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Lösung von Aufg. 14.2

2011-02-05T13:33:34Z

Tab1909:

a)Dann ist B identisch mit A. Der Winkel MAZ hat folglich das Winkelmaß 90.

b)Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann steht die Tangente g an k senkrecht auf ihrem Radius im Berührpunkt A.--[[Benutzer:Halikarnaz|Halikarnaz]] 20:21, 3. Feb. 2011 (UTC)

d) Umkehrung: 
Wenn die Gerade g senkrecht auf dem Berührungsradius steht, dann ist g Tangente am Kreis k im Berührungspunkt A. 

Umkehrung gilt.
Vor: t steht senkrecht auf Berührungsradius
Beh: t ist Tangente am Kreis k--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:02, 5. Feb. 2011 (UTC)

Vermutung für Teilaufgabe c)
Vor: Kreis k mit r= AM und CA ist echte Teilmenge der Tangente t des Kreises k
Beh: AM steht senkrecht auf CA
Annahme: AM steht nicht senkrecht auf CA

(1) Es existiert das Lot l von M auf t --> Existenz und Eindeutigkeit des Lotes
(2) l ist die kürzeste Strecke von M auf --> Satz aus Tutorium
(3) Lotfußpunkt muss daher im Inneren des Kreises k liegen, damit l kleiner ist als AM --> Def. Radius, (2)
(4) t zwei Schnittpunkte mit k --> (3)
WIDERSPRUCH zur Voraussetzung, dass t eine Tangente ist, Annahme ist zu verwerfen, Behauptung stimmt!

Wie gesagt nur eine Vermutung, keine Ahnung ob das so möglich ist?! --[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 13:33, 5. Feb. 2011 (UTC)

Lösung von Aufg. 13.1

2011-01-30T21:57:48Z

Tab1909:

Beweisen Sie den Innenwinkelsatz für Dreiecke.

Könnte es so gehen?

Vor.: ABC; α=<CAB, β=<CBA, γ=<ACB

Beh.: IαI+IβI+IγI=180

1) IαI+IάI=180_________Definition Nebenwinkel, Supplementaxiom

2) IβI+IγI=ά___________starker Außenwinkelsatz (oder darf ich den noch gar nicht nehmen???)

3) IαI+IβI+IγI=180_____1),2), Rechnen in R

4) Behauptung stimmt___3)

Ich glaub das geht nicht, weil du den Innenwinkelsatz brauchst, um den starken Außenwinkelsatz zu beweisen! Dann kannst du den starken Außenwinkelsatz nicht in dem Beweis nehmen!--[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 13:38, 28. Jan. 2011 (UTC)

Idee 2
VSS : Dreick ABC mit α,β,γ y als Innenwinkel 
Beh: IαI+IβI+IγI=180 

1. Konstruiere eine Parallele zu AB durch C (Satz über die Existenz von Parallelen und Euklidisches Parallelenaxiom) 

2. IαI = Iα´I (Wechselwinkelsatz) 
3. IβI = Iβ´I (Wechselwinkelsatz) 
4. IβI + IγI = I<math>\delta </math>I (Winkeladditionsaxiom) 
5. I<math>\delta </math>I + IαI = 180 ( Definition Nebenwinkel, Supplementaxiom) 
6. IαI+IβI+IγI=180 (2,3,5, rechnen in R) --[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 08:28, 26. Jan. 2011 (UTC) 

Sommer80 stimme ich zu, ganz oben stimme ich auch zu und TAB muss ich widersprechen, da ich der Meinung bin, dass man den schwachen Außenwinkelsatz auch ohne die Innenwinkelsumme nur über Wechselwinkel beweisen kann.--[[Benutzer:Jbo-sax|Jbo-sax]] 13:37, 29. Jan. 2011 (UTC) 

Also den schwachen kann man ohne beweisen,muss man sogar, weil der ja zur absoluten Geometrie gehört, aber ich weiß nicht wie man den starken Außenwinkelsatz ohne die Innenwinkelsumme im Dreieck beweist! Kann aber gut sein, dass es da noch ne andere Lösung gibt, als die in Aufgabe 12.2! Aber wenns geht, dann wäre Vorschlag 1) natürlich ne richtige Idee für den Beweis, also mal schauen...--[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 21:57, 30. Jan. 2011 (UTC)

Danke euch beiden.

Lösung von Aufg. 13.1

2011-01-28T13:38:18Z

Tab1909:

Lösung von Aufg. 13.2

2011-01-28T13:36:17Z

Tab1909:

Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz.

Satz XII.5: (Starker Außenwinkelsatz)
Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß, wie die Summe der größen der beiden nicht anliegenden Innenwinkel dieses Dreiecks.
Hier meine Idee:

Vor.: ABC; α=<CAB, β=<CBA, γ=<ACB

Beh.: o.B.d.A. Iα’I=IβI+IγI

1) IαI+IβI+IγI=180________________Innenwinkelsatz

2) IαI+IάI=180___________________Supplementaxiom, Definition Nebenwinkel

3) ά= IβI+IγI_____________________1),2), Rechnen in R

4) Behauptung stimmt_____________3)

Konstruktive Kritik bitte ;-)

Also ich glaube die Lösung ist richtig so, aber vielleicht solltest du deinen Schritt 3) etwas genauer erläutern:

(3.1) IαI = 180-IβI-IγI _____________Rechnen im R

(3.2) ά= 180 - (180-IβI-IγI)____________ Rechnen im R
--[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 13:36, 28. Jan. 2011 (UTC)

Lösung von Aufg. 13.2

2011-01-28T13:36:02Z

Tab1909:

Beweisen Sie den starken Außenwinkelsatz.

Satz XII.5: (Starker Außenwinkelsatz)
Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß, wie die Summe der größen der beiden nicht anliegenden Innenwinkel dieses Dreiecks.
Hier meine Idee:

Vor.: ABC; α=<CAB, β=<CBA, γ=<ACB

Beh.: o.B.d.A. Iα’I=IβI+IγI

1) IαI+IβI+IγI=180________________Innenwinkelsatz

2) IαI+IάI=180___________________Supplementaxiom, Definition Nebenwinkel

3) ά= IβI+IγI_____________________1),2), Rechnen in R

4) Behauptung stimmt_____________3)

Konstruktive Kritik bitte ;-)

Also ich glaube die Lösung ist richtig so, aber vielleicht solltest du deinen Schritt 3) etwas genauer erläutern:

(3.1) IαI = 180-IβI-IγI _____________Rechnen im R
(3.2) ά= 180 - (180-IβI-IγI)____________ Rechnen im R
--[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 13:36, 28. Jan. 2011 (UTC)

Lösung von Aufg. 12.5

2011-01-23T14:06:55Z

Tab1909: /* Aufgabe 12.5 */

== Aufgabe 12.5 ==
Gegen welche Forderung, die an Axiomensysteme zu stellen ist, verstößt die folgende Formulierung des Parallelenaxioms: 
Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist. 

EPA verstößt gegen die Unabhängigkeit der Axiomatik, da die Existenz einer Parallelen zu g in der absoluten Geometrie gezeigt wird und das EPA ist eine Eindeutigkeitsaussage in der Euklidischen Geometrie.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:47, 19. Jan. 2011 (UTC)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Andere Erklärung? Diese leuchtet mir nicht ein!

Ja ziemlich unverständlich ausgedrückt...meiner meinung nach liegt das daran, dass man die Existenz beweisen kann (ich meine das ist Aufgabe 12.4). Das heißt diese Formulierung würde gegen die Nicht-Beweisbarkeit der Axiome verstoßen! Darum muss es höchstens eine Gerade heißen und nicht genau eine! Die Formulierung schließt nämlich die Existenz mit ein!--[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 14:06, 23. Jan. 2011 (UTC)

Lösung von Aufg. 12.6

2011-01-23T14:03:46Z

Tab1909: /* Aufgabe 12.6 */

== Aufgabe 12.6 ==
Beweisen Sie den Stufenwinkelsatz.

Vor: a//b 
Beh: <math>\alpha </math> <math>\cong</math><math>\beta </math> 

Annahme: <math>\alpha </math> ist nicht kongruent zu <math>\beta </math> 

1) Es existiert genau eine Gerade h für die gilt:___________________________WInkelkonstruktionsaxiom 
<math>\alpha1 </math> <math>\cong</math><math>\beta </math> 
2) h//b________________________Umkehrung des Stufenwinkelsatzes und 1) 
3) Die Gerade b hat zwei Parallelen a und h______________________ Vor. und 2) Widerspruch zum EPA 
4) a=h___________________________2) 
5) Annahme ist zu verwerfen 
6) Behauptung stimmt --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 17:57, 19. Jan. 2011 (UTC) 

Musst du für diesen Beweis nicht erstmal die Umkehrung des Stufenwinkelsatz beweisen...das haben wir ja noch nicht gemacht?!

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 5.1

2010-11-19T14:11:55Z

Tab1909:

Satz: Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> in einer Ebene ''E'' und eine Gerade ''g'' in dieser Ebene, die keine der drei Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' enthält. 
Wenn ''g'' die Strecke <math>\overline{BC}</math> schneidet, so schneidet sie auch entweder die Strecke <math>\overline{AB}</math> oder die Strecke <math>\overline{AC}</math>. 
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation? 
b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten?.
 
a) Vor: Die Gerade g schneidet die Strecke BC 
Beh: so schneidet g entweder die Strecke AB oder AC 
Kontraposition: Wenn g die Strecke AB und die Strecke AC nicht schneidet, so schneidet sie auch nicht die Strecke BC 
Wenn g weder die Strecke AB noch die Strecke AC schneidet oder beide Strecken schneidet, dann schneidet sie auch nicht die Strecke BC--[[Benutzer:Tab1909|TAB]] 14:11, 19. Nov. 2010 (UTC)

Hier fehlt nochj was (wegen entweder oder)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 12:52, 19. Nov. 2010 (UTC)

b) Annahme: Die Gerade g schneidet nicht die Strecke AB und die Strecke AC.--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 23:44, 10. Nov. 2010 (UTC)

Übung Aufgaben 5

2010-11-12T17:09:24Z

Tab1909: /* Aufgabe 5.6 */

=Aufgaben zu Sätzen, Beweisen und Relationen=
==Aufgabe 5.1==
Satz: Gegeben sei ein Dreieck <math>\overline{ABC}</math> in einer Ebene ''E'' und eine Gerade ''g'' in dieser Ebene, die keine der drei Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' enthält. 
Wenn ''g'' die Strecke <math>\overline{BC}</math> schneidet, so schneidet sie auch entweder die Strecke <math>\overline{AB}</math> oder die Strecke <math>\overline{AC}</math>. 
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation? 
b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten?.
 
[[Lösung von Aufgabe 5.1]]

==Aufgabe 5.2==
Gegeben sei folgende Äquivalenz: Der Abstand zweier Punkte ''A'' und ''B'' ist genau dann 0, wenn ''A'' und ''B'' identisch sind. 
a) Formulieren Sie die beiden Implikationen, die in dieser Aussage stecken. 
b) Wie lautet jeweils die Kontraposition der beiden Implikationen? 
c) Wie lauten die beiden Annahmen, wenn Sie diese Implikationen jeweils durch einen Widerspruch beweisen möchten? 
[[Lösung von Aufgabe 5.2]]

==Aufgabe 5.3==
Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, ob es sich um reflexive, symmetrische sowie transitive Relationen handelt? 
*Parallelität von Geraden der Ebene
*Kongruenz geometrischer Figuren
*Teilbarkeit in <math>\mathbb{N}</math>
*Kleinerrelation in <math>\mathbb{R}</math>
*Größer-Gleich-Relation in <math>\mathbb{R}</math>
*Ungleichheit in <math>\mathbb{R}</math>
[[Lösung von Aufgabe 5.3]]

==Aufgabe 5.4==
In der Schule sprechen wir davon, dass wir Dreiecke 
a) hinsichtlich der Seitenlängen oder 
b) hinsichtlich der Winkelgrößen klassifizieren. 
In welchen der beiden Fälle handelt es sich um eine wirkliche Klasseneinteilung? Argumentieren Sie mit Hilfe eines Venn-Diagramms. 
[[Lösung von Aufgabe 5.4]]

==Aufgabe 5.5==
Gegeben sei eine Gerade ''g'' und ein Punkt ''P'' auf ''g''. Durch diesen Punkt ''P'' wird die Gerade ''g'' in zwei Halbgeraden geteilt. 
a) Warum ist diese Einteilung von ''g'' in die zwei Halbgeraden bezüglich ''P'' keine Klasseneinteilung auf der Menge der Punkte von ''g''? 
b) Geben Sie zwei Klasseneinteilungen auf der Menge der Punkte von ''g'' an, die den Punkt ''P'' und die auf ''g'' durch ''P'' bestimmten Halbgeraden in modifizierter Form verwenden. 
[[Lösung von Aufgabe 5.5]]

==Aufgabe 5.6==
Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation <math>\ \Theta</math> (<math>\ \Theta</math> ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge <math>\ E \setminus g</math> (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige <math>\ A,B \in E \setminus g</math> gilt: <math>\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = 0</math>. 
a) Beschreiben Sie die Relation <math>\ \Theta</math> verbal und veranschaulichen Sie diese Relation. 
b) Begründen Sie anschaulich, dass <math>\ \Theta</math> eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation <math>\ \Theta</math> bezogen. 
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen. 
[[Lösung von Aufgabe 5.6]]

Ist hier ein Tippfehler drin oder soll es AB geschnitten mit g = 0 heißen? Wenn ja bedeutet das, dass es die leere Menge ist? Diese 0 verwirrt mich!!

==Aufgabe 5.7==
Es sei <math>\ \mathfrak{F}</math> die Menge der Figuren der Ebene. Auf <math>\ \mathfrak{F}</math> sei eine Äquivalenzrelation <math>\ \Theta</math> definiert. <math>\ \Theta</math> möge <math>\ \mathfrak{F}</math> derart in Klassen einteilen, dass die folgenden Figuren in ein und derselben Klasse liegen:
[[Bild:Figur_Aufgabe_5.jpg]] 
Geben Sie mögliche Interpretationen der Relation <math>\ \Theta</math> an. [[Lösung von Aufgabe 5.7]]

Lösung von Aufgabe 5.3

2010-11-12T17:02:54Z

Tab1909:

Entscheiden Sie für die folgenden Relationen, ob es sich um reflexive, symmetrische sowie transitive Relationen handelt? 
*Parallelität von Geraden der Ebene
*Kongruenz geometrischer Figuren
*Teilbarkeit in <math>\mathbb{N}</math>
*Kleinerrelation in <math>\mathbb{R}</math>
*Größer-Gleich-Relation in <math>\mathbb{R}</math>
*Ungleichheit in <math>\mathbb{R}</math>

Parallelität von Geraden in der Ebene ist reflexiv, symmetrisch und transitiv 
Kongruenz geometrischer Figuren ist reflexiv,symmetrisch und transitiv 
Teilbarkeit in N ist reflexiv aber nicht symmetrisch. Bei der Transitivität bin ich unsicher. Ich denke aber auch die ist gegeben? 
--> ja die Teilbarkeit in N ist transitiv (2 teilt 4 und 4 teilt 8, also auch 2 die 8)
Kleinerrelation in R ist nicht reflexiv, nicht symmetrisch aber transitiv 
größer- gleich relation ist reflexiv, nicht symmetrisch und transitiv 
--[[Benutzer:Sommer80|Sommer80]] 20:25, 10. Nov. 2010 (UTC)

Ungleichheit ist nicht reflexiv, aber symmetrisch. Bei der Transitivität bin ich mir nicht sicher, aber ich glaube, dass die Transitivität gegeben ist!

Lösung von Aufgabe 4.5

2010-11-06T14:26:03Z

Tab1909:

Untersuchen Sie folgende Relation ''S'' auf ihre Eigenschaften: 
<math>\ g S h \Leftrightarrow \ g \cap h \neq \lbrace \rbrace </math> 
Reflexivität: aRa 
stimmt 
--> Ich würde sagen stimmt nicht, weil bei der Relation Schnittpunkt die Gerade a zu sich selbst doch keinen Schnittpunkt haben kann?!

Symmetrie: aRb bRa 
stimmt 
--> Stimmt! Wenn a zu b einen Schnittpunkt hat, dann hat auch b zu a einen Schnittpunkt!

Transitivität: aRb bRc draus folgt aRc 
stimmt nicht--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:47, 4. Nov. 2010 (UTC)
--> Würde auch sagen stimmt nicht! a und c können parallel zueinander sein und beide von b geschnitten werden!

Lösung von Aufgabe 4.5

2010-11-06T14:25:32Z

Tab1909:

Untersuchen Sie folgende Relation ''S'' auf ihre Eigenschaften: 
<math>\ g S h \Leftrightarrow \ g \cap h \neq \lbrace \rbrace </math> 
Reflexivität: aRa 
stimmt 
--> Ich würde sagen stimmt nicht, weil bei der Relation Schnittpunkt die Gerade a zu sich selbst doch keinen Schnittpunkt haben kann?!
Symmetrie: aRb bRa 
stimmt 
--> Stimmt! Wenn a zu b einen Schnittpunkt hat, dann hat auch b zu a einen Schnittpunkt!
Transitivität: aRb bRc draus folgt aRc 
stimmt nicht--[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 12:47, 4. Nov. 2010 (UTC)
--> Würde auch sagen stimmt nicht! a und c können parallel zueinander sein und beide von b geschnitten werden!

Lösung von Aufgabe 4.2

2010-11-05T13:53:49Z

Tab1909:

Wir gehen von folgender Implikation aus: Wenn zwei Geraden g und h nicht identisch sind, dann haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam. 
a) Wie lautet die Kontraposition dieser Implikation? 
b) Wie lautet die Annahme, wenn Sie diese Implikation durch einen Widerspruch beweisen möchten? 

a) Haben zwei Geraden g und h mehr als einen Punkt gemeinsam, so sind sie identisch. --DeFloGe

b) Wenn zwei Geraden g und h nicht identisch sind, dann haben sie mehr als einen Punkt gemeinsam. --DeFloGe
--> Reicht nicht auch: g und h haben mehr als einen Punkt gemeinsam in der Annahme?!

Lösung von Aufgabe 4.2

2010-11-05T13:52:36Z

Tab1909:

Lösung von Aufgabe 3.4

2010-11-02T14:33:18Z

Tab1909:

VSS: Pew daraus folgt Winkel ASP=Winkel BSP 
Beh: Strecke AP= Strecke BP 

Aep und Beq 
= bedeutet ist kongruent 
/ bedeutet Betragsstriche 

1. Winkel ASP= Winkel BSP, VSS 
2. Strecke SP= STrecke SP, trivial 
3. /Winkel SAP/=/WinkelSBP/=90, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes 
4. Winkel SP= Winkel SPB, Innenwinkelsumme im Dreieck 
5. Dreieck SAP= Dreieck SPB, WSW und 1., 2., 4. 
6. Strecke AP=Strecke PB, 5. 

VSS: Strecke AP= Strecke BP 
Beh: Pew daraus folgt Winkel ASP= Winkel BSP 

1. Strecke AP= Strecke BP, VSS 
2. Winkel SAP= Winkel SBP, Existenz und Eindeutigkeit des Lotes 
3. Strecke SP=Strecke SP, trivial 
4. Dreieck SAP= Dreieck SPB, SsW und 1., 2., 3. 
5. Winkel ASP= Winkel BSP, 4. --[[Benutzer:Engel82|Engel82]] 09:26, 28. Okt. 2010 (UTC)

Ähm...wir können doch die Existenz und Eindeutigkeit des Lotes doch nicht einfach mal als gegeben annehmen. Wie soll des dann jemand machen, der davon noch nichts gehört hat??

Lösung von Aufgabe 3.2

2010-11-02T14:14:45Z

Tab1909:

zu 1.

es ist ein Oberbegriff vorhanden, wir schließen die Raute nicht aus, immerhin ist sie ein ganz spezielles Parallelogramm also ist es eine korrekte Def.
ahja weder richtig noch falsch auch nicht beweisbar.

zu 2.

durch die Def. wird eine Raute definiert, zwar ist die Raute ein ganz spezielles Parallelogramm, aber nicht alle Parallelogramme sind Rauten. Es ist auch komisch, dass nicht mit einem Oberbegriff definiert wird.

zu 3.

Ist korrekt, Trapez ist Obergriff von Parallelogramm, Trapeze haben schon ein paar sich gegenüberliegede parallele Seiten und die weiter mit noch ein paar paralleler Seiten ergänzt werden => Parallelogramm.

- Aber trifft diese Definition nicht auch auf Quadrat und Rechteck zu. Meiner Meinung nach müsste die Definition mehr spezifiziert werden.--[[Benutzer:Vollyschwamm|Vollyschwamm]] 18:10, 1. Nov. 2010 (UTC)
Außerdem ist das doch eine Existenzaussage(Es gibt...) und somit keine Definition.--[[Benutzer:Vollyschwamm|Vollyschwamm]] 18:12, 1. Nov. 2010 (UTC)

zu 4.

zueinander kongruenten Seiten??? Was soll das heißen? ungenau??!!!

-Ich würde sagen, das ist eine korrekte Definition, da Trapeze mit zwei kongruenten Seiten immer ein Parallelogramm ergeben (Rechteck oder Quadrat nur unter bestimmten Bedingungen).--[[Benutzer:Vollyschwamm|Vollyschwamm]] 18:15, 1. Nov. 2010 (UTC)

Man muss aber bedenken, dass nicht definiert ist, welche Seiten kongruent zueinander sind. Wenn die beiden parallelen Seiten des Trapez kongruent sind, dann würde ich sagen ist das korrekt. Sind die beiden nicht parallelen Seiten kongruent handelt es sich um ein gleichschenkliges Trapez und nicht um ein Parallelogramm!