreiecks, die mit den beiden zueinander kongruenten Dreiecksseiten jeweils genau einen Punkt gemeinsam hat, heißt Basis des Dreiecks.

==Definition Halbkreis==
Kommentar --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:09, 21. Jul. 2010 (UTC): Versuchen Sie es mit einem ganzen Kreis, einer Geraden durch den Mittelpunkt des Kreises und den durch die Gerade bestimmten Halbebenen. Viel Erfolg.

==Kontraposition==
Ich habe mal ne Frage zur Kontraposition. Wenn zb ein Satz heißt: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", dann kann ich doch auch die Implikation beweisen, also "Aus Zw (A,B,C) folgt Zw (C,B,A)", oder? Ich habe ja damit dann auch die Kontraposition gezeigt?!?! --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:36, 21. Jul. 2010 (UTC)

Was du formuliert hast ist aber nicht die Implikation. Es müsste doch heißen: Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C).
Denn Implikation bedeutet aus a folgt b und die zugehörige Kontraposition ist aus nicht b folgt nicht a.

 Oh, stimmt. Habs falsch eingetippt. Also nochmal: "Aus nicht Zw (A,B,C) folgt nicht Zw (C,B,A)", davon die Kontraposition "Aus Zw (C,B,A) folgt Zw (A,B,C)". Kann ich dann einfach die Kontraposition des Satzes Beweisen und davon ausgehen, dass somit auch die Implikation bewiesen ist? --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:12, 22. Jul. 2010 (UTC)

== Punkte für Halbebenen erschaffen ==
Die folgende Frage wurde uns per Mail zugesandt. Ich beantworte sie hier, weil die Antwort ggf. für weitere Studierende interessant sein könnte.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:32, 21. Jul. 2010 (UTC)

Frage: 
Wenn ich mir in einem Beweis Punkte "erschaffen" muss (z.B. bei dem Beweis des Satzes "Halbebenen sind konvexe Punktmengen", würde ich mir als Erstes 2 Punkte in Halbebene E1 "schaffen"), mit welcher welcher Begründung kann ich dies tun??
-->Kann ich das Axiom vom Lineal benutzen, wenn ich keinen Strahl habe?
-->Kann ich als Begründung Axiom I/3 anführen? -->Dieses Axiom besagt zwar, dass es 3 nicht kollineare Punkte gibt, aber diese müssen ja nicht unbedingt in meiner Halbebene E1 liegen(sie könnten ja auch in E2 liegen)
-->Kann ich als Begründung anführen "Ebenen sind Punktmengen? -->Aber eigentlich weiß ich nur sicher, dass eine Ebene 3 Punkte enthält(Satz), nun entsteht doch dasselbe Problem wie bei I/3.

Antwort: 
Fall 1: Wir haben nur die ersten beiden Axiomengruppen zur Verfügung. 
::In diesem Fall verwenden wir den Satz: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte. (Diese sind letztlich nach der Beweisführung des Satzes sogar nicht kollinear.
Fall 2: Wir haben die ersten drei Axiomengruppen zur Verfügung (Inzidenz, Abstand, Anordnung). 
::Jede Eben und jede Gerade enthält überabzählbar viele (paarweise) verschiedene Punkte, an denen wir uns wahllos bedienen können.

Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar

2010-07-22T20:29:46Z

Sternchen: /* Definition II.4: (Länge einer Strecke) */

Hier soll ein Glossar wichtiger geometrischer Begriffe und Sätze (in Bezug auf unsere Veranstaltung) entstehen. Bitte ergänzen Sie!

== Grundbegriffe (undefinierte Begriffe) ==
* Punkt
* Gerade
* Ebene

== Begriffsklärungen ==
* disjunkt - elementfremd, nicht gleich
* identitiv - antisymmetrisch, gleich (z.B. wenn aRb und bRa dann a=b) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* inzident - beschreibt die Zugehörigkeit - Elementbezeichnung (z.B. inzidiert ein Punkt mit einer Geraden g, wenn er zu der Geraden g gehört) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* kollinear - eine Gerade, die alle Punkte einer Menge enthält
* komplanar - eine Ebene, die alle Punkte einer Menge enthält --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* reflexiv - jedes Element steht in Relation zu sich selbst
* symmetrisch - wenn zwei Elemente in der gleichen Klasse liegen (z.B. sind a€M und b€M, dann gilt aRb aber auch bRa) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* transitiv - wenn ein Element 1 zu dem nächsten Element 2 in Relation steht und das nächste Element 2 zu dem übernächsten Element 3 in Relation steht, dann steht das Element 1 automatisch auch in Relation zu dem übernächsten Element 3 in Relation --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)

"bitte überprüft das mal jemand ;-)"
: Das Problem ist, dass diese Erklärungen maximal Erinnerungsstützen sein können. Um auf der sicheren Seite zu sein, sollten Sie die Erkärungen in saubere Definitionen fassen. Beispiel: Definition:(disjunkt) Zwei Mengen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sind disjunkt zueinander, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben.

: Aus meiner Sicht wäre es sinnvoll, wenn Sie diesen Abschnitt umbenennen in Basiswissen: Definitionen/Sätze und einen neuen Abschnitt zu den Erklärungen aufmachen. Dieser neue Abschnitt könnte dann Dinge beinhalten, die mehr oder weniger Prozeßwissen beinhalten. Ein Beispiel:
# Nichtfolgerbarkeit einer Aussage <math>\ a</math> aus einer Menge <math>\ A</math> von Axiomen
::Mitunter möchte man wissen, ob sich eine bestimmte Aussage <math>\ a</math> aus einer Menge <math>\ A</math> von Axiomen folgern läßt. Gelingt uns diese Folgerung, ist alles in Ordnung. Falls diese Folgerung nicht gelingt, haben wir ein Problem: Wir können uns nicht sicher sein, ob die Folgerung prinzipiell nicht möglich ist, oder ob es unser Unvermögen war, welches das Projekt Folgerung von <math>\ a</math> aus <math>\ A</math> scheitern ließ. Abhilfe bringt ggf. die Suche nach Modellen für <math>\ A</math>. In jedem Modell für <math>\ A</math> müssen auch alle Folgerunge gelten, die aus <math>\ A</math> abgeleitet werden können. Sollten wir nun ein Modell für <math>\ A</math> finden, in dem <math>\ a</math> nicht gilt ...
# Modell für eine Menge von Axiomen
: ... 
[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:32, 9. Jun. 2010 (UTC)

=== Klasseneinteilung ===
:Es sei <math>M</math> eine Menge und <math>K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>M</math>.
:<math>K</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>M</math>, wenn gilt:
:# notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
:# notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
:# notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge <math>M</math>.
::Mengen sind disjunkt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

=== Relationen ===
Definition: (n-stellige Relation)
:Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation. 
Definition: (Äquivalenzrelation)
:Eine Relation <math>\ R</math> in einer Menge <math>\ M</math> heißt ''Äquivalenzrelation'', wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

== Axiome ==

* Inzidenzaxiome:

=====Axiom I.0:=====
:Geraden und Ebenen sind Punktmengen.

=====Axiom I.1: (Axiom von der Geraden)=====
:Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

=====Axiom I.2:=====
:Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.

=====Axiom I.3:=====
:Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.

=====Axiom I.4:=====
:Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

=====Axiom I.5:=====
:Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.

=====Axiom I.6:=====
:Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

=====Axiom I.7:=====
:Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

* Abstandsaxiome:

===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.

===== Axiom II.2: =====
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.

===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
:Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

:Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

:::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
:::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
:::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
:Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
:Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.

===== Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch) =====
:Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

==== Axiom IV.1: (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180.

==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>

==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS) ====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
::gelten, 
::dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

==== Euklidisches Parallelenaxiom ====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.

== Definitionen ==

===== Definition des Begriffs der Relation: =====
:Definition: (n-stellige Relation)

::Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.

:Definition: (Äquivalenzrelation)
::Eine Relation <math>\ R</math> in einer Menge <math>\ M</math> heißt ''Äquivalenzrelation'', wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

=====Definition I.2: (kollinear)=====
:Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
:Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=====Definition I.3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====
:Ein Punkt ''P'' inzidiert mit einer Ebene ''E'', wenn ''P'' ein Element der Ebene ''E'' ist.

=====Definition I.4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====
:Eine Gerade ''g'' gehört zu einer Ebene ''E'', wenn jeder Punkt von ''g'' zu ''E'' gehört.

=====Definition I.5: (Raum)=====
:Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

=====Definition I.6: (komplanar)=====
:Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(''A'', ''B'', ''C, D, ...'') (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

=====Definition I.7: (komplanar für Geraden)=====
:Zwei Geraden'' g ''und ''h'' sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
:Schreibweise: komp(g, h)

=====Definition I.8: (Geradenparallelität)=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
:In Zeichen: ''g''||''h''.

=====Definition I.9: (windschief )=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

=====Definition I.10: (parallel für Ebenen)=====
:Zwei Ebene ''E''1 und ''E''2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
:Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.
:Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>.

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====

:[[Lösung_von_Aufgabe_6.5]]

::Eine informelle Definition:

::Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>
::::Gegeben seien zwei verschiedene Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden <math>\ AB^+</math> versteht man die Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ B</math> hinaus verlängert.

::Formulieren Sie eine mathematisch korrekte Definition des Begriffs Halbgerade <math>\ AB^+</math>.
 
::Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>
:::<math>AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}</math>

::diese Lösung ist richtig!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:48, 16. Jun. 2010 (UTC)

:[[Lösung_von_Aufgabe_6.6]]

::Gegeben seien zwei nicht identische Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter <math>\ AB^-</math> wollen wir die Menge aller Punkte <math>\ P</math> verstehen, die man erhält, wenn man <math>\overline{A B}</math> über <math>\ A</math> hinaus verlängert. Geben Sie eine mathematisch korrekte Definition für die Menge dieser Punkte <math>\ P</math> an.

::Lösung: Ergänzen Sie einfach die folgende Mengenschreibweise:

::<math>AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}</math>

::diese Lösung ist richtig! --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:49, 16. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
:Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Punktmengen:
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus g</math>
[[Bild:Dozenten.jpg]]

muss es nicht heißen: <math>\ gQ^{-}:= \exists S \, \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} </math> \ g

da es sich um eine offene Halbebene handelt, darf g doch nicht enthalten sein, oder?
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:10, 28. Jun. 2010 (UTC)

Nein, da 1. oben schon gesagt wurde, dass P nicht auf g liegen soll und 2. gäbe es somit auch keinen Schnittpunkt S. Also sind alle Punkte ausgeschlossen, die auf g liegen.

:Das ist falsch, [[Benutzer:Schafi|Schafi]]. Es gäbe sehr wohl einen Schnittpunkt, denn auch die Endpunkte gehören zur Strecke. [[Benutzer:Frühling|Frühling]] hat (bis auf Schreibfehler in der Formel) vollkommen recht. Ich hab's mal geändert. Bin mir mit der Schreibweise aber auch nicht überall sicher.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:28, 22. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
[[Bild:Dozenten.jpg]]

::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

::Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.
::--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)

Dies habe ich aus dem Skript kopiert. --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 11:43, 7. Jul. 2010 (UTC)

=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.

===== Definition V.1: (Winkel)=====

:: Ein Winkel heißt die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q, die einen gemeinsamen Anfangspunkt S haben.

oder

:: Ein Winkel ist ein Paar Halbgeraden p, q mit gemeinsamen Anfangspunkt S.

===== Definition V.2: (Inneres eines Winkels) =====
::Das Innere eines Winkels <math>\angle ASB</math> ist der Schnitt ...der beiden Halbebenen <math>\ SA,B^+</math> und <math>\ SB,A^+</math>

===== Definition V.3: (Scheitelwinkel) =====
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^-</math> sind Scheitelwinkel.

===== Definition V.4: (Nebenwinkel) =====
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^+</math> sind Nebenwinkel.

===== Definition V.5: (Größe eines Winkels) =====
:: Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

===== Definition V.6 : (Rechter Winkel) =====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

===== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) =====
:: Zwei Winkel heißen genau dann supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

===== Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) =====
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen. 
Ergänzen Sie:
:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... die Gerade AB und die Gerade CD senkrecht aufeinander stehen??? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:45, 27. Jun. 2010 (UTC)

::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> ... zwei Geraden gibt, die nicht parallel oder identisch sind und vollständig in <math>\epsilon</math> liegen und auf die <math> g </math> senkrecht steht. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:18, 2. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition VI.1: (Mittelsenkrechte) =====
::Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn

::# <math>m \perp AB</math>
::# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>

===== Definition VI.2 =====
:: Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben.

===== Definition VII.1: (Streckenkongruenz) =====
:: Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben. 
:: In Zeichen <math>\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math>

===== Definition VII.2 : (Winkelkongruenz) =====
::Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander. 
::In Zeichen: <math>\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |</math>

===== Definition VII.3: (Dreieckskongruenz) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 6 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
:::# <math>\angle ACB \cong \angle DFE</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) =====
as können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

[[Übung_11#Aufgabe_11.1| Übung 11 Aufgabe 1]]

Ein Dreieck mit zwei zueinanderkongruenten Seiten heißt gleichschenkliges Dreieck. Die beiden zueinander kongruenten Seiten heißen Schenkel des gleichseitigen Dreiecks. Die dritte Seite des gleichschenkligen Dreiecks heißt Basis. Die Innenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Scheitelpunkte die Eckpunkte der Basis sind heißen Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.

--[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 07:24, 8. Jul. 2010 (UTC)

==== Definition VIII.1: Außenwinkel eines Dreiecks ====
Alle Nebenwinkel der Innenwinkel eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> heißen Außenwinkel des Dreiecks.
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:20, 17. Jul. 2010 (UTC)

=== Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) ===

Es sei P ein Punkt, der nicht zur Geraden g gehören möge.
Die Gerade l, die senkrecht auf g steht und durch den Punkt P geht heißt Lotgerade von P auf g. Der Schnittpunkt L von l mit g, heißt Lotfußpunkt des Lotes von P auf g. Unter dem Lot von P auf g, versteht man die Strecke <math>\overline{PL}</math>.
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:19, 17. Jul. 2010 (UTC)

=== Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) ===

Es sei P ein Punkt außerhalb von g. Der Abstand von P zu g ist die Länge der Lotes <math>\overline{PL}</math> von P auf g.
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:24, 17. Jul. 2010 (UTC)

== Sätze ==
=====Satz I.1:=====
:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden. Wenn ''g'' und ''h'' nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.

=====Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)=====
:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden.
:Wenn ''g'' und ''h'' mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind ''g'' und ''h'' identisch.

===== Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)=====
:Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.

=====Satz I.5:=====
:Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

=====Satz I.6:=====
:Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

=====Satz I.7:=====
:Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

===== Satz II.1: =====
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Satz II.2: =====
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Satz II.3: =====
:Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Satz II.4: =====
:Es sei <math>\ O</math> ein Punkt einer Geraden <math>\ g</math>. Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math>\ g</math>.

===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====
:Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

===== Satz IV.1: (Repräsentantenunabhängigkeit) =====
: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.

===== Satz IV.2: =====
:Halbebenen sind konvexe Punktmengen

===== Satz IV.3: =====
:Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

===== Satz V.1: =====
: Das Innere eines Winkels ist konvex.

==== Satz V.2: ====
:Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.

==== Satz V.3: (Existenz von rechten Winkeln) ====
:Es gibt rechte Winkel.

==== Satz V.4: ====
:Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Satz V.5: ( Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt) ====
:Gegeben seien ein Punkt P auf einer Geraden g in einer Ebene E. Es gibt in E genau eine Gerade, die durch P geht und senkrecht auf g steht.

oder

: Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Ferner sei <math>\ P</math> ein Punkt auf <math>\ g</math>. In der Ebene <math>\ \Epsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ s</math>, die durch <math>\ P</math> geht und senkrecht auf <math>\ g</math> steht.

==== Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten) ====
: Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

==== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math>: ====
:: Es sei <math>\ SW^+</math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt <math>| \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB |</math>.

==== Satz VI.2: (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)====
::Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.

==== Satz VII.1: ====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.

==== Satz VII.2: ====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.

==== Satz VII.3: ====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.

==== Satz VII.4: (Kongruenzsatz WSW) ====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

==== Satz VII.5: (Basiswinkelsatz) ====
::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.

==== Lemma 1: ====
::Die Winkelhalbierende <math>\ SW^+</math> eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> schneidet die Strecke <math>\overline{AB}</math> in genau einem Punkt <math>\ P</math>.

==== Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) ====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\ \overline{AB}</math>, wenn für jeden Punkt <math>\ P \in\ M</math> gilt: <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>.

==== Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.) ====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.

==== Satz VII.6 b: (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.

==== Satz VIII.1: (schwacher Außenwinkelsatz) ====
::Die Größe eines jeden Außenwinkels eines Dreiecks ist jeweils größer als die Größe eines jeden Innenwinkels dieses Dreiecks, der kein Nebenwinkel zu dem gewählten Außenwinkel des Dreiecks ist.

==== Lemma 2: ====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math> \angle ASB</math> liegt, dann liegt der gesamte Strahl <math>\ SP^+</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math>.

==== Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) ====

Zu jedem Punkt P außerhalb einer Geraden g gibt es genau ein Lot von P auf g.
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:26, 17. Jul. 2010 (UTC)

Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar

2010-07-22T20:29:33Z

Sternchen: /* Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) */

Hier soll ein Glossar wichtiger geometrischer Begriffe und Sätze (in Bezug auf unsere Veranstaltung) entstehen. Bitte ergänzen Sie!

== Grundbegriffe (undefinierte Begriffe) ==
* Punkt
* Gerade
* Ebene

== Begriffsklärungen ==
* disjunkt - elementfremd, nicht gleich
* identitiv - antisymmetrisch, gleich (z.B. wenn aRb und bRa dann a=b) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* inzident - beschreibt die Zugehörigkeit - Elementbezeichnung (z.B. inzidiert ein Punkt mit einer Geraden g, wenn er zu der Geraden g gehört) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* kollinear - eine Gerade, die alle Punkte einer Menge enthält
* komplanar - eine Ebene, die alle Punkte einer Menge enthält --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* reflexiv - jedes Element steht in Relation zu sich selbst
* symmetrisch - wenn zwei Elemente in der gleichen Klasse liegen (z.B. sind a€M und b€M, dann gilt aRb aber auch bRa) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* transitiv - wenn ein Element 1 zu dem nächsten Element 2 in Relation steht und das nächste Element 2 zu dem übernächsten Element 3 in Relation steht, dann steht das Element 1 automatisch auch in Relation zu dem übernächsten Element 3 in Relation --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)

"bitte überprüft das mal jemand ;-)"
: Das Problem ist, dass diese Erklärungen maximal Erinnerungsstützen sein können. Um auf der sicheren Seite zu sein, sollten Sie die Erkärungen in saubere Definitionen fassen. Beispiel: Definition:(disjunkt) Zwei Mengen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sind disjunkt zueinander, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben.

: Aus meiner Sicht wäre es sinnvoll, wenn Sie diesen Abschnitt umbenennen in Basiswissen: Definitionen/Sätze und einen neuen Abschnitt zu den Erklärungen aufmachen. Dieser neue Abschnitt könnte dann Dinge beinhalten, die mehr oder weniger Prozeßwissen beinhalten. Ein Beispiel:
# Nichtfolgerbarkeit einer Aussage <math>\ a</math> aus einer Menge <math>\ A</math> von Axiomen
::Mitunter möchte man wissen, ob sich eine bestimmte Aussage <math>\ a</math> aus einer Menge <math>\ A</math> von Axiomen folgern läßt. Gelingt uns diese Folgerung, ist alles in Ordnung. Falls diese Folgerung nicht gelingt, haben wir ein Problem: Wir können uns nicht sicher sein, ob die Folgerung prinzipiell nicht möglich ist, oder ob es unser Unvermögen war, welches das Projekt Folgerung von <math>\ a</math> aus <math>\ A</math> scheitern ließ. Abhilfe bringt ggf. die Suche nach Modellen für <math>\ A</math>. In jedem Modell für <math>\ A</math> müssen auch alle Folgerunge gelten, die aus <math>\ A</math> abgeleitet werden können. Sollten wir nun ein Modell für <math>\ A</math> finden, in dem <math>\ a</math> nicht gilt ...
# Modell für eine Menge von Axiomen
: ... 
[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:32, 9. Jun. 2010 (UTC)

=== Klasseneinteilung ===
:Es sei <math>M</math> eine Menge und <math>K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>M</math>.
:<math>K</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>M</math>, wenn gilt:
:# notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
:# notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
:# notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge <math>M</math>.
::Mengen sind disjunkt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

=== Relationen ===
Definition: (n-stellige Relation)
:Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation. 
Definition: (Äquivalenzrelation)
:Eine Relation <math>\ R</math> in einer Menge <math>\ M</math> heißt ''Äquivalenzrelation'', wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

== Axiome ==

* Inzidenzaxiome:

=====Axiom I.0:=====
:Geraden und Ebenen sind Punktmengen.

=====Axiom I.1: (Axiom von der Geraden)=====
:Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

=====Axiom I.2:=====
:Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.

=====Axiom I.3:=====
:Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.

=====Axiom I.4:=====
:Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

=====Axiom I.5:=====
:Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.

=====Axiom I.6:=====
:Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

=====Axiom I.7:=====
:Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

* Abstandsaxiome:

===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.

===== Axiom II.2: =====
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.

===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
:Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

:Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

:::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
:::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
:::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
:Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
:Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.

===== Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch) =====
:Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

==== Axiom IV.1: (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180.

==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>

==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS) ====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
::gelten, 
::dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

==== Euklidisches Parallelenaxiom ====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.

== Definitionen ==

===== Definition des Begriffs der Relation: =====
:Definition: (n-stellige Relation)

::Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.

:Definition: (Äquivalenzrelation)
::Eine Relation <math>\ R</math> in einer Menge <math>\ M</math> heißt ''Äquivalenzrelation'', wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

=====Definition I.2: (kollinear)=====
:Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
:Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=====Definition I.3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====
:Ein Punkt ''P'' inzidiert mit einer Ebene ''E'', wenn ''P'' ein Element der Ebene ''E'' ist.

=====Definition I.4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====
:Eine Gerade ''g'' gehört zu einer Ebene ''E'', wenn jeder Punkt von ''g'' zu ''E'' gehört.

=====Definition I.5: (Raum)=====
:Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

=====Definition I.6: (komplanar)=====
:Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(''A'', ''B'', ''C, D, ...'') (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

=====Definition I.7: (komplanar für Geraden)=====
:Zwei Geraden'' g ''und ''h'' sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
:Schreibweise: komp(g, h)

=====Definition I.8: (Geradenparallelität)=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
:In Zeichen: ''g''||''h''.

=====Definition I.9: (windschief )=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

=====Definition I.10: (parallel für Ebenen)=====
:Zwei Ebene ''E''1 und ''E''2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
:Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.
:Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>.

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. OK? --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:09, 5. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====

:[[Lösung_von_Aufgabe_6.5]]

::Eine informelle Definition:

::Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>
::::Gegeben seien zwei verschiedene Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden <math>\ AB^+</math> versteht man die Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ B</math> hinaus verlängert.

::Formulieren Sie eine mathematisch korrekte Definition des Begriffs Halbgerade <math>\ AB^+</math>.
 
::Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>
:::<math>AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}</math>

::diese Lösung ist richtig!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:48, 16. Jun. 2010 (UTC)

:[[Lösung_von_Aufgabe_6.6]]

::Gegeben seien zwei nicht identische Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter <math>\ AB^-</math> wollen wir die Menge aller Punkte <math>\ P</math> verstehen, die man erhält, wenn man <math>\overline{A B}</math> über <math>\ A</math> hinaus verlängert. Geben Sie eine mathematisch korrekte Definition für die Menge dieser Punkte <math>\ P</math> an.

::Lösung: Ergänzen Sie einfach die folgende Mengenschreibweise:

::<math>AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}</math>

::diese Lösung ist richtig! --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:49, 16. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
:Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Punktmengen:
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus g</math>
[[Bild:Dozenten.jpg]]

muss es nicht heißen: <math>\ gQ^{-}:= \exists S \, \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} </math> \ g

da es sich um eine offene Halbebene handelt, darf g doch nicht enthalten sein, oder?
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:10, 28. Jun. 2010 (UTC)

Nein, da 1. oben schon gesagt wurde, dass P nicht auf g liegen soll und 2. gäbe es somit auch keinen Schnittpunkt S. Also sind alle Punkte ausgeschlossen, die auf g liegen.

:Das ist falsch, [[Benutzer:Schafi|Schafi]]. Es gäbe sehr wohl einen Schnittpunkt, denn auch die Endpunkte gehören zur Strecke. [[Benutzer:Frühling|Frühling]] hat (bis auf Schreibfehler in der Formel) vollkommen recht. Ich hab's mal geändert. Bin mir mit der Schreibweise aber auch nicht überall sicher.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:28, 22. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
[[Bild:Dozenten.jpg]]

::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

::Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.
::--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)

Dies habe ich aus dem Skript kopiert. --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 11:43, 7. Jul. 2010 (UTC)

=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.

===== Definition V.1: (Winkel)=====

:: Ein Winkel heißt die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q, die einen gemeinsamen Anfangspunkt S haben.

oder

:: Ein Winkel ist ein Paar Halbgeraden p, q mit gemeinsamen Anfangspunkt S.

===== Definition V.2: (Inneres eines Winkels) =====
::Das Innere eines Winkels <math>\angle ASB</math> ist der Schnitt ...der beiden Halbebenen <math>\ SA,B^+</math> und <math>\ SB,A^+</math>

===== Definition V.3: (Scheitelwinkel) =====
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^-</math> sind Scheitelwinkel.

===== Definition V.4: (Nebenwinkel) =====
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^+</math> sind Nebenwinkel.

===== Definition V.5: (Größe eines Winkels) =====
:: Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

===== Definition V.6 : (Rechter Winkel) =====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

===== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) =====
:: Zwei Winkel heißen genau dann supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

===== Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) =====
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen. 
Ergänzen Sie:
:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... die Gerade AB und die Gerade CD senkrecht aufeinander stehen??? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:45, 27. Jun. 2010 (UTC)

::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> ... zwei Geraden gibt, die nicht parallel oder identisch sind und vollständig in <math>\epsilon</math> liegen und auf die <math> g </math> senkrecht steht. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:18, 2. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition VI.1: (Mittelsenkrechte) =====
::Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn

::# <math>m \perp AB</math>
::# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>

===== Definition VI.2 =====
:: Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben.

===== Definition VII.1: (Streckenkongruenz) =====
:: Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben. 
:: In Zeichen <math>\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math>

===== Definition VII.2 : (Winkelkongruenz) =====
::Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander. 
::In Zeichen: <math>\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |</math>

===== Definition VII.3: (Dreieckskongruenz) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 6 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
:::# <math>\angle ACB \cong \angle DFE</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) =====
as können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

[[Übung_11#Aufgabe_11.1| Übung 11 Aufgabe 1]]

Ein Dreieck mit zwei zueinanderkongruenten Seiten heißt gleichschenkliges Dreieck. Die beiden zueinander kongruenten Seiten heißen Schenkel des gleichseitigen Dreiecks. Die dritte Seite des gleichschenkligen Dreiecks heißt Basis. Die Innenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Scheitelpunkte die Eckpunkte der Basis sind heißen Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.

--[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 07:24, 8. Jul. 2010 (UTC)

==== Definition VIII.1: Außenwinkel eines Dreiecks ====
Alle Nebenwinkel der Innenwinkel eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> heißen Außenwinkel des Dreiecks.
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:20, 17. Jul. 2010 (UTC)

=== Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) ===

Es sei P ein Punkt, der nicht zur Geraden g gehören möge.
Die Gerade l, die senkrecht auf g steht und durch den Punkt P geht heißt Lotgerade von P auf g. Der Schnittpunkt L von l mit g, heißt Lotfußpunkt des Lotes von P auf g. Unter dem Lot von P auf g, versteht man die Strecke <math>\overline{PL}</math>.
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:19, 17. Jul. 2010 (UTC)

=== Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) ===

Es sei P ein Punkt außerhalb von g. Der Abstand von P zu g ist die Länge der Lotes <math>\overline{PL}</math> von P auf g.
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:24, 17. Jul. 2010 (UTC)

== Sätze ==
=====Satz I.1:=====
:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden. Wenn ''g'' und ''h'' nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.

=====Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)=====
:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden.
:Wenn ''g'' und ''h'' mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind ''g'' und ''h'' identisch.

===== Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)=====
:Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.

=====Satz I.5:=====
:Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

=====Satz I.6:=====
:Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

=====Satz I.7:=====
:Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

===== Satz II.1: =====
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Satz II.2: =====
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Satz II.3: =====
:Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Satz II.4: =====
:Es sei <math>\ O</math> ein Punkt einer Geraden <math>\ g</math>. Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math>\ g</math>.

===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====
:Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

===== Satz IV.1: (Repräsentantenunabhängigkeit) =====
: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.

===== Satz IV.2: =====
:Halbebenen sind konvexe Punktmengen

===== Satz IV.3: =====
:Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

===== Satz V.1: =====
: Das Innere eines Winkels ist konvex.

==== Satz V.2: ====
:Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.

==== Satz V.3: (Existenz von rechten Winkeln) ====
:Es gibt rechte Winkel.

==== Satz V.4: ====
:Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Satz V.5: ( Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt) ====
:Gegeben seien ein Punkt P auf einer Geraden g in einer Ebene E. Es gibt in E genau eine Gerade, die durch P geht und senkrecht auf g steht.

oder

: Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Ferner sei <math>\ P</math> ein Punkt auf <math>\ g</math>. In der Ebene <math>\ \Epsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ s</math>, die durch <math>\ P</math> geht und senkrecht auf <math>\ g</math> steht.

==== Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten) ====
: Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

==== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math>: ====
:: Es sei <math>\ SW^+</math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt <math>| \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB |</math>.

==== Satz VI.2: (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)====
::Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.

==== Satz VII.1: ====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.

==== Satz VII.2: ====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.

==== Satz VII.3: ====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.

==== Satz VII.4: (Kongruenzsatz WSW) ====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

==== Satz VII.5: (Basiswinkelsatz) ====
::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.

==== Lemma 1: ====
::Die Winkelhalbierende <math>\ SW^+</math> eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> schneidet die Strecke <math>\overline{AB}</math> in genau einem Punkt <math>\ P</math>.

==== Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) ====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\ \overline{AB}</math>, wenn für jeden Punkt <math>\ P \in\ M</math> gilt: <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>.

==== Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.) ====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.

==== Satz VII.6 b: (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.

==== Satz VIII.1: (schwacher Außenwinkelsatz) ====
::Die Größe eines jeden Außenwinkels eines Dreiecks ist jeweils größer als die Größe eines jeden Innenwinkels dieses Dreiecks, der kein Nebenwinkel zu dem gewählten Außenwinkel des Dreiecks ist.

==== Lemma 2: ====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math> \angle ASB</math> liegt, dann liegt der gesamte Strahl <math>\ SP^+</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math>.

==== Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) ====

Zu jedem Punkt P außerhalb einer Geraden g gibt es genau ein Lot von P auf g.
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:26, 17. Jul. 2010 (UTC)

Wichtige Begriffe der Geometrie - Glossar

2010-07-22T20:28:51Z

Sternchen: /* Definition IV.1: (offene Halbebene) */

Hier soll ein Glossar wichtiger geometrischer Begriffe und Sätze (in Bezug auf unsere Veranstaltung) entstehen. Bitte ergänzen Sie!

== Grundbegriffe (undefinierte Begriffe) ==
* Punkt
* Gerade
* Ebene

== Begriffsklärungen ==
* disjunkt - elementfremd, nicht gleich
* identitiv - antisymmetrisch, gleich (z.B. wenn aRb und bRa dann a=b) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* inzident - beschreibt die Zugehörigkeit - Elementbezeichnung (z.B. inzidiert ein Punkt mit einer Geraden g, wenn er zu der Geraden g gehört) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* kollinear - eine Gerade, die alle Punkte einer Menge enthält
* komplanar - eine Ebene, die alle Punkte einer Menge enthält --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* reflexiv - jedes Element steht in Relation zu sich selbst
* symmetrisch - wenn zwei Elemente in der gleichen Klasse liegen (z.B. sind a€M und b€M, dann gilt aRb aber auch bRa) --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)
* transitiv - wenn ein Element 1 zu dem nächsten Element 2 in Relation steht und das nächste Element 2 zu dem übernächsten Element 3 in Relation steht, dann steht das Element 1 automatisch auch in Relation zu dem übernächsten Element 3 in Relation --[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 21:20, 5. Jun. 2010 (UTC)

"bitte überprüft das mal jemand ;-)"
: Das Problem ist, dass diese Erklärungen maximal Erinnerungsstützen sein können. Um auf der sicheren Seite zu sein, sollten Sie die Erkärungen in saubere Definitionen fassen. Beispiel: Definition:(disjunkt) Zwei Mengen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sind disjunkt zueinander, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben.

: Aus meiner Sicht wäre es sinnvoll, wenn Sie diesen Abschnitt umbenennen in Basiswissen: Definitionen/Sätze und einen neuen Abschnitt zu den Erklärungen aufmachen. Dieser neue Abschnitt könnte dann Dinge beinhalten, die mehr oder weniger Prozeßwissen beinhalten. Ein Beispiel:
# Nichtfolgerbarkeit einer Aussage <math>\ a</math> aus einer Menge <math>\ A</math> von Axiomen
::Mitunter möchte man wissen, ob sich eine bestimmte Aussage <math>\ a</math> aus einer Menge <math>\ A</math> von Axiomen folgern läßt. Gelingt uns diese Folgerung, ist alles in Ordnung. Falls diese Folgerung nicht gelingt, haben wir ein Problem: Wir können uns nicht sicher sein, ob die Folgerung prinzipiell nicht möglich ist, oder ob es unser Unvermögen war, welches das Projekt Folgerung von <math>\ a</math> aus <math>\ A</math> scheitern ließ. Abhilfe bringt ggf. die Suche nach Modellen für <math>\ A</math>. In jedem Modell für <math>\ A</math> müssen auch alle Folgerunge gelten, die aus <math>\ A</math> abgeleitet werden können. Sollten wir nun ein Modell für <math>\ A</math> finden, in dem <math>\ a</math> nicht gilt ...
# Modell für eine Menge von Axiomen
: ... 
[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:32, 9. Jun. 2010 (UTC)

=== Klasseneinteilung ===
:Es sei <math>M</math> eine Menge und <math>K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\} </math> eine Menge von Teilmengen von <math>M</math>.
:<math>K</math> ist eine Klasseneinteilung von <math>M</math>, wenn gilt:
:# notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
:# notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
:# notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge <math>M</math>.
::Mengen sind disjunkt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

=== Relationen ===
Definition: (n-stellige Relation)
:Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation. 
Definition: (Äquivalenzrelation)
:Eine Relation <math>\ R</math> in einer Menge <math>\ M</math> heißt ''Äquivalenzrelation'', wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

== Axiome ==

* Inzidenzaxiome:

=====Axiom I.0:=====
:Geraden und Ebenen sind Punktmengen.

=====Axiom I.1: (Axiom von der Geraden)=====
:Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

=====Axiom I.2:=====
:Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.

=====Axiom I.3:=====
:Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.

=====Axiom I.4:=====
:Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

=====Axiom I.5:=====
:Wenn zwei Punkte einer Geraden ''g'' in einer Ebene ''E ''liegen, so gehört g zu ''E''.

=====Axiom I.6:=====
:Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

=====Axiom I.7:=====
:Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

* Abstandsaxiome:

===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.

===== Axiom II.2: =====
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.

===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
:Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

:Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

:::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
:::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
:::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
:Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

===== Axiom III.1: (Axiom vom Lineal) =====
:Zu jeder nicht negativen reelen Zahl <math>\ d</math> gibt es auf jedem Strahl <math>\ p</math> genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von <math>\ p</math> den Abstand <math>\ d</math> hat.

===== Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch) =====
:Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math>. Ferner sei <math>\ g</math> eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte <math>\ A, B, C</math> geht. Wenn <math>\ g</math> eine der drei Seiten des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> schneidet, dann schneidet <math>\ g</math> genau eine weitere Seite des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

==== Axiom IV.1: (Winkelmaßaxiom) ====
::Zu jedem Winkel <math>\ \alpha</math> gibt es genau eine reelle Zahl <math>\ \omega</math> zwischen 0 und 180.

==== Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom) ====
:: Es sei <math>\ g \equiv SA</math> eine Gerade in der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Zu jeder reellen Zahl <math>\ \omega</math> mit <math>\ 0 < \omega < 180</math> gibt es in jeder der beiden durch <math>\ g</math> bestimmten Halbebenen der Ebene <math>\ \Epsilon</math> genau einen Strahl <math>\ SB^+</math> mit <math>\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|</math>

==== Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)====
::Wenn der Punkt <math>\ P</math> zum Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> gehört , dann gilt <math>\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|</math>.

==== Axiom IV.4: (Supplementaxiom) ====
::Nebenwinkel sind supplementär.

==== Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS) ====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
::gelten, 
::dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

==== Euklidisches Parallelenaxiom ====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.

== Definitionen ==

===== Definition des Begriffs der Relation: =====
:Definition: (n-stellige Relation)

::Es seien <math> M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n</math> Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus <math> M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n </math> ist eine <math>\ n-</math>stellige Relation.

:Definition: (Äquivalenzrelation)
::Eine Relation <math>\ R</math> in einer Menge <math>\ M</math> heißt ''Äquivalenzrelation'', wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

=====Definition I.2: (kollinear)=====
:Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.
:Schreibweise: koll(''A, B, C,'' ...) Sollten die Punkte ''A, B, C'' einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(''A, B, C)''

=====Definition I.3: (Inzidenz Punkt Ebene)=====
:Ein Punkt ''P'' inzidiert mit einer Ebene ''E'', wenn ''P'' ein Element der Ebene ''E'' ist.

=====Definition I.4: (Inzidenz Gerade Ebene)=====
:Eine Gerade ''g'' gehört zu einer Ebene ''E'', wenn jeder Punkt von ''g'' zu ''E'' gehört.

=====Definition I.5: (Raum)=====
:Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

=====Definition I.6: (komplanar)=====
:Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(''A'', ''B'', ''C, D, ...'') (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

=====Definition I.7: (komplanar für Geraden)=====
:Zwei Geraden'' g ''und ''h'' sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.
:Schreibweise: komp(g, h)

=====Definition I.8: (Geradenparallelität)=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.
:In Zeichen: ''g''||''h''.

=====Definition I.9: (windschief )=====
:Zwei Geraden ''g'' und ''h'' sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

=====Definition I.10: (parallel für Ebenen)=====
:Zwei Ebene ''E''1 und ''E''2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
:Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.
:Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>. Stimmt das? --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:07, 5. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. OK? --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 13:09, 5. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====

:[[Lösung_von_Aufgabe_6.5]]

::Eine informelle Definition:

::Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>
::::Gegeben seien zwei verschiedene Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden <math>\ AB^+</math> versteht man die Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ B</math> hinaus verlängert.

::Formulieren Sie eine mathematisch korrekte Definition des Begriffs Halbgerade <math>\ AB^+</math>.
 
::Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>
:::<math>AB^+ := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \lor \operatorname{Zw}(A,B,P) \} \cup \{ A,B \}</math>

::diese Lösung ist richtig!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:48, 16. Jun. 2010 (UTC)

:[[Lösung_von_Aufgabe_6.6]]

::Gegeben seien zwei nicht identische Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter <math>\ AB^-</math> wollen wir die Menge aller Punkte <math>\ P</math> verstehen, die man erhält, wenn man <math>\overline{A B}</math> über <math>\ A</math> hinaus verlängert. Geben Sie eine mathematisch korrekte Definition für die Menge dieser Punkte <math>\ P</math> an.

::Lösung: Ergänzen Sie einfach die folgende Mengenschreibweise:

::<math>AB^-:=\left \{ P|Zw(P,A,B)\right \}\cup \left \{A \right \}</math>

::diese Lösung ist richtig! --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 12:49, 16. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke) =====
:Wenn ein Punkt <math>\ M</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math> zu den Endpunkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{AB}</math>.

===== Definition IV.1: (offene Halbebene)=====
:::Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene in der die Gerade <math>\ g</math> liegen möge. Ferner sei <math>\ Q</math> ein Punkt der Ebene <math>\ \Epsilon</math>, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehört. Unter den offenen Halbebenen <math>\ gQ^{+}</math> und <math>\ gQ^{-}</math> bezüglich der Trägergeraden <math>\ g</math> versteht man die folgenden Punktmengen:
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S \,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \setminus g</math>
[[Bild:Dozenten.jpg]]

muss es nicht heißen: <math>\ gQ^{-}:= \exists S \, \{S\}=g\cap\overline {PQ} \} </math> \ g

da es sich um eine offene Halbebene handelt, darf g doch nicht enthalten sein, oder?
--[[Benutzer:Frühling|Frühling]] 15:10, 28. Jun. 2010 (UTC)

Nein, da 1. oben schon gesagt wurde, dass P nicht auf g liegen soll und 2. gäbe es somit auch keinen Schnittpunkt S. Also sind alle Punkte ausgeschlossen, die auf g liegen.

:Das ist falsch, [[Benutzer:Schafi|Schafi]]. Es gäbe sehr wohl einen Schnittpunkt, denn auch die Endpunkte gehören zur Strecke. [[Benutzer:Frühling|Frühling]] hat (bis auf Schreibfehler in der Formel) vollkommen recht. Ich hab's mal geändert. Bin mir mit der Schreibweise aber auch nicht überall sicher.
:--[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 20:28, 22. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition IV.2: (Halbebene) =====
::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>
[[Bild:Dozenten.jpg]]

::Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> seien die beiden offenen Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math>. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich <math>\ g</math> versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von <math>\ \Epsilon</math> bezüglich der Geraden <math>\ g</math> mit jeweils dieser Geraden <math>\ g</math> entstehen.

::::<math>\ gQ^{+}:= \{P| \neg\exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \} \cup \{g\}</math>
::::<math>\ gQ^{-}:= \{P| \exists S\,\{S\}=g\cap\overline {PQ} \}</math>

::Bemerkung: Für die formale Beschreibung von offenen und geschlossenen Halbebenen wird jeweils dieselbe Bezsichnung verwendet: offene Halbebene: <math>\ g Q^+</math>, (geschlossene) Halbebene: <math>\ g Q^+</math>. Derr weitere Gebrauch der Sprache kennzeichnet, ob es sich um eine offene oder um die geschlossene Halbene handeln soll. Aus Gründen der Vereinfachung sei vereinbart, dass <math>\ g Q^+</math> bzw. <math>\ g Q^-</math> immer die geschlossene Halbebene meint. Soll die offene Halbebene gemeint sein, so ist dieses durch den Zusatz "offen" zu kennzeichnen.
::--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 21:50, 23. Jun. 2010 (UTC)

Dies habe ich aus dem Skript kopiert. --[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 11:43, 7. Jul. 2010 (UTC)

=====Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)=====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> dieser Menge die gesamte Strecke <math>\overline{AB}</math> zu <math>\ M</math> gehört.

===== Definition V.1: (Winkel)=====

:: Ein Winkel heißt die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q, die einen gemeinsamen Anfangspunkt S haben.

oder

:: Ein Winkel ist ein Paar Halbgeraden p, q mit gemeinsamen Anfangspunkt S.

===== Definition V.2: (Inneres eines Winkels) =====
::Das Innere eines Winkels <math>\angle ASB</math> ist der Schnitt ...der beiden Halbebenen <math>\ SA,B^+</math> und <math>\ SB,A^+</math>

===== Definition V.3: (Scheitelwinkel) =====
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^-</math> sind Scheitelwinkel.

===== Definition V.4: (Nebenwinkel) =====
::Die Winkel <math>\angle SA^+,SB^+</math> und <math>\angle SA^-,SB^+</math> sind Nebenwinkel.

===== Definition V.5: (Größe eines Winkels) =====
:: Die Zahl <math>\ \omega</math>, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel <math>\ \alpha</math> eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von <math>\ \alpha</math> genannt. In Zeichen: <math>\omega = \left| \alpha \right|</math>.

===== Definition V.6 : (Rechter Winkel) =====
::Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

===== Definition V.7 : (Supplementärwinkel) =====
:: Zwei Winkel heißen genau dann supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

===== Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden) =====
:: Es seien <math>\ g</math> und <math>\ h</math> zwei Geraden. Wenn sich <math>\ g</math> und <math>\ h</math> schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden <math>\ g</math> und <math>\ h</math> senkrecht aufeinader.

:: In Zeichen: <math>\ g \perp \ h</math> (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

===== Definition V.9 : (noch mehr Senkrecht) =====
:: Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Strecke <math>\overline{AB}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die <math>\ g</math> und die Gerade <math>\ AB</math> senkrecht aufeinander stehen. 
Ergänzen Sie:
:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ... die Gerade AB und die Gerade CD senkrecht aufeinander stehen??? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:45, 27. Jun. 2010 (UTC)

::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> ... zwei Geraden gibt, die nicht parallel oder identisch sind und vollständig in <math>\epsilon</math> liegen und auf die <math> g </math> senkrecht steht. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 15:18, 2. Jul. 2010 (UTC)

===== Definition VI.1: (Mittelsenkrechte) =====
::Es sei <math>\ m</math> eine Gerade und <math>\overline{AB}</math> eine Strecke, die durch <math>\ m</math> im Punkt <math>\ M</math> geschnitten wird. <math>\ m</math> ist die Mittelsenkrechte von <math>\overline{AB}</math>, wenn

::# <math>m \perp AB</math>
::# <math>\left| AM \right| = \left| MB \right|</math>

===== Definition VI.2 =====
:: Es seien <math>\ p</math>,<math>\ w</math> und <math>\ q</math> drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt <math>\ S</math>. Die Halbgerade <math>\ w</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle pq</math>, wenn <math>\ w</math> im Inneren von <math>\angle pq</math> liegt und die beiden Winkel <math>\angle pw</math> und <math>\angle wq</math> dieselbe Größe haben.

===== Definition VII.1: (Streckenkongruenz) =====
:: Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben. 
:: In Zeichen <math>\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math>

===== Definition VII.2 : (Winkelkongruenz) =====
::Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander. 
::In Zeichen: <math>\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |</math>

===== Definition VII.3: (Dreieckskongruenz) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 6 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
:::# <math>\angle ACB \cong \angle DFE</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) =====
as können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

[[Übung_11#Aufgabe_11.1| Übung 11 Aufgabe 1]]

Ein Dreieck mit zwei zueinanderkongruenten Seiten heißt gleichschenkliges Dreieck. Die beiden zueinander kongruenten Seiten heißen Schenkel des gleichseitigen Dreiecks. Die dritte Seite des gleichschenkligen Dreiecks heißt Basis. Die Innenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Scheitelpunkte die Eckpunkte der Basis sind heißen Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.

--[[Benutzer:Rakorium|Rakorium]] 07:24, 8. Jul. 2010 (UTC)

==== Definition VIII.1: Außenwinkel eines Dreiecks ====
Alle Nebenwinkel der Innenwinkel eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> heißen Außenwinkel des Dreiecks.
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:20, 17. Jul. 2010 (UTC)

=== Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) ===

Es sei P ein Punkt, der nicht zur Geraden g gehören möge.
Die Gerade l, die senkrecht auf g steht und durch den Punkt P geht heißt Lotgerade von P auf g. Der Schnittpunkt L von l mit g, heißt Lotfußpunkt des Lotes von P auf g. Unter dem Lot von P auf g, versteht man die Strecke <math>\overline{PL}</math>.
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:19, 17. Jul. 2010 (UTC)

=== Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) ===

Es sei P ein Punkt außerhalb von g. Der Abstand von P zu g ist die Länge der Lotes <math>\overline{PL}</math> von P auf g.
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:24, 17. Jul. 2010 (UTC)

== Sätze ==
=====Satz I.1:=====
:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden. Wenn ''g'' und ''h'' nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.

=====Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)=====
:Es seien ''g'' und ''h'' zwei Geraden.
:Wenn ''g'' und ''h'' mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind ''g'' und ''h'' identisch.

===== Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)=====
:Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.

=====Satz I.5:=====
:Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

=====Satz I.6:=====
:Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

=====Satz I.7:=====
:Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

===== Satz II.1: =====
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Satz II.2: =====
:Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Satz II.3: =====
:Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Satz II.4: =====
:Es sei <math>\ O</math> ein Punkt einer Geraden <math>\ g</math>. Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math>\ g</math>.

===== Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke) =====
:Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

===== Satz IV.1: (Repräsentantenunabhängigkeit) =====
: Wenn <math>\ Q_2</math> ein Punkt der Halbebene <math>\ {gQ_1}^{+}</math> ist, dann gilt <math>\ {gQ_1}^{+} \equiv \ {gQ_2}^{+}</math> und <math>\ {gQ_1}^{-} \equiv \ {gQ_2}^{-}</math>.

===== Satz IV.2: =====
:Halbebenen sind konvexe Punktmengen

===== Satz IV.3: =====
:Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

===== Satz V.1: =====
: Das Innere eines Winkels ist konvex.

==== Satz V.2: ====
:Wenn der Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math>\ \angle ASB</math> und nicht auf einem der Schenkel des Winkels <math>\ \angle ASB</math> liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel <math>\ \angle ASP</math> und <math>\ \angle PSB</math> jeweils kleiner als die Größe des Winkels <math>\ \angle ASB</math>.

==== Satz V.3: (Existenz von rechten Winkeln) ====
:Es gibt rechte Winkel.

==== Satz V.4: ====
:Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

==== Satz V.5: ( Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt) ====
:Gegeben seien ein Punkt P auf einer Geraden g in einer Ebene E. Es gibt in E genau eine Gerade, die durch P geht und senkrecht auf g steht.

oder

: Es sei <math>\ g</math> eine Gerade der Ebene <math>\ \Epsilon</math>. Ferner sei <math>\ P</math> ein Punkt auf <math>\ g</math>. In der Ebene <math>\ \Epsilon</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ s</math>, die durch <math>\ P</math> geht und senkrecht auf <math>\ g</math> steht.

==== Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten) ====
: Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

==== Satz VI.<math> 1 \frac{1}{2}</math>: ====
:: Es sei <math>\ SW^+</math> die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>. Dann gilt <math>| \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB |</math>.

==== Satz VI.2: (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)====
::Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.

==== Satz VII.1: ====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.

==== Satz VII.2: ====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.

==== Satz VII.3: ====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.

==== Satz VII.4: (Kongruenzsatz WSW) ====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

==== Satz VII.5: (Basiswinkelsatz) ====
::In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.

==== Lemma 1: ====
::Die Winkelhalbierende <math>\ SW^+</math> eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> schneidet die Strecke <math>\overline{AB}</math> in genau einem Punkt <math>\ P</math>.

==== Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) ====
::Eine Menge <math>\ M</math> von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke <math>\ \overline{AB}</math>, wenn für jeden Punkt <math>\ P \in\ M</math> gilt: <math>\overline{AP} \cong \overline{BP}</math>.

==== Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>gehört.) ====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.

==== Satz VII.6 b: (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math> gehört)====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zur Mittelsenkrechten der Strecke <math>\overline{AB}</math> gehört, dann hat er zu den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ein und denselben Abstand.

==== Satz VIII.1: (schwacher Außenwinkelsatz) ====
::Die Größe eines jeden Außenwinkels eines Dreiecks ist jeweils größer als die Größe eines jeden Innenwinkels dieses Dreiecks, der kein Nebenwinkel zu dem gewählten Außenwinkel des Dreiecks ist.

==== Lemma 2: ====
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> im Inneren des Winkels <math> \angle ASB</math> liegt, dann liegt der gesamte Strahl <math>\ SP^+</math> im Inneren des Winkels <math>\angle ASB</math>.

==== Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) ====

Zu jedem Punkt P außerhalb einer Geraden g gibt es genau ein Lot von P auf g.
--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:26, 17. Jul. 2010 (UTC)

Diskussion:Lösung von Aufgabe 10.2

2010-07-19T18:08:49Z

Sternchen:

Benutzer:Sternchen

2010-07-09T17:03:02Z

Sternchen:

::::<math>\star</math> 
[[Bild:Lady.png|100px]]

== Wer ist intelligent? ==
Wo ist der Weise, wo der Schriftgelehrte, wo der Wortgewaltige dieser Weltzeit? Hat nicht Gott die Weisheit dieser Welt zur Torheit gemacht? 
Denn weil die Welt durch [ihre] Weisheit Gott in seiner Weisheit nicht erkannte, gefiel es Gott, durch die Torheit der Verkündigung diejenigen zu retten, die glauben. 
Während nämlich die Juden ein Zeichen fordern und die Griechen Weisheit verlangen, 
verkündigen wir Christus den Gekreuzigten, den Juden ein Ärgernis, den Griechen eine Torheit; 
denen aber, die berufen sind, sowohl Juden als auch Griechen, [verkündigen wir] Christus, Gottes Kraft und Gottes Weisheit. 
1. Korinther 1,20-24 
 
Die Furcht des Herrn ist der Anfang der Erkenntnis; nur Toren verachten Weisheit und Zucht! 
Sprüche 1,7

== Formatierungshilfen ==
[http://wiki.zum.de/Hilfe:TeX Hilfe zu LaTeX] 

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
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| Element
| Voraussetzung
|-
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| Element
|-
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| Element
|-
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| Element
|-
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| Element
| Element
|}

Diskussion:Lösung von Aufgabe 10.2

2010-07-09T16:46:14Z

Sternchen:

Diskussion:Lösung von Aufgabe 10.2

2010-07-08T20:47:28Z

Sternchen:

Diskussion:Lösung von Aufgabe 10.2

2010-07-08T20:34:52Z

Sternchen:

Lösung von Aufgabe 11.3

2010-07-08T20:13:22Z

Sternchen:

Beweisen Sie den Kongruenzsatz SSS.

= Lösung 1 =

Vor.:
:<math>\overline{ABC}, \overline{DEF},</math>
:<math>\overline{AB} \cong \overline{DE} \ \land \ \overline{BC} \cong \overline{EF} \ \land \ \overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
 

Beh.:
:<math>\overline{ABC} \cong \overline{DEF}</math>
 

[[Bild:Skizze_zu_Beweis_sss.JPG|400px]] 
 

Bew.:
:Es ex. ein Strahl <math>\ AQ^+</math> mit <math>Q \in ABC^-</math> und <math>|\angle BAQ| = |\angle EDF|</math> bzw. <math>\angle BAQ \cong \angle EDF</math> (Begr.: Winkelkonstruktionsaxiom).
:Es ex. außerdem ein Punkt <math>\ P</math> mit <math>P \in AQ^+</math> und <math>\ |AP| = |DF|</math> bzw. <math>\overline{AP} \cong \overline{DF}</math> (Begr.: Axiom vom Lineal).
:Wir haben nun also ein Dreieck <math>\overline{ABP}</math> konstruiert, dass kongruent zu <math>\overline{DEF}</math> ist. Denn es gilt ja <math>\overline{AB} \cong \overline{DE} \ \land \ \angle BAQ \cong \angle EDF \ \land \ \overline{AP} \cong \overline{DF}</math>. Jetzt genügt es zu zeigen, <math>\overline{ABC}</math> kongruent zu <math>\overline{ABP}</math> ist. Denn die Kongruenz ist transitiv, es würde daraus also auch <math>\overline{ABC} \cong \overline{DEF}</math> folgen.
 

z.z.: 
<math>\overline{ABC} \cong \overline{ABP}</math>
:Dafür wiederum genügt es nach dem Kongruenzaxiom sws zu zeigen, dass <math>\overline{AC} \cong \overline{AP} \ \land \ \angle BAC \cong \angle BAP \ \land \ \overline{AB} \cong \overline{AB}</math>.
:Nach Vor. gilt <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>.
:<math>\overline{DF} \cong \overline{AP} \ \land \ \overline{AC} \cong \overline{DF} \ \Rightarrow \ \overline{AC} \cong \overline{AP}</math> (Begr.: Transitivität, eigentlich fast trivial)
:Kongruenz ist reflexiv, also ist auch klar, dass <math>\overline{AB} \cong \overline{AB}</math> gilt.
:Also bleibt nun noch
 

z.z.: 
<math>\angle BAC \cong \angle BAP</math>
:Fürs weitere Vorgehen wieder eine kurze Feststellung, die eigentlich jeder sieht:
:<math>\overline{DEF} \cong \overline{ABP} \ \Rightarrow \ \overline{EF} \cong \overline{BP}</math>
:<math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math> (Vor.) <math>\ \land \ \overline{EF} \cong \overline{BP} \ \Rightarrow \ \overline{BC} \cong \overline{BP}</math>
:Ich gehe davon aus, dass der folgende Satz gilt, ohne ihn jetzt zu beweisen:
::Satz: Liegt ein Punkt <math>\ P</math> auf der Mittelsenkrechten <math>\ m</math> der Strecke <math>\overline{AB}</math>, dann und nur dann hat er von <math>\ A</math> und <math>\ B</math> den gleichen Abstand.
:::''Nachtrag: Inzwischen haben wir ja das [[Der_Basiswinkelsatz#Satz_VII.6:_.28Mittelsenkrechtenkriterium.29|Mittelsenkrechtenkriterium]] gemacht, was genau das aussagt.''
:<math>\ A</math> hat ja nun den gleichen Abstand von <math>\ C</math> wie von <math>\ P</math>, also <math>\ |AC| = |AP|</math>.
:Für <math>\ B</math> gilt Entsprechendes, also <math>\ |BC| = |BP|</math>.
:Nach dem Satz liegen also <math>\ A</math> und <math>\ B</math> auf der Mittelsenkrechten von <math>\overline{CP}</math>. Es ist sogar so, dass die Gerade <math>\ AB</math> die Mittelsenkrechte von <math>\overline{CP}</math> ist (Begr.: irgendein Inzidenzaxiom).
:Nach Def. der Mittelsenkrechten ist der Schnittpunkt <math>\ M</math> von <math>\ AB</math> und <math>\overline{CP}</math> der Mittelpunkt von <math>\overline{CP}</math>, d.h. <math>\ |CM| = |MP|</math> bzw. <math>\overline{CM} \cong \overline{MP}</math>.
:Nach Def. gilt außerdem <math>AB \perp \overline{CP}</math>, d.h. die entstehenden Winkel sind rechte Winkel.
:Nun gilt nach Def. vom rechten Winkel, dass sie gleich groß sind bzw. damit auch kongruent, also <math>\angle AMC \cong \angle BMC \cong \angle BMP \cong \angle AMP</math>.
 
:Mit dieser Winkelkongruenz sind wir nur noch wenige Schritte vom Ziel entfernt.
:Wegen des Kongruenzaxioms sws wissen wir nun, dass die Dreiecke <math>\overline{ACM}</math> und <math>\overline{AMP}</math> kongruent sind, denn es gilt: <math>\overline{CM} \cong \overline{MP} \ \land \ \angle AMC \cong \angle AMP \ \land \ \overline{AM} \cong \overline{AM}</math>.
:Nach der Def. der Dreieckskongruenz sind dann auch die Winkel <math>\angle CAM</math> und <math>\angle MAP</math> kongruent.
:Jetzt sieht es jeder, aber der Vollständigkeit halber sollte man noch zeigen, dass diese Winkel die gleichen sind wie die, die wir vorhin schon gemeint haben.
 

z.z.: 
<math>\angle CAM \equiv \angle BAC \ \land \ \angle MAP \equiv \angle BAP</math>
:Der Winkel <math>\angle CAM</math> besteht aus den Schenkeln <math>\ AC^+</math> und <math>\ AM^+</math>. Wir wissen aber, dass <math>\ M</math> auf <math>\ AB</math> liegt. Also ist <math>\ AM^+</math> identisch mit <math>\ AB^+</math>. Also auch <math>\angle CAM \equiv \angle CAB \equiv \angle BAC</math>.
:Entsprechendes gilt für <math>\angle MAP</math>, also <math>\angle MAP \equiv \angle BAP</math>.
q.e.d.

= Lösung 2 =
Leider ist in der Skizze ein Punkt falsch bezeichnet, es muss natürlich <math>C_2</math> statt <math>C_3</math> heißen.
 
Vor.:
:<math>\overline{AB_1C_1}, \overline{AB_2C_2},</math>
:<math>\overline{AB_1} \cong \overline{AB_2} \ \land \ \overline{AC_1} \cong \overline{AC_2} \ \land \ \overline{B_1C_1} \cong \overline{B_2C_2}</math>
 

Beh.:
:<math>\overline{AB_1C_1} \cong \overline{AB_2C_2}</math>
 

{| class="wikitable"
|-
| No. || Schritt || Begründung
|-
| 1a || Es existiert ein Punkt <math>C_2</math> für den gilt <math>\overline{AC_2} = \overline{AC_1},</math> ||Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. <math>A</math> ist Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{C_1C_2}</math> Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)
|-
| 1b || Es existiert ein Punkt <math>B_2</math> für den gilt <math>\overline{AB_2} = \overline{AB_1},</math> ||Satz III.1: Jede Strecke hat einen und nur einen Mittelpunkt. <math>A</math> ist Mittelpunkt der Strecke <math>\overline{B_1B_2}</math> Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)
|-
| 2 || <math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math>|| Scheitelwinkel(*)
|-
| 3 || <math>\overline{AB_1C_1} \cong \overline{AB_2C_2}</math>|| Vor, (1) (2) SWS (*), Dreieckskongruenz
|-
|}
 
o.B.d.A.
 
Diese Begründung kann analog an Punkt B, bzw. Punkt C durchgeführt werden, dann kann man die Kongruenz der Seiten <math>a</math> und <math>a_2</math> (aus Vss.) verwenden und erhält insgesamt vier kongruente Dreieck
 
Die durch eine solche Konstruktion entstehenden kongruenten Dreiecke sind in der zweiten Skizze dargelegt.
(*)Zu den Scheitelwinkeln: Hatten wir das schon bewiesen?
 
Hier in Kurzform (man verzeihe die formlose Sprache, es seien natürlich die Winkel das Innere der Strahlen usw.:
* Vor: Es existieren am Schnittpunkt zweier Geraden <math>\alpha_1 \alpha_2 \delta_1 \delta_2 </math>
* Beh: <math>\alpha_1 \cong \alpha_2</math>
* Schritt 1a: <math>|\alpha_1| + |\delta_1| = 180 </math>, Axiom IV.4: (Supplementaxiom): Nebenwinkel an <math>B_1B_2</math> sind supplementär.
* Schritt 1b: <math>|\alpha_1| + |\delta_2| = 180 </math>, Axiom IV.4: (Supplementaxiom): Nebenwinkel an <math>C_1C_2</math>sind supplementär.
* Schritt 1c: <math>|\alpha_2| + |\delta_2| = 180 </math> analog zu 1a
* Schritt 1d: <math>|\alpha_2| + |\delta_1| = 180 </math> analog zu 1b
* Schritt 2: Algebraische Umformung
**<math>|\alpha_2| + |\delta_2| = 180 </math>
**<math>|\alpha_2| = 180 - |\delta_2|</math>
**<math>|\alpha_1| + |\delta_2| = 180 </math>
**<math>|\alpha_1| = 180 - |\delta_2|</math>
* Schritt 3: <math>|\alpha_1| = |\alpha_2|</math>

[[Bild:Geo_Übung_11_3.png|600px]] 
 

[[Bild:Geo_Übung_11_3_Hilfskonstr.png|600px]] 
 
--[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 14:07, 7. Jul. 2010 (UTC)

Benutzer:Sternchen

2010-07-08T13:38:03Z

Sternchen:

::::<math>\star</math> 
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== Wer ist intelligent? ==
Wo ist der Weise, wo der Schriftgelehrte, wo der Wortgewaltige dieser Weltzeit? Hat nicht Gott die Weisheit dieser Welt zur Torheit gemacht? 
Denn weil die Welt durch [ihre] Weisheit Gott in seiner Weisheit nicht erkannte, gefiel es Gott, durch die Torheit der Verkündigung diejenigen zu retten, die glauben. 
Während nämlich die Juden ein Zeichen fordern und die Griechen Weisheit verlangen, 
verkündigen wir Christus den Gekreuzigten, den Juden ein Ärgernis, den Griechen eine Torheit; 
denen aber, die berufen sind, sowohl Juden als auch Griechen, [verkündigen wir] Christus, Gottes Kraft und Gottes Weisheit. 
1. Korinther 1,20-24

== Formatierungshilfen ==
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|}

Benutzer:Sternchen

2010-07-08T13:37:30Z

Sternchen:

::::<math>\star</math> 
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== Wer ist intelligent? ==
Wo ist der Weise, wo der Schriftgelehrte, wo der Wortgewaltige dieser Weltzeit? Hat nicht Gott die Weisheit dieser Welt zur Torheit gemacht? 
Denn weil die Welt durch [ihre] Weisheit Gott in seiner Weisheit nicht erkannte, gefiel es Gott, durch die Torheit der Verkündigung diejenigen zu retten, die glauben. 
Während nämlich die Juden ein Zeichen fordern und die Griechen Weisheit verlangen, 
verkündigen wir Christus den Gekreuzigten, den Juden ein Ärgernis, den Griechen eine Torheit; 
denen aber, die berufen sind, sowohl Juden als auch Griechen, [verkündigen wir] Christus, Gottes Kraft und Gottes Weisheit. 
1. Korinther 1,21-24

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Diskussion:Lösung von Aufgabe 11.3

2010-07-08T13:01:35Z

Sternchen:

Diskussion:Lösung von Aufgabe 10.2

2010-07-02T22:59:07Z

Sternchen: Die Seite wurde neu angelegt: Ich habe noch ein Problem mit der Eindeutigkeit. Löwenzahn, du hast ja geschrieben "Da es nach dem Winkelkonstruktionsaxiom genau eine Gerade g...

Lösung von Aufgabe 10.5

2010-07-02T12:03:23Z

Sternchen:

Satz VI.1/2:
Es sei <math> SW^{+} </math> eine Winkelhalbierende des Winkels <math> \angle ASB </math>. 
Dann gilt: <math>| \angle ASW| = | \angle WSB |= 1/2 | \angle ASB| </math>

== Beweis Versuch 1: ==
VSS: <math> SW^{+} </math> eine Winkelhalbierende des Winkels <math> \angle ASB </math> 
Beh: <math>| \angle ASW| = | \angle WSB |= 1/2 | \angle ASB| </math>

{| class="wikitable "
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! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| <math> SW^{+} </math> eine Winkelhalbierende von <math> \angle ASB </math>
| (VSS)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>| \angle ASW| + | \angle WSB |= | \angle ASB| </math>
| Winkeladditionsaxiom, W liegt im Innern von <math>\angle ASB</math>
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(III)
| <math>| \angle ASW| = | \angle WSB | </math>
| (I), Def. Winkelhalbierende
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(IV)
| <math>| \angle ASW| + | \angle ASW |= | \angle ASB| </math>
| (II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(V)
| <math>2| \angle ASW| = | \angle ASB| </math> --> <math> | \angle ASW |= 1/2| \angle ASB| </math>
| (IV), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(VI)
| <math>| \angle ASW| =| \angle WSB| = 1/2| \angle ASB| </math>
| (III), (V)
|}

qed --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:51, 1. Jul. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 10.5

2010-07-02T12:02:58Z

Sternchen:

Satz VI.1/2:
Es sei <math> SW^{+} </math> eine Winkelhalbierende des Winkels <math> \angle ASB </math>. 
Dann gilt: <math>| \angle ASW| = | \angle WSB |= 1/2 | \angle ASB| </math>

== Beweis Versuch 1: ==
VSS: <math> SW^{+} </math> eine Winkelhalbierende des Winkels <math> \angle ASB </math> 
Beh: <math>| \angle ASW| = | \angle WSB |= 1/2 | \angle ASB| </math>

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
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| <math> SW^{+} </math> eine Winkelhalbierende von <math> \angle ASB </math>
| (VSS)
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(II)
| <math>| \angle ASW| + | \angle WSB |= | \angle ASB| </math>
| Winkeladditionsaxiom, W liegt im Innern von \angle ASB
|-
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| (I), Def. Winkelhalbierende
|-
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| <math>| \angle ASW| + | \angle ASW |= | \angle ASB| </math>
| (II), (III), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
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| <math>2| \angle ASW| = | \angle ASB| </math> --> <math> | \angle ASW |= 1/2| \angle ASB| </math>
| (IV), (rechnen mit reellen Zahlen)
|-
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| <math>| \angle ASW| =| \angle WSB| = 1/2| \angle ASB| </math>
| (III), (V)
|}

qed --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:51, 1. Jul. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 10.3

2010-07-02T11:41:18Z

Sternchen:

[[Mittelsenkrechte_und_Winkelhalbierende#Satz_VI.1:_.28Existenz_und_Eindeutigkeit_der_Mittelsenkrechten.29|Satz VI.1: Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten (in Formelschreibweise)]]

== [[Beweis Versuch 1:]] ==

[[Satz VI.1: Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten:]] 
Jede Stecke hat in jeder Ebenen, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

Als Voraussetzung ist die Strecke <math> \overline{AB}</math>, die Ebene E zu benennen. 
Nun ist zu zeigen, dass es in <math>E</math> eine Gerade <math>m</math> gibt, die die Mittelsenkrechte zur Strecke <math> \overline{AB}</math> ist. Und, dass es nicht mehr als diese eine gibt. 

(1) Es gibt ein Punkt <math>Q</math>, der zur Ebene E gehört, aber nicht zur Geraden <math>AB</math>. 
(2) Es existiert genau ein Mittelpunkt <math>M</math> auf der Strecke <math> \overline{AB}</math>, nach Existenz und Eindeutigkeit Mittelpunkt. 
(3) Es existiert ein Punkt <math>P</math>in der Halbebenen <math> AB,Q^{+} </math> und somit ein genau ein Strahl <math> MP^{+} </math>. Der Winkel <math> \angle PMB </math> hat das Maß 90, nach Winkelkonstruktionsaxiom. 
(4) Die Gerade <math>PM</math> ist Mittelsenkrechte der Strecke <math> \overline{AB}</math>. 

Die Existenz und die Eindeutigkeit (wegen Winkelkonstruktionsaxiom) ist gezeigt. 

qed --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:30, 1. Jul. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 10.3

2010-07-02T11:40:00Z

Sternchen: /* Beweis Versuch 1: */

[[Mittelsenkrechte_und_Winkelhalbierende#Satz_VI.1:_.28Existenz_und_Eindeutigkeit_der_Mittelsenkrechten.29|Satz VI.1: Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten]]

== [[Beweis Versuch 1:]] ==

[[Satz VI.1: Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten:]] 
Jede Stecke hat in jeder Ebenen, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

Als Voraussetzung ist die Strecke <math> \overline{AB}</math>, die Ebene E zu benennen. 
Nun ist zu zeigen, dass es in <math>E</math> eine Gerade <math>m</math> gibt, die die Mittelsenkrechte zur Strecke <math> \overline{AB}</math> ist. Und, dass es nicht mehr als diese eine gibt. 

(1) Es gibt ein Punkt <math>Q</math>, der zur Ebene E gehört, aber nicht zur Geraden <math>AB</math>. 
(2) Es existiert genau ein Mittelpunkt <math>M</math> auf der Strecke <math> \overline{AB}</math>, nach Existenz und Eindeutigkeit Mittelpunkt. 
(3) Es existiert ein Punkt <math>P</math>in der Halbebenen <math> AB,Q^{+} </math> und somit ein genau ein Strahl <math> MP^{+} </math>. Der Winkel <math> \angle PMB </math> hat das Maß 90, nach Winkelkonstruktionsaxiom. 
(4) Die Gerade <math>PM</math> ist Mittelsenkrechte der Strecke <math> \overline{AB}</math>. 

Die Existenz und die Eindeutigkeit (wegen Winkelkonstruktionsaxiom) ist gezeigt. 

qed --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:30, 1. Jul. 2010 (UTC)

Lösung von Aufgabe 10.1

2010-07-02T10:54:01Z

Sternchen:

:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn die Gerade <math>\ {AB}</math> und die Gerade <math>\ {CD}</math> senkrecht aufeinander stehen .

::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aueinander, wenn es in <math>\epsilon</math> <s>eine</s> ''mindestens zwei'' Geraden gibt, die vollständig in <math>\epsilon</math> liegen, und senkrecht auf <math>\ g</math> stehen.

:::'''Nochmal richtig:''' Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> zwei sich schneidende Geraden gibt, die senkrecht auf <math>\ g</math> stehen.

==
Noch ein Versuch:
==

:: Eine Strecke <math>\ \overline{AB}</math> und eine Strecke <math>\ \overline{CD}</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn ein Punkt der Strecke <math>\ \overline {AB}</math> jeweils den gleichen Abstand zu C und zu D hat oder umgekehrt.

::Eine Gerade <math>\ g</math> und eine Ebene <math>\epsilon</math> stehen senkrecht aufeinander, wenn es in <math>\epsilon</math> noch eine weitere Gerade gibt, die vollständig in <math>\epsilon</math> liegt und senkrecht auf <math>\ g</math> steht

Lösung von Aufgabe 10.3

2010-07-01T20:55:34Z

Sternchen:

== [[Beweis Versuch 1:]] ==

[[Satz VI.1: Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten:]] 
Jede Stecke hat in jeder Ebenen, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

Als Voraussetzung ist die Strecke <math> \overline{AB}</math>, die Ebene E zu benennen. 
Nun ist zu zeigen, dass es in <math>E</math> eine Gerade <math>m</math> gibt, die die Mittelsenkrechte zur Strecke <math> \overline{AB}</math> ist. Und, dass es nicht mehr als diese eine gibt. 

(1) Es gibt ein Punkt <math>Q</math>, der zur Ebene E gehört, aber nicht zur Geraden <math>AB</math>. 
(2) Es existiert genau ein Mittelpunkt <math>M</math> auf der Strecke <math> \overline{AB}</math>, nach Existenz und Eindeutigkeit Mittelpunkt. 
(3) Es existiert ein Punkt <math>P</math>in der Halbebenen <math> AB,Q^{+} </math> und somit ein genau ein Strahl <math> MP^{+} </math>. Der Winkel <math> \angle PMB </math> hat das Maß 90, nach Winkelkonstruktionsaxiom. 
(4) Die Gerade <math>PM</math> ist Mittelsenkrechte der Strecke <math> \overline{AB}</math>. 

Die Existenz und die Eindeutigkeit (wegen Winkelkonstruktionsaxiom) ist gezeigt. 

qed --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 17:30, 1. Jul. 2010 (UTC)

Strecken

2010-07-01T16:56:39Z

Sternchen: /* Beweis von Satz II.4 */

= Strecken, intuitiv =
Punkte, Geraden und Ebenen können wir in unserer Geometrie nicht definieren. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Grundlegend dafür, um was für eine konkrete Strecke es sich jeweils handelt scheint die Angabe zweier Punkte zu sein (kürzeste Verbindung zweier Punkte).

Das Attribut ''kürzeste'' deutet auf das Messen von Längen hin. Das Messen von Längen wird dann auch der Knackpunkt bezüglich einer Definition des Begriffs der Strecke sein.

= Längenmessung =
== Messen: Andere Länder andere Sitten ==
Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

== Die Idee der Längenmessung ==
Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier:

= Der Abstand zweier Punkte =
=== Die ersten beiden Abstandsaxiome ===

===== Axiom II.1: (Abstandsaxiom) =====
:Zu je zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl <math>\ d</math> mit <math>d=0:\Longleftrightarrow A=B</math>.

===== Definition II.1: (Abstand) =====
:Der Abstand zweier Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zugeordnet werden kann. Schreibweise: <math>d = \left| AB \right|</math>.

===== Axiom II.2: =====
:Für zwei beliebige Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math> gilt <math>\left| AB \right| = \left| BA \right|</math>.

=== Die Dreiecksungleichung ===
==== Schüler entdecken die Dreiecksungleichung ====
Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind. In der Sprache der Abstände: Alle drei Abstände die die Eckpunkte des Dreiecks zueinander haben sind gegeben.

Abstände sind nach dem Abstandsaxiom reelle Zahlen. (Maßeinheiten wie m und cm sind in der „reinen“ Mathematik irrelevant.)

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das ''Begründen'' genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach ''SSS'' ergeben:

<ggb_applet width="600" height="400" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Das Axiom der Dreiecksungleichung ===
===== Axiom II/3: (Dreiecksungleichung) =====
::Für drei beliebige Punkte <math>\ A, B</math> und <math>\ C</math> gilt: <math>\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.</math>

::Falls <math>\operatorname{koll} \left( ABC \right)</math>, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

::::<math>\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math>
::::<math>\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right| </math>
::::<math>\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right| </math> 
::Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind <math>\ A</math>, <math>\ B</math> und <math>\ C</math> kollinear.

=====Übung zum Axiom=====
:: Welchen Teil des Axioms demonstriert das folgende Applet?
<ggb_applet width="750" height="300" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

=== Definitionen und Sätze ===

===== Definition II.2: (Zwischenrelation) =====
::Ein Punkt <math>\ B</math> liegt zwischen zwei Punkten <math>\ A</math> und <math>\ C</math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt und der Punkt <math>\ B</math> sowohl von <math>\ A</math> als auch von <math>\ C</math> verschieden ist.

::Schreibweise: <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

===== Satz II.1 =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.1 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

(I.) <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt.

(II.) <math> \operatorname{Zw} \left( C, B, A \right) </math>, wenn <math> \left| CB \right| + \left| BA \right| = \left| CA \right| </math> gilt.

Da nach Axiom II.2 <math> \left| AB \right| = \left| BA \right|, \left| BC \right| = \left| CB \right|,
\left| AC \right| = \left| CA \right| </math> gilt und nach den Rechenregeln Summanden vertauschbar sind, ist (I.) = (II.).
--[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 15:25, 4. Jun. 2010 (UTC)

===== Satz II.2: =====
::Aus <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> folgt <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.2 =====
:: Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

<math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math>, wenn <math> \left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right| </math> gilt.

Dass <math> A, B, C </math> kollinear sind, folgt damit aus Axiom II.3.
--[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 15:37, 4. Jun. 2010 (UTC)

===== Satz II.3 =====
::Es sei <math> \operatorname{koll} \left( A, B, C \right) </math> mit <math>\ A, B, C</math> sind paarweise verschieden. Dann gilt <math> \operatorname{Zw} \left( A, B, C \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( A, C, B \right) </math> oder <math> \operatorname{Zw} \left( B, A, C \right) </math>.

===== Beweis von Satz II.3: =====
::[[Lösung_von_Aufgabe_6.9]]

= Der Begriff der Strecke=
===== Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke) =====
::Das können Sie selbst.
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die <math>\ A</math> und <math>\ B</math> sowie alle Punkte, die zwischen <math>\ A</math> und <math>\ B</math> liegen, enthält, heißt Strecke <math>\overline{AB}</math>. --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 17:54, 4. Jun. 2010 (UTC)

===== Definition II.4: (Länge einer Strecke) =====
::Auch das können Sie selbst.
:::Es seien <math>\ A</math> und <math>\ B</math> zwei verschiedene Punkte. Der Abstand <math>\vert AB \vert</math> heißt Länge der Strecke <math>\overline{AB}</math>. --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 17:58, 4. Jun. 2010 (UTC)

= Halbgeraden bzw. Strahlen =
===== So ist es gemeint =====
Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird. 
Manipulieren Sie dann erst ''P'' und dann ''B'' und ''A''.

<ggb_applet width="700" height="500" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl) =====
::[[Lösung_von_Aufgabe_6.5]]

::[[Lösung_von_Aufgabe_6.6]]

===== Satz II.4 =====
::Es sei <math>\ O</math> ein Punkt einer Geraden <math>\ g</math>. Die Teilmengen <math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math>, <math> \left\{ O \right\}</math> und <math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> bilden eine Klasseneinteilung der Geraden <math>\ g</math>.

===== Beweis von Satz II.4 =====
Es sei G die Punktmenge der Geraden g und <math>G = \left\{ T1, T2, T3 \right\}</math> eine Menge von Teilmengen der Menge G.

<math> T1:= \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}</math> 
<math> T2:= \left\{ O \right\}</math> 
<math> T3:= \ OA^- \setminus \left\{ O \right\}</math> 

Es müssen alle notwendigen Bedingungen für eine Klasseneinteilung erfüllt sein:

'''(1) Keine der Teilmengen ist die leere Menge: '''
<math> \ OA^+ \setminus \left\{ O \right\} \not= \left\{ \right\}</math> 
<math> \left\{ O \right\} \not= \left\{ \right\}</math> 
<math> \ OA^- \setminus \left\{ O \right\} \not= \left\{ \right\}</math> 

'''(2) Je zwei Teilmengen sind disjunkt:''' 
<math> T1 \cap T2 = \left\{ \right\}</math>,
<math> T1 \cap T3 = \left\{ \right\}</math>,
<math> T2 \cap T1 = \left\{ \right\}</math>,
<math> T2 \cap T3 = \left\{ \right\}</math>,
<math> T3 \cap T1 = \left\{ \right\}</math>,
<math> T3 \cap T2 = \left\{ \right\}</math>

'''(3) Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge G''' 
<math> T1 \cup T2 \cup T3 = \left\{ G\right\}</math>

nur mal drüberschauen, ob die Formulierung so richtig ist--[[Benutzer:TimoRR|TimoRR]] 19:23, 23. Jun. 2010 (UTC)[[Bild:Dozenten.jpg]]
:Fehlt da nicht der eigentliche Beweis? --[[Benutzer:Sternchen|Sternchen]] 16:56, 1. Jul. 2010 (UTC)

Benutzer:Sternchen

2010-07-01T16:17:31Z

Sternchen:

::::<math>\star</math> 
[[Bild:Lady.png|100px]]

== Formatierungshilfen und -erinnerungen ==
[http://wiki.zum.de/Hilfe:TeX Hilfe zu LaTeX] 

{| class="wikitable "
|+ Beweis
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
! style="background: #FFDDDD;"|(I)
| Element
| Voraussetzung
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! style="background: #FFDDDD;"|(II)
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| Element
|-
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| Element
| Element
|-
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Datei:Lady.png

2010-07-01T16:15:44Z

Sternchen: {{Information |Beschreibung = |Quelle = |Urheber = |Datum = |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
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== Lizenz: ==
{{Bild-frei}}

Diskussion:Lösung von Aufgabe 10.1

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Lösung von Aufgabe 10.1

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