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GeometrieUndUnterrichtSS2019 09

2019-06-29T17:11:55Z

Swysen: /* Dokumentation der Sitzung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Lesen Sie Prediger & Hein (2017). [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~prediger/veroeff/17-EuJAL-Argumentation-Prediger-Hein-Webversion.pdf Learning to meet language demands in multi-step mathematical argumentations: Design Research on a subject-specific genre]. In ''European Journal of Applied Linguistics'' 5(2). Beantworten Sie für sich die folgenden Fragen/Aufgaben.

===Fragen zu den Abschnitten 1 und 2===

# Welche Schwierigkeiten oder Anforderungen bestehen beim ''Beweisen und Argumentieren'' für Schülerinnen und Schüler?
# Was halten Sie für die größte Anforderungen? Was war für Sie die überraschendste Schwierigkeit?

===Fragen zu den Abschnitten 3, 4 und 5===

# Welcher Ausschnitt aus den empirischen Daten (Aussage in einem SuS-Dialog, Auszug aus einem SuS-Text, …) war für Sie überraschend oder besonders interessant?
# Wählen Sie einen beliebigen Beweis aus der Geometrie aus und bereiten Sie ihn in der im Artikel vorgestellten Strukur (Figure 8) auf.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1O7KJG8vkl96hMeeLDUVe0kClboEOehkA5t2HKPuRwIc/edit?usp=sharing Begleitfolien zur Sitzung vom 28.06.2019]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Zusammenfassung ===
Die Ergebnisse des Vorbereitungsauftrages wurden besprochen und das im zu lesenden Paper erörterte "scaffolding" erörtert. Anschließend wurde dieses am konkreten Beispiel des Beweises des Satz des Thales aufzubereitet.

=== Besprechung des Vorbereitungsauftrages ===

Zur Vorbereitung der Sitzung war das Paper „Learning to meet language demands in multi-step mathematical argumentations: Design Research on a subject-specific genre“ (Prediger & Hein, 2017) zu lesen. Zu Beginn der Sitzung wurde dieser besprochen und die einzelnen Kapitel bzw. Textblöcke analysiert.
Ziel des Papers war es, sich mit Schwierigkeiten von SuS auseinanderzusetzen, die bei(m Aufbau von) Argumentationen bzw. Beweisen in der Mathematik auftreten können und wie diese behoben werden könnten. Diese wurden an der Tafel festgehalten:
[[Datei:Toulmin's argumentation structure german.png|thumb|Argumentstruktur nach Toulmin]]
==== Probleme bei Beweisaufgaben im Unterricht ====

* Unterscheidung von Prämissen, Argument, Argument in Anwendung, Schlussfolgerung
* Einsichtigkeit der (Allgemein)Gültigkeit von Aussagen, sowie die Möglichkeiten der Anwendung zu begreifen und diese „parat zu haben“
* Konkrete Beispiele (Experimentelles Beweisen) als nicht-ausreichend akzeptieren
* Fehlendes Beweisbedürfnis
* Wenn-dann („if-then“) einsehen („Understanding their structure is crucial for avoiding circularity”)
* Prämissen zur Anwendung explizit prüfen (Im Alltag würden diese nur formuliert, falls die entsprechende Prämisse zutrifft)
* Mangelnde „sprachliche Bausteine“, um logische Strukturen/Abfolgen auszudrücken
* Inhaltlose Verwendung von „Worthülsen“, wie „Ohne Beschränkung der Allgemeinheit“, „Es sei…“, „Es gilt/ Es gelte“, da diese u.U. nicht begriffen wurden

Während in der Sitzung mehrere Forschungskonzepte genannt wurden, konzentrierte sich die Sitzung auf den Ansatz der Studie, welche im obigen Paper durchgeführt wurde. Dieser basierte auf „structural scaffolding“.
Dies hat den Ansatz kognitive Ansprüche zu entlasten und anschließend Vorgaben und Hilfen bezüglich der Struktur/Strukturfindung abzubauen, um den SuS den Aufbau, Inhalt und Struktur sowie Sprache eines (mathematischen) Beweises näherzubringen. Als Beispiel wurden Lückentexte genannt, bei denen zuerst nur noch wichtige Argumente einzusetzen sind, allerdings im weiteren Verlauf die Lücken stetig vergrößert werden.
Zur Abfolge der Argumentation in Abb.1 wurde diskutiert, ob diese bei komplexeren Beweisen durch ihre zwangsläufig rekursive Struktur (Für die eigentliche Aussage müssen ggf. innerhalb des Beweises zunächst andere Aussagen gezeigt werden) nicht zu uneinsichtig für SuS sein dürften. Das Ergebnis war, dass man sich stets überlegen müsse, welche Beweise sich überhaupt für die Methode eignen und an welcher Stelle der Schullaufbahn das scaffolding idealerweise eingesetzt werden sollte. Letztlich sei es eher ein Werkzeug für Beweise mit wenigen Schritten.

==== Diskussion der Durchführung/Ergebnisse der Studie ====

[[Datei:Bsp argumentation angleTheorem german.png|thumb|Argumentation des Beispiels des Winkeltheorems]]
Die Grundidee des scaffolding wurde positiv wahrgenommen, ebenfalls das konkrete Beispiel, welches in der Studie verwendet wurde („vertically opposite angle theorem“), allerdings wurde hinterfragt, ob in der Realität die Anwendung tatsächlich gewinnbringend sein dürfte, da zumal auch von den Autoren aufgeführt wurde, dass die alleinige Behandlung dieses Beweises keine weitläufigen Aussagen zulasse (chapter 5 : „This study has methodological limitations that will still have to be overcome in later design experiment
cycles or future research. […] The teaching-learning
arrangement focused only on angle theorems; future research should extend to other topics”).
Ebenfalls wurde angemerkt, dass hier eventuell das Augenmerk zu stark auf der Struktur liege, sodass der eigentliche Beweis in den Hintergrund gerate. Allerdings sei aber auch das Lernziel die Fähigkeit Differenzierbarkeit von Prämisse, Argument usw., sowie die sprachliche Struktur und Beweisstruktur zu unterstützen.

Des Weiteren wurde bemerkt, dass die Verwechslung der SuS im Text zum Teil ihren Ursprung daran haben könnte, da innerhalb des Unterrichtes bei Abfragen bzw. Rückfragen an die SuS die Lehrkräfte häufig mit knappen Antworten zufrieden seien, sodass eine strukturierte Begründung seitens der SuS selten vorkomme (Bsp.: L: „Woran liegt das?“ S: „Pythagoras.“ L: „Richtig.“)
Auch wurde der Unterschied zwischen mündlicher und schriftlicher Beweisstruktur wahrgenommen, wobei dieser ggf. bei mündlicher Abfrage an der Unsicherheit, wie die Antworten aussehen sollen liegen könne, sowie der Tatsache, dass bei der schriftlichen Verfassung erst nach der mündlichen erfolgte, sodass eine Reflexion seitens der Sus erfolgen konnte.

=== Inputphase ===

In dieser Phase wurde an die vorherige Stunde angeknüpft, indem zunächst der Text zentral zusammengefasst und ggf. ergänzt wurde. Es wurden verschiedene Motivationen von Beweisen erörtert, wie Einsichtigkeit der Allgemeingültigkeit der Aussage oder diese zu veranschaulichen.
[[Datei:BsP Sehne Winkel.PNG|thumb|Beispiel einer unanschaulichen Aussage: Die Winkel α und β sind für einen beliebigen Punkt P und einer beliebigen Sehne g auf dem Kreis identisch. Diese Aussage wird eher anhand eines Beweises anstatt der bildlichen Veranschaulichung einsichtig.]]

Auch wurde Beweisen an sich differenziert betrachtet unter der Beweisfindung (Problem lösen) und der Beweisdarstellung (Bsp.: scaffolding), die beschreibend oder symbolisch erfolgen kann. Hierbei erfolgt die Beweisfindung eher als kreativer Prozess, der sprunghaft sein kann und auch Rückschläge in sich birgen kann, während die Darstellung lediglich die Präsentation des Ergebnisses ist, welche an das jeweilige Publikum angepasst wird und formalen Kriterien genügt.
Anschließend wurde der Idealtypischer Beweis-Prozess (nach Boero) vorgestellt, sowie wie dies bei SuS angewendet werden kann und welche Probleme auftreten können [ für Details: s. Sitzungsmaterialien]. Hier wurde betont, dass es wichtig sei, bei SuS ein Beweisbedürfnis zu wecken und diese zu motivieren.

=== Arbeitsphase ===
Abschließend zur Sitzung wurde das Gelernte genutzt, um den Beweis für den Satz des Thales für SuS aufzubereiten. Die erste Formulierung: „Alle Winkel an einem Halbkreis sind rechte Winkel“ wurde zunächst formal bewiesen:

[[Datei:Thales_geo.PNG|thumb|Skizze zur Veranschalichung des Beweises (Thales)]]

==== Formaler Beweis ====
Es ist 

<math>|MA| = |MC| = |MB| = r</math>, 

wobei r den Radius des Kreises bezeichnet.
Also sind ΔAMC und ΔMBC gleichschenklig.
Insbesonders gilt aufgrund des Basiswinkelsatzes für gleichschenklige Dreiecke:

<math> \alpha = \gamma_1</math> und <math> \beta = \gamma_2</math>. 

Wegen des Satzes der Winkelsumme im <math> \Delta </math> gilt:

<math> \alpha + \beta + (\gamma_1 + \gamma_2) = 180^\circ </math>
 
und mit 
<math> \alpha = \gamma_1 , \beta = \gamma_2</math>

 
ergibt sich 
<math>2( \gamma_1 + \gamma_2 ) = 180^\circ -> \gamma = \gamma_1 + \gamma_2 = 90^\circ</math>.

==== Aufbereitung des Beweises ====

Zunächst stellte sich die Frage, welches Vorwissen bei den SuS vorhanden sein und aktiviert werden muss. Dies wurde an der Tafel zusammengetragen:

* Alle Punkte auf einer Kreislinie haben den gleichen Abstand zum Kreismittelpunkt
* Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke
* Satz über Winkelsumme im Dreieck, Rechnen mit Winkeln (Addierbarkeit, Ergänzung von Winkeln)
* Lösungsverfahren von Gleichungen, speziell Einsetzungsverfahren
* Definition & Eigenschaften von gleichschenkligen Dreiecken

Anschließend wurde diskutiert, wie man dieses Vorwissen aktivieren könne, im Hinblick auf den möglichen Zeitaufwand zu Beginn einer Unterrichtsstunde. Genannt wurden Besprechung von Hausaufgaben, Kurzteste oder -abfragen sowie ein Quizz zu beginn. Für letzteres sollten Fragen entworfen werden, die im Idealfall aus Zeitgründen kompakt, aber dennoch alles abdecken sollten. Beispiele waren:

* Was ist ein Kreis?
* Was ist ein (gleichschenkliges) Dreieck?
* Wieviele rechte Winkel kann ein Dreieck haben?

Allerdings wurden auf den Einwand hin, dass eventuell Schwierigkeiten dabei auftreten könnten, den Bezug dieses Wissen zum Beweis zu sehen, noch bildliche Beispiele genannt, die in Richtung der obigen Skizze des Beweises gingen. Hierbei könnte man fragen: "Wie lang ist |AB|?" usw.

== Nachbereitungsauftrag ==

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum ''Beweisen & Argumentieren'' (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

# Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der ''Aufgabenstellung''-Spalte.
# Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die ''Erwartungshorizont''-Spalte ein.
# Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifenden Literaturhinweise]] sind insbesondere relevant:
* Blum & Kirsch (1991). [https://link.springer.com/article/10.1007/BF00555722 Preformal Proving: Examples and reflections]. In ''Educational Studies in Mathematics''.
* Meyer & Prediger (2009). [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~prediger/veroeff/09-Meyer_Prediger_PM-H30-Argumentieren-Webversion.pdf Warum? Argumentieren, Begründen, Beweisen] (Preprint). In ''Praxis der Mathematik in der Schule'' 51(30).
* Prediger & Hein (2017). [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~prediger/veroeff/17-EuJAL-Argumentation-Prediger-Hein-Webversion.pdf Learning to meet language demands in multi-step mathematical argumentations: Design Research on a subject-specific genre]. In ''European Journal of Applied Linguistics'' 5(2).
* Kapitel 2 „Beweisen und Argumentieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]
:* Abschnitte: „Was ist ein Beweis?“, „Funktionendes Beweisens“, „Beweis und Beweisfindung“
:* Abschnitte: „Kompetenzen vonSchülerinnen und Schülern“, „Inhaltlich-anschauliche Beweise“
* Präsentationsfolien zu [http://dms.uni-landau.de/roth/lehre/skripte/did_geometrie/did_geometrie_4_argumentieren_beweisen.pdf Kapitel 4 „Beweisen und Argumentieren“] der Vorlesung „Didaktik der Mathematik in der Sek. I / Didaktik der Geometrie“. In [http://www.juergen-roth.de/lehre.html#skripte Vorlesungsskripte von Jürgen Roth], Universität Koblenz-Landau.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-

! Aufgabenstellung !! Erwartungshorizont !! Diskussion

|-
|
Lorem
||
Ipsum
||
Dolor


|}

== Literaturhinweise ==

* Prediger & Hein (2017). [http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~prediger/veroeff/17-EuJAL-Argumentation-Prediger-Hein-Webversion.pdf Learning to meet language demands in multi-step mathematical argumentations: Design Research on a subject-specific genre]. In ''European Journal of Applied Linguistics'' 5(2).
* Kapitel 2 „Beweisen und Argumentieren“ in [https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-56217-8 Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“]. Insbesondere Abschnitt „Kompetenzen vonSchülerinnen und Schülern“.

Datei:BsP Sehne Winkel.PNG

2019-06-29T16:16:50Z

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2019-06-29T16:14:38Z

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2019-06-29T16:01:22Z

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2019-06-29T15:38:59Z

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GeometrieUndUnterrichtSS2019 01

2019-05-08T09:47:54Z

Swysen: /* Ergebnisse der Nachbereitung */

== Vorbereitungsauftrag ==

Der Begriff ''Grundvorstellung'' steht für ein tragfähiges mentales Modell für einen Begriff oder ein Verfahren. Lesen Sie [https://link.springer.com/article/10.1007/BF03338785 vom Hofe (2013). „Grundvorstellungen mathematischer Inhalte als didaktisches Modell“] in ''Journal für Mathematik-Didaktik'' und eigenständig recherchierte Beiträge zum Thema ''Grundvorstellungen'' (mit Bezug zum Geometrieunterricht). Bearbeiten Sie die folgenden Aufträge.

# Diskutieren Sie, wie sich ''Flächeninhalte von Rechtecken'' als (innermathematischen) Sachzusammenhang für die ''Multiplikation zweier positiver (rationaler) Zahlen'' für den Aufbau einer Grundvorstellung eignen. Berücksichtigen Sie dabei die Aspekte ''Sinnkonstituierung'', ''Aufbau von Repräsentationen'' und ''Anwendung des Begriffs''. (Die folgenden zwei Aufgaben können dabei helfen.)
# Wie können Sie diese Vorstellung zur Erklärung des ''Distributivgesetz'' beim Rechnen mit positiven (rationalen) Zahlen verwenden?
# Wie können Sie diese Vorstellung zur Erklärung der ''ersten binomischen Formel'' beim Rechnen mit positiven (rationalen) Zahlen verwenden?
# Welche Begriffe, Konzepte oder Phänomene der Geometrie werden in diesem Zusammenhang angesprochen?
# Entwickeln Sie einen analolgen Sachzusammenhang für den Aufbau einer Grundvorstellung für die ''Multiplikation zweier natürlicher Zahlen''.

== Sitzungsmaterialien ==

* [https://docs.google.com/presentation/d/1OxiIGkZanj9obbwDT8X7dX_IaRnN69huHLTQX3gA_ks/edit?usp=sharing Begleitfolien der Seminarsitzung vom 03.05.2019]
* [https://zumpad.zum.de/p/GuU_Begriff ZUM-Pad zum Arbeitsauftrag: „Welche Beispiele für geometrische Begriffe fallen Ihnen ein?“]
* [https://drive.google.com/file/d/1J_tLLcdCTIicy5IH5usrEBSIXOzcuFxG/view?usp=sharing PDF-Export vom ZUM-Pad „Welche Beispiele für geometrische Begriffe fallen Ihnen ein?“]

== Dokumentation der Sitzung ==

=== Zusammenfassung und Bezug zu den Bildungsstandards ===

=== Inhaltlicher Input ===

=== Arbeitsphase ===

== Nachbereitungsauftrag ==

Andreas Vohns stellt in seiner Vorlesung „Didaktik der Geometrie“ an der Universität Klagenfurt verschiedene Klassifikationssysteme für (geometrische) Begriffe im Mathematikunterricht vor. Schauen Sie sich [https://www.youtube.com/watch?v=y6Syb-izjnY&feature=youtu.be&t=300 den Vorlesungsmitschnitt der dritten Sitzung aus dem WiSe 2018/19 (Ausschnitt von Minute 5.00 bis 11.00)] an. Suchen Sie sich eines der Klassifikationssysteme aus und sortieren Sie die in der Sitzung gesammelten Begriffe in dieses System ein.

===Ergebnisse der Nachbereitung===

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

{| class="wikitable"
|-
| '''Figurenbegriffe''' || Dreieck, Quadrat, Kreis, Prisma, Würfel, Kugel, Körper allg., Eigenschaften und Beziehung untereinander (gleichschenklig, gleichseitig, parallel, senkrecht, rechtwinklig, kongruent, achsensymmetrisch)
|-
| '''Abbildungsbegriffe''' || Geraden, Spiegelung, Drehung, Kongruenzabbildung, zentrische Streckung, Verschiebung
|-
| '''Maßbegriffe''' || Länge, Winkelgröße, Flächeninhalt, Volumen, Gewicht, Umfang

|}

{| class="wikitable"
|-
| '''Objektbegriffe''' || Dreieck, Viereck, Vieleck, Kreis, Ellipse, Zylinder, Würfel, Kegel, Quarder, Prisma, Parallelogramm, Ebene, Gerade
|-
| '''Eigenschaftsbegriffe''' || dreieckig, viereckig, rund, elliptisch, zylindrisch, würfelförmig, kegelförmig, quadratisch, eben, gerade, Punkt, Seite, Strecke, Kreisbogen (?), Diagonale (?)
|-
| '''Relationsbegriffe''' || parallel, symmetrisch, orthogonal, kongruent, windschief, identisch, ähnlich, deckungsgleich
|-
|'''Funktionsbegriffe''' || Abbildungen, Länge, Winkelgröße, Flächeninhalt, Volumen, Gewicht, Umfang, Streckensymmetrale

|}

{| class="wikitable"
|-
| '''Grundbegriffe''' || Punkte, Geraden
|-
| '''definierte Begriffe''' || alle anderen Begriffe
|-
|}

{| class="wikitable"
|-
| '''Leitbegriffe''' || Figur,Körper, Flächeninhalt, Volumen
|-
| '''Klasse B''' || Begriff 3, Begriff 4, Begriff 5
|-
| '''Klasse C''' || Begriff 6
|}

==Zusatzmaterial==

[https://mediaup.uni-potsdam.de/Play/7250 Hier finden Sie einen Mitschnitt der Vortrags „Moving mathematics - Technology that changes teaching and learning“] von Dr. Nathalie Sinclair zu ihrer Arbeit mit jungen Lernenden im Kindergarten- und Vorschulalter. Der Vortrag wurde auf der 51. Jahrestagung der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik in Potsdam gehalten.

Ab der Zeitmarke 22 Minuten 55 Sekunden werden Beispiele zur Erarbeitung von Begriffsaspekten (Dreiecken, Lage von Geraden, Spiegelungen und Symmetrien) erörtert. Sie können diese Beispiele als Lerngelegenheit für das ''van-Hiele-Modells'' nutzbar machen, indem Sie diese vor dem Hintergrund der Stufen des Begriffserwerbs reflektieren.

==Literaturhinweise==

* Zalman (1982). [https://eric.ed.gov/?id=ED220288 „Van Hiele Levels and Achievement in Secondary School Geometry“].
* Klinger (2019). „[http://dx.doi.org/10.1007/978-3-658-24292-3_5 Grundvorstellungen versus Concept Image? Gemeinsamkeiten und Unterschiede beider Theorien am Beispiel des Funktionsbegriffs]“. In Büchter, et al. (Hrsg.), Vielfältige Zugänge zum Mathematikunterricht: Konzepte und Beispiele aus Forschung und Praxis (S. 61–75). Wiesbaden: Springer Spektrum.
* Griesel, vom Hofe, Blum (2019). „[https://doi.org/10.1007/s13138-019-00140-4 Das Konzept der Grundvorstellungen im Rahmen der mathematischen und kognitionspsychologischen Begrifflichkeit in der Mathematikdidaktik]“. In Journal für Mathematikdidaktik.
* siehe auch: [[GeometrieUndUnterrichtSS2019|übergreifende Literaturhinweise]]