Geometrie-Wiki - Benutzerbeiträge [de]

Hauptseite

2012-06-07T22:50:09Z

Teufelchen: /* {{Schrift_orange|!!!TERMINFESTLEGUNG ÜBUNG!!!}} */

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'''Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω'''
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'''Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Sommersemester 2012 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.'''

*Spezialveranstaltung: [[Selbstverteidigung und mentales Training]]
*Die kleine Kolumne: [[Marx, Engels und Bildzeitungsbeweise]]
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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Primarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Primarstufe]]

==Hinweise==
*Bitte bringen Sie in die nächste Vorlesung (12.06.12) eine CD-Hülle (Kunststoff mit transparentem Deckel) und ein kariertes Blatt Papier (DIN A4) mit.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:06, 5. Jun. 2012 (CEST)
*Hier ein sehr schönes [[Übungsblatt Halbgeraden|Übungsblatt]] zum Thema Halbgeraden aus der Sekundarstufe!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 11:20, 29. Mai 2012 (CEST) 

==Newsticker==
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====Vorlesung====
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|-
| Di. || 08-10 Uhr ||H001 ||Schnirch
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====Übungen====
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|-
| Mo.|| 08-10 Uhr || A206 ||Henrich
|-
| Mo.|| 16-18 Uhr || A108 ||Hucke
|-
| Di.||12-14 Uhr || A106||Zähringer
|-
| Do.|| 10-12 Uhr || A206 ||Strauß
|-
| Do.|| 12-14 Uhr || A106 ||Schulte

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====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im Sommersemester 2012!

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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Sekundarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe]]

==Hinweise==
*An alle Studierende (neue Studienordnung, WrHR) mit '''Hauptfach''' Mathematik: Falls noch nicht geschehen, tragen Sie sich bitte unter folgendem link in die Liste ein: [[Informationen für Studierende "neues Lehramt" mit Hauptfach Matehmatik]].--[[Benutzer:Buchner|Buchner]] 12:34, 6. Jun. 2012 (CEST)
*Es ist bemerkenswert, dass die alten Übungsaufgaben nicht einfach so ad acta gelegt werden. TiCon hat die Übungsaufgabe zur Mengengleichheit noch einmal aufgegriffen. Ich hab Ihnen einen Kommentar dazu geschrieben und das Ganze durch ein Beispiel ergänzt, das nicht trivial ist: [[Lösung von Aufgabe 2.3 S (SoSe 12)]] Dieses könnte ggf. u.U. in der ATP eine Rolle spielen. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 08:08, 7. Jun. 2012 (CEST)
*@RitterSport Ich schaffe es leider heute nicht mehr (und morgen wahrscheinlich auch nicht) auf Ihre Überlegungen bezüglich des Beweises <math>\operatorname{Zw}(A,B,C) \Rightarrow \overline{AB} \subset \overline{AC}</math> einzugehen. Wenn Sie Lust haben, würde ich mit Ihnen ein Video zu diesem Beweis aufnehmen. Falls Sie Interesse haben, melden Sie sich bitte auf die eine oder andere Weise bei mir. (Mail oder Bemerkung hier ...)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:41, 7. Jun. 2012 (CEST)

==Newsticker==
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====Vorlesung====
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|-
| Donnerstag || 08-10 Uhr ||H001 || Buchner/Gieding
|}

====Übungen====

{{Schrift_orange|Achtung:}}Da am Do den 7.6. Feiertag ist, verschiebt sich diese Übung von Ricky Sharma auf Di den 12.6. um 10:00 Uhr. Raum bleibt gleich. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 22:24, 16. Mai 2012 (CEST) 
{{Schrift_orange|Achtung:}}Wegen dem Feiertag am Donnerstag den 07.06. findet die Übung von Andreas Jäckle am Mittwoch den 06.06. von 14-16 Uhr in A108 statt.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 12:46, 5. Jun. 2012 (CEST)
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|-
| Dienstag || 16:00 - 18:00 || A106 ||Gaß
|-
| Mittwoch ||16:00 - 18:00 || {{Schrift_orange|H002}}||Heckl || [[WIKI-Übung-Heckl]]
|-
| Donnerstag|| 10:00 - 12:00 || A106 ||Sharma
|-
| Donnerstag|| 16:00 - 18:00 || A106 ||Jäckle
|-
| Freitag|| 14:00 - 16:00 || A206 ||Bode
|}

====Zusatzübung====
(Übung mit Convertibles)
{| class="wikitable"
|-

| Freitag|| 12:00 - 14:00 || H002 ||Gieding
|}

====Hinweise, Kommentare====
Bitte bereiten Sie wöchentlich die Übungsaufgaben vor und besuchen Sie eine der Übungsgruppen. 
Viel Erfolg im Sommersemester 2012! 

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=Didaktik der Geometrie=
*[[Das WIKI für die Lehrveranstaltung "Didaktik der Geometrie"]]
==Neu==
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====Vorlesung/Seminar/Übung====
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|-
| Freitag|| 10:00 - 12:00 || H002 ||Gieding
|}

====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im Sommersemester 2012!

* Wann findet eigentlich die Klausur statt?
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=Elementargeometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Elementargeometrie]]
*[[Materialien/Ideen/Fragen/Diskussionen aus der Prüfungsvorbereitung SoSe2012]]
|}
==Hinweise==

=={{Schrift_orange|!!!TERMINFESTLEGUNG ÜBUNG!!!}}==
Aufgrund der Überschneidung mit der Zahlentheorieübung findet die Übungsveranstaltung folgendermaßen statt:

{{Schrift_grün|'''Mittwochs, 14:00 - 16:00 Uhr - Raum noch offen (evtl. H002) - Erste Veranstaltung: 13.06.2012'''}}

Der Termin Montags war besser. Mittwochs findet die Algebra 1 Übung statt, die manche als mdl Thema wählen werden.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 00:47, 8. Jun. 2012 (CEST) ERGÄNZUNG: Da vermutlich niemand mehr im Praktikum sein wird und es Mittwochs weniger Platzprobleme gibt, wie wäre es Mittwochs von 12-14 Uhr? --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 00:50, 8. Jun. 2012 (CEST) 
Wir sollten langsam in die Gänge kommen, was die Planung der Prüfungsvorbereitung angeht. Mein Vorschlag: Montag 12 bis 14 Uhr A236. Erste Veranstaltung: 11.06.2012--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 11:22, 10. Mai 2012 (CEST) 
 
Hört sich nicht schlecht an - Problem: Parallel zu diesem Zeitpunkt findet die Zahlentheorieübung statt, die der eine und die andere besucht. Vielleicht kann der Zeitpunkt getauscht werden (z. B. 14-16 Uhr) - natürlich ist das immer schwierig (wer weiß wie viele da nicht können), aber wir haben ja noch Zeit bis zum 11.06.2012 uns "Lösungsstrategien" für dieses Problem zu überlegen :-). --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 17:11, 10. Mai 2012 (CEST)

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====Vorlesung/Seminar/Übung====
Die Lehrveranstaltung Elementargeometrie wird nur im Wintersemester angeboten. Bei Bedarf finden nach Absprache mit mir Ende des Sommersemesters vier Übungen zur Vorbereitung auf die Geometrieaufgaben der Staatsexamensklausur statt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:22, 10. Apr. 2012 (CEST)

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[[dmuw:Hauptseite]]
[[geogebra-rlp:Hauptseite]]
[[medienvielfalt:Hauptseite]]
[[wikis:Hauptseite]]
[[zum-wiki:Hauptseite]]

Hauptseite

2012-06-07T22:47:24Z

Teufelchen: /* {{Schrift_orange|!!!TERMINFESTLEGUNG ÜBUNG!!!}} */

__NOTOC__
'''Ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω'''
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'''Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Sommersemester 2012 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.'''

*Spezialveranstaltung: [[Selbstverteidigung und mentales Training]]
*Die kleine Kolumne: [[Marx, Engels und Bildzeitungsbeweise]]
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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Primarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Primarstufe]]

==Hinweise==
*Bitte bringen Sie in die nächste Vorlesung (12.06.12) eine CD-Hülle (Kunststoff mit transparentem Deckel) und ein kariertes Blatt Papier (DIN A4) mit.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:06, 5. Jun. 2012 (CEST)
*Hier ein sehr schönes [[Übungsblatt Halbgeraden|Übungsblatt]] zum Thema Halbgeraden aus der Sekundarstufe!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 11:20, 29. Mai 2012 (CEST) 

==Newsticker==
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====Vorlesung====
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====Übungen====
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====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im Sommersemester 2012!

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'''Mathematische Grundlagen II: Einführung in die Geometrie'''

=Sekundarstufe=
*[[Die WIKI-Seiten für die Sekundarstufe]]

==Hinweise==
*An alle Studierende (neue Studienordnung, WrHR) mit '''Hauptfach''' Mathematik: Falls noch nicht geschehen, tragen Sie sich bitte unter folgendem link in die Liste ein: [[Informationen für Studierende "neues Lehramt" mit Hauptfach Matehmatik]].--[[Benutzer:Buchner|Buchner]] 12:34, 6. Jun. 2012 (CEST)
*Es ist bemerkenswert, dass die alten Übungsaufgaben nicht einfach so ad acta gelegt werden. TiCon hat die Übungsaufgabe zur Mengengleichheit noch einmal aufgegriffen. Ich hab Ihnen einen Kommentar dazu geschrieben und das Ganze durch ein Beispiel ergänzt, das nicht trivial ist: [[Lösung von Aufgabe 2.3 S (SoSe 12)]] Dieses könnte ggf. u.U. in der ATP eine Rolle spielen. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 08:08, 7. Jun. 2012 (CEST)
*@RitterSport Ich schaffe es leider heute nicht mehr (und morgen wahrscheinlich auch nicht) auf Ihre Überlegungen bezüglich des Beweises <math>\operatorname{Zw}(A,B,C) \Rightarrow \overline{AB} \subset \overline{AC}</math> einzugehen. Wenn Sie Lust haben, würde ich mit Ihnen ein Video zu diesem Beweis aufnehmen. Falls Sie Interesse haben, melden Sie sich bitte auf die eine oder andere Weise bei mir. (Mail oder Bemerkung hier ...)--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:41, 7. Jun. 2012 (CEST)

==Newsticker==
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====Vorlesung====
{| class="wikitable"
|-
| Donnerstag || 08-10 Uhr ||H001 || Buchner/Gieding
|}

====Übungen====

{{Schrift_orange|Achtung:}}Da am Do den 7.6. Feiertag ist, verschiebt sich diese Übung von Ricky Sharma auf Di den 12.6. um 10:00 Uhr. Raum bleibt gleich. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 22:24, 16. Mai 2012 (CEST) 
{{Schrift_orange|Achtung:}}Wegen dem Feiertag am Donnerstag den 07.06. findet die Übung von Andreas Jäckle am Mittwoch den 06.06. von 14-16 Uhr in A108 statt.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 12:46, 5. Jun. 2012 (CEST)
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| Dienstag || 16:00 - 18:00 || A106 ||Gaß
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| Mittwoch ||16:00 - 18:00 || {{Schrift_orange|H002}}||Heckl || [[WIKI-Übung-Heckl]]
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| Donnerstag|| 10:00 - 12:00 || A106 ||Sharma
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| Freitag|| 14:00 - 16:00 || A206 ||Bode
|}

====Zusatzübung====
(Übung mit Convertibles)
{| class="wikitable"
|-

| Freitag|| 12:00 - 14:00 || H002 ||Gieding
|}

====Hinweise, Kommentare====
Bitte bereiten Sie wöchentlich die Übungsaufgaben vor und besuchen Sie eine der Übungsgruppen. 
Viel Erfolg im Sommersemester 2012! 

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====Hinweise, Kommentare====
Viel Erfolg im Sommersemester 2012!

* Wann findet eigentlich die Klausur statt?
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=Elementargeometrie=
*[[Das WIKI für die Veranstaltung Elementargeometrie]]
*[[Materialien/Ideen/Fragen/Diskussionen aus der Prüfungsvorbereitung SoSe2012]]
|}
==Hinweise==

=={{Schrift_orange|!!!TERMINFESTLEGUNG ÜBUNG!!!}}==
Aufgrund der Überschneidung mit der Zahlentheorieübung findet die Übungsveranstaltung folgendermaßen statt:

{{Schrift_grün|'''Mittwochs, 14:00 - 16:00 Uhr - Raum noch offen (evtl. H002) - Erste Veranstaltung: 13.06.2012'''}}

Der Termin Montags war besser. Mittwochs findet die Algebra 1 Übung statt, die manche als mdl Thema wählen werden.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 00:47, 8. Jun. 2012 (CEST) 
Wir sollten langsam in die Gänge kommen, was die Planung der Prüfungsvorbereitung angeht. Mein Vorschlag: Montag 12 bis 14 Uhr A236. Erste Veranstaltung: 11.06.2012--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 11:22, 10. Mai 2012 (CEST) 
 
Hört sich nicht schlecht an - Problem: Parallel zu diesem Zeitpunkt findet die Zahlentheorieübung statt, die der eine und die andere besucht. Vielleicht kann der Zeitpunkt getauscht werden (z. B. 14-16 Uhr) - natürlich ist das immer schwierig (wer weiß wie viele da nicht können), aber wir haben ja noch Zeit bis zum 11.06.2012 uns "Lösungsstrategien" für dieses Problem zu überlegen :-). --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 17:11, 10. Mai 2012 (CEST)

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====Vorlesung/Seminar/Übung====
Die Lehrveranstaltung Elementargeometrie wird nur im Wintersemester angeboten. Bei Bedarf finden nach Absprache mit mir Ende des Sommersemesters vier Übungen zur Vorbereitung auf die Geometrieaufgaben der Staatsexamensklausur statt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 13:22, 10. Apr. 2012 (CEST)

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[[geogebra-rlp:Hauptseite]]
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[[wikis:Hauptseite]]
[[zum-wiki:Hauptseite]]

Lösung von Aufgabe 1.1 (WS 11 12)

2011-10-22T19:11:40Z

Teufelchen: /* Ideen und Anregungen */

In welchen Fällen handelt es sich um Definitionen? Begründen Sie! 

# Jedes n-Eck mit n=4 heißt Viereck.
# <math>\ n!=(n-1)! \cdot n </math>, falls <math>\ n > 0 </math> <math>\ n!=1 </math>, falls <math>\ n=0 </math> 
# Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent.
# Jedes Dreieck mit einem Umkreis heißt Sehnendreieck.
# Eine Gerade heißt Dreiecksschneidende, falls es ein Dreieck gibt, dessen drei Seiten von der Geraden geschnitten werden, wobei die Eckpunkte des Dreiecks nicht zur Geraden gehören.
# Es gibt Vierecke mit einem Umkreis, die so genannten Sehnenvierecke.
# Wenn ein n-Eck vier Ecken hat, dann ist es ein Viereck.
# Jedes Viereck mit einem Umkreis heißt Sehnenviereck.
# Es gibt Sehnenvierecke.
# Punkt vor Strich.
# Jeder Peripheriewinkel über einem Durchmesser ist ein Rechter.
# Ein rechter Winkel ist ein solcher, der zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist.
# Wenn ein Winkel zu einem seiner Nebenwinkel kongruent ist, so ist er ein Rechter.
# Ein Viereck, das so aussieht wie die Vierecke auf der bayrischen Fahne, heißt Raute.
# Es seien ''a'' und ''b'' zwei nichtidentische zueinander parallele Geraden. Lege auf ''a'' und ''b'' jeweils zwei verschiedene Punkte fest. Verbinde die vier Punkte zu einem konvexen Viereck. Du erhältst ein Trapez.
# Die Menge aller Punkte, die von den Endpunkten einer Strecke ein und denselben Abstand hat, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Eine Gerade, die senkrecht auf einer Strecke steht und diese halbiert, heißt Mittelsenkrechte der Strecke.
# Ein Rechteck hat vier rechte Innenwinkel.
# Ein Quadrat ist ein Rechteck.
# Jedes Quadrat ist ein Rechteck.
# Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wobei je zwei Seiten parallel zueinander sind.

== Ideen und Anregungen ==

* Wir (die Dienstagsübung) haben ein Problem mit 10. ("Punkt vor Strich.") Das ist ja eine Regel. Können/müssen Regeln definiert werden? --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 15:36, 18. Okt. 2011 (CEST)
** Ich habe auch keine Ahnung. --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 15:36, 18. Okt. 2011 (CEST) 
** Also ich würde sagen, dass eine Regel festgelegt/definiert wird bzw. einer Definition gleich kommt. Man könnte ja auch definieren, dass "Strich vor Punkt" gilt... nur das wäre dann wahrscheinlich eher suboptimal. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:02, 20. Okt. 2011 (CEST)

* zu 2; ist eine Formel eine Definition? -- [[Benutzer:RicRic|RicRic]]

 n! lässt sich auch lesen als n Fakultät sei definiert als...--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 21:11, 22. Okt. 2011 (CEST)

* zu 5: Kann man etwas definieren, was es gar nicht gibt? Da steht ja "falls" mit drinnen... Zählt das dann als Definition? -- [[Benutzer:Da-Di-La|Da-Di-La]]
: Eigentlich darf man so ziemlich alles definieren... eine Definition ist nie richtig oder falsch, sondern nur sinnvoll oder sinnlos. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 20:07, 21. Okt. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 15.2 (SoSe 11)

2011-07-26T15:08:27Z

Teufelchen:

Schauen Sie sich das nachfolgende Applet an und bewegen Sie die Figur am Punkt Z. 
a) Welche Bedingung ergibt sich für den dargestellten Winkel <math>\angle MAB</math>, wenn die Gerade ''g'' zur Tangente am Kreis ''k'' im Punkt ''A'' wird? 
b) Ergänzen Sie mit der Erkenntnis aus a) den folgenden Satz: Wenn eine Gerade ''g'' Tangente an einem Kreis ''k'' im Berührpunkt ''A'' ist, dann ... 
Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ist der Winkel <MAB ein rechter Winkel. M ist dabei der Mittelpunkt von k und Bϵg--[[Benutzer:...s...|...s...]] 19:47, 23. Jul. 2011 (CEST)

Müsste man nicht sagen, dann steht die Streccke AM senkrecht auf g?
Hab mein Problem mit <math>\angle MAB</math> weil, wenn g Tangente an k ist dann ist A ja eigentlich gleich B und der Winkel ist so nicht zu verwenden, oder täusche ich mich da? [[Benutzer:kopfnicker]] 23:16, 23. Jul. 2011 
Du kannst den Winkel ja auch mit dem Punkt Z benennen, wenn du die Gerade g mit BZ bezeichnest. Oder ist dein Problem ein anderes? --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:00, 24. Jul. 2011 (CEST)

Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ''ist die Strecke vom Kreismittelpunkt M zum Berührpunkt A das Lot'' --[[Benutzer:Muffinkopf|Muffinkopf]] 18:02, 24. Jul. 2011 (CEST)

c) Beweisen Sie den Satz aus b) indirekt. 

[[Datei:Muffinkopf_Übung_15_Nr.2.jpg]]--[[Benutzer:Muffinkopf|Muffinkopf]] 18:28, 24. Jul. 2011 (CEST)
Hast du vielleicht eie Skizze dazu? --[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 20:28, 24. Jul. 2011 (CEST)

[[Datei:Muffinkopf_Skizze_Übung_15.jpg]] hier die Skizze dazu --[[Benutzer:Muffinkopf|Muffinkopf]] 07:37, 25. Jul. 2011 (CEST)

Danke erstmal für die Skizze! Nur irgendwie versteh ich nicht genau, wo du die Annahme verwendest...--[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 11:57, 25. Jul. 2011 (CEST)

 @Muffinkopf: Bei deinem ersten Schritt schneidest du einen Punkt mit einer Gerade, aber das geht doch gar nicht. Oder verstehe ich den Schritt falsch.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 17:08, 26. Jul. 2011 (CEST) 

d) Gilt auch die Umkehrung des Satzes aus b)? 

<ggb_applet width="546" height="527" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 15.1 (SoSe 11)

2011-07-26T14:33:07Z

Teufelchen:

Definieren Sie den Begriff "Tangente an einem Kreis"

Es sei k ein Kreis und t eine Gerade. Wenn t und k nur einen Punkt gemeinsam haben, dann ist t Tangente an k. --[[Benutzer:...s...|...s...]] 19:24, 23. Jul. 2011 (CEST)

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Es sei k ein Kreis und t eine Gerade die k genau in einem Punkt A berührt/schneidet. t ist Tangente von k mit dem Berührpunkt A. --[[Benutzer:Verteidigungswolf|Verteidigungswolf]] 13:52, 24. Jul. 2011 (CEST)

 So wie ich das sehe, habt ihr beide keine Definition sondern Sätze formuliert.
 Mein Vorschlag: Es sei k ein Kreis und t eine Gerade. Wenn t und k sich in einem Punkt berühren, dann ist t eine Tangente an einem Kreis. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 15:01, 24. Jul. 2011 (CEST) 

Eine Gerade g, die mit einem Kreis k in derselben Ebene liegt und genau einen Schnittpunkt hat, ist eine Tangente. --> Frage: Ist es egal ob ich über den Schnittpunkt definiere oder muss hier Berührpunkt verwenden?--[[Benutzer:Muffinkopf|Muffinkopf]] 16:45, 24. Jul. 2011 (CEST)

 Die Def von Muffinkopf finde ich richtig, allerdings frage ich mich, ob die anderen Def falsch sind, da bei allen "in einer Ebene" fehlt. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 16:33, 26. Jul. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 15.1 (SoSe 11)

2011-07-24T13:01:54Z

Teufelchen:

Hauptseite SoSe 11

2011-07-21T17:51:01Z

Teufelchen: /* Die Teilprüfungsklausur SoSe10 mit Lösungen */

__NOTOC__
Herzlich Willkommen im Geometrie-Wiki! Dieses Wiki ist die Plattform für die Geometrie-Veranstaltungen im Sommersemester 2011 an der Pädagogischen Hochschule Heidelberg.
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= Einführung in die Geometrie =
== Haben wir nicht, bekommen wir auch nicht rein==
{{wpd|Nürnberger_Trichter}}
== Wöchentlich ==
* [[Auftrag der Woche_SoSe_11, Quiz der Woche_SoSe_11, Übungsaufgaben_SoSe_11 etc.‎]]

== Skripte, erstellt durch die Studierenden ==

== Materialien für das Studium ==
* [[Allgemeine Aspekte|Allgemeine Aspekte (Literatur, Ziele, Wiki, Vorgehensweise, Forschung)]]
* [[Einführendes Beispiel_SoSe_11]]
* {{pdf|Mengenlehre.pdf|Mengenlehre}} [[http://wiki.zum.de/Benutzer:Cspannagel/Arithmetik/Mengenlehre Videos zur Mengenlehre]]
* [[Definitionen in der Mathematik_SoSe_11]]
* {{pdf|Definitionen1.pdf|Definitionen}}
* [[Sätze und Beweise_SoSe_11]]
*[[Äquivalenzrelationen_und_Klasseneinteilungen_SoSe_11]]
*[[Zusammenhang zwischen Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen_SoSe_11]]
*[[Einige grundlegende Bemerkungen zum Geometrieunterricht_SoSe_11]]
*[[Eigenschaften von Geraden_So_Se_11]]
*[[Eigentlich ganz einfach und doch kompliziert: Punkte, Geraden_SoSe_11]]
::* [[Nur für sehr Interessierte: Modelle in der Axiomatik_SoSe_11]]
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*[[Strecken (SoSe_11)]]
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*[[Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel (SoSe_11)]]
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*[[Dreieckskongruenz (SoSe_11)]]
*[[Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium (SoSe_11)]]
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*Sätze über Dreiecke
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:*Dreieckstransversalen
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 Ist die TP ohne Lösungen noch vorhanden und könte diese online gestellt werden? Danke schon mal. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 19:51, 21. Jul. 2011 (CEST)

== Die Teilprüfungsklausur WS_10/11 mit Lösungen ==
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= Didaktik der Geometrie=
* [[Hinweise und Literatur]]
===Kapitel 1: Erarbeiten geometrischer Begriffe===
* [[Erarbeitung der Begriffe Kreis und Prisma (15.04.2011)]]
* [[Erarbeitung der Begriffe senkrecht, Pyramide, Geradenspiegelung (29.04.2011)]]
* [[Arten der Begriffserarbeitung (06.05.2011)]]
* [[Haus der Vierecke (15.07.2011)]]

===Kapitel 2: Argumentieren, Begründen, Beweisen===
*[[Der_Satz_des_Thales_(SoSe_11)]]
*[[Zentri-Peripheriewinkelsatz]]
*[[Satz des Pythagoras]]
*[[Satz über die Summe der Längen gegenüberliegender Seiten im Tangentenviereck]]
*[[Höhensatz mit "Beweisapplikation"]]
*[[Kathetensatz mit PPT-"Beweis"]]
*[["Beweisidee" Satz des Tangentensatzes]]

===Kapitel 3: Konstruieren===
* [[Konstruktion eines Sehnen-Tangenten-Viereck]]
* [[Äußere Tangenten an zwei gegebene Kreise]]
* [[Innere Tangenten an zwei gegebene Kreise]]

===Körperdarstellungen===

*[[Vertretungsveranstaltung,Ausgewählte Kapitel (Spannagel)]]

= Elementargeometrie =
== Skript und mehr ==
=== Kapitel 1: Kongruenzgeometrie ===
*[[Bewegungen (2010)]]
*[[Geradenspiegelungen]]
*[[Fixpunkt, Fixgerade, Fixpunktgerade (2010)]]
*[[Geradenspiegelungen als Bewegungen mit genau einer Fixpunktgeraden (2010)]]
*[[Drehungen 2010]]
*[[Verschiebungen 2010]]
*[[Drehungen und Verschiebungen als Nacheinanderausführung von Geradenspiegelungen (2010)]]
*[[Klassifizierung aller Bewegungen in der ebenen Geometrie]]
*[[Was kann, was soll Abbildungsgeometrie in der Schule (2010)]]
=== Kapitel 2: Ähnlichkeitsgeometrie ===
*[[Projektionen und Strahlensätze 2010]]

== Übungsaufgaben ==

*[[Prüfungsschwerpunkt Ws 2010/2011]]
*[[Übungsaufgaben zur Elementargeometrie im WS 2010/11]]

*[[Elementargeometrie|alte Übungen zur Vorbereitung aufs Staatsexamen im Anschluss an das SS 2010]]
= Spielecke =
*[[Test]]
*[[Spieltester gesucht]]
*[[Rollkurven]]
* Rotationskörper
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==Hinweise==
Bitte beachten Sie: Die Mo-Vorlesung findet ab sofort im Raum H001 (statt H002) statt.--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:27, 31. Mai 2011 (CEST) 
==Weltmeister==
Im letzten Sommersemester saß Herr Krieger auch in der Veranstaltung Einführung in die Geometrie. Als einer der Besten schloss er die ATP ab. Am 10. März dieses Jahres wurde er Weltmeister im Judo bei den Sehgeschädigten. Ich verneige mich vor dieser Leistung. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 19:07, 13. Jul. 2011 (CEST)
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'''Veranstaltungsangebot:'''

=== Einführung in die Geometrie ===

Vorlesungen:

{| class="wikitable"
|-
| Mo. || 14-16 Uhr ||H001 ||(Schnirch)
|-
| Fr. || 10-12 Uhr ||H001 ||(Gieding)
|}

Übungen: 
{| class="wikitable"
|-
| Mo. || 14-16 Uhr ||A108 ||(Reichelt)
|-
| Mo. || 16-18 Uhr ||H002 ||(Reichelt)
|-
| Mi. || 16-18 Uhr ||H002 ||(Buchner)
|-
| Do. || 16-18 Uhr ||H002 ||(Buchner)
|-
| Do. || 10-12 Uhr ||A106 ||(Schnirch)
|-
| Fr. || 12-14 Uhr ||H001 ||(Gieding)
|}

Tutorien: 
{| class="wikitable"
|-
| Mo. || 08-10 Uhr ||A206 ||(Henrich)
|-
| Di. || 08-10 Uhr ||A206 ||(Smuda)
|-
| Di. || 12-14 Uhr ||A206 ||(Zähringer)
|-
| Do. || 12-14 Uhr ||B109 ||(Gaß) (neuer Termin)
|-
| Fr. || 14-16 Uhr ||A206 ||(Jäckle)

|}

=== Elementargeometrie ===
Die Elementargeometrie findet wieder Wintersemester statt.

=== Didaktik der Geometrie===

{| class="wikitable"
|-
| Fr. || 14-16 Uhr ||A 106 ||(Gieding)
|}

([[Frühere Hinweise|mehr]])

==Hier gibt's was Neues zur "Einführung in die Geometrie"==
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([[Neuigkeiten|mehr]])

==Hier wird diskutiert zur "Einführung in die Geometrie"==
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([[Diskussionen|mehr]]) ([[Statistik]])

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([[Neuigkeiten zu Elementargeometrie|mehr]])

==Hier wird diskutiert zur "Didaktik der Geometrie"==
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([[Diskussionen zu Elementargeometrie|mehr]]) ([[Statistik]])

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[[wikis:Hauptseite]]
[[zum-wiki:Hauptseite]]

Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz (SoSe 11)

2011-07-17T20:46:12Z

Teufelchen: /* Definition XIX.2 (Zentriwinkel) */

==Definition XIX.1 (Peripheriewinkel)==
Der Winkel <math> \angle ACB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Peripheriewinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

Wenn der Scheitelpunkt C eines Winkels <math> \angle ACB </math> auf einem Kreis k liegt, dann ist der Winkel ein Peripheriewinkel. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 16:28, 17. Jul. 2011 (CEST) 

Wenn der Scheitelpunkt C eines Winkels <math> \angle ACB </math> auf einem Kreis k liegt und seine beiden Schenkel denselben Kreis schneiden, dann ist der Winkel ein Peripheriwinkel.--[[Benutzer:Prayush|Prayush]] 21:21, 17. Jul. 2011 (CEST)

==Definition XIX.2 (Zentriwinkel)==
Der Winkel <math> \angle AMB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Zentriwinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

Wenn der Scheitelpunkt M eines Winkels <math> \angle AMB </math> der Mittelpunkt eines Kreises k ist, dann ist der Winkel ein Zentriwinkel. ''Dieser Kreis sei ein Umkreis eines Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>'' --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 16:31, 17. Jul. 2011 (CEST) Das Kursive wurde nachträglcih eingefügt. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 22:46, 17. Jul. 2011 (CEST) 

Bemerkung m.g.: 
::Nach der Definition wäre jeder Winkel ein Zentriwinkel. Der Begriff macht erst Sinn, wenn er als Relationsbegriff aufgefasst wird: Ein bestimmter Winkel ist ''Zentriwinkel von einem bestimmten Kreis''.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:19, 17. Jul. 2011 (CEST)

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==Idee des Beweises eines Spezialfalls ==
Um welchen Spezialfall handelt es sich? 
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?

{{#ev:youtube|QyCtXT3mGjI}}

 

== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==
ergänzen Sie: Jeder Peripheriewinkel ist halb so groß wie sein zugehöriger Zentriwinkel.--[[Benutzer:Zeqiraj|Zeqiraj]] 19:40, 17. Jul. 2011 (CEST)

=== Satz XIX.1:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) ===

== Der Peripheriewinkelsatz ==

=== Satz XIX.2:(Der Peripheriewinkelsatz) ===
ergänzen Sie:
Alle Peripheriewinkel über derselben Sehne sind kongruent zueinander.--[[Benutzer:Zeqiraj|Zeqiraj]] 19:39, 17. Jul. 2011 (CEST)
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck (SoSe 11)

2011-07-17T20:15:42Z

Teufelchen: /* Definition XVIII.3: (Radien eines Kreises) */

== Begriff des Sehnenvierecks ==
===== Definition XVIII.1: (Kreissehne) =====
:: Das können Sie selbst:
 Es sei ein Kreis k. Wenn A,B <math>\in</math> k, dann ist die Strecke <math>\overline{AB}</math> die Kreissehne. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 22:05, 17. Jul. 2011 (CEST) 

===== Definition XVIII.2: (die Durchmesser eines Kreises) =====
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Durchmesser.

 Es sei k ein Kreis. Wenn A,B <math> \in </math> k und M <math> \in </math> <math>\overline{AB}</math>, dann ist die Strecke <math>\overline{AB}</math> Durchmesser des Kreises k. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 22:10, 17. Jul. 2011 (CEST) 

===== Definition XVIII.3: (Radien eines Kreises) =====
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Radien.
 Es sei k ein Kreis und M der Mittelpunkt. Wenn Punkt B <math>\in </math> k, dann ist die Strecke <math>\overline{MB}</math> Radius des Kreises k. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 22:15, 17. Jul. 2011 (CEST) 

===== Definition XVIII.4: (Sehnenviereck) =====
:: Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises <math>\ k</math> sind, heißt Sehnenviereck. 

== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==
=== Die Satzfindung ===
==== sehr speziell: Quadrate ====
Jedes Quadrat hat einen Umkreis und ist somit ein Sehnenviereck. 
[[Bild:Quadrat_als_Sehnenviereck.png]]

==== weniger speziell, aber immer noch ziemlich speziell: Rechtecke ====
Jedes Rechteck ist ein Sehnenviereck.
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==== noch allgemeiner, aber immer noch ziemlich speziell: gleichschenklige Trapeze ====
Jedes gleichschenklige Trapez ist ein Sehnenviereck.

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==== allgemeines Sehnenviereck ====
Ausgangslage: <math>\ \overline{ABCD}</math> ist ein gleichschenkliges Trapez.

Arbeitsauftrag: Bewegen Sie den Punkt <math>\ C</math> auf dem Kreis. Beobachten Sie, wie sich der rote und der blaue Winkel verändern. Was vermuten Sie bezüglich der Größe von <math>\ \gamma</math>? Was vermuten Sie hinsichtlich der Größen der gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck?

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== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==
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[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck (SoSe 11)

2011-07-17T20:10:22Z

Teufelchen: /* Definition XVIII.2: (die Durchmesser eines Kreises) */

== Begriff des Sehnenvierecks ==
===== Definition XVIII.1: (Kreissehne) =====
:: Das können Sie selbst:
 Es sei ein Kreis k. Wenn A,B <math>\in</math> k, dann ist die Strecke <math>\overline{AB}</math> die Kreissehne. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 22:05, 17. Jul. 2011 (CEST) 

===== Definition XVIII.2: (die Durchmesser eines Kreises) =====
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Durchmesser.

 Es sei k ein Kreis. Wenn A,B <math> \in </math> k und M <math> \in </math> <math>\overline{AB}</math>, dann ist die Strecke <math>\overline{AB}</math> Durchmesser des Kreises k. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 22:10, 17. Jul. 2011 (CEST) 

===== Definition XVIII.3: (Radien eines Kreises) =====
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Radien.

===== Definition XVIII.4: (Sehnenviereck) =====
:: Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises <math>\ k</math> sind, heißt Sehnenviereck. 

== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==
=== Die Satzfindung ===
==== sehr speziell: Quadrate ====
Jedes Quadrat hat einen Umkreis und ist somit ein Sehnenviereck. 
[[Bild:Quadrat_als_Sehnenviereck.png]]

==== weniger speziell, aber immer noch ziemlich speziell: Rechtecke ====
Jedes Rechteck ist ein Sehnenviereck.
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==== noch allgemeiner, aber immer noch ziemlich speziell: gleichschenklige Trapeze ====
Jedes gleichschenklige Trapez ist ein Sehnenviereck.

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==== allgemeines Sehnenviereck ====
Ausgangslage: <math>\ \overline{ABCD}</math> ist ein gleichschenkliges Trapez.

Arbeitsauftrag: Bewegen Sie den Punkt <math>\ C</math> auf dem Kreis. Beobachten Sie, wie sich der rote und der blaue Winkel verändern. Was vermuten Sie bezüglich der Größe von <math>\ \gamma</math>? Was vermuten Sie hinsichtlich der Größen der gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck?

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== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==
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[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Sehnenvierecke und der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck (SoSe 11)

2011-07-17T20:05:36Z

Teufelchen: /* Definition XVIII.1: (Kreissehne) */

== Begriff des Sehnenvierecks ==
===== Definition XVIII.1: (Kreissehne) =====
:: Das können Sie selbst:
 Es sei ein Kreis k. Wenn A,B <math>\in</math> k, dann ist die Strecke <math>\overline{AB}</math> die Kreissehne. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 22:05, 17. Jul. 2011 (CEST) 

===== Definition XVIII.2: (die Durchmesser eines Kreises) =====
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Durchmesser.

===== Definition XVIII.3: (Radien eines Kreises) =====
:: Das können Sie selbst. Hinweis: Jeder Kreis hat unendlich viele Radien.

===== Definition XVIII.4: (Sehnenviereck) =====
:: Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen ein und desselben Kreises <math>\ k</math> sind, heißt Sehnenviereck. 

== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==
=== Die Satzfindung ===
==== sehr speziell: Quadrate ====
Jedes Quadrat hat einen Umkreis und ist somit ein Sehnenviereck. 
[[Bild:Quadrat_als_Sehnenviereck.png]]

==== weniger speziell, aber immer noch ziemlich speziell: Rechtecke ====
Jedes Rechteck ist ein Sehnenviereck.
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==== noch allgemeiner, aber immer noch ziemlich speziell: gleichschenklige Trapeze ====
Jedes gleichschenklige Trapez ist ein Sehnenviereck.

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==== allgemeines Sehnenviereck ====
Ausgangslage: <math>\ \overline{ABCD}</math> ist ein gleichschenkliges Trapez.

Arbeitsauftrag: Bewegen Sie den Punkt <math>\ C</math> auf dem Kreis. Beobachten Sie, wie sich der rote und der blaue Winkel verändern. Was vermuten Sie bezüglich der Größe von <math>\ \gamma</math>? Was vermuten Sie hinsichtlich der Größen der gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck?

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== Der Satz über die gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck ==
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8NP7dcq1EGZpM8akfTZVN/0m2uaiaO9+vihro/x82n9cMUN09L2t0lO6tXzUTPwVb0t8UxVsSeTGSpuUfxkyf9RwcwcXd+q2WVuWZzfARZraWsSHjUn4bQ9CY8blAhv1qA0bXfYaX0mq6O+okGJjctG2JyxuaTYiRSsphNpae022U4kVY6HyKQepuyD38j+77Ty8+h/pH7n/1BLBwiiOmLODQ8AAMN6AABQSwECFAAUAAgACADbgPY8ojpizg0PAADDegAADAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmEueG1sUEsFBgAAAAABAAEAOgAAAEcPAAAAAA==" 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[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 14.8 (SoSe 11)

2011-07-17T16:23:33Z

Teufelchen:

Beweisen Sie: Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.

 Darf ich bei diesem Beweis die Def am Kreis (Radius) verwenden? Muss ich zeigen, dass die drei Geraden sich in einem Pkt schneiden und muss ich noch zeigen, dass dieser Punkt der MP des Umkreises ist? Oder muss ich nur zeigen, dass der Pkt MP des Umkreises ist und kann voraussetzen, dass sich die drei Geraden in einem Pkt schneiden?--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 18:23, 17. Jul. 2011 (CEST) 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 14.7 (SoSe 11)

2011-07-17T16:18:57Z

Teufelchen:

Frau Schultze-Kröttendörfer räumt ihren Schrank auf. Es findet sich ein Stapel Arbeitsblätter, auf die ein Parallelogramm gedruckt wurde, welches keine Raute ist. "Zu dumm", denkt Frau Schultze-Kröttendörfer, "ich brauche Arbeitsblätter mit Rauten". Kurz darauf kommt ihr eine zündende Idee. Sie wird den Begriff der Raute konstruktiv erarbeiten lassen. Diesbezüglich wird sie den Schülern den Auftrag geben, die Parallelogramme auf den vorhandenen Arbeitsblättern auszuschneiden und dann so zu falten, dass zwei benachbarte Seiten des Parallelogramms zur Deckung kommen.
Erläutern Sie wie und beweisen Sie dass die Schüler von Frau Schultze-Kröttendörfer durch die genannten Faltungen aus den Parallelogrammen Rauten generieren.

 Ein Parallelogramm mit den Punkten A,B,C,D. Die Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{CD}</math> sind kongruent zueinander sowie <math>\overline{AD}</math> und <math>\overline{BC}</math> .
 Eine Raute ist def. als ein Parallelogramm mit 4 gleich langen Seiten. Diese Anleitung ist nur gültig, wenn die Strecke <math>\overline{AB}</math> = 2*<math>\overline{BC}</math> gilt. Dies ist aber nicht für alle Parallelogramme der Fall.
 Gegenbeispiel angebracht, Beweis erledigt. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 18:18, 17. Jul. 2011 (CEST) 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz (SoSe 11)

2011-07-17T14:31:24Z

Teufelchen: /* Definition XIX.2 (Zentriwinkel) */

==Definition XIX.1 (Peripheriewinkel)==
Der Winkel <math> \angle ACB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Peripheriewinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

Wenn der Scheitelpunkt C eines Winkels <math> \angle ACB </math> auf einem Kreis k liegt, dann ist der Winkel ein Peripheriewinkel. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 16:28, 17. Jul. 2011 (CEST) 

==Definition XIX.2 (Zentriwinkel)==
Der Winkel <math> \angle AMB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Zentriwinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

Wenn der Scheitelpunkt M eines Winkels <math> \angle AMB </math> der Mittelpunkt eines Kreises k ist, dann ist der Winkel ein Zentriwinkel. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 16:31, 17. Jul. 2011 (CEST) 

<ggb_applet width="466" height="399" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==Idee des Beweises eines Spezialfalls ==
Um welchen Spezialfall handelt es sich? 
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?

{{#ev:youtube|QyCtXT3mGjI}}

 

== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==
ergänzen Sie:

=== Satz XIX.1:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) ===

== Der Peripheriewinkelsatz ==

=== Satz XIX.2:(Der Peripheriewinkelsatz) ===
ergänzen Sie:

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Peripheriewinkelsatz und Zentriwinkel-Peripheriewinkelsatz (SoSe 11)

2011-07-17T14:28:10Z

Teufelchen: /* Definition XIX.1 (Peripheriewinkel) */

==Definition XIX.1 (Peripheriewinkel)==
Der Winkel <math> \angle ACB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Peripheriewinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

Wenn der Scheitelpunkt C eines Winkels <math> \angle ACB </math> auf einem Kreis k liegt, dann ist der Winkel ein Peripheriewinkel. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 16:28, 17. Jul. 2011 (CEST) 

==Definition XIX.2 (Zentriwinkel)==
Der Winkel <math> \angle AMB </math> im nachfolgenden Applet ist ein Zentriwinkel. Definieren Sie diesen Begriff: 

<ggb_applet width="466" height="399" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

==Idee des Beweises eines Spezialfalls ==
Um welchen Spezialfall handelt es sich? 
Können Sie einen formalen Beweis aus dem Video ableiten?

{{#ev:youtube|QyCtXT3mGjI}}

 

== Der Zentri-Peripheriewinkelsatz ==
ergänzen Sie:

=== Satz XIX.1:(Der Zentri-Peripheriewinkelsatz) ===

== Der Peripheriewinkelsatz ==

=== Satz XIX.2:(Der Peripheriewinkelsatz) ===
ergänzen Sie:

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 14.2 (SoSe 11)

2011-07-16T18:39:16Z

Teufelchen:

Gegen welche Forderung, die an Axiomensysteme zu stellen ist, verstößt die folgende Formulierung des Parallelenaxioms: 
Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.

 Axiome sollen nicht beweisbar sein. Allerdings stellt dieses "Axiom" einen beweisbaren Satz dar. (genau eine). --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 19:02, 12. Jul. 2011 (CEST) 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 14.1 (SoSe 11)

2011-07-16T18:35:47Z

Teufelchen:

Beweisen Sie: Wenn <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb der Geraden <math>\ g</math> ist, dann gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parallel zu <math>\ g</math> ist.

 
Voraussetzung: Gerade g <math>P \not\in g</math>
Behauptung: Es existiert eine Gerade h durch P, die parallel zu g ist.

Beweisführung in der absoluten Geometrie:

{| class="wikitable"
|-
| 1 || Sei P ein Punkt in <math>\ gQ^{+}</math> || Definiton Halbebene
|-
| 2 || <math>\exists ! </math> Strahl in <math>\ gQ^{+}</math> für den gilt, dass er durch P verläuft und auf g senkrecht steht. Sei dieser <math>\ AP^{+} </math> || Existenz und Eindeutigkeit einer Senkrechten auf einer Geraden, Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom, (1)
|-
| 3 || senkrecht = Winkelmaß 90 || Definition Senkrechte von Geraden
|-
| 4 || Wenn die Stufenwinkel an geschnittenen Geraden kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden <s>kongruent</s> parallel || Umkehrung Stufenwinkelsatz
|-
| 5 || <math>\ AP</math> teilt die Ebene in zwei Halbebenen ein || Def. Halbebene, (2)
|-
| 6 || In jeder Halbeneben bzgl. <math>\ AP</math> existiert an P genau ein Strahl mit dem Maß 90 || Winkelkonstruktionsaxiom, (5)
|-
| 7 || Durch die in 6 erzeugten Strahlen exisiert eine eindeutige Gerade h || Axiom I.1 und Axiom I.2, (6)
|-
| 8 || Da der Winkel 90 gleich ein rechter ist und dieser nach Def. kongruent zu seinen Nebenwinkeln ist, sind die Stufenwinkel kongruent zueinander und die Geraden h und g sind parallel || (3), (4), (7)
|}

Leider zeigt mir dieser Beweis nicht die Eindeutigkeit, da ich nur durch den Stufenwinkelsatz (und nicht deren Umkehrung) ein Kriterium zur Definition von PArallelen schaffen kann. Den kriege ich aber nur durch das Parallelenaxiom. Das kann man sich so Vorstellen wie bei Microsoft. Die Programme sind da auch immer rückgekoppelt, damit man ja ein update kaufen muss :-) --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 23:06, 12. Jul. 2011 (CEST)

Hier noch eine Veranschaulichung

<ggb_applet width="1366" height="604" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 23:11, 12. Jul. 2011 (CEST)

 Die Frage, die sich mir stellt, dürfen wir das EP in dieser Übung bereits verwenden? Dieser Satz steht noch vor dem EP, im Skript. Falls man das EP benutzen darf, welche Sätze darf man nach dem EP noch benutzen? Danke.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 20:35, 16. Jul. 2011 (CEST) 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Definition der Woche 13 (SoSe 11)

2011-07-16T18:30:44Z

Teufelchen:

Die Semantik der folgenden Begriffe ist in der Begriffsbezeichnung jeweils enthalten:

# Sehnenviereck
# Tangentenviereck
# Sehnen-Tangenten-Viereck

Definieren Sie diese drei Begriffe.
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

 
1. Gegeben sei ein Kreis k und ein Viereck <math>\overline{ABCD}</math>. <math>\overline{ABCD}</math> ist ein Sehnenviereck, wenn A,B,C,D <math>\in</math> k und nkoll(A,B,C,D) gilt.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 22:03, 6. Jul. 2011 (CEST)
 
Ich denke die Definition hat einen kleinen Haken. Nach deiner Definition wäre das hier kein Sehnenviereck: 
<ggb_applet width="600" height="404" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

Um es korrekt zu definieren, musst du vier Punkte (glaube ich) auf dem Kreis k plazieren: 
Sei k ein Kreis und A, B, C, D vier paarweise verschiedene Punkte, für die gilt, dass sie Element von k sind. 
Das Sehnenviereck: = <math>\overline{AB} \cup \overline{BC} \cup \overline{CD} \cup \overline{DA}</math> --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 23:10, 8. Jul. 2011 (CEST) 

 Ich denke, dass das Viereck in deiner Zeichnung kein Sehnenviereck ist, da keine Seite eine Sehne im Kreis darstellt. Somit behaupte ich, dass meine Def. richtig ist ;) --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 14:59, 10. Jul. 2011 (CEST)

 
Ja doch auf jeden Fall, da ein Quadrat ein regelmäßiges n-Eck ist und dieses ist durch einen Umkreis definiert. Nur weil in der Zeichnung kein Umkreis erkennbar ist heißt das ja nicht, dass das Viereck keinen hat. Das ist dann so (und jetzt kommt der Megavergleich :-) ) wie wenn man sagt, dass in einem Wohnzimmer keine Stereoanlage steht, nur weil man grad keine Musik hören kann - sie ist aber da, halt nur nicht eingeschaltet. (Ich weiß der Vergleich ist dämlich und ich schäm mich fast ein wenig dafür :-) aber nur fast) --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:54, 10. Jul. 2011 (CEST)

 Angenommen, deine Zeichnung würde ein Sehnenviereck darstellen, wo sind dann die Sehnen? Ich denke immer noch, dass das keines ist. Aber eine Antwort eines Dozenten wäre gut, denn wir beide drehen uns im Kreis ;) --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 02:11, 12. Jul. 2011 (CEST)
 
Hast recht, genaugenommen im (Um)Kreis :-)
 
[[Bild:Dozenten.jpg]]
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 09:04, 12. Jul. 2011 (CEST) 
Ich sagen mal was dazu, obwohl ich kein Dozent bin :) 
Ihr habt immer davon gesprochen, dass ein Viereck dann ein Sehnenviereck ist, wenn seine Eckpunkte auf einem '''gegebenen''' Kreis k liegen. Betrachten wir mal die Analogie zum Dreieck... dann wäre ein Dreieck ABC, dessen Eckpunkte nicht auf einem '''gegebenen''' Kreis k1 liegen, kein "Sehnendreieck"... aber da jedes Dreieck einen Umkreis hat und die Eckpunkte somit auf einem Kreis liegen müssen, müssen die Seiten des Dreiecks ABC Sehnen eines Kreises k2 sein... ist das Dreieck nun ein "Sehnendreieck" oder nicht? Ich hoffe das verwirrt nicht zu sehr..., ansonsten bitte gleich sagen, dann versuche ich anders zu helfen. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 17:23, 13. Jul. 2011 (CEST)
Oder nochmal anders... zu jedem Dreieck ABC gibt es einen Umkreis, da durch 3 verschiedenen Punkten ein Kreis eindeutig bestimmt wird. Somit ist jedes Dreieck ein "Sehnendreieck" (diese Bezeichnung macht also keinen Sinn und man definiert diesen Begriff deshalb auch nicht). 
Anders beim Sehnenviereck... Ein Viereck ist ein Sehnenviereck, wenn... (ergänzt hier mal und wir schauen dann mal weiter)--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:37, 14. Jul. 2011 (CEST)

 Folglich ist ein Sehnenviereck nur ein Viereck, dessen 4 Punkte auf dem Kreis liegen, richtig? Zur Frage: Das Dreieck ist ein Sehnendreieck. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 22:26, 13. Jul. 2011 (CEST) 
Wenn du statt "dem Kreis" in deiner Aussage "einem Kreis" sagen würdest, dann würde ich eher zustimmen.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:37, 14. Jul. 2011 (CEST)
 

Liegt das daran, wenn ich "dem Kreis" schreibe, dann spreche ich von einem und nur von einem betimmten Kreis. Schreibe ich allerdings "ein Kreis", dann ist ein unbestimmter Kreis und somit viele Kreise gemeint. Richtig??--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 20:30, 16. Jul. 2011 (CEST) 

2. Ein Viereck mit einem Inkreis ist ein Tangentenviereck. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 22:03, 6. Jul. 2011 (CEST)
 
So hätte man das Sehnenviereck auch definieren können :-) Die Frage die bleibt ist aber glaube ich, was denn nun ein Innkreis ist?. Und darüber hinaus kann der Innkreis auch wieder kleiner sein und eben grad nicht tangieren. 
Sei <math>\overline{ABCD}</math> ein beliebiges Viereck. Wenn es einen Kreis k gibt, für den gilt, dass jede Seite des Vierecks den Kreis in jeweils genau einem Punkt schneidet, dann ist das Viereck ein Tangentenviereck. 

'''Anmerkung'''Wenn folgendes geschrieben hätte (und das habe ich vorher auch): 
"Sei k ein Kreis und <math>\overline{ABCD}</math> ein beliebiges Viereck. Wenn jede Seite des Vierecks den Kreis in jeweils genau einem Punkt schneidet, dann ist das Viereck ein Tangentenviereck."; dann wäre das Gleiche wie oben in der ersten Definition herausgekommen, d. h. nur weil Kreis k nicht tangiert heist dies noch nicht, dass das Viereck kein Tangentenviereck ist. In der vorherigen Definition schließen wir das aus, indem wir von vorneherein festlegen, "wenn es einen Kreis gibt" --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 23:10, 8. Jul. 2011 (CEST) 

 Mit dem Inkreis gebe ich dir recht. Allerdings dachte ich, dass wir Inkreis bereits definiert hatten. Falls nicht: Ein Inkreis ist ein Kreis, der vollständig im Inneren eines Vierecks liegt und jede Seite in diesem Viereck '''berührt.'''
Ich habe mehrfach ''schneidet'' gelesen, aber ich denke, das ist falsch, da es keinen Schnittpunkt sondern einen Berührpunkt gibt.
 Zu deiner Anmerkung: Ich denke, dass auch diese Def richtig ist, wenn du ''schneidet'' durch ''berührt'' ersetzt. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 14:59, 10. Jul. 2011 (CEST)

 3. Gibt es nicht, da ein Viereck entweder einen Inkreis, einen Umkreis oder nichts von beidem hat. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 22:03, 6. Jul. 2011 (CEST)

<ggb_applet width="407" height="374" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 
Was ist hiermit?--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 23:56, 6. Jul. 2011 (CEST)

 hmm, ok, das könnte sein. Aber gibt es sowas? Wäre diese Definition dann sinnvoll?
 Ein Vierck ABCD ist ein Sehnen-Tangenten-Viereck, wenn <math>A,B,C,D \in k</math> und das Viereck einen Inkreis hat.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 21:53, 8. Jul. 2011 (CEST) 
Weil du die beiden Begriffe nun ja schon definiert hast, so kannst du dir das ganze nun einfacher machen, indem du sagst: Ein Viereck, das sowohl Tangenten, als auch Sehnenviereck ist, ist ein Sehnen-Tangenten-Viereck. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 23:19, 8. Jul. 2011 (CEST) 

Hier wurde irgendwo mal gesagt, dass ein Berührpunkt kein Schnittpunkt ist... oder so. Nehmen wir mal an, dass ein Kreis k und eine Gerade g sich in einem Punkt P berühren. Dann muss P sowohl zu k als auch zu P gehören. Nach der Definition "Schnittmenge" liegt dieser Punkt dann auch in der Schnittmenge von k und g. Somit ist ein Berührpunkt auch ein Schnittpunkt. Ich denke, dass das nachvollziehbar ist. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 17:30, 13. Jul. 2011 (CEST)

Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (SoSe 11)

2011-07-13T21:53:15Z

Teufelchen: /* Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) */

== Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel ==

In welchen Fällen handelt es sich um....
::Stufenwinkel
::Wechselwinkel
::entgegengesetzt liegende Winkel?
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===== Definition X.1: (Stufenwinkel) =====

Zwei Winkel <(p,q) und <(r,s) heißen Stufenwinkel, falls ein Schenkel r des einen Winkels eine Teilmenge
eines Schenkels p des anderen Winkels ist und die anderen beiden Schenkel q und s in einer Halbebene
bezüglich der Geraden g liegen, die durch die beiden Schenkel p und r gegeben ist.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 11:56, 13. Jul. 2011 (CEST)

===== Definition X.2: (Wechselwinkel) =====
Zwei Winkel <(p, q) und <(r, s) heißen Wechselwinkel, falls der Scheitelwinkel des Winkels <(p, q)
und der Winkel <(r, s) Stufenwinkel sind.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 11:58, 13. Jul. 2011 (CEST)

===== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel)=====
(ergänzen Sie)
 Zwei Winkel <math>\angle p,q</math> und <math>\angle r,s</math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, wenn der Stufenwinkel des Winkels <math>\angle p,q</math> und der Winkel Nebenwinkel sind. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 20:39, 12. Jul. 2011 (CEST) 

Der Nebenwinkel könnte doch auch ein Wechselwinkel sein... oder?

Also: Zwei Winkel <(p,q) und <(r,s) heißen entgegengesetzt liegende Winkel, falls der Nebenwinkel von <(r,s) Wechsel- oder Stufenwinkel von <(p,q) ist.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 12:10, 13. Jul. 2011 (CEST)

== Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes ==
===== Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
::Es seien <math>\ a</math> und <math>\ b</math> zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade <math>\ c</math> jeweils geschnitten werden. Es seien ferner <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von <math>\ c</math> mit <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entstehen mögen. 
::Wenn die beiden Stufenwinkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> parallel zueinander.
===== Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade <math>\ c</math> möge <math>\ a</math> in dem Punkt<math> \ A</math> und die Gerade <math>\ b</math> in dem Punkt <math>\ B</math> schneiden. <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> sei ein Paar von Stufenwinkeln, welches bei dem Schnitt von <math>\ a</math> und <math>\ b</math> mit <math>\ c</math> entstehen möge.

Voraussetzung:

(i) <math>\ \alpha \cong \beta</math>

[[Bild:Umkehrung_stufenwinkelsatz_01.png|400 px]]

Behauptung:

<math>\ a \| b</math>

Annahme:

<math>a\not\| b</math>

Den Rest können Sie selbst!

 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| 1) <math>a\not\| b</math> || Ann.
|-
| 2) <math>\ a \cap b</math>={S} || 1), Satz Schnittpunkt von Geraden
|-
| 3) <math>|\alpha | \neq |\beta |</math> (habe nicht kongruent nicht gefunden)|| 1,2
|-
|||Widerspruch zur Vor., Ann. ist zu verwerfen, Beh. stimmt.
|}

 stimmt das so? Ich finde, das ist sehr kurz, aber mir fällt weiter nichts dazu ein. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 21:01, 12. Jul. 2011 (CEST) 
 
 
und nun schon wieder ich :-) aus punkt eins und zwei folgt noch nicht, dass die die Winkel nicht kongruent sind. ich würde noch zwei schritte einbauen:

Zusätzliche Voraussetzung: Seien die Schnittpunkte der Geraden A und B (weil die geschnittenen Geraden haben wir ja, sonst hätten wir keinen Stufenwinkel)

Schritt 2.1 Es entsteht ein Dreieck <math>/overline{ASB}</math>. <math>\beta</math> ist Stufenwinkel von <math>\alpha</math> und ein Außenwinkel des Dreiecks <math>\overline{ASB}</math>

Begründung bei deinem Schritt 3: schwacher Außenwinkelsatz, Voraussetzung, Schritt 2.1

Jetzt müsste es passen. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:43, 12. Jul. 2011 (CEST) Ja, genau das würde ich auch noch dazu sagen, dass ein Dreieck entsteht! --[[Benutzer:Herbst2010|Herbst2010]] 11:23, 13. Jul. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Ja, wir brauchen den schw. Außenwinkelsatz:

1) a geschnitten b => {C} nach Satz I.1

2) <math>\alpha</math> ist Innenwinkel vom Dreick ABC nach Def. Innenwinkel

3) ß ist Außenwinkel des Dreiecks ABC nach Def. Außenwinkel

4) ß > <math>\alpha</math> nach dem schwachen Außenwinkelsatz was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.. somit gilt die Behauptung--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 12:27, 13. Jul. 2011 (CEST)
 Hallo, einmal eine wichtige Frage an euch: Wie seht ihr das? Wie kommt ihr auf die Idee über den schwachen Außenw.satz zu argumentieren? Wieso reichen meine Schritte nicht? Ich sehe das nicht. Ich habe zwar immer mal wieder das Gefühl, dass ein Beweis zu kurz ist, aber ich finde den Rest nicht. Soll ich mir immer Dreiecke basteln? Danke schon mal. 
Du kannst es an der Stelle sehen, dass kein bisher bekannter Satz, keine Definition oder keiner der vorangegangenen Schritte deine letzte Aussage logisch begründet. An diesem Beispiel erklärt... 
Du hast in dem Beweis geschrieben, dass a und b einen Schnittpunkt S haben. Daraus folgerst du, dass die Winkel nicht kongruent sind. Die Begründung für deine Folgerung sähe dann wie folgt aus... 
Wenn zwei Geraden a und b nicht parallel sind bzw. sich in S schneiden, dann sind die Stufenwinkel nicht kongruent. 
Das ist die Kontraposition vom zu beweisenden Satz, folglich ist es die gleiche Aussage wie der zu beweisende Satz und du beweist den Satz mit sich selbst. Was ich vorher an dieser Stelle geschrieben hatte, war nicht korrekt. Dies sollte dir helfen.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 22:07, 13. Jul. 2011 (CEST) 
Satz: <math>\alpha \cong \beta \Rightarrow a\|b </math> 
Kontraposition: <math> a\not\|b \Rightarrow \alpha \not\cong \beta </math>

 hmm, wenn ich das richtig verstehe, dann wäre mein Beweis richtig und vollständig, wenn wir den Stufenwinkelsatz bereits bewiesen hätten? Falls ja, wie kann das sein? Mit meinem Schnittpunkt, das verstehe ich z.T. ich hatte im Prinzip mein Dreieck konstruiert. Aber da ich aus der Parallelität rausgegangen bin und beide Geraden geschnitten habe, warum kann ich dann nicht folgern, dass die beiden eben nicht kongruent sind? Ich verstehe das nicht. Danke schon mal. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 20:56, 13. Jul. 2011 (CEST) 
 leider hilft mir das immer noch nicht, wie ich dann erkenne oder weiß, was ich noch machen muss, selbst wenn ich weiß, dass was fehlt. Mein Problem ist, dass mir die Idee fehlt oder vill das Wissen, keine Ahnung. Gibt das eine "Regel" nach der ich mir richten kann, wenn das, dann muss ich das machen, wenn aber jenes, dann eben jenes?? --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 23:53, 13. Jul. 2011 (CEST) 

 @ Flo60: Musst du nicht erst deinen Punkt S konstruieren, indem du die Geraden a und b schneidest? Sonst hast du doch noch kein Dreieck, oder? Fragen über Fragen! --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 16:18, 13. Jul. 2011 (CEST)

Definition der Woche 13 (SoSe 11)

2011-07-13T20:26:51Z

Teufelchen:

Die Semantik der folgenden Begriffe ist in der Begriffsbezeichnung jeweils enthalten:

# Sehnenviereck
# Tangentenviereck
# Sehnen-Tangenten-Viereck

Definieren Sie diese drei Begriffe.
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

 
1. Gegeben sei ein Kreis k und ein Viereck <math>\overline{ABCD}</math>. <math>\overline{ABCD}</math> ist ein Sehnenviereck, wenn A,B,C,D <math>\in</math> k und nkoll(A,B,C,D) gilt.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 22:03, 6. Jul. 2011 (CEST)
 
Ich denke die Definition hat einen kleinen Haken. Nach deiner Definition wäre das hier kein Sehnenviereck: 
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Um es korrekt zu definieren, musst du vier Punkte (glaube ich) auf dem Kreis k plazieren: 
Sei k ein Kreis und A, B, C, D vier paarweise verschiedene Punkte, für die gilt, dass sie Element von k sind. 
Das Sehnenviereck: = <math>\overline{AB} \cup \overline{BC} \cup \overline{CD} \cup \overline{DA}</math> --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 23:10, 8. Jul. 2011 (CEST) 

 Ich denke, dass das Viereck in deiner Zeichnung kein Sehnenviereck ist, da keine Seite eine Sehne im Kreis darstellt. Somit behaupte ich, dass meine Def. richtig ist ;) --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 14:59, 10. Jul. 2011 (CEST)

 
Ja doch auf jeden Fall, da ein Quadrat ein regelmäßiges n-Eck ist und dieses ist durch einen Umkreis definiert. Nur weil in der Zeichnung kein Umkreis erkennbar ist heißt das ja nicht, dass das Viereck keinen hat. Das ist dann so (und jetzt kommt der Megavergleich :-) ) wie wenn man sagt, dass in einem Wohnzimmer keine Stereoanlage steht, nur weil man grad keine Musik hören kann - sie ist aber da, halt nur nicht eingeschaltet. (Ich weiß der Vergleich ist dämlich und ich schäm mich fast ein wenig dafür :-) aber nur fast) --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:54, 10. Jul. 2011 (CEST)

 Angenommen, deine Zeichnung würde ein Sehnenviereck darstellen, wo sind dann die Sehnen? Ich denke immer noch, dass das keines ist. Aber eine Antwort eines Dozenten wäre gut, denn wir beide drehen uns im Kreis ;) --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 02:11, 12. Jul. 2011 (CEST)
 
Hast recht, genaugenommen im (Um)Kreis :-)
 
[[Bild:Dozenten.jpg]]
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 09:04, 12. Jul. 2011 (CEST) 
Ich sagen mal was dazu, obwohl ich kein Dozent bin :) 
Ihr habt immer davon gesprochen, dass ein Viereck dann ein Sehnenviereck ist, wenn seine Eckpunkte auf einem '''gegebenen''' Kreis k liegen. Betrachten wir mal die Analogie zum Dreieck... dann wäre ein Dreieck ABC, dessen Eckpunkte nicht auf einem '''gegebenen''' Kreis k1 liegen, kein "Sehnendreieck"... aber da jedes Dreieck einen Umkreis hat und die Eckpunkte somit auf einem Kreis liegen müssen, müssen die Seiten des Dreiecks ABC Sehnen eines Kreises k2 sein... ist das Dreieck nun ein "Sehnendreieck" oder nicht? Ich hoffe das verwirrt nicht zu sehr..., ansonsten bitte gleich sagen, dann versuche ich anders zu helfen. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 17:23, 13. Jul. 2011 (CEST)

 Folglich ist ein Sehnenviereck nur ein Viereck, dessen 4 Punkte auf dem Kreis liegen, richtig? Zur Frage: Das Dreieck ist ein Sehnendreieck. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 22:26, 13. Jul. 2011 (CEST) 
 2. Ein Viereck mit einem Inkreis ist ein Tangentenviereck. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 22:03, 6. Jul. 2011 (CEST)
 
So hätte man das Sehnenviereck auch definieren können :-) Die Frage die bleibt ist aber glaube ich, was denn nun ein Innkreis ist?. Und darüber hinaus kann der Innkreis auch wieder kleiner sein und eben grad nicht tangieren. 
Sei <math>\overline{ABCD}</math> ein beliebiges Viereck. Wenn es einen Kreis k gibt, für den gilt, dass jede Seite des Vierecks den Kreis in jeweils genau einem Punkt schneidet, dann ist das Viereck ein Tangentenviereck. 

'''Anmerkung'''Wenn folgendes geschrieben hätte (und das habe ich vorher auch): 
"Sei k ein Kreis und <math>\overline{ABCD}</math> ein beliebiges Viereck. Wenn jede Seite des Vierecks den Kreis in jeweils genau einem Punkt schneidet, dann ist das Viereck ein Tangentenviereck."; dann wäre das Gleiche wie oben in der ersten Definition herausgekommen, d. h. nur weil Kreis k nicht tangiert heist dies noch nicht, dass das Viereck kein Tangentenviereck ist. In der vorherigen Definition schließen wir das aus, indem wir von vorneherein festlegen, "wenn es einen Kreis gibt" --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 23:10, 8. Jul. 2011 (CEST) 

 Mit dem Inkreis gebe ich dir recht. Allerdings dachte ich, dass wir Inkreis bereits definiert hatten. Falls nicht: Ein Inkreis ist ein Kreis, der vollständig im Inneren eines Vierecks liegt und jede Seite in diesem Viereck '''berührt.'''
Ich habe mehrfach ''schneidet'' gelesen, aber ich denke, das ist falsch, da es keinen Schnittpunkt sondern einen Berührpunkt gibt.
 Zu deiner Anmerkung: Ich denke, dass auch diese Def richtig ist, wenn du ''schneidet'' durch ''berührt'' ersetzt. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 14:59, 10. Jul. 2011 (CEST)

 3. Gibt es nicht, da ein Viereck entweder einen Inkreis, einen Umkreis oder nichts von beidem hat. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 22:03, 6. Jul. 2011 (CEST)

<ggb_applet width="407" height="374" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 
Was ist hiermit?--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 23:56, 6. Jul. 2011 (CEST)

 hmm, ok, das könnte sein. Aber gibt es sowas? Wäre diese Definition dann sinnvoll?
 Ein Vierck ABCD ist ein Sehnen-Tangenten-Viereck, wenn <math>A,B,C,D \in k</math> und das Viereck einen Inkreis hat.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 21:53, 8. Jul. 2011 (CEST) 
Weil du die beiden Begriffe nun ja schon definiert hast, so kannst du dir das ganze nun einfacher machen, indem du sagst: Ein Viereck, das sowohl Tangenten, als auch Sehnenviereck ist, ist ein Sehnen-Tangenten-Viereck. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 23:19, 8. Jul. 2011 (CEST) 

Hier wurde irgendwo mal gesagt, dass ein Berührpunkt kein Schnittpunkt ist... oder so. Nehmen wir mal an, dass ein Kreis k und eine Gerade g sich in einem Punkt P berühren. Dann muss P sowohl zu k als auch zu P gehören. Nach der Definition "Schnittmenge" liegt dieser Punkt dann auch in der Schnittmenge von k und g. Somit ist ein Berührpunkt auch ein Schnittpunkt. Ich denke, dass das nachvollziehbar ist. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 17:30, 13. Jul. 2011 (CEST)

Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (SoSe 11)

2011-07-13T18:57:00Z

Teufelchen: /* Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) */

== Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel ==

In welchen Fällen handelt es sich um....
::Stufenwinkel
::Wechselwinkel
::entgegengesetzt liegende Winkel?
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===== Definition X.1: (Stufenwinkel) =====

Zwei Winkel <(p,q) und <(r,s) heißen Stufenwinkel, falls ein Schenkel r des einen Winkels eine Teilmenge
eines Schenkels p des anderen Winkels ist und die anderen beiden Schenkel q und s in einer Halbebene
bezüglich der Geraden g liegen, die durch die beiden Schenkel p und r gegeben ist.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 11:56, 13. Jul. 2011 (CEST)

===== Definition X.2: (Wechselwinkel) =====
Zwei Winkel <(p, q) und <(r, s) heißen Wechselwinkel, falls der Scheitelwinkel des Winkels <(p, q)
und der Winkel <(r, s) Stufenwinkel sind.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 11:58, 13. Jul. 2011 (CEST)

===== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel)=====
(ergänzen Sie)
 Zwei Winkel <math>\angle p,q</math> und <math>\angle r,s</math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, wenn der Stufenwinkel des Winkels <math>\angle p,q</math> und der Winkel Nebenwinkel sind. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 20:39, 12. Jul. 2011 (CEST) 

Der Nebenwinkel könnte doch auch ein Wechselwinkel sein... oder?

Also: Zwei Winkel <(p,q) und <(r,s) heißen entgegengesetzt liegende Winkel, falls der Nebenwinkel von <(r,s) Wechsel- oder Stufenwinkel von <(p,q) ist.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 12:10, 13. Jul. 2011 (CEST)

== Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes ==
===== Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
::Es seien <math>\ a</math> und <math>\ b</math> zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade <math>\ c</math> jeweils geschnitten werden. Es seien ferner <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von <math>\ c</math> mit <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entstehen mögen. 
::Wenn die beiden Stufenwinkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> parallel zueinander.
===== Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade <math>\ c</math> möge <math>\ a</math> in dem Punkt<math> \ A</math> und die Gerade <math>\ b</math> in dem Punkt <math>\ B</math> schneiden. <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> sei ein Paar von Stufenwinkeln, welches bei dem Schnitt von <math>\ a</math> und <math>\ b</math> mit <math>\ c</math> entstehen möge.

Voraussetzung:

(i) <math>\ \alpha \cong \beta</math>

[[Bild:Umkehrung_stufenwinkelsatz_01.png|400 px]]

Behauptung:

<math>\ a \| b</math>

Annahme:

<math>a\not\| b</math>

Den Rest können Sie selbst!

 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| 1) <math>a\not\| b</math> || Ann.
|-
| 2) <math>\ a \cap b</math>={S} || 1), Satz Schnittpunkt von Geraden
|-
| 3) <math>|\alpha | \neq |\beta |</math> (habe nicht kongruent nicht gefunden)|| 1,2
|-
|||Widerspruch zur Vor., Ann. ist zu verwerfen, Beh. stimmt.
|}

 stimmt das so? Ich finde, das ist sehr kurz, aber mir fällt weiter nichts dazu ein. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 21:01, 12. Jul. 2011 (CEST) 
 
 
und nun schon wieder ich :-) aus punkt eins und zwei folgt noch nicht, dass die die Winkel nicht kongruent sind. ich würde noch zwei schritte einbauen:

Zusätzliche Voraussetzung: Seien die Schnittpunkte der Geraden A und B (weil die geschnittenen Geraden haben wir ja, sonst hätten wir keinen Stufenwinkel)

Schritt 2.1 Es entsteht ein Dreieck <math>/overline{ASB}</math>. <math>\beta</math> ist Stufenwinkel von <math>\alpha</math> und ein Außenwinkel des Dreiecks <math>\overline{ASB}</math>

Begründung bei deinem Schritt 3: schwacher Außenwinkelsatz, Voraussetzung, Schritt 2.1

Jetzt müsste es passen. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:43, 12. Jul. 2011 (CEST) Ja, genau das würde ich auch noch dazu sagen, dass ein Dreieck entsteht! --[[Benutzer:Herbst2010|Herbst2010]] 11:23, 13. Jul. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Ja, wir brauchen den schw. Außenwinkelsatz:

1) a geschnitten b => {C} nach Satz I.1

2) <math>\alpha</math> ist Innenwinkel vom Dreick ABC nach Def. Innenwinkel

3) ß ist Außenwinkel des Dreiecks ABC nach Def. Außenwinkel

4) ß > <math>\alpha</math> nach dem schwachen Außenwinkelsatz was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.. somit gilt die Behauptung--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 12:27, 13. Jul. 2011 (CEST)
 Hallo, einmal eine wichtige Frage an euch: Wie seht ihr das? Wie kommt ihr auf die Idee über den schwachen Außenw.satz zu argumentieren? Wieso reichen meine Schritte nicht? Ich sehe das nicht. Ich habe zwar immer mal wieder das Gefühl, dass ein Beweis zu kurz ist, aber ich finde den Rest nicht. Soll ich mir immer Dreiecke basteln? Danke schon mal. 
Du kannst es an der Stelle sehen, dass kein bisher bekannter Satz, keine Definition oder keiner der vorangegangenen Schritte deine letzte Aussage logisch begründet. An diesem Beispiel erklärt... 
Du hast in dem Beweis geschrieben, dass a und b einen Schnittpunkt S haben. Daraus folgerst du, dass die Winkel nicht kongruent sind. Die Begründung für deine Folgerung sähe dann wie folgt aus... 
Wenn zwei Geraden a und b nicht parallel sind bzw. sich in S schneiden, dann sind die Stufenwinkel nicht kongruent. 
Dies ist nach der Aussagenlogik gesehen die gleiche Aussage wie: Wenn zwei Geraden a und b parallel sind, dann sind die Stufenwinkel kongruent.
Dies ist der Stufenwinkelsatz und der ist bis zu diesem Zeitpunkt noch nicht bewiesen worden (denke ich mal). Ich hoffe das konnte helfen. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 18:53, 13. Jul. 2011 (CEST)

 hmm, wenn ich das richtig verstehe, dann wäre mein Beweis richtig und vollständig, wenn wir den Stufenwinkelsatz bereits bewiesen hätten? Falls ja, wie kann das sein? Mit meinem Schnittpunkt, das verstehe ich z.T. ich hatte im Prinzip mein Dreieck konstruiert. Aber da ich aus der Parallelität rausgegangen bin und beide Geraden geschnitten habe, warum kann ich dann nicht folgern, dass die beiden eben nicht kongruent sind? Ich verstehe das nicht. Danke schon mal. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 20:56, 13. Jul. 2011 (CEST) 

 @ Flo60: Musst du nicht erst deinen Punkt S konstruieren, indem du die Geraden a und b schneidest? Sonst hast du doch noch kein Dreieck, oder? Fragen über Fragen! --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 16:18, 13. Jul. 2011 (CEST)

Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks (SoSe 11)

2011-07-13T14:22:40Z

Teufelchen: /* Definition XV.3 : (Strecke berührt Kreis) */

== Winkelhalbierenden eines Dreiecks ==
===== Definition XV.1 : (Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
::Unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks versteht man die Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Dreiecks.
===== Satz XV.1a : (Abstand eines Punktes einer Winkelhalbierenden zu den Schenkeln des Winkels) =====
::Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines Winkels hat zu den Schenkeln des Winkels jeweils ein und denselben Abstand.
===== Satz XV.1b : (Umkehrung von Satz XV.1a) =====
(das können Sie selbst:) 

Jeder Punkt im Inneren eines Winkels, der zu den Schenkeln jeweils denselben Abstand hat, ist die Winkelhalbierende des Winkels. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 15:53, 12. Jul. 2011 (CEST) 

===== Winkelhalbierendenkriterium=====
(auch das sollten Sie jetzt selbst hinbekommen:) 

 Der Strahl <math>\ SW^{+}</math> ist genau dann Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math> , wenn jeder Punkt der Winkelhalbierenden zu den Schenkeln ein und denselben Abstand hat. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 23:24, 11. Jul. 2011 (CEST) 
oder
 Genau dann, wenn jeder Punkt der zu den Schenkeln eines Winkels ein und denselben Abstand hat, dann liebt die Winkelhalbierenden im Inneren des Winkels. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 16:02, 12. Jul. 2011 (CEST) 

===== Satz XV.2 : (Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt.

Beweis von Satz XV.2 mit Hilfe des Winkelhalbierendenkriteriums: Versuchen Sie es selbst: 

== Inkreis eines Dreiecks ==
===== Definition XV.2 : (Tangente an einen Kreis) =====
Eine Gerade <math>\ t</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie mit dem Kreis <math>\ k</math> genau einen Punkt <math>\ P</math> gemeinsam hat. Die Gerade <math>\ t</math> heißt Tangente im Punkt <math>\ P</math>.
===== Definition XV.3 : (Strecke berührt Kreis) =====
Eine Strecke <math>\overline{AB}</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie... (ergänzen Sie!) 
Teilmenge der Tangente AB des Kreises ist. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 16:22, 13. Jul. 2011 (CEST)
 

===== Definition XV.4 : (Inkreis eines Dreiecks) =====
::Ein Kreis, der alle drei Seiten eines Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt, heißt Inkreis des Dreiecks.

===== Satz XV.3 : (Existenz und Eindeutigkeit des Inkreises) =====
...ergänzen Sie! 

Jedes Dreieck hat genau einen Inkreis.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 23:26, 11. Jul. 2011 (CEST) 

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (SoSe 11)

2011-07-13T14:18:51Z

Teufelchen: /* Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) */

== Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel ==

In welchen Fällen handelt es sich um....
::Stufenwinkel
::Wechselwinkel
::entgegengesetzt liegende Winkel?
<ggb_applet width="1066" height="509" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

===== Definition X.1: (Stufenwinkel) =====

Zwei Winkel <(p,q) und <(r,s) heißen Stufenwinkel, falls ein Schenkel r des einen Winkels eine Teilmenge
eines Schenkels p des anderen Winkels ist und die anderen beiden Schenkel q und s in einer Halbebene
bezüglich der Geraden g liegen, die durch die beiden Schenkel p und r gegeben ist.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 11:56, 13. Jul. 2011 (CEST)

===== Definition X.2: (Wechselwinkel) =====
Zwei Winkel <(p, q) und <(r, s) heißen Wechselwinkel, falls der Scheitelwinkel des Winkels <(p, q)
und der Winkel <(r, s) Stufenwinkel sind.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 11:58, 13. Jul. 2011 (CEST)

===== Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel)=====
(ergänzen Sie)
 Zwei Winkel <math>\angle p,q</math> und <math>\angle r,s</math> sind entgegengesetzt liegende Winkel, wenn der Stufenwinkel des Winkels <math>\angle p,q</math> und der Winkel Nebenwinkel sind. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 20:39, 12. Jul. 2011 (CEST) 

Der Nebenwinkel könnte doch auch ein Wechselwinkel sein... oder?

Also: Zwei Winkel <(p,q) und <(r,s) heißen entgegengesetzt liegende Winkel, falls der Nebenwinkel von <(r,s) Wechsel- oder Stufenwinkel von <(p,q) ist.--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 12:10, 13. Jul. 2011 (CEST)

== Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes ==
===== Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
::Es seien <math>\ a</math> und <math>\ b</math> zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade <math>\ c</math> jeweils geschnitten werden. Es seien ferner <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von <math>\ c</math> mit <math>\ a</math> und <math>\ b</math> entstehen mögen. 
::Wenn die beiden Stufenwinkel <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden <math>\ a</math> und <math>\ b</math> parallel zueinander.
===== Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) =====
Es seien <math>\ a, b</math> und <math>\ c</math> drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade <math>\ c</math> möge <math>\ a</math> in dem Punkt<math> \ A</math> und die Gerade <math>\ b</math> in dem Punkt <math>\ B</math> schneiden. <math>\ \alpha</math> und <math>\ \beta</math> sei ein Paar von Stufenwinkeln, welches bei dem Schnitt von <math>\ a</math> und <math>\ b</math> mit <math>\ c</math> entstehen möge.

Voraussetzung:

(i) <math>\ \alpha \cong \beta</math>

[[Bild:Umkehrung_stufenwinkelsatz_01.png|400 px]]

Behauptung:

<math>\ a \| b</math>

Annahme:

<math>a\not\| b</math>

Den Rest können Sie selbst!

 
{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| 1) <math>a\not\| b</math> || Ann.
|-
| 2) <math>\ a \cap b</math>={S} || 1), Satz Schnittpunkt von Geraden
|-
| 3) <math>|\alpha | \neq |\beta |</math> (habe nicht kongruent nicht gefunden)|| 1,2
|-
|||Widerspruch zur Vor., Ann. ist zu verwerfen, Beh. stimmt.
|}

 stimmt das so? Ich finde, das ist sehr kurz, aber mir fällt weiter nichts dazu ein. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 21:01, 12. Jul. 2011 (CEST) 
 
 
und nun schon wieder ich :-) aus punkt eins und zwei folgt noch nicht, dass die die Winkel nicht kongruent sind. ich würde noch zwei schritte einbauen:

Zusätzliche Voraussetzung: Seien die Schnittpunkte der Geraden A und B (weil die geschnittenen Geraden haben wir ja, sonst hätten wir keinen Stufenwinkel)

Schritt 2.1 Es entsteht ein Dreieck /overline{ASB}. <math>\beta</math> ist Stufenwinkel von <math>\alpha</math> und ein Außenwinkel des Dreiecks overline{ASB}

Begründung bei deinem Schritt 3: schwacher Außenwinkelsatz, Voraussetzung, Schritt 2.1

Jetzt müsste es passen. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 22:43, 12. Jul. 2011 (CEST) Ja, genau das würde ich auch noch dazu sagen, dass ein Dreieck entsteht! --[[Benutzer:Herbst2010|Herbst2010]] 11:23, 13. Jul. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Ja, wir brauchen den schw. Außenwinkelsatz:

1) a geschnitten b => {C} nach Satz I.1

2) <math>\alpha</math> ist Innenwinkel vom Dreick ABC nach Def. Innenwinkel

3) ß ist Außenwinkel des Dreiecks ABC nach Def. Außenwinkel

4) ß > <math>\alpha</math> nach dem schwachen Außenwinkelsatz was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.. somit gilt die Behauptung--[[Benutzer:Mm l123|mm_l]] 12:27, 13. Jul. 2011 (CEST)
 Hallo, einmal eine wichtige Frage an euch: Wie seht ihr das? Wie kommt ihr auf die Idee über den schwachen Außenw.satz zu argumentieren? Wieso reichen meine Schritte nicht? Ich sehe das nicht. Ich habe zwar immer mal wieder das Gefühl, dass ein Beweis zu kurz ist, aber ich finde den Rest nicht. Soll ich mir immer Dreiecke basteln? Danke schon mal.

 @ Flo60: Musst du nicht erst deinen Punkt S konstruieren, indem du die Geraden a und b schneidest? Sonst hast du doch noch kein Dreieck, oder? Fragen über Fragen! --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 16:18, 13. Jul. 2011 (CEST)

Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (SoSe 11)

2011-07-12T19:05:03Z

Teufelchen: /* Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) */

Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (SoSe 11)

2011-07-12T19:01:24Z

Teufelchen: /* Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes) */

Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (SoSe 11)

2011-07-12T18:40:00Z

Teufelchen: /* Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel) */

Lösung von Aufg. 14.2 (SoSe 11)

2011-07-12T17:02:08Z

Teufelchen:

Gegen welche Forderung, die an Axiomensysteme zu stellen ist, verstößt die folgende Formulierung des Parallelenaxioms: 
Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.

 Axiome sollen nicht beweisbar sein. Allerdings sind der Satz (s.o.) und das EP genau gleich. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 19:02, 12. Jul. 2011 (CEST) 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Existenz von Parallelen und das Euklidische Parallelenaxiom (SoSe 11)

2011-07-12T15:20:56Z

Teufelchen: /* Beweis der Existenz von Parallelen */

===== Satz XI. 1: (Existenz von Parallelen) =====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und parallel zu <math>\ g</math> ist.
===== Beweis der Existenz von Parallelen =====
Ich bin doch nicht verrückt ^^ --[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 13:31, 7. Jul. 2011 (CEST) 
Hm... ich denke mit verrückt sein hat das wenig zu tun... die Existens einer Parallelen kann man beweisen. Deshalb heißt es im Parallelenaxiom auch nicht "genau", sonder "höchstens". Würde es "genau" heißen, so wäre das Axiom nicht unabhängig und dies würde den Ansprüchen an ein Axiom widersprechen. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:49, 8. Jul. 2011 (CEST)
Übungsaufgabe
 

Wo besteht der Unterschied zwischen dem EP und dem Satz über die Existenz von Parallelen? In beiden steht Wort wörtlich das Gleiche. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 17:20, 12. Jul. 2011 (CEST) 

== Geschichte des Parallelenaxioms ==
=== Vater und Sohn Bolyai===
''Du darfst die Parallelen nicht auf jenem Wege versuchen; ich kenne
diesen Weg bis an sein Ende — auch ich habe diese bodenlose Nacht
durchmessen, jedes Licht, jede Freude meines Lebens sind in ihr ausgelöscht worden — ich beschwöre Dich bei Gott — laß die Lehre von
den Parallelen in Frieden. . . sie kann Dich um all Deine Ruhe, Deine
Gesundheit und um Dein ganzes Lebensglück bringen. . . .Wenn
ich die Parallelen hätte entdecken können, so wäre ich ein Engel geworden.
. . . Es ist unbegreiflich, daß diese unabwendbare Dunkelheit,
diese ewige Sonnenfinsternis, dieser Makel der Geometrie zugelassen
wurde, diese ewige Wolke an der jungfräulichen Wahrheit. 
Farkas Bolyai (in einem Brief an seinen Sohn Janos Bolyai, 1820)''
([http://www.mathematik.hu-berlin.de/~filler/publikat/filler_eukl-ne-geom.pdf], S. 162)

http://de.wikipedia.org/wiki/Farkas_Bolyai 
http://de.wikipedia.org/wiki/Janos_Bolyai

=== Carl Friedrich Gauß ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F
=== Николай Иванович Лобачевский ===
http://de.wikipedia.org/wiki/Lobatschewski
== Das Euklidische Parallelenaxiom ==
===== EP =====
::Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es höchstens eine Gerade <math>\ h</math>, die durch <math>\ P</math> geht und zu <math>\ g</math> parallel ist.
== Sätze über Winkel an geschnittenen Parallelen ==
=== Der Stufenwinkelsatz ===
===== Satz XII.1: (Stufenwinkelsatz) =====
Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.

Beweis: 
Übungsaufgabe

=== Der Wechselwinkelsatz ===
===== Satz XII.2: (Wechselwinkelsatz) =====
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.

=== Der Satz über die entgegengesetzt liegenden Winkel an geschnittenen Parallelen ===
===== Satz XII.3 =====
Entgegengesetzte Winkel an geschnittenen Parallelen sind supplementär.

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks (SoSe 11)

2011-07-12T14:02:04Z

Teufelchen: /* Winkelhalbierendenkriterium */

== Winkelhalbierenden eines Dreiecks ==
===== Definition XV.1 : (Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
::Unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks versteht man die Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Dreiecks.
===== Satz XV.1a : (Abstand eines Punktes einer Winkelhalbierenden zu den Schenkeln des Winkels) =====
::Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines Winkels hat zu den Schenkeln des Winkels jeweils ein und denselben Abstand.
===== Satz XV.1b : (Umkehrung von Satz XV.1a) =====
(das können Sie selbst:) 

Jeder Punkt im Inneren eines Winkels, der zu den Schenkeln jeweils denselben Abstand hat, ist die Winkelhalbierende des Winkels. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 15:53, 12. Jul. 2011 (CEST) 

===== Winkelhalbierendenkriterium=====
(auch das sollten Sie jetzt selbst hinbekommen:) 

 Der Strahl <math>\ SW^{+}</math> ist genau dann Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math> , wenn jeder Punkt der Winkelhalbierenden zu den Schenkeln ein und denselben Abstand hat. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 23:24, 11. Jul. 2011 (CEST) 
oder
 Genau dann, wenn jeder Punkt der zu den Schenkeln eines Winkels ein und denselben Abstand hat, dann liebt die Winkelhalbierenden im Inneren des Winkels. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 16:02, 12. Jul. 2011 (CEST) 

===== Satz XV.2 : (Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt.

Beweis von Satz XV.2 mit Hilfe des Winkelhalbierendenkriteriums: Versuchen Sie es selbst: 

== Inkreis eines Dreiecks ==
===== Definition XV.2 : (Tangente an einen Kreis) =====
Eine Gerade <math>\ t</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie mit dem Kreis <math>\ k</math> genau einen Punkt <math>\ P</math> gemeinsam hat. Die Gerade <math>\ t</math> heißt Tangente im Punkt <math>\ P</math>.
===== Definition XV.3 : (Strecke berührt Kreis) =====
Eine Strecke <math>\overline{AB}</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie... (ergänzen Sie!) 

===== Definition XV.4 : (Inkreis eines Dreiecks) =====
::Ein Kreis, der alle drei Seiten eines Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt, heißt Inkreis des Dreiecks.

===== Satz XV.3 : (Existenz und Eindeutigkeit des Inkreises) =====
...ergänzen Sie! 

Jedes Dreieck hat genau einen Inkreis.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 23:26, 11. Jul. 2011 (CEST) 

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks (SoSe 11)

2011-07-12T13:53:34Z

Teufelchen: /* Satz XV.1b : (Umkehrung von Satz XV.1a) */

== Winkelhalbierenden eines Dreiecks ==
===== Definition XV.1 : (Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
::Unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks versteht man die Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Dreiecks.
===== Satz XV.1a : (Abstand eines Punktes einer Winkelhalbierenden zu den Schenkeln des Winkels) =====
::Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines Winkels hat zu den Schenkeln des Winkels jeweils ein und denselben Abstand.
===== Satz XV.1b : (Umkehrung von Satz XV.1a) =====
(das können Sie selbst:) 

Jeder Punkt im Inneren eines Winkels, der zu den Schenkeln jeweils denselben Abstand hat, ist die Winkelhalbierende des Winkels. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 15:53, 12. Jul. 2011 (CEST) 

===== Winkelhalbierendenkriterium=====
(auch das sollten Sie jetzt selbst hinbekommen:) 

 Der Strahl <math>\ SW^{+}</math> ist genau dann Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math> , wenn jeder Punkt der Winkelhalbierenden zu den Schenkeln ein und denselben Abstand hat. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 23:24, 11. Jul. 2011 (CEST) 

===== Satz XV.2 : (Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt.

Beweis von Satz XV.2 mit Hilfe des Winkelhalbierendenkriteriums: Versuchen Sie es selbst: 

== Inkreis eines Dreiecks ==
===== Definition XV.2 : (Tangente an einen Kreis) =====
Eine Gerade <math>\ t</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie mit dem Kreis <math>\ k</math> genau einen Punkt <math>\ P</math> gemeinsam hat. Die Gerade <math>\ t</math> heißt Tangente im Punkt <math>\ P</math>.
===== Definition XV.3 : (Strecke berührt Kreis) =====
Eine Strecke <math>\overline{AB}</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie... (ergänzen Sie!) 

===== Definition XV.4 : (Inkreis eines Dreiecks) =====
::Ein Kreis, der alle drei Seiten eines Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt, heißt Inkreis des Dreiecks.

===== Satz XV.3 : (Existenz und Eindeutigkeit des Inkreises) =====
...ergänzen Sie! 

Jedes Dreieck hat genau einen Inkreis.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 23:26, 11. Jul. 2011 (CEST) 

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Dreieckskongruenz (SoSe 11)

2011-07-12T11:59:43Z

Teufelchen: /* Der Kongruenzsatz SSS */

== Die beiden grundlegenden Ideen der Kongruenz ==
=== Bewegungsgeometrie ===
==== naive Deckungsgleichheit ====
==== Bewegungen: abstandserhaltende Abbildungen der Ebene auf sich ====
=== Euklid lässt grüßen: Dreieckskongruenz ===
===Videos zur Idee der Kongruenz===
{{#ev:youtube|fs5NeNuGzA8}}
{{#ev:youtube|Wm9xdlvD6Z8}}
{{#ev:youtube|tF-z3vQZZFA}}

== Streckenkongruenz ==
Wir erinnern uns an die Diskussion zu Anfang des Semesters.
<quiz display="simple">
{Wie sagt man es richtig?
}
+ Die Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{CD}</math> sind kongruent zueinander.
+ Der Punkt <math>\ A</math> hat zum Punkt <math>\ B</math> denselben Abstand wie der Punkt <math>\ C</math> zum Punkt <math>\ D</math>
+ Die Strecken <math>\overline{AB}</math> und <math>\overline{CD}</math> haben dieselbe Länge.
</quiz>

Die Auswertung des Quiz zeigt: Alle drei Aussagen sind synonym.

Momentan jedoch eigentlich noch nicht. Uns fehlt eine Definition des Begriffs der Streckenkongruenz.

===== Definition VII.1: (Streckenkongruenz) =====
:: Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben. 
:: In Zeichen <math>\overline{AB} \cong \overline{CD} := |\overline{AB}| = |\overline{CD}|</math>
===== Satz VII.1: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

== Winkelkongruenz ==
Analog zum Begriff der Streckenkongruenz sollen zwei Winkel genau dann kongruent zueinander genannt werden, wenn sie dieselbe Größe haben.

===== Definition VII.2 : (Winkelkongruenz) =====
::Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander. 
::In Zeichen: <math>\alpha \cong \beta := | \alpha | = | \beta |</math>

===== Satz VII.2: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

== Dreieckskongruenz ==
In der Schule spricht man häufig davon, dass zwei Dreiecke dann kongruent zueinander sind, wenn sie in allen Stücken übereinstimmen. Unter den Stücken eines Dreieck sind dabei die jeweils drei Seiten und die jeweils drei Innenwinkel zu verstehen.

===== Definition VII.3: (Dreieckskongruenz) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 6 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
:::# <math>\angle ACB \cong \angle DFE</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Satz VII.3: =====
:: Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.

Überprüfen Sie Ihr Verständnis:

In den Schullehrbüchern findet man häufig Konstruktionsaufgaben wie: 
konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen <math>\ a = 5\operatorname{cm}</math>, <math>\ b = 4\operatorname{cm}</math>, <math>\ c = 3\operatorname{cm}</math>. <math>\ 30</math> Schüler konstruieren aufgrund dieser Aufgabenstellung <math>\ 30</math> Dreiecke. Kommentieren Sie den bestimmten Artikel in der Aufgabenstellung. Was hat das alles mit der Idee der Repräsentantenunabhängigkeit zu tun?

== Das Kongruenzaxiom SWS ==
===== Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
::gelten, 
::dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

== Der Kongruenzsatz WSW ==
===== Satz VII.4: (Kongruenzsatz WSW) =====
::Wenn für zwei Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> die folgenden 3 Kongruenzen

:::# <math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math>
:::# <math>\angle CAB \cong \angle FDE</math>
:::# <math>\angle ABC \cong \angle DEF</math>
::gelten, 
:: dann sind die beiden Dreiecke <math>\overline{ABC}</math> und <math>\overline{DEF}</math> kongruent zueinander.

===== Beweis von Satz VII.4 =====
======Als Folge von Tafeln ======
[[Der fotografierte Beweis]]
======Video======
{{#ev:youtube|vgACEclZ4aI}}
{{#ev:youtube|gKsqeAUNf8g}}
{{#ev:youtube|VYptKtH_ZkQ}}

===== Die Beweisidee =====
Testen Sie Ihr Verständnis: Beschreiben Sie hier mit drei ganz einfachen Sätzen, auf welcher Idee der Beweis beruht.

<ggb_applet width="892" height="590" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "true" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "true" allowRescaling = "true" />

== Der Kongruenzsatz SSS ==
Hier dürfen und sollen Sie sich austoben.
Für den Beweis des Kongruenzsatzes SSS werden Sie sinnvollerweise den Basiswinkelsatz benötigen. Weil dieser jedoch von so zentraler Bedeutung ist, haben wir ihm einen eigenen Unterpunkt auf der Hauptseite spendiert. Sie dürfen ihn also hier vorab als wahr voraussetzen.

 Zwei Dreiecke ABC und DEF sind zueinander kongruent, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen. 

<math>\overline{AB} \cong \overline{DE}</math> 
<math>\overline{BC} \cong \overline{EF}</math> 
<math>\overline{AC} \cong \overline{DF}</math> --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 13:59, 12. Jul. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Definition der Woche 13 (SoSe 11)

2011-07-12T00:11:01Z

Teufelchen:

Die Semantik der folgenden Begriffe ist in der Begriffsbezeichnung jeweils enthalten:

# Sehnenviereck
# Tangentenviereck
# Sehnen-Tangenten-Viereck

Definieren Sie diese drei Begriffe.
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

 
1. Gegeben sei ein Kreis k und ein Viereck <math>\overline{ABCD}</math>. <math>\overline{ABCD}</math> ist ein Sehnenviereck, wenn A,B,C,D <math>\in</math> k und nkoll(A,B,C,D) gilt.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 22:03, 6. Jul. 2011 (CEST)
 
Ich denke die Definition hat einen kleinen Haken. Nach deiner Definition wäre das hier kein Sehnenviereck: 
<ggb_applet width="1366" height="604" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

Um es korrekt zu definieren, musst du vier Punkte (glaube ich) auf dem Kreis k plazieren: 
Sei k ein Kreis und A, B, C, D vier paarweise verschiedene Punkte, für die gilt, dass sie Element von k sind. 
Das Sehnenviereck: = <math>\overline{AB} \cup \overline{BC} \cup \overline{CD} \cup \overline{DA}</math> --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 23:10, 8. Jul. 2011 (CEST) 

 Ich denke, dass das Viereck in deiner Zeichnung kein Sehnenviereck ist, da keine Seite eine Sehne im Kreis darstellt. Somit behaupte ich, dass meine Def. richtig ist ;) --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 14:59, 10. Jul. 2011 (CEST)

 
Ja doch auf jeden Fall, da ein Quadrat ein regelmäßiges n-Eck ist und dieses ist durch einen Umkreis definiert. Nur weil in der Zeichnung kein Umkreis erkennbar ist heißt das ja nicht, dass das Viereck keinen hat. Das ist dann so (und jetzt kommt der Megavergleich :-) ) wie wenn man sagt, dass in einem Wohnzimmer keine Stereoanlage steht, nur weil man grad keine Musik hören kann - sie ist aber da, halt nur nicht eingeschaltet. (Ich weiß der Vergleich ist dämlich und ich schäm mich fast ein wenig dafür :-) aber nur fast) --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 20:54, 10. Jul. 2011 (CEST)

 Angenommen, deine Zeichnung würde ein Sehnenviereck darstellen, wo sind dann die Sehnen? Ich denke immer noch, dass das keines ist. Aber eine Antwort eines Dozenten wäre gut, denn wir beide drehen uns im Kreis ;) --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 02:11, 12. Jul. 2011 (CEST)

 2. Ein Viereck mit einem Inkreis ist ein Tangentenviereck. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 22:03, 6. Jul. 2011 (CEST)
 
So hätte man das Sehnenviereck auch definieren können :-) Die Frage die bleibt ist aber glaube ich, was denn nun ein Innkreis ist?. Und darüber hinaus kann der Innkreis auch wieder kleiner sein und eben grad nicht tangieren. 
Sei <math>\overline{ABCD}</math> ein beliebiges Viereck. Wenn es einen Kreis k gibt, für den gilt, dass jede Seite des Vierecks den Kreis in jeweils genau einem Punkt schneidet, dann ist das Viereck ein Tangentenviereck. 

'''Anmerkung'''Wenn folgendes geschrieben hätte (und das habe ich vorher auch): 
"Sei k ein Kreis und <math>\overline{ABCD}</math> ein beliebiges Viereck. Wenn jede Seite des Vierecks den Kreis in jeweils genau einem Punkt schneidet, dann ist das Viereck ein Tangentenviereck."; dann wäre das Gleiche wie oben in der ersten Definition herausgekommen, d. h. nur weil Kreis k nicht tangiert heist dies noch nicht, dass das Viereck kein Tangentenviereck ist. In der vorherigen Definition schließen wir das aus, indem wir von vorneherein festlegen, "wenn es einen Kreis gibt" --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 23:10, 8. Jul. 2011 (CEST) 

 Mit dem Inkreis gebe ich dir recht. Allerdings dachte ich, dass wir Inkreis bereits definiert hatten. Falls nicht: Ein Inkreis ist ein Kreis, der vollständig im Inneren eines Vierecks liegt und jede Seite in diesem Viereck '''berührt.'''
Ich habe mehrfach ''schneidet'' gelesen, aber ich denke, das ist falsch, da es keinen Schnittpunkt sondern einen Berührpunkt gibt.
 Zu deiner Anmerkung: Ich denke, dass auch diese Def richtig ist, wenn du ''schneidet'' durch ''berührt'' ersetzt. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 14:59, 10. Jul. 2011 (CEST)

 3. Gibt es nicht, da ein Viereck entweder einen Inkreis, einen Umkreis oder nichts von beidem hat. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 22:03, 6. Jul. 2011 (CEST)

<ggb_applet width="407" height="374" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 
Was ist hiermit?--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 23:56, 6. Jul. 2011 (CEST)

 hmm, ok, das könnte sein. Aber gibt es sowas? Wäre diese Definition dann sinnvoll?
 Ein Vierck ABCD ist ein Sehnen-Tangenten-Viereck, wenn <math>A,B,C,D \in k</math> und das Viereck einen Inkreis hat.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 21:53, 8. Jul. 2011 (CEST) 
Weil du die beiden Begriffe nun ja schon definiert hast, so kannst du dir das ganze nun einfacher machen, indem du sagst: Ein Viereck, das sowohl Tangenten, als auch Sehnenviereck ist, ist ein Sehnen-Tangenten-Viereck. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 23:19, 8. Jul. 2011 (CEST)

Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel (SoSe 11)

2011-07-11T23:47:32Z

Teufelchen: /* Definition V.4: (Nebenwinkel) */

= Winkel =
==Übungsblatt==
{{pdf|Uebungsblatt_01.pdf|Das Übungsblatt zur Vorlesung}}
==Videos==
{{#ev:youtube|z53LN9aGMOg}}
{{#ev:youtube|M1pMJcQp9Is}}
== Begriff des Winkels ==
=== Identifizieren von Winkeln ===
==== Repräsentanten und Gegenrepräsentanten ====
In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?
{| class="wikitable center"
|-
| [[Bild: winkel_01.svg]] || [[Bild: winkel_02.svg]] || [[Bild: winkel_03.svg]] || [[Bild: winkel_04.svg]]
|-
| Punktmenge 1 || Punktmenge 2 || Punktmenge 3 || Punktmenge 4
|-
| [[Bild: winkel_05.svg]] || [[Bild: winkel_06.svg]] || [[Bild: winkel_07.svg]] || [[Bild: winkel_08.svg]]
|-
| Punktmenge 5 || Punktmenge 6 || Punktmenge 7 || Punktmenge 8
|}
''Tabelle 1''
{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Winkelmodell
! kein Winkelmodell
|-
|Punktmenge: 
|Punktmenge: 
|}

==== Prozeß der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung ====
In der Didaktik bezeichnen wir die Art und Weise der Erarbeitung eines neuen Begriffs entsprechend obiger Tabelle als induktive Begriffserarbeitung: Eine gewisse Menge an Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des zu erarbeitenden Begriffs wird vorgegeben. Dann teilt man diese Menge in genau zwei Klassen ein. Die eine Klasse bilden alle Begriffsrepräsentanten, die ander Menge der Rest.

Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.

[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Lehre/didaktik_5_8/flash/Trapez_Erarbeitung_drag.html Zum besseren Verständnis: Analoge Erarbeitung des Begriffs Trapez:]

=== Realisieren von Winkeln ===
==== Die Idee des konstruktiven Begriffserwerbs ====
Während beim induktiven Begriffserwerb das Ausgangsmaterial für den Schüler bereits vorgefertigt wurde, generiert er es sich beim konstruktiven Begriffserwerb selbst. Der gute Lehrer läßt in der Regel beide Varianten zur Anwendung kommen.

==== Konstruktion eines Winkels ====
Aufgabe: Zeichne einen Winkel

Lösung:

{| class="wikitable center"
|- style="background: #DDFFDD;"
! Konstruktionsschritt
! Beschreibung
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_01.svg]]
| Zeichne einen Strahl. Nenne den Anfangspunkt S und einen weiteren Punkt auf dem Strahl B.
|-
| [[Bild:Winkel_konstruktiv_02.svg]]
| Zeichne einen zweiten Strahl, der im Anfangspunkt S beginnt. Zeichne einen Punkt A auf dem zweiten Strahl ein.

|}

=== Definition des Winkelbegriffs ===
===== Definition V.1: (Winkel)=====

Unter einem Winkel <math>\ \angle pq</math> ... versteht man die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q mit einem gemeinsamen Anfangspunkt S. --[[Benutzer:Herbst2010|Herbst2010]] 14:13, 8. Jun. 2011 (CEST)
 

==== Arten, Winkel zu beschreiben ====

{| class="wikitable center "
! Beispiel
! Beschreibung
! in Zeichen
! Quelltext in Tex
|-
| [[Bild:Winkel_pq.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ p</math> und <math>\ q</math> besteht.
| <math>\angle pq</math>
| \angle pq
|-
| [[Bild:Winkel_ASB.svg]]
| Winkel, der aus den beiden Strahlen <math>\ SA^+</math> und <math>\ SB^+</math> besteht.
| <math>\angle ASB</math>
| \angle ASB

|}
==== Die Idee des gerichteten Winkels ====
Gerichtete Winkel werden in der Einführung in die Geometrie keine Rolle spielen. Trotzdem dürfen Sie hier ergänzen, was denn ein gerichtetet Winkel wäre.

=== Das Innere eines Winkels ===
==== So ist es zu verstehen ====

<iframe src="http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/lehre/Geometrieeinfuehrung/Wiki/Flash/Inneres_Winkel.swf" width="400" height="400" frameborder="2"></iframe> 
Klicken Sie auf die Steuerknöpfe um die Halbebenen ein- und auszublenden.

==== Definition des Inneren eines Winkels ====
===== Definition V.2: (Inneres eines Winkels) =====

Unter dem Inneren eines Winkels <math>\ \angle ASB</math> versteht man ... (ergänzen Sie) 

Es sei <math>\angle ASB</math> ein Winkel. Dabei ist S der Scheitelpunkt der beiden Strahlen a und b. Unter dem Inneren einem Winkels versteht den Schnitt der beiden Halbebenen SA, B+ und SB, A+. --[[Benutzer:Herbst2010|Herbst2010]] 14:39, 8. Jun. 2011 (CEST)

===== Satz V.1 =====
:: Das Innere eines Winkels ist konvex.
===== Beweis von Satz V.1 =====
::trivial entsprechend Satz IV., Satz IV.3 und der Definition V.2

==== Überstumpfe Winkel? ====
Bemerkung: Entsprechend Definition V.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.

== Scheitelwinkel und Nebenwinkel ==
=== Scheitelwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
==== Definition ====
===== Definition V.3: (Scheitelwinkel) =====
 Zwei Winkel sind Scheitelwinkel, wenn die Schenkel ein Paar sich schneidender Geraden bilden. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 01:45, 12. Jul. 2011 (CEST) 

=== Nebenwinkel ===
==== Beispiele und Gegenbeispiele ====
==== Definition ====
===== Definition V.4: (Nebenwinkel) =====
 Zwei WInkel heißen Nebenwinkel, wenn sie einen Schenkel gemeinsam haben und deren andere Schenkel eine Gerade bilden. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 01:47, 12. Jul. 2011 (CEST) 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel (SoSe 11)

2011-07-11T23:45:28Z

Teufelchen: /* Definition V.3: (Scheitelwinkel) */

Der Schwerpunkt und die Seitenhalbierenden eines Dreiecks (SoSe 11)

2011-07-11T22:53:04Z

Teufelchen: /* Schwerpunkt eines Dreiecks */

Die Fotos demonstrieren, was unter dem Schwerpunkt eines Dreiecks zu verstehen ist.
Erstellen Sie das Skript selbst.

{|
|-
! [[Bild:Schwerpunkt_00.jpg|450 px]]
! [[Bild:Schwerpunkt_01.jpg|450 px]]
|-
| [[Bild:Schwerpunkt_03.jpg|450 px]]
| [[Bild:Schwerpunkt_04.jpg|450 px]]
|-
| [[Bild:Schwerpunkt_05.jpg|450 px]]
| [[Bild:Schwerpunkt_6.jpg|450 px]]
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== Seitenhalbierende eines Dreiecks ==
Definition XVI.1 (Seitenhalbierende eines Dreiecks) 

Es sei ein Dreieck A,B,C und eine Gerade g. Wenn eine Gerade g die Strecke <math>\overline{AB}</math> oder die Strecke <math>\overline{AC}</math> oder die Strecke <math>\overline{BC}</math> in der Mitte schneidet und und durch den jeweils gegenüberliegenden Punkt geht, dann ist g Seitenhalbierende der Strecke.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 00:35, 12. Jul. 2011 (CEST) 
 
Satz XVI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden) 

 Jede Seite im Dreieck hat genau eine Seitenhalbierende. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 00:44, 12. Jul. 2011 (CEST) 

== Schwerpunkt eines Dreiecks ==

Satz XVI.2: (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eines Dreiecks) 
 Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks A,B,C schneiden sich in genau einem Punkt, dem Schwerpunkt.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 00:53, 12. Jul. 2011 (CEST) 

Definition XVI.2 (Schwerpunkt eines Dreiecks) 

 Es sei ein Dreieck A,B,C und s(a), s(b) und s(c) die Seitenhalbierenden des Dreiecks. Wenn die Seitenhalbierenden s(a), s(b) und s(c) sich in einem Punkt schneiden, dann ist dieser Schnittpunkt der Schwerpunkt des Dreiecks. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 00:53, 12. Jul. 2011 (CEST) 

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Der Schwerpunkt und die Seitenhalbierenden eines Dreiecks (SoSe 11)

2011-07-11T22:44:48Z

Teufelchen: /* Seitenhalbierende eines Dreiecks */

Die Fotos demonstrieren, was unter dem Schwerpunkt eines Dreiecks zu verstehen ist.
Erstellen Sie das Skript selbst.

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== Seitenhalbierende eines Dreiecks ==
Definition XVI.1 (Seitenhalbierende eines Dreiecks) 

Es sei ein Dreieck A,B,C und eine Gerade g. Wenn eine Gerade g die Strecke <math>\overline{AB}</math> oder die Strecke <math>\overline{AC}</math> oder die Strecke <math>\overline{BC}</math> in der Mitte schneidet und und durch den jeweils gegenüberliegenden Punkt geht, dann ist g Seitenhalbierende der Strecke.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 00:35, 12. Jul. 2011 (CEST) 
 
Satz XVI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Seitenhalbierenden) 

 Jede Seite im Dreieck hat genau eine Seitenhalbierende. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 00:44, 12. Jul. 2011 (CEST) 

== Schwerpunkt eines Dreiecks ==

Satz XVI.2: (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eines Dreiecks) 

Definition XVI.2 (Schwerpunkt eines Dreiecks) 

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Der Schwerpunkt und die Seitenhalbierenden eines Dreiecks (SoSe 11)

2011-07-11T22:35:51Z

Teufelchen: /* Seitenhalbierende eines Dreiecks */

Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks (SoSe 11)

2011-07-11T22:21:01Z

Teufelchen: /* Winkelhalbierendenkriterium */

== Winkelhalbierenden eines Dreiecks ==
===== Definition XV.1 : (Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
::Unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks versteht man die Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Dreiecks.
===== Satz XV.1a : (Abstand eines Punktes einer Winkelhalbierenden zu den Schenkeln des Winkels) =====
::Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines Winkels hat zu den Schenkeln des Winkels jeweils ein und denselben Abstand.
===== Satz XV.1b : (Umkehrung von Satz XV.1a) =====
(das können Sie selbst:) 

===== Winkelhalbierendenkriterium=====
(auch das sollten Sie jetzt selbst hinbekommen:) 

 Der Strahl <math>\ SW^{+}</math> ist genau dann Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math> , wenn jeder Punkt der Winkelhalbierenden zu den Schenkeln ein und denselben Abstand hat. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 23:24, 11. Jul. 2011 (CEST) 

===== Satz XV.2 : (Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt.

Beweis von Satz XV.2 mit Hilfe des Winkelhalbierendenkriteriums: Versuchen Sie es selbst: 

== Inkreis eines Dreiecks ==
===== Definition XV.2 : (Tangente an einen Kreis) =====
Eine Gerade <math>\ t</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie mit dem Kreis <math>\ k</math> genau einen Punkt <math>\ P</math> gemeinsam hat. Die Gerade <math>\ t</math> heißt Tangente im Punkt <math>\ P</math>.
===== Definition XV.3 : (Strecke berührt Kreis) =====
Eine Strecke <math>\overline{AB}</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie... (ergänzen Sie!) 

===== Definition XV.4 : (Inkreis eines Dreiecks) =====
::Ein Kreis, der alle drei Seiten eines Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt, heißt Inkreis des Dreiecks.

===== Satz XV.3 : (Existenz und Eindeutigkeit des Inkreises) =====
...ergänzen Sie! 

Jedes Dreieck hat genau einen Inkreis.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 23:26, 11. Jul. 2011 (CEST) 

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks (SoSe 11)

2011-07-11T21:26:00Z

Teufelchen: /* Satz XV.3 : (Existenz und Eindeutigkeit des Inkreises) */

== Winkelhalbierenden eines Dreiecks ==
===== Definition XV.1 : (Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
::Unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks versteht man die Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Dreiecks.
===== Satz XV.1a : (Abstand eines Punktes einer Winkelhalbierenden zu den Schenkeln des Winkels) =====
::Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines Winkels hat zu den Schenkeln des Winkels jeweils ein und denselben Abstand.
===== Satz XV.1b : (Umkehrung von Satz XV.1a) =====
(das können Sie selbst:) 

===== Winkelhalbierendenkriterium=====
(auch das sollten Sie jetzt selbst hinbekommen:) 

 Der Strahl <math>\ SW^{+}</math> ist genau dann Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math> , wenn gilt: <math>\angle ASW \cong \ \angle WSB</math> . --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 23:24, 11. Jul. 2011 (CEST) 

===== Satz XV.2 : (Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt.

Beweis von Satz XV.2 mit Hilfe des Winkelhalbierendenkriteriums: Versuchen Sie es selbst: 

== Inkreis eines Dreiecks ==
===== Definition XV.2 : (Tangente an einen Kreis) =====
Eine Gerade <math>\ t</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie mit dem Kreis <math>\ k</math> genau einen Punkt <math>\ P</math> gemeinsam hat. Die Gerade <math>\ t</math> heißt Tangente im Punkt <math>\ P</math>.
===== Definition XV.3 : (Strecke berührt Kreis) =====
Eine Strecke <math>\overline{AB}</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie... (ergänzen Sie!) 

===== Definition XV.4 : (Inkreis eines Dreiecks) =====
::Ein Kreis, der alle drei Seiten eines Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt, heißt Inkreis des Dreiecks.

===== Satz XV.3 : (Existenz und Eindeutigkeit des Inkreises) =====
...ergänzen Sie! 

Jedes Dreieck hat genau einen Inkreis.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 23:26, 11. Jul. 2011 (CEST) 

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Der Inkreis und die Winkelhalbierenden eines Dreiecks (SoSe 11)

2011-07-11T21:24:58Z

Teufelchen: /* Winkelhalbierendenkriterium */

== Winkelhalbierenden eines Dreiecks ==
===== Definition XV.1 : (Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
::Unter den Winkelhalbierenden eines Dreiecks versteht man die Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Dreiecks.
===== Satz XV.1a : (Abstand eines Punktes einer Winkelhalbierenden zu den Schenkeln des Winkels) =====
::Jeder Punkt der Winkelhalbierenden eines Winkels hat zu den Schenkeln des Winkels jeweils ein und denselben Abstand.
===== Satz XV.1b : (Umkehrung von Satz XV.1a) =====
(das können Sie selbst:) 

===== Winkelhalbierendenkriterium=====
(auch das sollten Sie jetzt selbst hinbekommen:) 

 Der Strahl <math>\ SW^{+}</math> ist genau dann Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math> , wenn gilt: <math>\angle ASW \cong \ \angle WSB</math> . --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 23:24, 11. Jul. 2011 (CEST) 

===== Satz XV.2 : (Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks) =====
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt.

Beweis von Satz XV.2 mit Hilfe des Winkelhalbierendenkriteriums: Versuchen Sie es selbst: 

== Inkreis eines Dreiecks ==
===== Definition XV.2 : (Tangente an einen Kreis) =====
Eine Gerade <math>\ t</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie mit dem Kreis <math>\ k</math> genau einen Punkt <math>\ P</math> gemeinsam hat. Die Gerade <math>\ t</math> heißt Tangente im Punkt <math>\ P</math>.
===== Definition XV.3 : (Strecke berührt Kreis) =====
Eine Strecke <math>\overline{AB}</math> berührt einen Kreis <math>\ k</math>, wenn sie... (ergänzen Sie!) 

===== Definition XV.4 : (Inkreis eines Dreiecks) =====
::Ein Kreis, der alle drei Seiten eines Dreiecks in jeweils genau einem Punkt berührt, heißt Inkreis des Dreiecks.

===== Satz XV.3 : (Existenz und Eindeutigkeit des Inkreises) =====
...ergänzen Sie! 

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Der Umkreis und die Mittelsenkrechten eines Dreiecks (SoSe 11)

2011-07-11T21:16:29Z

Teufelchen: /* Satz XIII.2 (Existenz und Eindeutigkeit des Umkreises eines Dreiecks) */

== Mittelsenkrechten eines Dreiecks ==
===== Definition XIII.1 : (Mittelsenkrechten eines Dreiecks) =====
::Unter den Mittelsenkrechten eines Dreiecks versteht man die Mittelsenkrechten der Seiten dieses Dreiecks. 
===== Satz XIII.1 (Schnittpunkt der Mittelsenkrechten eines Dreiecks) =====
::Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden einander in genau einem Punkt. 

'''Beweis: Existenz und Eindeutigkeit eines Schnittpunktes der Mittelsenkrechten eines Dreiecks''' 
(Übungsaufgabe) 
== Umkreis eines Dreiecks ==
===== Definition XIII.2 : (Umkreis eines Dreiecks) =====
::Wenn ein Kreis <math>\ k</math> durch die Eckpunkte <math>\ A , B, C</math> des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math> geht, dann ist <math>\ k</math> der Umkreis des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>.

<ggb_applet width="594" height="534" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

 
===== Satz XIII.2 (Existenz und Eindeutigkeit des Umkreises eines Dreiecks) =====
(das können Sie selbst)

 Zu jedem Dreieck gibt es genau einen Umkreis.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 23:16, 11. Jul. 2011 (CEST) 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 13.1 (SoSe 11)

2011-07-10T13:17:56Z

Teufelchen:

Warum ist die folgende Definition des Begriffs ''Winkelhalbierende'' nicht korrekt?

Die Halbgerade <math>\ SW^+</math> ist die Winkelhalbierende des Winkels <math>\angle ASB</math>, wenn <math>| \angle ASW| = | \angle WSB |</math>.

Eine Skizze genügt.

 Skizze leider nicht mgl:
 Ein Winkel erstellt mit dem Winkelzeichnung (bzgl. Ausrichtung)und von der Spitze aus (S) geht ein Strahl nach links (W). Somit hat man keine WH. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 15:17, 10. Jul. 2011 (CEST)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Definition der Woche 14 (SoSe 11)

2011-07-10T13:05:37Z

Teufelchen:

Die folgende Applikation generiert Punkte einer Archimedischen Spirale.

Definieren sie, was unter einer Archimedischen Spirale zu verstehen ist.

<ggb_applet width="556" height="512" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

 
Wenn der Abstand von|OP(n)| kleiner ist als der Abstand |OP(n-1)| dann ist dei Abbildung eine Spirale.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 21:56, 6. Jul. 2011 (CEST)

 Wenn das eine korrekte Definition wäre, dann wäre auch die folgenden Spirale eine Archimedische Spirale. Allerdings handelt es sich bei der folgenden Spirale um eine logarithmische Spirale und nicht um eine Archimedische Spirale. Ich hab als Hilfe mal einen Strahl <math>OB^+</math> eingeblendet. Man beachte den Zusammenhang zwischen dem Winkel <math>\angle B,O,P</math> und dem Abstand <math>\ |OP|</math>. Ferner kann ich mittels der Spuroption von Geogebra leider nicht die gesamte Spirale generieren. Die Lücken zwischen den Punkten müssen Sie sich geschlossen denken. Damit ist die Idee der Nummerierung der Punkte hinfällig, es sind überabzählbar viele.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:29, 9. Jul. 2011 (CEST)

<ggb_applet width="787" height="589" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />

 ISt das Kennzeichen der archimedischen Spirale, dass sie an einer Stelle anfängt, mitten in der Spirale, zum Ende geht und auf dem Rückweg bis zum Mittelpunkt läuft? War das kein Darstellungsfehler? --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 15:05, 10. Jul. 2011 (CEST)

Definition der Woche 13 (SoSe 11)

2011-07-10T12:59:40Z

Teufelchen:

Die Semantik der folgenden Begriffe ist in der Begriffsbezeichnung jeweils enthalten:

# Sehnenviereck
# Tangentenviereck
# Sehnen-Tangenten-Viereck

Definieren Sie diese drei Begriffe.
[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

 
1. Gegeben sei ein Kreis k und ein Viereck <math>\overline{ABCD}</math>. <math>\overline{ABCD}</math> ist ein Sehnenviereck, wenn A,B,C,D <math>\in</math> k und nkoll(A,B,C,D) gilt.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 22:03, 6. Jul. 2011 (CEST)
 
Ich denke die Definition hat einen kleinen Haken. Nach deiner Definition wäre das hier kein Sehnenviereck: 
<ggb_applet width="1366" height="604" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 

Um es korrekt zu definieren, musst du vier Punkte (glaube ich) auf dem Kreis k plazieren: 
Sei k ein Kreis und A, B, C, D vier paarweise verschiedene Punkte, für die gilt, dass sie Element von k sind. 
Das Sehnenviereck: = <math>\overline{AB} \cup \overline{BC} \cup \overline{CD} \cup \overline{DA}</math> --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 23:10, 8. Jul. 2011 (CEST) 

 Ich denke, dass das Viereck in deiner Zeichnung kein Sehnenviereck ist, da keine Seite eine Sehne im Kreis darstellt. Somit behaupte ich, dass meine Def. richtig ist ;) --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 14:59, 10. Jul. 2011 (CEST)

 2. Ein Viereck mit einem Inkreis ist ein Tangentenviereck. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 22:03, 6. Jul. 2011 (CEST)
 
So hätte man das Sehnenviereck auch definieren können :-) Die Frage die bleibt ist aber glaube ich, was denn nun ein Innkreis ist?. Und darüber hinaus kann der Innkreis auch wieder kleiner sein und eben grad nicht tangieren. 
Sei <math>\overline{ABCD}</math> ein beliebiges Viereck. Wenn es einen Kreis k gibt, für den gilt, dass jede Seite des Vierecks den Kreis in jeweils genau einem Punkt schneidet, dann ist das Viereck ein Tangentenviereck. 

'''Anmerkung'''Wenn folgendes geschrieben hätte (und das habe ich vorher auch): 
"Sei k ein Kreis und <math>\overline{ABCD}</math> ein beliebiges Viereck. Wenn jede Seite des Vierecks den Kreis in jeweils genau einem Punkt schneidet, dann ist das Viereck ein Tangentenviereck."; dann wäre das Gleiche wie oben in der ersten Definition herausgekommen, d. h. nur weil Kreis k nicht tangiert heist dies noch nicht, dass das Viereck kein Tangentenviereck ist. In der vorherigen Definition schließen wir das aus, indem wir von vorneherein festlegen, "wenn es einen Kreis gibt" --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 23:10, 8. Jul. 2011 (CEST) 

 Mit dem Inkreis gebe ich dir recht. Allerdings dachte ich, dass wir Inkreis bereits definiert hatten. Falls nicht: Ein Inkreis ist ein Kreis, der vollständig im Inneren eines Vierecks liegt und jede Seite in diesem Viereck '''berührt.'''
Ich habe mehrfach ''schneidet'' gelesen, aber ich denke, das ist falsch, da es keinen Schnittpunkt sondern einen Berührpunkt gibt.
 Zu deiner Anmerkung: Ich denke, dass auch diese Def richtig ist, wenn du ''schneidet'' durch ''berührt'' ersetzt. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 14:59, 10. Jul. 2011 (CEST)

 3. Gibt es nicht, da ein Viereck entweder einen Inkreis, einen Umkreis oder nichts von beidem hat. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 22:03, 6. Jul. 2011 (CEST)

<ggb_applet width="407" height="374" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" /> 
Was ist hiermit?--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 23:56, 6. Jul. 2011 (CEST)

 hmm, ok, das könnte sein. Aber gibt es sowas? Wäre diese Definition dann sinnvoll?
 Ein Vierck ABCD ist ein Sehnen-Tangenten-Viereck, wenn <math>A,B,C,D \in k</math> und das Viereck einen Inkreis hat.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 21:53, 8. Jul. 2011 (CEST) 
Weil du die beiden Begriffe nun ja schon definiert hast, so kannst du dir das ganze nun einfacher machen, indem du sagst: Ein Viereck, das sowohl Tangenten, als auch Sehnenviereck ist, ist ein Sehnen-Tangenten-Viereck. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 23:19, 8. Jul. 2011 (CEST)

Definition der Woche 13 (SoSe 11)

2011-07-08T19:53:33Z

Teufelchen:

Definition der Woche 13 (SoSe 11)

2011-07-06T20:03:17Z

Teufelchen:

Definition der Woche 14 (SoSe 11)

2011-07-06T19:56:09Z

Teufelchen:

Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade (SoSe 11)

2011-07-03T16:40:45Z

Teufelchen: /* Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) */

== Der Begriff des Lotes ==

===== Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) =====
:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge. ... 
 

Definition: 
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge, die Grade durch <math> \ P </math> und <math>\ g</math>, die senkrecht zu g ist heißt Lotgerade. Der Schnittpunkt <math>\ S</math> von <math>\ P</math> und <math>\ g</math> heißt Lotfußpunkt, die Strecke <math>\overline{SP}</math> Lot.--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 20:38, 2. Jul. 2011 (CEST)

===== Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) =====
:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist ... 

Defintion: 
Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist die Länge des Lots von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math> --[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 20:40, 2. Jul. 2011 (CEST)

 Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist eine nicht negative reelle Zahl d. --[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 18:40, 3. Jul. 2011 (CEST)

== Existenz und Eindeutigkeit des Lotes ==
===== Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) =====
:: Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.

===== Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes: =====
Übungsaufgabe

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 11.2 (SoSe 11)

2011-06-26T23:15:23Z

Teufelchen:

Definieren Sie den Begriff Strahl <math>\ AB^{+}</math>. Verwenden Sie dabei den Begriff Strecke. 

[[Category:Einführung_Geometrie]]
<br\>Lösung: (formell)<br\>
Sei <math>\overline{AB}</math> eine Strecke und <math>\ AB</math> die dazugehörige Grade. <br\>
Ferner sei <math>\ P \in AB</math><br\>

<math>\ AB^+ := \lbrace P| \overline{PB} \cap \overline{AB} =\lbrace B\rbrace \rbrace \cup \overline{AB}</math> <br\>
In unserer Defintion aus der Vorlesung kommt ja schon der Begriff Strecke vor, deswegen weiss ich jetzt nicht genau wo hier der Witz liegt.<br\>
 
Geht auch folgende Variante?:
 <math>\ AB+ := \{P|\operatorname(Zw) (A, B, P) \} \cup \{\overline{AB} \}</math>
 Falls dies so nicht mgl sein sollte, bitte ich um Mitteilung, warum. Danke.--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 01:15, 27. Jun. 2011 (CEST)

Lösung von Aufg. 11.1 (SoSe 11)

2011-06-26T20:15:16Z

Teufelchen:

Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?

a) <math>\ AB^{+} \cap BA^{+} =</math> <br\>

b) <math>\ AB^{-} \cap BA^{-} =</math> <br\>

c) <math>\ AB \mathrm{~geschnitten~mit~dem~Kreis~um} \ A \mathrm{~durch} \ B =</math>

d)<math>\ AB \cap BA =</math> <br\>

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösungen:<br\>
a) <math>\overline{AB}</math> <br\>
b) <math>\operatorname \lbrace \rbrace</math> 
c) <math>\operatorname B</math> Diese Antwort müsste wohl noch ergänzt werden.--[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 11:39, 23. Jun. 2011 (CEST) 
B und P <math>\in</math> AB: |PA| = |AB| [[Benutzer:Mathegott|Mathegott]] 20:11, 23. Jun. 2011 (CEST) 
 
Bemerkung: Das Ergänzen von Aufgabe c) bezog sich wohl eher darauf, dass Mengen in geschweiften Klammern angegeben werden.--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 17:47, 26. Jun. 2011 (CEST)
 Wenn aber eine Gerade mit einem Kreis geschnitten wird, dann entstehen doch 2 Schnittpunkte, so wie es verbessert wurde, oder nicht? Falls nein, warum nicht?--[[Benutzer:Teufelchen|Teufelchen]] 22:15, 26. Jun. 2011 (CEST)

d)<math>\operatorname AB</math><br\>--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 14:39, 22. Jun. 2011 (CEST)