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Die Kraft der Raute

2012-02-09T18:54:37Z

Teufelchen777: /* Vorbemerkung */

=Vorbemerkung=
Die Bayern haben zum Start der Rückrunde heftig Federn gelassen. Das freut nicht nur den bekennenden 60-ger Fan und Geowiki-Aktivisten Flo60 sondern auch uns, die wir die ATP-Klausur zu erstellen haben.

Bezeichnenderweise tragen die Vereine, die den Roten aus München Punkte entführten, die Raute im Logo. Wir stellen damit unsere Klausur unter das Motto: 
'''Die Kraft der Raute'''
 
Also ich denke hier einfach mal laut: Wenn ich diese Aussage vor über einem halben Jahr gelesen hätt, hätte ich gesagt:"Dass simmt doch gar nicht. Der HSV hat doch Quadrate im Wappen." Jemand schon mal dran gedacht, dass es ich in der Klausur auch um den Spezialfall handeln könnte. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 08:02, 8. Feb. 2012 (CET) 

::Freut mich, dass wir doch ein wenig zu einem grundlegenden Verständnis bezüglich der Vierecksarten haben beitragen können. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 09:15, 8. Feb. 2012 (CET)

...dann wären die "Tipps" zur Vorbereitung aber ETWAS irreführend gewesen!?!?! --[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 17:49, 8. Feb. 2012 (CET)

::Gladbach hat drei Punkte gegen die Bayern geholt. Das Logo der Borussia aus Gladbach ist eine Raute, die kein Quadrat ist. Wir sollten der Borussia die Ehre erweisen. (Deutlich genug?) --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 18:02, 8. Feb. 2012 (CET)

...nicht dass mir Borussia lieber wäre als der HSV, aber in diesem Fall schon :-) Danke!--[[Benutzer:Lottta|Lottta]] 22:21, 8. Feb. 2012 (CET)

Bleibt zu hoffen, dass die Klausur fairer ist als de Camargo! --[[Benutzer:ps|ps]]

::Das Leben ist hart aber wir sind Hertha! --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 08:49, 9. Feb. 2012 (CET)
 
Das lässt sich doch bestimmt alles "hoyzern"! --[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 17:06, 9. Feb. 2012 (CET)

Warum gibts hier keinen "Gefällt mir" - Button?^^ --[[Benutzer:Teufelchen777|Teufelchen777]] 19:54, 9. Feb. 2012 (CET)

=Aufgabe 3=
Der Beginn von Aufgabe 3 der Klausur im Vorabdruck:

:::"''Erst verlieren die Roten aus München in Gladbach drei Punkte, dann zwei beim HSV! Spontan beginnt Referendar Ole die Unterrichtseinheit '''Vierecke''' mit der '''Raute'''''.
 
Da Ole ein 1er Kandidat ist und zufällig eine reine Jungenklasse hat, beginnt der die Stunde natürlich um die Schüler zu motivieren mit einigen Wappen von Fußballvereinen. ...--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 08:09, 8. Feb. 2012 (CET)

=Vorbereitung: Raute=

# Definieren Sie den Begriff Raute auf 5 verschiedene Arten und Weisen.
# Überlegen Sie sich, wie Sie Ihre Schüler an den Begriff der Raute heranführen könnten, indem Sie die Schüler verschieden Rauten konstruieren lassen. (Stäbchen, Metallbaukasten, Falten, Streifen, Geobrett, Geogebra, ...)
# Überlegen Sie, welche Eigenschaften von Rauten sich aus den Definitionen und Konstruktionen ergeben und beweisen Sie diese.

[[Kategorie:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 6.6 (WS 11/12)

2011-12-02T23:34:25Z

Teufelchen777:

'''Satz:'''
:Wenn vier Punkte nicht komplanar sind, sind je drei von ihnen nicht kollinear.

# Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne die Bezeichnungen ''komplanar'' und ''kollinear'' zu verwenden.
# Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne ''wenn-dann'' zu gebrauchen.
# Beweisen Sie den Satz. Hier ein Anfang für den Beweis:
'''Beweis'''
::Es seien <math>\ A, B, C</math> und <math>\ D</math> vier Punkte, die nicht komplanar sind.
'''zu zeigen'''
:: ...
'''Annahme:'''
::Es gibt drei Punkte von den vier Punkten <math>\ A, B, C, D</math>, die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte ...

 
zu 1. Wenn vier Punkte nicht in einer Ebene liegen, dann liegen je drei von ihnen nicht auf einer Geraden. 
zu 2. Liegen vier Punkte nicht in einer Ebene gilt für drei davon, dass sie nicht auf einer Geraden liegen. 
zu 3.
'''Beweis'''
Voraussetzung::Es seien <math>\ A, B, C</math> und <math>\ D</math> vier Punkte, die nicht komplanar sind.
'''zu zeigen'''
:: o.B.d.A. : A, B, C nicht kollinear
'''Annahme:'''
::Es gibt drei Punkte von den vier Punkten <math>\ A, B, C, D</math>, die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte A,B,C sein.

{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| (1)koll(A,B,C) || Annahme
|-
| (2)Es existiert eine Gerdade g mit A,B,C Element g || (1) Defninition koll
|-
| (3) Zwei Punkte der Geraden und der Punkt D liegen in einer Ebene || Axiom I/4
|-
| (4) Die drei Punkte der Geraden gehören ebenfalls zu dieser Ebene || Axiom I/5
|-
| (5) komp(A,B,C,D) || (2)(3)(4)
|-
| Wiederspruch zur Voraussetzung, die Annahme ist zu verwerfen.
|}
--[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 13:35, 17. Nov. 2011 (CET)

* Wenn man in seinem Beweis eine Fallunterscheidung durchführen muss, kann man dann die Fälle bereits in der Annahme nennen? (beispielsweise:Annahme: Drei Punkte aus A,B,C und D sind kollinear. Fall 1: koll(A,B,C,D), Fall 2: o.B.d.A. koll (A,B,C)) --[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 11:50, 26. Nov. 2011 (CET)
** Ja, sollte man, denn (3) kann man nur dann schließen, wenn zusätzlich zu koll(A,B,C) auch nkoll (A,B,C,D) gilt. Ich würde die Fallunterscheidung aber anders treffen. Man geht z.B. in der Annahme o.B.D.A. aus, dass koll(A,B,C) gilt, und trifft anschließend eine Fallunterscheidung zwischen koll(A,B,C,D) und nkoll(A,B,C,D)... kann jemand den Beweis so vervollständigen? --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 13:07, 28. Nov. 2011 (CET)

Ich hoffe, so stimmts:

Vor.: nkomp(A,B,C,D)

Beh.: je 3 Punkte sind nicht kollinear: nkoll(A,B,C) <math>\wedge</math> nkoll(A,B,D) <math>\wedge</math> nkoll(A,C,D) <math>\wedge</math> nkoll(B,C,D)

Ann.: es gibt 3 Punkte, die kollinear sind: koll(A,B,C) <math>\vee</math> koll(A,B,D) <math>\vee</math> koll(A,C,D) <math>\vee</math> koll(B,C,D)

{| class="wikitable"
|-
| '''Beweisschritt''' || '''Begründung'''
|-
| (1) nkomp(A,B,C,D) || Voraussetzung
|-
| (2) oBdA: koll(A,B,C) || Annahme
|-
| (3) <math>\exists </math> eine Gerade g. A <math>\in</math> g <math>\wedge</math> B <math>\in</math> g <math>\wedge</math> C <math>\in</math> g || 2), Definition kollinear
|-
| (4) D <math>\not\in </math> g || Fall 1
|-
| (5) oBdA: nkoll(A,B,D) || 3), 4)
|-
| (6) <math>\exists </math> eine Ebene E. A <math>\in</math> E <math>\wedge</math> B <math>\in</math> E <math>\wedge</math> D <math>\in</math> E || Axiom I/4, 5)
|-
| (7) g <math>\in</math> E || Axiom I/5, 3), 6)
|-
| (8) komp(A,B,C,D) || 3), 6), 7), Definition komplanar
|-
| Widerspruch zur Voraussetzung
|-
| ||
|-
| (4) D <math>\in</math> g || Fall 2
|-
| (5) koll(A,B,C,D) || 3), 4), Definition kollinear
|-
| (6) <math>\exists </math> ein Punkt F. nkoll(A,B,C,D,F) || Axiom I/3
|-
| (7) oBdA: nkoll(A,B,F) || 6)
|-
| (8) <math>\exists </math> eine Ebene E. A <math>\in</math> E <math>\wedge</math> B <math>\in</math> E <math>\wedge</math> F <math>\in</math> E || Axiom I/4, 7)
|-
| (9) g <math>\in</math> E || Axiom I/5, 3), 8)
|-
| (10) komp(A,B,C,D,F) || 3), 5), 8), 9), Definition komplanar
|-
| (11) komp(A,B,C,D) || 10)
|-
| Widerspruch zur Voraussetzung
|}
--[[Benutzer:Teufelchen777|Teufelchen777]] 22:50, 29. Nov. 2011 (CET)

prima!--[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 14:17, 1. Dez. 2011 (CET)

: Auch von mir: Klasse! Nur ein klitzekleiner Hinweis: Ist Ihre Behauptung korrekt formalisiert? (genauer: stimmen die "oders"? :-)) --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 17:15, 2. Dez. 2011 (CET)

So besser? :-) --[[Benutzer:Teufelchen777|Teufelchen777]] 00:34, 3. Dez. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 6.6 (WS 11/12)

2011-12-02T23:32:52Z

Teufelchen777:

Lösung von Aufg. 6.6 (WS 11/12)

2011-11-29T21:50:57Z

Teufelchen777:

'''Satz:'''
:Wenn vier Punkte nicht komplanar sind, sind je drei von ihnen nicht kollinear.

# Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne die Bezeichnungen ''komplanar'' und ''kollinear'' zu verwenden.
# Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne ''wenn-dann'' zu gebrauchen.
# Beweisen Sie den Satz. Hier ein Anfang für den Beweis:
'''Beweis'''
::Es seien <math>\ A, B, C</math> und <math>\ D</math> vier Punkte, die nicht komplanar sind.
'''zu zeigen'''
:: ...
'''Annahme:'''
::Es gibt drei Punkte von den vier Punkten <math>\ A, B, C, D</math>, die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte ...

 
zu 1. Wenn vier Punkte nicht in einer Ebene liegen, dann liegen je drei von ihnen nicht auf einer Geraden. 
zu 2. Liegen vier Punkte nicht in einer Ebene gilt für drei davon, dass sie nicht auf einer Geraden liegen. 
zu 3.
'''Beweis'''
Voraussetzung::Es seien <math>\ A, B, C</math> und <math>\ D</math> vier Punkte, die nicht komplanar sind.
'''zu zeigen'''
:: o.B.d.A. : A, B, C nicht kollinear
'''Annahme:'''
::Es gibt drei Punkte von den vier Punkten <math>\ A, B, C, D</math>, die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte A,B,C sein.

{| class="wikitable"
|-
| Beweisschritt || Begründung
|-
| (1)koll(A,B,C) || Annahme
|-
| (2)Es existiert eine Gerdade g mit A,B,C Element g || (1) Defninition koll
|-
| (3) Zwei Punkte der Geraden und der Punkt D liegen in einer Ebene || Axiom I/4
|-
| (4) Die drei Punkte der Geraden gehören ebenfalls zu dieser Ebene || Axiom I/5
|-
| (5) komp(A,B,C,D) || (2)(3)(4)
|-
| Wiederspruch zur Voraussetzung, die Annahme ist zu verwerfen.
|}
--[[Benutzer:LGDo12|LGDo12]] 13:35, 17. Nov. 2011 (CET)

* Wenn man in seinem Beweis eine Fallunterscheidung durchführen muss, kann man dann die Fälle bereits in der Annahme nennen? (beispielsweise:Annahme: Drei Punkte aus A,B,C und D sind kollinear. Fall 1: koll(A,B,C,D), Fall 2: o.B.d.A. koll (A,B,C)) --[[Benutzer:Miriam|Miriam]] 11:50, 26. Nov. 2011 (CET)
** Ja, sollte man, denn (3) kann man nur dann schließen, wenn zusätzlich zu koll(A,B,C) auch nkoll (A,B,C,D) gilt. Ich würde die Fallunterscheidung aber anders treffen. Man geht z.B. in der Annahme o.B.D.A. aus, dass koll(A,B,C) gilt, und trifft anschließend eine Fallunterscheidung zwischen koll(A,B,C,D) und nkoll(A,B,C,D)... kann jemand den Beweis so vervollständigen? --[[Benutzer:Spannagel|Spannagel]] 13:07, 28. Nov. 2011 (CET)

Ich hoffe, so stimmts:

Vor.: nkomp(A,B,C,D)

Beh.: je 3 Punkte sind nicht kollinear: nkoll(A,B,C) <math>\vee</math> nkoll(A,B,D) <math>\vee</math> nkoll(A,C,D) <math>\vee</math> nkoll(B,C,D)

Ann.: es gibt 3 Punkte, die kollinear sind: koll(A,B,C) <math>\vee</math> koll(A,B,D) <math>\vee</math> koll(A,C,D) <math>\vee</math> koll(B,C,D)

{| class="wikitable"
|-
| '''Beweisschritt''' || '''Begründung'''
|-
| (1) nkomp(A,B,C,D) || Voraussetzung
|-
| (2) oBdA: koll(A,B,C) || Annahme
|-
| (3) <math>\exists </math> eine Gerade g. A <math>\in</math> g <math>\wedge</math> B <math>\in</math> g <math>\wedge</math> C <math>\in</math> g || 2), Definition kollinear
|-
| (4) D <math>\not\in </math> g || Fall 1
|-
| (5) oBdA: nkoll(A,B,D) || 3), 4)
|-
| (6) <math>\exists </math> eine Ebene E. A <math>\in</math> E <math>\wedge</math> B <math>\in</math> E <math>\wedge</math> D <math>\in</math> E || Axiom I/4, 5)
|-
| (7) g <math>\in</math> E || Axiom I/5, 3), 6)
|-
| (8) komp(A,B,C,D) || 3), 6), 7), Definition komplanar
|-
| Widerspruch zur Voraussetzung
|-
| ||
|-
| (4) D <math>\in</math> g || Fall 2
|-
| (5) koll(A,B,C,D) || 3), 4), Definition kollinear
|-
| (6) <math>\exists </math> ein Punkt F. nkoll(A,B,C,D,F) || Axiom I/3
|-
| (7) oBdA: nkoll(A,B,F) || 6)
|-
| (8) <math>\exists </math> eine Ebene E. A <math>\in</math> E <math>\wedge</math> B <math>\in</math> E <math>\wedge</math> F <math>\in</math> E || Axiom I/4, 7)
|-
| (9) g <math>\in</math> E || Axiom I/5, 3), 8)
|-
| (10) komp(A,B,C,D,F) || 3), 5), 8), 9), Definition komplanar
|-
| (11) komp(A,B,C,D) || 10)
|-
| Widerspruch zur Voraussetzung
|}
--[[Benutzer:Teufelchen777|Teufelchen777]] 22:50, 29. Nov. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 7.7 (WS 11/12)

2011-11-25T00:10:01Z

Teufelchen777:

Definition: Halbgerade <math>AB^-</math>
::Gegeben seien zwei nicht identische Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter <math>\ AB^-</math> wollen wir die Menge aller Punkte <math>\ P</math> verstehen, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ A</math> hinaus verlängert.

Geben Sie eine mathematisch korrekte Definition für die Menge dieser Punkte <math>\ P</math> an.

Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Die Halbgerade <math>\ AB^{-} </math> ist die Punktmenge aller Punkte P, für die gilt:
<math>\forall </math> P : <math>\operatorname(Zw) (P, A, B) </math> vereinigt mit {A} --[[Benutzer:Teufelchen777|Teufelchen777]] 01:10, 25. Nov. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufg. 7.6 (WS 11/12)

2011-11-25T00:02:26Z

Teufelchen777:

Eine informelle Definition:

Definition: Halbgerade <math>AB^+</math>
::Gegeben seien zwei verschiedene Punkte <math>\ A</math> und <math>\ B</math>. Unter dem Strahl bzw. der Halbgeraden <math>\ AB^+</math> versteht man die Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Menge aller der Punkte, die man erhält, wenn man <math>\overline{AB}</math> über <math>\ B</math> hinaus verlängert.

Formulieren Sie eine mathematisch korrekte Definition des Begriffs Halbgerade <math>\ AB^+</math>.

Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Die Halbgerade <math>AB^+</math> ist die Strecke <math>\overline{AB}</math> vereinigt mit der Punktmenge aller Punkte P, für die gilt: <math>\forall</math> P : <math>\operatorname(Zw) (A, B, P) </math> --[[Benutzer:Teufelchen777|Teufelchen777]] 01:02, 25. Nov. 2011 (CET)

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Lösung von Aufgabe 2.1 (WS 11/12)

2011-10-19T18:47:26Z

Teufelchen777:

Unter einer Konventionaldefinition versteht man eine Definition, die in der Form "Wenn-Dann" formuliert wurde. 
Geben Sie zwei prinzipiell verschiedene Konventionaldefinitionen des Begriffs ''Mittelsenkrechte'' einer Strecke an. 

[[Category:Einführung_Geometrie]]

Wenn eine Strecke a senkrecht zu einer Strecke b ist und Strecke a die Strecke b teilt, dann ist Strecke a Mittelsenkrechte der Strecke b. --[[Benutzer:Cmhock|Cmhock]] 16:06, 19. Okt. 2011 (CEST)

Wenn es eine Punktmenge gibt, von der jeder Punkt zu den Endpunkten A und B einer Strecke den gleichen Abstand hat, dann heißt diese Punktmenge Mittelsenkrechte dieser Strecke. --[[Benutzer:Teufelchen777|Teufelchen777]] 20:47, 19. Okt. 2011 (CEST)