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Was kann, was soll Abbildungsgeometrie in der Schule (2010)

2010-12-15T22:36:46Z

Tetraeder: /* Noch einmal: die zwei Aspekte der Kongruenzgeometrie */

==Das Anliegen der Vorlesung==
Bewegungen sind seit längerer Zeit integraler Stoff des Geometrieunterrichts der Schule. Bereits in der Primarstufe beschäftigen sich die Schüler mit achsensymmetrischen Figuren und in diesem Zusammenhang mit Geradenspiegelungen. 
In letzter Zeit zeigen die Lehrbücher insbesondere der SI eine vergleichsweise geringere Gewichtung der Kongruenzabbildungen als etwa noch vor 5 Jahren. Eine Rückkehr zur eher statischen Kongruenzgeometrie auf der Grundlage der Dreieckskongruenz scheint sich anzubahnen. 
Die Vorlesung soll aufzeigen wodurch dieser Paradigmenwechsel zustande kam. In diesem Zusammenhang wird aufgezeigt welche Probleme und welche Potenzen eine Kongruenzgeometrie auf abbildungsgeometrischer Grundlage für den Unterricht der Primar- und insbesondere der Sekundarstufe in sich birgt.
== Noch einmal: die zwei Aspekte der Kongruenzgeometrie ==

{| class="wikitable center"
|+ Kongruenzgeometrie
|- style="background: #DDFFDD;"
! auf der Grundlage der Dreieckskongruenz
! auf der Grundlage des Bewegungsbegriffs

|-
| Ausgangspunkt: Dreieckskongruenzsätze
| Ausgangspunkt: Bewegungen als abstandserhaltende Abbildung

|-
| <math>\ \overline{AB} \cong \overline{CD} := |AB| = |CD|</math> 
<math>\ \angle{ASB} \cong \angle{PZQ} := |\angle{ASB}| = |\angle{PZQ}| </math> 
<math>\ \overline{ABC} \cong \overline{A'B'C'}:= \overline{AB} \cong \overline{A'B'} \land \overline{BC} \cong \overline{B'C'}\land \overline{CA} \cong \overline{C'A'} </math> <math> \land \angle{ABC} \cong \angle{A'B'C'} \land \angle{BCA} \cong \angle{B'C'A'}\land \angle{CAB} \cong \angle{C'A'B'}</math> 
Es seien <math>\ F_1</math> und <math>\ F_2</math> zwei Figuren. <math>\ F_1 \cong F_2 := </math> alle Strecken und alle Winkel von <math>F_1</math> konkruent zu <math>F_2</math> sind (???)
| Es seien <math>\ F_1</math> und <math>\ F_2</math> zwei Figuren. <math>\ F_1 \cong F_2 := \exists \beta : \beta (F_1) = F_2</math>

|}
--[[Benutzer:Tetraeder|Tetraeder]] 22:36, 15. Dez. 2010 (UTC)

== Wege zur Definition des Begriffs der Kongruenzabbildung ==

# Allgemeiner Bewegungsbegriff → axiomatische Absicherung der Existenz von Bewegungen (Bewegungsaxiom) → Kongruenzabbildung als Synonym → spezielle Kongruenzabbildungen (Spiegelung, Drehung, Verschiebung).
#Geradenspiegelung → axiomatische Begründung von Geradenspiegelungen → Nacheinanderausführung von Geradenspiegelungen → Bewegung bzw. Kongruenzabbildung als Nacheinanderausführung zweier bzw. dreier Geradenspiegelungen.
# axiomatische Begründung der Dreieckskongruenz (SWS) → Definition der Bewegung als abstandserhaltende Abbildung der Ebene auf sich → Synonym Kongruenzabbildung → definition und Untersuchung spezieller Kongruenzabbildungen.
# axiomatische Begründung der Dreieckskongruenz (SWS) → Untersuchung von Geradenspiegelungen, Verschiebungen, Drehungen → Bewegung bzw. Kongruenzabbildung als Nacheinanderausführung von Spiegelungen, Verschiebungen und Drehungen.

== Abbildungsgeometrische Beweise ==
=== Lange vorherrschende Meinung in der Mathematikdidaktik ===
Abbildungsgeometrische Beweise sind einfach, elegant, anschaulich und gut zu verstehen.

'''WIRKLICH????????'''
=== Beispiele ===
==== Beispiel 1 ====
=====Satz=====
::Die Nacheinanderausführung zweier Drehungen <math>\ D_{Z_1,\alpha}</math> und <math>\ D_{Z_2,\beta}</math> mit <math>\ Z_1</math> und <math>\ Z_2</math> sind verschieden voneinander ist entweder eine Drehung oder eine Verschiebung.
=====Beweis=====
<math>\ D_{Z_2,\beta} \circ \ D_{Z_1,\alpha} = S_d \circ S_c \circ S_b \circ S_a</math>

<ggb_applet width="755" height="593" version="3.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAKCqjT0AAAAAAAAAAAAAAAAMAAAAZ2VvZ2VicmEueG1s7VnJcts4ED1PvoLFu2ksBAlWSUnJ9iVVnqXGMznkkoJISMKEi4aEHEl/lXxIvmkaC7U6jhXHNa5UdCHZABvd7/UmafBqWZXBrWw71dTDEEcoDGSdN4Wqp8NwoSdnPHz18sVgKpupHLcimDRtJfQwpBEJjXyhXr74ZdDNmg+BKO2WN0p+GIYTUXYyDLp5K0XRzaTUe3KxWKpSiXb1+/gfmetuu+CUvK7nCzhFtwuQ5VVxrbr+8dweOC+VvlK3qpBtUDb5MEwYmA53b2SrVS7KYRgjJyHDkBwsgoia1VnTqnVTa7N9q3wCkiDo1FrCm8jIBufW0YFc5KUqlKiNM9YO2BQEH1ShZ8MwZQxUSjWdga0MIactb5q2uFl1WlbB8q1sG4A5iQ3QK/9EU/PUgV3SvGeXdp+sGnl7I7UGWrpALOUWsGmrih4oc/+6u2jKYrM8b1StL8VcL1pLKfWiG70y+uGo1tg7qqel9DICiM9k/n7cLG8sBpg61X+t5vYVa894etmUTRu0Bl3we+qvY3e1e4yhm13I7kF2h9dhlG7WcUbsDnsdu6vdVarameYdx73TGPXHqC4wAoMiROLG+VKMJTAbBota6ev+ASLgvXcVuxd+W1RjSIHdGNjoxN9L5+D8IHoG72Vby9LFSA3ULppFF9yaWHRnWUMKmasKHt2Ch0QYuv4GA5y0kNNW9oa7BHKA2dW9ODwQD857I4wNHdiaa6gE4I82vphE1ZAkw7CKplEYFEIbqcmEUlYS0kTbmLD2bLD5/DE0B8IpC38WjmJOGcl4EuOMYY68H11pE7hSUHts3FdiCakcEU4xZxSlOM0YT8CMcdeUCy1vcnC0vm5yoW3BcnHv848mVgdooMQmEeQPNzcTtZTblLg76W0Ja2w16tV6d7Z7YPkgnDHqAxoq13wmjBvYh61YgWu7DFh9vzZFD8pheOsZRFEtu87moN7NNtHmJhfdi7QX1hAZli4oLnOLIE5jRklGGM6yGG6YKcFSujh2GuFmDrbZarCJMwhOR+jXqP10TC3nccYYywhmlKcse2JqU09t9pPaR1JrG8EGi7fvcPjtaKFN5d+ihR6I1hd9xscuortc9MWtM/GBfHic2RKwdjON3eP63hbq08AhPwI47EnAGR1Ds98sd2x5xuCQiCRo90McVijiZE+OT4Mub6pK1EVQiwrMuFRtDgXVvKjMkBsI5HIvENhA6VBa6H4pf4edQq/miAvo2yrfQJ37LH5Q6XkcZejbCXuQdTBIy/oWbGvaLgiWyH89WSGf5OtessSWJbOGvWiNdwiC2GjVMhj1+0f9rhGxqcD22eWwQP0Zo7hXPWImQnrT/q2d+Z2b+SDWcjUBGu6l/g+bNfvMe3r3KL+4n/D95Lv4Sl36ApGYuJndXp9H/uGIZFkaJzjhGBOaodTlXxzhjFKCExgXeJbAgPGI9LuGyPtS8l0cMSHuZ8KE8QZo8Y15d2IXeUTW7Za6A0iphfouBtZmN4ORIyOUJoTEKcfslCw+SBVVwVf3XOn7afqz0fBV44Ao4Wj6/DE4D2wDE8Sxd0jb+ATaxs+Ntt8nk05qw1KaWFZI/DBSUZRSnmWIJWkK5CVJ5l6P4hgh6GwESE0x5dSSGsPcjjA0NpYQGpM0fQJO76tblz/G0JBErJ8SyBOMBcSF/OVRiBenjQXFz7HgtLGAUBgLsp3P0VTAnnAqKO4oalenTAVXP8xUkEaUgjkY2lTGGee0/wJDKEM8hoaUoQRDufvuU4HPvavjkfyE9pI/4/bi+sMZfuDQgA4hZ74/HTO0Nn8QxDxFnEAbimOMkuz/mRlyPzN82p8ZyHFBPYHU4rmReg9rZzhKYWaLzfAGvT9L09TPeixBcUISnMacJZ41jCOeIBwTWOIZ3vyS/11pO9/9qdn+ueL/XXr5H1BLBwholwdLmwUAAI8aAABQSwECFAAUAAgACACgqo09aJcHS5sFAACPGgAADAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAABAAEAOgAAANUFAAAAAA==" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />

 

Ist das was für Schüler der SI?

==== Beispiel 2====
=====Der Basiswinkelsatz=====
::Wenn ein Dreieck gleichschenklig ist, dann sind seine Basiswinkel kongruent zueinander.
<ggb_applet width="755" height="535" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
 
Wie man leicht sieht, wird das Dreieck <math>\overline{ABC}</math> bei einer Spiegelung an <math>\ s</math> auf sich selbst abgebildet. Also wird auch ein Basiswinkel auf den jeweils anderen Basiswinkel abgebildet. also sind die beiden Basiswinkel gleich groß.
 
'''IST DAS EIN BEWEIS ????????'''

====Beispiel 3====
===== Satz des Thales =====
::Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter.

[[Bild:Unbenannt-5_Kopie.jpg]]

{| class="wikitable center"
|+ Abbildungsgeometrischer Beweis des Thalessatzes
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (I)
| <math>\ S_a(A)=P</math>
| a ist Mittelsenkrechte von AP
|-
| (II)
| <math>\ S_b(P)=B</math>
| b ist Mittelsenktrechte von PB
|-
| (III)
| <math>\ S_b(S_a(A))=B</math>
| (I),(II) HIntereinanderführung zweier Spiegelungen ist eine eindeutige Bewegung
|-
| (IV)
| (III) ist eine Drehung um 180°
| koll(A,M,B);da M nach dem Mittelsenkrechtenkriterium auf AB liegen muss
|-
| (V)
| <math>a \perp b</math>
| (IV) und einem Satz über den Drehungswinkel
|-
| (VI)
| y = 90°
| (I), (II), (V) Innenwinkelsumme im Viereck
|}
--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 16:39, 14. Dez. 2010 (UTC)
[[Category:Elementargeometrie]]

Was kann, was soll Abbildungsgeometrie in der Schule (2010)

2010-12-15T22:36:23Z

Tetraeder: /* Noch einmal: die zwei Aspekte der Kongruenzgeometrie */

==Das Anliegen der Vorlesung==
Bewegungen sind seit längerer Zeit integraler Stoff des Geometrieunterrichts der Schule. Bereits in der Primarstufe beschäftigen sich die Schüler mit achsensymmetrischen Figuren und in diesem Zusammenhang mit Geradenspiegelungen. 
In letzter Zeit zeigen die Lehrbücher insbesondere der SI eine vergleichsweise geringere Gewichtung der Kongruenzabbildungen als etwa noch vor 5 Jahren. Eine Rückkehr zur eher statischen Kongruenzgeometrie auf der Grundlage der Dreieckskongruenz scheint sich anzubahnen. 
Die Vorlesung soll aufzeigen wodurch dieser Paradigmenwechsel zustande kam. In diesem Zusammenhang wird aufgezeigt welche Probleme und welche Potenzen eine Kongruenzgeometrie auf abbildungsgeometrischer Grundlage für den Unterricht der Primar- und insbesondere der Sekundarstufe in sich birgt.
== Noch einmal: die zwei Aspekte der Kongruenzgeometrie ==

{| class="wikitable center"
|+ Kongruenzgeometrie
|- style="background: #DDFFDD;"
! auf der Grundlage der Dreieckskongruenz
! auf der Grundlage des Bewegungsbegriffs

|-
| Ausgangspunkt: Dreieckskongruenzsätze
| Ausgangspunkt: Bewegungen als abstandserhaltende Abbildung

|-
| <math>\ \overline{AB} \cong \overline{CD} := |AB| = |CD|</math> 
<math>\ \angle{ASB} \cong \angle{PZQ} := |\angle{ASB}| = |\angle{PZQ}| </math> 
<math>\ \overline{ABC} \cong \overline{A'B'C'}:= \overline{AB} \cong \overline{A'B'} \land \overline{BC} \cong \overline{B'C'}\land \overline{CA} \cong \overline{C'A'} </math> <math> \land \angle{ABC} \cong \angle{A'B'C'} \land \angle{BCA} \cong \angle{B'C'A'}\land \angle{CAB} \cong \angle{C'A'B'}</math> 
Es seien <math>\ F_1</math> und <math>\ F_2</math> zwei Figuren. <math>\ F_1 \cong F_2 := </math> alle Strecken und alle Winkel von <math>F_1</math> konkruent zu <math>F_2</math> sind (???)
| Es seien <math>\ F_1</math> und <math>\ F_2</math> zwei Figuren. <math>\ F_1 \cong F_2 := \exists \beta : \beta (F_1) = F_2</math>

|}

== Wege zur Definition des Begriffs der Kongruenzabbildung ==

# Allgemeiner Bewegungsbegriff → axiomatische Absicherung der Existenz von Bewegungen (Bewegungsaxiom) → Kongruenzabbildung als Synonym → spezielle Kongruenzabbildungen (Spiegelung, Drehung, Verschiebung).
#Geradenspiegelung → axiomatische Begründung von Geradenspiegelungen → Nacheinanderausführung von Geradenspiegelungen → Bewegung bzw. Kongruenzabbildung als Nacheinanderausführung zweier bzw. dreier Geradenspiegelungen.
# axiomatische Begründung der Dreieckskongruenz (SWS) → Definition der Bewegung als abstandserhaltende Abbildung der Ebene auf sich → Synonym Kongruenzabbildung → definition und Untersuchung spezieller Kongruenzabbildungen.
# axiomatische Begründung der Dreieckskongruenz (SWS) → Untersuchung von Geradenspiegelungen, Verschiebungen, Drehungen → Bewegung bzw. Kongruenzabbildung als Nacheinanderausführung von Spiegelungen, Verschiebungen und Drehungen.

== Abbildungsgeometrische Beweise ==
=== Lange vorherrschende Meinung in der Mathematikdidaktik ===
Abbildungsgeometrische Beweise sind einfach, elegant, anschaulich und gut zu verstehen.

'''WIRKLICH????????'''
=== Beispiele ===
==== Beispiel 1 ====
=====Satz=====
::Die Nacheinanderausführung zweier Drehungen <math>\ D_{Z_1,\alpha}</math> und <math>\ D_{Z_2,\beta}</math> mit <math>\ Z_1</math> und <math>\ Z_2</math> sind verschieden voneinander ist entweder eine Drehung oder eine Verschiebung.
=====Beweis=====
<math>\ D_{Z_2,\beta} \circ \ D_{Z_1,\alpha} = S_d \circ S_c \circ S_b \circ S_a</math>

<ggb_applet width="755" height="593" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />

 

Ist das was für Schüler der SI?

==== Beispiel 2====
=====Der Basiswinkelsatz=====
::Wenn ein Dreieck gleichschenklig ist, dann sind seine Basiswinkel kongruent zueinander.
<ggb_applet width="755" height="535" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
 
Wie man leicht sieht, wird das Dreieck <math>\overline{ABC}</math> bei einer Spiegelung an <math>\ s</math> auf sich selbst abgebildet. Also wird auch ein Basiswinkel auf den jeweils anderen Basiswinkel abgebildet. also sind die beiden Basiswinkel gleich groß.
 
'''IST DAS EIN BEWEIS ????????'''

====Beispiel 3====
===== Satz des Thales =====
::Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter.

[[Bild:Unbenannt-5_Kopie.jpg]]

{| class="wikitable center"
|+ Abbildungsgeometrischer Beweis des Thalessatzes
! Nr.
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| (I)
| <math>\ S_a(A)=P</math>
| a ist Mittelsenkrechte von AP
|-
| (II)
| <math>\ S_b(P)=B</math>
| b ist Mittelsenktrechte von PB
|-
| (III)
| <math>\ S_b(S_a(A))=B</math>
| (I),(II) HIntereinanderführung zweier Spiegelungen ist eine eindeutige Bewegung
|-
| (IV)
| (III) ist eine Drehung um 180°
| koll(A,M,B);da M nach dem Mittelsenkrechtenkriterium auf AB liegen muss
|-
| (V)
| <math>a \perp b</math>
| (IV) und einem Satz über den Drehungswinkel
|-
| (VI)
| y = 90°
| (I), (II), (V) Innenwinkelsumme im Viereck
|}
--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 16:39, 14. Dez. 2010 (UTC)
[[Category:Elementargeometrie]]

Auftrag der Woche4 EG (2010)

2010-11-28T19:05:58Z

Tetraeder:

Generieren Sie eine Geogebra-Applikation zum Beweis, dass jede Bewegung die Nacheinanderausführung von zwei oder drei Geradenspiegelungen ist. 

===Eine Möglichkeit:===
'''Beschreibung:''' Es genüg zu zeigen, dass es zu drei nichtkollinearen Punkten (A,B,C) und einem beliebigen anderen Punkt P, alle möglichen Dreieicke mit 2 bzw. 3 Geraden und mit A'=P abbildbar sind . Hierbei ist die 3. Gerade nur nötig, fals die Abbildung spiegelverkehrt ist. 

<ggb_applet width="746" height="512" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 
Anhand der unbenannten Punkte, lassen sich die 2 und 3 Gerade drehen. Alle Möglichkeiten können so erzeugt werden. Auch Punkt P (gemeinsamer Punkt der drei Vielecke V1,V2,V3)lässt sich beliebig im Raum verschieben. --[[Benutzer:Tetraeder|Tetraeder]] 19:05, 28. Nov. 2010 (UTC)

Verschiebungen 2010

2010-11-18T17:36:28Z

Tetraeder: /* Satz: \ V \overrightarrow{AB} = \ V \overrightarrow{DE} unter der Vorraussetzung \ AB \| \ DE , \overline{AB} = \overline{DE} und \overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{DE} haben den gleichen Richtungssinn. */

==Konstruktion des Bildes eines Punkte bei einer Verschiebung==
=== Unter Verwendung der Vektorrechnung (Pfeilklassen) ===
<ggb_applet width="732" height="512" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

 "Konstruktionsvorschrift": <math>P'=P+\overrightarrow{AB}</math>
[[Category:Elementargeometrie]]

== Konstruktionsbeschreibung ==

Gegeben sind ein Punkt <math>\ D</math> und sein Bildpunkt <math>\ D'</math>, sowie ein Punkt <math>\ P</math>. Gesucht ist sein Bildpunkt <math>\ P'</math>bei der Verschiebung an <math>\overrightarrow{DD'}</math>

(1) Für den Fall, dass gilt: <math>\ {D, D', P}</math> sind nicht kollinear.

:: 1. Parallele zu <math>\overline{DD'}</math> durch <math>\ P</math>

:: 2. Parallele zu <math>\overline{DP}</math> durch <math>\ D'</math>

:: 3. Der Schnittpunkt der beiden zuvor konstruierten Parallelen ist der gesuchte Punkt <math>\ P'</math>

(2) Für den Fall, dass gilt: <math>\ {D, D', P}</math> sind kollinear.

:: 1. Konstruiere einen beliebigen Punkt <math>\ Q</math> der Ebene der nicht kollinear zu <math>\ {D, D', P}</math> ist.

:: 2. Konstruiere den Bildpunkt <math>\ Q'</math> von <math>\ Q</math> bei der Verschiebung an <math>\overrightarrow{DD'}</math>, wie in (1) beschrieben.

:: 3. Konstruiere nun den Bildpunkt <math>\ P'</math> von <math>\ P</math> bei der Verschiebung an <math>\overrightarrow{QQ'}</math> wie in (1) beschrieben. <math>\ P'</math> ist nun auch der gesuchte Bildpunkt für die Verschiebung an <math>\overrightarrow{DD'}</math>, da <math>\overrightarrow{DD'}</math> und <math>\overrightarrow{QQ'}</math> den gleichen Richtungssinn haben. --[[Benutzer:Steph85|Steph85]]

>Eine gute Konstruktionsanweisung! Nur kann man schreiben: Parallele zu einer Strecke? Oder sollte man nicht lieber die "Overline" in Fall1, Punkt 1 und 2 weglassen? weglassen? --[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 17:11, 17. Nov. 2010 (UTC)

== Definition der Verschiebung ==
...

=== Eine andere Möglichkeit der Definition? ===
Es sei <math>\vec{AB}</math> ein Pfeil. Unter der Verschiebung längs des Pfeiles <math>\vec{AB}</math> vresteht man eine Abbildung der Ebene auf sich, mit folgenden Eigenschaften: 
Für das Bild eines Punktes P, benannt mit P' muss gelten: 
1. <math> |\ AB | = |\ PP'|</math> 
2. <math> \overline{AB}</math> <math>\|</math> <math> \overline{PP'}</math> 
3. <math>\vec{AB}</math> und <math>\vec{PP'}</math> haben den selbern Richtungssinn 
--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 17:23, 16. Nov. 2010 (UTC)

== Sätze ==

== Satz: Jede Verschiebung ist eine Bewegung. ==

An dieser Stelle wird nur der allgemeinste Fall bewiesen (siehe Skizze), da die Beweise der anderen Fälle laut Herr Gieding immer ähnlich ablaufen.

<ggb_applet width="666" height="467" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

 
 Es sei <math>\ V</math> eine Verschiebung längs des Pfeiles <math>\overrightarrow{AB}</math> und <math>\ {P,Q}</math> zwei beliebige Punkte der Ebene mit ihren Bildern <math>\ {P',Q'}</math> bei <math>\ V</math>, die voneinander verschieden sind und nicht auf dem Pfeil <math>\overrightarrow{AB}</math> liegen.
 
Wir haben zu zeigen, dass <math>\overline{PQ} \cong \overline {P'Q'}</math> ist. Es genügt natürlich zu zeigen, dass <math>\overline {PQQ'P'}</math> ein Parallelogramm ist, da in jedem Parllelogramm die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind.
 
{| class="wikitable "
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1) <math>\overline {PP'} \| \overline {QQ'}</math>
| folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung
|-
| 2) <math>\overline {ABPP'} </math> ist ein Parallelogramm.
| folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung ("Das Bild des Punktes <math>\ P</math> ist der fehlende Eckpunkt des Parallelogramms <math>\overline {ABPP'} </math>.")
|-
| 3) <math>\overline {ABQQ'} </math> ist ein Parallelogramm.
| folgt unmittelbar aus der Definition der Verschiebung
|-
| 4) Aus <math>\overline {AB} \cong \overline {PP'}</math> und <math>\overline {AB} \cong \overline {QQ'}</math> folgt <math>\overline {PP'} \cong \overline {QQ'}</math>
| (2), (3), Transitivität
|-
| 5) <math>\overline {PQQ'P'} </math> ist ein Parallelogramm.
| (1), (4)
|-
|}

 
--[[Benutzer:Steph85|Steph85]]

* oder : [[kompletter Beweis abfotographiert]]

== Satz 2: Jede fixpunktfreie Bewegung, ... , ist eine Verschiebung. ==
Satzvormulierungen: 
Jede fixpunktfreie Bewegung, bei der die Geraden durch beliebibige Punkt und ihre jeweiligen Bildpunkte parallel zueinander verlaufen, ist eine Verschiebung. 

oder kürzer, aber ungenau: 
Jede fixpunktfreie Bewegung, bei de die Parallelität der Bild-Bildpunkt-Geraden gegeben ist, ist eine Verschiebung. 
--[[Benutzer:Tja???|Tja???]] 18:07, 17. Nov. 2010 (UTC)

== Satz: <math>\ V</math> <math>\overrightarrow{AB} =</math> <math>\ V</math> <math>\overrightarrow{DE} </math>unter der Vorraussetzung <math>\ AB \| \ DE</math> , <math> \overline{AB} = \overline{DE}</math> und <math>\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{DE}</math> haben den gleichen Richtungssinn. ==

'''Vorraussetzung:''' 1.<math>\ AB \| \ DE</math> 2. <math> \overline{AB} = \overline{DE}</math> 3. <math>\overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{DE}</math> haben den gleichen Richtungssinn 
'''Behauptung:'''
<math>\ V</math> <math>\overrightarrow{AB} =</math> <math>\ V</math> <math>\overrightarrow{DE} </math> 
'''Beweis:''' 
<math>\ P'</math> ist das Bild von <math>\ P</math> bei der Verschiebung <math>\ V</math> <math>\overrightarrow{AB} </math>. <math>\ PP' \| \ DE</math> , da die Parallelität von Geraden transitiv ist. Es genügt zu zeigen, das <math>\ P'E \| \ PD</math>. Dies gilt, wenn <math>\overline{PP'ED}</math> ein Parallelogramm ist. Dies ist nach Voraussetzung und dem Hilfssatz der Fall.
... q.e.d. 
--[[Benutzer:Tetraeder|Tetraeder]] 17:36, 18. Nov. 2010 (UTC)

=== Hilfssatz: Wenn für ein konvexes Viereck <math>\ ABCD</math> gilt:<math>\ AB \| \ CD</math> und <math> \overline{AB} = \overline{CD}</math>, dann ist <math>\ ABCD</math> ein Parallelogramm. ===

Voraussetzung: konvexes Viereck <math>\ ABCD</math>, <math>\ AB \| \ CD</math> und <math> \overline{AB} = \overline{CD}</math> 
zu zeigen: <math>\ AD \| \ BC </math> 
<ggb_applet width="317" height="356" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

Beweis
{| class="wikitable "
! Beweisschritt
! Begründung
|-
| 1) <math>\overline {AC} \cong \overline {AC}</math>
| trivial (Reflexivität der Streckenkongruenz)
|-
| 2) <DCA <math> \cong </math><BAC
| Wechselwinkelsatz+Voraussetzung
|-
| 3) <math>\overline {ACD} = \overline {CAB}</math>
| SWS: Voraussetzung+(1)+(2)
|-
| 4) <BCA<math>\cong </math><DAC
| (3), Def. kongruente Dreiecke
|-
| 5) <math>\ AD \| \ BC </math>
| (4), Umkehrung des Wechselwinkelsatz
|-
|} - Tja???